Теория чисел - Основные образовательные программы ТюмГУ
реклама
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Филиал в г.Ишиме УТВЕРЖДАЮ Директор филиала ______________ /Шилов С.П./ 20.11.2014 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения 1 ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ от 20.11.2014 Содержание: УМК по дисциплине Теория чисел Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки 050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения Автор(-ы): Шустова М.В. Должность Заведующий кафедрой физикоматематических дисциплин и профессиональнотехнологического образования Председатель УМС филиала ТюмГУ в г.Ишиме Начальник ОИБО ФИО Дата согласования Результат согласования Примечание Мамонтова Т.С. 16.10.2014 Рекомендовано к электронному изданию Протокол заседания кафедры от 16.10.2015 №2 Поливаев А.Г. 11.11.2014 Согласовано Протокол заседания УМС от 11.11.2015 №3 Гудилова Л.Б. 20.11.2014 Согласовано 2 РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Филиал в г. Ишиме Кафедра физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования Шустова Марина Владимировна ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения Тюменский государственный университет 2014 Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» Шустова М.В. УМК по дисциплине Теория чисел Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки 050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения. Тюмень, 2014. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению подготовки. Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Теория чисел [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная деятельность», свободный. Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования. Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме. ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР Мамонтова Т.С., к.п.н., доцент Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой © Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014. © Шустова М.В., 2014. 4 стр. из 13 стр. Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова" УТВЕРЖДАЮ Ректор ФГБОУ ВПО «ИГПИ им. П.П. Ершова» _______________ С.П. Шилов «___» ______________ 2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ СД.Ф.7 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 050201.65 – Математика с дополнительной специальностью Физика Ишим 2011 5 стр. из 13 стр. Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» ПРИНЯТО На заседании кафедры математики, информатики и МП Протокол № 2 от «20» октября 2011 г. Зав. кафедрой _______________ роспись Т.С. Мамонтова И.О.Ф. зав. кафедрой ОДОБРЕНО На заседании УМК факультета Протокол № 2 от «22» октября 2011 г. Председатель УМК _______________ ____Е.В. Ермакова__ роспись И.О.Ф. председателя СОГЛАСОВАНО «23» октября 2011 г. Начальник ОИБО _______________ ___Л.Б. Гудилова___ роспись И.О.Ф. начальника ОИБО ВВЕДЕНА В ДЕЙСТВИЕ с «1» ноября 2011 г. РАЗРАБОТАНА к.п.н., ст.преподавателем М.В. Шустовой____ РЕЦЕНЗЕНТЫ ________к.ф.-м.н., доцент В.Н. Алексеев____________________ (Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность) ________ассистент В.Д. Теплова___________________________ (Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность) Периодичность ПЕРЕСМОТРА – 1 раз в год Программа составлена на основе ГОС ВПО «31» января 2005 Номер государственной регистрации729 пед/маг (новый) 6 стр. из 13 стр. Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» Содержание I. Программа дисциплины …………………………………………………………………… 1. Выписка из ГОС ВПО ……………………………………………………………… 2. Введение………………………………………………................................................. 2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины……….................... 2.2. Требования к уровню освоения дисциплины …………………………….. 2.3. Требования к организации дисциплины…………………………………... 2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы ……………………………... II. Содержание дисциплины ……………………………………………………………......... 1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий…………………………………… 2. Материально-техническое оснащение дисциплины …………………………… III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов…………………… 1. Организация аудиторной работы студентов …………………………………..... 1.1. Краткий курс лекций……………………………………………………….. 1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним……. 2. Организация самостоятельной работы студентов ……………………………... 3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины………………………..………. 3.1. Основная литература……………………………………………………….. 3.2. Дополнительная литература……………………………………………….. 3.3. Электронные ресурсы ……………………………………………………… 4. Методические рекомендации для преподавателя ……………………………… 5. Методические рекомендации для студента ……………………………………… IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля ……………………………… 1. Варианты контрольных работ …………………………………………………….. 2. Вопросы к экзамену…………………………………………………………………. V. Терминологический минимум ……………………………………………………………. 