Вакуум, как гиперболический метаматериал

Вакуум, как гиперболический метаматериал
Игорь И. Смолянинов
Аннотация. Как показано Чернодубом, вакуум в сильном магнитном поле ведет себя,
как периодическая вихревая решетка Абрикосова в сверхпроводнике типа II. Мы
изучаем электромагнитное поведение вакуума в этом состоянии. Так как сверхпроводность реализуется только вдоль оси магнитного поля, то наблюдается сильная
анизотропия вакуумного диэлектрического тензора. Диагональные компоненты тензора положительны в направлениях x и y, перпендикулярных магнитному полю, и
отрицательны в направлении z вдоль поля. В результате, вакуум ведет себя, как среда из гиперболического метаматериала. Если магнитное поле постоянно, низкочастотные экстраординарные фотоны испытывают влияние этой среды, как (3+1) пространство-время Минковского, в котором роль времени играет пространственная
координата z. Пространственные вариации магнитного поля искривляют это эффективное пространство-время и могут привести к формированию “горизонтов событий”, которые являются аналогами электромагнитных черных дыр в гиперболических метаматериалах. Мы также отмечаем, что гиперболические метаматериалы
ведут себя, как бездиффракционные “совершенные линзы”. Так как достаточно
большие магнитные поля, вероятно, возникали в течение эволюции ранней вселенной, демонстрируемое гиперболическое поведение раннего вакуума может иметь отпечатки в структуре больших масштабов нынешней вселенной.
Физический вакуум – это сложная среда, которая часто понимается, как “кипящий суп”
виртуальных частиц, таких, как фотоны, электрон-позитронные пары, кварки и глюоны. В
некоторых условиях эти виртуальные частицы могут стать реальными, как, например, в
эффекте Швингера [1], в котором достаточно сильное электрическое поле в вакууме создает реальные электрон-позитронные пары. Другой подобный эффект был открыт совсем
недавно Чернодубом [2]. Он проявляется, когда сильное магнитное поле заставляет вакуум создавать реальные конденсаты электрически заряженных ρ мезонов, которые формируют анизотропное неоднородное сверхпроводимое состояние, подобное вихревой решетке Абрикосова [3] в сверхпроводнике типа II. Этот эффект следует из рассмотрения движения свободной релятивистской частицы спина s во внешнем магнитном поле B. Уровни
энергий частицы являются [4]
E2n,Sz=mρ2+pz2+(2n-2sz+1)eB
(1)
Где n≥0 есть целое, а sz=-s, …,s есть проекция спина на ось поля. Энергия нижнего состояния s=1 заряженных ρ-мезонов есть, следовательно,
mρ2(В)= mρ2-eB,
(2)
которое указывает на то, что при достаточно большом магнитном поле
B>Bc=m ρ2/e ≈1016T
(3)
вакуум становится нестабильным. Он спонтанно генерирует положительно и отрицательно заряженные конденсаты ρ мезонов. Чернодуб также показал, что эти конденсаты являются сверхпроводными и пространственно-неоднородными. Они формируют периодическую решетку Абрикосова (Фиг.1b) суперпроводных вихрей, разделенных диэлектрическими промежутками порядка 𝐿𝐵 = √2𝜋⁄|𝑒𝐵|. В результате, вакуум не имеет проводимости в направлениях x и y, перпендикулярных магнитному полю, в то время, как он ведет
себя как суперпроводник вдоль оси z [4]. В этой статье мы изучаем электромагнитное поведение вакуума по действием большого магнитного поля. Так как сверхпроводимость
реализована только вдоль оси магнитного поля, то наблюдается сильная анизотропия вакуумного диэлектрического тензора. Диагональные компоненты тензора положительны в
направлениях x и y, перпендикулярных магнитному полю, и отрицательны в z направлении вдоль поля, что означает, что вакуум ведет себя, как среда из гиперболического метаматериала. Как продемонстрировано в [5, 6], электродинамика такой среды совершенно
необычна. Это может быть кратко изложено след. образом.
