еменычевÐ&#39

JEL Codes: C22, L71, D91
В.К.Семенычев, Е.И. Куркин, Е.В.Семенычев, А.А. Данилова
Инструментарий моделирования колебательной компоненты в колоколообразных кривых
жизненного цикла продукта
Предложен инструментарий из сочетаний моделей колоколообразных трендов жизненного
цикла продукта (ЖЦП), пяти различных структур моделей колебательной компоненты, а также
методов их идентификации на основе генетического алгоритма и моделей авторегрессиискользящего
среднего
(ARMA-моделей).
Показаны
примеры
достижения
данным
инструментарием высокой точности моделирования и, главное, прогнозирования траектории ЖЦП
на реальных выборках добычи нефти, газа и угля.
Ключевые слова: жизненный цикл продукта, нефть, газ, уголь, колоколообразный тренд,
колебательные компоненты, генетический алгоритм, ARMA-модель.
Product life cycle models set consisting of bell-shape trend models and five oscillating components
structures was suggested. Genetic algorithm type method with ARMA model construction to allocate
frequencies was submitted to model parameters identification. The examples of oil, gas and coal mining
real samples modeling and forecasting with all proposed models was considered.
Keywords: product life cycle, bell-shape trend, oscillating component, genetic algorithm, ARMA
model, oil, gas, coal, mining.
1. Введение
ЖЦП (товара, услуги, бренда, организации и др.) характеризует динамику натуральных
единиц или получаемого дохода от момента вывода продукта на рынок до ухода его с рынка.
Анализ ЖЦП осуществляется для принятия решений по продлению более прибыльных этапов
жизненного цикла, включает в себя моделирование траектории и прогноз динамики ее уровней.
В качестве актуальных примеров ЖЦП будем рассматривать динамику добычи нефти, газа и
угля, так как она оказывает существенное влияние на бюджеты добывающих стран. При
математическом моделировании процессов добычи продукта можно применять дедуктивный
подход, заключающийся в расчете фильтрационных течений в реальном пласте на основе
численного решения общих уравнений движения жидкостей и газов в пористой среде и т.п.
(Хасанов, Карачурин, Тяжев, 2001). Данный подход, однако, имеет ограниченное применение
вследствие обычно имеющего места недостатка детальной информации о геологическом строении
пласта, не учитывает особенности эксплуатации месторождений владельцем, динамику аварий,
влияние сезонных ограничений и человеческого фактора, с трудом допускает распространение на
большие территории добычи.
1
Альтернативой является построение феноменологических моделей, под которыми понимают
эмпирически устанавливаемые закономерности. Такие модели применяют, опираясь на статистику
данных в случаях, когда детальная картина явления сложна, а задачи моделирования и, главное,
прогнозирования добычи продукта актуальны. Известно, что большое число феноменологических
моделей для трендов объемов добычи продукта для отдельных месторождений, регионов и стран
имеют колоколообразную форму (Хасанов, Карачурин, Тяжев, 2001; Мирзаджанзаде, Хасанов,
Бахтизин, 2004).
Одной из первых и широко используемых до настоящего времени феноменологической
моделью является симметричная относительно t0 формула Хабберта (Hubbert, 1956; Bardi U.,
Yaxley, 2005; Бажанов, Выскребенцев, 2007):
Y t  
Tmax  2
  t  ,
1  ch   t  t0  
(1)
где ch   t  t0   - гиперболический косинус, t0 - абсцисса ЖЦП, соответствующая максимуму
тренда Tmax траектории ЖЦП,   t  - стохастическая компонента наблюдений ЖЦП, t0 - абсцисса
ЖЦП, соответствующая максимуму Tmax тренда, а параметр  определяет наклоны кривой роста
и падения добычи.
Симметричная формула С.П. Капицы (Капица, 1999), была предложена впервые для
моделирования динамики численности народонаселения Земли, а более поздние исследования
(Хасанова, Карачурина, Тяжева, 2001) показали, что она успешно моделирует динамику ЖЦП
месторождений добычи нефти, газа и угля и других невозобновляемых ресурсов:
Y t  
Tmax   2
 t  t0 2   2
  t  .
В качестве третьей, также симметричной кривой ЖЦП, примем модель Гаусса (Bartlett,
2000; Brandt, 2007):
2
 t t /  2
Y  t   Ymax e  0 
  t  .
Известна и несимметричная модель Хаммонда и Маккея (Hammond, Mackay, 1993)
Y t  
Ymax   t t0   t t
t
e
  t  ,
Norm
 t t  t t
где Norm  t0   0 e   0 .
Применение известных моделей к динамике тренда продукта отдельных месторождений,
регионов и стран показало, что в большинстве случаев колоколообразные траектории трендов
несимметричны: длительность этапа спада ЖЦП дольше длительности этапа роста (Bartlett, 2000;
Brandt, 2007; Hammond, Mackay, 1993; Мирзаджанзаде, Хасанов, Бахтизин, 2004). При этом
известным приемом трансформации симметричных моделей в несимметричные является задание
параметра  в моделях Хабберта и Гаусса в виде логистической функции Ферхюльста от времени
2
 (t )  1  ( 2  1 )(1  e

