УДК 537.624 наночастиц являются

УДК 537.624
РЕЛАКСАЦИЯ НАМАГНИЧЕННОСТИ В ДВУМЕРНЫХ АНСАМБЛЯХ
НАНОЧАСТИЦ В ПОЛЕ СМЕЩЕНИЯ
Т.В. Лютый, асп.
СумГУ
B настоящее время кооперативные эффекты в ансамблях ферромагнитных
наночастиц
являются
предметом
интенсивных
теоретических
[1,2],
экспериментальных [3,4] и численных [5,6] исследований. Особый интерес
представляет влияние дальнодействующего дипольного взаимодействия на
термоиндуцированную релаксацию намагниченности в двумерных системах
наночастиц с перпендикулярной анизотропией. Такие системы составляют основу
современных запоминающих устройств с перпендикулярной записью [7], а вопрос о
релаксации важен для оценки их надёжности. Учет взаимодействия приводит к
многочастичной задаче, аналитически решить которую практически невозможно. В
отсутствие точного решения задача решалась с помощью различных вариантов
приближения среднего поля [2,8]. Результаты, полученные в рамках данного
приближения, показывают, что дипольное взаимодействие на начальных этапах
ускоряет релаксацию намагниченности, а скорость релаксации падает со временем.
Основным недостатком такого подхода является игнорирование динамических
корреляций направлений магнитных моментов частиц, которые в настоящее время
изучались лишь численно.
Несмотря на широкое применение компьютерного эксперимента для описания
свойств магнитных систем, стандартные методы численного моделирования в
данном случае неприменимы. Так, метод прямого интегрирования системы
стохастических уравнений Ландау-Лифшица [9] требует, чтобы временной шаг был
меньше периода прецессии магнитного момента (~10-11с), что делает невозможным
применение данного метода для больших временных интервалов. Стандартный метод
Монте-Карло [5,6] не позволяет моделировать временные зависимости, поскольку
шаг Монте-Карло не соответствует реальному временному промежутку.
Попытки связать алгоритмы Монте-Карло с реальным временем на данный
момент имели успех лишь для некоторых частных случаев. В работе [10] такая связь
устанавливалась через нахождение индивидуального времени релаксации каждого
магнитного момента согласно закона Аррениуса-Нееля. Однако, учитывая различие
величин потенциальных барьеров переориентации магнитных моментов, авторы
пренебрегают зависимостью периода прецессии от значения локального дипольного
поля. Связь между шагом Монте-Карло и конкретным временным интервалом была
также предложена в [11]. Данный метод основан на сравнении такой
статистической характеристики, как дисперсия, для вектора магнитного момента,
флуктуирующего вокруг положения равновесия, и среднего значения квадрата шага
случайных блужданий [12], которыми моделируются тепловые флуктуации этого
вектора. Время, на протяжении которого данный метод позволяет исследовать
поведение магнитных систем, существенно зависит от параметров последних, и как
было показано в [13], вычислительные затраты могут быть слишком велики.
Принципиально новый подход был предложен в работе [13]. В его основу
положено
комбинированное
использование
аналитического
нахождения
приращения намагниченности и численного определения положения наночастиц,
инвертирующих направления магнитных моментов. Вычислительные затраты при
этом минимальны. С помощью данного метода было исследовано влияние
корреляций магнитных моментов и размерных эффектов на магнитную релаксацию
в квадратной решётке ферромагнитных частиц. Нерассмотренными остаются
вопросы о динамике системы во внешнем поле и влиянии типа решётки на процесс
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
5
релаксации. Целью настоящей работы есть разработка алгоритма моделирования и
исследование особенностей магнитной релаксации во внешнем поле.
Рассмотрим участок с характерным размером L двухмерной гексагональной
решётки периода d, лежащей в плоскости xy (см. рисунок 1). В узлах решётки
расположены одноосные наночастицы радиуса r, обладающие магнитными
моментами
mi(t)
(|mi(t)|
=
m,
i
=
1...N,
где
N = 3L(L + 1) – общее число узлов решётки). Лёгкие оси частиц перпендикулярны
плоскости xy. Вдоль оси z действует некоторое постоянное поле смещения H0.
Первоначально
все
mi(t)
ориентированы
вдоль z. Под действием тепловых флуктуаций магнитные моменты будут спонтанно
менять своё направление. При условии, что тепловая энергия kbT (kb – постоянная
Больцмана, Т – абсолютная температура) намного меньше разности магнитной
энергии между двумя равновесными направлениями mi(t) для всех i, каждый
магнитный момент будет флуктуировать вокруг положительного или отрицательного
направления оси z и лишь изредка переориентироваться. Тогда в каждый момент
времени t количество магнитных моментов N+(t), ориентированных вдоль оси z, и
количество магнитных моментов N–(t), направленных против оси z, связаны
соотношением N–(t) + N+(t)  N, а приведённую намагниченность можно определить
как (t) = 2N+(t)/N – 1. Приращение этой величины на некотором промежутке времени
, достаточно малом, чтобы пренебречь вероятностью кратных переворотов,
запишется как
 (t   )   (t )  
2
N

N
i 1
 i w i (t ; i ) ,
(1)
где i  i(t) = +1 или –1 в зависимости от ориентации вектора mi(t) относительно оси
z; w i (t ; i ) – плотность вероятности переориентации mi(t). Используя процедуру,
основанную на обратном уравнении Фоккера-Планка, которая была описана в [13],
для последней величины получим выражение
w i (t ; i ) 
2
tr
a

