180.50Kb - G

О СЛАБОЙ СТРУКТУРНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ВНЕШНЕЙ
ТОРГОВЛИ
Боровский Ю.В.
В статье рассматриваются приложения теории параметрического регулирования
развития рыночной экономики. Работа содержит новые результаты по исследованию
структурной устойчивости одного класса математических моделей с
параметрическим регулированием и без параметрического регулирования.
ON A WEAK STRUCTURAL STABILITY OF THE MATHEMATICAL MODEL OF
AN ECONOMIC SYSTEM WITH THE ACCOUNT OF FOREIGN COMMERCE
Borovskiy Yu. V.
The paper offers applications of the theory of a parametrical regulation of market economy
evolution. The work contains new results of the considered one class models’ rigidness
research with and without parametrical regulation.
ЭКОНОМИКАЛЫҚ ЖҮЙЕНІҢ СЫРТҚЫ САУДАНЫҢ ӘСЕРІН ҚАМТЫЙТЫН
МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛІНІҢ ӘЛСІЗ СТРУКТУРАЛЫҚ ТҰРАҚТЫЛЫ
ЖАЙЫНДАҒЫ
Боровский Ю.В.
Статьяда нарықтық экономиканың дамын параметрлік реттеу теориясының
қолданылуы қарастырылады. Жұмыста бір топтағы ұлттық экономиканың
математикалық моделіңің негізінде әлсіз структуралық тұрақтылықды зерттеудің
нәтижелері келтірілген.
Институт проблем информатики и управления МОН РК , г. Алматы,
Республика Казахстан
E-mail: [email protected]
Рассматриваемая задача решается на примере следующей математической
модели [1] экономической системы страны, предложенной для исследования влияния
внешней торговли, содержащей 8 дифференциальных и 28 алгебраических уравнений.
Эта система уравнений может быть преобразована к системе из восьми
дифференциальных уравнений с восемью неизвестными.
Рассматриваемая модель содержит следующие переменные и постоянные (здесь
i = 1, 2 – номер государства): Мi – суммарная производственная мощность; Qi – общий
запас товаров на рынке; LGi– общий объем государственного долга; pi – уровень цен; si –
ставка заработной платы; LPi – объем задолженности производства; d iP и d iB –
соответственно предпринимательские и банковские дивиденды; R id и R iS –
соответственно спрос и предложение рабочей силы; δi,  i - параметры функции fi; xi –
s
решение уравнения f i( xi )  i ;  iL и  Oi – соответственно потребительские
pi
расходы трудящихся и собственников;  iI – поток инвестиций;  Gi – потребительские
расходы государства;  ij – расходы потребителей i-той страны на импортный продукт
из j-той страны; θ – обменный курс валюты первой страны по отношению к валюте
второй страны, θ1=θ, θ2=1/θ; CiL (CiO ) - количество единиц импортного продукта,
1
потребляемого трудящимся (собственниками) i–той страны на единицу отечественного
продукта; ξi - норма резервирования; βi – отношение средней нормы прибыли от
коммерческой деятельности к норме прибыли рантье; r2i – ставка процента по
депозитам; r1i – ставка процента за кредит; rG i – ставка процента по облигациям
государственных займов; η0i – коэффициент склонности собственников к потреблению;
πi – доля потребительских расходов государства от внутреннего валового продукта; nPi,
n0i, nLi – соответственно ставки налогов на поток платежей, дивиденды и доход
трудящихся; bi – норма фондоёмкости единицы мощности; μi – коэффициент выбытия
единицы мощности вследствие деградации; μ*i - норма амортизации; αi – постоянная
времени; Δi – постоянная времени, задающая характерный временной масштаб
процесса релаксации заработной платы; P0i , P0Ai – соответственно начальные значения
численности трудящихся и общей численности трудоспособных; ωi - уровень
материального потребления на душу в группе трудящихся; λP>0 – заданный темп
демографического роста; kqi – доля валового внутреннего продукта страны
резервируемая в золоте.
Параметры модели и начальные условия для дифференциальных уравнений
модели были получены на основе данных экономик Республики Казахстан и
Российской Федерации за 1996-2000 годы [2,3] или оценены с помощью решения
задачи параметрической идентификации.
Исследование грубости (структурную устойчивость) модели, основывается на
теореме о достаточных условиях слабой структурной устойчивости [4] в компактной
области фазового пространства. Эти условия состоят в следующем.
Пусть N  - некоторое многообразие и N - компактное подмножество в N  такое,
что замыкание внутренности N есть N. Пусть некоторое векторное поле задано в
окрестности множества N в N  , это поле определяет C1 -поток f в этой окрестности.
Обозначим через R( f , N ) цепочно-рекуррентное множество потока f на N.
Пусть R( f , N ) содержится внутри N. Пусть оно имеет гиперболическую
структуру, кроме того, f на R( f , N ) удовлетворяет также условиям трансверсальности
устойчивого и неустойчивого многообразий. Тогда поток f на N слабо структурно
устойчив. В частности, если R( f , N ) - пустое множество, то поток f слабо структурно
устойчив на N.
Утверждение 1. Пусть N – компактное множество лежащее в области
(M 1  0, Q1  0, p1  0) или (M 1  0, Q1  0, p1  0) , фазового пространства системы
дифференциальных уравнений математической модели, т.е. четырехмерного
пространства переменных ( M i , Qi , p i , LG i ) , i  1, 2 ; замыкание внутренности N
совпадает с N. Тогда поток f определяемый системой дифференциальных уравнений
модели слабо структурно устойчив на N.
В качестве N можно выбрать, например, параллелепипед с границами
M i  M i min , M i  M i max ,
Qi  Qi min , Qi  Qi max ,
pi  pi min , pi  pi max ,
LG i  LG i min , LG i  LG i max .
Здесь
0  M i min  M i max ,
Qi min  Qi max  0
или
0  Qi min  Qi max , 0  pi min  pi max , LG i min  LG i max .
В работе выбор оптимальных законов параметрического регулирования на
уровне одного из трех параметров  i (   1) ,  i (   2) ,  (   3) осуществляется в
среде набора следующих зависимостей:
2
1) U 1i,   k1i, 
2)
U 2i , 

