Extension of Maxwell equations for electromagnetic fields observed

Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики»,
посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Обобщение уравнений Максвелла на случай описания
электромагнитных полей, наблюдаемых на Земле
В.В. Аксенов
ИВМиМГ СО РАН
пр. Ак. Лаврентьева, 6,
630090 Новосибирск, Россия
E-mail: [email protected]
1. На протяжении почти двух столетий в наблюдаемых электромагнитных полях (ЭМП) на Земле
замечались необычные проявления. К наиболее ярким из них можно отнести:
- Обнаружение Van Vleuten в 1902 г. беспотенциальной составляющей ЭМП в воздухе. Аналогичное
открытие было сделано Н.П. Беньковой в 1941 г. при обработке и интерпретации солнечно-суточных
вариаций ЭМП, наблюденных в первый Международный геофизический год (1933 г.).
- Обнаружение Д.Н. Четаевым в 1973 г. большой по напряженности вертикальной составляющей
электрического поля в воздухе в короткопериодических вариациях ЭМП.
2. Кроме того, в описании ЭМП на Земле имеют место существенные нестыковки теории с
экспериментом. В частности выводы динамо-теории возбуждения ЭМП не подтверждаются экспериментом
на Мировой сети магнитных обсерваторий. По динамо-теории тороидального поля в атмосфере быть не
должно. Тем не менее, оно успешно наблюдается в эксперименте.
3. Следствия из теоремы Гельмгольца (1880 г.) о воспроизведении любого векторного поля с
помощью трех скалярных произвольных функций (потенциалов) не удовлетворяют стандартным
уравнениям Максвелла из-за присутствия динамо возбуждения ЭМП в этих разложениях..
Для преодоления выше перечисленных проблем стандартных уравнений Максвелла оказалось
недостаточно. Требовалось найти более общее описание ЭМП на Земле. Это более общее описание ЭМП не
должно противоречить уравнениям Максвелла, а существенно дополнять их.
Более общее описание ЭМП на Земле восходит к известной теореме Гельмгольца о представлении
любого векторного поля, содержащего в себе части с нулевыми ротором и дивергенцией, с помощью трех
произвольных скалярных функций (потенциалов). Существенной в этом описании ЭМП является также
теорема единственности такого разложения. Теорема Гельмгольца в сферических областях записывается
следующим образом:
H  gradF  rot (T  r )  rotrot ( P  r )
(1)
Здесь: H - векторное магнитное поле, F , T , P - произвольные скалярные функции (потенциалы) трех
сферических переменных ( r , ,  ). Теорема единственности такого разложения требует на всех
поверхностях S , охватывающих область задания векторного поля H , существования не равной нулю
нормальной компоненты этого поля H r  0 .
В конце позапрошлого и начале прошлого века усилиями многих ученых Lamb (1881 г.), Mie (1908
г.), Love (1913 г.) и др. слагаемым из (1) был придан свой физический смысл. Выражение HT  (T  r ) было
названо тороидальным магнитным полем, выражение H P  rotrot ( P  r ) - соответственно полоидальным
магнитным полем. Бэкусом (Backus 1958 г.) были найдены следующие формулы:
(2)
P   D2 (r  H ), T   D2 (r  rotH )
В (2) обратный оператор D 2 имеет следующий смысл:

 D 2 f   f n (r ) S n ( ,  ) / n(n  1)
(3)
n 1
Здесь: S n ( ,  ) 
n
A
m 0
P (cos  )eim , f - произвольная функция класса C  . Формулы (2) позволяют
m m
n n
найти первое уравнение динамо возбуждения:

Sn ( ,  )
S ( ,  ) 
S ( ,  )
; T   (rotH T ) r (r ) n
  H Pr (r ) n
(4)
n(n  1)
n(n  1) n 1
n(n  1)
n 1
n 1
Формулы (4) справедливы при условии rotHT  H P . Это и есть первое уравнение динамо возбуждения.

P   H Pr (r )
Второе уравнение, замыкающее принцип динамо, находится следующим образом:
rotH P  rotrotrot ( P  r )  ( graddiv  )rot ( P  r )  rot (P  r ) 


rot ( P  r )  HT


(5)
1
Таким образом, пара уравнений динамо будет иметь вид (Аксенов 1968-2007 гг.):
rotHT  H P , rotH P 

H
 T
(6)
Здесь:  - скорость диффузии поля,  - магнитная вязкость. Граничные условия для потенциалов можно
записать следующим образом:
P, T
 0,
r  R0
1 P, T
sin  
r  R0
 0,
P, T

r  R0
0
(7)
Тогда обобщенные уравнения Максвелла для наблюдаемых на Земле ЭМП следует записать так.
Постоянное поле:
rotH P   ET 

HT  J CT , rotHT  H P , rotET  0

divH P  0, divET  0, divH T  0, divJ CT  0, divBP  0, divDT =0, divBT  0
BP   H P , BT   HT , DT   ET
(8)
Переменное поле:
rotH MT   E MT   H ET  J CT , rotH ET  H MT
H MT
, rotE ET  0
t
 0, divH MT  0, divD MT  0, divD ET  0
rotE MT   
divH ET
(9)
D MT , ET   E MT , ET , B MT , ET   H MT , ET
Здесь:   (i )1/ 2 .
При H T  0 и H ET  0 уравнения (8) и (9) автоматически переходят в стандартные уравнения Максвелла.
Начальные данные есть: H MT , ET , E MT , ET
t0
 0.
Условия излучения стандартны:
H MT , ET , E MT , ET
Граничные условия:

 0.
H1  H 2 , Et1  Et 2 ,[ B1  B2 ]  J S ,[n  ( D1  D2 )]   S
Применение (8) и (9) к наблюденным данным Мировой сети магнитных обсерваторий позволило
обнаружить в ЭМП на Земле ряд новых физических явлений, о которых будет подробно освещено в
докладе.
Литература
1. Van Vleuten A. Over de dagelijksche variatie van het Ardmagnetismc.-Utrecht: Koninklijk Ned. Meteor.
Instit., 1917.-P. 25-30.
2. Бенькова Н.П. Спокойные солнечно-суточные вариации земного магнетизма. -М., Л.:
Гидрометиоиздат, 1941. – 73 с.
3. Четаев Д.Н. Дирекционный анализ магнитотеллурических наблюдений. – М.: Изд ИФЗ АН СССР,
1985. – 256 с.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения,
теоремы, формулы. – М.: Наука, 1970. –720 с.
5. Lamb H. On the oscillations of a viscous spheroid// Proc. London. Math. Soc. – 1881. – Vol. 13. - P. 51-66.
6. Mie G. Beitrage zur Optic truber Medien, speziell Kolloidaler Metallosungen// Ann. Phys. – 1908. – Vol.
25. – P. 377-445.
7. Love A.E.N. Notes on the dynamical theory of tides// Proc. London Math. Soc. – 1913. – Vol. 12. – P.309314.
8. Backus G. A class of self-sustaining dissipative spherical dynamos// Ann. Phys. – 1958. Vol. 4. – P. 372447.
9. Аксенов В.В. Электромагнитное поле Земли. – Новосибирск: Изд. СО РАН, 2006. – 249 с.
2