м о с к о в с к и й... АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

м о с к о в с к и й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Н.Н.РЫЖОВ
К У Р С
Н А Ч Е Р Т А Т Е Л Ь Н О Й
Г Е О М Е Т Р И И
Часть 2
МОСКВА
1996
м о с к о в с к и й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Н.Н.РЫЖОВ
КУРС
НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Часть 2
Учебное пособие
Утверждено в качестве
учебного пособия
редсоветом МАДИ(ТУ)
МОСКВА
19%
УДК 513.87
Рыжов Н.Н. - Курс начертательной геометряи. Часть 2.-М.:
МАДИ(ТУ),1Ч95
Рецензенты: профессор В.И.Якунин,
доцент В.Г.Няколаевский
Настоящее учебное пособие является логическим продолжением
"Курса начертательной геометрии.Часть I " , изданного в МАДИ(ТУ)
в 1995 году.. Оба учебных пособия (часть I и часть 2) в целом
содержат материал полностью соответствуюпщй рабочей программе,
разработанной и принятой на кафедре начертательной геометрии
МАЛИ(ТУ) для студентов машиностроительных спегчальностей.
Пособием могут пользоваться и студенты строительных специаль­
ностей по разделу "Комплексный чертеж из ортогональных проекций".
Московский государственный автомобяльно-дорожный
институт (технический университет),1995г.
ПРБЩИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие является логическим продолжением
учебного пособия "Курс начертательной геометрия . Часть Т", и з ­
данного в МАДИСТУ) в 1995 году и посвященного фундаментальноцу
разделу курса начертательной геометрии - формированию проекционно-графяческих моделей пространства, геометрическому конструиро­
ванию н заданию геометрических образов на комплексном чертеже.
В настоящем пособии изложены две теыш - позиционные задачи ^ЕI
метряческве задачи - составляющие основу обратной задачи н а ч е р ­
тательной геометрии (см. Курс начертательной геометрии.Часть I ) ,
Этим двум темам предпослана тема "Преобразование комплексного
чертежа". Теоретически эта тема относится к прямой задаче н а ­
чертательной геометрии. Однако практическое использование а п ­
парата преобразования комплексного чертежа очень часто направ­
лено на решение обратной задачи начертательной геометрии. Поэто­
му раздел курса начертательной геометрии "Преобразование ком­
плексного чертежа" помещен между разделом геометрического к о н струкрованяя я эаданяя геометряческях образов на комплексном
чертеже (прямая задача начертательной геометрии) и разделом р е ­
шения ооэяцяонных я метрнческях задач на комплексном чертеже
(обратная задача начертательной геометрии).
Оба учебных пособяя (часть I я часть П) в целом составляют п о л ­
ный учебный курс начертательной геометрии, соответствуюцяй р а б о ­
чей п р о г р а м м , разработанной я прянятой на кафедре н а ч е р т а т е л ь ­
ной геометряя ИАЛИСПГ).
Автор считает своим долгом выразить благодарность с т . п р е п о ­
давателю кафедры Н.Н.Кузеневой я ст.лаборанту кафедры Л.А.ВхасовоЯ з а оказанную имя большую помощь при подготовке рукописи
к печати.
3
I . ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОЛШЕКСНОГО ЧЕРТИЛ
1.1. Общие замечания
В предьц^згщих разделах курса (См. "Курс начертательной геомет­
рии. Часть I ) все вопросы и задачи рассматривались на двухкартинном комплексном чертеже. Каждый геометрический образ был з а ­
дан (в общем случав) двумя изображениями. Одно изображение полу­
чали используя фронтальное проецирование и фронтальную плоскость
проекций, а другое - используя горизонтальное проецирование и
горизонтальную плоскость проекций. Эти изображения иногда, соот­
ветственно, называют: вид спереди и вид сверху. В инженерной
практике бывает необходимо иметь не только эти два "вида", но и
"вид" по любому нужному направлению. По двум изображениям не в с е г ­
да просто увидеть (прочитать) конструкцию объекта; два изображе­
ния иногда требуют дополнительных обозначений для того, чтобы
объект был задан однозначно; на двух полях проекций некоторые
задачи решаются довольно сложно; два изображения объекта, как
правило, не позволяют оценить его с точки зрения инженерной э с т е ­
тики; и т . д .
Очевидно, что получение нового изображения, новой проекции объек­
та не является самоцелью. Эта проекция должна быть получена по
определенному нужному нашравлвнию проецирования. Только такое
сознательное и целенаправленное увеличение числа изображений
объекта приведет к рациональному использованию многокартинного
комплексного чертежа.
Таким образом возникает задача: как по двум данным изображениям
объекта в двух полях проекций, по двум его "видам", построить
в новом поле проекций его третье изображение, третий "вид" по
требуемому направлению.
Такое расширение д в у х к а р т и т о г о комплексного чертежа до трехкартинпого ( а следовательно и до многокартинного) комплексного
чертежа называют преобразованием комплексного чертежа. Дадим
следующее определение преобразованию комплексного чертежа: в с я ­
кое построение на комплексном чертеже, отображавшее определен­
ное построение в пространстве и приводящее к образованию нового
поля проекций, называется преобразованием комплексного чертежа.
Не вдаваясь глубоко в теорию преобразования комплексного
чертежа(_41 отметим, что новые поля проекций могут быть ролучены4
если вьестя новую плоскость проекцмй (а следовательно и новые
проецирующие пряьлыв - перпендикулярные новой плоскости проекций);
если изменить положение в пространстве объекта проецирования
(считая его жестко связанным со всеми точками п р о с т р а н с т в а ) ; е с ­
ли изменить систему проецирующих линий. Получение новых полей
проекций возможно и при том или ином сочетании вышеуказанных
трех с л у ч а е в .
Решение з а д а ж преобразования комплексного чертежа возможно,
если указаны спосой получения н^эых полей проекций и способ п о с ­
троения в этих ноБЫХ полях соответствующих изображений объекта.
Существует ряд конкретных способов преобразования комплекс­
ного чертежа. Рассмотрим некоторые из них.
1.2.
Способ введения новой плоскости проекций
1 . 2 . 1 . Суть этого способа зашшчается в том, что дополнительно
к плоскостям проекций/7/и
вводится третья плоскость проекций
/7^ , проецируя на которую все точки пространства получим на ней
новое поле проекций, а проецируя на нее исследуемый объект, п о ­
лучим новую его проекцию. Т.к. комплексный чертеж из двух полей
проекций мы можем построить только тогда, когда плоскости проек­
ций взе1Имно перпендикулярны, то, следовательно, и при построении
трехкартинного чертежа, плоскость Пз должна быть пертендикулярна
или/7, или/7г (частный случай, коттПзхП^^ П^^.I\, рассмотрим н е с ­
колько позже}. Для определенности дальнейших рассуждений рассмот­
рим случай, когда
перпендикулярна /7/ ( р и с . 1 ) .
В этом случае новое направление б^проецирования (новое направле­
ние "взгляда" на объект), перпендикулярное Пз , будет п а р а л л е л ь ­
но /7/ . После проецирования объекта на
, все три плоскости с о в ­
мещаются с плоскостью чертежа и получают трехкартинный комплекс­
ный чертеж. На рис.2 показано построение в ьоле Пз проекции
т о ч к и / / . Двухкартинний комплексный чертеж в системе
кП1^Пу)
формируется также, как и двухкартинный комплексный чертеж в с и с ­
теме {П/^П^). ПрямаяД^/'.з является осью проекций в системе {П^,П))
• представляет собой определенное отображение на плоскости чертежа
линии пересечения Пз и
. Линии связи в системе {П4$Па) п е р ­
пендикулярны
и параллельны ^5/ - горизонтальной проекции нап­
равленной прямой 6
проецирования, перпендикулярной
, Для т о ­
г о . '?тобы построить точку Мл нужно через / 7 / провести линию
связи в системе {П4,П^) и на ней от-ЗуС^ отложить о т р е з о к , р а в 5
Рис.1
Рис.2
ный по величине расстоянию от Лу^з доЛ^ . Последнее очевидно,
т . к . расстояния о т / % и отА^до плоскости/7^ равны между собой и
равны расстоянию от М д о / 7 / . Положение л:^?;} определяется с точ
ностью до параллельного переноса. Параллельный перенос лг/яа
соответствует параллельному п е р е н о с у / ^ . Т.к. параллельный п е ­
ренос плоскости /7з не меняет изображение на ней, то и параллель
ный перенос -Л^/з не приведет к изменению изображения в поле П^.
Аналогичные рассуждения можно было бы привести и прийти к
соответствующим результатам, если в качестве /7з в з я т ь плоскость
перпендикулярную /7^ . В этом случав ^
параллельна Пг. . Б е ­
ли в первом случае мы от системы (/7^,>'^) перешли к системе
С ^ ? ' ^ ) . то во втором случае - от системы (/7/»/^) к системе
( / ^ ^ / ^ ) . Соответствующие построения представлены на р и с . 3 .
Пример I . Используя способ введения новой плоскости проекций,
построить натуральный вид треугольника/137? , принад­
лежащего фронтально проецирующей п л о с к о с т и / ^ ( р и с . 4 ) .
Чтобы треугольник/4/92? спроецировался в натуральный вид новая
плоскость проекций /7з должна быть параллельна плоскости /~ .
Новое иаправление проецирования, перпендикулярное /7? , опреде6
ляется фронталы) б . Новая ось проекций Х / ^ з строится перпен­
дикулярно
(параллельно / 7 ) . Линии связи в системе
{^г,П^)
перяендикулярны ^2:^2^3 • Откладывая от-ЭС^^з по соответствующим л и ­
ниям связи отрезки равные
А < | . \х/^/,3/
\и | п о л з г ч и м
точки А^ , 3^
- проекции вершин треугольника в поле /7^ .
Пример 2. Построить по направлению 5* вид части предмета, з а д а н ­
ного на двухкартинном комплексном чертеже ( р и с . 5 ) .
Отверствие в правой части заданного предмета не представленно с
очевидностью на изображениях в поле /7/ и в поле /7^ . Лдя того,
чтобы форма отверстия с т а л а ясной, достаточно спроецировать п р а ­
вую часть предмета на плоскость /7з , перпендикулярную ребрам о т ­
верстия. Т . е . новое направление проецирования должно быть парал­
лельно этим ребрам, а ^ * должна быть фронталью. Ось проекций
Х^>^^_1 ^ • Замеряя расстояние от оси ^иг
до точек в поле ^ / (на
чертеже в качестве примера в з я т а точка А ) и откладывая эти р а с ­
стояния от о с и Х / ^ з по соответствующим линиям связи в системе
( / ^ , / 7 з ) , получим нужное изображение части предмета в поле
.
Как уже было упомянуто в начале этого параграфа, новое нап­
равление проецирования должно быть или параллельно /7/ , или
параллельно /7^ • В первом случав П^±П^ и от системы (/7^, /Тг )
переходят к системе Щ,Пз).
Во втором слзгчаеА^/^и от системы
{П,,^Л
переходят к системе ( / ^ , / 7 » ) . Однако возможен случай, к о 1 ^
7
Ряс.5
да 6* параллельна л л . Тогда перпендикулярна одновре­
менно и /7/ лПг . Такую третью плоскость проекций обычно выделя­
ют из прочих и называют профильной плоскостью проекций. Т.к.
профильная плоскость проекций пертендикулярна и /7/ и /7г , то
при получении трехкартинного комплексного чертежа возможны два
варианта его формирования: от системы (/7,,/^) перейти или к с и с ­
теме (П^,П})
или к системе КПцП^).
Первый вариант трехкар­
тинного чертежа представлен на р и с . 6 , а второй - на ряс. 7.
Очевидно, что \А}гВ^\
на р я с . 6 и на рис.7 должны быть равны.
В практике инженерного черченял. как правило, используют первый
(рис.6) вариант и новую проекцяю оригинала называют "профильной
проекцией" или "видом с л е в а " .
