УМК Математика
advertisement
РАБОЧУЮ ПРОГРАММУ СОСТАВИЛ:
Старший преподаватель кафедры ОМ и ЕНД
Шевченко Елена АркадьевнаI____________
«_____»____2011г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ОБСУЖДЕНА НА ЗАСЕДАНИИ КАФЕДРЫ:
«ОМ и ЕНД»
«_____»________2011г. ПРОТОКОЛ №_______
ЗАВ.КАФЕДРОЙ ОМ и ЕНД_________Каткова И.В.
1
1.
Цели и задачи дисциплины
Дисциплина «Математика» относится к математическому и естественно-научному циклу ГОС ВПО, утвержденного (регистрационный номер 292
св/сп от 27 марта 2000 г.) и является одним из общеобразовательных курсов,
имеющим большое значение в формировании целостного естественнонаучного мировоззрения. Она обеспечивает логическую взаимосвязь
изучения дисциплин и имеет своей целью:
− подготовить, совместно с другими дисциплинами учебного плана,
специалиста по специальности 100101 «Сервис» по специализации «10010112 Автомобильный сервис» с высшим профессиональным образованием,
имеющего необходимый объем знаний по математике и практических
навыков по ее основным разделам, чтобы в соответствии с общими целями
ООП ВПО и Квалификационными требованиями грамотно применять их при
решении профессионально-прикладных задач в ходе осуществления научноисследовательской и эксплуатационной (эксплуатационно-технической)
деятельности;
− сформировать у студентов компетенции, обеспечивающие
применение знаний по математике при изучении других дисциплин и
позволяющие применять их при выполнении функциональных обязанностей
в должностях предназначения.
Задачи дисциплины:
− подготовить студентов к изучению смежных дисциплин, требующих
знания математики;
− сформировать у студентов навыки математического мышления,
повысить математическую культуру обучающегося;
− подготовить студентов к творческой профессиональной деятельности
в должностях предназначения, способных использовать математические
методы и основы математического моделирования;
− сформировать у студентов умения применять
полученные
математические
знания
к
решению
различных
технических,
технологических, экономических и управленческих задач и подготовить их к
восприятию учебного материала специальных курсов;
− сформировать у будущего специалиста сервиса научное мышление и
материалистическое мировоззрение, стремление к самостоятельному
приобретению знаний.
2
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины студенты должны:
знать:
- основные этапы становления современной математики и ее структуру;
- основные особенности математического мышления; аксиоматический
подход, математические доказательства;
-основные математические понятия: множества, числа, фигуры и образы,
отношения и отображения;
- метод координат, его применения;
-математическую реализацию идей непрерывности и дискретности;
- общую постановку задачи о принятии решения;
- математические методы в целенаправленной деятельности;
- математику случайного, статистические закономерности;
- анализ связей и факторов, математические методы проверки гипотез;
-принципы построения математических моделей, математические модели
процессов;
-роль математики в естественно-научных, инженерно-технических и
гуманитарных исследованиях;
-методы решения интеллектуальных задач в различных сферах человеческой
деятельности.
уметь:
— логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и
корректно использовать математические понятия и символы для
выражения количественных и качественных отношений.
иметь навыки:
— владения аппаратом векторной алгебры и аналитической геометрии,
основными методами линейной алгебры;
— использования методов дискретной математики для решения
конкретных задач;
— необходимые для дальнейшего изучения специальных курсов смежных
дисциплин.
