Модульный урок по алгебре и началам анализа в 10 классе (2

Модульный урок
по алгебре и началам анализа
в 10 классе (2 часа)
Тема: «Решение тригонометрических уравнений»
Модульный урок
по алгебре и началам анализа в 10 классе (2 часа)
Тема: «Решение тригонометрических уравнений»
Цели урока зависят от подготовки учащихся: I уровень – обязательный, т.е. знаниями этого
уровня должны овладеть все учащиеся; II уровень включает все, что достигнуто на I уровне, но в
более сложном виде; III уровень – все, что достигнуто на I и II уровнях, но в нестандартных
ситуациях.
В результате учащиеся должны уметь:
I уровень – решать простейшие тригонометрические уравнения и уравнения по заданному
алгоритму;
II уровень – решать тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения;
III уровень – применять полученные знания в нестандартной ситуации.
Урок состоит из шести учебных элементов. Учебные элементы N 1-4 соответствуют I уровню
подготовки; N 5 – II уровню; N 6 – III уровню. Каждый учебный элемент содержит указания
учителя для успешного выполнения учащимися заданий самостоятельной работы. Вся работа над
модулем сопровождается оценочным листом учащегося. Прочитав указания учителя, ученик
выполняет самостоятельные работы, проверяет их по эталонам решений, исправляя ошибки и
выполняя при необходимости корректирующие задания; заполняет оценочный лист.
Оценочный лист учащегося
Фамилия и имя
Учебные
элементы
N1
N2
Количество
Корректирующие Общее
баллов за
задания
количество
основное задание
баллов за этап
N3
N4
N5
N6
Итоговое количество баллов
Оценка
n=
Оценка за весь модуль зависит от суммы n набранных баллов.
Если
n ≥ 30, то ученик получает «5»,
при 25 ≤ n ≤ 29 «4»,
при 19 ≤ n ≤ 24 «3»,
при
n < 19 «2».
Учебный элемент N 1
Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.
Указания учителя
Простейшие тригонометрические уравнения – это уравнения вида sin x = a, cos x = a, tg x = a
Вспомните частные случаи и общие формулы для решения этих уравнений.
Частные случаи:
1) sin x = 1;
sin x = -1;
sin x = 0
π
π
x = - + 2πn, n є z
x = - - + 2πn, n є z
2
x = πn, n є z
2
2) cos x = 1;
cos x = -1;
cos x = 0
π
x = 2πn, n є z
x = π + 2πn, n є z
x = - + πn, n є z
2
Общие формулы:
1) sin x = a,
2) cos x = a,
3) tg x = a,
4) ctg x = a,
|a| ≤ 1;
|a| ≤ 1;
a є R;
a є R;
x = (-1)n arcsin a + πn, n є z
x = + arccos a + 2πn, n є z
x = arctg a + πn, n є z
x = arcctg a + πn, n є z
При этом важно помнить: arcsin (-a) = - arcsin a; arccos (-a) = π – arccos a;
arctg (-a) = -arctg a; arcctg (-a) = π – arcctg a
Выполните письменно самостоятельную работу.
Самостоятельная работа (10 мин.)
Решите уравнения
Вариант 1
1) sin x = 2
√2
Вариант 2
√3
1
(1 балл),
(1 балл),
1) cos x = 2
√2
2) cos x = - -
(1 балл),
2) sin x = - -
2
3) tg x = - √3
(1 балл),
3) ctg x = -1
π
4) cos (x + - ) = 0
(1 балл),
π
(2 балла),
4) sin (x - - ) = 0
6
5) sin 2x = 1
(1 балл),
2
(2 балла),
4
(2 балла)
5) cos 2x = 0
(2 балла)
Указания учителя
Возьмите правильные ответы у учителя. Проверьте и оцените свою работу. Исправьте
ошибки, если они есть, проставьте число заработанных баллов в свой оценочный лист. Если вы
набрали 6 баллов или больше, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано
меньше шести баллов, то следует прорешать задания другого варианта, аналогичные тем, в
которых была допущена ошибка, и проставить набранные баллы в графу «Корректирующие
задания».
Учебный элемент N 2
Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к
квадратному.
