3. Матрицы как линейные операторы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГОУ ВПО «ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А.П.ЧЕХОВА»
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
ПРОИЗВОЛЬНОГО ФОРМАТА
Курсовая работа по математическому анализу
студентки III курса,
Маныч Екатерины Игоревны
специальность 050201.2 математика (бакалавр)
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент
Валентина Владимировна Сидорякина
Таганрог
2013
1
Содержание
Введение........................................................................................................... 3
§1. Основные сведения об умножении матриц ........................................... 5
1.1. Типы матриц ............................................................................................. 5
1.2. Свойства умножения матриц .................................................................. 6
§2. Умножение матриц произвольного формата ......................................... 8
2.1. Два случая умножения матриц .............................................................. 8
2.3. Ассоциативность умножения матриц произвольного формата ........ 13
§3. Матрицы как линейные операторы ...................................................... 17
3.1 Матрицы линейных преобразований ................................................... 17
3.2. Частные случаи....................................................................................... 20
3.3. Произведение матриц. Композиция операторов ................................ 21
Заключение .................................................................................................... 24
Список литературы ....................................................................................... 25
2
Введение
Матрица является закономерным продуктом развития теории числа. Еще
греки задавали рациональные числа отношением двух целых чисел. Вот уже
столетие как матрицы пользуются повышенным вниманием математиков.
Свойства матриц тщательно изучаются, некоторые из них, как астероиды,
носят имена своих первооткрывателей. Матрицы вобрали в себя
удивительное свойство отображать резонанс. Резонансными свойствами
обладают атом и электрическая схема, элементарная частица и звезда.
Матрица оказалась весьма простой и удобной моделью многих систем.
Складывать и вычитать их между собой нужно поэлементно. Сходно
оперируют и с комплексными числами. Умножение матриц не наследует
черты комплексной арифметики. Дальнейшее
изучение
другими
математиками форм, их классификации, преобразований и инвариантов
существенно способствовало разделению понятий определителя и матрицы.
Окончательное разделение этих понятий произошло благодаря английским
математиками А. Кэли (1821 – 1895) и Дж. Сильвестру (1814 – 1897). Кэли
стал рассматривать квадратные и прямоугольные таблицы чисел. До сих пор
с 1841 г. используются его обозначения: для матриц – две вертикальные
черты, для определителей – одна. Термин «матрица» был введен
Сильвестром в 1850 г. для обозначения прямоугольной таблицы чисел,
которую он уже не мог называть определителем. Он же явно определил ранг
матрицы, не давая ему наименования.
Само слово «ранг» ввел лишь Г. Фробениус (1849 -1917). Основной
работой, в которой матрицы представлены абстрактно, как особые объекты,
хотя они уже широко применялись, был труд Кэли 1858 г. «Мемуар о теории
матриц». Под влиянием работ ирландского математика У.Р. Гамильтона
(1805 – 1865) о кватернионах, в которых, кстати, были введены термины
«вектор», «ассоциативный закон», Кэли исследует свойства операций над
матрицами. Он проверяет ассоциативность умножения, его дистрибутивность
по отношению к сложению и исследует условия коммутативности. Кэли
рассматривает также прямоугольные матрицы и в тех случаях, когда
возможно их умножение, вводит произведение как композицию
преобразований, и тем самым создает матричное исчисление.
Знакомство с определителями и матрицами n-го порядка навело
математиков на мысль о пространствах произвольного, но конечного числа
измерений. Правда, наглядной интерпретации, какая существует на
плоскости или трехмерном пространстве, в случае размерности больше трех
нет. Большое многообразие практических задач подобного типа вызвало
необходимость разработки набора методов и методик их решения. Все они
3
объединены в разделе прикладной математики, называемой алгеброй матриц
или матричным исчислением.
Цель данной работы - систематизировать материал по теме «Умножение
матриц», рассмотреть один из возможных способов умножения матриц
произвольного формата, обосновать связь умножения матриц с линейными
преобразованиями.
4
§1. Основные сведения об умножении матриц
1.1. Типы матриц
Рассмотрим типы матриц.
Определение. Матрицей A размера m×n называется прямоугольная таблица
чисел, функций или алгебраических выражений, содержащая m строк и n
столбцов. Числа m и n определяют размер матрицы.
 a11

a
A   21


a
 mn
a12
a22

am 2
 a1n 

 a2 n 
  

 amn 
Определение. Две матрицы A и B одинакового размера называются
равными, если они совпадают поэлементно, т. е. aij = bij для всех i=1,2,...,m и
j=1,2,…,n.
Определение. Матрица A=(а11 ,а12 ,…,a1n) состоящая из одной строки,
называется матрицей–строкой, а матрица
 в11 
 
в 
В   21 
...
 
