Точно так же , то есть , , , если

1.
Понятие функции одного переменного и способы задания
функций.
Термин "функция" появился в одной из рукописей Готфрида Вильгельма
Лейбница в 1673 году. Однако, он употреблял этот термин в очень узком
смысле. Речь шла об отрезках касательных к кривым, об их проекциях на оси
координат и о "другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры
некоторую функцию".
В 1718 году Иоганн Бернулли впервые дает определение функции,
свободное от геометрических представлений: "функцией переменной
называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины
постоянных". Под "каким угодно способом" во времена Бернулли понимали
арифметические операции, операции извлечения корней, тригонометрические
и обратные тригонометрические, показательные и логарифмические
"операции", а также их различные комбинации. Такие функции теперь
называют элементарными.
Привычное для нас обозначение функции — f(x) — принадлежит Эйлеру.
Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого
по данным значениям независимой переменной следует находить
соответствующие им значения функции:
Табличный способ.
Заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и
соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции
применяется в том случае, когда область определения функции является
дискретным конечным множеством.
При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить
не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие
промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ
интерполяции.
Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он
дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без
дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях
таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений
аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в
зависимости от изменения аргумента.
Графический способ.
Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно
определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое
преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике
часто пользуются графическим способом задания функции, причем график
бывает единственно доступным для этого способом.
Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с
математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую
1
конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит
к следующему способу задания функции.
Аналитический способ.
Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией,
задается посредством формул. Такой способ задания функции называется
аналитическим.
Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента
x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с
некоторой точностью.
Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно
y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.
Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е.
формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана
неявно.
Функция может быть определена разными формулами на разных участках
области своего задания.
Аналитический способ является самым распространенным способом
задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления
значения функции при произвольном значении аргумента из области
определения, возможность применения к данной функции аппарата
математического анализа — основные преимущества аналитического способа
задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности,
которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость
выполнения иногда очень громоздких вычислений.
Словесный способ.
Состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.
Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x]
обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными
словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q
принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на
промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.
Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где
[x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x —
произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое
число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q - r=q
Основными недостатками словесного способа задания функции являются
невозможность вычисления значений функции при произвольном значении
аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в
возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.
2.
Сложные и обратные функции.
Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией
от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u
= j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех
2
значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения
функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого
аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u2, u
=sinx, то у = sin2х для всех значений х. Если же, например,
y  u , u  sin x ,
то y  sin x , причём, если ограничиваться действительными значениями
функции, С. ф. у как функция х определена только для таких значений х, для
которых sin ³ 0, то есть для
2  x   2  1 
, где k = 0, ± 1, ± 2,...
Производная С. ф. равна произведению производной данной функции по
промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по
независимому аргументу. Это правило (цепное правило) распространяется на С.
ф.
с
двумя,
тремя
и т.
д.
промежуточными
аргументами:
если у = f (u1), u1 = j(u2),..., uk-1 = jk-1(uk), uk = jk (x), то
f : A  B -- взаимно-однозначное отображение
(биекция), то для любого y  B однозначно определен такой элемент x  A ,
что f ( x)  y . Тем самым однозначно определено соответствие
y x,
называемое обратной функцией по отношению к функции f .
Обратная функция. Если
Обратная
f
1
функция
: B  A,
Очевидно,
тождество
f
f
обозначается
 y   x  f  x   y,
что
1
отображение
f
1
для
согласно
определению
id A : A  A , id A  x   x
f  f 1  y    y ,
Таким
1
для любого
то есть
образом,
x  A, y  B .
 f  x   x , то есть композиция f
Точно так же
f 1 .
f
мы
имеем
-- это тождественное
x  A.
f 1  id b , id B : B  B ,
f
id B  y   y , если y  B .
Последнее
равна
утверждение
f :  f 1   f
1
означает,
что
функция,
, то есть что функции
f
и
обратная
f 1 --
к
f 1 ,
это две взаимно
обратные функции.
3
Если
f
--
ограничение
ограничение
называется
функции
главной
  
f :   ;    1;1 -- биекция.
 2 2
sin
на
ветвью
отрезок
синуса),
то
  
  2 ; 2 
(это
отображение
Рис. 1 . 31 . Главная ветвь синуса
Поэтому существует обратная функция
f 1 ,
называемая арксинусом и
1
обозначаемая
arcsin или sin (второе обозначение употребляется в
англоязычной математической и инженерной литературе). Таким образом,
  
arcsin :  1;1    ;  ,   arcsin x , если sin   x и      ;   .
 2 2
 2 2
Аналогично
определяется
функция
арккосинус
(обозначается
cos 1 ).
Это функция, обратная к ограничению функции cos на
arccos или
отрезок  0;   (такое ограничение называется главной ветвью косинуса ):
arccos :  1;1  0;   ,   arccos x , если cos   x
и
  0;   .
Рис. 1 . 32 .Главная ветвь косинуса
4
Функция арктангенс (обозначается
arctg
tg |
 
 ; 
 2 2
  
: ;  
 2 2
при
всех
tg  x
и
x
tg 1 ,
или
tan 1 ) --
это
  
  ;  , то есть
 2 2
  
arctgx  tg 1 x , x    ;  . Так как
 2 2
функция, обратная к ограничению функции
обратная к главной ветви тангенса :
, или
tg
на интервал
-- это биекция, то обратная функция определена
: arctg :
  
