Физика для заочников (контрольные работы).

Министерство науки и образования РФ
Псковский государственный университет
Д.А. Антипин, Н.И. Волокитина, А.Е. Лукин, Т.Н. Михайлусова,
В.В. Однобоков
ФИЗИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов всех форм
обучения технических направлений
Издание второе исправленное
Рекомендовано к изданию кафедрой общей физики Псковского
государственного университета
Псков
Псковский государственный университет
2015
УДК 53
ББК 22.3
О 43
Рекомендовано к изданию кафедрой общей физики Псковского
государственного университета
Рецензенты:
- Ю.М. Смирнов, доктор технических наук, профессор СанктПетербургского государственного политехнического университета;
- А.Н. Верхозин, доктор физико-математических наук, профессор
Псковского государственного университета.
Д.А. Антипин, Н.И. Волокитина, А.Е. Лукин, Т.Н. Михайлусова,
В.В. Однобоков,
О-43 Физика: Методические указания и контрольные задания для студентов
заочной формы обучения всех технических направлений. Издание второе
исправленное. / Под общей редакцией кандидата технических наук, доцента В.В.
Однобокова.- Псков: Псковский государственный университет, 2015.- с.
Методические указания предназначены для студентов очной и заочной
формы обучения всех технических направлений, изучающих общий курс
физики.
ISBN
© Д.А. Антипин, Н.И. Волокитина, А.Е. Лукин,
Т.Н. Михайлусова, В.В. Однобоков, 2015
© Псковский государственный
университет, 2015
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Физика — наука о природе: о строении, свойствах и взаимодействии
составляющих ее материальных тел и полей. Главная цель этой науки — выявить и
объяснить законы природы, которые определяют все физические явления. Физика
основывается на экспериментально установленных фактах. Занимая центральное
место среди других наук в объяснении законов природы, она имеет первостепенное
значение в формировании научного мировоззрения.
Основными задачами курса физики являются:
1. Создание основ теоретической подготовки в области физики, позволяющей
будущим специалистам ориентироваться в потоке научной и технической
информации и обеспечивающей возможность использования новых физических
принципов в тех областях техники, в которых они специализируются.
2. Формирование научного мышления, в частности, правильного понимания
границ применимости различных физических понятий, законов, теорий и умения
оценивать
степень
достоверности
результатов,
полученных
с
помощью
экспериментальных или математических методов исследования.
3. Усвоение основных физических явлений и законов классической и
современной физики, методов физического исследования.
4. Выработка приемов и навыков решения конкретных задач из разных
областей физики, помогающих в дальнейшем решать различного рода задачи.
Цель
настоящего
учебно-методического
пособия
—
оказать
помощь
студентам-заочникам в изучении курса физики.
В пособии даны общие методические указания, контрольные вопросы,
образцы решения задач и некоторые справочные материалы.
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная
работа над учебным материалом. Для облегчения этой работы кафедры физики
3
вузов организуют чтение лекций, практические занятия и лабораторные работы.
Поэтому процесс изучения физики состоит из следующих этапов:
1)проработка установочных и обзорных лекций;
2)самостоятельная работа над учебниками и учебными пособиями;
3) выполнение контрольных работ;
4) прохождение лабораторного практикума;
5) сдача зачетов и экзаменов.
При самостоятельной работе над учебным материалом необходимо:
1) составлять
конспект,
в
котором
записывать
законы
и
формулы,
выражающие эти законы, определения основных физических понятий и сущность
физических явлений и методов исследования;
2) изучать курс физики систематически, так как в противном случае материал
будет усвоен поверхностно;
3) пользоваться каким-то одним учебником или учебным пособием (или
ограниченным числом пособий), чтобы не утрачивалась логическая связь между
отдельными вопросами, по крайней мере внутри какого-то определенного раздела
курса.
Контрольные работы позволяют закрепить теоретический материал курса. В
процессе изучения физики студент должен выполнить четыре контрольные работы.
Решение задач контрольных работ является проверкой степени усвоения студентом
теоретического курса, а рецензии на работу помогают ему доработать и правильно
освоить различные разделы курса физики. Перед выполнением контрольной
работы необходимо внимательно ознакомиться с примерами решения задач по
данной контрольной работе, уравнениями и формулами, а также со справочными
материалами, приведенными в конце методических указаний. Прежде чем
приступить к решению той или иной задачи, необходимо хорошо понять ее
содержание и поставленные вопросы.
Контрольные работы включают следующие разделы физики:
Контрольная работа № 1 — физические основы механики;
Контрольная работа № 2 — электромагнетизм;
4
Контрольная работа № 3 — оптика и строение атома;
Контрольная работа № 4 — молекулярная физика и термодинамика.
Каждая контрольная работа содержит десять вариантов, в каждом варианте –
восемь задач. Выбор своего варианта производится студентом по последней цифре
номера его зачётной книжки. Например, если последняя цифра 5, то он должен
выполнить вариант № 5, т.е. решить задачи 5,15,25,35,45,55,65,75. В таблице
приводятся варианты с номерами задач, входящих в них.
Таблица вариантов
Контрольная работа №1,2,3,4
Вариа
Номер задач
нт
1
1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71
2
2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72
3
3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73
4
4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74
5
5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75
6
6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76
7
7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77
8
8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78
9
9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79
10
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80
При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие
правила:
1) указывать на титульном листе номер контрольной работы, наименование
дисциплины, фамилию и инициалы студента, факультет, номер группы, номер
варианта и ФИО преподавателя;
2) контрольную работу следует выполнять аккуратно, оставляя поля для
замечаний рецензента;
5
3) задачу своего варианта переписывать полностью, а заданные физические
величины выписать отдельно, при этом все числовые величины должны быть
переведены в одну систему единиц;
4) для пояснения решения задачи там, где это нужно, аккуратно сделать
чертеж;
5) решение задачи и используемые формулы должны сопровождаться
пояснениями;
6) в пояснениях к задаче необходимо указывать те основные законы и
формулы, на которых базируется решение данной задачи;
7) при получении расчетной формулы для решения конкретной задачи
приводить ее вывод;
8) задачу рекомендуется решить сначала в общем виде, т. е. только в
буквенных обозначениях, поясняя применяемые при написании формул буквенные
обозначения;
9) вычисления следует проводить с помощью подстановки заданных числовых
величин в расчетную формулу. Все необходимые числовые значения величин
должны быть выражены в СИ (см. справочные материалы);
10) проверить единицы полученных величин по расчетной формуле и тем
самым подтвердить ее правильность;
11) константы физических величин и другие справочные данные выбирать из
таблиц;
12) при вычислениях по возможности использовать микрокалькулятор, в
ответе оставлять три значащие цифры.
13) в контрольной работе следует указывать учебники и учебные пособия,
которые использовались при решении задач.
Контрольные работы, оформленные без соблюдения указанных правил, а
также работы, выполненные не по своему варианту, не засчитываются.
При отсылке работы на повторное рецензирование обязательно представлять
работу с первой рецензией.
6
На экзаменах и зачетах в первую очередь выясняется усвоение основных
теоретических положений программы и умение творчески применять полученные
знания к решению практических задач. Физическая сущность явлений, законов,
процессов должна излагаться четко и достаточно подробно.
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ
1.Физические основы механики
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Кинематика
● Средняя и мгновенная скорости материальной точки
r
,
t
v 
dr
,
dt
v
v 
v
s
,
t
ds
,
dt
где dr - элементарное перемещение точки за промежуток времени dt ; r радиус-вектор точки; r - приращение радиус-вектора за время t ; s - путь,
пройденный материальной точкой за промежуток времени t .
● Среднее и мгновенное ускорения материальной точки
a 
v
,
t
a
dv
.
dt
●Полное ускорение при криволинейном движении
a  a2  an2 ,
a  a  an ,
7
v2
dv
где a 
- тангенциальная составляющая ускорения; an 
- нормальная
R
dt
составляющая ускорения (R – радиус кривизны траектории в данной точке).
● При равнопеременном движении вдоль оси х координата и скорость тела
определяются выражениями
x  x0  v0 t 
at 2
,
2
v  v0  at ,
где v0 – начальная скорость.
● Угловая скорость

d
dt

или

t
(если ω=const)
● Угловое ускорение

d
dt

или

t
(если ε=const).
● Период и частота вращения
T
2

n
;

,
2
где   2 n - циклическая частота вращения, равная угловой скорости.
● Зависимость угла поворота и угловой скорости для равнопеременного
вращательного движения от скорости
   0  0 t 
t2
2
;
  0   t ,
где  0 - начальная угловая скорость, 0 - угол, определяющий начальное
положение материальной точки.
● Связь между линейными и угловыми величинами:
v  R ;
a  R ;
an   2 R ,
где R – расстояние до оси вращения (радиус кривизны траектории).
8
Динамика материальной точки и поступательное движение
твёрдого тела
● Импульс материальной точки
p  mv .
● Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной очки)
F  ma  m
dv dp
.

dt dt
● Сила трения скольжения
Fтр   N ,
где μ- коэффициент трения скольжения; N- сила нормального давления.
● Закон сохранения импульса для замкнутой системы
n
p   mi vi  const ,
i 1
где n- число материальных точек (или тел), входящих в систему.
Работа и энергия
● Элементарная работа, совершаемая постоянной силой F на элементарном
перемещении ds,
dA  Fs ds  Fds cos  ,
где Fs- проекция силы на направление перемещения; α- угол между
направлениями силы и перемещения.
● Работа, совершаемая силой, на пути S
A   Fs ds   F cos  ds .
s
s
● Работа постоянной силы
9
A  Fs cos ,
где угол α – угол между направлением действия силы и направлением
перемещения.
● Мгновенная мощность
N
dA
, или N  F v  Fs v  Fv cos .
dt
● Кинетическая энергия движущегося тела
mv 2
T
.
2
● Связь между силой, действующей на тело в данной точке градиентного или
потенциального (или консервативных сил) поля, и потенциальной энергией
частицы
F   gradП , где
grad 



i
j k
x
y
z ,
i , j , k - единичные векторы координатных осей.
● Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на
высоту h (при h
Rз ),
П  mgh ,
где g- ускорение свободного падения.
● Сила упругости
F  k x ,
где ∆х- абсолютное изменение длины; k- коэффициент упругости.
●Потенциальная энергия упругодеформированного тела
k x 2
П
.
2
● Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)
T  П  E  const .
10
Механика твёрдого тела
● Момент инерции материальной точки
J  mr 2 ,
где m- масса материальной точки; r- расстояние до оси вращения.
●Момент инерции системы материальных точек (тела)
n
J   mi ri 2 ,
i 1
где ri – расстояние от материальной точки массы mi до оси вращения. В случае

непрерывного распределения массы J  r dm .
2
●Теорема Штейнера
J  J 0  md 2 ,
где J0 – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J –
момент инерции относительно произвольной оси, параллельной данной, отстоящей
от первой на расстоянии d ; m- масса тела.
● Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z
J z 2
Tвр 
,
2
где Jz- момент инерции тела относительно оси z; ω- его угловая скорость.
●Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно без скольжения при
одновременном вращении
T
mvc2 J 0 2

,
2
2
где J0 – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; mмасса тела; vc – скорость центра масс тела; ω- угловая скорость тела.
● Момент силы относительно неподвижной точки
M   r  F  ,
где r – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F.
Модуль момента силы
11
M  Fl ,
где l - плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и
осью вращения).
● Работа при вращении тела
dA  M z d ,
где d - угол поворота тела; M z - момент силы относительно оси z.
● Момент импульса
L  r  p .
● Момент импульса твердого тела относительно произвольной оси z
n
Lz   mi vi ri  J z ,
i 1
где ri – расстояние от оси до отдельной частицы тела; mi vi - импульс этой
частицы; Jz – момент инерции тела относительно оси z; ω – его угловая скорость.
● Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела
M
dL
.
dt
● Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела
относительно неподвижной оси z
M z  Jz
d
 J z ,
dt
где ε – угловое ускорение; Jz – момент инерции тела относительно оси z.
● Напряжение при упругой деформации

F
,
S
где F- растягивающая (сжимающая) сила; S – площадь поперечного сечения.
● Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)
  E ,
где E – модуль Юнга, ε – относительное приращение длины стержня  
12
l
.
l0
Тяготение. Элементы теории поля.
● Закон всемирного тяготения
F G
m1m2
,
r2
где F – сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных
точек массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r друг от друга; G –
гравитационная постоянная (G=6.67∙10-11 н∙м2/кг2).
● Сила тяжести
FТ  mg ,
где g – ускорение свободного падения.
● Напряженность поля тяготения
F
,
m
g
где F – сила тяготения, действующая на материальную точку массой m,
помещенную в данную точку поля.
● Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух
материальных точек массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r друг от друга,
П  G
m1m2
.
r
Потенциал поля тяготения

П
,
m
где П – потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в
данную точку поля.
● Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью
g   grad
13
Элементы специальной (частной) теории относительности
● Преобразование Лоренца
x 
x  vt
1
2
,
y  y ,
z  z ,
v
с2
vx
с2 ,
t 
v2
1 2
с
t
где предполагается, что система отсчета К’ движется со скоростью V в
положительном направлении оси х системы отсчета К, причем оси х’ и х
совпадают, а оси y’ и y и z’ и z параллельны; с- скорость распространения света в
вакууме.
● Релятивистское замедление хода часов

 
1
2
,
v
с2
где τ – промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный
движущимися вместе с телом часами;   – промежуток времени между теми же
событиями, отсчитанный в системе отсчета, относительно которой со скоростью v
движется система, в которой произошло событие.
● Релятивистское (лоренцево) сокращение длины
l  l0 1 
v2
,
с2
где l0 - длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой
стержень покоится (собственная длина); l - длина стержня, измеренная в системе
отсчета, относительно которой он движется со скоростью v .
● Релятивистский закон сложения скоростей
ux 
ux  v
,
vux
1 2
с
14
где предполагается, что система отсчета К’ движется со скоростью v в
положительном направлении оси х системы отсчета К, причем оси х ’ и х
совпадают, а оси y’ и y и z’ и z параллельны.
● Интервал s12 между событиями (инвариантная величина)
s122  с 2t122  l122  inv ,
где t12 - промежуток времени между событиями 1 и 2; l12 - расстояние между
точками, где произошли события.
● Релятивистский импульс
mv
p
1
2
,
v
с2
● Основной закон релятивистской динамики
F
dp
,
dt
где p - релятивистский импульс частицы.
● Полная энергия релятивистской частицы
E
mc 2
1
2
.
v
c2
● Кинетическая энергия
Т = Е – Е0
● Энергия покоя частицы
E0  mc 2
● Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
Pc  T (T  2mc 2 ) .
E 2  m2c 4  p 2c 2 ,
15
Механические колебания
● Уравнение гармонических колебаний
х = А cos (ω0t + φ0),
где s – смещение колеблющейся величины от положения равновесия; Α –
амплитуда колебаний; ω0 = 2π/T = 2πν – круговая (циклическая) частота;
ν = 1/T – частота; T – период колебаний; (ω0t+φ0) – фаза колебаний; φ0 –
начальная фаза.
● Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания,
v
dx

  A0 sin(0t  0 )  A0 cos(0t  0  ) ;
dt
2
d 2x
a  2   A0 cos(0t  0 )  0 2 x .
dt
● Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m
mv 2 mA2o2
T

sin 2 (0t  0 )
2
2
● Потенциальная энергия
mA2o2
П
cos 2 (0t  0 )
2
● Полная энергия
mA2o2
E
.
2
● Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной
точки массой m
mx  kx , или x  02 x  0 ,
где k – коэффициент упругости (k = ω02m).
● Период колебаний пружинного маятника
16
T  2
m
,
k
где m – масса пружинного маятника; k - жесткость пружины.
● Период колебаний физического маятника
T  2
l
J
 2 пр ,
mgl
g
где Ј – момент инерции маятника относительно оси колебаний;
l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника;
lпр 
J
– приведенная длина физического маятника; g – ускорение свободного
ml
падения.
● Период колебаний математического маятника
l
,
g
T  2
где l – длина маятника.
● Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний
линейной системы и его решение:
d 2x
dx

2

 02 x  0 ;
2
dt
dt
x  A0et cos(t  0 ) ,
где х – колеблющаяся величина, описывающая физический процесс;
 – коэффициент затухания (  

r
в случае механических колебаний и
2m
R
в случае электромагнитных колебаний); ω0 – циклическая частота
2L
свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы;
   02   2 -
частота
затухающих
колебаний;
затухающих колебаний.
● Декремент колебания
А(t )
 e t ,
A(t  T )
17
A0e t –
амплитуда
где А(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний,
соответствующих моментам времени, отличающимся на период.
● Логарифмический декремент колебания
  ln
A(t )
T 1
 T   ,
A(t  T )
 N
где τ = 1/  – время релаксации; N – число колебаний, совершаемых за время
уменьшения амплитуды в е раз.
● Добротность колебательной системы
Q
 0
.

 2
● Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение
для установившихся колебаний:
d 2x
dx

2

 02 x  x0 cos t ,
2
dt
dt
x  A cos(t  0 ) ,
где х– колеблющаяся величина, описывающая физический процесс
( x0 
F0
m
в
случае
механических
x0 
колебаний,
Um
L
электромагнитных колебаний);
A
x0
(02   2 )2  4 2 2
;   arktg
20
.
02   2
● Резонансная частота и резонансная амплитуда
 рез  02  2 2 ; Aрез 
x0
2   
2
0
2
● Сдвиг фаз между напряжением и силой тока
tg 
L 
R
1
C .
Упругие волны
● Связь длины волны λ, периода Τ колебаний и частоты ν
  vфT ;
18
vф  v ,
.
в
случае
где vф - скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость).
● Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного
направления оси х,
 ( x, t )  A cos(t  kx  0 ) ,
где  ( x, t ) - смещение точек среды с координатой х в момент времени t; Аамплитуда волны; ω- циклическая (круговая) частота; k 
2


2 
 - волновое
vфt vф
число (λ- длина волны; vф - фазовая скорость; Т- период колебаний); 0 - начальная
фаза колебаний.
● Связь между разностью фаз  и разностью хода 
  2


.
● Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн


 max  2m ;  min  (2m  1) ,
2
2
где m=1,2,3….. .
● Фазовая скорость vф и групповая u, а также связь между ними
vф 

k
; u
dv
d
; u  vф   ф .
dk
d
 Уравнение стоячей волны
 ( x, t )  2 A cos(
2

x)cos t  2 A cos(kx)cos t .
● Координаты пучностей и узлов

1

xп  m ; xy    m  
2
2 2

(m  0,1,2,3....) .
● Эффект Доплера в акустике

(vф  vпр )v0
vф  vист
19
,
где ν – частота звука, воспринимаемая движущимся приемником; ν0 – частота
звука, посылаемая источником; vпр – скорость движения приемника; vист –
скорость движения источника; vф - скорость распространения звука. Верхний знак
берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение,
нижний знак – в случае их взаимного удаления.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача
1.
Движение
материальной
точки
задано
уравнением
x  5t  0,2t 2  0,1t 3 (м). Определить скорость точки в моменты времени t1=2 с и t2=4
с, а также среднюю скорость в интервале времени от t1 до t2.
Решение:
Точка прямолинейно движется вдоль оси OX. Модуль мгновенной скорости в
этом случае
V  dx
dt
 5  0, 4t  0,3t 2 (м/с).
Найдем V1 и V2:
V1  5  0, 4t  0,3t12 ,
V2  5  0, 4t2  0,3t22 ,
V1  7 м/с;
V2  11, 4 м/с.
Средняя скорость
V 
x x2  x1

t t2  t1
где x1  5t1  0, 2t12  0,1t13 (м),
x1  5t2  0, 2t22  0,1t23 (м)
V  9 м/с.
Ответ: V1=7 м/с, V2=11,4 м/с,
 V  9
м/с
20
Задача 2. Тело массой
m2
кг движется по вертикальной стене. Сила
действует под углом  = 300 к вертикали. Коэффициент трения
величину силы

F1 ,
  0,1 .

F1
Найти
если ускорение тела направлено вверх и равно a = 2 м/с2.
Решение:
y

F1


N
x

mg

FTp
На тело действуют четыре силы: сила
опоры

N
и сила трения

FTP .

