Раздел 11

11. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ И ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
11.1.
СКАЛЯРНЫЕ
И
ВЕКТОРНЫЕ
ВЕЛИЧИНЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Величины называются скалярными, если они после выбора единицы
измерения полностью характеризуются одним числом. Примеры: угол,
поверхность, объём, масса, плотность, электрический заряд, сопротивление,
температура. Обозначается f.
Векторная величина зависит от двух элементов разной природы:
алгебраического элемента – числа, измеряющего длину (модуль) вектора, и
геометрического элемента – направления вектора. Единичный вектор (орт) –
это вектор, модуль которого равен единице. Два одинаково направленных и
равных по длине вектора называются эквиполентными. Векторы,
расположенные на параллельных прямых, называются коллинеарными. Угол
между двумя векторами a и b – это угол, не превосходящий , на который
нужно повернуть вектор a , чтобы совместить его с вектором,
эквиполентным b , начало которого совпадает с началом вектора a . Угол
обозначается ( a , b ).
11.2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Пусть хх – ось. Вращение относительно оси хх называется
положительным или прямым, если для наблюдателя в конце оси оно
осуществляется против часовой стрелки. Пусть Oxyz – тройка векторов. Она
называется правой, если движение от оси Ox к оси Oy относительно оси Oz
происходит в положительном направлении. Тройки Oxyz, Oyzx, Ozxy
являются правыми, а Oyxz, Oxzy, Ozyx – левыми. Одна перестановка букв
меняет тройку, две перестановки – не меняют.
Применяются различные системы координат: прямолинейные и
криволинейные; ортогональные и неортогональные. Остановимся на
применении только прямолинейных ортогональных систем координат: 1)
декартовой системы координат (рис. 11.1,а); 2) цилиндрической системы
координат (рис. 11.1,б); 3) сферической системы координат (рис. 11.1,в).
Соотношения между координатами различных систем:
r = x2  y 2 ;
R = x 2  y 2  z 2 ;  = arctg(y/x);  = arcsin(r/R).
Положение произвольной точки М пространства задается тремя
координатами выбранной системы координат:
- в декартовой – координатами x, y, z, краткая запись имеет вид М(x, y, z);
- в цилиндрической – М(r, , z);
- в сферической – М(R, , ).
Для ориентировки в пространстве, указания направления перемещения
для каждой системы координат используются единичные векторы (орты):
- для декартовой – i , j , k ;
- для цилиндрической – r0 ,  0 , z 0 ;
6
а)
б)
z
k
M
k
iy
0
x
i
j
x

z
х

r
M
Цилиндрическая система
координат M(r,,z)
Рис. 11.1
R0
0
0

x
r0
0
j
Декартова система
кoординат M(x,y,z)
в)
0
M
k
k
z
z0
x
0
r
M
R
0
 r M
0
y
Сферическая система
координат M(R,,)
- для сферической – R0 ,  0 ,  0 .
Отметим, что координата  цилиндрической и сферической систем координат отсчитывается против часовой стрелки в горизонтальной плоскости
от основного направления, которое указывается произвольно. В предлагаемом изложении основное направление совмещено с осью Ох прямоугольной
системы координат. Координата  отсчитывается от основного направления
на полюс (от направления оси z в предлагаемом изложении).
11.3. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
Произведение вектора a на скаляр f. Результат умножения – вектор с
модулем, равным fа, параллельный вектору a , направленный в ту же
сторону, что и a , при положительном f и в противоположную – при
отрицательном f.
Составляющие вектора. Пусть a x , a y , a z – геометрические проекции
(компоненты) вектора a на оси прямоугольных координат. Тогда
a = a x + a y + a z = i ·ах + j ·ау + k ·аz.
Числа ах, ау, аz называются составляющими, проекциями, координатами
вектора a относительно соответствующих осей координат.
Сложение векторов. Сумма нескольких векторов определяется следующим образом. Из конца первого вектора проводится второй вектор, из конца
второго – третий и т.д. Вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего является суммой. Векторное сложение записывается в виде:
s = a + b + c + … + p.
