Логарифмические уравнения и неравенства Определение: Логарифмическое уравнение – это уравнение вида

Логарифмические уравнения и неравенства
Логарифмическое уравнение.
Определение:
Логарифмическое уравнение – это уравнение вида
loga b(x) = loga c(x), где а > 0, a ≠ 1.
Уравнения, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими
уравнениями.
Правило:
Логарифмическое уравнение loga b(x) = loga c(x) равносильно уравнению b(x)
= c(x),
если b(x) > 0 и c(x) > 0.
Пояснение:
В процессе решения логарифмического уравнения loga b(x) = loga c(x) надо
просто убрать значки логарифмов и решить получившееся упрощенное
уравнение b(x) = c(x).
Важно знать:
1) Если в уравнении разные основания, то логарифмы убирать нельзя. В
левой и правой частях уравнения должны быть одинаковые основания.
Возьмем для примера уравнение:
log5 (3x – 8) = log5 (x + 2).
Здесь слева и справа одинаковое основание 5. Значит, можно убрать значки
логарифмов и привести уравнение к более простому и понятному виду:
3x – 8 = х + 2.
Если основания неодинаковы, необходимо преобразовать одно из выражений
так, чтобы основания стали одинаковыми – и только после этого уравнение
можно потенцировать.
2) Даже если основания слева и справа одинаковые, но в уравнении есть
коэффициент, то в этом случае тоже убирать логарифмы нельзя. К примеру,
нельзя потенцировать уравнение такого типа:
3log2 b = log2 25b.
Мешает коэффициент 3 в левой части. Поэтому уравнение надо
преобразовать так, чтобы коэффициент исчез. В нашем уравнении, применив
одно из свойств логарифмов loga bn = n · loga b, мы можем преобразовать
выражение слева:
3log2 b = log2 b3.
Тогда наше уравнение обретает другой вид:
log2 b3 = log2 25b.
Теперь мы имеем одинаковые основания (число 2), и уравнение без
коэффициентов. Значит, уже легко можем убрать значки логарифмов:
b3 = 25b.
И такое уравнение решать намного проще:
b3 : b = 25
b3 – 1 = 25
b2 = 25
b = √25 = 5
3) Даже при одинаковых основаниях и отсутствии коэффициентов нельзя
потенцировать уравнение, если в какой-то из его частей больше одного
логарифма. Например, нельзя убирать логарифмы в уравнении
log2 x + log2 (x + 1) = log2 (х + 9).
В левой части два логарифма. Надо сначала преобразовать ее. Для этого
воспользуемся еще одним правилом: сумма логарифмов равна логарифму
произведения. Итак, преобразовываем левую часть уравнения:
log2 x + log2 (x + 1) = log2 x (х + 1) = log2 x2 + х.
У нас получилось выражение с одним логарифмом. А наше уравнение
принимает новый вид:
log2 x2 + х = log2 (х + 9).
И мы уже можем убрать значки логарифмов:
x2 + х = х + 9
Решаем это простое уравнение:
х2 + х – х = 9
х2 = 9
х = √9 = 3.
Пример.
Решим уравнение
log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).
Решение.
1) Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то
мы можем освободиться от знаков логарифмов и прийти к уравнению вида
b(x) = c(x):
x2 – 3x – 5 = 7 – 2x
2) Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:
x2 – 3x – 5 – 7 + 2x = 0
x2 – x – 12 = 0
Решив квадратное уравнение, находим его корни:
x1 = 4, x2 = –3.
3) Проверим, при каком из двух значений х уравнение имеет смысл.
Мы уже знаем, что логарифмическое уравнение равносильно уравнению b(x)
= c(x) только в том случае, если b(x) > 0 и c(x) > 0. Следовательно, выводим
два неравенства:
x2 – 3x – 5 > 0,
7 – 2x > 0.
При х = 4 неравенства неверны. Значит, 4 не является решением уравнения.
При х = –3 неравенства верны. Значит, 3 является единственным решением
уравнения.
Логарифмическое неравенство.
Определение:
Логарифмическое неравенство – это неравенство вида
loga b(x) > loga c(x), где а > 0, a ≠ 1.
Неравенства, сводящиеся к этому виду, также называются
логарифмическими неравенствами.
Правило:
Если b(x) > 0 и c(x) > 0, то:
- при a > 1 логарифмическое неравенство loga b(x) > loga c(x) равносильно
неравенству b(x) > c(x);
- при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство loga b(x) > loga c(x) равносильно
неравенству с противоположным смыслом b(x) < c(x).
Для решения логарифмических неравенств loga b(x) > loga c(x) обычно
применяют систему неравенств следующего вида:
При a > 1:
При 0 < a < 1:
│ b(x) > 0,
│ c(x) > 0,
│ b(x) > c(x)
│ b(x) > 0
│ c(x) > 0
│ b(x) < c(x).
Обратите внимание: первые два неравенства одинаковы в обеих системах.
Различаются по смыслу только третьи неравенства.
Пример.
Решим неравенство log3 (2x – 4) > log3 (14 – x).
Решение.
1) В основании обеих частей уравнения – одно и то же число 3. Значит,
можем убрать значки логарифмов. Поскольку 3 больше 1, то, следуя правилу,
составляем следующую систему неравенств:
│ 2x – 4 > 0
│14 – x > 0
│2x – 4 > 14 – x.
Решаем неравенства и получаем:
│x > 2
│x < 14
│x > 6
Мы видим, что х больше не только двух, но и больше шести. Значит,
неравенство x > 2 мы уже в расчет не берем: если х больше 6, то естественно
и больше 2. Таким образом, для нас важны только два других неравенства,
согласно которым х больше 6, но меньше 14. Это и есть ответ:
6 < x < 14.
Логарифмические уравнения. От простого - к сложному.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже..." )
Что такое логарифмическое уравнение?
Это уравнение с логарифмами. Вот удивил, да?) Тогда уточню. Это
уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся
внутри логарифмов. И только там! Это важно.
Вот вам примеры логарифмических уравнений:
log2х = 32
log3х = log39
log3(х2-3) = log3(2х)
logх+1(х2+3х-7) = 2
lg2(x+1)+10 = 11lg(x+1)
Ну, вы поняли...)
Обратите внимание! Самые разнообразные выражения с иксами
располагаются исключительно внутри логарифмов. Если, вдруг, в уравнении
обнаружится икс где-нибудь снаружи, например:
log2х = 3+х ,
это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких
правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Кстати, попадаются
уравнения, где внутри логарифмов только числа. Например:
х+1 = lg4+lg25
Что тут сказать? Повезло вам, если попалось такое! Логарифм с числами - это
какое-то число. И всё. Достаточно знать свойства логарифмов, чтобы
решить такое уравнение. Знания специальных правил, приёмов,
приспособленных именно для решения логарифмических уравнений, здесь
не требуется.
Итак, что такое логарифмическое уравнение - разобрались.
Как решать логарифмические уравнения?
Решение логарифмических уравнений - штука, вообще-то, не очень простая.
Так и раздел у нас - на четвёрку... Требуется приличный запас знаний по
всяким смежным темам. Кроме того, существует в этих уравнениях особая
фишка. И фишка это настолько важная, что её смело можно назвать главной
проблемой в решении логарифмических уравнений. Мы с этой проблемой в
следующем уроке детально разберёмся.
А сейчас - не волнуйтесь. Мы пойдём правильным путём, от простого к
сложному. На конкретных примерах. Главное, вникайте в простые вещи и не
ленитесь ходить по ссылкам, я их не просто так поставил... И всё у вас
получится. Обязательно.
Начнём с самых элементарных, простейших уравнений. Для их решения
желательно иметь представление о логарифме, но не более того. Просто без
понятия логарифма, браться за решение логарифмических уравнений - как-то
и неловко даже... Очень смело, я бы сказал).
Простейшие логарифмические уравнения.
Это уравнения вида:
1. log3х = log39
2. log7(2х-3) = log7х
3. log7(50х-1) = 2
4. logх-18 = 1
И так далее.
Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в
переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них. В простейших
уравнениях этот переход осуществляется в один шаг. Потому и простейшие.)
И решаются такие логарифмические уравнения на удивление просто.
Смотрите сами.
Решаем первый пример:
log3х = log39
Для решения этого примера почти ничего знать и не надо, да... Чисто
интуиция!) Что нам особо не нравится в этом примере? Что-что... Логарифмы
не нравятся! Правильно. Вот и избавимся от них. Пристально смотрим на
пример, и у нас возникает естественное желание... Прямо-таки
непреодолимое! Взять и выкинуть логарифмы вообще. И, что радует, это
можно сделать! Математика позволяет. Логарифмы исчезают, получается
ответ:
х=9
Здорово, правда? Так можно (и нужно) делать всегда. Ликвидация
логарифмов подобным образом - один из основных способов решения
логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция
называется потенцирование. Есть, конечно, свои правила на такую
ликвидацию, но их мало. Запоминаем:
Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:
а) одинаковые числовые основания
в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и
находятся в гордом одиночестве.
Поясню последний пункт. В уравнении, скажем,
log3х = 2log3(3х-1)
убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет. Коэффициент,
понимаешь... В примере
log3х+log3(х+1) = log3(3+х)
тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого
логарифма. Их там два.
Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только
так:
logа(.....) = logа(.....)
В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые,
суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации
логарифмов у нас остаётся более простое уравнение.Предполагается,
конечно, что решать линейные, квадратные, дробные, показательные и
прочие уравнения без логарифмов вы уже умеете.)
Теперь легко можно решить второй пример:
log7(2х-3) = log7х
Собственно, в уме решается. Потенцируем, получаем:
2х-3 = х
х=3
Ну что, очень сложно?) Как видите, логарифмическая часть решения
уравнения заключается только в ликвидации логарифмов... А дальше идёт
решение оставшегося уравнения уже без них. Пустяшное дело.
Последующие примеры уже так не решить... Тут уже надо знать, что такое
логарифм.
Решаем третий пример:
log7(50х-1) = 2
Видим, что слева стоит логарифм:
log7(50х-1)
Вспоминаем, что этот логарифм - какое-то число, в которое надо возвести
основание (т.е. семь), чтобы получить подлогарифменное выражение, т.е.
(50х-1).
Но это число равно двум! По уравнению. Стало быть:
72 = 50х-1
Вот, в сущности, и всё. Логарифм исчез, осталось безобидное уравнение:
50х-1 = 49.
х = 1.
Мы решили это логарифмическое уравнение исходя только из смысла
логарифма. Что, ликвидировать логарифмы всё-таки проще?) Согласен.
Между прочим, если из двойки логарифм сделать, можно этот пример и через
ликвидацию решить. Из любого числа можно логарифм сделать. Причём,
такой, какой нам надо. Очень полезный приём в решении логарифмических
уравнений и (особо!) неравенств.
Не умеете из числа логарифм делать!? Ничего страшного. В разделе 555 этот
приём подробно описан. Можете освоить и применять его на полную
катушку! Он здорово уменьшает количество ошибок.
Совершенно аналогично (по определению) решается и четвёртое уравнение:
logх-18 = 1
(х-1)1 = 8
х-1 = 8
х=9
Вот и все дела.
Подведём итоги этого урока. Мы рассмотрели на примерах решение
простейших логарифмических уравнений. Это очень важно. И не только
потому, что такие уравнения бывают на контрольных-экзаменах. Дело в том,
что даже самые злые и замороченные уравнения обязательно сводятся к
простейшим!
Собственно, простейшие уравнения - это финишная часть решения любых
уравнений. И эту финишную часть надо понимать железно! И ещё.
Обязательно дочитайте эту страничку до конца. Есть там сюрприз...)
Решаем теперь самостоятельно. Набиваем руку, так сказать...)
Найти корень (или сумму корней, если их несколько) уравнений:
ln(7х+2) = ln(5х+20)
log2(х2+32) = log2(12x)
log2х = 4
log16(0,5х-1,5) = 0,25
log0,2(3х-1) = -3
ln(е2+2х-3) = 2
logх5 = 0,5
log2(14х) = log27 + 2
Ответы (в беспорядке, разумеется): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.
Решить неравенство
Задание.
Находим ОДЗ:
Вначале избавляемся от внешнего логарифма по основанию 2, при этом, так
как 2 > 1, то знак неравенства остается без изменений:
