Задачи на неравенства со средними величинами

Неравенство Коши.
x y
x y
1. Докажите для любых положительных чисел x и y неравенство x y y x  
 .
 2 
2. Докажите для любых неотрицательных x и y неравенство 3x2y+2y2x+8x+3y  14xy.
2
3. Доказать неравенство x  2  2
x2 1
x
y
1

 .
x 4  y 2 y 4  x 2 xy
4. Докажите, что для любых положительных чисел x и y верно неравенство
5.
6.
7.
8.
9.
Пусть a, b, c и d – такие положительные числа, что ab=1 и ac+bd=2. Докажите, что cd1.
Про положительные числа a, b, x, y известно, что ax+by=xy. Докажите, что ax+by4ab.
Решить уравнение x10+x2+1=3x4.
Про положительное число a известно, что а5 – а3 + а = 2. Докажите, что a6<4.
Переменные x, y, z, t таковы, что справедливы неравенства 1  x  y  z  t  100. Какое
наименьшее значение может принимать выражение x/y +z/t ?
2
.
2
10. Пусть а,b,с – положительные числа, а2 +b2+c2=1.Докажите,что b(a+c) 
11. Докажите для положительных чисел a, b, c, d и e неравенство a2+b2+с2+d2+e2a(b+c+d+e).
12. Числа a1, a2, a3, ..., an таковы, что a1a2a3...an=1. Докажите неравенство (1+a12) (1+a22) (1+a32)... (1+an2)2n.
13. Сумма неотрицательных чисел a, b, c равна 1. Докажите, что (1+a)(1+b)(1+c)  8(1–a)(1–b)(1–c).
14. Пусть числа a, b, c, d таковы, что a2+c2=1, b2+d2=1. Докажите, что |ab–cd|1.
15. Пусть a2+b2+c2=1, m2+n2+p2=1. Доказать, что –1  am+bn+cp  1.
x2  y 2
2 2.
x y
16. Числа x и y таковы, что x>y и xy=1. Докажите, что справедливо неравенство
17. Докажите, что при любых x, y и z справедливо неравенство sin x  cos y + sin y  cos z + sin z  cos x  3/2.
18. Докажите для любых положительных чисел x и y неравенство
19. Докажите неравенство
1
4
x

1
4
y

2
4
5
4
x y
.
1
1
2


для любых чисел x и y, таких, что |x|<1, |y|<1.
2
2
1

xy
1 x
1 y
20. Доказать неравенство 2(a4+b4)+17>16ab.
21. Для неотрицательных чисел доказать неравенство a3+b3+c3+d3a2b+b2c+c2d+d2a.
22. Доказать для неотрицательных чисел неравенство a3  b3  c3  a2 bc  b2 ca  c2 ab .
23. Для неотрицательных чисел доказать неравенство 6a  4b  5c  5 ab  3 bc  7 ca .
24. Доказать, что a2+b2+c21/3, если a+b+c=1.
25. Для положительных чисел a1, a2, a3, a4, a5, сумма которых равна 1, доказать неравенство
6a1  1  6a 2  1  6a 3  1  6a 4  1  6a 5  1  55 .
26. Доказать неравенство a4+b4+c4abc(a+b+c).
27. Доказать неравенство abc(a+b–c)(b+c–a)(c+a–b) для положительных чисел.
a
b


bc
ca
28. Доказать неравенство
12
29. Решить уравнение 2
x
5
2
4
x
 2 2
4
c
2
ab
6
x
для положительных чисел.
.
x3
30. Решить уравнение 2  4  256  3 16 .
31. Доказать, что для любых положительных чисел a, b, c не могут одновременно выполняться
неравенства a(1-b)>1/4, b(1-c)>1/4, c(1-a)>1/4.
32. Докажите неравенство (1+x2+x4+...+x100)(1+x102) – 102x101  0.
x
x
x
x
33. Доказать, что если x1, x2, x3, …, xn – положительные числа, то 1  2   n1  n  n .
x2 x3
xn
x1
x
x
4
34. Доказать неравенство для положительных чисел неравенство n 1 2  n   1n   2n 
 n 1
 для натурального n>1.
35. Доказать неравенство n!  
 2 
n
  nn .
36. Доказать неравенство Бернулли (1+)n1+n, где –1, n – натуральное.
37. В каждой вершине правильного n-угольника записано положительное число, причем каждое из
этих чисел равно или среднему арифметическому, или среднему геометрическому двух чисел,
записанных в соседних вершинах. Докажите, что все записанные числа равны между собой.
38. Через точку внутри прямоугольника провели две прямые, параллельные его двум сторонам. При
этом он оказался разбитым на четыре меньших прямоугольника. Докажите, что по крайней мере у
двух из этих прямоугольников площадь не превышает 1/4 от площади исходного прямоугольника.
39. Через точку внутри прямоугольного параллелепипеда провели три плоскости, параллельные его
трем граням. При этом он оказался разбитым на восемь меньших параллелепипедов. Докажите,
что по крайней мере у четырех из этих параллелепипедов объем не превышает 1/8 от объема
исходного параллелепипеда.
40. Доказать неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим, т.е.
a1  a 2  ...  a n
n
для положительных чисел.

n
1
1
1

 ... 
a1 a 2
an
1
1
1 
41. Доказать, что если a1, a2, …, an – положительные числа, то a1  a 2   an  
    n 2 .
an 
 a1 a2
3
42. Гармонизатором чисел х, у и z назовём число
. Найдутся ли четыре положительных
111
х у z
числа, каждое из которых меньше гармонизатора трех других?
43. Доказать, что если ha, hb, hc – длины высот треугольника и r – радиус вписанной в него
окружности, то ha+hb+hc  9r.
1 4
9
 
для положительных чисел.
a b ab
1 1 4 16
64
45. Доказать неравенство    
для положительных чисел.
a b c d
abcd
44. Докажите неравенство
46. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Какую наименьшую
площадь может иметь этот четырехугольник, если площадь AOB равна 4 см2, а площадь COD
равна 9 см2?
y
x
z
1



47. Докажите неравенство
при 0 x, y, z  1.
3
3
3
3
3
3
3
7 y  z
7 z  x
7 x  y
48. Докажите, что для любых положительных x, y и z выполнено неравенство
2
x  3 y  4 z  32 xyz .