Операция сложения векторов коммутативна, то есть a + b = b + a , и
ассоциативна, то есть a + ( b + c ) = ( a + b ) + c .
Составляющая по некоторой оси Ox вектора s суммы векторов a , b ,
… , p равна сумме составляющих этих векторов относительно той же оси:
sх = ах+bх+…+рх.
7
Скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов a и b
– это число, равное произведению трёх величин a, b и соs( a , b ); оно
обозначается a · b . Скалярное произведение коммутативно: a · b = b · a и
дистрибутивно: ( a + b )· c = a · c + b · c . Вопрос об ассоциативности скалярного
произведения отпадает, так как формула ( a · b )· c не имеет смысла.
Следствие 1. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов
равно нулю, то эти векторы ортогональны. Если угол между векторами
тупой, скалярное произведение отрицательно, если угол острый –
положительно.
Следствие 2. Пусть u – единичный вектор некоторой оси хх. Тогда
скалярное произведение любого вектора a на u равно проекции вектора a
на ось хх: a · u = a·соs( a , u ).
Следствие 3. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного вектора на проекцию другого вектора на первый:
a · b = | a |·пра b = | b |·прb a .
Следствие 4. Скалярное произведение вектора на самого себя равно
квадрату модуля этого вектора:
a · a = а2.
Следствие 5. Если i , j , k – орты осей координат, то
i · j = k · i = j · k = 0,
i · i = j · j = k · k = 1.
Следствие 6. Скалярное произведение в декартовых координатах:
a · b = ( i ·ах + j ·ау + k ·аz)·( i ·bх + j ·bу + k ·bz) = ах·bх + ау·bу + аz·bz.
Следствие 7. Выражение для косинуса угла между двумя векторами a
и b через проекции этих векторов:
a xbx  a y by  a z bz
соs( a , b ) =
.
2
2
2
2
2
2
a x  a y  a z  bx  by  bz
Векторное произведение. Векторным произведением двух векторов a и
b называют вектор c , длина которого равна a·b·sin( a , b ) и который
перпендикулярен обоим векторам a и b , причем векторы a , b и c образуют
правую тройку. Векторное произведение обозначают a  b = c или [ a · b ] = c .
Следствие 1. Если векторное произведение двух ненулевых векторов
равно нулю, то эти векторы параллельны.
Модуль вектора c численно равен площади параллелограмма,
построенного на векторах a и b .



i
c = a  b = ax
bx
j
ay
k
a z = i (aybz – azby) + j (azbx – axbz) + k (axby – aybx).
bz
by
8
Следовательно, сx = aybz – azby , сy = azbx – axbz, сz = axby – aybx.
Векторное произведение антикоммутативно, то есть a  b = - b  a .
Векторное произведение не ассоциативно: ( a  b ) c  a ( b  c ).
Векторное произведение дистрибутивно, то есть
( a + b ) c = a  c + b  c .
Следствие 2. Векторные произведения ортов координатных осей равны:
i  j = k , j  k = i , k i = j .
Смешанное произведение трёх векторов. Смешанным произведением
ax a y az
трёх векторов называется скаляр a ·( b  c ) = bx b y bz .
сx с y сz
Смешанное произведение трёх векторов численно равно объёму
параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах.
Следствия. a ·( b  c ) = b ·( c  a ) = c ·( a  b ), a ·( b  c ) = ( a  b )· c .
Двойное векторное произведение трёх векторов. Оно выражается
формулой
a ( b  c ) = ( a · c )· b – ( a · b )· c .