Давайте начнем с немагнитного (μ =1) одноосного анизотропного материала с диэлектрическими проницаемостями εx= εy= ε1 и εz = ε2 и предположим, что дисперсией диэлектрической проницаемости можно пренебречь. Волновое уравнение в таком материале может
быть записано (см., например, [7]) , как
2⃗
𝜕 𝐸
− 𝑐 2 𝜕𝑡 2 = 𝜀⃡−1 ⃗∇ × ⃗∇ × 𝐸⃗
(4)
Где 𝜀⃡−1 - это инверсия тензора диэлектрической проницаемости, вычисленного при центральной частоте области частот сигнала. Любое распространяющееся электрическое поле
в этом одноосном материале может быть выражено как сумма “обычного” и “экстраординарного” вкладов, каждый из которых является суммой произвольного числа плоских
волн, поляризованных в “обычном” (𝐸⃗ перпендикулярно оптической оси) и “экстраординарном” (вектор 𝐸⃗ параллелен плоскости, определенной k-вектором волны и оптической
оси) направлениях. Нас интересует поведение экстраординарной части поля. Давайте
определим нашу “скалярную” экстраординарную волновую функцию как φ =Ez (так что
обычная часть электромагнитного поля не входит в φ). Уравнение (4) тогда приводит к:
𝜕2 𝜑
𝑐 2 𝜕𝑡 2
𝜕2 𝜑
=𝜀
1
𝜕2 𝜑
1
𝜕2 𝜑
+ 𝜀 ( 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦 2 )
𝜕𝑧 2
2
(5)
В то время, как в обычной кристаллической анизотропной среде оба – ε1 и ε2 являются положительными, это не обязательно в случае метаматериалов. В гиперболических метаматериалах (Фиг. 1а), рассмотренных, например, в [8, 9], ε1 и ε2 имеют противоположные
знаки. В области видимых частот эти метаматериалы обычно состоят из многослойных
металло-диэлектрических структур или из рядов металлических проводов [9]. Оптические
свойства таких метаматериалов совершенно необычны. Например, как было теоретически
показано в [8,10,11], в гиперболическом метаматериале нет обычного диффракционного
предела. Это предсказание было подтверждено экспериментально в [12, 13]. В отсутствии
дисперсии, уравнение (5) в случае, когда ε1 >0 и ε2 <0, выглядит подобно уравнению
Клейна-Гордона для безмассового поля в плоском (3+1) пространстве-времени Минковского:
𝜕2 𝜑
𝜀1
𝜕𝑧 2
𝜕2 𝜑
𝜕2 𝜑
1
𝜕2 𝜑
= 𝑐 2 𝜕𝑡 2 + (−𝜀 ) ( 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦 2 )
2
(6)
Однако, здесь есть координата z, которая в этом уравнении играет роль времени-подобной
переменной.
Теперь давайте применим описание стандартного метаматериала к вакууму, подвергнутому действию большого магнитного поля B>Bc. Диагональные компоненты вакуумной диэлектрической констаны могут быть получены с помощью аппроксимации МаксвеллаГарнета [9]:
𝜀2 = 𝜀𝑧 = 𝛼𝜀𝑠 + (1 − 𝛼)𝜀𝑑 , 𝜀1 = 𝜀𝑥,𝑦 =
2𝛼𝜀𝑠 𝜀𝑑 +(1−𝛼)𝜀𝑑 (𝜀𝑑 +𝜀𝑠 )
,
(1−𝛼)(𝜀𝑑 +𝜀𝑠 )+2𝛼𝜀𝑑
(7)
где  есть часть объема сверхпроводимой фазы, а εs<0 и εd>0 являются диэлектрическими
проницаемостями сверхпроводимой и диэлектрической фаз, соответственно. В низкочастотном пределе -εs>>εd=1. Поэтому, уравнение (7) может быть упрощено след.