Пример 3. Построить профильную проекцию (вид слева) многогран­
ника, заданного на двухкартинном чертеже (рис.8)
8
Ряс.6
Ряс-7
После щяведенных вше рассуждений, построение изображения многранняка во фронтальном поле проекций, допох'штельных пояснений
не требует.
1.2.2. В настоящем параграфе рассмотрим случай, когда новое нап­
равление проецирования (новое направление "взгляда" на объект)
определяется направленной прямой б общего положения относи­
т е л ь н о / 7 / я /7^ . Веля ввести некоторую плоскость ировкаяй//^
пер­
пендикулярную 5 , то, т . к . 6 - прямая общего положения,// б у ­
дет плоскостью общего положения я по отношению к /7/ и по о т н о ­
шению к
. Мы умеем строить комплексный чертеж (как это было
показано ранее) только в том случае, когда соседние плоскостя
проекций взаямноперпендякулярны. Сле^вательно построить т р е х ­
картинный комплексный чертеж, к о г д а / 7 - плоскость общего п о л о ­
жения относительно/7/ и / ^ , практически н е л ь з я * ' .
») Теоретически это возможно, но решения всех задач, связанных
с заданием на чертеже объектов пространства и исследованием их
характеристик,с использованием такого третьего поля, с т а н о в я т ­
ся настолько сложными, что такие комплексные трехкартинные ч е р ­
тежи практически не применяют.
Рис.8
Чтобы решить поставленную задачу необходимо воспользоваться
некоторой "промежуточной" плоскостью проекций
, которая бы­
л а бы перпендикулярна и к
и к / 7 (или - и к / 7 г И к У 7 ) .
Для конкретности рассуждений рассмотрим случай, когда 77^
перпендикулярна /7/ . Следовательно в этом случае будем после­
довательно переходить от системы (/7^ ,
) к системе ( /7/ , /7з ) ,
а затем от (/7^
) к ( / 7 ^ , 7 7 ) . Т . к . плоскость П будет ч е т ­
вертой плоскостью проекций, обозначим ее Пл, .
Итак плоскость /7^ должна быть перпендикулярна и /7^^ и
. Чтобы
/7^ была п е р п е н д и к у л я р н а о н а должна быть параллельна -5 .
Среди плоскостей, параллельных
, выделим какзгю-нибудь плос­
кость, перпендикулярную /7/ и примем ее за
. Прямая 6
по отношению к/7^ будет линией уровня, а по отношению к/7(.проецкрующей прямой. Все приведенные рассуждения и построения
в пространстве несложно отобразить на чертеже и получить ком­
плексный четырехкартинный чертеж, на последнем, четвертом, поле
которого будет получено изображение объекта по заданному паправлению 4 . На рис.9 показано формирование четырехкартннно10
Рис.9
Рис.10
го комплексного чертежа на примере отрезка направленной п р я ­
мой 3^
_
_
Т . к . плоскость ^з\Р{
шП^ \\6 , то ОС^^ II д,.
^ и П^^^
следовательно
. с5 является проецирующей по отношению
к /7^ и ее проекция на /7^ - точКа.
Аналогично рассуждениям, которые проведены для цепочки
преобразований ( / ^ , / 7 2 ) ^ ( Д - , / ^ ) - > " ( / ^ , / 7 ^ ) , можно провести
рассуждения и для цепочки ( / ^ , / 7 2 ) - * ~ ( / ^ , / ^ ) - ^ ( / ^ г ' Л ) • В п о с ­
леднем случае /7^11^ я
Пг, следовательно ОС^^^ ц гЗ^^ /7^_/. Г!^
( Р и с . 1 0 ) . и П^^±5==^ОС^з4-1-<^з.
(Рис. 10).
Пример 4. Построить проекции куба, заданного на двухкартинном
комплексном чертеже, по направлению его диагонали
( Д В ) рис.П.
Плоскость/7з вводим параллельно {А, В ) , которая по отноше­
нию к
становится линией уровня. При этом Л)^^ // (/4^3^)
П л о с к о с т ь / 7 ^ 1С/4 , / 3 ; и о с ^ ^ м А ^ ,
В поле П/^ получено требуемое изображение куба.
1.3. Основные задачи преобразования комплексного чертежа
Для т о г о , чтобы целенаправленно использовать преобразова­
ние комплексного чертежа при решении тех или иных конкретных
Рис.11
геометрических или инженерных задач, сформулируем четыре о с ­
новные задачи преобразования комплексного чертежа:
I . Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая л и ­
няя общего положения стала прямой линией уровня.
2. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая л и ­
ния уровня с т а л а проецирущей прямой линией.
3. Прюобрадовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость
общего положения с т а л а проецирующей плоскостью.
4. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы проецирую­
щая плоскость с т а л а плоскостью уровня.
Очевидно, что из этих четырех задач теоретически основными
задачами являются только две - первая и вторая. Третья и ч е т ­
вертая задачи могут рассматриваться как следствие, соответствен­
но, первый и второй. Однако методически удобней формулировать и
использовать как основные все четыре задачи. В этом случае, при
решении этой или иной конкретной задачи, с использованием преоб12
разования комплексного чертежа, рекомендации по ее решению б у ­
дут нести непосредственные указания, а не опосредованные.
В примерах, рассмотренных на р и с . 2 и 3, по сути своей решалась
вторгш основная задача.
В примерах, рассмотрен­
ных на рисунках 9,10 и
II,последовательно р е ­
шались первая и втор81Я
задачи. На рисзгнках 4и
5 - четвертая основная
задача.
Рис.12
Рассмотрим решение т р е ­
тьей основной задачи.
Пусть задана точками
Д , 5 и 2? плоскость 21
общего положения
( р и с . 1 2 ) . Нужно пост­
роить третье поле проек­
ций, в котором проекция
Х з плоскости 21 была бы
прямой линией. Для э т о ­
го возьмем новую плос­
кость проекций, перпен­
дикулярную /7/ . В этом
случав если П^Х Л , то она будет перпендикулярна горизонталям
плоскости X . Следовательно для однозначного ( с точностью до
па1)аллвльного переноса) определения Пз необходимо в 21 пост­
роить какую-нибудь горизонталь. Если Пз перпендикулярна гори­
зонтали /? , то новая ось проекций Лг/^з перпендикулярна Л /
Построив проекции
, В>з
точек ^, в> , V , получим проек­
цию
плоскости X .
1.4. Вращение оригинала вокруг проецирующей прямой
1 . 4 . 1 . Отображение на комплексном чертеже вращения точечного
пространства вокруг прямой, перпендикулярной плоскости проекций,
можно рассматривать как один из способов преобразования комп­
лексного чертежа. Пусть точечное пространство задано двумя п о 13
ляни проекций /7^ и /у^. Вели повернуть все пространство вокру!:'
оси, то любая точка*^
, прог'циями которой являются точки /У/
и ^1, переместится в некоторую точку /^"^ , а ее проекциями б у ­
дут точки /%' и /%'. Таким образом и плоскость
и плоскость
/7^ будут носителями ДРУХ лолей проекций - поля проекций точек
типа /7^ и поля проекций точек типа / V ' . Рассмотрим как практи­
чески отображается на комплексном чертеже вращение пространст­
ва вокруг проецирующей прямой. Для конкретнс-ти рассуждений в
качестве оси вращения возьмем какую-нибудь горизонтально-прое­
цирующую прямую у . Для этого случая запишем ряд достаточно
очевидных замечаний:
I . Каждая точка /У^вращается по окружности
, плоскость
которой перпендикулярна У и, следовательно, параллельна /7^ ;
/77* проецируется па.
ь окр^пгаость
, рав^щ) / р , а на /7« в прямолинейный отрезок/^5/"» перпендикулярный
(рис.13).
Рис.13
Рис.14
») За иск^гючвнием точек, принадлежащих оси вращения
14
2. Всякая прявлая ^ пространства при вращении вокруг ^
не меняет своего угла наклона к /7/ . Поэтоцу горизонтальная
проекция отрезка [/Ц^5 ^прямой
не меняет своей величины
( р я с . 1 4 ) . Отсюда следует, что горизонтальная проекция фигуры не
меняет свою форму и метрику, а только, как жесткая система, в р а ­
щается вокруг
•
3. Всякая прямая Ь врап1ением ъокр^т^
может быть приведе­
на в положение параллельное/7^ , т . е . в положение фронтали.
Для этого необходимо повернуть ^ * до такого положения
, когда
2^/
станет параллельна-^^^2 ( р ' с . 1 5 : возможны два решения).
Рис.15
Рис.16
4. Всякая горизонталь /7 вращением вокруг / может быть при­
ведена в положение фронтально проецирующей прямой. Д л я ^ т о г о н е ­
обходимо
повернуть до такого по ложения А ^ , когда
станет
п е р п е н д и к у л я р н а ( р и с . 1 6 ; возможны два решения).
5. Всякая плоскость общего положения вращением вокруг ^
может быть приведена в положение фронтально проецирущей п л о с ­
кости.
15
6. Всвякая горизонтально проецирующая плоскость вращением
вокруг У может быть приведена
положение фронтальной плоскос­
ти уровня.
Рассматривая отображения на комплексном чертеже вращения
точечного пространства яок^уг проецирующей прямой как один из
способов преобразования комплексного чертежа, можно этим с п о с о ­
бом решить основные задачи преобразования комплексного чертежа.
Решения первой и второй основных задач преобррчования комплексно­
го чертежа показаны на чертежах, относящихся к замечаниям 3 и 4
( р и с . 1 5 и р и с . 1 6 ) . Они не требуют дополнительных пояснений. Р а с ­
смотрим подробней решения третьей и четвертой основных задач
преобразования (замечания 5 и 6 ) .
1.4.2. Пусть задана некоторая плоскость 2. В>,0 ) общего
положения ( р и с . 1 7 ) и прямая ухП^.
Нужно повернуть Х
до положения X фронтально проецирующей плоскости.
вокруг^
Веди какая-иябудь прямая плоскости, перпендикулярна другой
плоскости, то эти плоскости взаимноперпендикулярны. Следователь­
но, если какая-то пряная плоскости I
будет перпендикулярна
,
т о X будет фронтально проецирувдей плоскостью. Прямые, перпен­
дикулярные /7^ , параллельны/7, и являются горизонталями. Поэто­
му в I следует построить какую-либо ее горизонталь Л и повер­
нуть Г до такого положения Г , когда горизонталь ^ станет
перпендикулярна /7^ , Этот момент наступит тогда, когда на ком­
плексном чертеже ^/ , займет положение ^,
, перпендикулярное
( с м . р и с . 1 6 ) . Чтобы найти акое положение
путем пово­
рота / / , в о к р у г , опустим из /
перпендикуляр /? на /7/
Точку ях пересечения обозначим буквой А/ . Когда в процессе
вращения прямая/7 займет положение П ЦХ,^^
, п р я м а я , зай­
мет положение Л/ , перпендикулярное X .
Таким образом опре­
делен угол поворота всей жесткой системы, состоящей из
/; ,п„Ы. Он равен утлу_между П л П . Строим П \\^С^;^ , затем
определяем точки Д / , Д
• ^ о с л е э т о г о , тем или иным с п о с о ­
бом, определяются точки ^ / и Д . Точки Д ^ ^ В ^ , / ^ находятся на
соответствующих линиях связи на уровне, соответственно, точек
Аг, Вз уВг. - Горизонталь
проецируемая на ^ в точку Л^, ,
а плоскость X - в прямую
•
1.4.3. Пусть задана горизонтально проецирующая,плоскость Г
прямая / 1 / 7 ^ - Нужно повернуть Г вокруг оси ^ до п о л о ж е н и я / '
фронтальной плоскости уровня.
_
Очевидно, что если / займет положение
, то ее о с ­
новная проекция
будет параллельна
. Чтобы определить
положение /7 в процессе вращения Г , опустим из точки
перпендикуляр /7 на прямую / 7 и будем вращать вокруг
пря­
мую /7 и прямую /7 как жесткую систему. Когда/7 займет положе­
ние Л . перпендикулярное ^ /~1, / / займет нужное положение ^ .
