УТВЕРЖДАЮ Начальник Управления организации научных исследований
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ Начальник Управления организации научных исследований Подпись ___________ Н.Г. Сорока Дата м.п. РЕКЛАМНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ Приложение для визуализации решений дифференциальных уравнений и систем PhaseVisualizer 1.0 .02069148.00107-01 99 01 Листов 11 Разработчик: _________________/Лысенко С.А./ 06.06.2013> Ростов-на-Дону 2013 2 . 02069148.00107-01 99 01 1. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ НАЗНАЧЕНИЕ ПРОГРАММЫ, ОБЛАСТЬ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ, ЕЕ ОГРАНИЧЕНИЯ Программа PhaseVisualizer 1.0 предназначена для визуализации решений различных дифференциальных уравнений и систем. Это графическое приложение, состоящее из девяти модулей (рис. 1), каждый из которых иллюстрирует свойства решений определённого класса задач, таких как двумерные линейные системы, уравнения линейных и нелинейных колебаний маятника, уравнения Дюффинга, уравнения реакции-диффузии, уравнения в частных производных, имеющие солитонные решения. Функциональные возможности каждого модуля программы определяются типом рассматриваемой задачи. В модулях программы реализовано построение фазовых портретов, графиков функций и векторных полей, а также визуализация фазового потока и анимации различных физических процессов: колебания маятника, движение солитонных волн, процесс диффузии. Рисунок 1 3 . 02069148.00107-01 99 01 Одновременно с графическим представлением результатов происходит их вывод в числовом виде: в специальных окнах печатаются собственные значения и координаты собственных векторов (в модуле “Линейные системы”), выводятся таблицы зависимости периода колебаний и энергии от амплитуды для замкнутых траекторий консервативной системы с кубической нелинейностью (в модуле “Осциллятор Дюффинга”). Кроме того, показываются координаты точек равновесия (в модулях “Система ФитцХью-Нагумо”, “Уравнение реакции”) и значения динамических переменных в различные моменты времени (в модуле “Нелинейный маятник”). Программа также позволяет наблюдать перестроение фазового портрета при определённых изменениях рассматриваемой системы или некоторых её параметров. Изменение параметров реализуется в модулях программы при помощи движков ScrollBar (рис. 2). Рисунок 2 Рисунок 3 4 . 02069148.00107-01 99 01 В модуле “Система ФитцХью-Нагумо” для выбора комбинации двух параметров предусмотрено специальное графическое окно (рис. 3), где по осям координат отложены параметры системы, а области, закрашенные различными цветами, соответствуют трём качественно различным динамическим режимам системы. Перемещая с помощью мыши точкукурсор по диаграмме (по аналогии с движком ScrollBar), мы можем выбирать различные комбинации двух параметров. Графический интерфейс программы с использованием движков ScrollBar и графической диаграммы для двух параметров даёт возможность изменять параметры с малым шагом и в определённых пределах, и при этом наблюдать постепенное перестроение фазового портрета системы, происходящее автоматически. При переходе через некоторые значения параметров в системе может произойти бифуркация (появление или исчезновение точки равновесия, слияние двух точек равновесия, смена устойчивости равновесия). В этих случаях качественные изменения фазового портрета системы наглядно демонстрируются программой. В модуле “Уравнение реакции” рассматривается уравнение, в котором нелинейное слагаемое представлено многочленом третьей степени. Графический интерфейс модуля позволяет изменять вид нелинейного слагаемого исходного уравнения, перестраивая график соответствующей кубической параболы (рис. 4). Для этого надо с помощью мыши (по аналогии с движком ScrollBar) перемещать вдоль горизонтальной оси точки, соответствующие нулям графика. Вид графика нелинейности при этом автоматически изменяется, и соответствующим образом перестраивается фазовый портрет системы, смещаются также и точки равновесия системы (рис. 5). 5 . 02069148.00107-01 99 01 Рисунок 4 Рисунок 5 Программа также позволяет получить наглядную интерпретацию фазового потока. Для этого в ней реализована визуализация движения случайного набора точек на фазовой плоскости (рис. 6 и рис. 7). При запуске анимации можно наблюдать перемещение фазовых точек, по которому можно судить об устойчивости положений равновесия и о характере изменения динамических переменных системы с течением времени. Рисунок 6 Рисунок 7 6 . 02069148.00107-01 99 01 В модулях, иллюстрирующих колебания маятника, представлена визуализация механических движений маятника, соответствующих различным фазовым кривым. В модуле “Линейный маятник” рассматриваются малые колебания линеаризованного маятника в окрестности нижнего положения равновесия. В модуле “Нелинейный маятник” демонстрируются колебания нелинейного маятника с трением (рис. 8). Рисунок 8 С помощью движков ScrollBar могут быть выбраны начальные значения динамических переменных. В графическом окне они отображаются в виде точки на фазовой плоскости, из которой выходит кривая, отвечающая движениям маятника при заданных начальных условиях. изменении Фазовая кривая начальных автоматически условий. В других перестраивается графических при окнах изображаются графики зависимости динамических переменных от времени. 7 . 