AB - Факультет математики и ИТ МГУ им. Н.П.Огарева

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Алгебраические структуры
Учебно-методическое пособие
для студентов гуманитарных направлений
Саранск 2012
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................................................... 4
НЕОБХОДИМЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. ............................ 4
1.1 ПОНЯТИЕ О МНОЖЕСТВЕ. ..................................................................................................................... 4
1.2 ВИДЫ МНОЖЕСТВ. ................................................................................................................................. 4
1.3 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ. ........................................................................................................ 5
1.4 ПОДМНОЖЕСТВА ДАННОГО МНОЖЕСТВА. РАВЕНСТВО МНОЖЕСТВ. ............................................. 5
1.5 ДЕЙСТВИЯ НАД МНОЖЕСТВАМИ.......................................................................................................... 6
1.6 РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ. ............................................................................................... 8
1.7 ПЕРЕСТАНОВКИ. .................................................................................................................................. 10
1.8 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ. ПОДСТАНОВКИ. .......................... 12ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ. СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ. СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ЭЛЕМЕНТЫ МНОЖЕСТВА ОТНОСИТЕЛЬНО ДАННОЙ ОПЕРАЦИИ. ................................... 14
2.1 ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................................. 14
2.2 ПОНЯТИЕ ВНУТРЕННЕЙ БИНАРНОЙ ОПЕРАЦИИ. ............................................................................. 15
2.3 ВСЮДУ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ ИЛИ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ........................... 17
2.4 КОММУТАТИВНЫЕ ОПЕРАЦИИ. ......................................................................................................... 17
2.5 АССОЦИАТИВНЫЕ ОПЕРАЦИИ. .......................................................................................................... 18
2.6 ДИСТРИБУТИВНЫЕ ОПЕРАЦИИ. ......................................................................................................... 18
2.7 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ МНОЖЕСТВА ОТНОСИТЕЛЬНО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ. .... 20
2.8 СИММЕТРИЗУЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. СИММЕТРИЗУЕМЫЕ ОПЕРАЦИИ. .............................................. 21
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ: ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ. ................................................ 22
3.1 ВВЕДЕНИЕ. ............................................................................................................................................ 22
3.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ И СЛЕДСТВИЯ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ НИХ.................................................... 24
3.2.1 ПЕРВОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ И СЛЕДСТВИЯ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ НЕГО. ........................................ 24
3.2.2 ВТОРОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ И СЛЕДСТВИЯ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ НЕГО. ........................................ 25
3.2.3 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ ГРУППЫ. ................................................................................... 26
S
3.2.4 МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ГРУППА n ПОДСТАНОВОК N ЭЛЕМЕНТОВ. ............................................... 27
3.2.5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ. .................................................................................................. 30
3.3 ПОНЯТИЕ КОЛЬЦА. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ КОЛЬЦА. .......................................... 31
3.3.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЬЦА. ВИДЫ КОЛЕЦ............................................................................................... 32
3.3.2 ОСНОВНЫЕ СЛЕДСТВИЯ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЛЬЦА. .............................................. 32
3.3.3 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ КОЛЬЦА ................................................................................ 33
3.3.4 ДЕЛИТЕЛЬ НУЛЯ В КОЛЬЦЕ. ................................................................................................................ 34
3.3.5 КОЛЬЦО КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ ПО MOD M. ........................................................................................... 36
3.4 ПОНЯТИЕ ПОЛЯ. ПОЛЯ КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ. ................................................................................... 40
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ...........................................................................................................................................44
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
......................................................................................................... 45
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................................................................. 48
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................................
2
Введение
Общий курс математики в настоящее время включает в себя довольно много разделов
современной математики: дискретную математику, элементы функционального анализа,
новейшие методы математической статистики и т.д.
В частности государственный стандарт предполагает знакомство студентов
специальности "Прикладная математика в экономике" с элементами общей алгебры.
Данное учебное пособие предназначено для первого ознакомления с понятиями
основных алгебраических структур: группа, кольцо, поле. Оно обращено к студентам не
математикам первых курсов, представителям нематематических специальностей, которым
всё чаще приходится сталкиваться в их работе с алгебраической тематикой.
Дело в том, что при наблюдаемой "математизации" всех отраслей знания алгебра
занимает всё более и более значимое место. Её методы и основные объекты (так называемые
алгебраические структуры – группы, кольца, поля) проникают во многие математические
дисциплины и другие науки. Возможности же овладеть соответствующим понятийном
аппаратом для широкого круга не математиков достаточно ограничены. По так называемой
общей алгебре выходит большое число учебников и книг как отечественных авторов, так и
зарубежных. К сожалению, они обычно доступны лишь читателю, который уже приобрёл
некоторые навыки в понимании достаточно абстрактных определений и рассуждений.
Подчеркнуть же такие навыки и заполнить большое число абстрактных понятий
содержательными представлениями по существу негде.
Представленное пособие предполагает заполнить имеющийся здесь пробел. Для этого
мы постарались строить наше изложение так, чтобы алгебраические структуры и их
основные свойства как можно более естественно возникали из привычного традиционно
сложившегося материала: из арифметики, элементарной алгебры, геометрии и
комбинаторики.
Мы считаем, что читатель, внимательно изучивший это пособие, выполнив предложенные задания, будет
владеть теми познаниями и навыками, которые откроют ему доступ к обширной учебной, монографической и
журнальной литературе, посвящённой современной алгебре или использующей алгебраический аппарат.
3
1. Необходимые понятия и определения из теория множеств
1.1
Понятие о множестве
Множества и числа образуют фундамент для построения изящного и прочного
здания математики, которое позволяет человеку находить разумные решения задач
науки и техники, поставленные перед ним, его бытиём и сознанием.
Никто не знает, когда в сознании человека возникло понятие о множестве и
числе. Но это уж и не столь важно. В самом деле, вне зависимости от этого, мы с
успехом пользуемся теорией множеств и чисел, как весьма тонким и сильным
исследовательским аппаратом естествознания.
Действительно, исходной точкой рассуждения человека являются изучаемые им
объекты. Каждый из этих объектов обладает некоторым свойством, которым может
обладать или не обладать другой объект.
Поэтому при изучении объектов у нас возникает естественная потребность к
объединению этих объектов по общему для них признаку в одно целое. В результате,
в нашем сознании возникает понятие множества объектов, которое обладает одним и
тем же свойством.
Эти объекты называются элементами множества.
Следовательно, элементами множества называются изучаемые нами объекты,
объединённые в это множество.
Очевидно, мы встречаемся с множествами, отличающимися друг от друга
природой элементов.
Поэтому, можно говорить о множестве людей, живущих в данном городе, о
множестве треугольников, расположенных на плоскости, о множестве слов,
помещенных на страницах данной книги, о множестве атомов водорода в Солнце, о
множестве плодовых деревьях во всех садах земного шара, о множестве натуральных
чисел и т. д.
Итак, множество представляется нам множественностью, мыслимой как
единство.
Заметим, что понятие множества не имеет определения, т. к. оно является
понятием элементарным, первичным.
В дальнейшем, как множества, так и их элементы мы чаще всего будем
обозначать буквами.
Факт принадлежности элемента a множеству М будем обозначать записью вида:
aM.
В дальнейшем мы будем предполагать, что для любого элемента x из
фиксированного множества M имеет место только одно штатное суждение: x  M
или x  M .
Если же элемент b не принадлежит множеству M , то будем писать: bM.
1.2
Виды множеств
Множества подразделяются на три вида: конечные, бесконечные и пустые.
Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа
элементов.
Например, множество натуральных чисел от 1 до 10, множество вершин
треугольника, множество студентов данного Вуза – всё это конечные множества.
Число элементов конечного множества называют его длиной. Если множество A
содержит n элементов, то пишут |A|= n – "длина множества A равна n".
4
Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента.
Например, множество вещественных корней уравнения x2+1=0 – пустое,
множество людей на Земле, возраст которых более 500 лет – пустое, множество
треугольников на евклидовой плоскости, сумма внутренних углов которых более 180˚
– пустое.
Пустое множество обозначают символом Ø.
Множество, которое не является конечным и не является пустым, называется
бесконечным.
Примерами бесконечных множеств являются множества точек прямой,
множество натуральных чисел, множество вещественных чисел и т. д.
При рассмотрении элементов множества приняты следующие договорённости:
1. Порядок следования символов, обозначающих элементы множества при его
задании не существенен.
2. Одним и тем же символом два разных элемента множества обозначать нельзя.
3. Двумя разными символами один и тот же элемент множества обозначать
нельзя.
4. Из данного множества данный элемент можно взять столько раз, сколько это
требуется для рассуждений.
1.3
Способы задания множеств
Задать множество – это значит указать необходимое и достаточное условие
попадания любого объекта в это множество.
Если множество конечное и все его элементы известны, то множество задаётся
перечислением элементов.
Если, например, множество M состоит из трёх элементов, обозначенных буквами
a, b и c, то пишут: M={a, b, c}. При этом, порядок следования букв a, b, c не
существенен.
Если множество бесконечное, или конечное, но мы не знаем его элементов, или
мы вообще не знаем тип множества, то множество задаётся указанием
характеристического свойства его элементов. Характеристическое свойство
элементов множества – это необходимое и достаточное условие попадания объектов в
данное множество, записанное символически. При этом пишут: M={α |
символическая запись характеристического свойства попадания элементов α в
множество M}.
Например: M={α | αN, α ≥10, (α-1)(α+12)(α-15)=0}.
1.4
Подмножества данного множества.
Равенство множеств
Пусть мы имеем два множества A и B. Если каждый элемент множества A
является элементом множества B, то множество A называется подмножеством
множества B. При этом пишут: A  B.
Например, множество натуральных чисел есть подмножество множества целых
чисел, т.е. N  Z; множество жителей г. Москва есть подмножество множества
жителей российских городов; множество сосен есть подмножество множества
деревьев Земли.
Заметим, что для множества M верно:
1) M  M,
2) Ø  M.
5
Теорема: Если множество M – непустое длины n, то оно имеет в точности 2n
подмножеств.
Например: A{a,b,c}. Напишем все его подмножества. Это будут: A1 = {a}, A2 =
={b}, A3 = {c}, A4 = {a, b}, A5 = {a, c}, A6 = {b, c}, A7 = {a, b, c}, A8 = Ø
Два множества A и B называются равными, если:
1) A  B, т.е. каждый элемент A принадлежит множеству B и
2) B  A , т.е. каждый элемент множества B принадлежит множеству A.
В частности, если множества A и В – конечные, то они равны тогда и только
тогда, когда они имеют одну длину и состоят из одних и тех же элементов.
Равенства множеств удовлетворяют следующим требованиям:
1) A = A,
2) если A = B, то B = A,
3) из A = B и B = C следует: A = C.
1.5
Действия над множествами
Объединением множеств A и B называется такое множество C, которое
состоит из всех элементов множества A и всех элементов множества B и
только из таких элементов.
Объединение множеств A и B обозначается символом AB.

  x  A


x

B





Итак, A  B   x 
Например, если A={a, b, c} и B={a, b, d}, то AB={a, b, c, d}
Пересечением множеств A и B называется такое множество K, которое
состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству A, и
множеству B, и только из таких элементов. Пересечение множеств A и B
обозначают символом A∩B.

  x  A



  x  B

Итак, A  B   x 
Например, если A={a, b, c} и B={b, c, d}, то A∩B={b, c}.
Разностью множеств A и B называется такое множество M, которое
состоит из элементов множества A, не входящих в множество B, и только из
таких элементов. Разность множеств A и B обозначают символом A\B.

