Моделирование волн на заряженной поверхности цилиндрической конфигурации жидкости, окружающей длинное пористое ядро

Моделирование волн на заряженной поверхности
цилиндрической конфигурации жидкости, окружающей
длинное пористое ядро
Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова
Физико-математический факультет, Мордовский государственный педагогический институт, Саранск,
Россия, [email protected]
Modelling of the waves on charged surface of a cylindrical
configuration of liquid, surrounding a long porous core
N. G. Taktarov, S. M. Mironova
Physics and Mathematics Department, Mordovian State Pedagogical Institute, Saransk, Russia
Abstract — Propagation and instability of the
waves on a charged surface of a cylindrical conducting
liquid configuration, surrounding a long coaxial
porous core, had been investigated.
Keywords — waves, charged surface, cylindrical
configuration of a liquid, long porous core.
Сформулирована и исследована математическая
модель распространения и неустойчивости волн на
заряженной поверхности цилиндрического столба
электропроводной жидкости бесконечной длины,
окружающей
коаксиально
расположенное,
бесконечное пористое ядро. Найдены условия, при
которых возмущения жидкого столба становятся
неустойчивыми и приводят к его распаду на цепочку
из соединенных капель. Показано, что длина этих
капель уменьшается с возрастанием электрического
поля.
Распространение поверхностных волн в слое
жидкости на пористом основании рассмотрено в
работе [1]. Задача о волнах на поверхности струи
жидкости впервые была решена Релеем [2]. Волны на
заряженной
поверхности
струи
жидкости
исследованы в [3]. Задача о волнах на поверхности
струи магнитной жидкости рассмотрена в [4].
1. Математическая модель. Предполагается,
что
внутри
цилиндрического
объема
электропроводной несжимаемой жидкости находится
ядро из пористого материала в форме коаксиально
расположенного круглого цилиндра. Сила тяжести
предполагается отсутствующей. Ось пористого
цилиндра
совпадает
с
осью
коаксиального
цилиндрического
конденсатора,
к
электродам
которого приложена разность потенциалов V.
Внутренним электродом конденсатора является
поверхность проводящей жидкости. Задача решается
в цилиндрической системе координат (𝑟, θ, 𝑧), в
которой жидкий столб покоится. Ось Oz направлена
по оси пористого цилиндра. Радиус пористого
цилиндра, невозмущенной поверхности жидкости и
внешнего
электрода
обозначим
𝑎, 𝑎0
и
b
соответственно.
Как
известно,
заряд
будет
сосредоточен на поверхности электропроводной
жидкости. Внутри жидкости и пористой среды
напряженность электрического поля 𝑬 = 0 и будет
отлична от нуля в промежутке между электродами. На
поверхности проводника выполняется соотношение
𝐸𝑛 = 𝑬 𝒏 = 4πσ, где 𝒏 – единичная внешняя нормаль
к поверхности, σ – плотность поверхностного заряда.
Величины, относящиеся к пористой среде и
свободной жидкости, в необходимых случаях
обозначаются индексами 1 и 2 соответственно.
Уравнения движения электропроводной жидкости
в пористой среде при условии 𝑬 = 0 имеют вид [1]
ρ 𝜕𝒖1
Γ 𝜕𝑡
η
= −grad 𝑝1 − 𝒖1 ,
𝐾
div 𝒖1 = 0.
(1.1)
Здесь ρ – плотность жидкости, Γ – пористость
(отношение объема пор ко всему элементарному
объему среды), η – вязкость, 𝐾 – коэффициент
проницаемости пористой среды, 𝑝1 – давление, 𝒖1 –
макроскопическая скорость фильтрации, связанная со
средней скоростью
𝒗1
жидкости в порах
соотношением 𝒖1 = Γ 𝒗1 .
Уравнения движения свободной жидкости при 𝑬 =
0 и в предположении, что амплитуда волны
значительно меньше ее длины [5], запишем в
линейном приближении
ρ
𝜕𝒖2
𝜕𝑡
= −grad 𝑝2 ,
div 𝒖2 = 0
(1.2)
1)
Здесь 𝒖2 – скорость свободной жидкости.
Ограничиваемся случаем волн достаточно большой
длины λ, существенно превышающей радиус 𝑎0
жидкого столба, с тем, чтобы пренебречь слагаемыми,
содержащими ∆𝒖1 и ∆𝒖2 в уравнениях (1.1) и (1.2).
