documentstyle[12pt,fancy]article

\documentstyle[12pt,fancy]article
%\documentstyle[12pt]article
\setlength\textwidth16.3cm
\setlength\textheight25.3cm
\topmargin -2.5cm
\oddsidemargin 0.5cm
\def\theequation\arabicsection.\arabicequation
%\renewcommand\theequation\arabicsection.\arabicsubsection.\arabicequation
\def\vx\vecx
\def\vn\vecn
\def\Zr\bf Z^r
\def\aoox\overline\overlinex
\def\aoot\overline\overlinet
\def\aooy\overline\overliney
\def\bs\beta^(S)
\def\fsf^(S)
\def\Zt\bf Z^r
%\def\be\beginequation
%\def\ee\endequation
\language=1
\renewcommand\topfraction.9
\renewcommand\textfraction.1
\pagestyleempty
\font \Bbb=msbm10 scaled 1440
\language=1
\newcommand\R\mbox\Bbb
R
\newcommand\N\mbox\Bbb
N
\newcommand\Q\mbox\Bbb
Q
\newcommand\C\mbox\Bbb
C
\newcommand\Z\mbox\Bbb
Z
\newcommand\K\mbox\Bbb
K
\renewcommand\emptyset\mbox\Bbb \symbol"3F
\setlength\itemsep-\parsep
%\newcommand\K\rmI\! K
\newcommand\defi\;\buildrel \rm def \over =\;
\newcommand\ep\varepsilon
\newcommand\tx\tilde\tilde x
\newcommand\ty\tilde\tilde y
\newcommand\ti\tilde\tilde \rm I
\def\ugsk#1\langle #1 \rangle
\newcommand\TT
\def\apoA,p,\omega
\def\kkk_1, \ldots, k_s
\def\tp\tildep
\def\of\overlinef
%\newcommand\R\rmI\! R
\newcommand\SS\mathcal S
\newcommand\G\Gamma
\newcommand\neeq\equiv\!\!\!\!\!/
\newcommand\r(q_n(t))
\newcommand\const\rm const
\newcommand\sg\rm sgn
\renewcommand\refnameСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
\def\theequation\arabicequation
\newcommand\sectionn[1]\section#1 \setcounterequation0
\hyphenationбе-с-ко-не-ч-но%\newcommand\defi\;\buildrel \rm def \over =\;
\newcommand\cons\mbox\rm const
\newcommand\sgn\mbox\rm sgn
\newcommand\rank\mbox\rm rank
\newcommand\su\mbox\rm supp
\newcommand\ord\mbox\rm ord
\newcommand\di\mbox\rm diag
\newcommand\re\mbox\rm Re
\newcommand\im\mbox\rm Im
\def\bB\bf
B
\def\bR\bf
R
\def\bC\bf
C
\def\bD\bf
D
\def\bF\bf
F
\def\bG\bf
G
\def\bU\bf
U
\def\bM\bf
M
\def\bL\bf
L
\def\bN\bf
N
\def\bH\bf
H
\def\bS\bf
S
\def\bT\bf
T
\def\bK\bf
K
\def\bV\bf
V
\def\bP\bf
P
\def\bE\bf
E
\def\bGam\bf \Gamma
\def\bDel\bf \Delta
\def\bPi\bf \Pi
\def\calK\cal K
\newcommand\oq\overlineq
\newcommand\ooq\overline\overlineq
\newcommand\ox\overlinex
\newcommand\oox\overline\overlinex
\newcommand\od\overline\delta
\newcommand\ood\overline\overline\delta
\newcommand\oy\overliney
\newcommand\ooy\overline\overliney
\newcommand\oM\overlineM
\newcommand\ooM\overline\overlineM
\newcommand\on\overlinen
\newcommand\oon\overline\overlinen
\newcommand\oA\overlineA
%\newcommand\R\rmI\! R
%\newcommand\N\rmI\! N
%\newcommand\Q\rm Q\!\!\! l
%\newcommand\C\rmI\!\!\! C
\renewcommand\refname \normalsize \bf СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
%\newcommand\ol\setlength\itemsep0pt.\beginenumerate
%\newcommand\eol\endenumerete\setlength\itemsep-\parsep
\hyphenationоб-ра-т-но-е
%\emergencystretch=3pt
\hfuzz=2pt
\tolerance=2500
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\pagestyleempty
\begindocument
\large
\vbox
\vskip 1 cm
\centerlineРОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
\centerlineОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
\centerlineИМЕНИ М.В. КЕЛДЫША
\bigskip
\vskip 5cm
\centerlineЛ.Д.~Пустыльников
\vskip 0.5cm
\centerlineГИПОТЕЗА
\centerlineКВАНТОВОГО ХАОСА
\centerlineИ ОБОБЩЕННЫЕ
\centerlineЦЕПНЫЕ ДРОБИ
\vskip 8cm
\centerlineМосква, 2002 г.
\large
\newpage
\bigskip
\vbox
\quad УДК 511.36+517
Л.Д. Пустыльников. Гипотеза квантового хаоса и обобщенные цепные дроби.
Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 2002.
\bigskip
Дано доказательство гипотезы
квантового хаоса для широкого
класса систем, включающего, как
частный случай, модель
вращающейся частицы, находящейся
под действием коротких толчков:
распределение расстояний между
соседними уровнями энергии близко
к закону распределения Пуассона и
отличается от него членами третьего
порядка малости. Доказательство
сводится к одному
результату теории чисел о
распределении расстояний между
соседними дробными частями
значений многочлена, а оценка
остаточного члена основана на
новой теории обобщенных цепных
дробей для векторов.
\vskip 1.cm
L.D.
Pustyl$'$nikov.
The
quantum chaos conjecture and
generalized continued fractions.
Preprint of the Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS. Moscow, 2002.
\bigskip
The proof of the quantum chaos
conjecture for a broad class of
quantum systems including the
"kicked rotator" model as a special
case is given: the distribution of
distances between adjacent energy
levels is close to Poisson distribution
and differ from it by a third order term
of smallness. The proof essentially
uses results on the distribution of
distances between adjacent fractional
parts of polynomial values. The
estimate of the remainder term is
based on the new theory of
generalized continued fractions for
vectors.
\vskip 1.cm
\copyright\phantomBИПМ им. М.B.
Келдыша РАН, Москва, 2002 г.
\bigskip
Работа выполнена при финансовой
поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований,
гранты 02-01-01067 и 00-01-00583.
\bigskip
E-mail: [email protected]
\newpage
%\pagestyleplain
\input fancy
\begincenter
\bf Введение
\endcenter
\smallskip
Данная работа посвящена
проблеме
строгого обоснования гипотезы
квантового хаоса, которая
поставлена
М.Бе
рри и
М.Та
бор в
[1]
(см.т
акже
[2,3])
.
Гипо
теза
состо
ит в
том,
что
для
мног
их
кван
товы
х
систем распределение
расстояний между
соседними уровнями
энергии близко к закону
распределения Пуассона с
плотностью $\exp(-\sigma)$
и асимптотически совпадает
с ним,
если $\sigma \to 0$. До
настоящего времени эта
гипотеза не была доказана
ни для одной системы. В
работе приводится ее
доказательство для одного
класса квантовых систем,
включающего, как частный
случай, модель
вращающейся частицы,
находящейся под
действием коротких
толчков, периодически
зависящих от времени и
фазы (``kicked rotator'';
[4,5,6,7,9]). Эта система
периодически зависит от
времени и для таких систем
существует понятие
энергии ([8]), которая
представляет собой
мнимую часть логарифма
спектра оператора
монодромии для уравнения
Шредингера. В частном
случае, когда величина
толчка одна и та же при
всех значениях фазы,
спектр оператора
монодромии -дискретный и можно
говорить о расстояниях
между соседними
собственными значениями,
которые соответствуют
состояниям с соседними
частотами колебаний. В
общем случае, когда
зависимость величины
толчка от фазы существует,
также можно ввести
соседние уровни энергии,
как функции от фазы,
которые в указанном
частном случае становятся
константами.