  ; ,
 2 2
  arctg x , если
  
   ;  .
2 2


Рис. 1 . 33 .Главная ветвь тангенса
3.
Элементарные преобразования графиков функций.
[Элементарные] преобразования графиков функций — термин,
используемый в школьной программе для обозначения линейных
преобразований функции или её аргумента вида y = αf(γx + δ) + β. Применяется
также для обозначений операций с использованием модуля.
Общий вид
функции
Преобразования
Параллельный
перенос
оси абсцисс на | a | единиц
графика
вдоль
графика
вдоль
y = f(x − a)


y = f(x) + a
вправо, если a > 0;
влево, если a < 0.
Параллельный
перенос
оси ординат на | a | единиц
5


вверх, если a > 0,
вниз, если a < 0.
Симметричное отражение графика относительно оси
ординат.
Симметричное отражение графика относительно оси
абсцисс.

При k > 1 — сжатие графика к оси ординат
в k раз,

при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси
ординат в 1 / k раз.
y = f( − x)
y = − f(x)
y = f(kx)

При k > 1 — растяжение графика от оси
абсцисс в k раз,

при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс
в 1 / k раз.
y = kf(x)

При
f  x  0
—
график
при
f  x  0
—
график
изменений,
y = | f(x) |

остаётся
без
симметрично
отражается относительно оси абсцисс.

f  x  0
—
график
остаётся
без
изменений,
y = f( | x | )
4.
При

при x < 0 — график симметрично отражается
относительно оси ординат.
Предел функции.
Преде́ л фу́ нкции (предельное значение функции) — одно из основных
понятий математического
анализа,
значение,
к
которому функция в
определённом смысле приближается при приближении аргумента к
определённой точке.
f  x  имеет
Функция
определения
f  x ,
отличающихся от
если
предел
для
A
всех
в предельной
значений
x,
точке
x0
области
достаточно
мало
x0 , значение f  x  как угодно близко к A .
Рассмотрим функцию
f  x ,
которое имеет предельную точку
определённую на некотором множестве
x0
X
,
(которая, в свою очередь, не обязана ему
принадлежать).
6
Предел функции по Гейне
Значение
f  x в
называется пределом (предельным
A
точке
сходящейся к
x0 ,
(то есть в проколотой окрестности
функции
 f  x 
n
n 1
функции
если для любой последовательности точек
x0 , но не содержащей x0

значением)
сходится к
x x 0

в качестве одного из своих элементов
x0
), последовательность значений
A.
lim f  x   A    xn n 1  n 

 xn n 1 ,
: xn  x0   lim xn  x0  lim f  x   A
n 
n 
Предел функции по Коши
Значение
f  x в
A
называется пределом (предельным
точке
x0 ,
значением)
функции
если для любого наперёд взятого положительного
 найдётся отвечающее ему положительное число      такое, что
для всех аргументов x , удовлетворяющих условию 0 | x  x0 |  ,
выполняется неравенство | f  x   A |  .
числа
lim f  x   A    0     x : 0 | x  x0 |  | f  x   A  
x 0
5.
Первый замечательный предел.
sin x
1
x 0
x
lim
Доказательство:
Рассмотрим односторонние
sin x
x 0 
x
пределы
lim
x 0 
равны
lim
sin x
x
1.
и
и докажем, что они
Пусть
 
x   0;  .
 2
7
Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной
к единичной окружности в точке (1;0). ТочкаH — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
SOKA  Ssec tOKA  SOAL (1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
1
1
sin x
S OKA   | OA |  | KH | 1 sin x 
2
2
2
Ssec tOKA 
1 2
x
R x
2
2
1
tgx
S OAL   | OA |  | LA |
2
2
(из
OAL : | LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим:
sin x x tgx
 
2
2
2
Так как при
x  0 : sin x  0, x  0, tgx  0 :
1 1
1
 
tgx x sin x
Умножаем на sinx:
cos x 
sin x
1
x
Перейдём к пределу:
sin x
1
x 0
x
lim cos x  lim
x 0 
sin x
1
x 0 
x
1  lim
8
lim
x 0 
sin x
1
x
Найдём левый односторонний предел:
u   x 


sin  u 
 sin  u 
sin  u 
sin x  x  u 
lim

 lim
 lim
 lim
1
x 0 
u 0
u 0
u  0   u 0 u
x
u
u


 x  0 
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и
сам предел равен 1.
Следствия:



6.
tgx
1
x 0 x
arcsin x
lim
1
x 0
x
1  cos x
lim
1
x 0
x2
2
lim
Второй замечательный предел.
x
 1
lim 1    e
x 
 x
1
или
lim 1  x  x  e
x 
Доказательство второго замечательного предела:
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x,
докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем,
x
что
 1
lim 1    e ; x 
x 
 x
1.
Пусть
x   .
. Рассмотрим два случая:
Каждое
положительными целыми числами:
значение
x заключено между двумя
n  x  n  1,
где
n   x
— это целая
часть x.
9
Отсюда следует:
1
1 1
1
1
1
   1
 1  1
n 1 x n
n 1
x
n
n
n
1   1  1