иметь представление:
3
— о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой
культуре;
— об основных этапах становления современной математики и её
структуре;
— об основных математических понятиях и методах;
— о роли и месте математики в различных предметных областях;
3. Объем и распределение часов дисциплины по модулям, разделам,
темам и видам занятий
3.1. Объем и распределение часов на изучение дисциплины
и виды учебных занятий
(очная форма обучения)
Вид занятий (учебной работы)
Лекции
Лабораторные
Практические
КСР
Семинары
1 сем
28
2 сем
26
3 сем
42
4 сем
32
ИТОГО:
128
28
26
42
32
128
Итого аудиторных занятий:
РГЗ
Реферат
Курсовой проект (работа)
56
52
84
64
256
Другие виды самостоят. работы
Итого
самостоятельных
занятий:
ИТОГО:
Вид итогового контроля
100
100
90
90
72
72
82
82
344
344
156
Экза
мен
142
Экза
мен
156
Экза
мен
146
Экза
мен
600
4
3.2. Объем и распределение часов на изучение дисциплины
и виды учебных занятий
(очно-заочная форма обучения)
Вид занятий (учебной работы)
Лекции
Лабораторные
Практические
КСР
Семинары
1 сем
18
2 сем
26
3 сем
22
4 сем
22
ИТОГО:
88
22
26
22
22
92
Итого аудиторных занятий:
РГЗ
Реферат
Курсовой проект (работа)
40
52
44
44
180
Другие виды самостоят. работы
Итого самостоятельных занятий:
ИТОГО:
Вид итогового контроля
120
120
160
Экзамен
88
88
140
Экзамен
116
116
160
Экзамен
96
96
140
Экзамен
420
420
600
3.3. Объем и распределение часов на изучение дисциплины
и виды учебных занятий
(заочная форма обучения)
Вид занятий (учебной работы)
Лекции
Лабораторные
Практические
КСР
Семинары
1 сем
12
2 сем
8
3 сем
8
4 сем
8
ИТОГО:
36
6
14
8
8
36
Итого аудиторных занятий:
РГЗ
Реферат
Курсовой проект (работа)
18
22
16
16
72
Другие виды самостоят. работы
Итого самостоятельных занятий:
ИТОГО:
Вид итогового контроля
142
142
160
Экзамен
118
118
140
Экзамен
134
134
150
Экзамен
134
134
150
Экзамен
528
528
600
5
4. Содержание дисциплины
I семестр
Раздел 1. Алгебра и геометрия
1.
Тема 1. Вычисление
определителей матриц.
Действия с матрицами.
2.
Тема 2. Системы линейных
уравнений.
3.
Тема 3. Уравнения прямой на
плоскости.
4.
Тема 4. Кривые второго
порядка.
5.
Тема 5. Аналитическая
геометрия в пространстве.
6.
Тема 6. Векторная алгебра.
Итого по разделу 1:
II семестр
Раздел 2. Математический анализ
7.
Тема 7. Функции – основные
понятия и определения.
8.
Тема 8. Непрерывность,
дифференциальное
исчисление.
9.
Тема 9. Приложение
дифференциального
исчисления.
10.
Тема 10. Функции
нескольких переменных.
11.
Тема 11. Интегральное
исчисление
12.
Тема 12. Элементы теории
множеств. Мера множества.
13.
Тема 13. Числовые ряды,
степенные ряды.
Итого по разделу 2:
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ИТОГО
Итого сам. работы
Другие виды сам. работы
Курсовой проект (работа)
Реферат
РГЗ
Итого аудитьорных
Семинары
2
КСР
1
Лабораторные работы
Номера и наименование
разделов и тем,
распределение по семестрам
Лекции
№ п/п
Практические занятия
4.1.1 Разделы дисциплины и виды занятий (очная форма обучения)
12
13
14
28
28
56
100
100
156
6
6
14
20
20
34
6
8
14
20
20
34
4
4
8
12
12
20
4
2
6
8
8
14
4
4
8
20
20
28
4
28
4
28
10
56
20
100
20
100
30
156
26
26
52
90
90
142
2
2
4
10
10
14
4
4
8
20
20
28
2
2
6
14
14
20
4
4
8
12
12
20
6
6
14
20
20
34
2
2
4
4
4
8
6
6
12
10
10
22
26
26
52
90
90
142
6
III семестр
40
40
84
72
72
156
12
12
12
24
8
10
10
18
8
30
10
32
10
32
18
62
4
8
2
2
10
12
26
20
20
46
4
8
4
4
12
6
12
14
14
26
26
40
54
84
40
72
40
72
94
156
30
64
82
82
146
4
4
4
8
10
10
10
20
8
10
10
18
24
12
12
36
8
8
8
16
4
6
6
10
32
50
50
82
4
4
4
8
8
6
6
14
14
18
18
32
4
4
4
8
30
64
256
32
82
344
32
82
344
64
146
600
Раздел 3. Теория функций комплексного переменного
14.
Тема 14. Основные понятия
6
6
теории комплекных чисел.
15.
Тема 15. Функция комплекс4
4
ного переменного.
16.
Тема 16. Ряд Фурье.
4
4
Итого по разделу 3:
14
14
Раздел 4. Дифференциальные уравнения
17.
Тема 17. Основные понятия
4
теории ДУ
18.
Тема 18. ДУ первого
12
порядка
19.
Тема 19. ДУ высших
4
порядков
20.
Тема 20. Линейные ДУ
6
высших порядков
Итого по разделу 4:
26
ВСЕГО:
40
IV семестр
30
Раздел 5. Теория вероятности и математическая статистика
21.
Тема 21. Основные понятия
2
2
теории вероятности.
22.
Тема 22. Теоремы сложения
4
4
и умножения
23.
Тема 23 Полная вероятность . 4
4
Формула Байеса.
24.
Тема 24. Случайные
6
6
величины.
25.