 a [1  i Bi ( t )]
[1  Bi2 (t )][ 1   i Bi (t )] e
2
.
(2)
Здесь tr = 2/Ha, (<<1) – параметр затухания в стохастическом уравнении ЛандауЛифшица, описывающем динамику mi(t);  – гиромагнитное отношение; Ha –
эффективное поле анизотропии; a = Ham/2kbT (a >> 1), Bi(t) = bi(t) + b0 (|Bi(t)| < 1 для всех
3
i), bi(t) = hi(t)/Ha, hi (t )  m  j  i  j r ij – z-компонента локального дипольного поля,
действующего на момент i-ой наночастицы; b 0 = H0/Ha. Очевидно, что замена всех
Bi(t) их средним значением B(t) = – 11,034m mf (t)/H a d 3 + b0 приведёт к тому, что все
магнитные моменты с i = –1 и все магнитные моменты с i = +1 будут обладать
одинаковыми плотностями вероятности переворота w–(t) и w+(t) соответственно, а (1) в
пределе   0 и N   перейдёт в уравнение, описывающее магнитную релаксацию
в приближении среднего поля [2]:
 mf (t )    mf (t )[ w (t )  w (t )]  w (t )  w (t ) .
(3)
С помощью (1) можно вычислить приращение приведённой намагниченности за
время , однако вопрос о том, в каких узлах произойдут перевороты, остаётся
открытым. Для нахождения нового состояния будем использовать численную
процедуру выбора узлов, которая будет описана ниже. Совокупность выражения (1) и
6“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
этой процедуры составляют основу алгоритма, позволяющего вычислять
намагниченность ансамбля в некоторые дискретные моменты времени t = tn (n =
1, 2, …, M).
Рисунок 1 - Схематическое изображение моделируемого ансамбля
Пусть известно состояние ансамбля в момент времени t = tn. Тогда множество
A+(tn), содержащее номера j положительно направленных магнитных моментов
(j(tn) = +1), и множество A–(tn), содержащее номера j отрицательно направленных
магнитных моментов ( j(tn) = –1), определены однозначно. Ясно, что множество
A+(tn) содержит N+(tn) элементов, а множество A–(tn) – N–(tn) элементов. Так как
интервал tn+1 = tn+1 – tn достаточно мал, среднее число переориентаций магнитных
моментов из положительного направления в отрицательное +(tn, tn+1) и из
отрицательного в положительное –(tn, tn+1) определяется как
  t n , t n 1   t n 1

j  A  t n 
w  t n ; j  .
(4)
Уравнение (4) справедливо в случае выполнения следующего неравенства:
tn+1max{w±(tn; j)} << 1. В отдельных случаях это может потребовать значительных
вычислительных затрат, поэтому целесообразно (4) заменить следующим
приближенным соотношением:
  t n , t n 1  

j  A t n 
U t n 1w t n ; j  ,
(5)
где U(x) = x, если x < 1 и U(x) = 1, если x  1. Данное выражение справедливо, если
выполняется более слабое условие ±(tn, tn+1) << N. С учетом (4) выражение (1) может
быть записано в виде
 t n 1    t n  
2
[  t n , t n 1     t n , t n 1 ] .
N
(6)
Отметим, что величина tn+1 необязательно должна быть постоянной. Это
позволяет существенно сократить вычислительные затраты путём введения
переменной величины шага. Анализ показал, что в подавляющем большинстве
случаев на начальном этапе релаксации плотности вероятности w±(tn; j) по порядку
величины совпадает со значением, полученным в приближении среднего поля w±(tn),
а на заключительном этапе w±(tn; j) << w±(tn). Для минимизации числа итераций без
существенных потерь в точности величина шага подбиралась следующим образом:
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
7
t n 1  w (t n )  w (t n )
1
,   1 .
При этом точность алгоритма нахождения закона магнитной релаксации будет тем выше,
чем меньше параметр , однако с уменьшением  эта зависимость становится всё более
слабой. В данной работе принималось
 = 0,005.
Выражение (6) позволяет вычислить приведенную намагниченность в момент
времени t = tn+1, если известно состояние ансамбля в момент времени t = tn. Однако,
вычислив количество изменений в системе за время tn+1, мы не можем получить
информацию о том, где эти изменения произошли. Это значит, что новое состояние
останется неопределенным и осуществление очередной итерации для момента
времени tn+1 не представляется возможным. Поэтому для моделирования релаксации
необходимо вместе с (6) использовать некоторый механизм внесения изменений в
систему. Фактически данный механизм моделирует действие случайного теплового
поля на систему и должен соответствовать характеру этого поля. Естественно
предположить, что в системе преимущественно будут осуществлены перевороты в
тех узлах, которым соответствуют наибольшие плотности вероятности w±(tn; j),
однако не исключается возможность переворотов, вероятность которых минимальна.
Нами предлагается простой в реализации и удовлетворяющий этому требованию
механизм выбора узлов, в которых произойдут перевороты.
Зная величину tn+1, можем определить вероятность переворота каждого
положительно направленного магнитного момента как tn+1w+(tn; j), и, используя (5),
найти среднее число переворотов, которые имеют место за это время:
  t n , t n 1   r  t n , t n 1   t n 1

j  A t n 
w t n ; j  ,
(7)
где r+( tn, tn+1) – число узлов решетки, для которых выполняется условие tn+1w+(tn; j) 
1, A  (t n ) – подмножество A+(tn), для всех элементов которого имеет место условие
tn+1w+(tn; j) < 1. Поскольку величина +(tn, tn+1), найденная из (5), может быть
дробной, введем число переориентаций n+(tn, tn+1) в виде
n  t n , t n 1   [  t n , t n 1 ]  I ,
(8)
где [+(tn, tn+1)] – целая часть +(tn, tn+1); I = [0, 1] с вероятностями
p0 = +(tn, tn+1) – [+(tn, tn+1)] и p1 = 1 – p0 соответственно. Величину I находим,
используя генератор случайных чисел.
Из n+(tn, tn+1) магнитных моментов, которые должны переориентироваться к моменту
времени tn+1, r+(tn, tn+1) магнитных моментов, инвертируются в обязательном порядке в
узлах, для которых выполняется условие tn+1w+(tn; j)  1 (напомним, что каждому номеру
j соответствует узел решетки). Чтобы найти оставшиеся n+(tn, tn+1) – r+(tn, tn+1) узлов
решетки, в которых должны произойти перевороты, разместим плотности вероятности
переворота магнитных моментов в этих узлах w+(tn; j) на интервале
[0...  j  A (t n ) w (t n ; j )] , как показано на рисунке 2. Ясно, что этот интервал будет
содержать N+(tn, tn+1) – r+(tn, tn+1) подинтервалов.
8“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
Рисунок 2 – К выбору узла, в котором произойдёт переориентация магнитного момента
Генератором равномерной случайной величины генерируем случайное число x на
этом отрезке. Выбранным считается тот узел j, которому соответствует подинтервал
w+(tn; j), содержащий число x (на рисунке j = 3). Запоминаем соответствующий узел j и
формируем новый интервал аналогично предыдущему, но не включая в него уже
выбранный подинтервал. Повторив это действие n+(tn, tn+1) – r+(tn, tn+1) раз, запоминая
и исключая из рассмотрения уже выбранные узлы, мы реализуем оставшиеся
перевороты, которые должны произойти за время tn+1. Проделав всю
вышеизложенную процедуру для отрицательно направленных магнитных моментов,
мы определим n–(tn, tn+1) узлов решетки, в которых должны произойти перевороты из
отрицательного направления в положительное за время tn+1. Поскольку известно
состояние ансамбля в момент времени t = tn, состояние ансамбля в момент времени t
= tn+1 может быть так же найдено, инвертировав магнитные моменты в выбранных
узлах. Аналогично можем найти состояние системы в момент времени t = tn+2.
Используя известное состояние ансамбля наночастиц в момент времени t = 0 и
применяя алгоритм, изложенный выше, мы можем найти состояния системы для
дискретного набора моментов времени t = tn
(n = 1, …, M). Так как данный метод носит вероятностный характер, т.е. каждая
реализация такого численного эксперимента будет давать свою эволюцию системы с
пренебрежимо малой вероятностью повторения, приведенная намагниченность,
вычисленная по формуле (6), является случайной величиной. Численным
экспериментом считается однократное применение алгоритма, описанного выше,
результатом которого есть дискретный набор значений приведенной
намагниченности. Обозначим величину приведенной намагниченности в k-м
численном эксперименте на n-м шаге как k(tn). Тогда искомый закон магнитной
релаксации есть набор усредненных значений приведенной намагниченности
 t n   1 K

