Математика менеджеры - Камышинский технологический
реклама
Е. В. Морозова, С. В. Мягкова
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Е. В. Морозова, С. В. Мягкова
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
для студентов направления «Менеджмент»
Волгоград
2011
1
УДК 510 (075.8)
М 33
Рецензенты: начальник ПЭО ООО «Престиж АМ», к. ф. н. Д. М.
Дроненко; коллектив НАЧОУ ВПО «Современная гуманитарная
академия»
Морозова, Е. В. МАТЕМАТИКА: учеб. пособие для студентов
направления «Менеджмент» / Е. В. Морозова, С. В. Мягкова. –
Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011. – 76 с.
ISBN 978-5-9948-0685-2
Содержит разделы, посвящённые основам математического
анализа, теории вероятностей и математической статистики.
Включает большое количество примеров с полным анализом решения и задания для контрольных работ.
Предназначено студентам ВПО заочной формы обучения
направления 080200 «Менеджмент».
Ил. 17.
Табл. 14.
Библиогр.: 5 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Елена Васильевна Морозова, Светлана Васильевна Мягкова
МАТЕМАТИКА. Учебное пособие для студентов направления «Менеджмент»
Редактор Пчелинцева М. А. Компьютерная верстка Сарафановой Н. М.
Темплан 2011 г., поз. № 23К. Подписано в печать 17.10.2011 г.
Формат 60×84 1/16. Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 4,4. Уч.-изд. л. 4,03. Тираж 75 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.
Отпечатано в КТИ. 403874, г. Камышин, ул. Ленина, 5.
ISBN 978-5-9948-0685-2
©
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2011
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального
образования к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по направлению 080200 «Менеджмент».
В процессе изучения дисциплины студенты должны усвоить
основные понятия, утверждения и методы, изложенные в программе.
Усиленный поток научной информации, математизация наук
требует постоянного совершенствования подготовки специалистов
с современным математическим образованием. Стране нужны
специалисты нового типа, высокой квалификации, с широким теоретическим кругозором, способные быстро осваивать новое в
науке и технике.
Основная задача дисциплины состоит в том, чтобы дать студентам комплекс математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения смежных и специальных дисциплин, для
использования в практической деятельности, для развития логического мышления.
В соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта ВПО по направлению «Менеджмент» в области математики студент должен
знать основные понятия и инструменты:
– алгебры и геометрии,
– математического анализа,
– теории вероятностей и математической статистики;
уметь:
– решать типовые математические задачи,
– использовать математический язык и математическую символику,
– обрабатывать эмпирические и экспериментальные данные.
3
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
В процессе изучения дисциплины «Математика» студенты
должны выполнить две контрольные работы. Данное пособие содержит задания для контрольных работ, а также необходимые
теоретические сведения и примеры решения задач. Номер варианта контрольной работы определяет преподаватель и сообщает студентам на установочной лекции.
При выполнении контрольной работы следует руководствоваться следующими правилами:
1. Контрольную работу выполняют в отдельной ученической
тетради в клетку (12 или 18 листов). Страницы в тетради следует
пронумеровать и оставить поля шириной 2–3 см для замечаний преподавателя.
2. На обложку тетради необходимо приклеить титульный
лист установленного образца.
3. Работу выполняют чернилами синего цвета, аккуратно,
разборчиво. Чертежи выполняют карандашом с использованием
чертежных инструментов, аккуратно, соблюдая масштаб.
4. Каждое задание выполняют с новой страницы. Записывают
номер задания и полное условие. Решение записывают с новой
строки после слова Решение.
5. Решение каждого задания должно сопровождаться подробными пояснениями. Необходимо записывать используемые формулы.
6. В конце работы записывается список используемой литературы.
7. Контрольная работа должна быть выполнена в срок в соответствии с учебным планом.
8. Работа, выполненная не по своему варианту или неправильно оформленная, не проверяется и возвращается студенту без
рецензии.
9. Если в контрольной работе допущены ошибки или имеют
место замечания преподавателя, то студент должен внести исправления и сдать работу для повторной проверки.
4
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Контрольная работа № 1
Задания 1–10
Решить систему уравнений тремя способами:
1) пользуясь формулами Крамера;
2) матричным методом;
3) методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса).
3x1 5 x2 3x3 46,
1. x1 2 x 2 x3 8,
x1 7 x2 2 x3 6;
5 x1 9 x2 14 x3 6,
6. x1 7 x2 5 x3 11,
5 x1 21x2 27 x3 5;
x1 4 x2 2 x3 0,
2. 3 x1 5 x2 6 x3 21,
3 x1 x2 x3 4;
4 x1 7 x2 2 x3 0,
7. 2 x1 3x2 4 x3 16,
3x1 8 x2 7 x3 22;
3x1 x 2 2 x 3 11,
3. 2 x1 2 x 2 3 x 3 9,
x1 5 x 2 8 x 3 23;
5 x1 6 x 2 2 x 3 23,
8. 2 x1 5 x 2 3x 3 9,
4 x1 3x 2 2 x 3 15;
2 x1 3 x2 4 x3 15,
4. x1 x2 5 x3 16,
3x1 2 x2 x3 1;
12 x1 13 x2 4 x3 10,
9. 7 x1 9 x2 11x3 0,
12 x1 17 x2 15 x3 7;
5 x1 19 x2 3 x3 26,
5. 2 x1 5 x2 x3 6,
8 x1 31x2 4 x3 35;
8 x1 6 x2 3 x3 22,
10. 4 x1 x2 6 x3 1,
13 x1 x2 16 x3 5.
Задания 11–20
Даны вершины треугольника АВС. Найти:
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А в радианах с точностью до двух знаков
после запятой;
3) уравнение медианы СМ;
4) уравнение высоты СК;
5) точку пересечения высот (т. F);
6) площадь треугольника АВС.
5
Сделать чертеж.
11. А(-8; -3), B(4; -12), C(8; 10).
13. A(0; 2), B(12; -7), C(16; 15).
15. A(2; 5), B(14; -4), C(18; 18).
17. A(-10; 9), B(2; 0), C(6; 22).
19. A(-4; 10), B(8; 1), C(12; 23).
12. A(-12; -1), B(0; -10), C(4; 12).
14. A(1; 0), B(13; -9), C(17; 13).
16. A(-5; 7), B(7; -2), C(11; 20).
18. A(-9; 6), B(3; -3), C(7; 19).
20. A(-1; 4), B(11; -5), C(15; 17).
М
Вариант
Вариант
Задания 21–25
Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М
на прямую L.
L
22. (2; -1; 3)
x 1
1
x2
3
23. (1; -3; -2)
24. (-4; 2; -3)
21. (3; 2; 1)
25. (-4; 5; 2)
y 1 z 1
3
2
y 1 z 3
2
21
М
L
26. (-4; 5; -2)
x3 y4 z 2
1
2
2
27. (5; -2; 3)
x 4 y 1 z 3
2
3
3
x 3 y 2 z 2
1
2
3
28. (-1; -3; -2)
x 1 y 3 z 4
2
3
1
x 1 y 3 z 2
2
2
1
29. (2; -5; -4)
x 2 y 3 z 1
2
1
3
30. (4; 3;- 5)
x 3 y 4 z 2
1
3
3
x 2 y 2 z 1
1
2
3
Задания 31–40
Построить кривые по заданным уравнениям:
Вариант
Уравнения
Вариант
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 9
31.
Уравнения
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 9
2
2
2
x y 1 ; x2 y
1
25 9
49 25
36.
2
y 9x
2
2
2
x y 1 ; x2 y
1
9 25
25 49
2
y 4 x
6
Вариант
Уравнения
Вариант
(x + 3) + (y – 5) = 4
2
32.
2
2
x y 1;
49 4
2
37.
2
2
x y 1
25 16
2
y 7x
2
2
x y 1;
36 25
(x + 1)2 + (y + 1)2 = 16
38.
2
2
x y 1
16 9
2
y 5x
2
(x + 4)2 + (y – 3)2 = 25
39.
2
2
2
x y 1; x y 1
25 16
64 25
2
y 16 x
2
2
2
2
x y 1; x y 1
16 25
25 64
2
y x
(x – 3)2 + (y – 3)2 = 4
(x + 3)2 + (y + 3)2 = 4
35.
2
2
2
2
x y 1; x y 1
9 16
25 36
2
y 6 x
(x – 3)2 + (y + 4)2 = 25
34.
2
2
2
2
x y 1; x y 1
16 25
4 49
2
y 2 x
(x + 1)2 + (y – 2)2 = 16
33.
Уравнения
(x – 5) + (y + 3)2 = 4
2
2
2
y
x
1;
49 25
40.
2
2
x y 1
36 9
2
y 3x
2
2
2
2
y
x y 1
x
1;
9 36
25 49
2
y 8 x
Задания 41–50
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1 2x
;
x 3x 2
1 cos x
в) lim
;
2
x0
5x
41. а) lim
б) lim
x 0
x
г) lim x 3 .
x x 2
1
42. а) lim x 3 ;
x 2 x 1
3
в) lim
x 0
arcsin 3 x
5x
1 x 1 x
;
3x
б) lim
x7
2 x 3
;
x7
x
;
2x 1
г) lim
.
x 2 x 1
7
3
25
43. а) lim 2 x3 x
;
x x x 2
в) lim
x0
1 cos 2 x
;
x
4
26
44. а) lim 3x 4 x
;
x 2 x x 2
в) lim 5 x ;
x0 arctg x
2
5
45. a) lim 2 x 2 6 x
;
x 5 x x 1
cos x cos 2 x
в) lim
;
x0
x2
б) lim
x1
x x
;
4
x x
2x
4 x 1
г) lim
.
x 4 x
x
;
1 3x 1
б) lim
x0
г) lim 1 2 x 1/ x .
x0
1 1 x2
;
2
x0
x
б) lim
г) lim ln( x 1) ln x .
x
4
x3
46. a) lim 54x
;
x x 12 x 1
2
ctg 2 x
в) lim x
;
x0 sin 3 x
б) lim
x0
1 3x 1 2 x
;
x x2
г) lim (2 x 1)ln( x 3) ln x .
x
4
2x
47. а) lim 5 x4 2 x2
;
x x 3x 2
1 cos 6 x
в) lim
;
x 0 1 cos 2 x
б) lim
x0
1 3 x2 1
;
3
2
x x
г) lim ( x 5)ln( x 3) ln x .
x
2
3x 1
48. а) lim 5x 2
;
x 3x x 5
2 x
tg
2;
в) lim
2
x 0 x
б) lim
x3
2x 1 5
;
x3
x
г) lim (7 6 x) 3 x 3 ;
x 1
4
22
49. а) lim 7 x 4 2 x
;
x
x 3
б) lim
x5
8
1 3x 2 x 6
;
x 2 5x
2x
1 cos 4 x
;
x0 2 xtg 2 x
г) lim (3x 5) x
в) lim
2
4
x2
5
29
50. а) lim 8 x5 3x 2
;
x 2 x 2 x 5
б) lim
x 2
;
x2
;
2x 2
2
г) lim (3 x 8) x 3 .
в) lim 5 xctg3x ;
x0
x 3
Задания 51–60
Исследовать средствами дифференциального
функцию y = f(x) и построить ее график.
x2 2x
.
x 1
x2 2x
57. y
.
x 1
2x2 6
58. y
.
x2
x2 6x 9
59. y
.
x4
2x2
.
2x 1
x2 1
52. y
.
x2
x 2 11
53. y
.
4x 3
x2
54. y
.
2( x 1)
51. y
55. y
исчисления
56. y
x2 4x 1
.
x4
60. y
x 2 3x 2
.
x3
Задания 61–70
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
y
61. Дана функция z 2
. Показать, что 1 z 1 z z2
2 5
(x y )
x x y y y
62. Дана
x2
функция
z
y2
arcsin( xy) .
3x
z
z
xy y 2 0 .
x
y
9
Показать,
что
63. Дана
функция
z ln( x 2 y 2 2 x 1) .
Показать,
что
z z
0.
x 2 y 2
2
2
64. Дана
z e xy .
Показать,
что
z
z
z
2 xy
y 2 2 2 xyz 0 .
