УМК БкЭ-100 Математический анализ Савушкин А.Ю

ФГБОУ ВПО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы
при Президенте Российской Федерации»
Волгоградский филиал
Кафедра Информационных систем и математического моделирования
Савушкин А.Ю.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебно-методический комплекс для студентов направления подготовки
080100.62 Экономика
Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры
Протокол № 2 от «14» сентября 2011 г.
Заведующий кафедрой ИС и ММ
_______________ Астафурова О.А.
Волгоград 2011
Содержание
2
Наименование раздела
№
стр
Раздел 1. Рабочая программа учебной дисциплины .......................................................................... 3
1.1. ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ » ................................................................................................................. 3
1.2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ. .......................................................................................... 3
1.3. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. .......................................................................... 3
1.4. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ » (288 Ч.) НА 2011-2012 УЧ.ГОД ДЛЯ
СТУДЕНТОВ БКЭ-100 ................................................................................................................................ 5
1.5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ .................................................... 8
I семестр .............................................................................................................................................. 8
II семестр .......................................................................................................................................... 23
Список рекомендуемой литературы .............................................................................................. 39
Раздел 2. Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины для студентов .... 41
2.1. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ МАТЕРИАЛОВ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА ..... 41
2.2. ПОЖЕЛАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ОТДЕЛЬНЫХ ТЕМ КУРСА ........................................................................ 41
2. 3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАБОТЕ С ЛИТЕРАТУРОЙ ................................................................................. 42
2.4. СОВЕТЫ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ........................................................................... 42
Раздел 3. Материалы тестовой системы или практикум по решению задач по темам лекций
..................................................................................................................................................................... 43
Примеры решения задач I семестра ............................................................................................... 43
II семестр .......................................................................................................................................... 52
Раздел 4. Словарь основных терминов (глоссарий) ......................................................................... 62
3
Раздел 1. Рабочая программа учебной дисциплины
1.1. Требования государственного образовательного стандарта по учебной дисциплине
«Математический анализ»
В результате изучения базовой дисциплины «Математический анализ» математического цикла
обучающийся должен
знать: основы математического анализа, необходимые для решения экономических задач;
уметь: применять методы математического анализа для решения экономических задач;
владеть: навыками применения современного математического инструментария для решения
экономических задач; методикой построения, анализа и применения математических моделей для
оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.
1.2. Цели и задачи учебной дисциплины.
Цель курса состоит в том, чтобы обучить студентов основным приемам и методам высшей
математики, развить навыки логического и алгоритмического мышления, научить их самостоятельно использовать математическую литературу и полученные знания при решении прикладных
задач.
Современная финансово-экономическая теория предлагает высокий уровень формализации
как на макро- так и на микроуровне. Поэтому овладение математическими методами анализа и
моделирования является естественной и необходимой составляющей финансово-экономического
образования.
Задачами курса являются:

изучить основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, а также
методы математического моделирования;

сформировать базу для изучения других дисциплин, использующих математический аппарат;

научиться использовать основные приёмы математических методов при самостоятельном
исследовании и решении различных прикладных задач;

ознакомиться с некоторыми экономико-математическими методами и моделями;

развить логическое и алгоритмическое мышление студентов;

повысить общий уровень математической культуры студентов.
1.3. Требования к уровню освоения дисциплины.
В результате изучения дисциплины студент должен обладать следующими компетенциями:
ОК-1 владеть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения;
ПК-1 способностью собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета
экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов;
4
ПК-2 способностью на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы
рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов;
ПК-3 способностью выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в
организации стандартами;
ПК-4 способностью осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач;
ПК-5 способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать
полученные выводы;
ПК-6 способностью на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты;
ПК-10 способностью использовать для решения аналитических и исследовательских задач
современные технические средства и информационные технологии.
5
1.4. Тематический план курса «Математический анализ» (288 ч.) на 2011-2012 уч.год
для студентов БкЭ-100
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
Очная форма обучения
Iсеместр
Тема 1. Понятие функции. Способы зада4
10
4
2
ния функций. Элементарные функции
Тема 2. Предел последовательности и
6
14
4
4
функции. Правила вычисления пределов.
Тема 3. Замечательные пределы. Непре6
14
4
4
рывность функции. Точки разрыва.
Тема 4. Понятие производной функции.
4
8
2
2
Таблица производных.
Тема 5. Производная неявных и параметрических функций. Нахождение производной
4
4
6
14
с помощью логарифмирования.
Наименование тем
Тема 6. Понятие дифференциала функции.
Тема 7. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и
Коши. Правило Лопиталя.
Тема 8. Полное исследование функций и
построение графиков.
Тема 9. Первообразная и неопределенный
интеграл. Свойства интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
Тема 10. Основные методы интегрирования.
Тема 11. Понятие определенного интеграла.
Свойства и правила вычисления определенных интегралов.
Тема 12. Приложения определенного интеграла
ИТОГО за I семестр
Форма контроля
2
2
4
8
4
2
4
10
2
4
8
14
2
2
4
8
4
4
6
14
2
4
6
12
2
2
8
12
36
36
зачет
66
138
2
2
4
8
2
2
4
8
2
2
4
8
2
2
4
8
II семестр
Тема 13. Понятие функции нескольких переменных. Способы задания. Частные производные. Дифференциал.
Тема 14. Экстремум функции нескольких
переменных.
Тема 15. Условный экстремум функции нескольких переменных.
Тема 16. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения I-го порядка
6
Наименование тем
Тема 17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Тема 18. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка с правой частью
специального вида..
Тема 19. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Метод Лагранжа. Уравнения Бернулли.
Тема 20. Числовые ряды. Основные понятия и определения. Определение сходимости ряда. Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости числового
ряда.
Тема 21. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Признаки
сравнения. Признак Даламбера. Признаки
Коши.
Тема 22. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Функциональные ряды. Область сходимости. Определение степенного
ряда. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Тема 23. Свойства сходящихся степенных
рядов. Разложение функций в степенные
ряды. Формула и ряд Тейлора. Формула и
ряд Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях.
ИТОГО за II семестр:
Форма контроля
Всего часов с экзаменом
ИТОГО:
Форма контроля
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
4
2
6
12
2
4
4
10
4
4
6
14
2
2
4
8
4
4
4
12
4
4
4
12
4
4
6
14
32
32
Экзамен
50
68
68
Зачет, экзамен
116
114
36
150
252
36
288
(8 ЗЕТ)
10
11
12
15
12
13
8
11
14
14
Всего часов с экзаменом
Заочная форма обучения
Iсеместр
Тема 1. Понятие функции. Способы зада1
ния функций. Элементарные функции
Тема 2. Предел последовательности и
1
функции. Правила вычисления пределов.
Тема 3. Замечательные пределы. Непре1
рывность функции. Точки разрыва.
Тема 4. Понятие производной функции.
1
Таблица производных.
Тема 5. Производная неявных и параметри-
2
2
7
Наименование тем
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
ческих функций. Нахождение производной
с помощью логарифмирования.
Тема 6. Понятие дифференциала функции.
Тема 7. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и
Коши. Правило Лопиталя.
Тема 8. Полное исследование функций и
построение графиков.
Тема 9. Первообразная и неопределенный
интеграл. Свойства интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
Тема 10. Основные методы интегрирования.
Тема 11. Понятие определенного интеграла.
Свойства и правила вычисления определенных интегралов.
Тема 12. Приложения определенного интеграла
ИТОГО за I семестр
10
10
10
10
14
14
10
11
12
14
12
13
12
12
136
148
1
8
10
1
8
10
10
10
1
8
10
1
12
14
2
12
15
14
15
8
11
1
2
1
6
Форма контроля
II семестр
Тема 13. Понятие функции нескольких переменных. Способы задания. Частные про1
изводные. Дифференциал.
Тема 14. Экстремум функции нескольких
1
переменных.
Тема 15. Условный экстремум функции нескольких переменных.
Тема 16. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциаль1
ные уравнения I-го порядка
Тема 17. Линейные неоднородные диффе1
ренциальные уравнения первого порядка.
Тема 18. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные неоднородные дифференциальные
1
уравнения второго порядка с правой частью
специального вида.
Тема 19. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.
1
Метод Лагранжа. Уравнения Бернулли.
Тема 20. Числовые ряды. Основные понятия и определения. Определение сходимости ряда. Основные свойства рядов. Необ1
ходимый признак сходимости числового
ряда.
6
зачет
2
8
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
Наименование тем
Тема 21. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Признаки
сравнения. Признак Даламбера. Признаки
Коши.
Тема 22. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Функциональные ряды. Область сходимости. Определение степенного
ряда. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Тема 23. Свойства сходящихся степенных
рядов. Разложение функций в степенные
ряды. Формула и ряд Тейлора. Формула и
ряд Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях.
ИТОГО за II семестр:
Форма контроля
Всего часов с экзаменом
ИТОГО:
Форма контроля
1
8
14
2
10
Экзамен
16
Зачет, экзамен
10
13
16
16
16
16
122
140
258
140
288
288
(8 ЗЕТ)
Всего часов с экзаменом
1.5. Учебно-методическое обеспечение учебной дисциплины
I семестр
ЛЕКЦИИ
Тема 1. Понятие функции. Способы задания и основные свойства функций.
Постоянные и переменные величины, абсолютные постоянные и параметры, действительные переменные. Числовые множества: отрезок, интервал, промежуток. Понятие функции. Способы задания функции. Графики элементарных функций: целая рациональная функция (многочлен),
дробно-рациональная функция, показательная и логарифмическая функция, тригонометрические и
обратные тригонометрические функции. Функции чётные и нечётные, периодические. Возрастающие и убывающие функции (монотонные). Сложные функции. Неявные и обратные функции.
Тема 2. Предел последовательности и функции. Правила вычисления пределов.
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Определение предела
функции в точке. Предел функции при неограниченном возрастании аргумента. Основные теоремы о пределах. Односторонние пределы. Критерий существования предела функции в точке. Бесконечно малая величина. Бесконечно большая величина. Связь бесконечно малой с пределом
9
функции. Эквивалентность бесконечно больших и бесконечно малых величин. Правила вычисления пределов. Методы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.
Тема 3. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Точки разрыва и их классификация.
Первый и второй замечательные пределы. Определение непрерывности функции в точке и
на интервале. Теоремы о непрерывных функциях. Определение точек разрыва. Точки разрыва 1-го
рода. Точки разрыва 2-го рода. Теорема о предельном переходе под знаком непрерывной функции.
Тема 4. Задачи, приводящие к производной. Понятие производной функции.
Истоки дифференциального исчисления. Задача о касательной. Задача о мгновенной скорости движения. Задача о производительности. Определение производной. Понятие дифференцируемости функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке. Уравнение касательной. Механический смысл производной. Приложение производной в экономической теории. Эластичность. Правила дифференцирования. Производная постоянной функции.
Производная суммы (разности) функций. Производная частного. Таблица производных элементарных функций.
Тема 5. Производная неявных и параметрических функций. Производные высших порядков.
Производная сложной и обратной функций. Дифференцирование неявных функций. Логарифмическое дифференцирование. Производная от параметрических функций. Производные высших порядков. Производные высших порядков от неявных и параметрических функций.
Тема 6. Понятие дифференциала функции.
Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала. Применение
дифференциала в приближенных вычислениях.
Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия неопределенностей вида
0

и .
0

Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа о конечном приращении (геометрический смысл). Теорема Коши. Приложение
производной к вычислению пределов. Правило Лопиталя-Бернулли.
Тема 8. Полное исследование функций и построение графиков.
10
Приложение производной к исследованию функции. Возрастание и убывание функции. Необходимое условие. Достаточное условие. Определение экстремума функции. Точка экстремума.
Критическая точка. Стационарная точка. Максимум, минимум функции. Необходимое условие
экстремума. Первое достаточное условие экстремума функции в точке. Второе достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость графика
функции. Точки перегиба. Достаточное условие выпуклости. Определение асимптоты графика
функции. Классификация асимптот. Вертикальная и горизонтальная асимптоты. Наклонная
асимптота. Нахождение асимптот. Основные этапы исследования функций с последующим построением эскиза графика.
Тема 9. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
Понятие первообразной. Неопределенный интеграл как совокупность первообразных. Геометрическое понимание неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Тема 10. Основные методы интегрирования.
Основные методы интегрирования. Табличное. Метод подстановки. Известные подстановки для некоторых типов интегралов. Формула интегрирования по частям. Некоторые интегралы,
не берущиеся в элементарных функциях.
Тема 11. Понятие определенного интеграла. Свойства и правила вычисления определенного
интеграла.
Интегральная сумма. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический смысл определённого интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Связь определённого
и неопределённого интегралов. Теорема существования определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определённого интеграла. Теорема о среднем. Определенный
интеграл как функция переменного верхнего предела. Вычисление определенного интеграла. Интегрирование подстановкой. Формула интегрирования по частям. Интегрирование четных и нечетных функций в пределах симметричных относительно начала координат.
Тема 12. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы.
Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление
длины дуги плоской кривой. Вычисление объемов тел вращения. Понятие несобственных инте-
11
гралов. Их классификация. Определение сходимости. Методы решения несобственных интегралов.
Планы семинарских занятий (I – семестр)
Тема 1-2. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Методы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.
Рассматриваемые вопросы:
1. Предел функции в точке по Коши.
2. Основные теоремы о пределах. Основные приемы раскрытия неопределенностей.
3. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Вычислить пределы.
1.
2.
x2  4x  1
x 1
2x  1
lim
 x 2  3x  1 
lim 
 1
x 0
x

