найдите все корни, лежащие в промежутке

Комитет образования администрации Балаковского
муниципального района
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Лицей №1»
Тригонометрические
уравнения с
ограничениями на
множестве решений.
Разработка урока в 10 классе с углублённым и
профильным изучением математики
Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: МОУ «Лицей №1 г.Балаково
Предмет: алгебра и начала математического анализа
Учебный план – 7 часов в неделю (из них 5 ч. – алгебра и начала
математического анализа, 2 ч. – геометрия)
Класс: 10 с углублённым изучением физики и математики
Тема: Тригонометрические уравнения с ограничениями на множестве
решений
Тип урока: формирование знаний
Класс сформирован из учащихся, проявляющих склонность к серьёзному
изучению естественных наук и в частности математики. Обучающиеся
этого класса изучают углублённый курс математики третий год.
Успешно прошли Государственную итоговую аттестацию (8 учеников
набрали 100 баллов)
Цели урока:
образовательные:
дальнейшее
формирование
умений
систематизировать, обобщать, видеть закономерности, формирование
умения решать задания разными способами, привлекая разнообразный
теоретический материал из всего курса, формирование умения решать
тригонометрические уравнения с отбором корней;
развивающие:
развитие мыслительных операций посредством
наблюдений , сравнений, сопоставления, сознательного восприятия
учебного материала, развитие математической культуры и речи
учащихся;
воспитательные: воспитание познавательной активности, чувство
ответственности, уверенности в себе.
Оборудование: мультимедийный проектор
Этапы урока и их содержание
Время
(мин)
1. Организационный момент
1
2. Постановка цели
2
Сегодня на уроке мы рассмотрим
ряд задач, связанных с решением
тригонометрических уравнений, в
которых нужно произвести отбор
корней, подчинив их заданным
условиям. Умение решать такого
рода задачи поможет вам успешно
выполнить задание С1 при сдаче
ЕГЭ.
3. Актуализация знаний учащихся
3
В процессе изучения сегодняшней
темы нам потребуется применять
некоторые тождества для
упрощения выражений.
Предлагаю вам доказать два
полезных тождества:
1) 𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 = 2𝑐𝑡𝑔 2𝑥;
2) 𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑡𝑔𝑥 = 2sec 2𝑥.
4. Изучение нового материала
Рассмотрим на конкретных
примерах приёмы решения
тригонометрических уравнений, в
которых надо выполнить отбор
корней, удовлетворяющих
заданным условиям.
Пример 1. Для уравнения
16 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 − 24𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 16 𝑠𝑖𝑛𝑥 +
5 = = 0 найдите все корни,
𝜋
лежащие в промежутке (0; ).
2
Решение. Преобразуем левую
часть уравнения следующим
образом:
Деятельность
учителя
ученика
Организационная Дежурный
сообщает об
отсутсвующих
Сообщает тему
Записывают в
урока, дату протетрадях
ведения урока,
цель урока
Через одну-две
минуты учитель
предлагает
ученикам у доски
воспроизвести
доказательство
предложенных
тождеств
Учащиеся
работают над
доказательством тождеств в
тетрадях
При объяснении
решения
примера 1
необходимо
обратить
внимание
учащихся на те
неочевидные и
Записывают в
тетрадях
решение
примера и по
ходу его при
необходимости
задают
вопросы.
24
4
2
16 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 24 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 16 𝑠𝑖𝑛𝑥 +
+5 = 16( 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4 𝑥) −
−24(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) + 16 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 5 =
= 16 − 32 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 16 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − 24 +
+24 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 16 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 5 =
= 16 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − 8 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 16 𝑠𝑖𝑛𝑥 −
−3 = (16 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 8 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 1) −
−(16 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 16 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4) =
= (4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 1)2 − (4 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2)2 =
= (4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 4 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1)(4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 −
−4 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3).
Следовательно, данное уравнение
запишется в виде:
(4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 4 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1)(4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 −
−4 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3) = 0
4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 4 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 = 0 ;
(*)
[
4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 4 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3 = 0.