F1 ,
сила тяжести

mg ,
сила реакции
Покажем эти силы на рисунке.
Запишем II закон Ньютона в виде
 
  
ma  F1  mg  N  FTP .
(1)
Ось OY направим вертикально вверх, ось OX – перпендикулярно стене. В
проекциях на оси координат уравнение (1) примет вид
OХ: 0  N  F1 sin 
(2)
OY: ma  F1 cos   mg  FTP .
(3)
Сила трения скольжения
FTP  N .
(4)
Используя (2) и (4), перепишем (3):
ma  F1 cos   mg  F1 sin  .
Отсюда
F1 
m(a  g )
,
cos    cos 
F1  30 Н.
21
Ответ: F1  30 Н.
Задача 3. Частица массой m1, имеющая скорость V2, налетела на покоящийся
шар массой m2
и отскочила от него со скоростью U1 под прямым углом к
направлению первоначального движения. Какова скорость U2 шара после
соударения? Считать удар центральным.
Решение:
Используя закон сохранения импульса, получим



m1V1  m1U 1  m2U 2 .
На рисунке покажем импульсы тел.

m1U1

mV1

mV1

m2U 2
Модуль импульса шара найдём, используя теорему Пифагора:


m 2U 2  m12 V12  U 12  m1 V12  U 12 ,
отсюда U 2 
Ответ: U 2 
m1
V12  U 12 .
m2
m1
V12  U 12 .
m2
Решение:
Задача 4. Шар массой M висит на нити длиной l. В шар попадает
горизонтально летящая пуля и застревает в нём. С какой скоростью V0 должна
лететь пуля, чтобы в результате попадания пули шар мог сделать на нити полный
оборот в вертикальной плоскости? Размерами шара пренебречь. В верхней точке
сила натяжения нити равна нулю. Масса пули m.
22

(m  M ) g
R=l
l
l

mV0

(m  M )V
x
Обозначим: V – скорость шара с пулей сразу после неупругого соударения, U –
скорость шара с пулей в верхней точке.
В проекциях на ось OX закон сохранения импульса имеет вид
mV0 = (m + M) V.
(1)
Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии, совпадающий с
осью OX .
В нижнем положении шар с пулей обладает только кинетической энергией
(m  M )V 2
(m  M )U 2
; в верхней точке  кинетической
и потенциальной (m+M)gh
2
2
энергиями, где h = 2R =2l.
Закон сохранения механической энергии запишем в виде
(m  M )V 2 (m  M )U 2

 (m  M ) gh .
2
2
(2)
После преобразований
V 2  U 2  4 gh .
(2)
В верхней точке на шар с пулей действует сила тяжести, по условию задачи
сила натяжения нити равна нулю. Используем II закон Ньютона:
(m  M )a n  (m  M ) g ,
где a n 
(3)
U2 U2

.
R
l
Из уравнения (1) выразим V0:
23
V0 
mM
V
m
.
(4)
Из уравнения (3)
U 2  gl.
(5)
Подставив (5) в (2), получим
V  5gl.
Найдем V0 , вернувшись к (4)
V0 
Ответ: V0 
mM
m
mM
m
5 gl .
5 gl .
Задача 5. По наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом,
скатывается без скольжения 1) сплошной однородный диск, 2) шар. Определить
линейное ускорение их центров. Предварительно вывести общую формулу.
Решение:
Тело участвует в сложном движении:
1)поступательно движется вниз по наклонной плоскости;
2) вращается вокруг оси, проходящей через центр тяжести.
На рисунке покажем силы, действующие на тело.
y

N

FТр

x


mg
Для поступательного движения запишем II закон Ньютона в проекциях на ось
OX.
ma  mg sin   FTP .
(1)
24
Для вращательного движения используем закон
J  M ,
где J - момент инерции,  
(2)
a a
 - угловое ускорение.
R R
Момент силы M создает сила трения, плечо которой равно R, две другие силы
не создают вращающего момента.
M  FTP R .
Перепишем (2):
J
a
 FTP R .
R
Выразим силу трения из (3) и подставим в (1):
ma  mg sin  
J
a.
R2
Отсюда
a
g sin 
.
J
1
mR 2
(4)
Зная моменты инерции диска и шара
J диска 
2
mR 2
, J шара  mR 2
2
5
найдем ускорения диска и шара
a диска 
a шара 
g sin  2
 g sin  ,
1
3
1
2
g sin  5
 g sin  .
2
7
1
5
2
3
5
7
Ответ: a диска  g sin  , a шара  g sin  .
Задача 6. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями
V1  0,5с и V2  0,75с . Найти их относительную скорость.
Решение:
25
Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности,
V/ 
V1  V2
,
V1V2
1 2
c
где V1 , V2
-скорости первой и второй частицы; U / - их
относительная скорость: с- скорость света в вакууме.
V/ 
0,5c  0, 75c
 0,91c
0,5c  0, 75c
1
c2
Это означает, что, во первых, ни в какой инерциальной системе отсчёта
скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во вторых, скорость
распространения света в вакууме абсолютна.
Ответ: V / = 0,91С.
Задача 7. Математический маятник длиной l1=40 см и физический маятник в
виде тонкого прямого стержня длиной l2=60 см синхронно колеблются около
одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние a центра масс стержня
от оси колебаний.
Решение:
При синхронном колебательном движении маятников их периоды равны T1  T2 ,
где T1  2
l1
,
g
T2  2
J
.
mga
Отсюда
l1 
J
.
ma
(1)
Момент инерции физического маятника определяется по теореме Штейнера:
ml22
J  J 0  ma 
 ma 2 .
12
x1  5t1  0, 2t12  0,1t13 (2)
2
Подставив (2) в (1), получим квадратное уравнение
12a 2  12l1a  l 22  0.
(3)
Из (3) найдем два корня: a1=10 см, a2=30 см.
26
Таким образом, при одном и том же периоде колебаний физического маятника
возможны два варианта расположения оси.
Величину (1) называют приведенной длиной физического маятника.
Ответ: a1=10 см, a2=30 см.
Задача 8. К пружине подвешен груз массой 10кг . Зная, что пружина под
влиянием силы 2, 45H
растягивается на 1,5см , определить период вертикальных
колебаний груза.
Решение
Период колебаний груза на пружине T  2
m
, где
k
жесткости пружины. Учитывая, что F  k x , находим k 
k
F
x
- коэффициент
и, подставив,
mx
10кг 1,5 102 м
получим T  2
 2  3.14
 1,5с .
F
2, 45Н
Ответ: T  1,5с .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
1. Движение точки по окружности радиусом R = 200 см задано уравнением
S = 2t3 (м). В какой момент времени нормальная составляющая ускорения an точки
будет равна ее тангенциальной составляющей aτ? Определить полное ускорение а в
этот момент.
2. Движение точки в плоскости XY задано уравнениями X = 2t–0,5t3 (м), Y = 2t
– t2 (м). Определить скорость точки V к концу второй секунды.
3. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В некоторый
момент времени нормальная составляющая ускорения an = 4,0 м/с2, а векторы
27
полного и нормального ускорений образуют угол α = 600. Найти скорость и
тангенциальную составляющую ускорения точки.
4. Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано уравнением S = 10
+ t2 – 2t. Найти тангенциальное aτ, нормальное an и полное а ускорения точки в
момент времени t = 2 с.
5. Движение материальной точки задано уравнением Х = 4t -0,05t2. Определить
момент времени, в который скорость точки равна нулю. Найти координату и
ускорение точки в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути,
скорости и ускорения этого движения от времени.
6. Путь, пройденный телом, задан уравнением S = 2t – t2 + t3 (м). Найти
среднюю скорость тела в интервале от 1 до 5 с.
7. Путь, пройденный телом, задан уравнением S = 2 + 12t -6t2 + 4t3 (см). Найти
среднее ускорение тела в интервале от 1 до 4 с.
8. Путь, пройденный точкой по окружности радиусом R = 7 см, задан
уравнением S = 4 + 2t + 0,5t2 (см). Определить полное ускорение a точки к концу
пятой секунды.
9. Частота маховика уменьшалась с n0 = 10 об/с до n = 6 об/с. За время
торможения он сделал N = 50 оборотов. Определить угловое ускорение маховика 
и продолжительность торможения t.
10. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Угол поворота задан уравнением
φ = 6t -2t3. Найти угловое ускорение тела  в момент его остановки.
11. Наклонная плоскость, образующая с горизонтом угол α = 30 0, имеет длину
L = 167 см. За какое время тело соскользнет с нее, если коэффициент трения тела о
плоскость μ = 0,2?
12. Автомобиль массой m = 2,5 т поднимается в гору (α = 300) ускоренно и за
время t = 5 мин проходит путь S = 9 км. Начальная скорость автомобиля V0 = 1 м/с,
а коэффициент трения μ = 0,1. Какова сила тяги мотора автомобиля F?
13. Брусок соскальзывает с наклонной плоскости, образующей с горизонтом
угол α = 300. Каково ускорение бруска, если коэффициент трения его о поверхность
плоскости μ = 0,4?
28
14. За какое время тяжелое тело спустится с вершины наклонной плоскости,
высота которой h = 2 м, угол наклона α = 450? Предельный угол, при котором тело
находится в покое, для этой плоскости равен αпр = 300.
15. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол α = 300. Ее длина
L = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за
время t = 2 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость μ.
16. Тело скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом
угол α = 300. Ее длина L = 2 м, коэффициент трения тела о плоскость μ = 0,2.
Какова скорость тела в конце наклонной плоскости, если его начальная скорость V0
= 0?
17. Тело скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом
угол α = 300. Зависимость пройденного телом расстояния S от времени t дается
уравнением S = ct2, где с = 1,5 м/с2. Найти коэффициент трения тела о плоскость μ.
18. На наклонной плоскости длиной L = 13 м и высотой h = 5 м лежит груз
массой m = 26 кг. Коэффициент трения груза о плоскость μ = 0,5. Какую силу F
надо приложить к грузу: а) чтобы втащить груз; б) чтобы стащить груз?
19. Мальчик тянет по горизонтальной дороге санки с грузом. С каким
ускорением a движутся санки, если сила тяги F = 200 Н, а веревка образует с
горизонтом угол α = 450? Масса санок m = 50 кг. Коэффициент трения полозьев
санок μ = 0,1.
20. Два связанных груза массами m1 = 3 кг и m2 = 5 кг лежат на
горизонтальном столе, шнур разрывается при натяжении Т = 24 Н. Какую
максимальную силу F можно приложить к грузу массой m1? Коэффициент трения
принять равным μ = 0,2.
21 .Тело массой m = 2,0 кг падает с высоты h = 20 м из состояния покоя и в
момент удара о землю имеет скорость V = 15 м/с. Определить работу силы
сопротивления и силу сопротивления, считая её постоянной.
22. Какой путь s пройдут санки по горизонтальной поверхности после спуска с
горы высотой h = 1,5 м и уклоном α = 450? Коэффициент трения
μ = 0,2.

F
29

23. Ящик тянут равномерно за верёвку. Сила F направлена под углом α = 300.
Определить работу, которую при этом совершают. Масса ящика m = 100 кг,
коэффициент трения μ = 0,33, путь S = 50 м.
24. Поезд из состояния покоя за время τ = 5 мин развивает скорость
V = 64,8 км/ч. Масса поезда m = 600 т, коэффициент трения μ = 0,04. Найти
среднюю
мощность,
развиваемую
локомотивом,
если
его
движение
равноускоренное.
25. Какую среднюю мощность развивает автомобиль при подъеме в гору?
Начальная скорость автомобиля V0= 36 км/ч, его конечная скорость
VК= 21 ,6 км/ч, коэффициент трения μ = 0,1, высота горы h = 12 м, длина
склона горы L= 80 м, масса автомобиля m = 41О3 кг.
26. Какую нужно совершить работу A, чтобы пружину жесткостью
k = 800 Н/м, сжатую на x1 = 6 см, дополнительно сжать на ∆х2 = 8 см?
27. Санки скатываются с горки высотой h = 8 м по склону длиной L = 100 м.
Масса санок с седоком m = 60 кг. Какова сила сопротивления движению санок,
если в конце спуска они имели скорость V = 11 м/с?
28. Вагонетку массой m = 100 кг поднимают по рельсам в гору с ускорением a
= 0,2 м/с2. Коэффициент трения колес вагонетки о рельсы
μ = 0,1, длина склона горы L = 50 м, угол наклона α = 300. Какова работа A
силы тяги?
29. Самолет для взлета должен иметь скорость V = 80 км/ч. Длина разбега S =
150 м. Какова мощность моторов при взлете, если масса самолета
m = 1000 кг, коэффициент трения колес шасси о землю μ = 0,02?
30. На горизонтальном участке пути длиной S = 2 км скорость поезда возросла
с V1 = 36 до V2 = 72 км/ч. Определить работу и среднюю мощность тепловоза, если
масса поезда m = 103 т, а коэффициент трения  = 0,001.
31. В подвешенный на нити длиной L = 1,8 м деревянный шар массой
m1 = 8 кг попадает горизонтально летящая пуля массой m2 = 4 г. С какой
скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась
от вертикали на угол α = 30?
30
32. Грузы массами m1 = 10 кг и m2 = 15 кг подвешены на нитях длиной
L = 2 м так, что они соприкасается между собой. Меньший груз был отклонен
на угол α = 600 и отпущен. На какую высоту поднимутся грузы после неупругого
удара?
33. Шар массой m1 = 3 кг движется со скоростью V1 = 2 м/с и сталкивается с
покоящимся шаром массой m2 = 5 кг. Удар абсолютно неупругий. Какая работа
совершается при деформации шаров?
34. Шары массами m1 = 2 кг и m2 = 3 кг двигаются навстречу друг другу со
скоростями V1 = 8 м/с, V2 = 4 м/с. Найти работу деформации шаров при их
абсолютно неупругом столкновении.
35. Пуля попадает в ящик с песком и застревает в нем. На сколько сожмется
пружина жесткостью k, удерживающая ящик, если пуля имеет массу m и движется
со скоростью V, а масса ящика с песком М? Поверхность гладкая.
36. От удара груза массой M = 50 кг, падающего свободно с высоты
h = 4 м, свая массой m = 150 кг погружается в грунт на глубину
S=10 см. Определить силу сопротивления грунта, считая ее постоянной, а удар
абсолютно неупругим.
37. Вагон массой 20 т, движущийся по горизонтальному пути со скоростью 2
м/с, догоняет вагон массой 40 т, движущийся со скоростью
1 м/с, и сцепляется с ним. Найти изменение механической энергии системы двух
вагонов.
38. Два шара подвешены на тонких параллельных нитях и касаются друг
друга. Меньший шар отводят на 900 от первоначального положения и отпускают.
После удара шары поднялись на одинаковую высоту. Определить массу меньшего
шара, если масса большего 0,6 кг, а удар абсолютно упругий.
39. Два упругих шарика, массы которых m1 = 100 г и m2 = 300 г, подвешены на
одинаковых нитях длиной l = 50 см и касаются друг друга. Первый шарик
отклонили от положения равновесия на угол  = 900 и отпустили. На какую высоту
поднимется второй шарик после абсолютно упругого удара?
31
40. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что
они соприкасаются. Масса первого шара m1 = 0,2 кг, масса второго
m2 = 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр поднимается на высоту h =
4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если
удар абсолютно неупругий?
41. Через блок в виде однородного сплошного диска, имеющего массу
m = 500 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы
массами m1 = 100 г и m2 = 120 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если
их предоставить самим себе? Трением на оси блока пренебречь.
42. Вал массой m = 100 кг и радиусом R = 5 см вращается с частотой
ν = 8 с-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой
F = 40 Н, под действием которой вал остановился через время τ = 10 с. Определить
момент и коэффициент силы трения.
43. За какое время t скатится без скольжения обруч с наклонной плоскости
длиной l = 2 м и высотой h = 10 см?
44. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси,
проходящей через его центр. Зависимость угла поворота от времени имеет вид φ =
А + Bt2 + Сt3 , где В = 4 рад/с2, С = - 1 рад/с3. Найти закон изменения момента сил,
действующего на шар. Определить момент сил спустя время
τ = 2 с после начала движения шара.
45. Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой m = 40 г
вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с2 вокруг горизонтальной оси,
проходящей перпендикулярно стержню: 1) через его середину, 2) через один из его
концов. Определить вращающий момент для этих случаев.
46. Два тела массами m1 = 0,25 кг и m2 = 0,15 кг связаны тонкой нитью,
перекинутой через блок. Блок укреплен на краю горизонтального стола, по
поверхности которого скользит тело массой m1. С каким ускорением движутся
тела? Коэффициент трения тела массой m1 о поверхность стола
32
μ = 0,3. Масса блока m0 = 0,1 кг, и ее можно считать равномерно
распределенной по объему блока. Массой нити и трением в подшипниках оси
блока пренебречь.
47. Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам
которого подвесили грузы массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,5 кг. Определить силы
натяжения шнура Т1 и Т2 по обе стороны блока во время движения грузов, если
масса блока равномерно распределена по ободу.
48. Маховик в виде однородного диска массой m = 100 кг и радиусом
R = 40 см вращался с частотой n = 480 об/мин. Определить момент тормозящей
силы, если после начала действия этой силы маховик остановился через время τ =
80 с.
49. На шкив радиусом R = 10 см намотана нить, к концу которой привязан груз
массой m = 2 кг. Груз опускается со скоростью, меняющейся по закону V = 2 – 8 t
(м/с). Найти момент инерции шкива относительно оси вращения. Трением
пренебречь.
50. Однородный сплошной цилиндр массой m0 = 5 кг и радиусом
R = 20 см может без трения вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси.
На цилиндр намотан тонкий нерастяжимый шнур, к которому прикреплён груз
массой m1 = 3 кг. Найти угловое ускорение цилиндра и расстояние, пройденное
грузом массой m1 за первые две секунды движения.
5l. При какой относительной скорости движения сокращение длины быстро
движущегося тела составляет 25%?
52.
Во
сколько
раз
увеличится
продолжительность
существования
нестабильной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она будет
двигаться со скоростью, составляющей 99% скорости света?
53. Два встречных пучка электронов имеют относительно камеры ускорителя
скорости, равные половине скорости света. Найти скорость одного пучка
относительно другого.
54. Ракета движется относительно неподвижного наблюдателя на Земле со
скоростью 0,99с. Найти, как изменятся линейные размеры тел (по линии движения)
33
и плотность вещества в ракете для неподвижного наблюдателя; какое время
пройдет по часам неподвижного наблюдателя, если по часам, движущимся вместе
с ракетой, прошел один год.
55. Тело движется со скоростью 2·103 м/с. Во сколько раз при этом
увеличится плотность тела с точки зрения неподвижного наблюдателя?
56. Найти скорость частицы, если ее кинетическая энергия составляет
половину энергии покоя.
57. Найти скорость космической частицы, если ее полная энергия в К раз
превышает энергию покоя.
58. Найти соотношение между полной энергией частицы Е, ее энергией покоя
Е0 и импульсом.
59. Солнце излучает ежеминутно энергию Е = 2,4  1028 Дж. Считая излучение
Солнца стационарным, найти, за какое время масса Солнца уменьшится вдвое.
60. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные
размеры уменьшились в два раза?
61. Точка совершает гармонические колебания по закону x=Asinωt. В некоторый
момент времени ее смещение равно 5 см. При увеличении фазы вдвое смещение
стало 8 см. Найти амплитуду колебаний.
62.Определить максимальное ускорение amax материальной точки, совершающей
гармонические колебания с амплитудой A=25 см, если наибольшая скорость точки
Vmax=0,5 м/с. Записать также уравнение колебаний.
63. На стержне длиной l = 30 см и массой m = 1 кг, закреплены два одинаковых
грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Эта система
может свободно вращаться около горизонтальной оси, проходящей через
свободный конец стержня. Определять период собственных колебаний T этого
физического маятника.
34
64. Диск радиусом R = 20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной
оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно его плоскости.
Определить частоту  собственных колебаний этого физического маятника.
65. Однородный стержень массой m и длиной l может свободно вращаться вокруг
горизонтальной
оси,
проходящей
через
его
конец.
Определить
частоту
собственных колебаний стержня.
66. Однородный стержень массой m, длиной l может свободно вращаться вокруг
горизонтальной оси, проходящей на расстоянии l/4 от одного из его концов.
Определить период колебаний этого физического маятника.
67. На горизонтальном столе лежит шар массой 200 г, прикрепленный к
горизонтально расположенной пружине жесткостью 500 Н/м. В шар попадает пуля
массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 300 м/с, и застревает в нем.
Определить амплитуду и период колебаний шара. Перемещением шара во время
удара, сопротивлением воздуха и трением между поверхностью шара и стола
пренебречь.
68. Однородный стержень массой 0,5 кг и длиной l м может свободно вращаться
вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В
противоположный конец стержня попадает пуля массой 10 г, летящая
горизонтально со скоростью 300 м/с, и застревает в нем. Определить амплитуду и
период колебаний стержня.
69. Однородный стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси,
проходящей на расстоянии 1/4 от одного из его концов. В противоположный конец
попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью
200 м/с, и застревает в нем. Определить амплитуду и период колебаний стержня.
Масса стержня 0,5 кг, длина 1 м.
70. Лифт, в котором колеблется математический маятник, опускается с ускорением
a = 3 м/с2. Определить период колебаний T маятника. Его длина равна 1м.
71. Груз, подвешенный на длинном резиновом жгуте, совершает колебания с
периодом T . Во сколько раз изменится период, если отрезать 3м длины жгута и на
оставшуюся часть повесить тот же груз?
35
72. За время 10с амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в 10 раз. За какое
время амплитуда уменьшится в 100 раз?
73. Добротность некоторой колебательной системы Q  2 , частота затухающих
колебаний   100 рад с . Найти собственную частоту колебаний 0 системы.
74. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси x около положения
равновесия x  0 . Частота колебаний   4, 0 рад с . Определить, в какой момент
времени после прохождения положения равновесия частица будет иметь
координату x  25см и скорость vx  100 см с .
75. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени её
смещение составляет 5см. При увеличении фазы вдвое смещение точки достигло
8см. Найти амплитуду колебаний.
76. Материальная точка массой 5г совершает гармонические колебания с частотой
0,5Гц. Амплитуда колебаний – 3см. Определить скорость, ускорение и силу,
действующую на точку в момент, когда смещение достигнет 1,5см.
77. Тело, массой 0,8кг, связано с двумя пружинами жёсткостью k  2000 Н м . Какой
будет амплитуда колебаний тела, если сообщить ему начальную скорость 2 м с .
78. Определить период колебаний стержня длиной 30см около горизонтальной оси,
перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.
79. Найти максимальную кинетическую энергию материальной точки массой 2г,
совершающей гармонические колебания с амплитудой 4см и частотой 5Гц.
80. Определить частоту гармонических колебаний диска радиусом 20см около
горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно
его плоскости.
36
2. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Электрическое поле в вакууме и веществе
● Сила Кулона
F
1
4 0

q1 q2
,
r2
где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 в вакууме; r –
расстояние между зарядами; ε0 – электрическая постоянная, равная
8,85•10-12 Ф/м.
● Напряженность и потенциал электростатического поля
E
F
П
A
;   , или    ,
q
q
q
где F – сила действующая на точечный заряд q, помещенный в данную точку
поля; П – потенциальная энергия заряда q; А∞ - работа перемещения заряда q из
данной точки поля на бесконечность.
● Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда q
на расстоянии r от заряда
E
1
q
1 q
; 
.
2
4 0 r
4 0 r
● Поток вектора напряженности через площадку dS
dФE  E  dS  En  dS ,
где dS  dS  n - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с
нормалью n к площадке.
● Поток вектора напряженности через произвольную поверхность S
ФE   E  dS   En dS .
S
S
● Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей
37
n
n
i 1
i 1
E   Ei ;   i ,
где Ei , i - соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого
зарядом qi .
● Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля
E   grad .
● Электрический момент диполя (дипольный момент)
P  q l,
где l - расстояние между зарядами, образующими диполь.
● Линейная, поверхностная и объемная плотность зарядов

dq
dq
dq
,
; 
; 
dl
dS
dV
т.е. соответственно заряд, приходящийся на единицу длины, поверхности и
объема.
● Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
ФE   EdS   En dS 
S
где
S
1
0
n
1
 q     dV ,
i 1
i
0 V
n
 q - алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой
i 1
i
поверхности S, n – число зарядов, ρ – объемная плотность зарядов.
● Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль
замкнутого контура
 Edl   E dl  0 ,
l
где El - проекция вектора E на направление элементарного перемещения dl .
Интегрирование производиться по любому замкнутому пути γ.
● Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении
заряда q из точки 1 в точку 2
38
2
2
1
1
A12 q (1  2 ) , или A12  q  Edl  q  El dl .
● Поляризованность
P
P
i
i
,
V
где V- объем диэлектрика; Pi - дипольный момент i-й молекулы.
● Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью
электрического поля
P  æε0 E ,
где æ – диэлектрическая восприимчивость вещества.
● Связь диэлектрической проницаемости ε с диэлектрической
восприимчивостью æ
ε=1+æ .
● Связь между напряженность Е поля в диэлектрике и напряженностью Е0
внешнего поля
E  E0 
P
0
, или E 
E0