Точка/у-/^/)/7перемвстится_в точку Л/ . Чтобы построить точки
Д , в/,77< , достаточно от Л ' откладывать ( в определенном направ­
лении) отрезки равные, соответстввнно_^^ отрезкам
[А/,А,^. Фронтальные проекции АцВ^^Вц
, точек А,
опреде­
ляются на соответствующих линиях связи на уровне точек ( с о о т ­
ветственно) /4^^ 1
'
Итак, мы рассмотрели еще один конкретный способ преобразо­
вания комплексного чертежа. Этот способ в литературе, как пра-
Рис.18
вило, называют "Способ вращения оригинала вокруг проецирующей
оси".
Весь материал этого раздела был рассмотрен для случая, ког­
да осью вращения являлось горизонтально проецирующая прямая.
Читатель может б е з особых затруднений, по аналогии с вышеиз­
ложенным, самостоятельно провести соответствующие рассуждения
и решения для случая, когда осью вращения является фронтально
проецирующая прямая линия.
1.5.
Вращение оригинала вокруг прямой линии уровня
Этот способ обычно применяют тогда, когда плоскость обще­
го положения нужно перевести в плоскость згровня. Любая фигура,
принадлежащая плоскости уровня проецируется на соответствую­
щую плоскость проекций в натуральный вид. На этом и основаны
построения на комплексном чертеже, которые отображают поворот
плоскости вокруг прямой линии уровня до положения плоскости
уровня.
ш
Пусть дана п л о с к о с т ь / " { А , Ь ^ В ) общего положения. Требуется п о ­
вернуть
/ " вокруг Н*= Г ло положения горизонтальной плоскостя
уровня ( р я с . 1 9 ) .
Ряс.19
Построит ^<^/'. При вращении/" вокруг/^ все точки, при­
надлежащие Л , не будут менять своего положения в пространст­
в е . Остальные точки, принадлежащие/', будут вращаться по о к ­
ружностям, плоскости которых перпендикулярны Н , а с л е д о в а ­
тельно перпендикулярны /7/ . При ^вращении Г вокруг Л о б я з а т е л ь ­
но найдется такое ее положение Г , когда она будет пареиллельна
/ 7 / . Это положение наступит тогда, когда хотя бы одна точка
плоскости Г займет положение того же уровня по отношению к П^,
что и ось вращения Ь . Понятно, что в этот момент все точки / "
(1Г$Щ1 находится на одном уровне по отношению к /7<. Т . к . ГИ
,
то все фигуры, принадлежащие/" , будут проецироваться на /7/
в натуральный вид. Любой отрезок, принадлежащий/~ , будет п р о е ­
цироваться без искажения.
Т . к . : точки /~ перемещаются по окружностям, плоскости
которых перпендикулярны Ь и
то горизонтальные проекции т о ­
чек будут перемещаться по прямым, перпендикулярным Л / . Эти пря­
мые - проекции плоскостей, в которых располагаются траектории
вращения. Например п р я м а я ^ ^ (рис.19) является горизонтальной
проекцией плоскости Х . в которой вращается точка 5 , а прямая
/ \ ^ - горизонтальная проекция плоскости А , в которой вращает­
ся точка В .
Построим в Гфронталь / , проходящую через А . Эта фронтсшь пересечет прямую КВ^Ю ) в точке Р . Т . к . /
- фронталь,
то о т р е з о к ^ ^ , / ^ ^ равен по величине отрезку/^И, ^3 . Точка Р
вращается в плоскости 1\ Л. П/ , а ее горизонтальная проекция
/С^ , п^и этом, перемещается поЛ^1 Д . Когда Г займет поло­
жение /~IIП/,
точка
займет положение /7^ , при котором
Следовательно точку легко определить на / . Точка ' П
при вращении /~ положения своего не меняет и поэтому Д^^^/'/,.
Определив
и соединяв ее с
получим горизонтальную
проекцию прямой (Р, М 2» принадлежащей / " .
Точка пересечения {1^,М^)
с п р я м о й я в л я е т с я горизонтальной
п р о е к ц и е й ^ / точки В , а точка пересечения прямой ( ' ^ , / % ) с
прямой Л/ - горизонтальной проекцией
точки Р . _ Е с ^ соеди­
нить точки А^,
, то полученный
трвусрльткСА,,3^,Ц,
представляет собой натуральный вид 1!^АВР.
Все рассуждения были проведены для случая, когда осью вращения
была горизонталь. Аналогичные рассуждения можно провести и для
случая, когда осью вращения является фронталь. В этом случав
точки плоскости вращаются по окружностям, плоскости которых
перпендикулярны фронтали плоскости/" и П л о с к о с т ь / ^ может
занять положение, параллельное /7г .
2. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
2 . 1 . Общие замечания
Переходя к рассмотрению позиционных задач, мы приступаем
к исследованию "обратной задачи начертательной геометрии"
(см.Курс начертательной геометрии. Часть I . Введение). В учеб­
ном курсе начертательной геометрии исследование обр>атной з а д а ­
чи ограничивается изложением материала, связанного с Теорией
и методикой решения некоторых подгрупп задач, относящихся к
20
группам позиционных, метрических и аффинных задач. Из группы
аффинных задач в учебном курсе рассматриваются, как правило,
только задачи на параллельность прямых и плоскостей. Причем,
учитывая возможности графических построений на плоскости, п о с ­
тановка этих задач носит "прямой" харгистер, а не "обратный":
построить чертеж двух параллельных прямых; задать прямую п а ­
раллельную плоскости; и т . п . Поэтому задачи этой группы р а с ­
смотрены в первой части курса.
Основное содержание раздела "Обратная задача начертательной
геометрии" составляет материал, относящийся к исследованию
вопросов, связанных с группой позиционных задач и с группой
метрических ' з а д а ч .
Позиционные задачи определяются и формируются исходя из
двух групп аксиом геометрии: группы аксиом связи и группы а к ­
сиом порядка
. Среди позиционных задач выделим три под­
группы задач:
- задачи на взгишную принадлежность геометрических
образов;
- задача на взаимное пересечение геометрических о б ­
разов;
- задачи на взаимный порядок геометрических образов.
Задачи на взаимную принадлежность геометрических образов о р ­
ганически связаны с вопросом задания в пространстве той или
иной геометрической фигуры или, учитывая аппарат и средства
начертательной геометрии, с построением позиционно полных
или метрических определенных чертежей той или иной геометри­
ческой фигуры. Основная позиционная задача (см.Курс начерта­
тельной геометрии. Часть I ) является критериальной задачей
построения позиционно полных или метрически определенных ч е р ­
тежей поверхностей. Поэтому задачи на взаимную принадлежность
геометрических образов рассмотрены в первой части курса.
Рассмотрим две другие подгруппы позиционных задач - з а д а ­
чи на взаимное пересечение и на взаимный порядок геометри­
ческих образов.
2.2. Задачи на взаимное пересечение геометрических образов
2 . 2 . 1 . Общие замечания
Исходя из того, что геометрическими образами являются
*) Метрические задачи будут рассмотрены в следующем разделе.
21
точка, линия и поверхность, находиться в состоянии пересечения
могут следующие пары образов: линия и линия, линия и поверх­
ность, поверхвость и поверхность. Вопросы, связанные с построе­
нием чертежей двух пересекающихся линий или с определением их
взаимного расположения, рассмотрены в первой части курса, т . к .
их решения непосредственно опирается на определенные свойства
операций проецирования и сечения. Таким образом, для подробно­
го рассмотрения в этом разделе остаются две задачи: задача на
пересечение льняи и поверхности и задача на пересечение двух
поверхностей. Эти две задачи будем называть главными позицион­
ными задачад№ (ГПЭ), т . к . они составляют главное содержание
раздела позиционных з а д а ч .
Задача на пересечение линии и поверхности называется пер­
вой главной позиционной задачей ( I ГПЗ). Конечным результатом
решения этой задачи является нахождение проекций точек пересе­
чения линии и поверхности.
Задача на пересечение двух поверхностей называется второй
главной позиционной задачей (2 ГПЗ). Конечным результатом р е ­
шения этой задачи является нахождение проекций линии пересече­
ния поверхностей.
Пргстзгпая к подробному рассмотрению методики и алгоритми­
зации решения ГПЗ заметим, что расположение линии и поверхнос­
ти относительно плоскости (плоскостей) проекций существенно
влияет на процесс решения. Особенно существенным является на­
личие проецируумцих геометрических образов. Проецирующее положе­
ние могут занимать: прямая линия, плоскость, цилиндрическая и
а)
призматическая поверхности. ' Возможны три принципиально отличных
случая расположения пар пересекающихся геометрических образов
относительно плоскости (плоскостей) проекций:
I случай - оба пересекающихся образа (для 1 ГПЗ - и линия
и ююверхность; для 2 ГПЗ - обе поверхности) являются проецирую­
щими. Причем неважно по отношению к одной и той же плоскости
проекций или по отношению к разным плоскостям проекций. Этот
случай будем обозначать знаковой записью в виде (11,-11).
2 случай - один образ является проецирующим, а второй о б ­
раз - непроецирующим. Б этом случае для I ГПЗ возможны вариан­
ты: проецируииая линия и непроецнрующая поверхность или проецн») См.
22 '
Курс начертательной геометрии. Часть I .
руицая поверхность я непровцярующая линия. Для 2 ГПЗ одна п о ­
верхность должна быть проециру/ощей, а вторая - непроецируицей.
Этот случай будеы обозначать знаковой записью в виде ( 1 1 , ^ ) .
3 случай - оба образа являются непроецируицши. Этот с л у ­
чай будем обозначать знаковой записью в виде СЫ,1Ш.
На рис.20 представлены примеры I случая I ГПЗ (горизонталь­
но проецирующая прямая и фронтально проепирулщая цилиндрическая
поверхность) и 2 П13 (горизонтально проецирующая призматичес­
кая поверхность и фронтально проецирующая п л о с к о с т ь ) .
Рис.20
Рис.21
На рис.21 - два примера второго случая I ГПЗ (фронтально
проецирующая прямая и коническая поверхность; фронтально проецирующЕ1я цилиндрическая поверхность и прямая линия общего
положения) и один пример второго случая 2 П О (горизонтально
проецирующая цилиндрическая поверхность и коническая поверх­
ность) .
На рис.22 - пример третьего случая I Ш З (коническая по­
верхность и прямая уровня) и пример третьего случая 2 ГПЗ
(сфера и коническая поверхность).
Часто I И13 в первом случае представляют записью в виде:
I ГПЗ-1, а 2 ГПЗ - в виде 2 ГПЗ-1. Аналогично для второго
г^м' ч а : ~ I П13-2 и 2 ГПЗ-2, а для третьего случая - I ГПЗ-3
и 2 ГПЗ-З.
23
Ряс.22
2 . 2 . 2 . Методика и алгоритмизация решения ГПЗ для случая,
когда оба образа являются проецирующим^ ( 1 1 , Л ) .
Проведем анализ решения I П13-1 на примере, представлен­
ном рисунками 23 и 24. На рис.23 заданы: горизонтально проеци­
рующая призматическая поверхность Ф и фронтально проецирующая
прямая О . Основной проекцией прямой О является точка
•
Т.к. основная проекция проецирующего образа обладает "собира­
тельным" свойством, то в точку
проецируются все точки прямой
О в том числе и точки ее пересечения с ^ . Поэтому фронталь­
ные проекции
и /^^точек М я М пересечения <2 с ^ тождест­
венно совпадают с 0.2, • Отметим это соответствующим обозначе­
нием на чертеже:
/Ч^^ ( р и с . 2 4 ) . Горизонтальные проек­
ции ДУ^ и А^'точек Д/^я //'^должны принадлежать основной проек­
ции ^поверхности
принадлежат проекции всех т о ­
ч е к * ^ . Кроме того
и А^'^должны принадлежать < ^ / . Следова­
тельно исковше точки /^'^и
являются точками пересечения
и
Отметив это соответствующими обозначениями закончим р е ­
шение задачи.