  x  A



  x  B

Итак, A \ B   x 
Например, если A={a, b, c} и B={b, c, d}, то A\B={a}, а B\A={d}.
В частности, если BA, то A\B называют дополнением множества В до
множества A и обозначают символом B A .
Например, если, A={a, b, c, d}, B={a, c} то B A ={b, d}.
Чтобы наглядно изображать множества и их взаимосвязи, часто рисуют
круги, находящиеся в аналогичных взаимосвязях. Каждый круг на рисунке
6
изображает некоторое множество. При этом точки круга не ассоциируют с
элементами множеств, т.е. круг может соответствовать как конечному множеству, так
и бесконечному, так и пустому. Это изображение аналогично представлению
множества в виде мешка, в котором находятся элементы множества. Мешок может
содержать конечное число элементов, бесконечное число элементов, быть пустым.
Круги, с помощью которых наглядно изображаются множества, называются
кругами Эйлера-Венна, а способ изображения множеств с помощью кругов
называется диаграммами Эйлера-Венна.
А
Рис 4
Каждая диаграмма соответствует определенной взаимосвязи множеств А и В:
1) B  A (рис. 1)
2) A  B ( рис. 2 - заштрихованная часть ),
3) A ∩ B ( рис. 3 - заштрихованная часть ),
4) A \ B (рис. 4 - заштрихованная часть ).
Нередко бывает так, что рассматривают только подмножества одного и того
же множества J.
Такое множество J называют универсальным множеством. Понятие
универсального множества относительно. Для каждой задачи оно свое.
Например, если A – множество студентов первого курса ФКТ, B – множество
студентов ФКТ, C – множество спортсменов-студентов СГУ, D – множество старост
академических групп экономического и юридического факультетов СГУ, то в
качестве универсального множества J можно взять множество студентов
Смоленского гуманитарного университета.
Если же A – множество рек Сибири, B – множество озер Европы, C – множество
морей, то в качестве универсального множества можно взять гидросферу Земли.
На диаграмме Эйлера-Венна универсальное множество J изображают в виде
прямоугольника (рис. 5).
Заметим, дополнение множества A до универсального множества J обозначают
символом A .
Рис 5.
Отметим общепринятые обозначения некоторых основных числовых множеств:
7
N - множество натуральных чисел,
Z - множество целых чисел,
Q - множество рациональных чисел,
R - множество вещественных чисел,
[a, b]- множество вещественных чисел x, таких, что, a ≤ x ≤ b, (a < b),
[a, b]- множество вещественных чисел x, таких, что, a ≤ x < b,
(a, b]- множество вещественных чисел x, таких, что, a < x ≤ b,
(а, b)- множество вещественных чисел x, таких, что a < x < b,
Замечаем, что [а,в[=a,b), ]a,b]=(a,b], ]a,b[=(a,b).
1.6
Разбиение множества на классы
Введём понятие эквивалентности, которое будет обобщением понятия равенства.
Именно: Если дано какое-нибудь не пустое множество M={a, b, c,…}, между
элементами которого установлено некоторое соотношение, обозначаемое записью
вида: a~b, так, что для каждой пары элементов a, b из M известно, будет ли a~b или
нет. И если это соотношение удовлетворяет следующим требованиям:
1) a~a для любого элемента aM (свойство рефлексивности),
2) из a~b следует, что b~a (свойство симметрии),
3) из a~b и b~c следует, что a~c (свойство транзитивности), то в этом случае
это соотношение называется эквивалентностью.
Примеры:
1. М – множество людей на Земле. Рассмотрим соотношение между людьми
"быть братом", т.е. a~b, если человек a является братом человека b. Это соотношение
не является эквивалентностью, т.к. не выполняется требование рефлексивности.
Действительно, человек a может быть мужчиной, но может быть и женщиной, и тогда
фраза «а брат а» теряет смысл. Кроме того, не выполняется и требование
симметричности: из условия «человек а брат человеку b» не обязательно следует, что
«человек b брат человеку а» (b – может быть женщиной). Следовательно,
рассмотренное соотношение не является эквивалентностью.
2. М – множество городов Земли. Рассмотрим соотношение между городами:
"город a имеет одинаковую численность населения с городом b". Это соотношение:
1) рефлексивно, т.к. город а имеет ту же численность населения с самим собой
(для любого города Земли),
2) симметрично, т.к. если "город а имеет одинаковую численность населения с
городом b", то "город b имеет одинаковую численность населения с городом а",
3) транзитивно, т.к. если "город а имеет одинаковую численность населения с
городом b", а "город b имеет одинаковую численность населения с городом с", то
"город а имеет ту же численность населения, что и город с".
Следовательно, рассмотренное соотношение на множестве городов является
отношением эквивалентности.
Рассмотрим множество целых чисел Z и возьмем некоторое натуральное число
m>1. Согласно теоремы о делении с остатком для любого целого числа z и m
существует и притом единственная пара целых чисел q и r, удовлетворяющая
условиям:
1) z = mq + r,
2) 0 ≤ r < m
8
(r называют остатком от деления z на m, q называют неполным частным от
деления z на m).
Разделим каждое число z на m. У каждого числа будет однозначно определен
остаток. Остатками могут быть только числа: 0,1, 2,…, m-1.
Введем на множестве Z отношение «быть равноостаточными при делении на m»,
т.е. a~b тогда и только тогда, когда числа а и b при делении на m имеют один и тот
же остаток.
Введенное отношение является отношением эквивалентным, т.к.
1) для любого целого числа а верно, что a~а,
2) если a~b, то b~a,
3) если a~b, b~с, то a~с.
В дальнейшем это отношение будем называть отношением сравнимости
целых чисел по модулю m и если a~b, то будем писать а ≡ b (mod m).
Например, 5 ≡ 2 (mod 3), -2 ≡ 5 (mod 7), 13 ≡ 10 (mod 3), 5 ≠ 1(mod 3).
Возьмем какое-нибудь число аZ. Объединим в один класс (множество) все
целые числа x, которые сравнимы с а по mod m, т.е. все целые числа х, которые имеют
такой же остаток от деления на m, что и число а. Этот класс обозначим символом Cla.
Число а называют представителем этого класса.
Если число b не попало в Cla, т.е., если число b при делении на m имеет другой
остаток, то для этого числа мы создаем Clb, и т.д.
В результате множество Z разобьется на классы Cla, Clb, Clс, …. Каждый класс
характеризуется своим представителем и всеми членами, сравнимыми с этим
представителем по mod m. Так как, если а1 ≡ а2 (mod m), то если а1 и а2
равноостаточны при делении на m, то Clа1 ≡ Clа2 и, следовательно, любое число,
входящее в данный класс, может считаться его представителем. Тогда, множество
целых чисел может быть разбито по mod m на классы Cl0, Cl1, Cl2,…, Clm-1, где
0,1,2,…, m-1 – остатки при делении целых чисел по mod m. Эти классы называют
классами вычетов по mod m, а их множество обозначают символом Zm и
называют множеством классов вычетов по mod m.
Значит Zm={Cl0, Cl1, Cl2,…, Clm-1}. Для упрощения записи слово "класс" часто не
пишут, т.е. пишут: Zm={0, 1, 2,…, m-1}. Но в этом случае не надо забывать, что
символ "0" - это не символ числа, а символ класса вычетов Cl0={x | xZ, x = mq, qZ},
символ "1" – символ класса вычетов Cl1={x | xZ, x = mq +1, qZ} и т.д.
Заметим, что в каждом классе вычетов находится бесконечно много целых
чисел.
Например, Z3 = {Cl0, Cl1, Cl2}, где
Cl0={x | xZ, x = 3q, qZ}={0, 3,-3, 6,-6, …{
Cl1={x | xZ, x = 3q + 1, qZ}={1, 4,-2, 7,-5, …}
Cl2={x | xZ, x = 3q + 2, qZ}={2, 5, -4, 8,-1, …}
Рассмотрим еще один пример.
Пусть М – множество людей Земли. Зададим на нем отношение ρ с помощью
закона: xρy (читается: x находится в отношении с y) тогда и только тогда, когда х и у
родились в одном и том же году. Очевидно, что ρ – отношение эквивалентности.
Вместе с каждым человеком х рассмотрим множество людей Clx, которые родились в
один и тот же год с х. Например, если а родился в 1960 г., то Cla – множество людей,
родившихся в 1960 г. Если b родился в 1973 г., то Clb – множество людей родившихся
9
в 1973 г. Причем, если с родился в 1973 г., то Clc ≡ Clb. Таким образом, ясно, что два
множества (класса) Clx и Cly либо не имеют общих элементов, либо совпадают, и
каждый элемент множества М лежит в каком-нибудь классе.
Система множеств Clx представляет собой так называемое разбиение множества
всех людей на классы, т.е. такое множество непустых подмножеств множества М, для
которых:
1) каждый элемент из М входит в какой-то из классов,
2) каждый элемент из М входит только в один из классов.
При этом говорят, что отношение эквивалентности ρ порождает разбиение
множества М на классы.
Обобщим сказанное.
Если на множестве М ≠ Ø задано отношение ρ, являющееся эквивалентностью,
то всегда на М можно построить разбиение по этому отношению эквивалентным. Это
можно сделать следующим образом:
1) возьмем любой элемент аМ, построим Cla = {x | xМ, xρа,} ≠ Ø, т.к. аCla
согласно условия рефлексивности отношения ρ,
2) если bCla, т.е. bρа, то строим Clb = {у | уМ, уρb}.
Cla и Clb не имеют общих элементов, т.к. если бы сCla и сClb, то сρа и сρb (в
силу симметричности отношения ρ), а значит, и аρb (в силу транзитивности
отношения ρ), т.е. bCla, что противоречит условию выбора элемента b.
Если kМ не вошел в Cla и Clb, то для него строим Clk и т.д.
Итак, каждый элемент из М войдет в один и только один класс, т.е. мы получим
разбиение множества М по отношению эквивалентности ρ.
Верно и обратное. Каждое разбиение множества на классы порождает некоторое
отношение эквивалентности.
Рассмотренная в настоящем разделе теория множеств представляет собой
фундамент, на котором математика строит свое здание. Она дает универсальный
аппарат для всей математики, в частности для алгебры.
1.7
Перестановки
Пусть дано конечное множество А. Мы отмечали ранее, что порядок следования
элементов в множестве не существенен. Если же мы будем учитывать порядок
расположения элементов в множестве, то будем говорить уже о так называемых
перестановках данного конечного множества.
Итак, перестановкой данного конечного множества называется любое взаимное
расположение элементов этого множества.
Например, дано множество А = {а, b}.
Перестановки этого множества: а, b и b, а.
Когда мы рассматриваем перестановки элементов одного и того же множества,
то они отличаются друг от друга лишь взаимным расположением переставляемых
нами элементов.
Из всех возможных перестановок данного множества мы выбираем, по
соглашению, одну перестановку, взаимное расположение элементов которой считаем
«порядком» Тогда мы должны считать, что все прочие перестановки данного
множества получены путем нарушения принятого нами «порядка» (путем инверсий).
Для каждой перестановки приписывается неотрицательное целое число,
называемое числом инверсий. В частности, перестановке, взаимное расположение
10
элементов в которой принято за «порядок», приписываем число инверсий, равное 0.
Эта перестановка называется нормальной.
Обычно в каждой задаче нормальная перестановка указывается специально.
Если же этого нет, то:
1) в случае, когда элементы множества обозначены цифрами одного типа
(римские, арабские и т.д.), то за нормальную перестановку принимают ту,
соответствующая числовая последовательность для которой строго возрастающая,
2) в случае, когда элементы множества обозначены буквами одного и того же
алфавита, то за нормальную перестановку принимают ту, в которой буквы
расположены в алфавитном порядке.
Число инверсий в перестановке определяют следующим образом:
1 шаг. Вычеркиваем в перестановке элемент, который в нормальной
перестановке стоит на первом месте и подсчитываем число элементов, стоящих до
этого вычеркнутого элемента.
2 шаг. Из перестановки вычеркиваем элемент, который в нормальной
перестановке стоит на втором месте, и подсчитаем число элементов, стоящих до
этого вычеркнутого элемента, не считая ранее вычеркнутого.
3 шаг. Из перестановки вычеркиваем элемент, который в нормальной
перестановке стоит на третьем месте и подсчитываем число элементов, стоящих до
этого вычеркнутого элемента, не считая ранее вычеркнутые.
И т. д. Процесс конечный, т.к. число элементов в данной перестановке конечное.
В результате мы получим конечный набор неотрицательных целых чисел, сумма
которых есть неотрицательное целое число, называемое числом инверсий данной
перестановки.
Пример. Найти число инверсий в перестановке 2, 1, 5, 3, 4. Нормальной
перестановкой является перестановка 1, 2, 3, 4, 5.
1 шаг: (2, 1, 5, 3, 4) → δ1 = 1
2 шаг: (2, 1, 5, 3, 4) → δ2 = 0
3 шаг: (2, 1, 5, 3, 4) → δ3 = 1
4 шаг: (2, 1, 5, 3, 4) → δ4 = 1
5 шаг: (2, 1, 5, 3, 4) → δ5 = 0
Число инверсий в перестановке 2, 1, 5, 3, 4 равно δ = δ1 + δ2 + δ3 + δ4 +δ5 = 1 +
0 +1 + 1 + 0= 3.
Если число инверсий число четное, то перестановка называется четной.
Если число инверсий число нечетное, то перестановка называется нечетной.
Перечислим основные теоремы о перестановках.
1, åñëè n  1
1 2  3  ...  n, åñëè n  2
Теорема 1. Всех перестановок n элементов будет n! 
Теорема 2. Если поменять местами два элемента в перестановке (совершить
одну транспозицию), то перестановка сменит свою четность на противоположную.
Другими словами, если в заданной четной перестановке поменять местами два
элемента, что полученная при этом перестановка станет нечетной. Если же в нечетной
перестановке поменять местами два элемента, то полученная перестановка станет
четной.
Теорема 3: При n ≥ 3 половина перестановок n элементов четная, половина
нечетная. Заметим, нормальная перестановка - четная.
11
1.8
Отображения множеств. Подстановки
Допустим, что мы имеем два непустых множества А и В.
Если по какому-либо закону каждому элементу х множества A подставляем в
соответствие один и только один элемент у из множества В, а каждому элементу y из
множества B соответствует, по крайней мере, один элемент х множества А, то в этом
случае говорят, что множество А отображается на множество В и пишут:
А→В
х→у
При этом элемент у называется образом элемента х, а элемент х – прообразом
элемента у.
Заметим, что в этом случае образ у элемента х определяется однозначно, но
элемент х элементом у может определяться неоднозначно.
Пример:
1. Пусть дано множество А всех вещественных чисел и множеств В всех
неотрицательных вещественных чисел. Поставим каждому числу хА в соответствие
число уВ по следующему закону: х → у, где у = х². Таким образом, мы установили
отображение множества А на множество В.
В самом деле, квадрат любого вещественного числа х существует и представляет
собой неотрицательное вещественное число у, определяемое по данному х
однозначно. Обратно, неотрицательное вещественное число у определяет, по крайней
мере, одно вещественное число х, квадрат которого равен числу у.
2. Нам дано множество А всех целых чисел и множество В = {1, -1}. Поставим в
соответствие каждому четному целому числу х число у = 1, а каждому нечетному
целому числу x число y = –1 из множества В. Этим самым мы задали отображение
множества А на множество В.
Отображение множества А на множество В называется взаимно однозначным,
если каждому элементу уB соответствует единственный элемент xA.
Взаимно однозначное отображение множества А на множество В записывается
так:
А↔В
х↔у
Следовательно, при взаимно однозначном отображении множеств образ и его
прообраз взаимно однозначно определяют друг друга.
Примеры:
1. А = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}
Зададим отображение А ↔ В
A↔B
а↔1
b↔2
c↔3
d↔4
Это отображение взаимно однозначное.
2. Пусть множество А – множество пальцев на руке, В – множество «пальцев»
на перчатке. При одевании перчатки на руку мы задаем взаимно однозначное
отображение множества А на множество В.
3. Нам дано множество А всех целых чисел и множество В целых чётных чисел.
Если мы множество А отобразим на множество В по закону: х ↔ у = 2х, где хА, уВ,
то это отображение будет взаимно однозначным.
12
4. Нам дано множество А = {1, 2, 3} В = {1, 2, 3}. Если мы множество А
отобразим на множестве В по закону:
1↔2
2↔3
3 ↔ 1,
то этим мы зададим взаимно однозначное отображение множества А на
множество В.
Очевидно, можно говорить о взаимно однозначном отображении множества на
себя.
В связи с этим мы даем следующее определение: взаимно однозначное
отображение множества на себя мы будем называть подстановкой данного
множества.
Заметим, при этом множество может быть конечным, может быть бесконечным.
Мы остановимся на рассмотрении подстановок только конечных множеств.
При этом можно заметить, что множество можно взаимно однозначно
отобразить на себя не единственным образом.
Например, множество А = {1, 2, 3} трех элементов можно взаимнооднозначно
отобразить на себя различными способами:
1) 1 ↔ 1
3) 1 ↔ 2
5) 1 ↔ 3
2↔2
2↔3
2↔1
3 ↔ 3,
3 ↔ 1,
3 ↔ 2,
2) 1 ↔ 2
4) 1 ↔ 3
6) 1 ↔ 1
2↔1
2↔2
2↔3
3 ↔ 3,
3 ↔ 1,
3 ↔ 2.
Так как каждое взаимно однозначное отображение множества на себя
называется подстановкой этого множества, то для каждого множества, имеющего
больше чем один элемент, существует несколько подстановок.
Чтобы решить задачу о количестве подстановок множества длины n, введем
сначала некоторые обозначения и определения.
Во-первых, подстановки удобнее записывать несколько в ином виде. Например,
1 2 3 
 и обозначим ее какой1
подстановку 1 ↔ 2, 2 ↔ 3, 3 ↔ 1 запишем в виде 
2 3
нибудь буквой, например, α. Читаем эту запись сверху
переводит: 1 в 2, 2 в 3, 3 в 1.
вниз так: подстановка α
 A
Итак, эту подстановку можно кратко записать в следующей форме   , которая
B
по существу, означает запись перестановки В = (2, 3, 1) под перестановкой А = (1, 2,
3). Следовательно, для этого чтобы получить подстановку n элементов, мы должны
взять две перестановки n элементов и отобразить их друг на друге взаимно
однозначно. При этом, верхняя строка будет состоять из прообразов, а нижняя строка
– из их образов при данном отображении. Другими словами, каждый столбик
x
подстановки   представляет собой запись связи прообраза х с его образом у
y
 
согласно заданному отображению.
Отсюда можно сделать вывод, что две подстановки являются равными тогда и
только тогда, когда они представляют собой одно и то же взаимно однозначное
13
отображение данного множества на себя, т.е. отличаются только порядком
следования столбиков.
1 2 3 
 и β =
 2 3 1
Например, подстановки α = 
 2 1 3

 – равны.
 3 2 1
Пусть дано множество М длины n. Рассмотрим всевозможные подстановки этого
множества. Запишем их так, чтобы верхняя строка (строка прообразов) представляла
собой нормальную перестановку. Тогда все различные подстановки будут отличаться
только нижней строчкой, которых должно быть n! (как различных перестановок n
элементов). Отсюда следует
Теорема 3. Подстановок n элементов равно n!.
Например, для множества М = {1} подстановок будет 1! = 1, для множества М =
{1, 2}подстановок будет 2! = 1·2 = 2, для множества М = {1, 2, 3} подстановок будет
3! = 1·2·3 = 6, для множества М = {1, 2, 3, 4} подстановок будет 4! = 1·2·3·4 = 24 и т.д.
Подстановка называется четной, если обе ее строки имеют одинаковую четность
как перестановки, подстановка называется нечетной, если ее строки разной четности.
1 2 3 
 нечетная, т.к. верхняя строка четная (0
Например, подстановка α = 
2
3
1