.
● Связь между векторами электрического смещения и напряженностью
электростатического поля
D   0 E .
● Связь между D, E и P
D  0E  P .
● Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике
ФD 
n
 DdS   D dS   q ,
n
S
где
S
i 1
i
n
 q - алгебраическая сумма зарядов заключенных внутри замкнутой
i 1
i
поверхности S; Dn - проекция вектора D на нормаль n к площадке dS ; dS  dS  n 39
вектор, модуль которого равен dS , а направление совпадает с нормалью n к
площадке. Интегрирование ведется по всей поверхности.
●Электроемкость уединенного проводника
C
q

,
где q – заряд, сообщенный проводнику; φ – потенциал проводника.
● Емкость плоского конденсатора
C
 0 S
d
,
где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между
пластинами.
● Емкость цилиндрического конденсатора
C
2 0l
,
ln(r2 / r1 )
где l - длина обкладок конденсатора; r1 и r2 – радиусы полых коаксиальных
цилиндров.
● Емкость сферического конденсатора
C  4 0
r1r2
,
r2  r1
где r1 и r2 – радиусы концентрических сфер.
● Емкость системы конденсаторов при последовательном и параллельном
соединении соответственно
n
1
1

C i 1 Ci
n
и
C   Ci ,
i 1
где Ci - емкость i -го конденсатора; n- число конденсаторов.
● Энергия уединенного заряженного проводника
C 2 q q 2
W


2
2 2C
● Энергия взаимодействия системы точечных зарядов
40
W
1 n
 qii ,
2 i 1
где  i - потенциал, создаваемый в точке, где находится заряд qi , всеми
зарядами, кроме i -го.
● Энергия заряженного конденсатора
C ( )2 q q 2
,


2
2
2C
W
где q- заряд конденсатора; С – его ёмкость;  - разность потенциалов между
обкладками.
● Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками
конденсатора
F 
q2
2 0 S
 2 S  0 E 2 S
.

2 0
2

● Энергия электростатического поля плоского конденсатора
W
 0 E 2
2
Sd 
 0 SU 2
2d

 0 E 2
2
V,
где S – площадь одной пластины; U – разность потенциалов между
пластинами; V  Sd - объём конденсатора.
● Объёмная плотность энергии
w
 0 E 2
2

ED
,
2
где D – электрическое смещение.
Постоянный электрический ток
● Сила и плотность электрического тока
I
dq
,
dt
j
I
,
S
где S – площадь поперечного сечения проводника.
● Плотность тока в проводнике
41
j  ne v ,
где v - средняя скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике
(дрейфовая скорость); n – концентрация зарядов, е - заряд электрона.
● Электродвижущая сила, действующая в замкнутой цепи,
  Aq
ст
,
0
где q0 - единичный положительный заряд; Асm – работа сторонних сил.
● Сопротивление R однородного линейного проводника, проводимость G
проводника и удельная электрическая проводимость  вещества проводника
R
l
S
; G
1
1
;  ,
R

где ρ – удельное электрическое сопротивление; S – площадь поперечного
сечения проводника; l - его длина.
● Сопротивление проводника при последовательном и параллельном
соединении соответственно
n
n
1
1

,
R i 1 Ri
R   Ri ,
i 1
где Ri - сопротивление i-го проводника; n – число проводников.
● Зависимость удельного сопротивления ρ от температуры
  0 (1   t o ) ,
где α- температурный коэффициент сопротивления; ρ0 – удельное
сопротивление при 0о с.
● Закон Ома:
Для однородного участка цепи
I
U
;
R
для неоднородного участка цепи
I  (1  2 
42
12 ) / R ;
для замкнутой цепи
I
,
R
где U – напряжение на участке цепи; R – сопротивление цепи (участка цепи),
( 1  2 ) – разность потенциалов на концах участка цепи; ε12- Э.Д.С. источников
тока, входящих в участок; ε- Э.Д.С. всех источников тока цепи.
● Закон Ома в дифференциальной форме
j E,
где Е- напряженностью электростатического поля.
● Работа тока за время t
U2
A  IUt  I Rt 
t.
R
2
● Мощность тока
U2
P  UI  I R 
,
R
2
● Закон Джоуля-Ленца
Q  I 2 Rt  IUt ,
где Q – количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t.
● Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
w  jE   E 2 ,
uде w - удельная тепловая мощность тока.
Магнитное поле
● Силовое действие магнитного поля на движущуюся заряженную частицу и
проводник с током
dFA  I dl  B  ,
Fл  q v  B  ,
43
где Fл – сила, действующая на заряд q, движущийся в магнитном поле со
скоростью v , dFA – сила, действующая на элемент длины dl проводника с током I,
помещенный в магнитное поле с индукцией B .
● Формула Лоренца
F  qE  q v  B  ,
где F – результирующая сила, действующая на движущийся заряд q, если на
него действуют электрическое поле напряженностью E и магнитное поле
индукцией B .
● Связь магнитной индукции B и напряженности H магнитного поля
B  0 H ,
где µ0 = 4π∙10-7 Гн/м – магнитная постоянная; µ - магнитная проницаемость
среды.
● Закон Био – Савара – Лапласа
0 I  dl  r 
dB 

,
4
r3
где dB – магнитная индукция поля, создаваемая элементом длины
dl проводника с током I; r – радиус-вектор, проведенный от dI к точке, в которой
определяется магнитная индукция.
● Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей
B   Bi
i
где B – магнитная индукция результирующего поля; Bi – магнитные
индукции складываемых полей.
● Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым
проводником с током,
B
0 2 I
 ,
4 R
где R – расстояние от оси проводника.
● Магнитная индукция в центре кругового проводника с током
44
B  0
I
,
2R
где R – радиус кривизны проводника.
●
Сила
взаимодействия
двух
прямых
бесконечных
прямолинейных
параллельных проводников с токами I1 и I2
dF 
0 2 I1I 2

dl ,
4
R
где R – расстояние между проводниками; dl – отрезок проводника.
●
Магнитное
поле
точечного
заряда
свободно
q,
движущегося
с
нерелятивистской скоростью V,
B
0 q v  r 
,

4
r3
где r – радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения.
● Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции
вектора B )
n
 Bdl   B dl    I
l
L
0
L
i 1
i
,
где µ0 – магнитная постоянная; dl – вектор элементарной длины контура,
направленной вдоль обхода контура; Bl  B cos  – составляющая вектора B в
направлении касательной контура L произвольной формы (с учетом выбранного
направления обхода); α – угол между векторами B и dl ;
n
I
i 1
i
- алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.
● Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего N
витков,
B
0 NI
l
,
где l - длина соленоида.
● Магнитная индукция поля внутри тороида (в вакууме)
45
B
0 NI
.
2 r
● Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в
однородное магнитное поле,
M   pm  B  ,
где В – магнитная индукция; pm – магнитный момент контура с током:
pm  ISn ,
где S – площадь контура с током; n – единичный вектор нормали к
поверхности контура.
● Энергия магнитного момента в магнитном поле
Wp   pB .
● Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через площадку dS
dФB  BdS  Bn dS ,
где dS  dSn – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с
нормалью n к площадке; Bn – проекция вектора B на направление нормали к
площадке.
● Поток вектора магнитной индукции сквозь произвольную поверхность S
ФB 
 BdS   B dS .
n
S
S
● Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
dA = I d Φ,
где d Φ – магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.
● Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле
dA =I d Φ',
где d Φ' – изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.
Электромагнитная индукция
● Закон электромагнитной индукции (Фарадея)
46
i   dФ ,
dt
где
i
- э.д.с. индукции, возникающее в замкнутом контуре, при изменении
магнитного потока, пересекающего поверхность этого контура.
● Потокосцепление
  NФ ,
где N – количество контуров (витков).
● Закон электромагнитной индукции (Фарадея) для произвольной системы
проводников (катушка)
i   d  .
dt
● Магнитный поток, создаваемый током i в контуре с индуктивностью L,
Φ = Li.
● Э.д.с. самоиндукции
 s   L dI ,
dt
где L – индуктивность контура.
● Индуктивность соленоида (тороида)
N 2S
,
L  0
l
где N число витков соленоида; l – его длина.
● Токи при размыкании и при замыкании цепи

t

t
I  I 0e ; I  I 0 (1  e ) ,


где τ = L / R – время релаксации (L – индуктивность; R – сопротивление).
● Э.д.с. взаимной индукции (э.д.с., индуцируемая изменением силы тока
в соседнем контуре)
  L
1,2
dI
,
dt
где L12 – взаимная индуктивность контуров.
47
● Взаимная индуктивность двух катушек (с числом витков N1 и N2),
намотанных на общий тороидальный сердечник,
L12  L21  0
N1 N 2
S,
l
где µ - магнитная проницаемость сердечника; l – длина сердечника по средней
линии; S – площадь сердечника.
● Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре
Индуктивностью L, по которому течет ток I,
LI 2
W
.
2
● Объемная плотность энергии однородного магнитного поля

BH
.
2
 Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом Т собсвенных колебаний в контуре без активного сопротивления и индуктивностью L и
емкостью контура С,
Т = 2 π LC .
● Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний
заряда в контуре и его решение:
q
1
q  0;
LC
q  qm cos(0t   ) ,
где qm - амплитуда колебаний заряда; 0 
1
- собственная частота контура.
LC
Магнитные свойства вещества
● Связь орбитального магнитного pm и орбитального механического Ll
моментов электрона
48
pm   gLl  
где g 
e
Ll ,
2m
e
– гиромагнитное отношение орбитальных моментов.
2m
● Намагниченность
J
Pm
p
 a ,
V
V
где Pm   pa – магнитный момент магнетика, равный векторной сумме
магнитных моментов отдельных молекул.
● Связь между намагниченностью и напряженностью магнитного поля
J  H ,
где χ – магнитная восприимчивость вещества.
● Связь между векторами B, H , J
B  0 ( H  J ) ,
где μ0 – магнитная постоянная.
● Связь между магнитной проницаемостью и магнитной восприимчивостью вещества
μ = 1 + χ.
● Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции
вектора B )
 Bdl   B dl   (I  I ) ,
l
0
где dl – вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода
контура; Bl – составляющая вектора B в направлении касательной контура γ
произвольной формы; I и I' – соответственно алгебраические суммы макротоков
(токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых
заданным контуром.
● Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля
 Hdl  I
49
,
где I – алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром γ.
Электромагнитные волны
● Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде
1
vф 
где с=
1
 0 0
1
 0 0 

c

,
- скорость распространения света в вакууме; ε0 и μ0 –
соответственно электрическая и магнитная постоянные; ε и μ – соответственно
электрическая и магнитная проницаемости среды.
● Связь между мгновенными значениями напряженностей электрического (Е)
и магнитного (Н) полей электромагнитной волны
 0 E  0 H ,
где Е и Н
- соответственно мгновенные значения напряженностей
электрического и магнитного полей волны.
● Уравнения плоской электромагнитной волны
E  E0 cos(t  kx   ) ; H  H 0 cos(t  kx   ) ,
где E0 и H 0 – соответственно амплитуды напряженностей электрического и
магнитного полей волны; ω – круговая частота; k 

vф
– волновое число;
φ – начальные фазы колебаний в точках с координатой x = 0.
● Объемная плотность энергии электромагнитного поля
w
 0 E 2
2

0 H 2
2
.
● Плотность потока электромагнитной энергии – вектор Умова-Пойтинга S
S   E  H  .
50
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Нить в форме полуокружности заряжена равномерно с линейной
.
плотностью
С
помощью
принципа
суперпозиции
найдите
значение
напряженности и потенциала в центре соответствующей окружности.
Решение:
Рассмотрим элемент нити dl, несущий заряд dq=dl. К нему применимы
формулы, определяющие поле точечного заряда, т. е.
d  k
dq
dq
dl
dl
k
и dE  k 2  k 2 .
R
R
R
R
Так как каждый элемент в силу симметрии формы нити имеет симметричный
участок (см. рисунок) вектор напряженности поля которого симметричен вектору
относительно указанной на рисунке оси симметрии, то суммарная
напряженность поля будет направлена по
оси симметрии и равна сумме проекций
dE
векторов d E на эту ось (проекции на
перпендикулярное к этой оси направление
взаимно компенсируются).
В соответствии с формулами E   Ei ,
i
   i получим значение потенциала поля
i
нити:
R
R

   d  k  dl  k   R  k .
0
R
0
R
Для нахождения напряженности потребуется взять в качестве переменной
интегрирования не элемент длины, а элементарный угол d:
dEx  k
dl sin   dl  R  d   k Rd sin   k  sin   d ,
2
R
R
тогда
51
R
 /2
 /2





Ex  2  k
 sin   d  2  k (  cos 0 )  2  k (cos 0  cos )  2  k .
R
R
0
R
2
R
Полученные значения относятся лишь к одному частному случаю (к
единственной точке – центру).
Ответ:   k , E x  2  k

R
.
Задача 2. Протон, движущийся со скоростью v0=100 км/с, влетает в
электрическое поле с напряженностью Е=50 В/м в направлении, противоположном
направлению силовых линий поля. Какую разность потенциалов пройдет протон до
полной остановки? Через сколько микросекунд скорость протона станет равной
q
нулю? Отношение заряда протона к его массе равно =108 Кл/кг.
m
Решение:
Протон – частица, несущая положительный заряд. Со стороны электрического
поля на нее действует сила в направлении силовых линий. В данном случае эта
сила направлена противоположно скорости
частицы, поэтому скорость протона будет
уменьшаться по мере его движения в поле до
нуля,
а
затем
начнется
движение
в
противоположном начальному направлении. В
этом усматривается аналогия с движением тела,
брошенного вверх в поле тяготения Земли.
рис. 3
Электростатическое поле, как и гравитационное,
потенциально: заряженная частица обладает в этом поле потенциальной энергией.
При движении протона в электростатическом поле на него не действуют
непотенциальные силы, поэтому выполняется закон сохранения полной
механической энергии. Отсюда следует, что в положениях 1 и 2 суммы
кинетической и потенциальной энергии протона равны между собой:
E1  E2 ,
52
2
mv0 2
m v0
 q1  0  q 2   2  1  
.
2
q 2
А искомая разность потенциалов равна
2
v
1   2   m  0 .
q 2
Знак «–» означает, что протон движется в сторону большего потенциала.
Рассмотренное выше рассуждение широко применяется при использовании
понятия ускоряющей разности потенциалов.
Заметим, что физический смысл имеет не само значение потенциала, а
разность потенциалов между двумя точками, что и отражено в приведенных выше
рассуждениях. А значение потенциала в некоторой точке определяется, в
соответствии с этим, лишь относительно другой точки, выбранной в качестве
нулевой (значение потенциала в которой условно принимается равным нулю).
Для ответа на второй вопрос задачи рассмотрим равнозамедленное движение
протона под действием электрической силы F  qE . По второму закону Ньютона
для протона ускорение равно
qE
.
m
Зависимость модуля скорости от времени при равнозамедленном движении
a
имеет вид
v(t )  v0  at ,
тогда v  0 при t 
v0
. Подставляя выражение для ускорения, получаем
a
искомое время:
t
v0
q
m
.
E
Вычисления:
1   2  10 кл
8
кг

10 5 м
2
с  5  1012 В.
10 5 м
v0
с
t q  8
 2  10 5 с  20 мкс.
10 кл  50 В
m E
кг
м
Ответ: 1   2  5 1012 В. , t  20 мкс. .
53
Задача 3. Батарею из двух конденсаторов ёмкостью 400 и 500 пФ. Соединили
последовательно и включили в сеть с напряжением 220 В. Потом батарею
отключили от сети, конденсаторы разъединили и соединили параллельно
обкладками, имеющими одноимённые заряды. Каким будет напряжение на
зажимах полученной батареи.
Решение:
У последовательно соединённых конденсаторов заряды на обкладках равны
по модулю Q1  Q2  Q и заряд батареи равен заряду одного конденсатора. Ёмкость
батареи последовательно соединённых конденсаторов определяется по формуле
n
1
1
  . Для батареи из двух конденсаторов
C i 1 Ci
Q  CU1 
C
C1  C 2
, а их заряд
C1  C 2
C1  C 2  U 1
.
C1  C 2
(1)
При отключении конденсаторов от сети их заряд сохраняется. У параллельно
соединённых конденсаторов заряд батареи равен сумме зарядов конденсаторов
Q /  Q1  Q2 , а ёмкость – сумме емкостей C /  C1  C 2 .
Напряжение на зажимах батареи из двух параллельно соединённых
конденсаторов
U2 
Q / Q1  Q2
2Q
.


