Введение

МОСКОВСКИЙ КОМИТЕТ ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЦЕЙ №1533 (ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ)
ВЫПУСКНАЯ РАБОТА
(специальность "Прикладное программирование")
учащейся группы П-11.4
Литвинцевой Дарьи Сергеевны
Построение феноменологических моделей излучения
аккреционного диска вокруг сверхмассивных черных дыр
Заказчик и научный руководитель: С.В.Репин
Консультанты: Н.К.Завриев
Б.К.Байков
Москва - 2014
Оглавление
Введение .........................................................................................................................................3
Постановка задачи .........................................................................................................................4
Анализ предметной области .........................................................................................................5
Отличие ОТО от классической механики ...............................................................................5
Спектр излучения аккреционного диска .................................................................................7
Метрики черных дыр.................................................................................................................7
Шварцшильда ........................................................................................................................7
Керра .......................................................................................................................................7
Керра-Ньюмена ......................................................................................................................7
Обзор предшествующих решений ...............................................................................................8
Средства разработки и используемые алгоритмы .....................................................................9
Библиотека lsodar.......................................................................................................................9
Генератор случайных чисел .....................................................................................................9
Генетический алгоритм.............................................................................................................9
Скрещивания ........................................................................................................................11
Мутации ................................................................................................................................11
Отбор ....................................................................................................................................11
Оценочная функция .............................................................................................................12
Вызов dll на Fortran из программы на C# ..........................................................................12
Программная реализация ............................................................................................................13
Язык и среда .............................................................................................................................13
Библиотеки ...............................................................................................................................13
Ход работы ...................................................................................................................................13
Результаты ....................................................................................................................................14
Направления дальнейших разработок .......................................................................................16
Литература ...................................................................................................................................17
2
Введение
Чёрная
дыра
–
область
в пространстве-времени, гравитационное
притяжение которой настолько велико, что покинуть её не могут даже объекты,
движущиеся со скоростью света. Обычно чёрные дыры присутствуют в ядрах галактик и в
массивных двойных системах. За последние 20 лет черные дыры стали реально
наблюдаемыми объектами.
Аккреция – процесс падения вещества на массивное космическое тело из
окружающего пространства. Любое вещество, попавшее в окрестность черной дыры,
будет падать на нее, образуя горячий газовый диск – аккреционный диск. Разогрев диска
происходит из-за большого энерговыделения при трении слоев друг о друга. Из-за
высокой температуры внутренняя область аккреционного диска излучает в рентгеновском
диапазоне.
Орбитальные
рентгеновские
телескопы
(например,
ASCA
и
RXTE)
регистрируют это излучение, и ученые на Земле получают спектры излучения
аккреционных дисков, вращающихся вокруг черных дыр.
Излучение аккреционного диска неоднородно: области, расположенные ближе к
черной дыре, имеют и более высокую температуру, а значит, и излучают сильнее.
Непосредственными наблюдениями невозможно определить, под каким углом к нам
наклонен аккреционных диск.
С помощью генетического алгоритма в приложении подбирается угол наклона
диска к наблюдателю и зависимость излучательной способности диска от радиальной
координаты. Для этой задачи приложение использует форму линии Fe-K в спектре
аккреционного диска.
3
Постановка задачи

Построение формы спектральной линии Fe Kизлучения аккреционного диска с
помощью библиотеки для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
lsodar

