СвёртываниеКритериевОБК

Методы замены векторного критерия скалярным критерием
Одним из подходов к поиску компромиссного решения ЗВО является
сведение её к задаче параметрической оптимизации, т.е. сведение её к
однокритериальной (скалярной) оптимизации. Иначе говоря, частные
критерии Fi(X), тем или иным способом объединяются в составной
(обобщенный) критерий f(X)=Ф[F1(X), F2(X), . . . , Fm(X)], который затем
оптимизируется. Под построением обобщённого критерия в МЗО
понимается процедура, которая "синтезирует" набор оценок по заданным
частным критериям, в единую численную оценку, выражающую итоговую
полезность этого набора оценок для ЛПР. Формально обобщённый критерий
для МЗО, представляет собой функцию Ф: Y1  Y2   Ym  E , где Yj –
множество оценок по j – критерию. Если обобщённый критерий Ф построен,
то для каждого допустимого исхода XD может быть найдена численная
оценка его полезности (ценности, эффективности): f(X)= Ф[F1(X), F2(X), . . . ,
Fm(X)]. Таким образом, задание обобщённого критерия сводит задачу
многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации
с целевой функцией f(X). Наиболее распространённым обобщённым
критерием является "взвешенная сумма частных критериев", которая
превращает векторную оценку в скалярную оценку.
Метод взвешенных сумм (Метод линейной свертки)
Идея этого метода заключается в том, что обобщённый критерий
записывается в следующем виде:
m
f ( X )    i Fi ( X ),
(1)
i 1
который называют аддитивным критерием. Здесь i0 являются весовыми
коэффициентами, которые задают предпочтение i - го критерия по
сравнению с другими критериями. Величина i определяет важность i - го
частного критерия. При этом более важному критерию приписывается
больший вес, а общая важность всех критериев принимается равной 1, т.е.
m

i
 1.
То, что решение можно получить, используя аддитивность
i 1
векторного критерия, высказал Парето. Он также ввёл понятие весовых
коэффициентов. Таким образом, мы получили однокритериальную задачу
математического программирования
min f ( X )  min
m
 F (X ) .
i 1
XD
i
i
XD
Замечание. Как правило, частные критерии имеют различную размерность.
Поэтому при образовании обобщённого критерия нужно работать не с
натуральными критериями, а с их нормированными значениями.
Нормированный критерий представляет собой отношение “натурального”
частного критерия к некоторой нормирующей величине. При этом выбор
нормирующего делителя должен быть обоснован. Возможно несколько
подходов к выбору нормирующего делителя:
 в качестве нормирующего делителя берут директивные значения
параметров, заданные заказчиком, т.е. предполагают, что в ТЗ на
проектируемый объект заданы оптимальные значения параметров:
 в качестве нормирующих делителей берут максимальные значения
критериев, достигаемых в области существования проектных решений
(область D);
 берут лучшие мировые достижения в данной области;
 в качестве нормирующего берут разность между max
и min
значениями критерия в области D
fi ( X ) 

Fi max  Fi ( X )
Fi ( X )  Fi min
f
(
X
)

или
.
i
Fi max  Fi min
Fi max  Fi min
Нормированные критерии будем обозначать через f i(X), т.е. аддитивный
m
критерий примет вид f ( X )    i f i ( X ).
(2)
i 1
Какой определён принцип оптимальности?
Поскольку в области компромисса увеличение (уменьшение) одного
критерия может достигаться лишь ценой уменьшения (увеличения) другого
(или других) критериев, то справедливым является тот компромисс, при
котором абсолютный уровень снижения одного не превосходит суммарного
уровня увеличения других критериев.
Пусть имеется два решения X1 и X2. Тогда в соответствии с
изложенным принципом следует вычислить сумму абсолютных изменений
всех частных критериев, обусловленных этим переходом (переход от X 1 к
X2)
m
m
m
i 1
i 1
i 1
f   i ( f i ( X 2 )  . f i ( X 1 ))   i f i ( X 2 )   i f i ( X 1 )..
В случае f<0 решение X2 признаётся лучшим, чем X1, если f>0, то лучше
X1. Тогда оптимальным решением будет такое, для которого f0 при
переходе от него к любому другому решению, т.е.
m
m
i 1
i 1
  i f i ( X )    i f i ( X opt ), где Xopt - точка min, X любая точка из D.
Таким образом, принцип справедливой абсолютной уступки
(компенсации) приводит к утверждению, что оптимальное решение означает
минимизацию суммы нормированных частных критериев.
Иногда условия работоспособности позволяют выделить две группы
выходных параметров. В первую группу входят выходные параметры,
значения которых в процессе оптимизации нужно увеличить
Fi  ( X ) (производительность, вероятность безотказной работы), во вторую –
выходные параметры, значения которых нужно уменьшить Fi  ( X ) (расход
топлива, длительность переходного процесса). Тогда аддитивный критерий
m1
(2) примет вид f ( X )   i f i  ( X ) i 1
m2
 f
i 1
i