Проведем анализ решения 2 ГПЗ-1. Пример ее представлен ри­
сунками 25 и 26. На рис.25 заданы: горизонтально проецирующая
цилиндрическая п о в е р х н о с т ь ^ и фронтально проецирующая плос24
РиС.23
Ряс.24
Рис,25
Рис.26
•кость/". Линией 6* пересечения 9 ъ/~ является эллипс. В си­
лу собирательного свойства основных проекций проецирующих о б ­
разов фронташьная проекция
эллипса
должна принадлежать^.
Следовательно отрезок прямой / г , расположенный между очерковы­
ми линиями проекции отсека 9 , является фронтальной проекцией
^2 эллипса ^ пересечения 9 я Г . Отметим это на чертеже
соответствующим обозначением ( р и с . 2 6 ) . Горизонтальная проекция
€•( эллипса В должна принадлежать основной проекции 9^ поверх­
ности 9 . Учитывая, ч т о / " пересекает все образующие 9 , мож­
но сделать заключение о том, что ^ / не только принадлежит 9/ ,
но и тождественно с ней совпадает. Отметив это соответствующим
обозначением (рис.26) закончим решение задачи.
Проанализировав решение обоих примеров, приходим к выводу,
что в процессе решения мы не делали никаких построений на ч е р ­
теже. Логические рассуждения привели к тому, что для получения
решения достаточно было на чертеже проставить соответствужмцие
обозначения. Аналогичные рассуждения можно провести для любого
другого конкретного примера решения задач I П13-1,2 П 1 3 - 1 .
Запишем для случая (11, Л ) алгоритмическую систему утверж­
дений и рекомендаций.
Веля (11,-11), т о :
I . Искомый общий элемент уже непосредственно задан на ч е р т е л е .
2. Его проекции принадлежат основным проекциям проецирующих
образов.
З.Рвщенле на чертеже сводится к простановке соответствзпицих
обозначений.
2,2.3. Ыетодика и алгоритмизация решения главных позиционных
задач для случV л, когда один образ является проеци­
рующим, а второй - непроецирующим
Проведем анализ решения I П13-2 на примепе, представленном
рисунками 27 и 28.
На р и с . 2 7 заданы: коническая поверхность вращения ^
и фрон­
тально проецирующая прямая О . Основной проекцией прямой а
является точка
. Следовательно фронтальные проекции А^'и
точек М % М пересечения О с Ф тождественно совпадают с О^-
Рис.27
Рис.28
Отметим это соответствующими обозначениями на чертеже ( р и с . 2 8 ) .
Второй геометрический образ - коническая поверхность - не я в л я е т ­
ся проецирующей, основной проеюхии не имеет и потому положение
вторых проекций точек пересечения не определено. Чтобы опреде­
лить вторые проекции точек пересечения нужно решить основную по26
зицйонную задачу относительно конической поверхности в следую­
щей формулировке: задана коническая п о в е р х н о с т ь ^ и одна проек­
ция Д;^''точки А//принадлежащей ^
; нужно построить вторую проек­
цию/у,''точки / У ^ . Основная позиционная задача решается путем
предварительного построения проекций какой-нибудь линии, при­
надлежащей ^ л проходящей ч е р е з / V . В качестве такой линии^
возьмем образующзпо {, поверхности Ф
. Сначала построим
,
проходящую через
. Определим точку 4 пересечения
с /7?^ ,
затем точку // . Соединив
с 7/ получим
. Искомая точка / V /
принадлежит
. Т.к. линия связи, проходящая ч е р е з , в п о ­
ле П^, совпадает с проекцией ^/ прямой <Я , то А/^''принадлежит
О у . Тш'лм образом, проекции А^ и А ^ определяют точку
пере­
сечения О и
.
Аналогичные рассуждения можно провести и для точки И'
/ V / -
{ ' п о , .
Проставив соответствующие обозначения на чертеже (рис.28) и р е ­
шив дополнительно вопрос видимости прямой относительно коничес­
кой поверхности, закончим решение задачи.
Проведем анализ решения 2 П13-2. Пример ее представлен р и ­
сунками 29 и 30.
Лано: <р(т,т)
\ Г А П ^ .
Требуется построить линию
Плоскость г - фронтально проецирующая и ее основная проек­
ция - / 7 . Следовательно фронтальная проекция 6*^ линия п е р е с е ч е ­
ния С- принадлежит
я представляет собой отрезок, ограниченный
очерковыми линиями проекции отсека конической поверхности
Отметим это на чертеже (рис.30) соответствующим обозначением.
Для того, чтобы построить горизонтальную проекцию ^ / необходимо
решить основную позиционную задачу для Ф в той же конкретной
формулировке, что п в случае анализа решения I П13-2. Однако, в
рассматриваемом примере основную позициопизпо задачу необходимо
решать ^хр\я нескольких точек, фронтальные проекции которых пропэвольно выбираются па 3^ - ^^исло выбираемых точек должно быть д о с таточин)л в том сшлсле, чтобы горизонтальные проевдни этих точек
позволили однозначно определить п с определенной стопоньо т о ч 27
Рис, 29
Рис.30
ности вычертить горизонтальную проекцию 6^ искомой линии е п е ­
ресечения
я Г . Запишем решение основной позиционной задачи
для произвольной т.чки М',
фронтальная проекция
которой при­
надлежит ^ 2 :
I,
Определив ряд точек типа А//построим горизонтальную проекцию <?/
искомой линии € . Проставив соответствующие обозначения на чер­
теже закончим решение задачи.
Аналогичные рассуждения можно провести для любого другого
конкретного примера решения ГПЗ-2. Запишем для отого случая
алгоритмическую систему утверждений и рекомендаций.
Если ( 1 1 > Л ) . т о :
1.0дна проекция искомого общего элемента уже непосредственного
задана на чертеже.
28
2.Она принадяекит основной проекции проецирующего о б р а з а .
3.Вторую проекцию искомого общего алемента определяют исходя
из условия принадлежности его непроецирующему образу (реше­
ние основной позиционной задачи относительно непроецирующего
образа).
Пользуясь приведенной алгоритмической системой репшм пример
I П1Э-2, когда проецирующим геометрическим образом является
фронтально проецирующая цилиндрическая поверхность ^с* вращения,
а непроецирующим - некоторая кривая линия к ( р и с . 3 1 ) .
Основной п р о е к ц и е й ^ явля1,тся о к р у ж н о с т ь ^ / . Следователь­
но горизонтальные проекции
искомых точек / / и
пере­
сечения Л и ^
должны принадлежать
. Кроме того они долж­
ны принадлежать горизонтальной проекции
линии ^ . Таким
образом точкиА^и А / ^ - точки пересечения^^ и
• Вторые проек­
ции
искомых точек М \ А / ' находятся из условия принад­
лежности их непроецирующему образу, т . е . из условия принадлеж­
ности их линии
. Поэтому А^'^и А^определяются непосредственно
на соответствующих линиях связи. Проставив обозначения и решив
дополнительно вопрос видимости линии А относительно ^
закон­
чим решение примера.
В качестве примера 2 П13-2 рассмотрим случай пересечения
цилиндрической поверхности ^ вращения и гиперболического п а р а бодлоида
Пример 5. Дано:*-/-^//<^}- цилиндрическая поверхность, проецирую­
щая относительно
.
- гиперболический параболоид.
Требуется построить проекции /с, ъ
линии Л п е р е ­
сечения
и
(рис.32).
Основной проекцией < ^ является окружность * ^ . Следовательно
' ^ < г < ^ . Т . к . Ъ ? пересекает все образующие*?-', тоХ;=*7^. Вторая
проекция
линии / г находится из условия принадлежности А" п о ­
верхности ^ ? . Запишем пространственный и графический алгоритмы
решения задачи.
I. 1_5^П. А / ' = / ' / ? " ^
Ш.
1.1.
2.
/6
4.
«= ^г. •.
Ш. 7
8. ^ ^ ^ м ^ ' .
_29
Рис.32
Рис.31
2.2.4. Методика и алгоритмизация решения главных позиционных
задач для случая, когда оба геометрических образа
являются непроецирующими ( Л ^ Л ^ .
Прежде чем приступить к изложению методики и алгоритмиза­
ции решения ГОЗ-3 на комплексном чертеже проведем анализ реше­
ния этих задач на наглящшх изображениях, условно представляю­
щих геометрические образы, участвующие в пересечении.
Рассмотрим такое изображение для I ГПЗ-3, представленное
на р и с . 3 3 .
Даиы:поверхность Ф (нспроецирующая); линия ^ (непроецирующаш). Построить точку Д / : =
^ •
Запишем определенную последовательность геометрических опера­
ций, которая теоретически приведет к решению задачи:
I.Построить некоторую вспомогательную поверхностьД , содержа­
щую 9 •
2.Определить линию ^
пересечения Д
и
^
1^.
3.Найти точку/V п е р е с е ­
чения ^ и <^ .
Запишем эту последова­
тельность в виде с о о т ­
ветствующего алгоритма:
1.1л
•
Очевидно, что точкаА/
является искомой. Однако,
для ее определения необ­
ходимо построить линию
пересечения данной п о Рис.ЗЗ
в е р х н о с т и ^ с вспомогательной поверхностью А .
Если
я / \ - поверхности непроецирующие, то такую линию мы
пока строить не умеем. Следовательно / \ должна быть проецирую­
щей поверхностью. Тогда построение линии ^ будет првдсте1влять
собой решение 2 П13-2. Анализ и алгоритмизация решения 2 П13-2
приведены в предыдущем параграфе. Таким образом решение I Ш З - 3
практически сведено к решению 2 П13-2.
0
О
Рис.34
Проведем аналогичный
анализ решения 2 П13-3.
Д а н ы : < ^ - непроецирующая поверхность;
^2* - непроецнрующая п о ­
верхность.
^
Построить линию
/77ЗЬ.
(рис.34).
Запишем определенную пос­
ледовательность геомет­
рических операций, к о т о ­
рая теоретически приве­
дет к решению задачи:
I.Построить некоторую
вспомогательнух) поверх31
Ность 1^ , которая пересекает
2.Найти линии^'^и ^ ' ' п е р е с е ч е н и я А ' с 'т^ и с ^
.
3.Определить точку А''^ п е р е с е ч е н и я ^ ' и
(очевидно, что точка
/ V ^принадлежит и Ф и < ^ ) .
^
4.Построить еще^одну вспомогательную секущую поверхность А .
5.Найти л и н и и ^ и ^ п е р е с е ч е н и я ^ сЯ^ъ с*э?.
6.Определить точку/^'^пересечения^'^и
.
з
^
п
Продолжая аналогичные построения для поверхностей / \ , А ^ . . . ^ Д
по-тучим соответствующие точки//•^,
, . . . ,М^^\
Все эти точки
принадлежат и * т ^ и ^ . Взяв достаточное число А определим ряд т о ­
чек М', соединив которые получим искомую линию Л .
Запишем эту последовательность операций в виде соответствую­
щего обобщенного алгоритма:
I.
2.
3.
4.[Л^ГЭ//<
Итак, в результате реализации указанных операций, можно
построить линию пересечения двух поверхностей. Однако для пост­
роения любой точки А^'необходимо строить л и н и и ^ ' и
пересече­
ния Л ' с ^ и Л ' с ^ . Т . к . ^ й ^ - поверхности непроецирующие,
то, для того, чтобы мы могли построить л и н и и и
поверхность
должна быть проецирующей. Тогда решение рассматриваемой
2 1113-3 будет реализовано в результате двукратного решения зада­
чи 2 П13-2. ,
Ч и с л о ^ должно быть достаточным в том смысле, чтобы с определегаой степенью достоверности построить проекции линии пере­
сечения,
следует выбирать такие и так расположенные, если
такая возможность имеется, чтобы проекции линий ^' и
были бы
графически простыми, линиями - прямыми или окружностями. Очень
часто в к а ч е с т в е / ^ ' берутся плоскости.
Если сравнять алгоритмы решения 1 ГПЗ-З и 2 ГПЗ-3, то легко
заметить, что основные операции этих алгоритмов одинаковые:
*^Если при взятой какой-то Д , соответствующие линии^^ и ^ не
имеют действительных точек пересечения, то это значит, что в
пределах секущего у ч а с т к а ^ поверхности "Т* и ^ не пересекают­
ся.
