Всего – 87 часов
advertisement
Западно-Казахстанский государственный университет
им. М. Утемисова
Институт экономики и управления
«Утверждаю»
Директор института
Экономики и управления
________________
«__»_______2010г.
Кафедра «Менеджмента и предпринимательство»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
«Алгебра и геометрия»
по кредитной технологии обучения
для студентов специальности
050703 – информационные системы
Курс – 1
Семестр – 1
Количество кредитов - 3
Лекции – 30 часов
Практические занятия – 15 часов
СРСП – 21 часов
СРС – 21 часов
Экзамен – в 1-м семестре
Всего – 87 часов
Уральск
2010г.
Учебно-методический
комплекс
дисциплины
(УМКД)
составлен:
_____________________________________________________________________________
_________________________________Садыковой Г.А.
Утвержден на заседании кафедры «Менеджмента и предпринимательства»
Протокол № ___ от «___»__________ 2010г.
Зав. кафедрой ______________ Жумаев Ж.Ж
(подпись)
Утвержден на заседании учебно-методического совета института экономики и управления
_________________________ Протокол № ___ от «___»__________ 2010г.
Председатель УМС интститута ______________ ___________________
(подпись)
(Ф.И.О.)
ТИПОВАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
Западно-Казахстанский государственный университет
им. М. Утемисова
«Утверждаю»
Директор института
Экономики и управления
________________
«__»_______ 2010г.
Институт экономики и управления
Кафедра «Менеджмента и предпринимательства»
ПРОГРАММА КУРСА (SILLABUS)
«Алгебра и геометрия»
по кредитной технологии обучения
для студентов специальности
050703 – информационные системы
Курс – 1
Семестр – 1
Количество кредитов - 3
Лекции – 30 часов
Практические занятия – 15 часов
СРСП – 21 часов
СРС – 21 часов
Экзамен – в 1-м семестре
Всего – 87 часов
Уральск
2010 г.
Программа курса составлена ст. преподавателем Садыковой Г.А.
______________________________________________________________
Рассмотрена на заседании кафедры « Менеджмента и предпринимательства»
Протокол № ___ от «___»__________ 2010г.
Зав. кафедрой ______________ Мансурова М.А.
(подпись)
Утвержден на заседании учебно-методического совета Института
экономики и
управления
Протокол № ___ от «___»__________ 2010г.
Председатель УМС института ______________ ___________________
(подпись)
(Ф.И.О.)
Дополнения и изменения в программу курса (Sillabus)
на 200_ / 200_ учебный год
Программа курса вносится следующие изменения (дополнения):
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Программа курса пересмотрена и одобрена на заседании кафедры «Менеджмента и
предпринимательства»
Протокол № ____ от «___»___________ 2010.
Заведующий кафедрой ______________ Жумаев Ж.Ж
Утвержден на заседании учебно-методического совета Института экономики и
управления. Протокол № ___ от «___»__________ 2010.
Председатель УМС института ______________ ___________________
(подпись)
(Ф.И.О.)
1.1 Данные о преподавателе
Садыкова Г.А. ст. преподаватель
Офис: кафедра «Менеджмента и предпринимательства»
Полный адрес: проспект Достык 218/1, кабинет 308.
Рабочий телефон:
1.2 Данные о дисциплине
«Алгебра и геометрия»
Семестр состоит из 15 учебных недель и 2 недель сессии.
В неделю проводится 3 кредит-часа. Каждый кредит-час состоит из одного контактного
часа (лекция, практика) и двух часов самостоятельной работы обучаемых (СРО) под
руководством преподавателя (СРСП) и без него (СРС).
Распределение кредитов на наделю:
Время
Занятия
проведения
Контактный час
1
50 мин.
(лекция 1)
Занятия
СРО
Время
Проведения
СРСП, СРС
50 + 50 мин.
Контактный час
2
(лекция 2)
Контактный час
3
(практика)
50 мин.
СРСП, СРС
50 + 50 мин.
50 мин.
СРСП, СРС
50 + 50 мин.
Количество кредитов – 3
Место проведения: корпус № 2 по расписанию
Выписка из учебного плана:
Курс Семестр Кредиты Лекции
1
1
3
30
Практич.
занятия
15
СРСП
СРС
Всего
21
21
87
Форма
контроля
экзамен
1.3 Введение
Данный курс предназначен для подготовки студентов с целью овладения ими
основных алгебраических систем и воспитание алгебраической культуры. Курс
охватывает следующие разделы математики: элементы линейной алгебры, векторной
алгебры и аналитической геометрии, системы линейных уравнений, матрицы и
определителя, поле комплексных чисел, полиномы от одной переменной.
Цель курса:
1. Формирование прочной системы знаний по алгебре и геометрии.
2. Ознакомление с комплексными числами в геометрической форме.
3. Применение математического аппарата для решения прикладных задач.
4. Развитие логического и алгоритмического мышления.
5. Умение самостоятельно расширять и углублять математические знания.
Задачи курса:
Приобретение навыков решения алгебраических задач с доведением решения до
практического результата, и развить на этой базе логическое мышление. овладение
теоретическими основами аналитической геометрии. Изучение множества с данными в
них линейными операциями, объединение их с понятием линейного пространства.
Использование практических навыков постановки задач в конкретных предметных
областях.
В результате изучения дисциплины студенты должны понять, что линейная алгебра и
аналитическая геометрия настолько тесно связаны, что между ними трудно провести
четкую грань.
Студент должен уметь осуществлять постановку и решать задачи, производить сложные
построения в пространстве.
Пререквизиты:
Обязательное знание школьного курса математики.
Постреквизиты:
В процессе освоения курса алгебры и геометрии и последующего применения
математических знаний при изучении общенаучных и специальных дисциплин студент
должен научиться:
-формулировать простейшие прикладные задачи и создавать математические модели
реальных объектов и протекающих в них процессов;
-выбирать или разрабатывать рациональные методы исследования созданных моделей,
проводить их качественный анализ, использовать основных численные методы,
применять современную вычислительную технику;
-анализировать полученные данные, вырабатывать на их основе практические
рекомендации;
-самостоятельно осваивать новые математические методы исследований и решения
практических задач.
Методология обучения:
Обучение проводится в основном в виде лекций и СРСП, на которых отражается
содержание основного учебного материала и закрепляются практические навыки по
решению задач. Контроль знаний студентов будет осуществляться в виде устных
микроэкзаменов, письменных контрольных работ, индивидуальных семестровых заданий
и проверки домашних работ.
1.4 График и содержание занятий
План занятий курса
План занятий курса
Неделя 1
Кредит час 1
Лекция №1
Тема: Матрицы.
Содержание лекции.
1. Матрицы.
2. Действия над матрицами.
3. Свойства операций над матрицами.
Литература: с. 6-17 [9]
Содержание СРСП: №№ 788-791, 794-800, 827, 828, 836-840 [5]
Содержание СРС: Найти все квадратные матрицы А размера 2х2, если
а) А² = У
б) А² - нулевая матрица
Кредит час 2
Лекция № 2
Тема: Матрицы.
Содержание лекции.
1. Транспонирование матриц.
2. Обратная матрица.
3. Способы вычисления обратной матрицы
Литература [1] стр. 203-211, 212-213
Литература [2] стр. 45-49, 54-56
Содержание СРСП. Задачи №№ 394-397,406,413,414 четные Литература [7] 1 часть
Содержание СРС. Задачи №№ 394-397,406,413,414 четные Литература [7] 1 часть
Кредит час 3
Практическое занятие№ 1
Тема: Матрицы
Содержание практического занятия:
1. Сложение матриц.
2. Умножение матриц.
3. Матричный многочлен.
4. Вычисление обратной матрицы
Литература: № 330-334; 348 (а-е); 355-357 [8].
Содержание СРСП. Задачи №№ 394-397,406,413,414 четные Литература [7] 1 часть
Содержание СРС. Задачи №№ 394-397,406,413,414 четные Литература [7] 1 часть
Неделя 2
Кредит час 1
Лекция №3
Тема: Определители
Содержание лекции.
1. Определитель матрицы.
2. Определители второго и третьего порядков.
3. Свойства определителей.
Литература [1] стр. 214-219
Литература [2] стр. 49-54
Содержание СРСП. Задачи №№ 223, 394-397,406 Литература [7] 1 часть
Содержание СРС. Задачи №№ 394-397,406,413,414 нечетные Литература [7] 1 часть
Кредит час 2
Лекция № 4
Тема: Определители
Содержание лекции.
1. Миноры и алгебраические дополнения.
2. Разложение определителя по элементам строки ( столбца).
Литература [1] стр. 214-219
Литература [2] стр. 49-54
Содержание СРСП. Задачи №№ 223, 394-397,406 Литература [7] 1 часть
Содержание СРС. Задачи №№ 394-397,406,413,414 нечетные Литература [7] 1 часть
Кредит час 3
Практическое занятие№ 2
Тема: Определители
Содержание практического занятия.
1. Определители 2 и 3 порядков.
2. Миноры и алгебраические дополнения.
3. Разложение определителя по строке и по столбцу.
Содержание СРСП. Задачи №№ 223, 394-397,406 Литература [7] 1 часть
Содержание СРС. И/з – Вычисление определителей третьего и четвертого порядков
Неделя 3
Кредит час 1
Лекция №5
Тема: Ранг матрицы.
Содержание лекции.
1. Ранг матрицы.
2. Различные определения ранга матрицы.
3. Нахождение ранга матрицы различными методами.
Литература: с. 27-30 [9]
Содержание СРСП: № № 229-233 [8].
Содержание СРС: № № 226-228; 234; 235 [8].
Кредит час 2
Лекция № 6
Тема: Системы линейных уравнений.
Содержание лекции.
1. Системы линейных уравнений.
2. Матрица системы линейных уравнений
3. Невырожденные матрицы
4. Матричные уравнения
Литература [1] стр.222-243
Литература [2] стр. 58-62
Содержание СРСП. Задачи №№ 6.1-9.10 нечетные Литература [1]
Содержание СРС. Задачи №№ 6.1-9.10 четные Литература [1]
Кредит час 3
Практическое занятие№ 3
Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений
Содержание практического занятия. Системы линейных
разрешимости системы. Метод Крамера.
Содержание СРСП. Задачи №№ 6.1-9.10 Литература [1]
Содержание СРС.– Решение систем линейных уравнений
Неделя 4
Кредит час 1
Лекция №7
Тема: Системы линейных уравнений.
Содержание лекции.
1. Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Литература [1] стр.222-243
Литература [2] стр. 58-62
Содержание СРСП. Задачи №№ 6.1-9.10 нечетные Литература [1]
Содержание СРС. Задачи №№ 6.1-9.10 четные Литература [1]
Кредит час 2
Лекция № 8
Тема: Системы линейных уравнений.
Содержание лекции.
Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
Литература [1] стр.222-243
Литература [2] стр. 58-62
Содержание СРСП. Задачи №№ 6.1-9.10 нечетные Литература [1]
Содержание СРС. Задачи №№ 6.1-9.10 четные Литература [1]
Кредит час 3
Практическое занятие№ 4
уравнений.
Условия
Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений
Содержание практического занятия. Системы линейных уравнений. Методы Гаусса,
обратной матрицы.
Содержание СРСП. Задачи №№ 6.1-9.10 нечетные Литература [1]
Содержание СРС. Задачи №№ 6.1-9.10 четные Литература [1]
Неделя 5
Кредит час 1
Лекция №9
Тема: Комплексные числа
Содержание лекции.
1. Комплексные числа.
2. Действия над комплексными числами.
Литература: с. 218-224. [9]
Содержание СРСП: № № 437(a-e), 438 ( a-d), 461 (a-d), 529 (a-c) [8].
Содержание СРС № № 444-447, 462-464, 529 (d-q) [8].
Кредит час 2
Лекция №10
Тема: Комплексные числа
Содержание лекции.
1. Различные формы комплексных чисел.
2. Возведение в степень и извлечение корня n-ой степени из 1.
Литература: с. 218-224. [9]
Содержание СРСП: № № 437(a-e), 438 ( a-d), 461 (a-d), 529 (a-c) [8].
Содержание СРС № № 444-447, 462-464, 529 (d-q) [8].
Кредит час 3
Практическое занятие № 5
Тема: Комплексные числа
Содержание практического занятия.
1. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел
3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
4. Извлечение корня из комплексного числа
Литература: № № 10.1.6. (а,б), 10.1.7. ( а-в), 10.1.8. (а,б), 10.2.3 – 10.2.6, 10.2.14, 10.2.15,
10.2.23, 10.2.29 [6].
Содержание СРСП: № № 437(a-e), 438 ( a-d), 461 (a-d), 529 (a-c) [8].
Содержание СРС № № 444-447, 462-464, 529 [8].
Неделя 6
Кредит час 1
Лекция №11
Тема: Многочлены.
Содержание лекции
1. Понятие многочлена.
2. Действия над многочленами.
3. Корни многочлена. Теорема Безу.
Литература: стр. 5 – 21 [10].
Содержание СРСП: № № 560(a-d), 572 (a-d) [8].
Содержание СРС: № №561 ( a-c) , 573 (a-d) [8].
Кредит час 2
Лекция №12
Теория делимости в кольце многочленов
Содержание лекции:
1. Наибольший общий делитель
2. Разложение на неприводимые множители.
3. Многочлены над кольцом с однозначным разложением на простые множители
Литература: стр. 33-60 [10].
Содержание СРСП: стр.20 № № 1 (a-б), 2 (a-б) [10].
Содержание СРС: стр.47 № №1 ( a-б) , 2 (a-б) [10].
Кредит час 3
Практическое занятие№ 6
Тема: Многочлены.
Содержание практического занятия.
1. Действия над многочленами.
2. Корни многочлена.
3. Разложение на множители
Литература: с. 148 №№ 1, 3, 6 [14].
Содержание СРСП: стр.20 № № 1 (в-г), 2 (в-г) [10].
Содержание СРС: стр.47 № №1 (в-г) , 2 (в-г) [10].
Неделя 7
Кредит час 1
Лекция №13
Тема: Многочлены.
Содержание лекции.
1. Действия над многочленами.
2. Корни многочлена.
3. Разложение на множители
Литература: с. 5 – 21 [10].
Содержание СРСП: № № 560(a-d), 572 (a-d) [8].
Содержание СРС: № №561 ( a-c) , 573 (a-d) [8].
Кредит час 2
Лекция №14
Тема: Делимость многочленов
Содержание лекции.
1. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида
2. Схема Горнера.
3. Применение схемы Горнера
Литература: стр. 148-149 [3].
Содержание СРСП. Задачи №№ 4,5 [3].
Содержание СРС. Задачи №№ 3-5 [3].
Кредит час 3
Практическое занятие№ 7
Тема: Делимость многочленов
Содержание практического занятия.
1. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида
2. Схема Горнера.
3. Применение схемы Горнера
Содержание СРСП. Задачи №№ 4,5 [3].
Содержание СРС. Задачи №№ 3-5 [3].
Микроэкзамен №1 по темам 1-7 недели.
Неделя 8
Кредит час 1
Лекция №15
Тема: Векторное пространство
Содержание лекции:
1.Определение векторного пространства. Линейное пространство.
2. Размерность. Базис. Координаты
Литература: с. 68-73 [4 ]
Содержание СРСП: с. 133 Пример 1.8. [12 ].
Содержание СРС: Доказательство теоремы 1.11 с. 134 [12 ].
б
Кредит час 2
Лекция №16
Тема: Векторное пространство
Содержание лекции:
1. Свойства векторного пространства
2. Евклидово пространство.
Литература: с. 68-73 [4 ]
Содержание СРСП: с. 133 Пример 1.8. [12 ].
Содержание СРС: Доказательство теоремы 1.11 с. 134 [12 ].
Кредит час 3
Практическое занятие№ 8
Тема: Векторное пространство
Содержание практического занятия.
Решение примеров векторного пространства.
Литература: стр. 71 пример 3.2, 3.3. [4]:
Содержание СРСП. Задачи №№ 3.2, 3.3. [4]:
Содержание СРС. Задачи №№ 3.2, 3.3. [4]:
Неделя 9
Кредит час 1
Лекция №17
Тема: Линейные преобразования
Содержание лекции:
1.Линейные преобразования.
2.Действия над линейными преобразованиями.
3.Характеристические уравнения.
4.Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
Литература [1] стр. 103-110
Литература [2] стр. 171-173
Содержание СРСП. Задачи №№ 53-58(нечетные, стр.214) (2)
Содержание СРС. Задачи №№ 53-58(четные, стр.214) (2)
Кредит час 2
Лекция №18
Тема: Линейные преобразования
Содержание лекции:
1. Базисы линейного оператора.
2. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.
Литература: с. 378-383 . [14].
Содержание СРСП: № № 1457,1458, 1479 [5].
Содержание СРС № № 552-556, 560, 561 [15].
Кредит час 3
Практическое занятие№ 9
Тема: Линейные преобразования
Содержание практического занятия.
1. Действия над линейными преобразованиями.
2. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного
преобразования
Литература: №№ 500, 501, 537-539 [15].
Содержание СРСП: № № 1457,1458, 1479 [5].
Содержание СРС № № 552-556, 560, 561 [15].
Неделя 10
Кредит час 1
Лекция №19
Тема: Квадратичные формы
Содержание лекции:
1. Понятие квадратичной формы.
2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Литература: с. 86-89 [4 ]
Содержание СРСП: №№ 3.31; 3.32;3.34 [4].
Содержание СРС: №№ 3.33; 3.35; [4].
Кредит час 2
Лекция №20
Тема: Квадратичные формы
Содержание лекции:
1. Преобразования квадратичной формы.
2. Закон инерции квадратичных форм.
Литература: стр. 89-91 [4].
Содержание СРСП: №№ 3.31; 3.32;3.34 [4].
Содержание СРС: №№ 3.33; 3.35; [4].
Кредит час 3
Практическое занятие№ 10
Тема: Квадратичные формы
Содержание практического занятия.
1. Преобразование квадратичной формы.
Литература: №№ 527 (а,б), 535 (а-с) [16].
Содержание СРСП: №№ 3.31; 3.32;3.34 [4].
Содержание СРС: №№ 3.33; 3.35; [4].
Неделя 11
Кредит час 1
Лекция №21
Тема: Векторы.
Содержание лекции:
1. Векторы. Операции над векторами.
2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
3. Векторное произведение векторов и его свойства.
4. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Литература [1] стр.193-202
Литература [2] стр. 21-45
Содержание СРСП. Задачи №№ 1(стр. 609) Литература [1]
Содержание СРС. Задачи №№ 1-10 (стр. 44) Литература [2]
Кредит час 2
Лекция № 22
Тема: Системы координат.
Содержание лекции:
1. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
2. Полярные и цилиндрические координаты.
3. Преобразования системы координат.
4. Простейшие задачи аналитической геометрии
Литература [1] стр.196-202
Литература [2] стр. 4-21
Содержание СРСП. Задачи №№ 1-25 нечетные Литература [7]- 1 часть
Содержание СРС. Задачи №№ 1-25 четные Литература [7]- 1 часть
Кредит час 3
Практическое занятие№ 11
Тема: Системы координат.
Содержание практического занятия.
1. Преобразования системы координат.
2. Решение простейших задач аналитической геометрии
Содержание СРСП. Задачи №№ 1-25 нечетные Литература [7]- 1 часть
Содержание СРС. Задачи №№ 1-25 четные Литература [7]- 1 часть
Неделя 12
Кредит час 1
Лекция №23
Тема: Прямые на плоскости.
Содержание лекции:
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2. Уравнения прямой, проходящей через две точки.
3. Параметрическое уравнение прямой.
4. Уравнение прямой в отрезках.
Литература [2] стр. 63-68
Содержание СРСП Задачи №№ 1-10 (нечетные, стр 79) Литература [2]
Содержание СРС. Задачи №№ 1-10 (четные, стр 79) Литература [2]
Кредит час 2
Лекция №24
Тема: Прямые на плоскости.
Содержание лекции:
1. Расстояние от точки до прямой
2. Угол между двумя прямыми.
3. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Литература [2] стр. 63-68
Содержание СРСП Задачи №№ 1-10 (нечетные, стр 79) Литература [2]
Содержание СРС. Задачи №№ 1-10 (четные, стр 79) Литература [2]
Кредит час 3
Практическое занятие№ 12
Тема: Прямые на плоскости.
Содержание практического занятия.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2. Уравнения прямой, проходящей через две точки.
3. Параметрическое уравнение прямой.
4. Уравнение прямой в отрезках.
Содержание СРСП. К / р по теме «Элементы аналитической геометрии»
Содержание СРС. Задачи №№ 1-10 (четные, стр 79) Литература [2]
Неделя 13
Кредит час 1
Лекция №25
Тема: Плоскость в пространстве
Содержание лекции:
1. Плоскость в пространстве.
2. Параметрическое и общее уравнение плоскости в пространстве.
3. Частные случаи уравнения плоскости.
Литература [2] стр. 72-79
Содержание СРСП. Задачи №№ 1-10 (нечетные, стр 79) Литература [2]
Содержание СРС. Задачи №№ 1-10 (четные, стр 79) Литература [2]
Кредит час 2
Лекция №26
Тема: Плоскость в пространстве
Содержание лекции:
1. Плоскость в пространстве.
2. Параметрическое и общее уравнение плоскости в пространстве.
3. Частные случаи уравнения плоскости.
Литература [2] стр. 72-79
Содержание СРСП. Задачи №№ 1-10 (нечетные, стр 79) Литература [2]
Содержание СРС. Задачи №№ 1-10 (четные, стр 79) Литература [2]
Кредит час 3
Практическое занятие№ 13
Тема: Плоскость в пространстве
Содержание практического занятия.
1. Плоскость в пространстве.
2. Параметрическое и общее уравнение плоскости в пространстве.
3. Частные случаи уравнения плоскости.
Содержание СРСП. Задачи №№ 1-10 (нечетные, стр 79) Литература [2]
Содержание СРС. Задачи №№ 1-10 (четные, стр 79) Литература [2]
Неделя 14
Кредит час 1
Лекция №27
Тема: Линии второго порядка
Содержание лекции:
1. Основные понятия.
2. Окружность.
3. Эллипс
4. Исследование эллипса по его уравнению
5. Дополнительные сведения об эллипсе
Литература: с. 74-79 [9]
Содержание СРСП: № № 4.3.2; 4.3.10; 4.3.28 [6].
Содержание СРС № № 4.3.8; 4.3.33[6].
Кредит час 2
Лекция №28
Тема: Линии второго порядка
Содержание лекции.
1. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы.
2. Исследование гиперболы по ее уравнению
3. Асимптоты гиперболы
Литература: с. 74-79 [9]
Содержание СРСП: № № 4.3.2; 4.3.10; 4.3.28 [6].
Содержание СРС № № 4.3.8; 4.3.33[6].
Кредит час 3
Практическое занятие№ 14
Тема: Линии второго порядка
Содержание практического занятия.
1. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы.
2. Исследование гиперболы по ее уравнению
3. Асимптоты гиперболы
4. Парабола
5. Исследование параболы по ее уравнению
Литература: с. 74-79 [9]
Содержание СРСП: № № 4.3.2; 4.3.10; 4.3.28 [6].
Содержание СРС № № 4.3.8; 4.3.33[6].
Неделя 15
Кредит час 1
Лекция №29
Тема: Линии второго порядка
Содержание лекции.
1. Парабола
2. Исследование параболы по ее уравнению
Литература: с. 74-79 [9]
Содержание СРСП: № № 4.3.2; 4.3.10; 4.3.28 [6].
Содержание СРС № № 4.3.8; 4.3.33[6].
Кредит час 2
Лекция №30
Тема: Поверхности вращения.
Содержание лекции.
1. Поверхности вращения.
2. Конические поверхности.
3. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
Литература: с. 74-79 [9]
Содержание СРСП: № № 4.3.2; 4.3.10; 4.3.28 [6].
Содержание СРС № № 4.3.8; 4.3.33[6].
Кредит час 3
Практическое занятие № 15
Тема: Поверхности вращения.
Содержание практического занятия.
1. Поверхности вращения.
2. Конические поверхности.
3. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
Содержание СРСП: № № 4.3.2; 4.3.10; 4.3.28 [6].
Содержание СРС № № 4.3.8; 4.3.33[6].
3. График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
№
п/п
Вид работ
Цель и
содержание
задания
Рекомендуемая литература
Продолжи
тельность
выполнени
я
Бал
лы
Форма
контроля
1
Выполнение
СРСП
Проверка
теоретическо
й подготовки,
и
Красс М.С., Основы высшей
математики и ее приложения в
экономическом образовании, М.,
2002 г.
Неделя
2
Индивидуаль
ные
домашние
задания
3
Задания СРС
Проверка
самостоятель
ной работы
1 .Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я.
Высшая математика в
упражнениях и задачах, М.,
2. Баврин И.Н., Матросов В.Л.,
Высшая математика, М.,
2002 г.004 г.
Неделя
1
4
Контрольная
работа
2
Глоссарий
1. Баврин И.Н., Матросов В.Л.,
Высшая математика, М.,
2002 г.
2. Письменный Д., Сборник задач
по высшей математике, М., 2001
г.
1. Баврин И.Н., Матросов В.Л.,
Высшая математика, М.,
2002 г.
Неделя
5
Проверка
теоретическо
й подготовки
по
изученному
материалу
Активизация
самостоятель
ности у
Устный
опрос,
проверка
конспектов,
практические
задания,
решение
задач
Письменная
работа по
вариантам
6,14
Недели
4
Устный
ответ
6
Микроэкзамен
студентов, а
также
усвоение
терминологи
и
Комплексная
проверка
знаний
2. Кремер Н.Ш., Высшая
математика для экономистов, М.,
1998 г.
