Журов А.Н. Финансовая академия при правительстве РФ, г.Москва Шаповал А.Б., Финансовая академия при правительстве РФ, г.Москва, к.ф.-м.н.,доц. Влияние бонусов на оптимальные стратегии страховой компании в условиях неопределенности В работе построены оптимальные стратегии страховой компании в условиях неопределенности. Предполагается, что компания занимается тремя видами деятельности: (1) страхованием, т.е. сбором премий и выплатой убытков по страховым случаям; (2) инвестированием капитала в безрисковый и рисковый активы; (3) потреблением, т.е. выплатой заработных плат, бонусов, и любых других расходов, не являющимися выплатами по страховым случаям. Капитал X t страховой компании увеличивается за счет сбора премий p и положительной конъюнктуры на финансовом рынке и уменьшается при наступлении страховых случаев, а также отрицательной рыночной конъюнктуры. Предполагается, что суммарные страховые премии p (t ) p , собираемые в каждый момент времени, постоянны [Бауэрс,2001], а страховые выплаты задаются сложным пуассоновским процессом Nt S t Yi , i 1 где N t случайный процесс количества страховых случаев, произошедших за промежуток [0, t ]. Значение процесса St в каждый момент времени равно суммарному убытку за временной промежуток [0, t ]. Процесс числа страховых случаев N (t ) является пуассоновским с интенсивностью 0 . Размер убытка по i ому страховому случаю определяется неотрицательной случайной величиной Yi , т.е. P(Yi 0) 0 F (0). Случайная величина Yi имеет неотрицательную функцию распределения F (x ) и конечные первый и второй начальные моменты. Из определения сложного пуассоновского процесса следует, что случайные величины Y1 , Y2 ,..., YN независимы, одинаково распределены и имеют общую функцию t распределения P ( y ), а также не зависят от числа N (t ) страховых случаев. Предположим, что Yi не зависит от Wt - винеровского процесса. Размер брутто-премии p , собираемая за время t рассчитывается по формуле: p (1 )E(Yi )t. Величина премии рассчитывается на основе математического ожидания суммарных убытков за промежуток t , рассчитываемого по формуле: E (dS t ) E (Yi )t . Параметр называется рисковой надбавкой. Предполагается, что эта величина удовлетворяет неравенству 0 (противоположное неравенство означает разорение страховой компании почти наверное за конечное время [Бауэрс,2001]). Суммарные убытки St от страховых случаев моделируются сложным пуассоновским процессом. 1 Пусть цена безрискового актива цена рискового актив Pt B (t ) изменяется с постоянной доходностью, а удовлетворяет геометрическому броуновскому движению: dB(t ) r0 B(t )dt (1) dPt Pt dt Pt dWt (2), где r0 0 , 0 , а Wt Винеровский процесс. Пусть ut - это доля капитала, инвестируемого в рисковый актив, управляющий параметр. Тогда капитал X t удовлетворяет уравнению: dX t ut X t dPt dB(t ) (1 ut ) X t pdt dS t ct dt (3) Pt B(t ) Согласно [Yang, 2005], оптимальные стратегии весьма чувствительны к выбору целевого функционала. Предполагая конкретный вид функции полезности, в [Merton, 1969], [Samuelson, 1969] найдена оптимальная доля капитала, инвестируемого в рисковый актив. В статье [Moore, 2006] изложены многие полученные результаты для задачи наиболее общего типа- оптимальное инвестирование, потребление и деление риска (перестрахование) страховой компании в стохастических условиях при степенной, экспоненциальной и логарифмической функциях полезности. В ряде работ изучено, как влияет потребление фирмы на ее инвестиционные стратегии, (обзор методов приведен в статье [Sennewald ,2006]). В докладе рассматривается задача, в которой компания выплачивает средства по страховым событиям, инвестирует капитал в рисковый и безрисковый активы и расходует часть своего капитала на потребление. Управляющими переменными являются ut - доля капитала, направляемая в рисковые активы и ct - величина потребления. Горизонт планирования – неслучайная заданная величина T . Цель компании – оптимизировать ожидаемые капитал и потребление в соответствии с функцией полезности f ( ), капитал или потребление. Пусть выражение T ( s t ) V (t , x) max E e f1 (c s )ds f 2 ( X T ) X t x (4) u s , cs t -дисконтирующая процентная ставка, определяет максимально где достижимый ожидаемый уровень полезности капитала и потребления для компании при условии, что в начальный момент времени t капитал X t x. Предполагается, что функции полезности удовлетворяют естественным условиям f i( ) 0, f i( ) 0, i 1,2 , отражающим соответственно увеличение удовлетворения инвестора при увеличении блага и убывание предельной полезности – первый закон Госсена. В простейшем случае функция полезности 1 1 ,0 1. (5), f i ( ) 1 ln( ), 1. 