t  t0
T
) , изменяющейся во времени от значения  1 на этапе роста до
значения  2 на этапе падения ЖЦП (Brandt, 2009).
Предложенное
расширение
  1  ( 2  1 )e 0,7e
_(
t t0
T
)
законов
изменения
 (t )
на
t t0



, Ричардса   1  ( 2  1 ) 1  e  T


функцию
Гомпертца
 T1




(в нее дополнительно
заложили возможность регулировки скорости изменения наклона логистических моделей при
t t0

 t  t0   

T
помощи параметра  T1 ), а также Рамсея   1   2  1  1  1 
e

T 



  1


*
 , для t  t0 и


при t  t0* (где t  t0  1,678T ), приведенное в (Семенычев В.К., Куркин, Семенычев
Е.В., 2012; Семенычев Е.В., Куркин, Молостова, 2012), показало, что большое количество
моделирований трендов можно с высокой точностью реализовать на таких моделях при
соответствующем выборе логистической функции, обеспечивающей асимметрию.
Вместе с тем, анализ известных данных по траекториям ЖЦП показал, что во многих
случаях
при
довольно
удовлетворительная
высокой
точность
точности
моделирования
прогнозирования
при
наличии
трендов
в
не
обеспечивается
наблюдениях
выборки
колебательной компоненты, к которой отнесены сезонное и циклическое колебания траектории
ЖЦП вокруг уровней тренда, меньшие тренда по амплитуде, но более динамичные.
Системного подхода к решению данной проблемы, отражающего многообразие возможных
структур взаимодействия колебательной компоненты с трендом, в известной отечественной и
зарубежной литературе не обнаружено.
2. Модели взаимодействия колебательной компоненты с трендом
Моделирование взаимодействия колебательной компоненты с трендом будем осуществлять
на основе параметрического подхода, который в большей мере ориентирован на задачу
прогнозирования и обычно требует для своей реализации меньшего объема выборок (Айвазян,
2001), чем непараметрический, подробно описанный в работе (Berndstrup, Hylleberg, 2002;
Семенычев В.К., Семенычев Е.В., 2011).
Наиболее просто считать колебательную компоненту не взаимодействующей с трендом
(независимой) и входящей аддитивно в структуру ряда динамики имеющихся на практике
наблюдений
Yk  Tk  SkA   k ,
(3)
где Yk - уровни определяемого параметра ЖЦП, Tk - уровни тренда, SkA - уровни аддитивной
колебательной компоненты,  k
- уровни стохастической компоненты, k  1,..., n - номера
наблюдений ряда динамики при шаге опроса  , n - объем выборки.
3
На практике зачастую имеет место и более сложное взаимодействие колебательной
компоненты с трендом ЖЦП.
Например, встречаются случаи пропорционально-мультипликативного взаимодействия,
когда колебательная компонента ряда пропорциональна уровням тренда (Семенычев В.К.,
Семенычев Е.В., 2011):
Yk  Tk 1  SkM    k  Tk  Tk SkM   k ,
(4)
где S kM - мультипликативная колебательная компонента (при условии SkM  1 ).
Более общим случаем является возможность присутствия в структуре ряда одновременно и
аддитивной и пропорционально мультипликативной колебательных компонент:
Yk  Tk 1  SkM   SkA   k .
(5)
Однако для модели (5) авторам известен алгоритм идентификации параметров (Семенычев
В.К., Семенычев Е.В., Куркин, 2010) лишь в случае представления тренда в виде полинома
NT
степени NT с линейными параметрами Di ( Tk    Di 1  k  

i 0
NT i
 ), а колебательных компонент,

как это обычно делается (Pollock, 1993) - рядами гармоник с частотами  q и  r
NM
NA
q 1
r 1
SkM    Aq sin q k    Bq cos q k    , SkA    Er sin  r k    Fr cos  r k   ).
Для колоколообразных моделей трендов ЖЦП целесообразно предложить и взвешенную
по амплитуде аддитивно-мультипликативная модель колебательной компоненты вида:
N