1. Баврин И.Н., Матросов В.Л.,
Высшая математика, М.,
2002 г.
2. Кремер Н.Ш., Высшая
математика для экономистов, М.,
1998 г.
7, 15
недели
4. Карта учебно-методической обеспеченности дисциплины
Наличие
№
Наименование литературы
п/
В
на кафедре
обеспече
библиоте
нности
п
ке
1
2
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.
Высшая математика в упражнениях и
задачах, М.,
8
Баврин И.Н., Матросов В.Л.,
Высшая математика, М.,
2002 г.004 г.
3
2
3
Красс М.С., Основы высшей математики и ее
приложения в экономическом образовании,
М., 2002 г.
1
4
3
2
-
-
4
Кремер Н.Ш., Высшая математика,
М., 1998 г.
5
Проскуряков В.М., Сборник задач по
линейной алгебре, М., 1998 г.
6
7
1
-
2
-
3
-
Письменный Д. Н, Сборник задач по высшей
математике, М., 2001 г.
2
-
Письменный Д. Н., Лекции по высшей
математике, М., 2004 г.
8. Винберг Э.Б., Алгебра многочленов, М.,
1994 г.
4
-
8
Александров П.С., Лекции по аналитической
геометрии, М., 1997г.
9.
Окунев Л.Я., Сборник задач по высшей
алгебре, М., 1998 г.
1
-
3
10
Красс М.С., Основы высшей математики и ее
приложения в экономическом образовании,
М., 2002 г.
11
Кремер Н.Ш., Высшая математика,
М., 1998 г.
2
12
Проскуряков В.М., Сборник задач по
линейной алгебре, М., 1998 г.
2
-
студенто
в (%)
5
Тестовые
задания
5
Примеча
ния
Электрон
ная
версия
6
7
5. Лекционный комплекс:
А) Название темы
В) Цель лекции
С) Ключевые слова
Д) Основные вопросы и краткое содержание
Е) Основные схемы, формулы и т.д., иллюстрирующие содержание
З) Вопросы для самоконтроля
И) Рекомендуемая литература
Лекция № 1
Тема: Понятие матрицы. Операции над матрицами.
Содержание лекции
1. Понятие матрицы.
2. Виды матриц.
3. Основные операции над матрицами: умножение матрицы на число, сложение (вычитание
матриц), произведение матриц, транспонирование матрицы.
4. Примеры.
Цель: Дать понятие матрицы общего вида размерности mxn, показать выполнение основных
операций над матрицами, их свойства.
Ключевые слова. Матрица, индекс, размерность матрицы, единичная матрица,
транспонирование матрицы.
Содержание лекции
1. Понятие матрицы.
Матрицей размерности mxn называется прямоугольная таблица, содержащая m строк
и n столбцов. Каждый элемент матрицы аij имеет двойную индексацию, так как стоит на
пересечении i-й строки и j-го столбца.
Матрицы находят широкое применение в экономической теории и практике, так как в
матричной форме удобно записывать экономические и другие зависимости, представленные
таблицами.
С матрицами можно выполнять действия, которые подчиняются законам
матричной алгебры.
2. Виды матриц.
Прямоугольная матрица общего вида размерности mxn, квадратная матрица
размерности nxn, матрица –строка, матрица-столбец, единичная матрица,
транспонированная матрица.
3. Операции над матрицами.
а. Умножение матрицы на число: при умножении матрицы на число к надо на это
число умножить каждый элемент матрицы к* аij.
б. Сложение (вычитание матриц): при сложении (вычитании) матриц Аи В
складываются (вычитаются) соответствующие элементы матриц аij
и вij. Сложить можно только матрицы одинаковой размерности.
в. Произведение матриц: можно перемножить между собой только две согласованные
матрицы А и В. Две матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов
матрицы А равно числу строк матрицы В.
Алгоритм умножения:
каждый элемент сij матрицы-произведения С равен сумме произведений элементов
i – й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Рекомендуемая литература:
1. Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
2. Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
3. Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
4. Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
5. Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 2.
Тема: Определители 2-го и 3-го порядков.
Содержание:
1. Понятие определителя квадратной матрицы.
2. Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.
3. Понятие минора и алгебраического дополнения.
Цель: Дать понятие определителя, научиться вычислять определители 2-го и 3-го порядков,
записывать миноры и алгебраические дополнения.
Содержание лекции:
Определителем второго порядка квадратной матрицы А размерности 2х2 называется
выражение а11*а22-а21*а12, где аij –элементы определителя:
∆ =
а11 а12
= а11 а22 - а12 а21
а21 а22
Элементами определителя могут быть любые действительные числа.
Определитель 3-го порядка вычисляется методом треугольников (метод Сарруса):
а11 а12 а13
∆ = а21 а22 а23
а31 а32 а33
= а11 а22 а33+ а12 а23 а31+ а21 а32 а13- а13 а22 а31- а12 а21 а33- а23 а32 а11
Минором Мij элемента аij определителя называется определитель, порядка на единицу
меньше, полученный вычеркиванием i –й строки и j –го столбца, на пересечении которых
стоит данный элемент.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется соответствующий минор Мij,
взятый со знаком (-1) i+j, то есть
Аij =(-1) i+j Мij.
Рекомендуемая литература:
1. Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
2. И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
3. Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
4. Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1994.,в 2-х
частях.
5. Л.Я. Окунев Сборник задач по высшей алгебре, М., Просвещение, 1994
6. Д. Письменный Лекции по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2004
Лекция 3.
Тема: Миноры и алгебраические дополнения.
Содержание:
1. Понятие минора.
2. Алгебраическое дополнение.
3. Примеры вычисления миноров и алгебраических дополнений.
Цель: Дать понятие минора и алгебраического дополнения, научиться записывать и
вычислять миноры и алгебраические дополнения для любого элемента определителя.
Содержание лекции:
Минором Мij элемента аij определителя называется определитель, порядка на единицу
меньше, полученный вычеркиванием i –й строки и j –го столбца, на пересечении которых
стоит данный элемент.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется соответствующий минор Мij,
взятый со знаком (-1) i+j, то есть
Аij =(-1) i+j Мij. Пусть задан определитель 3-го порядка:
а11 а12 а13
∆ = а21 а22 а23
а31 а32 а33
Найдем миноры элементов этого определителя:
М11= а22 а33- а23 а32 . М12 = а21 а33 - а23 а31 .
М21 = а12 а33 - а13 а31 . М22 = а11 а33 - а31 а13.
М31 = а12а23 - а22 а13. М32 = а11 а23 - а21 а13.
М13 = а21 а32 - а22 а31.
М23 = а11 а32 - а31 а12
М33 = а11 а22 - а21 а12 .
Найдем алгебраические дополнения элементов этого определителя:
А11 = (-1)2 М11 = (-1)2 (а22 а33- а23 а32) .
1. Аналогично:
А12 = (-1)3 М12 ; А13 = (-1)4 М13
А21 = (-1)3 М21 А22 = (-1)4 М22 А23 = (-1)5 М23
А31 = (-1)4 М31 А32 = (-1)5 М32 А33 = (-1)6 М33
Литература.
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1994.,в 2-х
частях.
Лекция № 4.
Тема: Свойство определителей..
Содержание:
1. Свойства определителей.
2. Преобразование определителя с использованием его свойств.
3. Примеры.
Цель: Освоить методы вычисления определителей высоких порядков.
Содержание.
?????
Лекция № 5.
Тема: Определители высоких порядков и методы их вычисления.
Содержание:
1. Теорема Лапласа.
2. Разложение определителя по элементам строки (столбца).
Цель: Освоить методы вычисления определителей высоких порядков.
Содержание.
1. Теорема Лапласа.
2. Разложение определителя по элементам строки (столбца).
Цель: Освоить методы вычисления определителей высоких порядков.
Содержание.
1. Свойства:
1. Определитель не изменится, если к элементам строки (столбца) прибавить элементы другой
строки (столбца), умноженные на какое-либо число.
2. Определитель равен нулю, если: имеет нулевую строку, одинаковые строки или
пропорциональные строки.
3. Теорема Лапласа. Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов
какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Теорема Лапласа позволяет понизить порядок определителя и тем самым вычислить
определитель любого порядка.
Рекомендуемая литература:
1. Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
2. В.В. Вавилов Задачи по математике, Алгебра, М., Наука, 1987
3. Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
4. И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
5. Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
6. Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х частях.
Лекция № 6.
Тема: Обратная матрица.
Содержание:
4. Транспонирование матриц.
5. Обратная матрица, условия ее существования.
6. Способы вычисления обратной матрицы.
7. Примеры.
Цель: Дать понятие обратной матрицы, рассмотреть условия существования обратной
матрицы и алгоритм ее вычисления, научиться находить обратную матрицу.
Ключевые слова. Матрица, индекс, размерность матрицы, единичная матрица,
транспонирование матрицы.
Содержание лекции.
1. Обратной матрицей по отношению к исходной матрице А называется матрица А-1 , такая, что
приумножении слева и справа ее на исходную матрицу получается единичная матрица, то есть
А-1 *А=А* А-1 =Е. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда исходная матрица
является невырожденной, то есть ее определитель отличен от нуля:∆ =\ 0.
Алгоритм нахождения обратной матрицы.
1. Вычислить определитель исходной матрицы А. Если ∆А = 0, то обратная матрица не
существует. В противном случае переходим к пункту 2.
2. Записать транспонированную матрицу Ат для данной матрицы.
3. Найти все алгебраические дополнения Аij для транспонированной матрицы.
4. Составить присоединенную матрицу А / из алгебраических дополнений Аij.
5. Найти обратную матрицу по формуле А-1 =1/ ∆А* А /
6. Выполнить проверку А-1 *А=А* А-1 =Е.
Рекомендуемая литература:
1.Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
4. Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
6. Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
7. Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х частях.
Лекция № 7.
Тема: Системы линейных уравнений и методы их решения. Метод Крамера.
Содержание:
1. Понятие системы n линейных уравнений c n неизвестными.
2. Метод Крамера.
3. Решение примеров.
Цель: Освоить методы решения систем n линейных уравнений c n неизвестными, имеющими
квадратную матрицу.
Ключевые слова. Матрица, индекс, размерность матрицы, единичная матрица,
транспонирование матрицы.
Содержание лекции.
1. Теорема Крамера. Решение системы n линейных уравнений c n неизвестными
можно найти в виде х1= ∆х1/ ∆ ; х2= ∆х2/ ∆; х3= ∆х3/ ∆, где ∆ - главный определитель
системы, составленный из коэффициентов при неизвестных,
определители, полученные заменой соответствующего
i
∆хi-
вспомогательные
-го столбца в главном определителе
столбцом из свободных членов. Формулы для определения неизвестных хi называются
формулами Крамера.
2. Матричный метод. Систему n линейных уравнений c n неизвестными можно
записать в компактной матричной форме А*Х=В, где А-матрица из коэффициентов системы аij,
Х – матрица-столбец из неизвестных хi, В – матрица-столбец из свободных членов в вi .
Решение матричного уравнения определяется так : А-1А*Х= А-1В, или Е*Х= А-1В,
или Х= А-1В. Следовательно, для определения Х необходимо найти обратную матрицу
произведение А-1 и найти произведение А-1В.
Рекомендуемая литература:
1.Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
2. Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
4. Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
7. Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х частях.
Лекция № 8.
Тема: Системы линейных уравнений и методы их решения. Матричный метод.
Содержание:
1. Системы n линейных уравнений c n неизвестными.
2. Матричный метод.
3. Решение примеров.
Цель: Освоить методы решения систем n линейных уравнений c n неизвестными, имеющими
квадратную матрицу матричным методом.
Ключевые слова. Матрица, индекс, размерность матрицы, единичная матрица,
транспонирование матрицы.
Содержание лекции.
Матричный метод. Систему n линейных уравнений c n неизвестными можно
записать в компактной матричной форме
А*Х=В,
где А-матрица из коэффициентов системы аij, Х – матрица-столбец из неизвестных
хi, В – матрица-столбец из свободных членов в вi .
Решение матричного уравнения определяется так : А-1А*Х= А-1В, или Е*Х= А-1В,
или
Х= А-1В.
Следовательно, для определения Х необходимо найти обратную матрицу
произведение А-1 и найти произведение А-1В.
Лекция № 9.
Тема: Ранг матрицы.
1. Элементарные преобразования матрицы.
2. Понятие ранга матрицы.
3. Методы определения ранга матрицы.
4. Примеры.
Содержание:
1. К элементарным преобразованиям матрицы относят следующие:
а. к какой либо строке матрицы можно прибавить другую строку матрицы,
умноженную на какое- либо число;
в. можно отбросить нулевую строку матрицы.
2. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора.
Обозначения: rang A или r(А). Понятие ранга матрицы используется для
исследования системы m линейных уравнений c n неизвестными.
3. Ранг матрицы можно определить двумя способами:
4. а. вычислить миноры и найти минор наивысшего порядка, отличный от нуля.
Наивысший порядок минора, отличного от нуля, равен рангу матрицы;
в. выполнить элементарные преобразования матрицы, отбросить нулевые строки.
Цель: Освоить методы решения систем n линейных уравнений c n неизвестными, имеющими
квадратную матрицу.
Ключевые слова. Матрица, индекс, размерность матрицы, единичная матрица,
транспонирование матрицы.
Содержание лекции.
1. Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
2. Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
3. Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
4. И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
5. Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Лекция № 10.
Тема: Системы линейных уравнений и методы их решения. Метод Гаусса.
Содержание:
1. Понятие системы m линейных уравнений c n неизвестными.
2. Понятие расширенной матрицы системы.
3. Прямой и обратный ход метода Гаусса.
4. Решение примеров.
Цель: Освоить методы решения систем m линейных уравнений c n неизвестными, имеющими
прямоугольную матрицу коэффициентов.
Ключевые слова.
Содержание лекции.
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из
уравнений, начиная со второго х2 , при этом 1-е уравнение (рабочее) вычитается из 2-го; на
следующем шаге 2-е уравнение вычитается из 3-го, исключается неизвестное х3 и т.д. Эти
действия составляют прямой ход метода Гаусса, приводя к системе треугольного
(ступенчатого) вида.
Обратный ход метода Гаусса заключается в последовательном нахождении
неизвестных из полученной системы, начиная с последнего х n .
При решении систем линейных уравнений методом Гаусса удобнее выполнять
преобразования ни с самой системой уравнений, а с ее расширенной матрицей. Расширенной
матрицей системы называется матрица из коэффициентов аij (i=1,m; j=1,n) с присоединенным
столбцом свободных членов bi (i=1,m).
1. Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
2. Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
3. В.В. Вавилов Задачи по математике, Алгебра, М., Наука, 1987
4. Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
5. И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
6. Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Лекция № 11.
Тема: Векторы в пространстве.
Содержание:
1. Координаты и проекции вектора.
2. Модуль вектора. Понятие единичного вектора.
3. Разложение вектора по ортогональному базису.
4. Скалярное произведение и его свойства.
Цель: Дать понятие вектора и ортогонального базиса в 3-х мерном пространстве, освоить
основные операции над векторами.
Ключевые слова.
Содержание лекции.
Векторы можно рассматривать в пространстве, в частности в трёхмерном пространстве
R3, введя в это пространство, например, декартову прямоугольную систему координат.
Если начало вектора совпадает с началом координат О, то такой вектор ОМ
называется радиус-вектором и обозначается r = OM. Проекций радиус-вектора ОМ на
оси координат называется прямоугольными координатами радиус-вектора r или точки
М – конца радиус-вектора. Имеем
прох r = х = ОМ1 ;
проy r = y = ОМ 2;
проz r = z = ОМ3 ;
В таком случае радиус-вектор r или точка М в пространстве R3 определяется тройкой
чисел x, y, z и обычно обозначается :
r (x, y, z );
М (x, y, z ). Тогда длина
радиус-вектора r = OM определяется по формуле:
r = |OM| = x 2 y 2 z 2 ( как диагональ прямоугольного параллелепипеда ).
Если на осях OX, OY, OZ вести единичные векторы i, j, k, то радиус-вектор r можно
представить ввиде суммы r = xi + yj + zk - разложение вектора в пространстве R3.
Рассмотрим в пространстве вектор u = AB, определяемый точками А(x1, y1, z1 ); В (x2,
y2, z2 ). Тогда проекции вектора u на оси координат будут :
прох u = Х = х2 – х1,
проy u = Y = y2 – y1,
проz u = Z = z2 – z1,
и вектор u через координаты записывается ввиде: u (Х, Y, Z) или u (x2–х1, y2–y1,
z2-z1).
т.е. координаты вектора u = AB вычисляется как разность координат точек,
определяющих конец и начало вектора. Длина вектора u = AB определяется по
формуле:
| u| = |AB|
X 2 Y2 Z2
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2.
1. Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
2. Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
3. Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
4. И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
5. Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Лекция 12.
Тема: Векторы в пространстве.
Содержание:
1. Проекции вектора на оси координат и на координатные плоскости.
2. Скалярное произведение и его свойства.
3. Угол между векторами.
4. Условия коллинеарности и ортогональности векторов.
Цель: Дать понятие вектора и ортогонального базиса в 3-х мерном пространстве, освоить
основные операции над векторами.
Ключевые слова.
Содержание лекции.
1. Если вектор задаётся в пространстве R3 прямоугольными координатами, то можно
найти косинусы углов составляемых этим вектором соответственно с осями OX,
OY, OZ.
X
Y
Z
Так как прох u = Х = |u| * cos , то cos = , аналогично cos =
, cos =
.
u
u
u
Вектор u0 =
u
u
есть единичный вектор в направлений вектора u, т.е. u0 (cos ,cos
,cos )
а его координаты называются направляющими косинусами вектора u причем
|u0|2 = cos 2 +cos2 +cos2 = 1.
3. Скалярным произведением двух векторов а и b называется число, равное
произведению длин векторов на косинус угла между ними : а * b = |а|*|b|*cos
Отсюда
следует,
что
праb
=
|b|*cos
OC,
поэтому
=
а * b = |а|*|b|*cos = |а|* пра- b = |b|* пра- а.
Если a = b, то a = 00 , cos 00 = 1 поэтому a * a = а-2 = |a|-2. т.е. квадрат вектора равен
квадрату длины этого вектора, поэтому |a| = а 2 ,т.е. длина вектора выражается через
его скалярный квадрат.
Если a b ,то а = , cos
=0иa*b=0
2
2
Если векторы задаются своими прямоугольными координатами, т.е. если a (x1, y1, z1),
b (x2, y2, z2), то скалярное произведение вычисляется по формуле: a * b = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Угол между векторами a (x1, y1, z1), b (x2, y2, z2) определяется по формуле :
cos a =
a b
ab
x1 x2 y1 y2 z1 z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
.
Если векторы a и b коллинеарные , т.е. a b и a = b, то их соответствующие
х
y
z
координаты пропорциональны: 1 1 1
х2 y2 z2
Если векторы a и b перпендикулярны , т.е a b, то их скалярное произведение равно 0:
x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.
Рекомендуемая литература.
Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
1.
2.
3.
4.
Лекция № 13.
Тема: Векторы в пространстве. Содержание:
Условия параллельности векторов.
Условия перпендикулярности векторов.
Проекции вектора на оси координат
Проекции вектора на координатные плоскости.
Цель: Дать понятие вектора и ортогонального базиса в 3-х мерном пространстве, освоить
основные операции над векторами.
Ключевые слова.
Содержание лекции.
Лекция № 14.
Тема: Векторы в пространстве. Векторное и смешанное произведения векторов.
Содержание:
1. Понятие векторного произведения векторов.
2. Свойства векторного произведения.
3. Векторное произведение в координатной форме.
4. Смешанное произведение и его свойства.
5. Решение примеров.
Цель: Дать понятие векторного и смешанного произведения векторов, рассмотреть их
свойства и приложения в задачах.
Ключевые слова.
Содержание лекции.
1. Векторным произведением двух векторов а и в называется третий вектор с, имеющий
следующие свойства:
а.
в.
с. Векторы а, в и с образуют правую тройку векторов, то есть, если смотреть из конца
вектора с на плоскость векторов а и в, то движение от вектора а к вектору в должно быть
против часовой стрелки.
2. Если векторы а и в заданы в координатной форме, то есть а ( x1y1z1) и в(x2y2z2), то
векторное произведение можно вычислить в виде определителя 3-го порядка
i
j
k
x1 y1 z1
а*в =
x2 y2 z2
2. Смешанным произведением трех векторов а, в и с называется произведение, в котором
первые два вектора умножаются векторно, а на третий вектор скалярно.
Если векторы а, в и с заданы своими координатами а(x1 y1 z1), в(x2 y2 z2),
с(x3 y3 z3), то смешанное произведение можно вычислить в виде определителя 3-го
порядка:
x1 y1 z1
авс = x2 y2 z2
x3 y3 z3
3. Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом образовании:
Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
4. Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
5. Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
6. Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Лекция № 15.
Тема: Уравнения прямой линии на плоскости.
Содержание:
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку.
2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
3. Уравнение прямой в отрезках.
4. Общее уравнение прямой, его исследование.
Цель: Рассмотреть разные виды уравнений прямой на плоскости, научиться составлять эти
уравнения и приводить их к общему уравнению.
Ключевые слова.
Содержание лекции.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид у=кх+в, где в -угловой
коэффициент прямой. Используя это уравнение, удобно строить график прямой линии на
плоскости.
2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку М(х0у0) в заданном направлении
имеет вид: у-у0=К (х-х0), где К-угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона
данной прямой к оси Ох, М(х0у0) – точка с заданными координатами.
3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(х1у1) и М2(х2у2) имеет вид:
х х1
х2 х1
у у1
.
у2 у1
4. Уравнение прямой в отрезках : х/а+у/в=1, где а и в - отрезки, отсекаемые данной прямой на
осях координат Ох и Оу. Следовательно, прямая проходит через точки М 1(а,0) и М2(0, в),
лежащие на осях координат, и для вывода уравнения можно использовать уравнение п. 3.
5. Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0, где А,В – коэффициенты при переменных,
С - свободный член. Каждое из рассмотренных выше уравнений можно свести к общему
уравнению.
Исследование общего уравнения.
а. С=0, у =-А/В*х –уравнение прямой с угловым коэффициентом К=-А/В, проходящей
через начало координат;
в. А=0, у = -С/В - уравнение прямой, параллельной оси Ох.
с. В=0, у = -С/А - уравнение прямой, параллельной оси Оу.
д. А=С=0, у =0 - уравнение оси Ох
е. В=С=0, х =0 - уравнение оси Оу.
6. Пример 1. Составить уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки
(х1,у1) и В (х2,у2):
х х1
у у1
.
х2 х1
у2 у1
А
Выбирая в качестве данных точек А (3;0), B (-5;6), будем иметь :
х3
у0
. или 6 (х-3) = -8у, откуда следует, что уравнение стороны АВ имеет
53
60
вид : 3х + 4у – 9 = 0.
Пример 2.
Даны вершины A (3;0), B (-5;6), С (-4;1) треугольника АВС.
Нейти: 1) длину стороны АВ;
2) косинус внутреннего угла A;
3) Уравнение медианы, проведённой из вершины C
4) Уравнение высоты, опущенной из вершины C;
5) Длину этой высоты;
6) Точку пересечения высот. Сделать чертёж.
Решение: 1)При нахождение длины стороны AB воспользуемся формулой для вычисления
расстояния между двумя точками или, что тоже самое, длины вектора AB:
|AB| = ( А, В)
5 321 6 02
100 10 ед.
2)Внутренний угол при вершине A есть угол, Образованный векторами AB, АС,
Совпадающими со сторонами ABC . Поэтому исходя из определения скалярного
произведения векиторов, можно сначало выделить cos А , а затем, пользуясь таблицей
для значении тригонометрических функций, найти величину угла А в радианах. При
этом косинус внутреннего угла вычисляется по формуле: cos А =
АВ АС
АВ АС
Определим координаты и длин векторов, входящих в последнюю формулу. Имеем:
АВ = (хв – ха; ув – уа) = (-5-3; 6-0) = (-8;6);
АС = (хс – ха; ус – уа) = (-4-3; 1-0) = (-7;1);
82 6
( А, В) 72 12
8 7 6 1
cos А =
АВ = ( А, В)
100 10
АВ =
50 5 2 ед.
Тогда
10 5 2
62
50 2
31
25 2
31 2
.
50
31 2
50
3) медиана СD делит сторону АВ или вектор АВ пополам. Поэтому сначала найдём
координаты точки D:
х xB 3 5
у уB 0 6
хD A
1;
хD A
3;
2
2
2
2
х4
у1
Медиана проходит через точки С (-4;1) и D ( -1;3), её уравнение имеет вид:
,
1 4 3 1
или 2(х + 4) = 3( у – 1), откуда окончательно
2х – 3у + 11 = 0 есть уравнение медианы СD.
Отсюда А = arccos
4) Высота СЕ перпендикулярна к АВ, поэтому векторы СЕ и АВ ортогональны.
Обозначим через х,у координаты точки Е, найдём координаты векторов СЕ = (х + 4; у – 1)
АВ = (-8;6) и теперь, пользуясь условием ортогональности двух векторов, т.е. что их
скалярное произведение равно нулю, получим уравнение высоты:
-8 (x + 4) + 6 (y – 1) = 0 4x – 3y + 19 = 0 .
Рекомендуемая литература:
Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция № 16.