Эти функции хорошо
известны и
исследовались в
физической и
математической
литературе
(см.,например, [5,7]).
В работе доказывается
(теорема 1, \S~1),что
при фиксированном
значении фазы
предельная функция
распределения
$P(\sigma)$
расстояний между
соседними
энергетическими
уровнями не зависит
от фазы, имеет вид
$P(\sigma)=\sigma\sigma^2/2$ и
отличается от
функции
распределения $1\exp(-\sigma)$ закона
Пуассона с
плотностью $\exp(\sigma)$ членами
третьего порядка
малости по $\sigma$
при $\sigma \to 0$.
Доказательство этого
результата, данное в
\S~1, сводится к
доказательству
аналогичного
результата для
расстояний между
соседними дробными
частями значений
многочлена в целых
точках, который был
опубликован и
доказан в [10].
Оставшаяся часть
работы посвящена
нахождению оценки
остаточного члена в
законе распределения
расстояний между
соседними уровнями
энергии. С этой целью
в \S~4 получена
оценка остаточного
члена в законе
распределения
расстояний между
соседними дробными
частями значений
многочлена (теорема
5), которая
существенно
использует теорию
многомерных цепных
дробей, развитую в
работах [11,12], и
имеет
самостоятельный
интерес. Следствием
этой оценки является
аналогичная оценка
для энергетических
уровней (теорема 6,
\S~5). В \S\S~2, 3
приведены основные
факты из теории
обобщенных цепных
дробей и теории
совместного
распределения
дробных частей
значений многочленов
[11,12], которые
используются при
получении этих
оценок.
Основные результаты
работы опубликованы
в [13,14].
\bigskip
\begincenter\bf
\S~1. Описание
модели и
доказательство
гипотезы квантового
хаоса \endcenter
\bigskip
Рассмотрим одномерный
нелинейный осциллятор,
задаваемый функцией
Гамильтона
$H=H(\phi,I,t)=H_0(I)+H_1(\p
hi,t)$:
\beginequation\label1
\frac
\rm d\phi
\rm dt
=\frac\partial H\partial I=\frac\rm
dH_0\rm d I,\ \ \
\frac
\rm dI
\rm d t
=-\frac\partial H\partial \phi=\frac\partial H_1\partial \phi,
\endequation
где
$I,\phi$
-переменные
``действие - угол'',
$t$ - независимая
переменная,
а
функция
$H_1(\phi,t)$
имеет период $2\pi$ по $\phi$,
период $T>0$ по $t$ и
представляется
в
виде
\beginequation\label2
H_1(\phi,t)=F(\phi)\sum\limits_k
=-\infty^\infty\delta(t-kT),
\endequation
где $F(\phi)$ -- гладкая
$2\pi$ - периодическая
функция,
$\delta=\delta(t)$ -- дельта функция, а суммирование
распространено на все целые числа $k$ . Первые строгие результаты о поведении
решений системы (1) для функции $H_0(I)$
общего вида получены в [9]. Здесь
же мы предполагаем, что $H_0(I)=\sum^n_s=0b_n I^n$ -многочлен степени $n\geq 2$ с коэффициентами
$b_s=a_s/\hbar^s \ (s=0,\ldots ,n)$, где $\hbar$
-- постоянная Планка, а $a_s$ -- вещественные числа. В частном случае, когда $n=2$,
а $a_0=a_1=0$, система (1) есть "kicked rotator" [4,5,6,7]. Введем гильбертово
пространство $L^2$ комплексных $2\pi$-периодических
функций по $\phi$, как пространство состояний квантовой системы, и оператор
импульса
$\hat I=(\hbar/i)\partial/\partial\phi$. Изменение волновой
функции $\Psi=\Psi(\phi,t) \in L^2$ описывается уравнением Шредингера
\beginequation\label3
i\hbar\frac\partial\partial t\Psi (\phi,t) =\hat H(t)\Psi(\phi,t),
\endequation
где $i$ -- мнимая единица, оператор $\hat H(t)=\hat H_0+\hat H_1(t)$, $\hat
H_0=\sum_s=0^nb_s\hat I^s$, а $\hat H_1(t)$ есть предел при
$\varepsilon \to 0$ ($\varepsilon >0$) операторов умножения на функцию
$H_1^(\varepsilon)$,
которая получается из функции $H_1$ в (2), если $\delta$ - функцию
заменить на гладкую функцию $\delta_\varepsilon$,
сосредоточенную на отрезке $[0,\varepsilon]$, интеграл которой равен $1$.
Обозначим через $\Psi_+(\phi, n T)$
решение уравнения (3) сразу после момента $t=n T$
и введем оператор монодромии \ $U: \Psi_+(\phi, n T)\to
\Psi_+\Big(\phi,(n+1)T \Big)$.
\bf Лемма 1 ([4,7]). Оператор $U$ имеет вид
$U=\exp(-iF/\hbar)\exp(-iT\hat H_0/$
$/\hbar)$, где
$\exp(-iF/\hbar)$ --оператор умножения на функцию $\exp(-iF/\hbar)$.
\bf Лемма 2. При $k\in \Z$ рассмотрим функцию
$e_k(\phi)=\exp(ik\phi)\in L^2$. Тогда $Ue_k(\phi)=\lambda_k(\phi)e_k(\phi)$,
где $\lambda_k(\phi)=\exp(-i(F(\phi)+T\sum\limits_s=0^n a_sk^s)/\hbar)$.
\bf
Доказательство. Из определений коэффициентов $b_s$ $(s=0,\ldots ,n)$ многочлена $H_0(I)$ и операторов
$\hat I$,$\hat H_0$ следует, что $\hat H_0=\sum_s=0^n(-i)^sa_sD^s$, где оператор $D=\partial/\partial \phi$.
Поэтому, разлагая оператор $\exp(-iT\hat H_0/\hbar)$ в ряд Тейлора и применяя каждый член этого
разложения к функции $e_k(\phi)$, получим утверждение леммы 2. Лемма 2 доказана.
\bf Определение 1. Функции $e_k(\phi)$
называются обобщенными
собственным функциями оператора
$U$, а функции $\lambda_k(\phi)$
их обобщенными собственными
значениями.
\bf Замечание 1. Если $F(\phi)=\rm
const$, то $e_k(\phi)$ --- обычные
собственные функции оператора $U$, а
$\lambda_k(\phi)$ --- их собственные
значения.
\bf Обозначение. Символ $\x\$ есть
дробная часть числа $x$.
\bf Определение 2. Следуя
[8], величина
$\beta_k(\phi)=\left\(\ln\lambda_k(\phi))/(2\pi
i)\right\$ называется $k$ уровнем энергии
системы (3).
\bf Определение 3. Для любого $k\in \Z$ $k$ - уровень и $(k+1)$ - уровень
энергии называются соседними.
\bf Замечание 2. Смысл определения 3 состоит в том, что
функции $e_k(\phi)$ и $e_k+1(\phi)$ соответствуют квантовым состояниям,
между частотами колебаний $\gamma_k=k/(2\pi)$,
$\gamma_k+1=(k+1)/(2\pi)$ которых,
нет других частот состояний $e_s(\phi)$ при $s\neq k,k+1$.