Запись и чтение полученных спектров

Фитирование экспериментальных данных смоделированной кривой

Нахождение зависимости излучательной способности диска от радиальной
координаты

Создание галереи полученных спектров
Данная работа представляет интерес для научных работников, занимающихся
наблюдательными проявлениями общей теории относительности.
Форма спектральной линии Fe-K несет много информации о физических условиях
в аккреционном диске в области от 0.5 до 10 rg, т.е. именно там, где в полной мере
проявляются
эффекты
общей
теории
относительности.
Исследование
спектра
аккреционного диска в рамках общей теории относительности (ОТО) позволяет, как
определять параметры вещества в аккреционном диске, так и проверять саму общую
теорию относительности.
4
Анализ предметной области
Отличие ОТО от классической механики
Физика черных дыр описывается с помощью общей теории относительности.
В классической механике Ньютона пространство плоское, в нем сохраняется
расстояние
𝑑𝑙 2 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2
и для него верно преобразование поворота:
𝑥 = 𝑥 ′ cos 𝜗 + 𝑦 ′ sin 𝜗,
𝑦 = −𝑥 ′ sin 𝜗 + 𝑦 ′ cos 𝜗,
где 𝜗 – угол поворота.
В специальной теории относительности (СТО) сохраняется не расстояние, а
интервал
𝑑𝑠 2 = 𝑐 2 𝑑𝑡 2 − 𝑑𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 − 𝑑𝑧 2 ,
пространство тоже плоское, и в нем верны преобразования Лоренца:
𝑥 = 𝑥 ′ ch 𝜗 + 𝑐𝑡 ′ sh 𝜗,
𝑐𝑡 = 𝑥 ′ sh 𝜗 + 𝑐𝑡 ′ ch 𝜗,
где
th 𝜗 =
𝑥 𝑣
= .
𝑐𝑡 𝑐
Преобразования Лоренца являются аналогом поворота системы координат, но в
плоскости 𝑥𝑡. Однако, поскольку в интервал пространственные и временная координаты
входят с разными знаками, то тригонометрические функции приходится заменить на
гиперболические. Величина 𝜗 часто называется параметром скорости или безразмерной
скоростью.
В общей теории относительности инвариантной величиной тоже является не
расстояние, а интервал, но пространство считается искривленным и тогда интервал
является квадратичной формой общего вида от дифференциалов координат:
5
3
3
𝑑𝑠 2 = ∑ ∑ 𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑘
𝑖=0 𝑘=0
Уравнения Эйнштейна позволяют написать зависимость между неизвестными
компонентами метрического тензора 𝑔𝑖𝑘 (𝑥 0 , 𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) и распределением материи в
пространстве. Сами уравнения записываются в виде:
1
8𝜋𝐺
𝑅𝑖𝑘 − 𝑔𝑖𝑘 𝑅 = 4 𝑇𝑖𝑘 ,
2
𝑐
где тензор Риччи 𝑅𝑖𝑘 и его след 𝑅 выражаются через компоненты метрического тензора
𝑔𝑖𝑘 и его первые и вторые производные по координатам 𝑥 𝑖 . Справа стоит тензор энергииимпульса 𝑇𝑖𝑘 , который описывает распределение материи, 𝐺 – гравитационная
постоянная, 𝑐 – скорость света. Уравнения позволяют найти неизвестные компоненты
метрического тензора 𝑔𝑖𝑘 как функции координат и определить движение тела в
искривленном пространстве.
6
Спектр излучения аккреционного диска
Большая часть излучения внутренних областей аккреционных дисков приходится
на рентгеновский диапазон. Лучше всего видна спектральная линия Fe K, поскольку
температура диска соответствует энергии ее возбуждения. Эта линия образуется при
переходе электронов в атомах железа в аккреционном диске на 1 энергетический уровень
(со 2-го) с излучением рентгеновского фотона с энергией 6.4 килоэлектронвольт. Переход
электронов может быть вызван возбуждением электронным ударом, столкновением
атомов или фотоионизацией.
Метрики черных дыр
Шварцшильда
В 1916 году, всего лишь через несколько месяцев после того, как Эйнштейн
опубликовал свои уравнения гравитационного поля в общей теории относительности,
немецкий астроном Карл Шварцшильд нашел решение этих уравнений, описывающее
статическую черную дыру, т.е. такую, которая не вращается и не имеет заряда. Черных
дыр Шварцшильда в реальности не существует, поскольку это идеализированная модель.
Решение Шварцшильда зависит только от одного параметра – массы черной дыры.
Керра
Пятьдесят лет после создания общей теории относительности во всех расчетах
использовалось только решение Шварцшильда, хотя все понимали, что нужно учитывать
влияние вращения, но никто не мог правильно решить уравнения Эйнштейна. Это
решение нашел математик и астрофизик из Новой Зеландии Рой Патрик Керр в 60-х годах
XX века (в настоящее время ему 80 лет, он преподает в университете). Черную дыру
Керра определяют два параметра: масса и момент импульса.
В решении Керра
вращающаяся черная дыра увлекает за собой инерциальные системы отсчета, то есть
вовлекает окружающее пространство-время во вращение вместе с собой.
Керра-Ньюмена
Решение Керра-Ньюмена описывает вращающуюся заряженную черную дыру. Ее
характеризуют масса, заряд и момент импульса.
Но если бы существовала заряженная черная дыра, то она достаточно быстро
потеряла бы свой заряд, притягивая частицы с противоположным зарядом из