Тема: Уравнения прямой линии на плоскости.
Содержание:
1. Угол между двумя прямыми.
2. Условия параллельности двух прямых.
3. Условия перпендикулярности двух прямых.
4. Решение задач.
Цель:
Научиться вычислять угол между двумя прямыми на плоскости, определять
параллельные и взаимно перпендикулярные прямые.
Ключевые слова.
Содержание лекции.
1. Угол между двумя прямыми вычисляется по формуле ????????????
2. Условия параллельности двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом:
к1 =к2 Если прямые заданы общими уравнениями, то условием параллельности является
пропорциональность коэффициентов: А1/А2=В1/В2
3. Условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловым
коэффициентом: к2 = -1/ к1
Если прямые заданы общими уравнениями, то условием
перпендикулярности является А1 В1 +А2В2=0.
Рекомендуемая литература:
Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
1.
2.
3.
4.
Лекция № 17.
Тема: Прямая и плоскость в пространстве.
Содержание:
Уравнение прямой в пространстве.
Общее уравнение плоскости, его исследование.
Прямая и плоскость.
Примеры.
Цель: Рассмотреть разные виды уравнений прямой линии в пространстве, научиться составлять
уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М0 (x0, y0, z0) и имеющей заданный
нормальный вектор N(A,B,C).
Ключевые слова.
Содержание лекции.
1. Прямую в пространстве можно представить как линию пересечения двух плоскостей:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку М(х 0у0z0) и имеющей направляющий
вектор s(m,n,k):
(Х-Х0)/ m =(У-У0)/ n = (Z-Z0)/ k
2. Пусть плоскость Р проходит через точку М0 (x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N=(A,B,C).
Эти условия определяют единственную плоскость в пространстве. Вектор N называют
нормальным вектором плоскости Р: N Р.
Пусть М (x, y, z) – текущая точка плоскости.
Рассмотрим вектор M 0 M = (x-x0, y-y0, z-z0), тогда M 0 M N (взаимно перпендикулярны)
и их скалярные произведение равно нулю: ( M 0 M N ) = 0.
В координатной форме скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений
их составных координат: A (x-x0) + В (у-у0) + С (z-z0) = 0. (1)
Получили уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) перпендикулярно
вектору N (A, B, C) – нормальный вектор.
Раскроем скобки: Ax – Ax0 + By – By0 + Cz – Cz0 = 0
Ax + By + Cz + (-Ax0 - By0 – Cz0) = 0
Обозначим D = -Ax0 -By0 -Cz0
Тогда уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0
(2), где
А, В, С – коэффициенты, D – свободный член.
Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой.
Тогда уравнение (2) называется общим уравнением плоскости.
Условие параллельности двух плоскостей: Р1Р2
Р1: A1x + B1y + C1z + D = 0
A1 B1 C1
- пропорциональны. коэффициенты при переменных
A2 B2 C 2
P2: A2x + B2y + C2z + D = 0
Рекомендуемая литература.
Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 18.
Тема: Прямая и плоскость в пространстве.
Содержание:
1. Угол между прямой и плоскостью.
2. Условия параллельности прямой и плоскости.
3. Условия перпендикулярности прямой и плоскости.
4. Примеры.
Цель: Рассмотреть разные виды уравнений прямой линии в пространстве, научиться составлять
уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М0 (x0, y0, z0) и имеющей заданный
нормальный вектор N(A,B,C).
Ключевые слова.
Содержание лекции.
Условие перпендикулярности двух плоскостей: Р 1 и Р2
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей:
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C 2 z D2 0
Если прямая параллельна направляющему вектору S (m,n,p) и проходит через точку
получим канонические уравнения прямой линии в пространстве:
x x1
y y1
z z1
m
n
p
М1 (x1,y1,z1),то
(3)
Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3;0;4) и имеющей нормальный вектор
N (2;4;5) .
A (x - x) + B (y - y) + C (z - z) = 0
N ( A, B, C ) = N (2;4;5)
x = - 3, y = 0, z = 4 -2 (x - (- 3)) + 4 (y - 1) + 5 (z - 4) = 0
Построить -2 (x + 3) + 4 (y - 1) + 5 (z - 4) = 0
-2x – 6 + 4y – 4 + 5z – 20 = 0
2x – 4y – 5z + 6 + 4 + 20 = 0, 2x – 4y – 5z + 30 = 0 ,
x = -15; y =
15
; z=6
2
Рекомендуемая литература.
Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 19.
Тема: Кривые 2-го порядка.
Содержание:
1. Понятие кривой 2-го порядка, ее общее уравнение.
2. Канонические уравнения окружности.
3. Построение окружности по ее каноническому уравнению.
4. Построение окружности по ее общему уравнению..
5. Решение задач.
Цель: Рассмотреть разные виды уравнений прямой линии в пространстве, научиться составлять
уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М0 (x0, y0, z0) и имеющей заданный
нормальный вектор N(A,B,C).
Ключевые слова.
Содержание лекции.
Всякая линия, которая в некоторой системе координат описывается уравнением 2-й степени
относительно переменных х и у, называется кривой 2-го порядка.
Уравнения кривых II – го порядка – это уравнения 2-й степени, содержащие х2, у2 и ху.
1. Окружность и ее каноническое уравнение.
1. Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат О(0,0):
Х2+У2= R2.Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке С(а,в):
(Х-а)2+(У-в)2= R2.
2.
Имеем окружность с центром в т-ке С (х0,у0) и радиусом R.
R
R CM ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 R 2
М(х,у)
(1) (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 - уравнение окружности с центром в
точке С (х0,у0) и радиусом R.
Уравнение (1) называется нормальным уравнением окружности.
Уравнение окружности R с центром в начале координат:
x0=y0=0 x2 + y2 = R2.
С(х 0,у 0)
Примеры: 1) построим (х + 3)2 + (у – 1)2 = 16 .
Рассмотрим уравнение II степени с двумя переменными в общем
виде:
(Ax2 + Cy2 + Bxy + Dx + Ey + F = 0).
Из уравнения (1): x2 – 2xx0 + x02 + y2 – 2yy0 + y02 =R2
x 2 y 2 ( 2 x 0 ) x ( 2 y 0 ) y x 02 y 02 R 2 0
B
C
D
(2) Ax + Ay + Bx +Cy + В = 0 - общее уравнение окружности
Чтобы из общего уравнения окружности (2) получить нормальное уравнение (1), надо выделить в
уравнении (2) полные квадраты по переменным х и у, пользуясь формулами сокращенного умножения:
2
2
(a b) 2 a 2 2ab b 2
Пример. Дано общее уравнение кривой: x2 + y2 - 4x + 12y + 31 = 0. Найти координаты центра окружности и
ее радиус, построить эту окружность.
(x2 + 4x) + (y2 + 12y) + 31 = 0
(x2 – 2 (2x) + 22 – 4) + (y2 + 2 (6y) + 62 – 36) + 31 = 0
(x -2)2 – 4 + (y+6)2 – 36 + 31 = 0
(x – 2)2 + (y + 6)2– 40 + 31 = 0
(x – 2)2 + (y + 6)2 = 9
(x – 2)2 + (y + 6)2 = 32
Центр О (2;-6), R = 3
Задача 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2;-4) и центр окружности x2 + 6x + y2 –
2y + 2 = 0
Решение: найдем координаты центра окружности
(x + 2 (3x) + 3 – 9) + (y – 2y + 1 – 1) + 2 = 0
(x + 3) + (y – 1) = 8; С (-3;1)
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки: А (2;-6) и С(-3;1)
x x1
y y1
;
x 2 x1
y 2 y1
7 (x - 2) = - 5 (y + 6);
7x + 5y + 16 = 0
x2
y6
;
32
1 6
x2
y6
5
7
7x – 14 = - 5y – 30;
Задача 3. Составить уравнение окружности с центром в точке С (-4;3), касающейся оси
ОХ.
R = 3;
y
(x + 4)2 + (y – 3)2 = 9
R
3
С(-4;3)
4
x
Задача 4. Найти радиус окружности, проходящей через точку М (-6;10) и имеющей центр
О (0;2)
R MO OM
36 64
( 6 0) 2 (10 2) 2
100 10
R = 10
M
O
R
x
y
Рекомендуемая литература.
Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 20.
Тема: Кривые 2-го порядка. Эллипс.
Содержание:
1. Каноническое уравнение эллипса.
2. Основные параметры эллипса.
3. Построение эллипса по его каноническому уравнению.
4. Общее уравнение эллипса.
5. Решение задач.
Цель:
Ключевые слова.
Содержание лекции.
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний r1 и r2 от
каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина
постоянная, равная 2а.
Из определения эллипса следует, что r1+r2=2а. Обозначим 2с – расстояние между
фокусами. Параметры а, в, и с связаны между собой соотношением а2-в2=с2 , где а и в – полуоси
эллипса.
Используя введенные параметры, выведем каноническое уравнение эллипса х2/а2+у2/в2=1.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси:
Е=2с/2а=с/а.
Эксцентриситет эллипса характеризует степень сжатия (растяжения) эллипса вдоль оси Оу.
Если е=0, то эллипс вырождается в окружность. Радиус-векторы текущей точки связаны с
эксцентриситетом формулами: r1 =а-ех, r2 =а+ех.
Рекомендуемая литература.
Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 21.
Тема: Кривые 2-го порядка. Гипербола..
Содержание:
1. Каноническое уравнение гиперболы.
2. Основные параметры гиперболы.
3. Построение гиперболы по его каноническому уравнению.
4. Решение задач.
Цель:
Ключевые слова.
Содержание лекции.
Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых
разность расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная,
равная 2а.
Фокусы имеют координаты F1(с,0) и F2(-с,0).
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид х2/а2-у2/в2=1.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине
действительной оси: е = 2с/2а = с/а.
Из соотношения а2+в2=с2 , следует , что эксцентриситет характеризует степень сжатия
(растяжения) гиперболы вдоль оси Оу.
Рекомендуемая литература.
Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 22.
Тема: Кривые 2-го порядка. Парабола.
Содержание:
5. Каноническое уравнение параболы.
6. Основные параметры параболы.
7. Построение параболы по его каноническому уравнению.
8. Решение задач.
Цель:
Ключевые слова.
Содержание лекции.
Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных о данной
прямой, называемой директрисой и от данной точки, называемой фокусом.
Для составления уравнения параболы выбираем систему координат, ось абсцисс
проводим через фокус F перпендикулярно директрисе, ось ординат – перпендикулярно оси Ох
через середину расстояния р между фокусом и директрисой. Пусть М(х,у) – текущая точка
параболы, F(р/2; 0) – ее фокус, N(-р/2;0) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М
на директрису.
Используя определение параболы, выведем каноническое уравнение:
2
У = 2рх. Т.к. р - положительно, то парабола определена для положительных х, парабола
расположена в правой полуплоскости.
Рекомендуемая литература.
Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 23.
Тема: Приведение кривых 2-го порядка к каноническому виду.
Содержание:
1. Общее уравнение кривой 2-го порядка
2. Приведение к каноническому виду.
3. Примеры.
Цель:
Ключевые слова.
Содержание лекции.
Общее уравнение кривой 2-го порядка имеет вид:
Ах2+Вху+Су2+Дх+Еу+ F=0
Чтобы построить кривую, заданную общим уравнением, необходимо привести его
к каноническому виду.
Если в уравнении содержится произведение х*у, то необходимо произвести
поворот координатных осей на специально выбранный угол, что позволит избавиться от этого
произведения. Если в уравнении произведение отсутствует, то его можно привести к
каноническому виду с помощью параллельного переноса координатных осей.
Пример 1. Привести к каноническому виду и построить кривую 4Х22
16Х+9У +54У+61=0.
Решение. Выделим полные квадраты при переменных х и у:
4(х2-4х)+9(у2+6у)+61=0, или 4(х2-4х+4)-16+9(у2+6у+9)-81+61=0
4(х-2)2+9(у+3)2=36, разделим обе части на 36, получим
(х-2)2 /9+(у+3)2/4=1.
Параллельный перенос можно осуществить по формулам:
х-2=Х и у+3=У.
Новыми осями являются прямые х=2 и у=-3, начало координат новой системы находится в
точке О(2,-3). Уравнение кривой в новых координатах: Х2/9+У2/4=1.
Следовательно, данная кривая – эллипс с полуосями а=3, в=2.
Пример 2. Привести к каноническому виду и построить кривую у=-х2+4х.
Пример 3. Каков геометрический смысл уравнения х2-6х-у2-2у+8=0 ?.
Рекомендуемая литература.
Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 24.
Тема: Поверхности 2-го порядка. Эллипсоид. Параболоиды.
Содержание:
1. Постановка задачи.
2. Эллипсоид и его каноническое уравнение.
3. Исследование уравнения эллипсоида методом сечений.
4. Исследование канонического уравнения параболоида методом сечений.
5. Примеры.
Цель: Изучить вид поверхности 2-го порядка методом параллельных сечений.
Ключевые слова.
Содержание лекции.
1. По данному уравнению поверхности в прямоугольной системе координат выяснить вид
этой поверхности и схематически построить ее. В основу решения этой задачи положен
метод сечений. Для этого находим последовательно линии пересечения исследуемой
поверхности координатными плоскостями и параллельными им. Полученные в
пересечении линии дают представление о форме изучаемой поверхности.
2. Эллипсоид и его каноническое уравнение.
Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид: х2/а2+у2/в2 +z2/c2=1. Определим форму
этой поверхности. Линия ее пересечения с плоскостью хОу находится решением системы:
х2/а2+у2/в2 +z2/c2=1
z=0
и представляет собой эллипс х2/а2+у2/в2 =1 с полуосями а и в.
В сечении поверхности другими координатными плоскостями х=0 и у=0
получаются соответственно эллипсы у2/в2 +z2/c2=1 и х2/а2+z2/c2=1.
В сечении параллельными плоскостями у=+h и у= -h, получаем в сечении линии
х2/а2+z2/c2=1- h2/в2.
Аналогично, сечения данной поверхности плоскостями z= h и х= h также дают эллипсы.
Исследуема поверхность называется эллипсоидом. Если две полуоси эллипсоида равны
(например, а=в), он называется эллипсоидом вращения. Если все три полуоси равны между
собой а=в=с, то эллипсоид называется сферой х2+у2 +z2= а2, где а-радиус сферы.
3. Параболоиды.
Рассматривают два вида параболоидов: эллиптический параболоид и гиперболический
параболоид.
Эллиптический параболоид имеет каноническое уравнение х 2/р+у2/q =2z, где р и q
положительны. Сечения плоскостями х=0 и у=0 являются параболами, а сечения
горизонтальными плоскостями z =h есть эллипсы. Если р= q, эти эллипсы являются
окружностями и поверхность называется параболоидом вращения.
Гиперболический параболоид имеет каноническое уравнение х 2/р-у2/q =2z, где р и
q положительны. В сечении плоскостью у=0 лежит парабола; в сечении плоскостями х= h –
также параболы; в сечении плоскостями z =h лежат гиперболы; плоскостью z=0 – две
пересекающиеся прямые.
Гиперболический параболоид имеет форму седла.
Рекомендуемая литература.
Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 25.
Тема: Поверхности 2-го порядка. Параболоиды.
Содержание:
1. Эллипсоид и его каноническое уравнение.
2. Исследование канонического уравнения параболоида методом сечений.
3. Примеры.
Цель: Изучить вид поверхности 2-го порядка методом параллельных сечений.
Ключевые слова.
Содержание лекции.
По данному уравнению поверхности в прямоугольной системе координат выяснить вид
этой поверхности и схематически построить ее. В основу решения этой задачи положен метод
сечений. Для этого находим последовательно линии пересечения исследуемой поверхности
координатными плоскостями и параллельными им. Полученные в пересечении линии дают
представление о форме изучаемой поверхности.
1. Эллипсоид и его каноническое уравнение.
Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид: х2/а2+у2/в2 +z2/c2=1. Определим форму
этой поверхности. Линия ее пересечения с плоскостью хОу находится решением системы:
х2/а2+у2/в2 +z2/c2=1
z=0
и представляет собой эллипс х2/а2+у2/в2 =1 с полуосями а и в.
В сечении поверхности другими координатными плоскостями х=0 и у=0
получаются соответственно эллипсы у2/в2 +z2/c2=1 и х2/а2+z2/c2=1.
В сечении параллельными плоскостями у=+h и у= -h, получаем в сечении линии
х2/а2+z2/c2=1- h2/в2.
Аналогично, сечения данной поверхности плоскостями z= h и х= h также дают эллипсы.
Исследуема поверхность называется эллипсоидом. Если две полуоси эллипсоида равны
(например, а=в), он называется эллипсоидом вращения. Если все три полуоси равны между
собой а=в=с, то эллипсоид называется сферой х2+у2 +z2= а2, где а-радиус сферы.
2. Параболоиды.
Рассматривают два вида параболоидов: эллиптический параболоид и гиперболический
параболоид.
Эллиптический параболоид имеет каноническое уравнение х 2/р+у2/q =2z, где р и q
положительны. Сечения плоскостями х=0 и у=0 являются параболами, а сечения
горизонтальными плоскостями z =h есть эллипсы. Если р= q, эти эллипсы являются
окружностями и поверхность называется параболоидом вращения.
Гиперболический параболоид имеет каноническое уравнение х 2/р-у2/q =2z, где р и
q положительны. В сечении плоскостью у=0 лежит парабола; в сечении плоскостями х= h –
также параболы; в сечении плоскостями z =h лежат гиперболы; плоскостью z=0 – две
пересекающиеся прямые.
Гиперболический параболоид имеет форму седла.
Рекомендуемая литература.
Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 26.
Тема: Поверхности 2-го порядка. Гиперболоиды. Цилиндры и конусы
Содержание:
1. Однополостный гиперболоид.
2. Двухполостный гиперболоид.
3. Исследование методом секущих плоскостей.
4. Цилиндры и конусы.
5. Линейчатые поверхности.
Цель: Изучить поверхности 2-го порядка – гиперболоиды, цилиндры и конусы - методом
параллельных сечений. Научиться строить эскиз поверхности 2-го порядка.
Ключевые слова.
Содержание лекции.
1. Однополостный гиперболоид.
Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид:
х2/а2+у2/b2-z2/c2=1
В сечении координатными плоскостями х=0 и у=0 лежат гиперболы, в сечениях
горизонтальными плоскостями z=h, z=-h лежат эллипсы.
Если а = b, поверхность называется однополостными гиперболоидом вращения.
2. Двуполостный гиперболоид.
Каноническое уравнение двухполостного гиперболоида имеет вид:
-x2/a2-y2/b2+z2/c2=1
Сечения координатными плоскостями х=0 и у= 0 дают гиперболы;
сечения плоскостями z=h,z=-h, где h>c – эллипсы.
Если а= b, поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения.
3. Цилиндры и конусы
Цилиндром называется поверхность, получаемая движением прямой параллельно
некоторой оси по кривой, называемой направляющей.
Будем рассматривать только цилиндры с образующими, параллельными какой-то
координатной оси.
В зависимости от направляющей цилиндры второго порядка могут быть
эллиптическими, гиперболическими и параболическими.
Их канонические уравнения имеют вид:
x2/a2+y2/b2 =1 - эллиптический цилиндр
x2/a2-y2/b2 =1 - гиперболический цилиндр
x2 = 2pz, где p>0, - параболический цилиндр
4. Конусом называется поверхность, образованная прямыми, проходящими через данную
точку и пересекающими данную кривую – направляющую конуса.
Каноническое уравнение эллиптического конуса имеет вид:
x2/a2+y2/b2-z2/c2 =1.
5. Линейчатые поверхности.
Поверхность, образованная движением прямой, называется линейчатой.
Примерами таких поверхностей являются цилиндры и конусы. Кроме того, среди
поверхностей второго порядка прямолинейными образующими обладают также
однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.
Наличие прямолинейных образующих используется в строительной технике.
Основоположником практического применения этого факта является известный русский
инженер Владимир Григорьевич Шухов. он осуществил конструкции мачт, башен и опор,
составленных из металлических балок, располагающихся по прямолинейным
образующим однополостного гиперболоида вращения. Высокая прочность таких
конструкций в соединении с легкостью, невысокой стоимостью изготовления и
изяществом обеспечивает широкое распространение их в строительстве.
Рекомендуемая литература.
Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 28.
Тема: Комплексные числа.
Содержание:
1. Понятие комплексного числа.
2. Арифметические операции над комплексными числами.
3. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
4. Примеры.
Цель: Освоить операции над комплексными числами в алгебраической и геометрической
форме.
Содержание лекции.
1. Понятие комплексного числа, его алгебраическая форма.
Определение.
Комплексным числом называется выражение вида z=x+iy, где х и у –
действительные числа, i– мнимая единица. Мнимая единица есть число, квадрат которого
равен -1, то есть, i = (-1)2.
Число x называется действительной частью, iy – мнимая часть комплексного числа.
Числа z=x+iy и z=x-iy называются сопряженными.
2. Арифметические операции.
1. Сумма (разность) комплексных чисел z1+z2=х1+х2 +i(y1+у2).
2. Произведение комплексных чисел z*z2 = (х1 х2 - y1у2 )+ i(х1 у2 - y1х2).
3. Делениие двух комплексных чисел.
Z1 /Z2 = ((х1 х2 + y1у2 )+ i(х2 у1 – х1y2))/( х22 + у22).
3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
4. Примеры.
Даны два комплексных числа Z1 = 12+ 5i, Z2=3-4i. Найти z1+z2, Z1*Z2 , Z1 /Z2
Решение. 1. z1+z2 = 15 +2 i.; z1+z2=9+9 i.
2. Z1*Z2 =(12+ 5i)( 3-4i)=36+15i -48i+20i2=56-33i
3. Z1 /Z2=(12+ 5i)( 3+4i)/ ( 3-4i) (3+4i)= (36+15i +48i+20i2)/(9-16 i2)=
(16+63 i)/25=0,64+2,52 i.
Для геометрического изображения действительных чисел используются точки
числовой прямой, а для изображения комплексных чисел служат точки координатной
плоскости. Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу
z=x+iy ставится в соответствие точка плоскости с координатами х и у.
х2 + у2
Рекомендуемая литература.
Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 29.
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа.
Содержание.
1. Тригонометрическая форма комплексного числа.
2. Свойства арифметических операций над комплексными числами.
3. Примеры.
Содержание:
1. Тригонометрическая форма комплексного числа.
С каждой точкой Z(х,у) комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки
Оz, длина которого называется модулем комплексного числа z и обозначается |z|, то
есть, r = |z|= х2 у 2
Угол φ, образованный радиус-вектором Оz с осью Ох , называется аргументом
комплексного числа и обозначается Аrg z. Из значений φ= Аrg z выделяется главное
значение аrg z, лежащее в интервале (-π, π].
Очевидно, что х= r cos φ, у= rsin φ. Следовательно, комплексное число можно
представить в тригонометрической форме
z= r(cos φ+ i sin φ).
2. Свойства арифметических операций над комплексными числами.
1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиус-векторы складываются
(вычитаются) по правилу параллелограмма.
2. Модуль произведения (частного)двух комплексных чисел равен произведению
(частному) модулей этих чисел, а его аргумент – сумме (разности) аргументов этих
чисел.
Если z = z1z2 , то |z|= r1 r2 = |z1||z1|, Аrg z =φ1 +φ2 = Аrg z1 +Аrg z2
Если z = z1/z2 , |z|= r1/ r2= |z1| / |z1|, Аrg z = φ1 -φ2 = Аrg z1 -Аrg z2
Геометрическое умножение числа z1 на число z2 означает изменение длины
радиус-вектора r1 в r2 раз и его поворот вокруг точки О против часовой стрелки на
угол φ1 ( или φ2).
3. Примеры.
Комплексные числа z1=-1+i и z2= 3 +i представить в тригонометрической форме и
найти z1z2, z1/z2.
Решение. Найдем модуль комплексного числа по формуле r = |z|= х2 у 2
r = |z|= х2 у 2 = (1)2 1 = 2 , а из соотношений cos φ =-1/2, sin φ = 1/2
получим аргумент числа z1 (берем его главное значение):
3
3
3
φ1=arg z1=
, т.е. z1= 2 ( cos
+ i sin
).
4
4
4
Аналогично r2=|z2| =
3 1 =2, cos φ=
3 /2, sin φ2=1/2, т.е. φ2=arg z2= π/6 и
z2=2(cos π/6+ i sin π/6).
Теперь по формулам (16.7) и (16.8)
3
3
11
11
)+ i sin(
) ]=2 2 (cos
z1z2= 2 2 [cos (
+ i sin
),
4 6
4 6
12
12
2
2
3
3
7
7
)+ i sin(
) ]=
z1/ z2=
[cos (
(cos
+ i sin
).
4 6
4 6
12
12
2
2
Рекомендуемая литература.
Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Лекция 30.
Тема: Показательная форма комплексных чисел.
Содержание:
1. Показательная форма комплексного числа.
2. Формула Муавра.
3. Формула Эйлера.
4. Упражнения.
Содержание лекции.
1. Показательная форма комплексных чисел. Формула Муавра.
Так как в соответствии с формулами (16.7) и (16.8) при умножении комплексных
чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу
возведения комплексного числа в натуральную степень n, известную как формула
Муавра:
[r(cos φ+ i sin φ)]n=rn(cos nφ+ i sin nφ).
Пример. Найти (-1+ i)20.