C C1  C 2 C1  C 2
(2)
Подставляя (1) в (2), получаем
U2 
U2 
2C1C 2U 1
(C1  C 2 ) 2
2  4  5  10 20 Ф 2  220 В
 108,6 В.
9 2  10 20 Ф 2
Ответ: U 2  108,6 В.
Задача 4. Сила тока в проводнике сопротивлением R=10 Ом за время t=50 с
равномерно возрастает от I1=5 А до I2=10 А. Определите: 1) заряд, протекший через
54
поперечное сечение проводника за указанное время; 2) количество теплоты,
выделившееся за это время в проводнике.
Решение:
Из кинематики известно, что в случае равномерного возрастания скорости
(равноускоренное движение) средняя на участке скорость равна среднему
арифметическому от значений скорости в начале и в конце рассматриваемого
участка движения. По аналогии найдем в данном случае среднее значение силы
тока:
I1  I 2 15

 7,5 (А).
2
2
Тогда также, как, зная среднюю скорость, находится весь пройденный путь,
суммарный прошедший через поперечное сечение заряд будет равен
I ср 
q  I ср  t  7,5  50  375 (Кл).
Будем теперь искать количество теплоты, выделившееся за это время в
проводнике.
Прежде всего, найдем искомое значение в соответствии с законом
ДжоуляЛенца:
t2
t2
Q   I (t ) Rdt  R   I 2 (t )dt ,
2
t1
t1
Нетрудно видеть, что сила тока меняется по закону
I (t )  I1 
I 2  I1
 t  5  0,1t .
t
Подставляем и вычисляем
55
50
Q  10   (5  0,1t ) 2 dt  10  (25t 
0
t2
t3
 0,01 ) =29,17 (кДж).
2
3
Ответ: Q=29,17кДж.
Задача 5.
По круговому витку радиуса r=0,1 м циркулирует ток силы
I=1 А. Найдите магнитную индукцию В: а) в центре витка; б) на оси витка на
расстоянии b=0,1 м от его центра.
Решение:
а) Магнитная индукция элементарного поля в центре витка по закону БиоСавара-Лапласа равна
dB 


0 I d l  r
,
4
r3
т.е. вектор d B перпендикулярен плоскости рисунка (см. рис. а) и численно
равен
dB 
0 I  dl  r  sin 90 0 0 I

  dl .
4
4 r 2
r3
Учитывая, что все элементы тока на круговом витке одинаково расположены
по отношению к центру витка, получим
B   dB 
L
0 I
 I
 I
 2  dl  0  2  2r  0  .
4 r L
4 r
2 r
56
B
4  3,14  10 7 Гн
2
м  1 А  6,3 мкТл.
0,1 м
б) Магнитная индукция элементарного поля на оси витка по закону БиоСавара-Лапласа равна
d Bi 
 0 I [d l  r ]
.
4
r3
Отсюда ясно (по определению векторного произведения), что вектор d Bi
перпендикулярен плоскости, образованной векторами d l и r1 , т.е. для каждого
элемента тока вдоль витка d Bi имеет свое направление. Совокупность векторов
d Bi образует коническую поверхность, ось которой совпадает с осью витка
(рис.б)). Векторная сумма всех d Bi с учетом симметрии будет направлена по оси
витка и численно равна сумме проекций отдельных d Bi на эту ось:
dB||  dB  sin  
0 I
 I
r 
I r
 2  dl sin   0  2  dl   0 
 dl .
3
4 r1
4 r1
r1 4
2
2 2
(r  b )
Учитывая, что все элементы тока на круговом витке равноценно расположены
по отношению к центру витка, получим

B   dB||  0 
4
L
B
Ir
(r
2
3
 b2 ) 2
0
dl



4

L
4  3,14  10 7 Гн
2
м
Ir
(r
2
3
 2r 
 b2 ) 2
1 А  (0,1 м) 2
3
((0,1м) 2  (0,1м) 2 ) 2
0
2
Ir 2

(r
2
3
.
 b2 ) 2
 2,2 мкТл.
Ответ: а) В=6,3 мкТл, в) В=2,2 мкТл.
Задача 6. Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода движется вокруг
ядра по круговой орбите радиусом r=52,8 пм. Определите магнитную индукцию В
поля, создаваемого электроном в центре круговой орбиты.
57
Решение:
Будем находить величину магнитной индукции поля, созданного движущимся
электрическим зарядом, исходя из формулы
B
0 q v  r 

4
r3
В скалярном виде для движущегося электрона в вакууме
B
0 eV
,

4 r 2
где скорость движения электрона найдем из второго закона Ньютона, считая,
что центростремительное ускорение электрону сообщает кулоновская сила его
взаимодействия с положительно заряженным ядром:
e2
V2
k
k 2  me
 V  e
,
r
r  me
r
тогда искомая величина равна
0 e2
B

4 r 2
B
4  10  7 (1,6  10 19 )2

4
(52,8  10 12 )2
k
.
r  me
9  10 9
=12,568 (Тл).
52,8  10 12  9,1  10  31
58
Ответ: В=12,568 Тл.
Задача 7. Тонкий медный проводник массой 1 г согнут в виде квадрата и
концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле (В=0,1 Тл)
так, что плоскость его перпендикулярна линиям индукции поля. Определите
количество электричества q,
которое протечет по проводнику, если квадрат,
потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.
Решение:
При вытягивании квадрата в линию меняется магнитный поток сквозь
ограниченную им площадь с начальной величины
Ф1  В  a 2 ,
где a 2 – площадь квадрата со стороной а, до нуля. При этом по закону
электромагнитной индукции в замкнутом контуре возникает ЭДС индукции,
среднее значение которой равно
Ф
.
t
E
где t - время вытягивания квадрата в линию. Получаем:
E
Ba 2
.
t
Далее по закону Ома в контуре возникнет ток, среднее значение которого
равно
I 
E
,
R
где R – сопротивление проводника квадрата, которое найдем, зная материал и
размеры линейного проводника:
R  R
4a
,
S
где 4а – периметр квадрата, S – площадь поперечного сечения проводника,  R
- удельное сопротивление меди.
59
Наконец, исходя из определения силы тока, найдем суммарный заряд,
прошедший по проводнику:
Q  I  t .
Осталось связать линейные размеры квадрата и площадь поперечного сечения
проводника с массой меди и ее плотностью  m :
m  mV  m 4a  S  S 
m
.
 m 4a
Получаем:
Q  I  t  E 
S
Ba2
1
m
1
Bm
 t 


 t  
.
 R 4a
t  R 4a  m 4a
16  R   m
Вычислим
1
0,1  103
Q

 0,041 (Кл)
16 1,7  108  8,93  103
Ответ: Q=0,041 Кл.
Задача 8. На длинный картонный каркас диаметром d=5 см уложена
однослойная обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром d1=0,2 мм.
Определите магнитный поток Ф, создаваемый таким соленоидом при силе тока
I=0,5 А
Решение:
Так как по условию картонный каркас – длинный, то будем считать
применимой формулу магнитной индукции бесконечно длинного соленоида
B  0
Плотность намотки, т. е. число
N
I.
l
N
витков, укладывающихся на единице длины
l
соленоида, выражается через диаметр провода обмотки:
N l / d1 1

 .
l
l
d1
60
Тогда
B 
0 I
d1
.
Далее, учитывая однородность поля внутри соленоида, воспользуемся
определением магнитного потока:
Ô B   B  d S  B  dS  BS 
S
S
 0 I d 2
d1

4

4  3,13  0,5 À 3,14  (5  10 2 ì ) 2

 2  10 6 Вб.
3
4
0,2  10
Ответ: Ф=2 мкВб
Задача 9. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна.
Амплитуда напряженности магнитного поля волны 0,1 А/м. Определить энергию,
переносимую этой волной через поверхность площадью 1 м 2, расположенную
перпендикулярно направлению распространения волны, за время t = 1 с. Период
волны T<< t.
Решение:
Плотность потока энергии электромагнитной волны определяется вектором
Пойнтинга:
P   E  H  , где
E
и H – векторы напряженности электромагнитного и
магнитного полей. Учитывая, что векторы E
и H
электромагнитной волны
взаимно перпендикулярны, для модуля вектора p получим
p = EH.
Так как величины E и H в каждой точке волны меняются со временем по
гармоническому закону, находясь в одинаковых фазах, то мгновенное значение p
равно
p = Em
61
Энергия, переносимая через площадку S, перпендикулярную направлению
распространения волны, в единицу времени,
Учитывая, что в электромагнитной волне
найдем:
Em = Hm
Тогда
выражение
(*)
принимает
вид
Энергия, переносимая волной за время t, равна
W=
По условию T<< t, поэтому
; тогда
W=
Подставляя числовые значения, получим
W=
(0,1 А/м)2 1 м2 1 с = 1,88 Дж
Ответ: W = 1,88 Дж.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
1. Тонкий стержень длиной 30 см несет равномерно распределенный по длине
заряд с линейной плотностью 1 мкКл/м. На расстоянии 20 см от стержня находится
точечный заряд 10-2 мкКл. Заряд равноудален от концов стержня. Определить силу
взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.
62
2.
Найти
напряженность
поля,
созданного
двумя
параллельными
бесконечными заряженными плоскостями с поверхностной плотностью: а) σ 1 =
+0,4 мКл/м2, σ2 = +0,1 мКл/м2; б) σ1 = +0,4 мКл/м2, σ2 = - 0,1 мКл/м2.
3. Электрическое поле создано: а) сферической поверхностью радиуса R с
поверхностной плотностью заряда σ; б) сферой радиуса R, заряженной с объемной
плотностью ρ. Найти напряженность поля на расстоянии r от поверхности сферы в
трех случаях: r > R, r = R, r < R.
4. Положительные заряды 4 мкКл и 0,4 мкКл находятся в вакууме на
расстоянии 1,5 м друг от друга. Определить работу, которую надо совершить,
чтобы а) сблизить заряды до 1 м; б) удалить их на бесконечность.
5. Заряд q равномерно распределен по кольцу радиуса R. Найти потенциал
относительно бесконечности на оси кольца как функцию расстояния h от центра
кольца. Найти напряженность поля как функцию h.
6. Два одинаковых металлических шарика имеют положительные заряды
1,6710
–9
и 6,6710
–9
Кл и расположены на расстоянии 10 см друг от друга.
Изменится ли сила взаимодействия после того, как их на короткое время
соединить? Какой заряд будет на каждом шаре после соединения? Сколько
электронов перешло при соприкосновении от одного шарика к другому?
7. Отрицательный точечный заряд –5q и положительный +2q закреплены на
расстоянии r друг от друга. Где следует поместить положительный заряд Q, чтобы
он находился в равновесии?
8. Проводящий шарик, несущий заряд 1,810 –8 Кл, привели в соприкосновение
с двумя такими же шариками, один из которых имел
заряд
-0,310
–8
Кл, а другой был не заряжен. Как распределился заряд между
шариками? С какой силой будут взаимодействовать два из них в вакууме на
расстоянии 5 см?
9. Заряды 40 и –10 нКл расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Какой
надо взять третий заряд и где его надо поместить, чтобы система находилась в
равновесии? Будет ли равновесие устойчивым или неустойчивым?
10. В однородном электрическом поле, вектор напряженности которого
направлен вертикально вверх, находится в равновесии пылинка массой 0,03 г и
зарядом 3 пКл. Определите напряженность поля.
63
11. Вокруг точечного заряда 5 нКл по окружности радиусом 3 см
с угловой скоростью 5 рад/с вращается маленький отрицательно заряженный
шарик. Найдите отношение заряда шарика к его массе (в мкКл/кг).
12. Определите разность потенциалов электрического поля между точками 1 и
2, если известно, что электрон, двигаясь в этом электрическом поле в отсутствии
других сил, в точке 1 имел скорость 109 см/с, а в точке 2 – скорость 2109 см/с. Чему
была бы равна скорость электрона в точке 2, если бы в точке 1 электрон имел
нулевую скорость.
13.В электронной лампе электроны «ускоряются разностью потенциалов» 220
В. Чему равна скорость электронов при попадании их на анод?
14. Электрон, летящий со скоростью v0 , попадает в однородное поле
заряженного конденсатора и вылетает из него под углом
. Найдите
напряженность поля конденсатора, зная длину l конденсатора, массу и заряд
электрона.
15. Какую скорость приобретает частица массой 0,1 г с зарядом 4 мкКл за 1
мин, двигаясь в однородном электростатическом поле с напряженностью 1000 В/м?
Силу тяжести не учитывать.
16. Электростатическое
поле
создается
положительно заряженной
бесконечной нитью. Протон, двигаясь от нити под действием поля вдоль линии
напряженности с расстояния r1= 1 см до r2= 5 см, изменил свою скорость от 1 до
10 Мм/с. Определите линейную плотность заряда нити.
17. На какое расстояние (в см) был перемещен заряд 70 мкКл вдоль линии
напряженности однородного электрического поля, если при этом полем была
совершена работа 1,4 мДж? Напряженность поля равна 200 В/м.
18. Два одинаковых отрицательных точечных заряда 100 нКл с массой 0,3 г
движутся по окружности радиусом 10 см вокруг положительного заряда 100 нКл.
При этом отрицательные заряды находятся на концах одного диаметра. Найдите
угловую скорость вращения зарядов.
19. Полый шарик с зарядом q  8нКл движется в горизонтальном однородном
электрическом поле напряжённостью 500к В м из состояния покоя. Траектория
шарика образует с вертикалью угол в 450 . Чему равна масса шарика?
20. При переносе точечного заряда q=10 нКл из бесконечности в точку,
находящуюся на расстоянии r=20 см от поверхности равномерно заряженного
шара, необходимо совершить работу A=0,5 мкДж. Радиус шара
R=4 см.
64
Найдите потенциал  на поверхности шара и плотность распределения заряда.
Потенциал на бесконечности принять равным нулю.
21. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого 400 см 2,
заполнен двумя слоями диэлектрика. Граница между ними параллельна обкладкам.
Первый слой-прессшпан (ε1 = 2) толщиной 0,2 см; второй слой-стекло (ε2 = 7)
толщиной 0,3 см. Конденсатор заряжен до разности потенциалов 600 В. Найти
энергию конденсатора.
22.Чему равна емкость (в мкФ) конденсатора, если при увеличении его заряда
на 30 мкКл разность потенциалов между пластинами увеличивается на 10 В?
23. Плоский воздушный конденсатор емкостью 1 мкФ соединили с
источником тока, в результате чего он приобрел заряд 10 мкКл. Расстояние между
пластинами конденсатора 5 мм. Определите напряженность поля
(в кВ/м)
внутри конденсатора.
24. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 2 см.
Пластины заряжены до разности потенциалов 100 В. Чему будет равна разность
потенциалов между пластинами, если, не изменяя заряда, расстояние между ними
увеличить до 8 см?
25. Одну пластину незаряженного конденсатора, обладающего емкостью
1
нФ, заземляют, а другую присоединяют длинным тонким проводом к удаленному
проводящему шару радиусом 20 см, имеющему заряд 92 мкКл. Какой заряд (в
мкКл) останется на шаре?
26. Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 0,01 Кл. Обкладки
конденсатора соединили проводником. Найдите количество теплоты,
выделившееся в проводнике при разрядке конденсатора.
27. Плоский воздушный конденсатор заполнили керосином, зарядили,
сообщив ему энергию 210-5Дж, и отключили от источника тока. Определите, какая
энергия (в мкДж) будет запасена в конденсаторе, если из него слить керосин.
28. Стеклянная пластина целиком заполняет зазор между обкладками плоского
конденсатора, емкость которого в отсутствии пластинки равна
2мкФ.
Конденсатор зарядили от источника с ЭДС 1000В, после чего отключили от
источника. Найдите механическую работу, которую необходимо совершить против
электрических сил, чтобы извлечь пластину из конденсатора.
29. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность
потенциалов 500 В. Площадь пластин 200см2, расстояние между ними
1,5мм.
65
Пластины раздвинули до расстояния 15мм. Найдите энергии конденсатора до и
после раздвижения пластин, если источник тока перед раздвижением: 1)
отключался; 2) не отключался.
30. Плоский воздушный конденсатор емкостью 10 пФ заряжен до разности
потенциалов 500В. После отключения конденсатора от источника напряжения
расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в
3 раза.
Определите: 1) разность потенциалов на пластинах конденсатора после их
раздвижения; 2) работу сил по раздвижению пластин.
31. Аккумуляторная батарея, замкнутая на реостат сопротивлением
20 Ом, создает в нем ток 1,170 А. При увеличении сопротивления в 3 раза ток
уменьшается до 0,397 А. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление источника,
а также силу тока короткого замыкания.
32. В сеть с напряжением 100 В подключили резистор с сопротивлением
2
кОм и вольтметр, соединенные последовательно. Вольтметр показывает
80 В.
Когда резистор заменили другим, вольтметр показал 60 В. Определите
сопротивление другого резистора.
33. Какую допускают относительную ошибку в измерении ЭДС источника,
если показание вольтметра, присоединенного к его полюсам, принимают за ЭДС?
Внутреннее сопротивление источника тока равно 0,9 Ом, сопротивление
вольтметра 200 Ом.
34. При коротком замыкании выводов аккумулятора сила тока в цепи 12 А . При
подключении к выводам аккумулятора электрической лампы с сопротивлением
5 Ом сила тока в цепи составила 2 А . Определить внутреннее сопротивление
аккумулятора.
35. Участок электрической цепи состоит из двух последовательно
соединённых кусков медного провода одинаковой длины сечением S1  2, 4 мм 2 и
S 2  3, 6 мм 2 . Найти отношение мощностей
P1
P2
.
36. Два резистора сопротивлением 10 Ом и 14 Ом соединены параллельно. За
некоторое время на обоих резисторах выделилась суммарная энергия в 120 Дж.
Какое количество теплоты выделилось на втором резисторе?
37. Амперметр с внутренним сопротивлением 2 Ом, подключенный к зажимам
источника, показывает ток 5 А. Если к зажимам этого источника подключить
вольтметр с внутренним сопротивлением 150 Ом, то он покажет напряжение 12 В.
Чему равен ток короткого замыкания?
66
38. ЭДС источника равна 24 В, сопротивление внешней цепи 10 Ом, падение
потенциала внутри источника 4 В. Определите: 1) напряжение на зажимах
источника; 2) внутреннее сопротивление источника; 3) мощность, потребляемую
внешней цепью.
39. Электрический чайник имеет 2 обмотки. При включении одной из них вода
в чайнике закипает через 15 мин, при включении другой – через
30 мин. Через
какое время закипит вода в чайнике, если включить 2 обмотки: 1) последовательно;
2) параллельно.
40. ЭДС источника составляет 12 В. Наибольшая сила тока, обеспечиваемая
источником, равна 6 А. Определите максимальную мощность, которая может
выделиться во внешней цепи такого источника и его максимальный КПД.
41. Определите магнитную индукцию в центре кругового проволочного витка
радиусом R=10 см, по которому течет ток I =1 А.
42. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка с магнитным
моментом pm =1,5 Ам2 равна 150 А/м. Определите: 1) радиус витка; 2) силу тока в
витке.
43. Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по
круговой орбите радиусом 52,8 пм. Определите магнитную индукцию В поля,
создаваемого электроном в центре круговой орбиты.
44. Две небольшие одинаковые катушки расположены так, что их оси лежат на
одной прямой. Расстояние между катушками l=2 м значительно превышает их
линейные размеры. Число витков каждой катушки N=150, радиус витков r=50 мм.
С какой силой F взаимодействуют катушки, когда по ним течет одинаковый ток
I=1 А?
45. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам,
расстояние между которыми 15 см, текут токи 70 А и 50 А в одном направлении.
Определите магнитную индукцию B в точке, удаленной на 10 см от первого и 20
см от второго проводника.
46. По каждому из четырех длинных прямых параллельных проводников,
проходящих через вершины квадрата (сторона квадрата 30 см) перпендикулярно
его плоскости, течет ток 10 A, причем по трем проводникам ток течет в одном
67
направлении, а по четвертому — в противоположном. Определите индукцию
магнитного поля в центре квадрата.
47. Длинный прямой провод с током I=10А имеет
участок
в
виде
полуокружности
радиуса
R=12см.
Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности.)
48. Бесконечно длинный прямой проводник, по которому течет ток силой I=5
A, согнут под прямым углом Найти индукцию магнитного поля на расстоянии a
= 10 см от вершины угла в точках A и C, лежащих соответственно на биссектрисе
прямого угла и на продолжении одной из сторон (см. рис.)
,
49. К тонкому однородному проволочному кольцу радиуса r0=10см подводят
ток I=5А. Подводящие провода, расположенные радиально, делят кольцо на две
дуги, длины которых l1/l2 =2. Найти индукцию магнитного поля в центре кольца.
68
50. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в
одном направлении токи I=60 А, расположены на расстоянии d=10 см друг от
друга. Определить магнитную индукцию В в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии г1=5 см и от другого — на расстоянии r2=12 см.
51. Электрон движется прямолинейно с постоянной скоростью 0,2 Мм/с.
Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого электроном в точке,
находящейся на расстоянии 2 нм от электрона и лежащей на прямой, проходящей
через мгновенное положение электрона и составляющей угол 450 со скоростью
движения электрона.
52. Электрон движется прямолинейно и равномерно со скоростью v=3,00105
м/с. Найти индукцию магнитного В поля, создаваемого электроном в точке,