K
k 1
 k t n  ,
(9)
где К – количество численных экспериментов, в этой работе К = 10.
В [13] было показано, что граничные эффекты существенно влияют на
зависимость намагниченности моделируемого ансамбля. Для их минимизации введём
следующие граничные условия. Исходный участок решетки транслируется шесть раз,
как показано на рисунке 3. Каждая наночастица исходного ансамбля рассматривается
как
находящаяся
в
центре
шестиугольной
области
такого
же размера L (шестиугольник, изображенный пунктиром на рис. 3). Взаимодействие
ограничивается пределами этой области, т.е. считается, что она взаимодействует
только с наночастицами, лежащими в пределах пунктирного шестиугольника.
Возникающие при этом корреляции направлений магнитных моментов, лежащих на
противоположных сторонах, не будут существенно влиять на закон релаксации,
поскольку на начальном этапе почти все магнитные моменты ансамбля сонаправлены,
а на заключительном этапе, как следует из анализа, проведённого в [13], роль
граничных эффектов незначительна.
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
9
Рисунок 3 – Граничные условия, используемые при моделировании
В качестве иллюстрации приведём результаты моделирования для таких значений
параметров: L = 60, Ha = 5,094·105 А/м; m/V = 1,4·105 А/м (V – объём наночастицы);  =
0,2; r = 4·10 – 9 м; d = 3r = 12·10 – 9 м; Т = 300 К. На рисунке 4 представлены
зависимости намагниченности от времени, полученные с помощью описанного
алгоритма при значениях внешнего поля H0 = 3,98·104 А/м и H0 = 0. Для сравнения
здесь же показаны результаты приближения среднего поля. Несовпадение кривых
намагниченности связано с влиянием корреляций магнитных моментов частиц,
которые учтены при моделировании. Однако если при H0 = 0 (t) пересечёт mf(t) на
бесконечности, то при ненулевом внешнем поле эти кривые могут пересекаться при
некотором конечном значении времени. Следовательно, намагниченность основного
состояния, получаемая в приближении среднего поля, при достаточно малых
внешних полях превышает действительное значение. Это связано с
антиферромагнитным характером дипольного взаимодействия. Следует ожидать, что
при больших внешних полях рассмотренный эффект не будет реализован, поскольку
намагниченность основного состояния растёт с внешним полем, а для больших
значений намагниченности релаксация протекает быстрее, чем в приближении
среднего поля [13], и  (t) будет всегда лежать ниже mf(t).
Таким образом, нами разработан алгоритм численного нахождения закона
магнитной релаксации в системах одноосных ферромагнитных наночастиц с
перпендикулярной анизотропией. Метод основан на точном аналитическом
выражении для плотности вероятности переворота магнитного момента, которая
зависит от суммы внешнего и дипольных полей, действующих на частицу. Численная
процедура, использующая генератор случайных чисел, применяется только для
выбора заданного числа узлов решётки, в которых произойдут перевороты
магнитных моментов за определённый промежуток времени. Этот факт выгодно
отличает представленный алгоритм от стандартных, поскольку приращение
намагниченности на каждом шаге соответствует аналитически рассчитанному
значению. Применение метода к конкретной системе наночастиц показало, что
наличие внешнего поля обуславливает отличие действительного значения
намагниченности основного состояния от предсказываемого приближением среднего
поля.
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
10
Рисунок 4 – Закон магнитной релаксации. 1 -  (t) при H0 = 0; 2 - mf(t)при H0 = 0;
3 -  (t) при H0 = 3,98·104 А/м; 4 - mf(t) при H0 = 3,98·104 А/м.
SUMMARY
A new method to numerically simulate the magnetic relaxation in two-dimensional ensembles of uniaxial
particles under the action of external field is developed. The kernel of the method consists in analytical obtaining of
the increment of magnetization during every step, and in numerical transformation of the ensemble state. Our
algorithm is the fastest one and has the best theoretical ground of time quantification of the step. This method allows
us to investigate the influence of correlations of magnetic moments directions on the law of magnetic relaxation.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Denisov S.I., Nefedchenko V.F., Trohidou K.N. Dipolar ferromagnetism in ensembles of ellipsoidal
nanoparticles // J. Phys.: Condens. Matter. – 2000. – V.12. – P. 7111-7115.
Денисов С.И., Лютый Т.В., Нефедченко В.Ф. Магнитная релаксация в двумерных ансамблях
наночастиц: приближение среднего поля // Металлофиз. новейшие технол. – 2002. – Т.24, №1.– С. 1724.
van Lierop J., Ryan D.H. Mössbauer spectra of single-domain fine particle systems described using a
multiple-level relaxation model for superparamagnets // Phys. Rev. B. – 2001. – Vol.63, № 064406(13)
Mоrup S., Tronc E. Superparamagnetic relaxation of weakly interacting particles // Phys. Rev. Lett. – 1994. –
Vol.72
Kechrakos D., Trohidou K.N. Magnetic properties of dipolar interacting single-domain particles // Phys. Rev.
B. – 1998. – Vol.58, №18. – P.12169-12177
Andersson J.-O., Djurberg C., Jonsson T., Svedlindh P., Nordblad P. Monte Carlo studies of the dynamics of
an interacting monodispersive magnetic-particle system // Phys. Rev. B. – 1997. – Vol.56, №21. – P. 1398313988
Moser A., Takano K., Margulies D.T., Albrecht M., Sonobe Y., Ikeda Y., Sun S., Fullerton E.E Magnetic
recording: advancing into the future // J. Phys. D: Appl. Phys. – 2002. – Vol.35. – P. R157-R167
Lottis D.K., White R.M., Dan Dahlberg E. Model system for slow dynamics // Phys. Rev. Lett. – 1991. – Vol.
67, №3. – P.362-265.
Garcіa-Palasios J. L. and Lаzaro F.J. Langevin-dynamics study of the dynamical properties of small magnetic
particles // Phys. Rev. B. – 1998. – Vol.58, №22 – P.14937-14958.
Kanai Y., Charap S.H. Simulation of magnetic aftereffect in particulate recording media // IEEE Trans. Magn.
– 1991. – Vol.27, №6. – P. 4972-4974
Nowak U., Chantrell R.W., Kennedy E.C. Monte Carlo simulation with time step quantification in terms of
Langevin dynamics // Phys. Rev. Lett. – 2000. – Vol.84, №1. – P. 163-166
Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: В 2 частях / Пер. с англ. – М.: Мир.
1990. – Ч.2. - 400 с.
Denisov S.I., Lyutyy T.V., Trohidou K.N. Magnetic relaxation in two-dimensional nanoparticle ensembles //
Phys. Rev. B – 2003 – Vol. 67, 075301(9)
Поступила в редакцию 10 ноября 2003 г.
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
11
УДК 531.19
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ
ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ БЕЛЫХ ШУМОВ
А. Н. Витренко, асп.
СумГУ
Один из распространенных методов исследования физических систем,
взаимодействующих с флуктуирующей средой, основывается на уравнениях
Ланжевена [1-3], в которых влияние окружения учитывается посредством внешнего
шума с известными статистическими характеристиками. Во многих случаях этот шум
может быть аппроксимирован гауссовским белым шумом, вследствие чего параметр
состояния системы становится диффузионным марковским процессом [4]. При этом
одномерная плотность вероятности и плотность вероятности перехода будут
удовлетворять уравнению Фоккера-Планка, которое может быть решено точно в
отдельных случаях [2,3,5,6].
Однако в зависимости от характера взаимодействия и особенностей самой среды
уравнения Ланжевена могут содержать несколько гауссовских белых шумов [10] с
разными
статистическими
характеристиками.
Обычно
рассматривается
мультипликативный (зависит от параметра состояния системы) и аддитивный шум.
Так как поведение таких систем может отличаться от поведения систем,
подверженных влиянию одного шума, точные результаты имеют большое значение.
В этой статье находятся точные выражения для статистических характеристик
свободной частицы, движение которой описывается простейшим, в общем случае
нелинейным, уравнением Ланжевена
x t   gx t f 1 t   f 2 t  , x 0   x 0  0 .
(1)
Здесь x t  – параметр состояния системы (координата частицы); gx t  – некоторая
детерминированная функция, не зависящая явно от времени; f1 t  –
мультипликативный и f2 t  – аддитивный гауссовский белый шум. Полагается, что
шумы - независимые с нулевыми средними значениями и корреляционными
функциями:
fi t  fi t 1   2i  t  t 1  (i=1,2),
(2)
где угловые скобки  означают усреднение по реализациям шумов fi (t ) ;  i –
интенсивности шумов fi (t ) ;  t  – -функция Дирака.
Вычислим сперва одномерную плотность вероятности P(x,t) того, что x(t)=x.
Уравнение Фоккера-Планка в интерпретации Стратоновича, соответствующее (1) и
(2), имеет вид [7-9]