1 
  1    1  
 n 1  x   n 
, поэтому
n 1
.
n
Если
 1
x   , то n   . Поэтому, согласно пределу lim 1    e ,
n 
 n
имеем:
n 1
1 

lim 1 
n

n 
1 

 n 1   e  e .
lim 1 


n 
1 
1

 n 1 
lim 1 

n 
 n 1 
 1
lim 1  
n 
 n
n 1
n
 1
 1
 lim 1    lim 1    e 1  e
n 
n

 n
 n
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов
x
 1
lim 1    e
n 
 x
2. Пусть x   . Сделаем подстановку − x = t, тогда
t
x
t
t
1 
 1
 1
 t 

lim 1    lim 1    lim 
  tlim
1 
 
x 
t

t


 x
 t
 t 1 
 t 1 
t 1
1
1 
1 


 lim 1 
 lim 1 

  e 1  e
t 
 t  1  t   t  1 
x
Из
двух
этих
случаев
вытекает,
что
 1
lim 1    e
x 
 x
для
вещественного x .
Следствия
1
1.
lim 1  u  u  e
u 0
10
x
2.
3.
4.
5.
 k
lim 1    e k
x 
 x
ln 1  x 
lim
1
x 0
x
ex 1
lim
1
x 0
x
ax 1
lim
 1 для a  0, a  1
x  0 x ln a
6.
1  x 
lim
7.
Сравнение бесконечно малых функций.
x 0
a
ax
1
1
Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность,
которая стремится к нулю.
Бесконечно
большая
(величина) —
числовая
функция
или
последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Последовательность an называется бесконечно
Например, последовательность чисел
an 
1
n
малой,
если
lim an  0 .
n 
— бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0 , если
lim f  x   0 .
xx 0
Функция
называется бесконечно
lim f  x   0
x 
либо
lim f  x   0 .
малой
на
бесконечности,
если
x 
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой
разность функции и её предела, то есть если
Отношение
бесконечно
так называемую неопределённость
lim f  x   a
x 
малых
0
0
, то f(x) − a = α(x),
величин
образует
.
Определения:
11
Допустим, у нас есть бесконечно
же x  a величины α(x) и β(x) (либо, что
бесконечно малые последовательности).

Если
lim
xa
малые при одном и том
не важно для определения,

 0 , то β — бесконечно малая высшего порядка малости,

чем α. Обозначают β = o(α).

Если

  , то β — бесконечно малая низшего порядка малости,
xa 
lim
чем α. Соответственно α = o(β).

Если
lim
xa

c

(предел конечен и не равен 0), то α и β являются
бесконечно малыми величинами одного порядка малости.
Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного
отношения).

Если

c
x a  m
lim
(предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая
величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.
Примеры сравнения:
x  0 величина x 5 имеет высший порядок малости относительно x 3 ,
x5
3
так как lim 3  0 . С другой стороны, x имеет низший порядок малости
x 0 x
x3
5
относительно x , так как lim 5   .
x 0 x
При
С
использованием О-символики полученные
записаны в следующем виде

x  0 x
5
3
.
2 x3  6 x
 lim  2 x  6   6
x 0
x 0
x
lim
результаты
- то есть при
могут
x 0
быть
функции f(x)
= 2x2 + 6x и g(x) = x являются бесконечно малыми величинами одного порядка.
В данном случае справедливы записи 2x2 + 6x = O(x) и x = O(2x2 + 6x).
12

При
x 0
бесконечно малая величина 2x3 имеет третий порядок
малости относительно x, поскольку
второй порядок, бесконечно малая
8.
2 x3
 2 , бесконечно
x 0 x 3
x — порядок 0,5.
lim
малая 0,7x2 —
Три важных предела.
13
9.
Непрерывность
классификация.
функции,
точки
разрыва
функции
и
их
Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой
малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения
отображения.
Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное
отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком
смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на
вещественной прямой.
Определение:
Пусть
D  Rи f :D 
Функция
x0  D ,
f
.
непрерывна в точке
 0
если для любого
существует
  0 такое,
что
x  D, | x  x0 |  | f  x   f  x0  | 
f
Функция
непрерывна
множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.
В
этом
случае
говорят,
что
функция
f  C  E  или, подробнее, f  C  E,
0
0
f
класса
C0
и
на
пишут:
.
Точки разрыва:
Если попытаться построить отрицание свойства непрерывности функции в
точке (предельной для области определения), то получится следующее:

f  C a :   0  0 : x  E  0 | x  a |    | f  x   f  a  |  
Другими словами, существует такая окрестность значения функции в
рассматриваемой точке, что сколь близко
мы не подходили бы к данной точке, всегда
можно будет найти точку, значение в
которой окажется за пределами заданной
окрестности.
В
этом
случае
говорят,
функция f терпит разрыв в точке a.
что
14

Возможны два варианта:

либо предел функции существует, но он не совпадает со
значением функции в данной точке:
Тогда
Положив
точка a называется точкой
f  a   lim f  x 
x a
lim f  x   f  a 
x a
устранимого
разрыва функции f.
можно добиться непрерывности функции в этой
точке. Такое изменение значения функции в точке, превращающее функцию в
непрерывную в этой точке, называетсядоопределением по непрерывности.