3
3
Решение. В примере 16.2 мы получили, что -1+ i= 2 ( cos
+ i sin
). Поэтому
4
4
по формуле Муавра:
3
3 20
3
3
(-1+ i)20=[ 2 ( cos
+ i sin
)] =( 2 )20 [cos (20
)+ i sin (20
)] =
4
4
4
4
=1024(cos 15π+ i sin 15π)=1024(-1+0i)=-1024
Обратимся к извлечению корня из комплексного числа. Пусть
n
z =ρ(cos ψ+ i sin ψ).
Тогда используя определение корня и формулу Муавра, получим
z=[ ρ(cos ψ+ i sin ψ)]n= ρ n(cos nψ+ i sin nψ)
или
r(cos ψ+ i sin ψ)= ρ n(cos nψ+ i sin nψ).
Отсюда следует, что
ρn=r и nψ=φ+2πk, k Z.
2k
Итак, ρ= n r и ψ=
, k Z, т.е.
n
2k
2k
n
+ i sin
), (16.10)
z = n r (cos i sin ) = n z (cos
n
n
где k=0,1,2,…,n-1.
При k=n, n+1,...значения корня уже будут повторяться.
Таким образом, кореньn-ой степени из комплексного числа (не равного нулю)
имеет n различных значений.
2. Пример. Найти 3 1 i .
3
3
Решение. В примере 16.2 было получено z=-1+i= 2 ( cos
+ i sin
). По
4
4
формуле (16.10)
3 / 4 2k
3 / 4 2k
3
1 i = 3 2 ( cos
+ i sin
), k=0,1,2,
3
3
откуда получаем три значения корня
z1=( 3 1 i )1= 6 2 ( cos + i sin ),
4
4
11
11
z2=( 3 1 i )2= 6 2 ( cos
+ i sin
),
12
12
19
19
z3=( 3 1 i )3= 6 2 ( cos
+ i sin
).
12
12
На комплексной плоскости найденные значения корня представляют
равноотстоящие друг от друга точки z1, z2, z3, расположенные на окружности радиуса
6
2.
3. Формула Эйлера.
Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается
формулой Эйлера.
Eiφ= cos i sin .
Отсюда следует показательная форма комплексного числа:
z=reiφ,
где r=|z|, φ=Arg z.
В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в
тригонометрической, легко проводить операции умножения, деления, возведения в
степень, извлечение корня из комплексных чисел.
4. Упражнения.
.
1. Даны комплексные числа z1=5-12i, z2=-6+8i. Найти z1+ z2, z1- z2, z1z2, z1/z2.
2. Комплексные числа z1=1-i, z2=- 3 -i представить в тригонометрической форме и
найти z1z2 и z1/z2.
3. Найти z=(1+i)100/( 3 -i)50
4. Найти все значения 4 1
Рекомендуемая литература.
Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Практические занятия.
Практическое занятие 1.
Тема.Понятие матрицы. Операции над матрицами.
Содержание.
1. Понятие матрицы.
2. Виды матриц.
3. Основные операции над матрицами:
а. умножение матрицы на число
б. сложение (вычитание матриц)
в. произведение матриц,
г. транспонирование матрицы
4. Примеры.
Рекомендуемая литература:
6. Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Вопросы для самопроверки.
17. Какие матрицы А и В являются
согласованными?
A. Amn и Bnk
Amn и Bmk
C. Amk и Bnk
D. Ank и Bnk
B.
18. Какие две матрицы А и В можно
перемножить?
A. Согласованные
B. Прямоугольные
C. Одинаковой размерности
D. транспонированные
19. Какие две матрицы Аи В можно
перемножить?
A. Amk и B k n
B. Прямоугольные
C. Одинаковой размерности
D. транспонированные
20. Какие матрицы можно сложить?
3 2
4
, B , C 3 2 4 ,
А
1 0
6
1
Д
0
A.
B.
C.
D.
ВиД
АиВ
ВиС
АиД
21. Найти произведение матриц
3
А ,
6
2 0
B
7
4
A. Не существует
48
24
6
C.
45
B.
D. (48 45)
22. Матрица А называется невырожденной, если
A. А 0
А 1
C. А 1
D. А 0
B.
23. Найти произведение матриц:
= (4 1 3)
2
6
8
12 3 9
16
B.
24
A.
2
А и В
3
C. 16 24
D. Не существует
Практическое занятие 2.
Тема.
Содержание.
1. Понятие определителя.
2. Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.
3. Решение примеров.
205 Вычислить определитель:
Sin Cos
Cos
Sin
B.
C.
D.
а. -1
в. cos2a с. -2
d. -1
206. Вычислить определитель:
11. Чему равен определитель
е.1-sin2a
а. у2
е.1- а2
x2
x y
x y
1
в. 1- у2
с. -х2
d. 1+ у2 е. .х2+у2
208 Вычислить определитель:
6 0
2
3 7 1
3 2 1
а. 0
в. 12
с. 1
d. 3
209 Вычислить определитель:
0
2
2
е. -42
0 7
1 3
5
0 0 3
0 2 0
1 0
a b b2
1
a b
а. а2
в.2а2
с.2в2
d.1-а2
207. Вычислить определитель:
Прямоугольной
Транспонированный
Матрицы-строки
1
0
A. 6
B. -6
C. 0
D. 12
12. Вычислить определитель 4-го порядка
2 3 6 8
0 1 3 5
0 0 4 0
0 0
0
5
A. -40
B. -20
C. 0
D. 210
13. Найти алгебраическое дополнение А23 определителя
4 1
2 1
3
2
1
1
A.
B.
C.
D.
2
-9
18
9
24
9. Для какой матрицы существует определитель?
A. Квадратной
Практическое занятие 3.
Тема. Определители высших порядков.
Содержание.
1. Понятие минора и алгебраического дополнения.
2. Теорема Лапласа. Разложение определителя по элементам строки (столбца).
3. Решение примеров.
Рекомендуемая литература:
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах:
учебное
пособие
для
студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х частях.
Л.Я. Окунев Сборник задач по высшей алгебре, М., Просвещение, 1964
B. Из любой строки определителя можно
Вопросы для самопроверки.
1. Укажите верное свойство определителей:
A. Определитель не изменится, если из одной
строки вычесть другую, умноженную на
какое-либо число
вычесть столбец, при этом определитель не
изменится
C. Определитель равен нулю, если все элементы
главной диагонали равен нулю
D. Определитель равен нулю, если элементы
0 0 3
11. Чему равен определитель 0 2
0
1 0
0
E. 6
F. -6
G. 0
H. 12
12. Вычислить определитель 4-го порядка
2 3 6 8
0 1 3 5
0 0 4 0
0 0
0
побочной диагонали равны нулю
F. -20
G. 0
H. 210
13. Найти алгебраическое дополнение А23
4 1
определителя 2 1
1
E.
F.
G.
H.
2
3
2
1
-9
18
9
24
5
E. -40
Практическое занятие 4.
Тема. Обратная матрица.
Содержание.
1. Понятие обратной матрицы.
2. Условия существования обратной матрицы.
3. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
4. Примеры.
24. Найди обратную матрицу А-1 для
4 0
A
1 6
1
0
4
A.
1
6
24
4 1
6
B.
0 24
1
1
4
6
C.
24 1
4
D. Не существует
110. Какому условию удовлетворяет обратная матрица
A-1*A=A*A-1=E
A-1+A=E
25. Условие существования обратной матрицы
для А:
A. А 0
А 0
C. А 1
D. А 0
B.
26. Матрица А-1 называется обратной по
отношению к матрице А, если
A A1 A1 A E
1
1
B. A A A A
1
C. A E A
1
D. A E E A
A.
A-E=A-1
Практическое занятие 5.
Тема. Решение систем линейных уравнений.
Содержание.
1. Понятие системы линейных уравнений.
2. Метод Крамера.
3. Решение примеров.
111. Для каких систем применимо правило
Крамера
Для систем n линейных уравнений с n
неизвестными
Для систем m линейных уравнений с n
неизвестными
Для систем n линейных уравнений с m
неизвестными
Для нелинейных систем
112. Формула Крамера имеет вид
xi= xi/ , i=1,2,3…n
xi= xi* , i=12,3, …n
xi= / xi, i=1,2,3, … n
xi=( - xi)/2, i=1,2,3, …n
113. Система n линейных уравнений с n
неизвестными имеет единственное решение, если
0, 1 0, 2 0, …, n 0
=0, i 0, i=12,3, …n
0, ш=0, i=12,3, …n
=0, i=0, i=12,3, …n
114. Чему равен главный определитель
системы линейных уравнений
2х+3у=1
3х+5у=4 ?
1
4
-13
16
115. Чему равен вспомогательный определитель
Х системы линейных уравнений
2х+3у=1
3х+5у=4
Х = -7;
Х =5;
Х = -1;
Х = 8;
116. Чему равен вспомогательный определитель
У системы линейных уравнений
2х+3у=1
3х+5у=4
У=5
У=3
У=2
У=-2
117. Найти у из данной системы линейных
уравнений
2х+3у=1
3х+5у=4 по правилу Крамера :
у=5
у=3
у=-4
у=1
118. Найти х из данной системы линейных
уравнений
2х+3у=1
3х+5у=4 по правилу Крамера :
х= -7
х=3
х=-4
х=2
Практическое занятие 6.
Тема. Решение систем линейных уравнений
Содержание.
1. Матричная форма системы л.у.
2. Решение системы в матричном виде.
3. Примеры.
215 Решить систему линейных уравнений матричным методом:
.
x -2y +z =0
4x +5y –z =3
2x +y
=1
а. (0; 1; 2;)
д. (3,-3,2) в.(5,-5,2)
с.(0,-3,5)
d.
е.(-1,0,3)
216 Решить систему линейных уравнений матричным методом:
x1 +2x2 -3x3 =-2
x1 +x2 -2x3 =0
x1–x2 +x3 =5
а. (3; -1; 1;)
в.(4,-1,3)
с.(5,0,2)
d.(-3,3,4)
Практическое занятие 7.
Тема. Решение систем линейных уравнений
Содержание.
1. Метод Гаусса.
2. Понятие расширенной матрицы системы.
3. Прямой и обратный ход метода Гаусса.
4. Примеры.
215 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
е.(2,-4,6)
.
x -2y +z =0
4x +5y –z =3
2x +y
=1
а. (0; 1; 2;)
д. (3,-3,2) в.(5,-5,2)
с.(0,-3,5)
е.(-1,0,3)
d.
216 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
x1 +2x2 -3x3 =-2
x1 +x2 -2x3 =0
x1–x2 +x3 =5
Практическое занятие 8.
Тема. Векторы на плоскости и в пространстве.
Содержание.
1. Координаты и проекции вектора.
2. Разложение вектора по ортогональному базису.
3. Скалярное произведение и его свойства.
4. Примеры.
Практическое занятие 9.
Тема. Векторное и смешанное произведения векторов.
Содержание.
1. Определение векторного произведения и его свойства.
2. Векторное произведение в координатной форме.
3. Смешанное произведение векторов и его свойства.
4. Решение примеров.
Практическое занятие 10.
Тема. Векторы в n-мерном пространстве.
Содержание.
1.
Векторное пространство Rn
2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
3. Разложение вектора в произвольном базисе.
Вопросы для самопроверки к темам 8,9,10.
29. При каком m векторы а 3; 1 и в 9; m
линейно зависимы?
A. -3
B. 3
C. 1/3
D. 1/9
30. Условие линейной независимости трех векторов в
пространстве R3:
A. определитель, составленный из координат,
отличен от нуля
B. определитель, составленный из координат, равен
нулю
C. векторы должны лежать в одной плоскости
D. координаты векторов должны быть
пропорциональны
31. Какую систему векторов можно принять за базис?
A. Линейно независимых векторов
B. Коллинеарных векторов
C. Компланарных векторов
D. Имеющих ненулевые координаты
32. При каких
a (6,
x
и
y
векторы
х, 4, 12)
и
b(3, 5,
у, 6)
линейно зависимы?
A. х=10, у=-2
B. х=5, у=10
C. х=1, у=5
D. х=-5, у=2
33. Какая пара векторов
а 1; 4 , в1; 4 ,
с4; 2 , d 1 ; 2
2
зависимой?
A.
B.
C.
D.
аиd
d иc
аив
виd
является линейно
34. Чему равны координаты вектора
A.
B.
C.
D.
a.
b.
c.
d.
i
m k
4
(1/4, 0, -1)
(4, 0, -1)
(1/4, -1)
( 0, 4, -1)
900
00
1800
450
43. Найти векторное произведение векторов
и
b0.2,1
35. Найдите скалярное произведение векторов
a.
3i 4 j 8k
n 3i k
b.
2i j 3k
c.
3i j 8k
m 2jk
A.
B.
C.
D.
и
-1
6
-5
4
36. При каком m векторы
b j mk
a.
b.
c.
d.
a 2i 6 j 3k
и
a.
m=2
m=-2
m=6
m=1/2
b.
c.
a 6 j 8 k .
38. При каком m векторы
a 2i 6 j 3k
b j mk
произведения
и
m
b.
1
m
3
c.
m=2
d.
m
1
2
m 3i
и
a. 900
b. 00
c. 450
d. 1800
40. Найти косинус угла между векторами
и
, в, с
образуют правую тройку
d
a (0,-3,1),
n (0,0,3)
n
m (4,0,-3)
(-1/2,6,-4)
a. 10
b. 12
c. -24
d. 8
49. При каком значении m векторы
с =3 i -4 j +2 k
d =2 j +m k
i
k.
3
42. Чему равен угол между векторами
векторах m (4,0,1) и
a. S=6
b. S=12
c. S=144
d. S=18
и
b 8i 6k .
a.
b.
c.
d.
4/3
-3/2
5/3
3/4
n 6 j ?
d.
48. Найти скалярное произведение векторов
a. 16/25
b. 32/5
c. 1/5
d. -25/16
41. Найти скалярное произведение векторов
1
j
2
с S параллелограмма
a. 15
b. -5
c. 0
d. 12
47. Найти площадь треугольника, построенного на
n 4 j
c 4i
c.
b (1,0,4), c (0,0,5)
4
3
и
b.
46. Найти смешанное произведение векторов
39. Чему равен угол между векторами
a 3i 4 j
* ?
в
с , с в
a.
коллинеарны?
a.
a 6,0,0 , b0,3,0 , c0,0,18 .
S 18
S 18
S 9
S 6
d.
45. Какое утверждение не справедливо для векторного
37. Найти модуль вектора
a. 10
b. 5
c. 16
d. 14
a.
b.
c.
d.
d. 4i 2 j k
44. Найти площадь параллелограмма, построенного на
векторах:
взаимно перпендикулярны?
a4,0.1
взаимно перпендикулярны?
m=4
m=-2
m=1/4
m=2
50. Какая пара векторов образует базис в
m
i
3
a1 (3;-6), b1 (1;-2); a 2
и
a3
(1;-3),
b3 (-3;7); a 4
(5;-10),
(0;4),
b4
b2
(-1;2)
R2 ?
(0;2);
и
a.
a3 и b3
b.
a1 и b1
c.
a 4 и b4
d. a 2 и b2
51. Вычислить смешанное произведение векторов
53. Какие три из заданных векторов компланарны?
а(2,3,-1), в(-2,0,5), с(1,-1,3), d(1,9,-11)
a. a,c,d
b. b,c,d
c. a,b,d
d. a,b,c
54. Какие три вектора называются компланарными?
а. лежащие в одной плоскости
b. лежащие на одной прямой
с. Перпендикулярные к данной плоскости
d. образующие правую тройку
a (1,-1,2); в(3,1,-1); с(-2,4,2)
а. 38
в. 46
с. 30
d. 120
d.
m=
1
6
56. Найти скалярное произведение векторов
а(-2,2,1,4) и b(4,5,-1,-2)
a. -5
b. -12
c. 16
d. 6
57. Найти скалярное произведение векторов
55 При каком m векторы
m(3,-2,4) и n(1,-2,
а= mi – 3j + 2k и b=i+2j-mk ортогональны?
a. m =-6
b. m=3
c. m=-3
a.
b.
c.
d.
1
)
2
9
18
-12
20
Практическое занятие 11.
Тема. Прямая линия на плоскости и в пространстве.
Содержание.
1. Уравнения прямой на плоскости.
2. Уравнения прямой в пространстве.
3. Общее уравнение плоскости и его исследование.
4. Примеры.
58. Найти точку пересечения прямых 2x-3y-11=0 и x+2y-2=0
a. x=4 , y=-1
b. x= -3, y=1
c. x=3, y=5
d. x=4, y=2
59. Найти точку пересечения прямых 3x-y-5=0 и x-2y=0
a. x=2, y=1
b. x=-4, y=3
c. x=6, y=0
d. x=-4, y=3
62. Укажите нормальный вектор плоскости
2x z 11 0
N 2, 0, 1
A.
B.
C.
D.
N 2, 1, 11
N 2, 1, 11
N 0, 2, 11
63. Составить упражнение плоскости, проходящий через точку
60. Укажите нормальный вектор плоскости
3y z 5 0
A.
B.
C.
D.
N 0, 3, 1
N 1, 3, 1
N 3, 1, 5
N 3, 1, 5
61. Укажите нормальный вектор плоскости
x y 3z 4 0
A.
N 1, 1, 3
B.
N 0, 1, 3
C.
N 1, 3, 4
D.
N 1, 1, 4
M 0 0, 2, 0 и имеющий нормальный вектор
N 3, 0, 1
A. 3x z 0
B. 3x 4 z 0
2x 3y 0
C.
D. 2 x y z 0
64. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 5, 0, 1 и имеющей нормальный вектор
N 2, 4, 0
x 2y 5 0
A.
2 x y 10 0
B.
2x 4 y 5 0
C.
D. 2x 4z 1 0
65. Нормальный вектор плоскости – это вектор:
A. перпендикулярный к плоскости
B. параллельной плоскости
C. лежит в данной плоскости
D. под углом 450 к плоскости
66. Плоскость
A.
B.
C.
D.
Ax By Cz 0 :
проходит через начало координат
параллельна плоскости ХОУ
параллельна оси Ох
проходит через ось Оz
67. Плоскость By+Cz+D=0
A. параллельна оси Ох
B. проходит через ось Оx
C. параллельна плоскости ХОУ
D. параллельна плоскости ХОZ
a)
Cos ( А1 А2 В1 В2 С1С2 )
( А1 А2 В1 В2 )
b)
Cos
c)
Sin ( А1 B1 А2 B2 )
d)
Sin ( А1 B1 А2 B2 )
А12 В12
А12 В12
А22 В22
68. Плоскость Ax+Cz+D=0
A. параллельна оси Оy
B. параллельна плоскости ХОУ
C. проходит через ось Oy
D. совпадает с плоскостью ХОУ
77. Условие параллельности двух плоскостей:
69. Плоскость Ax+By+D=0
A. параллельна оси Оz
B. параллельна оси Ох
C. проходит через начало координат
D. параллельна плоскости ХОZ
b)
70. Если в общем управлении плоскости А=0, В=0, то
плоскость
A. параллельна плоскости ХОУ
B. параллельна оси Оz
C. проходит через ось Оz
D. проходит через начало координат
a)
c)
d)
А12 В12 С12 А22
А1 В1 С1
А2 В2 С 2
А1 А2 С1
В1 В2 С 2
А1 А2 В1 В2 С1С2 0
А1 А2 В1 В2 С1С2 0
78. Условие перпендикулярности двух плоскостей
a)
b)
А1 А2 В1 В2 С1С2 0
А1 А2 В1 В2 С1С2 0
А1 В1 С1
А2 В2 С 2
А1 А2 С1
В1 В2 С 2
71. Если в общем управлении плоскости А=0 и С=0, то
плоскость:
A. параллельна координатной плоскости ХОZ
B. параллельна оси Оz
C. проходит через ось Оz
D. параллельна оси Оy
c)
72. Если в общем управлении плоскости В=0 и С=0, то
плоскость:
A. параллельна координатной плоскости УОZ
B. параллельна оси Оy
C. проходит через ось Оz
D. параллельна оси Ох
79. Составить уравнение плоскости проходящий через М0 (5, 0,
73. Если в общем управлении плоскости А=0 и D=0, то
плоскость:
A. проходит через ось Ох
B. параллельна оси Ох
C. параллельна координатной плоскости ХОZ
D. проходит через ось Оz
74. Если в общем управлении плоскости В=0, Д=0, то
плоскость:
a) Проходит через ось ОУ
b) параллельна оси ОУ
c) параллельна плоскости ХОУ
d) проходит через ось OZ
75. Если в общем управлении плоскости С=0, Д=0, то
плоскость
a) Проходит через ось OZ
b) Проходит через ось ОХ
c) параллельна оси OZ
d) параллельна плоскости ХОУ
d)
-1) с нормальным вектором
x 2z 3 0
x 2z 5 0
c) 2 x y 1 0
d) 3 y 2 z 1 0
N (2, 0, 4)
a)
b)
80. Найти угол между прямыми
y 2 x 3 , и
y 3x 5
a) 135о
b) 45о
c) 90о
d) 0о
81. Найди координаты середины отрезка АС, если А(-4; -2);
С(6; -4)
a)
b)
c)
d)
х 1; у 3
х 2; у 4
х 1; у 4
х 5; у 1
76. Угол между плоскостями вычисляется по формуле:
82. Найти расстояние между точками М1(3; -2; 1); М2(-5; -8; 1)
a) 10
b) 12
c) 40
d) 100
83. Найти расстояние между точками М1(-6; 3; -11); М2(-6; -2;
1)
a) 13
b) 12
c) 102
d) 16
84. Составить уравнение прямой отсекающей на осях отрезки
c)
d)
4
3
1
3
92. Найти угловой коэффициент прямой
8 х 2 у 11 0
а 8 и в 2
a) x 4 у 8 0
b) x 4 у 16 0
c) 4 x y 1 0
d) 8 х у 2 0
a) 4
b) -2
85. Составить уравнение прямой отсекающей на осях отрезки
проходящей через точки А(0;-2) и В(3;0)
3 х 15 у 5 0
a) 1
5
3
b)
5
2х 3у 6 0
b) 2 х 3 у 4 0
c) 3 х 6 у 1 0
d) х 3 у 6 0
3х 2 у 21 0
b) 3 х 2 у 1 0
c) 2 х 3 у 11 0
d) 2 х 11 у 3 0
a)
х 5у 2 0
b) х 3 у 1 0
c) 2 х 6 у 1 0
d) 4 х у 7 0
и
2х 4 у 1 0
a) параллельны между собой
b) взаимно перпендикулярны
c) пересекаются
d) сливаются
3х у 1 0
х
и
1
у60
3
3х 2 у 11 0
и
6х 9 у 1 0
91. Найти угловой коэффициент прямой
b)
3
2
3
у
1
х7
3
и
у 9 3х
96. Плоскость 3х 7 z 1 0
a) параллельна оси OУ
b) Проходит через ось ОУ
c) проходит через начало координат
d) параллельна плоскости ХОZ
3х 7 у 0
a) проходит через начало координат
b) параллельна оси ОХ
c) параллельна оси OУ
d) сливается с осью ОХ
98. Определить угол между прямой
x y 0
и осью ОХ:
x y 0
и осью ОХ:
450
900
00
1350
99. Определить угол между прямой
A.
B.
C.
D.
6х 9 у 7 0
3х у z 0
a) проходит через начало координат
b) Проходит через ось ОХ
c) параллельна оси OZ
d) параллельна плоскости ХОУ
A.
B.
C.
D.
a) взаимно перпендикулярны
b) параллельны
c) лежат в одной плоскости
d) пересекаются
2
94. Две прямые
97. Прямая
a) параллельны
b) взаимно перпендикулярны
c) пересекаются
d) сливаются
a)
8
95. Плоскость
a)
90. Прямые
11
a) взаимно перпендикулярны
b) параллельны
c) пересекаются
d) сливаются
87. Составить уравнение прямой, проходящей через А(-3; 1) и
В(2; 0)
89. Две прямые
d)
2
c) 5
d) -3
86. Составить уравнение прямой, проходящей через М0 (-5, 3)
с уголовным коэффициентом К=3/2
х 2у 6 0
11
93. Найти угловой коэффициент прямой
a)
88. Прямые
c)
1350
900
00
450
две прямые
x 5 y 1 0 параллельны
100. При каком значении параметры
7x 3y 6 0 и
7
35
35
A.
3
3
B.
5
C.
3
D.
D.
3
m4
3
m прямые 4 x 8 y 1 0 и
6 x my 7 0 взаимно перпендикулярны?
A.
m3
B.
m 4
C.
m3
4
103. При каком
5
35
5
m два прямые
5x 3 y 6 0 и
mx 5 y 1 0 взаимно перпендикулярны?
A.
m3
B.
m6
C.
m5
D.
m 3
101. При каком значении
m две прямые 4 x 8 y 1 0 и
6 x my 7 0 параллельны ?
A.
m 12
B.
m 6
C.
m8
102. При каком
D.
m4
3
m две прямые 3x 7 y 1 0 и
2 x my 5 0 параллельны
3
7
14
m
A.
2
m
3
B.
m 4
3
C.
m3
4
104. При каком
Практическое занятие 12.
Тема. Кривые 2-го порядка.
Содержание.
1. Каноническое уравнение окружности и эллипса.
2. Каноническое уравнение гиперболы и параболы.
3. Примеры.
Задание для самоподготовки.
187. Найти координаты центра и радиус
окружности х2-4х+у2-5=0.
а. (2,0), R=3,
в. (4,1), R=2
c. (4,0), R=5
d. (0,1), R=3
188. Через какую из заданных точек проходит
окружность (х-3)2+(у+1)2=5.