M i (t )
 const i ;
M i (t 0 )
k 2i , 
3) U 3i ,   k3i , 
M i (t )
 const i ;
M i (t 0 )
4)
U 4i , 

pi (t )
 const i ;
pi (t0 )
k 4i , 
pi (t )
 const i
pi (t0 )
(1)
Здесь U i ,  - α-ый закон регулирования β-го параметра i-го государства
  1  4,   1  3 ,
регулирования,
M i (t )  M  ,  ,i (t )  M i (t0 ), pi (t )  p ,  ,i (t )  pi (t0 ),
t  t 0 , t 0  T ,
M  ,  ,i (t ) ,
p ,  ,i (t )
t0
значения
–
время
начала
производственной
мощности и уровня цен i–го государства соответственно при U i ,  -ом законе
регулирования.
ki , 
- настраиваемые коэффициенты соответствующего закона
( ki ,   0 i ); const i - константы, равные оценкам величин параметра β i-го государства
по результатам параметрической идентификации.
Задачу выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне
одного из трех экономических параметров ( i ,  i ,  ) можно сформулировать в
следующем виде. Найти на основе рассматриваемой математической модели
оптимальный закон параметрического регулирования на уровне одного из двух
экономических параметров ( i ,  i , ) в среде набора алгоритмов (1), то есть, найти
оптимальный закон из множества { U i ,  } и его настраиваемый коэффициент, который
обеспечил бы максимум критерия
Ki 
1 t 0 T
 Yi (t )dt ,
T t0
(2)
где Yi  M i fi - валовой внутренний продукт, при ограничениях:
1
p
(t )  p1* (t )  0.09 p1* (t ),
( M i (t ), Qi (t ), LGi (t ), p i (t ), s i (t ))  X ,
(3)
0  u   a  ,   1, 4,   1, 3, t  [t 0 , t 0  T ]
Здесь a  - наибольшее значение β-го параметра, p ij (t ) - модельные (расчетные)
i
(t ) величина уровня цен
значения уровня цен без параметрического регулирования, p
i
(t ) -ом законе регулирования.
при U 
В результате вычислительного эксперимента были получены также графики
зависимостей оптимального значения критерия K1 от значений параметров   (r2,1 ,  )
для каждого из 12 возможных законов U 1 ,    1,4,   1,3 . Получены также графики
для двух законов U 21, 2 и U 41, 2 , дающих наибольшее значение критерия в области  на
плоскости переменных   (r2,1 ,  ) , линия пересечения соответствующих поверхностей
и проекция этой линии пересечения на плоскость значений  , состоящая из точек
бифуркации этого двумерного параметра. Эта проекция делит прямоугольник  на две
части, в одной из которых оптимальным является закон управления
M 1 (t )
U 21, 2  k 21,2
 const 12 ,
(4)
M 1 (t 0 )
а в другой 3
p1 (t )
(5)
 const 12 .
p1 (t 0 )
На самой проекции линии оба указанных закона являются оптимальными.
Доказательство слабой структурной устойчивости математической модели
позволяет установить сохранение слабой структурной устойчивости рассматриваемой
модели при применении каждого из законов параметрического регулирования: U 21, 2
U 41,2  k 41,2
или U 41, 2 в виде следующего утверждения.
Утверждение 2. Пусть N – компактное множество лежащее в области
(M 1  0, Q1  0, p1  0) или (M 1  0, Q1  0, p1  0) , фазового пространства системы
дифференциальных уравнений рассматриваемой модели, т.е. восьмимерного
пространства переменных ( M i , Qi , p i , LG i ) , i  1, 2 ;; замыкание внутренности N
совпадает с N. Тогда поток f определяемый моделью и соотношениями (4) или (5) слабо
структурно устойчив на N.
Литература
1
2
3
4
Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования
экономики. – М.: Энергоатомиздат, 1996, 544 с.
Статистический ежегодник Казахстана. Под редакцией Абдиева К.С. – Алматы:
Агентство Республики Казахстан по статистике, 2004. – 598 с.
Статистические показатели развития экономики России, [Электронный ресурс]:
режим доступа http//stat.hsc.ru.
Robinson C. Structural Stability on Manifolds with Boundary / Journal of differential
equations. 1980. No. 37. P. 1-11.
4