K - LanCats

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО Нижегородский государственный педагогически университет
им.К.Минина
Факультет математики, информатики и физики
Кафедра алгебры и геометрии
Кольца, тела, поля.
Курсовая работа
студента группы МИ-10
Коржавин М. С.
Научный руководитель:
Глуздов В.А.
Нижний Новгород
2014
Оглавление
Оглавление____________________________________________________________2
Кольца________________________________________________________________4
Гомоморфизмы и изоморфизмы___________________________________________8
Построение частных_____________________________________________________9
Кольца многочленов____________________________________________________11
Примеры______________________________________________________________18
Выводы_______________________________________________________________20
Список используемой литературы_________________________________________21
2
Введение:
{Формулировка введения не до конца обдумана}
3
Кольца
Алгебра и арифметика оперируют объектами различной природы; это — целые,
рациональные, вещественные, комплексные, алгебраические числа, многочлены или
рациональные функции от n переменных и т. д.
Под системой с двойной композицией подразумевается произвольное множество
элементов а, b, ..., в котором для любых двух элементов а, b однозначно определены
сумма а+b и произведение а*b, вновь принадлежащие данному множеству.
Система с двойной композицией называется кольцом, если операции над элементами этой
системы подчиняются следующим законам:
I
Законы сложения:
а)
Закон ассоциативности: а + (b + с) = (а + b) + с.
б)
Закон коммутативности: a + b = b+a.
в)
Разрешимость уравнения а+х = b для всех а, Ь.
(Однозначная разрешимость не требуется, а получается дальше как следствие.)
II
Закон умножения:
а) Закон ассоциативности: а*bc = ab*с.
III
Законы дистрибутивности:
а)
а * (b + с) = ab + ас;
б)
(b+с)*а = bа + са.
П р и м е ч а н и е . Если для умножения выполняется закон коммутативности:
II б), ab — b-a,то кольцо называется коммутативным.
К законам сложения. Три закона I а), б), в) означают в совокупности, что элементы кольца
образуют абелеву группу относительно сложения (Эту группу называют аддитивной
группой кольца). Таким образом, мы можем перенести на кольца теоремы абелевых
групп: существует один и только один нулевой элемент 0 со свойством
а+0 = а для всех а.
Далее, для каждого элемента а существует противоположный элемент -а со свойством
(-а) + а = 0.
Таким образом, уравнение а+х = b не только разрешимо, но и однозначно разрешимо; его
единственное решение — элемент
х = (- а) + b,
который мы обозначаем также и через b-а. Так как
а-b = а+(-b),
любая разность может быть превращена в сумму, следовательно, в этом смысле для
разностей имеют место те же правила перестановки, что и для сумм, например,
(а-b)-с = (а-с)-b.
-(-а) = а и а - а = 0.
К законам ассоциативности. На основе закона ассоциативности для умножения можно
определить сложные произведения
и доказать их основное свойство:
Точно так же можно определить суммы
4
и доказать их основное свойство:
В силу I 6) в любой сумме можно произвольным образом переставлять слагаемые, а в
коммутативных кольцах то же самое верно и для произведений.
К законам дистрибутивности. Если имеет место закон коммутативности для умножения,
то, конечно, закон III 6) является следствием закона III а).
Из III а) с помощью индукции по n получаем
и, равным образом, из III 6):
Оба эти закона дают привычное правило для перемножения сумм:
Законы дистрибутивности выполняются также и для вычитания; например,
в чем легко убедиться непосредственно:
В частности,
или: произведение равно нулю, когда равен нулю один из сомножителей.
Обращение этого предложения, не обязательно верно: может случиться так, что
В этом случае элементы а и b называют делителями нуля, причем а - левым делителем
нуля, а b - правым делителем нуля. (В коммутативных кольцах оба эти понятия
совпадают.) Оказывается удобным и сам нуль считать делителем нуля. Поэтому элемент а
называется левым делителем нуля, если существует такой элемент
, что
(Предполагается, что в кольце есть элементы, отличные от нуля)
Если в кольце нет делителей нуля, отличных от самого нуля, т. е. если из ab = 0 следует,
что или а = 0, или b = 0, то говорят о кольце без делителей нуля. Если, кроме того, кольцо
коммутативно, то оно называется целостным.
П р и м е р ы . Все указанные ранее кольца (кольцо целых чисел, кольцо рациональных
чисел и т. д.) являются примерами колец без делителей нуля. Кольцо непрерывных
функций на интервале ( — 1 , 1) обладает делителями нуля, потому что если положить
то окажется, что
Пары целых чисел (а1а2) с операциями
5
образуют кольцо с делителями нуля.