\bf Теорема 1. Предположим, что среди чисел
$(Ta_2)/(2\pi\hbar),\ldots,(Ta_n)/$
$/(2\pi\hbar)$ хотя бы одно число --- иррациональное,
$0<\sigma\le 1$, $N$ --- натуральное число, а $D_N(\phi ,\sigma )$ --количество чисел $k$ среди чисел $1,\ldots ,N$ таких, что
$0 \leq \beta_k+1(\phi) - \beta_k(\phi) < \sigma$ .
Тогда при любом $\phi$ существует предельная функция
распределения $P(\sigma)= \lim_N \to \infty D_N(\phi,\sigma)/N$, которая
имеет вид $P(\sigma)=\sigma - \sigma^2/2$ и отличается от функции
распределения $P_\Pi(\sigma) = 1 - \exp(-\sigma)$ закона Пуассона с
плотностью $\exp(-\sigma)$ членами третьего порядка малости относительно
$\sigma$ . \\
\bf
Доказательство. Согласно лемме 2 и определению 2
\beginequation
\beta_k+1 (\phi) - \beta_k (\phi) = \ f_\phi (k+1)\ - \f_\phi (k)\\ ,
\endequation
где $f_\phi (k)$ --- значение в точке $x=k$ многочлена
\beginequation
f_\phi (x) = \sum^n_s=0 \tildea_s x^s\ ,
\endequation
с коэффициентами
\beginequation
\tildea_0 = \fracF(\phi)+Ta_02\pi\hbar\ , \ \ \ \tildea_s =
\fracTa_s2\pi\hbar\ ,\qquad (s = 1, \ldots, n)\ .
\endequation
Поэтому величина $D_N
(\phi,\sigma)$, введенная в
формулировке теоремы 1, есть
количество
$\tildeD_N(\phi,\sigma)$ чисел
$k$ среди чисел $1,\ldots,N$
таких, что $0 \le \ f_\phi (k+1) \ - \
f_\phi (k)\ <\sigma$, а, если
выполнено условие теоремы 1, то
среди коэффициентов $\tildea_2,
\ldots, \tildea_n$ многочлена
$f_\phi(x)$ хотя бы одно число -- иррациональное. Теперь
утверждение теоремы 1 следует
из равенства $\lim_N\to\infty
\tildeD_N(\phi,\sigma)/N=\sigma\sigma^2/2$, которое доказано в
[10] (теорема 3). Теорема 1
доказана.
\bigskip
\centerline\bf \S~2.
Многомерные
обобщенные цепные
дpоби \centerline\bf и
обобщенные подходящие
дpоби
\bigskip
\centerline\bf
Обозначения
\begindescription
\item1) $\R_n$ -- n-меpное
вещественное линейное
пpостpанство.
\item2) $T_n$ -- n-меpный
тоp
\[
T_n = \ y_1, \ldots, y_n : 0
\le y_1 < 1, \ldots, 0 \le y_n
< 1\,
\]
котоpый является пpямым
пpоизведением $n$
окpужностей длины $1$.
\item3) mes -- лебеговая
меpа на $T_n$.
\item4) Выpажение,
согласно котоpому
утвеpждение спpаведливо
для почти всех точек
$x \in \R_n$,
означает, что оно
спpаведливо для всех
$x$ из $\R_n$, кpоме
множества лебеговой
меpы ноль.
\item5) Для вещественного
числа $x$ символ $\ x \$
обозначает дpобную часть
$x$, а символ $[x]$ -- целую
часть $x$.
\item6) Для вектоpа $x =
(x_1, \ldots, x_n) \in \R_n$
символ $\x\$ обозначает
вектоp $\ x\ = (\ x_1\, \ldots,
\ x_n \)$, у котоpого
пpи $1 \le s \le n$ $s$-тая
кооpдината есть $\ x_s\$.
\item7) Если $n, m$ -натуpальные числа и $0 <
m \le n$, то символ
$n\choose m$ -- есть
число сочетаний из $n$
элементов по
$m$, а $n \choose 0 = 1$.
\enddescription
Пусть $x = (x_1, \ldots x_n)
\in \R_n$, $A$ -- взаимнооднозначное отобpажение
$\R_n$, $\omega =(\omega_1,
\ldots, \omega_n) \in T_n$.
Пpедставим $x$ в виде
обобщенной цепной дpоби,
отвечающей отобpажению
$A$ и вектоpу $\omega$,
котоpую мы будем называть
$(A,\omega)$ -- цепной
дpобью.
Будем обозначать $(A,
\omega)$ -- цепную дpобь
вектоpа $x$ в виде
$x = [ q^(0), \ldots,
q^(m)]_A,\omega$
если она конечная, и в виде
$x = [ q^(0), q^(1), \ldots
]_A,\omega$,
если она бесконечная.
Пусть $q^(0) = (q_1^(0),
\ldots, q_n^(0))$ -- вектоp,
такой что пpи $s = 1, \ldots,
n$ $~~q^(0)_s = [x_s]$.
Полагаем $x = x^(0) = q^(0)+
\delta^(0)$.
Если $\delta^(0) = \omega$,
то пpоцесс постpоения
цепной дpоби на этом
заканчивается и
$x=[q^(0)]_A,\omega$.
Если же $\delta^(0) \neq
\omega$, то полагаем
$x^(1)=A\delta^(0)$.
Пpедположим тепеpь, что
пpи некотоpом целом
$k \ge 0$ постpоены n-меpные
вектоpа $q^(0), q^(1), \ldots ,
q^(k)$ с целочисленными
кооpдинатами и n-меpные
вектоpа $x^(0), \ldots , x^(k+1)$
такие, что пpи
$s=0, \ldots, k~$
$x^(s) = q^(s) + \delta^(s)$ и
$~\delta^(s) \neq \omega$.
Пусть $q^(k+1) =(q^(k+1)_1,
\ldots, q_n^(k+1) )$ -- такой
вектоp,
что
$q^(k+1)_\nu
=[x_\nu^(k+1)]$
пpи
$\nu=1, \ldots, n$,
и полагаем $x^(k+1) = q^(k+1)
+\delta^(k+1)$.
Если $\delta^(k+1) = \omega$, то
пpоцесс постpоения
$(A,\omega)$ -- цепной дроби
заканчивается и
$x =[q^(0), \ldots,
q^(k+1)]_A,\omega$.
Если же $\delta \neq \omega$,
то полагаем
$x^(k+2)=A\delta^(k+1) $.
Если $\delta^(k) \neq \omega$
для всех $k \ge 0$
то $x = [q^(0), q^(1), \ldots
]_A,\omega$ и $(A,\omega)$ -цепная дpобь вектоpа $x$ -бесконечная.
Пpедставление вектоpа $x$ в
виде
$(A,\omega)$ -- цепной дpоби
полностью описано.
Из
кон
стpу
кци
и
$(A,
\om
ega)
$
цеп
ной
дpо
би
сле
дует
,
что
дост
аточ
но
име
ть
ото
бpа
жен
ие
$A:
T_n\
back
slas
h
\om
ega
\to
\R_
n$.
В
част
ном
слу
чае,
ког
да
$x$ -- число $(n=1)$, $\omega =0$, а $A =
\Gamma$ отобpажение множества
$T_1\backslash 0$, имеющее вид
$\Gamma : y \to \frac1y$,
$(A,\omega)$ -- цепная дpобь совпадает с
обычной [15].
Далее,
мы
pассмотpим
некотоpые новые
пpимеpы
отобpажений
$A$, для котоpых
описанная выше
констpукция
пpедставляет
интеpес
с точки зpения
пpиложений к
анализу и теоpии
чисел.
\bf Пpимеp 1.
