В.Феллер ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ
advertisement
В.Феллер ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 1 Перевод второго, переработанного автором издания (перевод первого издания выпущен Издательством иностранной литературы в 1952 г.) содержит систематическое изложение той части теории вероятностей, которая имеет дело с дискретными множествами элементарных событий (конечными и счетными). Такой выбор материала позволил автору без использования сложного аналитического аппарата ввести читателя в круг основных идей теории вероятностей и ее приложений. Книга служит популярным введением в современную теорию вероятностей, доступным начинающим. Ее смогут читать студенты младших курсов университетов, а также инженеры и научные работники всех специальностей, желающие ознакомиться с основами теории вероятностей. Особый интерес книга представит для биологов, для которых методы теории вероятностей являются главными математическими методами. ОГЛАВЛЕНИЕ § 8. Задачи 35 Предисловие ко второму русскому 5 Глава II. Элементы 38 изданию Предисловие ко второму изданию 7 комбинаторного анализа § 1. Предварительные сведения 38 Предисловие к первому изданию 9 § 2. Выборки 40 Введение. Природа теории 11 § 3. Примеры 42 вероятностей § 1. Исходные представления 11 § 4. Соединения 45 § 5. Приложения к задачам о 49 § 2. Способ изложения 13 размещении § 3. «Статистическая» вероятность 14 § 6. Гипергеометрическое 55 § 4. Резюме 15 § 5. Исторические замечания 16 распределение § 7. Примеры, связанные с 59 Глава 1. Пространства 17 временем ожидания элементарных событий § 8. Биномиальные коэффициенты 62 § 1. Опытные основания 17 § 2. Примеры 19 § 9. Формула Стирлинга 64 § 10. Примеры и упражнения 67 § 3. Пространство элементарных 24 § 11. Задачи и дополнения 71 событий. События § 4. Отношения между событиями 25 теоретического характера § 12. Задачи и тождества, 75 § 5. Дискретные пространства 28 связанные с биномиальными элементарных событий коэффициентами § 6. Вероятности в дискретных 30 пространствах элементарных Глава III. Колебания при игре с 80 бросанием монеты и событий случайные блуждания § 7. Основные распределения. 33 § 1. Основные понятия 81 Основные допущении § 2. Задачи о расположении § 3. Случайное блуждание и игра с бросанием монеты § 4. Новая формулировка комбинаторных теорем § 5. Первый закон арксинуса § 6. Число возвращений в начало координат § 7. Экспериментальные данные § 8. Различные дополнения Глава IV. Комбинации событий § 1. Объединение событий § 2. Приложение к классической задаче о размещении § 3. Осуществление m из N событий § 4. Приложения к задачам о совпадениях и к задаче угадывания § 5. Различные дополнения § 6. Задачи Глава V. Условная вероятность. Независимость § 1. Условная вероятность § 2. Вероятности, определяемые через условные вероятности. Урновые модели § 3. Независимость § 4. Повторные испытания § 5. Приложения к генетике § 6. Сцепленные с полом признаки § 7. Селекция § 8. Задачи Глава VI. Биномиальное распределение и распределение Пуассона § 1. Испытания Бернулли § 2. Биномиальное распределение § 3. Максимальная вероятность в биномиальном распределении § 4. Закон больших чисел § 5. Приближенная формула 84 88 90 92 97 99 101 104 104 107 112 113 115 117 120 120 124 131 134 138 142 145 146 152 152 154 157 158 159 Пуассона § 6. Распределение Пуассона § 7. Примеры схем, приводящих к распределению Пуассона § 8. Время ожидания. Отрицательное биномиальное распределение § 9. Полиномиальное распределение § 10. Задачи Глава VII. Нормальное приближение для биномиального распределения § 1. Нормальное распределение § 2. Предельная теорема Муавра — Лапласа § 3. Примеры § 4. Связь с приближенной формулой Пуассона § 5. Большие отклонения § 6. Задачи Глава VIII. Неограниченные последовательности испытаний Бернулли § 1. Бесконечные последовательности испытаний § 2. Системы игры § 3. Леммы Бореля — Кантелли § 4. Усиленный