а. (1,-2)
в. (0,-4)
с. (3,-2) ,
d. (4,0)
е. (0,1)
189. Чему равны полуоси эллипса 9х2+25у2-225=0.
а. а=5, в=3
в. а=3, в=5
с. а=3, в=4
е. а=6, в=2
190. Привести уравнение эллипса 9х2+4у2-36 =0 к
каноническому виду.
а х2/4+у2/9=1
д. х2/4+у2/25=1
в. х2/25-у2/9=1
с. х2/9+у2/4=1
е. х2/9-у2/4=1
191. Определить координаты центра и радиус
окружности (х-6)2+у2=5.
а. (6,0),
5
в. (6,1),
5
с. (-6,0),
д.
(0,-6),
5
5
192. Какая из данных точек (5,0), (4,-7), (4,0), (3, 1), (0, -1) лежит на окружности
х2+(у-4)2=25 ?
а. (3,-1)
в. (5,0)
с. (4,0)
d. (3,5)
е. (0, -4)
282.Укажите верное утверждение:
а) текущая точка параболы равноудалена от
директрисы и фокуса параболы.
в) сумма расстояний текущей точки параболы от
директрисы и фокуса есть величина постоянная.
с) разность расстояний текущей точки параболы от
директрисы и фокуса есть величина постоянная
д) отношение расстояний текущей точки параболы от
директрисы и фокуса есть величина постоянная
283. Канонически уравнение параболы имеет вид:
а) у2=2рх
в) х2+у2=2р
с) х2/а2-у2/в2=2р
д) у=2рх2
284. Как определяется координаты фокуса параболы:
а) F(р/2, 0)
в) F(0, р/2)
с) F(0, -р/2)
д) F(0, 2р)
285. Парабола симметрична относительно:
а) оси Ох
в) оси Оу
с) директриса
д) фокуса
Практическое занятие 13.
Тема. Кривые 2-го порядка.
Содержание.
1. Общее уравнение кривой 2-го порядка.
2. Приведение к каноническому виду.
3. Решение примеров.
Практическое занятие 14.
Тема. Поверхности 2-го порядка
Содержание.
1. Канонические уравнения эллипсоида, параболоида, гиперболоида.
2. Исследование канонического уравнения методом секущих плоскостей.
3. Решение задач.
Задания для самоподготовки.
286. Какую поверхность определяет каноническое
уравнение
х2 у2 z2
1
а2 в2 c2
а) эллипсоид
в)сфера
с) параболоид
д)гиперболоид
287. Какую поверхность определяет уравнение
x2 y2
2 z , p>0,
p
q
q>0?
а) эллиптический параболоид
в) эллипсоид
с) гиперболический параболоид
д) однополостной гиперболоид
288. . Какую поверхность определяет каноническое
уравнение
x2 y2
2 z , p>0,
p
q
q>0?
а) гиперболический параболоид
в) эллипсоид
с) однополостной гиперболоид
д) эллиптический параболоид
289. Какая из заданных точек лежит на сфере
(х+1)²+(у-5)²+z²?
a. M(1,4,-2)
b. M(3,5,-1)
c. M(6,0,9)
d. M(-5,2,8)
290. Какая из заданных точек лежит на сфере
(х+1)²+(у-5)²+z²?
a. M(-3,4,-2)
b. M(3,5,-1)
c. M(6,0,9)
d. M(-5,2,8)
291. Какая из заданных точек лежит внутри сферы
(х+1)²+(у-5)²+z²?
a. M(0,6,2)
b. M(4,1,2)
c. M(3,7,1)
d. M(3,6,0)
292 Какая из заданных точек лежит внe сферы
(х+1)²+(у-5)²+z²?
a. M(3,5,1)
b. M(4,1,2)
c. M(-2,6,0)
d. M(0,5,2)
293 Какая поверхность определяется уравнением
x²/a²+y²/b²=1?
a. эллиптический цилиндр
b. параболический цилиндр
c. гиперболический цилиндр
d. эллиптический конус
294. Какая поверхность определяется уравнением x²/a²y²/b²=1?
а. гиперболический цилиндр
b. эллиптический цилиндр
c. параболический цилиндр
d. эллиптический конус
295 Какая поверхность определяется уравнением
x²=2pz,p>0
a. параболический цилиндр
b. гиперболический цилиндр
c. эллиптический конус
d. эллиптический цилиндр
296 Какая поверхность определяется уравнением
x²/a²+y²/b²-z²/c²=1?
a. эллиптический конус
b. гиперболический цилиндр
c. эллиптический цилиндр
d. параболический цилиндр
Практическое занятие 15.
Тема. Комплексные числа.
Содержание.
1. Понятие комплексного числа.
2. Алгебраическая, тригонометрическая и комплексная форма комплексного числа.
3. Решение примеров.
Задания для самоподготовки.
Пример 1.
Даны два комплексных числа Z1 = 12+ 5i, Z2=3-4i. Найти z1+z2, Z1*Z2 , Z1 /Z2
Решение. 1. z1+z2 = 15 +2 i.; z1+z2=9+9 i.
2. Z1*Z2 =(12+ 5i)( 3-4i)=36+15i -48i+20i2=56-33i
3. Z1 /Z2=(12+ 5i)( 3+4i)/ ( 3-4i) (3+4i)= (36+15i +48i+20i2)/(9-16 i2)=
(16+63 i)/25=0,64+2,52 i.
4. Примеры.
Комплексные числа z1=-1+i и z2= 3 +i представить в тригонометрической форме и
найти z1z2, z1/z2.
Решение. Найдем модуль комплексного числа по формуле r = |z|= х2 у 2
r = |z|= х2 у 2 = (1)2 1 = 2 , а из соотношений cos φ =-1/2, sin φ = 1/2
получим аргумент числа z1 (берем его главное значение):
3
3
3
φ1=arg z1=
, т.е. z1= 2 ( cos
+ i sin
).
4
4
4
Аналогично r2=|z2| =
3 1 =2, cos φ=
3 /2, sin φ2=1/2, т.е. φ2=arg z2= π/6 и
z2=2(cos π/6+ i sin π/6).
Теперь по формулам (16.7) и (16.8)
3
3
11
11
)+ i sin(
) ]=2 2 (cos
z1z2= 2 2 [cos (
+ i sin
),
4 6
4 6
12
12
1. Показательная форма комплексных чисел. Формула Муавра.
Так как в соответствии с формулами (16.7) и (16.8) при умножении комплексных
чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу
возведения комплексного числа в натуральную степень n, известную как формула
Муавра:
[r(cos φ+ i sin φ)]n=rn(cos nφ+ i sin nφ).
Пример 2. Найти (-1+ i)20.
3
3
Решение. В примере 16.2 мы получили, что -1+ i= 2 ( cos
+ i sin
). Поэтому
4
4
по формуле Муавра:
3
3 20
3
3
(-1+ i)20=[ 2 ( cos
+ i sin
)] =( 2 )20 [cos (20
)+ i sin (20
)] =
4
4
4
4
=1024(cos 15π+ i sin 15π)=1024(-1+0i)=-1024
Обратимся к извлечению корня из комплексного числа. Пусть
n
z =ρ(cos ψ+ i sin ψ).
Тогда используя определение корня и формулу Муавра, получим
z=[ ρ(cos ψ+ i sin ψ)]n= ρ n(cos nψ+ i sin nψ)
или
r(cos ψ+ i sin ψ)= ρ n(cos nψ+ i sin nψ).
Отсюда следует, что
ρn=r и nψ=φ+2πk, k Z.
2k
Итак, ρ= n r и ψ=
, k Z, т.е.
n
n
z = n r (cos i sin ) = n z (cos
2k
n
+ i sin
2k
n
),
(16.10)
где k=0,1,2,…,n-1.
При k=n, n+1,...значения корня уже будут повторяться.
Таким образом, кореньn-ой степени из комплексного числа (не равного нулю)
имеет n различных значений.
Пример 3. Найти 3 1 i .
3
3
Решение. В примере 16.2 было получено z=-1+i= 2 ( cos
+ i sin
). По
4
4
формуле (16.10)
3 / 4 2k
3 / 4 2k
3
1 i = 3 2 ( cos
+ i sin
), k=0,1,2,
3
3
откуда получаем три значения корня
z1=( 3 1 i )1= 6 2 ( cos + i sin ),
4
4
11
11
z2=( 3 1 i )2= 6 2 ( cos
+ i sin
),
12
12
19
19
z3=( 3 1 i )3= 6 2 ( cos
+ i sin
).
12
12
На комплексной плоскости найденные значения корня представляют
равноотстоящие друг от друга точки z1, z2, z3, расположенные на окружности радиуса
6
2.
3. Формула Эйлера.
Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается
формулой Эйлера.
Eiφ= cos i sin .
Отсюда следует показательная форма комплексного числа:
z=reiφ,
где r=|z|, φ=Arg z.
В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в
тригонометрической, легко проводить операции умножения, деления, возведения в
степень, извлечение корня из комплексных чисел.
4. Упражнения.
.
1. Даны комплексные числа z1=5-12i, z2=-6+8i. Найти z1+ z2, z1- z2, z1z2, z1/z2.
2. Комплексные числа z1=1-i, z2=- 3 -i представить в тригонометрической форме и
найти z1z2 и z1/z2.
3. Найти z=(1+i)100/( 3 -i)50
4. Найти все значения 4 1
Рекомендуемая литература.
Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
.Практическое занятие № 1
Тема: Понятие матрицы. Операции над матрицами.
Содержание:
1. Понятие матрицы.
2. Виды матриц.
3. Основные операции над матрицами: умножение матрицы на число, сложение (вычитание
матриц), произведение матриц, транспонирование матрицы.
4. Примеры.
Цель занятия: Дать понятие матрицы общего вида размерности mxn, показать выполнение
основных операций над матрицами, их свойства.
1. Понятие матрицы.
Матрицей размерности mxn называется прямоугольная таблица, содержащая m строк
и n столбцов. Каждый элемент матрицы аij имеет двойную индексацию, так как стоит на
пересечении i-й строки и j-го столбца.
Виды матриц.
Прямоугольная матрица общего вида размерности mxn, квадратная матрица размерности
nxn, матрица –строка, матрица-столбец, единичная матрица, транспонированная матрица.
4.
Операции над матрицами.
а. Умножение матрицы на число: при умножении матрицы на число к надо на это число
умножить каждый элемент матрицы к* аij.
б. Сложение (вычитание матриц): при сложении (вычитании) матриц Аи В складываются
(вычитаются) соответствующие элементы матриц аij
и вij. Сложить можно только матрицы одинаковой размерности.
в. Произведение матриц: можно перемножить между собой только две согласованные
матрицы А и В. Две матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов
матрицы А равно числу строк матрицы В.
Алгоритм умножения:
каждый элемент сij матрицы-произведения С равен сумме произведений элементов
i – й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Рекомендуемая литература:
7. Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Вопросы для самопроверки.
17. Какие матрицы А и В являются
согласованными?
E. Amn и Bnk
Amn и Bmk
G. Amk и Bnk
H. Ank и Bnk
F.
18. Какие две матрицы А и В можно
перемножить?
E. Согласованные
F. Прямоугольные
G. Одинаковой размерности
H. транспонированные
19. Какие две матрицы Аи В можно
перемножить?
E. Amk и B k n
F. Прямоугольные
G. Одинаковой размерности
H. транспонированные
20. Какие матрицы можно сложить?
3 2
4
, B , C 3 2 4 ,
А
1 0
6
1
Д
0
E.
F.
G.
H.
ВиД
АиВ
ВиС
АиД
21. Найти произведение матриц
2 0
B
7 4
E. Не существует
F.
48
24
3
А ,
6
G.
6
45
23. Найти произведение матриц:
H. (48 45)
= (4 1 3)
22. Матрица А называется невырожденной, если
E. А 0
E.
А 1
G. А 1
H. А 0
F.
2
А и В
3
2
6
8
12 3 9
16
F.
24
G. 16 24
H. Не существует
Практическое занятие 2.
Тема: Определители 2-го и 3-го порядков.
Содержание:
1. Понятие определителя квадратной матрицы.
2. Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.
3. Понятие минора и алгебраического дополнения.
Цель: Дать понятие определителя, научиться вычислять определители 2-го и 3-го порядков,
записывать миноры и алгебраические дополнения.
1. Определителем второго порядка квадратной матрицы А размерности 2х2 называется
выражение а11*а22-а21*а12, где аij –элементы определителя:
∆ =
а11 а12
= а11 а22 - а12 а21
а21 а22
Элементами определителя могут быть любые действительные числа.
2. Определитель 3-го порядка вычисляется методом треугольников (метод Сарруса):
а11 а12 а13
∆ = а21 а22 а23
а31 а32 а33
= а11 а22 а33+ а12 а23 а31+ а21 а32 а13- а13 а22 а31- а12 а21 а33- а23 а32 а11
3. Минором Мij элемента аij определителя называется определитель, порядка на
единицу меньше, полученный вычеркиванием i –й строки и j –го столбца, на пересечении
которых стоит данный элемент.
4. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется соответствующий минор Мij,
взятый со знаком (-1) i+j, то есть
Аij =(-1) i+j Мij.
Рекомендуемая литература:
Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
Л.Я. Окунев Сборник задач по высшей алгебре, М., Просвещение, 1964
Э.Б. Винберг Алгебра многочленов М. Просвещение, 1964
Вопросы для самопроверки.
1. Укажите верное свойство
определителей:
E. Определитель не
изменится, если из одной
строки вычесть другую,
умноженную на какоелибо число
F.
Из любой строки
определителя можно
вычесть столбец, при этом
определитель не
изменится
G. Определитель равен
нулю, если все элементы
главной диагонали равен
нулю
H. Определитель равен
нулю, если элементы
побочной диагонали
равны нулю
2. Определитель не изменится,
если:
A. Из элементов любого
столбца вычесть элементы
другого столбца,
умноженные на некоторое
число
B. Элементы сроки
умножить на число
C. Элементы какого-либо
столбца умножить на
некоторое число
D. Две строки поменять
местами
3. Какое утверждение не
справедливо: определитель
равен нулю, если
A. элементы главной
диагонали равны нулю
B. элементы какой-либо
строки равны нулю
C. элементы какого-либо
столбца равны нулю
D. элементы двух строк
пропорциональны
4. Если две строки
определителя поменять
местами, то:
A. Знак определителя
изменится на
противоположный
B. Определитель не
изменится
C. Определитель будет иметь
другое числовое значение
D. Определитель будет равен
нулю
Практическое занятие 3.
Тема: Миноры и алгебраические дополнения.
Содержание:
4. Понятие минора.
5. Алгебраическое дополнение.
6. Примеры вычисления миноров и алгебраических дополнений.
Цель: Дать понятие минора и алгебраического дополнения, научиться записывать и
вычислять миноры и алгебраические дополнения.
Содержание практического занятия.
1. Минором Мij элемента аij определителя называется определитель, порядка на
единицу меньше, полученный вычеркиванием i –й строки и j –го столбца, на пересечении
которых стоит данный элемент.
2. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется соответствующий минор Мij,
взятый со знаком (-1) i+j, то есть
Аij =(-1) i+j Мij. Пусть задан определитель 3-го порядка:
а11 а12 а13
∆ = а21 а22 а23
а31 а32 а33
Найдем миноры элементов этого определителя:
М11= а22 а33- а23 а32 . М12 = а21 а33 - а23 а31 .
М21 = а12 а33 - а13 а31 . М22 = а11 а33 - а31 а13.
М31 = а12а23 - а22 а13. М32 = а11 а23 - а21 а13.
М13 = а21 а32 - а22 а31.
М23 = а11 а32 - а31 а12
М33 = а11 а22 - а21 а12 .
Найдем алгебраические дополнения элементов этого определителя:
А11 = (-1)2 М11 = (-1)2 (а22 а33- а23 а32) .
Аналогично:
А21 = (-1)3 М21
А31 = (-1)4 М31
А12 = (-1)3 М12 ; А13 = (-1)4 М13
А22 = (-1)4 М22 А23 = (-1)5 М23
А32 = (-1)5 М32 А33 = (-1)6 М33
Вопросы для самопроверки.
5. Минор М12 определителя 2-го порядка равен:
A. а21
B. -а21
C. а12
D. а12-а21
6. Алгебраическое дополнение А21 определителя 2-го порядка равен:
A. –а12
B. а12
C. а11*а22
D. а12*а21
7. Минор М32 определителя 3-го порядка равен:
A. а11* а22 - а21* а13
B. а11* а32 – а31* а12
C. а22* а11 – а32* а23
D. а31* а32 - а23* а13
8. Алгебраическое дополнение А31 определителя 3-го порядка равен:
A. а31* а12 – а11* а32
B. а11* а33 – а31* а13
C. а11* а23 – а21* а13
D. а11* а32 – а31* а12
9. Для какой матрицы существует определитель?
E. Квадратной
F. Прямоугольной
G. Транспонированный
H. Матрицы-строки
0 0 3
11. Чему равен определитель 0 2
0
1 0
0
I.
J.
K.
L.
6
-6
0
12
2 3 6 8
0 1 3 5
12. Вычислить определитель 4-го порядка
0 0 4 0
0 0
I.
J.
K.
L.
0
5
-40
-20
0
210
4 1
13. Найти алгебраическое дополнение А23 определителя 2 1
1
I.
J.
K.
L.
-9
18
9
24
Планы семинарских (практических) занятий
2
3
2
1
№
1
Тема
Понятие
матрицы.
Операции над
матрицами.
2.
Определители
2-го и 3-го
порядков.
3.
Определители
высших
порядков.
4
5
6
7
8
9
Обратная
матрица.
Решение
систем
линейных
уравнений.
Решение
систем
линейных
уравнений
Решение
систем
линейных
уравнений
Векторы в
пространстве.
Векторное и
смешанное
произведения
векторов.
Содержание семинарского занятия
1. Понятие матрицы.
2. Виды матриц.
3. Основные операции над матрицами:
а. умножение матрицы на число
б. сложение (вычитание матриц)
в. произведение матриц,
г. транспонирование матрицы
4. Примеры.
4.
5.
6.
5.
6.
7.
8.
4.
5.
6.
4. Матричная форма системы л.у.
5. Решение системы в матричном виде.
6. Примеры.
5.
6.
7.
8.
5.
6.
7.
8.
5.
6.
7.
8.
10
Векторы в
n-мерном
пространстве.
4. Понятие определителя.
5. Методы вычисления определителей
2-го и 3-го порядков.
6. Решение примеров.
Понятие минора и алгебраического
дополнения.
Теорема Лапласа. Разложение
определителя по элементам строки
(столбца).
Решение примеров.
Понятие обратной матрицы.
Условия существования обратной
матрицы.
Алгоритм вычисления обратной матрицы.
Примеры.
Понятие системы линейных уравнений.
Метод Крамера.
Решение примеров.
4.
5.
6.
Метод Гаусса.
Понятие расширенной матрицы системы.
Прямой и обратный ход метода Гаусса.
Примеры.
Координаты и проекции вектора.
Разложение вектора по ортогональному
базису.
Скалярное произведение и его свойства.
Примеры.
Определение векторного произведения и
его свойства.
Векторное произведение в координатной
форме.
Смешанное произведение векторов и его
свойства.
Решение примеров.
Векторное пространство Rn
Линейная зависимость и линейная
независимость векторов.
Разложение вектора в произвольном
базисе.
Неделя Литература
1
11
12
Прямая линия 5. Уравнения прямой на плоскости.
на плоскости и 6. Уравнения прямой в пространстве.
в
7. Общее уравнение плоскости и его
пространстве.
исследование.
8. Примеры.
Кривые 2-го
4. Каноническое уравнение окружности и
порядка.
эллипса.
5. Каноническое уравнение гиперболы и
параболы.
6. Примеры.
13
Кривые 2-го
порядка.
14
Поверхности
2-го порядка.
4.
5.
6.
4.
5.
15.
Комплексные
числа.
6.
4.
5.
6.
Общее уравнение кривой 2-го порядка.
Приведение к каноническому виду.
Решение примеров.
Канонические уравнения эллипсоида,
параболоида, гиперболоида.
Исследование канонического уравнения
методом секущих плоскостей.
Решение задач.
Понятие комплексного числа.
Алгебраическая, тригонометрическая и
комплексная форма комплексного числа.
Решение примеров.
7. Методические указания по изучению дисциплины
Методические указания для лабораторных и практических (семинарских) занятий
А) лабораторные занятия
- название темы
- цель занятия
- задания
- методические рекомендации
- основные схемы, формулы
- вопросы
В) практические (семинарские) занятия
- название темы
- цель занятия
– основные вопросы
- методические рекомендации
Тема: Основы БЖ в экстремальных ситуациях
Цель: Научить обучающихся методам выживания в экстремальных естественных условиях, и
в условиях быта.
Основные вопросы:
1. Правила поведения населения в экстремальных природных условиях
2. Способы установления связи и подачи сигналов
3. Методы оборудования укрытия в разных климатических условиях
4. Методы разжигания костра: виды костров, способ нахождения огня
5. Возможности человеческого организма
6. Способы нахождения пищи (определение съедобности тех или иных растений, виды
насекомых и других животных, пригодных в пищу)
7. Экстремальных условия в быту: пожары, взрывы, утечка газа и т.д. (правила поведения,
оказание помощи себе и окружающим).
Методические рекомендации:
1. Круглый стол. Организовать развернутую беседу, которая должна основываться на
материале лекции, семинарских вопросах, а также на собственном жизненном опыте каждого
студента. Использовать наглядный материал, и / или
схематические изображения,
иллюстрации. Проинсценировать некоторые экстремальные ситуации, и пути выхода из них.
Методические указания по проведения СРСП
С) самостоятельная работа студентов с преподавателями (СРСП)
СРСП выполняет две функции: консультативную и контролирующую. СРСП – это совместная
работа студента и преподавателя, поскольку учебные занятия проводятся в диалоговом режиме,
например тренинг, дискуссия, деловая и дидактические игры, презентация, составление кейса,
разработка индивидуального, группового проектов и т.п.
К каждому СРСП должны быть подготовлены материалы (кейсы, ролевые игры, тесты,
кроссворды и т.д.), которые позволяют детализировать какие-либо вопросы, расширять их,
отрабатывать навыки анализа тех или иных ситуаций, решать задачи и др.
Структура плана СРСП
- название темы
- цель занятия
- форма проведения
- задания, вопросы
- методические рекомендации, раздаточные материалы
- литература
Микроэкзамен 2 по темам 8 – 15 недели.
1.5 Список литературы
Основная литература.
7. Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом образовании:
Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
8. Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
9. В.В. Вавилов Задачи по математике, Алгебра, М., Наука, 1987
10. Н.Ш. Кремер Высшая математика, М., ЮНИТИ, 1998
11. И.В. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре, М., Наука, 1978
12. Д.Письменный Сборник задач по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2001
13. Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах:
учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х частях.
14. Л.Я. Окунев Сборник задач по высшей алгебре, М., Просвещение, 1964
15. Д. Письменный Лекции по высшей математике, М., Айрис-пресс, 2004
16. Э.Б. Винберг Алгебра многочленов М. Просвещение, 1964
17. А.И. Мальцев основы линейной алгебры, М., Наука, 1970
18. Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев Алгебра и теория чисел, М., Просвещение,1974.
19. Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев Алгебра и теория чисел, М., Просвещение,1972.
20. П.С. Александров Лекции по аналитической геометрии, М., Наука, 1968
21. П.Е. Данко, А.Г. Попов,Т.Е. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах в
2-х частях
22. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский Сборник задач по высшей алгебре, М., Наука, 1977.
Дополнительная литература.
1. Карасёв А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для
экономических вузов. М.: Высшая школа,1982.
2. Щипачев В.С. Высшая математика: учебник для математических специальностей
вузов. М.: Высшая школа, 1990.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: учебное
пособие для вузов. М.: Наука, 1989.
4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: учебное пособие для вузов
М.: Наука 1987.
1.6 Информация по оценке знаний
Политика выставления оценки:
№ Критерии
оценки
1
2
3
4
5
6
7
Схема оценки знаний по дисциплине «Алгебра и геометрия»
Оценка вида
Неделя
% за
%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
работу всего
0,4
6
+ + + + + + + + + + + + + + +
Посещение
лекций
Домашнее
задание
Активность на
практических
занятиях
Индивидуальное
задание
Контрольная
работа
Микроэкзамен
Экзамен
Итого
0,2
3
5
5
4
16
5
20
5
10
40
100
+ + + + + + + + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
В течение семестра проводится два рубежных контроля на 8 неделе и на 15
неделе. Максимальный показатель успеваемости студента по рубежным контролям
составляет 60%.
В конце каждого семестра проводится промежуточная аттестация по учебной
дисциплине в виде экзамена.
Максимальный показатель успеваемости по промежуточной аттестации (ПА),
т.е. экзамену составляет 40%.
Итоговая экзаменационная оценка по дисциплине определяется как сумма
максимальных показателей успеваемости по рубежным контролям (max. 60%) и
промежуточной аттестации, т.е. экзамену (max. 40%) составляет 100%.
Итоговый экзамен будет проходить в форме тестирования по 30 вопросам 5
вариантов охватывающих основное содержание теоретического и практического
материала курса.