 в m1 
состоящая из одного столбца, матрицей–столбцом.
Определение. Матрица называется квадратной n–го порядка, если
число ее строк равно числу столбцов и равно n:
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
A

...


a

 n1 a n 2 ... a nn 
Определение. Матрица вида:
1

0
 ...

0

0 ... 0 

1 ... 0 
=E,
... ... ...

0 ... 1 
называется единичной матрицей.
Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической.
 a11

 0
Определение. Квадратная матрица вида 
...

 0

диагональной матрицей.
5
0 

0 
называется
... 0 

... a nn 
0 ...
a 22 ...
...
0
1.2. Свойства умножения матриц
Операция умножения матрицы любого размера на произвольное число
сводится к умножению каждого элемента матрицы на это число.
 a11

 a
A   21
...

 a
 m1
a12
a 22
...
a m 2
... a1n 

... a 2 n 
...
... 

... a mn 
 (А+В) =А  В
А() = А  А
 1 2 3
1 3 4




Пример 1. □ Даны матрицы А=  2 1 4  ; B=  5 7 8  , найти 2А+В.
 3 2 3
1 2 4




 2 4 6


2А=  4 2 8  ,
 6 4 6


 3 7 10 


2А+В =  9 9 16  .■
 7 6 10 


Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы
которой могут быть вычислены по следующим формулам:
AB = C;
n
сij   aik  bkj .
k 1
Из приведенного определения видно, что эта операция умножения
матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых
равно числу строк второй.
1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если
определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц
соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются
перестановочными. Самым характерным примером может служить
единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой
матрицей того же размера.
Перестановочными могут быть только
квадратные матрицы одного и того же порядка.
АЕ = ЕА = А
Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
AO = O; OA = O, где О – нулевая матрица.
2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если
определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и
выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
6
3)Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к
сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то
соответственно: А(В + С) = АВ + АС, (А + В)С = АС + ВС.
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно
соотношение:
(AB) = (A)B = A(B).
5) Если определено произведение АВ , то определено произведение
ВТАТ и выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТАТ,
где индексом Т обозначается транспонированная матрица.
Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а
переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки
матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
 а11

a
А =  21
...

a
 m1
a12
a 22
...
am2
... a1n 

... a 2 n 
;
... ... 

... a mn 
 a11

Т  a12
В = А =
...

a
 1n
a 21 ... a m1 

a 22 ... a m 2 
;
... ... ... 

a 2 n ... a mn 
другими словами, bji = aij.
В качестве следствия из предыдущего свойства можно записать, что:
(ABC)T = CTBTAT,
при условии, что определено произведение матриц АВС.
 1 0 3
1
  1


 
 
Пример 1. □ Даны матрицы А =  2 4 1  , В =  3  , С =  2  и число 
 2
1
 1  4 2
 
 


= 2. Найти АТВ+С.
1 2 1 


A =  0 4  4 ;
3 1 2 


T
1 2 1  1
 1 1  2  3  1 2 
9

  


 
A B =  0 4  4    3  =  0 1  4  3  4  2  =  4  ;
3 1 2   2
 3 1  1  3  2  2 
10 

  


 
T
  2
 
C =  4  ;
 2 
 
 9    2
7
   
 
А В+С =  4  +  4  =  8  .■
10   2 
12 
   
 
Т
1
 
Пример 2. □ Найти произведение матриц А =  4  и В = 2 4 1 .
 3
 
1
 1 2 1 4 11   2 4 1 
 

 

АВ =  4   2 4 1 =  4  2 4  4 4  1   8 16 4  .
 3
 3  2 3  4 3  1  6 12 3 
 

 

7
1
 
ВА = 2 4 1   4  = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.■
 3
 
3 4

5 6
Пример 3. □Найти произведение матриц А= 1 2 , В = 
3 4
 = 3  10 4  12 = 13 16 . ■
АВ = 1 2  
5 6
§2. Умножение матриц произвольного формата
2.1. Два случая умножения матриц
Рассмотрим два возможных случая:
1) Не все переменные y1,y2,…,yn выражаются через переменные z1,z2,…,zq,
а только y1,y2,…,yn-k (k  N{0}).
2) Через z1,z2,…,zq выражаются не только переменные y1,y2,…,yn ,но еще и
некоторые переменные yn+1,…,yp.
Случай 1.
 x1  a11 y1  ...  a1( n k ) y( n k )  a1( nk 1) y( n k 1)  ...  a1n yn

x  a y  ...  a1( nk ) y( n k )  a1( n k 1) y( n k 1)  ...  a2 n yn
□(1')  2 21 1
....
 xm  am1 y1  ...  a1( n k ) y( n k )  a1( n k 1) y( n k 1)  ...  amn yn

 a11 a12 ... a1n k

a22 ... a2 nk
a
Amn   21
...

