Уч. пос. по МА 1к. ФИ иВТ, ч. 1 Глава1x

1
Часть 1. Пределы последовательностей.
Оглавление.
Глава 1Введение в анализ
1.1
Числовые множества
Натуральные, рациональные и действительные числа (определяются как
бесконечные десятичные дроби). Их изображение, сравнение, модуль.(2-3)
Числовые множества на прямой. Примеры
интервалов и полуинтервалов, в том числе бесконечных.
Операции "" и"". Окрестности точек и   . Их обозначения,
изображение и разные виды записи через неравенства и промежутки.(3-4)
Определение множеств, ограниченных сверху, снизу, и просто
ограниченного множества. Нижняя и верхняя грани. Примеры.(5-6)
1.2.Числовые функции.
Определение функции, область определения. Способы задания.
Образ множества. Область значений. Примеры.
График функции.(6)
Четные и нечетные, периодические функции.(7)
Ограниченные и монотонные функции. Графический смысл. Интервалы
монотонности.(7)
Сложная функция. Обратная функция и ее график. Пример.
Теорема о существовании обратной функции (б.д.)(8-9)
Глава 1.
1.1 Натуральными числами называются числа, которыми считают
количестово элементов в множестве: 1, 2, 3, и т.д. Их обозначают через
N={1, 2, 3,…}.
Целыми числами называют все натуральные числа, натуральные числа
со знаком «-» и 0. Их обозначают через Z={N,-N,0},
Рациональными числами называют обыкновенные дроби r=p/q, где
p-целое, q- натуральное.
Действительными числами называются бесконечные десятичные дроби.
Считается, что мы задали бесконечную десятичную дробь, если мы
можем указать способ, каким можно найти любой десятичный знак этой
дроби.
Например, для любой неотрицательной точки прямой a мы можем
однозначно сказать, в какой из промежутков [n,n+1) для целого n она
входит. Тогда n будет целой частью бесконечной десятичной дроби,
соответствующей a. Эту бесконечную дробь с точностью до k цифры
после запятой находим, определяя в какой промежуток [
m m 1
,
) для
10 k 10 k
2
целого m входит точка a. Тогда
m
будет давать ее k цифр после
10 k
запятой. Для отрицательной точки надо определить десятичную запись
для - a и поставить знак « - ». Вопрос о том , каждой ли бесконечной
десятичной дроби соответствует точка прямой решается положительно,
если опираться на аксиому «непрерывности» прямой. Действительно,
m m 1
,
) , m, k-целые,
10 k 10 k
m m 1
k>=0, получим последовательность вложенных отрезков [ k , k ]
10 10
строя последовательно как и выше промежутки [
c бесконечно убывающими длинами. Если бы у них не было общей точки
на прямой, то
там была бы «дырка». Поэтому аксиомы геометрии предполагают
существование такой общей точки. Она и будет иметь исходную запись.
Вещественные числа обозначаются через Q.
Итак, вещественные числа изображаются точками прямой, которую
будем обозначать через R.
При этом
1)числа считаются равными , если изображаются одной и той же точкой
прямой.
Например, 1,000…=0,999…, 23,306999…=23,307000…, хотя числа
имеют разную запись. Две записи будут иметь все десятично-рациональные
числа (одна запись с нулями, другая со всеми девятками на конце).
2) считается, что a<b , если a лежит левее b на прямой. При этом b> a.
3) числа, большие 0, называются положительными, меньшие 0 –
отрицательными.
3) Модулем действительного числа называется расстояние от точки на
прямой, изображающей это число, до 0.
 a, _ для _ a  0
.
 a, _ для _ a  0
Получаем, что a  
4) Расстояние между точками a и b на прямой равно b  a .
Перейдем теперь к описанию числовых множеств.
Числовым множеством называется любой набор точек прямой.
Примеры множеств.
1)Отрезок [a,b]= x : _ a  x  b;
2)Интервал (a,b)= x : a  x  b. ;
3)Полуинтервалы [a,b)= x : a  x  b; (a,b]= x : a  x  b.
Такие же обозначения будем применять для лучей, бесконечных в одну
сторону. При этом a _ либо _ b _ могут _ быть   .(например,  3,, (,0 .
Для всех этих множеств будем употреблять единое обозначение
«промежуток»
3

a, b , где _" "  

 
, _" "   . ( a _ или _ b _ могут _ быть   ).
 