Знания, умения и навыки студентов оцениваются следующим образом:
+
по буквенной
системе
А
АВ+
В
ВС+
С
СД+
Д
F
в баллах
4,0
3,67
3,33
3,0
2,67
2,33
2,0
1,67
1,33
1,0
0
Оценка
в %-ном содержании
95 – 100
90 – 94
85 – 89
80 – 84
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
0 - 49
по традиционной
системе
Отлично
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
1.7 Требования к студентам:
Получение хорошего балла по курсу невозможно без постоянной работы. Это
предполагает, что оценка по курсу формируется в течение всего семестра. Вы
заинтересованы принимать активное участие в работе во время занятий. Максимальная
оценка за все виды работ ставится, если был дан правильный, четкий ответ на
поставленные вопросы работа выполнена аккуратно в полном объеме. Каждый студент
должен вести учет набранных баллов по кредит-часам (согласно вышеуказанной схеме
оценки знаний по дисциплине).
1. Посещение
Посещение должно быть обязательным. Пропуски занятий отрабатываются в полном
объеме занятия, отраженном в учебно-методическом комплексе. Пропуски занятий без
уважительной причины в объеме превышающем треть курса ведет к исключению с
курса.
2. Поведение в аудитории
Студент обязан не опаздывать на занятия, не разговаривать во время занятий, не читать
газеты и журналы, отключить сотовый телефон, активно участвовать в учебном
процессе.
3. Домашнее задание
Домашняя работа обязательно для выполнения и должна сдаваться в оговоренное
преподавателем время. У опоздавших вовремя сдать домашнюю работу, последняя
приниматься не будет. На основе ваших десяти лучших работ будет выведена оценка,
которая повлияет на вашу итоговую оценку.
4. Индивидуальные задания
Индивидуальные семестровые задания являются обязательными. В случае правильного
выполнения эти задания защищаются студентом, а в случае наличия в них ошибок они
возвращаются студенту на доработку. Каждое из этих заданий оценивается отдельно и
влияет на итоговую оценку.
5. Контрольная работа
Выполняется на занятии, сдаётся в конце пары, после занятия не принимаются и не
оцениваются.
6. Микроэкзамен
Микроэкзамены должны сдаваться
отдельно, пересдача не допускается
строго по расписанию для каждой группы
1.8 Вопросы для проведения контроля знаний студентов по темам
и экзамена
1.8.1. Вопросы для проведения микроэкзамена по материалам 1 – 7 недели:
1. Матрицы. Операции над матрицами
2. Обратная матрица. Определение. Способы нахождения Ранг матрицы.
Определение. Методы вычисления
3. Определитель матрицы.
4. Определители второго и третьего порядков.
5. Свойства определителей.
6. Миноры и алгебраические дополнения.
7. Разложение определителя по элементам строки ( столбца).
8. Системы линейных уравнений. Методы решения СЛУ.
9. Совместность систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
10. Системы однородных линейных уравнений
11. Комплексные числа. Формы записи комплексных чисел.
12. Действия над комплексными числами
13. Различные формы комплексных чисел.
14. Возведение в степень и извлечение корня n-ой степени из 1.
1.8.2. Вопросы для проведения микроэзамена по материалам 8 – 15 недели:
1. Векторное и евклидово пространство. Определение. Свойства. Базис и
размерность векторного пространства.
2. Линейные преобразования. Действия над линейными преобразованиями
3. Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.
Характеристическое уравнение.
4. Квадратичные формы
5. Векторы. Операции над векторами
6. Скалярное произведение векторов, его свойство
7. Векторное произведение векторов, его свойство
8. Смешанное произведение векторов, его свойство
9. Системы координат. Преобразование координат
10. Прямая на плоскости. Различные уравнения прямой на плоскости
11. Основные задачи
12. Линии второго порядка. Определения.
13. Плоскость. Виды уравнений плоскости.
14. Основные задачи ( расстояние, угол)
15. Поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей второго
порядка.
1.8.3. Примерные тестовые вопросы для подготовки к экзамену
1. определитель второго порядка.
2 5
0 6
2. Вычислить определитель третьего порядка.
2
1 3
4 1 2
1
5 0
3.Вычислить минор элемента а 31 определителя третьего порядка
2
7
8
1
6
0
4 3
2
4. Вычислить алгебраическое дополнение элемента а 21 определителя третьего порядка
5 3 1
6
2
7
0
1
3
2 7
9 8
5.Вычислить матрицу С 5 A B , где A
,
3 4 B 6 4
5
1
7
8
,
6. Вычислить матрицу С 3 A B , где A
B
3 6
1
0
7. Выполнить умножение матриц A B , где A 2 1 , B 4 7
5 0
0 4
8.Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера
x1 2 x 2 x 3 8
2 x1 3x 2 3x 3 5
3x 4 x 5 x 10
2
3
1
9.Найти координаты вектора AB ,если известно, что А (2 ; 3 ; 0), В (5 ; -7 ; 4)
10. Вычислить угол
между векторами a и b , если a (2 ; 3 ;1) , b (3 ; 0 ; 6)
11. Найти скалярное произведение векторов a и b , если a (2 ; 3 ;1) , b (3 ; 0 ; 6)
12.Вычислить
площадь
треугольника,
построенного
на
векторах a (2 ; 2 ; 3) и
b (4 ; 0 ; 6)
13Вычислить объем пирамиды, построенного на векторах a , b и c , где a ( 1 ; 2 ; 2) ,
b (11 ; 2 ;10) , c (8 ; 4 ; 8)
14. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А( -1 ; 3 ) и В ( 2 ; 5 ).
15. Составить уравнение прямой, имеющий угловой коэффициент k 2 и проходящей
через точку М ( -5 ; 3 )
16. Определить расстояние от точки М ( 5 ; 2 ) до прямой 4x-3y+6=0
17. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А( 2 ; 3 ) и В ( 1 ; 0 ).
18 Составить уравнение прямой, имеющий угловой коэффициент k 7 и проходящей
через точку М ( 1 ; -5 )
19 . Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А ( -2;-3; 2 ), В (-1; -5; 4), С
(9; -1; 12 )
20. Что называют вектором
21. Найти координаты вектора
АВ
А(2; 1)
22. Какие из следующих прямых параллельны
ℓ1 : у = 2х – 2 ℓ2 : у = 2х + 4 ℓ3 : у = -2х + 1 ℓ4 : у =
В(-1; 2)
1
2
х+5
23 Какие из следующих прямых перпендикулярны
ℓ1 : у = 2х – 2 ℓ2 : у = 2х + 4 ℓ3 : у = -2х + 1 ℓ4 : у = 1 х + 5
2
24Какое из следующих уравнений является уравнением эллипса
х2 у2
х2 у2
1
2 1
2
2
2
в2
в
1) у 2 рх 2) а
3) а
х2 у2
1
в
4) а
2
2
2
5) х у R
25 Какое из следующих уравнений является уравнением гиперболы
х2 у2
х2 у2
1
2 1
2
2
2
в2
в
1) у 2 рх 2) а
3) а
х2 у2
1
в
4) а
2
2
2
5) х у R
26. Какое из следующих уравнений является уравнением параболы
х2 у2
х2 у2
1
2 1
2
2
2
в2
в
1) у 2 рх 2) а
3) а
х2 у2
1
в
4) а
2
2
2
5) х у R
27. Какое из следующих уравнений является уравнением окружности
х2 у2
х2 у2
1
2 1
2
2
2
2
у
2
рх
а
в
а
в
1)
2)
3)
х2 у2
1
2
2
2
в
4) а
5) х у R
28 Какие из следующих точек принадлежат плоскости х + у + z – 5 = 0
А(1; 1; 0)
В) (-2; 3; 4)
С) (2; -1; 4)
29. Определить расстояние от точки М ( 3 ; 4 ) до прямой 4x-3y+5=0
30. Какое из выражений является матричной формой записи системы линейных уравнений
А) А – Х = В
В) А • Х = В
С) А-1 • Х = В
D) А-1 + Х = В
E) А-1 - Х = В
31.Систему линейных уравнений можно решить с помощью
А)Формулы Ньютона - Лейбница
В)Теоремы Лейбница
С) Формул Крамера
D) Уравнения Бернулли
E) Метода интегрирования
32.Определитель можно посчитать с помощью
А)Формулы Ньютона - Лейбница
В) Свойств определителя
С) Формул Крамера
D) Уравнения Бернулли
E) Метода интегрирования
33.Матрица называется единичной если
34.Две матрицы равны если
35. Матрица А-1 называется обратной для матрицы А (Е – единичная матрица), если
36.Для единичной матрицы Е верно равенство
37.Какую матрицу нужно прибавить к матрице
5 8
А
3
2
чтобы получить единичную
38.Система линейных уравнений называется несовместной если
39. Из перечисленных выражений выберите общее уравнение плоскости
40. Из перечисленных выражений выберите общее уравнение прямой
41. Из перечисленных выражений выберите уравнение прямой в отрезках
42. Из перечисленных выражений выберите уравнение прямой с угловым коэффициентом
43. Из перечисленных выражений выберите уравнение прямой проходящей через две
заданные точки
44. Минор это
45Транспонирование матриц это
1.9 Тематика письменных работ по курсу
Рефераты на темы: (Замечательные кривые)
1. Лемниската Бернулли.
2. Декартов лист
3. Трехлепестковые розы.
4. Овал Кассини.
5. Циклоида.
6. Гипоциклоида.
7. Верньера Аньези.
8. Цепная линия.
9. Эллипс.
10. Гипербола.
11. Парабола.
12. Спираль Архимеда.
2. КАРТА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ОБЕСПЕЧЕННОСТИ
Карта обеспеченности дисциплины литературой
Дисциплина Алгебра и геометрия
Количество кредитов_________3_______
№
п/
п
1
1
Наличие
При
меча
ния
Наименование литературы
В
библи
отеке
на
кафед
ре
3
4
2
обесп
еченн
ости
студе
нтов
(%)
5
Элект
ронна
я
верси
я
6
Красс М.С. Основы высшей
4
30%
математики и ее приложения в
экономическом образовании:
--
-
Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
2
3
Баврин И.Н., Матросов В.Л. :
Высшая математика: учебник М:
Владос, 2002г.
2
В.В. Вавилов Задачи по математике,
Алгебра, М., Наука, 1987
-
15%
-
-
30%
-
4
4
5
6
7
Н.Ш. Кремер Высшая математика,
М., ЮНИТИ, 1998
1
-
7%
-
И.В. Проскуряков Сборник задач по
линейной алгебре, М., Наука, 1978
3
-
20%
-
Д.Письменный Сборник задач по
высшей математике, М., Айриспресс, 2001
Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова
Т. Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах: учебное 12
пособие для студентов втузов. М.:
Высшая школа, 1974.,в 2-х частях.
-
-
-
80%
-
7
8
9
10
Л.Я. Окунев Сборник задач по
высшей алгебре, М., Просвещение,
1964
2
Д. Письменный Лекции по высшей
математике, М., Айрис-пресс, 2004
Э.Б. Винберг Алгебра многочленов
М. Просвещение, 1964
-
15%
1
-
-
7%
-
-
3. График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
Алгебра и геометрия
№
п/п
1
2
3
4
Вид работ
Цель и
содержание
задания
Рекомендуемая Продолжительность Баллы Форм
литература
выполнения и дата
контр
(неделя)
представления
работы
Контрольные
Развитие
1-12
по 5% Прове
работы ( всего аналитических
На 3 ,5,9,12неделях
письм
4работ)
способностей
работ
Выполнение
Развитие
1-12
по 4 % Прове
индивидуальных аналитических
на 2,5,7,10 неделях
выпол
заданий (всего и
задани
4 заданий)
познавательных
способ
способностей
ответ
вопрос
Микроэкзамен
Проверка
Первая работа 7 и 15 недели
по 5
Прове
( 2 контролz)
способности
согласно темам
%
письм
логически
1 – 7неделей
работ
мыслить
Вторая работа
согласно темам
8-15неделей
Экзамен
Комплексная
40%
Тест
проверка знаний
4. Глоссарий по дисциплине Алгебра и геометрия
№
п/п
1
1
Новые понятия
Содержание
2
Абсцисса
2.
Алгебраическое
дополнение элемента
аij
Алгебраическое
число
3
Первая из координат ( декартовых или аффинных) точки,
обычно обозначается буквой х
Минор элемента со знаком плюс или минус
3
Корень многочлена с целыми рациональными
коэффициентами
4
Аналитическая
геометрия
5
Аппликата
6
Аргумент
комплексного числа
Вектор
7
8.
9
10
11
12
Векторное
исчисление
Векторное
произведение
Векторное
пространство
Взаимно-простые
многочлены
Гипербола
14
Главная диагональ
матрицы
Горнера схема
15
Движение
16
Делитель многочлена
17
Директриса
18
Евклида алгоритм
19
Евклидово
пространство
20
Единичная матрица
21
22
Единичный вектор
Исключение
неизвестных
23
24
Каноническое
уравнение
Квадрант
25
26
Квадратичная форма
Коллинеарные
13
Часть математики, в которой исследуются
геометрические образы средствами алгебры на основе
метода координат
Одна из декартовых координат точки в пространстве,
третья по счету после абсциссы и ординаты и
обозначаемая обычно z
Угол между положительным направлением оси абсцисс и
направлением от начала координат к числу.
Направленный отрезок прямой, или отрезок, один из
концов которого называется началом вектора, а другой –
его концом.
Математическая дисциплина, изучающая различные
операции над векторами
Векторное произведение двух векторов трехмерного
евклидова пространства есть третий вектор,
удовлетворяющий определенным условиям
Понятие обобщающее обычное трехмерное пространство
Многочлены не имеющие общих множителей
Геометрическое место точек плоскости, разность
расстояний которых ( по абсолютному значению) до двух
данных точек постоянна.
Упорядоченная совокупность элементов а11, а12, … , аnn
квадратной матрицы
Способ деления многочлена n–й степени на линейный
двучлен х-а
Преобразование пространства в себя, при котором :
1)сохраняется расстояние между точками 2) сохраняется
ориентация пространственных фигур
Многочлен d такой, что существует многочлен g , что f =
dg
Прямая, обладающая определенным свойством
относительно заданной кривой 2-го порядка
Метод нахождения НОД двух многочленов от одного
переменного
Пространство, свойство которого описывается аксиомами
абсолютной геометрии и постулатом Евклида о
параллельных прямых
Квадратная матрица, в которой по главной диагонали
стоят единицы, а на всех остальных местах нули
Вектор, длина которого равна единицы ( орт)
Переход от системы уравнений, содержащей несколько
неизвестных, к системе уравнений( или к одному
уравнению), содержащей меньшее число неизвестных
Простейшее уравнение кривой или поверхности в
прямоугольных декартовых координатах
Один из четырех прямых углов, образованных двумя
перпендикулярными осями координат
Однородный полином второй степени
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных
30
векторы
Компланарные
векторы
Линейная комбинация
строк ( столбцов)
определителя
Линейно независимые
решение СЛУ
Матрица
31
Минор элемента аij
32
Минор k –го порядка
матрицы
27
28
29
33
34
Мнимая единица
Несовместная СЛУ
Неопределенная СЛУ
37
38
НОД двух
многочленов
Определитель n –го
порядка
(детерминант)
Определенная СЛУ
Однородная СЛУ
39
Ранг матрицы
40
41
Совместная СЛУ
Сопряженные
комплексные числа
Фундаментальная
система решений
СЛУ
35
36
42
прямых
Векторы, лежащие в одной или в параллельных
плоскостях
Строка( столбец ) определителя, элементы которой
являются линейными комбинациями соответствующих
элементов этих строк ( столбцов)
Решения СЛУ, если ни одно из них не является линейной
комбинацией остальных
Система mn чисел, расположенных в прямоугольную
таблицу из m строк и n столбцов
Определитель ( n -1) –го порядка, образованный из
данного определителя вычеркиванием i–й строки и j–го
столбца
Определитель, составленный ( с сохранением порядка) из
k² элементов матрицы, лежащих на пересечении
некоторых ее k столбцов и k строк
Число, дающее в квадрате –1.
СЛУ, у которой не существует ни одного решения
Совместная СЛУ, которая имеет бесконечное множество
решений
Произведение всех общих множителей данных
многочленов
Число, образованное из n² чисел
(элементов),расположенных в квадратную таблицу из n
строк и n столбцов.
Совместная СЛУ, которая имеет единственное решение
СЛУ, у которой все свободные члены равны нулю
Наибольший порядок, который могут иметь ее миноры,
не обращающиеся в нуль
СЛУ, у которой существует хотя бы одно решение
Числа, у которых действительные части равны, а мнимые
отличаются только знаком
Система линейно независимых решений таких, что любое
решение СЛУ является их линейной комбинацией
5. КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
Основные теоретические сведения и методические указания по решению задач.
1. Векторы в пространстве.
Вектором называется направленный отрезок АВ, в котором точка рассматривается как
начало, а точка В как конец. Вектор обозначает АВ или а = АВ. Длина вектора (модуль)
обозначается как а или
Векторы, параллельные одной прямой, называются колликерными .
Векторы, параллельные одной плоскости, называются комплинарными
Два вектора а и b называются равными, если они 1. имеют равные длины (модули); 2.
коллинеарны ; 3. направлены в одну сторону.
1. Произведением вектора а на число называется новый вектор а, имеющий
длину |b| = |a| * , и направленно одинаково с а при >0 ( = ), или
противоположно а при < 0 ( =- )
2. Суммой векторов а и b называется вектор с = а + в, замыкающий ломанную ОАВ ,
построенную на данных векторах. В частности, если: а = ОА, b = AB, то с = ОВ =
ОА + АВ,
d = DA = a – b, так как OD = AB = b.
3. Пусть вектор а составляет угол с осью ОХ
Тогда проекция вектора а на эту ось определяется формулой прох а = |a| * cos и
представляет собой длину отрезка ОМ, соединяющий начало координат О с
основание перпендикуляра, опущенного из конца вектора а на ось ОХ.
4. Векторы можно рассматривать в пространстве, в частности в трёхмерном
пространстве R3, введя в это пространство, например, декартову прямоугольную
систему координат.
Если начало вектора совпадает с началом координат О, то такой вектор ОМ
называется радиус-вектором и обозначается r = OM. Проекций радиус-вектора ОМ
на оси координат называется прямоугольными координатами радиус-вектора r или
точки М – конца радиус-вектора. Имеем
прох r = х = ОМ1 ;
проy r = y = ОМ 2;
проz r = z = ОМ3 ;
В таком случае радиус-вектор r или точка М в пространстве R3 определяется
тройкой
чисел x, y, z и обычно
обозначается : r (x, y, z ); М (x, y, z ). Тогда длина
радиус-вектора r = OM определяется по формуле:
r = |OM| = x 2 y 2 z 2 ( как диагональ прямоугольного параллелепипеда ).
5. Если на осях OX, OY, OZ вести единичные векторы i, j, k, то радиус-вектор r можно
представить ввиде суммы r = xi + yj + zk - разложение вектора в пространстве R3.
6. Рассмотрим в пространстве вектор u = AB, определяемый точками А(x1, y1, z1 ); В
(x2, y2, z2 ). Тогда проекции вектора u на оси координат будут :
прох u = Х = х2 – х1,
проy u = Y = y2 – y1,
проz u = Z = z2 – z1,
и вектор u через координаты записывается ввиде: u (Х, Y, Z) или u (x2–х1, y2–y1, z2z1).
т.е. координаты вектора u = AB вычисляется как разность координат точек,
определяющих конец и начало вектора. Длина вектора u = AB определяется по
формуле:
| u| = |AB| X 2 Y 2 Z 2 x2 x1 y2 y1 z2 z1 .
8. Если вектор задаётся в пространстве R3 прямоугольными координатами, то можно
найти косинусы углов составляемых этим вектором соответственно с осями OX,
OY, OZ.
X
Y
Z
Так как прох u = Х = |u| * cos , то cos = , аналогично cos =
, cos =
.
u
u
u
2
Вектор u0 =
u
u
2
2
есть единичный вектор в направлений вектора u, т.е. u0 (cos ,cos
,cos )
а его координаты называются направляющими косинусами вектора u причем
|u0|2 = cos 2 +cos2 +cos2 = 1.
9. Скалярным произведением двух векторов а и b называется число, равное
произведению длин векторов на косинус угла между ними : а * b = |а|*|b|*cos
Отсюда следует, что пра- b = |b|*cos = OC, поэтому
а * b = |а|*|b|*cos = |а|* пра- b = |b|* пра- а.
10. Если a = b, то a = 00 , cos 00 = 1 поэтому a * a = а-2 = |a|-2. т.е. квадрат вектора равен
квадрату длины этого вектора, поэтому |a| = а 2 ,т.е. длина вектора выражается
через его скалярный квадрат.
11. Если a b ,то а = , cos
=0иa*b=0
2
2
12. Если векторы задаются своими прямоугольными координатами, т.е. если a (x1, y1, z1),
b (x2, y2, z2), то скалярное произведение вычисляется по формуле: a * b = x1x2 + y1y2 +
z1z2.
13. Угол между векторами a (x1, y1, z1), b (x2, y2, z2) определяется по формуле :
cos a =
a b
ab
x1 x2 y1 y2 z1 z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
.
14. Если векторы a и b коллинеарные , т.е. a b и a = b, то их соответствующие
х
y
z
координаты пропорциональны: 1 1 1
х2 y2 z2
15. Если векторы a и b перпендикулярны , т.е a b, то их скалярное произведение равно
0: x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.
Замечание: Для каждого из утверждений 11, 14, 15 справедливо обратное .
Методические указания к решению некоторых типов задач.
Задача 1. Даны векторы а = (1;-2), b = (-3;5), c = (1;-4) в некотором базисе
пространства R2. Проверить, что векторы a , b также образуют базис в R2 и найти
координаты вектора с в этом базисе.
Решение. Согласно определению, система векторов а1, а2,……,аr линейно
независима, если их линейная комбинация равна нулевому вектору , т.е. равенство 1 а1 +
2 а2 + r аr = 0.
В частности, любые два вектора a и b на плоскости (в R2) линейно независимы, если
равенство 1а + 2 b = 0 выполняется только при 1 = 2 = 0. Это условие (как можно
проверить) равносильно тому, что два вектора a и b на плоскости не коллинеарны, т.е. их
соответсвующие координаты не пропорциональны. Даные векторы а = (1;-2) и b = (-3;5)
неколлинеарны, т.к. 1: (-3) (-2):5. Значит векторы a и b линейно независимы и поэтому
образуют базис в R2.
Так как три вектора а, b, c на плоскости линейно независимы, то вектор с можно
представить единственным образом в виде линейной комбинаций векторов a и b :
c = xa + yb
(1)
Если два вектора с справедливо равенство (1), то говорят ещё, что вектор с разложен по
базису a , b пространства R2. Кооффициенты х и у в равенстве (1) называют
координатами вектора с в базисе a , b . Для нахождения х, у, перепишем равенство (1) в
следуюшем виде:
1
3 1
y
(2)
2
5 4
По определению, два вектора равны, если равны их соответствующие координаты.
Поэтому приравнивая координаты векторов в левой и правой части соотношения (2),
получим следующую систему:
,у3 1 х
4 у5 х2
[
,у 3 1 х
;4 у5 х2
x 3 y 1,
2 x 5 y 4,
которую решаем относительно неизвестных х и у .
Имеем
х 1 3 у,
х 1 3 у,
2 х 5 у 4;
2(1 3 у ) 5 у 4;
х 1 3 у,
х 1 3 у,
х 7,
2 у 4;
у 2;
у 2.
Следовательно, вектор с имеет координаты 7 и 2 в базисе (a,b), т.е. с = (7,2) или
справедливо следующее разложение: с = 7а + 2b.
Аналогично можно проверить, что кажда из двух других пар (a,c) и (b,c) также образуют
базис в R2 и найти координаты векторов b и a в соответствующем базисе.
Задача 2. Вычислить косинус угла а, образованного векторами с = 2а – 3b и d = a +
2b,если:
1) Векторы а и b образуют угол и заданы длины |a| = 2; |b| = 5 этих векторов;
3
2) векторы |a| = (4;-2;-4) и |b| = (6;-3;-2) заданы прямоугольными координатами.
Решение. Исходя из определения скалярного произведения двух векторов, запишем
формулу для вычисления косинуса угла:
cos
cd
cd
.
Преобразуем выражение в правой части равенства, пользуясь свойствами скалярного
произведения. Имеем:
а) с*d = (2a – 3b)(a + 2b) = 2a*a – 3b*a + 4a*b-6b*b = 2a2 + a*b – 6b2 =
= 2|a|2 + a*b - 6|b|2,
b) |c|2 = c2 = (2a – 3b)2 = 4|a|2 - 12a*b + 9|b|2,
c) |d|2 = d2 = (a + 2b)2 = |a|2 + 4a*b + 4|b|2.
Далее, в зависимости от способа задания векторов а и b, можно пользоваться
различными выражениями для вычисления скалярного произведения и скалярного
квадрата вакторов.
1) Если длины векторов |a| = 2 и |a| = 5 и известен угол между ними, то
3
непосредственно из определения скалярного произведения следует, что:
1
a*b = |a|*|b|*cos = 2*5*cos
= 2*5* = 5,
3
2
|a|2= 22 = 4;
|b|2= 52 = 25, поэтому
а) с*d =2*4+5-6*25 = -134;
b) |c|2 = 4*4-12*5+9*25 = 181;
c) |d|2 = 4+4*5+4*25 = 124.
137
137
137
.
В таком случае для cos =
=
=
124 181
2 31 181
2 5611
Так как cos а < 0, то это значит, что векторы с и d образуют тупой угол.