 am1 am 2 ... amnk
a1nk 1 ... a1n 

a2 nk 1 ... a2 n 


amnk 1 ... a mn 
 y1  b11z1  b21z2  ...  b1q z q

y  b z  b z  ...  b2 q z q
(2')  2 21 1 22 2
...
 y( n k )  b( n k )1 z1  b( n k ) 2 z2  ...  b( n k ) q z q

B( nk ) q
b12
 b11

b22
 b21


b
 ( n k )1 b( nk ) 2
b1q 

b2 q 


... b( nk ) q 
...
...
...
k  N \ 0■
Случай 2.
 x1  a11 y1  a12 y2  ...  a1n yn 
 x  a y  a y  ...  a y 

2n n 
□(1'')  2 21 1 22 2

...

 xm  am1 y1  am 2 y2  ...  amn y n 
8
 a11 a12

a22
a
Amn   21

 am1 am 2
... a1n 

... a2 n 

...

... a mn 
 y1  b11z1  b12 z2  ...  b1q z q

 y2  b21z1  b22 z2  ...  b2 q z q
...

 yn  bn1 z1  bn 2 z2  ...  bnq z q
...

 yn k  b( n k )1 z1  b( n k ) 2 z2  ...  b( n k ) q z q
(2'')
b12
 b11

b22
 b21
 ...
...

b2 n
 b1n
 ...
...

b
 ( n k )1 b( n k ) 2
...
...
...
...
...
...
b1q 

b2 q 
... 
 k N ■
bnq 
... 

b( n k ) q 
В случае (1) подставим вместо y1,y2,…,yn-k в формулу (1') их выражение через
z1,z2,…,zq , взятые из формулы(2'). Получим выражение m переменных
x1,x2,…,xm, через (q+n-k) переменных z1,z2,…,zq и yn-k+1,…,yn . При этом,
коэффициент cij при zj в выражении xi через z1,z2,…,zq и yn-k+1,…,yn находится
по формуле
сij  ai1b1 j  ...  ai ( n k ) b( n k ) j ,
А коэффициент dis при yn-k+s в выражении xi через z1,z2,…,zq и yn-k+1,…,yn
равен a1(n-k+s).
Тогда матрица С, составленная из коэффициентов выражений x1,x2,…,xm
через z1,z2,…,zq,
yn-k+1,…,yn , находится следующим образом. Сначала
умножаем матрицу Am(1-(n-k)),составленную из первых n-k столбцов матрицы А
на всю матрицу B(n-k)q . Затем к полученному произведению приписываем
справа матрицу , составленную из последних k столбцов матрицы А.
Получим, что
С  A  B  Am (1( n k ))  B( n k ) q | Am ( n k 1)n .
В случае (2) подставим вместо y1,y2,…,yn в формулу (1'') их выражение
через z1,z2,…,zq, y1,y2,…,yn из формулы (2'') получим выражение m+k
переменных x1,x2,…,xm, yn-k+1,…,yn через q переменных z1,z2,…,zq.
При этом коэффициент cij при zj в выражении ys через z1,z2,…,zq.
9
А коэффициент dsj s=n+1,…,n+k при zj выражении ys через z1,z2,…,zq
находится по формуле dsj=bsj.
Тогда матрица С, составленная из коэффициентов выражений x1,x2,…,xm,
yn+1,…,yn+k через z1,z2,…,zq находится следующим образом. Сначала матрицу
Amn умножаем на матрицу B(1-n)q, составленную из первых строк матрицы B(nk)q. Затем к полученному произведению приписываем снизу матрицу,
составленную из последних k строк матрицы В. Получим, что
C  A B 
Amn  B(1n ) q
B( n 1)( n k ) q
.
Объединяя оба случая, получаем новое правило умножения матриц
произвольного формата, которое совпадает с обычным умножением для
совместимых матриц.
Amn  B pq
( Am (1( n k )  B( n k ) q | Am ( n k 1)n

  Amn  B(1n ) q
B
 ( n 1)( n k ) q
2.2. Разбиение матриц
Пусть даны матрицы Pm×n, Qm×l, Sd×l , тогда составим их них одну
связанную по элементам матрицу:
P Q
R S
Получим новую матрицу А. Размерность Аm+k×l+n, а матрицы Pm×n, Qm×l,
Sd×l, входящие в данную как составные части назовем ее блоками, процесс
получения из матрицы А матрицы P,Q,R,S назовем разбиением на блоки,
обратную операцию - склеиванием блоков P,Q,R,S в матрицу Аm+k×l+n.
Условную линию, по которой проходит разбиение(т.е. определяются блоки_
P Q
R S
или
P Q
R S
Назовем линией разбиения. И если разбиение матрицы идет по
столбцам, назовем линию горизонтальной, если строкам – вертикально
линией разбиения матрицы Аm+k×l+n.
Пусть задана матрица Аm×n. Разобьем ее на два блока горизонтально
следующим образом:
10
 a11