32
I.Построение вспомогательной секущей поверхности.
2.Построение линии пересечения вспомогательной поверхности с
заданной.
3.Построение точки пересечения двух линий, принадлежащих
вспомогательной поверхности.
Отличие заключается в том, что при решении I ГПЗ-3 этот
ряд операций выполняется один раз, а при решении 2 ГПЗ-3 - н е с ­
колько р а з . Кроме того, в алгоритме решения 2 ГПЗ присутствует
последняя операция - построение линии, проходящей через все т о ч ­
ки М'.
Рассмотрим решение примеров I ГПЗ-3 и 2 ГПЗ-З на комплекс­
ном чертеже.
Пример 6. На комплексном ч е р ­
теже заданы: коническая п о ­
верхность ^(Т^гг^
вращения
и прямЁШ
, являющаяся г о ­
ризонталью.
Требуется построить проекции
/^/. /^Л / V / , / V /
точек / / ' ' и / / ' ' п е р е с е ч е н и я ^ н
ф (рис.35).
Запишем пространственный и г р а ­
фический алгоритмы решения:
ПА
^ ^ Л
Д 1 / 7 , .
П.
ГА
Рис.35
4.
5.
В рассматриваемом примере в к а ч е с т в е в з я т а фронтально
проецирующая плоскость. Ляния ее пересечения с ^ - окружность.
Фронтальной проекцией этой окружности является прямолинейный
отрезок ( ^ ) . а горизонтальной проекцией - окружность ( ^ )
33
Если в качестве А взять горизонтально проецирующую плоскость, про­
ходящую через
, то ее линией пересечения с
была бы гипер>бола, которая на
проецировалась бы тарсже в гиперболу. Пост­
роение гиперболы требует большого числа графических операций и
конечный результат решения ''здачи был бы графически менее точ­
ным по сравнению с результатом выбранного ранее решения.
кривая л ( р и с . 3 6 ) . Требуется постро­
Пример
Рис.36
проецирующую поверхность
алгоритмы.
ПА
I.
П.
Ш.
34
ить: проекции
М^^ / V / , М1
точек пересечения <^и А . В р а с ­
сматриваемом примере в качест­
ве / \ необходимо брать проеци­
рующую тщлиндрическую поверх­
ность, проходящую ч е р е з .
Для этой поверхности линия
является направляющей. Фрон­
тально проецируицая поверх­
ность, проходящая через к , и
горизонтально лроецирующая п о ­
верхность, проходящая через А,
в пересечении с Ф будут д а ­
вать сложные пространственные
кривые линии. Проекции этих ли­
ний также будут сложными кривы­
ми. Поэтому для решения рассмат­
риваемого примера практически
безразлично какую из двух про­
ецирующих поверхностей брать
в качестве А . Для конкретнос­
ти дальнейших рассуждений в о з ь ­
мем в качестве Л фронтально
Запишем пространственный и графический
I —
6.
7.
з.[;;7ГА с>^.
4 . Г л Г = = / 7 7 ; / ? Л ^ , Ш.8.
9.
5.1
"
Проставив соответствующие обозначения и решив дополнительно воп­
рос видимости линии к о т н о с и т е л ь н о ^ ? закончим решение задачи.
Пммер 8. ^^дны: коническая поверхность Я^(^7^/7?^ и цилиняфоид
Я?(ку к^,Е);^\\[^^,
Требуется построить проекции 1^, и <^линии ^
пересечения Я^я^
(рис.37).
Рис.37
35
Обе поверхности заданы основными чертежами. Границами о т с е ­
ков поверхностей являются: для конической поверхности - вершина
Т я параллель/77 ; для цилиндроида - направляющие / ^ ' , А'^и о б ­
разующие {.^ л
. Ъ качестве вспомогательных секущих плоскос­
тей А ' следует брать плоскости, параллельные 2. (следователь­
но я параллельные /7/ ) . Все
будут пересекать <^ по окружностявй-параллелям, а
- по прямолинейным образуюа1им. Так для
А ' ( р и с . 3 7 ) ее линиями пересечения с'Р и з б у д у т , соответст­
венно, окружность/77' и образующая ^ ' . Точками пересечения/77'
и / ' являются т о ч к и / / и Л / ' , горизонтальные проекции которых
легко определяются как точки пересечения/^/ и ^ . Фронтальные
проекции Л/^ и Д^' находятся по линиям связи на А ^
^/'^^'г^/^^г)Взяв ряд
и прюведя соответствующие построения на чертеже п о ­
лучим ряд точек М/ я Д ^ ' и ряд точек
и А//. Первый ряд т о ­
чек определяет горизонтальную проекцию
линии I/ , а второй
ршд точек - фронтальную прюекцию
линии I/ {в р)асоматриваемом примерю, при указанных выше отсеках заданных поверхностей,
линия пересечения состоит из двух ветвей).
Запишем прюстранственный я Г1)афический алгоритмы:
ГА
ПА
I. Л
( 7 Ф , ^ ; А'///7/,
1 . 1 . А 1 \\1-2 •
П.
П.2.
Ш.
3.
4.
5.
ш.е.И;^-^!..
I I . /<^';Л^'сгА',
у . 12.
6.
13.
7.
2 . 2 . 5 . Частные способы рюшения главных позиционных задач.
Рассмотрев общую методику и алгоритмизацию рюшения главных
позиционных задач покажем некоторые частные способы решения
2 ШЗ.
Иногда в перюсечении участвуют такие пар)ы поверхностей,
когда в качестве вспомогательных поверхностей типа А можно
использовать и непроецирующие поверхности. Это возможно, тогда,
36
когда определенные геометрические свойства пересекающихся п о ­
верхностей и поверхностей Л позволяют заранее знать, что линии
т и п а ^ и ^ будут или окружностями или прямыми, а закон пост­
роения кх проекций достаточно прост.
Например, для построения линии пересечения двух поверхнос­
тей вращения с пересекающимися осями можно в качестве поверх­
ностей А брать семейство концентрических сфер. Чтобы рас^смотреть решение соответствующего примера предварительно остановим­
с я на некоторых свойствах поверхностей вращения.
Поверхности врашения, имеющие общую ось вращения называются
соосными поверхностями. Соосные поверхности пересекаются по о к ­
ружностям-параллелям, число которых определяется числом точек
пересечения их образуювдх, лежащих в одной радиальной плоскости
( р и с . 3 8 ) . Последнее утверждение очевидно, т . к . любая такая точка
1/
Рис.38
Рис.39
описывает окружность-параллель, принадлежащую как одной поверх­
ности, так и другой. Если рассматривать сферу как поверхность
вращения, то для того, чтобы она была соосной с какой-либо д р у ­
гой поверхностью вращения, достаточно центр сферы поместить на
ось этой поверхности вращения ( р и с . 3 9 ) . Если есть две поверхнос­
ти вращения с пересекающимися осями, то сфера помещенная ц е н т ­
ром в точку пересечения осей, будет соосной как с одной, так и
с другой поверхностями вращения и, следовательно, будет п е р е с е ­
кать их по соответствуицим окружностям-параллелям. На рис.40
представлена: коническая поверхность вращения Ф , цилиндричес­
кая поверхность в р а щ е н и я м и с ф е р а с центром в точке С п о ресечения осей
&|)ера / \ пересекает
по окружное-
тям /77 'и /77"^, а
по о к ­
ружностям ^ ' и С^. Окружности
/77 и
пересекаются в двух
точках, из которых одна ( / ^ )
показана на чертеже. Эта
точка очевидно принадлежит
и ^ и ^ , а следовательно,
принадлежит их линии пересе­
чения. Взяв достаточное чис­
ло сфер различного радиуса
можно получить ряд точек/-/',
которые и определят линию
пересечения Ф и ^ . Если
расположены относи­
тельно плоскостей проекций
так, что плоскость, которую
определяют их пересекаюошеся
оси, параллельна одной из плоскостей проекций и, при этом, одна
из осей перпендикулярна другой плоскости проекций, то проекции
окружностей
и/77*легко построить. Рассмотрим решение 2 ШЗ-З
с помощью вспомогательных секущих сфер на комплексном чертеже.
Пример 9. Дано: коническая поверхность Ф вращения с осью ^* ,
перпендикулярной
, и параболоид
вращения с
о с ь ю ^ ^ , параллельной и /7/ и / ^ . Оси поверхностей
пересекаются в точке Д
Требуется построить линию Л пересечения
<ФяЯ
(рис.41).
Вспомогательные секущие сферы А . концентрические и их общий
центр
в точке А
пересечения ^ ^ и ^'^ . Эти сферы пересе­
кают Ф по окружностям /77', а<э? - по окружностям С^ . Точки
пересечения /77'и ^ ' определяют линию пересечения Я^ и ^ .
Однако, необходимо заметить, что не на всех сферах/77'и ^ * имеют
действительные точки пересечения ( р и с . 4 0 ; окружности / 7 7 ^ и
С^).
Область "рабочих" сфер, т . е . сфер, на которых окружности типа
/77' и
имеют действительные точки пересечения,ограниченя опре­
деленной сферой максимального радиуса и определенной сферой ми­
нимального радиуса.
Сферой максимального радиуса является сфера, проходящая через
наиболее удаленную точку линии А . Сферой минимального радиуса
38
Рис.41
является сфера большего радиуса из двух сфер, вписанных в ' ^ и
. На рис.41 сферой иаксимального радиуса является сфера,
проходящая через точку.^ , а сферой минимального радиуса - сфе­
ра, вписанная в коническую поверхность.
Плоскость,осей п о в е р х н о с т е й ^ и
параллельна
и поэтому
о к р у ж н о с т и г ? ' проецируются н а / ^ в отрезки прямых. Точки п е ­
ресечения этих отрезков являются фронтальными проекциями
точек/У'-. Горизонтальные проекции / ^ ' н а х о д я т по принадлежности
точек /^'окружностям /тг^. Окружности /т?'проецируются на /7^ без
искажения.
Рассмотренный способ решения 2 ШЗ-З обычно называиот спосо­
бом секущих концентрических сфер.
Другой способ, при котором используют недроецируюошв поверх­
ности типа А получил название "способ качающейся плоскости".
При использовании этого способа,в качестве А берут плоскости
общего положения, принаплежащие некоторому, определенным образом
расположенному, пучку плоскостей с собственной или несобствен­
ной осью. Этот способ 1гюжно использовать, если пересекающимися
поверхностями являются: конические, цилиндрические, пирамидаль­
ные и призматические поверхности. На рис.42 предстбшлен случай
пересечения поверхностей с собственной вершиной (конической и
конической, конической и пирамидальной, пирамидальной и пира-^мидальной). В этом случае вспомогательные секущие плоскости А
принадлежат пучку, осью которого является прямая ^ , проходя­
щая через вершины Л. % 3 данных поверхностей.
Рис.42
Рис.43
На рис.43 представлен случай пересечения поверхности с
собственной воргаияой (конияеская, пирамидальная) и поверхнм'^ти
с несобственной вершиной (цилиндрическая, призматическая).
Вспомогательные плоскости А принадлежат пучку, осью которого
является прямая ^ , проходяще через вершину В одной поверх­
ности параллельно образующим (или ребрам) другой поверхности.
На ряс.44 представлен случай пересечения поверхностей с
несобственными вершинами (цилиндрическая и цилиндрическая, приз­
матическая и призматическая, "илиндрическая и призматическая).
Рис.44
Плоскости А принадлежат пучку с несобственной осью, т.е. се­
мейству параллельных плоскостей. Каждая ^ о п р е д е л я е т с я д в у м я п е ­
ресекающимися прямыми, одна из которых парал!лельна образукяцим
(ребрам) одной поверхности, а вторая прямая - параллельна обра­
зующим (ребрам) второй поверхности.
Во всех рассмотренных трех случаях плс^кости А пересекают
данные поверхности по их прямолинейным образующим- Определение
этих образующих и построение их проекций не вызывает особых
затруднений.
Остановимся еще на одном частном способе решения 2 ГПЗ.