Решим первое уравнение
совокупности (*):
4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 4 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 = 0;
𝐷
= 4 + 4 = 8;
4
𝑠𝑖𝑛𝑥 =
[
𝑠𝑖𝑛𝑥
−2±2√2
;
4
−1+√2
=
;
2
−1−√2
𝑠𝑖𝑛𝑥 =
𝑠𝑖𝑛𝑥 =
2
−1+√2
2
𝑛
;
;
−1+√2
𝑥 = (−1) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
+ 𝜋𝑛, 𝑛є𝑍.
2
Второе уравнение совокупности
𝐷
(*) не имеет решений т.к.
=
4
4 − 12 = −8 < 0.
Очевидно, что из всех корней
данного уравнения заданному
𝜋
промежутку (0; ) принадлежит
корень
2
−1+√2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
.
2
−1+√2
Ответ: 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
.
2
Пример 2. Для уравнения 𝑐𝑡𝑔3 2𝑥 +
𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑐𝑡𝑔2𝑥 + 6 найдите
все корни, удовлетворяющие
достаточно
непростые
преобразования,
которые
используются
при разложении
левой части на
множители.
Сообщить
учащимся, что
разложить левую
часть уравнения
на множители
можно, применив
метод
неопределённых
коэффициентов
Один ученик на
боковой доске
выполняет
упрощение
левой части
данного
уравнения
методом
неопределённых
коэффициентов
(см.
приложение
№1)
неравенству √log 2 𝑐𝑡𝑔2𝑥 −
log 2 (√2 – 1) > 0. Решение. Найдём
сначала условие, которому
должны удовлетворять корни
данного уравнения:
√log 2 𝑐𝑡𝑔2𝑥 − log 2 (√2 – 1) > 0,
√log 2 𝑐𝑡𝑔2𝑥 > log 2 (√2 – 1).
В силу того, что log 2 (√2 – 1) < 0, а
левая часть неотрицательна на
области определения данного
неравенства, то получим
log 2 𝑐𝑡𝑔2𝑥 ≥ 0, откуда 𝑐𝑡𝑔2𝑥 ≥ 1.
Перенесём все слагаемые данного
уравнения в левую часть и
запишем его в виде
𝑐𝑡𝑔3 2𝑥 + 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + 𝑡𝑔2 𝑥 − 𝑐𝑡𝑔2𝑥 −
−6 = 0.
Затем преобразуем левую часть
полученного уравнения
следующим образом
𝑐𝑡𝑔3 2𝑥 + 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + 𝑡𝑔2 𝑥 − 𝑐𝑡𝑔2𝑥 −
−6 = 𝑐𝑡𝑔3 2𝑥 + (𝑐𝑡𝑔2 𝑥 + 𝑡𝑔2 𝑥 −
−2) − 𝑐𝑡𝑔2𝑥 − 4 = 𝑐𝑡𝑔3 2𝑥 +
+(𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑡𝑔𝑥)2 − 𝑐𝑡𝑔2𝑥 − 4 =
= 𝑐𝑡𝑔3 2𝑥+4𝑐𝑡𝑔2 2𝑥 − 𝑐𝑡𝑔2𝑥 − 4 =
= 𝑐𝑡𝑔2 2𝑥(𝑐𝑡𝑔2𝑥 + 4) − (𝑐𝑡𝑔2𝑥 +
+4) = (𝑐𝑡𝑔2𝑥 + 4)(𝑐𝑡𝑔2 2𝑥 − 1).
