динамика механических систем

Министерство образования и науки Российской Федерации
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМЕНИ ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА ТЕОРИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Специальность: 010800.62 — механика и математическое моделирование
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(Бакалаврская работа)
ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Работа завершена:
"_26__"___05_____2015 г. ___________________________(П.В.Васильев)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
к.ф-м.н.,
"___"___________2015 г. ______________________________(О.А. Саченков)
Заведующего кафедрой
д.ф-м.н.
"___"___________2015 г. ______________________________(Ю.Г. Коноплев)
Казань 2015
2
Содержание
1
Введение………………………………………………………………………………………………3
2
Динамика систем твердых тел…………………………………………………………….4
3
Построение и расчет конструкции ……………………………………………………..7
4
Моделирование деформируемых тел…………………………………..9
5
Расчеты механизма Кланна с учетом податливости………………….14
6
Заключение………………………………………………………………19
7
Литература……………………………………………………………….20
3
1.Введение
Механизм Кланна — это плоский механизм, имитирующий походку
животных и способный служить в качестве замены колесу. Механизм
состоит из вращающегося звена, кривошипа, двух шатунов и двух сцепок.
Все звенья соединены плоскими шарнирами.
Пропорции каждого из звеньев механизма определяются
необходимостью приблизить к линейному характер движения «ножки». За
первые пол-оборота кривошипа «ножка» перемещается приближённо
линейно, а за оставшиеся пол-оборота она поднимается на заданную высоту,
прежде чем вернуться в исходное положение, и цикл начнётся снова. Два
таких механизма, соединённые вместе через кривошипы, и сдвинутые друг
относительно друга по фазе на полцикла, позволяют корпусу машины
перемещаться параллельно земле.
Механизм Кланна имеет множество преимуществ шагающего
механизма, и лишён, в то же время, некоторых свойственных им
ограничений. Он может перешагивать через бордюры, взбираться по
ступеням, которые недоступны для колёсных движителей, и в то же время
этот механизм не требует управления его двигателями со стороны
микропроцессоров, причём количество этих двигателей может быть
уменьшено по сравнению с другими видами техники, предназначенной для
выполнения тех же функций.
4
2.Динамика систем твердых тел
Основой для системы уравнений, описывающих динамику системы n
твердых тел, стесненных m голономными связями, находящихся под
действием ma заданных сил, послужили уравнения в форме ЭйлераЛагранжа с множителями
L
pi 
qi

 j
m

j 1
j

qi
na
F
k 1
j

rk
 0 ,
qi
L
 0 ,
qi
pi 
ui  qi  0 ,
где i  1,..., 6 n ,
 j ( q, t )  0 ,
где j  1, m ,
Fk  f k  q, u ,  , t   0 ,
где k  1, ma .
По
умолчанию
ориентация
определяется
последовательными
поворотами вокруг главных центральных осей тела на углы  – прецессии,

– нутации, 
теоретической
– собственного вращения. Как известно из курса
механики
необходимость
смены
системы
эйлеровых
обобщенных координат, связана с вырождением матрицы связи проекций
вектора угловой скорости на ортогональные оси и обобщенных скоростей.
Например, в случае системы углов оси, для проекций на оси связанные
с телом, и обобщенных скоростей  ,  ,  :
5
 x 
 sin sin 
   cos  sin 
 y

 z 
 cos
cos 
 sin 
0
0
0

1 
 
  ,
 
 
при угле нутации   0
 x 
0 cos 
   0  sin 
 y

 z 
1
0
0
0

1 
 
  ,
 
 
что не позволяет однозначно определить обобщенные скорости по проекциям
угловой скорости и приводит к потере точности счета вблизи   0 . Эта
неприятность и может быть обойдена для конкретных режимов движения
выбором другой системы углов Эйлера.
Проекции
радиус-векторов
точек,
жестко
связанных
с
телом,
определяются с помощью ортонормальной матрицы преобразования от
системы координат, связанной с телом, к глобальной системе координат
cos cos   sin  cos  cos
A   sin  cos   cos sin  cos

sin  sin 
Gl
 cos sin   sin  cos  cos
 sin  sin   cos cos  cos
cos  sin 
sin  sin  
 cos sin  

cos
Положение твердого тела определяется 3-мя декартовыми координатами x, y,
z.
Ориентация твердого тела определяется набором из 3-х углов Эйлера,
которые соответствуют последовательности вращения:  , и .
Набор обобщенных координат, связанных с телом i обозначим как:
6
Из такого определения обобщенных координат, линейная и угловая
скорость тела выглядит так:
где 
– угловая скорость тела в локальных координатах.
Последнее уравнение определяет взаимодействие между угловой скоростью
 sin   sin 
B  cos   sin 
 cos