2

bx P x , t  ,
a x P x , t  
Px , t   
x
t
x 2
(3)
где Px , 0   x  x 0  ; ax  и 2bx  – коэффициенты сноса и диффузии:
ax   1 gx gx  ,
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
12
bx   1 g 2 x   2 .
(4)
Для получения решения уравнений (3),(4) используем взаимно-однозначное
преобразование u   x  фазового пространства марковского процесса x t  , при
~
котором коэффициент диффузии 2bu  марковского процесса u t  будет равен
единице [10]:
 x  

dx
1 g x    2
2
.
(5)
Оказывается, при таком выборе функции  x  коэффициент сноса a~u  ,
определяемый как функция старой переменной следующим образом:
a~x   ax  x   bx  x  ,
будет равен нулю. Следовательно, плотность вероятности Pu, t  удовлетворяет
простейшему уравнению диффузии
P u, t 
t
 e
2
u 2
P u, t  ,
(6)
решение которого, с учетом начального условия Pu, 0  =  u   x 0  , имеет вид
[11]
Pu, t   H 01 x  


2
cos x
0
  
d .
(7)
Принимая во внимание (5) и (7), плотность вероятности P(x,t) записывается как
 
Px , t   4t 1 g 2 x    2

1 2

exp   x    x 0 
2
4t .
(8)
Таким образом, решение уравнений (3),(4) может быть записано в виде квадратур
для произвольной функции gx  . Для получения результатов в явном виде
рассмотрим три ее частных случая с качественно разным асимптотическим
поведением на бесконечности, для которых интеграл (5) может быть вычислен.
В первом примере исследуем систему (1) с неограниченно возрастающей на
бесконечности функцией интенсивности мультипликативного шума gx   x .
Взаимно-однозначное преобразование (5) принимает форму
 x  

1 
.
arsh  x
 2 
1

1
(9)
При этом нестационарная плотность вероятности (8) будет имеет вид
Px , t  f t 
2

1
2 t  1 x 2   2

 
K 1 R L 
D
.(10)

L
K 0 R L 
Для второго примера явных выражений (8) выберем функцию gx  , стремящуюся
к нулю при большом x, gx  
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
1
. Функция  x  (5)
x 1
13
1
 x  
x
x
x
 1 
2
1
2
2
определяет взаимно-однозначное преобразование, нестационарная плотность
вероятности (8) дается выражением
x 1
Px , t  

2 t   2 x  1


 exp  1
 4 2 t

x

 x
x

1
2

 1 
2
x 0  1
2

2
(11)

 1 


 1
2



2

.