находящейся на расстоянии от него r =1,0010-9 м (10 A ) и лежащей на
перпендикуляре к v , проходящем через мгновенное положение электрона.
53. Определите напряженность магнитного поля, создаваемого электроном,
прямолинейно и равномерно движущимся со скоростью
5000 км/с, в точке, находящейся от него на расстоянии 10 нм и лежащей на
перпендикуляре к скорости, проходящем через мгновенное положение электрона.
54. Два протона движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью 600
км/с. Найти отношение сил электрического и магнитного взаимодействия этих
частиц.
55. Два равных точечных заряда 0,1 мкКл движутся навстречу друг другу со
скоростью 100 км/с. Найти индукцию магнитного поля в точке на расстоянии 4 см
от первого заряда и на расстоянии 3 см от второго в тот момент, когда расстояние
между зарядами равно 5 см.
56. Два одинаковых точечных заряда 0,2 мкКл движутся в одной плоскости
вдоль взаимно перпендикулярных прямых. Скорости зарядов разны 2 Мм/с и 3
Мм/с. В некоторый момент времени заряды оказываются на одинаковом
расстоянии 10 см от точки пересечения их траекторий движения, удаляясь от этой
69
точки. Определить в этот момент времени индукцию магнитного поля в точке
пересечения траекторий зарядов.
57.
Два
протона
движутся
параллельно
друг
другу
с
одинаковой
скоростью V=2 Мм/с на расстоянии а=20 см друг от друга. Определить максимальную
индукцию магнитного поля на прямой, проходящей через середину отрезка,
соединяющего протоны, перпендикулярно к плоскости, в которой находятся
траектории движения протонов.
58. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U=400 В, попал в
однородное магнитное поле с индукцией B=1,5 мТл. Определить:
1) радиус R кривизны траектории; 2) частоту п вращения электрона в магнитном
поле. Вектор скорости электрона перпендикулярен линиям индукции.
59. Электрон, имея скорость V=2 Мм/с, влетел в однородное магнитное поле с
индукцией В=30 мТл под углом α=30° к направлению линий индукции. Определить
радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.
60. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U=104 В и
влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (E=10 кВ/м) и магнитное
(B=0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа-частицы к ее массе, если, двигаясь
перпендикулярно
обоим
полям,
частица
не
испытывает
отклонений
от
прямолинейной траектории.
61. Какова емкость в колебательном контуре с индуктивностью 50 мГн, если
частота контура 1 кГц?
62. Плоский конденсатор с площадью пластин 100 см2, разделенных слоем
парафинированной бумаги толщиной 0,01 мм, и катушка образуют колебательный
контур. Частота колебаний в контуре 1 кГц. Какова индуктивность катушки?
63. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 1 нФ и катушки
индуктивностью 5 мГн. Логарифмический декремент колебаний равен 0,005.
Определить время, в течение которого контур потеряет 99% своей энергии, и
среднее значение энергии, теряемой за один период, если максимальная разность
потенциалов на обкладках конденсатора равна 6 В.
70
64. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 7 мкФ и катушки
индуктивностью 0,23 Гн с сопротивлением 40 Ом. Найти период колебаний и
логарифмический декремент.
65. Сила тока в колебательном контуре изменяется по закону i=0,1cos2πt. Найти
индуктивность
контура,
если
максимальная
энергия
электрического поля
конденсатора равна 10 мДж.
66. Соленоид диаметром d=4 см, имеющий N=500 витков, помещен в
магнитное поле, индукция которого изменяется со скоростью 1 мТл/с. Ось
соленоида составляет с вектором магнитной индукции угол =450. Определить
ЭДС индукции , возникающей в соленоиде.
67. При скорости изменения силы тока dI/dt в соленоиде, равной 50 А/с, на его
концах возникает ЭДС самоиндукции ε=0,08 В. Определить индуктивность L
соленоида.
68. В однородном магнитном поле с индукцией B=0,1 Тл равномерно
вращается рамка, содержащая N= 1000 витков, с частотой n=10 c -1. Площадь S
рамки равна 150 см2. Определить мгновенное значение ЭДС, соответствующее
углу поворота рамки 30°.
69. Виток, по которому течет ток I=20 А, свободно установится в однородном
магнитном поле В=16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно
совершать, чтобы медленно повернуть виток на угол α=π/2 относительно оси,
совпадающей с диаметром?
70. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к
другу витков медного провода диаметром d=0,2 мм. Диаметр D соленоида равен 5
см. По соленоиду течет ток I=1 А. Определить количество электричества Q,
протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.
71. Внутри соленоида с числом витков N=200 с никелевым сердечником
(μ=200) напряженность однородного магнитного поля
H=10 кА/м. Площадь поперечного сечения сердечника S=10 см2. Определите:
1) магнитную индукцию поля внутри соленоида; 2) потокосцепление.
71
72. Прямой провод длиной l = 20 см с током I = 5 A, находящийся в
однородном
магнитном
поле
с
индукцией
B
=
0,1
Тл,
расположен
перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите работу сил поля,
под действием которых проводник переместился на 2 см.
73. Оцените индукцию магнитного поля в центре плоского железного кольца
толщины 1 см с внутренним радиусом 10 см и внешним радиусом
20 см. Все атомы железа ориентированы вдоль оси кольца, магнитный момент
атома железа равен 2μe = 1,85·10-23 Дж/Тл.
74. Длинный прямой соленоид, содержащий 5 витков на каждый сантиметр
длины, расположен перпендикулярно плоскости магнитного меридиана. Внутри
соленоида в его средней части находится магнитная стрелка, установившаяся в
магнитном поле Земли. Когда по соленоиду пустили ток, стрелка отклонилась на
угол 600. Найти силу этого тока, если горизонтальная составляющая МП Земли
Н=14 А/м.
75. Напряженность однородного магнитного поля в платине равна 5 А/м.
Определите магнитную индукцию поля, создаваемого молекулярными токами,
если магнитная восприимчивость платины равна 3,610-4.
76. По круговому контуру радиусом 40 см, погруженному в жидкий кислород,
течет ток 1 А. Определите намагниченность в центре этого контура. Магнитная
восприимчивость жидкого кислорода m =3,410-3.
77. Две пластины из магнетиков с проницаемостями 1 и 2 сложены вместе
и помещены в перпендикулярное к ним
однородное магнитное поле с индукцией B0
(рис.
).
Штриховой
линией
показана
воображаемая цилиндрическая поверхность с
образующими,
параллельными
B0 ,
и
основаниями площади S, перпендикулярными
к
B0 . Чему равны поток ФВ вектора B и поток ФН вектора H через эту
поверхность?
72
78. Соленоид длиной l=20 см, площадью поперечного сечения
S=10 см2
и общим числом витков N=400 находится в диамагнитной среде. Определить силу
тока I в обмотке соленоида, если его индуктивность
L=1 мГн и намагниченность Рm= 20 А/м внутри соленоида.
79. Коаксиальный кабель представляет собой длинную металлическую
тонкостенную трубку радиуса R = 10 мм, вдоль оси которой расположен тон-кий
провод. Силы токов в трубке и проводе равны, направления противопо-ложны.
Определить магнитную индукцию в точках, удаленных соответст-венно на
расстояния r1 = 5,0 мм и r2 = 15 мм от оси кабеля, если сила тока
I = 0,50 A.
80. Однородное магнитное поле, объёмная плотность энергии которого 0,4
Дж/м3 , действует на проводник, расположенный перпендикулярно линиям
индукции, 0,1 мН на 1 см его длины. Определить силу тока в проводнике.
3. ОПТИКА И СТРОЕНИЕ АТОМА
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Интерференция света
● Скорость света в среде
v
c
n
где с=3∙108 м/с – скорость распространения света в вакууме; n – абсолютный
показатель преломления среды.
● Разность фаз двух когерентных волн

2
0
73
,
где ∆ = L2 – L1 - оптическая разность хода двух световых волн; L = sn –
оптическая длина пути (s – геометрическая длина пути световой волны в среде; n –
показатель преломления этой среды); λ0 – длина волны в вакууме.
● Условие интерференционных максимумов
∆ = ± m λ0
(m = 0, 1, 2,3, …).
● Условие интерференционных минимумов
  (2m  1)
0
(m  0,1,2,3,.....) .
2
● Ширина интерференционной полосы
x 
l
0 ,
d
где d – расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на
расстоянии l от экрана, параллельного линии, соединяющей источники, при
условии l » d.
● Условия максимумов и минимумов при интерференции света, отраженного
от верхней и нижней поверхностей тонкой плоско-параллельной пленки,
находящейся в воздухе (n0 = 1),
2d n2  sin 2 i 
2d n2  sin 2 i 
0
2
0
2
 m0
 (2m  1)
(m  0,1,2,3,....) ,
0
2
(m  0,1,2,3,....)
где d – толщина пленки; n – ее показатель преломления; i - угол падения. В
общем случае член 
0
2
обусловлен потерей полуволны при отражении света от
более плотной среды.
● Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в
проходящем свете)
1
rm  (m  )0 R
2
(m  0,1,2,3,....) ,
где m – номер кольца; R - радиус кривизны линзы.
74
● Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых в
проходящем свете)
rm  m0 R
(m  0,1,2,3,....)
Дифракция света
● Радиус внешней границы m – й зоны Френеля для сферической волны
rm 
ab
m ,
ab
где m – номер зоны Френеля; λ – длина волны, a и b – соответственно
расстояния до волновой поверхности (разбиваемой на зоны) от точечного
источника и от экрана, на котором дифракционная картина наблюдается.
● Условия дифракционных минимумов от одной щели, на которую свет падает
нормально:
a sin   m
(m  0,1,2,3,....) ,
где a – ширина щели; φ – угол дифракции; m – порядок спектра; λ – длина
волны.
● Условия главных максимумов дифракционной решетки, на которую свет
падает нормально:
d sin   m (m  0,1,2,3,....) ;
где d – период дифракционной решетки d 
l
,
N0
где N0 – число щелей, приходящихся на единицу длины l решетки.
● Угловая дисперсия дифракционной решетки
D 

m
.

 d cos
● Разрешающая способность дифракционной решетки
R

 mN ,

75
где λ, (λ + δλ) длины волн двух соседних спектральных линий, разрешаемых
решеткой; m – порядок спектра; N – общее число штрихов решетки.
● Условие дифракционных максимумов от кристаллической решетки
(формула Вульфа – Брэггов)
2d sin   m (m  1,2,3,.....) ,
где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла; θ - угол скольжения.
Поляризация света
● Степень поляризации света
P
где
I max
и
I min
-
I max  I min
,
I max  I min
соответственно
максимальная
и
минимальная
интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором.
● Закон Малюса
I  I 0 cos2  ,
где I – интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через
анализатор; I0 - интенсивность плоскополяризованного света, падающего на
анализатор; α – угол между плоскостью поляризации света и оптической осью
поляризатора.
● Закон Брюстера
tgiв  n21
где iв - угол падения, при котором отраженный от диэлектрика луч является
полностью поляризованным; n21 - относительный показатель преломления.
● Оптическая разность хода взаимно перпендикулярно составляющих
плоскополяризованного света для пластинки в четверть длины волны
76
1
  (no  ne )d  (m  )0
4
где
знак
плюс
соответствует
(m  0,1,2,3,....) ,
отрицательным
кристаллам,
минус
–
положительным; λ0 – длина волны в вакууме.
● Угол поворота плоскости поляризации:
для оптически активных кристаллов и чистых жидкостей
  d ;
для оптически активных растворов
   Cd ,
где d – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе;
 0   - удельное вращение; С – массовая концентрация оптически активного
вещества в растворе.
Взаимодействие электромагнитных волн
с веществом
● Связь угла φ отклонения лучей призмой и преломляющего угла А призмы
φ = А (n – 1),
где n – показатель преломления призмы.
● Связь между показателем преломления и диэлектрической проницае-мостью
вещества
n=  .
● Закон ослабления света в веществе (закон Бугера)
I  I 0e x ,
где I0 и I – интенсивности плоской монохроматической световой волны
соответственно на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной x; α –
коэффициент поглощения.
● Эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме
77
vф 2
1 2
c ,
  0
v
1  ф cos
c
где
ν0 и νф – соответственно частоты электромагнитного излучения,
испускаемого источником и воспринимаемого приемником; νф – скорость
источника электромагнитного излучения относительно приемника; с – скорость
света в вакууме; θ – угол между вектором скорости ν и направлением наблюдения,
измеряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем.
● Поперечный эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме
(θ = π/2)
  0 1 
vф 2
c2
.
● Эффект Вавилова-Черенкова
cos 
c
,
nv
где θ- угол между направлением распространения излучения и вектором
скорости частицы; n- показатель преломления среды.
Квантовая природа излучения
● Закон Стефана-Больцмана
Re   T 4 ,
где Re - энергетическая светимость (излучательность) черного тела; σ=5,67∙108
Вт/м2К4 – постоянная Стефана-Больцмана; Т- термодинамическая температура.
●
Связь
энергетической
светимости
Re
энергетической светимости r ,T или r .T черного тела
78
и
спектральной
плотности


0
0
Re   r ,T d   r ,T d  .
● Энергетическая светимость «серого» тела
RTc  AT T 4 ,
где АТ – поглощательная способность «серого» тела.
● Закон смещения Вина
max 
где
max -
длина
волны,
b
,
T
соответствующая
максимальному
значению
спектральной плотности энергетической светимости черного тела; b=2,9∙10-3 м∙К постоянная Вина.
● Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической
светимости черного тела от температуры
(r ,T ) max  CT 5 ,
где С=1,29∙10-5 Вт/(м3∙К5).
● Формула Релея-Джинса для спектральной плотности энергетической
светимости черного тела
rv ,T
2 2
 2 kT ,
c
где k- постоянная Больцмана.
● Энергия кванта
 0  hv 
hc

,
где h=6,625∙10-34 Дж∙с – постоянная Планка.
● Формула Планка
2 v 2
rv ,T  2
c
79
hv
e
hv
kT
1
r ,T 
2 c 2 h
5
1
e
hc
kT 
.
1
● Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
hv  A  Tmax ,
где hν – энергия фотона, падающего на поверхность металла; Авых – работа
выхода электрона из металла;
Tmax - максимальная кинетическая энергия
фотоэлектрона.
● «Красная граница» фотоэффекта для данного металла
v0 
Aвых
;
h
0 
hc
,
Aвых
где λ0 – максимальная длина волны излучения ( ν0 – соответственно
минимальная частота), при которой фотоэффект еще возможен.
● Импульс фотона
pф 
hv
.
c
● Давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность,
P
Ee
(1   )  w(1   ) ,
c
где Ee  Nhv - облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на
единицу поверхности в единицу времени); ρ – коэффициент отражения;
w - объемная плотность энергии излучения.
● Изменение длины волны рентгеновского излучения при комптоновском
рассеянии
      
h
2h


(1  cos ) 
sin 2  2c sin 2 ,
m0c
m0c
2
2
где λ и λ′ - длина волн падающего и рассеянного излучений; m0 – масса
электрона; θ – угол рассеяния; c 
h
- комптоновская длина волны.
m0c
80
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. На мыльную плёнку с показателем преломления n  1,33 падает под
углом 300 свет с длиной волны 0,6 мкм. Отражённый от плёнки свет имеет
наибольшую яркость. Какова наименьшая возможная толщина плёнки?
Решение:
На плёнке лучи отражённые от верхней и нижней границы плёнки, собираются
с помощью линзы. Найдём оптическую разность хода лучей 1 и 2.

   OC  CB   n  OA  nв   2
n
  2d
2
 nв2  sin i   
2

, так как n nв .
Условие max при интерференции света наблюдаем на плёнке
2d
n
2
 nв2  sin i     2m 
2
2
При минимальной толщине dmin m=1, тогда
2d
n
d min 
2
 nв2  sin i   

4 n  n sin i
2
2
в
2

отсюда найдём
6 107 м
4 1,33   0,5 
2
2
 1, 2 107 м
Ответ: dmin =12 мкм.
81
Задача
2.
Установка
для
получения
колец
Ньютона
освещается
монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки.
Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние между вторым и двадцатым
темными кольцами Δ r2,20 = 4,8 мм.
Найти расстояние между девятым и шестнадцатым темными кольцами
Ньютона.
Решение:
Радиус темных колец в отраженном свете определяется формулой:
rk  k    R , где:
k =0,1,2...- порядковый номер кольца;
 - длина волны;
R - радиус кривизны линзы.
Отсюда
r2,20 =
-
=
(
–
)
(1)
r9,16 =
-
=
(
–
)=
(2)
Из (1) имеем
=
r9,16 =
r2,20
20  2
r2,20
20  2
=
, подставим в (2)
= 1,57 10 – 3 м
Ответ: r9,16 = 1,57 10 – 3 м = 1,57 мм
Задача 3. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический
свет. Определить угол дифракции для линии λ1 = 550 нм в четвертом порядке, если
этот угол для линии λ2 = 600 нм в третьем порядке составляет 30˚.
82
Решение:
Формула дифракционной решетки для двух линий
d sin 1 = 4 λ1
(1)
d sin 2 = 3 λ2
(2)
Поделим уравнение (1) на уравнение (2) и получим
d sin 1
=
d sin  2
или
откуда sinφ1 =
=
=
= 0,61
φ1 = arcsin 0,61 = 37˚42΄
Ответ: φ1 = 37˚42΄
Задача 4. Найдите угол полной поляризации (iБр) при отражении света от
стекла (nc = 1,57), помещенного в воду (nв = 1,33). Определить скорость света в
воде.
Решение:
Согласно закону Брюстера tg iБр =
Тогда tg iБр =
при этом n1 = nв; n2 = nс
= 1,18, следовательно, iБр = arctg 1,18 ≈ 50˚
Абсолютный показатель преломления среды n =
скорость распространения света в воде: V =
=
, тогда, зная nв, найдем
= 2,26 108
Ответ: iБр ≈ 50˚; V = 2,26 108
Задача 5. Температура внутренней поверхности электрической печи
T = 700˚C. Определите мощность излучения печи через небольшое отверстие
диаметром d = 5 см, рассматривая его как излучение абсолютно черного тела.
Решение:
83
Из закона Стефана – Больцмана излучательность черного тела R = σ
T 4.
Другой стороны, N = R S, где S – площадь отверстия.
S = П τ2 = П (
N=R
)2 =
S = σ T4*
, подставим
=
= 9,97
101 = 99,7 Вт
Ответ: N = 99,7 Вт
Задача 6. Красная граница фотоэффекта для металла λк = 6,2
10 – 5 см. Найти
величину запирающего напряжения для фотоэлектронов при освещении металла
светом длиной волны λ = 330 нм.
Решение:
Запирающее напряжение – это напряжение на электродах, способное
остановить электроны, вылетевшие из металла. Следовательно, работа сил
электрического поля Аэ равна кинетической энергии фотоэлектронов. Аэ = Ек или
е U = Ек. Кинетическую энергию определяем из уравнения Эйнштейна.
hν = Aвых + Ек => Eк = hν - Aвых
Если известна красная граница фотоэффекта, то работа выхода определяется из
выражения Aвых = h νк = h
Подставим е U = h
откуда U =
-h
=h C
)
-
U=
= 1,76
= 1,76
В
Ответ: U = 1,76 В
Задача 7. Фотон с длиной волны, соответствующей красной границе
фотоэффекта, выбирает электрон из металлической пластины (катода) в сосуде, из
84
которого откачан воздух. Электрон разгоняется однородным электрическим полем
с напряжённостью E  5 104 В м . Какой должна быть длина пути электрона в
электрическом поле, чтобы он разогнался до скорости, составляющей 10% от
скорости света в вакууме?
Решение:
Начальная скорость вылетевшего электрона v0  0 . Изменение кинетической
энергии частицы и работа сил электростатического поля связаны соотношением:
mv 2
 A . Учитывая, что v  0,1c и A  F  S  E  e  S , (где e - заряд электрона),
2
m  0,1 c 
m  (0,1 c) 2
получим:
 E  e  S . Отсюда найдём пройденный путь: S 
2
2E  e
2
S
2
9,11031 кг 102  9 1016 м
2  5 10 В 1, 6 10
м
4
19
с 2  51103 м .
Кл
Ответ: S  0, 05 м .
Задача. 8 На поверхность площадью 3см 2 за 5минут падает свет, энергия
которого составляет 20 Дж. Определить световое давление на поверхность, если
она: а) полностью поглощает лучи,
б) полностью отражает лучи.
Решение:
Световое давление определяется по формуле: p 
Ec
1    , где:
c
Ec - энергия излучения, падающего на единицу площади в единицу времени;
с - скорость света в вакууме;
 - коэффициент отражения.
Очевидно, что E0 
W
, где W - полная энергия, S - площадь поверхности, t S t
время.
а) Если поверхность полностью поглощает лучи, то   0 и
p1 
Ec
W
20 Дж


