Механика термоупругих оболочек с межфазными границами

МЕХАНИКА ТЕРМОУПРУГИХ ОБОЛОЧЕК С МЕЖФАЗНЫМИ ГРАНИЦАМИ
В. А. Еремеев
Южный научный центр РАН и Южный федеральный университет,
Ростов-на-Дону, Россия
Описание фазовых превращений в твердых телах представляет собой актуальную
задачу физики и механики твердого тела, а также материаловедения. В частности, фазовые
превращения являются ответственными за эффект памяти формы, наблюдаемый во многих
сплавах и полимерах, см., например, [1–4]. Описание фазовых превращений в рамках
механики сплошной среды возможно на основе различных подходов. Начиная с работ Дж.
В. Гиббса [5], широкое развитие получила модель фазового перехода, основанная на
введении границы раздела фаз и анализа ее поведения в зависимости от внешних
воздействий [6–8]. При этом основное внимание в литературе уделяется одномерным и
трехмерным моделям. Вместе с тем нужно отметить, что практический интерес
представляют и тонкостенные конструкции, изготовленные из материалов,
претерпевающих фазовые превращения, например, пластинки и оболочки из сплавов с
памятью формы. Фазовые переходы в таких тонкостенных телах имеют свои особенности,
см., например, [3]. Это делает актуальной разработку модели фазовых превращений в
двумерных системах, также основанную на введении криволинейной границы раздела фаз.
В рамках представленной в монографиях [9-11] нелинейной 6-параметрической теории
оболочек, в которой поля перемещений и поворотов принимаются кинематически
независимыми, условия равновесия фаз материала вариационным методом установлены в
[12] и обобщены на случай учета энергии фазовой границы в [13]. Случай
квазистатического движения фазовой границы в термоупругих и теромовязкоупругих
обоочках рассмотрен в [14, 15].
Целью данной работы является обсуждение последних результато,в представленных
в [14, 15], а также развитие более точного описания термодинамики оболочек.
Основные уравнения механики оболочек представляют собой уравнения равновесия,
уравнение сохранения энергии и неравенство Клазиуса-Дюгема, записанные в геометрии
отсчетной конфигурации [9–11]
Divs N  f  0 , Divs M  ax  NFT  FNT   c  0 ,
d
   q   q   q   Divs q  N  E  M  K ,
dt
 q q q 
d
1 
            Divs  q  .
dt
T 
 Text Text T 
Здесь N и M – тензоры усилий и моментов, аналогичные первому тензору напряжений
типа Пиолы-Кирхгоффа, E , K – меры деформации, F  Grad s y – поверхностный
градиент деформации, y   (x)  x  u – радиус-вектор точек поверхности оболочки в
актуальной конфигурации, ax ( A) обозначает аксиальный вектор, соответствующий
антисимметричному тензору A , Grad s и Divs – операторы градиента и дивергенции на
поверхности оболочки в отсчетной конфигурации M,  и  – поверхностные плотности
внутренней энергии и энтропии, q – поверхностный вектор потока тепла, q  –
соответственно потоки тепла через верхнюю () и нижнюю (-) поверхности оболочки, q

– плотность поверхностного источника тепла, Text и Text – температуры поверхности
оболочки, T – средняя температура оболочки. Также обсуждаются другие известные
варианты термодинамического описания в теории оболочек.
Краевая задача в случае двухфазной оболочки состоит в определении поля
перемещений u , поля поворотов Q , поля температуры T, а также положения фазовой
границы С.
Деформации оболочки при наличии фазового перехода соответствует наличие
межфазной границы – кривой С, на которой, вообще говоря, нарушается непрерывность
деформаций оболочки и других величин. Анализ уравнений баланса на фазовой границе
позволил сформулировать дополнительное уравнение, необходимое для определения
положения фазовой границы С. А именно, термодинамически совместимым уравнением на
границе раздела фаз может служить так называемое кинетическое уравнение
V  K  ν  Cν  ,
(1)
где K – неотрицательная кинетическая функция, V – скорость движения фазовой границы,
квадратными скобками обозначен скачок соответствующей величины при пересечении С.