образом:
1+𝛼
𝜀2 = 𝜀𝑧 ≈ 𝛼𝜀𝑠 < 0, 𝜀1 = 𝜀𝑥,𝑦 = 1−𝛼 > 0
Плотность  конденсата ρ-мезонов была вычислена в [2, 4], как
𝛼(𝐵) = 𝐶𝜙2
2 (𝐵)
𝑚𝑞
𝐺𝑉2
(1 −
𝐵𝑐
𝐵
(8)
),
(9)
где 𝐶𝜙 = 0.51 является константой, mq(B) – массой кварка, а GV – векторной величиной
четырехкварковых взаимодействий. Диэлектрическая константа идеального сверхпроводника для частот, которые гораздо ниже частоты щели сверхпроводника, задана в модели
Drude нулевых потерь[14]:
𝜔2
𝜀𝑠 = 1 − 𝜔𝑠2,
(10)
где ωs=c/λL, а λL есть Лондонская глубина проницаемости. В сверхпроводниках типа IIB
аппроксимация нулевых потерь не является совершенно законной из-за следующего эффекта. Когда поле переменного тока с низкой частотой действует на вихревую решетку
Абрикосова, электрические токи, текущие через вихри приводят к Лоренцовской силе,
действующей между вихрями. В результате, вихри двигаются со скоростью дрейфа vd,
пропорциональной плотности тока j, что приводит к очень малому, но ненулевому сопротивлению постоянного тока незакрепленного сверхпроводника типа II [15]. Так как незакрепленные центры могут существовать в вакууме, решетка Абрикосова заряженных ρ
мезонных конденсатов должна быть в состоянии “вихревой жидкости” , а ненулевое сопротивление постоянному току вакуума в направлении z определяется вязкостью этой
жидкости. Теоретическая оценка вязкости вихревой жидкости была выполнена Bardeen и
Stephen [15]. Однако, рассмотрение приложения этой теории к ρ-мезонной вихревой жидкости лежит вне этой статьи. Наблюдаемый эффект вязкости вихревой жидкости состоит в
обрезании низкочастотной сингулярности в уравнении (10). В результате низко частотное
поведение экстраординарного оптического поля в вакууме хорошо описывается уравнением (6) с конечным отрицательным ε2. Поэтому, низкочастотные экстраординарные фотоны
воспринимают эту среду, как плоское (3+1) эффективное пространство-время Минковского. Однако, есть z-координата, которая играет роль времени-подобной переменной в этом
эффективном пространстве-времени. Как было недавно показано [16], пространственные
вариации эффективных проницаемостей ε1 и ε2 гиперболической среды могут приводить
к возникновению электромагнитных черных дыр, которые воспринимаются экстраординарными фотонами. Вакуумное состояние с высоким магнитным полем может испытывать аналогичное поведение, если магнитное поле изменяется, как функция пространственного положения. Например, если магнитное поле является критическим B=Bc, то
наблюдается изменение эффективной метрической сигнатуры [5,17,18], которое неизбежно приводит к появлению эффективных горизонтов [16].
Наконец, давайте заметим, что гиперболические метаматериалы ведут себя, как бездиффракционные “совершенные линзы” [10-13]. Благодаря их закону гиперболической дисперсии
𝜔2
с2
=
𝑘𝑧2
𝜀1
+
2
𝑘𝑥2 +𝑘𝑦
𝜀2
,
(11)
абсолютное значение вектора k экстраординарного фотона ограничено только параметром
структуры метаматериала. В случае вакуума, подвергаемого действию высокого магнитного поля, вектор k ограничен периодичностью решетки Абрикосова k<Kmax=2π/LB. Как
замечено Чернодубом [4], достаточно большие магнитные поля, вероятно, существовали в
очень ранней вселенной [19]. Поэтому, демонстрируемое гиперболическое поведение
раннего вакуума могло оставить следы в структуре большого масштаба сегодняшней вселенной.
Литература.
[1] J.S. Schwinger, “On gauge invariance and vacuum polarization”, Phys. Rev. 82, 664-679 (1951).