С такими множествами вы уже знакомы из школы. Введем новые
множества, которые нам понадобятся в матанализе. Это окрестности.
4) Окрестностью точки a на прямой радиуса  называется
x : a    x  a   . Эта окрестность обозначается O (a).
Это симметричный интервал с центром в a, стягивающийся к a при
уменьшении  . .
Это-«двусторонняя» окрестность точки. Также рассматриваются
односторонние окрестности точки.
5) Правой окрестностью точки a на прямой радиуса  называется
x : a  x  a   . Эта окрестность обозначается O (a).
Это полуинтервал справа от a, стягивающийся к a при уменьшении  . .
6) Левой окрестностью точки a на прямой радиуса  называется
x : a    x  a . Эта окрестность обозначается O (a).
Это полуинтервал слева от a, стягивающийся к a при уменьшении  . .
Проколотыми окрестностями точки a назыаются окрестности точки a с
выброшенной точкой a.
7) Проколотой окрестностью точки a на прямой радиуса  называется

x : a    x  a  x : a  x a   . Эта окрестность обозначается O  (a).
Это 2 симметричных друг другу интервалов относительно a,
приближающихся к a при уменьшении  . .
Это-«двусторонняя» проколотая окрестность точки. Также рассматриваются
односторонние проколотые окрестности точки.
8) Правой проколотой окрестностью точки a на прямой радиуса 

называется x : a  x  a   . Эта окрестность обозначается O  (a ).
Это интервал справа от a, приближающийся к a при уменьшении  . .
9) Левой проколотой окрестностью точки a на прямой радиуса 