Тема 25. Статистическая
4
4
обработка ряда
26.
Тема 26 Точечные оценки
2
2
параметров распределения
Итого по разделу 5:
16
14
Раздел 6. Вычислительная математика, дискретная математика
27.
Тема 27. Численные методы
2
2
решения алгебраических
уравнений
28.
Тема 28. Численные методы
4
4
анализа
29.
Тема 29. Численное диф6
6
ференцирование и интегрирование
30.
Тема 30. Интерполирование
2
2
функций
Итого по разделу 6:
14
14
ВСЕГО:
30
30
ВСЕГО ПО КУРСУ:
128
128
7
4.1.2. Содержание разделов дисциплины
(очная форма обучения)
1. Раздел
Алгебра и геометрия
Тема 1. Вычисление определителей матриц. Действия с матрицами.
Матрицы, основные понятия,виды матриц, действия с ними. Определители
второго и третьего порядков. Алгебраические дополнения и миноры.
Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по
строке (столбцу). Свойства определителей.
Тема 2. Системы линейных уравнений.
Системы двух и трех линейных уравнений. Матричная запись системы
линейных уравнений. Система n линейных уравнений с n неизвестными.
Формулы Крамера.
Метод Гаусса. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Метод Гаусса
в приближенной арифметике. Теорема Кронекера-Капелли.
Тема 3. Уравнения прямой на плоскости.
Различные виды уравнения прямой на плоскости. Условие параллельности и
перпендикулярности прямых.
Тема 4. Кривые второго порядка.
Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их
уравнения и геометрические свойства .
Тема 5. Аналитическая геометрия в пространстве.
Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями.
Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
Тема 6. Векторная алгебра.
Векторы. Линейные операции над векторами. Длина вектора. Понятие о
векторных диаграммах в науке и технике.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол
между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности
двух векторов. Механический смысл скалярного произведения.
2. Раздел
Математический анализ
Тема 7. Функции – основные понятия и определения.
Функция. Область ее определения. Способы задания. Сложные и обратные
функции, их графики. Основные элементарные функции, их свойства и
графики.
Тема 8. Непрерывность, дифференциальное исчисление.
8
Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Пределы
монотонных функций.
Непрерывность функций в точке. Непрерывность основных элементарных
функций.
Бесконечно малые в точке функции, их свойства. Сравнение бесконечно
малых.
Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование
наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных
значений.
Понятие функции, дифференцируемой в точке, дифференциал функции и его
геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации.
Производная функция, ее смысл в прикладных задачах (скорость, плотность).
Правила нахождения производной и дифференциала.
Производная сложной и обратной функции. Точки экстремума функции.
Производные высших порядков.
Тема 9. Приложение дифференциального исчисления.
Применение дифференциального исчисления для исследования функций и
построения их графиков.
Условие монотонности функции. Экстремумы функции: необходимое
условие, достаточное условие. Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции, дифференцируемой на отрезке.
Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.
Асимптоты функций.
Общая схема исследования функции и построения ее графика.
Формула Тейлора. Представление функций exp(x), sin(x), cos(x), 1n(1+x),
(1+x)α по формуле Тейлора.
Тема 10. Функции нескольких переменных.
Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.
Предел функции. Непрерывность.
Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными
производными.
Градиент. Его связь с линиями уровня. Частные производные высших
порядков.
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие
экстремума.
Тема 11. Интегральное исчисление.
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Использование
таблиц интегралов. Методы интегрирования: внесение множителя под знак
дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям.
9
Определенный интеграл, его свойства.
Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных
интегралов.
Применение определенного интеграла для вычисления площади, обьема тела
вращения.
Тема 12. Элементы теории множеств. Мера множества.
Элементы теории множеств. Действия с множествами. Диаграммы Венна.
Множество вещественных чисел. Мера множества.
Тема 13. Числовые ряды, степенные ряды.
Числовые последовательности. Числовые ряды. Признаки сходимости.
Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.
3. Раздел
Теория функций комплексного переменного
Тема 14. Основные понятия теории комплекных чисел.
Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на
плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и
тригонометрическая формы записи комплексного числа. Формула Эйлера.
Показательная форма записи комплексного числа.
Тема 15. Функция комплексного переменного.
Элементарные функции комплексного переменного.
Тема 16. Ряд Фурье.
Гармонический анализ. Разложение функции в ряд Фурье. Случай четной,
нечетной функции.
4. Раздел
Дифференциальные уравнения
Тема 17. Основные понятия теории ДУ
Основные понятия теории ДУ (общее решение, общий интеграл, частное
решение), Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
(экономика, социология и др.).
Тема 18. ДУ первого порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши для ДУ
первого порядка. ДУ с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные.