11.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ
Производная вектора. Производная точки. Пусть вектор a является
функцией переменной t: a (t). Дадим переменной t приращение t и
рассмотрим вектор  a = a (t+t) – a (t). Если при t, стремящемся к нулю,
модуль вектора  a стремится к нулю, то a (t) есть непрерывная функция от t.
a
Предел отношения
называется производной вектора a (t) по t и
t
da y
da
da
da
da
обозначается:
или a (t). Она равна
=i x + j
+k z .
dt
dt
dt
dt
dt
Если каждому значению переменной t соответствует точка пространства М, то говорят, что точка М есть функция от t: М(t). Дадим переменной t
приращение t и рассмотрим вектор  M =М(t+t) – М(t). Если при t0
модуль вектора  M стремится к нулю, то М(t) есть непрерывная функция от
M
t. Предел отношения
называется производной точки М(t) по t:
t
dM
M
 lim
.
dt t  0 t
Производная вектора по другому вектору. Производной вектора a по
da da
da
da
вектору b называется вектор
=
bx +
by +
bz.
dz
dy
d b dx
Основные формулы дифференцирования.
9
Производная суммы: пусть s = a + b + c +…+ p ,
тогда s = a + b + c +…+ p .
Производная произведения вектора на число:
пусть b = n· a , тогда b  = n· a .
Если s = n a + m b +…+ g p , то s  = n a + m b +…+ g p .
Производная произведения векторной и скалярной функций:
пусть s (t) = f(t) a (t), тогда s (t) = f(t) a (t) + f (t) a (t).
Производная скалярного произведения:
пусть f(t) = a (t)· b (t), тогда f  = a · b  + a · b .
Производная векторного произведения:
пусть c (t) = a (t) b (t), тогда c  = a  b  + a  b .
Интеграл от вектора:
t1
t1
t1
t1
t0
t0
t0
t0
 a( t )dt = i  a x dt + j  a y dt + k  a z dt .
11.5. СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПОЛЯ. СИМВОЛИЧЕСКИЙ
ОПЕРАТОР НАБЛА (ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА) .
Говорят, что в пространстве задана функция точки (поле) некоторой
величины (скалярной или векторной), если в каждой точке М пространства
(или некоторой его области) и в каждый момент времени определено
значение этой величины. Таким образом, поле может
быть скалярным или векторным. Оно обозначается
f(x)
f = f(М, t) = f(x,y,z,t) = f(r,,z,t) = f(R,,,t)
f(x)
или A = A (М,t) = A (x,y,z,t) = …
М
Математическое выражение производной от
x х
функции одной переменной f(x) (рис. 11.2):
df ( x )
f ( x )
Рис. 11.2
= lim
.
(11.1)
x  0 x
dx
d
Формальный оператор взятия производной
.
(11.2)
__= lim
x  0 x
dx
На пустое место ставится дифференцируемая функция. Таким образом,
математически производной является предел дроби, в знаменателе которой
находится приращение аргумента, а в числителе – приращение функции,
вызванное приращением аргумента, при условии, что приращение аргумента
S стремится к нулю.
z
Пусть теперь требуется продифференцировать
r
некоторую функцию трех координат Ф(x,y,z) в т.М (рис.
М
V
у 11.3). Выделим вокруг т.М некоторый объём V
произвольной
формы,
ограниченный
замкнутой
поверхностью S. М – центр (возможно, центр тяжести)
х
Рис. 11.3
тела V; r – расстояние от т.М до точек поверхности S.
10
Формальный оператор дифференцирования функции по трём
координатам обозначается  и называется «набла». Получим его
конструкцию по аналогии с (11.1) и (11.2).
Приращение значения функции возможно при изменении поверхности
S, а оно вызывается изменением объёма V. Приращение значения функции
определяется поверхностным интегралом от дифференцируемой функции.
Получаем конструкцию первой пространственной производной
 dS Ф
Ф = lim S
.
v 0 V
Здесь dS – вектор, по величине равный площади элементарной
площадки, на которые разбивается поверхность интегрирования и в пределах
которой значение интегрируемой функции Ф может считаться постоянным;
направлен вектор dS по нормали к поверхности S наружу. Таким образом,
формальный оператор дифференцирования
 dS __
_ = lim S
.
v 0
V
Из-за наличия в формуле вектора dS формальный оператор  является
вектором, который в декартовой системе координат записывается как



 = i + j + k . Для других систем координат простого раскрытия
x
z
y
оператора  нет, он рассматривается только как символ дифференцирования
в пространстве.