Этот способ используется только тогда, когда пересекаются п о ­
верхности второго порядка и, при этом, особым образом вз ямно
расположенные. Линий пересечения двух поверхностей второго п о ­
рядка является в общем случае кривая четвертого порядка - слож­
ная пространственная кривая линия. Однако, иногда две поверх­
ности второго порядка так расположены относительно друг друга,
что эта кривая четвертого порядка распадается на две кривые
второго порядка. Вели в этом случае обе поверхности расположены
определенным образом относительно плоскостей проекций, то пост­
роение проекций кривых второго порядка, составляющих линию пере­
сечения поверхностей, не вызывает особых затруднений. Линея пе41
рвсечения поверхностей второго порядка распадается на две кри­
вые второго порядка тогда, когда взаимное расположение пересекаицихся поверхностей подчиняется следующим теоремам:
- две поверхности второго порядка, вписанные или описанные о т ­
носительно третьей поверхности второго порядка, пересекаются
по двум кривым второго порядка (теорема Монжа*');
- две поверхности второго порядка, имепцие две точки соприкосно­
вения, пересекаются по двум кривым второго порядка;
- две поверхности второго поряд1са подобные и подобно расположен­
ные пересекаются по двум кривым второго порядка (с учетом мни­
мых и несобственных);
- если две поверхности второго порядка имеют одну общую кривую
второго порядка, то они имеют еще одну общую кривую второго по­
рядка (с учетом мнимой и несобственной).
Можно высказать следзгющее утверждение, по отношению к кото­
рому вышеприведенные теоремы могут в определенном смысле р а с ­
сматриваться как следствия: если пространственная кривая чет­
вертого порядка иь.еет две точки самопересечения, то она пред­
ставляет собой две кривые второго порядка.
На рис.45 приведен чертеж двух пересекаххдихся цилиндричес­
ких поверхностей, описанных около одной сферы (условие первой
теоремы). Их линия пересечения представляет собой два эллипса
3 \
. Этот пример соответствует требованиям я второй тео­
ремы, т . к . пересекающиеся поверхности имеют две точки А ъ В
соприкосновения.
На рис.46 показан пример на третью теорему. Линия пересе­
чения конических поверхностей вращения состоит из собственной
гиперболы и несобственной кривой второго '^орядка.
На рис.47 показан пример на четвертую теорему. Через задан­
ную окружность/77 прохо,пят: эллиптическая цилиндрическая поверх­
ность Ф и эллипсоид ^
. Второй кривой второго порядка, входящи;1 в общую линию пересечения, является эллипс & .
Вообще говоря линяя пересечения двух поверхностей второго
порядка шжет представлять собой: кривую четвертого порядка,
прямую линию а кривую линию третьего порядка, две кривые второ­
го порядгса, кривую второго порядка я соответствующую пару пря­
мых линий, четыре пршмнх линии Г*^^ .
м) 1'.Монас - фрат1узкйй математик и инженер, которого считают
^2
основателем начертательной геометрпи ^/_7
Ряс.47
2.3. Задачя на взаимный порядок геометрических образов
2 . 3 . 1 . Общие замечания
Задачи на взаимный порядок геометрических образов о т н о с я т ­
ся к задачаил размещения в пространстве геометрических объектов
относительно друг друга: выше, ниже, правее, леввее, над, под,
дальше или ближе по заданному направлению, и т . п . Эти задачи
настолько разнообразны и сложны, что в учебном курсе начерта­
тельной геометрии не представляется возможным ни строго с и с т е ­
матизировать их, ни разработать алгоритмизацию их решения, ни,
43
даже, представить всю понятийную систему, связанную с этими за­
дачами* . Мы ограничимся рассмотрением задач, связанных только
с положением точки относительно других геометрических образов
и дадим определенное толкование некоторым выражениям, определявдим то или иное положение точки относительно других геомет­
рических образов. Сразу договоримся, что такие понятия: "над",
"под", "выше" и т . п . будем связывать с плоскостью /7/ ;такие по
нятия как: "дальше","ближе " , "перед" и т . п . - с п л о с к о с т ь ю / ^
такие понятия к а к : " с л е в а " , "справа", "правее" и т . п . - с плос­
костью
(профильной плоскостью).
Сформулируем определения для некоторых положений точки о т ­
носительно других геометрических образов.
I.Точка / V находится выше т о ч к и / V , если высота точки М
больше высоты точки N по отношению к / ^ ; в противном случае
точка
ниже точки Л/( р и с . 4 8 ) .
М,
9
N.
а)
Рис.48
2 . Т о ч к а / / находится над точкой Л / , если т о ч к а / / в ы ш е
точки Д / и обе точки принадлежат одной проецирующей прямой.
3 . Т о ч к а / / н а х о д и т с я над плоскостью
, если точка
пересечения плоскости X с горизонтально проецирующей прямой,
проходящей через / / , ниже т о ч к и / / ( р и с . 4 9 ) . В противном с л у ­
чае точка Л / находится под плоскостью. Для горизонтально прое­
цирующих плоскостей понятия "над плоскостью" или "под п л о с ­
костью", потеряет смысл.
«)Насколько известно автору, по этой подгруппе задач вообще
отсутствуют какие-либо печатные работы или исследования. Этот
раздел настоящего учебного пособия является первой попыткой,
хотя бы в постановочном плане, рассмотреть некоторые вопросы,
связанные с этими задачами.
Рис.49
Рис.50
4. Точка М находится выше прямой ^ , если эта точка р а с ­
положена над плоскостью, для которой прямая ^ является линией
ската относительно /7< ; в противном случае точка М находится
ниже прямой / к р и с . 5 0 ) .
5. Точка/V находится над прямой ^ , если точка Л< выше
прямой
и принадлежит плоскости, горизонтально проецирующей
прямую
.
6. Точка М находится над поверхностью Ф (или над ее о т ­
секом) , если точка М принадлежит горизонтально проецирущей
фигуре*^, проецирующей Ф (или ее отсек) и, при этом, точка Р
пересечения горизонтально проецирующей прямой, проходящей через
т о ч к у / V ( р и с . 5 1 ) , и поверхности *Р находится под точкой / ^ _ ;
если т о ч е к / ' н е с к о л ь к о , то т о ч к а д о л ж н а быть над всеми
в противном случае т о ч к а / V находится под поверхностью или р а с ­
полагается между точками поверхности.
7. Т о ч к а / V находится между точками поверхности Ф (или
5П
'См. материал '-о операции проецирования (Курс начертательной
геометрии. Часть I ) .
.
Рис.52
ее о т с е к а ) , если в случае 6. хотя бы одна точка из
выше точ­
ки А/ и хотя бы одна точка яьР^ ниже точки А / ( р и с . 5 2 ) .
8. Точка А / находится выше поверхности (или ее о т с е к а ) , е с ­
ли т о ч к а / / выше всех точек поверхности (или всех точек ее о т ­
сека) .
Аналогичные формулировки можно привести и для случаев, ког­
да точка "слева" или "справа", "перед" или " з а " и т . д . Причем
понятию "над" соответствуют понятия: "под", "перед", " з а " , " с л е ­
в а " , "справа", а понятию "выше" соответствуют понятия: "ниже",
"ближе", "дальше", " л е в е е " , " п р а в е е " .
Более сложны в своих определениях и пояснениях (а следова­
тельно и при использовании их при решении соответствуюошх задач)
такие понятия, как: "выше и л е в е е " , "ниже и дальше" и т . п . или
"под и перед", "над и з а " и т . п . Т . е . те случаи, когда к точке
предъявляются два требования, йце сложнее, когда к точке пре­
дъявляются три требования. Например, "выше, дальше и правее"
46
или "над, перед и справа" и т . п .
Если рассматривать положение точки относительно другой з а ­
данной точки или заданной прямой линии, то понятия " п о д " , " н а д ,
"перед" и т . п . часто исключают возможность внесения тохю или
иного второго условия. Бели рассматриваются условия типа "левее
"выше" и т . п . , для точки относительно заданной точки, то р е а л и ­
зация их очевидна и не требует пояснений. Если рассматриваются
такие условия относительно прямой линии, то областью возввожных
положений точки кожет быть или один из двугранных углов, п о л у чае:лых при пересечении двух плоскостей или трехгранный зггол,
получаемый в результате пересечения трех плоскостей. Соответ­
ствующие пояснения можно дать и для случая, когда на точку
накладываются несколько условий по отношению к поверхности.
После всего вышеизложенного, можно с к а з а т ь , что мы р а с с м о т ­
рели весьма поверхностно определения положений точки о т н о с и ­
тельно того или иного одного геометрического образа. Этого д о с ­
таточно для того, чтобы для заданной точки определить ее п о л о же1ше относительно любого числа заданных геометрических о б р а ­
зов. Т . е . мы подготовили материал для решения задачи: задана
точка и заданы какие-то геометрические образы; определить п о л о ­
жение точки относительно этих геометрических образов. Обратная
задача, а именно: задать точку, которая определенным образом
располагалась бы по отношению к нескольким заданным геометри­
ческим образам, более сложная и не всегда выполнимая. Некото­
рые требования, налагаемые заранее на точку одновременно, по
отношению к нескольким геометрическим образам, не всегда могут
сосуществовать. Кроме того, возможны случаи, когда нельзя п о с ­
троить точку, положение которой одновременно удовлетворяло бы
нескольким требованиям по отношению к одному геометрическому
образу. Так, например, нельзя иногда построить точку справа
некоторой заданной плоскости и над ней, или справа .ч под ней
и т . п . Возможность и невозможность удовлетворить оба требования
зависит от положения заданной плоскости относительно плоскостей
проекций. Для некоторых, плоскостей, определенным образом располо­
женных относительно плоскостей проекций, все точки пространст­
в а , которые над ними уже однозначно находятся и перед ними. В
этом случае нельзя построить точку, расположенную над п л о с к о с ­
тью и з а ней. Аналогичные ситуации могут возникать и с н е к о т о ­
рыми поверхностями. Для открытых поверхностей возможны случая
типа: если точка над поверхностью, то она обязательно между т о ч ­
ками поверхности; если точка под поверхностью, то она не может
быть справа от поверхности; и т . п . Невозможность сосуществования,
нескольких условий одновременно иногда очевидна, а иногда опре­
деляется только в процессе решения.
2 . 3 . 2 . Решение задач
Как видно из всего вышеприведенного, решение рассматриваемых
задач опирается на главные позиционные задачи. Для прямой з а д а ­
чи - определение положения заданной точки относительно других
заданных геометрических образов - в основном используется 1 П13.
Для обратной задачи - построить точку, удовлетворяющую ряду
требований по положению относительно каких-то заданных геометри­
ческих образов - и 1И13 и 2 ГПЗ.
Пример 10. На комплексном чертеже заданы: точка А1 , прямая ^ ,
плоскостьХ^^'^/^^и сфера Ф . Определить п о л о ж е н и е / /
относительно ^ , Л я Ф по высоте ( р и с . 5 3 ) .
Чтобы определить . . о л о ж е н и е / / относительно
я Я^ по высоте,
строим горизонтально проецируюоогю прямую О^М.
Затем строим
плоскость /1^^,^*),
для которой прямая ^ является линией ската
относительно /7/ . После этого находим точки пересечения О с Ф.
2^, / ~ и по их положению относительно / / определяем положение / /
относительно ^, И я Ф . Запишем последовательность действий:
I.[а'^//7у
А
а ^ М .
П . | ^ ^ ^ ^ ^ -
у.
4
- а п
Г .
Аналогично можно было бы решить задачу на определение поло­
жения точки по глубине или по положению слева или справа.
Пример I I . На комплексном чертеже заданы: плоскость Л Л
,
сфера Ф я точка Л / . Определить область существова­
ния точкя / / , если она должна быть над сферой ф ,
под плоскостью 2Г я левее т о ч к и / / ( р и с . 5 4 ) .