1. Основные термины и понятия курса …………………………………………….. 4 4 4 4 4 4 5 6 6 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 10 10 10 10 12 12 7 стр. из 13 стр. Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» I. Программа дисциплины 1. Выписка из ГОС ВПО Делимость и простые числа. Основная теорема арифметики. Основное совйство простого числа. Неравенства Чебышева для х . Теория сравнений. Кольцо и поле классов вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Сравнения и системы сравнений с неизвестной величиной. Сравнения первой степени. Сравнения по простому модулю. Сравнения по степени простого числа. Редукция сравнения по составному модулю к сравнению по степени простого числа и к сравнению по простому модулю. Показатели чисел и классов по данному модулю. Число классов с заданным модулем. Теорема о существовании первообразного корня по простому модулю. Индексы чисел и классов по данному модулю. Двучленные сравнения по простому модулю. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра. Арифметические приложения теории сравнений. Цепные дроби. Существование и единственность значения цепной дроби. Представление действительных чисел цепными дробями. Теорема Лагранжа о квадратичной иррациональности. Приближения действительных чисел подходящими дробями. Теорема Дирихле и ее применение к представлению простого числа р=1(mod 4) в виде суммы двух квадратов. Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля и ее применение к построению трансцендентных чисел и доказательству иррациональности. 2. Введение Рабочая программа (РП) дисциплины «Теория чисел» разрабатывалась на основе требований ГОС ВПО в соответствии с нормативно-правовыми актами, учредительными и нормативными документами ФГБОУ ВПО ИГПИ. РП дисциплины «Теория чисел» предназначена для студентов физико-математического факультета педагогического института. РП включает планы практических занятий и методические рекомендации к ним; вопросы (тесты) для самоконтроля; организацию СРС и ее методическое обеспечение; материалы входного и итогового контроля; темы курсовых работ; терминологический минимум (терминологический словарь). 2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины Целью дисциплины является ознакомление с основными элементами теории чисел, историей и современным состоянием некоторых проблем данного раздела математики; применение полученных знаний и умений при решении задач школьной математики. Задачи преподавания и изучения дисциплины: - сформировать понимание основных понятий теории чисел, их связи с усвоенными математическими понятиями из смежных дисциплин; - доказать тесную связь основных разделов математики (теории чисел) с другими областями научного знания; - развить представления об основных идеях и методах теории чисел для изучения и познания окружающей действительности; - развить качества личности, необходимые для эффективной научной деятельности в области теории чисел. 2.2. Требования к уровню освоения дисциплины. Студент должен знать основы дисциплины в объеме, необходимом для решения задач (типовых: осуществление процесса обучения в соответствии с образовательной программой; планирование и проведение учебных занятий с учетом специфики тем и разделов программы и в соответствии с учебным планом и др.) профессиональной деятельности. 2.3. Требования к организации дисциплины Дисциплина «Теория чисел» предусматривает проведение лекций и практических занятий. Она реализуется через систему домашних заданий, контрольных работ, курсовых работ. Основное содержание лекций - изложение теоретических вопросов дисциплины, иллюстрация основных теоретических положений примерами применения, образцами решения типовых задач. 8 стр. из 13 стр. Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» Практические занятия посвящаются, главным образом, отработке приемов и методов теории чисел для решения разнообразных практических и математических задач. Самостоятельная работа студентов по теории чисел, как правило, носит практикоориентированный характер: подготовка к практическим занятиям, контрольным работам, выполнение индивидуальных заданий, консультации с преподавателем. Контроль знаний проводится в виде оценки качества написания контрольных работ по основным разделам дисциплины и сдачи экзамена. 2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы Виды учебной деятельности Общая трудоемкость дисциплины Аудиторные занятия Лекции (ЛК) Практические занятия (ПЗ) Самостоятельная работа студентов (СРС) Вид итогового контроля Всего часов 90 50 24 26 40 ---- Таблица 1 Распределение по семестрам 2 семестр 90 50 24 26 40 экзамен 9 стр. из 13 стр. Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» II. Содержание дисциплины 1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий № 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Наименование темы Делимость и простые числа. Теорема о делении с остатком. НОД чисел. Алгоритм Евклида. Простые числа. Основная теорема арифметики. основное свойство простого числа. Распределение простых чисел в натуральном ряду. Неравенства Чебышева для х . Целые систематические числа. Цепные дроби и их применение к решению сравнений. Существование и единственность значения цепной дроби. Теория сравнений. Сравнения и их свойства. Классы чисел по данному модулю. Кольцо и поле классов вычетов. Системы вычетов. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма. Применение теорем Эйлера и Ферма. Сравнения и системы сравнений с неизвестной величиной. Сравнения первой степени. Системы сравнений. Сравнения по простому модулю. Сравнения по степени простого числа. Двучленные сравнения по простому модулю. Сравнения высших степеней. Применение цепных дробей к решению сравнений. Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Редукция сравнения по составному модулю к сравнению по степени простого числа и к сравнению по простому модулю. Показатели чисел и классов по данному модулю. Число классов с заданным модулем. Теорема о существовании первообразного корня по простому модулю. Индексы чисел и классов по данному модулю. Арифметические приложения теории сравнений. Представление действительных чисел цепными дробями. Теорема Лагранжа о квадратичной иррациональности. Приближения действительных чисел подходящими дробями. Теорема Дирихле и ее применение к представлению простого числа р=1(mod 4) в виде суммы двух квадратов. Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля и ее применение к построению трансцендентных чисел и к доказательству иррациональности. ИТОГО Таблица 2 Объем в часах Всего ЛК ПЗ СРС 7 2 2 3 8 2 2 4 7 2 2 3 7 2 2 3 7 2 2 3 7 2 2 3 7 2 2 3 7 2 2 3 10 2 4 4 7 8 2 2 2 2 3 4 8 2 2 4 90 24 26 40 Содержание разделов дисциплины Раздел 1. Теория делимости в кольце целых чисел Делимость. Теорема о делении с остатком. Простые числа. НОД и НОК чисел. Алгоритм Евклида. Основная теорема арифметики. Цепные дроби. Целые систематические числа. Распределение простых чисел в натуральном ряду. 10 стр. из 13 стр. Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» Раздел 2. Теория сравнений с арифметическими приложениями Сравнения и их свойства. Классы чисел по данному модулю. Системы вычетов. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и ферма. Применение теорем Эйлера и Ферма. Сравнения первой степени. Системы сравнений. Сравнения высших степеней. Применение цепных дробей к решению сравнений. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Порядок числа по модулю. Число классов, имеющих данный порядок по простому модулю. Первообразный корень по простому модулю. Индексы и их применение. Представление действительных чисел цепными дробями. Теорема Лежендра о квадратичной иррациональности. Теорема Дирихле. Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля и ее применение к построению трансцендентных чисел и к доказательству иррациональности. 2. Материально-техническое обеспечение дисциплины Для обеспечения освоения данной дисциплины имеются: оборудованные аудитории; технические средства обучения (наглядные пособия; кодоскоп, кодограммы). III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов 1. Организация аудиторной работы студентов 1.1. Краткий курс лекций В библиотеке института и на кафедре математики, информатики и МП имеется необходимое количество учебной литературы по данной дисциплине. Тематика лекций соответствует содержанию разделов дисциплины (разделы II). 1.2. Тематика практических занятий 1. Разложение на простые множители. 2. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида. 3. Алгоритм Евклида и конечные цепные дроби. Целые систематические числа. 4. Обобщение материала по теме «Теория делимости в кольце целых чисел». 5. Контрольная работа №1 6. Сравнения и их свойства. 7. Полная система вычетов. 8. Приведенная система вычетов. 9. Сравнения первой степени. 10. Сравнения высших степеней по простому модулю. 11. Первообразные корни. 12. Первообразные индексы 13. Применение цепных дробей к решению сравнений. 14. Обращение обыкновенной дроби в систематическую и определение длины периода систематической дроби. 15. Обобщение материала по теме «Теория сравнений с арифметическими приложениями». 16. Контрольная работа №2 2. Организация самостоятельной работы студентов 2.1. Содержание занятий Таблица 3 № п/п Наименование раздела учебной дисциплины 1. Теория делимости в кольце целых чисел 2. Теория сравнений с арифметическими приложениями Всего часов Виды СРС Домашние задания, консультации, подготовка к контрольной работе Домашние задания, консультации, подготовка к контрольной работе 12 40 11 стр. из 13 стр. Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» Формы, виды контроля и сроки выполнения заданий Таблица 4 Форма оценочного средства Домашние задания Индивидуальные консультации Подготовка к КР Услов обозние ДЗ Номер недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 + + + + + + + + + + + + + ИК КР + + + + 15 + 16 + + + Вопросы для самопроверки Раздел 1. Теория делимости в кольце целых чисел 1. Дайте определение простого числа. 