Решение. Как меняется знак неравенства, в зависимости от значения основания, вы
можете подробно прочитать в нашем справочном разделе, в статье:
логарифмические неравенства.
Далее рассмотрим логарифм по основанию
, и так основание меньше 1,
то знак неравенства меняется на противоположный:
Так как основание логарифма больше 1 ( 5 > 1), то окончательно получаем,
что
или
Пересекая полученное решение с ОДЗ, получаем:
Ответ.
Задание. Решить неравенство
По определению логарифма, находим ОДЗ:
Решение.
Используя свойство логарифма степени и формулы замены
основания, приведем второй логарифм к основанию 3
Введем замену
:
Перенесем 2 в левую часть и приводим к общему знаменателю:
Данное неравенство равносильно следующему:
Для решение полученного неравенства применим метод
интервалов, для этого трехчлен
разложим на множители.
Приравняем его к нулю и решим полученное квадратное уравнение
.
Дискриминант меньше нуля, и старший коэффициент
,
следовательно, при любом значении выражение
тогда произведение
положительно, когда и
.А
.
Перейдем к , для этого делаем обратную замену:
Пересекая с ОДЗ, окончательно имеем промежуток:
Ответ.
.
Задание. Решить неравенство
Находим ОДЗ:
К первому логарифму в левой части неравенства применим
свойство логарифма степени:
Учитывая ОДЗ и понятие модуля числа, получим:
Введем замену
Решение.
:
Решим квадратное уравнение:
Корни уравнения можете проверить в нашем онлайн калькуляторе
- решение квадратных уравнений.
Отметим полученные корни на числовой оси и определим знаки
неравенства на каждом из промежутков:
И, так как интересуют только те значения , при которых данное
выражение принимает неположительные значения (знак
неравенства ), то получаем, что
или
Делаем обратную замену:
Так как основание логарифмов больше 1, то знаки неравенств
сохраняются и получаем систему:
Пересечение с ОДЗ дает этот же промежуток.
Ответ.
Задание. Решить неравенство
Находим ОДЗ:
Решение.
Вначале избавляемся от внешнего логарифма по основанию 2, при
этом, так как 2 > 1, то знак неравенства остается без изменений:
Как меняется знак неравенства, в зависимости от значения
основания, вы можете подробно прочитать в нашем справочном
разделе, в статье: логарифмические неравенства.
Далее рассмотрим логарифм по основанию
, и так основание
меньше 1, то знак неравенства меняется на противоположный:
Так как основание логарифма больше 1 ( 5 > 1), то окончательно
получаем, что
или
Пересекая полученное решение с ОДЗ, получаем:
Ответ.
Задание. Решить неравенство
Находим ОДЗ:
Решение.
Введем замену
, тогда неравенство примет вид:
Перенесем все влево и сведем к общему знаменателю:
Данное неравенство эквивалентно неравенству
Разложим на множители выражение
, для этого
приравняем его к нулю и найдем корни полученного квадратного
уравнения
:
Полученные корни можете проверить в нашем сервисе для
решения квадратных уравнений - ссылка.
Тогда неравенство примет вид:
или
Отметим нули каждого сомножителя (а именно точки
,
,
и
) на числовой прямой и определим знаки в
полученных интервалах.
Так как решаемое неравенство со знаком " ", то рассматриваем те
интервалы, где у нас стоит знак "+":
Делаем обратную замену и возвращаемся к первоначальной
переменной :
или перепишем полученное объединение промежутков в виде
следующей совокупности неравенств:
Таким образом,
.
Пересекая с ОДЗ, окончательно имеем:
.
Подробную теорию читайте в статье: логарифмические
неравенства.
Ответ.
Задание. Решить неравенство
Находим ОДЗ:
Решение.
Используя формулы замены основания (В полном списке свойств
логарифмов это свойство №8), приведем все логарифмы в
рассматриваемом неравенстве к логарифмам по основанию 2
Распишем полученные логарифмы, используя свойство суммы
логарифмов:
или
Введем замену
:
сводим к общему знаменателю:
Данное неравенство эквивалентно следующему:
Отметим нули сомножителей на координатной прямой и
определим знаки в полученных интервалах:
Нас интересуют те интервалы, которым соответствует знак "-":
Вернемся к :
То есть
С учетом ОДЗ, окончательно имеем:
Ответ.
Задание. Решить неравенство
По определению логарифма, ОДЗ:
Решение.
Так как основание логарифма может принадлежать как
промежутку
, так и промежутку
, то рассмотрим два
случая:
Тогда в этом случае заданное неравенство перепишется в виде (так
как основание логарифма принадлежит промежутку
, то знак
неравенства меняем на противоположный):
Пересекая полученное решение с промежутком, на котором мы
рассматривали неравенство, получаем, что в этом случае
.
Тогда неравенство перепишем в виде (в этом случае знак
неравенства не меняется):
Пересекая с рассматриваемыми промежутком для этого случая,
делаем вывод, что
.
Объединяя решения для случаев I и II, получаем:
Пересекая результат с ОДЗ, окончательно имеем, что решением
заданного неравенства является промежуток
Как меняется знак неравенства, в зависимости от значения
основания, вы можете прочитать в нашем теоретическом разделе, в
статье: логарифмические неравенства.
Ответ.
Задание. Решить неравенство
ОДЗ:
Логарифмируем левую и правую часть неравенства:
По свойству логарифма степени получаем:
Ведем замену
. Тогда наше неравенство принимает вид:
Решаем данное неравенство методом интервалов. Для этого левую
часть надо разложить на множители. Приравняем ее к нулю и
решаем полученное квадратное уравнение
:
Решение.
Неравенство примет вид:
Отметим точки
и
на числовой оси и определим знаки
неравенства в полученных интервалах:
Решением будет отрезок
. Перейдем обратно к
или
В пересечении с ОДЗ получаем этот же промежуток
Ответ.
Решим Задание С3 из реального ЕГЭ по математике 3 июня 2013 года.
Решим каждое неравенство системы по отдельности. Начнем с первого
неравенства.
Перед нами логарифмическое неравенство с переменным основанием.
Можно было бы сразу записать систему, эквивалентную нашему
неравенству, но здесь имеет смысл сначала его преобразовать. И поэтому, до
всех преобразований, найдем ОДЗ неравенства.
ОДЗ:
Отсюда:
Изобразим ОДЗ первого неравенства на координатной прямой:
Теперь воспользуемся свойствами логарифмов и упростим левую часть
неравенства:
Внимание! Чтобы не произошло сужение ОДЗ, мы логарифм произведения
двух выражений представляем в виде суммы логарифмов следующим
образом:
Замечу, что во втором логарифме модуль было ставить не обязательно,
поскольку квадрат любого выражения величина неотрицательная.
Но при вынесении квадрата за знак логарифма ставить знак модуля
ОБЯЗАТЕЛЬНО!
Раскроем модули.
Согласно ОДЗ:
, следовательно,
, следовательно,
Получим:
и
и
Итак, мы получили классическое логарифмическое неравенство с
переменным основанием:
Так как ОДЗ мы уже нашли, перейдем к неравенству:
Учтем ОДЗ:
:
Итак, решение первого
неравенства: [-3;2)
Решим второе неравенство:
Сначала перенесем число 3 влево и вычтем его из дроби:
Вынесем за скобку
:
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
Решим неравенство с помощью метода интервалов. Нанесем корни на ось и
расставим знаки (помним, что корень
- корень четной кратности, в этой
точке смены знака не происходит):
Итак, решение второго неравенства системы: (- ;-3] {0} [1;4)
Совместим решения первого и второго неравенств на одной координатной
прямой:
Не забываем записать в ответ точки {0} и {-3}:
Ответ: [1;2) {-3} {0}.
Такого вида система неравенств вполне может быть на реальном ЕГЭ:
1. Решим первое неравенство системы:
1. Найдем ОДЗ:
Отсюда:
2. Применим свойства логарифмов и «растащим» логарифм:
Внимание! При вынесении четной степени за знак логарифма, не забываем
ставить модуль:
Раскроем модуль. Так как согласно ОДЗ
следовательно,
. Получим:
,
и,
Получили несложное логарифмическое неравенство с переменным
основанием. Теперь можем перейти к равносильной системе, благо ОДЗ мы
уже нашли:
Итак, решение первого неравенства:
2. Решим второе неравенство системы:
Сначала выделим целую часть в первой и второй дроби.
Разделим числитель первой дроби на ее знаменатель столбиком:
Таким образом,
Разделим числитель второй дроби на ее знаменатель:
Получим:
Это преобразование сильно упрощает нашу жизнь:
Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные члены.
Получим совсем простое рациональное неравенство:
, которое
решим с помощью метода интервалов. Приведем дроби к общему
знаменателю:
Нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:
Итак, решение второго неравенства:
(
]
Найдем пересечение решений первого и второго неравенств:
Ответ:
Логарифмом числа x по основанию a называется показатель степени y, в
которое надо возвести основание a, чтобы получить x (обозначается logax).
Т.е. выражение ay = x равносильно logax = y (a > 0, a ≠ 1, x > 0).
Логаримф по десятичному основанию будем обозначать lg: log10x = lgx.
Логарифм по основанию e (e ≈ 2.718281828...) будем обозначать ln и
называть натуральным логарифмом: logex = lnx
Свойства логарифмов.
1. Из определения вытекает одно из основных свойств логарифмов: alogab =
b;
2. Логарифм произведения: loga(bc) = logab + logac;
3. Логарифм частного: loga(b/c) = logab - logac;
4. logabm = m·logab;
5. logan√b = 1/n·logab;
6. logan bm = m/n·logab;
7. logab = 1/logba;
8. Формула замены основания логаримфа: logab = logсb/logca;
9. logaa = 1, loga1 = 0.
Математика, 10 класс
Карпова Ирина Викторовна
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Для успешного решения показательных и логарифмических уравнений
и неравенств, вспомним определение и свойства логарифма.
Логарифмом числа b по основанию а, называется показатель
степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Основные свойства логарифмов:
1) a log b  b ;
1
5) log a   =  log a c ;
2) log a a m  m ;
6) log a b m  m  log a b ;
3) log a (b  c)  log a b  log a c ;
7) log a b   log a b ;
a
c
b
4) log a   = log a b  log a c ;
c
n
8) log a b 
1
n
log c b
.
log c a
Перечислим основные свойства показательной и логарифмической
функций:
1) Область определения функции у  a x , где a  0, a  1 - всё множество
действительных чисел; функции y  log a x , где a  0, a  1 - множество
положительных действительных чисел.
2) Множество значений функции у  a x - множество положительных
действительных чисел; функции y  log a x - всё множество
действительных чисел.
3) Промежутки монотонности: если a  1 обе функции возрастают; если
0  a  1 - обе функции убывают.
Замечание. 1) В соответствии со вторым свойством, при решении
логарифмических уравнений необходимо либо выяснять область
допустимых значений уравнения, либо после решения делать проверку.
2) Третье свойство необходимо помнить при решении неравенств.
1. Показательные уравнения
Показательным называется трансцендентное уравнение, в котором
неизвестное входит в показатель степени некоторых величин. При решении
показательных уравнений используются два основных метода: 1) переход от
уравнения a f ( x )  b g ( x ) ……….(1) уравнению f ( x)  g ( x) ; 2) введение новых
переменных. Иногда приходится применять искусственные приемы.
Первый метод решения показательных уравнений основан на
следующей теореме: Если a  0, a  1 , то уравнение a f ( x )  b g ( x ) равносильно
f ( x)  g ( x) .
уравнению
Рассмотрим основные приемы сведения
показательного уравнения к уравнению вида (1).
1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию.
Пример 1. Решить уравнение: 4 x  8 2 x3 .
Решение. Заметим, что основания степеней, стоящих в левой и правой части
уравнения есть степени двойки, поэтому, учитывая свойства степеней,
имеем уравнение
2 2 x  2 6 x9 , тогда на основании теоремы получаем
9
.
4
x
уравнение: 2 x  6 x  9 
9
4
Ответ: x  .
Пример 2. Решить уравнение: 0,4 x1  6,256 x5 .
x 1
примет
вид:
x  1  10  12 x 
x
Ответ:
2
,
5
0,4 
Решение. Учтем, что
6,25 
5
, тогда первоначальное уравнение
2
12 x 10
2
5
   