Т.к. точка. М должна находиться над сферой, следовательно она
должна принадлежать горизонтально проецирующей фигуре/-/ - проеци­
рующей сферу, и быть над точкой пересечения сферы с горизонталь48
Рис.53
но проецирующей прямой, проходящей через М • Чтобы, при этом,
точка / V находилась под X . сечение Ъ горизонтально проецирую­
щей фигуры^ должно содержать точки, расположенные над сферой
Ф . Интервал между любой такой точкой и соответствующей
точкой сферы может быть принят з а место расположения точки М
без учета требования, накладываемого на М точкой N . С у ч е ­
том требования, связанного с точкой / V , точкя Л/ должны н а ­
ходится слева от профильной плоскости Г=^/^ . Таким образом,
решение поставленной задачи будет существовать если: - сечение
X и <Н будет содержать точки, расположенные над сферой Ф ;
- точка А / будет находится или правее Н или принадлежать
/ 9 . но в определенной области пространства, в зависимости
от расположения
я X .
49
Ряс.54
Областью возможных
раняченная: плоскостью
содержащей внутри себя
расположенной под 2Г ,
решеняй является часть пространства, о г ^
» нялиндрической поверхностью & ,
Й , верхней полусферой или частью е е ,
и плоскостью /" ,
2.4. Решение 1Ш с использованием преобразования
комплексного чертежа
2 . 4 . 1 . Решение первой главной позиционной задачи
При решения I Ш З преобразование чертежа привлекается в о с ­
новном в двух случаях:
- преобразовать комплексный чертеж так, чтобы линия, у ч а с т вуюа1ая в пересечении, стала линией уровня или прооцирующей
(последнее - только для прямой линии);
50
- преобразовать комплексный чертеж так, чтобы поверхность
(плоскость), участвующая в пересечении, стала проецирующей.
Вели с помопп>ю преобразования чертежа можно один из геомет­
рических образов (линию или поверхность), участвующих в пересе­
чении, перевести в положение проецирующего, то тем самым реше­
ние I ГПЗ-З сводится к решению I П13-2.
Преобразование чертежа, п^ иводящее к тому, что линия обще­
го положения становится линией уровня, позволяет сделать графи­
чески более точным или упростить решение задачи.
Пример 12. Построить проекции точек пересечения заданных прямой
О общего положения и сферы Ф ( р и с . 5 5 ) .
Рис.55
51
Оба геометрических образа являются непроецирующими. По алгоритму третьего случая решения I ГПЗ необходимо через ^ про­
вести плоскость А
. найти ее линию /77 пересечения с
и
точкя А^ и /*/^ пересечения /77 с Л . Линяя /77= '^ЛЛ - окруж­
н о с т ь . На одну из плоскостей проекций (вэависимости от того
какая А будет взята:АЛ
лляАИПг)
/77 будет проециро­
ваться в эллипс - лекальную кривую. Последнее усложняет построе­
ния и приводит к снижению графической точности решения. Поэто­
му целесообразно преобразовать чертеж т а к , чтобы а стала л и ­
нией уровня. Тогда А . проходя через О. , должна быть парал­
лельна той новой плоскости проекций, которой параллельна ^
.
Проекция окружности/77-*Р/7Л
в новом поле проекций будет т а к ­
же окружностью. Таким образом, в процессе решения задачи не на­
до строить лекальную кривую.
Запишем пространственный я графический алгоритмы решения.
ГА
лл.
е.
П.
ш.
П.2. /77< < = Л ^ .
3. ( Г / с : / 7 7 ^ .
4.
5.
7.
8.
Ш.9.
10.
П.
2 . 4 . 2 . Решение второй главной позиционной задачи
При решении 2 ШЗ преобразование чертежа привлекается в ос­
новном в том случае, когда комплексный чертеж можно преобразо­
вать т а к , чтобы одна из поверхностей, участвующих в пересече­
нии, стала проецирующей. Если в результате преобразования ч е р ­
тежа одна из поверхностей станет проецирующей, то решение
2 П13-3 практически будет сведено к решению 2 П13-2.
Пример 13. Построить проекции >^ *
линии Л" пересечения к о нич^еской поверхности Ф общего вида и плоскости
Е ( / ? П / ) (рис.56).
Заданные поверхности не являются проецирующими. Одна из
52
Рис.56
поверхностей - . л о с к о с т ь . Следовательно молно преобразовать
чертеж т а к , чтобы она стала проецирущей. Введем новую плоскость
проекций
, перпендикулярную /7^ и
2Г • Тогда на
гори­
зонталь
спроецируется в точку /т^ , а Л - в прямую Л^ .
Таким образом третий случай 2 ШЗ в системе ( Р^, Р^) сведен
ко второму случаю в системе ( / 7 } ) . Одна проекция
лкнии /г
уже непосредственно задана в поле /7^ , а проекции
и
нахо­
дятся исходя из условия принадлежности А к Ф ,
3. МЕТРИЧВСКШС ЗАДАЧИ
3.1 Общие замечания
Всякая задача, в условии или в процессе решения которой
присутствует численная характеристика, является метрической.
Метрические задачи определяются и формируются исходя из
группы аксиом движения
Решение метрических задач аппаратом и средствами начерта-
тельной геометрия является геометрически строгим. Однако р е з у л ь ­
тат решенля в с е г д а приближенный, если сравнивать его с р е з у л ь ­
татом решения той же задачи аналитическими методами. Это о ч е ­
видно, т . к . точность любых графических построений является
относительной* . В связи с этим в курсе начертательной геометрии
рассматриваются, как правило, метрические задачи, во-первы..^,
только относительно линейных образов (точки, прямые, плоскости)
я , во-вторых, связанные только с такими понятиями как: р а с с т о я ­
ние, угол, геометрические характеристики плоской фигуры. При­
чем, все эти задачи решаются на уровне определения натурально­
го (проекционного не искоженного) вида отрезка прямой, угла,
плоской фигуры. Непосредственное измерение длины отрезка, вели­
чины у г л а , площади закрытой плоской фигуры я т . п . какой-нибудь
единицей измерения, как правило, не проводят.
Из всего многообразия метрических задач выделяют две з а д а ­
чи , которые называют основными метрическими задачами (ОМЭ)|^^.
Первая основная метрическая задача ( I ОМЗ) - задача на п е р ­
пендикулярность Прямой линии и плоскости.
Вторая основная метрическая задача (2 ОМЗ) - задача на оп­
ределение расстояния между двумя точками (на определение на­
турального вида отрезка пря?.юй).
Эти две задачи называются основными потому, что на основа­
нии их можно решить любую другую метрическую задачу, т . е . р е ­
шение любой метрической задачи можно свести к решению основных
метрических задач ( конечно, при этом следует ^нать решения ранее
пройденных позиционных задачь). По этому, чтобы решать любые
метрические задачи необходимо уметь решать две основные метри­
ческие задачи. Решение 2 ОМЗ подробно разобрано в первой части
курса в р а з д е л е , посвященном метрической определенности комп­
лексного чертежа. Рассмотрим решение I ОМЗ.
3.2. Решение первой основной метрической задачи
3.2.1. Теорема о проецировании прямого угла
Если две прямые в пространстве взалмно перпендикулярны и
одна из них параллельна плоскости проекций, а вторая ей не п е р х) Приведенные рассуждения о точности результатов решения
метрических задач справедливы и для результатов решения дру­
гих задач (позиционных, на параллельность). Однако это заме­
чание особенно важно в разделе метрических задач, т . к . они
связаны с понятием "численная характеристика".
пендикулярна, то проекция этих прямых взаимно перпендикудярнн.
Эту теоред^ шхно представить в следующей записи:
Доказательство
(Рис.57).
Рис.57
Теорема связывает три геометрические завзсимости: перпен­
дикулярность двух прямых в пространстве, параллельность одной
из них плоскости проекций и перпендикулярность проекций п р я ­
мых. Если любые две зависимости принять з а данные, то третья
зависимость становится результатом. Поэтом^' наряду с записью
( / ) мояно дать еще две записи, которые в определенном смысле
можно рассматривать как обратные теоремы:
о1Ьло,1Ь, =^о(V^Ь) ///7/ {2 )
ОЛ 4 /\О(УЪ)]\П, ^а1Ь. (3)
Все рассуждения проведены относительно плоскости /7/, Оче­
видно, что они справедливы и относительно любой другой плоскос­
ти проекций.
3.2.2. Первая ОСНОВНЕЛ метрическая задача имеет две
конкретные формулировки:
- построить прямую линию, проходящую через ьаданную точку
перпендикулярно заданной плоскости;
- построить плоскость, проходящую через заданную точку п е р 55
пендикулярно заданной прямой линии.
Рассмотрим решение I ОМЗ для первой конкретной форкоглировки.
Пусть заданы: точка М и плоскость X. (/У О / )
• Нужно пост­
роить проекции /7/ и
прямой /7 , перпендикулярной 2^
и проходящей через / V ( р и с . 5 8 ) .
Проведем анализ решения задачи. Допустим, что кгисим-т обра­
зом прямая /7-/. Л уже построена. Тогда /7 должна быть перпен­
дикулярна всем прямым, принадлежащим X. . в том числе и ее г о ­
ризонталям и фронталям: /71Г=>П1./1
Л /71/.
,
Если Л Х ^ "
// / 7 / , то по вышеприведенной теореме /7<-^ П^.
Если/7_^У' и / \1 Пг » то по той же теореме / ^ - ^ ^ . Следова­
тельно, чтобы П(^троить фронтальную проекцию /7^ искомой пря­
мой /7 , нужно через Л/^ провести прямую, перпендикулярную ;^ •
Чтобы построить горизонтальную проекцию ^/ искомой прямой /7
нужно ч е р е з п р о в е с т и прямую, перпендикулярную
. Прямая
П, у которой П,Х Н4 ъ П^}, перпендикулярна двум пере­
секающимся прямым ( Л и / ) плоскости X
• Следовательно, так
заданная прямая, лерпендикулярна ^
.
Все вышеизложенное, учитывая зависимости ( I ) и ( 3 ) , можно
представить в виде:
/?1 Г(ЬП/) <^ п,1 /?,л п^!/^ (4)
Очевидно, что для приведенного решения, безразлично придалежят точка. М плоскости X или не принадлежит.
Рассиютрим решение I ОМЗ для второй конкретной формулиров­
ке.
Пусть заданы: точка / V и прямая О
. Нужно задать плос­
кость ^ ( ^ / у / ^ , перпендикулярную О
и проходящую ч е р е з / /
(рис.59).
Зададим горизонталь
т а к , чтобы /7/ была бы перпен­
дикулярна О/. Тогда, рассматривая прямые /р я О относитель­
но
и учитывая зависимость ( 3 ) , можно утверждать, что ОХ Н.
Проведя аналогичные построения и рассуждения относительно пря­
мой а
, ф р о н т а л и у ^ / / и плоскости / ^ , можем сделать заклю­
чение, что
. Прямые /
и /
, проходя через одну точ­
ку / V • и шляются пересекающимися прямыми и, следовательно, оп­
ределяют некоторую плоскость
{шлкЦа
) . Таким
образои:/7^^.(7,Л/^10^==^21{/7п/^XО.
56
/7/
Рис.58
Рис.59
Анализируя решения I ОМЗ для первой и для второй конкретных
формулировок можно с к а з а т ь , что зависимость (^^ ) является о б ­
щей я основополагаицей при решении I ОМЗ на комплексном чертеже.
3.3. Решение метрических задач на базе двух основных
метрических задач
3 . 3 . 1 . Чтобы выявить обобщенные алгоритмы решения метржческих задач на определение расстояния, угла или плоской фигуры на
базе двух основных метрических задач, разберем подробно решение
какой-нибудь одной задачи такого типа.
Рассмотрим решение задачи на определение расстояния от з а ­
данной точки до заданной плоскости. Расстояние от точки до п л о с ­
костя определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из
точки на плоскость. Отрезок этот ограничен данной точкой я т о ч ­
кой пересечения перпендикуляра с плоскостью. Нужно определить
натуральный вид этого отрезка. Учитывая все только что сказанное,
чтобы решить задачу необходяж) выполнить следующие три укрупнен­
ные операпии:
I . Опустить из точки М (рис.60) перпендикуляр/7 на п л о с костьХ (^/?/ ) .
2. Найти точку N
Г .