Тензор C является тензором Эшелби (тензором энергии-импульса) в теории оболочек [12].
Для когерентной фазовой границы, то есть случая, когда поля u и Q непрерывны в
окрестности С, выполняется равенство C  Cc   A  NT F  MT K , а в случае границы,
некогерентной по отношению к поворотам, C  Ci   A  NT F . Последний случай
соответствует, например, образованию изломов на поверхности оболочки, аналогичных
представленным в [3]. Здесь     T   T , E, K)  –поверхностная плотность свободной
энергии, A – единичный тензор на поверхности. Различные формы для кинетической
функции K рассматривались в [7, 8]. Уравнение (1) описывает движение фазовой границы
C в случае квазистатического деформирования оболочки и обобщает условие равновесия
фаз   C   0 , полученное ранее для оболочек в [12, 13].
В качестве примера рассмотрена деформация круговой цилиндрической оболочки
радиуса R и длины L, жестко защемленной по одному краю. На противоположной краю
оболочки действует равномерно распределенная сила P. В случае осесимметричной
деформации в качестве фазовой границы C выступает окружность, положение которой на
поверхности оболочки определяется координатой z = l(t). Проведенный анализ показал
наличие погранслойных решений, локализованных в окрестности жесткого защемления и
фазовой границы, см. рис. 1
Рис. 1. Форма поверхности двухфазной оболочки (масштаб увеличен).
Приведенный пример также показал наличие петли гистерезиса на диаграмме
нагружения оболочки, то есть на зависимости сила–удлинение. Размер и форма петли
гистерезиса зависит от ряда параметров, в частности, от вида кинетической функции K,
скорости нагружения, см. также [14, 15].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 07-01-00525, № 0901-00459).
ЛИТЕРАТУРА
1. Лихачев В.А. Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. – Л.: Изд-во
ЛГУ, 1987.
2. Бойко В.С., Гарбер Р.И., Косевич А.М. Обратимая пластичность кристаллов. – М.:
Наука, 1991.
3. Bhattacharya K. Microstructure of Martensite: Why It Forms and How It Gives Rise to
the Shape-Memory Effect. – Oxford: Oxford University Press, 2003.
4. Lagoudas, D. C. (ed.). Shape Memory Alloys. Modeling and Engineering Applications.
– Berlin: Springer, 2008.
5. Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механика. – М.: Наука, 1982.
6. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых
превращений. – М.: Наука. 1990.
7. Abeyaratne R., Knowles J. K. Evolution of Phase Transitions. A Continuum Theory. –
Cambridge: Cambridge University Press, 2006.
8. Berezovski A., Engelbrecht J., Maugin G.A. Numerical Simulation of Waves and Fronts
in Inhomogeneous Solids. New Jersey et al.: World Scientific. 2008.
9. Libai A., Simmonds J. G. The Nonlinear Theory of Elastic Shells, 2nd ed. – Cambridge,
UK. 1998.
10. Chróścielewski J., Makowski J., Pietraszkiewicz W. Statics and Dynamics of Multifold
Shells: Nonlinear Theory and Finite Element Method (in Polish). – Warszawa: Wydawnictwo
IPPT PAN, 2004.
11. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. – М.: Наука, 2008.
12. Eremeyev V.A., Pietraszkiewicz W. The non-linear theory of elastic shells with phase
transitions // J. Elasticity. – 2004. – Vol. 74. – № 1. – P. 67–86.
13. Pietraszkiewicz W., Eremeyev V. A., Konopińska V. Extended non-linear relations of
elastic shells undergoing phase transitions // ZAMM. – 2007. – Vol. 87. – № 2. – P. 150–159.
14. Eremeyev V.A., Pietraszkiewicz W. Phase transitions in thermoelastic and
thermoviscoelastic shells // Archives of Mechanics. – 2009. – Vol. 61. – № 1. – P. 41–67.
15. Eremeyev V.A., Pietraszkiewicz W. On tension of a two-phase elastic tube // Shell
Structures. Theory and Applications. Vol. 2. W. Pietraszkiewicz, I. Kreja (eds). Boca Raton:
CRC Press, 2010. – P. 63–66.