закон больших чисел § 5. Закон повторного логарифма § 6. Интерпретация на языке теории чисел § 7. Задачи Глава IX. Случайные величины; математическое ожидание § 1. Случайные величины § 2. Математическое ожидание § 3. Примеры и приложения § 4. Дисперсия § 5. Ковариация. Дисперсия суммы 163 166 171 174 175 181 181 185 190 193 195 196 200 200 203 205 208 209 214 215 217 217 225 228 232 235 § 6. Неравенство Чебышева § 7. Неравенство Колмогорова § 8. Коэффициент корреляции § 9. Задачи Глава X. Законы больших чисел § 1. Одинаково распределенные случайные величины § 2. Доказательство закона больших чисел § 3. Теория «безобидных» игр § 4. Петербургская игра § 5. Случайные величины с различными распределениями § 6. Приложения к комбинаторике § 7. Усиленный закон больших чисел § 8. Задачи Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции § 1. Общие положения § 2. Композиция § 3. Приложение к задачам о времени первого достижения и времени первого возвращения в схеме Бернулли § 4. Разложение на простые дроби § 5. Двойные производящие функции § 6. Теорема непрерывности § 7. Задачи Глава XII. Сложные распределения. Ветвящиеся процессы § 1. Суммы случайного числа величин § 2. Сложное распределение Пуассона § 3. Безгранично делимые законы § 4. Примеры ветвящихся процессов § 5. Вероятности вырождения в 239 240 241 243 248 248 252 254 256 259 262 264 267 270 270 272 276 280 283 284 287 291 291 293 294 295 297 ветвящихся процессах § 6. Задачи Глава XIII. Рекуррентные события. Уравнение восстановления § 1. Наглядное введение и примеры § 2. Определения § 3. Основные соотношения § 4. Уравнение восстановления § 5. Рекуррентные события с запаздыванием § 6. Число осуществлении события E § 7. Приложения к теории серий успехов § 8. Более общие рекуррентные события § 9. Особенности времен ожидания с геометрическим распределением § 10. Доказательство теоремы 3§3 § 11. Задачи. Глава XIV. Случайные блуждания и задачи о разорении § 1. Общие понятия § 2. Задача о разорении игрока § 3. Средняя продолжительность игры § 4. Производящие функции продолжительности игры и времени первого достижения § 5. Явные выражения § 6. Переход к пределу; процессы диффузии § 7. Случайные блуждания на плоскости и в пространстве § 8. Обобщенное одномерное случайное блуждание (последовательный анализ) § 9. Задачи Глава. XV. Цепи Маркова § 1. Определение § 2. Примеры 300 301 301 305 309 314 317 321 324 328 329 331 333 336 336 338 341 344 346 348 352 356 360 365 365 367 § 3. Вероятности перехода за n шагов § 4. Замкнутые множества состояний § 5. Классификация состояния § 6. Эргодическое свойство непериодических цепей. Стационарные распределения § 7. Периодические цепи § 8. Невозвратные состояния § 9. Задача о тасовании колоды карт § 10. Общий марковский процесс § 11. Различные дополнения § 12. Задачи Глава XVI. Алгебраический метод изучения конечных цепей Маркова § 1. Общая теория § 2. Примеры § 3. Случайное блуждание с отражающими экранами § 4. Невозвратные состояния; вероятности поглощения § 5. Приложение к времени 375 377 379 384 388 390 395 397 402 407 410 410 414 418 421 425 возвращения Глава XVII. Простейшие стохастические процессы с непрерывным временем § 1. Общие понятия § 2. Распределения Пуассона § 3. Процесс чистого размножения § 4. Расходящийся процесс размножения § 5. Процесс размножения и гибели § 6. Показательное время обслуживания § 7. Очереди и задачи обслуживания § 8. Обратные уравнения (уравнения, «обращенные в прошлое») § 9. Обобщение; уравнения Колмогорова § 10. Процессы, уходящие в бесконечность § 11. Задачи Ответы к задачам Предметный указатель 427 427 430 432 435 437 442 444 453 455 460 466 470 484 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Азартные игры — — неблагоприятная 255, 268 — — задача о разорении 338 — — с бесконечным математическим — — с бесконечным математическим ожиданием 256 ожиданием выигрыша 256 Безусловные (полные) вероятности — — серии 