После выполненных
преобразований получим
уравнение
(𝑐𝑡𝑔2𝑥 + 4)(𝑐𝑡𝑔2 2𝑥 − 1) = 0;
(𝑐𝑡𝑔2𝑥 + 4)(𝑐𝑡𝑔2𝑥 − 1) (𝑐𝑡𝑔2𝑥 +
+1) = 0;
𝑐𝑡𝑔2𝑥 + 4 = 0;
[ [𝑐𝑡𝑔2𝑥 − 1 = 0;
𝑐𝑡𝑔2𝑥 + 1 = 0;
𝑐𝑡𝑔2𝑥 = −4;
[ 𝑐𝑡𝑔2𝑥 = 1;
𝑐𝑡𝑔2𝑥 = −1.
Учитывая, что 𝑐𝑡𝑔2𝑥 ≥ 1, делаем
𝜋
вывод 𝑐𝑡𝑔2𝑥 = 1, откуда 𝑥 = +
𝜋
+ n, nєZ.
2
8
Необходимо
сделать акцент
на том, где
учащиеся чаще
всего допускают
ошибку, возводя
обе части
неравенства в
квадрат, не
обращая
внимания на то,
что выражение
log 2 (√2 – 1)
меньше нуля.
Упрощая левую
часть данного
уравнения
подчеркнуть тот
момент, где
применяется
тождество
𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 =
= 2𝑐𝑡𝑔 2𝑥,
доказанное
учащимися в
начале урока
Записывают в
тетрадях
решение
примера и по
ходу его при
необходимости
задают
вопросы.
𝜋
𝜋
Ответ: 𝑥 = + n, nєZ.
8
2
Пример 3. Для уравнения
2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
найдите сумму всех корней,
удовлетворяющих неравенству
8𝑥 2 − 65𝜋𝑥 + 8𝜋 2 ≤ ≤ 0.
Решение. Найдём сначала
множество решений данного
неравенства: 8𝑥 2 − 65𝜋𝑥 + 8𝜋 2 ≤
≤0, D=652 − 4 ∙ 8 ∙ 8 = 4225 −
−256 = 3969 = 632 .
65±63
1
𝑥=
; 𝑥 = или 𝑥 = 8.
16
8
Таким образом, получим
1
неравенство (𝑥 − )( 𝑥 − 8) ≤ 0,
8
множество решений которого
1
есть промежуток [ ; 8].
8
Теперь найдём множество
решений уравнения 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 +
+𝑠𝑖𝑛2𝑥 = = 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 .
𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ;
𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) − 𝑐𝑜𝑠2𝑥;
𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥;
𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥;
𝑡𝑔2𝑥 = 1;
𝜋
2𝑥 = +𝜋n, nєZ;
𝜋
4
𝜋
𝑥 = + n, nєZ.
8
2
Найдём, сколько корней данного
уравнения находится в
1
промежутке [ ; 8]. Для этого
8
1
𝜋
решим неравенство ≤ +
8
8
≤ 8, nєZ.
1
𝜋
𝜋n
𝜋
− ≤ ≤ 8 − , nєZ,
8
1
8
1
2
16
8
1
𝜋n
2
≤
− ≤ n ≤ − , nєZ,
4𝜋
4
𝜋
4
n є { 0; 1;2;3;4}.
Так как корни рассматриваемого
тригонометрического уравнения
составляют
арифметическую
𝜋
прогрессию с разностью , то не
2
возникает необходимости искать
Преобразования,
выполняемые
для приведения
уравнения к
простейшему
виду достаточно
просты и
очевидны,
поэтому учитель
предлагает
выполнить их
самим учащимся,
получив при этом
возможность
пронаблюдать,
как проходит
усвоение нового
материала
По ходу решения
вспомнить с
учащимися
формулу суммы
первых n членов
арифметической
прогрессии
Один ученик на
боковой доске
выполняет
решение этого
уравнения и
затем его
решение
комментируют
учащиеся
каждый корень уравнения в
отдельности. Достаточно найти
первый корень уравнения. Он
равен нулю, а далее по формуле
суммы
первых
n членов
арифметической
прогрессии
находим
𝜋
0+ ∙4
2
∙ 5 = 5𝜋.
2
Ответ: 5𝜋.