~
A  A
cos  
0  sin  
1
0 
0
тела (внутренняя характеристика тела) и выбранными нами обобщенными
координатами:
Заметим, что производная по времени от матрицы ориентации тела и
угловой скоростью выглядит так: A   , где тильда представляет
кососимметричный оператор.
Для полных механических систем моделей, содержащих nb тел, массив
q  q1T
qT2
qTnb    q1 q2
T
qn 
T
При n=6nb будет описывать позицию и ориентацию каждого тела
системы в данное время.
7
3.Построение и расчет конструкции
Согласно U.S. Patent 6 260 862;6 364 040;6 478 314 мы поточечно
построили кинематическую схему механизма Кланна(см.рис.1).
Рис.1. Механизм Кланна
На основании кинематической схемы была построена трёхмерная
модель конструкции - каждой линии мы соотнесли объемное тело, тела
соединили одноподвижными вращательными кинематическими парами, ось
вращения которых перпендикулярна плоскости механизма. К ведущему
звену была приложена постоянная угловая скорость. (см.рис.2).
Рис.2. Объёмный вид механизма Клана
8
На основании расчетов механизма были определены зависимости
реакций в кинематических парах от времени. Анализируя полученные
зависимости определили кинематические пары с максимальными реакциями,
см вывели максимальные графики (см.рис.3,4). В этих звеньях,
соединёнными этими шарнирами возникают максимальное напряжения. Для
указанных звеньев проводились расчеты на жесткость и оценка работы
механизма с учётом их податливости.
Рис.3. график реакции в 3ем шарнире; по оси абсцисс момент (Н), по оси ординат
время (с)
Рис.4 график реакции 10го шарнира; по оси абсцисс момент (Н), по оси ординат
время (с)
9
4.Моделирование деформируемых тел
В процессе движения системы под действием переменных во времени
внешних сил возникают внутренние усилия, которые являются функциями
времени. Движение системы характеризуется четырьмя основными
свойствами: масса, диссипация энергии, жесткость системы и внешние
нагрузки. Уравнение, характеризующее состояние равновесия системы в
каждый момент времени, называется уравнением движения. Для системы с
одной степенью свободы оно имеет вид:
mu''(t) + bu'(t) + ku(t) = p(t),
где m – масса;
b – коэффициент демпфирования;
k – коэффициент жесткости;
u(t) – перемещение;
p(t) – внешняя сила.
Левая часть данного уравнения представляет собой возникающие
внутренние усилия динамической системы:
mu''(t) – сила инерции;
bu'(t) – сила вязкого демпфирования. Является функцией коэффициента
демпфирования и скорости движения, характеризует процесс диссипации
энергии за счет перехода кинетической энергии в тепловую;
ku(t) – сила упругого сопротивления, являющаяся функцией жесткости и
перемещения системы. Правая часть уравнения содержит переменную во
времени внешнюю нагрузку p(t).
Динамический анализ можно разбить на два типа: анализ свободных
колебаний и анализ вынужденных колебаний.
Анализ свободных колебаний без учета диссипативных свойств
системы сводится к решению уравнения движения вида:
mu''(t) + ku(t) = 0
Решением данного уравнения является выражение:
u(t) = Asinωnt + Bcosωnt,
где u(t) – искомая функция перемещения от времени;
10
A = u0' /ωn, B = u0 – константы, определяемые из начальных условий
системы;
ωn = 2 πfn – собственная круговая частота,
fn – собственная циклическая частота.
Количество собственных частот системы равно количеству ее степеней
свободы. При учете диссипативных сил уравнение движения имеет вид:
mu''(t) + bu'(t) + ku(t) = 0
В терминах динамического анализа существует такое понятие, как
коэффициент критическо- го вязкого демпфирования, при котором система
не будет совершать колебаний при ее выходе из состояния покоя.
Коэффициент критического демпфирования определяется выражением:
bcr=2√𝒌𝒎=2m ωn
Динамическое поведение системы в значительной степени зависит от
соотношения коэффициентов вязкого демпфирования и критического вязкого
демпфирования.
u(t) = (A + Bt)e-bt/2m
В этом случае система возвращается в исходное состояние по
экспоненциальному закону без периодических колебаний. Если коэффициент