Уравнения для электрического поля в воздухе:
rot 𝑬 = 0,
div (ε𝑬) = 0
𝒖1 = ∇φ1 , 𝒖2 = ∇φ2 , 𝑬 = −∇Φ
(1.4)
Δφ1 (𝑟, θ, 𝑧, 𝑡) = 0, Δφ2 (𝑟, θ, 𝑧, 𝑡) = 0,
ΔΦ(𝑟, θ, 𝑧, 𝑡) = 0
Потенциал Φ запишем в виде Φ = Φ0 (𝑟) +
Φw (𝑟, θ, 𝑧, 𝑡), где Φw – малое возмущение, связанное с
волной; Φ0 – невозмущенный потенциал, который
находится из уравнения ΔΦ0 = 0 с граничными
условиями Φ0 (𝑎0 ) = 𝑉, Φ0 (𝑏) = 0, и имеет вид
ln (𝑟/𝑏)
ln (𝑎0 /𝑏)
Справедливы равенства
𝐸0 (𝑟) = −Φ0′ (𝑟), 𝐸0 (𝑎0 ) = 4πσ0
(1.5)
где 𝐸0 (𝑟) – невозмущенное поле. Возмущенное поле
записываем в виде 𝑬 = 𝑬0 + 𝑬𝑤 , где 𝑬𝑤 = −∇Φw и
∆Φw = 0.
Система граничных условий имеет вид:
на границе пористой среды (r = a):
1) 𝑢1𝑟 = 𝑢2𝑟 ,
(1.6)
2) 𝑝1 = 𝑝2 ;
на свободной поверхности жидкости (𝑟 = 𝑎0 +
ξ(θ, 𝑧, 𝑡)):
3) 𝑢2𝑟 = 𝑑ξ⁄𝑑𝑡 ,
4) Φ0 (𝑎0 + ξ) + Φ𝑤 = 𝑉 = const,
5) ε𝐸𝑛2 ⁄(8𝜋) + 𝑝2 − 𝑝𝑎 = 2α𝐻;
на внешнем электроде (r = b):
6) Φ𝑤 (𝑏) = 0.
Здесь 𝑝𝑎 – атмосферное давление, α –
коэффициент поверхностного натяжения, 𝐻 – средняя
кривизна поверхности, 𝐸𝑛 = (𝑬0 + 𝑬𝑤 )𝒏.
Давления запишем в виде
𝑝1 = 𝑝10 + 𝑝1𝑤 ,
𝑝2 = 𝑝20 + 𝑝2𝑤 , где 𝑝10 , 𝑝20 – равновесные давления.
Для возмущений давления из (1.1) и (1.2) следует
𝑝1𝑤 = −(ρ⁄Γ) (𝜕φ1 ⁄𝜕𝑡) − (η⁄𝐾 )φ1 ,
𝑝2𝑤 = −ρ (𝜕φ2 ⁄𝜕𝑡).
(1.7)
Граничные условия (1.6) с учетом (1.7) в линейном
приближении принимают вид:
=
𝜕𝑟
ρ 𝜕φ1
Γ 𝜕𝑡
𝜕φ2
𝜕φ2
(𝑟 = 𝑎),
𝜕𝑟
η
+ φ1 = ρ
(1.8)
𝜕φ2
𝐾
𝜕ξ
𝜕𝑡
(𝑟 = 𝑎),
3)
=
(𝑟 = 𝑎0 ),
𝜕𝑟
𝜕𝑡
4) Φ𝑤 − 𝐸0 ξ = 0 (𝑟 = 𝑎0 ),
5)
ε𝐸02
𝜕φ2
4π𝑎0 𝜕𝑟
∂
ξ
α
(1.3)
Здесь ε = const – диэлектрическая проницаемость.
Из уравнений (1.1) – (1.3) следует
Φ0 (𝑟) = 𝑉
2)
𝜕φ1
(
∂𝑡 𝑎02
+
+
ε𝐸0 𝜕2 Φ𝑤
+ρ
4π 𝜕𝑡 𝜕𝑟
1 𝜕2 ξ
𝜕2 ξ
𝑎02 𝜕θ2
+
𝜕𝑧 2
𝜕 2 φ2
𝜕𝑡 2
=
) (𝑟 = 𝑎0 ),
6) Φ𝑤 (𝑏) = 0.
Здесь 𝐸0 ≡ 𝐸0 (𝑎0 ), а также учтено, что
Φ0′ (𝑎0 ) = −𝐸0 , Φ0′′ (𝑎0 ) = 𝐸0 /𝑎0 .