Tk
Yk  Tk  SkAM   k , где SkAM   Ai   1   i    i
  sin i k   i  .
max Tk  
i 1

(6)
Веса  i в модели (6) соответствуют частотам i колебательной компоненты, а параметр
max Tk 
обеспечивает нормировку для возможности сравнения амплитуд аддитивной и
мультипликативной колебательных компонент в одном диапазоне значений. Модель (6) обобщает
структуру (3) (при  i  0 ) и структуру (4) (при  i  1 ). Свойства модели (6) демонстрирует
N
представление
ее
в
виде
суммы
гармоник
S kAM   S kAM i ,
где
i 1


Tk
SkAM i  Ai   1   i    i
  sin i k   i  . Каждая гармоника в этом случае будет суммой
max Tk  

мультипликативной
SkM  Ai
Tk
sin i k   i 
max Tk 
и
аддитивной
SkA  Ai sin i k   i 
гармоник с частотами i , взятыми с весами  i и 1   i .
Наглядная графическая иллюстрация наложения аддитивной модели (3), пропорциональномультипликативной модели (4) и взвешенной по амплитуде аддитивно-мультипликативной
4
модели (6) колебательных компонент на колоколообразный тренд ЖЦП с произвольно
выбранными параметрами показана на рис. 1.
1.2
1.2
Y
1
1.2
Y
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
20
30
40
= (1- )S A +  S M
0.8
0.6
10
S = S AM=
 = 0.7
S = SM
S = SA
0
Y
1
t
50
0
0.2
10
20
30
40
t
50
0
10
20
30
40
t
50
Рис. 1. Демонстрация взвешенной по амплитуде аддитивно-мультипликативной
колебательной компоненты
В модели (5) при значениях уровней тренда, близких к нулю, пропорциональномультипликативная колебательная компонента также будет стремиться к нулю, становясь
соизмеримой с уровнями стохастической компоненты  k , что может существенно снизить
точность идентификации S kM . Модель (6) избавлена от этого недостатка, поэтому ее можно
интерпретировать как метод повышения точности (вычислительной устойчивости) идентификации
компоненты S kM для прогнозирования на этапе спада ЖЦП. Значения  i определяют вес
аддитивного и мультипликативного вхождения каждой частоты i независимо от других частот,
что приводит к более наглядному разделению амплитуд, частот и фаз.
Логично предположить, что тренд в ЖЦП, как и во многих социально-экономических
системах, «отражает инерционные свойства»: при больших уровнях тренда траектория
колебательной компоненты более устойчива по частоте и изменения частоты будут меньше, чем
при малых значениях тренда. Именно такой характер изменения частоты колебательной
компоненты наблюдался в некоторых реальных выборках ЖЦП.
Для моделирования таких случаев введем параметр 
в следующую формулу для
мгновенной частоты:
 Tk 

 Tmax 

k   
(7)
Тогда фаза колебаний переменной частоты колебательной компоненты определится как
интеграл от мгновенной частоты (Сергиенко, 2002):
 T s 
 k     s  ds  0    

T 
t0
t0  max 
tk
tk

ds  0 .
(8)
Учитывая выражения (7), (8) и (6), можно в данном случае говорить, по аналогии с (6), о
взвешенной по частоте колебательной компоненте:
5
0
 i
t
N