Пусть $n \ge 1$,
отобpажение $A
= A_n$ имеет вид
$A_n : y = (y_1, \ldots,
y_n) \to y^\prime =
(y_1^\prime, \ldots,
y^\prime_n)$, где
$y^\prime_\nu = y_\nu +
\gamma_\nu \
(\nu=1,\ldots, n)$, а числа
$\gamma_1, \ldots
\gamma_n$ таковы, что,
если $m, m_1,
\ldots, m_n$ -- целые
числа, то pавенство
$m_1 \gamma_1 + \ldots
+
m_n \gamma_n = m$ возможно только в случае $m_1 = \ldots = m_n = 0\ .$
\bf Пpимеp 2.
Пусть $n > 1$, а отобpажение $A = B_n$ имеет вид
$B_n : y = (y_1, \ldots, y_n) \to y^\prime = (y_1^\prime, \ldots,
y^\prime_n)$, где
\begineqnarray*
y^\prime_1 &=& y_1 + \kappa_1 \ , \\
y^\prime_\nu &=& y_\nu + \kappa_\nu + \sum^\nu-1_j=1 a_\nu j y_j, \
(\nu = 2, \ldots, n)\ ,
\endeqnarray*
$\kappa_1$ иppациональное число, $a_\nu j$ целые числа,
$a_\nu j \neq 0$.
В дальнейшем будем предполагать, что отображение
$A$ совпадает с одним из отображений $A_n$ или $B_n$, указанных в примерах 1, 2.
\bf Определение 4.
Введем отображение $\overlineA$ тора $T_n$, которое совпадает с $A$,
если равенства $y^\prime_\nu (\nu = 1, \ldots, n)$ в примерах 1 и 2 рассматривать, как сравнения по модулю
1.
\bf Определение 5.
$\hatA$ -- отображение тора $T_n$, обратное к отображению $\overlineA$.
\bf Теорема 2.
$(A,\omega)$ --- цепная дробь вектора $x$ --- конечная тогда и только тогда,
когда вектор $\x\$ принадлежит траектории $\hat A^k\omega$ $(k=0,1,\ldots)$,
где $\hat A^k$ --- $k$-тая степень $\hatA$ ($\hatA^0$ --- тождественное
отображение $T_n$).
Доказательство теоремы 2 дано в [11] и [12] (Theorem 1).
\bf Определение 6.
Пусть $x = [q^(0), q^(1),
\ldots]_A,\omega$
--$(A,\omega)$ -- цепная дробь
вектора $x$. При $\nu = 0, 1,
\ldots$ введем
$(A,\omega)$
-подходящие
дроби $S^(\nu) =[q^(0), \ldots,
q^(\nu)]_A, \omega$ вектора $x$
следующим образом:
\[
S^(0) = q^(0) + \omega\ ,
\]
\[
S^(\nu) = q^(0) + (\ldots(q^(\nu -2) + A^1 (q^(\nu -1) + A^-1 (q^(\nu) + \omega)))
\ldots )\ , \nu > 0\ ,
\]
где $A^-1$ --- отображение, обратное $A$,
правая часть последнего равенства
обозначает конечную итерационную
процедуру,состоящую из
$\nu$ шагов, в которой на первом шаге
находится величина
$S^(\nu) (1) = q^(\nu -1) + A^-1 (q^(\nu)
+\omega)$, а при целом
$k$, удовлетворяющем условию $1 < k \le \nu$
на k-том шаге находится
$S^(\nu) (k) = q^(\nu-k) + A^-1 S^(\nu) (k-1)$ и
затем полагается
$S^(\nu) = S^(\nu) (\nu)$.
\bf Теорема 3.
Пусть $(A,\omega)$ -- цепная дробь вектора
$x$ -- бесконечная, и $S^(\nu) (\nu = 0,1,\ldots)$ -$(A,\omega)$ -- подходящие дроби вектора $x$.
Тогда, если $A = A_n$, то
$x$ -- предельная точка последовательности
$S^(\nu)$, а, если $A = B_n$, т
$\ x \$ -- предельная точка последовательности $\
S^(\nu) \$.
Доказательство теоремы 3 дано в [11] и [12]
(Theorem 5).
\bigskip
\centerline\bf\S~3. Оценка остаточного члена в
законе
\centerline\bf совместного распределения
дробных частей
\centerline\bf значений многочлена
\bigskip
Для формулировки теоремы 4 нам требуется
ввести ряд объектов:
\noindent
$n, P, k$ -- натуральные числа, удовлетворяющие
условиям $n > 3,
P \ge 2, k \ge 1$;
\noindent
$a_n$ -- вещественное число;
\noindent
$\rho$ -- вещественное число, удовлетворяющее
условию $o < \rho < 1/2$;
\noindent
$z$ -- комплексное число ;
\noindent
$H^(k)_P$ линейное отображение $H^(k)_P : T_k
\to T_P$, имеющее следующий
вид: если $y^(k)=(y^(k)_1,\ldots,y^(k)_k)\in T_k$,
$H_P^(k) y^(k) = y^(P) = (y_1^(P), \ldots, y_P^(P))
\in T_P$,
то при $1 \le j \le P$
\[
y^(P)_j = \sum^k_s=1 j^s y_s^(k)\ \rmmod\ 1\ ;
\]
$K^(\rho)_P,k = \left\ z : |z|>(k!)^1/(2k) P^1-\rho
\right\$
-- дополнение к замкнутому кругу на
комплексной плоскости;
\noindent
$i$ -- мнимая единица;
\bigskip
\noindent
$r$ -- натуральное число, удовлетворяющее
условию $r < n$;
\bigskip
\noindent
$\nu$ -- величина, принимающая значения $\nu =
1, \ldots, r$;
\bigskip
\noindent
$\hatm_1, \ldots, \hatm_r$ -- целые числа,
удовлетворяющие условию
$|\hatm_\ell | \le P^2$ $(\ell = 1, \ldots, r)$;
\bigskip
\noindent
$\hatm = (\hatm_1, \ldots, \hatm_r)$ -- $r$-мерный
вектор ;
\bigskip
\noindent
$\kappa_1 = \sum^r_\ell = 1 \hatm_\ell,
\kappa_\delta =
\sum^r_\ell = 2
\delta \ell^\delta-1 \hatm_\ell (\delta = 2, \ldots, n)$;
\bigskip
\noindent
$a_n+1^* = a_n/(n+1), \tau^(\nu)_n-\nu+1 =
\kappa_\nu
n+1\choose n+1-\nu a^\ast_n+1$;
\bigskip
\noindent
$I^(\nu)$ -- отображение, переводящее
произвольный вектор $\gamma =
(\gamma_1, \ldots,
\gamma_n) \in \R_n$ в вектор
$\gamma^(\nu) =
(\gamma^(\nu)_1, \ldots,
\gamma_n-\nu^(\nu) ) \in
\R_n-\nu$ с координатами
$\gamma^(\nu)_s =
|\gamma_s+\nu |\;\; (s = 1,
\ldots, n-\nu)$;
\bigskip
\noindent
$B^(\nu) = (b^(\nu)_s,t)$ -- квадратная матрица
порядка $n-\nu$ $(s,t=1,\ldots,n-\nu)$, у которой
матричные элементы $b_s,t^(\nu)$ имеют вид
\[b^(\nu)_s,t =
\left\
\beginarrayll
0 & \mbox, если \ t \le s - 1\ ,\\
\kappa^\ast_\nu+t-s & \nu+t\choose s\ \mbox, если\
t \ge s\ ,
\endarray
\]
где $\kappa^\ast_1 = r, \kappa^\ast_\mu = \sum^r_\ell
= 2 \mu\ell^\mu-1
(\mu = 2, \ldots, n)$;
\right.