Равенство ах=ay можно сокращать на а, если а не является левым делителем нуля. (В
частности, в целостном кольце можно сокращать на любой элемент
)
З а д а ч а . Построить, исходя из произвольной абелевой группы, кольцо, аддитивная
группа которого есть данная группа, а умножение таково, что произведение любых двух
элементов равно нулю.
Единичный элемент. Если кольцо обладает левым единичным элементом е:
и одновременно — правым единичным элементом е'
то оба эти элемента должны быть равны, так как
Точно так же любой правый единичный элемент равен е и левый единичный элемент
тоже. При этих условиях элемент е называют просто единичным элементом или единицей
и говорят о кольце с единичным элементом или о кольце с единицей. Часто единичный
элемент обозначают символом 1, если это не приводит к путанице с числом 1.
Целые числа образуют кольцо с единицей, а четные числа — кольцо без единицы.
Существуют также кольца, в которых есть несколько правых единичных элементов, но ни
одного левого или наоборот.
Обратный элемент. Если а — произвольный элемент кольца с единицей е, то под левым
обратным элементом к а подразумевается элемент со свойством
а под правым обратным — элемент
со свойством
Если элемент а обладает левым обратным и правым обратным элементами, то последние
опять совпадают, так как
и, следовательно, каждый правый обратный, как и каждый левый обратный для элемента а
равны указанному выше элементу. В этом случае говорят: элемент а обладает обратным
элементом, а сам обратный элемент обозначают через
.
Степени и кратные. На основе закона ассоциативности для каждого элемента а в кольце
можно определить степени аn (n — натуральное число) и получить обычные правила
действий:
при этом последнее равенство справедливо для коммутативных колец.
Если кольцо обладает единицей, а элемент а — обратным, то можно ввести нулевую и
отрицательные степени, при этом равенства (1) остаются верными.
Точно так же в аддитивной группе можно ввести кратные
тогда:
6
Как и в случае степеней, положим
тогда равенства (2) окажутся выполненными для всех целых n и m (положительных,
отрицательных и нуля).
Вместе с тем выражение n * а не следует рассматривать как настоящее произведение двух
элементов кольца, потому что n в общем случае не является элементом кольца, а
представляет собой нечто внешнее: целое число. Если, однако, кольцо обладает единицей
е, то nа можно рассматривать как настоящее произведение, а именно:
теорема о биноме:
где
- целое число
З а д а ч а . Если элементы а и b перестановочны, т. е. ab = ba, то а перестановочен с — b,
nb и b-1. Если а перестановочен с b и с, то он перестановочен с b+с и bс.
Тело. Кольцо называется телом, если:
а)
в нем есть по крайней мере один элемент, отличный от нуля:
б)
уравнения
при
разрешимы.
Если, кроме того, кольцо коммутативно, то оно называется полем или рациональным
кольцом.
Доказывается, что из а) и б) следует
в) существование левой единицы е. Действительно, для каждого
уравнение ха = а
разрешимо; обозначим его решение через е. Для произвольного b уравнение ах = b
разрешимо; следовательно,
Точно так же устанавливается существование правой единицы и вообще единичного
элемента.
Из в) следует непосредственно
г) существование левого обратного а-1 для каждого
и, равным образом, правого
обратного; итак, установлено существование обратного элемента вообще.
Так же как в случае групп, далее докажем, что, наоборот, из в) и г) следует б).
З а д а ч а . Провести доказательство.
В теле нет делителей нуля, потому что из ab = 0,
с помощью умножения на а-1
следует равенство b = 0.
Уравнения (3) разрешимы однозначно, потому что из существования двух решений х, х',
скажем, первого уравнения следовало бы, что
7
ах = ах'
и с помощью умножения на а слева
-1
х = х'.
Решения уравнений (3), естественно, равны
В коммутативном случае
, поэтому пишут также b/а.
Отличные от нуля элементы произвольного тела составляют относительно операции
умножения группу — мультипликативную группу тела.
Таким образом, тело объединяет в себе сразу две группы: мультипликативную и
аддитивную. Обе они связаны дистрибутивными законами.
Примеры.
1. Рациональные числа, вещественные числа, комплексные числа образуют поля.
2. Поле из двух элементов 0 и 1 строится следующим образом: эти элементы
перемножаются, как числа 0 и 1. Относительно сложения элемент 0 является нулевым
элементом:
0 + 0 = 0 ; 0 + 1 =1 ; 1 + 0 = 1 ;
пусть далее 1 + 1 = 0 . Правило сложения то же, что и в композиции циклической группы с
двумя элементами; тем самым выполнены законы сложения. Законы умножения также
выполнены, потому что они выполняются для обычных чисел 0 и 1. Первый закон
дистрибутивности доказывается перебором всех возможностей: если в требуемое
равенство входит нуль, то все тривиально, так что остается рассмотреть лишь случай
который приводит к справедливому равенству 0 = 0. Наконец, уравнение 1* х = а
разрешимо при каждом а: решением служит х = а.