окружающего пространства. В связи с этим в проекте для расчетов используется метрика
Керра.
7
Обзор предшествующих решений
В целом ряде работ авторы приводят экспериментальные данные и пытаются
определить параметры аккреционного диска и размеры излучающей области. Обычно в
этих случаях принимается некоторая модель диска и в работах определяются параметры
этой модели. Например, можно предположить, что излучательная способность диска
зависит от радиальной координаты как степенная функция. Тогда путем обработки
данных можно определить показатель степени, размер излучающей области по
радиальной координате и угол наклона диска к лучу зрения. Можно предположить, что
зависимость излучательной способности не степенная, а экспоненциальная. Тогда
результат тоже будет отличаться. Можно предположить, что размер излучающей области
известен и что зависимость излучения от радиуса экспоненциальная. Тогда остается
определить только показатель экспоненты.
Выбрать среди моделей ту, которая соответствует конкретным наблюдениям, не
представляется возможным, для этого требуются какие-то дополнительные соображения.
Часто в этой роли выступают личные предпочтения авторов работы.
В настоящей работе интенсивность излучения поверхности аккреционного диска
определяется
модельно-независимым
способом.
Не
предполагается
какой-либо
определенной зависимости излучения аккреционного диска от радиальной координаты: в
работе считается, что каждое из узких концентрических колечек в аккреционном диске
излучает независимо от остальных.
Суммарное излучение всех колечек дает форму линии Fe K для всего диска.
Подбирая коэффициенты для каждого отдельного колечка с помощью генетического
алгоритма, можно добиться того, чтобы смоделированная спектральная линия совпадала с
той, что получена из наблюдения. В качестве одной из независимых переменных
присутствует и угол наклона диска. Полученную зависимость нельзя будет представить
простой аналитической формулой.
Все
траектории
квантов
и
спектры
строятся
в
рамках
общей
теории
относительности.
8
Средства разработки и используемые алгоритмы
Библиотека lsodar
Библиотека lsodar численно решает систему обыкновенных дифференциальных
уравнений для расчета траектории движения фотонов в поле керровской чёрной дыры.
Эта библиотека написана в 80-х годах на Fortran и оптимизирована вручную, поэтому она
чрезвычайно быстро работает и очень эффективна в вычислительных задачах.
Генератор случайных чисел
В приложении использован генератор случайных чисел. Этот генератор разработан
физиками-теоретиками и выгодно отличается от стандартных генераторов, встроенных в
языки программирования. Он позволяет получать равномерно распределенные случайные
числа, так что степень этой равномерности выдерживает любые статистические тесты.
Генетический алгоритм
Существует несколько классов алгоритмов для поиска экстремумов функций:
градиентные методы, методы группы Монте-Карло и генетические алгоритмы. Выбор
генетического алгоритма был обусловлен тем, что он особенно эффективен для
нахождения экстремумов в многомерном пространстве (поиск максимума функции
многих переменных). В приложении для расчетов используется функция с 16
аргументами, но для обеспечения большей точности, у пользователя есть возможность
применить функцию с большим числом аргументов.
Генетический алгоритм использует механизмы, аналогичные естественному отбору
в природе. Идея генетического алгоритма заключается в том, чтобы с помощью
«естественного отбора» выбрать из пробных решений лучшее, то есть то, при котором и
достигается экстремум.
Популяция – набор всех пробных решений, особь (хромосома) – одно пробное
решение. Хромосома состоит из набора генов, записанных в двоичном виде, каждый ген –
аргумент функции.
Особи скрещиваются и мутируют, таким образом, популяция пополняется новыми
особями. После скрещивания и мутации происходит отбор особей в новую популяцию
путем вычисления оценочной функции. Так продолжается до тех пор, пока экстремум не
будет найден.
9
Схема генетического алгоритма
Схема скрещивания
Схема мутации
10
Существует множество модификаций генетического алгоритма, далее будет
описано, какая модификация использовалась в приложении.
Скрещивания
В приложении используется одноточечный кроссовер. Случайно выбираются две
особи. Затем случайно выбирается точка внутри хромосомы – точка разрыва. Эта точка
делит хромосомы на две части, и они обмениваются ими. Таким образом, в результате
скрещивания получаются две новые особи.
Мутации
С некоторой
вероятностью
особь
может
мутировать:
в
случайной
последовательности бит, соответствующей гену хромосомы, инвертируется случайный
бит. В ранних версиях приложения вероятность мутации была велика, но это не привело к
желаемому результату: приложение работало медленнее, чем при небольшой вероятности
мутаций.
Отбор