Понятия общего решения.
Тема 19. ДУ высших порядков.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение
степени. Задача Коши для ДУ высших порядков.
Тема 20. Линейные ДУ высших порядков.
10
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными
коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
Приложение к описанию линейных моделей в экономике.
5. Раздел
Теория вероятности и математическая статистика
Тема 21. Основные понятия теории вероятности.
Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Предмет теории вероятностей.
Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного
события. Классическое и геометрическое определение вероятности.
Методы вычисления вероятностей.
Тема 22. Теоремы сложения и умножения.
Теорема сложения. Случай несовместных событий. Условная вероятность.
Теорема умножения. Случай независимых событий.
Повторные независимые испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
Тема 23 Полная вероятность . Формула Байеса.
Полная группа событий. Гипотезы. Формула полной вероятности . Формула
Баейса. (переопределение вероятности).
Тема 24. Случайные величины.
Дискретные случайные величины. Функция распределения, ее свойства.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
Примеры распределений ( биномиальное, Пуассона).
Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность
распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и
дисперсия непрерывной случайной величины.
Примеры распределений (равномерное, показательное).
Нормальное распределение, его свойства.
Функции случайных величин и случайных векторов, их законы
распределения.
Понятие о различных формах закона больших чисел. Центральная
предельная теорема.
Тема 25. Статистическая обработка ряда.
Элементы математической статистики. Основы статистического описания.
Выборка, обьем выборки, медиана, мода, размах выборки. Гистограмма и
полигон частот. Эмпирическое распределение и его свойства.
Выборочные характеристики и их распределения. Асимптотические свойства
выборочных моментов.
Тема 26 Точечные оценки параметров распределения.
11
Точечные оценки. Свойства несмещенности, состоятельности и
эффективности.
Интервальные оценки. Доверительные интервалы и области. Интервальные
оценки параметров нормального и биномиального распределений.
6. Раздел
Вычислительная математика, дискретная математика.
Тема 27. Численные методы решения алгебраических уравнений.
Численные методы решения алгебраических уравнений: деления отрезка
пополам, метод хорд и касательных.
Тема 28. Численные методы анализа.
Интерполяция, экстраполяция. Временные ряды. Методы обработки
экспериментальных данных.
Тема 29. Численное дифференцирование и интегрирование.
Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение
дифференциальных уравнений первого порядка.
Тема 30. Интерполирование функций.
Интерполяция функций многочленами. Интерполяционный многочлен
Лагранжа.
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ИТОГО
Итого сам. работы
Другие виды сам. работы
Курсовой проект
(работа)
Реферат
РГЗ
Итого аудитьорных
Семинары
2
КСР
1
Лабораторные работы
Номера и наименование
разделов и тем, распределение
по семестрам
Лекции
№ п/п
Практические занятия
4.2.1. Разделы дисциплины и виды занятий (очно-заочная форма
обучения)
12
13
14
I семестр
Раздел 1. Алгебра и геометрия
1.
Тема 1. Вычисление определителей матриц. Действия с
матрицами.
2.
Тема 2. Системы линейных
уравнений.
3.
Тема 3. Уравнения прямой на
плоскости.
4.
Тема 4. Кривые второго порядка.
5.
Тема 5. Аналитическая геометрия в пространстве.
6.
Тема 6. Векторная алгебра.
Итого по разделу 1:
18
22
40
120
120
160
4
6
10
24
24
34
4
6
10
26
26
36
2
2
4
20
20
24
2
2
4
10
10
14
2
2
4
20
20
24
4
18
4
22
8
40
20
120
20
120
28
160
II семестр
26
26
52
88
88
140
2
2
4
10
10
14
4
4
8
18
18
26
2
2
4
12
12
16
4
4
8
12
12
20
6
6
12
18
18
30
2
2
4
4
4
8
6
6
12
14
14
26
26
26
52
88
88
140
22
22
44
116
116
160
4
12
12
16
4
12
12
16
4
16
12
36
12
36
16
52
Раздел 2. Математический анализ
7.
Тема 7. Функции – основные
понятия и определения.
8.
Тема 8. Непрерывность,
дифференциальное
исчисление.
9.
Тема 9. Приложение
дифференциального
исчисления.
10.
Тема 10. Функции нескольких
переменных.
11.
Тема 11. Интегральное
исчисление
12.
Тема 12. Элементы теории
множеств. Мера множества.
13.
Тема 13. Числовые ряды,
степенные ряды.
Итого по разделу 2:
III семестр
Раздел 3. Теория функций комплексного переменного
14.
Тема 14. Основные понятия
2
2
теории комплексных чисел.
15.