Указания учителя
Прочитайте внимательно данные ниже пояснения.
Выполните самостоятельную работу.
Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что, пользуясь изученными
формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например,
sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через t, получив при этом квадратное
уравнение относительно t.
Пример. Решите уравнение cos2 x – 2 sin x + 2 = 0
Решение. Вместо cos2 x подставим 1 – sin2 x, тогда исходное уравнение примет вид
1 – sin2 x – 2 sin x + 2 = 0
sin2 x + 2 sin x – 3 = 0
Пусть sin x = t,
-1 ≤ t ≤ 1, тогда уравнение примет вид t2 + 2t – 3 = 0. Решая приведенное
квадратное уравнение, получим t = - 3 или t = 1. t = - 3 не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.
π
Уравнение sin x =1 имеет решение x = - + 2πn, n є z
2
π
Ответ: x = - + 2πn, n є z
2
Самостоятельная работа (10 мин)
Вариант 1
Вариант 2
Решите уравнения
1) 2 cos2x – cos x – 1 = 0
2) 2 cos2x + 7 sin x = 5
3) cos 2x - 5 sin x – 3 =0
(2 балла)
(3 балла)
(3 балла)
1) 2 sin2 x – sin x – 1 = 0 (2 балла)
2) 2 sin2 x – cos x = -1
(3 балла)
3) cos 2x – 4 sin x + 5 = 0 (3 балла)
Указания учителя.
Если набрано 5 баллов, то переходите к следующему элементу. Если меньше, то прорешайте
соответствующее задание другого варианта.
Учебный элемент N 3
Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на
множители.
Указания учителя
Прочитайте пояснения и выполните задания.
Метод разложения на множители
Разложить на множители – представить данное выражение в виде произведения нескольких
множителей. Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен
нулю, а остальные при этом имеют смысл.
Способы разложения на множители: вынесение за скобки общего множителя, применение
формул сокращенного умножения, группировка.
Пример. Решите уравнение 4 sin x ∙ cos x + 2 cos x + 2 sin x + 1 = 0
Решение. Сначала сгруппируем первое слагаемое со вторым, третье слагаемое с четвертым.
Получим (4 sin x cos x + 2 cos x) + (2 sin x + 1) = 0. Из выражения, стоящего в первых скобках,
вынесем 2 cos x. Уравнение примет вид 2 cos x (2 sin x + 1) + (2 sin x +1) = 0.
Вынося за скобки двучлен 2 sin x + 1, получим (2 sin x + 1) ∙ (2 cos x +1) = 0. Отсюда следует, что
(2 sin x + 1) = 0
или
2 cos x + 1 = 0
2 sin x = -1
или
2 cos x = -1
1
1
sin x = - -
cos x = - -
2
π
x = (-1)n+1 - + πn, n є z
6
2
2
x = + - π + 2πk, k є z
3
π
Ответ:
x = (-1)n+1 - + πn, n є z
6
2π
x = + - + 2πk, k є z
3
Самостоятельная работа (10 мин)
Вариант 1
Вариант 2
Решите уравнения
1) 2 sin2 x + sin x = 0
2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0
(2 балла)
(3 балла)
1) cos2 x – 2 cos x = 0
2) 5 sin 2x – 2 sin x = 0
(2 балла)
(3 балла)
Указания учителя
Если набрали 5 баллов, то переходите к следующему элементу. Если меньше, то прорешайте
соответствующее задание другого варианта.
Учебный элемент N 4
Цель: закрепить навык решения однородных уравнений.
Указания учителя
Прочитайте пояснения и выполните задания.
Уравнения вида a sin x + b cos x = 0 называют однородными уравнениями первой степени.
Пример 1. Решите уравнение 2 sin x -3 cos x = 0
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cos x, получим 2 tg x – 3 = 0 (cos x ≠ 0, т.к.
если бы cos x = 0, то 2 sin x – 3 ∙ 0 = 0, sin x = 0, чего не может быть ввиду равенства sin2x + cos2x
= 1).
3
3
Итак, 2 tg x – 3 = 0, 2 tg x = 3, tg x = - , x = arctg - + πn, n є z
2
2
3
Ответ:
x = arctg - + πn, n є z
2
Уравнения вида a sin2x + b sin x ∙ cos x + c cos2x = 0 называют однородными уравнениями второй
степени. Его решают делением обеих частей уравнения на cos2x или sin2x.