Возможны три использования оператора :
1) дифференцирование скалярной функции, которое рассматривается
как умножение вектора  на скалярную функцию. Тогда в формуле вектор
dS умножается на эту скалярную функцию. В результате получается
векторная функция;
2) скалярное умножение вектора  на дифференцируемую векторную
функцию. Тогда поверхностный интеграл вычисляется от скалярного
произведения dS и векторной функции. В результате получается скалярная
функция;
3) векторное умножение вектора  на дифференцируемую векторную
функцию. Тогда поверхностный интеграл вычисляется от векторного
произведения dS и векторной функции. В результате получается векторная
функция.
Рассмотрим каждую из этих операций в отдельности.
11.6. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ. ПОВЕРХНОСТЬ
УРОВНЯ. СИЛОВЫЕ ЛИНИИ. СИЛОВАЯ ТРУБКА.
Первая операция с оператором  называется градиентом:
11
grad =  = lim
 dS 
S
.
V
Если представить, что на рис. 11.3 каждой точке поверхности S задали
перемещение по нормали, то grad ответит на вопрос: в каком направлении
и с какой интенсивностью (скоростью) будет происходить перемещение
центра тела М. Чтобы лучше уяснить физический смысл градиента,
рассмотрим две поверхности уровня, следы которых со значениями  1 и  2
приведены на рис. 11.4.
V 0
нормаль
n0
grad = n0 ·d /dn
90
R2
 n0 , l0
M
2
l0
(grad)l = d /dl
R1
1
O
Рис. 11.4
Поверхностью уровня скалярной функции называется геометрическое
место точек, для которых значение функции постоянно. Уравнение этой
поверхности (x, y, z) = const.
Приращение функции на малом расстоянии: d =  2 –  1. На таком
расстоянии кривые  1 и  2 имеют общую точку О для определения радиусов
кривизны R1 и R2. Производная по направлению l0 равна скорости
возрастания функции по этому направлению, т.е. величине d /dl.
Проведем нормаль к поверхности уровня через точку отсчета М.
Отрезок dn определяет кратчайшее расстояние между поверхностями уровня,
а производная d /dn – наибольшую скорость возрастания функции. Эта
наибольшая скорость перпендикулярна поверхности уровня. Вектор
n0 ·d /dn называется градиентом скалярной функции, т.е. grad = n0 ·d /dn.
Вектор gradf полностью описывает поведение функции f в окрестности
рассматриваемой точки M. В частности, самое быстрое изменение f
происходит при перемещении по нормали к поверхности уровня. Это
максимальное изменение определяется по величине и направлению вектором
12
gradf. Градиентом называется наибольшая скорость изменения функции,
взятая в направлении её возрастания.
Раскрытие grad в различных системах координат приведено в
табл. 11.1 в конце раздела.
Кривая, направление которой в каждой точке M совпадает с
направлением вектора gradf, соответствующего этой точке, называется
силовой линией. Пусть dM – вектор любого перемещения точки M по
поверхности уровня. Векторное уравнение силовой
линии: gradf dM = 0. Её скалярные уравнения:
L
f
f
f
dx  dy  dz  0 .
x
y
z
Следовательно, силовые линии представляют
Рис. 11.5
собой ортогональные траектории к поверхностям уровня
(силовые линии перпендикулярны к поверхностям уровня).
Силовая трубка – это поверхность, описанная силовой линией,
перемещающейся вдоль замкнутого контура L (рис. 11.5).
11.7. ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ. ДИВЕРГЕНЦИЯ
ВЕКТОРА.
n
A
Потоком вектора A через
dS  A , n
dS
замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый объем V
(рис. 11.6) называется интеграл
V
O
Ф =  A  dS . Поток вектора A через
S
S
R
незамкнутую площадь выражается
интегралом Ф =  A  dS .