i
( X ) , где m1+m2=m. Обобщённый
критерий f(X) – максимизируется.
Замечание. Если решается задача выпуклого программирования, то
полученное решение (с использованием аддитивного критерия) является
оптимальным по Парето, т.е. оптимальное решение, полученное с
использованием метода линейной свёртки, лежит в области эффективных
решений. Доказать данное утверждение самостоятельно.
Рассмотрим пример. Переносной автомат для забивания стальных дюбелей
в бетонные стены состоит из корпуса с магазином, содержащим запас
дюбелей; подающего-спускового механизма с зарядами и ствола. Требуется
определить основные конструктивные параметры автомата – длину ствола L
и число дюбелей –N при следующих исходных данных:
число дюбелей , N12;
масса одного дюбеля с зарядом равна m=50 г;
масса ствола 1.6 кг/м;
масса корпуса 2 кг.
При фиксированной величине заряда и заданной массе дюбеля скорость V
выбрасывания связана с длиной ствола L соотношением V=k L ; где
k= 150
м 0.5
.
c
Минимально допустимая скорость Vmin=100 м/cек. Масса
автомата не должна превышать 6 кг. Частными критериями являются
скорость выбрасывания и число дюбелей, помещающихся в магазине. Выбор
этих критериев объясняется тем, что чем выше V, тем надёжнее дюбеля
проникают в бетонные стены любой марки, а чем больше N, тем удобнее
работать. По мнению экспертов оба критерия V и N имеют одинаковую
важность.
Введём обозначения: F1(N,L)= k L - первый критерий (скорость);
F2(N,L)=N – второй критерий (число дюбелей).
Сформулируем задачу многокритериальной оптимизации:
maxF=max(F1, F2)
при следующих ограничениях
N12;
V100;
1.6L+ 0.05N+26.
Построим область D (см. рис.1) и критериальное пространство и определим
компромиссную кривую (КК) (см. рис.2).
L
Lmax=17/8
Область D
Lmin=4/9
Nmin=12
Nmax=66
N
Рис.1. Область D
Для определения оптимальных значений параметров будем использовать
m
аддитивный критерий f ( X )    i f i ( X ). Так как критерии имеют одинаковую
i 1
V
Vmax=218
КК
Критериальное
пространство
Vmin=100
Nmin=12
Nmax=66
N
Рис.2. Критериальное пространство и КК
важность, то весовые коэффициенты можно взять равными единице. В
качестве нормирующих делителей возьмём максимальные значения
критериев, достигаемых в области существования проектных решений
(область D). Для определения нормирующих делителей будем использовать
уравнение баланса (массу автомата). Найдем Nmax из условия, что
Vmin=100 м/cек. Определяем длину ствола, соответствующую минимальной
2
V
скорости L=  min  и подставляем в уравнение баланса. Получим, что
 k 
Nmax=66. Аналогично находим, т.е. берём N=12 и подставляем в уравнение
баланса. Получим Vmax=219 м/cек.
Таким образом, мы получили следующую задачу оптимизации:
найти максимум функции f ( L, N ) 
k L
N

Vmax
N max
при ограничении 1.6L+ 0.05N+26.
Так как наша функция f(L,N) монотонно возрастающая, то максимум
достигается на границе. Поэтому ограничение неравенство мы можем
заменить на ограничение равенство. Окончательно имеем
k L N
найти максимум функции f ( L, N ) 

219 66
при ограничении 1.6L+ 0.05N+2=6.
Для определения максимального значения f(L,N) с учётом ограничения
равенства мы будем использовать метод неопределённых множителей
Лагранжа. Получим следующую задачу безусловной оптимизации:
найти максимум функции ( L, N ,  ) 
k L
N

  (1.6 L  0.05 N  4).
Vmax
N max
Находим частные производные по L, N,  и приравниваем их к нулю.
Получим систему уравнений:

k
1


 1.6  0,
L Vmax 2 L

1

 0.05  0,
N N max

 1.6 L  0.05 N  4  0.

Решая
эту
систему,
получим
следующие
значения:

1
,
0.05 N max
2
 0.05 * N max * k 
 или =-4/13=0.308, Nopt=64,
Vopt
Lopt  

2
*
1
.
6
*
V
max 

Lopt=0.499 м, Vopt=106 м/cек.
Аддитивный критерий имеет ряд недостатков:
 Он выступает как формальный математический приём, придающий
задаче удобный для решения вид;
 В аддитивном критерии может происходить взаимная компенсация
частных критериев. Это значит, что значительное уменьшение одного
из них вплоть до нуля может быть покрыто возрастанием другого
критерия. Для ослабления этого недостатка следует вводить
ограничения на минимальные значения частных критериев и их
весовых коэффициентов.
k2
,

2Vmax  1.6

Более того, оказывается, что сумма оценок основана на следующем
неявном постулате: "низкая оценка по одному критерию может быть
компенсирована высокой оценкой по другому". Однако, этот постулат
верен отнюдь не всегда. Например, пусть качество оператора ввода
текстов оценивается двумя критериями: 1) скорость ввода (символов в
минуту) и 2) среднее количество ошибок на страницу текста.
Очевидно, что ухудшение качества ввода (увеличение количества
ошибок) не может быть компенсировано увеличением скорости ввода.
Можно даже сказать, что в области оценки персонала такая ситуация
типична. Скажем, недостаток компетентности не может быть
компенсирован повышенным уровнем активности. Скорее наоборот!
Вспомним шутливое изречение: "Кто может быть хуже дурака? Дурак
с инициативой!"
Замечание. Хотя аддитивный критерий подвергается сильной критике, но
существуют задачи, где критерий качества должен удовлетворять
аддитивности. Например, в динамическом программировании эффект от
управления процессом F складывается из элементарных эффектов fk,
полученных на отдельных шагах процесса: F=fk.
Мультипликативный критерий преобразуется в аддитивный путём
логарифмирования целевой функции, то получим эквивалентный
аддитивный критерий, который обращается в максимум одновременно с
мультипликативным критерием. Таким образом, несмотря
на слабые
стороны, обобщённый аддитивный критерий позволят в ряде случаев
успешно решать многокритериальные задачи и получать полезные
результаты.
Мультипликативный критерий
Аддитивный критерий основан на использования принципа
справедливой компенсации значений нормированных частных критериев. Но
в ряде задач проектирования более целесообразным является оперирование
не с абсолютными, а с относительными изменениями значений частных
критериев.
Принцип справедливой относительной компенсации формулируется
следующим образом: справедливым следует считать такой компромисс,
когда суммарный уровень относительного снижения значений одного или
нескольких критерий не превышает суммарного уровня относительного
увеличения других критериев.
В математической формулировке условие оптимальности на основе
принципа справедливой относительной компенсации имеет вид
m

i 1
Fi ( X )
 0,
Fi ( X )
(3)
где ΔFi(X) – приращение величины i – го критерия, Fi(X) – первоначальная
величина i – го критерия.
Полагая Fi  Fi (X ) , можно представить (3) как дифференциал
натурального логарифма
m
Fi ( X )

d
(ln
F
(
X
))

d
ln
Fi ( X )  0,



i
i 1 Fi ( X )
i 1
m
(4)
Из выражения (4) следует, что принцип относительной компенсации
приводит к мультипликативному обобщённому критерию оптимальности
m
F ( X )   Fi ( X ).
(5)
i 1
Мультипликативный критерий образуется путём простого перемножения
частных критериев в том случае, когда они имеют одинаковую важность. В
случае неравноценности частных критериев вводятся весовые коэффициенты
i и мультипликативный критерий примет вид
m
F ( X )   Fi i ( X ).
(6)
i 1
Мультипликативный критерий иногда представляется в
отношения произведений частных критериев (выходных параметров)
m1
F(X ) 
F