2) Если векторы а и b заданы свойми прямоугольными координатами
a (x1, y1, z1), b (x2, y2, z2), то нужно пользоваться формулами вычисления скаля рного
произведения через эти координаты:
a * b = x1x2 + y1y2 + z1z2; |a|2 = x12 +y12 +z12 ; |b|2 x22 +y22 +z22.
Подставляя координаты векторов a и b, получим
a * b = 4*6+(-2)*(-3)+(-4)*2 = 22;
|a|2 = 42 +(-2)2 + (-4)2 = 36;
|b|2 = 62 +(-3)2 + 22 = 49.
Тогда для векторов c и d будем иметь:
а) c * d = 2*36 + 22 – 6 * 49 = -200;
b) |b|2 = 4*36 – 12*22 + 9*49 = 321;
c) |b|2 = 36 + 4*22 + 4*49 = 320.
В таком случае cos a примет значение
200
200
200
25
cos a =
0.
320 321
64 5 321
8 1605
1605
Следовательно, векторы c и d также образуют тупой угол.
2. Уравнения прямой линии на плоскости.
Задача 3. Определить полуплоскость, заданную неравенством
3х – 2у + 5 0.
Задача 4. Даны вершины А (3;0), B (-5;6), C (-4;1) треугольника.
Найти систему неравенств, определяющую множество внутреннихточек треугольника.
Решение. Сделаем чертёж, из которого следует, что искомое множество представляет
собой общую часть (пересечение) трёх полуплоскостей, из которых первая ограничена
прямой, проходящей через сторону АВ треугольника, и содержит точку С; вторая
ограничена прямой, проходящей через сторону ВС, и содержит точку А, а третья
ограничена прямой АС, и содержит точку В. Затем из полученного замкнутого множества
следует исключить граничные точки, т.е. точки сторон треугольника. Прежде всего
следует составить уравнения прямых, проходящих через стороны треугольника, а затем,
для нахождения искомых неравенств, подставлять координаты соответствующих вершин.
Составим уравнение прямой, проходящей через сторону АВ (или просто прямой АВ),
пользуясь уравнением прямой, проходящей через две данные точки А (х 1,у1) и В (х2,у2):
х х1
у у1
.
х2 х1
у2 у1
Выбирая в качестве данных точек А (3;0), B (-5;6), будем иметь :
х3
у0
. или 6 (х-3) = -8у, откуда следует, что уравнение стороны АВ имеет
53
60
вид : 3х + 4у – 9 = 0. Нас интересует та полуплоскость, которая содержит точку С. Для
нахождения знака неравенств, определяющего искомую полуплоскость, подставим в
левую часть уравнения прямой 3х + 4у – 9 = 0 координаты точки С, не лежащей на этой
прямой: 3 * (-4) + 4*1 – 9 = -12 + 4 – 9 < 0.
Аналогично рассуждаем для нахождения двух остальных полуплоскостей. Составим
уравнение прямой ВС через точки
B (-5;6), и С (-4;1):
у6
5( х 5) у 6 5 х у 19 0
1 0
получили уравнение стороны ВС.
Подставим координаты точки А (3;0):5*3 + 0 + 19 = 34 >0. Значит ( из искомых)
полуплоскость определяется неравенством
х + у + 19 >0. Составим теперь уравнение
стороны АС через точки
х3
у0
. х – 3 = -7у или х +7у – 3 = 0 – уравнение
А (3;0) и С (-4;1):
43
1 0
сторон АС. Подстпвим координаты точки B (-5;6): х = 7у – 3 >0.
Тогда искомая третья полуплоскость определяется неравенством
х = 7у – 3 >0. Таким образом, множество внутренних точек АВС определяется
3х 4 у 9 0
следующей системой неравенств: 5 х у 19 0,
х 7 у 3 0.
Множество же точек АВС , включая его стороны, определяется системой:
3х 4 у 9 0
5 х у 19 0,
х 7 у 3 0.
Задача 5. Даны вершины A (3;0), B (-5;6), С (-4;1) треугольника АВС.
Нейти: 1) длину стороны АВ;
2) косинус внутреннего угла A;
3) Уравнение медианы, проведённой из вершины C
4) Уравнение высоты, опущенной из вершины C;
5) Длину этой высоты;
6) Точку пересечения высот. Сделать чертёж.
Решение: 1)При нахождение длины стороны AB воспользуемся формулой для вычисления
расстояния между двумя точками или, что тоже самое, длины вектора AB:
|AB| = ( А, В)
5 321 6 02
100 10 ед.
2)Внутренний угол при вершине A есть угол, Образованный векторами AB, АС,
Совпадающими со сторонами ABC . Поэтому исходя из определения скалярного
произведения векиторов, можно сначало выделить cos А , а затем, пользуясь таблицей
для значении тригонометрических функций, найти величину угла А в радианах. При
этом косинус внутреннего угла вычисляется по формуле: cos А =
АВ АС
АВ АС
Определим координаты и длин векторов, входящих в последнюю формулу. Имеем:
АВ = (хв – ха; ув – уа) = (-5-3; 6-0) = (-8;6);
АС = (хс – ха; ус – уа) = (-4-3; 1-0) = (-7;1);
82 6
( А, В) 72 12
8 7 6 1
cos А =
АВ = ( А, В)
100 10
АВ =
50 5 2 ед.
Тогда
10 5 2
62
50 2
31
25 2
31 2
.
50
31 2
50
3) медиана СD делит сторону АВ или вектор АВ пополам. Поэтому сначала найдём
координаты точки D:
х xB 3 5
у уB 0 6
хD A
1;
хD A
3;
2
2
2
2
Отсюда А = arccos
Медиана проходит через точки С (-4;1) и D ( -1;3), её уравнение имеет вид:
х4
у1
,
1 4 3 1
или 2(х + 4) = 3( у – 1), откуда окончательно
2х – 3у + 11 = 0 есть уравнение медианы СD.
4) Высота СЕ АВ, поэтому векторы СЕ и АВ ортогоналоны. Обозначим через х,у
координаты точки Е, найдём координаты векторов СЕ = (х + 4; у – 1), АВ = (-8;6) и
теперь, пользуясь условием ортогональности двух векторов, т.е. что их скалярное
произведение равно нулю, получим уравнение высоты:
-8 (x + 4) + 6 (y – 1) = 0 4x – 3y + 19 = 0 .
3. Прямая и плоскость в пространстве.
Пусть плоскость Р проходит через точку М0 (x0, y0, z0) перпендикулярно вектору
N=(A,B,C).
Эти условия определяют единственную плоскость в пространстве. Вектор N
называют нормальным вектором плоскости Р: N Р.
Пусть М (x, y, z) – текущая точка плоскости.
ассмотрим вектор M 0 M = (x-x0, y-y0, z-z0), тогда M 0 M N (взаимно
перпендикулярны) и их скалярные произведение равно нулю: ( M 0 M N ) = 0.
В координатной форме скалярное произведение двух векторов равно сумме
произведений их составных координат: A (x-x0) + В (у-у0) + С (z-z0) = 0. (1)
Получили уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0)
перпендикулярно вектору N (A, B, C) – нормальный вектор.
Раскроем скобки: Ax – Ax0 + By – By0 + Cz – Cz0 = 0
Ax + By + Cz + (-Ax0 - By0 – Cz0) = 0
Обозначим D = -Ax0 -By0 -Cz0
Тогда уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0
(2), где
А, В, С – коэффициенты, D – свободный член.
Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой.
Тогда уравнение (2) называется общим уравнением плоскости.
Условие параллельности двух плоскостей: Р1Р2
Р1: A1x + B1y + C1z + D = 0
A1 B1 C1
- пропорциональны. коэффициенты при переменных
A2 B2 C 2
P2: A2x + B2y + C2z + D = 0
4. Кривые II порядка.
Уравнения кривых II – го порядка – это уравнения 2-й степени, содержащие х2, у2 и ху.
1. Окружность и ее уравнение.
Имеем окружность с центром в т-ке С (х0,у0) и радиусом
R.
М(х,у)
R CM ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 R 2
R
С(х 0,у 0)
x0=y0=0 x2 + y2 = R2.
(1) (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 - уравнение окружности с
центром в точке С (х0,у0) и радиусом R.
Уравнение (1) называется нормальным уравнением
окружности.
Уравнение окружности R с центром в начале
координат:
Примеры: 1) построим (х + 3)2 + (у – 1)2 = 16 .
Рассмотрим уравнение II степени с двумя переменными в общем виде:
(Ax2 + Cy2 + Bxy + Dx + Ey + F = 0).
Из уравнения (1): x2 – 2xx0 + x02 + y2 – 2yy0 + y02 =R2
x 2 y 2 (2 x0 ) x (2 y 0 ) y x02 y 02 R 2 0
B
C
D
(2) Ax2 + Ay2 + Bx +Cy + В = 0 - общее уравнение окружности
Чтобы из общего уравнения окружности (2) получить нормальное уравнение (1), надо
выделить в уравнении (2) полные квадраты по переменным х и у, пользуясь формулами
сокращенного умножения: (a b) a 2ab b
Пример. Дано общее уравнение кривой: x2 + y2 - 4x + 12y + 31 = 0. Найти координаты
центра окружности и ее радиус, построить эту окружность.
(x2 + 4x) + (y2 + 12y) + 31 = 0
(x2 – 2 (2x) + 22 – 4) + (y2 + 2 (6y) + 62 – 36) + 31 = 0
(x -2)2 – 4 + (y+6)2 – 36 + 31 = 0
(x – 2)2 + (y + 6)2– 40 + 31 = 0
(x – 2)2 + (y + 6)2 = 9
(x – 2)2 + (y + 6)2 = 32
Центр О (2;-6), R = 3
Задача 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2;-4) и центр
окружности x2 + 6x + y2 – 2y + 2 = 0
Решение: найдем координаты центра окружности
(x + 2 (3x) + 3 – 9) + (y – 2y + 1 – 1) + 2 = 0
(x + 3) + (y – 1) = 8; С (-3;1)
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки: А (2;-6) и С(-3;1)
2
x x1
y y1
;
x2 x1 y 2 y1
7 (x - 2) = - 5 (y + 6);
7x + 5y + 16 = 0
2
x2
y6
;
3 2 1 6
2
x2 y6
5
7
7x – 14 = - 5y – 30;
Задача 3. Составить уравнение окружности с центром в точке С (-4;3), касающейся оси
ОХ.
y
R = 3;
R
2
2
(x + 4) + (y – 3) = 9
3
С(-4;3)
4
x
Задача 4. Найти радиус окружности, проходящей через точку М (-6;10) и имеющей центр
О (0;2)
R MO OM
(6 0) 2 (10 2) 2
36 64 100 10
R = 10
M
O
R
x
y
Условие перпендикулярности двух плоскостей: Р1 и Р2
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей:
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
Если прямая параллельна направляющему вектору S (m,n,p) и проходит через точку
М1 (x1,y1,z1),то получим канонические уравнения прямой линии в пространстве:
x x1 y y1 z z1
m
n
p
(3)
Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3;0;4) и имеющей
нормальный вектор N (2;4;5) .
A (x - x) + B (y - y) + C (z - z) = 0
N ( A, B, C)
= N (2;4;5)
x = - 3, y = 0, z = 4 -2 (x - (- 3)) + 4 (y - 1) + 5 (z - 4) = 0
Построить -2 (x + 3) + 4 (y - 1) + 5 (z - 4) = 0
-2x – 6 + 4y – 4 + 5z – 20 = 0
2x – 4y – 5z + 6 + 4 + 20 = 0,
2x – 4y – 5z + 30 = 0 ,
x = -15; y =
15
; z=6
2
6. МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ
ЗАНЯТИЙ
При выполнении практических заданий надо строго придерживаться указанных ниже
правил. Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и
возвращается студенту для переработки
1. практические задания следует выполнять в тетради чернилами синего или черного
цвета, оставляя поля для замечаний рецензента
2. решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях
3.перед решением каждой задачи надо полностью вписать ее условие. В том случае,
когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие
задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.
4.решение задач нужно излагать подробно и аккуратно, объявляя все действия.
5. после получения прорецензированной работы ( как зачтенной, так и не зачтенной)
студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты.
7. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СРС (указаны в пункте 1.4 график и содержание занятий)
8-9. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ
Типовые задания индивидуальных и контрольных работ
(для каждого конкретного студента данные задания будут не существенно
изменяться)
1. Вычислить определители:
2 3 2
1 2 3 ;
1 2
1 1
3 4
3 6 1
1
5
3 ;
3 1 1
1 3 1 ;
1 2 3
3 1 1 ;
2 3 3
1 1 1 ;
1 1 3
2 1 2
3
1
2
1
4 3 5
0
2 3
2
0
1 3
1 2
2 1
5 2
1
3. Решить систему уравнений:
1) Методом Крамера
2) Методом Гаусса
3) Методом Жордано – Гаусса
4) Матричным методом
2 x1 3 x2 2 x3 9
x1 2 x2 3 x3 14
3 x 4 x x 16
1
2
3
4.Решить систему уравнений:
1) Методом Крамера
2) Методом Гаусса
3) Методом Жордано – Гаусса
4) Матричным методом
X 1 3 X 2 5 X 3 7 X 4 12
3X 5X 7 X X 0
1
2
3
4
5 X1 7 X 2 X 3 3 X 4 4
7 X 1 X 2 3 X 3 5 X 4 16
5. Даны координаты вершин треугольника АВС
А(-8;-3), В(4;-12),С(8;10)
Найти:
1) Длину стороны АВ
1 1
4
2
;
3
1
2
2
3
1
1 3
1 1
2 1
1
2
2
1
2 1 1
3 1 1
2. Вычислить определители:
0 1 3 4
1 1 3 2
2
1 0 2 3
1 2 0 1 1
;
;
3 2 0 5 0 1
1
3
3
1
2
Уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты
Угол (в радианах с точностью до двух знаков)
Уравнение высоты СД и её длину
Уравнение медианы АЕ и координаты точки К, пересечения этой медианы с
высотой СД
6) Уравнения прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ
7) Координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой
СД
2)
3)
4)
5)
6. Даны вершины пирамиды : A (2; -3; 1), B (6; 1; -1), C (4; 8; -9), D (2; -1; 2).
а) Записать векторы AB , AC , AD в виде разложения по ортам , найти их длины.
б) Вычислить угол между векторами AB и AC
в) Найти проекцию вектора AD на вектор AB
г) Вычислить S грани ABC
д) Вычислить V пирамиды АВСД
е) Построить чертёж
7. Построить точку А(-2; 5) и прямую 2х-у=0. Написать уравнение прямой, проходящей
через точку А:
а) параллельно данной прямой
б) перпендикулярно данной прямой
8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(-1; 3) и точку В (4; -2)
9. В треугольнике с вершинами А(-2; 6), В(2; 6), С(4; 2) проведена высота ВД и медиана
ВЕ. Написать уравнение стороны АС, медианы ВЕ и высоты ВД. Построить чертеж.
10. Дан треугольник с вершинами А(2; 4), В(2; 4), С(4; 0). Написать уравнения сторон
треугольника, медианы АЕ, высоты АД и найти длину медианы АЕ. Построить чертёж.
11. Написать уравнения сторон и найти углы треугольника с вершинами А(0; 7), В(6; 1),
С(2; 1)
12. Составить параметрическое уравнение прямой:
а) проходящей через точку А(-2; 3) параллельно вектору р (5;1)
б) проходящей через точку М(1; -3) параллельно оси ОХ
в) проходящей через точки М1(1; 2) и М2(3; -4)
13. Определить угол между прямыми:
а) 3х+у-6=0, 2х-у+5=0
б) у=7х-2, х-у- 2 =0
в) 2х-3у+12=0, 3х-у-5=0
14. Параллельны ли следующие прямые. В случае пересечения найти точку
пересечения.
а) х+у-1=0, 2х-2у+1=0
б) -2х+у-1=0, 2х+1=0
в) х+2у+1=0, 3х-4у-7=0
их
15. Найти расстояние точек от прямой:
а) А(-1;5), 4х+3у-5=0
б) А(
3
; 3), 5х-12у-6=0
5
16. Составить уравнение окружности с центром в точке(6; -3), и касающейся прямой 3х4у-15=0
17. Найти расстояние между параллельными прямыми:
а) 3х-у-6=0, 6х-2у-1=0
б) 3х-4у-2=0, 3х-4у-7=0
18. Составить уравнение окружности с центром в точке (-4; 3) и радиусом 5.
19. Даны точка А(-3; 0) и точка В(3; 6). Составить уравнение окружности с диаметром
равным отрезку АВ.
20. Построить эллипс х2+4у=16 и вычислить его фокус и эксцентриситет.
21. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситеты и построить графики для
следующих эллипсов:
а) 4х2+144у2-576=0
б) 9х2+25у2=225
22. Составить уравнение касательной к окружности х 2+у2=25, проходящей через точку
окружности (-4; 3)
23. Построить гиперболы. Найти их полуоси, координаты фокусов, эксцентриситеты,
уравнение асимптот
а) 9х2-4у2-36=0
б) 25х2-16у2-1=0
24. Написать уравнения касательных к гиперболе х 2-4у2=16, проведённых из точки А(-
2 5 ; 1) и точки В(0; -2)
25. Составить уравнение параболы с вершиной в точке О(0; 0), симметричной
относительно оси ОХ и проходящей через точку А(9; 6)
Примерные экзаменационные тестовые задания
Вариант № *
1. Решить систему уравнений методами: Гаусса, Крамера и матричным.
5 x1 3x 2 x 3 7
x1 2 x 2 3x 3 0
2 x 3 x 5 x 1
2
3
1
2. Вычислить определитель 3-го порядка
4 6 4
1 1
1
4 6 4
3. Найти векторное произведение векторов
a 5;0;2; b 4;1;2
4. Найти скалярное произведение векторов
a 17;9;3; b 1;2;10
5. Найти площадь треугольника с вершинами
А(-8;5;2), В(2;-1;0), С(2;5;6)
6. Найти объем пирамиды, построенного на векторах
a 2;1;1, b 1;7;3, c 1;1;0
7. Проекция вектора на ось. Основные свойства проекции.
8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку В(5;-3; 8) параллельно прямой
3х-7у+2=0
9. Угол между двумя прямыми, заданными через угловые коэффициенты.
10. Методические указания по прохождению учебной, производственной и
преддипломных практик, формы отчетной документации (если требует специфика
дисциплины)
11. Материалы по контролю и оценке учебных достижений обучающихся
- схема оценки знаний
- письменные контрольные задания
- тестовые задания
- перечень вопросов для самоподготовки
- экзаменационные билеты
Политика выставления оценки:
Схема оценки знаний по дисциплине «Математика для экономистов»
№ Критерии оценки
Оценка вида
Неделя
%
за
%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
работу
всего
1
Домашнее задание
0,6
9
+ + + + + + + + + + + +
2
Активность
на
1
15
+ + + + + + + + + + + +
практических
занятиях
3 Контрольная
2,5
10
+ +
+
+
работа
4 Индивидуальное
4
16
+
+
+
задание
13
14
15
+
+
+
+
+
+
+
5
6
Микроэкзамен
Экзамен
Итого
5
10
40
100
+
В течение семестра проводится два рубежных контроля на 8 неделе и на 15
неделе. Максимальный показатель успеваемости студента по рубежным контролям
составляет 60%.
В конце каждого семестра проводится промежуточная аттестация по учебной
дисциплине в виде экзамена.
Максимальный показатель успеваемости по промежуточной аттестации (ПА),
т.е. экзамену составляет 40%.
Итоговая экзаменационная оценка по дисциплине определяется как сумма
максимальных показателей успеваемости по рубежным контролям (max. 60%) и
промежуточной аттестации, т.е. экзамену (max. 40%) составляет 100%.
Итоговый экзамен будет проходить в форме тестирования по 30 вопросам 5
вариантов охватывающих основное содержание теоретического и практического
материала курса.
Знания, умения и навыки студентов оцениваются следующим образом:
Оценка
по буквенной
в баллах
в %-ном содержании
по традиционной
системе
системе
А
4,0
95 – 100
Отлично
А3,67
90 – 94
В+
3,33
85 – 89
Хорошо
В
3,0
80 – 84
В2,67
75 – 79
С+
2,33
70 – 74
С
2,0
65 – 69
Удовлетворительно
С1,67
60 – 64
Д+
1,33
55 – 59
Д
1,0
50 – 54
F
0
0 - 49
Неудовлетворительно
Требования к студентам:
Получение хорошего балла по курсу невозможно без постоянной работы. Это
предполагает, что оценка по курсу формируется в течение всего семестра. Вы
заинтересованы принимать активное участие в работе во время занятий. Максимальная
оценка за все виды работ ставится, если был дан правильный, четкий ответ на
поставленные вопросы работа выполнена аккуратно в полном объеме. Каждый студент
должен вести учет набранных баллов по кредит-часам (согласно вышеуказанной схеме
оценки знаний по дисциплине).
1. Посещение
Посещение должно быть обязательным. Пропуски занятий отрабатываются в полном
объеме занятия, отраженном в учебно-методическом комплексе. Пропуски занятий без
уважительной причины в объеме превышающем треть курса ведет к исключению с
курса.
2. Поведение в аудитории
+
Студент обязан не опаздывать на занятия, не разговаривать во время занятий, не читать
газеты и журналы, отключить сотовый телефон, активно участвовать в учебном
процессе.
3. Домашнее задание
Домашняя работа обязательно для выполнения и должна сдаваться в оговоренное
преподавателем время. У опоздавших вовремя сдать домашнюю работу, последняя
приниматься не будет. На основе ваших десяти лучших работ будет выведена оценка,
которая повлияет на вашу итоговую оценку.
4. Индивидуальные задания
Индивидуальные семестровые задания являются обязательными. В случае правильного
выполнения эти задания защищаются студентом, а в случае наличия в них ошибок они
возвращаются студенту на доработку. Каждое из этих заданий оценивается отдельно и
влияет на итоговую оценку.
5. Контрольная работа
Выполняется на занятии, сдаётся в конце пары, после занятия не принимаются и не
оцениваются.
6. Микроэкзамен
Микроэкзамены должны сдаваться строго по расписанию для каждой группы
отдельно, пересдача не допускается
Вопросы для проведения контроля знаний студентов
по темам и экзамена
Вопросы для проведения микроэкзамена по материалам 1 – 7 недели:
1. Определители. Свойства определителя.
2. Вычисление определителей I, II, III и n-го порядка.
3. Миноры и алгебраические дополнения
4. Матрица. Основные определения.
5. Действия над матрицами.
6. Обратная матрица.
7. Системы линейных уравнений.
8. Методы решения системы линейных уравнений.
9. Матричный метод решения системы линейных уравнений
10. Формулы Крамера.
11. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
12. Векторы. Основные понятия и простейшие действия над ними
13. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве
14. Координаты вектора, длина вектора
15. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
16. Понятие об уравнении линии. Различные уравнения прямой
17. Понятие об уравнении кривой. Простейшие кривые второго порядка
18. Общее уравнение плоскости.
19. Различные уравнения плоскости и прямой в пространстве
20. Понятия множества, числовые множества
21. Функции. Свойства функции
22. Способы задания функции.
23. Предел последовательности. Предел функции
24. Основные теоремы о пределах
25. Замечательные пределы
26. Непрерывность функции
27. Производная функция в точке, свойства производных
28. Основные правила дифференцирования. Таблица производных
29. Производная сложной функции.
30. Дифференцирование сложных функций
31. Производные высших порядков
32. Дифференциал функции
33. Возрастание и убывание функции
34. Экстремумы функций
35. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
36. Асимптоты
37. Исследование функций и построение графиков
Вопросы для проведения микроэкзамена по материалам 8 – 15 недели:
1. Функция нескольких переменных. Основные понятия.
2.
Первообразная функция и неопределённый интеграл
3.
Частные производные различных порядков для функции нескольких переменных.
4.
Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных неопределённых
интегралов
5.
Методы интегрирования.
6.
Метод замены переменной
7.
Метод интегрирования по частям
8.
Интегрирование некоторых тригонометрических функций
9.
Понятие определённого интеграла
10.
Формула Ньютона-Лейбница
11.
Свойства определённого интеграла
12.
Замена переменной и формула интегрирования по частям в определённом
интеграле
13.
Геометрические приложения определённого интеграла
14.
Комплексные числа
15.
Ряды, признаки сходимости ряда
16.
Степенные ряды
17.
Разложение функции в степенной ряд.
18.
Дифференциальные уравнения первого порядка
19.
Дифференциальные уравнения второго порядка
20.
Основные элементы теории вероятности
21.
Случайные величины.
22.
Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева
Тестовые вопросы для подготовки к экзамену
1. Матрицы и операции над ними
2. Определители 2 и 3 порядков, их свойства.
3. Решение систем алгебраических уравнений методом гаусса, крамера, обратной
матрицы.
4. Элементы векторной алгебры. Скалярное произведение векторов.
5. Прямая на плоскости. Различные задачи , связанные с прямой на плоскости.
6. Кривые второго порядка и их канонические уравнения.
7. Прямая и плоскость в пространстве. Различные задачи, связанные с прямыми и
плоскостями в пространстве.
8. Пределы последовательности и функции
9. Непрерывность функции в точке и на отрезке.
10. Производная и дифференциал функции одной переменной.
11. Производная и дифференциал высших порядков.
12. Основные теоремы дифференциального исчисления.
13. Исследование функции средствами дифференциального исчисления.
14. Первообразная и неопределенный интеграл.
15. Основные методы интегрирования.
16. Определенный интеграл и его свойства. Формула ньютона – Лейбница.
17. Приложение определенного интеграла к различным прикладным задачам.