 ...
 a
 k1
A _
a
 ( k 1)1
 ...
 a
 m1
a12
...
ak 2
_
...
...
am 2
... a1n 

...
... 
... a kn 

_
_ 
... a( k 1) n 

...
... 
... a mn 
тогда полученные блоки будем обозначать следующим образом:
A1k ,n
A( k 1)m,n
 a11

  ...
a
 k1
...
ak 2
 a( k 1)1

  ...
 a
 m1
тогда A 
... a1n 

... ... 
... a kn 
a12
... a( k 1) n 

...
... 
... amn 
a( k 1) 2
...
am 2
A1k ,n
A( k 1)m,n
.
Определить формат блока можно следующим образом:
A(k+1)→m,n и d = k+1, s = m, r = n будет иметь формат (s-d)+1×r. То есть
формат A(k+1)→m,n равен (s-d)+1×r = (m-k-1)+1×n = m-k×n. Аналогичным
образом, если разбить Ф вертикально:
 a11

 a21
A
...

a
 m1
a12
a22
...
... a1k
... a 2 k
... ...
am 2
... amk
| a1( k 1) ... a1n 

| a 2( k 1) ... a2 n 
| .......... ... ... 

| a m ( k 1) ... amn 
Обозначим следующие разбиения следующим образом:
Am ,1k
Am ( k 1)n
 a11

a
  21
...

 a m1
a12
a 22
...
am 2
 a1( k 1)

 a 2 ( k 1)

...

a
 m ( k 1)
и A= Am,1→k|Am,(k+1)→n
11
... a1k 

... a 2 k 
... ... 

... a mk 
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 
Пример 1.□
 a11

A   a21
a
 31
a12
a22
a32
| a13 

| a23 
| a33 
A3,12
 a11 a12 


  a21 a22 
a

 31 a32 
A3,33
 a13 
 
  a23 
a 
 33 
■
Теорема.
□Аm×l имеет блоки A1→q,1→p, где 1≤p≤α и Bl×n с блоками B1→p,1→r, тогда
матрица А∙В имеет блоки:

( A  B)   A1q,1q  B1 p,1r
p 1
То есть, другими словами умножение матриц формата Аm×l и Bl×n в
смысле разбиений на блоки не отличается от стандартного метода
умножения «строчки на столбик». ■
Пример 2.
□
 2 | 1 3
A  

 0 |  1 2
 7 7 7

_
_
 _
B
2 1
4

2
4
 0
 2
A2,11   
 0
 1 3
A2,11  

  1 2
2

_
0

0 
B11, 4  3  7  7 2 ;
  2 1 4 0
B24, 4  

 0 2 4 0
 B11, 4 
  A2,11  B11,4   A2,23  B14,4  
A  B  A2,11 , A2, 23   
 B14,4 
 2
 1 3   2 1 4 0
    3  7  7 2   
  
 
0
  1 2  0 2 4 0
 6  14  14 4    2 7 16 0   4  7 2 4 
 



0
0
0   2 3 4 0   2 3 4 0 
0
12
■
2.3. Ассоциативность умножения матриц произвольного формата
Пусть даны три матрицы произвольного формата Am×n, Bp×q, Ck×l, где
Amn
 a11

  ...
a
 m1
Ck l
 c11

  ...
c
 k1
a1n 

... ... ,
... amn 
a12
...
...
am 2
c12
...
ck 2
B p q
 b11 b12

  ... ...
b
 p1 b p 2
... b1q 

... ... 
... b pq 
... c1l 

... ... 
... ckl 
Необходимо показать, что: (А∙В)∙С=А∙(В∙С).
Пусть n<p и q<k.
I.
А)
A B 
Amn  B1n ,q
B( n 1) p ,q
 Amn  B1n ,q 

  C1q,l
 B

Amn  B pq  C1q,l
(
n

1
)

p
,
q

( A  B)  C  

C( q1)k ,l
C( q1)k ,l
Если n≤p, справедливо:
(Am×n∙Bp×q)∙Cq×l=Am×n∙(Bp×q∙Cq×l)
Следовательно
( Amn  B pq )  C1q,l
C( q1)k ,l

Amn  ( B pq  C1q ,l )
C( q1)k ,l
Б)
B C 
B pq  C( q 1)q ,l
C( q 1)q ,l
 B pq  C1q ,l
A  ( B  C )  Amn  
 C
 ( q 1)k ,l
 1 Amn  ( B pq  C1q ,l