Математическая модель является краевой задачей,
состоящей из уравнений Лапласа (1.4) и граничных
условий (1.8).
2. Решение
краевой
задачи.
Решение
уравнений (1.4) с граничными условиями (1.8) ищем в
виде
̂ 𝑤 (𝑟), 𝜉̂ } ×
{φ1 , φ2 , Φ𝑤 , ξ} = {𝜑̂1 (𝑟), 𝜑̂2 (𝑟), Φ
× exp(−γ𝑡 + 𝑖𝑘𝑧 + 𝑖𝑚θ).
Здесь, например,
φ1 = 𝜑̂1 (𝑟)exp(−γ𝑡 + 𝑖𝑘𝑧 +
𝑖𝑚θ), где 𝜑̂1 (𝑟) – амплитуда; 𝑘 = 2π/λ – волновое
число; 𝑚 = 0, 1, 2, … ; γ = γ𝑟 + 𝑖𝛾𝑖 , ω = |𝛾𝑖 | – частота,
β = γ𝑟 – коэффициент, который может быть как
положительным (при затухании возмущения), так и
отрицательным (при неустойчивости, приводящей к
нарастанию возмущения).
Уравнение
∆φ1 = 0
принимает
вид
модифицированного уравнения Бесселя порядка m,
общее решение которого имеет вид
φ
̂ 1 (𝑟) = 𝐶1 𝐼𝑚 (𝑘𝑟) + 𝐶2 𝐾𝑚 (𝑘𝑟).
Здесь 𝐼𝑚 и 𝐾𝑚 – модифицированные функции
Бесселя первого и второго рода порядка m.
Аналогично: 𝜑̂2 (𝑟) = 𝐶3 𝐼𝑚 (𝑘𝑟) + 𝐶4 𝐾𝑚 (𝑘𝑟), Φ𝑤 (𝑟) =
= 𝐶5 𝐼𝑚 (𝑘𝑟) + 𝐶6 𝐾𝑚 (𝑘𝑟). Следует положить 𝐶2 = 0,
т. к. 𝐾𝑚 (𝑘𝑟) → ∞ при 𝑟 → 0.
Выражая граничные условия (1.8) через
амплитуды, получим систему шести линейных
алгебраических уравнений для коэффициентов 𝐶1 , 𝐶3 ,
𝐶4 , 𝐶5 , 𝐶6 . Предполагая, что 𝑎0 ⁄𝑏 ≪ 1 и приравнивая
к нулю определитель линейной системы, получим
дисперсионное уравнение для поверхностных волн:
′ (𝑘𝑎)]
γ3 ρ2 [𝐴1 𝐼𝑚 (𝑘𝑎) − Γ 𝐴2 𝐼𝑚
−
2
−γ ρηΓ 𝐴1 𝐼𝑚 (𝑘𝑎)⁄𝐾 −
′ (𝑘𝑎)]
−γρ𝐿𝑘[𝐴4 𝐼𝑚 (𝑘𝑎) + Γ 𝐴3 𝐼𝑚
+
+𝑘𝐿ηΓ 𝐴4 𝐼𝑚 (𝑘𝑎)⁄𝐾 = 0,
′ (𝑘𝑎)
′ (𝑘𝑎)𝐾 (𝑘𝑎 ),
𝐴1 = 𝐼𝑚 (𝑘𝑎0 )𝐾𝑚
− 𝐼𝑚
𝑚
0
𝐴2 = 𝐼𝑚 (𝑘𝑎0 )𝐾𝑚 (𝑘𝑎) − 𝐼𝑚 (𝑘𝑎)𝐾𝑚 (𝑘𝑎0 ),
′ (𝑘𝑎 )𝐾 (𝑘𝑎)
′ (𝑘𝑎 ),
𝐴3 = 𝐼𝑚
− 𝐼𝑚 (𝑘𝑎)𝐾𝑚
0
𝑚
0
′ (𝑘𝑎)𝐾 ′ (𝑘𝑎 )
′ (𝑘𝑎 )𝐾 ′ (𝑘𝑎),
𝐴4 = 𝐼𝑚
𝑚
0 − 𝐼𝑚
0
𝑚
(2.1)
𝐿=
ε
4π𝑎0
𝐸02 [1 +
′ (𝑘𝑎 )
𝑘𝑎0 𝐾𝑚
0
α
𝐾𝑚(𝑘𝑎0 )
𝑎02
]−
(1 − 𝑚2 − 𝑘 2 𝑎02 ).