Гомоморфизмы и изоморфизмы
Пусть
— системы с двойной композицией. Согласно общему определению,
отображение
из
называется гомоморфизмом, если соотношения а+b=с и ab = d
при этом отображении сохраняются, т. е. если сумма а + b переходит в сумму
,а
произведение a*b — в произведение
. Множество
, являющееся в
образом
множества , называется в этом случае гомоморфным образом множества
. Если
отображение взаимно однозначно, то отображение называют изоморфизмом в
соответствии с нашим общим определением и пишут
Отношение
рефлексивно и транзитивно, а так как отображение, обратное к изоморфизму, является
изоморфизмом, это отношение и симметрично.
Гомоморфный образ кольца является кольцом.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
— кольцо,
—система с двойной композицией, а
— гомоморфное отображение из
на
. Мы должны показать, что
—
снова кольцо. Как и в случае групп, доказательство проводится следующим образом.
Пусть
— любые три элемента из
вычисления, например,
; докажем какое-либо из правил
, для чего фиксируем прообразы а, b, с
элементов
. Так как
— кольцо, выполняется равенство а (b + с) = ab + ас, а в
силу гомоморфности отображения
. Точно так же проводится
доказательство всех законов ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Для
доказательства разрешимости уравнения
нужно найти прообразы а, b и
решить уравнение а+х = b, откуда в силу гомоморфности получится, что
.
8
Нулю и противоположному элементу —а элемента а соответствуют при гомоморфизме
нуль и противоположный элемент из кольца
. Если
обладает единицей, то ей
соответствует единичный элемент в
.
Д о к а з а т е л ь с т в о такое же, как в случае групп.
Если кольцо коммутативно, то коммутативно и
.
Если
— целостное кольцо, то
не обязано быть целостным;
кольцо
может быть целостным и тогда, когда
таковым не является. Но если
отображение изоморфно, то, конечно, все алгебраические свойства кольца
переносятся
на кольцо
. Отсюда следует утверждение:
Изоморфный образ целостного кольца (соответственно поля) является целостным кольцом
(соответственно полем).
Здесь уместно сформулировать одну почти тривиальную теорему, которая будет важна:
Пусть
и
— два кольца, не имеющие общих элементов; пусть
содержит
подкольцо
изоморфное . Тогда существует кольцо
содержащее .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Удалим и з
элементы кольца
и заменим их на
соответствующие при изоморфизме элементы кольца . Суммы и произведения на
замененных и оставшихся элементах определим так, как это получается при изоморфном
соответствии для исходных элементов в
(Например, если перед заменой элементов
выполнялось равенство
, затем а' заменялся на а, а b' и с' оставались
неизменными, то мы полагаем ab'=c'.) Таким способом из
возникает кольцо
,
которое и в самом деле содержит .
Построение частных
Если коммутативное кольцо
вложено в некоторое тело
кольца можно строить частные (из ab=ba следует, что
справа умножить на
)
, то внутри
из элементов
, если слева и
Для них имеют место следующие правила:
тогда и только тогда, когда
Для доказательства нужно убедиться в том, что обе части после умножения на bd дают
одно и то же и что из bdx = bdy следует х = у.
Таким образом, мы видим, что частные а/b составляют некоторое поле , которое
называется полем частных коммутативного кольца . Далее, из правил (1) усматривается,
что способ, которым дроби сравниваются, складываются, умножаются, оказывается
известным, как только эти операции определяются над элементами кольца , т. е.
строение поля частных полностью определяется строением кольца , или: поля
частных изоморфных колец изоморфны. В частности, любые два поля частных одного и
того же кольца обязательно изоморфны, или: поле частных определяется кольцом 34
однозначно с точностью до изоморфизма, если только вообще данное кольцо обладает
полем частных.
9
Зададимся теперь вопросом: какие коммутативные кольца обладают полями частных?
Или, что то же самое, — какие коммутативные кольца могут быть погружены в поля?
Для того чтобы кольцо можно было погрузить в тело, необходимо прежде всего, чтобы
в не было делителей нуля, потому что в теле делителей нуля нет. В коммутативном
случае это условие и достаточно: каждое целостное кольцо можно погрузить в
некоторое поле (Для некоммутативных колец без делителей нуля эта теорема неверна.
Соответствующий пример был впервые построен Мальцевым А- И. (Math. Ann., 1936, 113,
S. 686-691) )
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы можем исключить тривиальный случай, когда
состоит
только из нулевого элемента. Рассмотрим множество всех пар элементов (а, Ь), где
.