5
2
11
x .
13
2
 
5

x 1
2
 
5
12 x 10

11
.
13
2. Логарифмирование обеих частей уравнения (если они строго
положительные) по одинаковому основанию.
Пример 3. Решить уравнение: 3x 4  52 x .
2
Решение. Первый прием здесь применить нельзя, так как числа 3 и 5
невозможно представить в виде степени с одинаковым основанием.
Учитывая, что 3 x 4  0 и 52 x  0 , при любом значении переменной,
прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3, получим:
2
log 3 3 x
2
4
 log 3 52 x ,
x 2  4  2 x  log 3 5 .
откуда
используя
свойства
логарифма,
имеем
Получили квадратное уравнение x 2  2 x  log 3 5  4  0 , решая
которое получаем корни: x1, 2  log 3 5  log 32 5  4 .
Ответ: x1, 2  log 3 5  log 32 5  4
Замечание. Логарифмировать можно, вообще говоря, по любому основанию,
но обычно логарифмируют по одному из оснований степеней, входящих в
уравнение.
3. Разложение левой части уравнения на множители и сведение
уравнения к совокупности нескольких уравнений вида (1).
Пример 4. Решить уравнение: 5 2 x1  3  5 2 x1  550 .
Решение. Вынесем в левой части уравнения
получим: 5 2 x 1 52  3  550  5 2 x 1 = 52
выражение 5 2 x 1 за скобки,
 2x 1  2 
x
3
.
2
3
2
Ответ: x  .
Пример 5. Решить уравнение: 51 2 x  61 x  30  150 x .
Решение. Так как 51 2 x  5  25 x , 61 x  6  6 x , 150 x  6 x  25 x , то первоначальное
уравнение примет вид: 5  25 x  6  6 x  6 x  25 x  30  0 . Сгруппируем первое,
четвертое и второе, третье слагаемые, и вынесем общие множители за
25 x  6 5  6 x   0 . Полученное
скобки: 5  (25 x  6)  6 x  (25 x  6)  0 
уравнение сводится к совокупности уравнений: 25 x  6  0 , 5  6 x  0 . Решая
эти уравнения логарифмированием обеих частей, находим корни
первоначального уравнения: x1  log 25 6, x2  log 6 5 .
Ответ: x1  log 25 6,
x2  log 6 5 .
Рассмотрим примеры нескольких видов уравнений, которые могут
быть решены вторым методом – методом введения новых переменных.
Уравнение вида f (a x )  0 при помощи введения новой переменой
t  a x , сводится к решению алгебраического уравнения f (t )  0 .
Пример 6. Решить уравнение: 52 x  2  5 x  15  0 .
Решение. Пусть t  5 x . Тогда первоначальное уравнение примет вид:
t 2  2t  15  0 , откуда находим x1  5,
x2  3 . Таким образом данное
уравнение равносильно совокупности двух уравнений 5 x  5 и 5 x  3 . Решая
первое уравнение, получаем x  1 . Второе уравнение совокупности решений
не имеет, так как 5 x  0 при любом значении переменной, а (3)  0 .
Ответ: x  1 .
Пример 7. Решить уравнение: 2 x  (0,5) 2 x3  6  (0,5) x  1 .
(0,5) 2 x3  232 x 
Решение. Учитывая, что
2x 
уравнение
u
8
22x
и 6  (0,5) x 
6
, получим
2x
8
6
 x  1  0 . Введем новую переменную u  2 x , получим:
2x
2
2
8 6
  1  0 . Преобразуя это дробно-рациональное уравнение, придем к
u2 u
u  2 u 2  u  4  0 . Последнее уравнение
следующему уравнению:
распадается на совокупности двух уравнений, решая которые получаем:
u1  2,
u2 
 1  17
,
2
u3 
совокупности уравнений:
 1  17
. Теперь задача сводится к решению
2
2x  2 ;
2x 
 1  17
;
2
2x 
 1  17
. Из первого
2
уравнения находим x1  1 . Логарифмируя обе части второго уравнения по
основанию 2, находим x2  log 2
так как
 1  17
.Третье уравнение решений не имеет,
2
 1  17
 0 , в то время как 2 x  0 при любом значении переменной.
2
Ответ: x1  1 ; x2  log 2
 1  17
.
2
Пример 8. Решить уравнение: 6  32 x  13  6 x  6  2 2 x  0 .
Решение. Так как 6 x  3 x  2 x , то имеем: 6  32 x  13  3 x  2 x  6  2 2 x  0 . Разделим обе
2x
x
3
3
части уравнения на 2 2 x , получим: 6     13   6  0 . Введем новую
2
2
x
3
переменную t    , придем к квадратному уравнению 6t 2  13t  6  0 , решая
2
3
2
которое, получим t1  , t 2  . Таким образом, решение первоначального
2
3
уравнения сводится к решению совокупности двух показательных уравнений:
x
x
3 3
2
3
   ;    , решая которые получим: x1  1,
2 2
3
2
Ответ: x1  1, x2  1 .
x2  1 .
2. Логарифмические уравнения
Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором
неизвестное входит в аргумент логарифма.
При решении логарифмических уравнений используются два основных
метода: 1) переход от уравнения log a f ( x)  log a g ( x) к уравнению вида
f ( x)  g ( x) ; 2) введение новых переменных.
Замечание. Так как область определения логарифмической
только множество положительных действительных чисел, при
логарифмических уравнений необходимо либо находить
допустимых значений уравнения (ОДЗ), либо после нахождения
уравнения делать проверку.
функции
решении
область
решений
Рассмотрим некоторые виды простейших логарифмических уравнений.
Решение простейшего логарифмического уравнения log a x  b;
a  0, a  1
……(1)
Основано на следующем важном свойстве логарифмов:
логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же
положительному отличному от единицы основанию равны тогда и только
тогда, когда равны эти числа.
Для уравнения (1) из этого свойства получаем: x  a b
корень.
Для уравнения вида
log a f ( x)  b;
-
a  0, a  1 …………..(2)
единственный
получаем
равносильное уравнение f ( x)  a b .
1
1
1
Пример 9. Решить уравнение 1  lg 5   lg  lg x  lg 5  .
3
2
3