инверсий), а нижняя – нечетная (т.к. она получена из верхней строки путём одной
транспозиции – перемены мест двух элементов).
Теорема 4. Если поменять местами два столбика в подстановке, то ее четность
не изменится.
Действительно, при перемене мест двух столбиков происходит одна
транспозиция в верхней строке и одна транспозиция в нижней. От этого четность
верхней строки и нижней строки изменится на противоположную. Но при этом, если
строки имели одинаковую четность, они такими же и останутся, если они имели
разную четность, то такими же и останутся. Т.е. четность подстановки при одной
транспозиции столбцов не изменится.
Запишем все подстановки n элементов так, чтобы верхняя строка была в них
нормальной перестановкой. Тогда четность подстановок будет зависеть только от
четности нижних строк, в которой ½ n! четных и ½ n! нечетных при n ≥ 2
Отсюда следует
Теорема 5. При n ≥ 2 половина подстановок n элементов четная, половина –
нечетная.
Замечаем, что в дальнейшем множество подстановок n элементов мы будем
обозначать символом Sn.
2. Бинарные операции на множестве. Свойства
операций. Специальные элементы множества
относительно данной операции
2.1
Введение
Историю алгебры можно разбить на два основных периода. Первый длится с
времени таких древнейших цивилизаций, как египетская и вавилонская, примерно до
XIX в., второй - с начала XIX в. до наших дней.
14
В раннюю пору своего развития математика делится на отдельные предметы в
зависимости от объектов, которые в данном предмете рассматриваются: геометрия
была наукой о форме, арифметика - о числах, алгебра - о соотношениях и свойствах
чисел вообще (т.е. чисел, выраженных произвольными символами, чаще всего
буквами. Роль алгебры была более или менее четко осуществлена в эту эпоху: под x
всегда подразумевалось число. Естественно, это новые идеи в алгебре, появившиеся в
начале XIX в., родились на основе того, что было к тому времени известно в алгебре.
Одним из стимулов к развитию оказалось понятие квадратного корня из минус
единицы - величина, которую обычно обозначают через i. Это понятие в XVII- XVIII
в.в. использовалось при решении широкого круга задач, но никто не мог
удовлетворительно истолковать его как число. В начале XIX в. было предложено два
выхода из затруднительного положения:
– в первом из них использовался абстрактный метод, в котором i представлялось
как ряд достаточно произвольных операций над парами чисел,
– во втором, i получало конкретную интерпретацию и отождествлялось с
геометрической операцией «поворот на прямой угол на плоскости».
Оба указанных решения подсказали дальнейшие исследования. Раз введение i в
элементарную алгебру дало превосходные результаты, то появление еще нескольких
символов также может оказать полезным. Правила обращения с этими символами
можно было бы тогда строить исходя из конкретного случая. Если i соответствует
повороту на плоскости, то почему бы не обратиться к поворотам в трехмерном
пространстве и посмотреть, не послужит ли это толчком для дальнейшего развития
алгебры? Такого рода вопросы привели математиков к дальнейшим исследованиям и
открытию в 1843 г кватернионов англичанином Гамильтоном. В алгебре
кватернионов были введены два новых символа, i и j, для которых i2= -1, j2= -1, ji= -ij.
Открытие кватернионов произвело ошеломляющее впечатление на многих
ведущих математиков-современников Гамильтона, оно считалось последним словом в
математике и идеальным методом решения большинства алгебраических проблем. На
самом деле кватернионы были скорее первым, а не последним словом. Барьер был
преодолен: стала развиваться алгебра, отбросившая некоторые из основных
положений древней алгебры. Вскоре математики стали искать другие пути, которые
дали бы им возможность дополнить обычные числа новыми символами, и пришли к
так называемым гиперкомплексным числам. Затем математики стали спрашивать: а
почему следует начинать с обычных чисел? Может быть, лучше рассмотреть любой
набор символов, задавших определенными правилами обращения с ними? Понятие
«алгебры» постепенно расширилось настолько, что стало включать в себя любую
систему рабочих символов вместе с приписанными им правилами. Таким образом,
рамки алгебры как математической науки значительно расширились, причем
некоторые определённые алгебраические системы смогли быть применены к
решению частных задач.
Построение алгебраических систем связано с понятиями множества и
операций.
2.2
Понятие внутренней бинарной операции
Из школьного курса хорошо известны операции умножения и сложения чисел и
обратные им операции вычитания и деления. Кроме того для чисел введены операции
возведения в степень и извлечения корня. Для векторов плоскости или пространства
введены операции сложения, вычитания, умножения на число, скалярное умножение,
15
векторное умножение, смешанное умножение. Мы познакомились с целым рядом
операций над матрицами: сложение, вычитание, умножение на число, умножение
друг на друга, транспонирование. Все это создает основу для введения общего
понятия операции, которая позволяет с единой точки зрения изучить операции с
числами, множествами, функциями и другими объектами.
Пусть дано непустое множество М, для элементов которого определено
отношение равенства.
Определение. Мы будем говорить, что на множестве М определена внутренняя
бинарная операция f, если нам известен закон, по которому любой упорядоченной
паре (x, y) элементов из МхМ ставится в соответствие не более одного элемента z из
множества М.
Сказанное словами будем отмечать символической записью вида: f:(x, y)→z.
Если для данной пары (x, y) элемент типа z существует в М, то z называют
композицией элементов x и y относительно операции f и обозначают символом xfy,
т.е. z = xfy.
Итак, для данной упорядоченной пары элементов множества М относительно
операции f композиция может существовать, а может и не существовать. Но если она
существует, то определена она однозначно.
Например, пусть М - множество натуральных чисел. Под операцией f будем
понимать обычное вычитание: f:(x, y)→ z = x-y. Для пары(5, 3) композиция 5-3
существует, т.к. 5-3 = 2N. Для пары (1, 6) композиция 1-6 не существует, т.к. 1-6N.
Операцию на множестве М можно задавать различными способами.
Если множество М - конечно и все его элементы известны, то операцию f на М
удобно задавать в виде таблицы Кэли.
Это квадратная таблица. В верхнем левом углу
f
a1 a2 … an
ставится знак рассматриваемой операции (в нашем случаеa1
f). Под этим знаком в первом столбце записываются все
a2
элементы множества М. Это - первые компоненты x пар (x,
…
y), для которых будут указываться композиции. В первой
an
же строке таблицы напротив символа f тоже будут
записаны все элементы множества М. Это будут вторые компоненты y. В клеточке на
пересечении соответствующей строки их столбцу для пары (x, y) будет стоять
композиция z =xfy.
Например. M = {○, ●, #} Зададим на множестве М какую-нибудь операцию f:
f
○
●
#
○
●
○
●
○
#
#
Операция задана следующим образом:
(○, ○) → ○ f ○ = ●,
(○, ●) → ○ f ● - не существует,
(○, #) → ○ f # = ○,
(●, ○) → ● f ○ - не существует,
(●, ●) → ● f * = ○,
(●, #) → ● f # - не существует,
(#, ○) → # f ○ - не существует,
(#, ●) → # f ● - не существует,
(#, #) → # f # = #.
16
Если множество М - бесконечное, то операция f задается в виде правила
получения композиции элементов x f y по данным элементам x и y из множества М.
Например, М – множество матриц, размера m×n с вещественными элементами.
Если
A = (aik), B = (bik), то A + B = C = (cik), где cik = aik + bik . Так мы задаем операцию
сложения (+) на множестве матриц.
При рассмотрении различных примеров мы можем выделить специальные
свойства операций.
2.3
Всюду определенные операции на множестве
или алгебраические операции
Пусть на множестве М задана операция f.
Определение. Говорят, что операция f всюду определена на множестве М, или
что операция f алгебраическая, если для любых x и y из множества М их композиция
xfy лежит в множестве М.
Примерами алгебраических операций являются:
1) сложение на множестве N,
2) умножение на множестве N,
3) вычитание на множестве Z,
4) сложение на множестве векторов плоскости,
5) векторное умножение на множестве векторов пространства,
6) возведение натурального числа в натуральную степень.
При этом говорят, что множество М замкнуто относительно операции f.
Вычитание натуральных чисел не является алгебраической операцией. Сложение
матриц не является алгебраической операцией, т.к. не для любых двух матриц
существует их сумма.
2.4
Коммутативные операции
Пусть на множестве М задана операция f. В дальнейшем мы будем
рассматривать только алгебраические операции. Поэтому заранее предполагаем, что f
- алгебраическая операция, т.е. для любых элементов x и y М их композиция x f y
существует, т.е. представляет собой элемент z из M.
Определение. Алгебраическая операция f на множестве М называется
коммутативной, если тождество коммутативности X f Y=Y f X выполняется при всех
значениях X и Y, взятых из множества М.
Примерами коммутативных операций являются:
1) сложение на N,
2) умножение на N,
3) сложение матриц одного и того же размера.
Операция возведения натурального числа в натуральную степень не является
коммутативной. Действительно, тождество коммутативности X f Y=Y f X не
выполняется, например, когда X принял значение 2, а Y принял значение 3 : 2 f 3 = 23,
3 f 2 = 32, 23≠32.
Умножение матриц n-го порядка не является коммутативной операцией, т.к.
тождество коммутативности X f Y=Y f X не выполняем, например, когда X принял
1 2
 , а Y – значение
 3 4
 3 2  1 2
 ≠ 

, 
7
4
4
6

 

значение 
1 1   1 2  1 1   3 2  1 1   1 2   1 2 
 · 
 = 

 : 
 = 
 , 
 · 

3
4
3
4
1
0
1
0
7
4
1
0
4
6







 
 



17
Итак, все алгебраические операции подразделяются на коммутативные и
некоммутативные.
Коммутативные т.е., для которых тождество коммутативности X f Y=Y f X
выполняется для всех значений X и Y из данного множества. Некоммутативные те,
относительно которых в множестве М можно подобрать такие два элемента a и b,для
которых тождество коммутативности не выполняется, т.е. a f b ≠ b f a.
2.5
Ассоциативные операции
Пусть на множестве М задана алгебраическая операция f.
Определение. Операция f на множестве М называется ассоциативной, если
тождество ассоциативности (X f Y) f Z = X f (Y f Z) выполняется для всех значений X, Y
и Z из множества М.
Иными словами, операция ассоциативна, если ее результат не зависит от того,
как расставить скобки, указывающие на порядок выполнения действий с тремя
элементами из данного множества.
Сложение и умножение чисел ассоциативно. Сложение и умножение матриц
одного и того же порядка ассоциативно.
Приведем пример операции, не обладающей свойством ассоциативности.
Рассмотрим операцию возведения натурального числа в натуральную степень.
Тождество ассоциативности (X f Y) f Z = X f (Y f Z) не выполняется, например, когда X
принял значение 2, Y принял значение 3, Z принял значение 2: (23 ) 2 = 64, 2 (3 ) = 29=512,
64 ≠ 512.
Итак, все алгебраические операции подразделяются на два типа: ассоциативные
и неассоциативные.
Если операция ассоциативна, мы имеем право находить композицию трех
элементов без дополнительного указания, в каком порядке выполнять действия.
Например, на N мы пишем: 2+3+5. И знаем, что результат вычисления равен 10 вне
зависимости от того, в каком порядке мы выполним действия: (2+3)+5 или 2+(3+5). В
случае же неассоциативной операции этого сделать нельзя. Например, нам
предлагают на N вычислить 2 3 . Мы не можем дать результат, т.к. он зависит от
выбора порядка выполнения действий. Заметим, при рассмотрении композиции трёх
элементов эти элементы переставлять местами нельзя, т.к. операция может быть
2
2
2
некоммутативной: (23)2=64, 2(3 )  128 .
2.6
Дистрибутивные операции
На данном множестве М может быть задано две алгебраические операции f1 и f2 .
Например, на множестве N задана операция сложения и умножения (конечно,
операций может быть задано и больше).
Определение. Операция f1 называется дистрибутивной слева относительно
операции f2, если тождество (1)
X f1 (Y f2 Z) = (X f1 Y) f2 (X f1 Z)
выполняется для всех значений X, Y, Z из множества М.
Определение. Операция f1 называется дистрибутивной справа относительно
операции f2, если тождество (2)
(Y f2 Z) f1 X = (Y f1 X) f2 (Z f1 X)
выполняется для всех значений X, Y, Z из множества М.
Определение. Операция f1 называется двояко дистрибутивной относительно
операции f2, если она дистрибутивна и слева и справа относительно операции f2.
18
Определение. Операция f1 называется дистрибутивной относительно операции f2,
если она двояко дистрибутивна относительно операции f2, причем при любой
упорядоченной тройке элементов из множества М в качестве заданний X, Y, Z,
результат вычислений согласно тождество (1) равен результату вычислений согласно
тождества (2).
Примеры.
1. Пусть на N задана операция f1- сложение, f2- умножение. Тогда тождества (1) и
(2) примут вид:
(1)
X + (Y ∙ Z) = (X + Y)∙(X + Z)
(2)
(Y ∙ Z) + X = (Y + X)∙(Z + X).
Если возьмем тройку значений X, Y, Z, например, (1, 2, 3), то
(1)
1+(2∙3) ≠ (1+2)∙(1+3), т.е. сложение не дистрибутивно слева относительно
умножения.
(2)
(2∙3)+1 ≠ (2+1)∙(3+1), т.е. сложение не дистрибутивно справа
относительно умножения.
2. Пусть на N заданы операции f1- умножение и f2- сложение. Тогда тождества (1)
и (2) примут вид:
(1)
X∙(Y + Z) = X∙Y + X∙Z.
(2)
(Y + Z)∙X = Y∙X + Z∙X.
Эти тождества выполняются при всех значениях X, Y и Z из N. Причем, в силу
коммутативности умножения на N результаты (1) и (2) тождеств в любой точке (a, b,
c) будут равны. Т.е. умножение на N дистрибутивно относительно сложения.
3. Рассмотрим множество М= Mat(n, R) - множество квадратных матриц n-го
порядка с вещественными элементами. На этом множестве рассмотрим операции f1умножение, f2-сложение. Тогда интересующие нас тождества примут вид:∙
(1)
X∙(Y + Z) = X∙Y + X∙Z,
(2)
(Y + Z)∙X = Y∙X + Z∙X.
Из теории матриц известно, что в любой точке (A, B, C) тождество (1) и
тождество (2) выполняются, т.е. умножение матриц двояко дистрибутивно
  1 1  1  1  0 1 
; 
  , тогда:
1   1 1 
 1 1   1  1  0 1   1 1 1 0   2 2   1 1 1  1  1 1 0 1
   
  
   
  
  
  

  


(1) 
2
1
0
1
1
1

 
 
   2 1 1 2   3 2   2 1 0 1   2 1 1 1
; 
относительно сложения. Возьмем точки  
  2 1  0
  1  1  0 1   1 1 1 0   1 1  1 1   1  1  1 1  0 1  1 1

  