 T
  k  T  s  
S 1   Ai 1   i  k  1 sin  i  
ds  i ,


i 1
 Tmax
  t0  Tmax 


S
2
(9)
i
 tk  T  s    i

 Tk 
  Ai 
ds  i .
 sin  i  


T
i 1
 Tmax 
 t0  max 

N
(10)
Частота и амплитуда в (9) и (10) могут быть постоянными (при   0 ,   0 ), а могут и
зависеть от тренда (рис. 2).
Y
2 0.3
 0
Y
15 15
15 15
3 
0.30.3
2
10 10
10 10
TrendTrend
( t) ( t)
Y2( t )Y( t )
5
t
20
25
5
Y3( t )
5
Season3
( t) ( t)
Season2
0
0
5
5
а) 0
30
Trend( t )
Y3( tY2
) ( t)
5
5
5
10 10
15 15
t
20 20
25 25
30 30
б)
t
5
5
Season3( t )
0
0
15
10
Trend
( t) ( t)
Trend
Season2
( t) ( t)
Season
15
3  0.3
0
0
5
0
0
5
5
t
10 10
15 15
t
20 20
25 25
5
t
30 30
t
Рис. 2. Вид колебательной компоненты а) с постоянной частотой   0 , б) с переменной частотой
  0,3 . Пунктир – тренд и колебательная компонента, сплошная линия – общий вид модели
В предложенных моделях взвешенной по частоте колебательной компоненте целесообразно
совмещать момент начала интегрирования мгновенной частоты и точку времени достижения пика
ЖЦП. В силу этого в обозначениях моделей тренда и колебательной компоненты будем
использовать один и тот же параметр t0 . Тогда начальная фаза колебаний  i
будет
соответствовать фазе колебаний добычи на пике добычи нефти, где она может быть определена
наиболее точно. В противном случае погрешность в определении закона изменения частоты
(параметра  ) может существенно влиять на значение фазы колебательной компоненты при пике
добычи, что может снизить точность метода идентификации модели и затруднит экономическую
интерпретацию полученных результатов.
3. Примененные методы идентификации параметров рассматриваемых моделей
Для идентификации параметров рассматриваемых сложных многопараметрических и
нелинейных моделей используется генетический алгоритм, в котором осуществлялся поиск
решения
путём
подбора,
комбинирования
и
вариации
искомых
параметров
методом,
напоминающим биологическую эволюцию. Данный алгоритм предложен впервые в (Holland,
1975) и получил в последние годы существенное распространение (Хасанов, Карачурин, Тяжев,
2001), в том числе и на задачи идентификации параметров моделей временных рядов (Ursu,
Turkman, 2012). Генетический алгоритм состоит из следующих основных стадий реализации:
1) случайным образом генерируется конечный набор пробных решений – первое поколение
параметров модели;
6
0
5
2) производится оценка приспособленности решений текущего поколения (селекция),
исходя из заданного критерия, минимума невязки, рассчитываемой как сумма квадратов
отклонений модельной функции от исходного набора данных;
3) осуществляется выход из алгоритма, если рассчитываемая для текущего поколения
минимальная величина невязки существенно (предел задается априори) не уменьшается при
следующих генерациях, а также, если достигнуто максимальное число поколений;
4) в противном случае генерируется новое поколение параметров посредством операторов
скрещивания и мутаций, затем осуществляется переход к пункту 2 генетического алгоритма.
В процессе селекции отбирают несколько лучших пробных решений на основании
принятого критерия точности, а остальные решения не используют. Скрещивание пары решений
создаёт другую пару, коэффициенты которой вычисляются на основании коэффициентов
исходной пары с помощью какого-либо оператора (в данном случае путем нахождения среднего).
В результате серии скрещиваний размер прореженной популяции увеличивается до размера
исходной. Мутация случайным образом изменяет коэффициенты решений, выводя алгоритм из
состояний определения локальных экстремумов.
Для идентификации моделей, содержащих тренд и колебательные компоненты моделей (3),
(4), (6), (9) и (10), оправдано воспользоваться методом параметрической итеративной
декомпозиции рядов с колебательной компонентой (Семенычев В.К., Семенычев Е.В.,
Коробецкая, 2010). Согласно этому методу генетическим алгоритмом на первой итерации находят