демпфирования меньше критического значения (наиболее распространенный
случай), то решение уравнения имеет вид:
u(t) = e–bt/2m(Asin ωdt + Bcosωdt),
где d – круговая собственная частота с учетом демпфирования.
При использовании метода конечных элементов для моделирования
динамического поведения систем уравнение движения с несколькими
степенями свободы имеет матричный вид:
[M]{u''} + [B]{u’} + [K]{u} = {P(t) или P(ω)},
где [M] – матрица масс;
[B] – матрица вязкого демпфирования;
[K] – матрица жесткости;
{P(t)или Р(ω)} – внешнее воздействие, соответственно как функция от
времени (переходный анализ) или как функция от частоты (частотный
анализ);
11
{u''}, {u'}, {u} – векторы ускорений, скоростей, перемещений узлов КЭ
модели.
Результатом решения уравнения могут являться перемещения,
ускорения, скорости, напряжения, деформации и усилия в узлах КЭ модели
как функции времени. Проведение динамического анализа методом
конечных элементов имеет свои особенности, требования и допущения к
расчетной модели, необходимые для корректного описания динамических
свойств анализируемой системы. В основном это относится к заданию
массовых свойств и коэффициентов демпфирования. Стоит отметить, что при
динамическом анализе для определения отклика нет необходимости прямого
моделирования специальных механизмов для гашения колебаний
(амортизаторы, демпферы, компенсаторы и прочее). Такие конструктивные
элементы описываются с помощью пружинно-демпферных конечных
элементов решателя NX Nastran (CVISC, CDAMPi, CBUSH, CELASi) с
корректным заданием их жесткостных и демпферных свойств.
При решении большинства задач динамики в качестве первоначального
этапа рекомендуется проводить расчет собственных частот и форм
колебаний. В терминах решателя NX Nastran данный тип расчета известен
как расчет действительных собственных значений (Real eigenvalue analysis)
или расчет нормальных форм колебаний (Normal modes analysis). Для расчета
комплексных собственных частот (Complex eigenvalue analysis) используются
решения SEDCEIG 107 – Direct Complex Eigenvalues (прямой анализ
комплексных собственных значений) и SEMCEIG 110 – Modal Complex
Eigenvalues (модальный анализ комплексных собственных значений).
Известно, что коэффициент демпфирования мал и для большинства
конструкций составляет от 0 до 0,1 в долях от критического. При этом
отношение собственной частоты конструкции с учетом демпфирования к
частоте без учета демпфирования определяется выражением, из которого
видно, что, например, при коэффициенте демпфирования, равном 0,1,
значения собственных частот практически одинаковы. Это объясняет
широкое использование поиска действительных частот конструкции для
решения большинства динамических задач, так как учет демпфирования
имеет ряд трудностей и требует большего времени на вычислительный
процесс. Расчету действительных собственных частот соответствуют
решения SEMODES 103, SEMODES 103 – Flexible Body, SEMODES 103 –
Superelement, SEMODES 103 – Response Simulation. 345 Целями определения
собственных частот и форм колебаний конструкции могут являться: • анализ
взаимодействия между агрегатом, работа которого подразумевает
динамическое воздействие (колебательное движение), и какой-либо
системой, выступающей в роли опоры. Это, в свою очередь, дает
12
возможность на стадии проектирования исключить вероятность попадания
рабочей частоты агрегата в диапазон, близкий к собственным частотам
опорной конструкции. Например, для машин роторного типа данный
диапазон составляет от 0,7 до 1,3 от собственной частоты опоры. Явление
совпадения частот называется резонансом и характеризуется резким
увеличением амплитуд колебаний, что приводит к выходу агрегата из строя,
повреждению опорной конструкции; • на основании полученных частот
возможно определение необходимых мероприятий по внесению
конструктивных изменений либо оценка их эффективности. Например,
анализируя энергию деформации конечных элементов расчетной модели на
соответствующей форме колебаний, можно определить области конструкции,