2. Какие числа называются взаимно простыми? 3. Дайте формулировку теоремы о взаимно простых числах. 4. Назовите основные свойства простых чисел. 5. Что называется каноническим разложением целого числа на простые множители? 6. Дайте формулировку теоремы о делителе целого числа. 7. Напишите формулу для нахождения числа натуральных делителей целого числа. Объясните каждый символ в формуле. 8. Напишите формулу для нахождения суммы натуральных делителей целого числа. Объясните каждый символ в формуле. 9. Дайте формулировку теоремы о бесконечности множества простых чисел. Докажите ее. 10.Опишите метод составления таблицы положительных простых чисел, не превосходящих данного целого числа (решето Эратосфена). 11.Дайте определение общего делителя целых чисел. 12.Дайте определение наибольшего общего делителя целых чисел. 13.Какими свойствами обладает НОД целых чисел? 14.Какими свойствами обладают взаимно простые числа? 15.Дайте формулировку теоремы о делении с остатком. 16.В чем состоит сущность алгоритма Евклида? 17.Дайте понятие конечной цепной дроби. 18.Дайте понятие подходящей дроби. 19.Назовите основные свойства походящей дроби. 20.Дайте понятие целого систематического числа. 21.Сформулируйте теорему об однозначности представления систематического числа. 22.Как выполняются действия над целыми систематическими числами? 23.Как осуществляется перевод из одной системы счисления в другую и обратно? Раздел 2. Теория сравнений с арифметическими приложениями 24.Какие два числа называются сравнимыми? 25.Дайте понятие классов вычетов по модулю m. 26.Назовите основные свойства сравнений. 27.Назовите простейшие свойства сравнений. 28.Дайте определение полной системы вычетов по модулю m. 29.Что называется системой наименьших неотрицательных вычетов по модулю m? 30.Назовите основные операции (и их свойства) над классами вычетов. 31.Дайте определение приведенной системы вычетов. 32.Назовите основные свойства приведенной системы вычетов. 33.Дайте определение обратного числа, взаимно обратных чисел. 34.Основное свойство взаимно обратных чисел по модулю. 12 стр. из 13 стр. Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» 35.Что называется функцией Эйлера. 36.Сформулируйте теорему Эйлера. 37.Сформулируйте теорему Ферма. 38.Что называется алгебраическим сравнением, степенью сравнения. 39.Дайте определение числа решений по модулю m. 40.Дайте понятия сравнения первой степени. 41.Сформулируйте теорему о количестве решений сравнения первой степени по простому модулю. 42.Сформулируйте теорему о разрешимости сравнения первой степени по простому модулю. 43.Дайте понятие сравнения высшей степени по простому модулю. 44.Сформулируйте теорему о количестве решений сравнения высшей степени по простому модулю и следствие из нее. 45. Сформулируйте теорему Вильсона. 46.Дайте понятие порядка числа и класса вычетов по модулю m. 47.Назовите основные свойства порядка класса вычетов по модулю m. 48.Дайте понятие первообразного корня по простому модулю. 49.Назовите основные свойства первообразного корня. 50.Дайте понятие индекса числа по простому модулю. 51.Назовите основные свойства индексов по простому модулю. 52.Дайте понятие двучленного сравнения и назовите его основные свойства. 3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 3.1. Основная литература Основная: 1. Боревич, З.И. Определители и матрицы [Текст]: учеб.пособие / З.И. Боревич. - 5-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. - 192 с. – 2 экз. 2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры [Текст]: учеб.для вузов. – 2-е изд., исправл. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 272с. – 5 экз. 3. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры [Текст]. 15-е изд., стер. – СПб: Изд-во «Лань», 2006, 2008. – 432с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература) – 17 экз. 4. Сборник задач по алгебре [Текст] / Под ред. А.И. Кострикина: учеб.пособ. : Для вузов. В 2т. Т.1. / Ч.I. Основы алгебры. Ч.II. Линейная алгебра и геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 264с. – 5 экз. 5. Сборник задач по алгебре [Текст] / Под ред. А.И. Кострикина: учеб.пособ. : Для вузов. В 2т. Т.2. / Ч.III. Основные алгебраические структуры. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 168 с. – 5 экз. 6. Смирнов, В.Д. Минимум по общей алгебре [Текст]: учеб.пособие для педвузов по спец. «Математика» / В.Д. Смирнов. – Ишим: Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2006. – 44 с. – 92 экз. 7. Фадеев, Д.К. Задачи по высшей алгебре [Текст]: учеб.пособие / Д.К. Фаддеев, И.С. Соминский. – 15-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2005. – 288 с. – 30 экз. 2 экз. 5 экз. 17 экз. 5 экз. 5 экз. 92 экз. 30 экз. 3.2. Дополнительная литература Дополнительная: 1. Оленькова, Т.В. Задания для самостоятельной работы студентов первого курса по изучению курса алгебры [Текст]: Учебное пособие для студентов первого курса физ.