[2] M.N. Chernodub, “Spontaneous electromagnetic superconductivity of vacuum in a strong magnetic field: Evidence from the Nambu–Jona-Lasinio model”, Phys. Rev. Lett. 106, 142003 (2011).
[3] A.A. Abrikosov, “Magnetic properties of superconductors of the second group”, Sov. Phys. JETP
5, 1174 (1957).
[4] M.N. Chernodub, “Can nothing be a superconductor and a superfluid?”, arXiv:1104.4404v1.
[5] I.I. Smolyaninov and E.E. Narimanov, “Metric signature transitions in optical metamaterials”,
Phys. Rev. Letters 105, 067402 (2010).
[6] I.I. Smolyaninov and Y.J. Hung, “Modeling of time with metamaterials”, JOSA B 28, 1591-1595
(2011).
[7] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media (Elsevier, Oxford 2004).
[8] D.R. Smith and D. Schurig, “Electromagnetic wave propagation in media with indefinite permittivity and permeability tensors”, Phys. Rev. Lett 90, 077405 (2003).
[9] R. Wangberg, J. Elser, E.E. Narimanov, and V.A. Podolskiy, “Nonmagnetic nanocomposites for
optical and infrared negative-refractive-index media”, J. Opt. Soc. Am. B 23, 498-505 (2006).
[10] Z. Jakob, L.V. Alekseyev, and E. Narimanov, “Optical hyperlens: far-field imaging beyond the
diffraction limit”, Optics Express 14, 8247-8256 (2006).
[11] A. Salandrino and N. Engheta, “Far-field subdiffraction optical microscopy using metamaterial
crystals: Theory and simulations”, Phys. Rev. B 74, 075103 (2006).
[12] I.I. Smolyaninov, Y.J. Hung, and C.C. Davis, “Magnifying superlens in the visible frequency
range”, Science 315, 1699-1701 (2007).
[13] Z. Liu, H. Lee, Y. Xiong, C. Sun, and X. Zhang, “Far-field optical hyperlens magnifying subdiffraction-limited objects”, Science 315, 1686 (2007).
[14] A. Tsiatmas, A.R. Buckingham, V.A. Fedotov, S. Wang, Y. Chen, P.A.J. de Groot, and N.I.
Zheludev, “Superconducting plasmonics and extraordinary transmission”, Appl. Phys.Lett. 97,
111106 (2010).
[15] B.I. Halperin, G. Refael, and E. Demler, “Resistance in superconductors”, Chapter to appear in
"Bardeen, Cooper and Schrieffer: 50 Years," edited by Leon N. Cooper and Dmitri Feldman, to be
published by World Scientific Press, arXiv:1005.3347v1
[16] I.I. Smolyaninov, E. Hwang, and E. Narimanov, “Hyperbolic metamaterial interfaces: Hawking
radiation from Rindler horizons and the “end of time””, arXiv:1107.4053v1
[17] A. White, S. Weinfurtner, and M. Visser “Signature change events: A challenge for quantum
gravity?” arXiv:0812.3744v3
[18] T. Dray, C. A. Manogue and R. W. Tucker, “The Scalar field equation in the presence of signature change”, Phys. Rev. D 48, 2587 (1993).
[19] D. Grasso and H.R. Rubinstein, “Magnetic fields in the early Universe”, Phys. Reports 348,
163-266 (2001).
Фиг.1 (a) Схематический вид геометрии “проводного” гиперболического
метаматериала: массив проводов с одинаковой проводимостью, внедренный в диэлектрическую основу. (b) Согласно Чернодубу [2], аналогичная
структура спонтанно образуется в вакууме, когда он подвергается действию сильного магнитного поля. Заметим, что Meisner эффект отсутствует благодаря анизотропии вакуумной сверхпроводимости. (c) Зависимость гиперболической дисперсии экстраординарных фотонов, распространяющихся внутри гиперболического метаматериала показана, как поверхность постоянной частоты в k-пространстве. Когда координата z
времени-подобна, kz ведет себя, как эффективная “энергия”.