 0, 25 106 Па .
8 м
4
2
c c  S  t 3 10
 9 10 м  300с
с
85
б) Если поверхность полностью отражает лучи, то   1 и
p2  2
Ec
W
2
 2  0, 25  106 Па .
c
c  S t
Ответ: p1  0, 25 106 Па , p2  0,5 106 Па
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
1. Монохроматическая плоская волна с длиной   0,5мкм падает нормально на
диафрагму с двумя узкими щелями, отстоящими друг от друга на расстоянии
d  2,5 мм . Экран расположен на расстоянии h  1м от диафрагмы. Найти ширину
интерференционных полос.
2. В опыте Юнга расстояние между щелями d  0,8 мм . На каком расстоянии от
щелей следует расположить экран, чтобы ширина интерференционных полосы при
  700нм оказалась равной 2мм?
3. В опыте Юнга расстояние от щелей до экрана h  3м . Определите угловое
расстояние между соседними светлыми полосами, если третья светлая полоса на
экране отстоит от центра интерференционной картины на расстоянии 4,5мм.
4. Пучок лазерного излучения с   632,8нм падает нормально на преграду со
щелями, расстояние между которыми 1мм. Экран расположен на расстоянии
h  100см . На коком расстоянии от центра интерференционной картины находится
третий максимум?
5. Определить во сколько раз изменится ширина интерференционных полос на
экране в опыте с бизеркалами Френеля, если фиолетовый светофильтр ( 1  400нм )
заменить красным ( 1  700нм ).
6. На стеклянный клин нормально его грани падает монохроматический свет с
длиной волны 1  0,66мкм . Число интерференционных полос на l  1cм равно
N  10 . Определите преломляющий угол клина. Показатель преломления стекла
n  1,56 .
86
7. Бипризма Френеля освещается светом с длиной волны 1  500нм , исходящим
из узкой щели шириной
h,
расположенной перпендикулярно плоскости.
Преломляющий угол призмы   15/ . Призма сделана из стекла с показателем
преломления n  1,56 . Расстояние от щели до призмы b  50см , от призмы до экрана
a  400см .
Определить
максимальную
ширину
щели,
при
которой
интерференционная картинка ещё будет наблюдаться.
8. На тонкий стеклянный клин падает нормально монохроматический пучок
света с длиной волны 1  0,6мкм . Найти угол клина, если расстояние между
интерференционными полосами 4мм.
9. В двух опытах по фотоэффекту металлическая пластина облучалась светом с
длинами волн, соответственно,
1  350нм
и
2  540нм .
В этих опытах
максимальные скорости фотоэлектронов отличались v1 v  2 раза. Какова работа
2
выхода с поверхности металла?
10. На фотоэлемент с литиевым катодом падает свет с длиной волны   200нм ,
Найти наименьшее значение задерживающей разности потенциалов, которую
нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратить фототок.
11.
Найдите частоту света, вырывающего из металла электроны, которые
задерживаются разностью потенциалов U з  3В . Фотоэффект начинается при
частоте свет, равной 6 1014 Гц . Найти работу выхода электронов из этого металла.
12. Какая доля энергии фотона израсходована на работу вырывания
фотоэлектрона, если красная граница фотоэффекта кр  310нм , а максимальная
кинетическая энергия фотоэлектронов равна 4эВ .
13. Определите максимальную скорость фотоэлектрона, вырванного с
поверхности золота фотоном с энергией Е  9,3эВ .,
14. Определить красную границу фотоэффекта для цикла и максимальную
скорость фотоэлектронов, вырываемых с его поверхности электромагнитным
излучением с длиной волны 250 нм.
87
15. Красной границе фотоэффекта для алюминия соответствует длина волны
0  332нм . Найти:
а) работу выхода для этого металла,
б) длину световой волны, при которой задерживающий потенциал U  1В .
16. Фототок с энергией 0,15МэВ рассеялся на покоившемся свободном
электроне, в результате чего длина волны изменилась на   3, 0нм . Найти угол,
под которым вылетел комптоновский электрон.
17. Гамма-квант с энергией 1МэВ рассеивается под углом 900 на свободном
покоящемся протоне. Определить:
а) какую кинетическую энергию сообщает гамма-квант протону,
б) с какой скоростью будет двигаться протон после соударения?
18. Энергия рентгеновских лучей равна 0, 6МэВ . Найти энергию электрона
отдачи,
если
известно,
что
длина
волны
рентгеновских
лучей
после
комптоновского рассеяния изменилась на 20 %.
19. В эффекте Комптона энергия падающего фотона распределяется поровну
между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния 90%. Найти
энергию и импульс рассеянного фотона.
20. Фотон жёстких рентгеновских лучей (   2, 4 1011 м ) при соударении со
свободным электроном передал ему 9% своей энергии. Найти длину волны
рассеянного рентгеновского излучения.
21. Найти частоту света, вырывающего с поверхности металла электроны,
полностью задерживающихся обратным потенциалом в 2В . Фотоэффект у этого
металла начинается при частоте падающего света 6 1014 Гц. Найти работу выхода
электрона из этого металла.
22. Монохроматический пучок света с длиной волны 490нм , падая нормально
на поверхность, производит давление на неё, равное 9,81107 Па . Сколько квантов
света падает ежесекундно на единицу площади этой поверхности? Коэффициент
отражения света   0,5 .
88
23. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его кинетическая
энергия была равна энергии фотона с длиной волны 5, 2 106 м .
24. Какое наименьшее число штрихов должна содержать дифракционная
решётка, чтобы в спектре первого порядка можно было разделить две жёлтые
линии натрия с длинами волн 589нм и 589, 6нм . Какова длина такой решётки, если
постоянная такой решётки 10мкм .
25. Свет о Солнца падает на плоское зеркало площадью 1м 2 под углом 600 .
Найти силу светового давления, считая, что зеркало полностью отражает весь
падающий свет. Средняя мощность солнечного излучения, приходящаяся на 1м 2
земной поверхности, перпендикулярной к излучению, равна 1, 4 103 Вт
26. Чему равен импульс каждого из
м2
.
фотонов, вызывающих фотоэффект в
металле с работой выхода 3эВ , если запирающее напряжение при освещении этими
фотонами катода равно 2В ?
27. Определите импульс, передаваемый лазерным лучом зеркалу за одну
секунду при полном отражении. Энергия, излучаемая лазером за время t равна Е .
28. Какова мощность электрической лампочки, если за 2с она испускает 25 1019
фотонов с длиной волны 600нм . Считать, что на излучение идёт 2 3 потребляемой
мощности.
29. Определите частоту фотона, импульс которого в 1,5 раза меньше импульса
электрона, движущегося со скоростью 150 км с .
30. На дифракционную решётку в направлении нормали к её поверхности
падает монохроматический свет. Период решётки - 2мкм . Какого наибольшего
порядка max даст эта решётка в случае красного 1  0,7мкм
и фиолетового
2  0, 45мкм света?
31. На диафрагму с двумя щелями, находящимися на расстоянии 2мм, падает
нормально монохроматический свет. На экране, отстоящем от диафрагмы на
расстоянии 129 см, наблюдаются интерференционные полосы. На какое расстояние
сместятся полосы, если одну щель закрыть стеклянной пластинкой толщиной 11
мкм? Показатель преломления стекла 1,86.
89
32. Расстояние между двумя щелями в опыте Юнга равно 967 мкм, щели
удалены от экрана на расстояние 363см. Определить длину волны, испускаемую
источником монохроматического света, если ширина 8 полос интерференции на
экране равна 1,6 см.
33. На стеклянную пластику нанесен тонкий слой прозрачного вещества с
коэффициентом преломления n=1,6. Пластина освещена параллельным пучком
монохроматического света с длиной волны λ=640 нм, падающим на пластинку
нормально. Какую минимальную толщину d должен иметь слой, чтобы
отраженный пучок имел наименьшую яркость?
34. На поверхности воды находится тонкая пленка скипидара (n=1,48)
толщиной 0,25 мкм. Какого цвета представится пленка при наблюдении ее в
отраженном свете под углом 60 градусов?
35. Расстояние между двумя когерентными источниками 0,9 мм, а расстояние
от источников до экрана 1,5 м. Источники испускают монохроматический свет с
длиной
волны
0,6
мкм.
Определить
число
интерференционных
полос,
приходящихся на 1 см экрана.
36. На тонкий стеклянный клин падает нормально монохроматический свет.
Наименьшая толщина клина, с которой видны интерференционные полосы в
отраженном свете, равна 0,12 мкм. Расстояние между полосами
0,6 мм. Найти угол между поверхностями клина и длину волны света, если
показатель преломления стекла 1,5.
37. Тонкая пленка с показателем преломления 1,5 освещается рассеянным
светом с длиной волны 600 нм. При какой минимальной толщине пленки исчезнут
интерференционные полосы?
38. Две плоскопараллельные стеклянные пластинки приложены одна к другой
так, что между ними образовался воздушный клин с углом 37 секунд. На одну из
пластин падает нормально монохроматический свет с длиной волны 417 нм. На
каком (в мм) расстоянии от линии соприкосновения наблюдается первая светлая
полоса в отраженном свете?
90
39. Для наблюдения колец Ньютона в отраженном свете используется
стеклянная пластинка, на которую положена выпуклой стороной плосковыпуклая
линза. Монохроматический свет падает нормально. Радиус линзы 8,6 м.
Измерениями установлено, что диаметр четвертого темного кольца равен 9 мм.
Определить длину волны падающего света.
40. Найти показатель преломления жидкости, заполняющей пространство
между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плосковыпуклой линзой, если при
наблюдении в отраженном свете радиус 7-го темного кольца Ньютона оказался
равным 2,825 мм. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы равен 299 см.
Установка освещается светом с длиной волны 699 нм.
41. На узкую щель нормально падает излучение длиной волны 441 нм.
Дифракционная картина, даваемая щелью, наблюдается на экране с помощью
линзы с фокусным расстоянием 234 см. Определить ширину щели, если расстояние
между серединами полос спектров 1-го и 2-го порядка на экране равно 42 мм. Из-за
малости углов синусы считать равными тангенсам.
42. На щель падает нормально параллельный пучок монохроматического света
с длиной волны λ. Ширина щели 6λ. Под каким углом будет наблюдаться 3-ий
дифракционный минимум света? Третий дифракционный максимум света?
43. В спектре, полученном с помощью дифракционной решетки, спектральную
линию наблюдают в первом порядке под углом 8,36 град. Определить наивысший
порядок спектра, в котором можно наблюдать эту линию с помощью той же
дифракционной решетки, если свет падает на решетку нормально к ее поверхности.
44. Постоянная дифракционной решетки равна 10-2 мм. Решетка освещается
монохроматическим светом длиной волны 0,5 мкм. Под каким
(в градусах) углом наблюдается десятый дифракционный максимум?
45. На дифракционную решетку, содержащую 218 штрихов на миллиметр,
падает нормально белый свет. Спектр проектируется линзой, помещенной вблизи
решетки, на экран, расположенный на расстоянии 209 см от линзы. Границы
видимого спектра 400-780 нм. Определить длину спектра 1-го порядка на экране.
Указание: синусы углов дифракции считать равным тангенсом.
91
46. На дифракционную решетку с постоянной 6 мкм падает нормально
монохроматический свет. Угол между спектрами 7-го и 8-го порядков равен 17
градусов. Определить длину волны. Ответ дать в нанометрах.
47. Период дифракционной решетки 6 мкм. Ширина прозрачной части
4 мкм. Сколько главных максимумов будет наблюдаться в спектре по одну
сторону от нулевого максимума до угла 76 градусов? Длина световой волны равна
434 нм.
48. Период дифракционной решетки равен 7 мкм. Для спектральной линии
водорода с длиной волны 486 нм подобрать такой наибольший интервал длин волн,
чтобы нигде не было перекрытия спектров при освещении светом в заданном
интервале. Ширина дифракционной решетки
3 см. Ответ дать в нанометрах.
49. Узкий пучок рентгеновских лучей падает под углом скольжения
20 градусов на дифракционную решетку с периодом 2,0 мкм. Первый
дифракционный максимум наблюдается под углом 12 минут. Определить длину
рентгеновских лучей в нанометрах.
50.
Дифракционная решетка содержит 200 штрихов на 1 мм. На решетку
падает нормально монохроматический свет (λ=0,55 мкм). Максимум какого
наибольшего порядка дает эта решетка?
51. Частично поляризованный свет проходит через поляроид. При повороте
поляроида на 60 град. от положения, соответствующего максимальной яркости,
яркость пучка уменьшается в 2 раза. Учитывая, что поляроид поглощает 10%
проходящей через него энергии, определить степень поляризации света,
падающего на поляроид.
52.
Между
двумя
параллельными
поляроидами
помещают
кварцевую
пластинку толщиной 1 мм, вырезанную параллельно оптической оси. При этом
плоскость поляризации монохроматического света, падающего на поляризатор,
повернулась на угол 20 град. При какой (в мм) минимальной толщине пластинки
свет не пройдет через анализатор?
92
53. Пучок естественного света падает на пластину из 6 николей, плоскость
пропускания каждого из которых повернута на угол 30° относительно плоскости
пропускания предыдущего николя. Какая часть светового потока проходит через
систему?
54. Естественный свет пропускают через два одинаковых поставленных один за
другим несовершенных поляризатора. Интенсивность прошедшего через эту
систему света при параллельных плоскостях поляризаторов (III) превышает
интенсивность при взаимно перпендикулярных плоскостях (I⊥) в 9,53 раза.
Определить: а) степень поляризации света, прошедшего только через один из
поляризаторов;
б)
степень
поляризации,
обуславливаемую
системой
при
параллельных плоскостях поляризаторов.
55. Если между скрещенными поляризаторами поместить третий, оптическая
ось которого составляет угол α=15° с оптической осью анализатора, то поле зрения
просветлеет. Какая часть светового потока падающего естественного света
проходит через эту систему?
56. Угол α между плоскостями пропускания поляризаторов равен 50°.
Естественный свет, проходя через такую систему, ослабляется в n=8 раз.
Пренебрегая потерей света при отражении, определить коэффициент поглощения
света k в поляроидах.
57. Найти угол φ между главными плоскостями поляризатора и анализатора,
если интенсивность естественного света, проходящего через поляризатор и
анализатор, уменьшается в 4 раза.
58. Чему равен угол между главными плоскостями двух поляризаторов, если
интенсивность света, прошедшего через них, уменьшилась в 5,3 раза? Считать, что
каждый поляризатор отражает и поглощает 13% падающего на них света.
59. Концентрация раствора сахара, налитого в стеклянную трубку,
C1=0,3 г/см3. Этот раствор вращает плоскость поляризации монохроматического
света на угол φ1=25°. Определить концентрацию C2 в другой такой же трубке, если
он вращает плоскость поляризации на угол φ2=20°.
93
60. Чему равен показатель преломления стекла, если при отражении от него
света отражённый луч будет полностью поляризован при угле 300.
61. Электрическая печь потребляет мощность P=500 Вт. Температура ее
внутренней поверхности при открытом небольшом отверстии диаметром
d=5 см равна 700°C. Какая часть потребленной мощности рассеивается стенками?
62. Известно, что температура поверхности Солнца 5800 K. На какую длину
волны приходится максимум спектральной плотности излучательности Солнца?
Считать Солнце абсолютно черным телом. Ответ дать в микрометрах.
63. Определить длину волны, отвечающую максимуму спектральной плотности
излучательности черного тела при температуре 37°C и излучательность тела.
64. При какой температуре интегральная светимость поверхности серого тела с
коэффициентом
поглощения
0,0625
равна
излучательности
черного
тела,
имеющего температуру 1000 K?
65. Излучательность черного тела равна 50 Вт/см2. Определите длину волны,
соответствующую максимуму испускательной способности.
66. Излучательность черного тела равна 3 Вт/см2. Определить длину волны,
отвечающую максимуму спектральной плотности энергетической светимости этого
тела.
67. Черное тело находится при температуре T1=2900К. В результате остывания
этого тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной
плотности излучательности, изменилась на Δλ=9 мкм. До какой температуры
охладилось тело?
68.
Мощность изучения шара радиусом 10 см при некоторой температуре
равна 1 кВт. Найти эту температуру, считая шар серым телом с коэффициентом
поглощения 0,25.
69. Определить поглощающую способность серого тела, для которого
температура, измеренная радиационным пирометром Tp=1,4 кК, тогда как истинная
температура T тела равна 3,2 кК.
94
70. Определить поглощающую способность поверхности серого тела, если
известно, что нагретая до температуры T=2500 K поверхность площадью S=10 см2
излучает в 1 секунду Фэ=6,7·102 Дж энергии.
71. Тающая льдинка массой 0,1 г при освещении светом с длиной волны 0,1
мкм поглощает 1018 фотонов в секунду. Через какой промежуток времени льдинка
растает?
72. Определить длину волны излучения, импульс фотона которого равен
импульсу электрона, обладающего скоростью 10 Мм/с. Ответ дать в пикометрах.
73. Определить энергию и импульс фотонов, соответствующих наиболее
длинным (длина волны равна 0,76 мкм) и наиболее коротким (длина волны равна
0,4 мкм) волнам видимой части спектра.
74. Определите длину волны фотона с импульсом, равным импульсу электрона,
прошедшего из состояния покоя ускоряющую разность потенциалов 5 В.
75. Свет, падая на зеркальную поверхность, оказывает давление 10 мкПа.
Определить энергию света, падающего на площадь 1 м2 за 1 с.
76. Давление света с длиной волны 0,6 мкм, падающего нормально на черную
поверхность, равно 1 мкПа. Определить число фотонов, падающих за секунду на 1
см2 этой поверхности.
77. Поверхность площадью S=100 см2 каждую минуту получает 63 Дж световой
энергии. Найти световое давление р в случае, когда поверхность: а) полностью
отражает все лучи и б) полностью поглощает все падающие на нее лучи.
78. Давление света с длиной волны 40 нм, падающего нормально на чёрную
поверхность, равно 2 нПа. Определить число фотонов, падающих за 10 с на 1 мм2
этой поверхности.
79. На идеально отражающую поверхность площадью 5 см2 за время
3 мин нормально падает монохроматический свет, энергия которого 9 Дж.
Определить световое давление, оказываемое на поверхность.
80.
Для
прекращения
тока
фотоэмиссии
из
платины
необходима
задерживающая разность потенциалов 3,7 В. При облучении теми же фотонами
другого металла, задерживающая разность потенциалов равна 6 B. Найти работу
95
выхода электрона с поверхности этого металла, если для платины работа выхода
равна 6,3 эВ. Ответ дать в электрон-вольтах.
4. Молекулярная физика и термодинамика
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Основы молекулярно-кинетической теории газов
●Закон Бойля-Мариотта
pV  const при T  const , m  const ,
где p — давление; V — объём; Т — термодинамическая температура; m — масса газа.
● Закон Гей-Люссака и закон Шарля
V1 T1
 при P  const , m  const ;
V2 T2
P1 T1
 при V  const , m  const ,
P2 T2
● Закон Дальтона для давления смеси n идеальных газов
n
p   pi ,
i 1
где Pi — парциальное давление i — го компонента смеси.
● Уравнение
Клапейрона)
состояния
идеального
pV 
где R  8,31
газа
(уравнение
Менделеева-
m
RT ,

Дж
— газовая постоянная, μ — молярная масса газа.
моль  К
● Зависимость давления газа от концентрации n молекул и температуры Т
p  nkT ,
96
где
k  1,38 1023
число Авогадро.
Дж
— постоянная Больцмана (k=R/ NA), NA = 6,02·1023 1/моль —
К
● Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов
1
2
p  nm0 v ,
3
или
2
2 m v
2
pV  N ( 0
) E,
3
2
3
или
1
pV  Nm0 v
3
2
1
2
 m v ,
3
где v — средняя квадратичная скорость молекул; Е — суммарная кинетическая
энергия поступательного движения всех молекул газа; n — концентрация молекул;
m0 — масса одной молекулы; m  m0 N — масса газа; N — число молекул в объеме
газа V.
● Скорость молекул:
наиболее вероятная
vв 
2 RT


2kT
;
m0
средняя квадратичная
vкв 
3RT
v2 


3kT
;
m0
средняя арифметическая
v 
● Средняя
идеального газа
кинетическая
8 RT

энергия
97

8kT
.
 m0
поступательного
движения
молекулы
3
 0  kT .
2
● Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям
3
2
mv
dN (v)
 m0  2 2  20kT ,
f (v ) 
 4 
v
e

Ndv
 2 kT 
где функция f ( v ) распределения молекул по скоростям определяет относительное
dN (v)
число молекул
из общего числа N молекул, скорости которых лежат в
N
интервале от v до v  dv .
● Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по энергиям
теплового движения
f ( ) 

3 1


dN ( )
2

(kT ) 2  2 e kT ,
Nd 

где функция f(ε) распределения молекул по энергиям теплового движения определяет
dN ( )
относительное число молекул
из общего числа N молекул, которые имеют
N
mv 2
кинетические энергии  
, заключенные в интервале от ε до ε+dε.
2
● Барометрическая формула
ph  p0e

 g ( h  h0 )
,
RT
где ph и p0 – давление газа на высоте h и h0.
● Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле
n  n0e

 gh
RT
 n0e

m0 gh
kT
,
где n и n0 – концентрация молекул на высоте h и h0 .
● Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 секунду,
z  2 d 2 n v ,
98
где d — эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; v — средняя
арифметическая скорость молекул.
● Средняя длина свободного пробега молекул газа
l 
v
1
.

z
2 d 2 n
● закон теплопроводности Фурье
Q  
dT
St ,
dx
где Q теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за время t;
dT
— градиент температуры; λ — коэффициент теплопроводности:
dx
1
3
  cv  v l ,
где сv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ — плотность газа.
● Закон диффузии Фика
M  D
d
St ,
dx
где М — масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S за
d
время t;
— градиент плотности, D — коэффициент диффузии:
dx
1
D v l .
3
● Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)
F  
99
dv
S,
dx
где F — сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S;
dv
—
dx
градиент скорости; η — коэффициент динамической вязкости:
1
  v l .
3
Основы термодинамики
● Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся
на одну степень свободы молекулы,
i 
1
kT .
2
● Средняя энергия молекулы
i
  kT ,
2
где i — число степеней свободы.
● Внутренняя энергия газа
U  
i
i m
RT 
RT ,
2
2
где v — количества вещества; m — масса газа; μ — молярная масса газа.
● Первое начало термодинамики
Q  U  A ,
где Q — количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею; U — изменение
её внутренней энергии; А — работа системы против внешних сил.
● Первое начало термодинамики для малого изменения системы
 Q  dU   A .
● Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении
100
i
Cv  R ,
2
Cp 
i2
R.
2
● Уравнение Майера
C p  Cv  R .
● Изменение внутренней энергии идеального газа
dU 
m

Cv dT .
● Работа, совершаемая газом при изменении его объема,
 A  pdV .
● Полная работа при изменении объема газа
V2
A   pdV
,
V1
где V1 и V2 — соответственно начальный и конечный объемы газа.
● Работа газа:
при изобарном процессе
A  p(V2  V1 ) , или A 
m

R(T2  T1 ) ;
при изотермическом процессе
A
m
V
m
p
RT ln 2 , или A  RT ln 1 .

V1

p2
● Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)
pV   const , TV  1  const , T  p1  const ,
где  
Cp
Cv

i2
— показатель адиабаты.
i
101
● Работа в случае адиабатического процесса
 1
 1
RT1 m   V1   p1V1   V1  
1     
1     ,
A  Cv (T1  T2 ) или A 
  1    V2     1   V2  





m
где T1 , T2 и V1, V2 — соответственно начальные и конечные температура и объем газа.
● Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла)
A Q  Q2
,
  1
Q1
Q1
где Q1 — количество теплоты, полученное системой; Q2 — количество теплоты,
отданное системой; А — работа, совершаемая за цикл.
● Термический коэффициент полезного действия цикла Карно

T1  T2
,
T1
где T1 — температура нагревателя; T2 — температура холодильника.
● Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2,
в переменных Р V
2
Q m 
p
V 
S12  S2  S1  
 cV ln 2  c p ln 2  .
T

p1
V1 
1
В переменных Т, V
2 Q
S  
1
2
S  
1
Q
T
T


m

(cV ln
T2
V
 R ln 2 )
T1
V1
T2
V2 
m
c V ln  R ln  .

T1
V1 
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. В баллоне объёмом 20л находится аргон под давлением 1,0 Мпа и
температуре 300 К. После того как из баллона было взято 20,0 г аргона,
102
температура в баллоне понизилась до 280 К. Определить давление газа,
оставшегося в баллоне.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся
уравнением состояния идеального газа,
применив его к начальному и конечному состояниям газа:
р1V 
m1
RT1 ,
(1)
р 2V 
m2
RT 2 .

