9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ сновные задачи групповой формулировки

9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
9.1. Групповой смысл микроскопических переменных.
Основные задачи групповой формулировки
В данной работе сделана попытка, изложить математический аппарат квантовой теории многих взаимодействующих частиц и электромагнитного поля на групповом языке так, чтобы величинам и понятиям этой теории придать групповой смысл и, наоборот, найти физический смысл групповых параметров и отношений между групповыми величинами.
В самой простой форме групповая формулировка теории рассматривается во второй главе на примере гармонического осциллятора, возмущаемого внешней силой. Динамические переменные осциллятора, координата q и импульс p, связаны с комплексным параметром z группы
W1 окаймленных матриц третьего порядка формулой (см. раздел 2.1)
z
 p  iq
,
2
(9.1)
где ω – круговая частота осциллятора. Формула (9.1) устанавливает
физический смысл группового параметра z.
Аналогично, в третьей и четвертой главе показано, что
параметры группы W окаймленных матриц [12], являющейся обобщением группы
W1 для осциллятора, и параметры ортогональной
группы SO [18], имеют смысл микроскопических динамических
переменных электромагнитного поля и фермиевских частиц.
Число микроскопических переменных, определяющих элементы этих
групп, оценивается величиной порядка 10 23 частиц. Поэтому основная
трудность, возникающая при построении теории многих частиц, заключается в том, чтобы учесть влияние огромного числа микроскопических переменных на протекающие в системе процессы, характеризующие ее свойства.
Связанные с этим обстоятельством трудности можно в значительной мере преодолеть, если учесть, что в большинстве случаев нас
интересуют некоторые усредненные
величины, которые получаются
суммированием микроскопических переменных и определяют свойства, представляющие практический или теоретический интерес.
167
Если, например, мы рассматриваем такие физических процессы в
системе многих частиц, как протекание электрического тока, химические реакции, излучение и поглощение электромагнитных волн и другие
аналогичные процессы, протекающие в системах, состоящих из заряженных частиц и образованного ими электромагнитного поля, то, обычно предполагаем, что электрический ток протекает через достаточно
большую поверхность, практический интерес представляет суммарный
выход химических реакций в большом объеме и излучение распространяется внутри достаточно большого телесного угла. Наличие того
или иного свойства системы (типа интенсивности излучения) определяется, таким образом, величиной средних значений физических квантованных величин.
9.2. Функции на группе. Средние значения физических величин
Как показано в разделах 1.7, 4.4 и 7.1 групповой способ вычисления средних значений физических величин и определения свойств
системы частиц и поля основан на интегрировании по группе. Операция интегрирования дает возможность построить
семейство ортогональных (базисных) функций на группе, когерентные состояния и
функциональный интеграл.
Для решения основной задачи теории, вычисления средних значений
физических величин (раздел 1.7.), необходимо
иметь
волновую
функцию системы в виде разложения по базисным функциям и затем
суммировать частичные средние значения (разделы 1.9.4. , 4.4, 7.1.5).
С помощью группового сдвига мы получили (см. (2.16)). когерентные состояния. Свойство воспроизводимости (см. (2.17)) когерентных состояний использовали для построения эволюции системы частиц и поля в виде функционального интеграла.
Волновая функция системы в произвольный момент времени получена в шестой главе приближенным вычислением функционального
интеграла.
9.2.1. Формула для вычисления средних значений физических величин.
Чтобы сформулировать конкретные групповые способы явного
вычисления средних значений физических величин и определения на
168
этой основе свойств системы многих частиц, мы вывели в седьмой
главе формулу для среднего значения числа частиц.
Например, для среднего значения числа свободных электронов в заданном объеме согласно формуле (7.21а) ) сначала находим средние
значения числа свободных электронов между заданными базисными
состояниями, которые мы выбрали собственными векторами оператора усредняемой величины. Можно выбрать базис для оператора числа частиц или энергии или для оператора потока. Затем выполняем
суммирование по состояниям системы, т. е. усредняем с весом
2
K II0,,0 , что дает формулу вида (7.20).
9.2.2. Матрицы интересов и возможностей
Как показали в разделе 7.1.7 среднее значение оператора числа
частиц или другого аналогичного оператора принимает ненулевые
значения, если диагональные матрица интересов и матрица возможностей имеют общие ненулевые значения и, если при этом не равны нулю матричные элементы перехода системы из начального состояния в
те состояния, которые нас интересуют.
Этот результат согласуется со здравым смыслом. Для того, чтобы
иметь ненулевое среднее значение оператора числа частиц с заданными свойствами, например, свободных электронов, нужно, чтобы, вопервых, наши интересы совпадали с нашими возможностями и, вовторых, чтобы в рассматриваемой системе с достаточной интенсивностью происходили процессы перехода в те состояния, которые нас
интересуют.