2
xy
x
y
2
x2
функция
2
2
65. Дана функция z x / y . Показать, что x
66. Дана
2 z z
0.
xy y
z ln( x e y ) .
функция
Показать,
что
z z z z
0.
x xy y xy
2
2
z xy .
Показать,
что
z xe y / x .
Показать,
что
67. Дана
функция
2
z
z
y
(1 y ln x) .
xy
x
68. Дана
функция
2
2
z
z
2z
x 2 2 2 xy
y2 2 0 .
xy
x
y
2
2z
2 z
a
.
y 2
x 2
Показать, что
69. Дана функция z sin( x ay) . Показать, что
70. Дана
( x y)
функция
z cos y ( y x) sin y .
z z
.
xy y
2
Задания 71–80
Даны функция z = (x; y), точка А( x0 ; y0 ) и вектор ā. Найти:
1) grad z в точке А;
2) производную в точке А по направлению вектора ā.
71. z x 2 xy y 2 ; A (1; 1), ā = 2i – j.
72. z 2 x 2 3xy y 2 ; A (2; 1), ā = 3i – 4j.
10
73. z ln( x 2 3 y 2 ); A (1; 1), ā = 3i + 2j.
74. z ln( 5 x 2 4 y 2 ); A (1; 1), ā = 2i – j.
75. z 5 x 2 6 xy; A (2; 1), ā = i + 2j.
76. z arctg( xy 2 ); A (2; 3), ā = 4i – 3j.
77. z arcsin(
x2
); A (1; 2), ā = 5i – 12j.
y
78. z ln( 3x 2 4 y 2 ) ; A (1; 3), ā = 2i – j .
79. z 3x 4 2 x 2 y 3 ; A (-1; 2). ā = 4i – 3j.
80. z 3x 2 y 2 5 y 2 x; A (1; 1), ā = 2i + j.
Вариант
Вариант
Задания 81–90
Найти параметры линейной зависимости методом наименьших квадратов.
Линейная зависимость
xi
1,0
1,5
2,0
9,0
3,2
81.
Линейная зависимость
xi
2,1
2,3
3,1
3,8
4,5
yi
-9,3 -7,2 -13,4
xi
1,1
2,1
3,4
4,3
4,9
yi
-0,8
1,2
3,8
5,4
6,7
xi
10,1 11,5
13,6
16,2
17,5
yi
0,9
0,8
0,6
0,3
0,2
xi
0,1
0,3
0,5
1,2
2,1
yi
1,0
1,1
1,2
1,4
1,6
xi
3,2
4,1
5,3
6,7
7,3
yi
1,6
1,4
1,1
0,9
0,7
86.
yi
8,1
9,0
11,2
13,8
14,7
xi
0,3
0,5
0,8
1,1
2,3
82.
-16,1 -18,9
87.
yi
1,4
0,7
-0,9
-2,3
-8,8
xi
0,5
0,8
1,2
1,3
4,0
83.
88.
yi
6,3
7,0
9,0
9,3
16,8
xi
1,2
1,7
3,3
4,1
4,3
84.
89.
yi
-3,1 -5,6 -17,1 -23,1 -24,8
xi
0,7
0,9
1,3
1,6
2,3
85.
90.
yi
7,0
8,0
9,0
10,0
12,0
11
Контрольная работа № 2
Задание 1
1. Найти неопределенный интеграл (табл. 1).
2. Вычислить определенный интеграл (табл. 2).
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (табл. 3).
Таблица 1
Вариант
1.
Интеграл
а)
б)
2.
3.
4
6.
5
sin x cos x dx
a)
a)
б)
5.
arctg x dx
1 x2
arcsin x 1
1 x2
а)
а)
7.
б)
a)
dx
8.
e x dx
3 e2 x
dx
2
sin x 4 ctg x
2x 2 41x 91
dx
(x 1)( x 3)( x 4)
dx
2
cos x
4
tg x
( x 1)dx
4x 3 x
3
2
4
cos x sin x dx
Интеграл
б) sin 5 x sin x dx
arctg 2 x dx
а)
1 x2
3
4
б) sin x cos x dx
б)
4.
Вариант
б)
dx
(arcsin 2 x) 1 x 2
sin x cos 3 x dx
б)
x3 x 1
dx
x ( x 2 1)
9.
arccos2 x dx
1 x2
б) cos 3 x cos x dx
а)
a)
10.
б)
12
tg x dx
cos x
a)
cos x dx
2 cos 2 x
2
ln x dx
Таблица 2
Вариант
Интеграл
Вариант
2 x
x e dx
6.
Интеграл
1
1.
1
arcsin x dx
0
0
1
e
2.
2
x ln x dx
arctg x dx
7.
1
0
1
1
x
xe dx
3.
x
xe dx
8.
0
0
2
4.
2 x
x e dx
e
2
ln x dx
10.
1
e x dx
0
1 ex
9.
0
5.
1
П
2
2
3
sin x cos x dx
0
Таблица 3
Вариант
Уравнения линий
Вариант
Уравнения линий
1.
y e x , y e x , х = 1
6.
y x2 4x , y x 4
2.
y x2 , y
x3
3
7.
y 2 4x , x2 4 y
3.
y x2 , y x
8.
y x 2 , y x5
4.
y 2 2x 1 , x y 1 0
9.
y x2 , y x
5.
y x2 1 , y x 1
10.
y x 1 , y x2 2x 1
Задание 2
1. В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект
(табл. 4). Какова вероятность того, что из взятых наугад m изделий
k изделий являются дефектными?
2. В магазине выставлены для продажи n изделий, среди которых k изделий некачественные (табл. 5). Какова вероятность того, что взятые случайным образом m изделий будут некачественными?
3. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: n1 с первого завода, n2 со
13
второго, n3 с третьего (табл. 6). Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе – p1, на втором – p2, на третьем
– p3. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?
4. Дано распределение дискретной случайной величины Х
(табл. 7). Найти математическое ожидание и среднее квадратичное
отклонение.
5. В городе имеются N оптовых баз (табл. 8). Вероятность того, что товар требуемого сорта отсутствует на этих базах одинакова и равна p. Составить закон распределения числа баз, на которых
искомый товар отсутствует в данный момент.
6. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно M(X), среднее
квадратичное отклонение σ(X) (табл. 9). Найти вероятность того,
что в результате испытания случайная величина примет значение в
интервале (a, b).
Таблица 4
Вариант
1.
2.
3.
4.
5.
N
20
30
20
25
15
n
4
5
5
6
4
m
5
5
4
5
3
Вариант
6.
7.
8.
9.
10.
k
2
3
2
3
2
N
20
30
16
18
12
n
6
4
4
6
5
m
4
3
3
5
4
k
1
2
2
3
2
Таблица 5
Вариант
1.
2.
3.
4.
5.
n
20
18
16
14
12
k
6
8
6
5
4
Вариант
6.
7.
8.
9.
10.
m
2
3
2
3
3
n
10
18
22
24
26
k
4
6
8
10
6
m
2
3
2
3
2
Таблица 6
Вариант n1
1.
25
p1
0,9
n2
35
p2
0,8
n3
40
p3 Вариант n1
0,7
6.
40
p1
0,8
n2
30
p2
0,8
n3
30
p3
0,9
2.
15
0,8
25
0,7
10
0,7
7.
20
0,8
50
0,9
30
0,8
3.
40
0,9
35
0,7
25
0,9
8.
35
0,7
35
0,8
30
0,9
4.
25
0,7
10
0,9
15
0,8
9.
15
0,9
45
0,8
40
0,8
5.
10
0,9
20
0,8
20
0,6
10.
40
0,8
15
0,7
45
0,8
14
Таблица 7
Вариант
Вариант
Числовые данные
xi
-5
2
3
4
1.
Числовые данные
xi
-2
1
3
5
pi
0,1 0,3 0,4 0,2
xi
-3
pi
0,3 0,4 0,1 0,2
6.
pi
0,4 0,3 0,1
xi
0,2
0,2 0,5 0,6 0,8
2.
2
3
5
7.
pi
0,1 0,5 0,2 0,2
xi
-6
-2
1
4
3.
xi
2
3
10
pi
0,1 0,4 0,5
8.
pi
0,1 0,3 0,4 0,2
xi
0,2 0,5 0,6
4.
xi
-4
-1
2
3
pi
0,3 0,1 0,4 0,2
xi
-3
pi
0,2 0,4 0,1 0,3
9.
pi
0,5 0,4 0,1
xi
-8
-2
1
3
5.
2
3
5
10.
pi
0,1 0,3 0,4 0,2
Таблица 8
Вариант
1.
2.
3.
4.
5.
N
3
4
3
2
4
Вариант
6.
7.
8.
9.
10.
p
0,25
0,25
0,1
0,2
0,1
N
3
4
3
3
2
p
0,2
0,3
0,15
0,12
0,3
Таблица 9
Вариант
1.
2.
3.
4.
5.
M(X)
10
12
14
16
18
σ(X)
1
2
3
2
1
a
8
8
10
15
16
Вариант
6.
7.
8.
9.
10.
b
14
14
15
18
21
M(X)
20
24
26
28
30
σ(X)
2
1
3
2
1
a
17
20
23
24
27
b
22
26
27
30
32
Задание 3
1. Рассчитать и построить гистограмму относительно частот
по сгруппированным данным (табл. 10), где mi − частота попадания вариант в промежуток (xi, xi+1].
2. Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании
данного распределения выборки (табл. 11).
15
3. Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение
a0 является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5 %-м уровне значимости для двусторонней критической области, если в результате обработки выборки объема n = 10 получено выборочное средние х , а выборочное средние квадратичное отклонение равно S1 (табл. 12).
4. При уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин Х и Y на основе выборочных данных (табл. 13) при альтернативной гипотезе H1 : 2x 2y .
5. Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на X
на основании корреляционной таблицы (табл. 14).
Таблица 10
Вариант
1.
2.
3.
4.
5.
i
xi < X < xi+1
mi
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2–4
4–6
6–8
8–10
10–12
3–7
7–11
11–15
15–19
19–23
-6–(-2)
-2–2
2–6
6–10
10–14
4–8
8–12
12–16
16–20
20–24
5
8
16
12
9
4
6
9
10
11
2
8
14
6
10
5
7
10
12
6
1
2
3
4
5
7–9
9–11
11–13
13–15
15–17
6
5
9
12
11
Вариант
6.
7.
8.
9.
10.
16
i
xi < X < xi+1
mi
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5–8
8–11
11–14
14–17
17–20
4–6
6–8
8–10
10–12
12–14
1–5
5–9
9–13
13–17
17–21
10–14
14–18
18–22
22–26
26–30
5
7
4
1
3
3
9
7
22
9
4
5
9
10
2
3
16
8
7
6
1
2
3
4
5
20–22
22–24
24–26
26–28
28–30
4
6
10
4
6
Таблица 11
Вариант
1.
2.
3.
4.
Распределение
xi
-6
ni
12 14 16 8
-5
6
xi
-10
ni
25 44 16 15
xi
4
ni
31 14
8
6.
-1 4
7.
16 24
28
430 450 500
ni
20
18
8.
27
xi
xi
5.
-2 3
Вариант
9.
12
0,01 0,04 0,08 0,14
ni
19
28
31
10.
22
Распределение
xi
2
6
8
9
ni
20 13 12 5
xi
10
14
16
22
ni
13
24
14
9
xi
3
6
8
14
ni
8 14 10 18
xi
0,2 0,3 0,5 0,6
ni
16
11
10
13
xi
3150
3170
3200
ni
14
6
20
Таблица 12
Вариант
a0
х
S1
Вариант
a0
х
S1
1.
10
12
1
6.
60
64
6
2.
20
22
4
7.
70
66
8
3.
20
18
2
8.
70
72
5
4.
40
44
3
9.
50
48
2
5.
58
56
4
10.
30
34
4
Таблица 13
Вариант
1.
X
Y
xi
ni
yi
mi
142
145
146
148
3
1
2
4
140
146
147
151
5
3
2
2
Вариант
6.