Пример 4. Для уравнения 6 𝑠𝑖𝑛𝑥 +
4(𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛5𝑥) −
−𝑠𝑖𝑛7𝑥 = = 256 𝑠𝑖𝑛5 𝑥𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 най −
дите все корни, принадлежащие
области определения функции
𝑦 = √(9𝑥 2 − 𝜋 2 ) 𝑠𝑖𝑛
10𝜋
.
9
Решение. Найдём область
определения данной функции:
10𝜋
(9𝑥 2 − 𝜋 2 ) 𝑠𝑖𝑛
≥ 0. (*)
9
Заметим,
10𝜋
𝜋
что 𝑠𝑖𝑛
= sin (𝜋 + ) =
𝜋
9
9
− 𝑠𝑖𝑛 <
9
<0. Разделив обе части неравен−
𝜋
ства (*) на −𝑠𝑖𝑛 , получим 9𝑥 2 −
9
2
𝜋
𝜋
−𝜋 ≤ 0, откуда − ≤ 𝑥 ≤ .
3
3
Найдём множество решений
уравнения 6 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4(𝑠𝑖𝑛3𝑥 −
−𝑠𝑖𝑛5𝑥) − 𝑠𝑖𝑛7𝑥 = 256 𝑠𝑖𝑛5 𝑥𝑐𝑜𝑠 4 𝑥.
Перепишем это уравнение в
следующем виде 6 𝑠𝑖𝑛𝑥 +
+4(𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛5𝑥) −
−256 𝑠𝑖𝑛5 𝑥𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛7𝑥 и
упростим его левую часть.
6 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4(𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛5𝑥) −
−256 𝑠𝑖𝑛5 𝑥𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 6 𝑠𝑖𝑛𝑥 −
−8 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 −
−16 𝑠𝑖𝑛𝑥(2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥)4 = 6 𝑠𝑖𝑛𝑥 −
−8 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 16 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛4 2𝑥 =
= 6 𝑠𝑖𝑛𝑥 – 8 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 −
Упрощение левой
части уравнения
не должно
вызывать у
учащихся особых
затруднений и
тем, не менее
этот пример
комментируется
учителем от
начала до конца
Учащиеся
делают запись
в тетрадях и
при
необходимости
получают
ответы учителя
на возникшие
вопросы
−4 𝑠𝑖𝑛𝑥(2 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥)2 = 6 𝑠𝑖𝑛𝑥 −
−8 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 4 𝑠𝑖𝑛𝑥(1 −
−𝑐𝑜𝑠4𝑥)2 = 6 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 8 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 −
−4 𝑠𝑖𝑛𝑥(1 − 2 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥) =
= 6 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 8 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 4 𝑠𝑖𝑛𝑥 +
+8 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 4 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 =
= 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 =
= 2 𝑠𝑖𝑛𝑥(1 − 2 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥) =
= 2 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠8𝑥 = 𝑠𝑖𝑛7𝑥 + 𝑠𝑖𝑛9𝑥.
После всех этих преобразований
данное уравнение примет вид:
𝑠𝑖𝑛7𝑥 + 𝑠𝑖𝑛9𝑥 = 𝑠𝑖𝑛7𝑥;
𝜋
𝑠𝑖𝑛9𝑥 = 0, откуда 𝑥 = 𝑛, nєZ.
9
Осталось решить неравенство
𝜋
𝜋
𝜋
− ≤ 𝑛 ≤ , nєZ и записать
3
9
3
ответ.
−3 ≤ 𝑛 ≤ 3, nєZ , следовательно,
𝑛 є {-3;-2;-1;0; 1;2;3}.
Подставляя каждое из найденных
𝜋
значений 𝑛 в формулу 𝑥 = 𝑛,
𝜋
2𝜋
3
9
получим -− ; −
𝜋
Ответ:− ; −
3
2𝜋
9
9
𝜋 2𝜋 𝜋
𝜋
; − ; 0; ;
𝜋
9
9 9
𝜋 2𝜋 𝜋
; − ; 0; ;
9
9
9
; ∙
3
; ∙
3
5. Закрепление изученного
материала
(Проводится по вариантам с
последующей проверкой у доски
и применением мультимедийного
проектора).
