ЛысенкоСАСФУ

УДК 519.677
ОБЛАСТЬ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ТЬЮРИНГА ДЛЯ СИСТЕМЫ
ШНАКЕНБЕРГА И ЕЁ КОМПЬЮТЕРНАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ
Лысенко С. А.,
научный руководитель канд. физ.-мат. наук, доцент Ревина С.В.
Южный федеральный университет
Как было установлено в работе Тьюринга в 1952 году, при определённых
условиях химические вещества могут в процессе реакции и диффузии создавать
устойчивые гетерогенные пространственные структуры, содержащие различные
концентрации самого химического вещества и морфогена. Процесс описывается в
терминах морфогенов, участвующих в реакции-диффузии, при этом требуется
получить необходимые условия реакционной кинетики и диффузионные
коэффициенты, а также ожидаемый тип пространственной структуры.
Существует множество различных систем реакции-диффузии, и одной из
простейших систем этого класса является система Шнакенберга, впервые
рассмотренная в 1979 году:
Это система двух уравнений в частных производных, где неизвестные u=u(x, t) и
v=v(x, t) представляют собой концентрации двух биохимических веществ в точке x в
момент времени t>0, которые являются активатором и субстратом. Параметр d –
положительный коэффициент диффузии, Gamma – положительная постоянная,
характеризующая относительную силу влияния слагаемых реакции, a и b –
положительные параметры реакции в данной биохимической системе.
Исследованию этой системы посвящено значительное количество литературы. В
первую очередь следует упомянуть книгу [1] во второй главе которой рассказывается о
роли пространственных структур (паттернов) в биологии и о Тьюринговых механизмах
реакции-диффузии для системы Шнакенберга, подробно рассматриваются общие
условия диффузионной неустойчивости паттернов, а также анализ их возникновения и
эволюции. Также представляет интерес статья [2] , в которой представлены
аналитические методы изучения существования и устойчивости стационарных кратных
пятен для систем реакции-диффузии и рассматриваются два класса систем реакциидиффузии: системы вида активатор-ингибитор (система Жирера-Мейнхарда) и системы
вида активатор-субстрат (система Грэя-Скотта и модель Шнакенберга). Результаты,
полученные численным моделированием, интерпретируются в статье в биологическом,
химическом и экологическом контекстах.
В представляемом докладе демонстрируются результаты исследования области
неустойчивости Тьюринга для системы Шнакенберга с использованием собственной
компьютерной программы SchnakenbergSystemResearch. В ней используется тот же
подход, что и в ранее созданном автором программном комплексе PhaseVisualizer 1.0,
описание которого представлено в [3], [4] и [5]. В основе графического интерфейса
программы SchnakenbergSystemResearch лежат приёмы визуализации решений
дифференциальных уравнений и систем, использовавшиеся в программном комплексе
PhaseVisualizer 1.0, а именно, возможность изменять параметры с малым шагом при
помощи компонентов ScrollBar и наблюдать при этом автоматическое перестроение
графиков и фазовых портретов. Программа PhaseVisualizer 1.0 представляет собой
графическое приложение, состоящее из девяти модулей, каждый из которых наглядно
иллюстрирует свойства решений определённого класса задач, в числе которых
уравнения различных нелинейных колебаний, солитонные уравнения, модели реакциидиффузии (уравнение Фишера и система Фитцхью-Нагумо).
В основе математической модели, описываемой системой Шнакенберга, лежит
концепция неустойчивости Тьюринга: для неустойчивости стационарного состояния
необходимы устойчивость по отношению к пространственно-однородным
возмущениям и неустойчивость по отношению к некоторым пространственнонеоднородным возмущениям.
Рассматриваемая область неустойчивости Тьюринга задаётся следующими
необходимыми условиями: это четыре неравенства, которые должны выполняться
одновременно:
При введении новых переменных x=a+b и y=b-a и с учётом того, что второе
неравенство выполняется всегда, а выполнение третьего неравенства следует из
выполнения четвёртого (в рассматриваемой математической модели a>0, b>0, d>1), мы
получаем двойное неравенство, задающее исследуемую область неустойчивости
Тьюринга для системы Шнакенберга:
Программа SchnakenbergSystemResearch обладает удобным интерфейсом для
пошагового изменения значений x, y, d, и при этом, благодаря автоматическому
масштабированию графического окна при изменении значения d, всегда можно легко
выбрать значения x и y, принадлежащие области неустойчивости Тьюринга (в
графическом окне программы она обозначена жёлтым цветом). Масштаб
автоматически подбирается программой так, что область неустойчивости Тьюринга не
оказывается за пределами экрана даже при достаточно больших значениях
соответствующих x и y.
Программа позволяет проводить эксперименты по отысканию неустойчивых
мод в диапазоне, задаваемом следующим двойным неравенством:
Функции L(a,b,d) и M(a,b,d) описывают симметричные части пространственной
поверхности, задаваемые следующими формулами:
С использованием пакета Maple построены следующие
поверхности, задаваемой функциями L(x, y, d) и M(x, y, d):
изображения
Интерфейс программы даёт возможность отслеживать возникновение новых
неустойчивых мод при пошаговом изменении коэффициента d, тогда как значения x и y
фиксируются и сохраняются неизменными. Результаты представляются в программе в
виде таблицы. Так, при фиксированных значениях x=6.5 и y=254, принадлежащих
области неустойчивости Тьюринга, и при d от 1.5 до 10 включительно может быть от
одной до пяти неустойчивых мод, и программа позволяет экспериментально
определить, при каких значениях d (с точностью до шага по d) возникают новые
неустойчивые моды:
На рисунке слева видно, что при d=1.5 имеется только одна неустойчивая мода –
k^2=4, а на рисунке справа, при d=3.1 их уже пять – 1, 4, 9, 16, 25.
Компьютерный эксперимент подтверждает, что необходимые условия
неустойчивости Тьюринга не всегда являются достаточными и, кроме того, программа
позволяет находить критические значения параметра d, при которых у системы
возникают новые неустойчивые моды, для различных значений x и y, принадлежащих
области неустойчивости Тьюринга.
Литература:
[1] Murray J. D. Mathematical biology II: Spatial models and biomedical applications.
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. - C. 71-98.
[2] Stationary multiple spots for reaction-diffusion systems / Wei J., Winter M. // SpringerVerlag, 2007. - C. 53-89.
[3] Лысенко С. А. Приложение для визуализации решений дифференциальных
уравнений и систем // Современные информационные технологии: тенденции и
перспективы развития. Материалы конференции; Южный федеральный университет. Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2014. С. 270-272.
[4] Лысенко С. А. Приложение для визуализации решений дифференциальных
уравнений и систем PhaseVisualizer 1.0 // Хроники объединённого фонда электронных
ресурсов <<Наука и образование>>. - 2013. - №7 (50). - С. 22-23 [Электронный ресурс].
- URL: http://ofernio.ru/portal/newspaper/ofernio/2013/7.doc (дата обращения: 2.06.2014).
[5] Лысенко С. А. Компьютерная программа для визуализации решений
дифференциальных уравнений и систем PhaseVisualizer 1.0 // Учебно-методические
разработки ЮФУ [Электронный ресурс]. - URL: http://open-edu.sfedu.ru/pub/2425 (дата
обращения: 2.06.2014).