17
X
Y
xi
ni
yi
mi
6,1
6,5
6,6
7,0
7,4
2
3
1
4
2
5,8
6,0
6,2
6,3
6,8
6
4
5
2
3
Окончание табл. 13
Вариант
X
Y
xi
ni
yi
mi
2.
37
38
40
41
42
2
1
4
3
6
38
39
40
41
43
4
3
2
2
3
3.
39
43
45
47
51
4
2
3
4
2
75
80
84
91
94
4
2
3
4
2
4.
3.5
3.7
3.9
4.0
4.1
1
3
5
4
4
3.6
3.7
3.8
4.4
4.2
3
5
2
1
4
5.
9
10
11
12
14
4
5
3
2
1
9
10
11
13
14
5
6
4
8
3
Вариант
X
Y
xi
ni
yi
mi
7.
20
22
23
24
26
3
4
2
2
4
18
19
20
22
23
6
3
4
2
5
8.
0,2
0,4
0,8
1,0
1,2
6
4
2
5
3
0,4
0,5
0,9
1,2
1,4
3
5
6
6
6
9.
31
33
34
38
42
6
2
1
3
2
85
88
95
97
100
1
3
4
2
5
10.
15
17
20
21
25
1
3
2
4
6
20
22
23
25
26
4
2
2
3
1
1.
Вариант
Вариант
Таблица 14
Корреляционная таблица
X
Y
15
25
35
45
55
10 15
6 4
6
20
25
30
35
21
4
2
12
1
5
6
5
6.
8
18
Корреляционная таблица
X
Y
15
25
35
45
55
10 15 20
6
4
6
8
25
20
5
30 35
2
12
1
5
6
5
2.
3.
4.
Вариант
Вариант
Окончание табл. 14
Корреляционная таблица
X
Y
20 25 30 35 40
10
4 8
20 2
4
2
30
10 8
40
4
10 4
X
Y
5 10 15 20 25 30
30
6
4
2
40 4
5
7 1
50
4 3 5
60 5 3
10 2
70
4 10 4 2
X
Y
15 20 25 30 35
100 2 1
7
120 4
2
140
5
10 5
160
3 1 2
X
Y
20
105
5. 115 2
125
135 3
145 1
25 30
4
1
4 2
2 10
3
35
2
3
1
8
45
4
7.
35
5
8.
6
8
40
3
2
3
40 45
1
8 5
3
3 2
2
9.
10.
19
Корреляционная таблица
X
Y
5 10 15 20 25 30
14 4 6
8
4
24
8 10
6
34
32
44
4 12 6
X
Y
12 17 22 27 32 37
105
4
3
115
2 3 1
10
125
3
5 1
4
135
8 2
1
145
1 2
X
Y
10 15 20 25 30 35
14
4 2 1
24
2 1
3 8 5
34
4 2 1
3
44
3 2 10
3 2
54
1 3
9
1
X
Y
10 15 20 25 30 35
20
1 5
7
4
40
2
4
6 5
60
3 5 4 6
80
10
2 3
5
100
2 4
4 8 10
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определители матриц второго и третьего порядка
Определителем матрицы второго порядка называется число
a11 a12
a11a22 a21a12 .
a21 a22
Определителем матрицы третьего порядка называется
число
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a31a12a23 a21a32a13 a13a22a31 a21a12a33
a31 a23 a33
a32a23a11.
Правая часть формулы представляет собой алгебраическую
сумму шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов, расположенных в разных строках и разных
столбцах матрицы. Соединив линией элементы каждого произведения, получим две легко запоминающиеся схемы, которые позволяют определить знаки слагаемых и элементы, входящие в них
сомножителями:
«+»
«-»
.
Пример
Вычислить определитель матрицы
1 2 3
4 5 6.
7 8 9
Решение
Используя приведенные выше схемы, получаем
1 2 3
4 5 6 =159 + 267 + 483 - 753 - 429 - 861 = 0.
7 8 9
20
Разложение определителя матрицы по элементам строки и
столбца
Минором M ij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, который получается в результате вычеркивания в определители n-го порядка строки и столбца,
содержащих элемент aij .
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется
его минор, умноженный на (1) i j :
Aij (1)i j M ij .
Пример
Вычислить определитель, раскладывая его по элементам
тьего столбца:
2 2 0 1
2 1 3 4
1 1 0 2
5 2 1 0
Решение
2 2 0 1
2 1 3 4 a A a A a A a A
13 13
23 23
33 33
43 43
1 1 0 2
5 2 1 0
2 1 4
2 2 1
2 2
(1)13 0 1 1 2 (1) 23 3 1 1 2 (1) 33 0 2 1
5 2 0
4 2 0
5 2
2 2 1
(1)
43
1 2 1 4 3 9 1 (3) 24.
1 1 2
21
тре-
1
4
0
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Формулы Крамера
Система n-линейных уравнений с n-неизвестными, в которой
число уравнений равно числу неизвестных, имеет вид:
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
a21x1 a22 x2 a2 n xn b2 ,
(1)
an1 x1 an 2 x2 ann xn bn .
Теорема
Если определитель матрицы системы (1) не равен 0, то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:
x1 1 , x2 2 , , xn n ,
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
где
− определитель матрицы системы;
an1 an 2 ann
k – определитель, получаемый из определителя Δ заменой kго столбца столбцом свободных членов.
Пример
Решить систему уравнений
2 x1 x2 x3 5,
3x1 3x2 2 x3 8,
x1 x2 x3 6.
Решение
Вычислим определитель матрицы системы уравнений:
+ 3 2 0
2 1 1
3 3 2
5 5 0 (1)3 3 3 2 3 5 2 5 5 0 .
5 5
1 1 1 2
1 1 1
Следовательно, система имеет единственное решение, которое
можно найти с помощью формул Крамера.
22
Вычислим определители:
5 1 1
1 8 3 2
6 1 1
2 5 1
2 3 8 2
1 6 1
2 1 5
3 3 3 8
1 1 6
+
2
11 2 0
20 5 0 (1) 33 11 2 5 11 2 20 15 ,
20 5
6 1 1
+
2
(-1)
(-3)
3 11 0
5 20 0 (1) 33 3 11 3 20 5 11 5 .
5 20
1 6 1
2 1 5
37
3 0 7 (1)12
1 1
1 0 1
(3 1 (7) (1)) 10 .
По формулам Крамера находим:
1 15
3,
5
2 5
x2
1,
5
10
x3 3 2.
5
x1
23
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
Прямая на плоскости
Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 ) и пер-
пендикулярной вектору n a, b , получают на основе использоy
n a, b
M(x,y)
M0(x0,y0)
x
0
вания скалярного произведения двух векторов.
Рис. 1. Прямая, проходящая через точку М0 и перпендикулярная вектору
n a, b
Пусть М(х, у) – произвольная точка прямой (рис 1). Тогда
M 0 M n и по условию перпендикулярности векторов
a ( x x0 ) b ( y y0 ) 0 .
(2)
Если в уравнении (2) раскрыть скобки, то получится общее
уравнение прямой
ax + by + c = 0,
(3)
где с = ax0 by 0 .
Вектор n a, b называется нормальным вектором прямой,
заданной уравнением (2) или (3).
Если b 0 , то из общего уравнения прямой ax + by + c = 0
следует
a
c
y = x , или y kx ,
(4)
b
b
где k = -a/b и β = -с/b.
Уравнение (4) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
24
Параметр k равен тангенсу угла α наклона прямой к оси Ох (k
= tg α) и называется угловым коэффициентом. Параметр β − ордината точки пересечения прямой с осью Оу.
Если b ≠ 0, то из уравнения (2) получается уравнение пучка
прямых, проходящих через данную точку M 0 (x 0 , y 0 ) :
y y0 k ( x x0 ), где k = -a/b.
Если даны две точки M1 (x1 , y1 ) и M 2 (x 2 , y 2 ) , лежащие на прямой , то
k = ( y2 y1 ) /(x 2 x1 )
и уравнение принимает вид:
y y1
x x1
.
y 2 y1 x 2 x1
Если прямая проходит через две точки М(а, 0) и N(0, b), лежащие на осях координат, то ее уравнение
x y
1
a b
называется уравнением прямой в отрезках на осях.
Угол , отсчитываемый против часовой стрелки от прямой 1
(рис. 2), заданной уравнением
2
y = k1x + 1 , до прямой 2 ,
заданной уравнением y = k2x +
φ
1
+ 2 , определяется формулой
k k
Рис. 2. Взаимное расположение
tg 2 1 .
прямых на плоскости
1 k1k 2
Кроме того, для вычисления углов между прямыми (рис. 2), заданными уравнениями a1x +
b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0, справедлива формула
cos 1, 2
n1 n2
,
n1 n2
где n1 a1 ,b1 и n2 a2 , b2 .
Условие параллельности прямых имеет вид:
k1 = k2 или a1/a2 = b1/b2.
25
Условие перпендикулярности прямых выражается в виде
k2 = -1/k2, или a1/a2 + b1/b2 = 0.
Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых
a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0, нужно решить систему
уравнений
a1 x b1 y c1 0;
a x b y c 0.
2
2
2
Расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 ) до прямой ax + by + c = 0
находится по формуле
ax by0 c
.
d 0
a 2 b2
Плоскость
Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )
и
перпендикулярной
вектору
N a, b, c получается на основе
α
N
использования скалярного произведения двух векторов. Пусть M(x, y, z)
– произвольная точка плоскости α
M
(рис. 3).
Тогда M 0 M N и по условию
M0
перпендикулярности векторов получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М0 и
Рис. 3. Плоскость, проходящая
через точку M0
перпендикулярной вектору N :
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0.
(5)
После раскрытия скобок в уравнении (5) получается уравнение
ax + by + cz + d = 0,
(6)
где d = − ax0 – by0 – cz0.
Уравнение (6) называется общим уравнением плоскости в
пространстве.
Вектор N ={a, b, c} называется нормальным вектором плоскости, заданной уравнениями (5) или (6).
Если плоскость проходит через три точки М(а, 0, 0), N(0, b, 0) и
P(0, 0, c), лежащие на осях координат, то ее уравнение имеет вид:
26
x y z
(7)
1.
a b c
Уравнение (7) называется уравнением плоскости в отрезках
на осях.
Угол, образованный двумя плоскостями, находятся по формуле:
N N
a1a2 b1b2 с1с2
cos 1 2
,
2
N1 N 2
a1 b12 c12 a22 b22 c22
где N1 − нормальный вектор плоскости a1x + b1y + c1z + d1 = 0,
N 2 − нормальный вектор плоскости a2x + b2y + c2z + d2 = 0.
Условие параллельности плоскостей имеет вид:
a1 b1 c1
.
a2 b2 c2
Условием перпендикулярности плоскостей является равенство
a1a2 b1b2 c1c2 0 .
Расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) до плоскости ax + by + cz +
+ d = 0 определяется по формуле:
ax by0 cz0 d
d 0
.
N
Пример
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М(5; 5; 0) и перпендикулярной вектору N = (4; 3; 2).
Решение
Используя уравнение (5), получаем
4(x - 5) + 3(y - 5) + 2(z - 0) = 0.
Тогда 4x + 3y + 2z – 35 = 0 − искомое уравнение плоскости,
проходящей через точку М(5; 5; 0) и перпендикулярной вектору
N = (4; 3; 2).
Прямая в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана двумя пересекающимися плоскостями (рис. 4), уравнения которых
a1x + b1y + c1z + d1 = 0 и
a2x + b2y + c2z + d2 = 0.
27
Тогда уравнение прямой будет иметь вид:
a1 x b1 y c1 z d1 0
ℓ
a x b y c z d 0
2
2
2
2
(8)
Уравнение (8) называют
общим уравнением прямой в
пространстве.
Уравнение прямой ℓ, проходящей
через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 )
Рис. 4. Прямая в пространстве
и параллельной вектору
R {m, n, p} , получают на основе условия коллинеарности двух
векторов M 0 M и R :
x x0 y y 0 z z 0
.
(9)
m
n
p
Уравнение (9) называют каноническим уравнением прямой.
Вектор R {m, n, p} называется направляющим вектором
прямой.
Уравнение прямой, проходящей через точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и
M 2 ( x2 , y2 , z 2 ) , записывается в виде
x x1
y y1
z z1
.