либо предела функции в данной точке не существует и тогда
A  0  0 : x  E  0 | x  a |    | f  x   A |  
У числовой функции, заданной на вещественной прямой (или её
подмножестве), однако, возможно существование односторонних пределов.
Отсюда возникает классификация точек (неустранимого) разрыва:

если оба односторонних предела существуют и конечны, но
хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то
такую точку называют точкой разрыва первого рода;

если хотя бы один из односторонних пределов не существует
или не является конечной величиной, то такую точку
называют точкой разрыва второго рода.
10. Понятие производной.
Производная, основное
понятие
дифференциального
исчисления,
характеризующее скорость изменения функции; П. есть функция, определяемая
для
каждого х как
предел
отношения:
lim
x1  x
f  x1   f  x 
x1  x
,
если
он
существует. Функцию, имеющую П., называют дифференцируемой.
Всякая дифференцируемая функция непрерывна; обратное утверждение
неверно: существуют даже непрерывные функции, не имеющие П. ни в одной
точке). Для функций действительного переменного сама П. может быть
недифференцируемой и даже разрывной.
Так, например, всюду существующая П. относится к функциям первого
класса по Бэра классификации; П. (даже если она разрывна) принимает все
промежуточные значения между наименьшим и наибольшим. Из различных
обобщений понятия "П." наиболее существенны следующие.
15
Производные числа. Верхним правым производным числом
называют
f  x1   f  x 
при x1  x ,
x1  x
x1  x . Аналогично определяют нижнее правое ld , верхнее Ds и нижнее
верхний
где
Dd
предел
отношения
ls левые производные числа. Если Dd  ld  D  ls  , то f  x  имеет в
точке x одностороннюю правую (левую) П. Обыкновенная П. существует, если
все четыре производных числа конечны и совпадают. Производные числа были
введены итал. математиком У. Дини (1878). Как показал Н. Н. Лузин (1915), если
все четыре производных числа конечны на некотором множестве, то функция
имеет обычную П. всюду на этом множестве, кроме точек множества меры нуль.
Асимптотическая (или аппроксимативная) производная была введена А.
Я. Хинчиным(1916). Асимптотической П. называется предел отношения
f  x1   f  x 
x1  x
, когда
x1 x
пробегая точки множества, для которого
x
является точкой плотности.
11. Геометрический и физический смысл производной.
Тангенс угла наклона касательной прямой
Если
точке
функция
f : U  x0  
имеет
конечную
производную
в
x0 , то в окрестности U  x0  её можно приблизить линейной функцией
fl  x   f  x0  x  x0  .
Функция fl называется касательной к f в точке x0. Число
f '  x0 
является
угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.
Скорость изменения функции
Пусть s = s(t) —
закон
прямолинейного движения.
Тогда v(t0)
= s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая
производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.
Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость
изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса,
описанного зависимостью y = f(x).
16
Геометрический
смысл
производной. На графике функции
выбирается
абсцисса
x0
и
вычисляется
соответствующая
ордината f(x0). В окрестности точки
x0 выбирается произвольная точка
x. Через соответствующие точки на
графике функции F проводится
секущая
(первая
светло-серая
линия C5). Расстояние Δx = x — x0
устремляется к нулю, в результате
секущая переходит в касательную
(постепенно темнеющие линии C5
— C1). Тангенс угла α наклона этой
касательной — и есть производная
в точке x0.
12. Правила дифференцирования.
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При
выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами,
произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными
функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила
дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число
и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы
следующие правила дифференцирования:








C' = 0
x' = 1
 f  g  '  f ' g '
 fg  '  f ' g  fg '
 Cf  '  Cf '
f 
f ' g  fg '
…(g ≠ 0)
 ' 
g2
g
C 
Cg '
  '   2 … (g ≠ 0)
g
g
Если функция задана параметрически:
 x  x  t  ,
t  T1; T2  ,

y

y
t
,



то
y 'x 
dy
dx

d y dt
y'
  y 't  t 'x  t
dt d x
x 't
17
Дифференцирование сложной функции:

df  g  dg  x 
d
f  g  x  

 f 'g g 'x
dx
dg
dx
 Формулы производной произведения и отношения
обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула
Лейбница):
 fg 
 n
n
  Cnk f  n  k  g  k 
k 0
где
Cnk
— биномиальные
коэффициенты.
Следующие свойства производной служат дополнением к правилам
дифференцирования:

если функция дифференцируема на интервале (a,b), то
она непрерывна на интервале (a,b). Обратное, вообще говоря,
неверно (например, функция y(x) = | x | на [ − 1,1]);

если
функция
имеет
локальный максимум/минимум при
значении
аргумента,
равном x, то f'(x) = 0 (это так называемая лемма Ферма);

производная данной функции единственна, но у
разных функций могут быть одинаковые производные.

 f  x  '  f  x
g  x
g x

g  x f ' x 
 g '  x  ln f  x  

f  x  

18
13. Производные основных элементарных функций.
14. Правила дифференцирования
тригонометрических функций.
показательной
и
обратных
19
1.
Постоянную можно выносить за знак производной
c  const
 cu  '  c u  '
5x 
1
 5  x   5 1  5
1
x 
2.
n 1
x 
7 1
 nx n1
 7 x6
 2, 71
 u  v  '  u ' v '
Постоянная величина
3.
 2 x  x  '   2 x  '  x  '  2  3x
3
3
2
1
1