Этим парам позднее мы сопоставим дроби а/b.
Положим
, если ad = bc. (Ср. приведенные выше формулы (1).)
Определенное таким образом отношение ~ является, очевидно, рефлексивным и
симметричным; кроме того, оно и транзитивно, потому что из
следует, что
и поэтому
Таким образом, в силу
и коммутативности кольца
:
Отношение ~ обладает, таким образом, всеми свойствами эквивалентности. Эта
последняя определяет некоторое разбиение пар (а, b) на классы, при котором
эквивалентные пары попадают в один класс. Класс, которому принадлежит пара (а, b),
будет обозначаться символом а/b. Как следствие этого определения равенство a/b = c/d
оказывается выполненным тогда и только тогда, когда
т. е. когда ad = be.
В соответствии с предыдущими формулами (1) мы о п р е д е л и м сумму и произведение
новых символов а/b равенствами
и
Эти определения корректны, потому что, в о - п е р в ы х , если
и
, то
и выражения
имеют смысл;
в о - в т о р ы х , праьы; части не зависят от выбора представителей (а, b) и (с, d) классов а/b
и c/d. Действительно, заменим в (2) а и b на а' и b', где
ab' —bа';
тогда
и, следовательно,
Точно так же:
10
Соответствующие равенства получаются при замене (с, d) на (с', d’), где cd' = dc'.
Без труда показывается, что полученная конструкция обладает всеми свойствами поля.
Например, закон ассоциативности сложения получается так:
а остальные законы аналогично.
Чтобы установить, что построенное поле содержит кольцо
элементы из
с некоторыми дробями. Делается это так.
Сопоставим элементу с все дроби
так как
, где
, мы должны отождествить
. Эти дроби равны между собой:
Следовательно, каждому элементу с сопоставляется лишь о д н а дробь. При этом
различным элементам с, с' сопоставляются различные дроби, потому что из
следует, что
или, так как
, можно осуществить сокращение:
Итак, элементам кольца
определенные дроби.
Если
или
взаимно однозначным образом сопоставлены совершенно
в кольце , то для произвольных
это означает, что
соответственно
Следовательно, дроби
складываются и умножаются так же,
как элементы кольца ; поэтому они составляют систему, изоморфную кольцу
.В
силу сказанного мы можем заменить дроби
на соответствующие им элементы с. Тем
самым
мы получаем требуемый результат: построенное поле содержит кольцо
Мы доказали, следовательно, существование поля, содержащего заданное целостное
кольцо .
Построение частных является первым средством построения из данных колец других
колец (в данном случае — полей). Например, именно так из кольца обычных целых чисел
строится поле (
рациональных чисел.
Кольца многочленов
11
Пусть
кольцу
—некоторое кольцо. Мы построим с помощью нового, не принадлежащего
, символа х выражения вида
в которых суммирование ведется по какому-то конечному множеству целочисленных
значений индекса
и «коэффициенты» av принадлежат кольцу ; например,
Такие выражения называются многочленами; символ х называется переменной. Таким
образом, переменная — это не что иное, как символ в вычислениях. Два многочлена
называются равными, если они содержат одни и те же составляющие слагаемые с
точностью до слагаемых с нулевыми коэффициентами, которые могут быть произвольно
добавлены или удалены из выражения для многочлена.
Если по обычным правилам оперирования с буквами сложить или перемножить два
многочлена f(x), g(x), рассматривая х как элемент, перестановочный с элементами кольца
(ах = ха), а после этого сгруппировать все члены с одинаковыми степенями переменной х,
то получится некоторый многочлен
. В случае сложения
а в случае умножения
С помощью формул (1) и (2) мы определяем сумму и произведение двух многочленов и
утверждаем, что:
Многочлены образуют кольцо.
Свойства сложения без каких бы то ни было новых доказательств очевидны, потому что
они сводятся к свойствам сложения коэффициентов av, bv. Первый закон
дистрибутивности следует из равенства
аналогично получается второй закон дистрибутивности. Наконец, закон ассоциативности
умножения получается из того, что
Кольцо многочленов, "получаемое из , обозначается через
. Если
коммутативно, то коммутативно и
.
Степенью отличного от нуля многочлена называется наибольшее число v, для которого
. Элемент av с таким максимальным v называется старшим коэффициентом
многочлена.
Многочлены нулевой степени имеют вид
. Мы отождествляем их с элементами а0
основного кольца , что вполне допустимо, ибо они складываются и умножаются точно
так же, как элементы основного кольца; благодаря этому обстоятельству многочлены
нулевой степени образуют систему, изоморфную кольцу . Следовательно, кольцо
многочленов
содержит кольцо
Переход от
к
называется (кольцевым) присоединением переменной х.
