Тема: Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения и неравенства
Теоретический материал.
Логарифмическая функция.
Пусть а — положительное число, не равное 1.
Определение. Функцию, заданную формулой
(1)
y =logax,
называют логарифмической функцией с основанием а.
Перечислим основные свойства логарифмической функции.
1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных
чисел R+, т. е. D(loga)=R+.Действительно, как отмечалось в предыдущем пункте, каждое
положительное число х имеет логарифм по основанию а.
2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных
чисел. В самом деле, по определению логарифма любого действительного у справедливо
равенство
loga(ay) = y (2)
т. е. функция y= logax принимает значение у0 в точке x0=a у0
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или
убывает (при 0<а<1).
Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0<а<1 проводится аналогичное
рассуждение).
Пусть x1 и x2 — произвольные положительные числа и x2>x1. Надо доказать, что loga x2>loga x1.
Допустим противное, т. е. что
loga x2≤loga x1 (3)
Так как показательная функция у=ах при а>1 возрастает, из неравенства (3) следует:
aloga x2≤aloga x1. (4)
Но aloga x2=x2, aloga x1=x1 (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что x2≤
x1. Это противоречит допущению x2 > x1.
Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке
1; loga 1 =0 при любом а>0, так как а0 = 1.
Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х>1 логарифмическая функция
принимает положительные значения, а при 0<a<1—отрицательные.
Если 0<а<1, то y=logax убывает на R+, поэтому loga x>0 при 0<x<1 и logax<0 при х>1.
Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = loga х при а>1 (рис.
1, а) и0<а<1 (рис. 1,6).
Справедливо следующее утверждение:
Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание,
симметричны относительно прямой у = х (рис. 2).
Логарифмические уравнения.
Логарифмическим уравнением называют уравнение, в котором
неизвестная входит только в аргументы логарифмических функций при
некоторых постоянных основаниях.
Пример 1.
а) уравнение
– логарифмическое.
б) уравнение
– не является
логарифмическим.
Так как логарифмическая функция
значений
монотонна и ее область
, то простейшее логарифмическое уравнение
имеет единственный корень. Именно к виду
надо
приводить более сложные уравнения. Типы и способы решения
логарифмических уравнений схожи с показательными уравнениями.
1. Простейшие уравнения.
=
Решение
-2=0
Пояснения
По определению логарифма получаем
уравнение
Получаем квадратное уравнение
Преобразуем его
Корнями этого уравнения являются
Эти числа, также являются
решениями данного
логарифмического уравнения.
Ответ: -1; 2.
2.
Используя определение логарифма, получаем:
Вновь используем определение логарифма. Имеем:
Еще раз, применяя определение логарифма, находим
.
Ответ: 2.
Особенностью логарифмических уравнений (в отличие от показательных)
является появление посторонних решений. Это связано с расширением
ОДЗ уравнения в ходе его преобразований. Поэтому полученные корни
необходимо проверять подстановкой или следить за изменением ОДЗ.
3.
Решение:
ОДЗ данного уравнения задается неравенствами
Решая эту систему неравенств, получаем:
, откуда
Так как в данном уравнении равны логарифмы двух величин, то равны
и сами величины. Получим квадратное уравнение:
.
Очевидно, что ОДЗ этого уравнения
Т.е. произошло расширение ОДЗ по сравнению с первоначальным
уравнением.
Корни квадратного уравнения:
Однако в ОДЗ исходного уравнения попадает только число
X=3,
Которое и является его решением.
(Корень x=1 является посторонним и возник при расширении ОДЗ).
Ответ: 3.
Во многих случаях при решении логарифмического уравнения его
необходимо преобразовать, используя основные свойства
логарифмов.
4.
Решение:
ОДЗ уравнения определяется условиями
Решая эту систему неравенств имеем
Сведем данное уравнение к простейшему.
Корни этого квадратного уравнения:
В ОДЗ данного уравнения входит только решение
X=3.
Ответ: 3.
5.
Решение:
ОДЗ уравнения задается условиями
откуда
Запишем уравнение в виде:
По определению логарифма получаем квадратное уравнение:
Корни этого уравнения:
Ответ: 14.
Одним из распространенных преобразований является переход к
новому основанию в логарифмах.
6.
Р
В логарифмах перейдем к новому основанию:
Чтобы избавиться от дробных множителей, умножим все члены
уравнения на число 6:
Ответ: 8.
7.
Перейдем в логарифмах к основанию 5 и получим:
=
Так как
, то, разделив обе части уравнения на эту величину,
имеем:
, откуда
Ответ: 2.
Уравнения, решаемые разложением на множители.
8.
Решение:
Перенесем все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и
разложим эту часть на множители. Получаем:
Произведение множителей равно нулю, если один из множителей
равен нулю, а остальные множители имеют смысл.
,
для этого значения x первый
множитель определен.
Ответ:
; 2.
Уравнения, решаемые с помощью замены неизвестной.
Этот способ широко используется при решении любых типов
уравнений.
9.
Решение:
Сделаем замену
.
Тогда получаем квадратное уравнение