(12)
В третьем примере примем gx   th x , для большого x интенсивность
мультипликативного шума постоянна. В этом случае функция (5)
 1   2

arsh 
sh x 
2
1   2


1
 x  
задает взаимно-однозначное
вероятности (8) имеет вид
Px , t  
преобразование
1

2 t 1 th 2 x   2

и
(13)
нестационарная
плотность

2


 1   2

 1   2
 
1


 exp 
sh x   arsh
sh x0   .
arsh
41   2 t 
2
2



 



à
â
á
P(x ,t )
P(x,t )
P(x,t )
1
0.2
1
1
0.2
0.2
2
0.1
0.1
0.1
2
2
0.0
0.0
0.0
-10
-5
0
5
x
(14)
-10
-5
0
5
x
-10
-5
0
5
x
Рисунок 1- Эволюция во времени одномерной плотности вероятности P(x,t) при разных функциях g(x)
интенсивности мультипликативного шума f1(t): а) g(x) = x,
б) g(x) = 1/(1+|x|) в) g(x) = thx (1=2 = 1, x0 = 1, 1) t=1, 2) t=10)
Графики плотностей вероятности (10), (12), (14) приведены на
рисунке 1
Качественно разное асимптотическое поведение на бесконечности интенсивности
gx  мультипликативного шума приводит к качественно разному виду плотностей
вероятности.
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
14
Зная одномерную плотность вероятности, можно найти другие статистические
характеристики системы. Моменты (среднее значение и дисперсия) имеют
немаловажное значение.
Для системы (1) с линейной интенсивностью мультипликативного шума gx   x
возможно вычислить целые моменты x n t  . По определению

x t  
n
x
n
Px , t dx .
(15)

Подставим в (15) выражение одномерной плотности вероятности (10) и, выполняя
замену переменной u   x  , где (x) определяется выражением (9), будем иметь


exp  u 0 4t 

 u 2 u0u 
 , (16)
1 u exp  

 4t
2t 
4t


[u0 = (x0)]. Для вычисления интеграла в (16) используем формулы степеней
гиперболической функции sh x [12]
 
n
x t    2 
 1 
n2
n 1
2

du sh
n


2n 
 1n
 ch 2n  k x  2n
2
k 
 1k 
2n 1 
1
sh2n x 
2
k 0
1
sh2n 1 x 
2
2n
n
k  2n
  1 
k 0
 2n 
  ,
n 
 1
 sh2n  2k  1x
k 
(17)
,
(18)
n 
n!
где   
– биномиальные коэффициенты. Подставляя (17) и (18) в (16) и

k
!
n
 k !
k
 
принимая во внимание интегральную формулу [12]


 b2  c2 shbc 2a 


exp 

dx   1
,
 4a  
a
ch bx

chbc 2a 
 ax 2  cx sh bx 
e

окончательно получим точные выражения для целых моментов:

n 1


 1k  2n  exp 41t n  k 2
2


k 
 k 0


1 

n  2n  
q  0 ch2n  k  arsh  x

 
 0     1  n  ,


 
2 

x 2n t  
x
2n 1
t 
1  2

2 2n   1



1 
 2n  2
2  1
n




n 1 2 n
 

1
 sh2 n  k   arsh x0

2
 

“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
2

2n  1 
1 

 exp 41t  n  k   
2  


 k 
1 
.
 2 


  1k 
k 0

(19)
R
(20)
15
Найдем дисперсию координаты частицы  x2 t   x 2 t   x t  . Используя (19),
2
(20) и свойства гиперболических и обратных гиперболических функций, получим