200, 215, 328 121 — — система игры 203,340 — — — в марковских цепях 376, 402 — — три игрока, играющих по Бесконечные моменты 271 очереди 28, 35 — — предельные теоремы для 251, Айзинга теория одномерных цепочек 260, 268, 323 55 — — при случайном блуждании 98, Байеса формула 130 102, 352, 374 Безгранично делимые распределения Биллиард 288 294 Биномиальное распределение 154 «Безобидная игра» 254, 268, 340 — — в комбинации с распределением Пуассона 177, 292, 300 — — главный член 157, 199 — — дисперсия 233, 236, 274 — — задача о размещении 47, 114 — — интегральные представления для 180, 348, 363 — — как предельная форма гипергеометрического распределения 71,178 — — — условное распределение в пуассоновском процессе 243 — — композиция 179, 264 — — математическое ожидание модуля 247 — — модель Эренфестов 386 Биномиальное распределение, нормальное приближение для 185 — — отрицательное, см. Отрицательное биномиальное распределение — — производящая функция 274 — — пуассоновское приближение для 159, 178, 193 — — «хвосты» 158, 180, 198 — — числовые примеры 114, 161, 176 Биномиальные коэффициенты 45, 62 — — интегральные формулы 351, 363 — — тождества для 75, 101, 118 «Благоприятные» случаи 35, 38 Бозе—Эйнштейна статистика 16, 31, 52, 74, 119 Больцмана—Максвелла, см. Максвелла—Больцмана статистика Бонферрони неравенства 116, 148 Бореля—Кантелли леммы 206, 207 Борьба за существование 434 Бридж, см. Выбор карт, Тасование — для иллюстрации алгебры событий 27, 36 — распределение карт на руках 46, 70, 106, 117 — — тузов 21, 49, 70 175 — условные вероятности 147 Бросания монеты см. Испытания Бернулли; Первое достижение; Случайное блуждание; Серии в испытаниях Бернулли — — как задача о размещении 60 — — — случайное блуждание 88, 336 — — ничьи при 313, 333 — — распределение лидерства 83, 93 — — эмпирические иллюстрации 33, 99 Броуновское движение, см. Диффузия Буля неравенство 34 b(k,n,p) 154 Вакцин проверка 156 Вероятности поглощения, см. Продолжительность игры. Вырождение — — в марковских цепях 391, 408, 421 — — — процессах гибели и размножения 440, 441 — — — — диффузионных 352, 362 — — при случайном блуждании 338, 355, 362 — — — — — обобщенном 356 Ветвящиеся процессы 295. 300 Включение 27 Возвратные состояния 380 Возвращение в начало при испытаниях Бернулли и случайном блуждании 89 — — — в многомерном пространстве 311, 353 — — — как рекуррентное событие 303 — — — предельные теоремы 98, 102 — — — производящая функция 279, 288 — — — с различными вероятностями 394 — — — связь с марковскими цепями 395 — — — число 97, 288, 322 — — — эмпирические иллюстрации 99 — — — n-e 92, 103 Восстановление совокупностей элементов и популяций 308, 319, 334 Восстановления метод в случайном блуждании 362 — уравнение 314, 331 Время возвращения 307, 334, см. Возвращение в начало, Время ожидания — — в марковских цепях 380, 425 — — для рекордов 333 — — — серий 324 — жизни 319, 334 — обслуживания показательное 330, 442 — ожидания, см. Время первого достижения, Время возвращения, Возвращение в начало — — в биллиарде 288 — — — задаче о коллекционировании 60, 117, 230, 245, 288 Время возвращения в комбинаторных задачах 59, 69, 70 — — — марковских цепях 380, 390 408 — — геометрическое 329 — — показательное 442 — — с отрицательным биномиальным распределением 171, 229, 275 — первого достижения в испытаниях Бернулли и при случайном блуждании 89, 303, 337, см. Продолжительность игры, Время возвращения, Время ожидания — — — математическое ожидание 276, 341 — — — предельные теоремы 102, 352, 363 — — — производящие функции 276, 333, 344, 362 — — — точные формулы 91, 347, 361 Выбор 40, 238, 245 — время ожидания 59, 118, 229 — карт 106, 113, 117, 237 — повторный 57, 177 — последовательный 356, 360, 373 — при классификации 245 — рандомизированный (случайный) 221 — с возвращением и без возвращения 40, 71, 117, 238 — требуемый объем выборки 156. 