V Международная Жаутыковская олимпиада по математике

IX Международная Жаутыковская олимпиада по математике
Алматы, 2013
16 января 2013 года, 9.00–13.30
Второй день
(Каждая задача оценивается в 7 баллов)
4. Дан квадратный трехчлен p ( x ) с вещественными коэффициентами. Докажите, что
1
существует натуральное n, для которого уравнение p( x) 
не имеет рациональных
n
корней.
5. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF , в котором AB DE , BC EF , CD FA .
Расстояние между прямыми AB и DE равно расстоянию между прямыми BC и EF и
расстоянию между прямыми CD и FA . Докажите, что сумма AD  BE  CF не
превосходит периметра шестиугольника ABCDEF .
6. Таблица 10 10 разбита на 100 единичных квадратиков. Назовем блоком любой квадрат
2  2 , состоящий из четырех единичных квадратиков этой таблицы. Множество С,
состоящее из n блоков, покрывает таблицу (т.е. каждый единичный квадратик таблицы
накрыт некоторым блоком из С), но никакие n 1 блоков из С эту таблицу не покрывают.
Найдите наибольшее возможное значение n.
IX International Zhautykov Olympiad in Mathematics
Almaty, 2013
16 January, 2013, 9.00–13.30
Second day
(Each problem is worth 7 points)
4. A quadratic trinomial p ( x ) with real coefficients is given. Prove that there is a positive
1
integer n such that the equation p( x)  has no rational roots.
n
5. Given convex hexagon ABCDEF with AB DE , BC EF , CD FA . The distance between
the lines AB and DE is equal to the distance between the lines BC and EF and to the distance
between the lines CD and FA . Prove that the sum AD  BE  CF does not exceed the perimeter
of hexagon ABCDEF .
6. A 10 10 table consists of 100 unit cells. A block is a 2  2 square consisting of 4 unit cells
of the table. A set C of n blocks covers the table (i.e. each cell of the table is covered by some
block of C ) but no n 1 blocks of C cover the table. Find the largest possible value of n.