1   1 1   2 1 1 2   2 1  5 3  0 1   2 1  1 1  2 1
(2)  
0
 2 2  1 1
  

 3 2   5 3
Итак: 
Иными словами, умножение матриц не дистрибутивно относительно сложения.
19
2.7
Специальные элементы множества относительно
алгебраической операции
Введем понятие нейтрального элемента множества относительно данной
операции. Известно, что при сложении чисел число 0 играет особую роль: сумма
любого числа a и нуля равна числу а: а + 0 = 0 + а = а , при любом числе а.
Таким образом, при сложении чисел 0 является нейтральным элементом в том
смысле, что его прибавление к любому числу не меняет это число.
При умножении чисел аналогичную роль играет число 1. Действительно, для
любого числа а имеем а∙1 = 1∙а = а.
Распространим это понятие на произвольный случай, т.е. когда мы имеем
произвольное множество М и на нем алгебраическую операцию f не обязательно
коммутативную.
Определение. Элемент e1 множества М называется левым нейтральным
элементом относительно операции f, если e1 f x = x при любом x из множества М.
Определение. Элемент e2 множества М называется правым нейтральным
элементом относительно операции f, если x f e2 = x при любом x из множества М.
Во множестве М относительно операции f левый нейтральный элемент может
существовать, а может и не существовать. То же самое можно сказать и о правом
нейтральном элементе. Может существовать левый нейтральный, а правый
нейтральный элемент не существовать и наоборот. Может случиться так, что и левый
нейтральный элемент существует и правый нейтральный элемент существует, но они
не одинаковые, т.е. e1 ≠ e2. А может случиться так, что левый нейтральный элемент e1
существует и правый нейтральный элемент e2 существует и e1 = e2. В этом случае мы
говорим, что имеем нейтральный элемент.
Определение. Элемент e множества М называется нейтральным элементом
относительно операции f, если e f x = x f e = x для любого x из множества М.
Примеры.
1. Рассмотрим на N операцию возведения натурального числа в натуральную
степень.
Левый нейтральный элемент относительно этой операции не существует, т.к.
нельзя подобрать такое натуральное число e1, что e1x = x при любом натуральном х.
Но правый нейтральный элемент e2 существует и равен 1, т.к. х1 = х при любом
натуральном х.
2. На множестве М = Mat (2, R) относительно сложения существует и левый и
 0 0
 . Другими
 0 0
правый нейтральные элементы, которые равны между собой e1 = e2 = 
словами, на множестве М мы имеем нейтральный элемент относительно сложения –
нулевую матрицу.
3. На множестве всевозможных матриц рассмотрим умножение матриц (по
правилу «строка на столбец»).
a b c 
Возьмем матрицу A =  1 1 1 
 a2 b2 c2 
Если эту матрицу А умножить слева на
 1 0
 , то матрица А не изменится: E1∙A = A, если матрицу А
 0 1
единичную матрицу E1 = 
20
 1 0 0


умножить справа на единичную матрицу E2 =  0 1 0  , то матрица А не изменится:
 0 0 1


A∙E2 = A. Этот пример в какой-то мере иллюстрировал тот факт, что в общем может
существовать левый нейтральный элемент и может существовать правый
нейтральный элемент, но они не совпадают. Правда, операция умножения в этом
примере не является алгебраической и мы имеем более широкое понятие
нейтрального элемента.
Заметим, если операция на множестве М названа "сложением" , то нейтральный
элемент относительно этой операции принято называть нулем и обозначать символом
0, Ō, Õ, Ө и др.
Заметим, если операция на множестве М названа "умножением", то нейтральный
элемент относительно этой операции принято называть единицей и обозначать 1, е, ε,
Е и др.
2.8
Симметризуемые элементы.
Симметризуемые операции
Пусть дано множество М и алгебраическая операция f на этом множестве,
относительно которой в М существует нейтральный элемент е. Может случиться так,
что для выбранного элемента aM найдется такой элемент а'М, что а' f a = a f a' = е.
В этом случае, элемент а называется симметризуемым элементом относительно
операции f, а элемент а' называется элементом, симметричным к элементу а.
Мы видим, что понятие симметризуемого элемента является обобщением
понятия обратимого числа, а понятие симметричного элемента к данному – понятия
обратного числа и противоположного числа.
Принято симметричный элемент к элементу а относительно операции,
названной "сложением" обозначать символом – а и называть элементом,
противоположным к элементу а.
 1 2
 , мы обозначаем –
  3 0
Например, матрицу, противоположную к матрице A = 
 1  2
.
0 
3
А = 
Симметричный элемент к элементу а относительно операции, названной
"умножением" обозначают символом а-1 и называют обратным элементом, а элемент
а – обратимым элементом.
1 2
 – обратима и A-1 =
3
4


Например, матрица A = 
1 
 2

 . Действительно,
 1,5  0,5 
 1 0
 .
 0 1
A·A-1 = A-1·A = E = 
Определение. Если каждый элемент множества М относительно операции f
симметризуем, то операция f называется симметризуемой.
Примеры.
1. Сложение на Z - симметризуемая операция, т.к. для любого целого числа а
существует противоположное число – а. Например, а = 2, – а = –2, а = 0, – а = 0, а = –
5, – а = 5.
21
2. Умножение на множестве положительных рациональных чисел операция
симметризуемая, т.к. для любого положительного рационального числа а существует
обратное положительное число а-1 =
Например, а =
1
.
a
1
5
3 -1 2
, а = , а = , а-1 = = 5, а = 1, а-1 = 1.
5
1
2
3
3. На множестве R умножение не является симметризуемой операцией, т.к.
можно подобрать вещественное число а, для которого а-1 не существует. Например а
= 0.
4. На множестве М = Mat (2, R) умножение не является симметризуемой
операцией, т.к. можно подобрать такую матрицу А, для которой А-1 не существует.
Это матрица А такая, у которой определитель равен нулю.
 0 0  1 2    1 3 
 , 
 , 
 , …
 0 0  1 2   2  6 
Например, матрицы 
Итак, мы рассмотрели понятие внутренней бинарной операции на множестве,
увидели, какими свойствами она может обладать (алгебраичность, коммутативность,
ассоциативность, дистрибутивность относительно второй внутренней операции,
симметризуемость), увидели какие специальные элементы относительно этой
операции в множестве могут существовать (нейтральный, симметризуемый,
симметричный к данному).
Заметим, на множестве М могут быть определены операции не обязательно
внутренние бинарные. Могут быть определены операции унарные. Например, на
множестве матриц операция транспонирования. Могут быть определены операции
тернарные. Например, смешанное умножение на множестве векторов пространства.
Можно говорить о внешних операциях. Например, умножение матрицы на число,
умножение вектора на число. Можно задавать операции, которые не подходят под
определение ни внутренней бинарной, ни внешней бинарной. Это, например,
операция скалярного умножения на множестве векторов. Здесь композицией двух
векторов является вещественное число. Это более общий случай бинарной операции.
Но в дальнейшем мы будем говорить только о внутренних бинарных операциях.
Поэтому во всем тексте лекций и практических занятий под термином «операция» мы
понимаем только внутреннюю бинарную операцию.
3. Алгебраические структуры: группы, кольца, поля
3.1
Введение
Ранее мы изучали конкретные математические объекты – множество целых
чисел Z , множество подстановок n элементов Sn, множество матриц размера m×n с
вещественными элементами, множество классов вычетов по mod m, множество
векторов плоскости, множество векторов пространств, непрерывные функции и т.д.
На первый взгляд, они не связаны между собой, так как состоят из элементов
совершенно разной природы. Однако развитие алгебры привело к выработке общих
концепций, которые позволяют по-новому взглянуть на, казалось бы, разобщенные
факты. В настоящей лекции мы введем фундаментальные для всей алгебры и ее
приложений понятия группы, кольца и поля, ограничившись знакомством с их
простейшими свойствами.
Слово "поле" в алгебре применяется для описания системы, очень похожей на
обычную арифметическую. Операции сложения, вычитания, умножения и деления
22
включаются в поле и очень напоминают соответствующие арифметические операции.
Например, во всяком поле имеется элемент, который заменяет числовой ноль и
элемент, который заменяет числовую единицу. Существует огромное многообразие
полей. Таблицы Кэли:
+
O
J
A
B
O
O
J
A
B
J
J
O
B
A
A
A
B
O
J
•
O
J
A
B
B
B
A
J
O
O
O
O
O
O
J
O
J
A
B
A
O
A
B
J
B
O
B
J
A
определяют поле, которое состоит только из четырех элементов O, J, A, B. В этой
системе операции производятся в основном по тем же правилам, что и в обычной
арифметике или элементарной алгебре: здесь выполняются и коммутативность, и
ассоциативность сложения и умножения, и дистрибутивность умножения
относительно сложения.
Существование поля из конечного числа элементов обнаружил в 1830 г.
Французский математик Эварист Галуа. Это поле называют полем Галуа из четырех
элементов.
Возьмите любую формулу из курса школьной алгебры, и вы найдете, что она
остается верной в поле Галуа. Например, элементарная алгебра утверждает, что A + B
, умноженное на A – B , означает то же что A2 – B2. Если взять из таблиц результаты
обоих действий, мы получим один и тот же ответ J.
Теперь можно считать, что в наших рассуждениях достигнута ступень полной
абстракции. Мы уже не предполагаем, что O, J, A, B имеют конкретный смысл. Мы
просто нашли схему, которая имеет интересные аналогии со схемами обычной
арифметики. Чистый математик заявит, что в том-то и состоит задача математики –
находить красивые и оригинальные схемы. А математику – прикладнику, ученому –
естествоиспытателю или инженеру интересно установить, похожа ли эта схема на те,
которые возникают в природе, можно ли найти для нее подходящую интерпретацию и
приложение. Хотя поля Галуа и возникли как результат абстрактных математических
упражнений, в настоящее время они нашли довольно неожиданное приложение: их
изучают в связи с задачами безошибочного кодирования при передачи информации с
помощью быстродействующих вычислительных машин.
В поле допускаются сложение, умножение, вычитание и деление на ненуль.
Однако не все алгебраические системы располагают таким числом операций. В
кольце, например, мы можем складывать, вычитать и умножать, но не всегда можем
делить. Обычным примером кольца служат целые числа. Например, если ученику
известны только такие числа, то он сможет решить любую задачу со сложением,
вычитанием и умножением этих чисел. Однако если потребовалось бы разделить 3 на
5, то он оказался бы беспомощным.
Группа – понятие еще более широкое, чем кольцо. Когда говорят, что некоторая
система образует группу, то подразумевают существование в этой системе одной
единственной операции, которую можно рассматривать как обобщенное умножение.
Эта операция должна быть ассоциативной, т.е. выражение XYZ обязано иметь
определенное значение вне зависимости от "грамматики". Группа должна содержать
также элемент J, который заменяет число 1 в обычной арифметике. Кроме, того в
группе должно быть возможно деление.
23
Чтобы алгебраическая система была признана группой, она должна пройти
удивительно мало тестов. Поэтому весьма знаменательно, что такая изящная теория,
как теория групп, стала столь широко применяться во многих ветвях математики и ее
приложениях.
3.2
Определение группы и следствия, вытекающие из них
В современной математической литературе встречаются различные определения
группы, с которыми мы и должны познакомиться.
3.2.1 Первое определение группы и следствия,
вытекающие из него
Непустое множество A называется группой, если в этом множестве:
1.
Определено бинарное отношение равенства элементов,
2.
Задана внутренняя бинарная операция f, обладающая свойствами:
1) алгебраичностью,
2) ассоциативностью,
3) относительно этой операции в множестве A есть нейтральный элемент,
4) симметризуемостью.
При этом говорят, что A есть группа относительно операции f.
Группу относительно сложения называют аддитивной группой. Группу
относительно умножения называют мультипликативной группой.
Если операция, относительно которой задана группа, коммутативна, то группа
называется коммутативной или абелевой.
Примеры.
1. Множество A={e}, где e – нейтральный элемент относительно внутренней
бинарной операции f, есть группа, т.к. оно удовлетворяет всем требованиям,
положенным в основу определения группы.
2. Множество N не является аддитивной группой, т.к. в нем нет нуля
(нейтрального элемента по сложению).
3. Множество A={-1, 1}, если 1 и -1 – целые числа, есть мультипликативная
группа.
А теперь сформулируем и докажем ряд следствий, вытекающих из принятого
нами определения группы.
Следствие 1. В группе существует только один нейтральный элемент.
Доказательство. Предположим, что в группе A относительно операции f
существует два нейтральных элемента e1 и e2, причем e1 ≠ e2. Тогда e1 f x = x f e1 = x
для любого элемента x  A, e2 f x = x f e2 = x для любого элемента x  A. Но тогда e1 f
e2 = e2 f e1 = e2и e2 f e1 = e1 f e2 = e1. Значит, e1 f e2 = e2 = e1, что противоречит условию
e1 ≠ e2. Следовательно, наше предположение неверно, т.е. в группе нейтральный
элемент только один.
Следствие 2. В группе для каждого элемента существует только один
симметричный ему элемент.
Доказательство. Предположим, что в группе A для элемента x существуют два
симметричных элемента x1' и x2' относительно групповой операции f . Тогда x1' f x= x f
x1' = e и x2' f x= x f x2' = e. Рассмотрим x1' f x f x2'. В силу ассоциативности операции f
имеем: (x1' f x) f x2' = x1' f (x f x2'), т.е. e f x2' = x1' f e, т.е. x1' = x2', что противоречит
предположению x1' ≠ x2'. Значит, наше предположение неверно и для элемента x
существует в группе A только один симметричный элемент x'.
24
Следствие 3. В группе A относительно операции f уравнение a f x = b с одним
неизвестным x разрешимо, причем однозначно, при любых a и b  A.
Доказательство. Как известно, решением уравнения a f x = b в группе A
называется такой элемент c  A, что a f c = b. Возьмем c = a' f b. Для любого a в
группе обязан существовать симметричный элемент a'. В группе A операция f обязана
быть алгебраической. Следовательно, элемент a' f b = c в группе A существует.
Рассмотрим композицию a f (a' f b) = (a f a') f b = e f b = b. Т.е. элемент c является
корнем (решением) уравнения a f x = b. Предположим, что уравнение a f x = b имеет
два различных корня x1 и x2, т.е. a f x1 = a f x2 = b. Прокомпонируем обе части
равенства a f x1 = a f x2 слева с элементом a': a' f (a f x1) = a' f (a f x2), откуда в силу
ассоциативности операции f имеем: (a' f a) f x1 = (a' f a) f x2, т.е. e f x1 = e f x2, т.е. x1 =
x2, что противоречит условию. Значит, уравнение a f x = b разрешимо, причем
однозначно, при любых a, b  A.
Следствие 4. В группе A относительно операции f уравнение y f a = b с одним
неизвестным y разрешимо, причем однозначно, при любых a, b  A.
Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему и поэтому мы
предлагаем его провести Вам самостоятельно.
Замечание: при фиксированных a и b  A уравнение a f x = b имеет и притом
только одно решение α  A, а уравнение y f a = b имеет и притом только одно
решение β  A. Если операция f для группы A некоммутативна, то α не обязано
равняться β.
Следствие 5. Если a – элемент группы A относительно операции f, то из
a f x = a f y следует x = y.
Доказательство. Пусть a f x = a f y, так как a – элемент группы, то для него
существует в группе симметричный элемент a'. Равенство не изменится, если обе его
части прокомпонировать слева элементом a': a' f (a f x) = a' f (a f y).
В силу ассоциативности операции f имеем: (a' f a) f x = (a' f a) f y, e f x = e f y, x=
=y.
Итак, в группе относительно операции f из a f x= a f y следует, что x= y.
3.2.2 Второе определение группы и следствия,
вытекающие из него
Непустое множество A называется группой относительно внутренней бинарной
операции f, если
1. Операция f алгебраическая,
2. Операция f ассоциативна,
3. Всегда разрешимы, прием однозначно, уравнения: a f x = b и y f a = b.
Примеры.
1. Множество Z всех целых чисел является аддитивной группой, так как в нем
всегда однозначно разрешимы уравнения a + x = b и y + a = b.
2. Множество Z не является мультипликативной группой, т.к. уравнение 2x = 3
в нем неразрешимо, т.е. не всякое уравнение ax = b разрешимо.
Следствие 1. В группе A относительно операции f существует правый
нейтральный элемент. Это такой элемент e1, который удовлетворяет условию: α f e1 =
α для любого элемента α  A.
Доказательство. В группе A по определению однозначно разрешимо уравнение
afx  a .
Пусть корнем уравнения будет элемент ea , т.е. такой элемент, что afea  a .
25
Рассмотрим уравнение yfa  b . Оно тоже разрешимо однозначно. Пусть его
решением является элемент c  A , т.е. такой элемент, что cfa  b . Но тогда
cf afea   cfa fea  bfea  b . Это означает, что элемент ea является правым
нейтральным элементом для элемента b . Другими словами, правый нейтральный
элемент для элемента a в группе является правым нейтральным элементом для
любого элемента b этой группы, т.е. ea  e1 .
Аналогично можно доказать, что левый нейтральный элемент для элемента a
будет левым нейтральным элементом e2 для любого элемента b группы A.
Но тогда e2 fe1  e1 (т.е. e2 - левый нейтральный) , e2 fe1  e2 (т.е. e1 - правый
нейтральный).
Следовательно, в группе A есть нейтральный элемент e  e1  e2 .
Следствие 2. В группе A относительно операции f для каждого элемента есть
симметричный ему элемент.
Доказательство. Возьмем a  A . Покажем, что для этого элемента существует
симметричный элемент a , т.е. такой элемент, что a fa  afa   e .
Действительно, решая уравнение afx  e , мы найдем однозначно a1 . Решая
уравнение yfa  e , мы однозначно найдем a 2 . Т.е. для элемента a существуют
элементы a1 и a 2 такие, что afa1  e и a2 fa  e . Рассмотрим композицию a2 fafa1 . В
силу
ассоциативности
операции
f
мы
будем
иметь:











a2 fa fa1  efa1  a1  a2 f afa1   a2 fe  a2 , т.е. a1  a2  a .
Итак, для любого элемента a из группы A существует симметричный элемент.
3.2.3 Эквивалентность определений группы
Мыдали два определения группы. Сравнивая эти определения, приходим к
следующему выводу:
1. В обоих определениях группы первые две аксиомы – общие.
2. Третья и четвертая аксиомы первого определения группы являются
следствиями, вытекающими из аксиом второго определения группы.
3. Третья и четвертая аксиомы второго определения группы являются
следствиями, вытекающими из аксиом первого определения группы.
Эти факты означают, что принятые нами определения группы есть определения
эквивалентные между собой.
Поэтому мы можем пользоваться любым из двух, принятых нами, определений
группы. Теория групп, построенная на основе первого определения группы,
совпадают с теорией групп, построенной на основе второго определения группы. В
связи с этим, решая задачи теории групп, можно пользоваться тем определением,
которое в данном случае окажется более выгодным.
Примеры.
1. На множестве A всех векторов, как направленных отрезков, расположенных в
пространстве, определено векторное умножение. Множество A относительно
векторного умножения не является группой, т.к. уравнение a  x  a при a  0 в A не
имеет решений.
При решении указанной задачи мы использовали второе определение группы.
2. Рассмотрим множество A всех корней n-ой степени из 1. Будет ли A
мультипликативной группой относительно обычного умножения комплексных чисел?
Для решения этой задачи применим первое определение группы. Сначала напомним,
26
что корнем n-ой степени из 1 называется такое комплексное число t , что t n  1 .
Заметим, t  0 , т.к. 0 n  1 .
Проверим выполнимость аксиомы первого определения группы.
1. Алгебраичность. Пусть t1  A и t 2  A . Значит, t1n  1 и t 2n  1 . Найдем t1  t 2 и
проверим, будет ли t1  t 2  A . Для этого возведем t1  t 2 в степень n: t1  t 2 n  t1n  t 2n по
свойству умножении комплексных чисел. Тогда t1  t 2 n  1  1  1, т.е. t1  t 2  A .
Следовательно умножение на A алгебраично.
2. Ассоциативность. Множество A есть непустое подмножество множества C
комплексных чисел. На C умножение ассоциативно, следовательно оно ассоциативно
и на любом непустом подмножестве множества C, в частности на множестве A.
Действительно, предположим, что это не так. Т.е. в множестве A найдется по
крайней мере одна тройка элементов a, b, c, которая не удовлетворяет тождеству
ассоциативности  X  Y   Z  X  Y  Z  , т.е. abc  abc . Но a, b, c,  C , т.е. тождество
ассоциативности в точке a, b, c не удовлетворяется в C. Другими словами,
умножение в C не является ассоциативным, что противоречит известным фактам из
теории комплексных чисел. Итак, умножение на A ассоциативно.
3. В A существует единица. Ей является комплексное число e  1.
Действительно, нейтральным элементом по умножению в C является число e  1 . Это
число попадает в множество A, так как e n  1n  1 , т.е. e является корнем n-ой степени
из 1.
4. Для каждого элемента t  A существует t 1 . Действительно, t – комплексное
число, т.е. t  C и t  0 . В C для любого отличного от нуля числа t существует t 1 .
Будет ли это число t 1 лежать в множестве A? Ответ положителен, так как
t 1 n  t n 1  11  1 . Другими словами, в множестве A всякий элемент обладает
обратным, т.е. операция умножения на A симметризуема.
Итак, умножение на множестве A всех корней n-ой степени из 1 удовлетворяет
всем аксиомам группы (первое определение).
Заметим, что эта группа коммутативная.
3.2.4 Мультипликативная группа S n подстановок n элементов
Особую роль в теории групп и ее приложениях играет мультипликативная
группа подстановок множества длины n, обозначаемая символом S n .
Рассмотрим построение группы S n .
Напомним, что множество подстановок n элементов состоит из n! подстановок.
Две подстановки называются равными, если они представляют собой один и тот же
закон взаимно однозначного отображения.
Введем понятие произведения двух подстановок.
Определение. Произведением двух подстановок n элементов называется
результат их последовательного выполнения.
В итоге возникает правило умножения двух подстановок. Пусть x, y, z –
некоторые перестановки множества A, состоящего из n элементов.
 x
 y
 x  y
 x
Пусть     ,     - подстановки множества A. Тогда             .
 y  z   z
 y
z
1 2 3 4 
1 2 3 4 
 ,   
 .
Например,   
 4 1 2 3
 2 4 1 3
27
 1 2 3 4  1 2 3 4 
1 2 3 4 
  
  
 .
    
 4 1 2 3   2 4 1 3   3 2 4 1
Проверим выполнимость аксиом группы, пользуясь первым определением
группы, относительно введенной операции умножения подстановок.
1. Умножение подстановок алгебраично.
 x
 y
Действительно, если     ,     подстановки, то x, y, z –перестановки
 y
z
некоторого множества A, подстановки которого мы рассматриваем.
 x
Тогда     - тоже подстановка. Значит,      - подстановка, т.е. умножение
z
подстановок операции алгебраическая.
2. Умножение подстановок операция ассоциативная.
Рассмотрим выполнимость тождества ассоциативности  X  Y   Z  X  Y  Z  ,
 x
 y
когда X приняло значение     . Y приняло значение     , Z приняло значение
 y
z
 z
    .
t 
Тогда мы установим истинность равенства              :
 x  y
 x
1)             ,
 y  z   z
 x  z
 x
2)                ,
t  t  t 
 y  z  y
3)             ,
 z t   t 
 x  y
 x
4)                ,
 y  t   t 
             - истинное равенство.
Итак, умножение подстановок – операция ассоциативная.
3. Установим наличие нейтрального элемента в множестве подстановок n
элементов.
 x
В множестве Sn имеется тождественная подстановка e    . Докажем, что она
 x
является нейтральным элементом по умножению в Sn. Действительно, для любой
 x
подстановки     имеем:
 y
 x   x
 x  y
 x
1)   e                  ,
 y  x  y  y  y
 x  x   x 
2) e          
 x  y   y 
3) e    e для любой подстановки   Sn
 x
Итак, e =   нейтральный элемент по умножению в множестве Sn
x
 
28
4. Умножение подстановок – операция симметризуемая.
 x
Покажем, что для любой подстановки     в множестве Sn имеется
 y
-1
-1
-1
подстановка α : α ·α = α·α = e
обратная
 y
В качестве α-1·выступает подстановка     , которая получается из α путём
 x
перемены мест строк.
Действительно:
 x  y   x 
1)            e
 y  x   x 
 y  x   y 
2)           e
 x  y   y 
3) α-1 = 
Итак, операция умножения в Sn симметризуемая.
Все аксиомы группы на множестве Sn выполняются, следовательно, Sn - группа.
Выясним, коммутативная группа Sn или нет.
1
1. Рассмотрим группу S1   . , где     . Умножение в ней явно
1
коммутативное, так как        = 
Вывод: S1 - коммутативная группа.
1 2 
 1 2
 ,  2  
 .
1 2 
 2 1
2. Рассмотрим группу S2 = {α1, α2}, где  1  
Построим таблицу Кэли для этой группы:
Тождество коммутативности XY = YX выполняется для всех
•
α1 α2 значений X и всех значений Y из множества S2:
α1 α1 α2
1 1 = 1 1 , 1  2 =  2 1 ,  2  2 =  2  2 ,  2 1 = 1  2 .
α2 α2 α1
Вывод: S2 - коммутативная группа
1 2 3 
 1 2 3
 ,  2  
 ,
1 2 3 
 2 1 3
3. Рассмотрим группу S2 = {α1, α2, α3, α4, α5, α6}, где 1  
 1 2 3
 1 2 3
1 2 3
1 2 3 
 ,  4  
 ,  5  
 ,  6  
 .
 2 3 1
 3 2 1
 3 1 2
1 3 2 
 3  
•
α1
α2
α3
α4
α5
α6
Построим для группы S2 таблицу Кэли
α1 α2 α3 α4 α 5 α6
Заметим, что
α1 α2 α3 α4 α 5 α6
α2·α3 = α4
α2 α1 α4 α3 α 6 α5
α3·α2 = α6,
α3 α6 α5 α2 α 1 α4
т.е. α3·α2 ≠ α3·α2. Другими словами, тождество
α4 α5 α6 α1 α 2 α3
коммутативности не выполняется при значении X,
α5 α4 α1 α6 α 3 α1
равном α2 и значении Y, равном α3
α6 α3 α2 α5 α 4 α1
Вывод: S3 не является коммутативной группой.
29
4. Если при построении группы Sn для n > 3 мы возьмём подстановки
 1 2 3 ... x ...
 1 2 3 ... x ...
 1 2 3 ... x ...
1 2 3 ... x ...
 , то     
 ,    

 и   
  
 2 3 1 ... x ...
 3 2 1 ... x ...
1 3 2 ... x ...
 2 1 3 ... x ...
Значит α·β ≠ β·α
Другими словами, умножение в Sn при n > 3 некоммутативно.
Вывод:Группа Sn коммутативна при n = 1 и 2.
Группа Sn некоммутативна при n ≥ 3.
3.2.5 Определение конечной группы
Принятые нами определения группы, пригодны, как для групп конечных, так и для групп бесконечных,
так как такая характеристика множества не входила в определения групп. Далее, мы доказали предложение,
справедливое для любой группы, именно:
Если a - элемент групп относительно операции f, то из равенства afx = afy необходимо следует, что x = y.
Однако обратное предложение не всегда остаётся верным. Другими словами: пусть в множестве A
относительно алгебраической ассоциативной операции f из равенства afx = afy для любого элемента a следует,
что x = y. Но при этих условиях множество A не обязательно должно быть группой относительно операции f. В
самом деле, при соблюдении указанных условий, уравнения afx = b и yfa = b, заданные в A, могут оказаться
неразрешимыми в множестве A относительно операции f.
Пример.
В множестве N натуральных чисел определена операция умножения, которая обладает свойствами
алгебраичности и ассоциативности. По этой операции в множестве N всегда справедливо предложение: из ax =
ay следует, что x = y.
Однако, вместе с этим справедливым предложением, остаётся верным и такое предложение: множество
натуральных чисел не является группой по умножению, так как в этом множестве уравнение ax = b не всегда
разрешимо.
Заметим, множество N натуральных чисел – бесконечное, что при рассмотрении данного вопроса,
является существенным фактором. Именно, что означает условие: из afx = afy следует, что x = y? В данном
множестве A по операции f это условие означает, что через эту алгебраическую операцию мы данное множество
взаимно однозначно отображаем на его подмножестве: x ↔ b = afx.
Однако, подмножество элементов b = afx бесконечного множества A не обязательно должно равняться
данному множеству A. Например, A = N, f – обычное умножение натуральных чисел. Зададим отображение: x ↔
b = 2x
В результате этого отображения элемент b заполняет множество чётных чисел 2N. Однако, N ≠ 2N, но
2N  N .
Потому, из взаимно однозначного отображения множества A на его подмножество по закону: x ↔ b = afx,
ещё не следует разрешимость уравнения afx = b в множестве A при любых значениях a и b из этого множества
A, так как элементы b = afx , вообще говоря не могут исчерпать все элементы множества A, когда x пробегают
все значения элементов множества A.
Такое явление для конечного множества, как мы убедимся, невозможно.
Для конечного множества справедлива следующая
Теорема. Если в конечном множестве определена такая алгебраическая операция f, по которой из
равенства afx = afy всегда следует, что x = y, то в этом множестве всегда разрешимо уравнение afx = b и
разрешимо уравнение yfa = b
Доказательство. Пусть в конечном множестве A = {x1, … , xn} определена алгебраическая операция f, по
которой из afx = afy всегда следует x = y, где a - любой элемент множества A. Нам следует доказать, что при
этих условиях в множестве A всегда разрешимо уравнение afx = b.
Для доказательства положим, что a и b – произвольные элементы множества A. Составим равенства:
afx1 = b1,
afx2 = b2,
………..
afxn = bn.
Элементы b1, b2, …, bn  A, так как операция f – алгебраическая. Кроме того, из afxk = afxm следует, что k
= m по условию теоремы. А это означает, что элементы b1, b2, …, bm заполняют всё множество А. Другими
словами, это означает, что мы множество A взаимно однозначно отобразили на себя по формуле: xk ↔ bk = afxk,
k = 1, 2, …, n. Это взаимно однозначное отображение множества A на себя характеризуется подстановкой
 x1 x2 ... xn 

 его элементов, которая и утверждает, что для любых элементов a, bi  A, в множестве A
 b1 b2 ... bn 
существует элемент c = afxi, который является корнем уравнения afx = bi. Другими словами, уравнение afx = b
30
разрешимо всегда в множестве A. Аналогично доказывается, что уравнение yfa = b всегда разрешимо в A. Это
мы предлагаем провести самостоятельно.
Поясним доказательство теоремы хотя бы одним примером.
Пример. Нам дано конечное множество A = {1, –1, i, –i}, на котором определено умножение его
элементов: Из теории комплексных чисел известно, что если число a ≠ 0, то из ax = ay всегда следует, что x = y.
•
1
–1
i
–i
1
1
–1
i
–1
–1
–1
1
–i
i
i
i
–i
–1
1
–i
–i
i
1
–1
Это условие в множестве A выполнимо для любого элемента a.
Следовательно, множество A можно всегда отобразить взаимно однозначно на
себя по формуле: x ↔ b = ax. Тогда, полагая a = 1,-1, i, –i мы получим
подстановки
a = 1:
1  1 i  i 