Если к произвольному кольцу
последовательно присоединять переменные х1 х2, ..., хn
и строить
, то получится кольцо
, состоящее
из всевозможных сумм вида
12
Мы будем считать, что в каждом таком многочлене допускается любая перестановка
сомножителей
. Таким образом, кольцо многочленов
будет отождествляться с кольцом многочленов, получающимся путем перестановки
переменных, например, с
. Это отождествление допустимо, так как
перестановка переменных xi не сказывается на определении суммы и произведения.
Кольцо
называют Кольцом многочленов от n переменных
В частности, если кольцо
многочленах.
является кольцом целых чисел, то говорят о целочисленных
Замена переменных на произвольные элементы кольца. Если
многочлен над
и — элемент кольца (самого кольца
или кольца, содержащего
), перестановочный со всеми элементами из
, то в выражение для f(x) всюду вместо
х можно подставить элемент
и получить таким способом значение
. Если
g(x) — любой другой многочлен и g( ) —его значение при х = , то сумма и
произведение
при х =
имеют значения
Для суммы это очевидно. Для произведения вычисления проводятся по формуле (2):
Тем самым доказано: все соотношения между многочленами f(х), ..., g(x), ....
получающиеся при сложении и умножении, остаются в силе при замене переменной х на
произвольный элемент кольца
, перестановочный со всеми элементами из
.
Соответствующая теорема справедлива и для многочленов от нескольких переменных. В
частности, если кольцо
коммутативно, то в многочлен
можно
подставлять вместо переменных произвольные элементы из
(или из коммутативного
расширения кольца
). Благодаря этому многочлены называют также целыми
рациональными функциями от переменных
Для целочисленных многочленов без постоянного члена возможность подстановки
элементов кольца дает большее: вместо
могут быть подставлены
произвольные перестановочные элементы любого кольца независимо от того, содержит ли
оно целые числа или нет.
Если
— целостное кольцо, то и
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если
и
— целостное кольцо.
и если
— старший коэффициент в
f(х), а
—старший коэффициент в g(x), то
— коэффициент при
в
, так что
. Следовательно, делителей нуля нет.
Из этого доказательства получается
С л е д с т в и е . Если
— целостное кольцо, то степень многочлена
равна
сумме степеней f(х) и g(х).
Для многочленов от n переменных с помощью индукции немедленно получается
утверждение:
Если кольцо
целостное, то кольцо
тоже целостное.
13
Под степенью выражения
понимаем сумму показателей
Степенью
же ненулевого многочлена называется наибольшая степень отличных от нуля
составляющих его выражений указанного выше типа. Многочлен называется однородным
или формой, если все составляющие его выражения имеют одинаковую степень.
Произведение однородных многочленов вновь является однородным многочленом и его
степень равна — при условии, что кольцо
целостное, — сумме степеней сомножителей.
Неоднородные многочлены могут быть (однозначным образом) представлены в виде
суммы однородных составляющих разных степеней. Перемножим два таких многочлена f,
g степеней m и n ; тогда произведение однородных составляющих высших степеней в
случае целостного кольца
является ненулевой формой степени m+n. Все остальные
составляющие произведения f•g имеют меньшую степень. Следовательно, степень
многочлена f•g вновь равна m+n. Приведенная выше теорема о степени («следствие»)
оказывается, таким образом, верной для многочленов от любого числа переменных.
Алгоритм деления. Пусть
— кольцо с единицей 1; пусть
произвольный многочлен, старший коэффициент которого
, и пусть
произвольный многочлен степени
. Тогда старший коэффициент
можно
обратить в нуль, если вычесть из f некоторое кратное многочлена g, а именно —
многочлен
. Если в результате степень окажется большей или равной n, то старший коэффициент можно будет опять обратить в нуль, осуществляя вычитание
некоторого кратного многочлена g. Продолжая таким образом, мы в конце концов
получим остаток со степенью, меньшей n:
(3)
где r —многочлен степени, меньшей степени многочлена g, или, возможно, нулевой
многочлен. Такая последовательность действий называется алгоритмом деления.
Если, в частности,
— поле и
, то предположение о том, что
, излишне,
потому что тогда при необходимости можно умножить g на
и получить единичный
старший коэффициент.
Пусть
Идеалы. Кольца классов вычетов
— произвольное кольцо.
Чтобы некоторое подмножество в
вновь было кольцом (под- кольцом кольца
),
необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1) это подмножество должно быть подгруппой аддитивной группы кольца; другими
словами, вместе с любыми а и b оно должно содержать разность а - b (свойство модулей)-,
2) вместе с а и b оно должно содержать произведение ab.