9.3. Общая схема решения задач групповой теории многих частиц
Подводя общий итог данной работы, сформулируем схему решения задач.
9.3.1. Общей основой теории является понятие группы. Как правило, используется ортогональная группа и группа окаймленных матриц,
обе порядка числа частиц в макроскопическом объеме. Параметры
группы образуют микроскопические переменные системы частиц и
поля.
169
9.3.2. Составим матрицу полного набора состояний ( раздел 5.2.3 ),
которая используется как обобщение замены системы координат и
импульсов в классической механике или как система координат. В
явном виде строки унитарной матрицы вида (5.23) являются аналогами
координат точек в классической механике. В общем случае выбор матрицы полного набора для замены переменных целесообразно производить в приближении самосогласованного поля.
Матрица полного набора является примером матричной переменной (см. разделы 1.8.4., 9.4.4.)
Существенно, что не обязательно знать точно или явно матрицу
полного набора состояний, так как, важно знать не столько числа,
сколько сами формулы. С другой стороны имеется возможность подробного рассмотрения характеристик системы (см. раздел 1.8.3.)
Например, распределение молекул в материальной системе может
быть в данном подходе произвольным, эволюция любого распределения, записанная в общем виде, имеет один и тот же вид для разных
распределений.
9.3.3. Для описания состояний системы и построения динамики с помощью функционального интеграла введем функции на группе, в
частности, когерентные состояния.
9.3.4. Для вычисления средних значений физических величин необходимо иметь волновую функцию системы в произвольный момент
времени.
С этой целью находим волновую функцию системы, используя
(см. Гл.6) приближенное решение для оператора эволюции системы,
полученное из начального состояния с помощью метода столкновений или метода детерминанта.
9.3.5. Вычисляем в седьмой главе в общем виде средние значения
физических величин, применяя разложение волновой функции системы по базису собственных функций усредняемого оператора.
9.3.6. Составляем и решаем дифференциальное уравнение для искомых средних значений физических величин (см. пример в восьмой
главе).
170
9.4. Перспективы, нерешенные вопросы
9.4.1.
Рассмотренный
в восьмой главе пример применения
группового подхода составляет только небольшую часть вопросов требующих рассмотрения при изучении свойств системы многих частиц. Хотелось бы
получить явные формулы для вычисления
средних значений других величин, энергии, потоков, как в виде приближенных оценок средних значений интересующих нас величин, так
и с помощью других способах анализа численного анализа.
К таким задачам относятся.
9.4.1.1. Процессы излучения, поток частиц, рассматриваемый на основе поведения молекул на выходе из камеры, релятивистское обобщение.
9.4.1.2. Описание явлений в твердом теле на основе самосогласованного поля, в частности, изучение сверхпроводимости из первых принципов.
9.4.1.3. Применение групповых методов для описания вместе с электромагнитным взаимодействием также сильного слабого и гравитационного взаимодействия.
9.4.2. Не достаточно законченным является в данном изложении описание продольного поля. А именно, вывод уравнения Максвелла, получен на основе закона умножения элементов группы (см. раздел
3.2.1. ), что подтверждает правильность выбора группы. При выводе
этих уравнений и установлении физического смысла параметров группы существенно использовалась не только структура группы, но также, во первых, уравнение непрерывности заряда (3.30) и во вторых,
коэффициент k , где k модуль ( длина) волнового вектора, фигурирующего в разложении Фурье ( 3.1 ) потенциала поля (см. раздел 3.1.1).
Этот коэффициент в дальнейшем желательно обосновать математически более естественно, на групповой основе.
9.4.3. Чтобы иметь описание состояний и эволюции, как частиц, так
и электромагнитного поля, мы ввели
две группы, ортогональную
группу и группу окаймленных матриц.
Для группового описания взаимодействующих квантованных частиц и
поля, например, в квантовой электродинамике, естественно, хотелось
бы положить в основу вместо двух групп некоторую группу Ли,
эффективно учитывающую взаимодействие между частицами, чтобы
171
динамика определялась законом умножения в группе, а квантование
свелось бы к построению некоторого представления группы, то есть к
выбору пространства функций на группе. Однако, учитывая, что квантовая электродинамика полностью с высокой точностью подтверждается экспериментом, мы не вводили в математическом аппарате теории без необходимости новые построения и попытались изложить
теорию многих частиц на групповом языке, по возможности не меняя существующую теорию, поскольку существующие к настоящему
времени решения не должны сильно изменяться при групповой формулировке.
9.4.4. Большое внимание необходимо уделить в дальнейшем другим
дополнительным способам, характеризующим свойства системы, отличающимся от способа, основанного на вычислении средних значений
физических величин.