 , a = – 1:
1  1 i  i 
 1 1 i  i 

 ,
 1 1  i i 
1  1 i  i 
 , a = – i:
a = i: 
 i  i  1 1
 1 1 i  i 

 .
  i i 1  1
В каждой верхней строке стоят значения x, а в нижней строке – значения b при заданном значении a.
Имеем при заданном a  A: какое бы значение b мы не имели найдётся значение x такое, что afx = b.
Другими словами, уравнение afx = b вида разрешимо.
Так как умножение на множество A коммутативно, то мы можем утверждать, что уравнение ya = b тоже
всегда разрешимо.
Из доказанной теоремы вытекает следствие:
Если в непустом конечном множестве A определена ассоциативная алгебраическая операция, по которой
из равенства afx = afy всегда следует, что x = y, то данное множество относительно операции f будет группой.
В самом деле при этих условиях множество A относительно операции f удовлетворяет всем аксиомам
второго определения группы.
Таким образом мы получили необходимое и достаточное условие, при котором конечное множество A
будет группой относительно внутренней бинарной операции f.
Именно: непустое конечное множество A будет группой относительно внутренней бинарной операции f ,
когда
1) эта операция алгебраическая,
2) эта операция ассоциативная,
3) из равенства afx = afy следует x = y при всех значениях a  A.
Ещё раз заметим, что эта теорема для множеств бесконечных места не имеет, как мы показали на
множестве всех натуральных чисел.
Изучение конечных групп представляет собой одну из интереснейших и труднейших
задач современной алгебры.
Замечание: Число элементов конечной группы называется её порядком.
Т.к. группа это множество непустое, то порядок конечной группы является число натуральное.
Утверждение: существует конечная группа любого порядка.
Действительно, группа первого порядка, содержит всего один элемент. С другой стороны, группа
обязана иметь нейтральный элемент. Следовательно, группа первого порядка состоит всего из одного элемента,
являющегося нейтральным элементом относительно групповой операции. Эту группу часто обозначают E = {e}
Пусть n – натуральное число большее 1.
Из теории комплексных чисел известно, что корней n-ой из комплексного числа z ≠ 0 ровно n штук.
Если z = 1, то множество корней n-ой степени из 1 ровно n штук и относительно операции умножения это
множество представляет группу. Другими словами, существует группа любого наперёд заданного порядка,
большего или равного 2.
3.3
Понятие кольца.
Простейшие свойства элементов кольца
Все множества с внутренними бинарными операциями разбиваются на два класса. Именно:
1) Класс множеств с одной алгебраической операцией. К этому классу относятся группы.
2) Класс множеств с двумя алгебраическими операциями. К этому классу относятся кольца и поля, к
изучению которых мы приступаем. При этом одну из двух рассматриваемых операций принято называть
сложением, а вторую – умножением. Напомним, что нейтральный элемент по сложению называют нулём, а
нейтральный элемент по умножению называют единицей.
31
3.3.1
Определение кольца. Виды колец
Определение. Непустое множество M называют кольцом, если оно удовлетворяет следующим
требованиям:
1. Для элементов этого множества введено отношение равенства.
2. На этом множестве определена внутренняя бинарная операция, называемая сложением, обладающая
следующими свойствами:
1)
сложение – операция алгебраическая,
2)
сложение – операция коммутативная,
3)
сложение – операция ассоциативная,
4)
относительно неё в множестве M существует нейтральный элемент – «нуль», обозначенный
символом Ō,
5)
сложение – операция симметризуемая.
3. На этом множестве определена внутренняя бинарная операция, называемая умножением, обладающая
следующими свойствами:
1)
умножение – операция алгебраическая,
2)
умножение – операция ассоциативная,
3)
умножение двояко дистрибутивно относительно сложения.
Замечание. В целом умножение в кольце не обязано быть ассоциативным. Т.к. мы изучаем в общем курсе
математики только кольца с ассоциативным умножением, то требование ассоциативности умножения принято
включать в состав аксиом кольца.
Определение. Кольцо называется коммутативным, если умножение в нём коммутативно. Кольцо
называется некоммутативным, если умножение в нём некоммутативно.
Не всякое кольцо содержит нейтральный элемент (единицу) по умножению.
Кольцо называется кольцом с единицей, если относительно умножения в нём существует нейтральный
элемент (единица). Если же в кольце нейтрального элемента по умножению нет, то кольцо называется кольцом
без единицы.
Примеры колец.
1. Существует кольцо, содержащее лишь один элемент, который неизбежно должен быть нулём. Такое
кольцо называется нулевым кольцом. Это коммутативное кольцо с единицей, роль которой играет ноль.
2. Множество Z всех целых чисел относительно обычных операций сложения и умножения есть
коммутативное кольцо с единицей, роль которой играет целая рациональная единица.
3. Множество 2Z всех чётных целых чисел относительно обычных операций сложения и умножения
есть коммутативное кольцо без единицы.
a b c


4. Множество всех квадратных матриц вида  d u k  с вещественными элементами относительно
 0 0 0


обычных операций сложения и умножения матриц есть некоммутативное кольцо без единицы. Это кольцо
1 0 x


содержит бесконечно много левых единиц, которыми являются матрицы вида  0 1 y  , где x и y – любые
0 0 0


вещественные числа, но не имеет правой единицы.
 a b 0


5. Множество всех квадратных матриц вида  c d 0  с вещественными элементами относительно
 u k 0


обычных операций
есть некоммутативное кольцо без единицы. Это кольцо содержит бесконечно много
 1 0 0


правых единиц, которыми являются матрицы вида  0 1 0  , где x и y – любые вещественные числа, но не
 x y 0


имеют левой единицы.
3.3.2
Основные следствия, вытекающие из определения кольца
Пользуясь теорией групп, мы получаем ряд следствий, вытекающих из определения кольца.
Следствие 1. Все элементы кольца образуют группу по сложению.
Следствие 2. В кольце существует только один ноль.
Следствие 3. Для любого элемента кольца существует только один противоположный элемент.
Следствие 4. При любых a и b из кольца всегда разрешимо и при том однозначно уравнение a + x = b
32
Корень этого уравнения c = b + (-a)
Следствие 5. Всякое числовое кольцо, содержащее элемент, отличный от нуля, есть кольцо
бесконечное.
Следствие 6. Для любого элемента кольца в данном кольце существует последовательность всех
натуральных степеней этого элемента.
Следствие 7. Для любых двух элементов a и b коммутативного кольца с единицей в данном кольце
существует любая натуральная степень суммы этих элементов, которая развёртывается в биноминальную
сумму по форме Ньютона
a  b n  Cn0 a nb 0  Cn1 a n1b1  Cn2 a n2b 2  ...  Cnn a 0b n .


а кольца, вообще
говоря, нельзя рассматривать как произведение числа m на число a, так как целое
число m может и не быть элементом того кольца, которому принадлежит элемент a.
Например, в кольце 2Z всех четных целых чисел выражение 5·2 нельзя
рассматривать как произведение элементов этого кольца, т.к число 5 не входит в
кольцо 2Z. В этом примере выражение 5·2 следует рассматривать как краткую запись

2
2 . В общем для элемента a кольца M выражение ma определяется
суммы 22
2
Замечание. Следует заметить, что целую рациональную кратность ma элемента
5 раз
следующим образом:
0, если m  0;

a, если m  1;
 a, если m  1;

ma  
a
a  ...
 a , если m  2;


m раз

a)  (a)  ...  (a) , если m  2.
(


m раз
3.3.3 Простейшие свойства элементов кольца
Пусть мы имеем кольцо М с нулём , обозначенное символом 0. Для элементов
кольца справедливы следующие утверждения:
Утверждение 1. 0a = a0 при любом aM.
Докажем, что 0a = 0.
Действительно, a0 = (0 + 0) a = 0a + 0a = 0a + 0 по свойству нейтрального
элемента относительно сложения.
Обозначим элемент 0·a через α. Тогда мы имеем: a + a = a + 0
Т.к. все элементы кольца по сложению - группа, то отсюда следует, что a = 0, т.е.
0a = 0.
Аналогично можно доказать, что a0 = 0.
Утверждение 2. Для любых элементов a и b кольца М (– a)b = a (– b) = – (ab)
Читаем: произведение элемента, противоположного а, и элемента b равно
произведению элемента a на элемент противоположный b, равно элементу
противоположному к произведению элементов a и b.
Докажем, что (– a)b = – (ab).
Итак нам надо доказать, что элемент, противоположный к произведению ab есть
элемент (– a)b, т.е. что ab + (– a)b = 0.
Действительно, ab + (– a)b = (a + (– a))b = 0b = 0.
Аналогично доказывается, что a(– b) = – (ab).
Утверждение 3. Для любых элементов a и b кольца M (– a) (– b) = ab
33
Читаем: произведение элементов, противоположных к элементам a и b равно
произведению элементов a и b.
Так как в кольце у каждого элемента противоположный элемент определен
однозначно, то если элемент  и  равны, то и их противоположные элементы -  и
-  тоже равны. Покажем, что элемент противоположный к (-a)(-b) есть элемент
 (ab) , т.е. (– a)(– b) + (– (ab)) = 0.
Действительно, (– a)(– b) + (– (ab)) = (–a)(– b) + (–a)b = – a(– b + b) = – a0 = 0.
Значит, (– a)(– b) = ab.
3.3.4 Делитель нуля в кольце
Для всякого кольца остаётся справедливым следующие утверждение:
Теорема: Если один из сомножителей произведения равен нулю, то это
произведение равно нулю.
В кольцах, составленных из вещественных или комплексных чисел, остаётся
справедливой и обратная
Теорема. Если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы один из
сомножителей должен равняться нулю.
Однако существуют нечисловые кольца, для которых эта теорема перестаёт быть
верной.
ПРИМЕР. Пусть нам дано произвольное числовое кольцо A. Тогда мы можем
рассматривать множество М упорядоченных пар (a, b), элементами которых являются
числа из кольца А.
Положим что пара   (a1, b1 ) равна паре   (a2 , b2 ) тогда и только тогда, когда
a1  a2 ,

b1  b2 .
и     (a1  a2 , b1b2 ) и     (a1  a2 , b1  b2 ) . Проверив выполнимость всех
аксиом кольца, мы убедимся, что М – кольцо, где пара (0, 0)  0 играет роль нуля,
e = (1, 1) - роль единицы.
Конечно, в кольце М справедливо равенство: (0, 0)(a, b) = (a, b)(0, 0) = (0, 0).
Однако в кольце М существуют такие элементы, отличные от 0 , произведение
которых равно нулю.
Например, (2;0)  (0;3)  (0;0) .
Итак, существуют также кольца, в которых произведение элементов может
равняться нулю и тогда, когда ни один из его сомножителей не равен нулю.
В связи с этим введены следующие определения.
Определение. Пусть a отличный от нуля элемент кольца М. Если в М существует
такой отличный от нуля элемент b что ab = 0, то а называют левым делителем нуля в
кольце М.
Например, в кольце квадратных матриц 2-го порядка с вещественными
1 0 
 является левым делителем нуля. Действительно,
элементами матрица à  
 0 0
1

0

0 0 0 0 0 


.
0   0 1   0 0 
34
Определение. Пусть a – отличный от нуля элемент кольца М . Если в М
существует такой отличный от нуля элемент b , что ba = 0, то а называют правым
делителем в кольце М.
Например, в кольце квадратных матриц 2го порядка с вещественными
элементами
матрица
0
a
0

0

1
является
правым
делителем
нуля,
т.к.
1 0   0 0   0 0 



.
0 0  0 1  0 0

 
 

Элемент а кольца М может быть левым делителем нуля, но не быть правым
делителем нуля, может быть правым делителем нуля, но не быть левым делителем
нуля, может быть и левым делителем нуля, и правым делителем нуля.
Определение. Если элемент a кольца М является в этом кольце и левым
делителем нуля и правым делителем нуля, то он называется просто делителем нуля в
кольце М.
1 0 
Например, матрица а    является и левым делителем нуля, и правым
 0 0
делителем нуля в кольце квадратных матриц 2-го порядка с вещественными
1 0   0 0   0 0 
 0 1  1 0   0 0 


 и 


.
  0 1  0 0
0 1  0 0 0 0
0
0

 
 


 
 

элементами. Действительно, 
Конечно, в коммутативных кольцах понятия левого и правого делителя нуля
совпадают между собой. На основании принятого определения, все кольца
разделяются на 2 типа:
1. Кольца без делителей нуля,
2. Кольца с делителями нуля.
Определение. Кольцо без делителей нуля называется кольцом целостности.
Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности.
Заметим, что все числовые кольца, отличные от нулевого кольца являются
областями целостности.
В кольце с единицей к данным элементам могут существовать правые и левые
обратные элементы. Именно, для элемента a кольца М с единицей e может
существовать такой элемент a11 , что a11  a  e . Элемент a11 принято называть левым
обратным к элементу a . Но может существовать и элемент a 21 такой, что a  a 21  e
(правый обратный элемент), и a11  a 21 . Вообще для элемента a может существовать
левый обратный и не существовать правый обратный и наоборот.
В кольце с единицей могут существовать правые и левые обратные элементы к
данным элементам кольца. Вместе с этим, кольцо с единицей может иметь делители
нуля. Для таких колец справедлива следующая теорема.
Теорема. В ненулевом кольце с единицей нет левого обратного элемента для
левого делителя нуля и нет правого обратного элемента для правого делителя нуля
для данного кольца.
Доказательство. Пусть a - левый делитель нуля в кольце М с единицей e .
Значит, в кольце М можно подобрать такой элемент b , отличный от нуля, что ab = 0.
Предположим, что для элемента a в кольце М существует левый обратный элемент c
, т.е такой элемент, что ca = e. Умножим последнее равенство справа на элемент b:
(ca)b = eb, c(ab) = 0, c0 = b, 0 = b, что противоречит с выбором элемента b . Значит
35
наше предположение о том, что для элемента a существует левый обратный элемент,
неверно. Аналогично мы можем доказать, что если a - правый делитель нуля в кольце
М, то для него не существует правого обратного элемента. Верно и обратное
утверждение.
Теорема. В ненулевом кольце с единицей обратный слева элемент не может
быть левым делителем нуля, обратный справа элемент не может быть правым
делителем нуля.
Доказательство. Пусть элемент a обратим слева в кольце М с единицей e , т.е.
для него существует такой элемент a11 , что a11  a  e . Предположим, что a - левый
делитель нуля, т.е. для элемента a  0 существует b  0 такой, что a  b  0 . Умножим
это равенство слева на a11: a11  (a  b)  a11  0; (a11  a)  b  0; e  b  0; b  0 , что
противоречит с выбором b .
Аналогично доказывается факт, что обратимый справа элемент не может быть
правым делителем нуля.
3.3.5 Кольцо классов вычетов по mod m
В современной алгебре и особенно в специальных её приложениях играют
особо важную роль конечные кольца, в частности так называемые кольца классов
вычетов по mod m .
Мы ранее рассматривали построение множеств Z m классов вычетов по mod m ,
где m натуральное число большее 1.
Пусть Zm={0, 1, 2,…, m-1}.
Напомним, 0 - это множество (класс) целых чисел, при делении которого на m в
остатке получается 0. Таких чисел бесконечно много, 1 – множество целых чисел, при
делении которых на m в остатке получается 1. таких чисел тоже бесконечно много.
Последний класс m  1 - множество целых чисел при делении которых на m в остатке
получается m  1 . Это тоже бесконечное множество целых чисел. Символ Cla
означает, что число a принадлежит данному классу.
Введем следующие определения
1. Cla = Clb тогда и только тогда, когда a и b имеют один и тот же остаток при
делении на m
2. Cla + Clb = Cla+b. Суммой классов с представителями a и b является тот класс,
где находится число a + b.
3. Cla  Clb = Clab. Произведением классов с представителями a и b является тот
класс, где находится число ab.
Например, в Z6 имеем: Cl2 + Cl8 = Cl4, Cl2  Cl8 = Cl4.
Действительно, 2 + 8 = 10 при делении на 6 имеем остаток 4, 2·8 = 16 при
делении на 6 имеем остаток 4.
Докажем, во-первых, что сложение и умножение классов не зависит от выбора
представителей.
Пусть a1  Cla т.е. числа a1 и a при делении на m имеют один и тот же остаток r1
т.е. целое число 0  r1  m , причём a  m  q  r1 и a1  mq1  r1 . Пусть b1  Clb , т.е. числа
b1 и b при делении на m имеют один и тот же остаток r2 т.е. целое число 0  r2  m ,
причем b  m  t  r2 и b  m  t1  r2 Cla  Clb  Cla b , Cla1  Clb1  Cla1  Clb1 .Левые
части равенств одинаковые. Будут ли одинаковыми правые части, т.е будут ли
Clab è Cla1 b1 равными? Они будут одинаковыми, если числа a + b и a1 + b1 будут
36
иметь при делении на m один и тот же остаток, т.е. a + b = ms + r b a1 + b1 = ml + r,
где 0 ≤ r < m. А это возможно только тогда, когда разность чисел a + b и a1 + b1 будет
делиться на m , т.е. когда (a + b) – (a1 + b1) будет делиться на m .
Найдём
(a + b) – (a1 + b1) = (a1 – a1) + (b – b1) = mq + r1 – mq1 – r1 + mt + r2 – mt1 – r2 = mq
– mq1 + mt – mt1 = m(q – q1 + t – t1) = mk, где k = q – q1 + t – t1  Z.
По определению делимости целых чисел имеем: число (a  b)  (a1  b1 ) делится
на m . Следовательно, Cla  Clb  Cla1  Clb1 . Другими словами, сложение классов
не зависит от выбора представителей слагаемых классов.
Аналогично можно доказать, что умножение классов не зависит от выбора
представителей.
Проверим выполнимость аксиом кольца на множителе Zm относительно
введенных операций сложения и умножения классов.
1. Алгебраичность сложения. Так как каждое целое число при делении на
m  N , m  1 , обязано иметь однозначно определённый остаток, то каждое целое
число обязано находиться по mod m в каком-то классе, определённом однозначно.
Поэтому Cla  Clb  Cla b обязан существовать в Zm.
2. Алгебраичность умножения. По той же причине Cla  Clb  Clab обязан
существовать в Zm.
3. Сложение
коммутативно.
Действительно,
Cla  Clb  Clab
и
Clb  Cla  Clba , Cl a b  Clb  a , так как a + b = b + a, как сумма целых чисел.
4. Умножение
коммутативно.
Действительно,
Cla  Clb  Clab ,
Clb  Cla  Clba , Cl ab  Clba так как ab = ba как произведение целых чисел.
5. Сложение ассоциативно. Действительно, (Cl a  Clb )  Clc  Cl( a b )  c ,
Cl a (clb  Clc )  Cl a  ( b  c ) , (Cl( ab )c  Cla(bc ) , так как (a + b) + c = a + (b + c) по
свойству ассоциативности сложения целых чисел.
6. Умножение
ассоциативно.
Действительно
(Cla  Clb )  Clc  Cl( ab )c ,
Cl a  (Clb  Clc )  Cl a( bc ) , Cl( ab)c  Cl a( bc) , т.к. (ab)·c = a·(bc) по свойству
ассоциативности умножения целых чисел.
7. Умножение дистрибутивно относительно сложения. Действительно
(Cla  Clb )  Clc  Cla  Clc  Clb  Clc . Доказательство аналогично предыдущим.
8. Относительно сложения в Zm имеется нейтральный элемент (ноль). Это Cl0 .
Действительно, Cl0  Cla  Cl0 a  Cla для любого Cla  Z m .
9. Относительно умножения в Zm имеется нейтральный элемент (единица). Это
Cl1 . Действительно, Cl1  Cla  Cl1a  Cla для любого Cla  Z m .
10. Операция сложения в Zm симметризуема. Действительно, для любого Cla  Z n
существует противоположный класс  Cla  Cla , так как Cla  Cla  Cla (  a )  Cl0 .
Итак, мы можем сказать , что Zm есть коммутативное кольцо с единицей, в
котором содержится m элементов (классов).
37
Чтобы задать кольцо Zm достаточно построить таблицы Кэли относительно
операций сложения и умножения.
Примеры:
1.Построить кольцо Z5
Z5 = {1, 2, 3, 4, 5}
38
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3