В первую очередь вычисляются оценочные функции для всех особей. При отборе
сначала выбирается 10% особей с наибольшей приспособленностью от стартового
количества. Затем выбирается 40% лучших особей от стартового количества. Таким
образом, лучшие особи (10% от стартового количества) включены дважды, это повышает
вероятность того, что в следующем проходе они скрестятся между собой и дадут лучших
потомков.
В данной задаче значение функции значительно меняется при изменении
аргумента, обозначающего угол, под которым к наблюдателю наклонен аккреционный
диск черной дыры. Чтобы предотвратить сходимость к локальному минимуму
(сходимость при неоптимальном угле), используется несколько механизмов.
Если более N проходов лучшая особь не меняется, то в новую популяцию
отбирается 10% особей с наименьшей приспособленностью от стартового количества и
40% худших особей. Таким образом, худшие особи (10% от стартового количества)
включены дважды, это повышает вероятность того, что в следующем проходе они
скрестятся между собой и выведут алгоритм из локального минимума.
Если лучшая особь не меняется менее N проходов, все гены выбранных ранее
особей в новую популяцию копируются, исключая ген, отвечающий за угол: он
генерируется случайно.
Из начальной популяции в новую случайно добирается еще 50% от начального
количества особей. Случайно генерируется еще K особей.
11
Оценочная функция
В данной задаче велика погрешность в экспериментальных данных, поэтому в
приложении используется два графика: график, построенный по наибольшим возможным
значениям, и график, построенный по наименьшим возможным значениям. В таком
случае задача сводится к тому, чтобы подобранный график лежал между ними. Тогда
оценочная функция – сумма квадратов отклонений полученного с помощью алгоритма
графика от ближайшего из экспериментально полученных графиков (причем, если
полученный график находится между двумя данными, то отклонение равно 0).
Вызов dll на Fortran из программы на C#
С помощью программы Dependency Walker был найден адрес точки входа в
библиотеку. Все переменные в библиотеку передаются ссылками.
12
Программная реализация
Язык и среда
Приложение было написано на языке C# в среде Microsoft Visual Studio 2010.
Библиотеки
Библиотека lsodar написана на Fortran, для работы с ней использовалось
дополнение к MVS10 PGI Fortran.
Библиотека,
генерирующая
равномерно
распределенные
случайные
числа,
написана на языке C++.
Ход работы
Был реализован вызов lsodar на Fortran и генератора случайных чисел на C++ из C#.
В приложении для расчетов используются большие объемы данных. Чтобы ускорить
работу, были сделаны попытки обращаться к библиотеке на Fortran меньшее количество
раз (передавать и получать данные целыми массивами). Выгода во времени оказалась
незначительной, но при этом такой способ делал работу с приложением неудобной,
поэтому он не используется.
Была сделана программная реализация генетического алгоритма. Было испытано
несколько вариантов оценочной функции. Самые удачные результаты на данный момент
были получены с помощью оценочной функции, описанной ранее.
Изначально в приложении использовалась сериализация, включенная в базовый
синтаксис С#. Но из-за большого объема данных и сложного устройства классов данные
занимали слишком много места и считывались в память слишком долго, часто переполняя
ее. Тогда была написана своя сериализация в бинарный формат, которая работает
значительно быстрее и занимает меньше места.
Приложению приходится обрабатывать большое количество данных, чтобы
ускорить его работу была проведена оптимизация: сортировка данных, поиск по ним был
заменен на бинарный поиск, везде, где это возможно, списки были заменены массивами.
Время вычислений уменьшилось в 10 раз.
13
Результаты
В приложении реализованы задачи, описанные в постановке задачи. У
пользователя приложения есть возможность:

записывать и читать данные, использующиеся для построения спектров
аккреционных дисков

строить спектры отдельных колец аккреционного диска, смотря на него под
определенным углом
14

просматривать полученные ранее спектры аккреционных дисков

фитировать смоделированной кривой экспериментальные данные
Наиболее удачный спектр излучение аккреционного диска черной дыры был
получен с коэффициентами:
15
Радиусы (rg )
1
Коэффициенты 70
Угол (градусы)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
77
88
58
59
89
86
7
95
26
48
1
33
4
4
28
Направления дальнейших разработок
Полученный спектр может состоять из двух компонент различной физической
природы, поэтому в дальнейшем планируется фитировать экспериментальные данные как
двухкомпонентный спектр.
16
Литература
1. Т.В.Панченко «Генетические алгоритмы»
2. Вишняков Алексей (norritt) «Интероперабельность: Фортран и C#»
3. Turner, George, Nandra, Mushotzky, The Astrophysical Journal Supplement Series,
113, 23, 1997
17