изменение жесткостных свойств которых приведет к уменьшению амплитуд
колебаний, сдвигу собственных частот с целью предотвращения
резонансного явления; • анализ собственных частот и форм колебаний часто
используется как предварительный этап перед различными типами
динамического анализа. Результаты данного типа анализа могут
использоваться при проведении дальнейшего динамического анализа
методом разложения по собственным формам: модальный переходный
анализ – SEMTRAN 112, модальный частотный анализ – SEMFREQ 111.
Также на основе полученных собственных значений оценивается
подходящий шаг интегрирования по времени уравнения движения; •
определение оптимального расположения вибродатчиков (акселерометров) и
возбудителей колебаний при планировании натурного эксперимента с целью
снятия данных или же возбуждения форм в частотном диапазоне
исследования. Определение действительных собственных значений сводится
к решению уравнения движения системы с конечным числом степеней
свободы без учета демпфирования и внешнего воздействия:
[M]{u''} + [K]{u} = 0.
Решение данного уравнения, соответствующее гармоническим
колебаниям с частотой ω, имеет следующий вид: {u} = {φ}sinωt,
где {φ} – собственный вектор или форма колебаний.
Частота ω и вектор {φ} удовлетворяют уравнению, эквивалентному
системе N линейных однородных уравнений относительно компонентов
собственного вектора {φ}:
([K] – ω2[M]) = 0
или
det([K] – ω2 [M]) = 0
13
Характеристическое уравнение называется уравнением собственных
частот. Число положительных корней данного уравнения равно количеству
степеней свобод системы N, называющихся собственными частотами этой
системы. Каждой собственной частоте n соответствует собственный вектор
{φn}. Упорядоченный набор собственных частот образует спектр
собственных частот системы. На основании вышесказанного можно сделать
вывод, что для линейных систем динамическое поведение линейно-упругой
конструкции (форма деформации линейно- упругой конструкции) при
свободных или вынужденных колебаниях может быть описано
суперпозицией собственных форм колебаний:
{u}= Σ{φn}qn=[φ]{q
где qn – n-ая модальная (обобщенная) координата.
Еще одним важным свойством, которое следует отметить, является
ортогональность собственных форм колебаний, соответствующих различным
собственным частотам:
• j-aя модальная (обобщенная) масса {φj}T [M]{ φj } = 0 при i ≠ j, { φi}T[M]{ φj
} = mj;
• j-aя модальная (обобщенная) жесткость { φi } T [K]{φj} = 0 при i ≠ j, { φi } T
[K]{ φj } = kj.
Все собственные формы являются линейно независимыми друг от
друга, и, следовательно, любая система с множеством степеней свобод может
быть представлена как набор не связанных между собой систем с одной
степенью свободы.
14
5.Расчеты механизма Кланна с учетом податливости
При расчете механизма с учетом деформирования звеньев в модели
были заменены самые нагруженные элементы податливыми телами. Модели
деформируемых тел были построены на основе метода разложения конечноэлементной сетки по собственным формам. (см.рис.5).
Рис.5. Общий механизм Клана с податливыми телами
Для построения податливых тел геометрия разбивалась на конечноэлементную сетку, при разбиении использовался тетраэдальный четырех
узловой элемент с линейной аппроксимацией. В местах расположения
кинематических пар накладывались граничные условия кинематического
характера.
15
Рис.6. Сетка конечных элементов податливого тела
Были определены собственные формы податливого тела, представлено
3 формы. Собственная частота равна 0,014Гц (см.рис.7), 0,005Гц (см.рис.8),
9214,73Гц (см.рис.9)
Рис.7. первая собственная форма
16
Рис.8. третья собственная форма;
Рис.9. Седьмая собственная форма.
Построили график зависимости уравновешивающий момента от
времени при податливых телах. Зависимость периодическая. Максимальное
17
значение 1.72Е+007, минимальное значение -8.13Е+005.
Рис.10. график зависимости уравновешивающий момента при податливых телах по
оси абсцисс время (с), по оси ординат момент(Н·мм)
Конструкцию можно дополнить еще одной такой же рамой и соединить