10
1
 lg 2 ,
lg   lg 2 , то исходное
5
2
16
1
4 lg 2  lg 5  lg x  lg 3  lg x . Отсюда
3
5
Решение. Поскольку 1  lg 5  lg 10  lg 2  lg
уравнение равносильно уравнению
16
-единственный корень данного уравнения.
5
получаем x  3
16
5
Ответ: x  3 .
Пример 10. Решить уравнение lg( 2 x  5) 2  0 .
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению lg( 2 x  5) 2  lg 1 ,
которое в свою очередь равносильно квадратному уравнению (2 x  5) 2  1 .
Находим корни этого уравнения : х1=3, х2=2.
Ответ: х1=3, х2=2.
К простейшим логарифмическим уравнениям относятся также
уравнения вида log x A  B, A  0 ………………(3), которое а) при А  1 и В  0
1
имеет единственный корень x  A B ; б) при А=1 и В=0 имеет решением любое
положительное, отличное от единицы, число; в) при А=1 и В  0 корней не
имеет; г) при А  1 и В=0 корней не имеет.
Рассмотрим методы сведения логарифмических уравнений
простейшим уравнениям и системам уравнений и неравенств.
1) Уравнение вида
f (log a x)  0, a  0,
log a x  t сводится к уравнению
к
a  1 методом замены переменной:
f (t )  0 . Если t1, t2,…,tn – корни этого
уравнения, то решение первоначального уравнения сводится к решению
совокупности простейших уравнений: log a x  t1 , log a x  t 2 ,…, log a x  t n .
Пример 11. Решить уравнение
1
4

3.
5  4 lg x 1  lg x
Решение. 1) Обозначим t  lg x , тогда уравнение примет вид
1
4

3
5  4t 1  t
2) Решим полученное дробно-рациональное уравнение
1
4

3
5  4t 1  t

1  t  4(5  4t )  3(5  4t )(1  t )
0
(5  4t )(1  t )

(t  1)( 2t  1)
0
(5  4t )(1  t )
t  1,
 1
t  .
 2
3) Найдем значения старой переменной, решив совокупность уравнений:
lg x  1,

 х1=10, х2 =
lg x  1 .
2

Ответ: х1=10, х2 = 10 .
10

2) Уравнение вида log a f ( x)  log a g ( x), a  0,
a  1, можно заменить одной
 g ( x)  0
 f ( x)  0
или 
 f ( x)  g ( x)
 f ( x)  g ( x)
из равносильных ему систем: 
Пример 12. Решить уравнение log 3 ( x 2  4 x  3)  log 3 (3x  21) .
3x  21  0
Решение. 1) Уравнение равносильно системе: 
2
 x  4 x  3  3x  21
2) Решим первое неравенство системы: x  7 .
3) Решим второе уравнение системы: x 2  4 x  3  3x  21  x 2  7 x  18  0 
x1  2, x2  9 . Оба корня уравнения удовлетворяют неравенству системы.
Ответ: x1  2, x2  9 .
Пример 13. Решить уравнение log 2 ( x 2  1)  log 1 ( x  1) .
2
Решение. 1) Найдем область допустимых решений данного уравнения, для
чего решим систему неравенств:
 x 2  1  0,
. Первое неравенство системы

x 1  0
выполняется при любых значениях переменной, второе - при x  1 . Поэтому
система имеет решение x  1 .
2) Для решения уравнения перейдем к одному основанию логарифмов, а
именно к основанию 2, воспользовавшись свойствами логарифмов:
log 2 ( x 2  1)   log 2 ( x  1) 
log 2 ( x 2  1)  log 2
1
1
 x2 1 
.
x 1
( x  1)
Решая полученное дробно-рациональное уравнение, находим:
x2 
1 5
,
2
x3 
1 5
1 5
. Из найденных значений только x2 
входит в
2
2
область допустимых решений уравнения.
Ответ: x 
x1  0 ,
1 5
.
2
9
2
Пример 14. Решить уравнение log 2 (2 x 2 )  log 2 (16 x)  log 22 x .
Решение. 1) Область допустимых решений уравнения x  0
2) Воспользуемся свойствами логарифмов и преобразуем первоначальное
уравнение:
2 log 2 x  14  log 2 x   9 log 22 x
2
3) Введем новую переменную t  log 2 x . Тогда уравнение примет вид:
9
(2t  1)( 4  t )  t 2  0 . Найдем корни этого квадратного уравнения t1  4 ,
2
2
t2   .
5
4) Первоначальное уравнение, таким образом, свелось к системе двух
2
5
простейших логарифмических уравнений: log 2 x  4 , log 2 x   . Решив эти
уравнения получим:
х1 = 16,
х2 =
1
. Оба подученных корня входят в область допустимых
5
4
решений первоначального уравнения.
Ответ: х1 = 16, х2 =
5
1
.
4
3. Показательные неравенства
a f ( x )  a g ( x ) , где а –
Решение показательных неравенств вида
положительное число отличное от 1, основано на следующих теоремах:
1. Если а >1, то неравенство a f ( x )  a g ( x ) равносильно неравенству
f ( x)  g ( x) .
2. Если 0 < а < 1, то неравенство a f ( x )  a g ( x ) равносильно неравенству
f ( x)  g ( x) .
Другие показательные неравенства теми или иными методами, как
правило, сводятся к неравенству этого вида.
Пример 15. Решить неравенство
3
3 x 1
x 3
2 x1  8 3 x7 .
…………………………(1)
Решение. 1) Воспользовавшись свойствами степени с рациональным
показателем, преобразуем неравенство (1) к виду 2
3 x 1
3( x 1)
2
2) По теореме 1 неравенство (1) равносильно неравенству
3 ( x 3 )
3 x 7
.
3x  1 3x  9

.
3x  3 3x  7
3) Преобразуем полученное дробно-рациональное неравенство к виду
x
5
3
7

( x  1) x  
3

решив
0
полученное
неравенство
методом
интервалов,
получаем
5 7
(; 1)   ;  .
3 3
5 7
Ответ: (; 1)   ;  .
3 3
Пример 15. Решить неравенство 2 x2  2 x3  2 x4  5 x1  5 x2 .
Решение. 1) Слева и справа вынесем за скобки общий множитель слагаемых:
2 x2 (1  2  2 2 )  5 x2 (51  1)

2
 
5
 4
2 x  2 (5)  5 x  2    
 5
x2
2
 
5
2
2) Последнее неравенство по теореме 2 равносильно неравенству х + 2 > 2,
откуда находим: х > 0.
Ответ: (0;  ) .
Пример 16. Решить неравенство
1
1

0.
x
(0,5)  1 1  (0,5) x1
Решение. 1) Введем новую переменную
неравенство примет вид:
y  (0,5) x .
Тогда заданное
1
1

 0.
y  1 1  0,5 y
2) Решая дробно-рациональное неравенство, получим: 1  y 
4
; y  2 . Таким
3
образом, решение первоначального неравенства свелось к решению
4
3
совокупности двух неравенств: 1  (0,5) x  ;
(0,5) x  2 .
3) Решим каждое из неравенств совокупности. Воспользуемся свойствами
4
степени и определением логарифма: 1 = (0,5)0;
log0 , 5
4
3
 0,5
;
3
2 = (0,5)-1, тогда
каждое из неравенств совокупности примет вид: (0,5) < (0,5)  0,5
0
x
log0 , 5
4
3
; (0,5)x
> (0,5)-1. Используя теорему 2 перейдем к рациональным неравенствам,
4
3
решая их получим: х<-1 и log 0,5  x  0 .
Ответ: (;  1); log 0,5 ; 0  .