Среди подколец особую роль играют подкольца, называемые
идеалами; их роль аналогична роли нормальных подгрупп в теории групп.
Непустое подмножество m кольца
называется идеалом, точнее, правым идеалом, если:
1) из
следует, что
(свойство модулей);
2) из
следует
для произвольного из
. Словами: модуль
вместе с
каждым своим элементом а должен содержать все «правые кратные»
.
Равным образом, модуль называется левым идеалом, если из
следует
для произвольного
.
Наконец, подмножество
называется двусторонним идеалом, если оно является
одновременно правым и левым идеалом.
14
Для коммутативных колец все три понятия совпадают и поэтому говорят просто об
идеалах. Идеалы будут обозначаться строчными готическими буквами.
Примеры идеалов в коммутативных кольцах:
1. Нулевой идеал, состоящий из одного нуля.
2. Единичный идеал
, содержащий все элементы кольца.
3. Идеал (а), порожденный элементом а и состоящий из всевозможных выражений вида
То, что это множество действительно является идеалом, увидеть легко: разность двух
таких выражений имеет, очевидно, тот же вид, а произвольное кратное выглядит так:
т. е. имеет вид
Идеал (а) является, очевидно, наименьшим среди идеалов, содержащих элемент а, потому
что каждый идеал должен содержать во всяком случае все кратные
и все суммы
, а потому и все суммы вида
Идеал (а) может, таким образом,
определяться как пересечение всех идеалов, содержащих элемент а.
Если кольцо о обладает единицей е, то для
можно воспользоваться записью вида
Следовательно, в этом случае идеал (а) состоит из всех
обычных кратных
. Например, идеал (2) в кольце целых чисел состоит из всех четных
чисел.
Идеал, порожденный одним элементом а, называется главным. Нулевой идеал всегда
главный: это идеал (0). Единичный идеал также является главным, если
—кольцо с
единицей е, потому что тогда
. В некоммутативных кольцах необходимо различать правые и левые главные идеалы. Правый идеал, порожденный элементом а, состоит
из всевозможных сумм
.
4. Точно так же можно определить левый идеал, порожденный несколькими элементами
как совокупность сумм вида
или как пересечение всех левых идеалов кольца о, содержащих элементы
Этот идеал обозначают через
и говорят, что элементы
составляют базис этого идеала.
5. Аналогично можно определить левый идеал (М), порожденный бесконечным
множеством М; он является совокупностью всех конечных сумм вида
Классы вычетов. Любой левый или правый идеал
кольца , являясь подгруппой
аддитивной группы, определяет некоторое разбиение кольца о на смежные классы или
классы вычетов по идеалу
. Два элемента а, b называются сравнимыми по идеалу
или сравнимыми по модулю
, если они принадлежат одному классу вычетов, т. е. если
. Обозначение:
или, в краткой форме,
Вместо «а не сравнимо с b» пишут
Если, в частности,
— главный идеал (
) в коммутативном кольце, то вместо
можно было бы также писать
. Но в целях упрощения записи
в этом случае пишут, опуская пару скобок,
.
Таким путем приходят, например, к обычным сравнениям по модулю целого числа:
(словами: а сравнимо с b по модулю n) означает, что а — b принадлежит
идеалу (n), т. е. является кратным числа n.
15
Операции над сравнениями. Сравнение
по некоторому левому идеалу
остается, очевидно, верным, если к обеим частям прибавить один и тот же элемент с или
если обе части умножить слева на один и тот же элемент с. Если
— двусторонний
идеал, то обе части сравнения можно умножить на с и справа. Отсюда, далее, следует:
если
, то
итак, сравнения по двустороннему идеалу можно почленно складывать и умножать.
Обе части сравнения можно также умножать на обычное целое число n. В случае n = -1,
если скомбинировать приведенные выше рассуждения, получается, в частности, что
сравнения можно и почленно вычитать.
Следовательно, со сравнениями можно оперировать точно так же, как с равенствами.
Только сокращать, вообще говоря, нельзя: в области целых чисел, например,
но сравнение
неверно, хотя
Двусторонние идеалы находятся в том же отношении к понятию гомоморфизма колец, что
и нормальные подгруппы к понятию гомоморфизма групп. Обратимся к понятию
гомоморфизма.
Гомоморфизм
определяет разбиение кольца
на классы: класс
будет
состоять из всех элементов , имеющих один и тот же образ . Это разбиение на классы
мы можем описать точнее:
Класс n кольца , который при гомоморфизме
соответствует нулевому элементу,
является двусторонним идеалом в , а остальные классы являются классами вычетов по
зтому идеалу.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала докажем, что n —модуль. Если а и b при гомоморфизме
переходят в нуль, то в нуль переходят -b и разность а - b следовательно, вместе с а и b
классу n принадлежит и разность а - b.