Рис. 11.6
S
Вторая операция с вектором  называется дивергенцией:
 A  dS
div A = · A = lim S
.
V 0
V
· A – скалярное произведение двух векторов  и A . Раскрытие этой
операции для различных систем координат приведено в табл. 11.1 в конце
раздела.
б)
в)
а)
Смысл
скаляра
div A .
Из
формулы
следует, что полный
div A >0
div A <0
div A =0
поток вектора A через
Рис. 11.7
замкнутую поверхность,
ограничивающую бесконечно малый объём dV, равен div A ·dV.
Следовательно, дивергенция, вычисленная в точке векторного поля,
приближённо равна потоку, выходящему из единицы объёма, окружающего
13
эту точку. Отсюда другие названия операции div A – расхождение вектора
A , исток вектора A . Если div A < 0, то точку называют стоком вектора.
Характер поведения силовых линий вектора A (линий, касательные к
которым совпадают с направлением вектора A ) в различных точках
пространства иллюстрируется рис. 11.7. а) - силовые линии расходятся. Это
точка истока. б) - силовые линии непрерывны. в) - силовые линии сходятся.
Это точка стока.
Векторные поля, для которых div A = 0 по всему объему, называются
свободными от истоков или соленоидными.
11.8. РОТОР ВЕКТОРА. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА.
Третья операция с вектором  называется ротором:
 dS  A
rot A =  A = lim S
.
V 0
V
Получим её физический смысл. Пусть к каждой площадке dS
поверхности S приложена некоторая сила F (имеем векторное поле функции
F (x,y,z)). Если сила направлена не радиально (направление вектора F не
проходит через центр М), то возникает вращающий момент. Соотношение
 dS  F  0, следовательно, и rot F  0 означает, что суммарный вращающий
S
момент не равен нулю. Таким образом, rot A даёт информацию о том, в
каком направлении, с какой скоростью и относительно какой оси происходит
вращение выделенного объёма.
Циркуляция вектора A это линейный интеграл по замкнутому контуру
вида ЦА =  A  dl . Контур циркуляции L охватывает поверхность (площадку)
L
S (рис. 11.8).
Положительное направление обхода контура и положительное
направление нормали n к площадке связаны правилом правоходового винта:
n
(rot A )n
направление
обхода контура
касательная
к контуру
dS
A
L
dl
S
 A , dl
Рис. 11.8
14
если смотреть на контур из конца вектора n , контур обходится против
часовой стрелки, как это показано на рис. 11.8.
Проекция вектора rot A на нормаль n может быть найдена по формуле
 dl  A
dЦ А
L
rotn A = lim
=
.
S 0
S
dS
Отсюда получается формула Стокса:
 n  rot A dS =  A  dl = ЦА.
L
S
Термин «ротор» произошёл от латинского roto (вращение). Еще одно
название этой операции – вихрь, а под вихревым понимают вращательное
движение. Формулы для нахождения rotn A в различных системах координат
приведены в табл.11.1 в конце раздела.
11.9. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО.
Пусть S – замкнутая поверхность, ограничивающая объём V, М –
переменная точка объёма V (или на поверхности S), dS – определённый
выше вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S. Пусть f –
скалярная и A – векторная функции точки М. Предполагается, что они
непрерывны вместе со своими первыми производными в любой точке объёма
V и его границы S. Справедливы следующие три формулы, заменяющие
тройной интеграл двойным:
1) формула для градиента
 gradf dV =  f dS ;
V
S
2) формула для дивергенции (теорема Остроградского)  div A dV =  A  dS ;
V
S
 rot A dV =  dS  A .