C( q1)k ,l

Сравнивая полученные результаты в пунктах А) и В), видим, что они
равны, а это значит выполнимость ассоциативности для случая n<p и q<k.
II). Теперь пусть n<p и q>k
13
А)
 Amn  B1n ,q 
  Ck l
( Amn  B pq )  Ck l  
 B

(
n

1
)

p
,
q


По смыслу умножения матриц в терминах разбиения
Am×n∙Bn×q=Am×n∙Bn,1→k|Am×n∙Bn,(k+1)→q, а Bs×q=Bs,1→k|Bs,(k+1)→q, следовательно
верно равенство:
Amn  Bnq
Bs q

Ann  Bn ,1k
Bs ,1k
|
Amn  Bn ,( k 1)q
Bs ,( k 1)q
Тогда:
( A  B)  C 
Amn  B1n ,1k
B( n 1) p ,1k
 Ck l |
Aml  B1n ,( k 1)q
B( n 1) p ,( k 1)q
а это равно:
Amn  B1n ,1k  Ck l Amn  B1n ,( k 1)q
|
B( n 1) p ,1k  C k l
B( n 1) p ,( k 1)q
Б) A∙(B∙C)=Am×n∙(Bp,1→k∙Ck×l|Bp,((k+1)→q)
Разобьем блоки Bp,1→k и Bp,(k+1)→q n-линией горизонтально, получим:
Amn 
B1n ,1k
B( n 1) p ,1k
 Amn 
 Ck l |
B1n ,1k  Ck l
B( n 1) p ,1k  Ck l
B1n ,( k 1)q
B( n 1) p ,( k 1)q
|
 Amn 
Amn  B1n ,( k 1)q
B( n 1) p ,( k 1)q

B1n ,1k
B( n 1) p ,1k
 Ck l | Amn 
B1n ,( k 1)q
B( n 1) p ,( k 1)q

Amn  B1n ,1k  Ck l Amn  B1n ,( k 1)q
|
.
B( n 1) p ,1k  Ck l
B( n 1) p ,( k 1)q
Таким образом, получили одинаковые выражения, а это говорит о том,
что операция умножения матриц произвольного формата ассоциативна для
случая n<p и q>k.
14
III). Теперь пусть n>p и q>k. Тогда:
А) (A∙B)∙C=(Am,1→p∙Bp×q|Am,(p+1)→n)∙Ck,l
Заметим, что по смыслу разбиений:
Am,1→p∙Bp×q= Am,1→p∙Bp,1→k| Am,1→p∙Bp,(k+1)→q, тогда
Am,1→p∙Bp×q|Am,(p+1)→n=Am,1→p∙Bp,1→k| Am,1→p∙Bp,(k+1)→q| Am,(p+1)→n
Если
разбить
матрицу
в
правой
части
последнего
равенства
вертикальной k-линией, то ее первый блок равен Am,1→p∙Bp,1→k, а второй
Am,1→p∙Bp,(k+1)→q|
Am,(p+1)→n.
Тогда
по
смыслу
умножения
матриц
произвольного формата:
(Am,1→p∙Bp×q| Am,(p+1)→n)∙Ck×l= (Am,1→p∙Bp,1→k)∙ Ck×l| Am,1→p∙Bp,(k+1)→q| Am,(p+1)→n
Б) Am×n∙( Bp×q∙ Ck×l)= Am×n∙( Bp,1→k∙ Ck×l| Bp,(k+1)→q)=
Am,1→p∙( Bp,1→k∙ Ck×l| Am,1→p∙Bp,(k+1)→q| Am,(p+1)→n
По смыслу умножения матриц в терминах разбиения справедливо:
(Am,1→p∙Bp×q| Am,(p+1)→n)∙Ck×l= Am,1→p∙( Bp,1→k∙ Ck×l| Am,1→p∙Bp,(k+1)→q| Am,(p+1)→n
А
в
силу
ассоциативности
совместимых
матриц,
результаты,
полученные в пунктах А) и Б) равны. Итак, операция умножения матриц
произвольного формата ассоциативна для случая n>p и q>k.
IV. n>p и q<k.
15
А) (A∙B)∙C=(Am,1→p∙Bp×q|Am,(p+1)→n)∙Ck×l
1) n>p
и q+(n-p)>k. Аналогично, как при доказательстве пункта III
имеем:
(Am,1→p∙Bp×q| Am,(p+1)→n)∙Ck×l= Am,1→p∙( Bp,1→k∙ Ck×l| Am,1→p∙Bp,(k+1)→q| Am,(p+1)→n
Б)
A  ( B  C )  Amn 
B pq  C1q,l
C( q1)k ,l