4


x3
lim
3.
x 1 x 2
4.
lim
5.
6.
7.
8.
9.
1
7
x 
x2  4
2
3 

lim 1 


x  
x  4 x  2
3n
n 1  2 n
lim
x3  1
lim
x 
lim
x2  1
x  x 2  x 3
x 
lim
1  7x2  x
3x  6
x2 x 3  8
Ответ: -2/3
2
19. lim x  4x  5
x5
Ответ: 3/4
20. lim
Ответ: 3/5
2
x  25
x3  x
Ответ: 0
x x 4  3x 2  1
Ответ: 
21.
Ответ: 0
22.
lim
x 0 1  3x  1
lim
x 0
Ответ: 1
23.
lim
lim
x 3
Ответ: 
25.
Ответ: 1/7
x
3 x  3 x
2 x3
x 7 x 2  49
Ответ: -3/2
24.
x
lim
9  x2
3x  3
x8
x8 3 x  2
26.
 1
x3
lim 


x1 x  1 x 2  1
27.
lim
Ответ: 1/4
x3
2x  3  3
x  2 1
Ответ: 2/3
Ответ:
3
Ответ: -1/56
Ответ: -12
Ответ: 12
Ответ: 1
Ответ: 2/3
12
10.
11.
12.
lim
3x 3  x 2  5
x  4  2 x  5x3
lim
3
x 7
lim
2x  6  2
x7
x  2 x 2
lim
29.
 7 x  10
30.
2x 4  5  9x3  1
x  
6
x9  x7  1  x
31.
32.
lim
33.
x  5x
x   4  3x 2
18.
lim
x   3
lim
 5x 4
34.
x2  4  x
x  4 x 4  3x  1
35.
5 
 20
lim 

x  2  4  x 2
x  2 
Ответ: 3 2
1  2n
Ответ: -1/2
n 1  2 n1
lim
x 2  2x  1
Ответ: 0
3
x x
x22
lim
Ответ: ½
x 1 1
x2
lim  x 3  2 x 2  x 3  3x 

x  
3
17.
2x 3  1
lim
x x  1
x1
4
16.
Ответ: -2
3
 3

14. lim  x


x

x   x 2  4


15.
x  6x
x 3x  1
lim
x 2  3x  10
5
13.
28.
x 3  27
lim
Ответ: -27/7
x3 2 x 2  5x  3
lim
10 t  2
Ответ: 1/10
t 10 t 1  5
lim
1  x  3x 3
Ответ: -1
x 1  x 2  3x 3
Тема 3. Замечательные пределы. Основные эквивалентные функции
Рассматриваемые вопросы:
1. Первый замечательный предел.
2. Второй замечательный предел.
3. Использование эквивалентности функций при вычислении пределов.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Используя «Замечательные пределы», вычислить:
1.
x
x 0 sin 3x
lim
1  cos 6x
4. lim
x 0 1  cos 2 x
2.
arctg 3x
x 0 sin4 x
lim
ex  1
5. lim
x
x 0
3.
1  cos 2 x
x
x 0
lim
1

6. lim 1  
x 
x

5x
13
2

7. lim 1  
x 
x

2x
 x 
8. lim 

x 1  x 
ln(1  x )
11. lim
x 0 sin 2 x
3x
1
10. lim x  sin
x
x
tg x  sin x
14. lim 1  3x 
x 0
13. lim
x 0 x  sin 2 x
16. lim  2 x  1
x 0 2 x  1
2x
ln(1  3 x )
22. lim
x 0
sin 6 x
 x 1 
23. lim 
x  x  2 


- 
1
2
1
e 
28. lim  cos 2 x  sin
x 0
x
31. lim  5 x  ln( x  6)  ln x    30
x 
2
1
37. lim  cos x  x 2  e
x 0

1
2
e 
x
38. lim
e
 2  3x  x
27. lim 
x 0 2  5 x 


x 1
e
x 0
30. lim  sin x 

x
2
6x

x
1
ln 2
6
tgx
e 
1
1
125  1
33. lim
 ln 5
x 0
3x
x
36. lim
x
2
2
7/ x
1
1
sin x
ln(1  x )  ln 2 1
32. lim

x 1
x 1
2
2 1
x

2
1 

24. lim 1  2 
x 
x 

  3

35. lim  2 x  e x  1   6
x  



 
ctgx
1


2
x   2 x
34. lim
2x  9
2
3
18. lim 1  2 x  x
x x 2  3x  4
sin x  sin a
21. lim
xa
x a
-6
 2x  5 
29. lim 
x  2 x  3 


2
sin 3x

15. lim  1 
x0
5/ x
x 0
e 
1
2
12. lim
x0 3 
2 x 1
26. lim 1  tgx 
1
lim x  ctg 2 x
x 0
2
17. lim x  2 x  3
x 3 x 2  5x  6
2
sin ax  x
a
20. lim

x 0
tgbx
b
19. lim x 1  2x
x
 1  3x  x
25. lim 
x 0 1  2 x 


9.

2
cos x
 1

x
2
ln x  ln 4 1

x 4
2x  8
8
39. lim
x
 x2  5x  4 
8
40. lim  2
e


x  
 x  3x  7 
Тема 4. Определение производной. Геометрический смысл. Основные правила дифференцирования. Таблица производных элементарных функций.
Рассматриваемые вопросы:
1. Техника дифференцирования. Производная функции в точке.
2. Уравнение касательной к графику функции в заданной точке.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Найти производные функций и вычислить их значение при х=х0 :
1) z( x , y )  x 2  2 y 2  3 xy  4 x  2 y  5
14
1
2) y( x )  x 
2
2x
3) y( x ) 
2
y  (2) - y  (-2);
,
1  ln 2 ( x ) ,
4) y( x )  ln( x 
5) y( x )  sin( x )e
6) y( x )  ln 4
x 0  1;
x 2  12 ),
cos( x )
x 0  2;
x0 
,
1  tgx
,
1  tgx

;
2
x0  0.
.2. Найти производные функций:
1) y( x ) 
2)
y( x ) 
1  x2
1  x2
3
;
8)
x  3x ;
3
2
x2
y( x ) 
;
3)
x1
3x  2
y( x ) 
;
4)
x2
5) y( x )  x ln x ;
6)
y( x )  2 xe
9) y( x ) 
10)

x2
2
x3
1  x2
;;
;
2
y( x )  e  x ;
11) y( x )  x  ln x ;
12) y( x )  x  12 x  36 x ;
3
13)
3
3
y( x )  x 2 e  x ;
7) y( x )  ln 1  ctg x ;
2
2
y( x )  1  x ;
x
1
14) y( x ) 
x 2  1  ln( x  x 2  1 );
2
2
3. Геометрическое приложение производной:
1. Составить уравнение касательной к кривой y 
8
4  x2
в т. x0=2; в точке пересечения с осью
ОY.
2. Составить уравнение касательной к кривой y  x  2x в точках пересечения её с прямой
2
3x  y  2  0 .
3. Составить уравнение касательной к кривой y  x ln( x  e ) в т. x0=2.
4. Составить уравнение касательной к кривой y 
x
в точке пересечения с осью ОY.
x2
15
5. В каких точках касательная к графику функции y 
1 3 5 2
x  x  7 x  4 образует с осью
3
2
ОХ угол в 45.
x2
6. В каких точках касательная к графику функции y  2x 
образует с осью ОХ угол в 135.
2
x2
7. Дана кривая y 
 x . Составить уравнения касательных, проходящих через т. (2;-5).
4
Тема 5. Производные неявных и параметрических функций. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.
Рассматриваемые вопросы:
1. Производная неявной функции.
2. Производная параметрической функции.
3. Логарифмическое дифференцирование.
4. Производные высших порядков.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Найти производные неявно заданных функций:
1) x  y  1;
2
2) x  xy  y
2
3) x  xy  ln y  2 в точке (2;1);
2
2
2
 6;
4) e sin y  e
x
y
cos x  0 .
2. Выполнить задание на карточке.
Тема 6-7. Дифференциал функции. Приложение производной в теории пределов.
Рассматриваемые вопросы:
1. Понятие дифференциала и его геометрический смысл. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях.
2. Приложение производной в теории пределов. Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия не0  
определенностей вида   и   .
0  
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Используя приложение дифференциала вычислить приближенно значение функции:
f ( x  x)  f ( x)  f ( x)x
1)
4
16,64 ;
6)
ln( e  0,272);
16
2)
tg 46  ;
0,95;
3)
0,99
;
1,01
7)
arctg
8)
ln( 0,1  0,12  1);
4)
e 1, 03 ;
9)
f (2,01) , где f ( x)  x 3  3x 2  3x;
5)
5
10)
f ( x)  1  x 2 , x  0, x  0,01.
255,15;
2. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя – Бернулли:
x 3  x 2  6x
;
1. lim 3
x   x  x  16
4. lim
x2
ln( x 2  3)
;
x 2  3 x  10
x 3  x 2  5x  3
;
2. lim 3
x 1 x  4 x 2  5 x  2
5. lim
x 1
x3  1
;
ln x
6. lim
x 0
1 xx
;
x 1 1  x
7. lim x ln x;

ln(sin(5 x))
1
ln(sin(2 x))
9. lim x ln x  0
x 0
8. lim
x 0
x 2  16
8
3. lim 2

x 4 x  5 x  4
3

1 
1
10. lim   x
;
x 0 x
e  1

11. lim x ln x  x  x 2 .
12. lim x x  1
x3  27
27
13. lim 2

x 3 2 x  5 x  3
7
x3  x
14. lim 4
0
x  x  3 x 2  1
15. lim
2 x2  7 x  6
1

2
x 2 6  x  x
5
16. lim
1
19. lim x1 x  e
x 1
e3 x  esin x
 4
x 0
x
22. lim
 1
25. lim 1  
x 
 x
x 0
3x  6 1

x 2 x 3  8
4
4 x2  5x  1
3
x 1 3 x  x 2  2
1
18. lim  
x 0 x
 
20. lim
x5  1 5

x 1 x 3  1
3
21. lim
2 x) cos x  1
23. lim(sin

24. lim(tgx) x  1
17. lim
x
x 0
1
sin x
1
tg 2 x  2 x 8

x3
3
x 0
2
1
ln x
2 
tg  x 
28. lim  3   1
x 0 sin 4 x
6
x 
26. lim  ln x  x  1
x 
3
29. lim x1 ln x  e3
x 0
27. lim
x 2
x3  2 x 2  x  2
5
sin( x  2)
1
30. lim(ctgx) ln x  e 1
x 0
Тема 8. Общая схема исследования функций и построения их графиков.
Рассматриваемые вопросы:
1. Исследование функции на монотонность и экстремумы.
2. Определение интервалов выпуклости. Точки перегиба.
3. Асимптотические линии графика функции. Вертикальные, горизонтальные и наклонные
асимптоты.
17
4. Полная схема исследования функции и построения графика.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Исследовать на монотонность и найти экстремумы функции:
1)
y( x)  x 3  6 x 2  9 x  4;
2)
y ( x) 
3)
4)
x4 x3
 ;
4
3
2
y ( x) 
;
1 x2
y( x)  x 3  2 x 2  7 x  4;
6)
y( x)  x ln 2 x;
7)
y ( x) 
8)
y ( x)  ln 2 x  1;
9)
y ( x)  ln( 2  cos x);
ex
;
x
x3
1 x2
;
y
(
x
)

.
10)
1 x2
1 x2
2. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции:
5)
y ( x) 
1. y( x)  2 x 3  3x 2  15;
4. y( x)  2 x 2  ln x;
2. y( x)  x3  6 x 2
5. y( x)  xe x ;
3. y( x)  e  x ;
x2 1
.
x2 1
2
6.
y ( x) 
3. Найти асимптоты графиков функций:
3  4x
;
2  5x
1 x2
;
1 x2
1 x2
3x 5
;
y
(
x
)

;
3. y ( x) 
4.
1 x2
2  x4
2 x 3 ln x
x2
;
.
5. y ( x)  2
6. y ( x) 
x 1
x 1
4. Провести полное исследование функций и построить их графики :
1. y ( x) 
1) y( x ) 
2) y( x ) 
1  x2
1  x2
3
;
x 3  3x 2 ;
x2
;
3) y( x ) 
x1
3x  2
4) y( x ) 
;
2
x
5) y( x )  x ln x ;
2 x
6) y( x )  x e
;
2. y ( x) 
7) y( x )  2 xe
8) y( x ) 

x2
2
x3
1  x2
9) y( x )  e
 x2
;
;
;
10) y( x )  x  ln x ;
11) y( x )  x  12 x  36 x ;
3
12) y( x ) 
3
1  x3 ;
Контрольная работа.
Рассматриваемые вопросы:
1. Правила вычисления пределов функции.
2
18
2. Основные методы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.
3. Правило Лопиталя при вычислении пределов
4. Производная сложной, неявной и параметрической функций.
5. Производные высших порядков.
Задания для самостоятельного выполнения:
Выполнить задание на карточке (см. в материалах текущего контроля).
Тема 9. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования.
Рассматриваемые вопросы:
1. Табличное интегрирование. Основные правила интегрирования. Метод разложения.
2. Интегрирование методом подстановки.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Вычислить интегралы, используя таблицу:
dx
;
2
1
dx
1.
 9x
3.

5.
7.


4x 2  1
;
(2 x  1) 2 dx
x x
2
( x  16)dx
x 2
9.  tg xdx;
 sin
4.


6.
;
2
( x 2  3x  5)dx
;
x
 sin
8.
;
dx
;
x cos 2 x
x 2 dx
;
x2  4
2.
2
x
dx;
2
x 4 dx
 x2  1.
2. Вычислить интегралы, используя метод подстановки [замену переменной].
2
10.
1.
xdx
 (1  x 2 ) 3 ;
3.
x
5.
7.

2
sin( x 3  1)dx;
dx
4x  5
ln xdx
 x ;
;
1
( x  sin )dx
x
9. 
;
x2
x dx
;
11. 
x  16
1  x 2 dx
;
x2
dx
2.

4.

6.
x
2  x dx;
8.
x
dx
x (1  x )
x 1
dx
;
10. 
sin x
12.