1
 8mx     sin  '   '  cos x  2
x
x
x


 
4.
u  v  '  u ' v  uv '
№
1
№
2
1


 cos x  ln x  '   cos x  ' ln x  cos x   ln x  '   sin x  ln x  cos x  x
v 
 u
 a  u ' v  uv '
 ' 
x2
v
5.
u


7
 2 x  ln x   2 x 7  ln x  'cos x   2 x 7  ln x    cos x  '



cos 2 x
 cos x 
v


1
1


6
7
6
7
 2  7 x     2 x  ln x  sin x 14 x     2 x  ln x  sin
x
x




cos 2 x
cos x
6.
Производные от сложной функции
 f  u  x    '  f '  u  x    u  x 
e
tg 2 x  ln x
 etg
7.
2
'  e
x  ln x
tg 2  ln x
  tg 2 x  ln x  '  etg
2
x  ln x
1

  2tgx   tgx  '  
x

1
1

  2tgx 
 
2
cos x x 




 x2  1 
6
cos  7  2   ln 
 
2e  


u


v
20
 x2  1 
2e x  x 2  1 
 sin  7 x 6  2  :  7 x 6  2  'ln 
 cos  7 x 6  2   2  

x 
x  1  2e x 
 2e 


2
2  x 1 
ln 
x 
 2e 
 x2  1 
2e x 2 x  x 2  1
 sin  7 x 6  2   42 x5  ln 
 cos  7 x 6  2   2 
x 
x 1
2e x
 2e 

1

ln 2  x 2  x 
e 

_____________________
№1:  7 x 6  2  '  42 x 5  0




2
x 2  1 ' 2e x  x 2  1  2e x
№2:  x  1  ' 


x 
2x
 2e 

4e
4 xe x  2e x  x 2  1
4e
2x

2 e x  2 x  x 2  1
2
4 e
x

2

2 x  x2 1
2e x
15. Дифференциал функции.
Дифференциа́ л (от лат. differentia — разность, различие) в математике —
линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения.
Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.
Рассмотрим гладкую функцию f(x). Проведём касательную к ней в точке x, и
отложим на этой касательной отрезок такой длины, чтобы его проекция на
ось x была
равна Δx.
Проекция
этого
отрезка
на
ось y называется дифференциалом функции f(x) в точке x от Δx.
Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух
переменных x и Δx,
df :  x, x 
d x f  x  , определяемой соотношением
dxf(Δx) = f'(x)Δx.
Для вещественнозначных функций:
f : M  гладкая функция.
Пусть M — гладкое
многообразие и
Дифференциал f представляет из себя 1-форму на M, обычно обозначается df и
определяется соотношением df(X) = Xf, где Xf обозначает производную f по
направлению векторного поля X в касательного расслоения M.
Для отображений:
21
Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в
многообразие F : M  N есть
отображение
между
их касательными
dF : TM  TN , такое что для любой гладкой
g : N  имеем
 dF  X   g  X  g F  ,
где
Xf
расслоениями,
функции
обозначает производную f по направлению X. (В левой части равенства берётся
производная в N функции g по dF(X); в правой — в M функции g F по X).
Это понятие естественным образом обобщает понятие дифференциала
функци
16. раскрытие неопределенностей по Лопиталю.
Правило
Бернулли-Лопита́ ля —
метод
функций, раскрывающий неопределённости вида
0
0
нахождения пределов
и

.

Обосновывающая
метод теорема утверждает, что при некоторых условиях
отношения функций равен пределу отношения их производных.
предел
Условия:
1.
lim f  x   lim g  x   0
2.
f(x) и g(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a;
x a
x a
или
;
3.
g '  x   0 в проколотой окрестности a;
4.
Существует
lim
x a
lim
xa
f ' x
,
g ' x
тогда
существует
f  x
f ' x
 lim
.
g  x  x  g '  x 
Пределы также могут быть односторонними.
Отношение бесконечно малых:
Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть
неопределённость вида
0
 .
0
Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой
полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в
этой точке: пусть f(a) =g(a) = 0. Возьмём некоторый x из рассматриваемой
22
полуокрестности и применим к отрезку
получим:
поэтому
c   a, x  :
xc   a, x  :
a, x теорему Коши. По этой теореме
f  x  f a f 'c

,
g  x  g a  g 'c
но
f (a)  g (a)  0 ,
f  x f 'c

.
g  x g 'c
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив
последний через A, из полученного равенства выводим:


f  x
  0  0 : x  0  x  a   
 A    для конечного


g  x




f  x
предела и
M  0  0 : x  0  x  a   
 M  для


g  x


бесконечного, что является определением предела отношения функций.
Отношение бесконечно больших.
Докажем теорему для неопределённостей вида

 .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда,
при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α —
O(1). Запишем это условие:
1  01  0 : x  0  x  a  1 |   x  | 1  .
Зафиксируем t из
всем x из
отрезка
отрезка
 a, t  :
a, a  1 
и
применим теорему
x   a; t  c   a; x  :
Коши ко
f  x   f t  f ' c 

,
g  x   g t  g ' c 
g t 
f  x
g  x f 'c

.
f t  g ' c 
g  x
1
f  x
1
что можно привести к следующему виду:
23
Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого
множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы,
а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β,
где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем
определение этого факта, используя то же значение  , что и в определении
для α: 1
 0 2  0 : x  0  x  a   2 |   x  | 1 
Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и
f  x
 A  A 1  1  12 . По
g  x
любому данному