F

j
i
i 1
m2
виде
(X )
, m1+m2=m;
(7)
(X )
j 1
где в числителе перемножаются все выходные параметры, требующие
максимизации и имеющие ограничения Fi  ( X )  TTi , а в знаменателе – все
выходные параметры, требующие минимизации и имеющие ограничения
Fi  ( X )  TTi . , где TTi – значение технического требования, предъявленного к
i– му критерию. Целевая функция (7) в дальнейшем подвергается
максимизации.
Достоинством мультипликативного критерия является то, что при его
использовании не требуется нормирование частных критериев. Недостатки
критерия: критерий компенсирует недостаточную величину одного частного
критерия избыточной величиной другого и имеет тенденцию сглаживать
уровни частных критериев за счёт неравнозначных первоначальных
значений частных критериев.
Примеры 1. Производственная функция, отражающая овеществлённый
технический прогресс (модель Р. Солоу)
Yt  ALt K t1 , где Yt – выпуск продукции; L – численность рабочих; K – объём
основных производственных фондов. Здесь величины  и 1- следует
рассматривать как весовые коэффициенты.
Пример 2. Обнаружение сигналов в "белом" шуме. На вход RC – фильтра с
импульсной характеристикой h( )  e  поступает аддитивная смесь:
прямоугольный импульс s(t) плюс "белый" шум n(t). Требуется найти такое
значение , чтобы отношение сигнал/шум было максимальным, т.е. мы
желаем, чтобы значение сигнала было максимальным, а уровень шума –
минимальным ( – полоса пропускания RC – фильтра).
1.531
2
s(t)
ng
A
 1.712
T
2
0
t
100
0
Рис.3. Сигнал s(t)
2.531
0
200
300
g
299
Рис 4.Шум n(t)
4
62.152
100
2
xpg
zm
50
0
 1.712
2
0.987
0
100
0
200
g
300
299
Рис. 5.Сигнал плюс шум
0
0
0
100
200
m
250
Рис.6. Отфильтрованный сигнал
n(t)
sˆ(t)  nˆ(t)
s(t)
h()
Рис. 7.Система обнаружения сигнала
F1()=A(1-e-T)  max (уровень сигнала на выходе фильтра),
F2()=
N
 min (уровень шума на выходе фильтра).
2
где A,N,T - константы; F1 и F2 - имеют одинаковую размерность. Найти
оптимальную полосу пропускания , если справедлив принцип
относительной компенсации частных критериев. Согласно формуле (7)
мультипликативный критерий будем иметь вид:
A(1  e T )
F ( ) 
 max .

N
2
Пример. Применим мультипликативный критерий оптимальности для
определения оптимальных параметров для автомата. Мы получили
следующую задачу оптимизации:
найти максимум функции f ( L, N )  k L * N
при ограничении 1.6L+ 0.05N+2≤6.
Для определения максимального значения f(L,N) с учётом ограничения
равенства мы будем использовать метод неопределённых множителей
Лагранжа. Получим следующую задачу безусловной оптимизации:
найти максимум функции ( L, N ,  )  k L * N   (1.6 L  0.05 N  4).
Находим частные производные по L, N,  и приравниваем их к нулю.
Получим систему уравнений:
 k * N

 1.6  0,
L 2 L

 k L  0.05  0,
N

 1.6 L  0.05 N  4  0.

Решая эту систему, получим следующие значения: Nopt=53, Lopt=0.83 м,
Vopt=137 м/cек.
Использование мультипликативного критерия в задаче оптимизации
привело другим значениям параметров автомата по сравнению с решением
задачи с аддитивным критерием оптимальности. Это объясняется тем, что
диапазоны взаимной компенсации абсолютных и относительных изменений
частных критериев неодинаковы. Поэтому в каждом конкретном случае
технического проектирования следует тщательно анализировать и
обосновывать
целесообразность
учёта
либо
абсолютных,
либо
относительных изменений значений частных критериев и в зависимости от
степени важности этих отклонений выбирать либо аддитивный, либо
мультипликативный критерий оптимальности.
Заключение. Преимущества и недостатки формальных обобщённых
критериев.
Преимущества – возможность учёта в качестве fi(X) любых выходных
параметров системы, а также надёжность и стоимость.
Основные недостатки. – возможность компенсации ухудшения целевой
функции из-за ухудшения одного параметра за счёт улучшения какого-либо
другого выходного параметра.
Метод "идеальной" точки
Метод "идеальной" точки. Рассматривается m-мерное пространство
(где m число локальных критериев), в котором априори выбирается вектор,
отображающий "идеальное" решение (или, что тоже самое, "идеальная"
точка, координатами которой являются "идеальные" значения (например
минимальные или максимальные значения) локальных критериев). В этом
пространстве вводится некоторая метрика, с целью вычисления расстояния
между вектором, отображающим рассматриваемое решения, и "идеальным".
В качестве наилучшего выбирается такое решение, векторная оценка
которого наиболее близка к "идеальной" точке. Недостатками метода
являются произвол при выборе идеальной точки и введение метрики.
Определим обобщенный критерий следующим образом. Положим
ai=maxFi(X); i  1, m , т.е. ai является максимально (минимально) возможным
значением по i – му критерию. Положим a=(a1, a2, . . ., am). Точка a
называется идеальной. Смысл названия связан с тем, что такие точки
оптимальны сразу по всем критериям – получить большее (меньшее)
значение ни по одному критерию невозможно. Как правило, точка aYD.
Зададим для всех точек YYD функцию, являющуюся евклидовым
расстоянием между точками Y и a
1
m
2
 ( y , a )   ( a i  y i ) 2  .
 i 1