\bigskip
\noindent
$\varphi^(\hatm)_\nu,P$ -- функция на $T_P$, такая что, если $y^(P) =(y_1^(P), \ldots, y_P^(P) ) \in T_P$, то
$\varphi_\nu,p^(\hatm)
(y^(P)) = \sum^P_k=1 \exp (2\pi i(\tau^(\nu)_n-\nu+1 k^n-\nu+1 +
y_k^(P) ))$;
\bigskip
\noindent
$\psi^(\hatm)_\nu,P$ -- функция на $T_n-\nu$, такая что, если
$y^(n-\nu) = (y_1^(n-\nu), \ldots$,
$y_n-\nu^(n-\nu) ) \in T_n-\nu$, то
$\psi^(\hatm)_\nu,P (y^(n-\nu) ) = \varphi^(\hatm)_\nu,P
(H^(n-\nu)_P y^(n-\nu) )$, где для $k = n-\nu$ отображение
$H^(n-\nu)_P$,
введено в начале \S~3;
\bigskip
\noindent
множество $\Pi^(\hatm)_\nu,P,\rho = (\psi^(\hatm)_\nu,P )^-1
K_P,n-\nu^(\rho)$ -- полный прообраз относительно отображения
$\psi_\nu,P^(\hatm)$ множества $K^(\rho)_P,n-\nu$, введенного при
$k = n-\nu$ в начале \S~3;
\bigskip
\noindent
множество $\Pi^(\hatm, \hatm)_\nu,P,\rho$, которое состоит из таких
точек $\beta = (\beta_1, \ldots$, $\beta_n)\in T_n$, что вектор
$(\tau^(\nu)_1, \ldots, \tau^(\nu)_n-\nu)$ с координатами
$\tau^(\nu)_n-\nu+1-s =$
\[
\left\ \sum^s-1_\mu = 0 \kappa_\nu+\mu
n+1-s+\mu \choose n+1-s-\nu \beta_n+1-s+\mu + \kappa_\nu+s
n+1\choose n+1-s-\nu a^\ast_n+1 \right\
\]
$(s = 1, \ldots, n-\nu)$ принадлежит области $\Pi_\nu,P,\rho^(\hatm)$.
\bigskip
\bigskip
\noindent
\bf Определение 7. Введем множество
\[\Gamma_\rho = T_n \backslash \Pi_\rho \quad \mboxна торе\quad
T_n\ ,
\]
где \Large
\[
\Pi_\rho = \bigcup^\infty_P=2
\bigcup_|\hatm_\ell| \le P^2
\bigcup^r_\nu=1
\Pi_\nu,P,\rho^(\hatm, \hatm)\ ,\;\;
\ell = 1, \ldots, r,\;\;\kappa_\nu\neq 0.
\]
\bigskip
\bigskip
\noindent
\bf Замечание 3. Из определения множеств $\Pi^(\hat m,\hat
m)_\nu,P,\rho, \Pi_\rho$ и $\Gamma_\rho$ следует, что множество
$\Gamma_\rho$ можно представить в виде $\Gamma_\rho = T_1 \times
\Gamma^\ast_\rho$, где $\Gamma^\ast_\rho \subset T_n-1$, и
$\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_n)\in\Gamma_\rho$ тогда и только тогда, когда
$(\beta_2,\ldots,\beta_n)\in\Gamma_\rho^*$.
\bf Определение 8.
Введем отображение $A^\ast= A^\ast (a^\ast_n+1)$
пространства $\R_n$, зависящее от параметра $a^\ast_n+1$, такое что, если
$x=(x_1,\ldots,x_n) \in \R_n$, то $A^\ast x= x^\ast = (x^\ast_1, \ldots, x^\ast_n)$, где
$x^\ast_s = \sum^n-s_j=0 s+j\choose j x_s+j + n+1\choose n-s+1
a^\ast_n+1, 1 \le s\le n$.
\bf Теорема 4. Пусть $f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n$; $a_n$ -иррациональное число; $P$ и $r$ натуральные числа, $r \ge 2$; $\sigma_1,
\ldots,\sigma_r$ и $\rho$ -- любые числа, удовлетворяющие условиям $0 <
\sigma_k \le 1 (k = 1, \ldots, r), 0 < \rho < 1/2;
\rho_1 = (1 + 6\rho)/(10-4\rho); n_0 = r +2(1+2r)/(1-2\rho_1);
\cal D_P (\sigma_1, \ldots, \sigma_r)$ -- количество векторов
$\mu_j = (\ f(j)\, \ldots, \ f (j+r-1)\)$ в последовательности $\mu_1,
\ldots, \mu_P$, принадлежащих множеству $\Pi = \ \alpha_1, \ldots, \alpha_r
: 0 \le \alpha_1 < \sigma_1, \ldots, 0 \le \alpha_r < \sigma_r \$.
Тогда при $n > n_0$ выполняются следующие утверждения:
1) если существует такое $\omega \in \Gamma_\rho_1$, что вектор $a^\ast =
(a^\ast_1, \ldots,a^\ast_n)$ с координатами $a^\ast_s = a_s-1/s\;\; (s
= 1, \ldots, n)$ разлагается в конечную $(A^\ast,\omega)$ -- цепную дробь
\[
a^\ast = [q^(0), \ldots q^(\nu) ]_A^\ast, \omega\ ,
\]
то при всех $P \ge 2$
\[
| \cal D_P (\sigma_1, \ldots, \sigma_r) - P\sigma_1 \ldots \sigma_r | \le
(c^\ast + \nu) P^1-\rho\ ,
\]
где $c^\ast = c^\ast (n)$ -- константа, не зависящая от
$a_1, \ldots, a_n, \sigma_1, \ldots , \sigma_r$ и $P$, а для любого $a_0$
множество точек $a=(a_1,\ldots,a_n-1)$, для которых справедливы
оба соотношения, выписанных выше в 1),
имеет в $\R_n-1$ дополнение нулевой лебеговой меры;
2)
если при
$\omega\in \Gamma_\rho_1$
вектор
$a^\ast = (a^\ast_1,\ldots, a^\ast_n)$
разлагается в бесконечную $(A^\ast,\omega)$ -- цепную дробь, а для некоторого
целого
$\nu \ge 0 \quad S^(\nu) = (S_1^(\nu), \ldots, S_n^(\nu) )$
$ = [q^(0), \ldots, q^(\nu)]_A^\ast , \omega$ -такая $(A^\ast, \omega)$ -подходящая дробь вектора $a^\ast$,
что при $\delta = 1, \ldots,r$ координаты векторов $b^(\delta) =
(b_1^(\delta), \ldots, b_n-\delta^(\delta)) =
B^(\delta) I^(\delta) (\ a^\ast \ \ S^(\nu) \)$ удовлетворяют неравенствам \Large
$b^(\delta)_s \le
q^-s-\rho_1 -2/(2\pi (n-\delta))$, $(s = 1, \ldots, n-\delta)$, то
неравенство в 1) справедливо при $2 \le P \le q$.
Доказательство теоремы 4 дано в [11] и [12] (Theorem 9).
\bigskip
\bigskip
\noindent
\bf Замечание 4. В силу теоремы 3 (\S~2) утверждение 2) теоремы 4 справедливо
при любых сколь угодно больших $q$.
\bigskip
\begincenter\bf
\S~4. Оценка остаточного члена в законе распределения расстояний между
соседними дробными частями значений многочлена
\endcenter
\bigskip
\bf Определение 9. Полагаем в качестве $\Gamma_\rho$ такое множество
на торе $T_n$, которое совпадает с множеством $\Gamma_\rho$, введенным в \S~3
(определение 7), если в его определении положить $r=2$ и
$a_n=\tildea_n$, где $\tildea_n$ число, введенное в равенствах (6).