(10)
x2 x1 y2 y1 z2 z1
Параметрическое уравнение прямой получают, если каждое из
отношений (9) приравнять к параметру t:
x mt x0 ,
y nt y0 ,
z pt z0 .
Угол между двумя прямыми с направляющими векторами
R1 {m1 , n1 , p1} и R2 {m2 , n2 , p2 } определяется по формуле
m1m2 n1n2 p1 p2
cos
.
2
m12 n12 p 1 m22 n22 p22
Условие параллельности двух прямых записывается в виде
28
m1 n1
p
1.
m2 n2 p2
Условие перпендикулярности двух прямых записывается так:
m1m2 n1n2 p1 p2 0 .
Пример
Написать уравнение прямой, проходящей через точки
М1 (-1, 2, 3) и М2(2, 6, -2).
Решение
Используем уравнение (10):
x 1 y 2
z 3
,
2 1 6 2 3 3
или
x 1 y 2 z 3
− искомое уравнение прямой, проходя
3
4
5
щей через точки М1(-1, 2, 3) и М2(2, 6, -2).
Прямая и плоскость в пространстве
x x0 y y 0 z z 0
Угол между прямой
m
n
p
ax + by + cz + d = 0 определяется выражением
N R
am bn cp
sin
.
N R
m 2 n 2 p 2 a2 b2 c2
и плоскостью
Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:
a m + b n + c p = 0.
Условием перпендикулярности прямой и плоскости являются
равенства
a b c
.
m n p
Пример
Найти проекцию точки М(3, 1, -1) на плоскость α:
x + 2y + 3z - 30 = 0.
Решение
Нужно найти координаты точки М0, которая является основанием перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость α.
29
Составим
параметрическое уравнение прямой ℓ (по
условию прямая ℓ перпендикулярна плоскости α).
Для
этого
возьмем
M
α
M0
R N {1, 2, 3} и использу-
Рис. 5. Проекция точки М на
плоскость α
ем координаты точки М.
Получаем x = t + 3, y = 2t + 1, z = 3t – 1.
Решая систему
x 2 y 3z 30 0.
x t 3,
y 2t 1,
z 3t 1,
получаем t + 3 + 4t + 2 + 9t – 3 – 30 = 0, 14t = 28, t = 2.
Тогда x = 2 + 3 = 5, y = 2 2 + 1 = 5, z = 3 2 – 1 = 5.
Значит М0(5, 5, 5) − искомая проекция точки М(3, 1, -1) на плоскость α.
30
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Уравнение второй степени относительно двух переменных
Ax2+ Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 при различных значениях постоянных коэффициентов A, B, C описывает четыре вида линий на
плоскости: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Это уравнение называется общим уравнением кривых второго порядка.
Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки О(x0, y0), называемой центром
окружности (центра), на расстояние R. Число R > 0 называется радиусом окружности.
Нормальное
уравнение
окружности:
(x – x0)2 + (y – y0)2 = R2,
где x0, y0 – координаты центра
окружности,
R–
радиус
окружности.
После раскрытия скобок в
этом
уравнении получается
Рис. 6. Окружность
общее уравнение окружности:
x 2 y 2 Dx Ey F 0,
где D 2x0 ,
E 2 y0 ,
F x02 y02 R 2 .
Пример
Написать уравнение окружности радиуса R = 7 и с центром в
точке О(3, -5).
Решение
После подстановки значений х0 = 3, y0 = -5 и R = 7, получим
( x 3) 2 ( y (5))2 7 2 ,
( x 3) 2 ( y 5) 2 49 − искомое уравнение окружности.
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами,
31
есть постоянная величина 2а большая, чем расстояние между фокусами 2с.
Каноническое
уравнение
эллипса:
x2
y2
1,
a2
b2
где b2 a 2 c2 , если а > b и фокусы находятся на оси Ох.
Рис. 7. Эллипс
Параметры a и b называются полуосями эллипса.
Отношение с/а = 1 называется эксцентриситетом эллипса.
Пример
Определить вид кривой x 2 2 y 2 2 x 3 y 0 .
Решение
Дополним члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов:
3
9
9
y ) 1 0 .
2
16
8
3 2 17
2
( x 1) 2( y ) .
4
8
( x 2 2 x 1) 2( y 2
Отсюда
Разделив обе части уравнения на
( x 1) 2
17
8
17
, получим
8
3
( y )2
4 1 − уравнение эллипса с центром в точке О(1, -3/4).
17
16
Гипербола
Гиперболой называется
геометрическое место точек,
разность расстояний от которых до двух данных точек
(фокусов) есть постоянная
величина 2а, причем 2а < 2c,
где 2с – расстояние между
фокусами.
Рис. 8. Гипербола
32
Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, имеет вид:
x2 y2
где b 2 c 2 a 2 .
1,
a 2 b2
Параметр а называется вещественной полуосью гиперболы и
представляет собой расстояние от начала координат до вершины
гиперболы, параметр b называется мнимой полуосью.
Эксцентриситетом
гиперболы
называется
величина
c / a 1.
b
Прямые, заданные уравнениями y x , являются асимпa
тотами гиперболы.
Пример
Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис гиперболы 9x2 - 16y2 = 144.
Решение
Приведем данное уравнение к каноническому виду, разделив
обе части уравнения на 144:
x2 y2
1 . Отсюда следует, что a2 = 16, b2 = 9.
16
9
Следовательно, a = 4 − действительная полуось, b = 3 − мнимая
полуось.
Тогда с a 2 b2 16 9 5 .
Значит, фокусы имеют координаты F1(-5,0), F2(5,0).
c 5
Находим эксцентриситет: .
a 4
3
Уравнения асимптот имеют вид: y x ,
4
16
а уравнения директрис: x .
5
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, одинаково
удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой d (директрисы).
Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало
33
координат и симметричной относительно оси Ох, имеет вид:
y2 = 2px.
Уравнение вида x2 = 2py описывает
параболу, симметричную относительно
оси Оу.
Пример
Определить координаты фокуса и
уравнение директрисы параболы y = x2.
Решение
Если поменять ролями оси Ох и Оу,
то каноническое уравнение параболы примет вид: x2 = 2px.
Сравнивая это уравнение с заданным, получим 2p = 1, отсюда
p = 1/2.
Следовательно, фокус параболы имеет координаты (0, 1/4),
а уравнение директрисы есть y = -1/4.
Рис. 9. Парабола
34
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Определение предела функции
Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке Х.
Число А называется пределом функции f(x) в точке х = х0, если
для любого числа 0 существует число 0 такое, что для всех
х Х, x x0 и удовлетворяющих неравенству x x0 , выполняется неравенство f ( x) A .
Свойства пределов
1. Предел постоянной равен этой постоянной
lim A A , если A = const.
x x0
2. Постоянную можно вынести за знак предела.
lim с y c lim y , если c = const.
x x0
x x0
3. Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х0 пределы В и С.
f ( x)
Тогда функции f(x) g(x), f(x)·g(x), и
(при с 0) имеют в
g ( x)
точке х0 пределы, равные соответственно В + С, ВС, В/С.
Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины
Если предел функции равен нулю ( lim y 0 ), то она называx x0
ется бесконечно малой величиной.
Если предел функции равен бесконечности ( lim y ), то
x x0
есть величине, обратной к бесконечно малой величине, то она
называется бесконечно большой величиной.
1
Следовательно, выполняются равенства: 0 и 1 .
0
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
Предел отношений sin x бесконечно малой величины x к самой
этой величине равен 1.
sin x
lim
1.
x0 x
Свойства:
1) lim sin ax a ;
x0
bx
b
2) lim x 0 tg ax a ;
bx
35
b
3) lim sin ax a .
x0
sin bx
b
Второй замечательный предел
1
1
(1 ) x e,
lim
x 0
x
lim (1 x) x e,
x0
где е – число иррациональное, e ≈ 2,71828.
Методы нахождения пределов функции
1. Простая подстановка значения аргумента (см. примеры 1–3).
Если при простой подстановке получаются неопределенности
0
типа или , то используются следующие способы.
0
2. Числитель и знаменатель делятся на х с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя (см. пример 4).
3. Дробь раскладывается на множители, согласно правилам
сокращенного умножения (см. пример 5).
4. Используются замечательные пределы (см. примеры 6 и 7).
Примеры
1. lim ( x 3 x 2 1) 1 1 1 1 .
x1
3
3
3
.
x3 2 x 6
2 3 6 0
2
2
2
0.
lim
x 3x 6
3 6
1 6
10 2
2
10 x x 6
x x 10 .
lim
lim
2
3
x
x
3x x
1
x
x 2 7 x 10
( x 5)( x 2)
1
lim
1 .
lim 2
x3 x 9 x 20
x3 ( x 5)( x 4)
1
sin 3x
sin 3x
3
lim x .
lim
sin
5
x
x0 sin 5 x
x0
5
x
2. lim
3.
4.
5.
6.
7. lim (1
x0
3
5
4 x) x
(lim (1
x0
1 34
4
4 x) x ) 5
36
12
e5
.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Правила дифференцирования. Вычисление производных
Производной функции y = f(x) в точке х0 (обозначается y'(x0)
или f'(x0)) называется предел отношения приращения функции в
этой точке y f (x 0 x) f (x 0 ) к приращению аргумента x при
x 0 , если этот предел существует:
y'(x0) = lim
x 0
f ( x 0 x ) f ( x 0 )
.
x
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Таблица основных производных
1
1)
(C)' = 0
7) (tg x)' =
cos 2 x
1
2)
(xn)' = n·xn-1
8) (ctg x)' =
sin 2 x
3)
(sin x)' = cos x
4)
(cos x)' = -sin x
5)
(ax)' = ax ln a;
(ex)' = ex
6) (arctg x)' =
9) (arcsin x)' =
1
1 x2
10) (arcos x)' =
1
1 x2
log a e
1
;
x
х ln a
1
(ln x) ' =
x
11) (loga x)' =
1
1 x2
12) y = arcctg x, y’ = −
1
1 x2
Правила дифференцирования:
1. (u + v − w)' = u' + v' − w'.
2. (u · v)' = u' v + u v'.
u u 'v u v'
3.
,
( v 0 ).
v2
v
4. Если функция u (x) дифференцируема в точке x 0 , а
37
функция y = f(u) дифференцируема в точке u 0 (x 0 ) , то сложная
функция y = f( (x)) дифференцируема в точке x 0 , при этом
y' (x 0 ) y'u (u 0 )u'x (x 0 ) .
Пример
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производные функции:
5
x2
a) y 5 7 x 2
3x log 2 x cos x ctg x ;
x 2 x
b) y x 2 ln x ;
c) y log 32 (5 x 3) .
Решение
а)
y (5 7 x 2
1
(5)' (7 x 2 )'(5 x 2 )'
5
x2
3x log 2 x cos x ctg x)
x 2 x
( x 2 )' (2 x) (2 x)' x 2
(3x )'(log 2 x)'
(2 x) 2
1 1 2 x(2 x) (1) x 2
(cos x)' (ctg x)' 0 7 2 x 5( ) x 2
2
( 2 x) 2
1
3 x ln 3
1
1
5
4x x2
sin x
14
x
3x ln x
2
2
x ln 2
sin x
2 x x (2 x)
1
1
sin x
.
x ln 2
sin 2 x
b)
y' ( x 2 ln x)' ( x 2 )' ln x x 2 (ln x)'
=
2 x ln x x 2
1
x
=
2 x ln x x = x (ln x 2 1) x ln( e x 2 ) .
c) Данная функция является сложной функцией y = u3(v), где
u = log2(5x − 3) и v = 5x – 3.
В соответствии с правилом дифференцирования сложной
функции,
15 log 22 (5 x 3)
1
y' 3u 2 u v 3 log 22 (5 x 3)
5
.
(5 x 3) ln 2
(5 x 3) ln 2
38
Исследование функций и построение графиков
Схема исследования функции y = f(x) и построения ее графика:
1. Определить область существования функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
3. Найти координаты точек пересечения графика функции с
осями координат.
4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются, найти асимптоты кривой.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее
экстремумы.