-мат. спец. педвузов: в 3 ч. – Ишим, Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2004. – Ч.1-2: задания минимального уровня. – 48с. – 55 экз. 2. Шнеперман, Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел [Текст] / Л.Б. Шнеперман. - 2-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2008. - 224 с. – 10 экз. 55 экз. 10 экз. 3.3. Электронные ресурсы: 1. Электронно-библиотечная система elibrary: http://elibrary.ru 2. Универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных “East View” ООО «ИВИС»: http://www.eastview.com/ 13 стр. из 13 стр. Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» 3. Электронный справочник «Информио»: http://www.informio.ru/ 4. Электронно-библиотечная система "Университетская библиотека http://www.biblioclub.ru онлайн": 4. Методические рекомендации для преподавателя Дисциплина «Теория чисел» является одной из базовых дисциплин в образовательной программе подготовки учителя математики. На практических занятиях по курсу теории чисел должны быть выработаны соответствующие навыки и умения, связанные с решением примеров и задач. 5. Методические рекомендации для студентов Студенту следует помнить, что дисциплина «Теория чисел» предусматривает обязательное посещение студентом лекций и практических занятий. Она реализуется через систему аудиторных и домашних работ, входных, текущих и итоговых контрольных работ, систему курсовых работ. Самостоятельная работа студентов заключается в выполнении домашних заданий с целью подготовки к практическим занятиям (см. планы практических занятий), выполнение курсовых работ и вариантов контрольных работ. Результаты самостоятельной работы оформляются в виде курсовых работ. Контроль над самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в виде контрольных работ, экзамена. IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля 1. Варианты контрольных работ 1.1. Входная контрольная работа (По материалам школьного ЕГЭ) Текущие контрольные работы (примерный вариант) Контрольная работа №1 1.Найти НОД и НОК с помощью канонического разложения чисел: 21168 и 56700. 2.Найти НОД и НОК чисел с помощью алгоритма Евклида: 4150 и 5146. 3.Найти линейную форму НОД чисел: 1001 и 6253. Контрольная работа №2 1.Выписать ПСВ, НПСВ, ННСВ, НАСВ, ПрСВ по модулю 13 (модулю 16). 2.Решить сравнение: 121х 44 (mod 33) 3.Решить сравнение с использованием индексов: 27х 18(mod 17) 4. Решить сравнение: х4-4х3+2х2+х+6 0 (mod 135) 1.2. 2. Вопросы к экзамену 1. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком. 2. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. 3. Теорема о линейной форме НОД. 4. Наименьшее общее кратное. Формула для нахождения НОК. 5. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. 6. Решето Эратосфена. Распределение простых чисел в натуральном ряду. 7. Основная теорема арифметики. Каноническое представление числа. 8. Сумма и число натуральных делителей числа. 9. Понятие сравнимости чисел по модулю. Эквивалентные определения. 10. Свойства сравнений. 11. Классы вычетов и системы вычетов. 12. Приведенная система вычетов. Признак приведенной системы вычетов. 13. Кольцо классов вычетов. 14 стр. из 13 стр. Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» 14. Функция Эйлера. 15. Теоремы Эйлера и Ферма и их применение. 16. Сравнения первой степени с одним неизвестным. Условия разрешимости и способы решений. 17. Конечные цепные дроби. Подходящие дроби. Формулы для вычисления подходящих дробей. 18. Свойства подходящих дробей. Решение сравнений с помощью цепных дробей. 19. Алгебраические сравнения произвольной степени с одним неизвестным. 20. Теорема Вильсона. Критерий просторы. 21. Решение алгебраических сравнений по составному модулю и модулю Р . 22. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. 23. Символ Лежандра, его свойства и применение. 24. Порядок числа по модулю. Свойства порядка числа. 25. Индексы и их применение. 26. Проверка правильности арифметических действий. Вывод признаков делимости. 27. Определение длины периода дроби. Кроме теоретического вопроса в билете студенту будет предложено практическое задание (аналогичное одному из заданий контрольных работ по дисциплине). 15 стр. из 13 стр. Рабочая программа дисциплины «Теория чисел» V. Терминологический минимум 1. Основные термины и понятия курса Отношение делимости Неполное частное Делимое Делитель НОД чисел Алгоритм Евклида для чисел Линейная форма НОД чисел Взаимопростые числа НОК чисел Простое (составное) число Основная теорема арифметики Число (сумма) натуральных делителей числа Сравнение Модуль Числа сравнимые по модулю Класс вычетов по модулю Полная система вычетов по модулю Приведенная система вычетов по модулю Кольцо классов вычетов Функция Эйлера Сравнение степени n по модулю Цепные дроби Неопределенное уравнение Системы сравнений первой степени Критерий простоты числа Первообразные корни и их индексы Порядок числа по модулю Квадратичный вычет Критерий Эйлера Символ Легранжа Признак Паскаля Алгебраические (трансцендентные) числа 16 стр. из 13 стр.