Тема 15. Функция комплекс2
2
ного переменного.
16.
Тема 16. Ряд Фурье.
2
2
Итого по разделу 3:
8
8
13
Раздел 4. Дифференциальные уравнения
17.
Тема 17. Основные понятия 2
теории ДУ
18.
Тема 18. ДУ первого порядка
6
19.
Тема 19. ДУ высших порядков
2
20.
Тема 20. Линейные ДУ 4
высших порядков
Итого по разделу 4:
14
ВСЕГО:
22
IV семестр
22
2
4
6
6
10
6
2
4
12
4
8
24
20
30
24
20
30
36
24
38
14
22
28
44
80
116
80
116
108
160
22
44
96
96
140
4
4
4
8
8
10
10
18
4
10
10
14
4
4
12
12
12
12
16
16
4
6
6
10
28
54
54
82
4
10
10
14
4
6
6
10
4
20
20
24
4
6
6
10
16
44
42
96
42
96
58
140
Раздел 5. Теория вероятности и математическая статистика
21.
Тема 21. Основные понятия 2
2
теории вероятности.
22.
Тема 22. Теоремы сложения и 4
4
умножения
23.
Тема 23 Полная вероятность . 2
2
Формула Байеса.
24.
Тема 24. Случайные величины. 2
2
25.
Тема
25.
Статистическая 2
2
обработка ряда
26.
Тема 26 Точечные оценки 2
2
параметров распределения
Итого по разделу 5:
14
14
Раздел 6. Вычислительная математика, дискретная математика
27.
Тема 27. Численные методы 2
2
решения алгебраических уравнений
28.
Тема 28. Численные методы 2
2
анализа
29.
Тема 29. Численное диф- 2
2
ференцирование и интегрирование
30.
Тема 30. Интерполирование 2
2
функций
Итого по разделу 6:
8
8
ВСЕГО:
22
22
4.2.2. Содержание разделов дисциплины
(очно-заочная форма обучения)
1. Раздел
Алгебра и геометрия
Тема 1. Вычисление определителей матриц. Действия с матрицами.
Матрицы, основные понятия,виды матриц, действия с ними. Определители
второго и третьего порядков. Алгебраические дополнения и миноры.
Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по
строке (столбцу). Свойства определителей.
Тема 2. Системы линейных уравнений.
Системы двух и трех линейных уравнений. Матричная запись системы
линейных уравнений. Система n линейных уравнений с n неизвестными.
Формулы Крамера.
14
Метод Гаусса. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Метод Гаусса
в приближенной арифметике. Теорема Кронекера-Капелли.
Тема 3. Уравнения прямой на плоскости.
Различные виды уравнения прямой на плоскости. Условие параллельности и
перпендикулярности прямых.
Тема 4. Кривые второго порядка.
Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их
уравнения и геометрические свойства .
Тема 5. Аналитическая геометрия в пространстве.
Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями.
Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
Тема 6. Векторная алгебра.
Векторы. Линейные операции над векторами. Длина вектора. Понятие о
векторных диаграммах в науке и технике.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол
между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности
двух векторов. Механический смысл скалярного произведения.
2. Раздел
Математический анализ
Тема 7. Функции – основные понятия и определения.
Функция. Область ее определения. Способы задания. Сложные и обратные
функции, их графики. Основные элементарные функции, их свойства и
графики.
Тема 8. Непрерывность, дифференциальное исчисление.
Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Пределы
монотонных функций.
Непрерывность функций в точке. Непрерывность основных элементарных
функций.
Бесконечно малые в точке функции, их свойства. Сравнение бесконечно
малых.
Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование
наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных
значений.
Понятие функции, дифференцируемой в точке, дифференциал функции и его
геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации.
Производная функция, ее смысл в прикладных задачах (скорость, плотность).
Правила нахождения производной и дифференциала.
Производная сложной и обратной функции. Точки экстремума функции.
Производные высших порядков.
15
Тема 9. Приложение дифференциального исчисления.
Применение дифференциального исчисления для исследования функций и
построения их графиков.
Условие монотонности функции. Экстремумы функции: необходимое
условие, достаточное условие. Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции, дифференцируемой на отрезке.
Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.
Асимптоты функций.
Общая схема исследования функции и построения ее графика.
Формула Тейлора. Представление функций exp(x), sin(x), cos(x), 1n(1+x),
(1+x)α по формуле Тейлора.
Тема 10. Функции нескольких переменных.
Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.
Предел функции. Непрерывность.
Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными
производными.
Градиент. Его связь с линиями уровня. Частные производные высших
порядков.
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие
экстремума.
Тема 11. Интегральное исчисление.