6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз,
определить точки перегиба.
7. Построить график функции.
Пример
Построить график функции y =
x3
2( x 1) 2
.
Решение
1. Область существования функции
D(f) = x | x (; 1) (1, ).
2. Функция не является четной или нечетной.
3. Точки пересечения с осями координат:
Если х = 0, то у = 0; если у = 0, то х = 0, т. е кривая пересекает
ось 0х и ось 0у в начале координат.
4. Точка разрыва х = -1. Исследуем характер разрыва:
x3
x3
.
,
lim
lim
2
2
x 10 2( x 1)
x 1 0 2( x 1)
Таким образом, разрыв II рода.
Значит, х = -1 – вертикальная асимптота.
Найдем горизонтальные асимптоты графика функции:
x3
x3
.
,
lim
lim
2
2
x 2( x 1)
x 2( x 1)
Значит, горизонтальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты графика функции y kx b :
39
f ( x)
x3
x3
1
1
lim
lim
.
lim
2
1
1
x x
x 2 x( x 1)
x
x
2 x 3 (1 ) 2
2(1 ) 2 2
x
x
1
1
.
Заметим сразу, что lim
1 2 2
x
2(1 )
x
3
x
x
x3 x3 2x 2 x
=
b lim ( f ( x) kx) lim
lim
2
x
x 2(1 x)
2 x
2( x 1) 2
2x2 x
= lim
1 .
2
x 2 x 4 x 2
Таким образом, график имеет наклонную асимптоту
1
y = x 1.
2
5. Вычислим первую производную и исследуем ее знаки:
1 x 3 1 x 2 ( x 3)
y '
.
2 ( x 1) 2 2 ( x 1) 3
Покажем изменение знака производной на числовой прямой:
k = lim
+
+
+
-3
−
-1
0
х
y ' 0 для x (, 3) (1, 0) (0, ) − функция возрастает.
y ' 0 для x (3, 1) − функция убывает.
В точках х = -3 и х = 0 производная у' = 0, но в окрестности
точки х = -3 она меняет знак, поэтому в точке х = -3 функция имеет
экстремум (максимум), в окрестности точки х = 0 производная у'
не изменяет знака, следовательно, точка х = 0 не является точкой
экстремума функции.
(3) 3
27
y max y (3)
− максимум функции.
2
8
2(3 1)
40
В точке х = -1 не существует производная функции y' и не существует и сама функция, поэтому х = -1 не является критической
точкой.
1 (3x 2 6 x)( x 1) 3 3( x 3 3 x 2 )( x 1) 2
3x
6. y ' '
.
6
2
( x 1)
( x 1) 4
Покажем изменение знака второй производной на числовой
прямой:
+
−
−
х
0
-1
y' ' 0 для x (, 1) (1, 0) − функция выпукла вверх,
y' ' 0 для x (0, ) − функция вогнута.
В точке х = 0: y'' = 0 и в окрестности этой точки вторая производная изменяет знак, в точке х = 0 функция имеет точку перегиба.
7. Результаты этих исследований наносим на график (рис. 10).
2
1
5 4
3 2
1
0
1
1
2
3
4
5
Рис. 10. График функции
41
2
3
4
5
ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Область определения, способы задания, линии и поверхности уровня
Если любой упорядоченной паре чисел (х, у) из некоторого
числового множества D = {(x, y)} поставлено в соответствие согласно некоторому правилу f число z из множества Z, то говорят,
что на множестве D задана функция z = f(x, y). При этом переменные х и у называются независимыми переменными (или аргументами), а переменная z – зависимой переменной или функцией двух переменных. Множество D = {(x, y)} называется областью определения функции, а множество Z = {f(x, y)} – множеством значений функции.
Частные производные. Производная по направлению.
Градиент
Частные производные первого порядка
Частной производной от функции z = f(x, y) по независимой
переменной х называется конечный предел
z x z
f ( x x, y) f ( x, y)
lim
f x' ( x, y) ,
lim
x0
x0 x
x
x
вычисленный при постоянном значении у.
Частной производной по у называется конечный предел
z y z
f ( x, y y) f ( x, y)
lim
f y' ( x, y) ,
lim
y0
y0 y
y
y
вычисленный при постоянном значении х.
Для вычисления частных производных можно воспользоваться
обычными правилами и формулами дифференцирования.
Пример
y2
z
z
.
Найти
и
, если z = x2 + 3x y y
y
x
x
Решение
z
При вычислении
переменная y рассматривается как постоx
янная величина:
z
y2
2x 3 y 2 .
x
x
42
Рассмотрим теперь переменную х как постоянную величину:
z
1
2y
3x
1
.
y
x
2 y
Пример
Показать, что функция u x 2 y 2 z 2 удовлетворяет урав2
u u u
нению 1 .
x y z
Решение
Находим
u
x
(при постоянных y и z),
2
x
x y2 z2
2
u
y
u
z
y
x2 y2 z 2
z
2
(при постоянных x и z),
(при постоянных y и x).
x2 y2 z 2
Возводим эти выражения в квадрат и подставляем в левую
часть заданного уравнения:
x2
y2
z2
1.
x2 y2 z 2 x2 y2 z 2 x2 y2 z 2
Получаем тождественное равенство, т. е функция u удовлетворяет уравнению.
Градиент
Градиентом функции z = f(x, y) в точке М(х, у) называется вектор
с началом в точке М0, координаты которого равны соответствующим
z
z
частным производным
и
, вычисленным в точке М(х, у).
x y
z z
Градиент обозначается grad z = , .
x y
Аналогично определяют градиент для функции трех переменных u = f(x, y, z) в точке М(x, y, z):
43
u u u
grad u ( M ) , , .
x y z
Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции u = f(M).
Производная функции трех переменных u = f(x, y, z) в точке
М(x, y, z) по направлению вектора :
u u
u
u
cos
cos
cos ,
x
y
z
где cos , cos , cos – направляющие косинусы единичного
вектора 0 .
Пример
Найти градиент функции u = x2 + 3xy2 – z3у в точке М(-2, 3, -1).
Решение
Находим частные производные данной функции:
u
2x 3y 2 ;
x
u
6 xy z 3 ;
y
u
3 z 2 y.
z
Вычисляем значения этих производных в точке М(-2, 3, -1):
u
f x' (2; 3; 1) 2 (2) 3 32 23 ;
x M
u
f y' (2; 3; 1) 6 (2) 3 (1) 3 35 ;
y M
u
f z' (2; 3; 1) 3 (1) 2 3 9 .
z M
Окончательно получаем grad u(M) = {23; -35; -9}.
44
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Непосредственное интегрирование
Функция F(x) называется первообразной по отношению к
функции f(x), если F(x) дифференцируема и выполняется условие
F ( x) f ( x) .
Очевидно, что (F(x) + C)' = f(x), где С – любая константа.
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется
множество всех первообразных этой функции. Неопределенный
интеграл обозначается f ( x)dx F ( x) C .
Основные правила интегрирования.
1. ( f ( x)dx)' f ( x), f ' ( x)dx f ( x) C,
где С – произвольная постоянная.
2. af ( x)dx a f ( x)dx ,
где a – постоянная величина.
3. f 1( x) f 2 ( x)dx f 1( x)dx f 2 ( x)dx.
4. Если f ( x) dx F ( x) C
и x x – дифференцируемая функция,
то f ( (t ))d (t ) F ( (t )) C.
В частности, свойство линейной замены
1
f (at b)dt F (at b) C (a 0).
a
Таблица простейших интегралов.
x n1
C n 1;
1. x n dx
dx x C .
n 1
dx
2.
ln x C .
x
dx
1
x
1
x
arctg C arcсrc C a 0.
3. 2
2
a
a
a
a
a x
dx
1
ха
4. 2
ln
C a 0.
х а 2 2a х а
dx
ln x x 2 a C a 0.
5.
2
х а
45
6.
dx
arcsin
x
x
C arccos C
a
a
a2 x2
ax
C , a > 0 (a ≠ 1);
7. a x dx
ln a
8. sin xdx cos x C .
9. cos xdx sin x C .
(a > 0).
x
x
e dx e C .
dx
tg x C .
cos 2 x
dx
ctg x C .
11.
sin 2 x
10.
12. tgxdx ln cos x C .
13. ctgxdx ln sin x C .
dx
x
ln tg C .
sin x
2
dx
x
15.
ln tg ( ) C .
cos x
2 4
14.
Примеры
Найти интегралы:
1
dx .
1. 3 x 2
x
x 1
dx .
2.
x3
3. cos 3xdx .
Решение
1
dx к интегралу таблич1. Преобразуем интеграл 3 x 2
x
ного вида, используя свойства неопределенного интеграла и свойства степенных функций:
1
1
1
x 2 1
x 2
2
2
2
3
x
dx
3
x
dx
x
dx
3
C x 3 2 x C.
2 1 1 1
x
2
1
46
x 1
dx к интегралу табличного виx3
да, используя свойства неопределенного интеграла и свойства степенных функций:
2. Преобразуем интеграл
1
3
1
1
x 1
2
dx ( x 2 x 2 ) dx 2 x 2 2 x 2 C 2 x
C .
3
x
x
3. Для вычисления интеграла cos 3xdx воспользуемся свойством
линейной замены.
sin 3x
cos 3xdx
C .
3
Интегрирование методом подстановки
Положим x x . Получим dx t dt . Тогда
(11)
f ( x)dx f t t dt .
Применение формулы (11) называется интегрированием методом подстановки.
По существу, подведение под знак дифференциала есть одна
из реализаций метода замены переменной.
Пример
Найти интегралы:
2
1. x x 2 3 dx .
e x dx
2.
.
1 ex
3. 2 x 2 e x
Решение
2
2 x
dx .
2
1. Найдем интеграл x x 2 3 dx .
Сделаем замену переменной t x 2 3 , тогда dt 2 xdx . Исходный интеграл примет вид:
2
t2
1 2
2
x
x
3
dx
dt t dt .
2
2
Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция. Используя правило нахождения
неопределенного интеграла от степенной функции, найдем
47
1 2
1 1 21
1
t C t3 C .
t dt
2
2 2 1
6
Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:
1 2
2
3
2
xx 3 dx x 3 C .
6
2. Найдем интеграл
e x dx
.
1 ex
Положим 1 e x t . Отсюда e x dx dt . Следовательно,
e x dx
dt
2 t C 2 1 ex C .
x
t
1 e
x 2 x
dx .
3. Найдем интеграл 2 x 2 e
Под знаком интеграла произведение двух функций 2x 2 и
2
. Причём второй множитель e x 2 x является сложной функцией, где показательная функция – внешняя функция, а x 2 2x −
внутренняя функция. Заметим, что производная внутренней функции
x2 2x 2x 2 .
Тогда эту функцию обозначим за новую переменную
t x 2 2x .
Найдем dt x 2 2x dx 2x 2dx .
Таким образом, получаем интеграл от новой переменной t:
ex
2
2x
2 x 2 e
2
x2 2 x
dx
t x2 2x
2
e t dt e t C e x 2 x C .
dt 2 x 2dx
Интегрирование по частям
Если u x , v x − дифференцируемые функции, то
справедлива формула
u dv u v v du .
Пример
Найти интегралы:
1. x sin xdx .
2. arcsin 2 xdx .
48
3. x 3 x dx .
Решение
1. Найдем интеграл x sin xdx .
Положим u = x, sin xdx = dv. Отсюда du = dx, v = -cos x.
Следовательно,
x sin xdx x cos x cos xdx x cos x sin x C .
2. Найдем интеграл arcsin 2 xdx .
arcsin 2 xdx
u arcsin 2 x; du
dv dx;
x arcsin 2 x
vx
2
1 4x2
dx
x arcsin 2 x x
2
1 4x2
1
1 4x 2 C ,
2
t 1 4x2
dt
1 dt
dx dt 8 xdx 2
где x
2
4 t
8 t
dt
1 4x
xdx
8
1
1
2 t C
1 4x2 C .
4
2
3. Найдём интеграл x 3x dx .
