изучение явлений резонанса в последовательном и

изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
Цель работы: изучение явлений резонанса в
последовательном и параллельном колебательных контурах.
4.1 Краткие теоретические сведения
Колебательная система, использующаяся в радиотехнических устройствах,
представляет собой электрическую цепь, состоящую из емкости С, индуктивности L и
активного сопротивления R.
Рис.4.1. Электрический колебательный контур
Наличие сопротивления R обуславливает потери электрической энергии в контуре.
Такой контур является затухающим гармоническим осциллятором, для которого
справедливо следующее дифференциальное уравнение свободного колебательного
процесса:
, (4.1)
1 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
где q – заряд конденсатора
(δ - коэффициент затухания контура);
- круговая частота свободных электрических колебаний контура.
С течением времени свободный колебательный процесс в контуре будет затухать. Для
получения незатухающих колебаний необходимо непрерывно пополнять запас энергии
контура, чтобы скомпенсировать потери. С этой целью контур подключается к
генератору переменного тока. Незатухающие колебания, возникающие в контуре,
называются вынужденными, поскольку их частота определяется частотой генератора. В
этом случае дифференциальное уравнение колебательного процесса примет вид:
(4.2) Если генератор включается в разрыв контура, контур называется последовательным
(рис.4.2 а), а если же генератор включается параллельно контуру, то контур называется
параллельным (рис.4.2 б).
2 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
Рис.4.2. Последовательный (а) и параллельный (б) электрические колебательные
контуры.
Последовательный электрический колебательный контур
Пусть в последовательном электрическом колебательном контуре генератор
обеспечивает ток i = I0sinωt, тогда напряжение на активном сопротивлении контура R
будет равно:
(4.3)
Оно совпадает по фазе с током.
3 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
Падение напряжения на индуктивности можно определить по формуле:
(4.4)
где ωL = XL – индуктивное сопротивление в цепи контура переменному току (Ом).
ULO – максимальная величина напряжения, падающая на индуктивном
сопротивлении контура.
Напряжение на индуктивности опережает ток в контуре по фазе на π/2.
Падение напржения на ёмкости контура определяется по формуле: 4 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
(4.5)
где
– ёмкостное сопротивление в цепи контура переменному току. Единица измерения (Ом).
- максимальная величина напряжения, падающая на ёмкостном сопротивлении контура.
Векторная диаграмма последовательного колебательного контура имеет вид
Рис. 4.3
В любой момент времени напряжения на контуре есть сумма трёх слагаемых UR, UL, UC:
(4.6)
5 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
Согласно рис.4.3 амплитуда результирующего колебания в последовательном
колебательном контуре равна:
(4.7) Выражение получило название полного сопротивления контура.
На рис.4.4 приведены зависимости индуктивного XL, ёмкостного XС и полного
сопротивления контура Z от частоты колебаний внешнего генератора.
Рис.4.4.
6 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
Режим, возникающий в цепи последовательного колебательного контура при равенстве
емкостного и индуктивного сопротивлений, называют резонансом напряжений.
На основании вышеприведенного определения имеем:
откуда но .
Следовательно, частота свободных колебаний в контуре равна его резонансной частоте,
т.е. ω = ωо. При этом сопротивление контура становится чисто активным:
Z=R
В момент резонанса в уравнении 4.2
, что обуславливается равенством энергии потерь в колебательном контуре и энергии,
передаваемой контуру внешним генератором. Следовательно:
.
7 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
Так как , имеем , откуда или .
Величина заряда конденсатора равна:
Напряжение, падающее на конденсаторе, равно:
(4.8)
где - добротность контура.
Обычно Q>>1, т.е. напряжение на емкости, а следовательно и на индуктивности в
момент резонанса в десятки-сотни раз больше напряжения, падающего на активном
сопротивлении. В этом состоит сущность резонанса напряжений. Кривая, показывающая
8 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
зависимость тока контура Iк, напряжения -Uк, мощности Pк и фазы φ между током Iк и
напряжением Uк в контуре от частоты внешнего генератора вблизи резонанса
называется резонансной кривой. Семейство резонансных кривых для Iк, Uк и Pк при
различных активных сопротивлениях контура представлено на рис.4.5.
Рис.4.5. Резонансные кривые последовательного колебательного контура при
различных значениях R.
Колебательный контур характеризуется полосой пропускания 2Δω, в пределах которой,
например,
ток контура
уменьшается
не более
чем в
раз по сравнению
с током
при резонансе
(рис.4.6).
Рис.4.6. К определению полосы пропускания последовательного колебательного
контура.
9 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
Параллельный электрический колебательный контур
Величина тока в каждой ветви контура (рис.4.7 а) ic и iL зависит от частоты. С
повышением последней емкостное сопротивление Хс уменьшается, а индуктивное ХL
увеличивается. При некоторой частоте они становятся равными. В этом случае токи в
ветвях контура также будут равны.