 x2 t   x 02 e
4 1t
2 1t
e
  2 e
2
4 1t
.
1
(21)
1
Как видно из (21), дисперсия частицы экспоненциально возрастает со временем.
Таким образом, изучены статистические свойства свободной частицы, поведение
которой описывается нелинейным уравнением Ланжевена с двумя независимыми
гауссовскими белыми шумами. Получены точное выражение (в виде квадратур)
одномерной плотности вероятности в общем случае, ее явные выражения для трех
интенсивностей мультипликативного шума с качественно разным асимптотическим
поведением на бесконечности. В случае линейной интенсивности также найдены
точные выражения для целых моментов; установлено, что дисперсия координаты
частицы экспоненциально возрастает со временем.
SUMMARY
Statistical characteristics of free particle under simultaneous influence of two uncorrelated Gaussian white
noises are studied. The univariate probability distribution function is obtained exactly for arbitrary intensity of
multiplicative noise. Whole moments are derived for linear intensity, it is established that the mean-square
displacement increases exponentially for long times.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. – М.: Высш.шк., 1990.
Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. – М.: Мир, 1986.
Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. – М.: Мир, 1990.
Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. – М.:ИЛ, 1956.
Risken H., The Fokker-Planck equation, 2nd ed. – Berlin: Springer-Verlag, 1990.
Stohny V. Symmetry properties and exact solutions of the Fokker-Planck equation
// Nonlinear
Math. Phys. – 1997. – V.4. – N.1–2. – P.132–136.
7. Denisov S.I., Vitrenko A.N., and Horsthemke W. Nonequilibrium transitions induced by the cross-correlation
of white noises // Phys. Rev. E. – 2003. – V.68. – 046132.
8. Wu D.J, Cao L., and Ke S.Z. Bistable kinetic model driven by correlated noises: Steady-state analysis // Phys.
Rev. E. – 1994. – V.50. – P.2496.
9. Gitterman M. Simple treatment of correlated multiplicative and additive noises//J. Phys. A. – 1999. – V.32. –
L293 – L297.
10. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. – М.: Сов. радио, 1977.
11. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука,1972.
12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Поступила в редакцию 7 ноября 2003 г.
УДК 621.315.592
ОСОБЛИВОСТІ ТЕНЗОЧУТЛИВОСТІ В ПЛІВКОВИХ МАТЕРІАЛАХ ПРИ
ВЕЛИКИХ СТАТИЧНИХ І ДИНАМІЧНИХ ДЕФОРМАЦІЯХ
Забіла Є.О., аспірант; Коплик І.В., канд.фіз.-мат.наук; Проценко І.Ю., професор
СумДУ
ВСТУП
Широке застосування плівкових матеріалів в різних галузях нано- і
мікроелектроніки, сенсорної техніки і функціонального матеріалознавства стимулює
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
16
дослідження поведінки тонких плівок в різних умовах, у т.ч. і в екстремальних
(великі деформації і температури, джоулеве відпалювання та ін.). Оскільки
напружено-деформований стан, який виникає в результаті дії теплової або механічної
дії, відіграє виключну роль у надійності мікроелектронної апаратури (див.,наприклад,
[1]), то питання про термодеформацію і мікронапруження в плівкових матеріалах
постійно знаходиться в полі зору дослідників (достатньо назвати роботи останніх
років [2-8]). Продовжують залишатися актуальними питання, пов’язані з
прикладними і фундаментальними аспектами тензочутливості плівкових зразків [9].
У даному випадку ситуація склалася таким чином, що тензочутливість одно- чи
багатошарових плівок в області пружної деформації вивчена досить-таки детально
(див., наприклад, [9-12]), але в області пластичної деформації залишається протягом
багатьох років маловивченою проблемою. Найбільш відомим результатом (див. [9]) є
висновок про те, що при пластичній деформації, коли відбувається лише
переорієнтація кристалітів, а міжатомні відстані не змінюються, коефіцієнт
тензочутливості =2. Це випливає із співвідношення
 l   lp  1  2   f ,
де допускається, що
 lp  1   0 l  0 (  0 l  
(1)
d ln 0
– деформаційний
d l
коефіцієнт середньої довжини вільного пробігу (  0 ) електронів;  l – поздовжня
деформація);  f – коефіцієнт Пуассона для плівки, який при пластичній деформації
дорівнює 0,5.
Зрозуміло, що в даному випадку мова іде лише про якісний висновок, оскільки
навіть відсутність деформаційних процесів у середині кристалітів не виключає ряд
процесів на межі зерен (МЗ) і, зокрема, зміну величини коефіцієнтів проходження
МЗ електроном (r), межі поділу шарів (МП) в багатошаровій плівковій системі (Q), а
також коефіцієнта дзеркальності (p) зовнішніх поверхонь плівкового зразка [12].
Таким чином, постає надзвичайно актуальне питання про взаємозв’язку між
механізмом пластичної деформації плівкових матеріалів (а у своїй більшості – це
нанокристалічні матеріали) і їх електрофізичними властивостями (ми основну увагу
акцентуємо на взаємозв’язок між пластичною деформацією і фізичними процесами у
чутливому елементі тензодатчика). З цієї проблеми накопичений певний
експериментальний матеріал.
Так, автори [13,14] досліджували механізм деформації нанокристалічних Cu
(розмір нанозерен 40-60 нм) і сплаву на основі Fe, Si, B, Nb і Cu (розмір нанозерен
10 нм) методом in situ безпосередньо в колоні електронного мікроскопа. Було
отримано, що активна одноосна деформація розтягу реалізується за рахунок
розвороту зерен та взаємодії дефектів в МЗ та примежових зонах. В більш ранніх
роботах [15,16] вивчалася аналогічна задача методом атомно-силової мікроскопії [15]
або комп’ютерного моделювання [16], як і в роботах [17-18]. Не дивлячись на те, що
результати [13,14,17,18] отримані на масивних зразках, їх основні висновки у
сукупності із висновками робіт [15,16] можуть бути використані при аналізі фізичних
процесів в плівкових тензодатчиках, які використовуються при великих деформаціях,
з точки зору впливу деформації на коефіцієнти r, Q і p.
Результати робіт [19-22] дозволяють більш глибоко зрозуміти питання про роль
розмірних ефектів [19] у механічних і фізичних властивостях та механізми
пластичної деформації [20-22] нанокристалічних матеріалів.
З точки зору зазначеного вище, мету даної роботи можна сформулювати таким
чином: розробка методики діагностики структурного стану плівкових матеріалів і
вивчення тензочутливості одно- і двошарових плівок в інтервалі деформацій
  0  0,5 .
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
17
МЕТОДИКА І ТЕХНІКА ЕКСПЕРИМЕНТУ
У роботі проведено дослідження особливостей деформації і тензорезистивних
властивостей плівок Cu, Cr, Cu/Cr/П та Co/Cu/П (П – підкладка) в інтервалі істинних
деформацій el=0–0,15 (зауважимо, що згідно з [23] істинна деформація e=ln(1+l)).
Зразки осаджувалися методом термічного випарування і конденсації металевої пари
на діелектричну, попередньо відполіровану та очищену, тефлонову підкладку,
температура якої була 300 К. Тиск залишкової атмосфери у робочому об’ємі складав
величину (0,5...2)·10-3 Па. Ступінь вакууму безпосередньо перед напиленням
матеріалів підвищувався завдяки розпиленню в робочому об’ємі гетера.
Структурний стан і електрофізичні властивості плівок досліджувалися методом in
situ. Безпосередньо в ході експериментів одночасно контролювалися такі параметри:
електричний опір плівкової системи (R), інтенсивність лазерного променя, який
пройшов крізь плівкову систему (Іпр), інтенсивність відбитого променя від плівкової
системи (Івід), зміна довжини плівки (Δl), час післядеформаційної витримки (t). Схема
експерименту наведена на рис. 1.
mV
Інтенсивність
променя, який
пройшов
Iпр
Напрям
деформації
l
Комп’ютер
R