4
3

4. Логарифмические неравенства
Любое логарифмическое неравенство может быть в конечном счете
log a f ( x)  log a g ( x)
сведено к неравенству вида
……………………………………..(1)
Решение такого неравенства основывается на следующих теоремах:
1. Если а > 1, то неравенство вида (1) равносильно системе неравенств:
 f ( x)  0

 g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

2. Если 0 < а < 1, то неравенство (1) равносильно системе неравенств:
 f ( x)  0

 g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

Замечания 1. Первые два неравенства систем задают область допустимых
решений неравенства (1).
2. В системе из теоремы 1 можно опустить первое неравенство, так как оно
следует из второго и третьего. Аналогично в системе из теоремы 2 можно
опустить второе неравенство.
2x2  4x  6
 1 .
Пример 17. Решить неравенство log 1
4 x  11
2
 1  log 1 2 , то первоначальное неравенство можно
Решение. 1) Так как
2
переписать так:
log 1
2
2x 2  4x  6
 log 1 2 . По теореме 2 это неравенство
4 x  11
2
 2x 2  4x  6
0

4 x  11
равносильно системе неравенств:  2
 2x  4x  6  2
 4 x  11
2) Решив систему неравенств, получим [2; 2,75)  [4; +  ).
Ответ: [2; 2,75)  [4; +  ).
Пример 18. Решить неравенство log x 2  log 2 x 2  log 4 x 2 .
Решение. 1) Найдем область допустимых решений неравенства, для чего
x  0
1
1

решим систему неравенств: 2 x  1  x  0, x  , x  .
2
4
4 x  1

2) Используя свойства логарифма, в первоначальном уравнении перейдем к
логарифмам с основанием 2 (см. свойства в начале статьи):
log 2 2 log 2 2
log 2 2
1
1
1
или
.




log 2 x 1  log 2 x 2  log 2 x
log 2 x log 2 (2 x) log 2 (4 x)
3) Введем новую переменную t  log 2 x . Тогда уравнение примет вид:
1 1
1


.
t t 1 t  2
t  2 ,
4) Решая полученное дробно-рациональное неравенство, найдем
 2  t  1 , 0  t  2 .
5) Таким образом решение первоначального логарифмического неравенства
свелось к решению совокупности логарифмических неравенств:
log 2 x  2

 2  log a x  1

0  log a x  2

1

x  4

 1  x  1 . Учитывая область допустимых значений
2 2
2

2
1  x  2

1
4
первоначального неравенства имеем: 0  x  ;
1
1 1
Ответ:  0;    2 ;   1; 2

4 2
2
2
1
2
2
1
 x  ; 1 x  2
2
2
.
.
Контрольные задания
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием для
учащихся 10 классов. Решения необходимо оформить в отдельной
тетради и выслать по адресу 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48,
ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно набрать не менее 25 баллов (каждая
правильно решенная задача оценивается в 3 балла)
Решить уравнения
3
1.  
4
x 1
1
 4x 9
  
16
3
5. log
2
x 2  4x  3
 2
4
6. log 4 2 log 3 1  log 2 1  3 log 3 x  
2. 212 x1  4 6 x1  8 4 x1  1536
3. 9 x  6 x  2 2 x1
1
2
7. log x (125 x)  log 225 x  1
x
8. log 4 x  log x 2  log 4 x  1
4. 3 x  8 x 2  6
Решить неравенства:
.9. log 2 ( x  3)  log 2 ( x  2)  1
11. 2 4 x  23 x1  2 2 x  2 x1  2  0
10. log 1 ( x  3)  log 1 ( x  3)  log x3 2  0
2
2
x 3
12.
1
1
 x 1
3  5 3 1
x
Решение заданий « ЕГЭ 2008г.»
ЕГЭ 2008г.»
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций y  log 5 x (6x 2  9x  7)
2
и y  log 5 x (2x 2  5).
2
Решение:
1) Точки пересечения графиков функций имеют равные абсциссы и
равные ординаты, поэтому должно выполняться условие
log 5 x (6 x 2  9 x  7) = log 5 x (2 x 2  5).
2
2
 x  2

4 x 2  9 x  2  0
 x  0,25


2) log 5 x 2 (6 x 2  9 x  7)  log 5 x 2 (2 x 2  5)  5  x 2  0
 | x | 5  x  0,25.
5  x 2  1
| x | 2