1
x
e dx
;
x2
;
;
19
13.
 sin( 2x)e
15.
 2 sin x  1 ;
6)

2
sin x
dx;
1
16.
x
cos xdx
xdx
1 x4
dx
14.
;
x
ln 2 xdx
3  ln x
dx
11) 
;
sin 3 x
;
;
Тема 10. Основные методы интегрирования: интегрирование по частям.
Рассматриваемые вопросы:
1. Интегрирование методом подстановки.
2. Формула интегрирования по частям.
Задания для самостоятельного выполнения:
Найти интегралы, используя формулу интегрирования по частям:
1)
2)
 xe dx;
 x sin xdx;
x
4)
 sin(
5)

3)
 ln x;
6)
4)
 arcsin xdx;
7)
5)
6)
ln x
x
 ln
2
2
xdx;
7)
 sin(ln
8)
 (x
2
8)
dx;
9)
x) dx;
10)
 4 x  1)e  x dx;
11)
x )dx;
ln(ln x)dx
;
x
xdx
 cos 2 x ;
arcsin x dx

1 x
 x sin xdx;
;
x cos xdx
;
sin 3 x
x 2 dx
 ( x 2  1) 2 ;

 arctgxdx.
Тема 11-12. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования. Геометрические приложения определенного интеграла.
Рассматриваемые вопросы:
1. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
2. Интегрирование подстановкой. Формула интегрирования по частям.
3. Приложения определенного интеграла. Площади плоских фигур. Объемы тел вращения.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить следующие определенные интегралы методом подстановки:
20
2
1.  (4 x 3  6 x 2  2 x  1)dx  5
1
4


1
  cos x  sin x dx  2



2

e
4. 
1
4
4
1  3x
0

3.
xdx
5
2. 
sin(ln x )dx
x

dx
2x  3
6.  tgx ln(cos x )dx  
xdx
x2  1
8. 
9.  x 9  94 x 2 dx
10. 
5
5. 
2
5
7. 
1
3
0
xdx
1
2
0
1
1
x dx
0
x 1
 2 ln 2  1
3
11.  4 x  2dx
12.  x 2 9  x 2 dx 
1
2
0


2
13.  2 sin x  1 cos xdx  3  1 / 3
0
1 32 3
ln
2
2

x4  x2  1
0
ln 2 2
2
4
14.  tg 3 xdx 
0
81

16
1  ln 2
2
2. Используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить следующие определенные интегралы
методом интегрирования по частям:

1.
2.
0
1
3.
 arctgxdx 
  ln 4
0
4
e2
4.
 ln( x  4)dx    4  6 ln 2
2
0
1
7.
2
 (arcsin x ) dx 
0
 8
6.
2
2
2
4
 xe dx  0,04
x3
0
1 x

2
dx 
2 52
3
 e dx  4e  2
x
3
0
2
5x
0
2
9
8.
0,2
9.
 ln xdx  2e  2
1
2
5.
ln 3 x
6e  16
1 x 2 dx  e
e
 x sin xdx  
4
10.
 sin x dx  2
0
3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
1)
y  x 2  2,
2)
y  x 2 ,
3)
y  4  x2 ,
4)
y  x2 ,
y  x; S  4,5
y  x  2, y  0; S  5 / 6
y  x 2  2 x; S  9
y  0, x  1, x  2
7)
y  x 2  1,
y  3  x, x  0
8)
y  x,
y  1  1  x 2 ; S  /2 - 1
9)
y  x2 ,
y  2 x, y  x; S  7 / 6
10)
y  x 3  3x,
y  x; S  8
21
5)
y  x2 ,
y  2x  3
6)
y  x 2  4 x  5, x - y  5, y  0, x  2
11) y 
x,
y  2  x, y  0; S  7 / 6
12) y  1 / x,
y  x, x  2; S  3 / 2  ln 2
Темы, выносимые на самостоятельное изучение:
Тема 1. Основы теории множеств.
Понятие множества. Операции над множествами. Отображение. Функция. Числовые множества. Грани числового множества. Комплексные числа. Формы записи комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая, показательная. Кванторы, логические символы и обозначения.
Контрольные вопросы:
1. Определение точной нижней (infinum) и точной верхней (suprenum) граней числового множества.
2. Алгебраические операции с комплексными числами.
3. Применение логической символики при записи математических предложений.
Вопросы к зачету:
1. Понятие функции. Способы задания функции.
2. Понятие предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентность функций.
3. Основные неопределенности в пределах и методы их раскрытия.
4. Замечательные пределы.
5. Непрерывность функции. Точки разрыва.
6. Понятие производной функции. Правила дифференцирования.
7. Таблица производных. Производная сложной функции.
8. Производная неявно заданной функции.
9. Логарифмическое дифференцирование.
10. Производные высших порядков.
11. Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
12. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
13. Возрастание и убывание функции. Точки экстремума.
14. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.
15. Асимптоты. Полное исследование функции и построение графиков.
16. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл.
17. Свойства неопределенного интеграла.
22
18. Таблица основных неопределенных интегралов.
19. Основные методы нахождения неопределенного интеграла: интегрирование подстановкой и
«по частям».
20. Некоторые замены для нахождения неопределенных интегралов.
21. Понятие определенного интеграла и свойства определенного интеграла.
22. Основные методы вычисления определенного интеграла: интегрирование подстановкой и
«по частям».
23. Несобственные интегралы.
24. Приложения определенного интеграла.
Материалы текущего, промежуточного и итогового контроля
Вопросы к аттестации
1. Понятие функции. Способы задания функции.
2. Понятие предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентность функций.
3. Основные неопределенности в пределах и методы их раскрытия.
4. Замечательные пределы.
5. Непрерывность функции. Точки разрыва.
Контрольная работа № 1
Примерный вариант заданий
1. Найти пределы, не используя правило Лопиталя
а) lim
x 4
x2  6 x  8
1  8x  3
б) lim
2
x 1
x  5x  4
4x  2
в) lim
n2 1  n
n  4
г) lim
x 0
sin x  tg x
2x 4
n3  n  n
 x  5
д) lim

x  x  3


x 1
2. Найти пределы по правилу Лопиталя
а) limsin x 
x 0
sin x
б) lim
x 0
tg 2 x  ln1  2 x 
x2
3. Найти производные функций
а) y  sinx  sin x   7 cos 3 5 x 
б) y  ln x 
ln x
23
 y  cossin t 
в) 
 x  sincos t 
4. Найти вторую производную функции
x 3  3xy  y 3  1
Примерный вариант билета для зачета
3. Найти пределы
 x  3
а) lim 

x  x  5


x2
б) lim ln 2 x 
sin x
x 0
4. Найти производные функций
а) y  2 5 x 5 x  e 5 x
б) cos( x  sin y )  sin( xy)  1
5. Найти
а)
dx
 (1  x)
;
x
4x 3  2x
dx.
б)  4
x 1
II семестр
ЛЕКЦИИ
Тема 13. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные.
Дифференциал.
Определение функции нескольких переменных. Область определения и область значений
функции двух и более переменных. Частные значения аргументов и частное значение функции.
Поверхность в пространстве как график функции двух переменных. Предел и непрерывность
функции в точке. Полное и частные приращения функции нескольких переменных. Частные производные, их механический смысл. Частные производные высших порядков. Дифференцируемость и полный дифференциал функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Частные производные высших порядков. Приложение полного дифференциала в
приближенных вычислениях.
Тема 14. Экстремум функций нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения
функции. Условный экстремум.
Экстремум функции двух переменных. Определение точки максимума (минимума). Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.
24
Тема 15. Условный экстремум функций нескольких переменных.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Функции нескольких переменных в
экономической теории.
Тема 16. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные
уравнения первого порядка.
Определение дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения. Общее и частное решение. Общий вид дифференциального
уравнения первого порядка. Другие представления дифференциального уравнения первого порядка. Геометрический смысл общего и частного решений. Общий интеграл. Начальные условия для
нахождения частного решения дифференциального уравнения первого порядка и их геометрический смысл (задача Коши). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и их
решение. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, с правой частью – однородной функцией нулевого порядка.
Тема 17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1 – го порядка. Метод Бернулли.
Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной. Структура общего решения.
Тема 18. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные
неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с правой частью специального вида.
Общее и частное решения дифференциального уравнения второго порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений. Общее решение. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Нахождение общего решения и частного решения линейного
неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и
специальной правой частью уравнения.
Тема 19. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Метод
Лагранжа.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Общее решение.
Нахождение общего решения и частного решения линейного неоднородного дифференциального
25
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом Лагранжа. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
Тема 20. Числовые ряды. Основные понятия и определения. Определение сходимости ряда.
Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.
Числовые ряды. Основные понятия. Числовая последовательность, числовой ряд. Частичные суммы и сумма числового ряда. Ряды сходящиеся и расходящиеся. Произведение ряда на число, сумма рядов. Ряд бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Основные свойства
сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости
ряда.
Тема 21. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Признаки Коши.
Первый и второй признаки сравнения. Гармонический ряд. Ряд геометрической прогрессии. Ряд Дирихле. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Доказательство расходимости гармонического ряда.
Тема 22. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Функциональные ряды. Область
сходимости. Определение степенного ряда. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Определение знакочередующегося ряда. Теорема и признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Абсолютная сходимость. Условная сходимость. Понятие функционального ряда. Область сходимости. Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вывод
формулы Адамара. Исследование сходимости ряда на концах интервала. Обобщенное понятие
степенного ряда.
Тема 23. Свойства сходящихся степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды.
Формула и ряд Тейлора. Формула и ряд Маклорена. Применение рядов в приближенных
вычислениях.
Интегрирование и дифференцирование сходящихся степенных рядов. Разложение функций
в степенные ряды. Ряд Тейлора. Условие разложимости функции в ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
Представление простейших функций в виде ряда Маклорена. Применение рядов к приближённым
вычислениям с вычислением допущенной при этом погрешности.
Планы семинарских занятий (II – семестр)
Тема 13. Функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференциал.
26
Рассматриваемые вопросы:
1. Частные производные.
2. Дифференцирование неявных функций. Полная производная.
3. Дифференциал функции двух переменных. Приложение дифференциала в приближенных
вычислениях.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Найти частные производные до второго порядка включительно:
1.1.
z( x , y )  x 2  2 y 2  3 xy  4 x  2 y  5
1.2.
z( x , y )  x 3  y 3  4 xy
1.3.
z( x , y )  x 3 y  xy 3
1.4.
z( x , y )  x 2 y 3
1.5.
z( x , y )  y ln x
, при x=1 и y=2
2. Найти частные производные в указанной точке:
2.1.
z( x , y )  x  y  x 2  y 2 , при x=3, y=4
2.2.
z( x , y ) 
2.3.
y
z( x , y )  arctg  , при x=1, y=1
x
x  3y
, при x=2, y=4
y  3x
3. Вычислить приближенно, применив линеаризацию функций двух переменных:
z( x   x , y   y )  z( x , y )  zx  x  zy  y
 1,024 ,05  1,08
 ln( 0 ,09 3  0 ,99 3 )  0 ,03

 arctg
1,04 2  3,012  3,185
1,02
 0 ,82
0 ,95
Тема 14-15. Экстремум функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения
функции.
Рассматриваемые вопросы:
1. Необходимое и достаточное условие экстремума функции двух переменных.
2. Исследование функции двух переменных на набольшее и наименьшее значения в замкнутой области..
27
3. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Сведение к задаче на экстремум
функции одной переменной в случае линейного уравнения связи.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Исследовать на экстремум функции двух переменных, используя следующий
1. z( x , y )  x 3  y 3  9 xy
2. z( x , y ) 
minz(x, y) = z(3,3) = -27
2( x  y )( 1  xy )
minz(x, y) = z(-1,-1) = -2,
( 1  x 2 )( 1  y 2 )
3. z( x , y )  x 2  y 2  xy  3 x  6 y
4. z( x , y )  xy 2 (1 - x - y)
maxz(x, y) = z(1,1) = 2
minz(x, y) = z(0,3) = -9
maxz(x, y) = 1
5. z( x , y )  4 x 2 y  24 xy  y 2 + 32y - 6
64
minz(x, y) = z(-3,2) = -10
Тема 16. Дифференциальные уравнения. Общее решение дифференциального уравнения.
Задача Коши.
Рассматриваемые вопросы:
1. Дифференциальные уравнения. Общее и частное решения. Геометрический смысл. Общий
интеграл.
2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
3. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.
4. Интегрируемость дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, с правой частью – однородной функцией нулевого порядка.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
1) xyy  1  x 2
x
1  y2
3) y 
,
1  x2
1 x

y(0)  1  y 
1  x 

4)
5) xy  y  y 3

x 

6)
2
 y 2  ln Cx2



y 2  1 
Cy
Cx


, y  1
7) y  xy  1  x 2 y, y (1)  1  y  1 
x 1


2) yy 
xy
2
1  2x
, y ( 0)  0
y
y 
3
3x  3x2
 x   y  x 2 yy  0
y 2  1dx  xydy
1 x


8) 2 x 2 yy  y 2  2  y 2  2  Ce 



28
9) 2xy' – y = 0
10) y' = y
11) y2dx + x2dy = 0
12)
13) y' = 3x + 2y.
14) y  ( y  x )2 .
yy 
 ey  0, y
x
x 1
0
2. Дифф. ур. первого порядка с правой частью однородной функцией нулевого порядка.
1)
y 
x y
x y
4)
xy  y  xe x
2)
y 2  x 2 y  xyy
5)
x 2  y 2  2 xyy
3)
(x + y)dx + xdy = 0.
6)
y
(7x2 – 2xy + 6y2)dx + (x2 – 4xy)dy = 0.
Тема 17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Рассматриваемые вопросы:
1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1 – го порядка. Метод Бернулли.
Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной. Структура общего решения.
2. Уравнение Бернулли.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Проинтегрировать линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
1) y 
y
 x,
x
y (1)  1
3) y  2 xy  xe
x2
5)
11)
2

x 2 
x2 


y

e
C



2 



ex 
xy  y  e x  0, y(1)  e  y  
x

7) y  ytgx 
9)
y  x 
1
,
cos x
x 

y (0)  0  y 
cos x 

x y  xy  1  0
2
x  y' + 2y = x2.
2. Решить уравнения Бернулли.
y  ( x  C)e 
2)
y  y  e x
4)
1


1  2x
2 x
y 
y  1  y  Cx e  x 2 
2
x


x
6)
1  x  y  2 xy  1  x ,  y  x  C 1  x 
8)
y 
10)
x2y' – 5 xy = 1
12)
(x + y)  y' = 1, y = 0 при x = –1.
2
2
2
y  2 x3 , y (1)  1
x
2
29
y
2
y x
x
1.
y  2
3.
y  2 y  y e
2.
y  y cos x  ytgx
4.
(1  x ) y  2 xy  xy , y(0)  0, 5
5. xy y  x  y , y(1)  1
3
6.
xy  2 x
7. y' – y = – y2 lnx
8.
y 
2 x
2
2
4
2
2
2
y  4 y , y(1)  0
y
 ex y2 .
x
Тема 18-19. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения однородные. Неоднородные уравнения с правой частью специального вида.
Рассматриваемые вопросы:
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Характеристическое уравнение. Определение фундаментальной системы решений в зависимости от корней характеристического уравнения.
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения. Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений
второго порядка второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой
частью уравнения.
3. Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами.
y  C e  C e 
y  2 y  y  0 y  e C  C x 
y  4 y  5 y  0 y  e C cos x  C sin x 
1. y  y  2 y  0
2.
3.
2 x
x
1
2
x
1
2
2x
1
2
4. y – 6y  + 13y = 0.
2. Решить задачу Коши для линейного однородного дифференциального уравнения второго
порядка.
1. y  3 y  2 y  0, y(0)  3, y(0)  4
y  2e
 e2 x
y  1  xe 
y  2 y  2 y  0, y(0)  1, y(0)  1 y  e cos x
2. y  2 y  y  0, y(0)  1, y(0)  0
3.
x
x
x

30
3. Решить ЛНДУII с правой частью «специального» вида:
3.
y  C  C e  x  x 
y  C e  C e  e 
y  3 y  2 y  2e
y  2 y  y  6e y  e (C  C x)  3x e 
4.
y   y   2 y  cos x  3 sin x, при y(0)  1, y (0)  2
5.
y  3 y  2 y  sin x
6.
y   2 y   x  3
7.
y   4 y   4 y  6e 2 x
8.
y   2 y   2 y  xe  x , если y(0) = y'(0) = 0.
9.
y   y  cos x
10.
y  5 y  3 x
11.
y  4 y  8 y  sin 2 x , y(0)  y(0)  0,1
12.
y  3 y  4 y  e
1.
2.
y   3 y   1  6 x
3x
1
2
2
3x
x
2x
1
x
3x
2
x
2 x
1
y  C e
2
x
1
y  e
 C2e2 x  0,3 cos x  0,1sin x
x
 sin x

2
4 x
13. y – 5y + 6y = ex
14. y – 4y + 4y = cos x
15. у – 4y  + 13y = 2x + 1
16. у = x2 + y, y(0) = –2, y(0) = 1.
Тема 19. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа.
Рассматриваемые вопросы:
1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения. Метод Лагранжа.
2. Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Решить ЛНДУII:
3.
y  C  C e  x  x 
y  C e  C e  e 
y  3 y  2 y  2e
y  2 y  y  6e y  e (C  C x)  3x e 
4.
y   y   2 y  cos x  3 sin x, при y(0)  1, y (0)  2
5.
y  3 y  2 y  sin x
1.
2.
y   3 y   1  6 x
3x
1
2
2
3x
x
2x
1
x
3x
2
x
2 x
1
y  C e
1
2
x
y  e
 C2e2 x  0,3 cos x  0,1sin x

x
 sin x
31
6.
y   2 y   x  3
7.
y   4 y   4 y  6e 2 x
8.
y   2 y   2 y  xe  x , если y(0) = y'(0) = 0.
9.
y   y  cos x
10. y  5 y  3 x
2
11. y  4 y  8 y  sin 2 x , y(0)  y(0)  0,1
12. y  3 y  4 y  e
4 x
13. y – 5y + 6y = ex
14. y – 4y + 4y = cos x
15. у – 4y  + 13y = 2x + 1
16. у = x2 + y, y(0) = –2, y(0) = 1.
Тема 20-21. Числовые ряды. Определение сходимости ряда. Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Рассматриваемые вопросы:
1. Числовые ряды. Основные понятия. Числовая последовательность, числовой ряд.
2. Ряд геометрической прогресии. Сходимость.
3. Основные свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости знакоположительного числового ряда.
4. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: признак Даламбера, признаки Коши.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Найти сумму ряда:

1)
1
3


4
n 1 n(n  2)
2)
3)

(1) n 1 1
1 1 1
1
 
  ...  

