Ш.Кобаяси, К.Номидзу ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

Ш.Кобаяси, К.Номидзу
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ, Т. I
Книга является первым томом двухтомной монографии «Основы
дифференциальной геометрии». В первом томе рассмотрены дифференцируемые
многообразия, теория связностей, линейные и аффинные связности, римановы
связности, кривизна и пространственные формы, преобразования.
Книга предназначена для научных работников, аспирантов и студентов старших
курсов физико-математических специальностей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика
Предисловие
Взаимозависимость глав и параграфов
Глава I
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Дифференцируемые многообразия
§ 2. Тензорные алгебры
§ 3. Тензорные поля
§ 4. Группы Ли
§ 5. Расслоенные пространства
Глава II
ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ
§ 1. Связности в главном расслоенном пространстве
§ 2. Существование и продолжение связностей
§ 3. Параллелизм
§ 4. Группы голономии
§ 5. Форма кривизны и структурное уравнение
§ 6. Отображения связностей
§ 7. Теорема редукции
§ 8. Теорема о голономии
§ 9. Плоские связности
§ 10. Локальные и инфинитезимальные группы голономии
§ 11. Инвариантные связности
Глава III
ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
§ 1. Связность в векторном расслоении
§ 2. Линейные связности
§ 3. Аффинные связности
§ 4. Развертки
§ 5. Тензоры кривизны и кручения
§ 6. Геодезические
§ 7. Выражения в локальных системах координат.
§ 8. Нормальные координаты
§ 9. Линейные инфинитезимальные группы голономии
5
7
11
11
25
34
45
56
68
71
73
75
79
83
S6
91
94
96
104
113
118
123
128
130
135
137
143
147
Глава IV
РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ
§ 1. Римановы метрики
§ 2. Римановы связности
§ 3. Нормальные координаты и выпуклые окрестности
§ 4. Полнота
§ 5. Группы голономии
§ 6. Теорема разложения де Рама
§ 7. Аффинные группы голономии
Глава V
КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Предварительные алгебраические рассмотрения
§ 2. Секционная кривизна
§ 3. Пространства постоянной кривизны
§ 4. Плоские аффинные и римановы связности
Глава VI
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Аффинные отображения и аффинные преобразования
§ 2. Инфинитезимальные аффинные преобразования
§ 3. Изометрии и инфинитезимальные изометрии
§ 4. Голономия и инфинитезимальиые изометрии
§ 5. Тензор Риччи и инфинитезимальные изометрии
§ 6. Продолжение локальных изоморфизмов
§ 7. Проблема эквивалентности
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
2. Связное локально компактное метрическое пространство сепарабельно
3. Разбиение единицы
4. Дугообразно связные подгруппы группы Ли
5. Неприводимые подгруппы в 0 (я)
6. Теорема Грина
7. Лемма о факторизации
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Связности и группы голономии
2. Полные аффинные и римановы связности
3. Тензор Риччи и скалярная кривизна
4. Пространства постоянной положительной кривизны
5. Плоские римановы многообразия
6. Параллельный перенос кривизны
7. Симметрические пространства
8. Линейные связности с рекурентной кривизной
9. Группа автоморфизмов геометрической структуры
10. Группы изометрии и аффинных преобразований максимальных
размерностей
150
153
158
166
173
180
185
189
191
194
198
212
216
222
230
233
236
241
249
250
252
254
255
259
261
263
266
268
269
272
274
275
279
281
282
11. Конформные преобразования римановых многообразий.