0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
1
4
0
4
3
2
1
1) По таблицам можно найти -2 = 3, -4 = 1, -0 = 0, 11  1 , 2 1  3 , 3 1  2 ,
4 1  4 .
2) Пользуясь таблицами можно решить уравнения:
2х = 3, х = 4, 3х + 2 = 0, 3х = –2, 3х = 3, х = 1.
3) Используя таблицы можно найти определитель матрицы
элементами из Z5:
1 2


 3 4
с
1 2
=4–6=4–1=3
3 4
 2 3
 над
4) Используя таблицы можно выяснить, обратима ли матрица A  
 0 1
Z5.
Известно, что матрица A обратима тогда и только тогда, когда обратим её
определитель.
det A = 2, 2 1  3 , т.е. класс обратный к детерминанту det A существует.
Следовательно матрица A обратима.
5) Делаем заключение, что кольцо Z5 не имеет делителей нуля, т.е. является
областью целостности.
1. Построим кольцо Z6.
Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
+
0
1
2
3
4
5

0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
3
4
5
0
1
0
1
2
3
4
5
2
2
3
4
5
0
1
2
0
2
4
0
2
4
3
3
4
5
0
1
2
3
0
3
0
3
0
3
4
4
5
0
1
2
3
4
0
4
2
0
4
2
5
5
0
1
2
3
4
5
0
5
4
3
2
1
39
1) По таблицам находим: -0 = 0, -1 = 5, -2 = 4, -3 = 3, -4 = 2, -5 = 1, 11  1 , 2 1
- не существует, 3 1 - не существует, 4 1 - не существует, 5 1  5 .
2) В кольце Z6 есть делители нуля: 2, 3, 4.
3) Пользуясь таблицами, решим уравнения:
2х = 4, x1  2, x 2  5 ;
3х = 4, решений нет;
5х = 3, x1  3 .
4)
1
3
Для матрицы 
2
1 2

найдем
определитель:
= 4 - 6 = -2 = 4
4
3 4

1 2
1 2
 ; det 
 = -6 = 0, значит,
Выясним обратима ли матрица 
3 0
3 0
матрица не обратима
5)
1
Выясним обратима ли матрица 
3
необратим в Z6, значит и матрица необратима.
6)
3.4
2
 ; det
4

1 2
3 4
= 4. Класс 4
Понятие поля. Поля классов вычетов
Особый тип колец с единицей представляют собой поля. При этом ноль
кольца и его единица предполагаются различными. Другими словами, в поле
должно быть по крайней мере два элемента.
Определение. Полем называется кольцо
1) коммутативное,
2) с единицей,
3) каждый, отличный от нуля элемент которого обратим.
Из определения следует, что всякое поле должно быть кольцом, но не всякое
кольцо обязано быть полем.
Примеры полей:
1. Поле рациональных чисел.
2. Поле вещественных чисел.
3. Поле комплексных чисел
4. Поле Z5.
Для поля всегда справедливы следующие утверждения:
1. В поле всегда разрешимы уравнения
ax = b, где a ≠ 0;
ya = b, где a ≠ 0, причем однозначно.
2. Если из поля Р исключить ноль, т.е. рассмотреть множество Q  P \ 0 , то
относительно перенесённых на это множество операций умножение из поля Р,
множество Q представляет собой мультипликативную группу.
3. В поле нет делителей нуля.
4. Все числовые поля – бесконечные множества.
Исходя из свойств поля можно принять другое определение поля: полем
называется множество, содержащее по крайней мере два элемента, на котором
определено отношение равенства элементов, которые являются абелевой
аддиктивной группой и все элементы которого без нулевого элемента, образуют
мультипликативную группу.
40
Особую роль в современных приложениях алгебры в частности дискретной
математике, играют поля классов вычетов, где модуль a ≠ 0.
Заметим, кольцо Zm будет полем тогда и только тогда, когда m число простое.
Значит, полями будут Z2, Z3, Z5, Z7, Z11, Z13 и т.д. Это конечные поля.
В этих полях при решении задач можно пользоваться многими методами,
сформулированными и обоснованными при решении аналогичных задач в поле
вещественных чисел.
Например, при решении систем линейных уравнений можно пользоваться
методом Гаусса, методом Крамера, матричным методом. При исследовании
системы линейных уравнений можно пользоваться теоремой Кронекера – Копелли,
так как теорема о ранге матриц справедлива и для матриц заданных над полем Zp,
где p - простое число.
Приведем примеры решения одной из перечисленных задач.
2 x  3 y  1
в поле Z7, используя метод Крамера.
x  5 y  0
1. Решить систему 
1).
 2 3
 ,
Найдем основную и две дополнительные матрицы системы: A  
 1 5
 1 3
 2 1
 , A2  
 .
A1  
 0 5
 1 0
2).
Найдем определители найденных матриц
  det A 
2 3
 33  0,
1 5
1  det A1 
1 3
5,
0 5
 2  det A2 
2 1
 2 .
1 0
3)
Вывод: система решений не имеет, так как определитель основной
матрицы равен нулю, а среди определителей дополнительных матриц есть
отличные от нуля.
2. Исследовать систему:
 x1  2 x2  x3  2 x4  1

2 x1  x2  x3  2 x4  2
 x  x  2 x  x  2 в Z3
3
4
 1 2
Найдем ранг обыкновенной матрицы системы:
 1 2 1 2  0 0 1 0  0 0 1  0 0 1

 
 
 

A   2 1 1 2    1 2 1 0    1 1 1    0 1 0 , rang A = 3, так
 1 1 2 1   2 0 2 0  2 0 2  1 0 0

 
 
 

1).
0 0 1
как 0 1 0  0 .
1 0 0
2).
Найдем ранг расширенной матрицы системы:
41
 1 2 1 2 1   0 0 1

 

B   2 1 1 2 2    0 1 0 ...  rang A = 3, так как ранг расширенной
 1 1 2 1 2  1 0 0 

 

матрицы может быть только либо равен рангу обыкновенной матрицы, либо быть
больше его на 1, а четырем ранг матрицы В не может равняться, т.к. в матрице B
всего три строки. rangB  rangA  3 < числа неизвестных.
Следовательно, система совместная, но неопределенная.
Так как поле, в котором задана система – конечное, то и решений эта система
имеет конечное число, больше или равное 2. Найдем все решения этой системы.
Для этого применим метод Гаусса:
 x1  2 x2  x3

2 x1  x2  x3
x  x  2x
3
 1 2
1 2 1 1

2 1 1 2
1 1 2 2

 1  x4
 2  x4
 2  2 x4
1 1 2 1 1 1 1
 
 
1   0 0 2 0 2   0
2   0 2 1 1 1   0
 x1  0  0  x 4
 x1  0  0  x 4


2 2 x  1  0  x 4 ;  x 2  2  0  x 4
x  0  x
x  0  x
4
4
 3
 3
  0  0  0 
0
 
     
  2  2  2 
 2
u    , c  Z3 U     ,   ,   
c
  0  1   2 
 
c 
  0   1   2  
 
системы.
42
2 1 1 1  1 2 0 1 0   1 0 0 0 0 
 
 

0 1 0 1   0 0 1 0 1    0 0 1 0 1  ;
2 1 1 1  0 2 0 1 0   0 2 0 1 0 
– множество решений заданной
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение хотелось бы привести слова У. У. Сайера, который пишет:
«Стремительное развитие алгебры, как и любой другой ветви математики и
естествознания, можно сравнить с буйным ростом тропического леса, сквозь
который трудно пробраться. Конечно, познать всё невозможно, однако каждый
специалист станет уверять Вас, что вы должны знать именно ту часть алгебры,
которая ему кажется наиболее интересной. Ученый пользующийся математикой в
своих исследованиях, должен отчетливо сознавать, что в математике будет сделано
ещё очень много новых открытий, не имеющих никакого отношения к его
собственным исследованиям, тем не менее он не должен пропустить того
маленького открытия, которое может оказаться решающим для его работы.»
(Математика в современном мире. Издательство «Мир», М., 1967. У.У. Сайер.
Алгебра.)
43
Вопросы и упражнения
Вопросы и упражнения
1. Привести примеры множеств:
а) конечных,
б) бесконечных,
в) пустых.
2. Что значит «задать множество». Какими способами это можно сделать?
3. Что такое «подмножество данного множества»? Привести пример.
4. Существует ли хотя бы одно множество, не имеющее ни одного подмножества?
5. Какие действия можно производить над множествами? Дать их определения.
6. Что такое «декартовое произведение двух множеств»? Привести пример.
7. Дать определения бинарного соответствия и бинарного отношения на множестве. Привести
примеры бинарных отношений.
8. Какое бинарное отношение называется эквивалентностью? Привести примеры бинарных
отношений.
9. Что такое «разбиение на данном множестве»?
10. Как связаны между собой разбиения и эквивалентности на данном множестве?
11. Как связаны между собой разбиения и эквивалентности на данном множестве?
12. Что такое «отображение из одного множества в другое»? Привести пример.
13. Какие виды отображений различают? Дать их определения и привести примеры.
14. Как связаны между собой длина множества и количество перестановок этого множества и
количество перестановок этого множества и количество подстановок этого множества?
15. Как перемножают подстановки? Какими свойствами обладает это умножение? Какие имеются
специальные подстановки?
16. Дать определение делимости целого числа a на целое число в. Какими свойствами обладает
отношение делимости на  ? Является ли оно эквивалентностью?
17. Как читается теорема о делении с остатком на множестве целых чисел?
18. Как построить разбиение множества  по данному mod m , где m - натуральное число:
а) с помощью отношения сравнимости по mod m ,
б) с помощью равноостаточности при делении целых чисел по mod m .
Как связаны между собой полученные разбиения?
19. Что такое «внутренняя бинарная операция на данном непустом множестве? Привести пример.
20. Каким образом можно задать внутреннюю бинарную операцию на данном множестве?
Привести примеры.
21. Какими свойствами может обладать внутренняя бинарная операция:
а) алгебраичность,
б) коммутативность,
в) ассоциативность,
г) дистрибутивность относительно второй внутренней бинарной операции.
Дать определения и привести примеры.
22. Какие специальныеи элементы может
относительно данной внутренней бинарной операции:
а) нейтральный элемент,
б) симметричный элемент к данному элементу,
в) симметризуемый элемент.
Дать определение и привести примеры.
23. Какой элемент множества называется:
а) нулем,
б) единицей,
в) противоположным к данному элементу,
г) обратным к данному элементу,
содержать
д) обратным элементом.
Дать определение, указать обозначения, привести примеры.
24. Дать 2 определения группы. Какая между ними взаимосвязь?
25. Привести примеры групп
a) числовых
b) нечисловых.
44
множество
26. Сколько нейтральных элементов может быть в группе?
27. Сколько симметричных элементов может быть у данного элемента группы?
28. Может ли в группе иметься хотя бы один несимметричный элемент?
29.Существуют ли некоммутативные группы? Привести пример.
30. Какие группы называют конечными? Привести пример конечной группы.
31. Дать определение кольца. Привести примеры
а) числовых колец,
б) нечисловых колец.
32. какие типы колец Вам известны? Привести примеры.
33. Можно ли сказать, что в любом кольце
x  0
? Почему?
x  y 0  
y

0

34. Какие элементы в кольце называются делителями нуля? Привести примеры.
35. В любом ли кольце есть делители нуля?
36. Какие простейшие свойства есть у элементов кольца?
37. Какая алгебраическая структура называется полем? Какая взаимосвязь между понятиями
«кольцо» и «поле»? Привести примеры.
38. Имеются ли в поле делители нуля?
39. Какие кольца, поля называются конечными? Привести примеры.
40. Если поле имеет пять элементов, то сколько решений максимально может иметь уравнение с
темя неизвестными?
41. Определить какие из операций f являются алгебраическими на
следующих множествах A, какие из алгебраических операций коммутативны,
ассоциативны?
1) A = 2N = {x | xN, x = 2n, nN}
а) f сложение натуральных чисел,
б) f умножение натуральных чисел.
2) A = {x | xN, x = 2n+1, nN}
а) f сложение натуральных чисел,
б) f умножение натуральных чисел.
3) A = R – {0}
а) f сложение вещественных чисел,
б) f умножение вещественных чисел.
4) A = R – Q
а) f сложение вещественных чисел,
б) f умножение вещественных чисел.
5) A = {1}
а) f сложение натуральных чисел,
б) f умножение натуральных чисел.
6) A = {0, 1}
а) f сложение целых чисел,
б) f умножение целых чисел.
42. Укажите какие из следующих операций f являются алгебраическими на
множестве A = {x | xR, x > 0}, какие из алгебраических операций коммутативны,
ассоциативны?
1) afb =
ab
,
2
2) afb = a + b – 1,
3) afb = ab2,
4) afb = ab,
5) afb = ab ,
6) afb = loga b,
45
7) afb = max {a, b},
8) afb = | a – b|.
43. Доказать, что операция f на множестве N алгебраическая и ассоциативна,
если:
1) afb = НОД (a, b),
2) afb = НОК (a, b),
3) afb = min {a, b},
4) afb = a,
5) afb = 1.
44. Указать, какие из следующих множеств относительно указанных операций
f являются группами.
1) A  x x  2n , n  Z , f – обычное умножение.
2) A  x x  2n , n   2, 1, 0,1, 2, f – обычное умножение.