3 9 27 81
4
3n
n 1
4)
1
1
1


 ...
1 3 2  4 3  5
6)
5)

3
5
7
2n  1


 ...   2
1
2
1  4 4  9 9  16
n 1 n (n  1)

1
 n(n  1)
n 1

1
 (3n  2)(3n  1)
n 1
32
7)
 (3n  1) (3n  2)
2
n 1
n 1
2

1
12
 5n  3 

11)
1
 (n  2)(n  3)
8)
6n  1

9)

3 3 3 3
    ...
2 4 8 16
 ln  5n  2 

n 1
2 4 8 16
 
  ...
3 9 27 81
12)
n 1

6
13) 
2
n1 9n  12n  5

24

2
n2 9n  12n  5
14)

6
15) 
2
n1 9n  6n  8

9

2
n1 9n  21n  8
16)

2
17) 
2
n0 4n  8n  3

14

2
n1 49n  28n  45
18)

3
19) 
2
n1 9n  3n  2
5
 (5n  2)(5n  3)
10)

7

2
n1 49n  7 n  12
20)
2. Исследовать ряды на сходимость, применяя необходимый признак сходимости или признаки
сравнения:
1.
2.

5 7 9 11
2n  3
    ...  
(Р)
2 5 8 11
n 1 3n  1
7.
1 4 7 10
    ...
11 15 19 23
8.
n 4n 2  1

2
n 1 5n  3
9.
 2n  1 



n 1  2 n  3 
10.

n 1


4.

5.

n 1

6.

n 1
n(n  1)
n 1
n3
(Р)
 3n 



n 1

12.
 1
2 

 ntg  n
n 1
11.
 n 

2
1
 sin  n
n 1
(Р)
1
(С)
1
 n ln  3n  1 

n
1
2
n 1

3.
n
n 1  n
(С)
n
1
 ln( 1  n
n 1
2
3. Исследовать на сходимость, применяя признаки Даламбера и Коши:
)
(С)
33

n2

n
n 1 2
1.
(С)

2.
n2

n
n 1 3
9.
 3 (n  1)
6.
10.
n

13.
3n
(Р)

3 n
n 1 n 2
3.
4.
2 n n!
(С)

n
n 1 n
5n  3n

n!
n 1

7.
n!

n
n 1 n
8.
11.

ln( n  2)
5n
n 1
12.

2n

n
n 1 2  n
 n 1 
14.  

n 1  4n  1 

3n n

n
n 1 5


n!

n
n 1 100

n!
n 1
(С)



5.

10 n

n 1 n!

n
(С)
15.
3n
 (1 
n 1
2
1 n
n
(Р)
)

n !3n

n
n 1 n
 2n  1 
16.  

n 1  5n  4 


 3n  2 

17.
  3n  1 
2 n2
n 1

21.
1

(Р)
 2n  1 
18.   2

n 1  n  5 


22.
n
n 1

n2
2 n 1

n
n 1 (3n  1)

n
19.
n
n
20.
n 1
23.
3
n ln n

ln n

n 1 n
2
1
1
(С)

3
n
n
24.
1
n
n 1
2
(С)
Тема 22. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
Рассматриваемые вопросы:
1. Первый и второй признаки сравнения.
2. Теорема и признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Абсолютная сходимость. Условная сходимость.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Выполнить задание на карточке.
2. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды, применяя признак Лейбница:
(1) n 1

n3
n 1

1)
(СА) ;
2)


n 1
(1) n 1
(СУ) ;
3)
n
(1) n

n  2 n ln n

(СУ).
Понятие функционального ряда. Область сходимости. Степенной ряд. Интервал и радиус
сходимости степенного ряда.
Рассматриваемые вопросы:
1. Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости.
34
2. Исследование степенного ряда на сходимость.
3. Поведение степенного ряда на границах интервала сходимости.
4. Обобщенный степенной ряд.
Задания для самостоятельного выполнения:
Исследовать степенной ряд на сходимость:

n
x
2
n0

 ( 1)
 (1)
n 1
n 1

n
x
n 1
n
(2 x )
n
x
3
n

 nx
-1;1
2
n
n
=
n 1

 n! x
2 n 1

n! x
n 1
n




( x  4)
n
 (2n  1)  2
n 1


(-4;4)
n 1
n
n
n
( x  5)
( ;)
2 n 1
2n  4
2
n
,
n
 1

1  n   ( x - 1) ,

n 1 
0;4 
ln3.
n
n
( x  5)
n

x 2 n1
1
Найти сумму ряда 
при x 
2
n 1 2n  1

2 n 1
x

n0 n!
2n
x ,
(  e ;e )
2
n

n( n  1)
n
n
5
n 1
( x  2)
x0
4
n 1
( 2  3;-2+ 3)
 n 



n 1  2n  1 
n
n
x

3
n 1
x0
n

2 n 1

n
n 1
n

 1;1
2
n 1
( 3;3)
n
n 1
(1  x )
 (nx )
2 n 1
 n 1 

 2n  1  ( x  2)

n 1 
( x  2)
x

 1 1
 2; 2


x

n  0 2n  1

 1 1
  3; 3 


2



n
n 1
n
n
n0
 (3 x )
 2; 2 
n 1


(-7;-3)
1
 1
1 - e ;1  e 


Найти сумму ряда

(1)
n 1
 2n 1
=
n 1

4
использовать arctgx.
Тема 23. Разложение функций в степенные ряды. Формула и ряд Тейлора. Формула и ряд
Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях.
Рассматриваемые вопросы:
35
1. Интегрирование и дифференцирование сходящихся степенных рядов.
2. Формула и ряд Тейлора.
3. Формула и ряд Маклорена.
4. Разложение функций в ряд Маклорена.
5. Приложение рядов в приближённых вычислениях.
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Разложить e
 x2
в ряд по степеням x.
2. Разложить 2x в ряд по степеням x.
3. Разложить sin2x в ряд по степеням x.
4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням
x:
а.
9
20  x  x 2
б.
6
8  2x  x 2
в.
arcsinx
1
x
г.
ln 1  2 x  8 x 2 
д.
arctgx
x
е. y( x ) 
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,01:
0,1
1
 sin 100x  dx

0
0
2
1

0
x
dx
1
dx
4
ln 1  x 5 
 sin x dx
2
16  x 4
0
Контрольная работа.
Рассматриваемые вопросы:
1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
2. Дифференциальные уравнения второго порядка.
3. Знакоположительные ряды.
4. Знакочередующиеся ряды.
5. Степенные ряды.
Примерный вариант заданий
1. Дифференциальные уравнения
а) y' ytgx  cos 2 x,
y(0)  0;
б) xy  ( x  1) y '  0;
в) y ' ' y  cos x ;
1
1  x2
.
36
2. Найти область сходимости степенного ряда:
а)


3
n 1
x
n

n
б)  1  x
n
n2
n 1 n  n  1
n
1
n
Самостоятельное решение задач по теории дифференциальных уравнений и теории рядов.
Примерный вариант задания:
1. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения
y ' + xy = - x 3 ; x0 = 0 , y0 = 3 .
2. Найти область сходимости степенного ряда:
а)

n 1
n

n x
б)   1 
2n!
n
n  15
x
2 n 1
n 1
0
n
3. Разложить в ряд Маклорена следующие функции:
f (x) =
arc tg x
x
Вопросы для проведения внутрисеместровой аттестации:
1. Функции нескольких переменных. Основные понятия. Частные производные функций нескольких переменных.
2. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение полного дифференциала
в приближенных вычислениях.
3. Производная по направлению. Градиент функции.
4. Экстремум функции двух переменных.
5. Метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума функции нескольких переменных.
6. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Общее решение. Задача Коши.
7. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
8. Дифференциальные уравнения первого порядка для однородных функций.
9. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.
11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа.
12. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
13. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
37
14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.
15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа.
16. Системы дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
17. Ряды. Основные определения. Понятие сходимости ряда. Необходимый признак сходимости
числового ряда.
18. Достаточные признаки сходимости ряда. Признаки сравнения.
19. «Эталонные» ряды. Геометрическая прогрессия, гармонический ряд. Ряд Дирихле.
20. Признак Даламбера и радикальный признак Коши сходимости ряда.
21. Интегральный признак Коши сходимости ряда.
22. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
23. Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся рядов.
Вопросы к экзамену:
1. Понятие функции. Способы задания функции.
2. Понятие предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентность функций.
3. Основные неопределенности в пределах и методы их раскрытия.
4. Замечательные пределы.
5. Непрерывность функции. Точки разрыва.
6. Понятие производной функции. Правила дифференцирования.
7. Таблица производных. Производная сложной функции.
8. Производная неявно заданной функции.
9. Логарифмическое дифференцирование.
10. Производные высших порядков.
11. Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
12. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
13. Возрастание и убывание функции. Точки экстремума.
14. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.
15. Асимптоты. Полное исследование функции и построение графиков.
16. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл.
17. Свойства неопределенного интеграла.
18. Таблица основных неопределенных интегралов.
38
19. Основные методы нахождения неопределенного интеграла: интегрирование подстановкой и
«по частям».
20. Некоторые замены для нахождения неопределенных интегралов.
21. Понятие определенного интеграла и свойства определенного интеграла.
22. Основные методы вычисления определенного интеграла: интегрирование подстановкой и
«по частям».
23. Несобственные интегралы.
24. Приложения определенного интеграла.
25. Функции нескольких переменных. Основные понятия. Частные производные функций нескольких переменных.
26. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.
27. Производная по направлению. Градиент функции.
28. Экстремум функции двух переменных.
29. Метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума функции нескольких
переменных.
30. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Общее решение. Задача Коши.
31. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
32. Дифференциальные уравнения первого порядка для однородных функций.
33. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
34. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.
35. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа.
36. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
37. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
38. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами с правой частью специального вида.
39. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами. Метод Лагранжа.
40. Системы дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
41. Ряды. Основные определения. Понятие сходимости ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда.
42. Достаточные признаки сходимости ряда. Признаки сравнения.
43. «Эталонные» ряды. Геометрическая прогрессия, гармонический ряд. Ряд Дирихле.
44. Признак Даламбера и радикальный признак Коши сходимости ряда.
39
45. Интегральный признак Коши сходимости ряда.
46. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
47. Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся рядов.
48. Понятие функционального ряда. Степенные ряды. Интервал и область сходимости степенного ряда.
49. Разложение функций в степенной ряд. Формула и ряд Тейлора.
50. Формула и ряд Маклорена.
51. Применение степенных рядов. Приближенные вычисления.
52. Приближенное вычисление определенного интеграла с помощью ряда.
53. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Список рекомендуемой литературы
Учебники и учебные пособия
1. Высшая математика для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера.-М.: Банки и биржи, 1997.
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -М.: Наука, 1986.
3. Карасев А.Н., Аксютина З.М., Савельева Т.Н. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986.
4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. -М.:Инфра-М, 1998.
5. Шипачев В.С. Основы высшей математики. -М.: Высшая школа, 1998.
6. Малыхин В.Н. Математика в экономике. -М.: Инфра-М, 1999.
7. Колемаев В.А. Математическая экономика. -М.: ЮНИТИ, 1998.
8. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. Ч1-3. - М.:
Финансы и статистика, 1998.
9. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа,
1998.
10. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский Б.В. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1997.
11. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:
Инфра-М., 1997.
12. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
13. Гершгорн А.С. Математическое программирование и его применение в экономических
расчетах. -М.: Экономика, 1988.
14. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Математическое программирование. -Минск.:
Высшая школа, 1994.
40
15. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: Издательство ДИС, 1997.
16. Экономико-математические методы и прикладные модели. / Под.ред. В.В.Федосеева. -М.:
ЮНИТИ, 1999.
17. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М.:
Высшая школа, 1986.
18. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая
школа, 1986.
19. Меркулова Н.И. Прикладная математика для экономистов в примерах и задачах. – Волгоград: Комитет по печати и информации,1999.
20. Федосеев В.В., Гармаш А.Н. Экономико-математические методы и прикладные модели. –
М.: ЮНИТИ,1999.
Сборники задач
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. -М.: Наука, 1987.
2. Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики / Под.ред. А.И.Карасева, Н.Ш.Кремера. -М.: Экономическое образование, 1987.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. -М.: Высшая школа, 1997.
4. Практикум по высшей математике для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2002.
5. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1-2./П.Е. Данко, А.Г. Попов,
Т. Я. Кожевникова—М.: Высш. шк., 1999.
Справочники
1. Справочник по математике для экономистов / Под.ред. В.И. Ермакова. -М.: Высшая школа, 1987.
2. Лопатников А.И. Краткий экономико-математический словарь. -М.: Наука, 1987.
3. Воднев В.Г., Наумович А.Ф. Математический словарь высшей школы. -М.:Издание МПИ,
1988.
4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. -М.: Наука, 1987.
41
Раздел 2. Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины для
студентов
2.1. Рекомендации по использованию материалов учебно-методического
комплекса
Данный учебно-методический комплекс ставит своей целью оказание помощи студентам
экономических специальностей академии в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков по дисциплине «Математический анализ» в объеме действующей программы. Эта работа требует не только большого упорства, но и умения, без которого
затрата сил и времени не дает должного эффекта. Читать, понимать прочитанное и применять его
практически – вот в чем суть умения работать с методическими пособиями.
Особое внимание в комплексе уделено практикуму. Решение задач является лучшим способом творческого проникновения в математическую истину. Чтобы научиться решать задачи того
или иного типа, рекомендуется сначала изучить план решения в общем виде (алгоритм), затем
рассмотреть пример реализации плана в конкретном случае, решив при этом не менее 3 – 5 задач
из числа предлагаемых для самостоятельного решения. Важной позицией является также то, что
основным навыком профессионала является умение самостоятельно работать с литературой в
процессе решения конкретной проблемы.
Конечно, общих рецептов для решения разнообразных задач не существует, однако рекомендуем придерживаться следующих советов:

Внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или некоторыми ее элементами.