Вариант 1.
1. Для уравнения 𝑠𝑖𝑛3𝑥 +
+2 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠8𝑥 = 2 найдите
все корни, лежащие в промежутке
2𝜋
[− ; 𝜋].
3
2. Для уравнения sin(4𝑥 + 19𝜋) =
= 𝑐𝑜𝑠 4 2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛4 2𝑥 найдите все
корни, удовлетворяющие
𝜋−4𝑥
неравенству
≥ 0.
𝜋+4𝑥
Вариант 2.
1. Для уравнения 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
= 2(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥) найдите сумму
10
Учитель раздаёт
карточки с
текстом
самостоятельной
работы в двух
вариантах
Учащиеся
выполняют
самостоятельную работу и в
процессе её
выполнения
могут
обратиться за
консультацией
к учителю
Учащиеся
проверяют
свои решения.
Консультанты
всех корней, удовлетворяющих
неравенству 𝑥 2 − 18𝜋𝑥 ≤ 0.
7𝜋
2. Для уравнения cos( + 2𝑥) −
11𝜋
2
−𝑠𝑖𝑛(
+ 4𝑥) = 1 найдите все
2
корни, принадлежащие области
определения функции 𝑦 =
√13𝜋𝑥 − 12𝑥 2 − 𝜋 2 .
6. Домашнее задание (выводится
на
экран
с
помощью
мультимедийного проектора)
3
1. Для уравнения 4 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 −
−4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 4 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0 найдите
все корни, лежащие в промежутке
𝜋
(0; 2 ).
2. Для уравнения
1 + cos 𝑥 cos 3𝑥 (𝑡𝑔𝑥 + 𝑡𝑔 3𝑥) = 0
найдите все корни,
удовлетворяющие неравенству
2𝜋
≥ 1.
𝜋−2𝑥
3. Для уравнения
2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 −2 𝑥 = 3 найдите
сумму всех корней,
удовлетворяющих неравенству
√2𝑥 − 𝜋 + √10𝜋 − 𝑥 >0.
4. Для уравнения
(𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)3 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛3 𝑥
найдите все корни,
принадлежащие области
определения функции 𝑦 = √𝑥 +
+ √5𝜋 − 4𝑥.
5. (Выполняется по желанию
учащихся). Решите уравнение
|5𝑥 − 19 − cos(2𝜋𝑥) |+6|𝑥 − 20| =
= 100 − 𝑥.
7. Подведение итогов обучения
Решение
тригонометрических
2
После
выполнения
самостоятельной
работы учитель
выводит краткое
решение на
экран с помощью
мультимедийно –
го проектора
из числа
сильных
учащихся
помогают
учителю
оценить
работы
остальных
учеников
Комментарий
должен быть
предельно
краток, так как
задания
подобраны
аналогичные тем,
что разбирались
на уроке. Однако,
последнее
задание может
вызвать у
учащихся
определённые
затруднения,
поэтому его надо
прокомментиро –
вать отдельно,
обратив при этом
внимание на
отбор корней,
который
необходимо
сделать в
процессе
решения этого
уравнения
(полное решение
даётся в
приложении №2)
Внимательно
слушают
комментарий
учителя, а
затем
записывают
задание в
тетради
уравнений с отбором корней,
подчинённых заданным условиям
требует от учеников стабильных
теоретических знаний, успешного
применения формул и, конечно
же, в достаточной степени
интуиции,
навыки
которой
формируются, в том числе, и при
решении
большого
числа
интересных тригонометрических
уравнений. Не случайно эта тема
выносится в часть С Единого
государственного
экзамена.