пересечения перпендикуляра /7 с плоскостью
57
3. Определить нэтуральный вид отрезка
Л/].
На р и с . 6 0 показано построение перпендикуляра ^ и неиюждение точки пересечения /7 с ^ . Постробние перпендикуляра - это
первая основная метрическая задача, подробно рассмотренная в ш е .
Построение точкя пересечения прямой /7 с плоскостью ^ - первая
главная позиционная задача (см.раздел "Позиционные з а д а ч и " ) . З а ­
пишем пространственный алгоритм приведенного на чертеже решения
Рис.60
Рис. 61
На р и с . 6 1 показано определение натурального вида о т р е з к а Л / ]
Итак, можно записать следуюошй укрупненный алгоритм решения з а ­
дачи в целом:
I . Решить первую основную метрическую задачу.
2. Решить первую главную позиционную задачу.
3. Решить вторую основную метрическую задачу.
Все метрические задачи, связанные с определением расстояний,
имеют один и тот же укрупненный алгоритм. Например, если нужно
определить расстояние от прямой до параллельной ей плоскости,
то достаточно на заданной прямой взять произвольную точку, а
58
дальше точно следовать вшеприведеннону алгоритму. Бели нужно
определить расстояние между параллельными плоскостями, то в одной
из них следует взять произвольную точку, а дальше следовать т о ­
му же алгоритму.
Лдя определения расстояния от точки до прямой линии необ­
ходимо построить плоскость, перпендикулярную данной прямой и про­
ходящую через данную точку, затем найти точку пересечения пост­
роенной плоскости с данной прямой и определить натуральный вид
полученного отрезка данной прямой. Нетрудно увидеть, что и для
этой задачи укрупненный алгоритм решения тот же:
I . Решить I ОМЗ (только во второй конкретной формулировке).
2. Решить I газ.
3. Решить 2 газ.
Бели нужно определить расстояние между параллельными прямы­
ми, то на одной из них берется произвольная точка, а дальше р е ­
шение идет по алгоритм? предыдущей задачи.
В таблице I приведены все рассмотренные задачи на определе­
ние расстояния и их укрупненные алгоритмы.
3.3.2. Аналогичный анализ решения на базе двух основных
метрических задач можно провести и для других групп метрических
задач.
Например, если нужно определить натуральный вид треугольни­
ка, заданного своими проекциями на комплексном чертеже, то д о с ­
таточно определить натуральные виды (длины) всех трех сторон и
в удобном месте чертежа по трем сторонам построить натуральный
вид треугольника. Таким образом, решение поставленной задачи
опирается только на вторую ОМЗ.
Если нужно определить натуральный вид какого-нибудь линейно­
го угла, заданного на комплексном чертеже своими проекциями, то
эта задача сводится к предыдущей. Для этого достаточно в плос­
кости угла провести прямую, пересекающую обе стороны угла, полу­
чить тем самым треугольник и определить его натуральный вид.
Все утлы треугольника, в том числе и рассматриваемый, будут
представлены в натуральном виде. И т . п .
В таблице 2 приведена группа задач на определение натураль­
ного вида плоской фигуры и у г л о в .
59
Таблица I
<.
||М,п|
|Ы11|
ш
юмз
||а11п|
1. -ЮМЗ
Далее.
п ^^М.
по
предыдущей
2. 1 Г П З
зада'^е
1^ = п П 1 .
Далее
по
предыдущр.й
задаче
3. 2. О И З
[Г1пА
2
1ГПЗ
Долее
по
задаче
5. 2 ОМЗ
||М,N.
Таблица 2
Л
Л
^
Ц
а
Г
Ы
(*Й'Па,Ь
\.
2 ОМЗ
2 ОМЗ
1М,В|
1Ш.В1
2. 2
ОМЗ
2.
1т,А|
11В.В1
3.
2 ОМЗ
\кЛ
А. Ц л А В О !
6(3
2 ОМЗ
3.
2 ОМЗ
1А.В1
А. Н д А О В !
2.*|Ь = ЛП1
а=ЛПГ
Дапее
по
предыдущей
зобаие
3.4. Решение метрических задач с использованием преобра­
зования комплексного чертежа
3.4.1. Как уже было отмечено выше, в учебном курсе начертатель­
ной геометрии рассматриваются метрические задачи, связанные с
такими понятиями как: отрезок прямой, угол, плоская фигзгра. Ве­
ли прямая ляния, которой принадлежит отрезок, определяющий р а с ­
стояние, или плоскость, который принадлежит плоский угол или
плоская фигура, спроецируются на плоскость проекций без иска­
жений, то на этой плоскости проекций будет получено решение
задачи. На этом выводе и основывается применение преобразова­
ния комплексного чертежа к решению метрических задач.
Запишем алгоритмическое предложение для решеняя метряческях задач С использованием преобразования чертежа:
I.Выявить геометрический образ, несущий на себе искомую
численную характеристику (учитывая сказанное в начале этого
параграфа очевидно, что таким геометрическим образом может
быть или прямая или плоскость).
2. Определить "решающее положение оригинала" относительно
плоскости проекций.
3.Определить те задачи из четырех основных задач преобра­
зования комплексного чертежа, с помощью которых можно привести
оригинал в решающее положение.
4.Выбрать конкретный способ преобразования чертежа и р е а ­
лизовать решение на чертеже.
"Решающим полокением оригинала" является такое положение
оригинала относительно плоскости проекций, когда геометричес­
кий образ, несущий искомую численную характеристику, иртецируется без искажения.
3 . 4 . 2 . Рассмотрим пример решения задачи
Пример 14. Определить расстояние от данной точки Д / до данной
плоскостя 21(/7(1:/).
Расстояние от точки до плоскости определяется отрезком п е р ­
пендикуляра / 7 , опущенного из точки/*/ на данную плоскость.
Следовательно, геометрическим образом, несущим искомую числен­
ную характеристику, является прямая линия / 7 .
Решапцим положением оригинала (точка
и плоскость 21 как
единая жесткая система) является положение, при котором прямая
/7 будет параллельна плоскости проекций. Однако учитывая, что
прямая / 7 не дана, условка параллельности /7 плоскости п р о е к -
ций можно заменить условием перпендикулярности плоскости I . той
же плоскости проекций
^11П^П\\П).
Чтобы п л о с к о с т ь ^ общего положения стала проецирующей, необ­
ходимо решить третью основную задачу преобразования комплексного
чертежа.
В качестве конкретного способа преобразования чертежа возь­
мем способ введения новой плоскости проекций.
\
^
<
/г
Рис.62
Новая плоскость Пз проекций (рис.62) берется перпендику­
лярно П( и перпендикулярно горизонтали /? плоскости "2- . Но­
вая ось проекций ОС/^,^ в этом случае перпендикулярна /т^
На
плоскость 2. проецируется в прямую
. Из т о ч к и о п у с ­
каем перпендикуляр /7^ на 2.^ • находим точку А/у пересечения /7^
с ^ з - Полученный о т р е з о к / / * ^ , / Ц 7 Р Э в е н р ^ Л / / я , следовательно,
определяет расстояние от
до ^
.
Анализ и решение задачи на этом можно считать законченными.
Для определения точки /V/ необходимо построить /7/ .Т.к. ^ линия уровня по отношению к
, то проекция ^/ должна быть па62
раллельна ^ - ^ ^ з . Кроме того
Положение /7, можно определят- и на основании теоремы о проеци­
ровании прямого угла: /7_/. /)Л /?II
= ^ /7^/1/
.
Т.к. ^Л^гшз
• то /7у II ОС^з •
Точка Л/^ находится на линии связи
( ' ^ , А ^ ) и, при этом,
\/\/г,^г.-г1=1М,
•^^-5
1.
Запишем последовательность графических операций.
3.
4. Рз',
Х Л ' Л М з .
<^Ш,=-'ЪП
( N 3 , ^ ) .
Пример 15. Построить натуральный вид сечения геометрического
тела (ограниченного отсеками нескольких поверхностей
и плоскостей) фронтально проецирующей плоскостью
(рис.63).
Геометрическим образом, несушим искомый вид сечения я в л я е т ­
ся плоскость X . Решающее положение - ^ параллельна плоскости
проекций. Для этого нужно решить четвертую основную задачу п р е ­
образования комг ексного чертежа. В качестьэ конкретного с п о с о ­
ба преобразования выберем способ введения новой плоскости проек­
ций. Плоскость /7^ должна быть параллельна X и, следовательно,
перпендикулярна /7^ . Новая ось ' ^ ^ з
проекций будет параллель­
на X / . Для удобства дальнейших построений в качестве оси •ЗГ/,^
возьмем горизонтальную ось симметрии фигуры, предетавляицей и з о б ­
ражение геометрического тела на /7, . Построение натурального в и ­
да сечения ведется по общим правилам построения изображений в
поле /7з , когда осуществляется переход от системы (/%^/?г) к
системе ( /7^,
).
В таблице 3 приведены некоторые метрические задачи с у к а ­
занием: геометрических образов, несущих искомую численную х а ­
рактеристику; решающих положений оригинала; соответствующих
основных задач преобразования чертежа.
63
Таблица 3
Позиции
Задачи
Геометрический образ,
несущий искомую чис­
ленную характеристику
Решающее
положение
Ц П
п И Л п ^ М
|111Г|
1
||1МГ
И д
.
(=»п11П)
211 П
п И Л п Ш :
(^пПП)
г»;
п И
1(^Г)1П
^
г).
(=»П11П)
^ ^ п
п11:лпЛ1:лп:эМ.
(ФпИП)
1(У1)1П
п 1 1 : л п П 1 ; п 1 и п П 1 . (=^п11П)
Н У
А;
п11:лпП1:лпП1.
1
1| л А В В |
64
Л ,
А=>А,ЪВ.
Ц П
(:фП(1П)
Основные
за<>ачи
преобразооа
ним чертежа
Задача 3
Задана ^
Задача 3
Задача 1
и
Задача 2
Задача 1
и
Задача 2
Задача 1
и
Задача 2
Задача 1
и
Задача 2
ЛИП
Задача 3
и
Задача 4
д и п
Задача 3
и
Задача 4
л и п
Задача 3
и
Задача 4
ЛИТЕРАТУРА
I . Монж Г. Начертательная геометрия: Изд-во АН СССР, 1947.
2. Погорелое А.В. Основания геометрии.!*.;Наука, 1968.
3. Рыжов Н.Н. Параметрическая геометрия: Учебное пособив
/шт.
М.,1988.
4. Рыжов Н.Н. Преобразование комплексного чертежа: Сб.научнометодических статей по начертательной геометрии
и инженерной графике. Шп.16/МПИ.М.,1990.
5. Рыжов Н.Н. Метрика бинарных моделей пространства и а л г о ­
ритмизация решения метрических з а д а ч . Сб.научно-
методических статей по начертательной геометрии и инженерной
графике. Вып. 15/М1Ш.М.,1989.
б.Рыжон Н.Н. О теореме Монжа //Труды Московского семинара по
начертательной геометрии. Изд-во Советская наука.
1958
7
Рыжов Н.Н. Курс начертательной геометрии. Часть I.•Уч^^ное
пособие /МАДИ(ТУ). Ы.,1995.
66
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
3
I . Преобразование комплексного чертежа
1 . 1 . Общие замечания
1.2. Способ введения новоЁ плоскости проекций
1.3. Основные задачи преобразования комплекс­
ного чертежа
1.4. Вращение оригинала вокруг проецирупцей прямой
1.5. Вращение оригинала вокруг прямой линии уровня
4
4
5
2. Позиционные задачи 2^
2 . 1 . Общие замечания
2 . 2 . Задачи на взаимное пересечение геометрических
образов
2.3. Задачи на взаимный порядок геометрических
образов
2.4. Решение ШЗ с использованием преобразования
комплексного чертежа
II
13
18
20
21
43
50
3. Метрические задачи 53
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Общие замечания
Решение первой основной метрической ?-чдачи
Решение метрических задач на базе двух ОМЗ
Решение метрических задач с использованием
преобразования комплексного чертежа
53
54
57
61
Литература 65
67