2
u x;
du x' dx dx
x 3 dx dv 3 dx;
x
x
3x
3x
x
dx
ln 3 ln 3
3
ln 3
x
x
x
x 3
1 3
3
1
C
x
C.
ln 3 ln 3 ln 3
ln 3
ln 3
x
v 3x dx
49
dx
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Нахождение определенного интеграла
Определенный интеграл является мощным средством исследования в математике, физике, экономике и т. д.
Понятие определенного интеграла тесно связано с задачей о
нахождении площади криволинейной трапеции. Под криволинейной трапецией понимается фигура, ограниченная линиями: y 0 ,
x a , x b и y f x , где f x есть непрерывная положительная
функция, заданная на участке a x b (рис. 11).
Рис. 11. Криволинейная трапеция
Разобьем отрезок a, b на n частей точками деления:
a x0 , x1 , x2 , ..., xn1 , xn b . При этом x0 x1 x2 ... xn .
Положим: x1 x0 x1 , x2 x1 x2 , ..., xn xn1 xn .
В каждом из отрезков x0 , x1 , x2 , x1 , ...,xn1 , xn возьмем по
точке, которые обозначим соответственно 1 , 2 , ..., n (рис. 11):
x0 1 x1 , x1 2 x2 , ..., xn1 n xn .
Составим интегральную сумму для функции f x на отрезке
a, b :
S n f 1 x1 f 2 x2 ... f n xn f x .
n
1
50
Если существует конечный предел от интегральной суммы
lim f x I , который не зависит от выбора точек , то этот
n
x 0 1
предел называется определенным интегралом от функции f x
на отрезке a, b и обозначается:
f x dx ,
b
a
где a − нижний предел интегрирования; b − верхний предел интегрирования; f x − подынтегральная функция, интегрируемая
на отрезке a, b ; x − переменная интегрирования.
Исходя из определения, можно сказать, что определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к нулю.
Формула Ньютона-Лейбница:
b
b
a
a
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a) .
Основные свойства определенного интеграла
1. a f x dx a f x dx .
b
b
a
b
a
2. f x g x dx f x dx g x dx .
a
b
b
b
a
a
3. f x dx f x dx f x dx .
a
b
c
b
a
c
4. f x dx f x dx .
a
a
b
Вычисление определенного интеграла методом подстановки
Для вычисления определённого интеграла методом подстановки (замены переменной) надо находить пределы интегрирования для новой переменной.
t x
b
b
dt
x dx 1 f t dt F (b ) F (a ) .
f
x
x
dx
1
1
a1 a
a
a1
b1 b
51
Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям
b
b
b
u dv u v a v du .
a
a
Примеры
Вычислить определенные интегралы:
1
1. x 3 dx .
0
/3
2. cos xdx .
/6
7
3. 3
0
dx
.
8 x
e
4. x ln xdx .
1
Решение
1
1. Вычислим интеграл x 3 dx по формуле Ньютона-Лейбница.
0
1
3
x dx
0
4 1
x
4
0
4
4
1
0
1
.
4
4 4
2. Вычислим интеграл
/3
cos xdx по формуле Ньютона-
/6
Лейбница.
/3
/3
cos xdx sin x / 6 sin
/6
3
sin
7
6
3 1
3 1
.
2 2
2
dx
.
0 8 x
Введем подстановку 8 x t , тогда dx dt , dx dt .
Определим пределы интегрирования для переменной t. При x 0
получаем t н 8 0 8 , при x 7 получаем t в 8 7 1 .
Выразим подынтегральное выражение через t и dt и, перейдя
к новым пределам, получим:
3. Вычислим интеграл 3
52
2
1
1
1 dt
1
8
8
dx
t3 3
3 t 3 dt t 3 dt 3 t 2
3
2 2
1
t
0 8 x
8
8
1
3
3
3
3
3
9
3 82 3 12 3 64 3 1 (4 1) 3 4,5 .
2
2
2
2
2
7
e
4. Вычислим x ln xdx .
1
e
x ln xdx
u ln x du (ln x)' dx
1
e
dx
2
e 2
x x ln x x 1 dx
2
1 2 x
1
x2
2
e
e
e
2
2
e
x
1
x
1 x2
e2
1
1
ln x xdx ln x
( ln e ln 1) (e 2 1)
2
2
2
2
2
2
2
4
1
1
1
1
2
2
2
2
2
e
1
1
e e 1 2e e 1 1 2
( 1 0) (e 2 1)
(e 1).
2
2
4
2 4 4
4
4
1
dv xdx v xdx
Приложение определенного интеграла
Определённый интеграл применяют для решения геометрических и физических задач. Например, при вычислении площадей
фигур, объёмов тел вращения, работы переменной силы, расстояния при прямолинейном перемещении, длины дуги плоской кривой, площади поверхности вращения, статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой и при решении многих
других прикладных задач.
Площадь S фигуры (рис. 12), ограниченной непрерывными
кривыми y = f1(x), y = f2(x), вертикалями х = а, x = b, вычисляется
по формуле:
b
S ( f 2 ( x) f1 ( x))dx , где f1(x)
f2(x) при a
x b.
a
Рис. 12. Площадь криволинейной трапеции
53
Пример
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y x , y x2 .
Решение
y
x
Рис. 13. Графики функций y
2
x, y x
y = x2
Построим графики функций y x , y x 2 (рис. 13).
Нетрудно видеть, что графики пересекаются в точках (0; 0) и
(1; 1). Поэтому
1
2
x3
2 1 1
S ( x x 2 )dx ( x 2 ) .
3
3
3 3 3
0
3
1
0
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y f x 0 и
прямыми x = a, x = b (a < b), y = 0 (рис. 14, а), равен
b
V f 2 ( x)dx .
a
y=f(x)
x=g(y)
а)
б)
Рис. 14. Тела вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой
x g y 0 и прямыми y = a, y = b (a < b), x = 0 (рис. 14, б), равен
54
b
V g 2 ( y )dy .
a
Пример
Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох фигур, ограниченных линиями:
y2 = 9x, y = 3x.
Решение
Построим графики функций y2 = 9x,
y2=9x
y = 3x (рис. 15).
1
x 2 x3
3
V (9 x 9 x 2 )dx 9 ( ) 1 .
0
2
3
2
0
y=3x
Рис. 15. Графики функций
y2 = 9x, y = 3x
55
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Классическое определение вероятности
Количественной мерой возможности появления некоторого
случайного события служит вероятность.
При классическом определении за вероятность события А
принимается отношение числа благоприятных этому событию элементарных исходов (m) к общему числу возможных исходов (n):
m
p( A) .
n
Для вычисления общего числа благоприятствующих или общего числа элементарных исходов используют формулы комбинаторики:
1. Число различных упорядоченных подмножеств (размещений) из m элементов без повторений для множества, содержащего
n элементов, определяется по формуле:
n!
Anm
«порядок есть, повторений нет».
( n m)!
Если n = m, то размещения называются перестановками. Количество таких перестановок из n элементов определяется по формуле:
P n n!
2. Число различных подмножеств (сочетаний) из m элементов
без повторений для множества, содержащего n элементов, определяется по формуле:
Cnm
n!
( n m)! m!
«порядка нет, повторений нет».
Пример
На станцию прибыли 10 вагонов с различной продукцией. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность
того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5.
Решение
Общее число всех исходов для контрольного вскрытия равно
числу сочетаний из 10 по 5:
10!
5!6 7 8 9 10
5
n C10
252 .
5!(10 5)!
5!2 3 4 5
56
Число исходов, благоприятствующих данному событию, будет
равно числу таких комбинаций, в которых будут две цифры 2 и 5,
а остальные будут составлять сочетания, число которых
8!
5!6 7 8
m C83
56 .
3!(8 3)!
5!2 3
Тогда искомую вероятность найдем по формуле
m 56
.
p
n 252
Теоремы сложения и умножения вероятностей
События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте.
Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу.
Суммой событий называется событие, состоящее в появлении
хотя бы одного из рассматриваемых событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
n
n
i 1
i 1
p( Ai ) p( Ai ) .
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу,
равна единице.
Произведением событий называется событие, состоящее в
появлении всех из рассматриваемых событий.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло событие A, называется условной вероятностью события
В относительно события А. Эта вероятность обозначается p(В\А).
Теорема умножения вероятностей двух событий
Вероятность произведения двух событий равна произведению
вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого:
p(АВ) = p(А)p(В\А) = p(В)p(А\В).
Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:
p(АВС ··· LM) = p(А)p(В\А)p(С\АВ) ··· p(М\АВ ··· L).
57
Если появление одного из событий не влияет на вероятность
появления другого, то такие события называются независимыми.
Для независимых событий вероятность их произведения равна
произведению вероятностей этих событий. Для двух независимых
событий
p(АВ) = p(А)p(В).
События называются совместными, если они могут появиться
одновременно в одном опыте.
Теорема сложения вероятностей двух совместных событий
Вероятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
p(А + В) = p(А) + p(В) − p(АВ).
Пример
Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту изделий равна 0,9.
а) Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий
оба будут стандартными, если события появления стандартных изделий независимы?
б) Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий
только одно стандартное?
Решение
а) Учитывая, что события А1 (первое изделие стандартное) и
А2 (второе изделие стандартное) независимы, используем формулу
p(А1 А2) = p(А1) p(А2), т. е. p(А1 А2) = 0,9 · 0,9 = 0,81.
б) Пусть В1 – событие, состоящие в том, что только первое изделие стандартное; В2 – только второе изделие стандартное. Событие В можно рассматривать как произведение двух событий.
В1 = A1 A2 − появилось первое событие и не появилось второе.
Аналогично,
В2 = A1 A2 − появилось второе событие и не появилось первое.
События В1 и В2 несовместные, поэтому
p(В1 + В2) = pq + qp = 2 pq.
В данном случае
p(В1 + В2) = 2 · 0,9 · 0,1 = 0,18.
58
Формула полной вероятности и формула Байеса
Если некоторое событие В совершается с одним из n несовместных событий А1, А2,… Аn, образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события может быть
использована формула полной вероятности:
n
p( B) p( Ai ) p( B \ Ai ) ,
i 1
где p(Ai) − вероятность события Ai,
pB \ Ai − условная вероятность события В.
Для определения вероятности события Ai при условии, что
произошло событие В, используется формула Байеса:
p ( Ai ) p ( B \ Ai )
p ( Ai \ B)
.
p( B)
Пример
На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов.
От первого завода поступило 10 двигателей, от второго − 6 и от
третьего − 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9;
0,8; 0,7. Какова вероятность того, что:
а) установленный на машине двигатель будет работать без
дефектов в течение гарантийного срока;
б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе, на втором заводе?
Решение
Обозначим через А1, А2, А3 события установки на автомашину
двигателей, изготовленных соответственно на первом, втором и
третьем моторных заводах. Вероятности этих событий таковы:
p(А1) = 0,5; p(A2) = 0,3; p(A3) = 0,2.
а) Вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает
без дефектов, найдем по формуле полной вероятности:
p(В) = p(А1) p(В\А1) + p(А2) p(В\А2) + p(А3) p(В\А3),
p(B)= 0,5·0,9 + 0,3·0,8 + 0,2·0,7 = 0,83.
б) Если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок,
то вероятности, что он изготовлен на первом, на втором заводах,
найдем по формуле Байеса:
59
p(A1 \ B)
P(A 1 )P(B \ A1 )
P(B)
0,5 0,9
0,83
0,45
0,83
0,54;
P( A2 ) P( B \ A2 ) 0,3 0,8 0,24
0,29.
P( B)
0,83
0,83
Основные числовые характеристики случайной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида
P( A2 \ B)
n
М(Х) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn = xi pi ,
i 1
где xi − возможные значения дискретной случайной величины;
pi − вероятность появления значения xi.
Свойства математического ожидания:
1. М(С) = С, 2. М(С Х) = С М(Х),
где С − произвольная постоянная величина (число).
3. M(X1 X2 … Хn) = М(Х1) М(Х2) … М(Хn),
если Х1, Х2, …, Хn − взаимно независимые случайные величины.
4. М(Х1 + Х2 + ... + Хn) = М(Х1) + М(Х2) + ... + М(Хn).
Математическое ожидание характеризует среднее значение
случайной величины.
Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = М(Х − М(Х))2.