За целевую функцию (обобщённый критерий) берут выражение
m
f ( X )   i ai  Fi ( X ) ,
2
i 1
где i – весовые коэффициенты.
Таким образом, задача оптимизации формулируется следующим образом
m
min  i ai  Fi ( X )2
i 1
XD
С учётом нормировки
a  F (X )
min  i  i 0i

Fi
i 1


XD
m
2
(8)
Замечание. Здесь принцип оптимальности выражается функцией выбора
определяемой близостью к идеальной точке.
Замечание. В качестве идеальной точки берут директивные значения
параметров, заданные заказчиком, т.е. в ТЗ (техническом задании).
Какие
задачи
оптимального
проектирования
приводят
к
использованию метода идеальной точки?
Например, когда все или основные условия работоспособности имеют вид
равенств, т.е. Fi(X)=TTi, где TTi – значение технического требования,
предъявленные к i - критерию. Тогда целевая функция имеет вид:
2
 F (X)  TTi 
f (X)    i  i
  min .
0
F

i 1


i
m
Пример. Пусть имеются частные критерии F1(X)=-3x1+2x2; F2(X)=4x1+3x2;
F3(X)=2x1-5x2, которые требуется максимизировать. Область D задаётся
неравенствами –x1-3x2+180; -2x1-x2+100; x10; x20. Линейная функция
F1(X) достигает максимального значения a1=12 в точке X1=(0, 6); F2(X) максимальное значение a2=24 в точке X2=(3, 4); F3(X) - максимальное
значение a3=10 в точке X3 =(5, 0). По методу идеальной точки составим
функцию
f(X)=[12-(-3x1+2x2)]2+[24-(4x1+3x2)]2+[10-(2x1-5x2)]2.
преобразований получим f(x1, x2)= 29 x12  38x22  8x1 x2  160 x1  92 x2  820 .
Таким образом, задача оптимизации будет такая
min f(x1, x2)
g1(X)= –x1-3x2+180
g2(X)= -2x1-x2+100
g3(X)=x1≥0; g4(X)=x2≥0
Построим область D.
После
y=10-2x
Xopt
Область
D
y=6-2/3x
Рис. 8. Область D
Найдем максимум функции, не учитывая ограничений. Если
полученное значение будет лежать в области D, то оно и будет решением
нашей задачи.
Находим частные производные по x1 и x2 функции f(x1, x2) и приравняем их к
нулю. Получим следующую систему линейных уравнений
29x1-4x2=80
-4x1+38x2=46.
Решение этой системы: x1=2.97; x2=1.52. Эта точка находится внутри
области D. Следовательно, минимум функции достигается в точке с
координатами x1opt=2.97; x2opt=1.52.
В найденной точке Xopt, являющейся решением рассматриваемой
многокритериальной задачи линейного программирования, F1(Xopt)=-5.87;
F2(Xopt)=16.44; F3(Xopt)=-1.66.
2
2
—целевая функция
f ( x  y)  29  x  38  y  8  x  y  160  x  92  y  820
x  2
Given
y  1
— начальные приближения
2  x  3  y  18  0
— ограничения
2  x  y  10  0
x 0
 2.969 