Опір
плівки
Івід
Інтенсивність
відбитого
променя
Лазер
Лінза
Дзеркало
mV
Рисунок 1 – Схема проведення експерименту
Один з кінців підкладки жорстко закріплювався на деформаційному столику,
другий приєднувався до рухомого бігунка, з’єднаного зі штоком мікрогвинта, що
дозволяє деформувати плівку в поздовжньому напряму (рис.1). Зміна довжини
підкладки з плівкою визначалася за мікрометричною шкалою рукоятки мікрогвинта.
Інтенсивність пройшовшого та відбитого лазерного променя та променя, що
пройшов, фіксувалася за допомогою фотодіодів (ФД-256), які дають змогу
перетворити оптичний сигнал в електричний. Електричний сигнал (напруга на p-nпереході фотодіода) реєструвався цифровим вольтметром UT70B, а електричний опір
– цифровим омметром APPA-109. Дані фіксувалися з інтервалом в одну секунду і
оброблялися комп’ютером. Кожен крок деформації відповідав зміні довжини
підкладки на 0,002 мм. Зазначимо, що наша методика експерименту з точки зору
комп’ютерної обробки результатів аналогічна до методики авторів [16].
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
18
ОСОБЛИВОСТІ ДЕФОРМАЦІЇ ПЛІВКОВИХ МАТЕРІАЛІВ
Результати досліджень особливостей тензоефекту в одношарових плівках Cr і Cu
в діапазоні великих (до 15%) ступенів деформації вказують на відмінність поведінки
електрофізичних властивостей на початковій та подальших стадіях деформації.
З огляду результатів досліджень, проведених різними авторами, відомо, що
приріст опору плівок різних металів з деформацією змінюється лінійно в межах
пружної деформації. Оскільки в області пружної деформації відносні лінійні розміри
зразка залишаються майже незмінними, то зміна його електричних властивостей
обумовлена, в першу чергу, зміною питомого електричного опору матеріалу плівки
внаслідок деякої зміни електронної структури матеріалу (внутрішнього потенціалу)
[9] і параметрів електроперенесення (більш детально див. [12]).
Момент зміни характеру деформації визначався за появою непружної повзучості
зразків при випробуваннях на релаксацію напружень. Деформація масивних зразків у
таких випадках описується співвідношенням [24]:
εl = εпр+ε0·[1-exp(-t/τ)],
(2)
де εl – поздовжня деформація зразка; пр пружна деформація; t – час після
навантаження; ε0, τ – сталі коефіцієнти.
Перший доданок рівняння (2) не залежить від часу і визначає пружну складову
загальної деформації, тобто лінійну деформацію. Другий доданок співвідношення (1)
залежить від часу і обумовлений повзучістю матеріалу, що проявляється при
пластичній деформації.
З експериментальних залежностей (рис. 2) видно, що на початкових етапах
електричний опір плівкової системи змінюється стрибкоподібно з кожним
подальшим кроком деформації, причому кожен стрибок опору в залежності від часу
має вигляд горизонтальної сходинки, що свідчить про відсутність процесів
пластичної деформації.
Для перших трьох сходинок на залежності (рис. 2а) рівняння (2) має вигляд
εl=i·ε= i·εl пр, оскільки коефіцієнт ε0=0, тому що експоненційна залежність
деформації від часу (повзучість) для них не проявляється. Виходячи з наведених
міркувань можна зробити висновок, що в межах l=0–0,004 деформація є пружною, а
починаючи із l≥0,004 – пластичною і описується співвідношенням
εi=
l (i-1)+εl пр i+ε0 і·[1-exp((t0i-t)/τi],
(3)
де εi, l (i-1) – поздовжня деформація i-го та (i-1)-го кроків відповідно;
εl пр i – пружна
складова поздовжньої деформації i-го кроку; ε0 і τi – сталі коефіцієнти для i-го кроку
деформації; t0i – час початку i-го кроку деформації; t – час деформації.
В області більших деформацій (четверта сходинка на рис. 2а) залежність опору від
часу є нелінійною, що пояснюється непружною повзучістю металів і свідчить про
наявність механізмів непружної деформації.
Ще одним принциповим питанням є встановлення межі переходу пластична
деформація → розтріскування зразка. Для визначення суцільності плівкових зразків
та інтенсивності їх розтріскування проаналізуємо експериментальні залежності на
рис. 2. Для цього виберемо дві ділянки, одна з яких належить початковій стадії
деформації (рис. 2а), а друга – більшому ступеню деформації цієї ж залежності
(рис. 2б). Збільшені зображення обраних ділянок наведено на вставках відповідних
рисунків. На вставці рис. 2б на відміну від рис. 2а фіксуються різкі стрибкоподібні
коливання опору при збереженні тенденції щодо його зростання. Така поведінка
пояснюється розтріскуванням плівки. Амплітуда коливань опору зростає зі
збільшенням ступеня деформації, що пояснюється зростанням інтенсивності
розтріскування плівки. Дослідження методом растрової електронної мікроскопії
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
19
дозволяють спостерігати характер мікротріщин, які виникають в плівкових зразках.
Відмітимо, що ці результати не погано корелюють із даними роботи [15].
Відмітимо також, що для двошарових плівок Cu/Cr/П і Co/Cu/П отримані
аналогічні результати.
R,
êÎ ì
0,60
0,634
R,
êÎ ì
0,632
0,630
0,55
0,628
0,626
t, ñ
0,50
2100
=0
0,45
0
=
2150
=2.
500
2200
2250
=3.
1000
1500
а
б
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
20
2000
t, ñ
R,
êÎ ì
6,8
6,6
=0,106
6,4
6,480
6,2
R,
êÎ ì
6,475
6,0
6,470
5,8
5,6
6,465
t, ñ
0,092
10240
9400
9600
9800
10000
10200
10260
10400
10280
10600 t, ñ
Рисунок 2 – Експериментальна залежність опору плівки Cr, товщиною 40 нм, від часу деформації. Крок
деформації  l = 0,002, час витримки при заданій деформації t = 300 с: а – l=0–0,014 (t=0–2500 с); б –
l=0,092–0,112 (t=9300–10700 с)
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
21
8
R, dR/d
Îì
80
5,0
6
4,5
R,
êÎ ì
4
4,0
2
0
0,00
3,5
0,05
0,10
20
60
16
40
12
20
8
0
0,00
l
dR/d
0,05
0,10
l
ã
à
Iï ð
Iï ð.max
0,99
Iï ð 
ì èò
Iï ð.max 50
ì èò
4,0
0,9
3,5
40
30
0,8
0,98
3,0
20
2,5
10
0,97
0,00
0,05
0,10
l
á
Iâ³ä
0,7
0
0,00
0,05
1,00
2,0
ä
Iâ³ä
Iâ³ä.max
0,10
l
Iâ³ä.max ñåð
1,00
ñåð
160
6,0
0,95
0,96
120
0,90
4,5
80
0,92
0,88
0,00
0,85
0,05
â
0,10
l
0,80
3,0
40
0
0,00
0,05
0,10
l
e
Рисунок 3 – Експериментальні деформаційні залежності електричного опору (а), відносних
інтенсивностей пройшовшого крізь систему Me/П (Me – металева плівка) (б) та відбитого від неї (в)
лазерного променя, чутливості опору до деформації (г), миттєвого (д) та середнього (е) коефіцієнтів
тензочутливості плівок: ○ – Cr(40 нм)/П,  – Сu(40 нм)/П. В дужках вказана товщина металевої плівки
ОСОБЛИВОСТІ ТЕНЗОЕФЕКТУ
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
22
Результати, представлені на рис. 3, дають уявлення про певну кореляцію між
електричними і оптичними характеристиками плівок Cr і Cu. Якщо порівняти між
собою криві чутливості до деформації (dR/dl), то у випадку плівок Cr насичення
залежності у порівнянні із плівками Cu відбувається значно раніше (при l0,05, в той
час як у плівок Cu тенденція до насичення проявляється лише починаючи з l0,13
(рис. 3г)). Виходячи із залежності dR/dl від l, можна також розрахувати залежності
коефіцієнтів миттєвої ( мит) та середньої тензочутливості ( сер) від l (рис. 3д, е),
які визначаються за співвідношеннями:
 мит 
1 Ri
1 R
та  сер 
,