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Использование
таблиц интегралов. Методы интегрирования: внесение множителя под знак
дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям.
Определенный интеграл, его свойства.
Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных
интегралов.
Применение определенного интеграла для вычисления площади, обьема тела
вращения.
Тема 12. Элементы теории множеств. Мера множества.
Элементы теории множеств. Действия с множествами. Диаграммы Венна.
Множество вещественных чисел. Мера множества.
Тема 13. Числовые ряды, степенные ряды.
Числовые последовательности. Числовые ряды. Признаки сходимости.
Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.
3. Раздел
Теория функций комплексного переменного
Тема 14. Основные понятия теории комплекных чисел.
16
Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на
плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и
тригонометрическая формы записи комплексного числа. Формула Эйлера.
Показательная форма записи комплексного числа.
Тема 15. Функция комплексного переменного.
Элементарные функции комплексного переменного.
Тема 16. Ряд Фурье.
Гармонический анализ. Разложение функции в ряд Фурье. Случай четной,
нечетной функции.
4. Раздел
Дифференциальные уравнения
Тема 17. Основные понятия теории ДУ
Основные понятия теории ДУ (общее решение, общий интеграл, частное
решение), Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
(экономика, социология и др.).
Тема 18. ДУ первого порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши для ДУ
первого порядка. ДУ с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные.
Понятия общего решения.
Тема 19. ДУ высших порядков.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение
степени. Задача Коши для ДУ высших порядков.
Тема 20. Линейные ДУ высших порядков.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными
коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
Приложение к описанию линейных моделей в экономике.
5. Раздел
Теория вероятности и математическая статистика
Тема 21. Основные понятия теории вероятности.
Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Предмет теории вероятностей.
Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного
события. Классическое и геометрическое определение вероятности.
Методы вычисления вероятностей.
Тема 22. Теоремы сложения и умножения.
Теорема сложения. Случай несовместных событий. Условная вероятность.
Теорема умножения. Случай независимых событий.
Повторные независимые испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
Тема 23 Полная вероятность . Формула Байеса.
17
Полная группа событий. Гипотезы. Формула полной вероятности . Формула
Баейса. (переопределение вероятности).
Тема 24. Случайные величины.
Дискретные случайные величины. Функция распределения, ее свойства.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
Примеры распределений ( биномиальное, Пуассона).
Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность
распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и
дисперсия непрерывной случайной величины.
Примеры распределений (равномерное, показательное).
Нормальное распределение, его свойства.
Функции случайных величин и случайных векторов, их законы
распределения.
Понятие о различных формах закона больших чисел. Центральная
предельная теорема.
Тема 25. Статистическая обработка ряда.
Элементы математической статистики. Основы статистического описания.
Выборка, обьем выборки, медиана, мода, размах выборки. Гистограмма и
полигон частот. Эмпирическое распределение и его свойства.
Выборочные характеристики и их распределения. Асимптотические свойства
выборочных моментов.
Тема 26 Точечные оценки параметров распределения.
Точечные оценки. Свойства несмещенности, состоятельности и
эффективности.
Интервальные оценки. Доверительные интервалы и области. Интервальные
оценки параметров нормального и биномиального распределений.
6. Раздел
Вычислительная математика, дискретная математика.
Тема 27. Численные методы решения алгебраических уравнений.
Численные методы решения алгебраических уравнений: деления отрезка
пополам, метод хорд и касательных.
Тема 28. Численные методы анализа.
Интерполяция, экстраполяция. Временные ряды. Методы обработки
экспериментальных данных.
Тема 29. Численное дифференцирование и интегрирование.
Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение
дифференциальных уравнений первого порядка.
Тема 30. Интерполирование функций.
18
Интерполяция
Лагранжа.
функций
многочленами. Интерполяционный
многочлен
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ИТОГО
Итого сам. работы
Другие виды сам. работы
Курсовой проект (работа)
Реферат
РГЗ
Итого аудитьорных
Семинары
2
КСР
1
Лабораторные работы
Номера и наименование
разделов и тем, распределение
по семестрам
Лекции
№ п/п
Практические занятия
4.3.1 Разделы дисциплины и виды занятий (заочная форма
обучения)
12
13
14
I семестр
Раздел 1. Алгебра и геометрия
1.
Тема 1. Вычисление определителей матриц. Действия с
матрицами.
2.
Тема 2. Системы линейных
уравнений.
3.
Тема 3. Уравнения прямой на
плоскости.
4.
Тема 4. Кривые второго
порядка.
5.
Тема 5. Аналитическая
геометрия в пространстве.
6.
Тема 6. Векторная алгебра.