Дисперсию целесообразно вычислять по формуле
D(X) = М(Х2) − (М(Х))2.
Свойства дисперсии:
1. D(C) = 0; 2. D(C X) = C2D(X),
где С – произвольная постоянная.
3. D(Xl + Х2 + ... + Хn) = D(X1) + D(Х2) + ... + D(Хn),
где Xi − независимые случайные величины.
σ(Х) = D ( X ) ,
где σ(Х) − среднее квадратичное отклонение.
60
Пример
Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и Y:
X
р
2
0,4
4
0,2
6
0,1
8
0,3
Y
p
0
0,5
1
0,2
2
0,3
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 2Х + 3Y.
Решение
Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а
также учитывая, что X и Y − независимые случайные величины,
имеем:
M(Z) = М(2Х + 3Y) = М(2Х) + М(3Y) = 2М(Х) + 3М(Y);
D(Z) = D(2Х + 3Y) = D(2Х) + D(3Y) = 4 D(X) + 9D(Y).
n
По формуле М(Х) = xi pi вычислим М(Х) и М(Y):
i 1
М(Х) = 2 0,4 + 4 0,2 + 6 0,1 + 8 0,3 = 4,6;
М(Y) = 0 0,5 + 1 0,2 + 2 0,3 = 0,8.
Тогда
M(Z) = 2 4,6 + 3 0,8 = 11,6.
По формуле D(X) = М(Х2) − (М(Х))2 вычислим D(Х) и D(Y).
Вначале найдем М(Х2) и М(Y2):
М(Х2) = 4 0,4 + 16 0,2 + 36 0,1 + 64 0,3 = 27,6;
M(Y2) = 0 0,5 + 1 0,2 + 4 0,3 = 1,4.
Затем вычислим значения D(X) и D(Y):
D(X) = М(Х2) − (М(Х))2 = 27,6 − 4,62 = 6,44;
D(Y) = M(Y2) − (М(Y))2 = 1,4 − 0,82 = 0,76.
Окончательно получим:
D(Z) = 4 6,44 + 9 0,76 = 32,6.
61
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Гистограмма
Графическое изображение вариационных рядов в виде гистограммы позволяет получить первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.
Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат на оси 0х откладывают отрезки частичных интервалов варьирования и на этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами, равными частотам или относительным частотам
соответствующих интервалов.
Если относительную частоту разделить на длину каждого интервала, то полученная величина будет представлять собой выборочную оценку плотности вероятности:
f*(хi) = pi / i .
Пример
Выборка задана интервальным вариационным рядом
i
1
2
3
4
5
xi < X ≤ xi+1
1−5
5−9
9−13
13−17
17−21
mi
10
20
50
12
8
Построить гистограмму выборочной оценки плотности вероятности.
Решение
Длина каждого интервала равна h = 4. Объем выборки,
n = 100.
Подсчитаем значения mi/(hn):
xi < X < xi+1
mi/(hn)
1−5
25
·10-3
5−9
50
9−13
·10-3
62
125 ·
10-3
13−17
30 ·
10-3
17−21
20 · 10-3
Рис. 16. Гистограмма интервального ряда
Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная
дисперсия
Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на
основании выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется
точечной. К числу таких оценок относятся выборочная средняя и
выборочная дисперсия.
Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений:
k
xB
ni xi
i 1
,
n
где хi − варианта выборки;
ni − частота варианты;
n − объем выборки.
Замечание: выборочная средняя может также обозначаться и
без нижнего индекса: х .
Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:
k
dB
2
ni ( xi xB )
i 1
.
n
Для расчетов может быть использована также формула
d B x 2 ( xB ) 2 ,
где x 2 − выборочная средняя квадратов вариант выборки.
63
Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание
статистической оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной, если
не равно − то смещенной.
Выборочная средняя является оценкой математического ожидания случайной величины и представляет собой несмещенную
оценку. Выборочная дисперсия оценивает дисперсию генеральной
совокупности и является смещенной оценкой.
Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее
умножают на величину n/(n − 1) и получают
n
S2
dB .
n 1
Величину S2 называют несмещенной или «исправленной»
выборочной дисперсией.
В некоторых случаях для удобства расчетов при определении
статистических оценок переходят к условным вариантам. Например, если варианты xi − большие числа, то используют разности
ui = xi − С,
где С − произвольно выбранное число (ложный ноль), такое,
при котором условные варианты принимают небольшие значения.
В этом случае
k
ni ui
xB C i 1
n
.
Учитывая, что d B x 2 ( xB ) 2 , то
2
k n u
i i
.
d B d BU u 2 (u ) 2
i 1
n
n
Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путем использования масштабного множителя:
ui = C·xi,,
где С = 10b (b выбирается положительным или отрицательным
целым числом).
k
2
ni ui
i 1
64
Пример
Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины
X на основании данного распределения выборки:
xi
ni
2
8
7
14
9
10
10
18
Решение
Находим выборочную среднюю
8 2 14 7 10 9 18 10
xB
7,68 .
50
Для вычисления выборочной дисперсии используем формулу
d B x 2 ( xB ) 2 :
8 22 14 7 2 10 92 18 102
66,56.
50
d B 66,56 7,68 2 7,58 .
Находим несмещенную оценку дисперсии («исправленную»
выборочную дисперсию):
x2
S2
n
50
dB
7,58 7,73 .
n 1
(50 1)
Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием
На практике часто требуется оценить, соответствуют ли действительности рекламные данные о параметрах того или иного товара. В этом случае возникает задача сравнения выборочной средней с анонсируемым значением этого параметра.
Пример
Фирма-поставщик в рекламном буклете утверждает, что средний срок безотказной работы предлагаемого изделия − 2900 ч. Для
выборки из 50 изделий средний срок безотказной работы оказался
равным 2720 ч при выборочном среднем квадратичном отклонении 700 ч. При 5 %-ом уровне значимости проверить гипотезу о
том, что значение 2900 ч является математическим ожиданием.
Решение
Предположим, что случайная величина срока безотказной работы подчинена нормальному закону распределения. Требуется
проверить гипотезу о числовом значении математического ожидания нормально распределенной величины (генеральной средней)
65
при неизвестной генеральной дисперсии. В этом случае в качестве
критерия выбирают функцию
T
xB a0
n 1 ,
S
где хВ − выборочная средняя, а0 − математическое ожидание,
S − выборочное среднее квадратичное отклонение. Случайная величина Т имеет распределение (распределение Стьюдента) с ℓ =
n − 1 степенями свободы. В данной задаче речь идет о сравнении
выборочной средней 2720 ч с гипотетическим математическим
ожиданием a0 2900 ч, при этом выборочное среднее квадратичное отклонение равно 700 ч.
Требуется найти критическую область для нулевой гипотезы Н0:
а0 = 2900 при альтернативной гипотезе Н1: а0 < 2900. Очевидно, что другие альтернативные гипотезы (а0 > 2900 и a0 2900) нецелесообразны, так как потребитель обычно обеспокоен лишь тем, что срок службы
изделия может оказаться меньше гарантируемого поставщиком.
Критическая область левосторонняя, значит, t крл находим из условия
Р(Т < t крл ) = α.
При α = 0,05 и ℓ = 50 − 1 = 49 в таблице t-распределения (прип
ложение 1, стр. 74) находим tкрл tкр
1,677 .
Таким образом, критическая область ω = (-∞, -1,677).
Рассчитаем tr, полагая а0 a0 :
tr
2720 2900
180
50 1
1,8 .
700
100
Значение -1,8 попадает в критическую область, поэтому нулевая гипотеза Н0 должна быть отвергнута. Следовательно, фирма в
рекламе завышает срок безотказной работы изделия.
Сравнение двух дисперсий
Пусть имеются две случайные величины X = N(ax,σx) и Y = N(ay,σy)
с неизвестными дисперсиями и две независимые выборки х1, х2, …, хn и
y1, y2, …, ym. Требуется по полученным выборочным оценкам
n
S x2
2
( xi x)
i 1
n 1
m
, S y2
2
( yi y )
i 1
m 1
66
n
,
где x
xi
i 1
n
m
, y
yi
i 1
m
,
проверить гипотезу H0 : x2 y2 .
В качестве критерия при проверке гипотезы H0 : x2 y2 используют функцию F(ℓ1, ℓ2), которая имеет F-распределение (распределение Фишера-Снедекора):
S2
1. F(ℓ1, ℓ2) = x2 , если полученные по выборкам значеSy
ния S x2 S y2 , с ℓ1 = n − 1 и ℓ2 = m − 1 степенями свободы.
2. F(ℓ1, ℓ2) =
S y2
S x2
, если полученные по выборкам значе-
ния S x2 S y2 , с ℓ1 = m − 1 и ℓ2 = n − 1 степенями свободы.
Если задаться уровнем значимости α, то можно построить
критические области для проверки гипотезы H0 : x2 y2 при двух
альтернативных гипотезах:
1. H1: x2 y2 , если S x2 S y2 , или H1 : x2 y2 , если S x2 S y2 .
В этом случае критическая область правосторонняя ( f крп , +∞)
определяется из условия Р(F(ℓ1, ℓ2) > f крп )) = α.
2. H1: x2 y2 . В этом случае критическая область двусторонняя. Однако можно использовать только правостороннюю область ( f крп , +∞) , где f крп определяется из условий:
P(F(ℓ1 = n − 1, ℓ2 = m − 1) > f крп ) = α/2, если S x2 S y2 ;
P(F(ℓ1 = n − 1, ℓ2 = m − 1) < f крп ) = α/2, если S x2 S y2 .
Если fr попадает в критическую область, то принимается альтернативная гипотеза Н1, в противном случае принимается гипоте2
2
за H0: x y . При этом оценкой генеральной дисперсии служит
величина S 2
S x2 (n 1) S y2 (m 1)
nm2
.
Пример
Срок хранения продукции, изготовленной по технологии А,
составил:
67
Срок хранения
Число единиц продукции
xi
ni
5
2
6
4
7
4
6
8
7
7
а изготовленной по технологии В:
Срок хранения
Число единиц продукции
yi
mi
5
1
8
1
Предположив, что случайные величины X и Y распределены
по нормальному закону, проверить гипотезу Н0: x2 y2 при
уровне значимости α = 0,1 и альтернативной гипотезе Н1: x2 y2 .
Решение
Вычислим «исправленные» выборочные дисперсии S x2 , S y2 .
Для этого вначале найдем x , y :
x
5 1 6 8 7 7 8 1
5 2 6 4 7 4
6,5 .
6,2 ; y
17
10
Тогда
52 2 6 2 4 7 2 4
10
S x2
6,2 2
0,62 ;
10
10 1
52 1 6 2 8 7 2 7 82 1
17
S y2
6,5 2
0,11 .
17
17 1
Учитывая, что S x2 S y2 , определим fr:
fr
0,62
5,64 .
0,11
Критическое значение f крп находим из условия: если S x2 S y2 , то
P(F(ℓ1 = n − 1, ℓ2 = m − 1) > f крп ) = α/2 .
По условию α = 0,1. Значит,
P(F(ℓ1 = 10 − 1 = 9, ℓ2 = 17 − 1 = 16) > f крп ) = 0,05.
По таблице F-распределения (приложение 2, стр. 75) определяем f крп = 2,54.
Так как число fr = 5,64 попадает в критическую область (2,54; +∞),
то гипотезу о равенстве дисперсий среднего срока хранения продукции, изготовленной по технологиям А и В, отвергаем.
68
Линейная регрессия со сгруппированными данными
В том случае, когда варианты парной выборки встречаются по
нескольку раз, причем с одним значением варианты хi может
встретиться несколько вариант уj, их обычно представляют в виде
корреляционной таблицы. На пересечении строк и столбцов этой
таблицы отмечается частота nij выбора соответствующей пары (xi,
yj), а частоты вариант xi (i = 1, 2, …, k1), yj (j = 1, 2, …, k2) находятся
как суммы значений nij по соответствующей строке или столбцу.