193, 197, 250 — элементарные задачи 68, 221 Выборочное среднее 250 Выборочный контроль 56, 175, 177, 244 — — последовательный 356, 360, 373 Выводок насекомых и его выживание 177, 292 Выживание в ветвящихся процессах 295 — — процессах гибели и размножения 439 — генов 124, 177, 297, 394 — фамилии 296 Вылов рыбы 56 Вырождение — в ветвящихся процессах 297 — — процессах гибели и размножения 439 — генов 124, 297, 394 — рода 296 «Вырожденные» процессы 435, 460 Гамма-функция 78 Гауссовское (нормальное) распределение 184 Гейгера — Мюллера счетчик, см. Счетчики Гены и генотипы 21, 121, 149 — — — марковские цепи 374 — — — мутации и выживание 297, 394, 434 — — — наследственность 261 Гемофилия как признак, сцепленный с полом 126 Геометрическое распределение 173, 243, 349 — — в различных задачах 61, 74, 243, 299 — — — случайных процессах 467 — — для объема семей 147, 296 — — как отрицательное биномиальное распределение 173, 229, 275 — — — предел статистики Бозе — Эйнштейна 74 — — отсутствия последействия 349 442 — — показательное распределение как предел 442 Гипергеометрическое распределение 56, 69, 70, 238 — — двойное 59 — — приближение биномиальным распределением 71, 178 — — — нормальным распределением 197 — — — пуассоновским распределением 178 Гипотез вероятности 130 Гипотезы 121 — статистические, см. Критерии статистические Граничные точки для стохастических процессов 466 Грозовые разряды, распределение убытков 293, 428 Группировка в марковских цепях 409 Группировки критерий 54 Данные Уэлдона о бросании кости 155 Дважды стохастические матрицы 386 Двойные испытания Бернулли — производящие функции 283, 300, 335 — — — отрицательного биномиального распределения 290 — — — распределения Пуассона 179, 283 Двойственности принцип 85 Деление клеток 295 Дефекты в материалах 166, 176 — выборочный контроль 175, 177, 244, 356, 373 — некоторые задачи 68, 147 — проверка крови 245 — пуассоновское распределение для числа 162 Дискретные пространства элементарных событий 28 Дисперсия 232 — вычисление по производящей функции 272 — нормального распределения 184 — суммы 235 Дифференциальные уравнения Колмогорова 455 — — — единственность 463 — — — обратные 459 — — — прямые 458 — — — частный случай 431 Диффузия 348 — коэффициент 350 — модель Эренфестов 127, 370, 386, 407 — поглощение и первое достижение 351, 362 Дни рождения — — как задача о размещении 20, 72 — — комбинаторные задачи 69 — — одинаковые 44, 59, 71 — — ожидаемое число 230, 244 — — пуассоновское распределение для 112, 161, 176 Доминантный ген 122 Домино 68 Дополнительные события 25 Достоверные рекуррентные события 307 Зависимость, см. Независимость Задача Банаха о спичечном коробке 173, 231 — — — — — вариант 177 — о баллотировке 81, 85 — — ключах 60, 68, 147, 244 — — конкуренции 191 — — лифте 21, 44, 71 — — обуви 69, 117 — — размещении 20, 49 — — — времена ожидания 59, 69, 70, 229, 288 — — — отрицательное биномиальное распределение как предельная форма распределения в 74 Задача о размещении» применение марковских цепей 371, 417 — — — пуассоновское распределение как предел 58, 110 — — — пустые ящики 73, 119, 246, 371, 417 — — — таблицы 51, 109, 111, 114 — — — элементарные задачи 39, 67, 117, 219, 245 — — — эмпирическая интерпретация 20 — — — ящики, занятые несколькими шарами 43, 47, 72 — — разорении 360, см Вероятности поглощения — — сенаторах 46, 56 — — снабжении электроэнергией 155 — — телефонных линиях 194, 144, 468, см Телефон — — уличном движении 176, 400 Закон арксинуса 92, 95, 101 — больших чисел — — — для зависимых случайных величин 268 — — — — испытаний Бернулли 158, 199 — — — — марковских цепей 403 — — — — подстановок 262 — — — — рекуррентных событий 321 — — — обобщенная формулировка (для случая бесконечных моментов) 256 — — — усиленный 264, 269 — — — — для испытаний Бернулли 208, 215 — — — — — цепей Маркова 403 — повторного логарифма 209, 215 — — — для марковских цепей 404 — — — обобщенный 216 — следования Лапласа 130 Замена, см Восстановление, Выбор, Замкнутые