К дополнительным способам относятся:
изучение структуры
элементов группы, матричные параметры,
скрытые микроскопические переменные и т. п.
Матричные параметры, задаваемые набором числовых параметров, целесообразно в частности использовать тогда, когда в случае
сложных систем нужно ограничиваться качественным, феноменологическим или полуколичественным описанием.
.Во многих случаях (см. раздел 1.8.) нам важно знать не столько
средние численные значения тех или иных физических величин,
сколько способы и формулы, с помощью которых получены их
усредненные значения. Зная эти способы, мы приобретаем
возможность понимать каким образом микроскопические, локальные процессы, протекающие в системе на молекулярном уровне, являются
внутренней скрытой причиной наблюдаемых макроскопических, физических явлений и что нужно сделать, чтобы управлять свойствами
макроскопических систем.
Например, зажигание дуги при электрическом пробое газового промежутка объясняется квантовыми процессами ионизации и рекомбинации молекул газа, тогда как наблюдаемый результат сводится к сравнительно медленному процессу протекания электрического тока в плазме.
172
9. Сравнить представл прямое и полупрямого произведение. Единая группа Представ
Цель построить вол ф как действие оператора К , которое через опер
представления единой группы обобщающей T wT u  и производящую
ф вида ei det1 / 2 . Сделать как Гл 5 где выразить умножение в ф и через операторы представления.
Литература
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М.: Физматгиз, 1963.
2. Ван-дер-Варден Б.Л. Метод теории групп в квантовой механике, ОНТИ, Харьков, 1938.
3. Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. М.: ИЛ, 1961.
4. Любарский Г. Теория групп и ее применения в физике. М.: Физматгиз,
1958.
5. Weyl H. Gruppentheorie und Quantenmechanik. Leipzig, Hirzel, 1928.
6. Переломов А.М. Обобщенные когерентные состояния и некоторые их
применения.//УФН, т.123, вып.1, 1977, с. 23 – 55.
7. Переломов А.М. Обобщенные когерентные состояния и их применения.
М.: Наука, 1987
8. Perelomov A.M. Coherent States for Arbitrary Lie Group.// Commun.
Math. Phys., 26, 3, 1972, s. 222 – 236.
9. Новиков Л.Ф. Континуальный интеграл по числовой мере для
взаимодействующих бозонов и фермионов.// ТМФ, т.54, № 2, 1983, с.
193 – 208.
10. Горохов А.В. Континуальные интегралы в представлении когерентных состояний на группах Ли. Динамика системы, взаимодействующей
с бозонным полем. // Сб. Теоретико-групповые методы в физике, т. 1,
М.: Наука, 1980, c. 249 – 256.
11. Новиков Л.Ф. Теоретико-групповой анализ электрон-фононного взаимодействия в металлах. // ТМФ, т.95, № 3, 1993, с. 478 – 496.
12. Виленкин Н.Я. Многочлены Лагерра, функции Уиттекера и представления группы окаймленных матриц. // Матем. Сб., т.75(117), вып.3,
1968, с. 432 – 444.
13. Мартин П., Швингер Ю. Теория систем многих частиц. М.: ИЛ, 1962.
14. Хилл Т. Статистическая механика. М.: ИЛ, 1960.
173
15. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.:
Физматгиз, 1959.
16. Гельфанд И. М., Наймарк М. А. Унитарные представления классических групп.// Труды математического института им. В. А. Стеклова, т.36,
1950.
17. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. М.: Наука ,1978.
18. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. М.:
Наука, 1970.
19. Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики.
М.: Наука, 1977.
20. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. М.: Высшая школа,
1961.
21. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская
квантовая теория, ч.1, М.: Наука, 1968.
22. Рашевский П.К. О математических основах квантовой электродинамики. // УМН, т.13, вып.3(81), 1958, с. 3 – 110.
23. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964.
24. Беккер Р. Электронная теория. М., Ленинград: ОНТИ, 1936.
25. Френкель Я.И. Электродинамика, т.2. М., Ленинград: ОНТИ, 1935.
26. Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. М.: Физматгиз, 1960.
27. Гельфанд И. М. , Граев М. И., Пятецкий-Шапиро И. И. Теория представлений и автоморфные функции. М.: Наука, 1966.
28. Менский М.Б. Метод индуцированных представлений.
Пространство – время и концепция частиц. М.: Наука, 1976.
29. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. М.:
ИЛ, 1947.
30. Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя
электронами. М.: Физматгиз, 1960.
31. Бортник И. М. Физические свойства и электрическая прочность элегаза. М.: Энергоатомиздат, 1988.
32. Ахиезер А. И. Общая физика. Киев: Наукова думка, 1981.
174