Например, в приведённой ниже корреляционной таблице пара
(10; 5) встречается 3 раза, т. е. n 1 1 = 3, а частота появления величины y 1 = 5 находится как сумма n y1 = 3 + 2 = 5 .
xi
yj
5
10
20
30
nyj
3
−
2
5
10
5
4
2
11
n xi
8
4
4
n = 16
k1
k2
i 1
j 1
Очевидно, что nxi n y j n .
Для коэффициента корреляции случайных величин X и У в
случае сгруппированных данных используется выражение
k2
k1
rB
xi U i n xy
i 1
n XB YB
y j V j n xy
j 1
n XB YB
k2
k1
i 1
j 1
,
где U i nij y j , V j nij xi .
После подсчета x , y , σXB, σYB, rB получают выборочное уравнение линейной регрессии У на X в виде:
yx y
YB
r ( x x)
XB B
или выборочное уравнение линейной регрессии X на У в виде
xy x
XB
r ( y y) .
YB B
Для упрощения расчетов часто используются условные варианты, которые подсчитываются по формулам:
ui = (xi − C1)/ h1, vj = (yj − C2)/ h2,
69
где С1, С2 − ложные нули (выбираемые значения);
h1, h2 − разности между соседними значениями соответственно
X и У.
Для обратного перехода применяются выражения
xi h1 ui C1 , y j h2 v j C 2 ,
x h1 u C1 , y h2 v C2 ,
XB h1 u , YB h2 v ,
где u, v − средние значения условных вариант;
u , v − средние квадратичные отклонения условных вариант.
Для подсчета выборочного коэффициента корреляции в этом
случае используется формула:
k2
k1
rB
ui U i n uv
i 1
n U V
v j V j n uv
j 1
,
n U V
k2
k1
i 1
j 1
где U i nij v j , V j nij ui .
Подсчитав выборочный коэффициент корреляции через
условные варианты и осуществив переход к условным переменным, получают соответствующие уравнения регрессии.
Пример
Найти выборочное уравнение линейной регрессии X на Y на
основании корреляционной таблицы
xi
15
20
25
30
35
40
2
1
−
7
−
−
120
4
−
2
−
−
3
140
−
5
−
10
5
2
160
−
−
3
1
2
3
yj
100
Решение
Для упрощения расчетов введем ложные нули С1 = 30,
С2 = 120.
Тогда условные варианты вычислим по формулам:
ui = (xi − 30)/ 5, vj = (yj − 120)/ 20 и составим преобразованную
70
корреляционную таблицу с условными вариантами, в которую
внесём значения nui и nv j :
xi
yj
-1
0
1
2
nui
-3
-2
-1
0
1
2
nv j
2
4
−
−
1
−
5
−
−
2
−
3
7
−
10
1
−
−
5
2
−
3
2
3
6
6
5
11
14
8
10
9
22
9
n = 50
Затем составим новую таблицу, в которую внесем посчитанные значения nijUi в правый верхний угол заполненной клетки и
nijVj – в левый нижний угол, после чего суммируем верхние значения по строкам для получения значений Vj и нижние значения по
столбцам для Ui и подсчитаем величины uiUi и vjVj.
xi
-3
yj
-1
-2
-6
0
2
−
7
−
−
−
−
3
-2
−
2
0
0
1
0
−
5
5
10
8
6
-8
0
4
-1
-1
6
5
10
2
0
3
2
5
-3
−
5
10
5
2
−
-8
0
-10
−
vjVj
-7
-12
4
vj
0
1
-1
0
1
-2
2
-2
-1
2
1
2
3
6
2
4
6
ui
-2
4
6
12
9
8
uiUi
6
-8
-6
0
9
16
k1
k2
i 1
j 1
Σ = 17
Подсчитываем суммы ui U i и v j V j (соответственно последняя срока и последний столбец таблицы). Параллельный подсчет
этих сумм осуществляется для контроля правильности расчетов.
71
В данном случае
k1
k2
i 1
j 1
ui U i v j V j 17 .
Находим u, v :
3 6 2 6 1 5 0 18 1 7 2 8
u
0,24 ;
50
1 10 0 9 1 22 2 9
v
0,6 .
50
Находим u 2 , v 2 :
(3) 2 6 (2) 2 6 (1) 2 5 0 2 18 12 7 2 2 8
2,44 ;
50
(1) 2 10 0 2 9 12 22 2 2 9
v2
1,36 .
50
Определяем u , v :
u2
u u 2 (u) 2 2,44 (0,24) 2 1,54 ;
v v 2 (v) 2 1,36 (0,6) 2 1 .
Вычисляем выборочный коэффициент корреляции rв:
rB = (17 – 50 (-0,24) 0,6)/ (50 1,54 1) = 0,314.
Осуществим переход к исходным вариантам:
x h1 u C1 5 (0,24) 30 28,8 ;
y h2 v C2 20 0,6 120 132 ;
XB h1 u 5 1,54 7,7 ;
YB h2 v 20 1 20 .
Находим уравнение регрессии X на Y:
x y 28,8
7,7
0,314 ( y 132)
20
или x y 0,12 y 12,8 – искомое
уравнение регрессии X на Y.
72
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 / П. Е.
Данко, А. Г. Попов. – М.: Высшая школа, 1999. – 416 с.
2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2 / П. Е.
Данко, А. Г. Попов. – М.: Высшая школа, 1999. – 304 с.
3. Ермаков, В. И. Сборник задач по высшей математике для экономистов:
учеб. пособие / В. И. Ермаков, Г. И. Бобрик. – М.: Инфра-М, 2004. – 520 с.
4. Письменный, Д. Т. Конспект лекции по высшей математике. Ч. 1 / Д. Т.
Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.
5. Письменный, Д. Т. Конспект лекции по высшей математике. Ч. 2 / Д. Т.
Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.
73
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Таблица значений t-распределения Стьюдента
α 40 % 25 % 10 %
5%
2,5 %
1%
3,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,813
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
1,694
1,691
1,688
1,686
1,684
1,682
1,680
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
2,037
2,032
2,028
2,024
2,021
2,018
2,015
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,897
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,625
2,603
2,584
2,567
2,552
2,540
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,449
2,441
2,435
2,429
2,423
2,419
2,414
0,5 % 0,25 %
0,1 %
0,05 %
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
32
34
36
38
40
42
44
0,325
0,289
0,277
0,271
0,267
0,265
0,263
0,262
0,261
0,260
0,260
0,259
0,259
0,258
0,258
0,258
0,257
0,257
0,257
0,257
0,257
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,255
0,255
0,255
0,255
0,255
0,255
1,000
0,817
0,768
0,741
0,727
0,718
0,711
0,707
0,703
0,700
0,698
0,696
0,694
0,692
0,691
0,690
0,689
0,688
0,688
0,687
0,686
0,686
0,685
0,685
0,684
0,684
0,684
0,683
0,683
0,683
0,682
0,682
0,681
0,681
0,681
0,680
0,680
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,320
1,318
1,316
1,315
1,314
1,313
1,311
1,310
1,309
1,307
1,306
1,304
1,303
1,302
1,301
74
63,657 127,321 318,309 636,619
9,925 14,089 22,327 31,599
5,841 7,453 10,215 12,924
4,604 5,598
7,173
8,610
4,032 4,773
5,893
6,869
3,707 4,317
5,208
5,959
3,500 4,029
4,785
5,408
3,355 3,833
4,501
5,041
3,250 3,690
4,297
4,781
3,169 3,581
4,144
4,587
3,106 3,497
4,025
4,437
3,055 3,428
3,930
4,318
3,012 3,373
3,852
4,221
2,977 3,326
3,787
4,141
2,947 3,286
3,733
4,073
2,921 3,252
3,686
4,015
2,898 3,222
3,646
3,965
2,878 3,197
3,611
3,922
2,861 3,174
3,579
3,883
2,845 3,153
3,552
3,850
2,831 3,135
3,527
3,819
2,819 3,119
3,505
3,792
2,807 3,104
3,485
3,768
2,797 3,091
3,467
3,745
2,787 3,078
3,450
3,725
2,779 3,067
3,435
3,707
2,771 3,057
3,421
3,690
2,763 3,047
3,408
3,674
2,756 3,038
3,396
3,659
2,750 3,030
3,385
3,646
2,739 3,015
3,365
3,622
2,728 3,002
3,348
3,601
2,720 2,991
3,333
3,582
2,712 2,981
3,320
3,566
2,705 2,971
3,307
3,551
2,698 2,963
3,296
3,538
2,692 2,956
3,286
3,526
Окончание прилож. 1
α
n
46
48
50
55
60
65
70
80
90
100
120
150
200
250
300
400
500
40 % 25 % 10 %
5%
2,5 %
1%
0,5 % 0,25 %
0,1 %
0,05 %
0,255
0,255
0,255
0,255
0,255
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
0,254
1,679
1,677
1,676
1,673
1,671
1,669
1,667
1,664
1,662
1,660
1,658
1,655
1,653
1,651
1,650
1,649
1,648
2,013
2,011
2,009
2,004
2,000
1,997
1,994
1,990
1,987
1,984
1,980
1,976
1,972
1,970
1,968
1,966
1,965
2,410
2,407
2,403
2,396
2,390
2,385
2,381
2,374
2,369
2,364
2,358
2,352
2,345
2,341
2,339
2,336
2,334
2,687
2,682
2,678
2,668
2,660
2,654
2,648
2,639
2,632
2,626
2,617
2,609
2,601
2,596
2,592
2,588
2,586
3,277
3,269
3,261
3,256
3,232
3,220
3,211
3,195
3,183
3,174
3,160
3,146
3,132
3,123
3,118
3,111
3,107
3,515
3,505
3,496
3,476
3,460
3,447
3,435
3,416
3,402
3,391
3,374
3,357
3,340
3,330
3,323
3,315
3,310
0,680
0,680
0,679
0,679
0,679
0,678
0,678
0,678
0,677
0,677
0,677
0,676
0,676
0,676
0,675
0,675
0,675
1,300
1,300
1,299
1,297
1,296
1,295
1,294
1,292
1,291
1,290
1,289
1,287
1,286
1,255
1,284
1,284
1,283
2,949
2,943
2,937
2,925
2,915
2,906
2,899
2,887
2,878
2,871
2,860
2,849
2,839
2,832
2,828
2,823
2,820
Приложение 2
Критические точки F-распределения
(распределения Фишера-Снедекора)
α=
0,05
ℓ2
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ℓ1
5
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,12
3,03
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
6
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
7
4,88
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
3,01
2,91
2,83
2,76
2,71
2,66
2,61
2,58
2,54
2,51
8
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
9
4,77
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
2,90
2,80
2,71
2,65
2,59
2,54
2,49
2,46
2,42
2,39
75
12
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
15
4,62
3,94
3,51
3,22
3,01
2,85
2,72
2,62
2,53
2,46
2,40
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
20
4,56
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
40
4,46
3,77
3,34
3,04
2,83
2,66
2,53
2,43
2,34
2,27
2,20
2,15
2,10
2,06
2,03
1,99
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,55
2,53
2,45
2,37
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,47
2,46
2,45
2,43
2,42
2,34
2,25
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,39
2,37
2,36
2,35
2,33
2,25
2,17
2,42
2,40
2,37
2,36
2,34
2,32
2,31
2,29
2,28
2,27
2,18
2,10
2,37
2,34
2,32
2,30
2,28
2,27
2,25
2,24
2,22
2,21
2,12
2,04
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,00
1,92
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
1,92
1,84
2,10
2,07
2,05
2,03
2,01
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,84
1,75
1,96
1,94
1,91
1,89
1,87
1,85
1,84
1,82
1,81
1,79
1,69
1,59
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………….
Рекомендации по выполнению контрольной работы………
Задания к контрольным работам…………………………….
Определители…………………………………………………
Решение систем линейных уравнений………………………
Прямая и плоскость…………………………………………...
Кривые второго порядка……………………………………...
Предел функции………………………………………………
Производная функции………………………………………...
Функция многих переменных………………………………..
Неопределенный интеграл…………………………………..
Определенный интеграл……………………………………..
Основы теории вероятностей………………………………..
Основы математической статистики………………………..
Список рекомендованной литературы………………………
Приложения……………………………………………………
76
3
4
5
20
22
24
31
35
37
42
45
50
56
62
73
74