параметрическую модель тренда (Хасанов, Карачурин, Тяжев, 2001; Семенычев В.К., Семенычев
Е.В., 2011). Затем, после детрендирования ряда, идентифицируют колебательную компоненту,
затем осуществляют десезонализацию, вновь идентифицируют тренд и т.д. На реальных выборках
обычно достаточно трех-четырех итераций.
Для идентификации параметров сезонной компоненты в моделях вида (3) и (4) оправдано
использование метода обобщенных параметрических ARMA-моделей ряда динамики (Семенычев
В.К., Семенычев Е.В., 2011). При этом вначале находят оценки частот i , как параметров
соответствующих ARMA-моделей. Затем определяют фазы  i путем представления гармоники в
виде
Ai sin i t  i   Bi sin i t   Ci cos i t  ,
(где
Bi  Ai cos i , Ci  Ai sin i ). После этого
идентифицируют Bi и Ci , рассчитывают параметр i  arctg
Ci
, определяют амплитуду Ai и
Bi
параметр  i . Одновременное нахождение амплитуд, частот, фаз всех гармоник колебательных
компонент, а также весовых параметров в моделях (6), (7), (9), (10) требует решения задачи
идентификации параметров размерности в три (для моделей (3), (4)), в четыре (для модели (6)) и в
пять (для моделей (9), (10)) раз большей, чем число определяемых гармоник. Последовательное
определение параметров колебательной компоненты позволяет сократить в два-три раза
размерность задачи идентификации колебательной компоненты, что особенно актуально при
идентификации моделей колебаний со многими частотами. Использование ARMA-моделей для
7
идентификации частот колебательных компонент оправдано и при идентификации параметров
модели (6) в случае допущения, что частоты i взвешенной колебательной компоненты можно
определить, считая ее аддитивной:
N
S AM  S A   Ai  sin i t  i    i .
i 1
Достоинством примененных ARMA-моделей, в сравнении с известными методами
максимального правдоподобия или нелинейным МНК (Айвазян, 2001) является возможность
применения на относительно коротких выборках при малом числе (до трех-четырех) итераций.
Примененные методы идентификации рассматриваемых колоколообразных моделей ЖЦП с
колебательными компонентами реализованы авторами в
«Программе моделирования и
прогнозирования уровней добычи нефти и газа «Oil_Ident»» (Семенычев В.К., Куркин,
Семенычев Е.В., Рязанцев, Данилова, 2012).
4. Примененная методика оценки точности моделирования и прогнозирования
траектории ЖЦП
В работе рассматривается решение задачи прогнозирования уровней ЖЦП, после того, как
точка пика ЖЦП была пройдена. Разделим исходную выборку на «рабочую часть» наблюдений,
по которой строится модель ЖЦП, и на известную выборку «контрольной части» наблюдений, на
которой будем оценивать точность полученного прогноза (рис. 3). Границу окончания рабочей
части наблюдений выберем на расстоянии tident от времени начала выборки и исследуем точность
при различной глубине прогноза tpr.
Выбор tident может осуществляться достаточно произвольно. Однако оправдано изучать
выборки после прохождения пика добычи, например, с наблюдения tpeak+3< tident < tmax-1, т.е.
выбором tident из следующего диапазона: от трех лет после прохождения пика добычи нефти и до
года перед окончанием известной выборки. Точку разделения данных на «рабочую» и
«контрольную» части будем в процессе анализа смещать по оси времени для оценки достигаемой
точности моделирования и прогнозирования.
Y
5
14
x 10
12
10
8
6
4
t ident
5
10
t pr
15
20
25
30
35
40
t
Рис. 3. Демонстрация методики оценки точности прогноза
8
Затем проведем усреднение оценок параметров по всем выборкам, начинавшихся с tident.
В каждом случае будем сравнивать прогнозы с разным горизонтом прогноза tpr и усреднять
значения критериев по всем tident с одинаковым tpr.
В качестве
критерия точности моделирования траектории принят коэффициент
Nident
детерминации R 2  1 
 Y
k 1
Nident
 YkMod 
k
 Y
k 1
k
 Yk 
2
, а точность прогнозирования оценена с помощью второго
2
N prognoz