RП  
Ri  
де Ri – початковий опір і-го кроку деформації, RП – початковий опір (при l=0).
Порівнюючи залежності мит і сер від l, зазначаємо, що у випадку плівок Cu вони
відрізняються лише кількісно, в той час як у плівках Cr – і кількісно, і якісно, що
пояснюється різною чутливістю до деформації. Поряд з цим необхідно звернути
увагу на загальну особливість залежності мит від l для плівок Cr і Cu, яка полягає у
їх проходженні через максимум (при l 0,02 для плівки Cr і l 0,12 для Cu). Значне
відхилення мит і сер від значення  =2 зазначає те, що співвідношення (1) не
виконується, що можна пояснити електронними процесами на межі зерен. Попередні
експерименти на прикладі двошарових плівок дозволяють зробити аналогічний
висновок.
ВИСНОВКИ
Проведені експериментальні дослідження залежності чутливості до деформації і
коефіцієнтів мит і сер від l дозволяють встановити, з використанням запропонованої
методики контролю стану поверхні, особливості тензоефекту в області пружної,
пластичної і деформації в умовах руйнування (розтріскування) зразка. Значна відміна
між величинами мит і сер у випадку плівок Cr говорить про їх більшу здатність до
руйнування на відміну від плівок Cu. Оскільки на стадії пластичної деформації
важливу роль відіграють зерномежеві процеси, то правило 2 [9] не виконується
навіть у випадку плівок Cu.
Подальший розвиток досліджень, результати яких подані в даній роботі,
пов’язаний зі структурним і електрофізичним аспектами проблеми, тобто більш
детальним вивченням методом електронної мікроскопії механізму руйнування
плівкових зразків і установленням внеску розсіювання електронів на межі зерен і
межі поділу шарів у величину тензочутливості.
Робота виконана при частковому фінансуванні Міністерством освіти і науки
України в рамках держбюджетної теми №103U000773.
SUMMARY
Results of researches strain-sensitivity properties single-layer Cr, Cu and two-layer Cu/Cr, Co/Cu films at the
large (to 15 %) deformations are submitted. The received experimental dependences of gage factor from
deformation can be explained by means of change of the contribution of the grain boundary mechanism of
scattering of electrical current carrier at different stages of deformation.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
14. Сергеев В.С., Кузнецов О.А., Захаров Н.П. и др. Напряжения и деформации в элементах микросхем. –
Москва: Радио и связь, 1987.–88 с.
15. Bruckner w., Sobe G., Griebmann H. et all. Mechenical stress and electrical resistance of Cr Si –O thin films
// Thin Solid Films. – 1995. – V.261. – P. 90-97.
16. Vinci R.P., Zielincki E.M., Bravman I.C. Thermal strain and stress in copper thin films // Thin Solid Films. –
1995. – V.262. – P. 142–153.
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
23
17. Tamulevichius S. Stress and strain in the vacuum deposited thin films // Vacuum. – 1998. – V.51, №2. – P.
127–139.
18. Chuen-Lin T., Cheng-Chung L.,Yu-Lung T. et all. Determination of the mechanical properties of thin films by
digital phase shifting interferometry // Opt. Comm. – 2001. – V. 198.–P. 325–331.
19. Bruckner W., Thomas J., Shueider С.M. Evolution of stress and microstructure in NiFe (20 wt.%) thin films
during annealing // Thin Solid Films.– 2001.– V.385.– P. 225–229.
20. Юзевич В.М., Коман Б.П. Механічні напруження в тонких плівках міді на монокристалічному
кремнії//Металлофиз. новейшие технол.– 2003.– Т.25, №6.– С.747–761.
21. Aviles F., Oliva A.I., Aznarel I.A. Dynamical thermal model for thin metallic film–substrate system with
resistive heating // Appl. Sur. Sci. – 2003. – V. 206. – P. 336–344.
22. Клокова Н.П. Тензорезисторы. – Москва: Машиностроение, 1990.– 224 с.
23. Rajanna K., Nayak M.M. Strain Sensitivity and temperature behavior of invar alloy films // Mat. Sci and Eng.
– 2000. – V.1377. – P. 288–292.
24. Jen S.U., Yu C.C., Lui C.H. et all. Piezoresistance and electrical resistivity of Pd, Au and Cu films // Thin
Solid Films. – 2003. – V. 434. – P. 316–322.
25. Проценко С.І., Чорноус А.М. Дослідження і прогнозування тензорезистивних властивостей плівкових
систем на основі Cr, Cu і Sc // Металлофиз. новейшие технол. – 2003. – Т. 25, №5. – С. 587–601.
26. Носкова Н.И., Волкова Е.Г. Исследование деформации методом “in situ” нанокристаллической меди //
ФММ. – 2001. – Т. 91, №6. –С. 100–107.
27. Носкова Н.И., Волкова Е.Г. Исследование деформации методом “in situ” нанокристаллического сплава
Fe73,5Cu1Nb3Si13,5B9//ФММ.– 2001.– Т.92, №4.– С.107–111.
28. Coupeau C., Naud J.F., Cleymand F. et all. Atomic force of in situ deformed Ni thin films // Thin Solid Films.
– 1999. –V. 353. – P. 194–200.
29. Huang H., Spaepen F. Tensile testing of free-standing Cu, Ag and Al thin films and Ag/Cu multilayers. –
2000. – V .48. – P. –3261–3269.
30. Килиан Х.Г., Веттегрень В.И., Светлов В.Н. Иерархия ансамблей дефектов на поверхности
нагруженной меди // ФТТ. – 2001. – Т. 34, Вып. 11. – С. 2107–2111.
31. Огородников В.В., Малишевский К.В. Молекулярно-динамическое моделирование растяжения
нанокристалла NiAl //Металлофиз. новейшие технол. –2001. – Т. 23, №8. – С. 1029–1039.
32. Андриевский Р.А., Глезер А.М. Размерные эффекты в нанокристаллических материалах //
Механические и физические свойства.– 2000.– Т.89, №1.–С. 91–112.
33. Поздняков В.А.,
Глезер А.М.
Структурные
механизмы
пластической
деформации
нанокристаллических материалов // ФТТ. – 2002. – Т. 44, Вып. 4. – С. 705–709.
34. Мышляев М.М., Миронов C.Ю. О механизме деформации субмикрокристаллического титана // ФТТ. –
2002. – Т. 44, Вып. 4. – С. 711–716.
35. Глезер А.М., Недислокационные моды пластической деформации твердых тел // Изв. АН. Серия
физическая. – 2003. – Т. 67, №6. – С. 810–817.
36. Моисеев В.Ф., Печковский Э.П. Деформационная структура металлов и диаграммы ИДТ // Успехи
физ. мат. – 2001. – Т.2. – С. 151–187.
37. Физическое металловедение Дефекты кристаллического строения. Механические свойства металлов и
сплавов / Под ред. Р.Кана / Пер. с англ.– Москва: Мир, 1968. Вып. 3.– 484 с.
Надійшла до редакції 18 лютого 2003 р.
“Вісник СумДУ”, №10(56), 2003
24