 1.523  — функция минимизации
Minimize ( f  x  y)  
Следовательно, x1opt=2.97; x2opt=1.52.
Проблемы построения обобщённого критерия для векторных задач
оптимизации
Вопросы:
 Сложности в построении обобщённого критерия; примеры.
 Формальное определение обобщённого критерия. Эквивалентность
обобщённых критериев.
 Локальный коэффициент замещения (ЛКЗ). Карта безразличий. Условия
постоянства ЛКЗ.
1. Как было сказано ранее, задание обобщённого критерия превращает
задачу многокритериальной оптимизации в задачу однокритериальной
оптимизации. Первоначально кажется, что это единственный способ. Однако
на пути построения обобщённого критерия (итоговой “синтетической”
оценки) имеются весьма существенные, а подчас – непреодолимые
препятствия.
В качестве примера можно рассмотреть задачу построения
обобщённой оценки некоторой реальной системы (объекта). Частные
критерии оценки системы можно разбить на две группы: критерии,
отражающие эффективность системы, и критерии, связанные со стоимостью
системы. Предположим, что уже удалось построить обобщённый критерий
эффективности (Э) и обобщённый критерий стоимости (С). Как теперь
соединить критерий стоимости и эффективности в один критерий? Наиболее
естественным представляется в качестве такой оценки рассматривать
“удельную эффективность”, т.е. отношение эффективности к стоимости:
f=Э/С. Так как обобщённый критерий указывает “итоговую” оценку
полезности системы для принимающего решение, то по величине
обобщённого
критерия
устанавливается
предпочтение
между
сравниваемыми объектами.
Рассмотрим теперь показатели стоимости и эффективности для трёх
систем: a0, a1, a2, представленные на рис. 9. Здесь f0 = Э0/С0, f1 = Э1/С1,
f2 = Э2/С2, причём f1 > f0, f2 > f0 .
Э
a2
Э2
Э0
a0
a1
Э1
1
0
2
3
С1
4
С0
5
6
С
С2
Рис. 9. Отношение эффективности к стоимости для трёх систем
Из рисунка можно определить, что f1 =
1
2 10
4
12
= 1, f0 = = , f2 = = .
3 15
5
15
1
Таким образом, по обобщённому критерию системы a1 и a2 являются
более предпочтительными, чем система a0. Однако система a1 имеет очень
низкую эффективность, а система a2 – очень высокую стоимость. Ясно, с
практической точки зрения ни система a1, ни система a2 не могут
рассматриваться как удовлетворительные. Поэтому критерий f=Э/С не может
претендовать на роль “адекватного” обобщённого критерия. Отметим, что
даже на первом шаге – объединении всех частных критериев эффективности
в единый обобщённый критерий (Э) можно встретиться с весьма
существенными трудностями, особенно в случае наличия критериев,
характеризующих объект с разных сторон (например, скорость автомобиля и
его надёжность).
Обратимся теперь к проблеме построения обобщённого критерия в
виде взвешенной суммы частных критериев, которая превращает векторную
оценку y = (y1, . . . , ym) в скалярную оценку Ф(y) = λ1y1 + … + λmym ,(где λj 
o, j = 1, m ). Предложено множество различных способов нахождения весовых
коэффициентов, однако ни один из них не может претендовать на роль
универсального. Рассмотрим в качестве примера следующий способ
нахождения весовых коэффициентов:
λJ =
1
Mj
В этом случае
,
где Mj = max
|fj(x)| .
aD
f(x) =
m
f j ( x)
j 1
Mj