называется x : a    x  a . Эта окрестность обозначается O  (a ).
Это интервал слева от a, приближающийся к a при уменьшении  . .
Причем любая двусторонняя или односторонняя окрестность с меньшим
радиусом есть часть любой такой же окрестности с большим радиусом.
Поэтому требование, чтобы множество имело общие точки с любой
окрестностью какого-то вида a радиуса меньше
 равносильно требованию, чтобы множество имело общие точки с любой
окрестностью того же вида точки a. То же касается проколотых
окрестностей.
10) Окрестностью   на прямой радиуса  называется x : x   .
Эта окрестность обозначается O ().
4
11) Окрестностью   на прямой радиуса   0 называется x : x   .
Эта окрестность обозначается O ().
Окрестности   объединяют в одну окрестность бесконечности 
следующим образом:
12)Окрестностью  на прямой радиуса   0 называется x : x   .
Эта окрестность обозначается O ().
Окрестности   ,  - это открытые бесконечные вправо или влево лучи или
их объединения. Эти лучи «стягиваются» к   или  при неограниченном
возрастании радиуса. Причем любая окрестность меньшего
радиуса содержит любую окрестность большего радиуса. Поэтому
требование, чтобы множество имело общие точки с любой окрестностью  
радиуса больше  равносильно требованию, чтобы множество имело общие
точки с любой окрестностью точки  ,  .
Напомним теперь часто используемые операции над множествами и
символы.
Пусть A и B- числовые множества
1. Будем говорить, что A  B , если A является частью B(любое число из A
содержится в B)
2. Будем называть объединением множеств A и B множество A  B,
содержащее все элементы как из A ,так и из B(собираем оба множества в
«одну корзинку»).
3. Будем называть пересечением множеств A и B множество A  B,
содержащее все элементы, содержащиеся как в A,так и в B(«общая» часть
этих множеств).
4. Будем называть дополнением до множества A в R множество всех точек
R, не принадлежащих A. Дополнение до A обозначаем A.
Договоримся писать x  A, если x- элемент множества À.
Символом  будем для краткости заменять слово «существует».
Символом  будем заменять слова «для любого».
Символ  обозначает «следует».
Символ  обозначает «эквивалентно», т.е. из левого «следует»правое
и наоборот (т.е.  _ и  одновременно).
Эти символы общеупотребительны в математике.
5
Определение 1(ограниченность множества).
Числовое множество A называется ограниченным сверху(снизу), если 
число M такое, что x  A _ выполнено _ неравенство _ x  M . (_ x  M ). При
этом число M называется ограничивающим A сверху(снизу).
Множество , ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.
Замечание. Ограниченность множества A можно выразить модульным
неравенством : число _ M , такое, что _ x  A _ будет _ x  M . Проверьте это!
Чисел, ограничивающих A сверху (снизу) , очень много. Вместе с M
числа M+n,  n  N ограничивают A сверху.
Определение 2 (верхняя,нижняя грань).
Верхней гранью множества A называется наименьшее из чисел,
ограничивающих A сверху.
Нижней гранью множества A называется наибольшее из чисел,
ограничивающих A снизу.
Теорема 1. Любое ограниченное сверху(снизу) множество имеет
верхнюю(нижнюю) грань.
Пояснения к доказательству(нестрого)
Заметим, что верхняя грань будет нижней со знаком минус для множества
– A=  x _ если _ x  A . И оно будет ограниченным снизу. Если число m
ограничивает множество A снизу, то 0 будет ограничивать снизу
множество A+m= x  m _ x  A. Если мы найдем нижнюю грань для A+m,
то для A нижняя грань будет на m меньше.
Поэтому найдем нижнюю грань для ограниченного снизу числом 0
множества .
Для этого найдем все десятичные знаки нижней грани. Для этого
рассмотрим на прямой точки вида
m
, m  Z , k  0,1,2,3,...
10 k
Для них будем брать запись, оканчивающуюся нулями (У них 2 записи,
другая оканчивается девятками. Среди них будет максимальное,
ограничивающее A снизу. При увеличении k на 1 эти числа будут
возрастать на несколько (не более 9) единиц k+1 разряда, в котором был
0. Поэтому все предыдущие цифры останутся без изменения. Т.е. все
эти числа при разных k будут иметь одинаковые цифры в разрядах,
ненулевых в обоих (рис1). Поэтому они будут вместе определять одну
бесконечную десятичную дробь, т.е. действительное число, которое и
будет нижней гранью множества A.
6
Примеры.
1. Ограниченными будут все рассмотренные выше множества, кроме
окрестностей бесконечностей.
При _ этом _ окрестности   _ ограничены _ только _ снизу , а _ окрестности   _ 
только _ сверху.
2. Верхней гранью
a, b _ будет _ b, _ нижней  a.
Перейдем к числовым функциям числового аргумента.
7
Определение 3 (числовая функция) .
Пусть для любого x  X  R определено единственное число
y. Тогда говорят, что задана функция y=f(x). При этом множество X
называется областью определения функции f(x).
Образом множества A  X называется y  f ( x), где _ x  A. Оно обозначается
f(A).
Областью значений функции y=f(x) называется множество f(X).
Графиком функции y=f(x) называется множество точек плоскости с
координатами (x,y), где x  X , а _ y  f ( x). Будем обозначать его Г=
( x, y) : x  X , y 
f ( x).
Пример графика: дробно-линейная функция
b
ax  b
a
c) a e .
y
, c  0, _ y  (
d
d График получается из графика
cx  d
c
c
x
x
c
c
e
y  , имеющего вертикальную асимптоту x  0 и горизонтальную y  0
x
d
a
сдвигом на вдоль оси OX _ на _  и вдоль оси OY _ на _ . Вертикальная
c
c
d
a
асимптота станет x   , а горизонтальная y  . Достаточно нарисовать
c
c
x
Эти асимптоты и какую-либо точку (), например,(0,y(0)), чтобы нарисовать
гиперболу, симметричную относительно точки пересечения асимптот (рис.2).
8
Свойство графика. График функции пересекает каждую вертикальную
прямую x=b, для b  X (область _ определения) ровно в одной точке.
Поэтому окружность на плоскости не является графиком функции.
Примеры.
1)Любое множество на плоскости, обладающее вышеприведенным
свойством графика, задает функцию.
2) y  x 2 , _ y  sin( x), _ область _ определения _ равна _ X  R, _ y  ln x, _ X=(0,+  ),
9
Область значений у x 2 _ и _ ln( x) _  R, _ у _ sin( x)   1,1.
Эти функции заданы аналитически(формулой).
 1, x  0