коэффициента Тейла Т 2 
Yk  YkMod 

1
k  Nident
N prognoz
Yk2
k  Nident 1


N prognoz

k  Nident 1

2

 100%
, который близок по своим
2
YkMod
значениям к известной MAPE - оценке прогнозирования (Айвазян, 2001), но обладает большей
устойчивостью расчета при значениях уровней ЖЦП, стремящихся к нулю (на стадии падения
уровней добычи). В описании критериев Nident и N prognoz - номера последних значений уровней
ЖЦП, используемых соответственно для построения модели и оценки точности прогноза.
5. Демонстрация предложенного инструментария моделирования и прогнозирования
колебательной компоненты ЖЦП на реальных выборках
Нами проанализированы десятки реальных выборок ЖЦП добычи нефти, газа и угля. Для
каждой из них выбиралась модель тренда с большим значением R 2 . На них и показана
возможность повышения точности прогнозирования с присутствием колебательной компоненты в
траектории ЖЦП.
Порой учет в модели ЖЦП колебательной компоненты не изменял сколь-либо заметно
значения критериев точности. Вместе с тем зафиксированы и многие случаи заметного улучшения
точности моделирования и, главное, прогнозирования при наличии колебательной компоненты.
На рис. 4 представлен результат, в котором наиболее точной моделью тренда добычи нефти
в Норвегии по критерию коэффициента детерминации RT2 оказалась модель в виде тренда
Хабберта с асимметрией Рамсея, а большую точность RT2 S дает учет двух гармоник аддитивных
колебаний модели (3). Однако главный итог исследований заключается, пожалуй, в том, что
обеспечивается выигрыш «в разы» по точности прогнозирования по значениям коэффициента Т 2
при горизонте прогноза до пяти лет.
На рис. 4. и далее серой пунктирной линией представлены исходные данные, черная линия –
построенная модель (вначале сплошная, для точек по которым проводится идентификация
параметров, затем пунктир – для точек оценки прогноза).
9
4 000
Y=Trend
4 000
3 000
3 000
2 000
2 000
1 000
1 000
t
0
1970 1980 1990 2000 2010
Y=Trend+S A
T,%
8 2
6
Trend
4
t2
0
1970 1980 1990 2000 2010 1
Trend + S A
t
2
3
4
5
Рис. 4. Добыча нефти в Норвегии (тыс. баррелей в день), модель Хабберта с асимметрией Рамсея и
модель колебаний (3) с двумя гармониками, RT2 = 0.9955, RT2  S = 0.9960
Результаты, представленные на рис. 5, относятся к добыче газа в Евросоюзе на основе
модели Хабберта с асимметрией Рамсея, демонстрируя учет аддитивного взаимодействия двух
моделей трендов Trend1 и Trend 2 , а также аддитивной колебательной компоненты (3) с тремя
гармониками. В данном примере решена задача моделирования тренда ЖЦП, состоящего из
суммы двух несимметричных колоколообразных моделей Хабберта с асимметрией Рамсея
(известно моделирование лишь для суммы симметричных моделей Хабберта (Patzek, Croft,
2010)), а дополнительный учет трех колебательных компонент привел к существенному
повышению точности прогнозирования.
250
Y=Trend
250
Y=Trend+SA
6
Trend
200
200
T2, %
5
150
150
Trend1
100
100
50
50
0
1970
Trend2 t
1980
1990
2000
Trend1
4
3
Trend2
t
0
2
2010 1970 1980 1990 2000 2010 1
Trend + S A
2
t
3
4
Рис. 5. Добыча газа в Евросоюзе (млрд. куб.м. в год), модель Хабберта с асимметрией Рамсея и
аддитивная модель колебаний (3) с тремя гармониками RT2 = 0.9661, RT2  S = 0.9814
T2, %
На рис. 6 показано, что более точную модель добычи нефти для стран Организации
экономического сотрудничества и развития (OECD) RT2 дает тренд из суммы трех моделей
Капицы с асимметрией Гомперца ( Trend1 , Trend 2
колебательной
компоненты
и Trend 3 ) и учет дополнительно
пропорционально-мультипликативной
модели
(4)
с
двумя
гармониками.
10
Y=Trend+SM
Y=Trend
20 000
20 000
15 000
15 000
Trend2
10 000
5 000
0
10 000
Trend1
Trend3
T2, %
3
Trend
Trend2
Trend1
1
5 000
t
1970 1980 1990 2000 2010
0
2
Trend + S M
Trend3
t
0
1970 1980 1990 2000 2010 1
t
2
3
4
5
6
Рис. 6. Добыча нефти в странах OECD (тыс. баррелей в день), модель Капицы с асимметрией