Далее, если а переходит в нуль и
— произвольный элемент кольца, то
переходит в
и, следовательно, принадлежит n. Равным образом, переходит в нуль и элемент
. Следовательно, n — двусторонний идеал.
Элементы
одного и того же класса вычетов по n, представителем
которого служит а, переходят в
, т. е. в , и, следовательно, принадлежат одному
классу
. Если, наоборот, элемент b переходит в , то b - а переходит в
0 и, следовательно,
, т. е. b лежит в том же классе вычетов, что и а. Тем
самым требуемое доказано.
Итак, каждому гомоморфизму соответствует некоторый двусторонний идеал, являющийся
его ядром.
Обратим теперь эту связь — будем исходить из произвольного идеала m кольца
и
зададимся вопросом: существует ли гомоморфный образ
кольца
такой, что классы
вычетов по идеалу m отображаются в элементы кольца ?
Чтобы построить такое кольцо, в качестве элементов конструируемого кольца возьмем
просто классы вычетов по модулю m; класс вычетов а + m обозначим через , класс
вычетов b + m — через
и определим
как класс, в котором лежит сумма а + b, и
как класс, в котором лежит произведение ab. Если
другой элемент из
выше
,а
— другой элемент из
— какой-нибудь
, то в соответствии со сказанным
16
следовательно,
лежит в том же классе вычетов, что и
; точно так же
лежит в том же классе вычетов, что и
. Таким образом, наше определение суммы и
произведения классов не зависит от выбора элементов а, b в классах
.
Каждому элементу а соответствует класс вычетов , и это отображение гомоморфно,
потому что сумма а+b переходит в сумму
, а произведение ab - в произведение
.
Следовательно, классы вычетов образуют некоторое кольцо (§ 12). Это кольцо мы назовем
кольцом классов вычетов
или фактор-кольцом кольца по идеалу m или кольца
по модулю m. С по мощью указанного выше соответствия кольцо о гомоморфно отображается на кольцо
. В этой ситуации идеал m играет ту же роль, что раньше играл
n.
Здесь мы видим принципиальную важность двусторонних идеалов: они позволяют
строить кольца, гомоморфные данному кольцу. Элементами такого нового кольца
являются классы вычетов по некоторому двустороннему идеалу. Любые два класса
вычетов складываются и умножаются, потому что можно складывать и умножать два
произвольных представителя этих классов. Из
следует, что
; таким
образом, сравнения при переходе к классам вычетов становятся равенствами, и операции
над сравнениями в кольце соответствуют операциям над равенствами в кольце
.
Построенные здесь кольца частного вида, гомоморфные данному кольцу , — кольца
классов вычетов
— исчерпывают, по существу, все кольца, гомоморфные кольцу .
Действительно, если
— произвольное кольцо, гомоморфное кольцу
, то мы уже
видели, что элементы из
взаимно однозначно соответствуют классам вычетов по
некоторому двустороннему идеалу n в . Класс вычетов соответствует элементу
Сумма и произведение двух классов вычетов
переходят соответственно в
и, следовательно, им соответствуют элементы
и
Таким образом, сопоставление классам вычетов элементов из
является изоморфизмом.
Мы доказали следующее утверждение:
Каждое кольцо , гомоморфное кольцу , изоморфно некоторому кольцу классов
вычетов
. При этом n является двусторонним идеалом, элементы которого имеют
нулевой образ в
образом кольца
. Обратно, любое кольцо классов вычетов
является гомоморфным
(теорема о гомоморфизмах колец).
17
Примеры:
1) (ℤ, +, ) – коммутативное кольцо целых чисел, являющееся областью
целостности. По сложению – абелева группа, по умножению – абелева
полугруппа. Умножение дистрибутивно относительно сложения.
2) Множества ℚ, ℝ, ℂ образуют кольца по сложению и умножению.
3) Множество четных чисел, а также множество целых чисел, кратных
произвольному целому числу а: {…, -na,…,-2a, -a, 0, a, 2a,…,na,…} –
является коммутативным кольцом относительно обычных действий
сложения и умножения.
4) Алгебраические системы (ℕ, +, ) и (ℚ>0, +, ) кольцами не являются.
5) Множество многочленов а0+а1х+ а2х2++ аnхn с коэффициентами из
некоторого кольца является кольцом относительно почленного сложения и
почленного умножения многочленов.
6) Множество классов вычетов по модулю m относительно сложения и
умножения классов образует коммутативное кольцо классов вычетов по
модулю m и обозначается ℤm. Рассмотрим этот пример более подробно.