 B C
  Am,1 p   pq 1q ,l
 C

 ( q1)k ,l


  | Am,( p 1)n 


(Am,1→p∙( Bp×q∙ Ck×l))| Am,(p+1)→n
1
2
( Am,1 p  ( B pq  Ck l )) | Am,( p1)n  (( Am,1 p  B pq )  Ck l | Am,( p1)n 
(( Am ,1 p  ( B p ,1k | B p ,( k 1)q )  Ck l ) | Am ,( p 1)n 
3
( Am,1 p  Bp ,1k | Am,1 p  Bp,( k 1)q )  Ck l ) | Am,( p1)n 
Am ,1 p  B p ,1k  Ck l | Am ,1 p  B p ,( k 1)q | Am,( p 1)n
Таким образом, для случая 1) выполнение условия ассоциативности
умножения матриц произвольного формата справедливо.
2) n>p и q+(n-p)>k
A) (А∙B)∙C=((Am,1→p∙Bp×q)|Am,(p+1)→n)∙Ck×l=
(( Am ,1 p  B p  q ) | Am ,( p 1)  n )  C1 q  ( n  p )

C( q  ( n  p ) 1)  k ,l
Б)
 B pq  C1q ,l
A  ( B  C )  Amn  
 C
 ( q 1)k ,l
Так как
q+n-p<k




n<p+(k-q)
то по смыслу умножения матриц произвольного формата необходимо
 B pq  C1q ,l 


разбить матрицу  C( q1)k ,l  на блоки горизонтальной n-линией, значит
16
первый блок будет содержать от 1 до n строк, и так как p<n, то блок
Bp×q∙C1→q,l сохраняется, а из блока C(q+1)→k,l, берется n-p строк, второй
блок
данного горизонтального разбиения будет состоять из матрицы C(q+1)→k,l
за
вычетом n-p строк, взятых в первый блок.
Итак:
B pq  C1q ,l
B pq  C1q ,l
C( q 1)k ,l

C( q1)q( n  p ),l
C( q ( n  p )1)k ,l
Тогда по смыслу умножения матриц произвольного формата:
Amn 

B pq  C1q,l
C( q1)k ,l
 B pq  C1q,l
Amn  
C
 ( q1)q( n  p ),l

C( q( n  p )1)k ,l


C1q,l
 Amn   B pq 


C( q1)q( n  p ),l


C( q( n  p )1)k ,l




Amn  ( B pq  C1q ( n  p ),l
C( q ( n  p )1)k ,l
Тогда:
Amn  ( B pq  C1q ( n  p ),l )
C( q ( n  p )1)k ,l

( Amn  B pq )  C1q( n  p ),l
C( q ( n  p )1)k ,l

( Am ,1 p  B pq )  C1q ( n  p ),l
C( q( n  p )1)k ,l
Получили
равные
выражения,
что
означает
выполнение
ассоциативности для случая IV и так как были рассмотрены всевозможные
случаи, то можно сказать, что операция умножения матриц произвольного
формата ассоциативна.
§3. Матрицы как линейные операторы
3.1 Матрицы линейных преобразований
Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом e1 , e 2 ,…, e n задано
линейное преобразование А. Тогда векторы А e1 ,А e 2 ,…,А e n - также векторы
этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации
векторов базиса:
A e1 = a11 e1 + a21 e 2 +…+ an1 e n
A e 2 = a12 e1 + a22 e 2 +…+ an2 e n
……………………………….
A e n = an1 e1 + an2 e 2 +…+ ann e n
17
 a11

a
Тогда матрица А =  21
...

a
 n1
a12
a 22
...
an2
... a1n 

... a 2 n 
называется матрицей линейного
... ... 

... a nn 
преобразования А.
Если в пространстве L взять вектор x = x1 e1 + x2 e 2 +…+ xn e n , то A х  L.
Ax  x1 e1  x2 e2  ...  xn en , где
x1  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn
x2  a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn
……………………………..
xn  an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn
Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе e1 , e 2
,…, e n .
В матричном виде:
 x1 
 
x 
x  e1 , e2 ,..., en   2  ,
...
 
x 
 n


 x1   x1 
   
 x   x 
А  2    2  ,
...
...
   
 x   x 
 n  n
A  x  x
Пример 1 .
□Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:
x = x + y
y = y + z
z = z + x
x = 1x + 1y + 0z
y = 0x + 1y + 1z
z = 1x + 0y + 1z
1 1 0