валами. Передача движения с двигателя на ведущее звено осуществляется с
помощью червячного редуктора. По максимальному уравновешивающему
моменту был определен привод (SK 1SI 31-IEC63-63S/4 60391130).
18
19
20
6.Заключение
В пакете NX Siemens была построена модель механизма Кланна. На
основании, построенной модели были определены массовые и инерционные
характеристики и были произвели расчеты динамики системы твердых тел.
Были получены зависимости реакций в кинематических парах от времени, по
которым были определены кинематические пары с максимальными
значениями реакций. Определив шарниры с максимальными реакциями были
выявлены наиболее нагруженные звенья.
Основой для системы уравнений, описывающих динамику системы n
твердых тел, стесненных m голономными связями, находящихся под
действием ma заданных сил, послужили уравнения в форме ЭйлераЛагранжа. Для задания движения твердого тела использовались
инерциальные глобальные координаты центра масс и углы Эйлера. Проекции
радиус-векторов точек, жестко связанных с телом, определялись с помощью
ортонормальной матрицы преобразования от системы координат, связанной с
телом, к глобальной системе координат. Динамическое поведение линейноупругой конструкции при свободных или вынужденных колебаниях
описывалось суперпозицией собственных форм колебаний.
Для определенных звеньев, был проведен расчет с условием
податливости. Для указанных звеньев было проведено конечно элементное
разбиение на 4ёх узловые тетраэдальные конечные элементы с линейной
аппроксимацией, после чего была найдены собственные формы. Был
произведён расчет динамики конструкции с учетом податливости звеньев,
оценены деформации и изменения уравновешивающего момента. По
полученному максимальному значению уравновешивающего момента был
подобран привод.
21
7.Список использованной литературы:
Книги:
1. Н.Н.Бухгольц. Основной курс теоритической механики. /С.М.Тарг/ Москва.
1965г. с.467
2. А.Ф.Филиппов. Дифференциальные уравнения. Москва. 2000г. с.176
3. В.И.Феодосев. Сопротивление материалов. Москва 2000г. с.593
4. Заблонский К.И. и др. Теория механизмов и машин. - Киев.: Выша школа,
1989.
5. Артоболевский И.И. Теория машин и механизмов. М. Наука 1988.
6. Головин А.А. Динамика механизмов.: Учеб. пособие.- М.: МГТУ им.
Н.Э.Баумана. 2001. -192 с.
7. Анурьев В.К. Справочник конструктора- машиностроителя в 3х томах. -М.:
Машиностроение, 2001.
Статьи из книг, журналов, сборников статей:
1. ОСОБЕННОСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ МЕХАНИЗМОВ С
УЧЕТОМ УПРУГОСТИ ЗВЕНЬЕВ
Адамович Н.О.
МашиноСтроение. 2014. № 23. С. 84-90.
2. ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИКИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
ЭЛЕКТРОПРИВОДНЫХ МЕХАНИЗМОВ АВТОТРАНСПОРТНОЙ И
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОЙ ОТРАСЛЕЙ
Алексеев В.А., Артемьев В.С.
Сельскохозяйственная техника: обслуживание и ремонт. 2013. № 12. С. 2328.
3. О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ УЧЕТА СИЛ ТРЕНИЯ В
ДИНАМИКЕ МЕХАНИЗМОВ
Хакимуллина Л.Ш.
Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. 2014. № 1-2. С.
96-101.
22
4. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ КИНЕМАТИКИ И
ДИНАМИКИ ДРЕВОВИДНЫХ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ
ШАГАЮЩИХ РОБОТОВ
Ковальчук А.К.
Естественные и технические науки. 2014. № 5 (73). С. 87-90.
5. АЛГОРИТМЫ ВЫПИСЫВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ПЛОСКИХ
ШАРНИРНЫХ МЕХАНИЗМОВ
Телегин А.И., Кайгородцев М.И.
Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия:
Машиностроение. 2010. № 29 (205). С. 4-12.
6. ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ
МЕХАНИЗМОВ БОЛЬШОЙ СЛОЖНОСТИ
Ивченков А.О.
Молодежный научно-технический вестник. 2012. № 9. С. 11.
7. ВЫБОР КИНЕМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ И ИССЛЕДОВАНИЕ
ДИНАМИКИ ДРЕВОВИДНОГО ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО МЕХАНИЗМА
РОБОТА-КРАБА
Ковальчук А.К.
Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2013. № 7. С. 73-79.