Не следует приступать к решению, не обдумав условия и не найдя плана решения.

Попробуйте выделить в данной задаче серию вспомогательных задач, последовательное
решение которых может привести к успеху.

Определив алгоритм решения, реализуйте его, произведите проверку полученного результата и его анализ.

Очень успешным бывает применение функционально-графического метода.

Если решить задачу не удается, обязательно обратитесь к преподавателю за консультацией.
2.2. Пожелания к изучению отдельных тем курса
Темы, связанные с задачей линейного программирования находят самое широкое применение в экономике. Знание данных тем окажется, безусловно, полезным будущих специалистов.
42
2. 3. Рекомендации по работе с литературой
Очень важную роль играет выбор учебной литературы и методических пособий. Желательно придерживаться этих учебников при изучении всего курса, так как замена может привести к
утрате логической связи между отдельными темами.
В последние годы среди студентов экономических специальностей особой популярностью
пользуется следующая литература:
1. Высшая математика для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера.-М.: Банки и биржи, 1997.
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -М.: Наука, 1986.
3. Карасев А.Н., Аксютина З.М., Савельева Т.Н. Курс высшей математики для экономических
вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986.
4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. -М.:Инфра-М, 1998.
5. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
6. Практикум по высшей математике для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002.
2.4. Советы по подготовке к экзамену (зачету)
Фундамент математических знаний закладывается на лекционных и семинарских занятиях,
а также при подготовке к ним. Буквально с первого сентября необходимо выработать серьезное
отношение к конспекту по математике. Он должен в полном объеме содержать определения, теоремы и выводы основных формул курса. Записи должны быть аккуратными. Не нужно забывать,
что они делаются для того, чтобы впоследствии с ними работать. Все теоремы и факты нужно понять, а поняв, уметь их самостоятельно доказывать. Прочитав доказательство какой-то теоремы,
воспроизвести это доказательство на бумаге без конспекта или учебника.
Помните, что умение решать задачи является следствием глубоко понятого соответствующего теоретического материала. Учебник нужно не просто читать, а изучать; основой запоминания является понимание, знание забывается – понимание никогда; повторение – важнейшее средство, предотвращающее забывание; необходимо выработать привычку систематической самостоятельной работы, «натаскивание» к экзамену или зачету дает слабый и поверхностный результат.
Для успешной сдачи зачета и экзамена студент должен знать наизусть достаточно
солидный объем теорем, формул, алгоритмов, моделей. Не откладывая процесс заучивания на
последние три дня перед экзаменом, подготовка должна вестись с первых лекций. Будет очень
хорошо, если вы заведете себе личный справочник и будете его регулярно изучать, пополняя
новым материалом.
43
Раздел 3. Материалы тестовой системы или практикум по решению задач по
темам лекций
Примеры решения задач I семестра
2x2  3x  2
.
x2  2x
Решение. Подстановка предельного значения x = 2, дает нам неопределенность вида 0/0.
Пример 1. lim
x2
Избавимся от нее путем разложения числителя и знаменателя на линейные множители.
2x2 – 3x – 2 = 0 — квадратный трехчлен, корни которого находим по формулам корней
квадратного уравнения: x1 , 2
3  9  422 3  5
 b  b 2  4ac
1


, т. е. x 1 , 2 
. Итак, x 1   ,
2a
22
4
2
x2 = 2. Зная корни, имеем разложение трехчлена: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) или, в нашем слу1

чае, 2 x 2  3 x  2  2 x   x  2  2 x  1 x  2 .
2

Аналогично получаем для знаменателя x2 – 2x = x(x – 2). Тогда наш предел примет вид:
2 x  1 x  2  2 x  1 .
2x 2  3x  2
 lim
lim
lim
2
x 2
x 2
x 2
x  2x
x   x  2
x
Теперь подставим под знак предела значение x = 2:
lim
x2
Пример 2. lim
x  1
2 x  1  2  2  1  5 .
x
2
2
x 1
.
x  8  3x
Решение. Подстановка предельного значения x = –1 дает неопределенность вида 0/0. Из2
бавимся от нее, умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, т.е.
на
x 2  8  3 x ; тогда имеем:
lim
x  1

 x  1 
x2  8  3x

x 2  8  3x 

x 2  8  3x

 lim
 x  1  



 x  1  x 2  8  3 x .
x 2  8  3x

lim
x  1
x 2  8  9x 2
8  8x 2
x  1
В знаменателе выносим общий множитель, раскладываем разность квадратов и получаем
 x  1  x  8  3 x    x  1  x  8  3 x  
lim
lim
lim
81  x 
81  x 1  x 
2
x  1
2
2
x  1
x  1
93 3
x 2  8  3x
 .
  lim
x  1
82
8
81  x 
5x3  7x2  2
.
2x3  4x  3
Решение. Имеем неопределенность вида /. Разделим числитель и знаменатель дроби на
Пример 3. lim
x 
старшую степень x, т.е. на x3:
44
5x  7x  2
57 x2 x
5
 lim

3
2
3
x 
2x  4x  3
24 x 3 x
2
3
lim
x 
2
3
(т.к. выражения 7/x, 2/x3, 4/x2, 3/x3 при x   имеют своим пределом 0).
2 x 7
 3x  2 
Пример 4. lim
 1   .


x 
 3x  4 
Решение. Выделяем в круглых скобках единицу, для чего делаем следующие преобразо-
вания:
3 x  2 3 x  2  4  4 ( 3 x  4)  6 3 x  4
6
6




 1
.
3x  4
3x  4
3x  4
3x  4 3x  4
3x  4
Теперь воспользуемся вторым замечательным пределом:

3 x 4 
3 x 4 

6
6   
 
 lim
1


 

x 
3x  4   
 
 
e
 
 
6
6 

lim
1



x 
3x  4 

2 x 7
2 x 7
6
 lim
e 3 x 4
x 
( 2 x 7 )
.
Предел в показателе степени вычислим как предел отношения многочленов:
6( 2 x  7)
12 x  42
 3x  2 
lim
 lim
 4 . Следовательно, lim


n
n
x 
3x  4
3x  4
 3x  4 
3
Пример 5. lim
x 0
 e4 .
1  2x  1
.
1  sin 8 x  1
Решение. Числитель запишем в виде
4
(1  2 x)1 3  1 , а знаменатель — в виде
(1  sin 8 x )1 4  1 . Используя соотношение 1  x   1

(1  2 x)1 3  1 
 , при x  0 получаем:
1
1
 2 x , (1  sin 8 x )1 4  1   sin 8 x .
4
3
1
 2x
3
Значит, lim

lim
 sin 8 x ~ 8 x   lim
x 0 4
x 0
1  sin 8 x  1 x 0 1  sin 8 x
4
3
2 x 7
1  2x  1
1
 2x
4  2x 1
3
 lim
 .
x 0
1
3  8x 3
 8x
4
1
 sin x  1cos x 
Пример 6. Найти lim
,
где
[1 ].
y

y


x 0
 x 
Решение. Функция y — четная, поэтому будем считать x > 0. Тогда
ln y 
ln sin x  ln x  0 
. Теперь вычислим lim
ln y :
x 0
1  cos x  0 
cos x 1

(ln sin x  ln x )
sin x x  lim x cos x  sin x   0  =
lim
ln
y

lim

lim
0
x 0
x 0
x 0
x 0
(1  cos x )
sin x
x  sin 2 x
 
 lim
x 0
( x  cos x  sin x )
 x  sin x
 lim
.
2
2
x 0
( x  sin x )
sin x  2 x  sin x  cos x
45
Сократим полученную дробь на x  sinx: lim
ln y  lim
x 0
x 0
Таким образом, lim
ye
x 0

1
3

1
3
e
1
1
 .
sin x
3
 2 cos x
x
.
Пример 7. Исследовать на непрерывность функцию f ( x )  arctg
Решение. Выражение
1
.
x
1
не определено при x = 0, следовательно, точка x = 0 есть точка
x
разрыва заданной функции. Определим вид разрыва.
Выполним замену переменной t 
lim
arctg
x  0
1
, тогда при x  0 t   и
x
1

1

 lim
arctg t  , lim
arctg  lim
arctg t   .
t  
x  0
t  
x
2
x
2
Таким образом, при x = 0 имеем разрыв первого рода, а именно — скачок.
Пример 8. Исследовать функцию y  3 
5 2

и построить ее график.
x x2
Решение.
1. Найдем область определения функции, интервалы непрерывности, точки разрыва.
Сначала найдем область определения заданной функции. Для этого представим ее в виде:
y
3x2  5x  2
.
x2
В числителе этой дроби стоит многочлен, непрерывный на всей числовой оси, а знаменатель обращается в нуль в точке x = 0. Итак, областью определения данной функции являются две
полуоси – < x < 0 и 0 < x < +, т.е. D(f ) = (–; 0)  (0; +),
в этих двух интервалах функция будет непрерывна.
2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
Так как точка x = 0 не входит в область определения функции, то точек пересечения графика с осью ординат Oy нет. График функции пересекается с осью абсцисс Ox, если y = 0, т.е.
3x 2  5x  2
 0,
x2
причем x  0, т.е. знаменатель дроби в нуль никогда не обращается. Тогда дробь равна нулю, если
ее числитель равен нулю: 3x2 – 5x – 2 = 0. Ищем корни квадратного уравнения:
46
Получаем x1 
57
1
57
  , x2 
 2 . Итак, график функции имеет две точки пересечения с
6
3
6
 1
осью Ox: A1   ;
 3

0  и A2 (2; 0) .

3. Исследуем данную функцию на четность и нечетность.
Функция является четной, если выполняется равенство f (x) = f (–x). Функция является
3x2  5x  2
нечетной, если f (x) = –f (–x). Заданная функция f ( x ) 
. Найдем f (–x):
x2
f ( x ) 
3(  x ) 2  5(  x )  2 3 x 2  5 x  2
.

( x ) 2
x2
Несложно видеть, что f (x)  f (–x) и f (x)  –f (–x), т.е. данная функция не является ни
четной, ни нечетной.
4. Найдем асимптоты графика функции.
а) Вертикальные асимптоты могут быть только в точках разрыва графика функции. В
нашем случае это точка x = 0. Найдем пределы слева и справа заданной функции в этой точке:
5 2 
3x2  5x  2

 2 
lim
3



lim
 lim


  2    ,
2
2
x  0
x  0
x  0
x x 
x

 x 
5 2 
3x2  5x  2

 2 
lim
3



lim
 lim


  2    ,
2
2
x  0
x  0
x  0
x x 
x

 x 
Итак, оба односторонних предела равны –, поэтому прямая x = 0 является вертикальной
асимптотой.
б) У графика функции есть горизонтальная асимптота y = b, если существует конечный
предел b  lim f ( x ) (или конечный предел существует только при x  – или только при
x  
x  +). Так как lim
x 
3x2  5x  2
 3 , то прямая y = 3 является горизонтальной асимптотой. Так
x2
как эта прямая является двусторонней горизонтальной асимптотой (т.е. при x  ), то наклонных асимптот у графика функции нет.
Итак, у графика заданной функции есть вертикальная асимптота x = 0 и горизонтальная
асимптота y = 3.
5. Теперь перейдем к отысканию интервалов возрастания и убывания функции и точек ее экстремума.
Найдем производную:
47



5 2 
4 5x  4

5  2 
 1 
 2  5
y    3   2   ( 3 )      2   0  5    2   2    3   2  3 =
.
x x 
x
x3

 x  x 
 x 
 x  x
а) Функция возрастает, если y' > 0. Мы имеем неравенство
5x  4
 0 . Как известно,
x3
дробь является положительной, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Тогда
наше неравенство распадется на две системы неравенств:
5 x  4  0
и

x3  0

5 x  4  0

x3  0

Решаем эти системы:
4

x  

5 , откуда x > 0.
 x  0
4

4
x  

5 , откуда x  
5
 x  0
Объединяя эти два результата, получаем область возрастания заданной функции:
(–; –4/5)  (0; +).
б) Аналогично, из условия y' < 0 (в нашем случае —
5x  4
 0 ), получим область убываx3
ния функции. Дробь меньше нуля, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Тогда
полученное неравенство распадется на следующие две системы неравенств:
5 x  4  0
и

x3  0

5 x  4  0

x3  0

Решаем эти системы:
4

4
x  

5 , откуда   x  0 .
5
 x  0
4

x  

5 — эта система несовместна.
 x  0
 4 
Объединяя эти два результата, получаем область убывания заданной функции:   ; 0  .
 5 
в) Из условия y' = 0, определим критические точки заданной функции. Решим уравнение
5x  4
4
 0 . Так как x  0, то 5x + 4 = 0, откуда x   . Это — критическая точка. Выше опреде3
x
5
лили, что слева от этой точки, в интервале (–; –4/5) первая производная положительна и функ 4 
ция возрастает, а справа, в интервале   ; 0  , первая производная отрицательна, и функция, со 5 
ответственно, убывает. При переходе через критическую точку x  
4
происходит смена знака
5
48
производной с плюса на минус, следовательно, точка x  
4
является точкой максимума задан5
5
2
49
 4


ной функции. Значение функции в этой точке f     3 
.
2
 4 5 ( 4 5)
8
 5
 4 49 
Итак, точка M   ;  является точкой максимума данной функции.
 5 8 
6. Найдём теперь интервалы выпуклости и точки перегиба графика заданной функции.
Интервалы выпуклости определим по знаку второй производной. Найдем ее, продифференцировав первую производную:

10 x  12
4 
10 12
 5
y    2  3   5( x  2 )  4( x  3 )  5  ( 2)  x  3  4  ( 3)  x  4   3  4 , y   
.
x4
x 
x
x
x
Так как знаменатель полученной дроби x4 всегда положителен (за исключением значения
x  0), то знак производной определяется знаком числителя – (10x + 12).
а) Функция будет выпуклой вверх на промежутке, где y'' < 0. Решением неравенства –
6
(10x + 12) < 0 или 10x + 12 > 0 является интервал x   . Исключая значение x  0, получаем,
5
 6 
что на интервале   ;0   0; график функции будет выпуклым вверх.
 5 
б) Аналогично, из условия y'' > 0 (в нашем случае, – (10x +12) > 0) определим интервал,
на котором функция будет выпукла вниз. Решая последнее неравенство, определяем интервал
x
6
6

или   ;  , на котором график функции будет выпуклым вниз.
5
5

в) Необходимым условием существования точки перегиба является равенство нулю вто6
рой производной (y'' = 0), что для нашей функции имеет место при x   .
5
Достаточным условием наличия точки перегиба служит смена знака второй производной
при переходе через эту точку. У нас это условие выполнено, следовательно, x  

региба графика заданной функции. Значение функции в этой точке f  

 6 52 
P   ;  есть точка перегиба графика заданной функции.
 5 9 
6
— точка пе5
6  52
. Итак, точка

5 9
49
7. Составляем сводную таблицу.
6

  ; 
5

f (x)

f '(x)
f ''(x)
+
 6 4
  ; 
 5 5
4
5
49
8
 4 
  ;0 
 5 
+
0, макс.
–
0, перегиб
–
6
5
52
9



0

(0; +)

разрыв
x
+
–
8. По результатам исследования функции строим график.
Примерный вариант практического задания по Темам 6 – 13.
1. Найти пределы:
1  2x
а) lim
x   3x  2
б)
 2 x 7 
lim

x 
2
x

3


4 x 1
.