множества, Замыкание 377 Изюминок распределение 163, 166, 176 Инверсии 262 Инерции момент 234 Инициалы 67 Испытания Бернулли, см Закон арксинуса, Пари, Биллиард, Время первого достижения. Случайные блуждания, Серии в испытаниях Бернулли — — бесконечная последовательность 202 — — интерпретация на языке теории чисел 214 — — определение 135 — — сложные 175, 177, 242 — — с различными вероятностями, дисперсия 236 — — — — — определение 224 — — — — — пуассоновское приближение 286 — повторные 134 — — представление через случайные величины 223 Канонический вид матриц 410 Карты, см Бридж, Выбор карт, Покер, Тасование Классификация сложная 39 Ковариация 235, 242 Коллекция купонов 21, 60, 117 — — моменты 230, 245, 288 Колмогорова дифференциальные уравнения 455 — критерий 265 (обращение 269) — неравенство 240 Колмогорова — Чепмэна уравнение для случайных процессов 455, 468 — — — — цепей Маркова 399, 402 Комбинаторные задачи — — использующие центральную предельную теорему 197, 262 — — связанные со случайным выбором 300 Композиция (свертка) 272 Контроль за качеством 54, см Выборочным контроль Координатное пространство 136 Космические лучи 21, 435 Кости — данные Уэлдона 155 — и задача о размещении 21 — производящие функции 287 — равновесие единиц, двоек 304, 314 — распределение суммы 220, 233, 249 — серии единиц 200, 215, 325 — элементарные задачи 49, 60, 69, 117, 146, 175, 176, 196, 243 406 Коэффициент корреляции 241 — обслуживания 448 Коэффициент простоя 450 Крайние распределения 219 Критерии статистические — — группировки 54 — — однородности 53, 197 — — порядковые 84, 156 — — следования 177 — — случайности 53, 68, 69, 73, 84, 114 Кровяные тельца 170 — — проверка крови 245 Лидерства распределение 82, 87, 92, 159 — — опытные данные 100 Логарифмы, неравенства и степенные ряды 62 Ложное заражение 127 Макроскопическое равновесие 384 Максвелла — Больцмана статистика 16, 32, 52, 72, 119 — — — как предельная форма статистики Ферми — Дирака 70 Максимального правдоподобия оценка 57 Максимумы при случайном блуждании (см. Наибольшее наблюдение) — — — — положение 101 — — — — распределение 361 Марковские процессы 397, 409 — — с непрерывным временем 427, 455 Марковские цепи — — высоких порядков 405 — — определение 367 — — связанные со случайными процессами 395, 407, 440, 459 — — смесь 409 — — суперпозиция 401 Марковское свойство 331, 398 Математическое ожидание 225 — — отношения 244, 247 — — произведения 227, 235, 241 — — суммы 227 — — условное 228 Матрицы — каноническое представление 410 — нестохастические 404, 422 — обозначения 151, 367, 375, 414 — общего вида 378, 383, 422 — стохастические 367 — — дважды 387 Метод случайного выбора 221, 300 — усечения 2.52, 258, 260, 266, 269 Многомерное распределение Пуассона 179 Многоярусные лампы 39 Множества — замкнутые (в марковских цепях) 377 — цилиндрические 137, см. События Молекул длинные цепи 21, 246 Момент инерции 234 Моменты 233 — бесконечные 271 Морзе азбука 68 Мутации 297, 434 Н—обозначения неудачи 152 Наибольшее наблюдение, оценка по 231, 343 Наследственность 138, 261 Невозвратные состояния 380, 390 Недостоверные рекуррентные события 307 Независимость 131, 222, 247 Немарковские процессы 399, 409 Непересекающиеся события 26 Неправильно набранные телефонные номера 169 Непрерывности теорема 284 Неприводимые цепи 377 Неразличимость 22, 31, 52 — два типа элементов 47 Несмещенная оценка 247 Несущественные состояния 381 Ничьи — в биллиарде 288 — — модели случайного блуждания 83 — при бросании нескольких монет 313, 333 — — игре в кости 304, 314 Нормальная плотность и распределение 181 — — — — оценки 183, 196 Нормальное приближение для биномиального распределения 185, 199 — — — — — большие уклонения 195 — — — гипергеометрического распределения 197 — — — комбинаторных серий 197 — — — марковских цепей 403 — — — перестановок 263, 264 Нормальное приближение для пуассоновского распределения 193, 197, 250 — — — рекуррентных событий 321 — — — серий успехов 325 — — — случайных блужданий 351 Нулевое поколение 295 (п), 40 Область изменения 218 Облучения эффекты 21, 68, 118, 168, 177, 292 Обобщенные случайные величины 306 Обращенные вероятности в марковских цепях 402 Обслуживание машин 447 — — задачи об обслуживании 444 — — (снабжение электроэнергией 155) Обслуживания коэффициент 448 — формула Эрланга 449 Объединение событий 26 Объем рода, геометрическое распределение для 147, 296 Однородные по времени процессы 455 Опечатки 22 — пуассоновское распределение для 162, 176 — Ферми—Дирака распределение для 53, 70 Определители, число членов, содержащих диагональные элементы 117 Оптимальная остановка 190, 246, 254 Осуществление событий одновременное 26, 104, 112, 115, 148 Отлов животных 177, 244, 292, 300 Отражающие экраны 337, 361, 369, 406 — — в плоскости 407 — — точное решение 418 Отражения принцип 84, 361 Отрицание 25 Оценка несмещенная 247 Оценки статистические — — по независимым наблюдениям 177 — — — повторной выборке 57 — — — простой выборке 193, 230, 244 Очереди — ветвящиеся процессы для 297 — в случае нескольких каналов 446, 450, 468 — — — одного канала 442. 448 — марковские цепи для 407 Очереди, пришедший последним обслуживается первым 467 Очередность — в биллиарде 288 — три игрока, играющие по очереди 28, 35, 124, 148, 406 Парадокс возвращения 323 Пары 38 Паскаля распределение 173 Первое достижение, см. Время первого достижения — осуществление, см. Время ожидания Переменная сила при диффузии 371 Пересечение событий 26 Перестановки 41, 137, 262, 395 Переход через улицу, пешеходы 176 Перехода вероятности — — в марковских цепях 367, 374, 397 — — — стохастических процессах 453 Переходы — как немарковский процесс 400 — элементарная задача 176 Периодические рекуррентные события 307 — состояния 381, 387 Петербургская игра 256 Петри чашка 170 Плотность распределения 184 Повторное осреднение 317, 333, 407 Повторные испытания 134 — — случайные величины, представляющие 223 Поглощающие границы в стохастических процессах 465 — состояния 377, 391 — экраны 336, 355, 368 Подсчет числа бактерий 170 Пожары, см. Происшествия Показательное время обслуживания 329, 442 — распределение 429, 442, 461 — — функциональное уравнение для 444 Покер 18, 46, 71, 118, 175 Полиномиальное распределение 174 220, 221, 244 — — максимальный член 178, 197 — — производящая функция 284 Полиномиальные коэффициенты 48 Полимеры 21, 246 Положительные состояния 381 Популяции животных — — отлов 177, 244, 292, 300 — оценка объема по выборке 43 Порядковый критерий 84 Последействия эффект для времени ожидания 330, 442 Последовательный анализ 356, 360, 373 Потомки — в ветвящихся процессах 295, 300 — — популяциях и теории восстановления 320, 334 — — процессах гибели и размножения 434, 440 — генетические модели 138, 261, 374 — скрещивание 149, 374, 406, 424 — степень родства 150 Правило Байеса 130 Предельная теорема Муавра — Лапласа 188, 199 Приведенное число успехов 189 Признаки, сцепленные с полом 142 Проверка вакцин 156 — крови 245 Продолжительность игры, см. Вырождение, Время первого достижения, Время ожидания — — в задаче о разорении 341, 360 — — — марковских цепях 408 — — — последовательном анализе 356, 360 Произведение мер и пространства 136 — прямое 136 Производные; число частных производных 50 Производящие функции 270 — — двойные 283, 300, 335 — — для дифференциальных уравнений стохастических процессов 468 — — — марковских цепей и матриц 410 — — использование для решения разностных уравнений 344 — — моментов 290, 300 Происшествия — модели размещения 20 — — связанные с испытаниями Бернулли с различными вероятностями 236 — пуассоновское распределение 164 — распределение убытков 293, 428 — статистика разрывов самолетовснарядов 167 — урновые модели 125, 127 Пространство элементарных событий 17, 24 — — — в терминах случайных величин 223 — — — дискретное 28 — — — для повторных испытаний и экспериментов 