Заметим, что ОДЗ исходного уравнения устанавливать нет
необходимости, так как если уравнение
имеет решения
(его корни
), то это означает, что
существует, т.е.
Таким образом, приходим к совокупности уравнений
Отсюда
Ответ: ;
10.
Решение:
Установить ОДЗ этого уравнения достаточно трудно, так как
пришлось бы решать логарифмические неравенства, поэтому
отметим пока, что x>1.
Перейдем в первом логарифме к основанию 0,2:
Введем замену
Тогда уравнение имеет вид:
Определим ОДЗ этого уравнения из условий
Решим это уравнение, перенеся один из радикалов в правую часть
уравнения
Возведем обе части уравнения в квадрат
Тогда
Еще раз, возведя в квадрат, получим
Корни этого уравнения
входят в ОДЗ исходного
уравнения.
Однако проверка показывает, что
удовлетворяет.
исходному уравнению не
Итак, получаем простейшее логарифмическое уравнение:
,
Откуда
Ответ: 26.
В случае однородных уравнений приходится вводить две новые
переменные.
11.
Решение:
ОДЗ уравнения задается условиями
, откуда
Введем две новые переменные
и
И получим однородное уравнение:
Решим это квадратное уравнение относительно a:
Вернемся к старой переменной. Получаем два уравнения:
10-3x=4-x
X=3 (входит в ОДЗ)
(оба корня входят в
ОДЗ)
Ответ: 3; 2.
Уравнения, решаемые с помощью их специфики.
Встречаются задачи, решение которых основано на свойствах входящих в
них функций.
12.
Решение:
Рассмотрим функции
И найдем их области значений.
Представим первую функцию в
виде
Предположим, что
,и
используем неравенство между
средним арифметическим и
средним геометрическим.
Получим:
=1
, т.е.
Поэтому область значений
второй функции
Поэтому рассмотрим два случая:
При этом равенство
достигается, если числа равны,
т.е.
Т.е.
X=3
Аналогично рассматривается
случай
и равенство
достигается при
Получили, что
Итак, данное уравнение имеет единственное решение x=3
Ответ: 3.
13.
Решение:
Исследуем монотонность функций, входящих в уравнение. Функция
– возрастающая, функция
– убывающая.
Очевидно, если данное уравнение имеет корень, то он единственный
(по теореме о корне уравнения). Далее этот корень надо подобрать
(угадать). Подбором находим x=4.
Ответ: 4.
В ряде случаев встречаются уравнения, содержащие логарифмы
неизвестных, но не являющиеся логарифмическими. Тогда
используются специальные приемы, суть которых станет понятна
из примеров.
14.
Решение:
Найдем логарифм по основанию 3 от обеих частей данного
уравнения и используем свойства логарифмов. Получаем:
, или
,
.
Введем новую переменную
и получим квадратное уравнение:
Его корни:
.
Вернемся к старой неизвестной x:
Имеем два уравнения:
Ответ: 3;
15.
Решение:
Используя основное логарифмическое тождество, запишем
основание степени в виде
Тогда данное уравнение имеет вид:
Ответ: 625.
Уравнения, решаемые графически.
При решении уравнений и исследовании их корней часто используется
графический подход.
16.
определить число корней уравнения и найти меньший из них.
Решение:
Запишем уравнение в виде
И построим графики функций
(сплошная линия)
y (штрихпунктирная линия)
A
1
-1
x
B
Видно, что графики этих функций пересекаются в точках A и B .
Следовательно, уравнение имеет два решения.
Абсцисса точки A меньше абсциссы точки B. Поэтому меньший корень
уравнения x=1.
При решении логарифмических уравнений возможно не только появление
посторонних корней (что обусловлено расширением ОДЗ уравнения при
его преобразованиях), но и потеря решений (что связано с сужением ОДЗ).
Если в первом случае посторонний корень исключается его проверкой, то
во втором случае корень может быть утрачен безвозвратно.
17.
Решение:
ОДЗ уравнения определяется условиями
Перейдем к логарифмам по основанию x. Получаем:
Введем новую переменную
. Имеем уравнение:
, или
(равенство неверно).
Получили, что уравнение решений не имеет. Вместе с тем подстановка
значения x=1 показывает, что это корень исходного уравнения.
Потеря корня связана с сужением ОДЗ при преобразовании уравнения.
Переход к основанию x в логарифмах возможен при
. Поэтому
значение x=1 надо проверять отдельно (например, подстановкой этого
значения в исходное уравнение).
Более предпочтительным является переход к основанию, не зависящему
от x.
Например, если перейти к основанию 2, то получим:
Введем новую переменную
Имеем уравнение:
, откуда
t=0.
Получаем, что
X=1 (потери корня не происходит).
Ответ: 1.
Задания для самостоятельной работы
Определите графически число корней уравнения:
1.1  x  log 2 x
Решите уравнения:
2
2.2 log3 x  5 log3 x  400
3. log 22 x  3 log 2 x  5  3log3 9
4. log 3 x  log x 9  3
5. log 6 x  1  log 6
 1 
1
2
 3 log 6  3   0,5 log 6 2 x  4
16
 x
6. log 4 xx  5  log 4
x5
0
x
7. log 12 x 3  1  0
x
8. log 16 2  log 2 3  x   0


9. log 2 x 2  4 x  11  log 0,5 0,125


10. log x 1 3 x 2  2 x  1  2
11. log 3


2  x  5 
1
log 4 81
12. log 1 27  log 3 2 x  3  log 1 2 x  3
3
13.x
9
log5 log5 x
log5 x
14.5  8
x
x 1
x
 log 5 14
 500
log 2 x  log  2   1


3
 y
15. 3
4 x  y  1
log 2 x  log 4 y  0
16.
log 4 x  log 2 y  1
 x  log 2 y  y  log 2 x
17.
 x log 2 32  log 2 x  2 x  log 2 y
log 4 x  y  1
18. x 6
x  4