4) A  x

 0, f – обычное умножение.
3) A  x a  b 3, a, b  Z , a 2  b2  0 , f – обычное умножение.
a  b 3, a, b  Q, a 2  b 2
5) A = Q{0}, f – обычное умножение.
6) A = {x | xQ, x > 0}, f – обычное умножение.
7) A = 2Z, f – обычное умножение.
a
8)  x x  k , a  Z , k  N  , f – обычное умножение.

7

45.Доказать что каждое из следующих множеств с заданной операцией f (с
помощью таблицы Кэли), является группой:
1. A  e, a
2. A  e, a, b
f
e
a
f
e
a
b
e
e
a
e
e
a
b
a
a
e
a
a
e
b
e
a
b
b
46. Доказать, что каждое из следующих числовых множеств с обычным
сложением и умножением является кольцом (полем).
1) Z ,
2) 2 Z ,
3) Q ,
4) A  x x  a  b 3, a, b  Z ;

5) A  x
x  ab

3, a, b  Q.
47. Доказать, что множество a  Z  Z со следующими операциями сложения и
умножения является коммутативным кольцом с единицей:
1)
2)
(ai ; bi )  (a 2 ; b2 )  (a1  a 2 ; b1  b2 ),
(ai ; bi )  (a 2 ; b2 )  (a1  a 2 ; b1  b2 ),
(a1 ; b1 )  (a 2 ; b2 )  (a1  a 2 ; b1  b2 ),
(ai ; bi )  (a 2 ; b2 )  (ai  a 2  b1  b2 ; a1  b2  a 2  b1 ).
,
Указать в каждом из этих колец обратимые элементы. В кольце с делителем
нуля найти все делители нуля.
48. Выписать все перестановки 1) трёх элементов, 2) четырёх элементов.
46
49. Найти число инверсий в следующей перестановке и указать четность
перестановки:
2, 4, 6,…, 2n, 1, 3, 5,…, 2n-1.
50. Найти произведение подстановок:
 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
  
 ,
 4 5 1 3 2  3 5 2 1 4
1 2 3 4 5 6  1 2 3 4 5 6 

,
2) 
 6 5 4 3 2 1  5 6 2 3 1 2 

 

1) 
2
3
 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
  
 .
3) 
 2 1 4 3 6 5  5 6 4 3 1 2
51. Найти подстановку Х, если
1 2 3 4 5
1 2
  X  
 3 4 5 1 2
2 4
 1 2 3 4 5 6  1
  
2) X  
 4 3 2 1 6 5  6
1) 
3 4 5
,
5 3 1 
2 3 4 5
5 4 3 1
6
,
2 
1 2 3 4
 1 2 3 4  1 2 3
  X  
  
 3 1 4 2
 4 1 2 3  4 3 1
3) 
4
.
2 
52. Найти частные и остатки при делении на 7 следующих чисел:
3,.5, 10, 35, 100, 0, -1, -7, -12, -50.
53. Найти частное и остатки при делении на -8 следующих чисел:
4, 6, 11, 32, 99, 0, -2, -15, -35.
54. Построить кольца Z10 , Z12 , Z13 , Z15 , Z17 . Указать в них:
1) для каждого элемента противоположный элемент;
2) указать все обратимые элементы и для каждого из них обратный элемент;
3) показать, что все обратимые элементы в данном кольце
мультипликативную группу;
4) указать среди перечисленных колец поля;
5) в каждом из указанных колец указать делители нуля.


55. Пусть M   x x 
a

, a  Z , R  N  0. Будет ли кольцом (полем)
k
2

структура на М относительно обычных операций сложения и умножения
вещественных чисел?
56. Доказать, что каждое из следующих числовых множеств с обычным
сложением и умножением является кольцом:
1) M  x x  a  bi 3, a, b  Z ,


2) M  x x  a  bi, a, b  3Z ,

3)  x x 


a  bi 3
, a и b целые числа одинаковой чётности 
2

Какие из этих колец содержат единицу? В таких кольцах укажите обратимые
элементы.
57. Докажите, что каждое из следующих множеств матриц с обычным
сложением и умножением является кольцом:
1) M  Mat (n; Q)
2). M  Mat (n; R)
47
3) M  Mat (n; C )
4). M  Mat (n; Z )


 a 3b 
, a, b  Z 
a



 a 3b 
, a, b  2Z 
a



 a  b
, a, b  3Z 
a 

4) M   x x  
b

5) M   x x  
b

6) M   x x  
b


1
 a

7) M   x x   2
 1 b

2


a
8) M   x x  
0


a


9) M   x x   0

0


3 
 b
2  , a, b. – целые числа одинаковой чётности
1 
a 
2 

0
, a, b  Z 
a


b c


a b , a, b, c  Z 4  .

0 a 






Какие из этих колец коммутативны? Какие содержат единицу? В таких
кольцах укажите обратимые элементы. В кольцах с делителем нуля найдите все
делители нуля.
58 Решить систему линейных уравнений:
2 x  3 y  1
1) 
в 5
2 x  y  2
 x1  x2  x3  x4  x5  1
в
 x1  x2  x3  x4  x5  0
4) 
 x1  x 2  x3  1

3) 2 x1  x2  x3  0 в  3 .
x  x  x  1
2
3
 1
 x1  x2  x3  x4  1

5) 2 x1  x2  x3  x4  2
в 5 .
x  x  x  x  x  1
2
3
4
5
 1
x  y  1
2) 
в 7 ,
2 x  y  3
2 .
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЗАДАЧА 1. Установить, является ли группой множество A  x x  R, x  0
относительно операций f:
afb 
ab
.
2
Решение. Для того, чтобы установить наличие на A структуры группы,
проверим выполнимость аксиомы группы:
1) алгебраических операций f (x, y  A : xfy  A) .
x  A  x  R, x  0
x y
x y
 x  y  R, x  y  0,
R
 0  xfy  A,
y  A  x  R, y  0
2
2
операция f алгебраическая на множестве A ,
2) ассоциативность операции f (( xfy) fz  xf ( yfz) äëÿ x, y, z  a)
48
т.е
x y

 z
x y
x  y  2z
2 

xfy 
, ( xfy) fz 

,
2
2
4
yz
x
yz
2  2x  y  z .
yfz 
, xf ( yfz) 
2
2
2
Операция f не является ассоциативной, т.к тождество ассоциативности
нарушается, например, при x  1, y  1, z  3
1 2  6 2  2  3
.

4
4
Следовательно, A( f ) группой не является.
ЗАДАЧА 2. определить, является ли группой множество подстановок
M  a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6  относительно обычного умножения подстановок, где
1 2 3 

a1  
1 2 3 
1 2 3 

a2  
1 3 2 
 1 2 3

a3  
 3 2 1
 1 2 3

a4  
 2 1 3
 1 2 3

a5  
 2 3 1
1 2 3

a6  
 3 1 2
Решение
1 способ. Составим таблицу Кэли для умножения () на M :

a1
a2
a3
a4
a5
a5
a1
a1
a2
a3
a4
a5
a5
a2
a2
a1
a5
a5
a4
a3
a3
a3
a5
a1
a5
a2
a4
a4
a4
a5
a5
a1
a3
a2
a5
a5
a3
a4
a2
a5
a1
a6
a5
a4
a2
a3
a1
a5
1) Алгебраичность операции. Все клеточки внутри таблицы заполнены
элементами из M , причем однозначно. Следовательно операция (  ) – алгебраична.
2) Существует нейтральный элемент e  a1 , ò .ê. a1 X  X è Xa1  X при
любом значении X и M .
3) Операция () обратима, так как для любого значения x и M в M существует
1
x :
a11  a1 ,
a 21  a 2 ,
a31  a3 ,
a 41  a 4 ,
49
a51  a5 ,
a61  a6 .
Действительно,
a1  a1  a1 , a2  a2  a1 , a3  a3  a1 , a4  a4  a1 , a5  a6  a6  a5  a1 (a1  e) .
4) Операция
( )
ассоциативна,
т.к.
тождество
ассоциативности
выполняется
при
всех
значениях
(( X  Y )  Z  X  (Y  Z ))
X , Y , Z èç M .
Действительно, пусть
X принимает значение
a
x   , Y
b 
принимает значение
b
c 
y   , Z принимает значение z    , где a, b, c, d независимо друг от друга
c
d 
пробегают множество 1,2,3. Тогда
 a b  a
a c  a  
xy         , xyz          
b  c  c 
c  d  d  
 , следовательно, (xy)z = x(yz), т.е.
b c  b 
 a   b   a 
yz         , x yz          

c d  d 
 b   d   d 
умножение на M ассоциативно.
Следовательно M () - группа.
2 способ. Из комбинаторики известно, что для множества состоящего из трёх
элементов имеется в точности 3! 1 2  3  6 различных подстановок и они образуют
мультипликативную симметрическую группу. Множество M состоит из шести
различных подстановок трёх элементов. Следовательно M () - симметрическая
группа.
ЗАДАЧА 3.Является ли кольцом (полем) множество
K     a  b 2 , a, b  Z кольцом относительно обычных операций сложения и
умножения вещественных чисел?
Решение.
1  a1  b1 2 , a1 , b1  Z ,
Пусть K     a  b 2 , a, b  Z ,



 2  a2  b2 2 , a, b  Z ,
def a  a

Тогда 1   2  1 2 ,
b1  b2

 1   2  a1  a 2   b1  b2  2 ,
 1   2  a1 a 2  2b1b2   a1b2  a 2 b1  2
Проверим выполнение аксиом кольца.
1. Алгебраичность сложения:
1  K , т.е. 1  a1  b1 2 , a1 , b1  Z 
 следовательно,
 2  K , т.е.  2  a2  b2 2 , a2 , b2  Z 
1   2  a1  a2   b1  b2  2 
 т.е. 1   2  K .
a1  a2 и b1  b2  Z

2. Коммутативность сложения:
1  K , ò .å. 1  R 
 , ò .å. 1   2   2  1  R, ò .å. 1   2   2  1 â K , так
 2  K , ò .å.  2  R
как K  R , т.е. сложение в K коммутативно.
3. Ассоциативность сложения:
50
1  K , следовательно, 1  R 

 2  K , следовательно,  2  R , т.е. 1   2    3   1  2   3  в R, т.е. 1   2    3 
 3  K , следовательно,  3  R 
 1   2   3  в K ,
так как K  R т.е. K ассоциативно.
4. Наличие нейтрального элемента по сложению (ноль 0 ).
Если ноль 0 существует, то это элемент множества K , т.е. имеет вид
0  x  y 2 , x, y  Z , и удовлетворяет условию 0     для   K ,
т.е ( x  y 2 )  (a  b 2 )  (a  b 2 ) . Тогда ( x  a)  ( y  b) 2  a  b 2 ,
x  a  a
x  0
т.е. 
т.е. 0  0  0 2 , где 0  Z , т.е. 0  0  0 2  K .
y  b  b
y  0
т.е. 
5. Симметризуемость операций сложения.
Для каждого элемента   K существует в К элемент ( ) , удовлетворяющий
условию   ( )  0 .
Действительно, если   a  b 2 , то    (a)  (b) 2 . Так как a, b, Z , то
(a)è(-b)  Z т.е. a  K .
6. Алгебраичность умножения.
 1  a1  b1 2 ,a 1 , b1  Z
 1   2  (a1a2  2b1 b2 )  (a1b2  a2 b1 ) 2  K
 2  a 2  b2 2 , a 2 , b2  Z
т.к (a1a2  2b1b2 ) и (a1b2  a2b1 )  Z.
7. Ассоциативность умножения.
1  K ,  1  R 

 2  K ,   2  R , ò .å. 1   2    3  1  2   3  â R, ò .å. 1   2  3 
 3  K ,   3  R 
 1  2   3  â K .
Так как K  R , то умножение K ассоциативно.
8. Умножение двояко диструбтивно относительно сложения.
1  K , следовательно, 1  R 
(1)( 2   3 )1  1 2  1 3 в R

 2  K , следовательно,  2  R, т.е.
т.е.
(2)1 ( 2   3 )   21   31 в R

 3  K , следовательно,  3  R 
(1) выполняется в К 
 , т.е. умножение двояко диструбтивно относительно сложения в
(2) выполняется в К 
К.
Следовательно K (,) - кольцо.
9. Проверим, является ли это кольцо коммутативным.
1  K , следовательно, 1  R 
, т.е. 1 2   21 в R , т.е. 1 2   21 в К, т.к.
 2  K , следовательно,  2  R
K  R , т.е умножение в К коммутативно.
10 Проверим, имеет ли кольцо К единицу e .
51
Если е из К, то e  x  y 2 , x, y  Z , причем e      e   для   K , т.е
( x  y 2 )( a  b 2 )  a  b 2 . Тогда
ax  2by  a
( xa  2 yb)( xb  ya)  a  b 2 , т.е. 
.
bx  ay  b
Решим линейную систему относительно неизвестных x и y методом Крамера:

a 2b
a 2b
a a
 a 2  2b 2 , 1 
 a 2  2b 2 ,  2 
 0.
b a
b a
b b
  0 , т.к если бы a 2  2b 2  0 , то a 2  2b 2 и a должно быть иррациональным
числом, что противоречит условию (a  Z ) . Значит, система имеет только одно


решение, которое можно найти по формуле Крамера: x  1  1, y  2  0, т.е.


e  1  0 2 . Следовательно, e  K ,т.к. 1,0  Z .Так как умножение в К коммутативно,
то с выполнением e     следует выполнение   e   .
11. Выясним, обратим ли каждый, отличный от 0 элемент в К.
Возьмем   K ,   0 т.е   a  b 2 , где a и b удовлетворяют
1)a  0, b  0,
2)a  0, b  0, a, b  Z ,

3)a  0, b  0.
Если  1 существует в К, то  1  x  y 2 , x, y  Z и  1   1  e, т.е.
( x  y 2 )( a  b 2 )  1  0 2 .
Значит ( xa  2 yb)  ( xb  ya) 2  1  0 2 , т.е
ax  2by  1
.

bx  ay  0
Решим систему методом Крамера относительно неизвестных х и у.
a 2b
1 2b
a 1
 a 2  2b 2 , 1 
 a , 2 
 b .
b a
b 0
0 a
Для указанных ограничений на a и b следует, что   0 и тогда
1
a
b
, y 2
. Значения х и у существуют в R, то Z
x
 2
2
a  2b 2
 a  2b
необязательно. Например, при a  5, b  1 имеем
5
5
1
1
x

 Z, y  
    , т.е.  1 не обязан существовать в К для
25  2 23
25  2
23
  K (  0) .
Вывод: K (,) - коммутативное кольцо с единицей, но не поле.

52
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1). Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра .М.: Просвещение, 1974.160с.
2). Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С Задачник – практикум по алгебре.
Ч1.М.: Просвещение, 1982.-79с.
3). Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра .М.: Просвещение, 1974.144с.
4). Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник – практикум по алгебре. М.:
Просвещение, 1969. – 27 с.
5). Дорофеева А.В. Высшая математика. Гуманитарные специальности:
Учебное пособие для вузов.- М.: Дрофа, 2003.-384с.
6) Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. - 495с.
7) Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959.-431с.
8) Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение. 1964. 183с.
9) Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. 332с.
10) Турецкий В.Я. Математика и информатика. -М.: Инфра 2001.- 557с.
11) Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984-416с.
12) Фадеев Д.К, Соминский И.С. Сборник задач по высшей Алгебре. М.:
Наука 1977. - 228с.
13) Шнеперман Л.Б Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк.
1982.- 223.
53