можно найти такое
чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше
отношения функций действительно равен A.
1 ,
 , значит, предел
Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то


f ' x
M  01  0 : x  0  x  a  1 
 2M  .
g ' x


В определении β будем брать
будет
больше
1
2
при x,
1 
1
;
2
первый множитель правой части
достаточно
f  x 1
f  x
  2 M  M  lim
 
xa  g  x 
g  x 2
близких
к a,
а
тогда
. Для других баз доказательства
аналогичны приведённым.
17. Необходимые и достаточные условия возрастания, убывания и
экстремума функции.
Теорема 1.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b)
неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом
интервале.
24
Доказательство. Возьмем x1 < x2 из интервала (a, b). Для функции f(x) на
интервале [x1 , x2] выполнены все условия теоремы Лагранжа. Поэтому
f(x2 ) - f(x1 ) = (x2 - x1 )f '(x0 ),
где x0 лежит в интервале (x1 , x2), а следовательно, и в интервале (a, b). По
условию f '(x0 ) Ё 0 и x2 > x1, следовательно,
f(x2 ) - f(x1 ) Ё 0,
или
f(x2 )Ё f(x1 ) при x2 > x1 ,
что
и
требовалось
доказать.
Аналогично
доказывается
и
другая
теорема.
Теорема 2. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет
неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в
этом интервале.
Теорема 3. (первый достаточный признак экстремума). Если производная
f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при переходе
через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум
(максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на
"+").
Доказательство. Если производная f '(x) при переходе через x = x0 меняет
знак с "+" на "-", то это означает, что при достаточно малом h производная f '(x)
положительна в интервале (x0 - h, x0 ) и отрицательна в интервале (x0 , x0 + h).
Следовательно, функция f(x) в интервале (x0 - h, x0 ) возрастает, а в интервале
(x0 , x0 + h) убывает, то есть в точке x0 достигает максимума.
Аналогично доказывается утверждение данной теоремы относительно
минимума
функции.
Заметим, что если производная f '(x), обращаясь в нуль в точке x0, не меняет
знака, то в этой точке функция не имеет экстремума, так как с обеих сторон от
точки x0 функция f(x) будет возрастать или убывать.
Теорема 4. (второй достаточный признак существования экстремума
функции). Если в точке x0 первая производная f '(x) функции f(x) обращается в
нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0 функция f(x)
достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, если f ''(x) < 0).
Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x0 и ее окрестности.
Доказательство.
Докажем необходимость условия существования
максимума.
Пусть
f '(x) = 0, f ''(x) > 0.
Так как f ''(x) непрерывна, то в достаточно малом интервале (x0 - h, x0 + h)
вторая производная положительна: f ''(x) > 0. Это означает, что f '(x) возрастает в
этом интервале. Так как при этом f '(x0 )=0, то f '(x)<0 в интервале (x0 - h, x0 ) и
f '(x)>0
в
интервале
(x0
,
x0 + h).
Таким образом, функция f(x) убывает в интервале (x0 - h, x0 ) и возрастает в
интервале (x0 , x0 + h). Поэтому в точке x0 функция f(x) имеет минимум.
Аналогично доказывается достаточность условия существования максимума. На
рисунке функция f(x) имеет в точке x1 минимум, в точке x2 - максимум.
Второй производной можно воспользоваться при решении задач на отыскание
максимума и минимума функции.
18. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства
неопределенного интеграла.
25
Понятие неопределенного интеграла связано с понятием первообразной.
Найти первообразную – это значит «взять интеграл»
Интегрирование – это операция обратная дифференцированию.
Первообразной функцией для данной функции называется такая функция
F  x  , производная которой равна исходной функции f  x 
F  x  f  x
dF  x   f  x  dx
интеграл
функция
 x3
 1 2
2
  c'  x  0  x
3
3


x3
2
x
dx

c

3
f  x
F  x c
 f  x dx  F  x  c  - НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл
b
b
Sкр. р.   f  x dx  F  x  |  F  b   F  a 
a
a
S  S  x  S
26
# Найти интеграл
  2x
  2x
3
3
 5 x 2  7 x  3 dx
 5 x 2  7 x  3 dx   2 x 2 dx   5 x 2 dx   7 xdx   3dx 
2
x31
x 21
x11
2 x 4 5 x3 7 x 2
5
7
 3x  c 


 3x  c
3 1
2 1 11
4
3
2
2
1 

  x  3 x  dx 
________________________________________________________________
m
 a  b   a 2  2ab  b 2
2
1
1
n
am  a n
1
1
1
1
1
x  3 x  x2   x2   x
3
3
6
7
x6
x 6 6 76

 x
1
7 7
1
6
6
1
x
x
  3x 3
2
1
 1
3
3
________________________________________________________________
2
2