18. Несобственный интеграл.
19. Понятие дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения.
Понятие решения дифференциального уравнения. Задача коши.
20. дифференциальные уравнения первого порядка: уравнение с разделенными и
разделяющимися переменными. Однородное уравнение, уравнение Бернулли,
уравнение в полных дифференциалах.
21. Дифференциальные уравнения второго порядка. Понижение порядка.
22. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными
коэффициентами.
23. Случайное событие. Определение вероятности (классическое, статистическое,
геометрическое). Аксиоматическое построение теории вероятностей.
24. формулы сложения и умножения вероятностей.
Тематика письменных работ по курсу
Рефераты на темы:
1.Приближенные методы вычисления определенных интегралов
2.Несобственные интегралы
3. Криволинейные интегралы
4.Системы линейных уравнений
5.Числовые характеристики непрерывных случайных величин
6. Кривые второго порядка и их канонические уравнения
Типовые задания индивидуальных работ
x2 4
1. Найти lim 2
x2 x x 6
n 5
n 2
lim
2. Найти предел
x n 3
ln 1 3 x
3. Найти предел lim
x
x
2
4. Найти производную функции у cos x
5. Найти производную функции y x ln x
6. С помощью приема подведения функции под знак дифференциала вычислить
х
интеграл:
2
х3 5dx
7. Методом интегрирования по частям найти интеграл
8. Найти предел
x2 9
lim 2
x 3 x 3x
2x 3
9. Найти предел lim
x 2 x 1
sin x
10. Найти предел lim x
x 0 2 1
x 1
3
x sin xdx
x 1
2
2
12. Найти производную функции у ln x
у tg
11. Найти производную функции
13. С помощью приема подведения функции под знак дифференциала вычислить
2 x 3
интеграл:
x 2 3x 8 dx
14. Методом интегрирования по частям найти интеграл x ln xdx
15. Найти предел
16. Найти предел
x2 5x 6
x 3
x2 9
x2
3x 1
lim
x 3x 5
lim
1 2x 1
ln 1 x
18. Найти производную функции
3
17. Найти предел lim
x 0
у cos3 4 x
x
19. Найти производную функции у x
4
20. С помощью приема подведения функции под знак дифференциала вычислить
интеграл:
x3 1 x 2 dx
21. Методом интегрирования по частям найти интеграл
22. вычислить несобственный интеграл
x e dx
x
dx
x
2
1
x 5
lim
23. Найти предел
x x 3
ln 1 mx
24. Найти предел lim
x
x
3 x 1
25. Найти производную функции у а cos
26. Найти производную функции
х
3
y 10 2 x 3
27. С помощью приема подведения функции под знак дифференциала вычислить
dx
интеграл:
x ln x
28. Методом интегрирования по частям найти интеграл x cos xdx
29. Найти область определения функции
30. Указать четные функции
у
1 у x cos x
2 у x2 x 1
ln( 1 x)
x 1
3 у
31. Найти предел
1
lg x 2
2
x2 х 2
lim 2
x 1 x 2 x 3
ч3
2x 1
32. Найти предел lim
x 5 x 2
3
1 2х 1
33. Найти предел lim
x 0 lg( 1 x )
34. Найти производную функции
у sin 1 / x
1
35. Найти производную функции у x
3
36. Найти критические точки и экстремальные значения функции у хе2 х
37. С помощью приема подведения функции под знак дифференциала вычислить
1 х
2 1/ 2
интеграл:
38. Методом интегрирования по частям найти интеграл
39. вычислить несобственный интеграл
хdх
xе
х2
dx
dx
3
x
40. Найдите множество значений функции y = │x+7│+6
1
41. найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = tgx в точке
П
х0=
.
4
42. Найти угол между касательной к графику функции f(x) = ln(3x+1) в точке с
абсциссой х0=2 и осью ОХ
2x
. Найдите f(׳1).
x 1
Найдите значение производной функции у(х)= cosx при х=-π.
4
dx
Вычислите интеграл
2x 1
0
Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = х3 – 2х2 + 1 в точке с
абсциссой 2.
f (b) F (a )
. Формула F(׳x) =
называется
ba
43. Задана функция f(x) =
44.
45.
46.
47.
x2 3 +
48. Выберите верное утверждение:
А) график чётной функции симметричен относительно оси ординат.
В) график нечётной функции симметричен относительно оси ординат
С) график нечётной функции симметричен относительно начала координат
Д) к графику нечётной функции не применимо понятие симметрии.
x
2
50 Областью определения логарифмической функции у=loga x является…
49. Исследуйте функцию на чётность и нечётность: f(x) = х5∙sin
51. Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание,
симметричны относительно:
П
52. Вычислите интеграл
sin xdx
0
53. Найдите область определения функции f(x) =
9x x 3
54. Найдите область определения функции f(x) = 16 x x 3
8
x
27
56. Найдите область определения функции f(x) = 1 3
x
55. Найдите область определения функции f(x) =
x2
1
x2
58. Найдите общий вид первообразной для функции f(x) = 3sin2x
57. Найдите общий вид первообразной для функции f(x) = х32
x
59. Вычислите интеграл
4
dx
1
П/2
60.. Вычислите интеграл
cos xdx
0
2
61. Вычислите интеграл
(x
3
1)dx
0
1
62. Вычислите интеграл
(1 x)dx
0
63. Найдите область определения функции у = logП(10-5x)
64. Найдите область определения функции у = log3(х-4)
65.. Найдите область определения выражения у = log5(9-x2)
Типовые задания для контрольных работ:
10
1. построить график функции y lg
x
2
x 5
2. найти предел функции lim 2
x 2 x 3
x 2 2x 1
3. найти предел функции lim
x 1
x3 x
4. Найдите область определения функции f(x) =
П
5. Вычислите интеграл
cos xdx
0
x2
27
x
1
6. Вычислите интеграл
(1 2 x)dx
0
x
2
8. найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = сtgx в точке
П
х0=
.
4
9. Найти производную функции у сos1 / x
2 3
10. вычислить определитель
1 4
7. Исследуйте функцию на чётность и нечётность: f(x) = х3∙sin
11. вычислить определитель
2 1
1 2
3 1 1 1
1 3 1 1
12. вычислить определитель
1 1 3 1
1 1 1 3
13. решить систему уравнений 2 x1 x2 x3 4
3x1 4 x2 2 x3 11
3x1 2 x2 4 x3 11
2 1 1 1
14. Умножить матрицы
3 2 1 1
3 5 2 1
15. Умножить матрицы
6 1 3 2
16. три баскетболиста должны произвести по одному броску мяча. Вероятности
попадания мяча в корзину первым, вторым, третьим баскетболистами соответственно
равны 0,9; 0,8; 0,7;. Найти вероятность того, что удачно произведет бросок только
один баскетболист.
17. для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено по
одному выстрелу из трех орудий с вероятностями попадания соответственно равными
0,7;0,6; 0,5. найти вероятность поражения цели.
18. На складе ,имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом.
Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу кинескопов окажутся три
кинескопа Львовского завода.
19 . Даны вершины пирамиды : A (2;-3;1), B (6;1;-1), C (4;8;-9), D (2;-1;2).
а) Записать векторы AB , AC , AD в виде разложения по ортам , найти их длины.
б) Вычислить угол между векторами AB и AC
в) Найти проекцию вектора AD на вектор AB
г) Вычислить S грани ABC
д) Вычислить V пирамиды АВСД
е) Написать уравнение AC
ж) Написать уравнение грани АВС
и) Построить чертёж
20. Даны координаты вершин треугольника АВС
А(-8;-3), В(4;-12),С(8;10)
Найти:
1) Длину стороны АВ
2) Уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты
3) Угол (в радианах с точностью до двух знаков)
4) Уравнение высоты СД и её длину
5) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К, пересечения этой медианы с
высотой СД
6) Уравнения прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ
7) Координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно
прямой СД
Примерный перечень тестовых вопросов для промежуточного и итогового контроля.
cos sin
1.Вычислить определитель 2-го порядка:
sin cos
1 3 1
2. Вычислить определитель 3-го порядка: 2 0
2
4 5 1
3.Вычислить определитель 3-го порядка, использовав его свойства:
1 3 1
2 0 2
4 0 4
4.Применить теорему о расположении определителя по элементам какой-либо строки,
1 3 1
вычислить: 2 0
4 5
2
1
а1 b1
5.Указать минор М23 определителя. a2 b2
a3 b3
6.Найти Х из уравнения:
x2 3 2
x 1 1 =0
0 1 4
c1
c2
c3
1
2
5
7.Упростить и вычислить: 3 4 7
3 6 15
8.Решить с помощью определителей систему уравнений:
9.Указать матрицу размерности (2х3):
3x 2 y 7
4 x 5 y 40
a1
a ) a 2
a1
в ) a 2
a
3
b1
b2
b1
b2
b3
c1 а 1
c 2 ; б ) a 2
a
3
c1
c2
c 3
b1
b2
b3
;
2 1
3 0
;
10.Найти сумму матриц А+В:
4 2
2 1
2 3
1 4
;
11.Вычислить А*В, если
4 0
1 2
12.Указать единичную матрицу из следующих:
4 0 0 4 1 0
; б )
; в)
а)
0 4 4 0 0 1
1 1 1 0
; д)
г )
1 1 1 0
2 3 4
1 0 0
5 2 1 ; В 0 1 0 ;
1 2 3
0 0 1
13.Выяснить, какая из матриц является вырожденной:
0 1 2
С 3 4 2
6 8 4
14.Записать формулу обратной матрицы:
6 2
15.Найти матрицу, обратную матрице А:
8 1
16.Как геометрически интерпретируется решение системы 3-х линейных уравнений с 3мя неизвестными?
17.Определить координаты вектора ĀВ, если А(2; 3; 1) и В(-2; 0; 1):
18.Определить длину вектора АВ , если А(2; 3; 1) и В(-2; 0; 1):
19.Найти направляющие косинусы вектора а = {3; 4; 0}
20.Найти координаты вектора с = ā + b, если
ā ={2; 3} и в{-4; 5}
21.Вычислить координаты вектора с = 2 ā + b, если ā = {1; 0} и b ={3; 4}
22.Вычислить |с| = 2 ā + b, если ā = {1; 0}, b = { 3; 4}
23.Какие из данных векторов параллельны между собой:
ā = {1; 4}, b = {0; 4}, с = {1; 0}, d = {2; 8}
24.Какие из данных векторов перпендикулярны между собой:
ā = {1; 4}, b = {0; 4}, с = {-4; 1},
d = {4; 6}
25.Определить угол между векторами а ={1;1;0} b ={1;2;2}
26.Найти скалярнoе произведениe векторов a·b, a ={-1;1;0},
b ={1;-2;2}
27.Найти координаты вектора, противоположного вектору
a ={1;-3;5}
28.Определить периметр треугольника с вершинами А(-4;2), B(0;-1),C(3;3)
29.Найти координаты точки М, делящей отрезок АВ пополам,
А(-2; 1) и В(3; 6).
30.Определить координаты вектора с = a b , если ā = {3; 0; 0},
b = {0; 0; 2}
31.Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах ā = {1; 1; 0}, b = {1;-1;
2}
32.Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах ā = {1; 0; 0}, b= {0; 1;
1}, с = {0; 0; 1}
33.Найти смешанное произведение векторов ā={3; 4; 0}, b={0;-3; 1}, с = {0; 2; 5}
34.Какие из векторов между собой компланарны ā = {-1; 3; 2},
b = {2; -3; -4}, с = {-3;9; 6} d= {4; 0; 0}
35.Какие два вектора из данных не образуют базис на плоскости:
ā = {1; 2}, b= {3;
4}, с= {0; 1}
d= {6; 8}
36.Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с
осью ОХ угол 45о :
37.Определить параметры k и b для прямой 2х – 3у = 6
38.Какие из точек А(3; 5), В(2; 7),
С(-1; -3), D(-2; -6) лежат на прямой у = 2х – 1
39.Определить угол между прямыми: у = 5х +7 и у = 5х – 1
40.Среди прямых: 1) 3х – 2у + 7 = 0,
2) 6х – 4у – 9 = 0,
3) 6х + 4у –5 = 0,
4) 2х +3у – 6 = 0
указать параллельные
41.Среди прямых: 1) 3х – 2у + 7 = 0,
2) 6х – 7у – 9 = 0,
3) 6х + 4у –5 = 0,
4) 2х +3у – 6 = 0
указать перпендикулярные
42.Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(-1; 3) и В(4; -2)
43.Какие из точек А(-1; -1), В(3; 2), О(0; 0), С(1; 1) лежат на окружности (х + 4)2 + (у
– 3)2 = 25
44.Чему равен радиус окружности х2 + у2 + 4у = 0
45.Определить большую и малую полуоси эллипса х2 + 4у2 = 16
46.Определите большую и малую полуоси гиперболы 4х2 – у2 =16
47.Найти две точки, принадлежащие параболе у2 = 6х из точек:
(0; 0), (3; 3), (2; 4), (6; 6)
48.Определить длину радиус- вектора точки М(5; -3; 4)
49.Найти длину вектора ā = 2i + 3j + 6k
50.Найти угол между прямыми 2х + 5у – 1 = 0 и 5х –2у +3 = 0
51.Какие функции называются монотонными?
52.Какая функция называется возрастающей?
53.Написать формулу показательной функции.
54.Каким свойством обладает четная функция?
55
.Назовите период функции у = tg x
56.Какие из данных функций являются неявными:
1) y sin x
2) y tgx 1
3) x 2 xy 4 0
1
4) y
x
5) y x 9
57.Какие из данных функций являются сложными:
1) y x 2 1
2) y = sin (2x-1)
3) y = x +5
4) y = cos x
5) y = tg x
58.Дать краткое определение бесконечной числовой последовательности.
59.Какая последовательность называется сходящейся?
1 1 1
60.Указать общий член последовательности 1, , , ,...
2 3 4
sin x
?
x 0 x
61.Чему равно значение «замечательного» предела lim
62. Чему равно значение предела
1
lim 1
n
n
n
63.Найти значение производной в точке х0 = 1 функции у = х5 – 1
64.Найти значение производной в точке х0 = П/2 функции у = sin х
65.Найти значение производной в точке х0 = 0 функции у = ех
66.Найти значение производной в точке х0 = 0,5 функции у=ln x
67.Найти значение производной в точке х0=0 функции у = arcsin x
68.Написать формулу производной произведения 2-х функций u ν
u
69.Написать формулу производной частного двух функций
v
70.Чему равна производная постоянной величины?
71.Найти производную функции у = sin (lnx) в точке х0=1.
x2 x 1
72.Вычислить предел lim
x
2x 5
3 2 2 x 1
73.Вычислить предел lim
x
3 4
x 2 5x 6
74.Вычислить lim
x 2 x 2 12 x 20
75.Определить точки разрыва функций
x 1
x( x 2 4)
76.Какое условие является необходимым для того, чтобы дифференцируемая функция у =
f(x) имела в точке x = x0 экстремум?
77.Написать уравнение вертикальной асимптоты.
78.Написать уравнение горизонтальной асимптоты.
79.Написать уравнение наклонной асимптоты.
80.Что называется точкой перегиба?
81.Найти частные производные от функции Ζ=x2+y2
1
82. Вычислить 2
3
1
1
1
2
6
0
1
1
1
83.Вычислить М31 определителя 2 1 6
3 2 0
84.Найти полный дифференциал функции z=xy
85.Найти область определения функции z =4/(x+y)
86.Найти область определения функции z=4/(x²+y²)
87.Написать необходимое условие существования экстремума функции 2-х переменных
88.Что является решением неравенства ax+by>c
89.Что является решением неравенства ax>b
90.Что является решением неравенства ay>b
x2 4
91.Вычислить lim
x2 x 2
x2
92.Вычислить lim 2
x2 x 3x 2
tgx
93.Вычислить lim
x 0 sin 2 x
x
94.Вычислить lim
x 0 sin 3 x
1
95.Вычислить lim (1 ) 3n
n
n
96.Найти производную функции y=tgx
97.Найти производную функции y=ctgx
98.Найти производную функции y=ax
99.Найти производную функции y=arctgx
100.Найти производную функции y=arccosx
101.Найти производную функции y=ln(ax+b)
102.Написать формулу производной суммы 2-х функций (u+v)
103.Найти производную функции y=k f(x)
104.Найти производную 2-го порядка от функции y=sin x
105.Написать формулу дифференциала функции y=f(x)
106.Как называется наибольший порядок минора матрицы А, отличного от нуля?
107.Найти ранг матрицы
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
3 5 7
108.Найти ранг матрицы 1 2 3
1 3 5
4 3 2 2
0 2 1 1
109.Найти ранг матрицы A=
0 0 3 3
110.Найти матрицу 2А+5В, если
3 5
2 3
;
4 1
1 2
111.Найти матрицу А =А*А, если
2
3
1
2
4
5 8
. Какую матрицу В нужно прибавить к матрице А, чтобы
112.Дана матрица А=
3 2
получить единичную матрицу?
5 8 4
113.Дана матрица А= 3 2 5 . Какую матрицу В нужно прибавить
7 6 0
к матрице А, чтобы получить единичную матрицу?
1 0
2 4
и В=
114.Найти произведение матриц А=
2 1
1 1
115.Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором множестве, если
на этом множестве выполняется равенство
116.Неопределенным интегралом от функции f(x) по переменной х, если F(x)первообразная функции f(x), называется сумма:
117.Неопределенный интеграл обладает свойством:
118. cos 5 xdx
119. е 5 х dx
120.Неопределенный интеграл обладает свойством:
121.Найти интеграл:
dx
F ( x) C
2x 1
Где:
122.Найти интеграл:
1 4 х dx =F(x)+c, где:
123.
dx
3
х
2
F ( x ) C , где :
sin x cos xdx F ( x) C, где :
2
sin
xdx F ( x) C , где :
125.
124.
dx
126.
cos (1 5x) F ( x) C, где :
2
dx
F ( x) C , где :
2
127.
sin 4 x
128.. cos3 7 x dx F ( x ) C , где :
129.
dx
4 9x
2
F ( x) C , где :
dx
130.Найти интеграл:
3 x
2 =F(x)+C, где:
dx
F ( x) C , где :
131. 2
x 2x 1
132. ln xdx F ( x ) C , где :
133.Найти интеграл:
dx
9 x 2 4 =F(x)+C,
134.Найти интеграл:
5 х 6
е
dx F ( x) C , где :
где F(x)=
135.Интегральной суммой называется:
136.Определенный интеграл обладает свойством:
137.Определенный интеграл обладает свойством (если k-конечное число):
138.Определенный интеграл обладает свойством:
3
x
139. е dx
3
0
140.Определенный интеграл обладает свойством:
2
x dx
2
141.
1
9
142.
x dx
4
4
dx
143.
2x 1
0
1
144. (2 x 1)5 dx
0
1
145. e 2 x dx
0
4
146. sin( 2 x )dx =
4
8
2
147.
2
dx
4 x2
3
dx
2
148.
9
x
0
1
149. arcsin xdx
0
1
150.
(х
х)dx
0
151.Площадь плоской фигуры, в данной системе координат О ху и ограниченной
линиями у=х2, у=0, х=3, - равна:
152.Площадь плоской фигуры, данной в системе координат Оху и ограниченной
линиями:
y=sinx, y=0, x=
равна:
2
153.Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной
первой аркой синусоиды и осью Ох, равен:
154.Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной
линиями: y=2x, y=0, x=2, равен:
dx
155.Несобственный интеграл 2 :
1 x
3
156.Несобственный интеграл
dx
x
:
1
157.Найти производную функции z x 2 y 3 в точке М(-1,1) в направлении вектора l(4,3)
158.Найти производную функции z ln( 4 x 3 y ) в точке М(2,1) в направлении градиента
функции z
159.Найти grad z функции z=cos y в точке М (1,
)
2
160. z x 2 xy 2 . Найти частные производные z x/ z y/ в точке
М(-1,-2)
161. z x 2 xy 2 x sin y . Найти смешанные производныефункции z xy// в точке М(1,0)
162.Найти величину и направление градиента функции u=xyzв точке М(2,1,1)
163.Найти производную функции a 5 x
a0
164.Вычислить определитель
0a
165.Найти интеграл
(x
2
3x)dx
166.Найти производные y=arrcos5x
xdx
167.Найти интеграл
4 x2
168.Найти скалярное произведение векторов a (4,-1), b (2,5)
169.Нйти угол между векторами a (0,1), b (1,0)
x2 2
170.Найти предел lim
x2
4
171.Определить интервал вогнутости функции f(x) = 3x3 – 9x2+5
3 4x
2 5x
5 6x 2
173.Найти горизонтальную асимптоту кривой y =
x 3x 2
3x 5
174.Найти наклонную асимптоту кривой y =
2 x4
175.Найти область определения функции y = 2 x 7
172.Найти вертикальную асимптоту кривой y =
176.Найти область определения функции y =
177.Найти области определения функции y =
1
2x 1
7
x 4
2
;
178.Из перечисленных ниже выражений выберите условие параллельности векторов в
пространстве.
x
y
x
y
z
1. 1 1 0 3. 1 1 1
2. x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 + z1 ∙ z2 = 0
4. x1 ∙ y1 ∙ z1
x2 y 2
x2 y 2 z 2
= 0 и x2 ∙ y2 ∙ z2 = 0
если один вектор имеет координаты (x1; y1:z1), а другой вектор (x2 : y2; z2).
179.Из перечисленных ниже выражений выберите условие перпендикулярности векторов
в пространстве.
1.
x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 + z1 ∙ z2 = 0
3.
X 1 Y1 Z1
X 2 Y2 Z 2
2.
X 1 Y1
0
X 2 Y2
4. x1 ∙ y1 ∙ z1 = 0 и x2 ∙ y2 ∙ z2 = 0
если один вектор имеет координаты (x1; y1 ;z1) , а другой вектор (x2; y2; z2).
180.Составьте уравнение прямой, имеющий угловой коэффициент k = 7 и проходящий
через точку M (1; -5).
181.Дана функция у=х 3 -1. Найти f(1).
182. e x x 3 dx
4
183.Дана функция у=х 3 +1. Найти f(1).
2
184.Дано : у=z , z =х+1. Выразить у как функцию х
185.Найти область определения функции у=1-lnх..
186.Найти область определения функции y=arcsin(x-2).
3
187.Вычислить
x dx
3
0
4
188.Вычислить
sin xdx
0
3
189.Вычислить
e dx
x
0
190.Написать общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка
191.Решить уравнение x / 2 y x
192.Решить уравнение y/=2x-y
193.Решить уравнение y/=tgx tgy
194.
Решить уравнение y 2 x
195.Решить уравнение x
dy
y 1
dx
196.Найти общий интеграл у 4 у 4 у 0
197.Что называется порядком дифференциального уравнения?
198.Укажите из данных уравнений дифференциальное
199.Решить уравнение y
x
y
200.Необходимое условие сходимости ряда
201.Решить уравнение y//-x2=0
202.Ряд 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n +… называется
203.Ряд называется сходящийся, если выполняется условие
х х2
х т 1
...
... это разложение в ряд Маклорена функции
204. 1
1! 2!
(т 1)!
205.Найти общее решение уравнения y``-y`=0
206.Найти общее решение уравнения y``-7y`+6y=0
207.Найти общее решение уравнения y``-y`-2y=0
208.Найти общее решение уравнения y``-2y`=0
209.Найти общее решение уравнения y``-2y`-3y=0
210.Линейное дифференциальное уравнение имеет вид:
А) y/+P(x)y=Q(x).
В) yy/-xy=cosx.
С) Y//=f(x).
Д) Y//=f(y/,y).
Е) Y/=u(x)v(x)
Примерные экзаменационные тестовые задания
Вариант *
1. Решить систему уравнений методами: Гаусса, Крамера и матричным.
x1 3x2 x3 8
2 x1 3x2 x3 7
5 x 2 x 3x 11
2
3
1
2. Вычислить определитель 3-го порядка
1 2 3
3 6 9
2 1
4
3. Найти векторное произведение векторов
a 2;1;3, b 4;5;2
4. Найти скалярное произведение векторов
a 2;1;3, b 4;5;2
5. Найти площадь треугольника с вершинами
A(2;-2;6), B(3;0;1), C(2;-6;2)
6. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
a 1;2;3, b 2;4;2, c 2;0;5
7. Определение координат вектора. Длина вектора
8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
A(2;-3)
параллельно прямой
2x+3y -11=0
9. Условия параллельности и перпендикулярности векторов
10. Расстояние от точки до прямой
11. Найти область определения функции
2
; б) y log 2 x 2 1
a) y 2
3x x
12. Исследовать на четность, нечетность функции
4х 2
3
2
а) y=2x +x +1;
б) y = 4
2х 1
13. Понятие обратной функции. Сложная функция. Неявная функция.
14. Найти пределы
2 x 5 3x 3 x 7
x 2 4x 3
a) lim
; б) lim
2x3 6
x2 1
x
x 1
15. Два замечательных предела
16. Найти производные функции
e2x
x
а) y=3x2 sin ;
б) y= 3 ln 3
2
x
17. Найти точки экстремума функции
a) y=3x3-16x;
б) y=2x2-1
18. Найти точки перегиба функции
y=2x4+6x3-1
19. Формула Ньютона-Лейбница
20. Вычислить интегралы
2
а) хе3 х dx ;
б) 3x 8 5 dx
x
12. Программное и мультимедийное сопровождение учебных занятий - нет
13. Перечень специализированных аудиторий, кабинетов и лабораторий
Корпус № 2