134 Простые дроби 280, 290 — — для марковских цепей 380 — — — серий 324 — — — случайных блужданий 346, 359, 362, 419 — — численные примеры 283, 320, 326 Процессы гибели 466 — размножения 432, 453, 466 — — расходящиеся 435, 460 Пуассоновский поток 443 — процесс 428, 430, 454, 459 Пуассоновское приближение или предельная форма для биномиального распределения 159, 178, 193 — — гипергеометрического распределения 178 — — задачи обслуживания 444, 468 — — испытаний Бернулли с переменными вероятностями 286 — — нормального распределения 193, 250 — — отрицательного биномиального распределения 179, 296 — — рандомизированный выбор 221, 300 — — серии 335 — — случайного выбора 117 — — числовые примеры 114 — распределение 163 — — в комбинации с биномиальным распределением 177, 243, 292, 300 — — интегральное представление 180 — — кратное 294 — — многомерное 179 — — моменты 229, 233 — — нормальное приближение для 193, 197, 250 — — примеры схем, приводящих к 166 — — производящая функция 274 — — пространственное 166 — — свертки 179, 274 — — сложное 293, 428. 459 Пути при случайном блуждании 82 Равновесие макроскопическое или статистическое 384, 440 Равномерное распределение 243, 289 Радиоактивное излучение 166, 330, 433 Различимость 22, 31, 52 — два типа элементов 47 Размножение 149, 374, 406, 424 Разностные уравнения 339 — — в многомерном случае 355, 363 — — для распределения Пойа 148 — — задачи о размещении 73, 288 — — метод отражения 361 — — — частных решений 339, 345, 358, 361 — — модели Эренфестов 336 — — отражающие экраны 406, 418 — — поглощающие экраны 393 — — предельный переход 348, 362, 467 — — уравнение восстановления 314 — — флуктуации плотности 407 Разность событий 27 Расположения, см. Задача о баллотировке Задача о размещении, Упорядочение — в задаче о размещении 50, 70 Распределение — возрастов 319, 334 — — пример, касающийся возрастов супругов 23, 27 — детей по признаку пола 123, 124, 132, 147, 175 — крайнее 219 — нормальное 181 — совместное 219 — условное 222, 243 Распределения функция 184, 218 — шаров по ящикам, см. Задача о размещении Распространение слухов 69 Рекорды 303, 333 Рекуррентные события 301, 305 — — рассмотрение с точки зрения марковских цепей 372, 387 — — с запаздыванием 317 Рентгеновские лучи, действие на клетки 21, 68, 118, 168, 177, 292 Рецессивные гены 139 Самовосстанавливающиеся совокупности 308, 319, 334 Свертки 273 Селекция генетическая 145, 149, 297 Семена Семена, выживание 297 — распределение Пуассона для числа 166 Семьи — задача о мытье посуды 69 — — — распределении по признаку пола 123, 124, 132, 147, 175, 292 Серии в биллиарде 288 — — задаче об уличном движении 176 — — испытаниях Бернулли — — — — определение 302 — — — — пуассоновское распределение для длинных 335 — — — — рассмотрение с точки зрения цепей Маркова 371, 376 — — — — теория 324, 335 — — — — успехов до неудач 200, 215, 328 — — комбинаторных задачах 53, 74 — — — — моменты 245 — — — — нормальное распределение для 197 Системы игры 203, 340 Скользящие средние 400, 408 Скрещивание прямых потомков 149, 374, 406, 424 Следования закон 130 Сложная классификация 39 Сложное распределение Пуассона и соответствующие процессы 293, 428, 459 — отрицательное биномиальное распределение как сложное распределение Пуассона 293 Служба безопасности 127 Случайное блуждание, см. Поглощающие экраны. Отражающие экраны, Упругие экраны, Время первого достижения, Максимумы, Возвращение в начало, Диффузия — — метод марковских цепей 368 — — — теории восстановления 362 — — многомерное 352 — — обобщенное 356, 360, 373 — — одномерное 88, 336 — — с переменными вероятностями 395 — — циклическое 269, 417 Случайность последовательности 209 — — критерии 53, 73, 84, 115 Смесь — марковских цепей 409 — распределение 300 — совокупностей 127 Снос 325, 336 Собственные значения и векторы 414 События 18, 24 — в прямом произведении вероятностных пространств 134 — комбинации 104 — независимые 133 — одновременное осуществление 27, 105, 112, 1!5 Совокупность, разделенная на классы 123, 127 Совпадения 106, 113, 118 Соединения с неправильными номерами 169 Составные марковские процессы (тасование) 401 Состояние равновесия 384, 440 Состояния марковской цепи 367 — классификация 379 Среднее значение распределения, см. Математическое ожидание Ставка, эффект изменения 340 Стандартное отклонение 233 — — для нормального распределения 184 — — — числа успехов 189 Старение 330 Статистика Бозе—Эйнштейна, см. Бозе—Эйнштейна статистика Статистика Больцмана — Максвелла, см. Больцмана — Максвелла статистика Статистика Ферми—Дирака, см. Ферми — Дирака статистика Стационарные вероятности перехода 367, 399 — — в марковских цепях 384, 390, 405 — — для возраста 334 — — — генов 141, 150 Стирлинга формула 64, 185 — — уточнения 79 Стохастическая (статистическая) независимость, см. Независимость Стохастические дважды матрицы 367 — матрицы 386 — процессы 397, 427 Стоянка машин 68, 69, 466 Стрельба по мишени 21, 175 Суммы случайного числа случайных слагаемых 291 Суперпозиция марковских цепей и тасование 401 Сходимость почти всюду и по мере 214, 265 Счетчики 72 Счетчик типа I 302, 319, 333, 407 — типа II 334 Тауберова теорема 331 Телефон — время обслуживания 329, 442 —- вызовы 169, 287, 430 — задача о телефонных линиях 194, 444, 468 Тепловой обмен, модель Эренфестов 127, 370, 386, 407 Триномиальное распределение 221, 244 — — производящая функция 284 У—обозначение успеха 152 Убытки, см. Происшествия, Эффекты облучения Угадывание 114, 237 Удвоение ставки 341 Упорядочение 28 — двух типов элементов 47 Упругий экран 337, 369, см. Поглощающие экраны, Отражающие экраны Уравнения обратные 454, 459, 462, 468 — прямые 454, 458, 462 Урновые модели 124, 365 — — для классификации 127 — — Лапласа 129 — — Пойа 126, 148, 245, 268, 399, 467 — — Эренфестов 127, 370, 386, 407 Уровень значимости 96, 168 Условная вероятность 121 Условное распределение 222, 243 — математическое ожидание 228 Успехи 152 — приведенное число 189 Устойчивое распределение с параметром 1/2 102, 251 Фазовое пространство 24 Факториалы 41 — гамма-функция 78 — формула Стирлинга 64, 79, 185 Ферми—Дирака статистика 16, 52, 70 Флуктуация плотности 407, см. Эренфестов модель Фоккера — Планка уравнение 351 Формула бинома 63 Фробениуса теория матриц 404 Функция ошибок 184 Фюрта формула 352 Характеристические корни матриц 413 Характеристическое уравнение 358 Хелли теорема 286 Хромосомы — объяснение термина 138 — расщепление и изменение 68, 118. 168, 177, 292 Центральная предельная теорема — — — для биномиального распределения 189 — — — — марковских цепей 403 — — — — сумм независимых случайных величин 249, 259, 267 — — — приложения к комбинаторным задачам 197, 262 — — — — — частотам цифр 214 — — — — — гипергеометрическому распределению 197 — — — — — распределению Пуассона 193, 197 — — — — — рекуррентным событиям 321 — — — — — сериям 197, 325 — — — — — случайным блужданиям 351 Цепи случайной длины 246 Цепные реакции 296, 300 Цепь писем 69 Циклические случайные блуждания 369, 417 Циклы 263 Цилиндрические множества 137 Цифры — распределение 214 — e и π 43, 73, см. Случайные цифры «Частица» в случайном блуждании 89, 336 Частных решений метод 339, 344, 358, 360 Часы пик 430 Чебышева неравенство 239, 247 Шары в ящиках, см. Задача о размещении Шварца неравенства 247 Эволюция 434 Эйнштейна — Бозе статистика, см. Бозе — Эйнштейна статистика Эйнштейна — Винера диффузия 349 Экраны, классификация 337, 369 Эксперименты — мыслимые 14, 17 — повторные 134 Элементарные события 19, 24 Эргодические состояния 381 Эргодическое свойство — — марковских цепей 384, 407, 425 — — стохасгпческих процессов 440, 469 Эренфестов модель теплового обмена и диффузии 127, 370, 386, 407 Эрланга формула 449 Эффект последействия, урновые модели 125 Юла процесс 434, 466 Ядерные цепные реакции 296 Ящики, распределение шаров по ящикам, см. Задача о размещении