2. Найти производные:
а) y = ln arc sin
б)
2
1 x ;
e  x  y 0 .
x
3
3. Найти полный дифференциал dz функции двух переменных z = f (x ; y) и все её производные
второго порядка:
y
z= ln  x  e  .


4. Исследовать функцию и построить ее график:
50
x 4 .
x
3
y=
Пример 1. 

dx
x 1 3 x
2
.
Решение. Интегрирование проводим методом подстановки. Положив x = (t) = t6, получим
x  t 3 , 3 x  t 2 , dx = '(t)dt = 6t5dt. Тогда

dx

x 1
3
x


( t 2  1)  1
6t 5 dt
t 2 dt

6

6
 1 t2
 1  t 2 dt 
t 3 1  t 2 
dt 

6   dt  
 6( t  arctg t )  C .
1  t 2 

Возвращаясь к переменной x по формуле t  6 x , окончательно получаем


dx
x 1 x
3

 6( 6 x  arctg 6 x )  C .
Пример 2.  x  sin x 2 dx .
Решение. Полагая t = x2, имеем dt = 2xdx , т.е. xdx 
1
1
1
dt . Тогда
2
1
 x  sin x dx  2  sin tdt   2 cos t  C   2 cos x  C .
2
Пример 3. 
x
e
x
dx .
Решение. Обозначим t 
интеграле, получим 
Пример 4. 
2
e
x
x
x , тогда dt 
dx
2 x
dx  2  e t dt  2e t  C  2e
x
. Выполняя замену переменной в исходном
C.
ln 2 x
dx .
x
Решение. Воспользуемся подстановкой t = lnx. Тогда dt 
dx
и
x
ln 2 x
1 3
1 3
2
 x dx   t dt  3 t  C  3 ln x  C .
Пример 5.  tgxdx .
Решение. Представим заданный интеграл в виде  tgxdx  
и воспользуемся подстановкой t = cosx, dt = –sinxdx. Тогда

dt
  ln t  C   ln cos x  C .
t
sin xdx
cos x
51
dx
2
dx
dx
d (tgx )
Пример 6. 

  cos x  
 ln tgx  C .
2
sin x cos x
tgx  cos x
tgx
tgx
Пример 7. Найти  x sin xdx
Решение. Применяем формулу интегрирования по частям  udv  uv   vdu .
Положим u = x, dv = sinxdx, тогда du = dx, v = –cosx.
 x sin xdx   x cos x   cosxdx   x cos x  sin x  C
Пример 8.  ( x 3  1) ln xdx .
Решение. Обозначим u = lnx, тогда (x3 + 1)dx = dv. Отсюда, du 
v    x 3  1dx   x 3 dx   dx 
dx
и
x
1 4
1

1
 dx
x  x и  ( x 3  1) ln xdx   x 4  x  ln x    x 4  x 
.
4
4

4
 x
Вычислим последний интеграл:


  4 x  x  x  4  x dx   dx  16 x  x  С .


1
dx
4
1
3
1
4
1

 1

Окончательно получаем  ( x 3  1) ln xdx =  x 4  x  ln x   x 4  x   C .
4

 16

1
Пример 9. Вычислить

2 2
1 x2
dx .
x2
Решение. Применим подстановку x = sint. Тогда dx = costdt, t = arcsinx. Найдем новые
пределы интегрирования.
При a  2 2 получим   arcsin
2 

 , при b = 1 получим   arcsin 1  .
2
4
2
Тогда интеграл в новых переменных и с новыми пределами интегрирования будет:
1

2 2
 2
 2
 2
 2
 2
1 x2
1  sin 2 t
cos 2 t
1  sin 2 t
 1

 1dt  ( ctgt  t )  4 
dx

cos
t
dt

dt

dt





2
2
2
2
2

 4  sin t
 4
 4 sin t
 4
x
sin t
sin t

 ctg

2


2
 ctg

4


4
 0

2
1

4
 1

4
.
Следует запомнить, что любой определенный интеграл это число, а неопределенный —
функция, поэтому про неопределенный интеграл говорят, что его находят, а про определенный,
что его вычисляют.
Примерный вариант практического задания.
1. Найти неопределенные интегралы и один результат проверить дифференцированием:
52

а)
x dx
7 5x
2
;
б)

x dx
x
ln
2
.
II семестр
Примеры решения задач.
Пример 1. Найти экстремум функции двух переменных z = x3 + y3 - 9xy.
Решение. Находим частные производные первого порядка:
z
z


  x 3  y 3  9 xy  x  3 x 2  9 y ,
  x 3  y 3  9 xy  y  3 y 2  9 x .
x
y
Согласно необходимому условию экстремума функции, для нахождения критических точек надо
2
3 x  9 y  0,
решить систему  2
3 y  9 x  0.
Из первого уравнения y 
1 2
x , подставляем во второе уравнение, получим x4 – 27x = 0 или x(x3 –
3
27) = 0. Стало быть, x имеет два критических значения: x1 = 0 и x2 = 3. Подставляя полученные
значения x в выражение для y, получаем y1 = 0 и y2 = 3. Это значит, что имеем две критические
точки: (0; 0) и (3; 3).
Применяем достаточное условие экстремума. Находим частные производные второго порядка:
2z
2z


2



3
x

9
y
 3 y 2  9 x  y  6 y ,
x  6 x,
2
2
x
y
2z
2z


 3 x 2  9 y  y  9,
 3 y 2  9 x  x  9 .
xy
yx
Надо найти значения этих производных в критических точках:
A
2z
x 2
x  x кр
y  y кр
, C
2z
y 2
, B
x  x кр
y  yкр
2z
xy
x  x кр
y  yкр
.
1. Вычисляем эти значения в первой критической точке (0; 0):
A1 = 6  0 = 0, C1 = 6  0 = 0, B1 = –9.
Отсюда 1  A1  C1  B1  0  0  ( 9)  81  0 , в этой критической точке экстре2
2
мума нет.
2. Вычисляем эти значения во второй критической точке (3; 3):
A2 = 63 = 18, C2 = 63 = 18, B2 = – 9.
53
Отсюда  2  A2  C 2  B2  18  18  ( 9)  324  81  243  0 , в этой критической
2
2
точке есть экстремум.
Чтобы установить максимум это или минимум, смотрим на знак A2 = 18 > 0, значит, согласно
теореме о достаточном признаке экстремума, это — минимум. Вычислим это значение:
min z = z(3; 3) = 33 + 33 – 933 = 27+ 27 – 81 = 54 – 81 = –27.
Ответ. У функции z = x3 + y3 – 9xy в критической точке (3; 3) min z = z(3; 3) = –27.
Пример 2. Найти частное решение уравнения
ным условиям:
y
x 1
Решение.
yy 
 e y  0 , удовлетворяющее начальx
 0.
Представим
производную
в
виде
y 
dy
, тогда уравнение будет
dx
y dy
  e y  0 или ye  y dy  xdx  0 . Получили дифференциальное уравнение с разделяюx dx
щимися переменными.

Интегрируя первое слагаемое по частям ye
 ye
y
e
y
y
dy   xdx  C , получим:
x2

 C — это общее решение (общий интеграл) заданного уравнения.
2
Чтобы получить частное решение, необходимо найти конкретное значение C. Подставим
в общий интеграл начальные условия: x0 = 1, y0 = 0, получим:
1
1
12
 0 e  e   C  1  C  C   .
2
2
2
0
0
Итак, частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, будет:
1
e  y (1  y )  (1  x 2 ).
2
Ответ. Частное решение, удовлетворяющее условиям x0 = 1, у0 = 0: e
y
1
(1  y )  (1  x 2 ).
2
Пример 3. Найти общее решение уравнения y' = 3x + 2y.
Решение. Сделаем подстановку t = 3x + 2y — новая неизвестная. Тогда t' = 3 + 2y' 
t  3
t  3
y 
 t . Преобразуя последнее
. Подставляя y и y' в заданное уравнение, получим
2
2
54
dt
 dx . Интегрируем каждую
2t  3
dt
1
  dx  C  ln( 2t  3)  x  C .
часть последнего уравнения по своей переменной: 
2t  3
2
1
Проводя обратную замену переменных (t = 3x + 2y) ln( 6 x  4 y  3)  x  C и потенцируя
2
6 x  4 y  3  e 2 xC  , окончательно запишем y  1 (e 2 x C  6 x  3) .
4
1
Ответ. Общее решение заданного уравнения y  (e 2 x  C  6 x  3) .
4
уравнение, запишем: t' = 2t + 3. Разделяя переменные, имеем
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение (x + y)dx + xdy = 0.
Решение. В этом уравнении P(x; y) = x + y и Q(x; y) = x являются однородными функциями
первой степени P(kx; ky)  kP(x; y), аналогично для Q(x; y).
Полагаем
y
= u, тогда y = xu, где u — новая неизвестная функция.
x
Находим дифференциал: dy = d(xu) = xdu + udx и подставляем y и dy в заданное уравнение:
(x + xu)dx + x(xdu + udx) = 0 (при x  0)  (1+ u)dx + (xdu + udx) = 0 
 xdu + (2u + 1)dx = 0.
Путём деления обеих частей уравнения на (2u + 1) и на x получим уравнение с разделёнными переменными
du
dx
=
.
x
2u  1
Домножим правую и левую части на 2:
d (2u  1)
2du
и проинтегрируем каждую

2u  1
2u  1
часть по своей переменной:

d ( 2u  1)
dx
C
 2   ln( 2u  1)  2 ln x  ln C  ln( 2u  1)  ln 2 .
2u  1
x
x
Выполняем действие потенцирования 2u  1 
менных
C
x2
и производим обратную замену пере-
2y
C
x C
C
 1  2 . Выражаем отсюда y: y    1 , здесь C1  — произвольная постоx
2 x
2
x
янная.
В процессе нахождения решения пришлось делить на (2u + 1) и на x, в результате чего
могла произойти потеря корней. Проверим это.
55
1. Подставим в исходное уравнение x = 0, а значит, и dx = 0. Исходное уравнение обратится в тождество — функция x = 0 является решением заданного уравнения.

2y
x
1
 x
2. Функцию 2u  1 
 1 = 0 или y   , т.е. dy     dx   dx также подx
2
2
 2


ставляем в заданное уравнение: ( x  y )dx  xdx   x 
x
x
dx  dx  0 .
2
2
Итак, оба решения действительно потеряны — они оба удовлетворяют заданному дифференциальному уравнению. Но второе решение y  
x
не является дополнительным, оно входит
2
в общее решение (1) при С1 = 0.
Ответ.
Совокупность
всех
решений
заданного
дифференциального
уравнения
x C
y    1 и x = 0.
2 x
Пример 5. Решить уравнение x  y' + 2y = x2.
Решение. Это — линейное уравнение первого порядка. Применим метод Бернулли. Заменяем y = u  v. Находим производную y' = u'  v + u  v' и подставляем в заданное уравнение:
x  (u'  v + u  v') + 2u  v = x2.
Раскрываем скобки и группируем второе и третье слагаемые:
x  u'  v + x  u  v' + 2u  v = x2  x  u'  v + u  [x  v' + 2  v] = x2.
Подбираем функцию v = v(x) так, чтобы x
 v' + 2v = 0, тогда вторую функцию
u= u(x) найдём из уравнения x  u'  v = x2.
Из первого уравнения последовательно получаем
x  v   2v  0  x 
dv
dv
v
dv
v
dv
dx
 2v  0 
2 0
 2 
 2
.
dx
dx
x
dx
x
v
x
Интегрируя каждую часть уравнения по своей переменной, запишем
dv
dx
 v  2 x  ln v  2 ln x  ln C .
1
Выбирая C1 = 1 и потенцируя, получим первую из двух неизвестных функций v 
Во второе уравнение x  u'  v = x2 подставляем выражение для v, тогда
x  u 
1
du
 x 2  u  x 3 
 x 3  du  x 3 dx .
2
x
dx
1
.
x2
56
Интегрируя, имеем  du   x 3 dx , следовательно, u 
Общее решение будет y  u  v 
1
x2
4
x
C.
4
4
2
C
x
 x
   C 
 2 .
4
 4 x
Ответ. Общее решение заданного неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид y 
x2 C

.
4 x2
Пример 6. Найти общее решение уравнения x  y' – y = – y2 lnx.
Решение. Это — уравнение Бернулли. Делим на (– y2):  x 
замену: z 
y
y
2

1
 ln x и выполним
y
1
1
 y 1 , z    y 2  y    2  y  .
y
y
Исходное уравнение в новых переменных примет вид: x  z' + z = lnx — это линейное
уравнение относительно z. Делаем подстановку Бернулли:
z = u  v, z'= u'  v + u  v',
уравнение запишется:
x  (u'  v + u  v') + u  v = lnx  x  u'  v + x  u  v' + u  v = lnx 
x  u'  v + u  [x  v' + v] = lnx.
Выбираем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в квадратных скобках равнялось нулю,
т.е. x  v' + v = 0 или x 
dv
dv
dv
dx
 v  0  x   v . Разделяем здесь переменные:
  ; интеdx
dx
v
x
грируя, имеем ln v   ln x  v 
1
. Подставляем в (1), получим дифференциальное уравнение для
x
определения функции u = u (x): x  u'v = lnx 
u   ln x 
du
 ln x  du  ln xdx  u  x ln x  x  C .
dx
Возвращаясь к подстановке Бернулли z = u  v, получим
z
Отсюда
1
x  ln x  x  C   ln x  1  C  1 .
x
x y
1 x ln x  x  C
x
.