(2)

Из уравнений (1) и (2) выразим m1 и m2 и найдём их разность:
m  m1  m2  (
р1 р 2 V
 )
,
T1 T2 R
откуда находим
р 2  р1
Т 2 mRT2

Т1
V
(3)
Проверку решения проведем по размерности физических величин. В правую
часть вместо символов величин подставим их единицы измерения. В правой части
два слагаемых. Первое из них имеет размерность давления, так как состоит из двух
множителей, первый из которых – давление, а второй – безразмерный. Проверим
второе слагаемое:
Дж
R  m T   моль  кг  кг  К  Дж  Н  Па
кг
  V 
м3
м2
 м3
моль
Вычисления произведём по формуле (3) с учётом, что для аргона   40  10 3
кг/моль.
p 2  1,0  10 6 
280 8,31  2  10 2  2,8  10 2

 87,5  10 4 Па  875кПа .
3
2
300
40  10  2  10
Ответ: 875 кПа.
Задача 2. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность
которого при давлении р = 40 кПа составляет  = 0,35 кг/м3.
Решение:
Воспользуемся формулой
vв  2 
RT

.
Из уравнения состояния выражаем плотность газа:
103
pV 
m

RT  p 
RT
p
RT

 ,



Тогда, подставляя, получим
vв 
2p

= 478 м/с.
Задача 3. Плотность газа увеличили в k1 = 3 раза, а температуру уменьшили в k2
= 4 раза. Как изменилось число столкновений молекул в единицу времени?
Решение:
Среднее число столкновений молекул в единицу времени находится по формуле
z  2 d 2 n v ,
где v — средняя скорость движения молекул, d — эффективный диаметр молекул, n
— концентрация молекул.
Формула для вычисления средней скорости:
v 
8kT
,
 m0
связь концентрации молекул с плотностью газа определяется формулой:
  n  m0
Эффективный диаметр молекул d, т.е. минимальное расстояние, на которое
сближаются при столкновении центры молекул, зависит от скорости сталкивающихся
молекул, т.е. от температуры газа (несколько увеличивается при понижении
температуры). Но при решении данной задачи это изменение величины d учитывать
не будем.
Подставляем записанные выражения в первую формулу:
z  2 d 2
104

m0

8kT
,
 m0
тогда после изменения давления и температуры
z '  2 d 2
k1
k
8kT

 1 z ,
m0
k 2 m0
k2
т. е. длина свободного пробега при этом увеличится в
k
z'
3
= 1,5 раза.
 1 =
4
z
k2
Следует отметить, что в формулы входит именно термодинамическая
температура.
Задача 4.
Коэффициенты диффузии и внутреннего трения водорода при
некоторых условиях равны соответственно D=1,42 см2/сек и η=8,5·10-6 Н·сек/м2. Найти
число молекул водорода в 1 м3 при этих условиях.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся формулами расчета коэффициента
внутреннего трения (динамической вязкости) и коэффициента диффузии:
1
3
   v   
D
1
 v  
3
(1)
(2)
Объединив формулы (1) и (2), получим
  D
Откуда следует, что плотность водорода равна


(3)
D
С другой стороны плотность газа может быть найдена по формуле
105

m
V
(4)
Объединив формулы (3) и (4), получим выражение для массы водорода
m

D
V
(5)
Известно, что число молекул N можно рассчитать по формуле
N
m

 NА,
(6)
где  = 2·10-3 кг/моль — молярная масса водорода,
NA = 6,02·1023 1/моль — число Авогадро.
Из формул (5) и (6) находим концентрацию молекул газа
n
N   NА

V
D
Подставив численные значения, получим:
Ответ: n = 1,8·1025 м-3
Задача 5. Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа
составляет А = 2 кДж. Определите количество подведенной к газу теплоты, если
процесс протекал: 1) изотермически; 2) изобарно;
Решение:
Согласно первому началу термодинамики подведенное к газу количество
теплоты Q расходуется им на изменение внутренней энергии и на совершение работы
расширения:
Q=U+A.
i
2
1) В случае T= const , T = 0, U   RT = 0 и Q1= A = 2 кДж.
2) При p=const получаем
106
i
Q2   RT  pV ,
2
где T — изменение температуры при изобарном увеличении объема на V. Из
уравнений начального и конечного состояний получаем:
pV   RT ,
т. е.
A   RT .
Тогда
Q2 
5
i
i
A  A  A(  1) = A(  1) = 7 кДж.
2
2
2
где i = 5, т.к. газ двухатомный.
Задача 6. Баллон содержит т1  80 г кислорода и т2  320 г аргона. Давление
смеси газов р  1 МПа , температура Т  300 К . Принимая данные газы за идеальные,
определить объем V баллона.
Решение:
По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений
газов, входящих в состав смеси.
По уравнению Менделеева — Клапейрона парциальные давления р1 кислорода и
р2 аргона выражаются формулами:
m1 RT
1V
m RT
p2  2
 2V
p1 
Следовательно, по закону Дальтона давление смеси двух газов:
p  p1  p2
или
 m m  RT
p   1  2  
 1  2  V
откуда объем баллона
 m m  RT
V   1  2  
 1  2  p
107
Произведем вычисления, учитывая, что 1  32  10 3 кг моль –—молярная
масса кислорода,  2  40  10 3 кг моль – молярная масса аргона
0,32  8,31  300
 0,08
V 

 0,0262  м3   26, 2  л  .
3
3 
6
40 10  10
 32 10
Ответ: V  0,0262  м3   26, 2  л  .
Задача 7. Гелий массой m  4г совершает цикл, изображенный на рисунке.
Найти работу А, совершаемую газом за один цикл, количество теплоты, принятое от
нагревателя Q1 и переданное холодильнику Q2 за цикл, КПД цикла, если р1  200 кПа ,
р2  600 кПа , V1  1 л , V2  3 л .
р
р2
Решение:
2
Определим количество вещества

m

р1
 1моль ,
1
3
где  = 2·10-3 кг/моль — молярная масса гелия.
V1
V2
V
Рассмотрим каждый участок цикла отдельно.
(1-2): запишем первый закон термодинамики
Q12  U12  A12 .
На данном участке давление пропорционально объему:
p  k V ,
k
где
p2  p1
.
V2  V1
Работа A12 определяется, исходя из изотермического смысла работы газа в
координатной плоскости (р,V):
A12 
V2

V1
V2
V2
pdV  k  VdV  k 
2
V1
V2

V1
108
k 2
1
V2  V12    p2  p1 V2  V1  .

2
2



1
600  10 3  200  10 3  3  10 3  1  10 3  800 Дж .
2
i
i
U  CV  T2  T1   R  T2 T 1   RT 2  RT1  ,
2
2
А12 
где CV — молярная теплоемкость при постоянном объеме.
Воспользуемся уравнением состояния идеального газа
pV 
m
RT ,

тогда
3
 p 2V2  p1V1   2400 Дж ,
2
U 12 
где для одноатомного гелия число степеней свободы
i 3
, тогда
Q12  2400 Дж  800 Дж  3200 Дж .
Так как Q12  0 , то газ на этом участке получает от нагревателя теплоту.
(2-3): Так как V  const , то A23  0 и первый закон термодинамики принимает вид
Q23  U 23 ,
U 23  CV T3  T2  ;
где
U 23 
3
RT3  RT2   3  p1V2  p 2V2   3 V2  p1  p 2   1800 Дж .
2
2
2
U 23  0 , значит внутренняя энергия уменьшается.
Q23  1800 Дж . Так как Q23  0 , то газ на этом участке отдает теплоту
холодильнику.
(3-1):
Q31  U 31  A31 , A31  p1 V1  V2   400 Дж (газ совершает «отрицательную» работу;
его сжимают).
Q31  C p   T1  T3  

i2
5
R   T1  T3    RT1  RT3  
2
2
5
5
 p1V1  p1V2   p1 V1  V2   1000 Дж,
2
2
где С р — молярная теплоемкость при постоянном давлении.
109
Так как Q31  0 , то газ на участке 3-1 также отдает теплоту холодильнику.
Итого:
Q1  Q12  3200 Дж ,
Q2  Q23  Q31  2800 Дж .

Q1  Q2
 0,125 или   12,5 % .
Q1
Aцикл  A12  A23  A31  400 Дж
Замечание: используя геометрический смысл работы в координатной плоскости
(р,V) видно, что работу за цикл можно рассчитать, определив площадь фигуры цикла
(в нашем случае – это площадь треугольника).
Ответ: А  400 Дж , Q1  3200 Дж , Q2  2800 Дж ,   0,125 .
Задача 8. Двигатель работает как машина Карно и за цикл получает от
нагревателя Q1  700 Дж теплоты. Температура нагревателя Т1  327 0С , температура
холодильника Т 2  27 0С . Найти:
1. Совершаемую за цикл работу;
2. Количество теплоты, отдаваемое холодильнику.
Решение:
Запишем формулу для КПД тепловой машины:

Q1  Q2
,
Q1
т. к. двигатель работает по циклу Карно, то

Т1  Т 2
.
Т1
Совершаемая газом работа за цикл
A  Q1  Q2 .
Тогда

A Т1  Т 2
,

Q1
Т1
A  Q1 
110
Т1  Т 2
,
Т1
где
Т1  327 0С  600 К , Т 2  27 0С  300 К .
А  700 
600  300
 350 Дж 
600
Количество теплоты: Q2  Q1  А  700  350  350 (Дж).
Ответ: A  Q2  350 Дж.
Задача 9. Один моль идеального двухатомного газа, находящегося в закрытом
сосуде, охладили с T1  90 0С до T2  40 0С . На сколько и как изменилась энтропия
газа?
Решение:
Запишем второй закон термодинамики в формулировке Клаузиуса
dS 
Q
T
,
где dS — приращение энтропии.
По первому закону термодинамики, записанному для элементарного
теплового процесса
 Q  dU  dA или  Q  dU  p  dV .
Элементарное приращение внутренней энергии газа
dU  CV   dT ,
тогда
 Q  CV   dT  p  dV .
Для идеального газа молярная теплоемкость при постоянном объеме
Cv 
i
R
2
где i — число степеней свободы.
Из уравнения состояния идеального газа следует, что
p
RT
V
.
Тогда
Q  C v   dT  RT
dV
.
V
После деления на абсолютную температуру Т, имеем
Q
T
 C v  
dT
dV
  R 
,
T
V
111
dS  C v  
dT
dV
.
  R 
T
V
Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение, расставляя пределы
интегрирования
S2
T2
V
dT 2
dV
dS

C



S
T V T  V   R  V ,
1
1
1
S2  S1  CV   ln
T2
V
  R  ln 2 .
T1
V1

Итого, приращение энтропии S12     CV  ln

T2
V 
 R  ln 2  .
T1
V1 
Замечание: Используя полученное выражение для S12 и уравнение МенделееваКлапейрона для начального и конечного состояний идеального газа, легко получить

S12     CV  ln

p2
V 
 C p  ln 2  ,
p1
V1 
где С p — молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении;
Cp 
i2
R.
2
Рассчитаем изменение энтропии газа, учитывая, что при закрытом сосуде
V1  V2 .
Т1  90 0С  363 К , Т 2  40 0С  313 К ,
CV 
i
5
R R
2
2
(для двухатомного газа число степеней свободы i  5 ).
5
2
S12  1 моль    8,31

Дж
313 К
Дж
Дж
.
 ln
 8,31
 ln1  3,1
моль  К
363 К
моль  К
К

Ответ: энтропия газа уменьшилась на 3,1
Дж
.
К
Задача 10. Во сколько раз следует изотермически увеличить объем идеального
газа в количестве 3 моль, чтобы его энтропия увеличилась на
25 Дж/К?
112
Решение:
Для обратимого процесса
S  
Q
T
,
Q  dU  A .
где
Так как процесс изотермический, то для идеального газа dU  0 , а элементарная
работа равна
dV
A  pdV  vRT
.
V
Изменение энтропии S для изотермического процесса будет равно
V
A
dV
S  
 vR 
 vR ln 2 .
T
V
V1
V
V2
1
Из последнего соотношения находим
V2
 S 
 exp 
.
V1
 vR 
Показатель экспоненты – величина безразмерная.
Вычисления:
V2
 25 
 exp 
  2,7 .
V1
3