Гомперца и модель колебаний (4) с двумя гармониками RT2 = 0.9679, RT2  S = 0.9685
При этом добавление в модель ЖЦП двух гармоник пропорционально-мультипликативных
колебаний модели (4) не позволило существенно увеличить точность моделирования
коэффициента RT2  S , но «в разы» улучшило прогнозирование по значениям критерия точности
прогноза T2 при горизонте прогноза до шести лет.
Описание динамики добычи тренда нефти в США моделью Хабберта с асимметрией
Гомперца при колебательной компоненте с зависимыми от тренда частотой и амплитудой по
модели (10) с одной гармоникой незначительно повысило точность моделирования, но
существенно, точность прогнозирования (рис. 7).
10 000
Y=Trend
10 000
Y=Trend+S2
3.5
8 000
8 000
3
6 000
6 000
2.5
4 000
4 000
2
2 000
2 000
1.5
0
t
1900 1925 1950 1975 2000
T2, %
Trend
Trend + S 2
t
0
t1
1900 1925 1950 1975 2000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Рис. 7. Добыча нефти в США (тыс. баррелей в день), модель Хабберта с асимметрией Гомперца,
модель колебаний (10), одна гармоника RT2 = 0.9892, RT2  S = 0.9949
Рис. 8 иллюстрирует точностные характеристики моделирования и прогнозирования
добычи газа в Великобритании трендом из суммы двух моделей Хабберта с асимметрией
Гомпертца ( Trend1 и Trend 2 ) и с взвешенной по амплитуде колебательной модели (6) с тремя
гармониками.
11
120
Y=Trend
120
100
100
80
80
60
Y=Trend+SW1
5
Trend
4
3
60
Trend2
40
20
T2, %
Trend + S W1
Trend2
40
2
20
Trend1
Trend1
t 0
t 1
0
1970 1980 1990 2000 2010 1970 1980 1990 2000 2010 1
2
3
4
5
t
Рис. 8. Добыча газа в Великобритании, модель Хабберта с асимметрией Гомперца, (млрд. куб.м. в
год) модель колебаний (6) с тремя гармониками, RT2 = 0.9954, RT2  S = 0.9960
Существенный выигрыш в точности получен и для добычи твердого угля в Германии
(рис.9). Здесь использована уже модель Капицы с асимметрией Ричардса и одна гармоника
колебательной компоненты взвешенной по частоте модели (9).
200
Y = Trend
200
150
Y = Trend + S 1 1
T2, %
15
13
150
Trend
11
100
100
9
50
50
0
1945
1965
1985
t
0
2005 1945
7
1965
1985
t5
2005
Trend+S1
2
4
6
8
t
10
Рис. 9. Добыча твердого угля в Германии (млн. т в год). Модель Капицы с асимметрией
Ричардса с колебательной компонентой (9) одной гармоники RT2 = 0.9679, RT2  S = 0.9883
На рис. 10 приведен пример моделирования и прогнозирования для отдельного
месторождения ОАО «НК «Роснефть». Дополнение тренда моделью колебаний (10) приводит к
улучшению точности прогноза в 1,5-2 раза и повышает коэффициент детерминации, оценивающий
точность моделирования, с 0,81 до 0,97.
Y = Trend
15
15
12,5
12,5
10
10
7,5
7,5
5
5
Y = Trend+S 2 1
T,%
40 2
Trend
30
20
2,5
2001
2005
2009
t 2,5
2012 2001
10
2005
2009
t 0
2012 1
Trend + S 2
2
3
4
t
5
Рис. 10. Добыча нефти на месторождении ОАО «НК «Роснефть» (тыс. баррелей в день),
модель Хаммонда-Маккея без дополнительной асимметрии, модель колебаний (10), одна
гармоника RT2 = 0.8107, RT2  S = 0.9707
12
Итак, предложено сочетание моделей колоколообразных трендов с «настраиваемыми»
асимметриями, а также с моделями колебательной компоненты различной структуры
взаимодействия с трендами и методы идентификации их параметров, обеспечившие высокую
точность прогнозирования динамики уровней добычи нефти, газа и угля с горизонтом прогноза от
1 года до 10 лет. Представлены примеры описания динамики добычи на разных уровнях
агрегирования: в масштабе одной страны, для группы стран и на отдельном месторождении.
Методы показали хорошую точность, в том числе и на коротких выборках в 10-15 наблюдений. В
ряде случаев учет колебательной компоненты повысил точность моделировании модели, но,
главное, в том, что он дал возможность существенного повышения точности прогнозирования.
Литература
Айвазян С.А. (2001). Прикладная статистика. Основы эконометрики, М.:ЮНИТИ-ДАНА,
432 с.
Бажанов
А.В.,
Выскребенцев
А.С.
(2007).
Адекватность
кривых
Хабберта
для
прогнозирования темпов добычи нефти, MPRA Paper №. 15117