Режим, возникающий в цепи параллельного колебательного контура, при равенстве
индуктивного и ёмкостного сопротивления, называют резонансом токов. В связи с тем,
что напряжение на контуре, равное напряжению внешнего генератора в индуктивной
ветви контура опережает ток по фазе на
, а в ёмкостной отстаёт от тока по фазе на , то токи в ветвях находятся в противофазе. И если активное сопротивление контура Rк
равно нулю (идеальный контур), то результирующее значение тока Io во внешней цепи
контура будет равно нулю (рис.4.7а, т.е. сопротивление идеального параллельного
колебательного контура при резонансе бесконечно велико (Zрез= ∞).
Рис.4.7. Векторные диаграммы токов параллельного колебательного контура: а - для
идеального контура, б - для реального контура.
В реальном контуре часть энергии расходуется в активном сопротивлении, т.е. в контуре
могут существовать только затухающие колебания. Если генератор восполняет потери
энергии, то амплитуда напряжения на контуре будет оставаться неизменной. Равенство
сопротивлений ХС и ХL контура, строго говоря, не является условием резонанса тока
(рис.4.7 б) для реального контура.
Исходя из вышесказанного, мощность, отдаваемая генератором и расходуемая в
активном сопротивлении, соответственно равны:
10 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
Рген = РR,
но Рген = I2 Zрез; РR = IК2R,
где Zрез – сопротивление контура при резонансе;
I - ток во внешней цепи контура;
IК - ток контура.
; а , учитывая, что ХL>> R.
11 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
Следовательно,
,
отсюда или Так как , то ,
где - волновое сопротивление контура.
Резонансное сопротивление параллельного колебательного контура Zрез зависит от
соотношения величин L, C и R. Чем больше R, тем меньше Zрез и больше ток I во
внешней цепи. При этом больше энергии расходуется в нём в тепло.
На рис.4.8 приведены резонансные кривые тока во внешней цепи и напряжения
параллельного колебательного контура. Рис.4.8. Резонансные кривые тока во внешней цепи и напряжения параллельного
колебательного контура.
4.2 Аппаратура, используемая при выполнении лабораторной работы
12 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
1. Генератор низкой частоты (ГНЧ)
2. Миллиамперметры –Iк, IL? IC
3. Вольтметры – Uc, UL, Uк.
4.3 Порядок выполнения работы
1. Собрать схему последовательного электрического колебательного контура
приведённую на рисунке 4.9, подключить к нему генератор низкой частоты и
необходимые измерительные приборы. Собранную схему предъявить для проверки
руководителю.
Рис. 4.9 Схема исследования последовательного колебательного контура.
1. Установить на выходе генератора низкой частоты напряжение величиной,
задаваемой руководителем с частотой около 50 кГц.
2. Определить резонансную частоту контура, используя показания вольтметров Uc и
UL. Зафиксировать данную частоту в таблице 4.1 вместо обозначения υрезон. В этой же
строчке записать все показания измерительных приборов. Изменяя частоту генератора
на несколько кГц ниже резонансной (4-5 точек) и выше резонансной (4-5 точек) частоты,
каждый раз фиксируя показания всех приборов в таблице 4.1, снять зависимости Uc =
f(υ); UL = f(υ); Uк = f(υ) и Iк = f(υ) при постоянном выходном напряжении генератора.
Таблица 4.1
13 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
ν, кГц
Uк, В
UL, В
Uс, В
Iк, мА
νрез - Δν
νрез
14 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
Uк рез
UL рез
Uс рез
Iк рез
νрез + Δν
1. По данным измерений построить графики этих зависимостей в одной системе
координат.
2. Поменять конденсатор и определить резонансную частоту контура в этом случае
3. Определить величину индуктивность последовательного колебательного контура,
15 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
учитывая, что величины емкостей конденсаторов контура известны.
4. Определить величину активного сопротивления катушки индуктивности rк.
5. Построить в масштабе векторную диаграмму напряжений в момент резонанса в
последовательном колебательном контуре по данным таблицы 4.1.
6. Собрать схему параллельного колебательного контура, представленную на
рис.4.10, используя второй конденсатор, подключите генератор и необходимые
измерительные приборы. Собранную схему предъявите для проверки руководителю.
Рис.4.10 Схема исследования параллельного колебательного контура.
1. По показаниям миллиамперметров в ветвях параллельного контура и во внешней
его цепи, определить частоту резонанса контура, сравнить её с полученной ранее в п.5.
Зафиксировать данную частоту в таблице 4.2 вместо обозначения υрезон. В той же
строчке записать все показания измерительных приборов. Далее изменяя частоту
генератора аналогично указаниям п.3, снять зависимости Uк = f(υ), Iс = f(υ), IL = f(υ) и Iк = f(υ).
Таблица 4.2
ν, кГц
Uк, В
IL, мА
16 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
Iс, мА
Iк, мА
νрез - Δν
νрез
Uк рез
IL рез
Iс рез
17 / 18
изучение явлений резонанса в последовательном и параллельном колебательных контурах
Iк рез
νрез + Δν
1. По данным измерений построить графики этих зависимостей в одной системе
координат.
2. С учётом масштаба построить векторную диаграмму токов в момент резонанса в
параллельном колебательном контуре по данным таблицы 4.2.
18 / 18