x
1
 x 3 | dx   xdx  2 x dx   x 3 dx 
6
x
1
x 2 2  6 76
1
12
 
x  3x 3  c  x 2  6 x 7  3 3 x  c
2
7
2
7
 x2 3
19. Таблица основных интегралов.
27
20. Интегрирование по частям.
28
 udv  u  v   vdu
Замечание: при интегрировании по частям
 p  x  e
dx
dx
 p  x  sin axdx
 p  x  cos axdx
p  x  - многочлен, u  p  x  , а dv  edx dv  s max dx
dv  cos axdx
 p  x  sin x dx dv  p  x  dx
Где
u
 p  x  arc mxdx
 p  x  arccos dx
u  ln x
u  arcsin x
u  arccos
u
# Найти интеграл
1
 ln xdx  ln x  x   x  x dx  x ln x   dx  x ln x  x  c
Интегрируем по частям
fudv  uv  fvdu
u  ln x
1
du  dx
x
|
dv  dx
vx
29
# Найти интеграл
 x sin xdx   x cos x   socxdx
u
dv
________________________________________________________________
ux
dv  sin xdx
du  dx
________________________________________________________________
  dv   sin dx   cos x   x cos x  sin x  c
21. Замена переменной при интегрировании.
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой
переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный
интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к
нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение
правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть
требуется
подстановку
x   t  ,
вычислить
интеграл
 t  —
где
 F  x dx .
функция,
Сделаем
имеющая
непрерывную производную (дифференциальное исчисление, характеризующее
скорость изменения функции в данной точке).
Тогда
dx   '  t   dt
и на основании свойства инвариантности формулы
интегрирования
неопределенного
интегрирования подстановкой:
интеграла
получаем формулу
 F  x dx   F   t     '  t  dt
22. Задачи, приводящие
определенного интеграла.
к
определенному
интегралу.
Понятие
Основным понятием интегрального исчисления является все же не понятие
неопределенного интеграла, а понятие интеграла определенного. Оно
существенно сложнее и целесообразно предпослать ему некоторые задачи
конкретного характера, которые выясняют необходимость введения этого
понятия.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный
функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых
есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве
задания этой функции (функционала).
30
Пусть f(x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b]на части с несколькими
произвольными точками a = x0 < x1 < x2 < xn = b Тогда говорят, что произведено
разбиение RR отрезка [a;b] Далее выберем произв. точку
i  xi ; xi 1  , i =
0,
Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел
интегральных сумм ΘR при
R  0 ,
b
разбиения R и выбора точек ξi, т.е.

если он существует независимо от
n 1
f  x dx  lim  f i  xi
x 0
a
существует
(1),
то
функция f(x) называется
(1) Если
i 0
интегрируемой
на [a;b] –
b
определение интеграла по Риману.
 f  x dx
a





a – нижний предел.
b – верхний предел.
f(x) – подынтегральная функция.
λR - длина частичного отрезка.
σR –
интегральная
функции f(x) на [a;b] соответствующей разбиению R.

λR - максимальная длина част. отрезка.
сумма
от
Определение интеграла на языке ε, δ: Число I – называется определённым
интегралом от f(x) на [ a ; b ], если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0: для
любого разбиения R отрезка [ a ; b ]: λR < δ, выполняется неравенство: |I- σR | =
|∑n-1i=0f(ξi) Δxi - I| < ε при любом ξi є [ xi ; xi+1] Тогда I = ∫abf(x)dx
23. Свойства определенного интеграла.
Основные свойства интеграла. Установим ряд важных свойств
определенного интеграла. Большая часть этих свойств присуща
интегралам от любых интегрируемых функций, но мы будем
формулировать их для функций непрерывных.
Теорема 1. Если f(x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на
b
промежутке [a, b], то
b
b
  f  x   g  x  dx  f  x  dx   g  x  dx
a
a
т. е.
a
интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.
В самом деле, составляя интегральную сумму для функции f(x) + g(x),
очевидно, будем иметь
31
n 1
  f    g    x
k 0
k
k
k 1
n 1
n 1
k 0
k 0
 xk   f  k  xk 1  xk    g  k  xk 1  xk 
после чего остается перейти к пределу при λ → 0.
Аналогично доказывается:
функция, а c - постоянное число, то
Теорема 2. Если f(x) - непрерывная
b
b
a
a
 cf  x  dx  c  f  x  dx т. е.
постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот
промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему
промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.
b
c
b
a
a
c
 f  x  dx   f  x  dx   f  x dx
a  c  d  .
В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части
включать c в число точек деления. Если c = xm, то
n 1

k 0
m 1
n 1
k 0
k m
f  k  xk 1  xk    f  k  xk 1  xk    f  k  xk 1  xk 
Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой
соответственно для промежутков [a, b], [a, c] и [c, b]. Остается перейти к
пределу при λ → 0.
24. Замена переменной в определенном интеграле.
Теорема. Дана функция f (x) интегрируемая на отрезке [a; b]. Если функция
  t  определена, непрерывна вместе с производной и монотонна на отрезке
 ,   , причем     a,
b
     b , то

 f  x  dx  f  t    ' t  dt .
a
Замечание: при замене переменной под знаком определенного интеграла,
меняется не только подинтегральная функция, но и пределы интегрирования.
Доказательство. Пусть F (x) — первообразная функция f (x).
32
b
Тогда
 f  x  dx  F  b   F  a 
a
Так как по правилу дифференцирования сложной функции
 F  t  '  F '  t   ' t 
значит
F   t  
— первообразная для
f '   t     '  t  .
Поэтому

 f   t    ' t  dt  F       F   a    F b   F  a  .