A = 0 1 1
1 0 1

■
На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к
действиям над их матрицами.
Определение. Если вектор х переводится в вектор у линейным
преобразованием с матрицей А, а вектор у в вектор z линейным
преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих
18
преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему
вектор х в вектор z (оно называется произведением составляющих
преобразований).
С = ВА
Пример 2. □ Задано линейное преобразование А, переводящее вектор х в
вектор у и линейное преобразование В, переводящее вектор у в вектор z .
Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор x в вектор
z.
 y1  2 x1  x 2  5 x3

 y 2  x1  4 x 2  x3
 y  3x  5 x  2 x
1
2
3
 3
 z1  y1  4 y 2  3 y3

 z 2  5 y1  y 2  y3
z  3 y  6 y  7 y
1
2
3
 3
A
B
x

y

z
C
x

z
С = ВА
3
 2 1 5 
1 4




A   1 4  1 B   5  1  1
3  5 2 
3 6
7 



0
7
 2  4  9  1  16  15 5  4  6   15

 

C   10  1  3
545
25  1  2    6  4 24 .
 6  6  21  3  24  35 15  6  14   33  14 23 

 

 z1  15 x1  7 x3
Т.е.  z 2  6 x1  4 x2  24 x3
 z  33x  14 x  23x
1
2
3
 3
■
Примечание. Если А= 0, то преобразование вырожденное, т.е.,
например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.
Определение. Если линейное преобразование А в некотором базисе e1 ,
e 2 ,…, e n
 a11

a
имеет матрицу А =  21
...

a
 n1
a12
a 22
...
an2
... a1n 

... a 2 n 
, то собственные значения
... ... 

... a nn 
линейного преобразования А можно найти как корни 1, 2, … ,n уравнения:
a11  
a12
...
a 21
a 22   ...
...
a n1
...
an2
a1n
a2n
...
...
... a nn  
0
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его
левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования
19
А. Следует отметить, что характеристический многочлен линейного
преобразования не зависит от выбора базиса.
3.2. Частные случаи
1) Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица
a
a 
которого равна  11 12  . Тогда преобразование А может быть задано
 a 21 a 22 
формулами:
 a11 a12   x1   x1 

      ;
 a 21 a 22   x2   x 2 
 x1  a11 x1  a12 x2

 x2  a21 x1  a22 x2
в некотором базисе e1 , e2 .
Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным
значением , то А х  х .
 x1  x1  a11 x1  a12 x2

 x2  x2  a 21 x1  a22 x2
или
(a11   ) x1  a12 x2  0

a21 x1  (a22   ) x2  0
Т.к. собственный вектор x ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю
одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела
нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В
противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение
– нулевое, что невозможно.

a11  
a12
a21
a22
 (a11   )( a22   )  a12 a21  2  (a11  a22 )  (a11a22  a12 a21 )
Полученное уравнение является характеристическим уравнением
линейного преобразования А.
Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то
линейное преобразование А не имеет собственных векторов. Следует
отметить, что если х - собственный вектор преобразования А, то и любой
вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным
значением . Действительно, A(kx )  kAx  kx   (kx ) . Если учесть, что
векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое
собственное направление или собственную прямую.
Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных
действительных корня 1 и 2, то в этом случае при подстановке их в систему
уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения
линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные
прямые.
Если
характеристическое уравнение имеет два равных корня 1 = 2 = , то либо
20
имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в
систему она превращается в систему вида:
0  х1  0  х2  0
.

0  х1  0  х2  0
Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы
будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием
подобия.
2) Если х - собственный вектор линейного преобразования А, заданного
в трехмерном линейном пространстве, а х1, х2, х3 – компоненты этого вектора
в некотором базисе е1 , е2 , е3 , то
x1  x1 ; x2  x2 ; x3  x3 ,
где  - собственное
преобразования А.
значение
(характеристическое
число)
Если матрица линейного преобразования А имеет вид:
 a11