\bf Определение 10. Полагаем в качестве $A=A( \tilde a_n/(n+1))$
-- такое преобразование пространства $\R_n$, которое совпадает с отбражением
$A^\ast= A^\ast (a^\ast_n+1)$, введенным в \S~3 (определение
8), если в его определении положить $a^\ast_n+1= \tilde a_n/(n+1)$.
Далее в формулировке
теоремы
5
мы
используем
теорию
$(A,\omega)$-цепных
дробей для векторов
$x
\in
\R_n$,
введенных в \S~2.
\bf Теорема 5. Пусть
$\tildef(x) = \tildea_0 +
\tildea_1
x+
\ldots + \tildea_n x^n$ -- многочлен с
вещественными коэффичиентами
$\tildea_s \ (s=0,\ldots ,n)$;
$\tilde a_n$ -- иррациональное число; $P$
-- натуральное
число; $\sigma$ и $\rho$ -- такие числа,
что $0 <
\sigma\le 1$, $0 < \rho < 1/2$; $\rho_1 =
(1+6\rho)/(10-4\rho)$; $n_0 = 2 + 10/(12\rho_1)$; $D^\ast_P
(\sigma)$ -- количество чисел чисел $k$
в ряду $1,\ldots ,P$, для которых $0 \le
\\tildef(k+1)\ - \\tildef(k)\< \sigma$.
Тогда, если $n > n_0$, то выполняются
следующие утверждения:
1) если существует такое
$\omega \in \Gamma_\rho_1$,
что вектор $a^\ast = (a^\ast_1,
\ldots, a^\ast_n)$
с координатами
$a^\ast_s = \tilde a_s1/s\;\; (s= 1, \ldots, n)$
разлагается в конечную
$(A,\omega)$ -- цепную
дробь \beginequation
a^\ast = [q^(0), \ldots
q^(\nu) ]_A, \omega\ ,
\endequation
то для любого $\epsilon > 0$, такого что $0 < \epsilon < \sigma$, и при всех $P \ge 2$
\beginequation
|D^\ast_P (\sigma)/P - (\sigma - \frac\sigma^22)| \le 4\epsilon +
(c_1(c_2 + \nu))/P^\rho \epsilon\ ,
\endequation
где $c_1 = c_1(n)$, $c_2 = c_2(n)$ -- константы,не зависящие от чисел
$P,\epsilon,\sigma,a_0,\ldots,a_n$;
2) для любого $a_0$ множество точек
$a = (a_1, \ldots, a_n-1) \in \R_n-1$, для которых справедливы (7) и
(8), имеет в $\R_n-1$ дополнение нулевой лебеговой меры;
3) если при
$\omega\in \Gamma_\rho_1$
вектор
$a^\ast = (a^\ast_1,\ldots, a^\ast_n)$
разлагается в бесконечную $(A,\omega)$ -- цепную дробь, а для некоторого
целого
$\nu \ge 0 \quad S^(\nu) = (S_1^(\nu), \ldots, S_n^(\nu) )$
$ = [q^(0), \ldots, q^(\nu)]_A, \omega$ -такая $(A, \omega)$ -подходящая дробь вектора $a^\ast$,
что при $\delta = 1,2$ координаты векторов $b^(\delta) =
(b_1^(\delta), \ldots, b_n-\delta^(\delta)) =
B^(\delta) I^(\delta) (\ a^\ast \ \ S^(\nu) \)$ (отображение $I^(\delta)$ и матрица $B^(\delta)$ для
$\delta=\nu$ введены в \S~3)
удовлетворяют неравенствам \Large
$b^(\delta)_s \le
q^-s-\rho_1 -2/(2\pi (n-\delta))$, $(s = 1, \ldots, n-\delta)$,
то оценка (8) справедлива при $2 \le P \le q$;
4) утверждение 3) справедливо при сколь угодно большом $q$.
\bf
Доказательство. Согласно определению величины $D^\ast_P(\sigma)$ имеем равенство
\beginequation
D^\ast_P(\sigma) = \sum^P_k=1 \chi (\\tildef (k)\,
\\tildef (k+1)\)\ , \endequation
где
$\chi(x,y)$ -- функция на торе $T_2= \ x,y : 0\le x <
1, 0\le y < 1\$ ,
такая что
$$\chi(x,y) = \left\ \beginarrayll
1, & \mboxесли\ \ \ 0 \le y - x < \sigma\\
0, & \mboxв противном случае. \endarray \right.
$$
Пусть $\epsilon$ -- произвольное число, такое что
$0 < \epsilon < \sigma$,
$m_\epsilon = \left[\frac1\epsilon\right]$. Мы введем
область
$\Omega = \ (x,y) : 0 \le y - x < \sigma \ \subset T_2$,
и для $k=0,\ldots,m_\epsilon$ введем числа $z_k =
\min
(\sigma + k\epsilon,1)$, области
$\Omega^(\epsilon)_k,\delta \subset
\Omega$ ($\delta = 0,1,2$), где
\begineqnarray*
\Omega_k,1^(\epsilon) &=&
\ (x,y) \in \Omega : k\epsilon \le x < (k+1)\epsilon,
(k+1)\epsilon \le y
< z_k\\ ,\\
\Omega_k,0^(\epsilon) &=&
\ (x,y) \in \Omega : k\epsilon \le x < (k+1)\epsilon, y <
(k+1) \epsilon
\\ ,\\
\Omega_k,2^(\epsilon) &=&
\ (x,y) \in \Omega : k\epsilon \le x < (k+1)\epsilon, y
\ge z_k \\ ,\\
&&
\
q
q
u
a
d
\
q
u
a
d
\
m
b
o
x
и
о
б
л
а
с
т
и
\
\
\hat\Omega_k,0^(\epsilon) &=&
\ (x,y): k\epsilon \le x < (k+1)\epsilon, k\epsilon \le y
< (k+1) \epsilon
\\ ,\\
\hat\Omega_k,2^(\epsilon) &=&
\ (x,y): k\epsilon \le x < (k+1)\epsilon, z_k \le y < z_k
+ \epsilon \\
,\\
\endeqnarray*
$\tilde\Omega_k,\delta^(\epsilon) =
S(\hat\Omega_k,\delta^(\e
psilon))$, где $\delta = 0,2$
и $S$ -- такое
отображение,что $S (x,y) =
(\ x\, \y\)\in T_2$. Из
определений этих областей
следует, что \Large
\beginequation
\bigcup^m_\epsilon_k=0
\bigcup_0\le\delta\le 2
\Omega^(\epsilon)_k,\delta =
\Omega\ , \endequation
\beginequation
\Omega^(\epsil
on)_k,0
\subset \tilde\Omega_k,0^(\epsilon)\ , \Omega_k,2^(\epsilon)
\subset \tilde\Omega_k,2^(\epsilon)\ .
\endequation
Для любого множества $\Omega^\ast \subset T_2$ обозначим его площадь через
Area$(\Omega^\ast)$, а через
$D_P(\sigma,\Omega^\ast)$
обозначим количество тех $k \in
\1,\ldots,N\$, для которых точка
$(\\tildef (k)\,\\tildef
(k+1)\)\in\Omega^\ast$.
Так как области
$\Omega_k,\delta^(\epsilon)$
взаимно не пересекаются, то
в силу (10) \Large
\beginequation
D_P (\sigma,\Omega) =
\sum^m_\epsilon_k=0
\sum_0\le\delta\le 2 D_P
(\sigma,
\Omega^(\epsilon)_k,\delta)\ ,
\endequation
и согласно (11)
\beginequation
D_P
(\sigma,\Omega^(\epsilon)_k,\
delta) \le D_P (\sigma,
\tilde\Omega^(\epsilon)_k,\del
ta) \ , \qquad (\delta = 0,2)\ .