Ответ: –0,25.
Тест «Логарифмические уравнения и неравенства»
1 вариант
1. Найдите произведение корней уравнения: logπ (x2 + 0,1) = 0
1) - 1,21; 2) - 0,9; 3) 0,81; 4) 1,21.
2. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения
log0,5(x – 9 ) = 1 + log0,5 5
1) ( 11; 13 ); 2) ( 9; 11 ); 3) ( -12; -10 ); 4) [ -10; -9 ].
3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log4
(4 – х ) + log4x = 1
1) ( -3; -1 ); 2) ( 0; 2 ); 3) [ 2; 3 ]; 4) [ 4; 8 ].
4. Найдите сумму корней уравнения log√3 x2= log√3 ( 9x – 20 )
1) - 13; 2) - 5; 3) 5; 4) 9.
5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
log1/3 (2х – 3 )5= 15
1) [ -3; 2 ); 2) [ 2; 5 ); 3) [ 5; 8 ); 4) [ 8; 11 ).
6. . Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения lg (
х + 7 ) – lg ( х + 5 ) = 1
1) ( -∞; -7 ); 2) ( -7; -5 ); 3) ( -5; -3 ); 4) ( 0; +∞).
7. Решите неравенство log3( 4 – 2х ) >= 1
1) ( -∞; 0,5 ]; 2) ( -∞; 2 ]; 3) [ 2; + ∞ ); 4) [ 0,5; + ∞ ).
8. Решите неравенство logπ( 3х + 2 ) <= logπ ( х – 1 )
1) ( -2/3; + ∞ ); 2) ( -∞; - 2/3 ]; 3) [ -1,5; - 2/3 ]; 4) решений нет.
9. Решите неравенство log1/9( 6 – 0,3х ) > -1
1) ( -10; +∞ ); 2) (-∞; -10 ); 3) ( -10; 20 ); 4) ( -0,1; 20 ).
10. Найдите число целых отрицательных решений неравенства lg ( х + 5
) <= 2 – lg 2
1) 5; 2) 4; 3) 10; 4) ни одного
2 вариант
1.Найдите произведение корней уравнения: lg (x2 + 1) = 1
1) - 99; 2) - 9; 3) 33; 4) -33.
2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log4
(x – 5 ) = log25 5
1) ( -4; -2 ); 2) ( 6; 8 ); 3) ( 3; 6 ); 4) [ -8; -6 ].
3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
lоg0,4 (5 – 2х ) - lоg0,4 2 = 1
1) ( -∞; -2 ); 2) [ -2; 1 ]; 3) [ 1; 2 ]; 4) ( 2; +∞).
4. Найдите сумму корней уравнения lg (4x – 3 ) = 2 lg x
1) - 2; 2) 4; 3) -4; 4) 2.
5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log2
(64х² ) = 6
1) [ 5; 7]; 2) [ 9; 11 ]; 3) ( 3; 5 ); 4) [ 1; 3 ].
6. . Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
lоg2 ( х - 1 )³ = 6 log2 3
1) [ 0; 5 ); 2) [ 5; 8 ); 3) [ 8; 11 ); 4) [ 11; 14 ).
7. Решите неравенство log0,8 ( 0,25 – 0,1х ) > -1
1) ( -∞; 2,5 ); 2) ( -10; 2,5); 3) ( 2,5; + ∞); 4) ( -10; + ∞).
8. Решите неравенство log1,25 (0,8х + 0,4 ) <= - l
1) ( -0,5; + ∞); 2) ( -∞; - 0,5 ]; 3) ( -0,5; 0,5 ]; 4) ( -2; 2 ] .
9. Решите неравенство log10/3 ( 1 – 1,4х ) < -1
1) ( 0,5; +∞); 2) (-∞; 0,5 ); 3) ( 1,4; 2 ); 4) ( 0,5; 5/7 ).
10. Найдите число целых решений неравенства lоg0,5 ( х - 2 ) >= - 2
1) 5; 2) 4; 3) бесконечно много; 4) ни одного.
Ключ
А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 B1 B2 C1
1вариант 2 1 3 4 1 3 1 4 3 2
2 вариант 2 2 4 2 4 3 2 3 4 2
Решить неравенство
.
Решение
Применим метод интервалов
откуда
При этих значениях
положительны.
все выражения, стоящие под знаками логарифмов,
Ответ:
Пример 3.4.4. (КубГУ, матем., устн. экз.). Решить неравенство
.
Решение
Неравенство равносильно системе
Последние два неравенства системы определяют ОДЗ исходного
неравенства.
Откуда, опираясь на правило, сформулированное в начале раздела,
Ответ:
Пример 3 Решить неравенство
.
Решение
Неравенство равносильно системе
Последние два неравенства системы определяют ОДЗ исходного
неравенства.
Откуда после равносильных преобразований получаем
Ответ:
Пример Решить неравенство
Решение
Неравенство равносильно системе
Пусть
тогда y >
0,
системы принимает вид
квадратный трехчлен на множители,
и первое неравенство
или, раскладывая
Применяя к последнему неравенству метод интервалов,
видим, что его решениями, удовлетворяющими условию y > 0 будут все y > 4.
Таким образом исходное неравенство эквивалентно системе:
Итак, решениями неравенства являются все
Ответ:
Пример 3.4.7. (КубГУ, матем., 1994 г.). Решить неравенство
Решение
Неравенство равносильно системе
Решением второго неравенства, определяющего ОДЗ, будет множество тех x,
для которых x > 0.
Для решения первого неравенства сделаем замену
Тогда получаем неравенство
или
Множество решений последнего неравенства находится методом
интервалов: -1 < t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, получаем
или
Множество тех x, которые удовлетворяют последнему неравенству
принадлежит ОДЗ (x > 0), следовательно, является решением системы,
а значит, и исходного неравенства.
Ответ:
Пример Решить уравнение
Решение
Заменяя
получим
После несложных преобразований имеем
Вводя замену
и решая получаемое при этом уравнение
Получаем t = –1 (отпадает, т.к. t > 0) и t = 4.
Следовательно,
откуда
Проверка убеждает в том, что заданное уравнение имеет корень x = 2.
Ответ: 2.
Указания
Уравнение вида
равносильно совокупности уравнений:
где ti – корни уравнения f(t) = 0.
Уравнение вида
равносильно совокупности уравнений:
где ti – корни уравнения f(t) = 0.
Пример Решить уравнение
Решение
Обозначив
получим следующее уравнение
и проделав несложные преобразования,
корнями которого являются t = –3 и t = 4.
Тогда
и
а это значит, что
x = 17 есть корни исходного уравнения (всем требованиям они
удовлетворяют).
Ответ: 9/8; 17.
Пример Решить уравнение
Решение
Некоторые абитуриенты, “решая” это уравнение, заменяют его таким
уравнением
которое после потенцирования переходит в
В силу того, что дискриминант последнего уравнения меньше нуля,
уравнение решений не имеет. А фактически произошла потеря решений
исходного уравнения, когда в самом начале абитуриент плохо распорядился
одним из свойств логарифмов. Речь идет о свойстве логарифмов,
сформулированном в предыдущей подборке под номером 5.
Воспользуемся этим свойством и перепишем исходное уравнение в
следующем виде
Потенцируя его, получим совокупность двух уравнений
и
а)
для
b)
для
В отсутствии корней у первого уравнения мы убедились ранее, а второе
уравнение имеет корни x1 = – 5,
x2 = 3, удовлетворяющие всем необходимым требованиям и исходному
уравнению.
Ответ: –5; 3.
Пример 2.7.7. Решить уравнение
Решение
Обозначая
получим уравнение
корнями которого являются y1 = 2, y2 = 4. Отсюда исходное уравнение будет
эквивалентно совокупности следующих двух уравнений
1)
2)
Используя свойство логарифмов под номером 5 и замечания к нему в
примере 2.7.6, получим
1)
2)
Решая эти уравнения, получим следующие корни
x5 = 3, а проверка подтверждает, что все эти корни являются решениями и
исходного уравнения.
Ответ:
Пример 2.7.8. Решить уравнение
Решение
Исходное уравнение равносильно следующей системе
Первое уравнение этой системы можно было бы решать непосредственным
возведением обеих его частей в указанную степень с дальнейшим
приведением подобных. Но от необходимости решения кубического
уравнения нам не уйти. Хорошо, если среди делителей свободного члена
кубического уравнения
есть его очевидный корень (очевидно решение),
тогда решить квадратное уравнение не составляет особого труда.
т.е.
Проверка убеждает в том, что все три корня удовлетворяют исходному
уравнению и всем требованиям эквивалентной системы.
Можно было бы исходное уравнение заменить и следующей системой, не
требующей умения решать уравнения степени, большей двух
Далее решаем два квадратных уравнения
а)
b)
первое из которых дает x1 = 3, а второе
Но самым целесообразным решением нам представляется следующее.
Первое уравнение полученной системы можно переписать так
или
Отсюда получаются все ранее указанные корни.
Ответ: 3;
Пример 2.7.9. Решить уравнение
Решение
Переходя к новому основанию логарифмов, например, 3 (хотя, заманчивым
кажется в роли нового основания и само неизвестное x, но об этом сделаем
особое замечание в конце решения), имеем
.
После замены
получим y(y + 2) = 0. Очевидные корни последнего
уравнения y1 = 0, y2 = –2 позволяют выписать и решения исходного
уравнения x1 = 1, x2 = 1/9.
Что касается перехода к новому основанию, содержащему неизвестное, то
этого лучше не делать, так как каждый раз приходится следить за тем, при
каких x преобразование возможно, проверяя при этом непосредственной
подстановкой в исходное уравнение те значения x, при которых основание
логарифмов отрицательно или равно 1. В данном случае, переходя к новому
основанию x, мы вынуждены запретить неизвестному быть равным 1, хотя по
условию этого запрета нет, и более того, x = 1 является очевидным решением
исходного уравнения. И, чтобы не потерять это решение, мы, установив факт,
что x = 1 является решением исходного уравнения, ищем другие решения,
отличные от x = 1. Тогда потери решения не произойдет и оставшееся
решение x = 1/9 будет найдено обычным способом из уравнения
«Логарифмические уравнения и неравенства».
Тема урока: «Логарифмические уравнения и неравенства».
Цели: Проверить теоретические и практические знания по теме;
отработать навыки решения логарифмических уравнений и неравенств;
умение работать в группах, формирование таких качеств личности, как
чёткость и организованность в работе;
умение контролировать свою деятельность, оценивать её, проявлять
коллективизм и взаимопомощь.
План.
1. Организация класса.
2. Устные упражнения.
3. Проверочный тест.
4. Теоретическая часть.
5. Работа в группах.
6. Итог урока.
Ход урока.
1. Организация класса.
Класс разбивается на группы, в каждой группе по 4-5 человек. Каждая
группа выбирает командира.
2. Устные упражнения.
I. Повторение по презентации.
II.
1. Вычислите:
а) log33 9 =x;
1;
log55²³.
в) log⅓ 9 =x;
б)log¼ x= -1;
д) logх (-25) =-2; ж) log4x = г) log1 x =4;
е) logx 125 = 3;
з)
2. «Логарифмический парадокс 2 >3».
1 >1
4
(
lg(
2lg
8
)² > (
)² > lg(
> 3lg
)³
)³
2>3 ???
В чём ошибка? (Так как lg
<0,то при сокращении на lg
изменить знак неравенства, т.е. 2<3)
необходимо
3. Проверочный тест.