Капица С.П. (1999) Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле. Очерк теории роста
человечества. М.:Международная программа образования. - 240с.
Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов М.М., Бахтизин Р.Н. (2004). Моделирование процессов
нефтегазодобычи.
Нелинейность,
неравновесность,
неопределенность.
Москва–Ижевск:
Институт компьютерных исследований, 368 с.
Семенычев Е.В., Куркин Е.И., Молостова П.А. (2012). Выбор модели колоколообразной
формы для жизненного цикла добычи нефти и газа. Проблемы экономики и управления
нефтегазовым комплексом. №8. С. 28-34.
Семенычев В.К., Куркин Е.И., Семенычев Е.В. (2012). Идентификация моделей жизненного
цикла продукции на основе моделей авторегрессии-скользящего среднего и базисов Гребнера.
Прикладная эконометрика. №1(25). –С. 122-137.
Семенычев В.К., Куркин Е.И., Семенычев Е.В. (2012). Идентификация параметров
импульсной модели нефти и газа с помощью генетического алгоритма. - Сборник докладов ХV
Международной конференции по мягким вычислениям и изменениям, СПб. – С.264-267.
Семенычев В.К., Куркин Е.И., Семенычев Е.В., Рязанцев С.В., Данилова А.А. (2012).
Программа моделирования и прогнозирования уровней добычи нефти и газа «Oil_Ident»,
Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2012619424 от 18.10.2012.
Семенычев В.К., Семенычев Е.В. (2011). Параметрическая идентификация рядов динамики:
структуры, модели, эволюция. Самара: Изд-во «СамНЦ РАН», 364 с.
Семенычев В.К., Семенычев Е.В., Куркин Е.И. (2010). Моделирование рядов экономической
динамики
полиномиальным
трендом
и
одновременным
вхождением
аддитивной
и
мультипликативной колебательных компонент. Вестник Самарского муниципального института
управления. №3 (14). С.7-20.
13
Семенычев Е.В. (2012). Эконометрическое моделирование жизненного цикла продукта.
Самара. САГМУ. – 148 с.
Семёнычев В.К., Семёнычев Е.В., Коробецкая А.А. (2010). Метод параметрической
итерационной декомпозиции тренд-сезонных рядов аддитивной структуры. Вестник Самарского
муниципального института управления. Самара. №1(12) – С. 36-45.
Сергиенко А.Б. (2002). Цифровая обработка сигналов. – Спб.: Питер. – 608 с.
Хасанов М., Карачурин Н., Тяжев Е. (2001). Оценка извлекаемых запасов нефти на основе
феноменологических
моделей.
Вестник
инжинирингового
центра
ЮКОС.
№2.
С.3-7.
Bardi U., Yaxley, L. (2005). How General is the Hubbert Curve? The Case of Fisheries. –
Proceedings of the 4th International ASPO Conference, Lisbon, Portugal. – 2 p.
Bartlett A. A. (2000). An analysis of US and world oil production patterns using Hubbert-style
curves, Mathematical Geology N 32(1), p. 1-17.
Brandt A. R. (2007). Testing Hubbert. Energy Policy N 35(5), p.3074-3088.
Brandt A. (2009) Methods of forecasting future oil supply, UKERC Review of Evidence for Global
Oil Depletion, Techn. Rep. N6 – 97 p.
Berndstrup
B.,
Hylleberg
S.
(2002).
Seasonality
in
Economic
Models.
http://mit.econ.au.dk/vip_htm/monielsen/papers/seasonality.pdf
Hammond G. P., Mackay R. M. (1993). Projections of UK oil and gas supply and demand to 2010,
Applied Energy, N 44(2), - p.93-112.
Holland J. H. (1975). Adaptation in natural and artificial systems. - University of Michigan Press,
Ann Arbor. - 183 p.
Hubbert M.K. (1956). Nuclear Energy and the Fossil Fuels, Amer. Petrol. Inst. Drilling &
Production Practice. Proc. Spring Meeting, San Antonio, Texas, 1956, p.7 – 25.
Patzek T.W., Croft G.D. (2010). A global coal production forecast with multi-Hubbert cycle
analysis. - Energy 35. р.3109-3122
Pollock
Queen
D.S.G.
Mary
and
(1993)
Lectures
Westfield
in
time-series
College,
analysis
The
and
University
forecasting,
of
-
London,
http://www.le.ac.uk/users/dsgp1/COURSES/TSERIES/2CYCLES.PDF
Ursu E., Turkman K.F. (2012) Periodic autoregressive model identification using genetic
algorithms, Journal of Time Series Analysis, Volume 33, Issue 3, pages 398–405, May 2012.
14