\endequation
Представим величины
$D_P(\sigma,\Omega^(\epsilo
n)_k,1), D_P
(\sigma,\tilde\Omega_k,\delta^
(\epsilon))$\ \ $(\delta = 0,2)$
в следующем виде:
\begineqnarray
D_P
(\sigma,\Omega^(\epsilon)_k,1)
&=& P
Area(\Omega_k,1^(\epsilon)) +
R^(\epsilon)_k,1\ ,\\ D_P
(\sigma,\tilde\Omega_k,\delta^(\epsi
lon)) &=& P
Area(\tilde\Omega_k,\delta^(\epsilo
n)) + \tildeR_k,\delta^(\epsilon)
\endeqnarray
и оценим остаточные члены
$R^(\epsilon)_k,1,
\tildeR^(\epsilon)_k,\delta$ с
помощью теоремы 4 из \S~3.
Из определений 9, 10 и из
формулировки теоремы 5
этого параграфа следует, что
для многочлена $\tildef(x)$
справедливы все условия
теоремы 4 из \S~3 в частном
случае $r=2$. Поэтому,
применяя эту
теорему,получим:
\beginequation
|R_k,1^(\epsilon)| \le \overlinec
(c_2 + \nu) P^1-\rho\ ,
|\tildeR_k,\delta^(\epsilon) | \le
\overlinec (c_2 + \nu) P^1-\rho\
,
\endequation
где $\delta=0,2; \overlinec =
\overlinec(n)$ и $c_2 = c_2(n)$
-константы, зависящие только
от $n$; $\rho$ и $\nu$ -константы,
определенные в теореме 4. При этом неравенства (16) выполнены при всех $P\ge
2$, если справедливо условие утверждения 1) теоремы 5, и выполнены при $2 \le
P \le q$, если справедливо условие утверждения 3) теоремы 5. Из соотношений
(11),(13),(15),(16) и из определений множеств
$\hat\Omega^(\epsilon)_k,\delta,
\tilde\Omega^(\epsilon)_k,\delta$ \ \ $(\delta = 0,2)$ следует,что
для $\delta = 0,2$
\beginequation
D_P(\sigma, \Omega_k,\delta^(\epsilon)) = P
Area(\Omega^(\epsilon)_k,\delta) + R^(\epsilon)_k,\delta\ ,
\endequation
где
\begineqnarray
|R^(\epsilon)_k,\delta | &=& | D_P
(\sigma,\Omega^(\epsilon)_k,\delta) - P Area
(\Omega^(\epsilon)_k,\delta) | \le D_P
(\sigma,\tilde\Omega^(\epsilon)_k,\delta) + P Area
(\tilde\Omega_k,\delta^(\epsilon)) \le\nonumber\\ & & 2P
Area(\tilde\Omega_k,\delta^(\epsilon)) +
|\tildeR^(\epsilon)_k,\delta | \le 2 P \epsilon^2 + \overlinec (c_2
+ \nu) P^1-\rho \ .
\endeqnarray
Поэтому, применяя (10), (12), (14), (16) -- (18) и неравенство $m_\epsilon
\le 1/\epsilon$, получим:
\beginequation
D_P (\sigma,\Omega) = P Area (\Omega) + R^(\epsilon)\ ,
\endequation
где
\beginequation
|R^(\epsilon)| \le 4P\epsilon + 3 \overlinec (c_2 +
\nu)\fracP^1-\rho\epsilon\ .
\endequation
Теперь утверждения 1) и 3)
теоремы
5
следуют
из
соотношений (19), (20), и из
равенства
$Area(\Omega) = \sigma \sigma^2/2$, а утверждения 2) и
4) теоремы 5 следуют из второй
части утверждения 1) теоремы 4
и замечания 4 из \S~3. Теорема 5
доказана.
\begincenter\bf
\S~5.Оценка остаточного члена в
законе распределения
расстояний между соседними
уровнями энергии
\endcenter
В формулируемой далее теореме
3 используются понятия
множества
$\Gamma_\rho$ и отображения
$A$, введенные в предыдущем
параграфе.
\bf
Теорема
6.
Предположим,что
число
$Ta_n/(2\pi(n+1)\hbar)$
-иррациональное, $0 < \sigma \le
1$, $N$ -- натуральное число,
$0<\rho<1/2$,
$\rho_1=(1+6\rho)/(10-4\rho)$,
$n_0=2+10/(1-2\rho_1)$,
$a^*=(a^*_1, \ldots, a^*_n)$ -вектор с координатами
$a^*_s = Ta_s-1/2\pi\hbar s$ $(s
= 1, \ldots, n)$,
$D_N (\phi,\sigma)$ -количество таких $k \in \ 1,
\ldots, N\$,
что $0\le\beta_k+1(\phi) - \beta_k (\phi) < \sigma$. Tогда, если $n > n_0$,
то выполняются следующие утверждения:
\medskip
\begindescription
\item1) если существует такое $\omega \in \Gamma_\rho_1$,что
$(A,\omega)$-цепная дробь вектора $a^\ast$ -- конечная и имеет вид
\beginequation
a^\ast = [q^(0), \ldots, q^(\nu)]_A,\omega\ ,
\endequation
то для любого $\epsilon > 0$, такого что $0 < \epsilon < \sigma$, и любого
$N\ge 2$
\beginequation
|D_N (\phi,\sigma)/N - (\sigma - \frac\sigma^22)| \le 4\epsilon +
(c_1(c_2 + \nu))/N^\rho \epsilon\ ,
\endequation
где $c_1 = c_1(n)$, $c_2 = c_2(n)$ -- константы, не зависящие от
$N,\sigma,\epsilon,a_0,\ldots,a_n$ и от функции $F(\phi)$;
\item2) для любого $a_0$ множество векторов $a = (a_1, \ldots, a_n-1
)\in\R_n-1$, для которых справедливы (21) и (22), имеет в $\R_n-1$
дополнение нулевой лебеговой меры;
\item3) если при $\omega \in \Gamma_\rho_1$ вектор $a^\ast =
(a^\ast_1,
\ldots, a^\ast_n)$ разлагается в бесконечную $(A,\omega)$-цепную дробь и
для некоторого целого $\nu \ge 0$ \ $S^(\nu) = (S^(\nu)_1,
\ldots, S_n^(\nu) = [q^(0), \ldots, q^(\nu)]_A,\omega$ -- такая
$(A,\omega)$-подходящая дробь вектора $a^\ast$, что при $\delta =
1,2$ координаты векторов $b^(\delta) = (b_1^(\delta), \ldots,
b_n-\delta^(\delta)) = B^\delta I^(\delta) (\ a^\ast \ \ S^(\nu) \)$ (отображение $I^(\delta)$ и матрица
$B^(\delta)$ для
$\delta = \nu$ введены в \S~3) удовлетворяют неравенствам \Large
$b_s^(\delta) \le q^-s-\rho_1 -2/(2\pi
(n-\delta))$ $(s= 1,
\ldots, n-\delta)$, то оценка (22) справедлива при $2\le P\leq q$;
\item4) утверждение 3) справедливо при сколь угодно большом числе $q$.
\enddescription
\bf
Доказательство. Пусть $\tildeD_N(\phi,\sigma)$ есть количество чисел
$k$ среди чисел $1,\ldots,N$ таких, что $0 \le \ f_\phi (k+1) \ - \
f_\phi (k)\ <\sigma$, где $f_\phi (x)$ -- многочлен, введенный в (5) с
коэффициентами (6). Поэтому справедливо равенство
\beginequation
\frac1ND_N (\phi,\sigma) - (\sigma - \frac\sigma^22) =
\frac1N \tildeD_N
(\phi,\sigma) - (\sigma - \frac\sigma^22)\ .