sign ( x)   1, x  0.
3)функция знака числа
 0, x  0 (задана таблично).
Определение 4(четная, нечетная, периодическая функция)
Функция f(x) с областью определения X называется четной(нечетной), если
x  X   x  X и f(-x)=f(x) ( f(-x)=-f(x) для нечетной).
Функция f(x) с областью определения X называется периодической если
для некоторого числа T (периода) x  X  x  T  X и f(x+T)=f(x-T)=f(x).
Замечание. Периодов у функции много ( например,  nT , n  N ). Среди них
есть наименьший, его и называют обычно «периодом».
Свойства графиков. График четной функции симметричен относительно
оси OY, график нечетной- симметричен относительно начала координат.
График периодической функции надо построить на периоде, а потом
перенести параллельно оси на расстояния  nT , n  N
Примеры.
Y=sin(x)- нечетная и периодическая ,y=cos(x)-четная и периодическая,
период обоих равен 2 .
Определение 5 (ограниченная функция)
Функция f(x) с областью определения X называется ограниченной, если
множество f(X) ограничено (с двух сторон!).
Пример. Y=f(x)=sin(x), X=R, f(X)=  1,1 - ограничено(и сверху, и снизу).
Определение 6(монотонность, интервалы монотонности)
Функция f(x) с областью определения X называется возрастающей
(убывающей) на A  X , если
 _ x1  x 2 _ _ в _ A _ будет _ f ( x1 )  f ( x 2 ) _( f ( x1 )  f ( x 2 ) _ для _ убывающей ) . Она
называется строго возрастающей(убывающей) на A , если все неравенства
строгие(< вместо , _  _ вместо _  ) называется монотонной на A, если она
либо возрастает, либо убывает на A. Аналогично строго монотонная
функция строго возрастает, либо строго убывает на A. Если A=X, то f(x)
называется (строго) монотонной.
10
Если f(x) (строго) монотонна на A и множество A нельзя расширить с
сохранением монотонности, то множество A называется интервалом
монотонности для f(x).
Свойства . Если двигаться по интервалу монотонности слева –направо(в
положительном направлении оси OX , то график над интервалом идет вверх
(«в горку») для возрастающей функции и вниз(«под горку») для
убывающей.
Примеры.
F(x)=sin(x), интервалы монотонности:
[

2
 2n,

2
 2n], n  Z , n  четное  (возрастание), n  нечетное  ( убывание) .
y  ln( x)  строго _ монотонна _(строго _ возрастает _ на _(0,)  _ области _ определения).
Определение 7 (сложная функция)
Пусть функция f(x) имеет область определения X и область значений E. Для
функции g(x) область определения Y содержит E. Тогда для x из X
определено единственное значение g(f(x)). Т.е. на X
определена функция g(f(x), которую мы назовем сложной функцией или
суперпозицией функций f(x) и g(x).
Замечание. Здесь f(x) называется внутренней функцией, g(x)- внешней.
Например ln(sin( x) _ имеет _ область _ определения  (2n,2n   ).
nZ
Определение 7 (обратная функция)
Пусть функция f(x) имеет область определения X и область значений Y . g(x)
имеет область определения Yи область значений X . Причем
y  f ( x)  x  g ( y ) для всех возможных x,y. Тогда g(x) называется обратной
к , f(x) а f(x) –обратной к g(x) .
Замечание 1. Если обратная функция существует, то графики прямой и
обратной функций симметричны относительно биссектрисы 1 и 3-го
координатного угла. Действительно из определения y  f ( x)  x  g ( y )
Эти графики прямой и обратной функции совпадают, если обратную
записать x=g(y), т.е считать независимым переменным y, а функцией x.
Чтобы отсюда получить график y=g(x) надо поменять x, y местами, т.е.
преобразовать координатную плоскость так, чтобы оси поменялись местами
с сохранением их направлений. Таким преобразованием
11
будет симметрия относительно прямой y=x (рис.3).
Замечание 2. Обратная функция не всегда существует. Например, y=x2 не
имеет обратной на [-1, 1], так как (-1)2 =12 =1 и не известно, чему должна
равняться обратная функция от 1. А вот на
[0, 1] эта функция имеет обратную y  x.
12
Вообще, если функция строго монотонна на множестве, то не может
быть равенства значений этой функции в разных точках и для любого
значения функции найдется единственное значение аргумента, т.е. можно
определить обратную функцию.
Это формулируется в следующей теореме.
Теорема 1
Если f(x) строго монотонна на промежутке a, b и f a, b  c, d . Тогда у
f(x)существует обратная функция g(x) с областью определения c, d и
областью значений a, b . Причем g(x)имеет тот же характер монотонности,
что и f(x) (возрастает или убывает одновременно).
Замечание. Здесь a _ или _ b _ могут _ быть   .
Доказательство не приводим.
Примеры.
1.Функции a x при a.  0, a  1 строго монотонны на R с областью значений
(0,). Поэтому
они имеют обратные log a ( x) с областью определения (0,) и областью
значении+й R (меняются местами).
2. Функция cos(x) строго убывает на на 0,   и имеет там область
значений  1,1 .Её обратная arcos(x) определена на  1,1 и имеет
область значений 0,  (рис.4).
13
Здесь везде графики прямой и обратной функции симметричны
относительно биссектрисы 1 координатного угла.
14