2 является степенной, а при 1 логарифмической. Оптимальная стратегия страховой компании (другими словами, пара ut , ct ) максимизирует функционал (4) при ограничении (3) В этой работе будем предполагать, что мгновенное изменение капитала, связанное со случайными выплатами, не влияет на размер мгновенного оптимального потребления, т.е.: сt t ct O(t ) .(6) Основным результатом данной работы является следующая теорема: Теорема 1. Пусть выполнены перечисленные выше условия (1)-(6). Тогда динамика оптимального потребления задается формулой: r 1 r 2 r 0 0 exp 0 Wt (7) t 2 В случае произвольной функции полезности потребления f ( ) уравнение ct* c0* динамики оптимального потребления имеет вид: df 1 f (df ) 2 f 2 ( f )3 функция Беллмана V (t , x ) dct* Если предположить, что ищется в виде: x1 1 V (t , x) (t ) , оптимальная инвестиционная стратегия задается выражением: 1 r ut* 2 0 const. Следствие. Если r0 среднем возрастает, а если r0 (1 )( r0 ) 2 0 , то оптимальное потребление в 2 (1 )( r0 ) 2 2 2 2 0 , то оптимальное потребление в среднем убывает. Условие возрастания оптимального потребления для произвольной функции f ( ), полезности удовлетворяющей естественным ограничениям: f ( ) 0, f ( ) 0 также получено в данной работе. Это условие имеет вид: 2(r0 ) 2 ( f ) 2 ( r0 ) f f (3) 0 (8) (3) здесь f f . Подставляя степенную функцию полезности (5) в неравенство (8), получим условие возрастания оптимального потребления для степенной функции полезности, которое сформулировано в следствии. В работе сравниваются две стратегии страховой компании, учитывающие и не учитывающие потребление в целевом функционале. Как следствие из теоремы 1, 3 выведено условие, при котором сумма капитала и потребления в задаче с потреблением больше капитала в задаче без потребления. Рассмотрим более подробно эту проблему. Поскольку в рассматриваемой модели и дополнительный капитал, и дополнительное потребление увеличивают полезность, то сравнить модель без учета и с учетом потреблениея можно, сравнив дифференциалы капитала первой модели и сумму дифференциала капитала в модели с учетом потребления и дифференциала оптимального потребления: dX t (ut ( r0 ) r0 ) X t p dt ut X t dWt dSt dX t(c) ((ut ( r0 ) r0 ) X t(c) p ct )dt ut X t(c) dWt dSt . Так, необходимо решить неравенство: dX t dX t(c) dct* Дифференциал dct* находим из уравнения (7), и после преобразований получаем неравенство: 2 r r0 1 0 r0 dWt 0 (9) dt 2 Взяв математическое ожидание левой и правой частей неравенства (32) и проведя преобразования, получим: 1 1 r0 r0 0 (10) 2 2 2 Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы: 1. Чем меньше дисконтирующая процентная ставка , то есть чем пессимистичнее компания оценивает будущее, тем больше должно быть потребление. 2. На рынках с относительно высокой волатильностью, т.е. с большим показателем 0 , расходы на потребление невыгодны. На рынках с относительно малой волатильностью, стимулирование сотрудников с помощью бонусов- эффективное управленческое решение, увеличивающее капитал и потребление компании. 3. Так как неравенство (10) выполняется при относительно малых 0 1, то стимулировать бонусами своих сотрудников следует компаниям с относительно малым , т.е. относительно приемлющих риск. Список используемой литературы. 1. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения: Пер. с англ.- М.: Мир, 000 “Издательство АСТ”, 2003.-408 с.- ил.- (лучший зарубежный учебник). 2. Актуарная математика. Н. Бауэрс, Х. Гербер, Д. Джонс, С. Несбитт, Дж. Хикман. / Перевод с английского под редакцией В.К. Малиновского - М.: "Янус-К", 2001. - 644 с. 3. Yang H., Zhang L. Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process. // Insurance: Mathematics and Economics, 2005. V. 37 P. 615-634. 4. Moore K. S., Young V. R. Optimal insurance in a continious-time model. //Insurance: Mathematics and Economics, 2006, V.39, P.47-68. 4 5. Samuelson, P. A. Rational theory of warrant pricing. // Industrial Management Review, 1965. V.6, 13.31. 6. R. C. Merton. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainy: The Continuos-Time Case.// The review of Economics and Statistics,1969. V.51. P. 247-257. 7. K. Sennewald, K. Walde, " Itoˆ' s Lemma” and the Bellman Equation for Poisson Processes: An Applied View. //Journal of Economics, March 2006. Springer-Verlag. 5