ℤm ={K0, K1, , Km-1}, где Ki={xℤ: x mod m = i }, i=0,1,,m-1. И для
любых i и j{0,1,,m-1} сложение классов определяется так: Ki+Kj={ x+y:
xKi, yKj и (x+y) mod m = (i+j) mod m }=Kr, где r= (i+j) mod m .
Нейтральным элементом по сложению является класс K0, обратным по
сложению для любого класса Ki ( 1  i  m-1 ) является класс Km-i, а для
класса K0 – сам K0. Сложение классов коммутативно, ввиду коммутативности
сложения целых чисел, и ассоциативно. Таким образом, (ℤm, +) – абелева
группа. Произведение классов определяется так: Ki Kj=={ xy: xKi, yKj и
(xy) mod m = (ij) mod m }Kr, где r= (ij) mod m . Тем самым умножение
классов неограниченно применимо. Коммутативность, ассоциативность и
дистрибутивность умножения классов относительно их сложения следует из
аналогичных свойств умножения целых чисел. Кроме того, класс K1 является
нейтральным элементом по умножению классов вычетов по модулю m.
Таким образом (ℤm,  ) – абелев моноид и (ℤm, +,  ) – коммутативное кольцо с
единицей.
Рассмотрим
кольцо
(ℤ4, +,  ),
где
ℤ4={ K0, K1, K2, K3 }
и
K0={ xℤ: x mod 4=0 }, K1={ xℤ: x mod 4=1 } и т.д.. Таблицы Кэли для
сложения и умножения классов:
Из таблиц видно, что
+ K0 K1 K2 K3
 K0 K1 K2 K3
K0 K0 K1 K2 K3
K0 K0 K0 K0 K0 0К=K0, т.к. для любых
K1 K1 K2 K3 K0
K1 K0 K1 K2 K3 i=0,1,2,3 Ki+0К= 0К+Ki =Ki и
(первая
K2 K2 K3 K0 K1
K2 K0 K2 K0 K2 Ki·0К= 0К·Ki= K0
K3 K3 K0 K1 K2
K3 K0 K3 K2 K1 строка и первый столбец
таблицы
сложения
18
совпадают с шапкой этой таблицы; первая строка и первый столбец таблицы
умножения состоят из одного и того же элемента: K0). Коммутативность
действий видна из того, что каждая таблица симметрична относительно
главной диагонали. Элемент K2 является делителем нуля, т.к. K2·K2=K0=0К.
Нейтральный элемент по умножению – K1, поскольку вторая строка и второй
столбец таблицы умножения совпадают с шапкой. У всех элементов, кроме
K0 и K2 имеются обратные по умножению: для K1 – сам K1, для K3 – сам K3.
7) ℚ, ℝ, ℂ – образуют поля относительно обычного сложения и
умножения. ℤ – поля не образует, т.к. относительно умножения никакие
элементы, кроме «+1» и «-1», не имеют обратных. Но ℤ образует область
целостности, т.к. нет делителей нуля, т.е. из равенства ab=0 следует: либо
а=0, либо b=0.
8) Множество квадратных невырожденных матриц фиксированного
размера с вещественными элементами относительно операций сложения и
умножения матриц образует тело.
9) Кольцо классов вычетов ℤp является полем, если p – простое число. Оно
называется полем вычетов по модулю p. Легко показать, что у каждого
ненулевого элемента имеется обратный. Например, в поле ℤ7 обратными друг
к другу являются элементы: K1 и K1, K2 и K4, K3 и K5, K6 и K6.
ℤp – простейший пример конечного поля. Конечные поля называют полями
Галуа и обозначают GF(p). Свойства полей Галуа используются в теории
кодирования. Одним из важнейших таких свойств является то, что
мультипликативная группа поля Галуа является циклической группой
порядка (p-1). Порождающий элемент этой группы называется примитивным.
Так в поле GF(7) примитивным элементом является класс K3. Действительно,
K30=K1, K32=K2, K33=K6, K34=K4, K35=K5, K36=K1, таким образом, степени
элемента K3 исчерпывают все ненулевые элементы ℤ7. Заметим, что класс K2
не является примитивным элементом в ℤ7, т.к. среди его степеней нет,
например, класса K3. Тогда как в полях GF(3), GF(5), GF(11) и т.д. класс K2 –
примитивный элемент.
19
Выводы
{Не сформулированы до конца}
20
Список используемой литературы:
{Здесь будет основной учебник Ван дер Вардена, пара учебников, которые
использовались для редактирования теории, нахождения задач и
дополнительной теории, а также, интернет - ссылки }
21