Библиография
Добавление. Методы неассоциативной алгебры в дифференциальной
геометрии (Л.В.Сабинин)
Список основных обозначений
Предметный указатель
283
286
293
340
342
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютный параллелизм 121
Автоморфизм алгебры Ли 47
— группы Ли 47
— связности 84
Алгебра Ли 45
Альтернация 35
Аналитическое продолжение 238
Атлас 12
— полный 12
Аффинная группа голономии 128
— связность 127
— — обобщенная 125
Аффинное отображение 212
— преобразование 124, 213
— — инфинитезимальное 217
— пространство 123
— — касательное 123
Аффинный параллельный перенос
128
— параметр 135
— репер 124
Бутылка Клейна 210
Вектор 14 Векторное поле 15
— — Киллинга 223
— расслоение 113
Вертикальная компонента 68
Вертикальное подпространство 68,
90
Вертикальный вектор 68
Вещественное проективное
пространство 52
Вложение 18, 59
— изометрическое 156
Внешнее дифференцирование 17, 43
— — ковариантное 80
Внешняя производная 80
— — ковариантная 80
Внутреннее произведение 42
Выпуклая окрестность 146, 161
Геодезическая 135, 142
— минимизирующая 161
Гиперповерхность 18
Голоморфное преобразование 11
Гомоморфизм расслоений 59
Гомотопия 261
Горизонтальная компонента 68
— кривая 73, 90
Горизонтальное подпространство
68, 90
Горизонтальный вектор 68
— лифт 69, 73, 90
Группа голономии 75, 76
— — аффинная 128
— — инфинитезимальная 98, 147
— — линейная 128
— — локальная 96, 147
— — однородная 128
Группа голономии суженная 75, 76
— изотропии линейная 150
— Ли 45
— — преобразований 48
Дивергенция 259
Диффеоморфизм 19
Дифференциал ковариантный 122
— отображения 17
— функции 17
Дифференцирование алгебры 38, 41
— Ли 37
— тензорной алгебры 33
Длина дуги 157
Евклидов тор 199
— цилиндр 199
Евклидова метрика 150
Евклидово движение 204
— касательное пространство 185
— подпространство 206
Естественный лифт векторного поля
216
Изометрическое вложение 156
— погружение 156
Изометрия 52, 156, 222
— инфинитеэимальная 223
Иммерсия 18
Инвариантная риманова метрика
150
— связность 84, 104
Инволютивное распределение 19
Индуцированная риманова метрика
150
— связность 85
Индуцированное расслоение 66
Интегральная кривая 21
Интегральное многообразие 19
Каноническая инвариантная
риманова метрика 151
— — связность 110, 276
— линейная связность 302
— метрика 151
— плоская связность 94
— форма на L (М) 118
— 1-форма на группе 48
Канонический параметр на
геодезической 158
Каноническое разложение
(разложение де Рама)178, 184
Карта 12
Касательное пространство 15
— — аффинное 123
— расслоение 62
Касательный вектор 14
Ковариантная производная 114, 115,
121
Ковариантное дифференцирование
115, 121
Ковариантный дифференциал 122
— тензор 29
Ковектор 16
Компактно открытая топология 52
Компоненты векторного поля 15
— линейной связности 138
— тензора 29
— тензорного поля 34
— 1-формы 16
Контравариантный тензор 29
Конформное преобразование 283
— — инфинитезимальное 284
Координатная окрестность 13
Косое дифференцирование 41
Кривизна 130
— постоянная 192
—, преобразование 130
— рекуррентная 279
— риманова 191
— секционная 192
— скалярная 269
—, тензорное поле 130, 142
—, форма 80
Кручение двух тензорных полей
типа (1,1) 44
— тензорного поля 130, 142
—, трансляция 130
—, форма 119
Кубическая окрестность 13
Лассо 77, 177, 261
Линейная группа голономии 128
— — изотропии 150
— связность 118
Линейный репер 61
Лист Мёбиуса 210
Лифт (подъем) 69, 73, 90
— горизонтальный 69, 73, 90
— естественный 216
Локальная координатная система 13
Локальный базис распределения 19
Лоренцева метрика 267
Метрическая связность 117, 154
Многообразие 12
— аналитическое действительное
12
— — комплексное 12
— дифференцируемое 12
— локально аффинное 199
— ориентированное 12
— ориентируемое 18
Накрывающее пространство 67
Неопределенная риманова метрика
151
Неприводимая группа евклидовых
движений 206
Неприводимое риманово
многообразие 173
Нормальная система координат 144,