,
(8)
т.е. итоговой численной оценкой исхода а, является сумма нормализованных
оценок по всем критериям (нормализованная оценка по j-му критерию есть
отношение fj(x)/Mj). На первый взгляд, обобщённый критерий (8)
представляется вполне разумным. Однако, следующий пример выявляет
один существенный недостаток критерия (8).
Предположим, требуется сравнить два альтернативных варианта мест
работы А и В, векторные оценки которых приведены в табл.1
А
В
Зарплата (руб.)
900
500
Длительность отпуска (дни)
20
30
Таблица 1
Время поездки (мин)
-60
-40
Здесь M1 = 900, М2 = 30, М3 = 60, откуда
f(A) =
900
20 60
2
+
= ;
900
30 60
3
f(B) =
500
30 40
8
+
= .
900
9
30 60
Так как f(B) > f(A), то альтернатива В более предпочтительна, чем
альтернатива А.
Пусть теперь наряду с альтернативами А и В появилась ещё одна
альтернатива С, которая характеризуется векторной оценкой (400, 60,-100). В
900
20
60
22
+
=
;
900
60 100
30
400
60 100
4
f(C) =
+
= .
60 100
9
900
этом случае M 1 = 900, M 2 = 60, M 3 = 100, откуда f(A) =
f(B) =
500
30
40
59
+
=
;
900
60 100
90
Получаем, что теперь альтернатива А стала более предпочтительной,
чем альтернатива В, т.е. порядок предпочтения альтернатив А и В получился
в этом случае обратным! Итак, наличие ещё одной альтернативы с меняет
предпочтения между альтернативами А и В. Это парадоксальное свойство
называется нарушением независимости предпочтений относительно
посторонних альтернатив. (При этом следует заметить, что дополнительная
альтернатива С здесь не конкурирует ни с А, ни с В, так как А и В
предпочтительнее, чем С).
Подведём некоторый итог. Принципиальная сложность построения
обобщённого критерия заключается в том, что приходится “соотносить” друг
с другом критерии, характеризующие объект с разных сторон; эти критерии
имеют часто совершенно различную природу, в силу чего оценки по ним
делаются в разных шкалах. Построение итоговой (“интегральной”) оценки
невозможно без соизмерения критериев между собой, что требует большой
дополнительной информации об относительной важности этих критериев
для ЛПР.
2.
Рассмотрим теперь в общем виде проблему построения обобщённого
критерия для многокритериальных задач принятия решений. Ограничимся
случаем двух критериев, оценки по которым будем обозначать через u и v
соответственно; тогда каждая векторная оценка может быть представлена
точкой на координатной плоскости (u, v). Считаем, что оба критерия
являются позитивными, следовательно, целью принимающего решение будет
увеличение обоих критериев.
Построение обобщённого критерия представляет собой процедуру,
которая “синтезирует” пару оценок (u, v) в единую числовую оценку;
формально обобщённый критерий может быть задан в виде отображения
Ф: R  R  R. Главное, (и, по – существу, единственное) требование, которое
должно быть наложено на это отображение, состоит в том, что это
отображение должно “сохранять” отношение доминирования по Парето.
Поэтому можно дать следующее определение.
Опр. Под обобщённым критерием будем понимать отображение
Ф: R  R  R , удовлетворяющее условию
Par
(u1, v1)  (u2, v2)  Ф(u1, v1) > Ф(u2, v2).
(9)
Замечание. Иногда рассматривают ослабленный вариант условия (9),
состоящий в импликации
Par
(u1, v1)  (u2, v2)  Ф(u1, v1)  Ф(u2, v2).
(10)
Par
(Отношение  понимается как объединение отношения доминирования по
Par
Парето  и отношения равенства = ). Например, взвешенная сумма с
неотрицательными весовыми коэффициентами удовлетворяет условию (10),
а с положительными – более сильному условию (9).
Поскольку для обобщённого критерия Ф существенным является не
сама величина Ф(u, v), а соотношение типа Ф (u1, v1)  Ф(u2, v2), введём
следующее определение.
Опр. Обобщённые критерии 1 и  2 называются эквивалентными,
если для любых векторных оценок (u1, v1) и (u2, v2) выполняется
равносильность:
Ф (u1, v1)  1 (u2, v2)   2 (u1, v1)   2 (u2, v2)
Например, обобщённые критерии
1 (u, v) = 2u + 3v,  2 (u, v) =
= 0,4u + 0,6v и  3 (u, v) = e 2 u  3v эквивалентны между собой. Если Ф обобщённый критерий, то функция  =    , где  - произвольная
монотонно возрастающая функция, также будет обобщённым критерием,
который эквивалентен критерию  .
3.
Основной задачей является выявление данных, которые требуются для
построения обобщённого критерия. Предположим, что обобщённый
критерий  (u, v) построен. Тогда уравнение Ф(u, v) = с при каждом
фиксированном значении константы с определяет на плоскости переменных
(u, v) некоторую кривую, которая называется кривой безразличия. Для
любых двух точек М1(u1; v1) и М2(u2; v2), принадлежащих одной кривой
безразличия, Ф (u1, v1) = Ф (u2, v2), поэтому принимающий решение будет
рассматривать векторные оценки (u1, v1) и (u2, v2) как равноценные.
Зафиксируем некоторую точку М(u; v) и проанализируем, что
происходит при переходе от точки М к точке M (u ; v) при движении по
кривой безразличия (рис.10).
v
М(u; v)
v
v
М’(u’; v’)
V'
0
u
u
u'
u
Рис. 10. Кривая безразличия
Положим  u = u - u,  v = v  - v. При переходе от точки М к точке
M  оценка по первому критерию увеличивается на величину |  u|, а оценка
по второму критерию уменьшается на величину |  v | (заметим, что для
точек, лежащих на одной кривой безразличия,  u и  v всегда имеют разные
знаки). Так как лицо, принимающее решение рассматривает векторные