Т.е. теорема верна.
25. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:
d  uv   vdu  udv
b
b
b
a
a
a
 d  uv   vdu   udv
b
 udv  uv
a
b
b
a
  vdu
a
26. Вычисление площади в декартовых координатах.
Нахождение площади криволинейной трапеции
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой
y  f  x 
1 2
x
2
и осью
x
(абсцисса)
x  1;
x2
33
1 2
1 x 21 2 1 x 2 x3 2 23 1'
8  1 8 1 9 3
x dx  
|   | 
|  
          1,5
2
2 2  1 1 2 3 1 6 1 6
6
6  6 6 6 6 2
1
3
2
S
f  x
Ответ:
F  x
Sкр. р.  1,5
27. Вычисление объема тела вращения.
Рисунок 7.2.1.
Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox,
прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей неотрицательной
функцииy = f (x), вращается вокруг оси Ox (рис. 7.2.1), вследствие чего
образуется тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной
34
оси Ox, есть круг или точка. На промежутке (a; b) выберем точку x. Сечение,
проведенное через эту точку перпендикулярно оси Ox, есть круг
площадью S (x) = πf 2 (x). Объем части тела вращения, ограниченной сечениями,
проведенными через точки a и x, обозначим через V (x), а объем данного тела
вращения – через V.
Теорема 7.3.
Объем тела вращения равен V
b
b
a
a
  S  x  dx    f 2  x 
Доказательство
Придадим x приращение Δx > 0 (x + Δx < b). Построим два цилиндра с общей
высотой Δx (рис. 7.2.2). Меньший цилиндр имеет своим основанием круг
площадью S (x), а больший – круг площадью S (x + Δx). Если ΔV – прирост объема
тела вращения, то S (x)Δx < ΔV < S (x + Δx)Δx, откуда
S  x 
V
 S  x  x  .
x
Поскольку функция f (x) непрерывна, то непрерывна и
функция
S  x   f 2  x ,
следовательно,
lim S  x  x   S  x  .
x 0
Переходя к пределу в двойном неравенстве, имеем
lim
x  0
V
 S  x
x
то есть V' (x) = S (x).
Объем V (x) является первообразной для функции S (x) на промежутке [a; b].
Отсюда имеем V
b
b
a
a
 V  b   V  a    S  x  dx    f 2  x dx
35
Теорема 7.4.
Объем шара равен
4
V   R 3 , где R – радиус шара.
3
Доказательство
Рис 7.2.3.
На рис. 7.2.3 изображена четверть круга радиуса R с центром в точке (R; 0).
Уравнение окружности этого круга
 x  R
2
 y2  R2 ,
x  0; R
откуда
y 2  2 Rx  x 2 .
Функция
y  2 Rx  x 2
,
непрерывная, возрастающая, неотрицательная, следовательно, для
нахождения объема тела вращения можно использовать предыдущую теорему.
Вследствие вращения четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар.
R
Следовательно,
откуда V
R

1
x3 
2
V     2 R  x 2  dx    Rx 2     R 3
2
3 0 3

0
4
  R3
3
Заметим, что формула для объема шара следует из формулы для объема
шарового сегмента при H = 2R.
28. Длина дуги вращения.
Пусть
плоская
кривая
АВ
S  lim y  f  x  , a  x  b, где f  x 
x 
задана
уравнением
- непрерывная функция на
промежутке [a,b]. Разобьем кривую АВ на n произвольных частей точками
A  M 0, M 1 , M 2 ,..., M n  B , (занумерованными по порядку от А к В).
36
Соединив эти точки хордами, получим некоторую вписанную ломаную
линию, периметр которой обозначим через p.
Определение: Если существует конечный предел s периметра p,
вписанный в кривую ломаной, когда наибольшее из ее звеньев стремится к
нулю, то этот предел называется длиной дуги AB:
s  lim p
 0
Где

- длина наибольшего звена ломаной. (В этом определении
подразумевается, что предел s не зависит от способа разбиения кривой на
части).
Рассмотрим кривую y = f(x), где f(x) - непрерывная функция, заданная
на промежутке [a, b]. Разделим [a, b] точками x0 = a < x1 < ... < xn = b и
образуем ломаную с вершинами Mk(xk, f(xk)) (k = 0, 1, ..., n). Если существует
конечный предел s длины этой ломаной, когда наибольшее из ее звеньев
стремится к нулю, то он называется длиной нашей кривой.
Вообще говоря, не у всякой непрерывной кривой существует длина
(можно доказать, что упомянутый предел существует всегда, но он может
оказаться бесконечным). Те кривые, у которых длина существует,
называются спрямляемыми. На языке «    » это определение означает,
что для каждого числа 
0
найдется такое число
списанной ломаной, у которй длина
неравенство
 
  0 , что для любой
будет выполняться
| s  p | 
37
Теорема. Если у функции f(x) существует непрерывная
производная f'(x), то кривая y = f(x) спрямляема, и ее длина равна
b
S   1  f '2  x dx
(4)
a
Действительно, длина одного звена MkMk+1 упомянутой выше ломаной
равна, очевидно,
M k M k 1 
 xk 1  xk 
2
  f  xk 1   f  xk  
2
29. Площадь поверхности вращения.
Если дуга гладкой кривой
y  f  x  , a  x  b,
вращается вокруг оси
Ox , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле:
b
S  2  y 1  y '2 dx.
a
Если дуга кривой задана параметрически
то
y  y  t  , x  x  t  , t1  t  t2 ,
t2
S  2  y x 't2  y 't2 dt .
t1
38