158
Однопараметрическая группа
преобразований 21
— подгруппа 45
Однородное пространство риманово
150, 170
— — симметрическое 275
Орбита 21
Ориентация 12, 13 Ортонормальный
репер 65
Паракомпактность 63
Параллельное сечение 90
— тензорное поле 122
Параллельный перенос 74, 90, 91
— — аффинный 128
Плоская связность 94
— — аффинная 198
— — каноническая 94
— — линейная 199
Плоское риманово многообразие
198, 199
Погружение 18
— изометрическое 156
Подгруппа изотропии 55
— Ли 46
Подмногообразие 18
— вполне геодезическое 174
Подрасслоение 59
Полная линейная связность 137
— риманова метрика 166
Полное векторное поле 22
— риманово многообразие 166
Полный дифференциал 16
Послойная метрика 116
Постоянная кривизна 192
Преобразование 19
— гомотетии 227, 284
— — инфинитезимальное 284
Присоединенное представление 47
Проекция 56
Производная Ли 36
Простое покрытие 162
Пространственная форма 198
Пространство базисное 56
— ковариантных тензоров 29
— контравариантных тензоров 29
— постоянной кривизны 192, 194
— расслоения 56
— тотальное 56
Псевдогруппа преобразований 11
Псевдотензориальная форма 79
Разбиение единицы 252 Развертка
129
Разложение де Рама 178, 184
Разрывная группа 51
Ранг отображения 18
Распределение 19
— инволютивное 19
Расслоение ассоциированное 60
— аффинных реперов 124
— векторное 113
— главное 56
— голономии 87
— индуцированное 66
— касательное 62
— линейных реперов 61
— ортонормальных реперов 65
— редуцированное 59
— тензорное 62
— тривиальное 57 Редукция
связности 84, 86
— структурной группы 59
Редуцированное расслоение 59
Редуцируемая связность 84, 86
— структурная группа 59
Рекуррентная кривизна 279
Рекуррентный тензор 279
Репер аффинный 124
— линейный 61
— ортонормальный 65
Риманов тензор кривизны 191
Риманова метрика 35, 150, 151
— — инвариантная 150
— — — каноническая 151
— — индуцированная 150
— — неопределенная 151
— связность 153
Риманово многообразие 65, 150
Риманово многообразие
гиперболическое 198
— — локально евклидово 188, 198,
199
— — неприводимое 173
— — непродолжаемое 172
— — плоское 198, 199
— — полное 166
— — приводимое 173
— — эллиптическое 198
— однородное пространство 150
Свертывание 30
Свободное действие группы 48
Связность 68
— аффинная 127
— — обобщенная 125
— — плоская 198
— инвариантная 84, 104
— — при параллелизме 246
— индуцированная 85
— каноническая 110, 276
— — линейная 277
— — плоская 94
— Леви-Чивита 154
— линейная 118
— — локально симметрическая 278
— метрическая 117, 154
— плоская 94
— риманова 153
— универсальная 265
—, форма 68 Сегмент 163
Секционная кривизна 192
Сечение 63
—, адаптированное к нормальной
координатной системе 241
Символы Кристоффеля 138
Симметризация 36
Симметрия 276
Скалярная кривизна 269
Скалярное произведение 32
Скрученный тор 210
— цилиндр 210
Слой 60
Слой-транзитивность 107
Собственно разрывная группа 50
Стандартное горизонтальное
векторное поле 118
Структурная группа 56
Структурные константы 48
— уравнения 80, 81, 117, 120, 127
Тензор ковариантный 29
— контравариантный 29
Тензориальная форма 79
Тензорная алгебра 30, 32
Тензорное поле 34
— — Риччи 233
— произведение 25
— пространство 29, 30
— расслоение 62
Теорема голономии 91
— Грина 259
— редукции 86
— Фробениуса 20
— Шура 192
Тип тензора 30
— adG 80
Тождества Бианки 82, 120, 132
Top 67
— евклидов 199
— скрученный 210
Точечное поле 128
Тривиальное расслоение 57
Универсальное факторизационное
свойство 26
Уравнения Маурера — Картана 47,
48
Факторпространство 50
Форма Киплинга — Картана 151
— кривизны 80
— кручения 119
— псевдотензориальная 79
— связности 68
— Тензориальная 79
Формула Лейбница 21
Фундаментальное векторное поле
57
Функции переноса 57
Функция расстояния 153
Цилиндр 210
— евклидов 199
— скрученный 210
Эйнштейново многообразие 268
Экспоненциальное отображение 46,
137, 143
Эффективное действие группы 48
Сk-гомотопия 261
G-структура 264
r-форма 16
1-форма 16