Основные задачи теории массового обслуживания

ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
1 задача. Схема гибели и размножения.
Мы знаем, что, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко
написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а так же написать и решить
алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается
последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности это удается сделать,
если граф состояний системы представляет собой так называемую "схему гибели и
размножения".
01
12
23 k-1,k
k,k+1
n-1,n
┌────┐ ┌────┐ ┌────┐
┌────┐
┌────┐ ┌────┐
│ S0 ├─>│ S1 ├─>│ S2 ├─>..─>│ Sk ├─>...─>│Sn-1├─>│ Sn │
│
│<─│
│<─│
│<─..<─│
│<──..<─│
│<─│
│
└────┘ └────┘ └────┘
└────┘
└────┘ └────┘
10
21
32 k,k-1
k+1,k
n,n-1
Рис. 1.
Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 1.
Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку,
в которой каждое из средних состояний (S1, S2,..., Sn-1) связано прямой и обратной
стрелкой с каждым из соседних состояний - правым и левым, а крайние состояния (S0, Sn) только с одним соседним состоянием. Термин "схема гибели и размножения" ведет начало
от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности
популяции.
Схема гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в
частности - в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти
для нее финальные вероятности состояний.
Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие (для краткости будем называть систему S и протекающий в ней процесс простейшим).
Пользуясь графом рис. 1 составим и решим алгебраические уравнения для
финальных вероятностей состояний (их существование вытекает из того, что из каждого
состояния можно перейти в каждое другое, и число состояний конечно). Для первого
состояния S0 имеем:
01p0 = 10p1
Для второго состояния S1:
(12 + 10)p1 = 01p0 + 21p2
Подставляя в последнее равенство уравнение для первого состояния, получаем
упрощенное уравнение для второго состояния S1:
12p1 = 21p2;
далее, совершенно аналогично:
23p2 = 32p3;
и вообще:
k-1,k pk-1 = k,k-1pk;
где k принимает все значения от 0 до n. Итак, финальные вероятности р0, р1,... , рn
удовлетворяют уравнениям:
01p0 = 10p1
12p1 = 21p2
…
k-1,k pk-1 = k,k-1pk;
…
n-1,n pn-1 = n,n-1pn;
(1)
кроме того, надо учесть нормировочное условие:
р0+р1+р2+...+рn = 1.
Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (1) выразим р1 через р0:
01
p1 = ───── p0.
10
(2)
Из второго с учетом (2) получим:
12
12 01
p2 = ──── p1 = ───── p0,
21
21 10
(3)
из третьего, с учетом (3):
23 12 01
p3 = ──────── p0,
32 21 10
(4)
и вообще для любого k (от 1 до n):
k-1,k ... 12 01
pk = ───────────── p0.
k,k-1 ... 21 10
(5)
Обратим внимание на формулу (5). В числителе стоит произведение всех
интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного
состояния Sk), а в знаменателе - произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок,
ведущих справа налево (с начала и до Sk).
Таким образом, все вероятности состояний р0, р1,..., рn выражены через одну из них
(р0). Подставим это выражение в нормировочное условие получим, вынося за скобку р0:
01 12 01
n-1,n… 12 01
p0 ( 1 + ── + ────── + ... + ─────────── ) = 1
10 21 10
n,n-1… 21 10
отсюда получим выражение для р0:
01 12 01
n-1,n… 12 01 -1
p0 = ( 1 + ── + ────── + ... + ─────────── )
(6)
10 21 10
n,n-1… 21 10
(скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные
вероятности выражены через р0 (см. формулы (2)-(5) ). Заметим, что коэффициенты при рi
в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда,
стоящего после единицы в формуле (6). Значит, вычисляя р0 мы уже нашли все эти
коэффициенты.
Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории
массового обслуживания.