8
,
31


Ответ: V2 V  2,7 .
1
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
1. В баллоне емкостью V = 10 л находится газ при температуре
t = 27 0С. Вследствие утечки газа, давление в баллоне снизилось на
Р = 4,14 кПа. Какое количество молекул вышло из баллона, если температура
газа не изменилась?
2. Концентрация молекул газа идеального двухатомного газа равна
113
n = 5·1024 м-3 . При этом средняя энергия молекулы равна E = 8,5·10-20 Дж. Найти
давление, оказываемое молекулами газа на стенки сосуда.
3. В баллоне находилось m = 10 кг некоторого газа при давлении
P1 = 107 Па. Найти, какое количество газа m взяли из баллона, если давление в
нем понизилось до P2 = 2,5·106 Па .
4. Сколько молекул воды содержится в стакане объемом V = 200 мл?
5. Газ, находящийся при температуре t = 27 0С занимает объем V.
До какой температуры следует изобарно охладить газ, чтобы его объем стал
равен 0,75V ?
6. В баллоне объемом V = 15 л находится смесь идеальных газов, при
температуре T = 300 К. Смесь содержит 0,3 моля углекислого газа, 0,2 моля азота и
0,1 моля кислорода. Найти молярную массу смеси и давление в баллоне.
7. Определить концентрацию молекул водорода, находящегося в сосуде под
давлением P = 2,67·105 Па, если средняя квадратичная скорость движения молекул
при этих условиях равна vкв = 2·103 м/с.
8. В сосуде объемом V = 5 л содержится 14 г азота и 22 г углекислого газа при
температуре t = 57 0С. Найти число молекул содержащихся в сосуде.
9. Смесь водорода и азота общей массой m = 290 г при температуре
Т = 600 К и давлении Р = 2,46 МПа занимает объем V = 30 л. Найти массу
водорода и массу азота.
10. Смесь кислорода и азота находится в сосуде при давлении
Р = 1,2 МПа. Определить парциальные давления газов, если массовая доля
кислорода в смеси составляет 0,2 %.
11. Объем воздушного шара V = 224 м3 , масса оболочки m = 145 кг. Шар
наполнен горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении
Р = 1,01·105 Па. Какую температуру должен иметь воздух внутри оболочки,
чтобы шар начал подниматься? Температура воздуха вне оболочки t = 0 0С, молярную
массу воздуха принять равной
 = 29·10-3 кг/моль.
12. В горизонтальной, запаянной с одного конца капиллярной трубке столбик
ртути длинной L = 40 см запирает столбик воздуха длиной
l = 20 см. Какой окажется длина воздушного столба в трубке, если ее поставить
вертикально открытым концом вниз. Атмосферное давление считать равным 760 мм
рт. ст.
13. В сосуде объемом V = 30 л содержится идеальный газ при температуре
t = 0 0С. После того как часть газа выпустили, давление в сосуде понизилось на
 Р = 0,78 атм без изменения температуры. Найти массу выпущенного газа m.
Плотность этого газа при нормальных условиях  = 1,3 г/л.
14. Посередине откачанной и запаянной с обоих концов капиллярной трубке
длиной L = 1 м находится столбик ртути длинной l = 20 см. Если капилляр поставить
вертикально, то столбик ртути переместится на расстояние  l = 10 см. До какого
давления был откачан капилляр?
15. При нагревании m  500 гр газа на 10K изобарически требуется на 1, 48кДж
теплоты больше, чем при изохорическом нагревании. Что это за газ?
114
16. Плотность некоторого газа равна  = 6·10-2 кг/м3, средняя квадратичная
скорость равна vкв = 500 м/с. Найти давление, которое газ оказывает на стенки
сосуда.
17. Внутри закрытого горизонтально расположенного поршня находится тонкий
поршень, способный скользить без трения. В одной части цилиндра находится водород
массой m1 = 3 г водорода, а в другой m2 = 18 г азота. Температуры газов одинаковы.
Какую часть объема цилиндра занимает водород?
18. В баллоне объёмом 10 л находится смесь, содержащая m1  10гр водорода,
водяного пара и m3  60гр азота. Температура смеси 17 0С . Определите
m2  54гр
давление.
19. С глубины h = 10 м всплывает шарообразный пузырек воздуха. На какой
глубине радиус пузырька увеличится в n = 1,2 раза, если атмосферное давление Р =
1·105 Па? Плотность воды  = 1000 кг 3 , температуру считать постоянной по всей
м
глубине.
20. В баллоне объемом V = 22,4 л находится водород при нормальных условиях.
После того, как в баллон было введено дополнительно некоторое количество гелия,
давление в баллоне повысилось до значения Р = 0,5·106 Па. Считая процесс
изотермическим определить массу гелия, введённого в баллон.
21. Определить плотность водорода, если средняя длина свободного пробега его
молекул l = 0,1 см.
22. Определить коэффициент теплопроводности азота при температуре
t = 10 0С и давлении Р = 1·105 Па.
23. Коэффициенты диффузии и динамической вязкости водорода при некоторых
условиях равны соответственно D = 1,42 см2/с и  = 8,5·106 Па/с. Найти число
молекул водорода в 1 м3 при этих условиях.
24. Определить среднее число соударений в секунду z и длину свободного
пробега молекулы водорода при температуре t = 27 0С и давлении Р = 1·10-3 мм рт.
ст.
25. Азот и кислород находятся при одинаковой температуре. Во сколько раз
коэффициент вязкости кислорода больше, чем коэффициент вязкости азота?
26. Плотность гелия при некоторых условиях  = 2·10-2 кг/м3. Найти среднюю
длину свободного пробега молекул гелия при этих условиях.
27. Какое максимальное число молекул аргона должно находиться в
1 см3 сферического сосуда, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом?
28. Найти среднее число столкновений в 1 секунду молекул некоторого газа z ,
если средняя длина свободного пробега его молекул при этих условиях l = 4·10-6 м,
а средняя квадратичная скорость его молекул vкв = 500 м/с.
29. В сферической колбе объемом 2 л находится кислород. При какой плотности
кислорода средняя длина свободного пробега его молекул l больше размеров
сосуда?
115
30. В сосуде находится углекислый газ, плотность которого  = 1,7 кг/м3.
Средняя длина свободного пробега его молекул при этих условиях равна
l = 7,9·10-6 м. Определить из этих условий эффективный диаметр молекулу
углекислого газа d.
31. Найти удельные теплоемкости Cv и Cр некоторого газа, если известно, что
его молярная масса  = 84 г/моль, а отношение Cр / Cv = 1,67.
32. Найти удельные и молярные теплоемкости Cv и Cр водяного пара.
33. Двухатомный идеальный газ занимает объем V = 8 л. Определить
теплоемкость этого газа при постоянном давлении Cр.
34. Чему равны удельные теплоемкости Cv и Cр некоторого двухатомного газа,
если плотность этого газа при нормальных условиях  = 1,43 кг/м3.
35. Найти удельную теплоемкость при постоянном объеме газовой смеси,
состоящей из 12 киломолей гелия и 7 киломолей азота.
36. Смесь содержит 10 г гелия и 16 г кислорода. Найти показатель адиабаты  =
Cр / Cv для этой смеси газов.
37. Удельная теплоемкость газа при постоянном давлении равна 976 Дж/(кг·К), а
молярная масса равна 30 г/моль. Определить число степеней свободы молекулы этого
газа.
38. Разность между удельной теплоемкостью при постоянном давлении и
удельной теплоемкостью при постоянном объеме некоторого газа равна 260 Дж/(кг·К).
Определить число степеней свободы молекул этого газа.
39. Удельная теплоёмкость некоторого трехатомного газа при постоянном
объеме Cv = 567 Дж/(кг·К). Определить, что это за газ.
40. Некоторый двухатомный газ находится под давлением Р = 2·105 Па
и температуре Т = 600 К. Найти плотность этого газа, если его
удельная теплоемкость при постоянном давлении Cр = 909 Дж/(кг·К).
41. При изотермическом расширении 10 г азота, находящегося при температуре t
0
= 17 С , была совершена работа А = 860 Дж. Во сколько раз изменилось давление
азота?
42. В сосуде под поршнем площадью S = 100 см2 находится 56 г азота при
температуре t1 = 20 0С. Азот нагревают до температуры t2 = 120 0С. На какую высоту
поднимется поршень? Атмосферное давление принять равным Р = 1·105 Па.
43. Газ, занимающий объем V = 5 л и находящийся под давлением
Р = 2·105 Па и при температуре t = 27 0С нагревают изобарно. Расширяясь газ
совершил работу А = 200 Дж. Чему стала равна температура газа в конце процесса
расширения?
44. Работа некоторого газа при его изотермическом расширении с увеличением
объема в два раза А = 575 Дж. Найти среднеквадратичную скорость молекул этого
газа при этой температуре. Масса газа 10 г.
45. Некоторое количество кислорода сжимают так, что его объем уменьшается
от V1 = 15 л, до объема V2 = 3 л. Как выгоднее сжимать газ – адиабатически или
изотермически?
46. 16 г водорода находятся под давление Р = 2 атм. и
116
температуре t = 57 0С. Газ нагревают при постоянном давлении, вследствие чего
его объем становится равным V = 15 л. Найти работу, совершенную газом при
расширении.
47. Один моль некоторого идеального газа нагрели при постоянном давлении на
72K , сообщив ему Q  1, 6кДж теплоты. Найти приращение его внутренней энергии.
48. Некоторое количество кислорода занимает объем V = 15 л при давлении Р1 =
9 атм. Какую работу совершает газ при изотермическом расширении, если давление
при этом уменьшилось до Р2 = 2 атм.?
49. Двухатомный газ, находящийся при температуре t = 27 0С и давлении
Р = 2·106 Па сжимают адиабатически так, что его объем уменьшается в 2 раза.
Найти работу, совершенную при сжатии.
50. 56 г азота, находящегося при температуре t = 27 0С, изотермически
расширяются от давления Р1 = 5 атм. до Р2 = 2 атм. Найти работу, совершенную газом
при расширении.
51. При нагревании массы m = 10 г некоторого идеального газа на
Т = 1 К при постоянном давлении требуется подвести к нему количество теплоты Q1 = 9,12 Дж, а при постоянном объеме Q2 = 6,52 Дж.
Определить, что это за газ.
52. Один моль некоторого идеального газа нагрели при постоянном давлении на
t = 55 0С, сообщив ему Q = 1,6 кДж теплоты. Найти число степеней свободы молекул
этого газа и приращение его внутренней энергии в процессе нагревания.
53. Для нагревания некоторого количества идеального газа на t1 = 50 0С
при постоянном давлении требуется сообщить ему Q1 = 670 Дж тепла. Если это
же количество газа охладить на t2 = 100 0C при постоянном объеме, то выделится Q2
= 1005 Дж тепла. Какое число степеней свободы имеют молекулы данного газа?
54. При нагревании 0,5 кг некоторого газа на t = 10 0С изобарно требуется на
Q = 1,48 кДж теплоты больше, чем в случае изохорического нагревания. Определить,
что это за газ.
55. В сосуде под поршнем находится 14 г азота. Масса поршня m = 10 кг,
Площадь его поперечного сечения S = 100 см2, давление над поршнем
Р = 1·105 Па. Какое количество тепла нужно сообщить азоту, чтобы он нагрелся
t = 10 0С ? На какую высоту при этом поднимется поршень?
56. Найти работу, которую совершит азот, если ему при постоянном давлении
сообщить Q = 42 кДж тепла. Как и на сколько изменится при этом его внутренняя
энергия газа?
57. Найти количество теплоты, полученное идеальным двухатомным газом в
линейном процессе 1 – 2, изображенном на рисунке.
P, атм
4
1
2
1
1
4
V, м3
117
58. Некоторое количество кислорода занимает объем V1 = 4 л при давлении Р1 =
6,4 атм. и температуре t1 = 27 0С. Кислород переходит в состояние с параметрами V2 =
12 л, Р2 = 3,2 атм. по пути 1-2-3, см. рисунок.
Найти количество теплоты, полученное газом в
P
этом процессе и температуру, соответствующую
конечному состоянию.
р1
1
2
р2
3
V1
V
V2
59. Два моля идеального газа, находящегося при температуре t = 47 0С
изохорически охладили так, что его давление уменьшилось в 2 раза. Затем газ
изобарически расширили так, что его температура стала равна первоначальной. Найти
количество тепла, полученного газом в этом процессе.
60. Азот, находившийся в закрытом сосуде при нормальных условиях охладили
на Т = 60 К. Объем сосуда V = 10 л. Найти количество тепла, отданного азотом.
61. КПД теплового двигателя 25%. Во сколько раз количество теплоты,
полученное от нагревателя больше совершённой им полезной работы?
62. КПД тепловой машины 75%. Чему он будет равен, если температуру
нагревателя увеличить в 2 раза, а температуру холодильника понизить в 1,5 раза?
63.Температура нагревателя идеального теплового двигателя t1 = 127 0С, а
температура нагревателя t2 = 7 0С. Ежесекундно двигатель получает от нагревателя 60
кДж теплоты. Чему равна мощность этого двигателя?
64. Найти в процентах КПД тепловой машины работающей по циклу,
изображённому на рисунке.
P
3 р0
р0
V0
3V0
V
65. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. 80% тепла,
получаемого от нагревателя в процессе работы, передается холодильнику. За один
118
цикл от нагревателя машина получает 5 кДж теплоты. Найти КПД цикла и полезную
работу, совершаемую за один цикл.
66. Холодильник идеального теплового двигателя имеет температуру 27 0С. На
сколько процентов изменится КПД этого двигателя, если температуру нагревателя
увеличить от 127 0С до 327 0С?
67. В идеальном тепловом двигателе за счет каждого килоджоуля энергии,
полученной от нагревателя, совершается работа 300 Дж. Определить температуру
нагревателя, если температура холодильника 7 0С.
68. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. КПД цикла 25%.
Во сколько раз нужно увеличить температуру нагревателя, чтобы КПД машины
стал равен 75%, если температуру холодильника при этом уменьшают в 1,5 раза?
69. Совершая цикл Карно, газ отдал холодильнику 2 кДж теплоты. Работа цикла
1 кДж. Определить температуру холодильника, если температура нагревателя 7270С.
70. Совершая цикл Карно, газ отдал холодильнику 2/3 теплоты, полученной от
нагревателя. Определить температуру холодильника, если температура нагревателя
327 0С.
71. Найти изменение энтропии идеального газа при превращении 100 г льда при
температуре -20 0С в кипяток при температуре 100 0С.
72. 64 г кислорода расширяются так, что объем газа увеличивается вдвое. Найти
изменение энтропии в этом процессе.
73. Найти изменение энтропии при изотермическом расширении 8 г водорода
при изменении давления от Р1 = 2 атм до Р2 = 4,5 атм.
74. 300 г свинца, находящегося в расплавленном состоянии при температуре t1 =
0
500 С, остывает до температуры t2 = 50 0С. Найти изменение энтропии во всем
процессе.
75. Найти изменение энтропии при переходе 16 г кислорода от объема 4 л при
температуре 27 0С к объему 12л при температуре 600 К.
76. Найти изменение энтропии при переходе кислорода из состояния 1 в
состояние 3 в условиях задачи № 58.
77. 56 г азота нагреваются от t1 = 17 0С до температуры t2 = 205 0С. Найти
изменение энтропии газа, если нагревание происходит 1) изохорно; 2) изобарно.
78. В результате нагревания 22 г азота его абсолютная температура увеличилась
в 1,2 раза, а энтропия увеличилась на 4,2 Дж/К. Что поддерживалось постоянным при
нагреве – давление, или объем?
79. Во сколько раз следует увеличить изотермически объем идеального газа,
взятого в количестве 4 моля, чтобы его энтропия испытала приращение S = 23 Дж/K?
80. 16 г гелия адиабатно расширили в 3 раза, а затем изобарно сжали до
первоначального объема. Найти приращение энтропии газа в этом процессе.
119
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Основные физические постоянные
Физическая постоянная
Обозначение
Числовое значение
Гравитационная постоянная
G
6,6720·10-11 Н·м2·кг-2
Скорость света в вакууме
с
2,99792458·108 м·с-1
Магнитная постоянная
μ0
4π·10-7Гн·м-1 =
1,25663706144·10-6Гн·м-1
Электрическая постоянная
ε0 = (μ0c2)-1
8,85418782·10-12 Ф·м-1
Постоянная Планка
h
6,626176·10-34 Дж·с
Масса электрона
me
9,109534·10-31 кг
5,4858026·10-4 а.е.м.
Энергия покоя электрона
mec2
Масса протона
mp
Энергия покоя протона
mpc2
Масса нейтрона
mn
Энергия покоя нейтрона
mnc2
Отношение массы протона к массе
электрона
mp/me
Заряд электрона (абс. величина)
e
Отношение заряда электрона к его массе
0,5110034 МэВ
1,6726485·10-27 кг
1,007276470 а.е.м.
938,2796 МэВ
1,6749543·10-27 кг
1,008665012 а.е.м.
939,5731 МэВ
1836,15152
1,6021892·10-19 Кл
4,803242·10-10 уд. СГСЭ
e/me
1,7588047·1011 Кл·кг-1
Магнетон Бора
μБ
9,274078·10-24 Дж·Тл-1
Ядерный магнетон
μN
5,050824·10-24 Дж·Тл-1
Магнитный момент нейтрона в ядерных
магнетонах
μn/μN
1,91315
Магнитный момент протона в ядерных
магнетонах
μp/μN
2,7928456
Атомная единица массы (10-3 кг·моль-1)/NA
а.е.м.
1,6605655(86)·10-27 кг
Массы атомов в а.е.м.:
водород
дейтерий
гелий-4
1
H
H
4
He
2
120
1,007825036
2,014101795
4,002603267
Постоянная Авогадро
NA
6,022045·1023 моль-1
Постоянная Фарадея
F = NAe
96484,56 Кл·моль-1
Молярная газовая постоянная
R
8,31441 Кл·моль-1·K-1
Объем моля идеального газа при
нормальных условиях (1 атм, T0 = 273,15 К)
Vm
22,41383·10-3 м3·моль-1
Постоянная Больцмана
k = R/NA
1,380662·10-23 Дж·К-1
Постоянная тонкой структуры
α
1/α
0,072973506
137,03604
Постоянная Ридберга
R∞
10973731,77 м-1
Радиус первой боровской орбиты
a0
0,52917706·10-10 м
Классический радиус электрона
re
2,8179380·10-15 м
Отношение Джозефсона
2e/h
4,835939·1014 Гц·В-1
Квант магнитного потока
Ф0 = h/2e
Энергетические эквиваленты:
а.е.м.
1 электронвольт
2,0678506·10-15 Вб
931,5016 МэВ
1,6021892·10-19 Дж
2. Некоторые астрономические величины
Физическая постоянная
Обозначение
Числовое
значение
Астрономическая единица (ср. расстояние Земли от
Солнца)
а. е.
1,49597870·1011 м
Парсек
пк
3,085678·1016 м
Световой год
св. год
9,460530·1015 м
Масса Солнца
МΟ
1,989·1030 кг
Радиус Солнца
RΟ
6,9599·108 м
Светимость солнца
LΟ
3,826·1026 Вт
Масса Земли
M+
5,976·1024 кг
Радиус Земли
экваториальный
полярный
средний
R+
Масса Луны
Mc
6378164 м
6356799 м
6371030 м
121
7,35·1022 кг
Среднее расстояние между Землёй и Луной
384400 км
3. Плотности веществ
Вещество
Плотность
Вещество
 m , кг/м3
вода
Плотность
Вещество
Плотность
 m , кг/м3
 m , кг/м3
1000
алюминий
2700
никель
8500
керосин
790-820
вольфрам
19300
серебро
10500
глицерин
1260
железо
7874
платина
21460
ртуть
13546
медь
8940
нихром
8100-8400
лёд
(20оС)
масло
900
константан
7850
спирт
800
фарфор
2300
8900
3. Поверхностное натяжение жидкостей
Вещество
, мН/м
о
вода (при t=0 С) 75,6
вода (при t=20 оС) 72,8
Вещество
, мН/м
о
раствор мыла (при t=20 С) 40
ртуть (при t=20 оС)
472
5. Эффективный диаметр молекулы газов
Вещество
Диаметр молекулы,
Вещество
нм
Диаметр молекулы,
нм
Азот (N2)
0,31
Гелий (Не)
0,19
Вода (H2O)
0,30
Аргон (Ar)
0,36
Водород (Н2)
0,23
Воздух
0,30
Кислород (О2)
0,29
6. Удельная теплота плавления
λ, Дж/Кг
Лёд
33500
122
Свинец
2300
7. Удельная теплота парообразования
r, Дж/Кг
Вода
225000
Эфир
66800
8. Удельное электрическое сопротивление  R проводников
(при t=20 оС)
 R , мкОмм
Проводник
 R , мкОмм
Проводник
Алюминий
0,028
Никель
0,073
Вольфрам
0,055
Свинец
0,21
Железо
0,10
Серебро
0,016
Золото
0,024
Олово
0,12
Медь
0,017
Сталь
0,10-0,14
9. Диэлектрическая проницаемость веществ
(для газов при 0 оС, жидкостей и твердых веществ при 20 оС; при давлении 1 атм)
Газы

Жидкости

Твердые
тела

Азот
1,0058
Вода
81
Парафин
1,92,2
Водород
1,00026
Глицерин
43
Дерево
сухое
2,23,7
Воздух
1,00057
Спирт
26
Резина
3,06,0
Кислород
1,00055
Керосин
2,0
Слюда
5,77,2
Водяной
1,006
Масло
2,2
Стекло
6,0-
123
пар (100 оС)
трансформаторное
Углекислый
газ
1,00099
10,0
Гелий жидкий
(при –269 оС)
Фарфор
1,05
4,46,8
10. Энергия ионизации
Элемент
Энергия
ионизации,
эВ
Н2
Не
СО2
N2
O2
Ne
Na
15,4
24,45
14,4
15,8
12,5
21,48
5,12
11. Показатель преломления
Вещество
Показатель
Вещество
Показатель
Вещество
Показатель
Алмаз
2,42
Вода
1,33
Глицерин
1,47
Каменная
соль
1,54
Кварц
1,55
Сероуглерод
1,63
Скипидар
1,48
Стекло
1,52
12. Интервалы длин волн, соответствующие различным цветам спектра
Цвет
Интервал, нм
Цвет
Интервал, нм
Фиолетовый
400-450
Жёлтый
560-590
Синий
450-480
Оранжевый
590-620
Голубой
480-500
Красный
620-760
Зелёный
500-560
13. Подвижности некоторых положительных газовых ионов
при давлении в 1 атм
Газ
Подвижность b+,
Газ
124
Подвижность b+,
Н2
см 2
сВ
5,91
N2
см 2
сВ
1,27
O2
1,29
СО2
1,10
Не
5,09
Cl2
0,65
14. Электрохимические и химические эквиваленты веществ
Вещество
Обозначение
Атомный
вес
Валентность
Химический
эквивалент
Электрохим.
эквивалент,
10-6 кг/Кл
Серебро
Ag 
107,868
1
107,86
8
1,118
Медь
Cu2
Cl
63,546
2
31,773
0,3294
35,453
1
35,453
0,367
Водород
H
1,008
1
1,008
0,01045
Кислород
O2 
16
2
8
0,0829
Алюмини
й
Al 3
26,9815
3
8,994
0,0932
Никель
Ni 2
58,71
2
29,355
0,304
Золото
Au 3
196,967
3
65,655
7
0,681
Калий
K
39,102
1
39,102
0,4052
Натрий
Na 
22,9898
1
Железо
Fe3
55,847
3
Цинк
Zn 2 
NO3
65,37
2
Хлор
22,989
8
18,615
7
32,685
0,2383
0,193
0,3388
1
0,643
OH
1
0,177
SO24 
2
0,499
125
15. Работа выхода электронов из металла Авых, эВ
Металл
Авых, эВ
Металл
Авых, эВ
Аллюминий
3,7
Литий
2,3
Платина
6,3
Цинк
4,0
Вольфрам
4,5
Медь
4,4
Цезий
1,8
Никель
4,8
16. Формулы для приближенных вычислений
Неравенства указывают значения х, при которых расчет по приближенным
формулам приводит к ошибкам, не превышающим 0,1%.
1
 1 x,
x  0,031
1 x
1
1 x 1 x,
x  0,093
2
1
1 x  1 x ,
x  0,085
2
x  0,045
e x  1  x ,
x  0,045
ln(1  x)   x ,
sin x  x ,
x  0,077
126
рад (4,40)
cos x  1 
1 2
x ,
2
x  0,387
Некоторые неопределенные
интегралы





dx
a x
2
2
2
a x
dx 
0

 xe
 x
1

dx 

x
a x
2
e
2
 x2
dx 
0

 ln( x  x 2  a 2 )
 x
dx 
e
2
0
dx
2
 x
0
dx
x a
e
 ln( x  a 2  x 2 )
dx
1
 2
2
2 32
(a  x )
a
2
Некоторые определенные
интегралы

dx
1
x

arctg
a
a2  x2 a
рад (22,20)
2
 arcsin

x
a
1
2
1 
2 
1
2
2  x
dx 
x e
2
0
x 2 dx
a2
x x
2
2
 2 2  2 arcsin a  2 a  x
a x

3  x
dx 
x e
2
0

3
1
4
1
2 2
17. Десятичные приставки к названиям единиц
Название
Обозначение
Множитель
Название
Обозначение
приставки
приставки
приставки
приставки
тера
Т
1012
деци
д
10-1
гига
Г
109
санти
с
10-2
мега
М
106
милли
м
10-3
кило
к
103
микро
мк
10-6
гекто
г
102
нано
н
10-9
дека
да
101
пико
п
10-12
18. Некоторые числа
127
Множитель
e  2,718282
ln x  2,3026 lg x
lg e  0,434294
  3,1415926
ln 10  2,302585
 2  9,869624
lg x  0,4343 ln x
  1,7724538
19. Буквы греческого алфавита
1.
2.
3.
4.








альфа
8.
бета
9.
гамма
10.
дельта
11.








128
тэта
15.
каппа
16.
ламбда
17.
мю
18.








ро
сигма
тау
фи
5.
6.
7.






эпсилон
12.
дзета
13.
эта
14.





ню
19.
кси
20.
пи

129




пси
омега
20. Таблица Менделеева
H
1
He
1,0079
4
ГЕЛИЙ
ВОДОР
ОД
Be
Li
3
6,941
ЛИТИЙ
Na
11
22,989
7
НАТРИ
Й
4
9,0121
8
БЕРИЛ
ЛИЙ
Mg
12
24,305
МАГНИ
Й
K
Ca
19
20
39,098
3
40,078
КАЛИЙ
КАЛЬЦ
ИЙ
Cu
Zn
29
30
63,546
65,39
МЕДЬ
Rb
37
85,467
8
РУБИД
ИЙ
Ag
47
107,86
8
СЕРЕБ
РО
Cs
55
132,90
5
ЦЕЗИЙ
Au
79
196,96
6
ЗОЛОТ
О
Fr
87
223,01
9
ФРАНЦ
ИЙ
2
4,00260
B
5
10,811
C
6
12,011
БОР
УГЛЕР
ОД
Al
Si
13
14
26,981
5
28,085
5
АЛЮМ
ИНИЙ
КРЕМН
ИЙ
Sc
21
44,955
9
Ti
22
47,88
N
7
14,0067
АЗОТ
P
15
O
8
15,9994
КИСЛОРО
Д
S
16
30,9737
32,066
ФОСФОР
СЕРА
V
Cr
24
50,9415
51,9961
ВАНАДИЙ
ХРОМ
Ga
Ge
31
32
As 33
Se 34
69,723
72,59
74,9216
78,96
ЦИНК
ГАЛЛИ
Й
ГЕРМА
НИЙ
МЫШЬЯК
СЕЛЕН
Sr
Y
Zr
38
88,905
9
40
ИТТРИ
Й
ЦИРКО
НИЙ
СТРОН
ЦИЙ
Cd
48
112,41
КАДМИ
Й
Ba
56
137,33
БАРИЙ
Hg
80
200,59
РТУТЬ
In
49
114,82
ИНДИЙ
La*
57
138,90
5
ЛАНТА
Н
Tl
81
204,38
3
ТАЛЛИ
Й
88
Ac*
* 89
226,02
5
227,02
7
Ra
РАДИЙ
АКТИН
ИЙ
91,224
Sn
50
118,71
0
ФТОР
Cl
17
35,453
Ne 10
20,179
НЕОН
Ar
18
39,948
АРГОН
Mn
23
ТИТАН
87,62
9
18,998
4
ХЛОР
СКАНД
ИЙ
39
F
92,9064
Br
35
79,904
БРОМ
Tc
42
41
54,938
0
МАРГА
НЕЦ
Mo
Nb
25
95,94
НИОБИЙ
МОЛИБДЕ
Н
Sb 51
Te
121,75
127,60
СУРЬМА
ТЕЛЛУР
52
Fe
26
55,847
ЖЕЛЕЗО
Kr
Co
Ni
27
58,9332
КОБАЛЬТ
28
58,69
НИКЕЛЬ
36
83,80
КРИПТОН
Pd
43
Ru
Rh
97,907
2
44
45
101,07
102,905
ТЕХНЕ
ЦИЙ
РУТЕНИЙ
РОДИЙ
ПАЛЛАДИ
Й
I
Xe 54
Ir
Pt
53
126,90
4 ИОД
46
106,42
131,29
КСЕНОН
ОЛОВО
Hf
72
Ta
178,49
180,947
ГАФНИ
Й
Pb
73
ТАНТАЛ
82
Bi
207,2
208,980
СВИНЕ
Ц
Rf
104
[261]
РЕЗЕР
ФОРДИ
Й
83
W
74
183,85
ВОЛЬФРА
М
Po 84
208,982
Re
75
186,20
7
РЕНИЙ
At
85
Os
76
190,2
ОСМИЙ
Db
Sg10
Bh
Hs
105
6
[263]
107
108
[262]
СИБОРГО
ВИЙ
[262]
[265]
БОРИЙ
ХАССИЙ
ДУБНИЙ
130
ИРИДИЙ
ПЛАТИНА
Mt
Uun
109
110
[266]
[271] УН-
МЕЙТНЕР
ИЙ
УННУЛИЙ
86
209,98
7
АСТАТ
78
195,08
Rn
ПОЛОНИ
Й
ВИСМУТ
77
192,22
222,01
РАДОН
Литература
1. Курс физики: Учебник для вузов: 2-е изд., испр./Под ред. В.Н. Лозовского. –
СПб.: Издательство «Лань», 2001 – 592 с.
2. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. 5-е изд., стер. – М.:
«Высшая школа», 1998 – 542 с., ил.
3. 4.Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. – Киев: «Днипро», 1994.
4. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1989.
5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. - М.: Наука, 1989.
6. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики для втузов / Т.И. Трофимова. –
3-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство
«Мир и образование», 2003. – 384 с., ил.
7. Трофимова Т.И. Справочник по физике для студентов и абитуриентов / Т.И.
Трофимова. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ»,
2001. – 400 с., ил.
8. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике для инженеров и студентов
вузов. Изд-е 6-е, испр. М.: Наука, 1974. – 944 с.: ил.
131
Учебное издание
Антипин Дмитрий Александрович
Волокитина Наталья Ивановна
Лукин Алексей Евгеньевич
Михайлусова Татьяна Николаевна
Однобоков Вячеслав Владимирович
ФИЗИКА
Методические указания и контрольные задания
Технический редактор: Т.Н. Михайлусова, В.В. Однобоков
Компьютерная вёрстка: Н.Н. Александрова
Корректор:
Подписано в печать
. Формат 60  90 /16 .
Гарнитура Times New Roman. Усл. п. л. 8,4
Тираж 250 экз. Заказ №
Адрес издательства:
Россия, 180000, г. Псков, ул. Л. Толстого, 4,
Псковский государственный университет
132