Отметим, что при Γ → 1,
η/𝐾 → 0 (замена
пористой среды жидкостью) первое уравнение (1.1)
переходит в уравнение Эйлера, а из уравнения (2.1)
при 𝑎 → 0 следует дисперсионное уравнение,
полученное в [3]. При 𝐸0 = 0 получается результат
Релея. Предельный переход 𝐾 → 0 соответствует
замене пористого ядра
сплошным твердым
цилиндром (𝒖1 = 0).
Уравнение (2.1) – кубическое и может быть
приведено
к
так
называемому
неполному
кубическому уравнению [6] с дискриминантом 𝑄 =
(𝑝/3)3 + (𝑞/2)2 , где 𝑝 и 𝑞 выражаются через
коэффициенты уравнения (2.1). При выполнении
условия 𝑄 > 0 существует волновое движение,
поскольку при этом уравнение (2.1) имеет два
комплексно сопряженных корня. При 𝑄 ≤ 0 волновых
движений нет, так как все три корня уравнения (2.1)
действительные.
3. Анализ модели. Конкретные числовые
расчеты с дисперсионным уравнением (2.1)
проводились для следующих значений параметров:
ρ = 1 г/см3 , α = 73 г/с2 , η = 0,01 г/см ∙ с, Γ = 0,8,
𝐾 = 0,02 см2 , 0 < 𝑘 < 2 см−1 , ε = 1, 0 ≤ 𝐸0 ≤ 50 ед.
СГС (1 ед. СГС = 300 В/см).
Для симметричных возмущений (𝑚 = 0) и
значений 𝑎 = 0,1 см, 𝑎0 = 1,1 см, 0 ≤ 𝐸0 ≤ 30
ед. СГС
интервал
0 < 𝑘 < 2 см−1
делится
критической точкой 𝑘𝑐 (λ𝑐 = 2π/𝑘𝑐 ), которая
находится из условия 𝑄 = 0, на два интервала. В
интервале 0 < 𝑘 < 𝑘𝑐 волны отсутствуют: происходит
нарастание возмущений (β < 0). Амплитуда растет с
наибольшей скоростью при некотором 𝑘 = 𝑘𝑚 .
Размер образующихся при распаде жидкого столба
капель равен λ𝑚 ≈ 2π/𝑘𝑚 [2]. При 𝑘 → 𝑘𝑐 (λ → λ𝑐 )
движение жидкости замедляется, т. е. ω → 0, β → 0. В
интервале 𝑘𝑐 < 𝑘 < 2 см−1 существуют затухающие
(β > 0) волны. При 𝐸0 > 30 ед. СГС, когда 0 < 𝑘 <
2 см−1 , появляются две критические точки 𝑘1𝑐 и 𝑘2𝑐
(𝑘1𝑐 < 𝑘2𝑐 ). При этом в интервалах 0 < 𝑘 < 𝑘1𝑐 и
𝑘2𝑐 < 𝑘 < 2 см−1 существуют затухающие волны, а в
интервале 𝑘1𝑐 < 𝑘 < 𝑘2𝑐 происходит апериодическое
движение с нарастающей амплитудой, приводящее к
образованию
капель.
При
𝐸0 > 44
ед. СГС
выполняется неравенство 𝑘2𝑐 > 2 см−1, т. е. в
промежутке
0 < 𝑘 < 2 см−1
остается
одна
критическая точка.
При 𝑚 = 1 также могут существовать волновые
движения.
Для
𝑚≥2
движение
является
апериодическим, с сильным затуханием волн всех
длин.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные
и научно-педагогические кадры инновационной
России» на 2009–2013 годы (ГК №П695 от 20 мая
2010 г.).
Литература
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
Столяров И. В., Тактаров Н. Г. Распространение
поверхностных волн в слое жидкости на пористом
основании // Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. № 5. С. 183-186.
Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической
устойчивости. М.: Физматлит, 2005. 287 с.
Huebner A. L., Chu H. N. Instability and breakup of charged
liquid jets // J. Fluid Mech. 1971. V. 49. Pt. 2. P. 361-372.
Тактаров Н. Г. Распад струи магнитной жидкости //
Магнитная гидродинамика. 1975. №2. С. 35-38.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.:
Физматлит, 2006. 736 с.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.
431 с.