\endequation
Среди коэффициентов $\tildea_s \ (s=0,\ldots ,n)$ в (6) только свободный
член $\tildea_0=\tildea_0(\phi)$ многочлена $f_\phi (x)$ зависит от $\phi$.
Поэтому, если
зафиксировать число
$\phi$, то в силу условий
теоремы 6 к многочлену
$\tildef(x) = \tildea_0(\phi)
+ \tildea_1
x+
\ldots + \tildea_n x^n$
можно применить теорему 5 из
\S~4, и согласно этой теореме при
фиксированном числе $\phi$
будут выполняться все
утверждения теоремы 6. Таким
образом, остается только доказать,
что константы
$c_1$,$c_2$, входящие в (22), не
зависят от функции $F(\phi)$, и
что
номер $\nu$ подходящей дроби
$S^(\nu)$ в утверждении 3) также
не зависит от
функции $F(\phi)$.
В силу теоремы 2 из \S~2
$(A,\omega)$-цепная дробь
вектора $a^\ast$
-- конечная тогда и только тогда,
когда существует целое число
$\nu\ge0$, такое что
\beginequation
\overlineA^\nu \a^\ast\ \in
\Gamma_\rho_1\ ,
\endequation
где $\overlineA$ -- отображение
тора $T_n$, введенное в
определении 4 из \S~2. Согласно
замечанию 3 из \S~3 множество
$\Gamma_\rho_1$,
введенное в определении 7 из
\S~3, содержит только такие
точки
$\beta=(\beta_1, \ldots, \beta_n)\in
T_n$, что $(n-1)$-мерный вектор
$\beta^\ast = (\beta_2, \ldots,
\beta_n)$ принадлежит
множеству
$\Gamma^\ast_\rho_1 \subset
T_n-1$. Поэтому из
определения 10 отображения
$A$ в \S~4 и из определения
отображения $\overlineA$
следует, что справедливость
условия (24) не зависит от
координаты $a^\ast_1$ вектора
$a^\ast$, а используя определение
вектора $a^\ast$ в формулировке
теоремы 6 и (23), мы получим,
что условие (24) и утверждение 1)
теоремы 3 не зависят от функции
$F(\phi)$.
Докажем
теперь,что
в
утверждении 3) теоремы 6
номер $\nu$ подходящей дроби
$S^(\nu)$ вектора $a^\ast$, для
которой координаты векторов
\beginequation
b^(\delta) =(b_1^(\delta),
\ldots,b_n-\delta^(\delta))=
B^\delta I^(\delta) (\ a^\ast \ - \ S^(\nu) \),\quad
(\delta =1,2) \endequation
удовлетворяют неравенствам \Large
\beginequation
b_s^(\delta) \le \fracq^-s-\rho_1 -22\pi(n-\delta) \ \
(s= 1,\ldots, n-\delta), \endequation
не зависит от функции $F(\phi)$. Если $a^\ast
= (a^\ast_1, \ldots,a^\ast_n)$
и $a' = (a'_1, \ldots,a'_n)$ -- два вектора, у
которых совпадают все
координаты, кроме первой, то в силу (24) у
векторов $\ a^* \ \ S^(\nu)\$ и $\a'\-\S^(\nu)\$ также совпадают все
координаты, кроме
первой (из доказательства теоремы 3 параграфа
2 следует, что
вектор $\ S^(\nu)\$ -- один и тот же для всех
векторов $a'$) .Но из определения
отображения $I^(\nu)$ в начале \S~3
следует, что вектор $I^(\delta) (\ a^\ast \ - \
S^(\nu) \)$ не
зависит от первой координаты вектора $\ a^\ast \
- \ S^(\nu) \$.
Поэтому, если оценка (26)
справедлива для вектора $a^\ast$,
то в силу (25) она будет
справедлива для любого вектора,
который отличается от $a^\ast$
только первой координатой. Но,
так как функция $F(\phi)$ влияет
только на первую координату
вектора $a^\ast$, то номер $\nu$
подходящей дроби $S^(\nu)$
вектора $a^\ast$, для которой
справедливо неравенство (26),
один и тот же при любой
функции $F(\phi)$. Теорема 6
доказана.
\bigskip\bigskip
\renewcommand\refname Список
литературы
\beginthebibliography99
\bibitem1
Berry M.V. and Tabor M. Level
clustering in the regular spectrum //
Proc.~R.~Soc. Lond.~A. 1977.
356. P. 375-394.
\bibitem2
Косыгин Д.В., Минасов
А.А. и Синай Я.Г.
Статистические свойства
спектра операторов
Лапласа-Бельтрами на
поверностях Лиувилля //
Успехи математ. наук.
1993. Т.~48. N~4. С. 3130.
\bibitem3
Knauf A., Sinai Ya.G.
Classical Nonintegrability,
Quantum Chaos. Basel:
Birkhauser. 1997. (DMV
Seminar V. 27).
\bibitem4
Grempel D.R., Prange R.E. and
Fishman S. Quantum dynamics of
a nonintegrable system // Physical
Review A. 1984. vol.29. N4.
С.1639-1647.
\bibitem5 Casati G. and Guarneri
I. Non-Recurrent Behaviour in
Quantum Dynamics //
Commun.Math.Phys. 1984. 95.
С.121-127.
\bibitem6
Chirikov B.V., Izrailev F.M. and
Shepelyansky D.L. Quantum
Chaos:
Localization vs. Ergodicity //
Physica D 33.1988. С. 77-88.
\bibitem7 Belisard J. Non
Commutative Methods in
Semiclassical Analysis, in the
book ``Transition to Chaos in
Classical and Quantum
Mechanics''. Editor: S.Graffi.
Springer-Verlag. 1991. P. 1-47.
\bibitem8
Зельдович Я.Б.
Квазиэнергия
квантовой системы,
подвергающейся
периодическому
воздействию //
ЖЭТФ. 1966. Т. 51.
С. 1492 -- 1495.
\bibitem9
Пустыльников Л.Д.
Неограниченный
рост переменной
действия в
некоторых физических моделях // Труды Мос.мат.общ. 1983. Т. 46. С. 187-200.
\bibitem10
Пустыльников Л.Д. Вероятностные законы в распределении дробных
частей значений многочленов и обоснование гипотезы квантового хаоса //
Успехи математ.наук. 1999. Т. 54. N. 6. С.173-174.
\bibitem11
Пустыльников~Л.Д. Обобщенные цепные дpоби и дифференциальные уравнения //
Препринт Института прикл.мат., N~96, Москва 1997.
\bibitem12
Pustyl'nikov~L.D.
Generalized continued fractions and ergodic theory//
Journal of Mathematical Sciences. 1999. T.95. N 5. P. 2552 -- 2563.
\bibitem13
Pustyl'nikov
L.D. The proof of
quantum chaos
conjecture, the
distribution
of distances between adjacent fractional parts of polynomial values, and
generalized continued fractions // BiBoS - Preprint. Nr. 01-06-040.
Universitat Bielefeld. 2001.
\bibitem14 Pustyl'nikov L.D. The proof of quantum chaos conjecture, the
distribution
of distances between adjacent fractional parts of polynomial values, and
generalized continued fractions // Proceedings of the ZiF Workshop `'The
Science of Complexity: From Mathematics to Technology to a Sustainable
World''
(ONN/2001),
Bielefeld
(2001),
available at\\
http://www.unibielefeld.de/ZIF
/complexity/pub
lications.html
\bibitem15
Хинчин~А.Я. Цепные дpоби. М.: Гос. изд.
физ.-матем. Литеpатуpы, 1961.
\endthebibliography
\enddocument