Пример 2. Решите уравнение sin2x – 1,5 sin 2x + 2 cos2x = 0
Превратим данное уравнение в однородное, заменив 1,5 sin 2x на 3 sin x ∙ cos x. Получим
уравнение sin2x - 3 sin x cos x + 2 cos2x = 0. Разделив обе части уравнения почленно на cos2x,
получим tg2x – 3 tgx + 2 = 0.
Пусть tg x = t, получаем t2 - 3t +2 = 0, откуда t1 = 1; t2 = 2
Значит, либо tg x = 1,
либо
tg x = 2
π
x = - + πn, n є z
x = arctg 2 + πk, k є z
4
π
Ответ:
- + πn, n є z; arctg 2 + πk, k є z
4
Самостоятельная работа (10 мин)
Решите уравнения
Вариант 1
1) sin x – 2 cos x = 0
2) sin 2x + 2 sin 2x + 3 cos2x = 0
Указания учителя
Вариант 2
(2 балла)
(3 балла)
1)
2)
2 sin x + cos x = 0
sin2x – sin 2x – 3 cos2x = 0
(2 балла)
(3 балла)
Если набрано 5 баллов, то можно переходить к следующему учебному элементу. Если набрано
менее 5 баллов, то нужно прорешать тот номер другого варианта, где допущена ошибка.
Учебный элемент N 5
Указания учителя
Вы прошли первый уровень усвоения материала.
Теперь вам самостоятельно придется выбирать метод решения уравнений. Вспомните основные
тригонометрические формулы (они собраны в таблицы, которые висят в кабинете).
Выполните письменно самостоятельную работу.
Самостоятельная работа
Вариант 1
(20 мин)
Вариант 2
Решите уравнения
1)
2)
3)
4)
5)
sin 5x cos x – cos 5x sin x = 0,5 (1 балл)
sin 2x + cos 2x = 0
(1 балл)
cos 2x = sin x
(2 балла)
1 – 2 sin 2x = 6 cos2x
(2 балла)
sin 4x – cos 2x = 0
(2 балла)
1) cos 5x cos 2x + sin 5x sin 2x = 0,5
2) sin 2x - √3 cos 2x = 0
3) cos 2x = cos x
4) 1 + 2 sin 2x + 2 cos2x = 0
5) sin 4x = - cos 2x
(1 балл)
(1 балл)
(2 балла)
(2 балла)
(2 балла)
Указания учителя
Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки,
если они есть. Поставьте баллы в оценочные листы.
Если набрано 5 баллов или больше, то переходите к следующему учебному элементу, если
меньше, то решайте задания другого варианта, аналогичные тем, в которых допущена ошибка.
Учебный элемент N 6.
Указания учителя
Вы освоили решение уравнений II уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является
применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Самостоятельная работа
( Задания даются в одном варианте и не ограничиваются временем, так как их решают не все
учащиеся)
Решите уравнения
1) sin 2x + 2 cos 2x = 1
2) 1 + 3 cos x = sin 2x + 3 sin x
( 2 балла)
( 3 балла)
1
3) cos3x sin x – sin3x cos x = -
(2 балла)
4
Указания учителя
В случае затруднений воспользуйтесь подсказками, данными ниже:
1. Воспользуйтесь формулами двойного угла для синуса и косинуса, основным
тригонометрическим тождеством.
2. Слагаемое sin 2x перенесите в левую часть, а 3 cos x – в правую; левую часть представьте в
виде квадрата разности двух чисел, примените разложение на множители.
3. Вынести общий множитель и применить формулы двойного угла для sin x ∙ cos x, для sin 2x ∙
cos 2x.
Указание учителя
Проверьте и оцените свою работу. Исправьте ошибки, если они есть. Проставьте количество
баллов в оценочный лист. Поставьте оценку за весь модуль, подсчитав общее количество баллов.
Задание на дом: N 2 из рубрики «Проверь себя!» на стр. 293 из учебника под редакцией Ю.М.
Колягина.