Каждой группе даётся задание и памятка, в которой записаны все основные
правила по данной теме. За 10 мин они должны вместе решить эти задания и
обсудить, какие правила применялись. Каждой группе выдаются ответы для
проверки своих решений.
Проверочный тест.
1. Вычислите:
а
;
б)
в);
;
г)
2. Вычислите:
а)
;
б)
в)
;
3. Вычислите:
а) log2 ⅔ + log2 1,5; б) log2 3 –log2 0,5;
в) log4 4³.
4. Найдите область определения функции: у = log2(x-6).
5. Сравните числа:
а) log35 и log37;
б ) log0,35 и log0,37.
6. Сравните с нулём числа:
а) log35; б) log0,30,4; в) log70,1; г) lg0,64.
7. Решите уравнение:
а) lg(3-x) = - 1;
б) log3x + log3(x-2) = 1; в) log7²x – log7x =6.
8. Решите неравенство:
а) lg(3-x)<-1; б) log0,5x + log0,5(3-x)<-1; в) log7²x + log7x<6.
4. Теоретическая часть.
Вопросы: (выходят командиры и по очереди отвечают на вопросы, говоря
при этом, в каком вопросе проверочного теста применялось данное правило)
1. Что называется логарифмом? Десятичным логарифмом? Натуральным
логарифмом?
2. Назовите основное логарифмическое тождество.
3. Какие свойства логарифмов вы знаете?
4. Какая функция называется логарифмической? Область определения и
область значения.
5. Когда логарифмическая функция убывает, когда возрастает на всей
области определения?
6. Как решаются логарифмические уравнения?
7. Как решаются логарифмические неравенства?
5. Контрольный тест.(15 мин)
Каждый ученик самостоятельно решает тест. Капитаны проверяют у
каждого в своей группе.
Контрольный тест.
1. Вычислите:
а) log2,56,25; б) log273; в) log131; г)lg100.
2. Вычислите:
а)
б)
в)
3. Вычислите:
а) log35 + log30,2; б) log310 – log33⅓; в) log0,10,1³.
4. Найдите область определения функции у = log0,1(-x+3).
5. Сравните числа:
а) log52 и log53; б) log0,59 и log0,57.
6. Сравните с нулём числа:
а) log27; б)log0,20,15; в)log60,2; г) log0,78.
7. Решите уравнение:
а) log0,19(3-x)= - 3; б)log5x + log5(x-4) = 1; в)log²6x – log6x=2.
8. Решите неравенство:
а) log0,1(3-x)<-3; б)log5x + log5(x-4)>1; в)log²6x – log6x<2.
Ответы на контрольный тест:
1.а)2; б) 1/3; в)0; г) 2
2.а) 0,5; б)0,5; в) 0,5
3. а)0; б)1; в)3;
4. (-∞; 3)
5. а) log52 < log53; б) log0,59 < log0,57
6.а) log27 > 0; б) log0,20,15 > 0; в) log60,2 < 0; г) log0,78 <0
7. а) -997; б) 5; в)1/6; 36
8. а) (- ∞; 997); б) (5; + ∞); в) (0; 1/6) U (36; + ∞
6. Итог урока.
Командир оценивает каждого члена группы.
Группа оценивает командира.
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ФАКТЫ
Показательная функция
Показательная функция
, где
, определена на множестве
действительных чисел, а сама принимает только положительные значения.
Если
Если
, то функция непрерывно убывает.
, то функция непрерывно возрастает.
При
и
выполняются следующие зависимости:
1)
;
2)
;
3)
.
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция
, где
, определена на
множестве положительных чисел. Множество значений логарифмической
функции - все множество действительных чисел.
При
При
функция непрерывно убывает.
функция непрерывно возрастает.
При одном и том же допустимом значении функции
являются взаимно обратными.
и
При решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств
используются такие свойства показательной и логарифмической функций,
как монотонность, знакопостоянство (для показательной функции),
поведение в бесконечно удаленных точках.
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Для решения указанных уравнений и неравенств используются свойства
показательной функции.
1. Уравнение
,
равносильно уравнению
и
Примеры: а)
, если
произвольные элементарные функции.
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Показательное уравнение может сводиться к алгебраическому уравнению с
помощью введения новой неизвестной величины.
Примеры:
. Пусть
Тогда уравнение примет вид
, корни которого
. Второй корень уравнения является посторонним:
.
.
3. Показательные уравнения более сложной структуры с помощью
тождественных преобразований сводятся либо к совокупности простейших
показательных уравнений, либо к указанным выше основным видам.
4. Показательные неравенства вида
преобразуются к
неравенствам вида
при
, либо к
(с учетом свойств показательной функции).
при
Примеры: а)
;
б)
;
в)
Тема: «Логарифмические уравнения и неравенства».
Цели: Проверить теоретические и практические знания по теме; отработать
навыки решения логарифмических уравнений и неравенств; воспитывать
самостоятельность и внимательность, умение работать в группах.
План.
1. Организация класса.
2. Устные упражнения.
3. Проверочный тест.
4. Теоретическая часть.
5. Контрольный тест.
6. Итог урока.
Ход урока.
1. Организация класса.
Класс разбивается на группы, в каждой группе по 4-5 человек. Каждая группа
выбирает командира.
2. Устные упражнения.
1. Вычислите:
а) log3 9 =x;
б)log¼ x= -1;
в) log⅓ 9 =x;
г) log1 x =4 ;
д) logx (-25) =-2;
е) logx 125 = 3;
ж) log4 x = -1;
з) log55²³.
2. Логарифмическая « комедия 2>3».
1 >1
4
8
(½)² > (½)³
lg(½)² > lg(½)³
2lg½ > 3lg½
2>3
В чём ошибка? (Так как lg½<0,то при сокращении на lg½ необходимо
изменить знак неравенства, т.е. 2<3)
3. Проверочный тест.
Каждой группе даётся задание и памятка в которой записаны все основные
правила по данной теме. За 10 мин они должны вместе решить эти задания и
обсудить ,какие правила применялись. Каждой группе выдаются ответы для
проверки своих решений.
Проверочный тест.
1. Вычислите:
а) log216; б) log5125; в) log0,50,25; г) log31.
2. Вычислите:
log47
log87
log0,17
а) 4
, б) 8
, в) 0,1
3. Вычислите:
а) log2⅔ + log21,5; б) log23 –log20,5; в) log44³.
4. Найдите область определения функции: у = log2(x-6).
5. Сравните с нулём числа:
а) log35 и log37;
б ) log0,35иlog0,37.
6. Сравните с нулём числа:
а) log35; б) log0,30,4; в) log70,1; г) log0,64.
7. Решите уравнение:
а) lg(3-x) = - 1;
б) log3x + log3(x-2) = 1; в) log²7x – log7x =6.
8. Решите неравенство:
а) lg(3-x)<-1; а) log0,5x + log0,5(3-x)<-1; б) log²7x + log7x<6.
Ответы: 1. а) 4; б) 3; в) 2; г) 0.
2. а) 7; б) 7; в) 7.
3. а) 0; б) 1; в) 5.
4. ( 6; +∞)
5. а) log35 < log37; б) log0,35 > log0,37
6. а) log35 > 0; б) log0,30,4 > 0; в) log70,1 <0; г) log0,64 <0
7. а) 2,9; б) 3; в) 343
8) а) (2,9; 3); б) (1;2) в) (1/343;49)
4. Теоретическая часть.
Вопросы: (выходят командиры и по очереди отвечают на вопросы, говоря
при этом, в каком вопросе проверочного теста применялось данное правило)
1. Что называется логарифмом? Десятичным логарифмом? Натуральным
логарифмом?
2. Назовите основное логарифмическое тождество.
3. Какие свойства логарифмов вы знаете?
4. Какая функция называется логарифмической? Область определения и
область значения.
5. Когда логарифмическая функция убывает, когда возрастает на всей
области определения?
6. Как решаются логарифмические уравнения?
7. Как решаются логарифмические неравенства?
5. Контрольный тест.(15 мин)
Каждый ученик самостоятельно решает тест. Капитаны проверяют у каждого
в своей группе.
Контрольный тест.
1. Вычислите:
а) log2,56,25; б) log273; в) log131; г)lg100.
2. Вычислите:
log50,5
а) 5
б) 6
log648
log1,010,01
в)1,01
3. Вычислите:
а) log35 + log30,2; б) log310 – log33⅓; в) log0,10,1³.
4. Найдите область определения функции у = log0,1(-x+3).
5. Сравните числа:
а) log52 и log53; б) log0,59 и log0,57.
6. Сравните с нулём числа:
а) log27; б)log0,20,15; в)log60,2; г) log0,78.
7. Решите уравнение:
а) log0,19(3-x)= - 3; б)log5x + log5(x-4) = 1; в)log²6x – log6x=2.
8. Решите неравенство:
а) log0,1(3-x)<-3; б)log5x + log5(x-4)>1; в)log²6x – log6x<2.
Ответы:
1. а) 2; б) ⅓; в) 0; г) 2.
2. а) 0,5; б)
3. а) 0; б) 1; в) 8
4. (-∞; 3)
5. а) log52 < log53; б) log0,59 < log0,57
6.а) log27 > 0; б) log0,20,15 > 0; в) log60,2 < 0; г) log0,78 <0
7. а) -997; б) 5; в)1/6; 36
8. а) (- ∞; 997); б) (5; + ∞); в) (0; 1/6) U (36; + ∞
6. Итог урока.
Командир оценивает каждого члена группы. Группа оценивает командира.
Тема:«Логарифмические уравнения и неравенства»
Памятка для решений логарифмических уравнений
1. Уравнение вида log a x  b
Решить равносильное уравнение x  a b ;
2. Уравнение вида log x a  b
а) найти ОДЗ: x  0, x  1 ;
б) решить уравнение x b  a ;
в) выбрать из корней уравнения  ОДЗ .
3. Уравнение вида log a b  x
Решить уравнение относительно переменной, входящей
в выражение с переменной.
При решении логарифмических уравнений полезно помнить некоторые
свойства логарифмов:
a loga b  b - основное логарифмическое тождество
log a 1  0 ;
log a xy  log a x  log a y ;
log a x n  n  log a x ;
log a n b 
log a b 
1
log a b ;
n
log a a  1 ;
log a
x
 log a x  log a y ;
y
log a n x 
log a b 
log a x
;
n
1
;
log b a
log c b
- формула перехода к новому основанию
log c a
Замечание: lg t  десятичный логарифм (по основанию 10)
ln t  натуральный логарифм (по основанию e )
Выполните самостоятельно задания:
Вариант 1.
1. Решите уравнения: а) log 2 x  15  4 ; б) lg 2x  lg x  3  lg 12x  4 ;
в) lg 2 x  2 lg x  8 .
2. Решите неравенство: log16 0,6  2 x  0,25 .
Вариант 2.
1. Решите уравнения: а) lg x 2  2 x  4  lg11 ;
б) 1  log 2 3x  1  log 2 x 2  5 ;
в) 4 lg 2 x  2  lg x 2 .
2. Решите неравенство: log 0,8 3  5x   0 .
Вариант 3.
1. Решите уравнения: а) log 4 5x  6  0 ;
;
б) log 2 4  x  log 2 1  2x  2 log 2 3
в) log 52 x  log 5 x 2  3 .
2. Решите неравенство: log 0 ,2 15  2 x   2 .
Вариант 4.
1. Решите уравнения: а) log 3 3x  2  log 3 x  4 ;
lg x  2  lg x  3  1  lg 5 ;
в) log 32 x  4  3log 3 x .
2. Решите неравенство: log 4 3  4 x  1.
б)
Вариант 1
1. log 2 (3x  2)  log 2 (2 x  1) Вариант 2
2. log 1 3  x   1`
2
x2
3. log 4
1
x 3
4. log 1 10 x  2  0
10
Вариант 3
1. log 1 (3 x  1)  log 1 (3  x)
2
2. log 3 4 x  9  1
3. log 1