Учитывая мнения консультантов
и мои наблюдения, все ученики
получают оценки за урок
Приложение №1
Пример 1. (Решается с помощью метода неопределённых
коэффициентов) Для уравнения 16 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 + 24𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 16 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 5 = 0
𝜋
найдите все корни, лежащие в промежутке (0; ).
2
Решение.
16 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 − 24 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 16 𝑠𝑖𝑛𝑥 + +5 = 0;
16(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥)2 − 24(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) + 16𝑠𝑖𝑛𝑥 + 5 = 0;
16( 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4 𝑥) −24(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) + 16 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 5 = 0;
16 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − 8 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 16 𝑠𝑖𝑛𝑥 −3 = 0; (1)
Пусть 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑡, где − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1, тогда уравнение (1) примет вид:
16𝑡 4 − 8𝑡 2 + 16𝑡 − 3 = 0. (2)
Попробуем разложить левую часть на множители, используя метод
неопределённых коэффициентов:
16𝑡 4 − 8𝑡 2 + 16𝑡 − 3 = (4𝑡 2 + 𝑎𝑡 + 𝑏)(4𝑡 2 + 𝑐𝑡 + 𝑑);
16𝑡 4 − 8𝑡 2 + 16𝑡 − 3 = 16𝑡 4 + 4𝑎𝑡 3 + 4𝑏𝑡 2 + 4𝑐𝑡 3 + 𝑎𝑐𝑡 2 +
+𝑏𝑐𝑡 + 4𝑑𝑡 2 + 𝑎𝑑𝑡 + 𝑏𝑑;
16𝑡 4 − 8𝑡 2 + 16𝑡 − 3 = 16𝑡 4 + 4(𝑎 + 𝑐)𝑡 3 + (4𝑏 + 𝑎𝑐 + 4𝑑)𝑡 2 +
+(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑡 + 𝑏𝑑.
Учитывая, что два многочлена тождественно равны, если равны их
соответствующие коэффициенты, получим систему уравнений:
𝑎 + 𝑐 = 0;
4𝑏 + 𝑎𝑐 + 4𝑑 = −8;
{
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 16;
𝑏𝑑 = −3.
Найдём целые решения переменных 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 подбором:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
4
−1
−4
3
4𝑏 + 𝑎𝑐 + 4𝑑
4 ∙ (−1) + 4 ∙ (−4) + 4 ∙ 3 =
−4 − 16 + 12 = −8.
Следовательно уравнение (2) запишется так:
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
4 ∙ 3 − 1 ∙ (−4) =
= 12 + 4 = 16.
(4𝑡 2 + 4𝑡 − 1)(4𝑡 2 − 4𝑡 + 3) = 0;
В силу того, что квадратный трёхчлен 4𝑡 2 − 4𝑡 + 3 принимает только
положительные значения (D<0 и первый коэффициент 4>0), получим
4𝑡 2 + 4𝑡 − 1 = 0;
Оставляем только 𝑡 =
−1+√2
,
2
𝐷
4
= 4 + 4 = 8; 𝑡 =
−2±2√2
;
4
𝑡=
−1±√2
2
∙
так как − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1.
Возвращаясь к переменной 𝑥, получим
𝑠𝑖𝑛𝑥 =
−1+√2
2
; 𝑥 = (−1)𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
−1+√2
2
+ 𝜋𝑛, 𝑛є𝑍.
Очевидно, что из всех корней данного уравнения заданному промежутку
𝜋
(0; 2 ) принадлежит корень 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
Ответ: 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
−1+√2
2
.
−1+√2
2
.