02069148.00107-01 99 01 При запуске анимации колебаний маятника одновременно демонстрируется движение точки на фазовой плоскости вдоль соответствующей фазовой кривой, а значения динамических переменных в текущий момент времени отображаются на графиках и на панели состояний. Для изменения коэффициента трения предусмотрен движок ScrollBar, при использовании которого происходит изменение вида исходного уравнения, а также соответствующее перестроение фазового портрета. Модули “Солитоны” и “Уравнение диффузии” предназначены для визуализации физических процессов, связанных с уравнениями в частных производных. В модуле “Cолитоны” (рис. 9) реализована анимация движения уединённых (солитонных) волн, соответствующих решениям солитонных уравнений (уравнение синуса Гордона, уравнение Кортевега-де-Фриза). При помощи движка ScrollBar можно изменять параметр, влияющий на высоту волны и скорость её распространения. Рисунок 9 Модуль “Уравнение диффузии” предназначен для исследования уравнения диффузии (теплопроводности) с краевыми условиями первого рода. Разработан графический интерфейс для задания начальных и краевых условий (рис. 10). Начальная функция, 8 . 02069148.00107-01 99 01 представленная в виде многочлена, может быть изменена вертикальным перемещением (при помощи мыши) точек, соответствующих узлам интерполяции, а краевые условия (постоянные значения температуры на концах стержня) определяются расположением крайних узловых точек. Можно изменять количество узлов интерполяции. Решение ищется конечно-разностным методом, и найденные значения функции решения в узлах сетки выводятся в таблицу. При запуске анимации можно наблюдать перестроение графика функции с течением времени, а также изменение распределения температуры на нижней цветовой диаграмме. Более яркий цвет на цветовой диаграмме соответствует большему значению температуры, менее яркий цвет – меньшему. Анимация распространение тепла в стержне с течением времени. Рисунок 10 демонстрирует 9 . 02069148.00107-01 99 01 Возможная область применения программы PhaseVisualizer 1.0 – это изучение дифференциальных уравнений и их приложений. Модули программы могут быть использованы в качестве демонстрационных примеров, так как они позволяют представить физический смысл переменных и параметров, а также их взаимосвязь. Функциональные возможности программы дают возможность проведения виртуальных экспериментов и анализа результатов. Программа была написана в среде Turbo Delphi, для изображения графических окон использовался компонент TCanvas. В модулях “Линейные системы”, “Линейный маятник”, “Уравнение Дюффинга”, “Солитоны” реализована визуализация уже известных точных решений. В модулях “Нелинейный маятник”, “Уравнение Фишера”, “Система ФитцХью-Нагумо”, “Уравнение реакции” для решения двумерных систем ОДУ, к которым сводятся рассматриваемые задачи, используется метод Рунге-Кутта 4-го порядка. В модуле “Уравнение диффузии” для решения уравнения в частных производных применяется конечно-разностный метод. Основные ограничения при использовании программы связаны с тем, что каждый её модуль имеет узко специализированное назначение и может применяться для изучения свойств решений только одного заданного типа уравнений. Пределы изменения параметров, минимальный шаг их изменения, а также масштабы графических окон являются для каждого модуля фиксированными и не могут быть изменены пользователем. Все эти характеристики выбраны в процессе создания и отладки модулей так, чтобы наиболее точно обозначить интересующие свойства решений заданных уравнений, дать им чёткую, наглядную интерпретацию средствами компьютерной графики. 10 . 02069148.00107-01 99 01 2. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА Для работы с программой необходимо иметь персональный компьютер с процессором типа Pentium и операционной системой Windows 2000 и выше и оперативной памятью от 512 МБ. Для корректного отображения графических окон необходимо разрешение экрана не менее 1280 на 1024 точек. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНЕНИЯ И ТРЕБОВАНИЯ ОРГАНИЗАЦИОННОГО, ТЕХНИЧЕСКОГО И ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА Работа пользователя с программой осуществляется в интерактивном режиме. Пользователь при помощи мыши, используя движки ScrollBar, изменяет значения параметров и начальные условия задачи. Программа автоматически реагирует на действия пользователя: она производит необходимые вычисления, формирует соответствующие графические изображения и выводит их на экран. Ввод значений с клавиатуры при работе с программой не используется. Использование сенсорной панели вместо мыши (при работе на ноутбуке) может затруднить работу пользователя с графическим интерфейсом программы. Программные модули вызываются из основного окна программы нажатием кнопок с изображениями окон соответствующих приложений. Не допускается работа одновременно с двумя модулями, но при закрытии окна модуля все данные сохраняются (в том числе и режим анимации, если он был включён) и при повторном открытии модуль остаётся в том же состоянии, что и перед его закрытием. Поэтому, если перед закрытием модуля не была остановлена анимация, то это может уменьшить скорость работы других модулей. 11 . 02069148.00107-01 99 01 В большинстве модулей программы при запущенной анимации интерактивный режим работы сохраняется: производя малые изменения параметров, пользователь может наблюдать изменение характера движения фазового потока или распространения волн. 4. УСЛОВИЯ ПЕРЕДАЧИ ПРОГРАММНОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ ИЛИ ЕЕ ПРОДАЖИ Программа в виде файла-архива PhaseVisualizer 1.0.zip может быть предоставлена всем желающим. Также возможна передача отдельных модулей программы в виде исполняемых файлов.