2
x2
 log  3
x3
4. log 1 12 x  2  0
3. log 
5. log 12 x  log 12 ( x  11)  1 4. log 29 x  2  1
29
13
2. log 1 5 x  8  1
2
2 x
 log 1 2
2 x

5. log 1 (2 x  1)  log
1. log 2 (2 x  2)  log 2 (6  5 x)
1
13
x0
12
5. log 14 x  log 14 ( x  13)  1
Вариант 4
Вариант 5
1. log 1 (5 x  2)  log 1 (3  2 x)
1. log 2 (5 x  2)  log 2 (7  2 x) 1. lg( 3x 2  13)  lg( 30 x  50)
2. log 2 3x  7   1
2. log 1 2 x  3  1
2
2. log 3 2 x  7   1
2
2
3 x
3. log 1
1
x 1
2
3. log 1
4. log 27 27 x  2   1
2
5. log 1 (2 x  1)  log 1 x  0
15
Вариант 7
Вариант 6
15
4. log
1
14
x4
2
x 1
14 x  2  0
5. log 16 x  log 16 ( x  15)  1
Вариант 8
3. log 1
3
x2
1
3 x
4. log 25 25 x  2  1
5. log 1 (2 x  1)  log 1 x  0
17
Вариант 9
17
1. lg( 3 x 2  7)  lg( 30 x  70)
2. log 1 2 x  7   0
3
3. log 1
2
4. log
1
16
4 x
2
x 1
16 x  2  0
5. log 18 x  log 18 ( x  17)  1
1. log 2 ( x  1)  log 2 (6  2 x)
2. lg  x  3  0
3 x
3. log 5
1
2 x
4. log 23 23x  2   1
3
5. log 1 (2 x  1)  log 1 x  0
19
1. log 1 (2 x  6)  log 1 x
19
2. lg 2 x  5  1`
1 x
3. log 3
2
2 x
4. log 1 18 x  2   0
3
18
5. log 20 x  log 20 ( x  19)  1
1. Определение логарифмического уравнения
Уравнение F(x) = 0 называется логарифмическим, если его левая
часть F(x) образована из функций вида loga x, loga f(x) или logg(x) f(x) и
констант с помощью конечного числа арифметических операций
(сложения, умножения, деления).
Примеры логарифмических уравнений:
1. log2 (x – 3) = 5;
2. lg x + lg (x + 3) = 1;
3. log x–1 9 = 2;
4. log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).
В пособии рассматриваются несколько методов решения и,
соответственно, несколько классов логарифмических уравнений, с
обзором которых можно познакомиться в пункте «Развернутое
содержание» (буква С)
Историческая справка
В ХVI веке резко возрос объем вычислений в ходе решения различных
задач, и в первую очередь прикладного характера, в частности, связанных с
мореплаванием. Открытие логарифмов, сводящее умножение и деление
чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, повысило эффективность
труда вычислителей (по выражению Лапласа, удлиннило их жизнь).
Первые таблицы логарифмов были составлены независимо друг от
друга шотландским математиком Дж. Непером (1550-1617) и швейцарцем
И.Бюрги (1532-1632), работавшим вычислителем с астрономом И. Кеплером.
Современное определение логарифмов дано в работах Л. Эйлера (ХVIII
век). В его честь и предел выражения (1+1/n) n при n   стали обозначать
буквой е. Это число входит во множесто различных физических и химических
формул. Поэтому, если число е используется в качестве основания
логарифмов, то в этом случае они называются «натуральными», то есть
естественными.
Первые таблицы десятичных логарифмов (1917г.) были составлены по
совету Непера английским математиком Г.Бриггсом.
В1923 году английским математиком Д. Гантером была изобретена
первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом многих
поколений инженеров и ученых, вплоть до появления ЭВМ.
Логарифмы надежно вошли в математический аппарат современных
научно-технических исследований.
Логарифмические уравнения и
неравенства используются при описании многих физических явлений.
Поэтому их изучение представляется полезным будущему специалисту
высшей квалификации.
2.Основные методы решения логарифмических уравнений.
2.1. Решение простейших уравнений.
2.2. Потенцирование.
2.3. Замена переменной (введение новой переменной).
3. Приведение некоторых уравнений к логарифмическим
логарифмированием обеих частей.
Вы можете выбрать для изучения любой из методов или рассмотреть
все методы по порядку.
2.1.1. Уравнения вида loga x = b, a > 0, a ≠ 1.
Для решения уравнения применяются определение логарифма и
свойства логарифмической функции y = loga x.
Областью определения логарифмической функции y = logax являются
все положительные числа. Множеством значений логарифмической функции
являются все действительные числа. Логарифмическая функция монотонна
на промежутке (0; +).
Применим к уравнению loga x = b, a > 0, a  1 теорему о корне
уравнения.
Теорема. Если b – любое из значений, принимаемых монотонной
функцией на некотором промежутке, то уравнение f(x) = b имеет
единственный корень в этом промежутке.
Теорему в применении к логарифмической функции иллюстрирует
рисунок.
Таким образом, при любом действительном значении b уравнение
имеет единственный корень. Для нахождения корня надо воспользоваться
определением логарифма: x = ab.
Пример. Решить уравнение
log2 x = 3.
Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма
x = 23, x = 8 принадлежит области определения уравнения.
Ответ: x = 8.
2.1.2. Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a ≠ 1.
Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом
области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей
системе
Обычно область определения находится отдельно, и после решения
уравнения f(x) = ab проверяется, принадлежат ли его корни области
определения уравнения.
Пример. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х2 – 2х
– 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:
Применим правила действий со степенями, получим 2х2 – 2х – 1 = 3.
Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные
значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х2 – 2х – 1 > 0,
т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и,
значит, являются его корнями.
Ответ. х1 = –1, х2 = 2.
2.1.3. Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.
Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом
области определения уравнения. Данное уравнение равносильно
следующей системе
Чаще всего, область определения логарифмического уравнения
находится отдельно и после решения уравнения (f(x))c = b или
равносильного уравнения
проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.
Пример. Решить уравнение
logx–19 = 2.
Решение. Данное уравнение равносильно системе
Ответ. x = 4.
2.2. Потенцирование.
Суть метода заключается в переходе от уравнения
log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно
не равносильно исходному.
2.2.1. Уравнения вида log a f(x) = log a g(x).
2.2.2. Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x)
с помощью свойств логарифмов по одному основанию.
2.2.3. Уравнения вида Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.
Вы можете выбрать для изучения уравнение любого типа или рассмотреть
все уравнения по порядку.
2.2.1. Уравнения вида
loga f(x) = loga g(x) , а > 0, а  1.
На основании свойства монотонности логарифмической функции
заключаем, что f(x) = g(x).
Переход от уравнения loga f(x) = loga g(x) к уравнению
f(x) = g(x) называется потенцированием.
Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться
равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0,
а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как
положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней
уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области
определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.
Пример. Решить уравнение
log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).
Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств
Потенцируя данное уравнение, получаем х2 – 3х – 5 = 7 – 2х,
х2 – х – 12 = 0, откуда х1 = –3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе
неравенств.
Ответ. х = –3.
2.2.2. Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x)
с помощью свойств логарифмов по одному основанию.
Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию,
то для приведения их к виду log a f(x) = log a g(x) используются
следующие свойства логарифмов:

logb a + logb c = logb (ac), где a > 0; c > 0; b > 0, b  1,

logb a – logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b  1,

m logb a = logb a m, где a > 0; b > 0, b  1; mR.
Пример 1. Решить уравнение
log6 (x – 1) = 2 – log6 (5x + 3).
Решение. Найдём область определения уравнения из системы
неравенств
Применяя преобразования, приходим к уравнению
log6 (x – 1) + log6 (5x + 3) = 2,
log6 ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению
(х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3.
Учитывая
область определения уравнения, х = 3.
Ответ. х = 3.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство
(3x – 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.
Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного,
получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма
(х + 3) 2 = 1, х = –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень.
Ответ. х = –4.
Пример 3. Решить уравнение
log2 (6 – x) = 2log6 x.
Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение
равносильно уравнению 6 – x = x2, откуда х = –3, х = 2. Число х = –3
посторонний корень.
Ответ. х = 2.