, y
y
x
x ln x  x  C
57
Ответ. Общее решение заданного уравнения Бернулли y 
x
.
x ln x  x  C
Пример 7. Решить уравнение y – 5y + 6y = ex.
Решение. Сначала решаем однородное уравнение y  – 5y + 6y = 0.
Записываем его характеристическое уравнение k 2 – 5k + 6 = 0. Его корни, согласно k1 = 2, k2 = 3.
Корни действительные различные. Следовательно, общее решение однородного дифференциального уравнения запишем в виде ~y = C1  ek1x + C2  ek2x = C1  e2x + C2  e3x.
Для нахождения общего решения y = ~
y + z заданного неоднородного уравнения необходимо ещё найти частное решение z. Правая часть f (x) = aemx = ex, здесь m = 1 и это значение не
является корнем характеристического уравнения. В этом случае частное решение ищем в виде z =
Aex, где A — неизвестный коэффициент.
Находим производные
z' = Aex и z'' = Aex.
Подставляя эти выражения в заданное уравнение, получим:
Aex – 5Aex + 6Aex = ex или 2A = 1.
Отсюда A 
1
1
. Частное решение неоднородного уравнения имеет вид z  e x .
2
2
Общее решение заданного уравнения, согласно структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид.
1
y  C1e 2 x  C 2 e 3 x  e x .
2
Пример 8. Найти общее решение уравнения y – 4y + 4y = cos x.
Решение. Запишем соответствующее однородное уравнение
y – 4y + 4y = 0
Его характеристическое уравнение k 2 – 4k + 4 = 0. Его корни, k  2  4  4  2 ,
1, 2
т.е. k — действительный корень двойной кратности.
Следовательно, общее решение однородного дифференциального уравнения
запишем в виде ~y = ekx(C1 + C2x) = e 2x(C1 + C2 x). Частное решение ищем в виде
z = Acosx + Bsinx, где A и B — неизвестные коэффициенты.
Находим производные z = – A sinx + B cosx и z = –Acosx – Bsinx.
58
Подставляем z, z и z в левую часть уравнения и группируем члены, содержащие cosx и
sinx:
–Acosx – B sinx + 4A sinx – 4B cosx + 4A cosx + 4B sinx  cosx.
Приравнивая коэффициенты при sinx и cosx слева и справа, получим следующую систему:
 3A  4B  1

4 A  3B  0.
Решая эти уравнения совместно, находим следующие значения
A
и тогда частное решение будет иметь вид z 
3
4
и B
25
25
3
4
cos x  sin x .
25
25
Общее решение заданного уравнения будет
y  e2 x C1  C2 x  
3
4
cos x  sin x .
25
25
Примерный вариант практического задания по Темам 15 – 19.
1. Исследовать функцию двух переменных на экстремум:
z = x2 + y 2 - xy + 9x - 6y + 20.
2. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения
y ' - 2y = e 2x ;
x0 = 0 , y0 = 5 .
Примеры решения задач по темам 20 – 23
Пример 1. Найти сумму ряда
1
1
1
1



 .
1 3 3 5 5 7
( 2n  1)  ( 2n  1)
Решение. Общий член ряда можно представить в следующем виде:
un 
1
1 1
1 
 

, n  1, 2,  ,
( 2n  1)  ( 2n  1) 2  2n  1 2n  1 
откуда
u1 
Следовательно,
1
1
11 1
11 1
 1  , u2    , u3    ,  .
2
3
2 3 5
25 7
59
Sn 
1
1 11 1 11 1
1 1
1 

1              

2
3 2 3 5 25 7
2  2n  1 2n  1 

Sn 
Так как lim
n
1
1 1 1 1 1
1
1  1
1 

1        
  1 
.
2
3 3 5 5 7
2n  1 2n  1  2 
2n  1 
1
1
1  1

lim
1 
  , то ряд сходится, и его сумма S  .
n
2
2
2n  1  2


1  1
Пример 2. Исследовать сходимость ряда  n 1  
n
n 1 2 
n2
.
Решение. Применим радикальный признак Коши.
n2
1  1
Здесь un  n 1   ,
2  n
n
1
1
n u  1   . Применив второй замечательный предел,


n
2 n
n
получаем: C  lim
n
n
1
1
 1
un  lim 1    e  1 , следовательно, данный ряд расходится.
2 n   n 
2

Пример 3. Исследовать сходимость ряда
1
 n! .
n 1
Решение. Применяем достаточный признак Даламбера. Находим
un 1
1
1
n!
1
. Так как предел этого отношения при n   равен 0 и,

: 

un
(n  1)! n! (n  1)! n  1
следовательно, меньше 1, то ряд сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда
1
 (n  1) ln( n  1) .
n 1
Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Здесь
un 
1
1
.
, f ( x) 
(n  1) ln( n  1)
( x  1) ln( x  1)
dx

dx
d (ln( x  1))

x

1
 ( x  1) ln( x  1)   ln( x  1)   ln( x  1)  ln ln( x  1) 1   .
1
1
1


Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд.
Пример 5. Исследовать сходимость степенного ряда
x2
xn
x

 .
2
n
60
Решение. Здесь an = 1/n, an + 1 = 1/(n + 1). Найдем радиус сходимости:
an
n 1
1 1 
 1
 lim  :
 lim 1    1 .
  lim
n   an 1
n   n n  1  n   n
n  
n
R  lim
Следовательно, ряд сходится абсолютно для значений x, удовлетворяющих неравенству
–1 < x < 1.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если x = 1, то получаем гармонический ряд 1 
1
1
    , который, как известно, расходится.
2
n
Если x = –1, то получаем ряд  1 
1 1
1
      , который сходится по признаку
2 3
n
Лейбница.
Итак, область сходимости данного степенного ряда — интервал [–1, 1).
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
1!(x – 1) + 2!(x – 1)2 + 3!(x – 1)3 + … + n!(x – 1)n + ….
Решение. Здесь an = n! и an + 1 = (n + 1)!, значит,
n!
1
 lim
 0.
n   ( n  1)! n   n  1
R  lim
Ряд сходится только при x – 1 = 0, т.е. в точке x = 1.
Пример 7. Найти сумму ряда 1 + 2x + 3x2 + … + nxn – 1 + … (|x| < 1).
Решение. Данный ряд получается почленным дифференцированием следующего ряда 1 +
x + x2 + … + xn + … (|x| < 1), который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией; его сумма:
1 x  x2  xn  
1
.
1 x
Дифференцируя последнее равенство, получаем
1  2 x  3x 2    nx n 1   
1
(1  x ) 2
.
x2 x3
xn
Пример 8. Найти сумму ряда x 


  (|x| < 1).
2
3
n
61
Решение. Продифференцировав почленно данный ряд, получим ряд 1 + x + x2 +
+ … + xn + …, сумма которого
1 x  x2  xn  
1
.
1 x
Проинтегрировав последнее равенство в пределах от 0 до x (|x| < 1), находим
d (1  x)
x2 x3
xn
dx
1
.
x


 
 
  ln(1  x)  ln
2
3
n
1

x
1

x
(
1

x
)
0
0
x
x
Пример 9. Разложить sin2x в ряд по степеням x.
Решение. Воспользуемся равенством sin 2 x 
1
(1  cos 2 x ) . Запишем разложение функции
2
cos2x, заменив в известной формуле x на 2x: cos 2 x  1 
(2 x ) 2 (2 x ) 4 (2 x ) 6


.
2!
4!
6!
Таким образом,
sin 2 x 
3
5
7
1 
(2 x ) 2 (2 x ) 4 (2 x ) 6
 2 2 2 4 2 6 2 8
x

x

x

x  .
1

1









4!
6!
8!
2  
2!
4!
6!
  2!
1
Пример 10. Вычислить
x
 e dx с точностью до 0,0001.
2
0
Решение. Неопределенный интеграл от функции e
 x2
не выражается в элементарных
функциях, поэтому вычисление заданного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница невозможно,
и мы вынуждены ограничиться приближенным вычислением интеграла.
Разложение в степенной ряд функции e
e x  1 
2
 x2
имеет вид:
x2 x4 x6
x 2n


   ( 1) n
 ... .
1! 2! 3!
n!
Интегрируем полученный ряд почленно на отрезке [0; 1]:
1
e
0
 x2
 x2 x4 x6

x 2n
dx   1 


   ( 1) n
 ...dx 
1! 2! 3!
n!

0
1
1
2 n 1
x3 1 x5 1 x7
n 1 x
 x         ( 1)

 
3 2! 5 3! 7
n! 2n  1
0
1 1 1
1
1
1
1
 1   



 .
3 10 42 216 1320 9360 75600
62
Получили знакочередующийся числовой ряд с убывающими по абсолютной величине
членами. Этот ряд является сходящимся по признаку Лейбница, и для вычисления его суммы с заданной точностью мы можем ограничиться первыми семью членами (так как восьмой член ряда
по абсолютной величине меньше 0,0001). Выполняя все вычисления, получаем
1
x
 e dx  0,7468.
2
0
Примерный вариант практического задания по Темам 25 – 28.
1. Найти область сходимости степенного ряда:

а) 
n 1
nx
2
n
n

n
б)  1  x .
2n  1
n
n 1
0
2. Разложить в ряд Маклорена следующие функции:
f (x) =
1
1 x
2
.
Раздел 4. Словарь основных терминов (глоссарий)
Абсцисса вектора – первая из декартовых координат вектора или точки.
Алгебра векторная – раздел математики, в котором изучаются простейшие операции над
векторами: сложение, умножение на число, скалярное, векторное и смешанное произведения.
Алгебраическое дополнение – для данного минора M квадратной матрицы A это такое
число (-1)kM', где M' – определитель, образованный элементами матрицы A, остающимися после
вычеркивания в A строк и столбцов, образующих M, k – сумма номеров строк и столбцов, входящих в минор M.
Алгоритм – точное формальное предписание, однозначно определяющее содержание и последовательность операций, переводящих заданную совокупность исходных данных в искомый
результат.
Альтернативная гипотеза – предположение, принимаемое в случае отклонения нулевой
гипотезы.
Аппликата – третья из декартовых координат точки в трехмерном пространстве.
Арифметическая прогрессия – последовательность чисел, в которой каждое последующее
число получается из предыдущего прибавлением некоторого постоянного числа.
Асимптота – такая прямая, что расстояние от точки на данной кривой до этой прямой
стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат.
63
Ассоциативность – свойство алгебраических операций сложения (+) и умножения () чисел, выражаемое тождествами: (a + b) + c = a + (b + c), (a  b)  c = a  (b  c).
Базис векторного пространства – система линейно независимых векторов, линейными
комбинациями которых можно представить любой вектор этого пространства.
Базис ортонормированный – базис векторного пространства, образованный единичными
попарно ортогональными векторами.
Вариационный ряд – совокупность величин, расположенных в порядке их возрастания.
Вариационный ряд полностью определяется указанием различных значений входящих в него величин и числа членов ряда.
Вектор – 1. Направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве. 2. Элемент векторного пространства.
Вектор единичный – вектор (1.), длина которого равна единице.
Вектор свободный – совокупность векторов (1.) с одинаковыми длиной и направлением,
но различными начальными точками, которые можно выбирать свободно.
Вектор связанный – вектор с фиксированной начальной точкой.
Вектор скользящий – совокупность векторов (1.) с одинаковыми длиной и направлением,
но различными начальными точками, которые лежат на одной прямой того же направления.
Векторы коллинеарные – векторы, параллельные одной и той же прямой.
Векторы компланарные – векторы, параллельные одной и той же плоскости.
Векторы линейно зависимые – векторы, некоторая линейная комбинация которых равна
нулю, хотя не все её коэффициенты равны нулю.
Векторы линейно независимые – совокупность векторов, не являющихся линейно зависимыми.
Векторы ортогональные – векторы, скалярные произведения которых друг на друга равны нулю.
Вырожденная матрица – матрица, определитель которой равен нулю.
Геометрическая прогрессия – последовательность чисел, в которой каждое последующее
число получается из предыдущего умножением на некоторое постоянное число.
Геометрическое место точек – множество точек (образующих кривую или поверхность),
выделяемых из всех точек пространства каким-либо геометрическим требованием или свойством.
Геометрия – часть математики, изучающая пространственные отношения и формы тел, а
также их обобщения.
Геометрия аналитическая – раздел геометрии, в котором геометрические объекты изучаются средствами алгебры на основе метода координат.
64
Гипербола – плоская кривая второго порядка, получающаяся при пересечении кругового
конуса плоскостью, не проходящей через его вершину и параллельной двум его образующим; каноническая форма уравнения гиперболы в прямоугольных координатах
x2 y 2