3) формула для ротора
V
S
Градиент, дивергенция и ротор являются инвариантными, то есть не
зависящими от выбора координатной системы.
d a db
4) grad( a · b ) = a rot b + b rot a +
+
;
db d a
5) div(f a ) = a ·gradf + f div a ;
6) div( a  b ) = b ·rot a – a ·rot b ;
7) rot(f a ) = gradf a + f rot( a );
d a db
8) rot( a  b ) = a div b – b div a +
–
.
db d a
11.10. СКАЛЯРНЫЙ И ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЫ
Для того, чтобы векторное поле A являлось градиентом некоторой
скалярной величины f, необходимо и достаточно обращение в нуль вихря A ,
то есть выполнение равенства rot A = 0.
15
Если rot A = 0, то существует такая скалярная функция  = -f, что
A = -grad . Если при этом функция однозначна, то она называется скалярным потенциалом, а про вектор A говорят, что он равен производной от
скалярного потенциала . Из равенства A = -grad следует:
div A = - 2.
Такое поле векторов A называется потенциальным, ньютоновым или
безвихревым.
Любая векторная функция точки, для которой дивергенция
тождественно равна нулю, может рассматриваться как вихрь некоторого
вектора. Таких функций существует бесконечное множество. Пусть rot b = a
и rot c = a . Тогда rot c – rot b = 0 или rot( c – b ) = 0, то есть c – b = gradf.
Следовательно, вектор c определяется лишь с точностью до градиента
произвольной скалярной функции точки. Это соотношение очевидно, так как
к полю векторов c , для которых rot c = a , можно добавить поле любых
других векторов с нулевым вихрем.
Из бесконечного множества векторов c можно выбрать вектор v ,
дивергенция которого равна нулю: a = rot v и div( v ) = 0. Вектор v
называется векторным потенциалом вектора a , а про вектор a говорят, что
он равен производной от векторного потенциала v .
Вектор, для которого дивергенция равна нулю, называется
соленоидным вектором. Поле векторов с нулевой дивергенцией называется
соленоидным или лапласовым.
11.11. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Любое векторное поле можно рассматривать как наложение
потенциального и соленоидного полей:
a = -gradf + rot v .
11.12. ВТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Приведем часто встречающиеся при решении задач расчета полей
случаи использования вторых пространственных производных, их
символическую запись с помощью оператора набла, раскрытие вторых
производных (при необходимости) в различных системах координат.
1) div(grad) =· = 2.
Раскрытие операции  2 в различных системах координат приведено в
табл. 11.1 в конце раздела.
Операция  2 обозначается  и называется оператор Лапласа
2
2 2
(лапласиан): это скалярный оператор  = 2 + 2 + 2 =· = 2.
x
у
z
2) div(rot A ) = ·[ A ]  0 – это соотношение отражает важное
свойство вихревых полей: вихревое поле не имеет истоков, его силовые
линии замкнуты.
16
3) rot(grad) = []  0 – это соотношение отражает важное
свойство скалярных (потенциальных) полей: скалярные поля безвихревые.
4) rot(rot A ) = [ A ] = grad(div A ) –  2 A .
5) встречающееся тождество div( A ) = (div A ).
11.13. Сведём все вышерассмотренные операции в табл. 11.1.
При использовании лапласиана полезное тождество:
1 
1  2 ( R )
2 
(R
)
.
R
R R 2
R 2 R
11.14. ПОНЯТИЕ О ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ, ПЛОСКОМЕРИДИАННОМ И РАВНОМЕРНОМ ПОЛЯХ
Под плоскопараллельным понимают поле, картина которого
повторяется во всех плоскостях, перпендикулярных какой-либо одной оси
декартовой системы координат или оси z цилиндрической системы
координат, то есть картина поля не зависит от одной координаты (поле
двухпроводной линии).
Под плоскомеридианным понимают поле, картина которого
повторяется во всех меридианных плоскостях, то есть картина поля не
зависит от координаты  цилиндрической или сферической системы
координат. Это поле образуется телами вращения (например, поле диполя).
В равномерном поле напряжённость одинакова во всех точках поля, то
есть величина её не зависит от координат точки (например, поле между
обкладками плоского конденсатора).
17
См. файл «Таблица 11.1»
18