Приложение №2
Решение последнего уравнения из домашнего задания, которое
предложено учащимся выполнить по их желанию.
| 5𝑥 – 19 – 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑥) | + 6 | 𝑥 – 20 | = 100 – 𝑥;
Используя известные соотношения |a|=|-a| и |a + b| ≤ |a | + |b|, получим
| − 5𝑥 + 19 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑥) | + 6 | 𝑥 – 20 | = 100 – 𝑥;
| − 5𝑥 + 19 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑥) + 6𝑥 – 120 | ≤ 100 – 𝑥; (3)
| 𝑥 – 101 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑥) | ≤ 100 – 𝑥;
𝑥 – 101 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑥) ≤ 100 – 𝑥;
{
𝑥 – 101 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑥) ⋝ − 100 – 𝑥;
2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑥) ≤ 201 ;
{
𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑥) ⋝ 1;
𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑥) = 1;
{
2𝑥 + 1 ≤ 201 ;
2𝜋𝑥 = 2𝜋𝑘, 𝑘ϵZ;
{
2𝑥 ≤ 200 ;
𝑥 = 𝑘, 𝑘ϵZ;
{
𝑥 ≤ 100 .
Таким образом, мы нашли, что множество решений неравенства (3) есть
множество целых чисел от 1 до 100.
Найдём теперь множество решений данного уравнения, учитывая, что
𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑥) = 1 и 𝑥𝜖𝑍.
| 5𝑥 – 20 | + 6 | 𝑥 – 20 | = 100 – 𝑥;
𝑥 < 4;
−5𝑥 + 20 − 6𝑥 + 120 = 100 – 𝑥;
4 ≤ 𝑥 ≤ 20;
{
5𝑥 – 20 − 6𝑥 + 120 = 100 – 𝑥;
𝑥 > 20;
{
[ 5𝑥 – 20 + 6𝑥 − 120 = 100 – 𝑥;
{
𝑥 < 4;
{
−10𝑥 = −40;
4 ≤ 𝑥 ≤ 20;
{
100 = 100 ;
𝑥 > 20;
{
[ 12𝑥 = 240;
𝑥 < 4;
𝑥 = 4;
4 ≤ 𝑥 ≤ 20;
𝑥 > 20;
{
[ 𝑥 = 20;
Ответ: 4 ≤ 𝑥 ≤ 20, 𝑥ϵZ.
{
4 ≤ 𝑥 ≤ 20, 𝑥ϵZ.
Список литературы
1. Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд. Алгебра и начала
математического анализа. 10кл. : Учебное пособие для школ и классов с
углублённым изучением математики. М. : Мнемозина, 2009.
2. Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд. Алгебра и начала
математического анализа. 11кл. : Учебное пособие для школ и классов с
углублённым изучением математики. М. : Мнемозина, 2009.
3. М.Л.Галицкий, М.М.Мошкович, С.И.Шварцбурд. Углублённое изучение
алгебры и математического анализа. Методические рекомендации и
дидактические материалы. М. : Просвещение, 1997.
4. В.И.Рыжик, Т.Х.Черкасова. Дидактические материалы по алгебре и
математическому анализу для 10-11 классов. Учебное пособие для
профильной школы. Санкт-Петербург: СМИО Пресс, 2008.
5. А.П.Карп. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Учебное
пособие для школ и классов с углублённым изучением математики. М. :
Просвещение, 1995.
6. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев. Математика (Алгебра. Начала
математического анализа). Учебник для 10 класса профильной школы.
Москва: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2007.
7. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев. Математика (Алгебра. Начала
математического анализа). Учебник для 11 класса профильной школы.
Москва: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2008.
8. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев, Т.А.Олейник, Т.В.Соколова. Математика
(Алгебра. Начала математического анализа). Методическое пособие для
10 класса. Москва: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2008.
9. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев, Т.А.Олейник, Т.В.Соколова. Математика
(Алгебра. Начала математического анализа). Методическое пособие для
11 класса. Москва: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2010.
10. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев, Т.А.Олейник, Т.В.Соколова. Математика
(Алгебра. Начала математического анализа). Задачник. Москва: БИНОМ,
Лаборатория знаний, 2009.
11. И.М.Петрушко, В.И.Прохоренко, В.Ф.Сафонов. Математика. Банк задач
для вступительных испытаний в МЭИ. Пособие для абитуриентов. М. :
Издательство МЭИ, 2006.