оценки (u, v) и (u , v) как равноценные, то для него потеря |  v| единиц по
второму критерию компенсируется прибавкой |  u| единиц по первому
критерию. (В эквивалентной форме это можно выразить ещё так: для лица
принимающего решение прибавка |  v | единиц по второму критерию
компенсирует потерю |  u | единиц по первому критерию).
Положительное число –(  v/  u), указывающее соотношение “потерьприбавок”, зависит, конечно, от того, в какую точку M  произойдёт
смещение из точки М по кривой безразличия. Чтобы исключить зависимость
от точки M  , надо взять “бесконечно малое смещение”, т.е. перейти к
пределу при условии M   М; последнее эквивалентно тому, что  u  0.
Опр. Положительное число
k = ulim 0 (-
v
)
u
называется локальным коэффициентом замещения (ЛКЗ) в точке М(u, v).
Конечно, в общем случае ЛКЗ зависит от точки М, т.е. k = k(u, v).
Содержательный смысл локального коэффициента замещения
заключается в следующем. Если  u мало, то можно считать, что -  v  k  u;
приняв  u за единицу, получаем |  v| = -  v  k. Таким образом, ЛКЗ
приблизительно равен той минимальной прибавке по второму критерию,
которая компенсирует для лица принимающего решение потерю единицы по
первому критерию (равенство тем точнее, чем меньшей взята единица по
первому критерию).
Геометрический смысл ЛКЗ ясен из рис.10: так как  v/  u есть тангенс
угла наклона секущей М M  к оси абсцисс, то, переходя к пределу при  u 
0, получаем следующее правило.
Правило 1. ЛКЗ в точке М(u; v) равен взятому со знаком “минус”
тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведённой к кривой
безразличия в точке М.
Пусть Q  R2 – некоторое множество векторных оценок. Из
определения кривой безразличия следует, что через каждую точку M  Q
проходит одна кривая безразличия.
Опр.
Множество всех кривых безразличия составляет карту
безразличий в области Q; типичный вид карты безразличий представлен на
рис.11
v
Q
0
u
Рис. 11. Карта безразличий
Будем считать, что кривые безразличия являются гладкими (т.е. имеют
касательную в каждой точке).
Правило 2. Задание в области Q карты безразличий равносильно
заданию ЛКЗ для каждой точки M  Q.
Действительно, предположим, что в области Q задана карта
безразличий. Тогда для каждой точки М(u; v)  Q существует единственная
проходящая через неё кривая безразличия. Взятый со знаком “минус”
тангенс угла наклона касательной, проведённой к этой кривой безразличия в
точке М, даст по правилу 1 ЛКЗ в точке М.
Обратно, пусть для каждой точки М(u; v)  Q задан соответствующий
ей локальный коэффициент замещения k(u; v). Тогда для каждой точки
области Q известен угловой коэффициент касательной к кривой безразличия.
В этом случае можно построить (при некоторых ограничениях на функцию
k(u; v)) карту безразличий – это хорошо известный в математике способ
построения интегральных кривых в заданном поле направлений.
В заключение данного пункта найдём условия, при которых ЛКЗ
является постоянным.
 Если в области векторных оценок Q  R2 ЛКЗ k постоянен, то
семейство кривых , составляющих карту безразличий обобщённого
критерия Ф, определяется дифференциальным уравнением dv/du = -k, откуда
dv=-k  du, а v = -k  u + c, т.е. в этом случае карта безразличий представляет
собой семейство параллельных прямых, угловой коэффициент которых
равен –k.
 Пусть в области Q задана карта К, состоящая из семейства
параллельных прямых, имеющих отрицательный угловой коэффициент -k.
Тогда обобщённый критерий  (u, v) = k  u + v совместим с картой К (так как
его карта безразличий состоит из линий k  u + v = с – прямых, имеющих
угловой коэффициент -k, т.е. совпадает с картой К). Получаем, что в этом
случае обобщённый критерий, совместимый с картой К, может быть
представлен в виде взвешенной суммы критериев u и v (с положительными
постоянными коэффициентами).
 Предположим, что обобщённый критерий  представим в виде
взвешенной суммы: Ф(u, v) =  u+  v, где  > 0,  > 0 – постоянные. Тогда
кривые безразличия этого обобщённого критерия определяются уравнением
 u +  v = с, где с – постоянная величина, т.е. являются прямыми с угловым
коэффициентом k = -  /  ; по правилу 1 в этом случае ЛКЗ равен  /  и
является постоянным.
Утверждение Следующие три условия эквивалентны между собой для
произвольного обобщённого критерия Ф, заданного в области векторных
оценок Q.
a) Обобщённый критерий Ф представим в виде взвешенной суммы
частных критериев.
b) Карта безразличий обобщённого критерия Ф состоит из семейства
параллельных прямых.
c) Локальный коэффициент замещения в области Q постоянен.
В связи с этим, для представимости обобщённого критерия в виде
взвешенной суммы частных критериев необходимо и достаточно
постоянного ЛКЗ. Это - очень сильное требование, которое в большинстве
экономических задач не выполняется.
Таким образом, при заданном в аналитической форме ЛКЗ задача
построения карты безразличия сводится к задаче интегрирования
дифференциального уравнения (решения дифференциального уравнения dv
= -k(u, v)).
du
Замечание. В качестве обобщённого критерия, совместимого с картой
К, может быть взята любая функция, имеющая вид суперпозиции   с, где 
- монотонно возрастающая функция одной переменной. Например, взяв  (w)
= w , получаем обобщённый критерий с1(u, v) = u v .