A   a 21
a
 31
a12
a 22
a32
a13 

a 23  , то
a33 
x1  a11 x1  a12 x 2  a13 x3

x 2  a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3
x  a x  a x  a x
31 1
32 2
33 3
 3
Характеристическое уравнение:
a11  
a12
a 21
a31
a 22  
a32
a13
a 23  0
a33  
Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно .
Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет
либо один, либо три действительных корня. Тогда любое линейное
преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.
3.3. Произведение матриц. Композиция операторов
Пусть даны два линейных оператора А и В, отображающие R и S, и
соответствующие им матрицы
А=‖aik‖, В=‖bik‖ (i=1,2,…,m; k=1,2,…,n).
Определение. Произведением операторов А и В называется оператор С,
для которого при любом x из R
Cx=A(Bx) (x R).
C  AB
Оператор С отображает R в T: Т  R.
Из линейности операторов А и В вытекает линейность оператора С.
Выберем в пространствах R, S, T. Произвольные базисы и обозначим через
А, В и С матрицы, соответствующие операторам А, В и С при этом выборе
базисов. Тогда векторным равенствам
z=Ay, y=Bx, z=Cx
21
Будут соответствовать матричные равенства
y  Bx ,
z  Ay ,
z  Cx,
Где x,y,z- столбцы координат векторов x,y,z. Отсюда находим
Cx  A( Bx )  ( AB) x,
и в силу произвольности столбцов х
C  AB.
Таким образом, произведению C=AB операторов А и В отвечает
матрица С=‖сij‖ (i= 1,2,…,q; j=1,2,…,q), равная произведению матриц А и В.
C=αA (α  K)
Отвечает матрица C  A.
Теорема. Композиции двух операторов соответствует произведение их
матриц.
Доказательство. □ Положим h  f  g. Тогда
n
n
h( ei )  ( f  g )  ei  f ( g ( eg ))  f (  G ij  ei )   G ij  f ( ei ) 
i 1
n
n
 G  ( F
i
j
i
i 1
s 1
s
i 1
n
n
n
s 1
i 1
s 1
 es )   (  Fi s G ij )es   H is  es .
Отсюда в силу однозначности разложения векторов по базису, выводим
n
H is   Fi s G ij .
i 1
Это соотношение интерпретируется как произведение квадратных
матриц H  FG. Теорема доказана.■
3.4. Построение матрицы по заданной формуле отображения.
Примеры
Пусть отображение задано с помощью формулы
L : ( x1 ,..., xn )  (a11 x1  ...  an1 xn ,..., an1 x1  ...  ann xn )
то есть для координат произвольного исходного вектора определены
координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x
вектор e1  (1,0,...0) , найдём его образ, это будет вектор (a11 ,..., an1 ) . Для этого в
формуле,
задающей
образ
вектора,
полагаем
x1  1 , x2  0 ,…, xn  0 .
Аналогично находим образы для e2  (0,1,...0) ,…, en  (0,...0,1) . Из координат
образа вектора e1 составляем 1-й столбец матрицы линейного оператора,
аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы.
Рассмотрим на примере.
Пример 1.□ Пусть оператор задан с помощью формулы:
L : ( x1, x2 )  (3x1  2x2 , x1  x2 ) .
Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно
линейный оператор. Отобразим сумму векторов:
22
L : ( x1  y1, x2  y2 )  (3( x1  y1 )  2( x2  y2 ), ( x1  y1 )  ( x2  y2 )) Теперь каждую
координату получившегося вектора можем преобразовать:
(3( x1  y1 )  2( x2  y2 ), ( x1  y1 )  ( x2  y2 )) 
(3x1  3 y1  2x2  2 y2 , x1  y1  x2  y2 ) 
(3x1  2x2 , x1  x2 )  (3 y1  2 y2 , y1  y2 )  L( x1, x2 )  L( y1, y2 ) .
Аналогично для умножения на константу:
L : (x1, x2 )  (3x1  2x2 , x1  x2 ) 
(3x1  2x2 , x1  x2 )  L( x1, x2 )
Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как
было сказано выше, подставить значения x1=1, x2=0, а затем x1=0, x2=1. В
этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1).
Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:
3 2 
 .■
A  
 1  1
Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества
переменных.
Пример 2. □ L : ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  2 x2  x3 ,4 x1  x2 , x1  2 x2  3x3 ) .
Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) –
в
(1,1,3). Матрица линейного оператора:
2  1
1


A 4
1
0  .■
 1  2 3 


23
Заключение
Свойства и способы умножения матриц имеют огромное значение.
Матрицы находят все более широкое применение и вне математики. Они
были изобретены в середине 19 в. в связи с изучением n-мерной геометрии. С
тех пор их стали использовать везде, где приходится иметь дело с обработкой
больших массивов данных. С использованием матриц решаются многие
технические задачи, связанные с расчетом напряжений, деформаций,
колебаний.
Одно из главных применений матриц в общественных науках связано с
построением моделей различных ситуаций. Например, экономическую
ситуацию в стране часто моделируют с помощью матрицы с примерно 100
строками и столбцами. На основании операций над такой матрицей
экономисты создают свои прогнозы. Пример использования матриц в
деловом мире – линейное программирование, которое можно использовать
при составлении производственных планов, схем распределения сырья и
готовой продукции и в других сложных операциях.
24
Список литературы:
1) Грантмахер Ф.Р., Теория матриц. Москва. Издательство ФИЗМАТЛИТ.
2004.
2) Ланкастер П., Теория матриц. Москва. Издательство «наука». 1973.
3) Материалы студенческой научно-практической конференции.
ТГПИ. 2011.
25