 1, где a – дейa 2 b2
ствительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.
Гипотеза – научное предположение, выдвигаемое для объяснения некоторого явления и
требующее верификации.
Гистограмма – столбиковая диаграмма, показывающая распределение значений некоторой
переменной по выбранной совокупности интервалов, покрывающих область изменения этой переменной.
Граф – математический объект, заданный множеством вершин и набором упорядоченных
пар вершин (ребер).
Действительные (вещественные) числа – числа, представимые всевозможными десятичными дробями.
Диагональная матрица – квадратная матрица, все элементы которой, кроме, быть может,
элементов главной диагонали, равны нулю.
Директриса – прямая, обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой
точки кривой до фокуса к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная,
равная эксцентриситету.
Дискретные случайные величины – случайные величины, которые принимают отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Дисперсия –
характеристика случайной величины, определяемая как математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Дистрибутивность – свойство алгебраических операций сложения (+) и умножения (),
выражаемое тождествами: a  (b  c)  (a  b)  (a  c) и (a  b)  c  (a  c)  (b  c) .
Длина вектора – положительное значение квадратного корня из скалярного произведения
вектора на себя.
Достоверное событие – событие, которое обязательно происходит при каждом испытании;
вероятность этого события равна единице.
Единичная матрица – диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице; обозначается обычно E или I.
Зависимые события – события, для которых вероятность одного из них меняется в зависимости от того, произошло другое или нет.
Закон распределения случайной величины – соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
65
Иррациональные числа – числа, не представимые обыкновенными дробями.
Испытание – изучение какого-либо явления в порядке наблюдения.
Качественный регрессионный анализ – группа методов многомерного анализа данных,
позволяющих оценить влияние нескольких номинальных независимых признаков (предикторов)
на зависимый признак.
Квадратная матрица – матрица, у которой число строк равно числу столбцов.
Ковариационный анализ – совокупность методов математической статистики, предназначенных для выявления зависимости среднего значения некоторой случайной величины - от набора
неколичественных факторов, задающих условия качественной природы, при которых получены
наблюдения; и одновременно – от набора количественных факторов (сопутствующих переменных).
Коллинеарность – свойство векторов (1.), заключающееся в том, что они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Компоненты коллинеарных векторов пропорциональны.
Комбинаторика – раздел математики, изучающий составление различных комбинаций из
заданных объектов.
Коммутативность – свойство алгебраических операций сложения (+) и умножения () чисел,
выражаемое тождествами: a+b=b+с, ab=ba; вычитание и деление чисел некоммутативны.
Компланарность – свойство векторов (1.), заключающееся в том, что все они параллельны
одной плоскости.
Комплексное число – число, включающее действительную и мнимую части.
Координата – одно из чисел, совокупность которых характеризует положение точки; каждая координата имеет свой порядковый номер в этой совокупности.
Координаты декартовы – прямолинейные координаты, у которых все оси взаимно перпендикулярны; для нахождения координат произвольной точки M из неё опускаются перпендикуляры на соответствующие оси; координатами точки M являются числа, характеризующие положения оснований перпендикуляров на этих осях.
Корреляционный анализ – статистические методы обнаружения корреляционной зависимости между двумя или более случайными признаками или факторами.
Корреляция – связь переменных, при которой одному значению одного признака соответствует несколько значений другого признака, отклоняющегося в ту или иную сторону от своего
среднего значения.
Коэффициент угловой – тангенс угла между данной прямой и осью абсцисс.
Кривая второго порядка – плоская линия, декартовы координаты которой удовлетворяют
алгебраическому уравнению второй степени a11x 2  2a12 xy  a22 y 2  2a13 x  2a23 y  a33  0 , где не все
aij равны нулю одновременно для i, j = 1,2.
66
Линейная зависимость – зависимость между элементами векторного пространства, заключающаяся в том, что некоторая линейная комбинация этих элементов равна нулю, хотя не все
коэффициенты равны нулю.
Линейная корреляция – корреляция, при которой отношение степени изменения одной
переменной к степени изменения другой переменной является постоянной величиной.
Линейно независимые решения – решения, никакая линейная комбинация которых не
равняется нулю тождественно.
Линейные уравнения – уравнения вида Ax = b, где A –линейный оператор, x – неизвестная
переменная, b – константа (в широком смысле).
Линия регрессии – линия, которая точнее всего отражает распределение экспериментальных точек на диаграмме рассеяния и крутизна наклона которой характеризует зависимость между
двумя интервальными переменными.
Логарифм числа – показатель степени, в которую возводится основание для получения
данного числа.
Максимум – значение функции, которое не меньше любого из её значений в некоторой
окрестности аргумента.
Математика – система наук, изучающих количественные отношения и пространственные
формы реальности.
Математическая модель – приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное с
помощью математической символики.
Математическая статистика – наука, изучающая методы раскрытия закономерностей,
свойственных большим совокупностям однородных объектов, на основании их выборочного обследования.
Математическое ожидание – среднее значение случайной величины, определяемое как
сумма произведений случайной величины на их вероятности (дискретное распределение случайной величины) или интеграл от произведения случайной величины на функцию плотности вероятности (непрерывное распределение случайной величины).
Математическое программирование – раздел математики, исследующий математические
модели и методы решения многоэкстремальных задач с ограничениями.
Матрица – прямоугольная таблица, состоящая из элементов, расставленных в m строк и n
столбцов. Обозначается двойными линейками, круглыми или квадратными скобками, охватывающими таблицу слева и справа.
Матрица корреляции – числовая матрица коэффициенты корреляции для всех пар анализируемых переменных.
Матрица-столбец – матрица, состоящая из одного столбца и имеющая размер m  1.
67
Матрица-строка – матрица, состоящая из одной строки и имеющая размер 1  n.
Минор – определитель матрицы, составленный с сохранением порядка из элементов, стоящих на пересечениях заданных k разных строк и k разных столбцов данной матрицы.
Мнимая единица – число, квадрат которого равен минус единице.
Многомерный статистический анализ – раздел математической статистики, развивающий математические методы выявление характера и структуры взаимосвязей явлений, характеризующихся большим количеством различных свойств.
Множественная корреляция – корреляция между одной зависимой переменной и комбинацией двух или более независимых переменных, которая дает оценку смешанного влияния на зависимую переменную.
Множественная регрессия – статистическая процедура изучения зависимости, существующей между зависимой переменной и несколькими независимыми переменными.
Множество – совокупность объектов, объединенных общим для них признаком.
Наибольший общий делитель– наибольшее натуральное число, на которое делится без
остатка каждое из данных чисел.
Наименьшее общее кратное – наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.
Натуральные числа – целые положительные.
Начало координат – точка пересечения осей координат, являющаяся началом отсчёта;
обычно обозначается буквой O.
Невозможное событие – событие, которое при заданной совокупности условий произойти
не может; его вероятность равна нулю.
Невырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля.
Независимые испытания – испытания, для которых вероятность того или иного исхода
каждого из испытаний не зависит от того, какие исходы имели другие испытания.
Независимые события – события, для которых появление любого их них не изменяет вероятности появления другого.
Нелинейная корреляция – корреляция, при которой отношение степени изменения одной
переменной к степени изменения другой переменной является изменяющейся величиной.
Неоднородность – отсутствие у системы уравнений или уравнения свойства однородности.
Непрерывные случайные величины – случайные величины, которые могут принимать
все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Несовместность – свойство системы уравнений или неравенств, заключающееся в отсутствии решения, удовлетворяющего всем составляющим системы.
68
Несовместные события – события, которые не могут осуществиться в одном и том же испытании.
Нормаль – перпендикуляр к касательной плоскости или к касательной в данной точке.
Нулевая гипотеза – предположение об отсутствии взаимосвязи или корреляции между исследуемыми переменными.
Нуль-вектор – вектор, все компоненты которого равны нулю.
Обратная матрица – матрица, которая, будучи умножена справа или слева на данную, дает
единичную матрицу. A-1 – обозначение матрицы, обратной к A.
Общее решение – решение системы линейных алгебраических уравнений, зависящее от
нескольких параметров, из которого при частных значениях этих параметров можно получить любое решение.
Обыкновенная дробь – отношение двух целых чисел.
Окружность – множество всех точек плоскости, находящихся на одном и том же положительном расстоянии R (радиус окружности) от данной точки этой плоскости (центра окружности).
Определитель – сумма всех возможных для данной квадратной матрицы произведений членов определителя, взятых с соответствующими знаками; обозначается в виде таблицы элементов данной матрицы, ограниченной по бокам простыми вертикальными чертами.
Ордината – вторая из декартовых координат точки.
Орт – единичный вектор, т.е. вектор, длина которого равна единице.
Ось – Прямая, на которой путем задания единичного вектора указаны направление, единица длины и начало отсчёта.
Ось абсцисс – первая из осей декартовой системы координат на плоскости или в пространстве.
Ось аппликат – третья из осей декартовой системы координат в пространстве.
Ось действительная – отрезок между вершинами гиперболы.
Ось координатная – часть системы координат, являющаяся прямой с заданным на ней
направлением и масштабом длины.
Ось кривой второго порядка – прямая, относительно которой данная кривая расположена
симметрично.
Ось мнимая – перпендикуляр к действительной оси гиперболы, проходящий через её
центр.
Ось ординат – вторая из осей декартовой системы координат на плоскости или в пространстве.
Отображение – правило перехода одного элемента множества A в один элемент множества
B.
69
Отрицательная корреляция – корреляция, при которой увеличение одной переменной
связано с уменьшением другой переменной.
Парабола – плоская кривая второго порядка, получающаяся при пересечении кругового
конуса плоскостью, не проходящей через его вершину и параллельной одной из его образующих.
Параллелограмм – плоский четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Параллельность – отсутствие общих точек у двух прямых, лежащих в одной плоскости,
или у прямой и плоскости, или у двух плоскостей.
Перестановки – группировки из данных элементов, отличающиеся друг от друга их порядком.
Перпендикуляр к плоскости – прямая, пересекающая под прямым углом любую прямую,
лежащую в данной плоскости и проходящую через точку пересечения.
Перпендикуляр к прямой – прямая, пересекающая под прямым углом данную прямую.
Перпендикулярность – взаимное свойство двух прямых, прямой и плоскости или двух плоскостей, которые пересекаются друг с другом и образуют в точке пересечения прямой угол (две плоскости в этом случае образуют по линии пересечения двугранный прямой угол).
Плоскость – один из основных объектов геометрии, определяемый аксиоматически своими
отношениями с прямой и точкой. В трёхмерном евклидовом пространстве это – множество точек,
декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению Ax  By  Cz  D  0 , где A, B, C не
равны нулю одновременно.
Плоскость координатная – плоскость, содержащая две оси координат.
Положительная корреляция – корреляция, при которой увеличение одной переменной
связано с увеличением другой переменной.
Полуось – одна из величин a и b в уравнениях эллипса, гиперболы.
Проверка статистических гипотез – процедура установления согласованности выборочных значений некоторой случайной величины с определенным вероятностным предположением о
ее распределении.
Произведение вектора на скаляр – вектор, компоненты которого равны соответствующим
компонентам данного вектора, умноженным на данный скаляр.
Произведение событий – событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Пропорция – равенство двух отношений.
Пространство n-мерное – векторное пространство, в котором существует n линейно независимых векторов, но всякие n + 1 векторов линейно зависимы.
70
Пространство евклидово – конечномерное векторное пространство, в котором определено
скалярное произведение для любых двух векторов, причём скалярный квадрат ненулевого вектора
положителен.
Процент – сотая часть числа.
Прямая – 1. один из основных объектов геометрии, определяемый аксиоматически; 2.
множество точек в евклидовой плоскости, прямоугольные декартовы координаты которых ( x, y )
удовлетворяют уравнению ax  by  c  0 , где a и b не равны нулю одновременно; 3. пересечение двух различных плоскостей в евклидовом трёхмерном пространстве.
Пучок прямых – множество прямых, лежащих в одной плоскости и проходящих через одну и ту же точку (центр пучка).
Равновозможные события – события, для которых есть основания считать, что ни одно из
них не является более возможным, чем другое.
Равносильность – свойство двух или нескольких уравнений с одним неизвестным (или систем n уравнений с m неизвестными), заключающееся в том, что они имеют одно и то же множество корней (решений).
Равносильные уравнения – уравнения, совокупности решений которых совпадают.
Радиус – отрезок, соединяющий любую точку окружности или сферы с центром, а также
длина этого отрезка.
Радиус-вектор – вектор (1.), начало которого совпадает с некоторой фиксированной нулевой точкой 0, а конец – с точкой М.
Размерность – число базисных векторов, одинаковое для всех базисов данного векторного
пространства.
Размещения – группировки из данного числа элементов по заданному меньшему числу в
каждой группе, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Ранг матрицы – наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Рациональные числа – числа, представимые обыкновенными дробями.
Регрессионный анализ – статистический метод, который используется для оценки отношений между (двумя) переменными.
Решение – математический объект, удовлетворяющий условиям поставленной задачи.
Сжатие эллипса – характеристика эллипса  
a b
(a и b – большая и малая полуоси элa
липса), связанная со значением его эксцентриситета е соотношением е 2   (2   ) .
Симметрия – преобразование, совмещающее геометрический объект с самим собой при
повторении.
71
Система уравнений – множество уравнений, для которых требуется найти решения, удовлетворяющие одновременно всем уравнениям системы.
Скаляр – величина, каждое значение которой может быть выражено одним числом.
Сложение векторов – образование вектора c  a  b из двух данных векторов a и b по
правилу параллелограмма: начало вектора b параллельным переносом совмещается с концом вектора a и тогда начало вектора c совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b .
Случайная величина – величина, которая в результате испытания может принять то или
иное числовое значение, заранее неизвестно, какое именно.
Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти в результате
испытания.
Событие – всякий результат или исход испытания.
Событие, противоположное событию A – событие, которое происходит тогда и только
тогда, когда не происходит событие A.
Совместность – свойство системы уравнений (неравенств) иметь хотя бы одно общее для
всех уравнений (неравенств) решение.
Совместные события – события, которые могут произойти вместе в одном и том же испытании.
Сочетания – группировки из данного числа элементов по заданному меньшему числу в
каждой группе, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Среднее квадратическое отклонение – характеристика случайной величины, которая показывает среднюю величину разброса случайной величины относительно ее математического
ожидания; определяется как корень квадратный из дисперсии.
Статистическая гипотеза – предположение об определенных эмпирических характеристиках распределения в данной совокупности.
Статистические методы анализа – группа методов и способов сбора и обработки данных,
используемых для описания и анализа информации.
Статистический тест – процедура, применяемая к количественным данным выборки для
вычисления возможной истинности статистической гипотезы.
Сумма событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных
явлениях.
Теория игр – математическая теория, предсказания результатов игр, в которых участники
не имеют полной информации о намерениях друг друга. Формализованное описание игры представляется списком ее участников и множества стратегий для каждого из них.
72
Транспонированная матрица – матрица, у которой взаимно переставлены местами столбцы и строки. Обозначение AT.
Уравнение – запись в форме равенства задачи об отыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны.
Уравнение прямой – координатное уравнение прямой на плоскости; общий вид его в прямоугольных
декартовых
координатах
Ax + By + C = 0, где постоянные коэффициенты A и B не могут одновременно быть равными нулю.
Уровень значимости – степень риска, заключающаяся в том, что исследователь может
сделать неправильный вывод об ошибочности статистической гипотезы на основе выборочных
данных.
Условная вероятность – вероятность события A, вычисленная при условии осуществления
другого события B.
Факториал числа – функция целых неотрицательных чисел, равная произведению всех
целых чисел от 1 до данного числа.
Фокус кривой – точка, лежащая в плоскости кривой второго порядка и обладающая тем
свойством, что отношение расстояний от любой точки кривой до фокуса и до соответствующей
директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету этой кривой.
Функция – правило перехода одного числового множества в другое.
Функция плотности вероятности – производная от функции распределения.
Функция распределения – функция, определяющая для каждого действительного значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, не превышающее x.
Центр – центр симметрии кривой, поверхности или тела.
Центр гиперболы – середина отрезка между фокусами гиперболы.
Центр окружности – точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от всех точек окружности и принадлежащая плоскости, в которой расположена окружность.
Частное решение – решение, получающееся из общего решения при конкретных значениях
параметров.
Численное решение – решение математической задачи, полученное одним из численных
методов.
Эксцентриситет – число, равное отношению расстояния от любой точки кривой второго порядка до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы; обычно обозначается
е; у эллипса е < 1, у окружности е = 0, у гиперболы е > 1, у параболы е = 1.
Элементарное событие – возможный исход испытания, который в условиях задачи нельзя
представить как объединение других возможных исходов.
73
Эллипс – плоская кривая второго порядка, получающаяся при пересечении кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину и пересекающей все его образующие; каноническая форма уравнения эллипса в прямоугольных декартовых координатах
x2 y2

 1 , где a –
a 2 b2
большая полуось, b – малая полуось.
Раздел 5. Методические указания для выполнения контрольных,
курсовых и выпускных квалификационных работ
Данный раздел не предусмотрен учебным планом.
Раздел 6. Материалы мультимедийных лекций
Данный раздел не предусмотрен учебным планом.