Итого по разделу 1:
12
6
18
142
142
160
2
1
3
30
30
33
2
1
3
32
32
35
2
1
3
14
14
17
2
1
3
12
12
15
2
1
3
28
28
31
2
12
1
6
3
18
26
142
26
142
29
160
II семестр
8
14
22
118
118
140
1
1
2
10
10
12
1
2
3
28
28
31
1
1
2
14
14
16
1
2
3
16
16
19
2
3
5
30
30
35
1
2
3
6
6
9
1
3
4
14
14
18
8
14
22
118
118
140
Раздел 2. Математический анализ
7.
Тема 7. Функции – основные
понятия и определения.
8.
Тема 8. Непрерывность,
дифференциальное
исчисление.
9.
Тема 9. Приложение
дифференциального
исчисления.
10.
Тема 10. Функции нескольких
переменных.
11.
Тема 11. Интегральное
исчисление
12.
Тема 12. Элементы теории
множеств. Мера множества.
13.
Тема 13. Числовые ряды,
степенные ряды.
Итого по разделу 2:
19
III семестр
8
8
Раздел 3. Теория функций комплексного переменного
14.
Тема 14. Основные понятия 1
1
теории комплекных чисел.
15.
Тема 15. Функция комплекс- 1
1
ного переменного.
16.
Тема 16. Ряд Фурье.
1
1
Итого по разделу 3:
3
3
Раздел 4. Дифференциальные уравнения
17.
Тема 17. Основные понятия 1
1
теории ДУ
18.
Тема 18. ДУ первого порядка
2
2
19.
Тема 19. ДУ высших порядков
1
1
20.
Тема 20. Линейные ДУ 1
1
высших порядков
Итого по разделу 4:
5
5
ВСЕГО:
8
8
IV семестр
8
8
Раздел 5. Теория вероятности и математическая статистика
21.
Тема 21. Основные понятия 1
1
теории вероятности.
22.
Тема 22. Теоремы сложения и 1
1
умножения
23.
Тема 23 Полная вероятность . 1
1
Формула Байеса.
24.
Тема 24. Случайные величины. 1
1
25.
Тема
25.
Статистическая 1
1
обработка ряда
Итого по разделу 5:
5
5
Раздел 6. Вычислительная математика, дискретная математика
26.
Тема 26. Численные методы 1
1
решения
алгебраических
уравнений
27.
Тема 27. Численное диф- 1
1
ференцирование и интегрирование
28.
Тема 28. Интерполирование 1
1
функций
Итого по разделу 6:
3
3
ВСЕГО:
8
8
16
134
134
150
2
20
20
22
2
20
20
22
2
6
22
62
22
62
24
68
2
12
12
14
4
2
2
20
20
20
20
20
20
24
22
22
10
16
72
134
72
134
82
150
16
134
134
150
2
14
14
16
2
20
20
22
2
20
20
22
2
2
32
18
32
18
34
20
10
104
104
114
2
10
10
12
2
16
16
18
2
4
4
6
6
16
30
134
30
134
36
160
4.3.2. Содержание разделов дисциплины
(заочная форма обучения)
1. Раздел
Алгебра и геометрия
Тема 1. Вычисление определителей матриц. Действия с матрицами.
Матрицы, основные понятия,виды матриц, действия с ними. Определители
второго и третьего порядков. Алгебраические дополнения и миноры.
20
Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по
строке (столбцу). Свойства определителей.
Тема 2. Системы линейных уравнений.
Системы двух и трех линейных уравнений. Матричная запись системы
линейных уравнений. Система n линейных уравнений с n неизвестными.
Формулы Крамера.
Метод Гаусса. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Метод Гаусса
в приближенной арифметике. Теорема Кронекера-Капелли.
Тема 3. Уравнения прямой на плоскости.
Различные виды уравнения прямой на плоскости. Условие параллельности и
перпендикулярности прямых.
Тема 4. Кривые второго порядка.
Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их
уравнения и геометрические свойства .
Тема 5. Аналитическая геометрия в пространстве.
Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями.
Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
Тема 6. Векторная алгебра.
Векторы. Линейные операции над векторами. Длина вектора. Понятие о
векторных диаграммах в науке и технике.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол
между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности
двух векторов. Механический смысл скалярного произведения.
2. Раздел
Математический анализ
Тема 7. Функции – основные понятия и определения.
Функция. Область ее определения. Способы задания. Сложные и обратные
функции, их графики. Основные элементарные функции, их свойства и
графики.
Тема 8. Непрерывность, дифференциальное исчисление.
Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Пределы
монотонных функций.
Непрерывность функций в точке. Непрерывность основных элементарных
функций.
Бесконечно малые в точке функции, их свойства. Сравнение бесконечно
малых.
Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование
наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных
значений.
21
Понятие функции, дифференцируемой в точке, дифференциал функции и его
геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации.
Производная функция, ее смысл в прикладных задачах (скорость, плотность).
Правила нахождения производной и дифференциала.
Производная сложной и обратной функции. Точки экстремума функции.
Производные высших порядков.
Тема 9. Приложение дифференциального исчисления.
Применение дифференциального исчисления для исследования функций и
построения их графиков.
Условие монотонности функции. Экстремумы функции: необходимое
условие, достаточное условие. Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции, дифференцируемой на отрезке.
Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.
Асимптоты функций.
Общая схема исследования функции и построения ее графика.
Формула Тейлора. Представление функций exp(x), sin(x), cos(x), 1n(1+x),
(1+x)α по формуле Тейлора.
Тема 10. Функции нескольких переменных.
Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.
Предел функции. Непрерывность.
Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными
производными.
Градиент. Его связь с линиями уровня. Частные производные высших
порядков.
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие
экстремума.
Тема 11. Интегральное исчисление.
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Использование
таблиц интегралов. Методы интегрирования: внесение множителя под знак
дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям.
Определенный интеграл, его свойства.
Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных
интегралов.
Применение определенного интеграла для вычисления площади, обьема тела
вращения.
Тема 12. Элементы теории множеств. Мера множества.
Элементы теории множеств. Действия с множествами. Диаграммы Венна.
Множество вещественных чисел. Мера множества.
Тема 13. Числовые ряды, степенные ряды.
22
Числовые последовательности. Числовые ряды. Признаки сходимости.
Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.
3. Раздел
Теория функций комплексного переменного
Тема 14. Основные понятия теории комплекных чисел.
Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на
плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и
тригонометрическая формы записи комплексного числа. Формула Эйлера.
Показательная форма записи комплексного числа.
Тема 15. Функция комплексного переменного.
Элементарные функции комплексного переменного.
Тема 16. Ряд Фурье.
Гармонический анализ. Разложение функции в ряд Фурье. Случай четной,
нечетной функции.
4. Раздел
Дифференциальные уравнения
Тема 17. Основные понятия теории ДУ
Основные понятия теории ДУ (общее решение, общий интеграл, частное
решение), Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
(экономика, социология и др.).
Тема 18. ДУ первого порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши для ДУ
первого порядка. ДУ с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные.
Понятия общего решения.
Тема 19. ДУ высших порядков.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение
степени. Задача Коши для ДУ высших порядков.
Тема 20. Линейные ДУ высших порядков.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными
коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
Приложение к описанию линейных моделей в экономике.
5. Раздел
Теория вероятности и математическая статистика
Тема 21. Основные понятия теории вероятности.
Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Предмет теории вероятностей.
Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного
события. Классическое и геометрическое определение вероятности.
23
Методы вычисления вероятностей.
Тема 22. Теоремы сложения и умножения.
Теорема сложения. Случай несовместных событий. Условная вероятность.
Теорема умножения. Случай независимых событий.
Повторные независимые испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
Тема 23 Полная вероятность . Формула Байеса.
Полная группа событий. Гипотезы. Формула полной вероятности . Формула
Баейса. (переопределение вероятности).
Тема 24. Случайные величины.
Дискретные случайные величины. Функция распределения, ее свойства.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
Примеры распределений ( биномиальное, Пуассона).
Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность
распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и
дисперсия непрерывной случайной величины.
Примеры распределений (равномерное, показательное).
Нормальное распределение, его свойства.
Функции случайных величин и случайных векторов, их законы
распределения.
Понятие о различных формах закона больших чисел. Центральная
предельная теорема.
Тема 25. Статистическая обработка ряда.
Элементы математической статистики. Основы статистического описания.
Выборка, обьем выборки, медиана, мода, размах выборки. Гистограмма и
полигон частот. Эмпирическое распределение и его свойства.
Выборочные характеристики. Точечные оценки.
Интервальные оценки. Доверительные интервалы и области.
6. Раздел
Вычислительная математика, дискретная математика.
Тема 26. Численные методы решения алгебраических уравнений.
Численные методы решения алгебраических уравнений: деления отрезка
пополам, метод хорд и касательных.
Тема 27. Численное дифференцирование и интегрирование.
Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение
дифференциальных уравнений первого порядка.
Тема 28. Интерполирование функций.
Интерполяция функций многочленами. Интерполяционный многочлен
Лагранжа.
24
5. Лабораторный практикум (не предусмотрен)
6. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Красс М.С. ,Чупрынов Б.П., Математика для экономистов.- СПб.: Питер,
2010.
2.
Шипачев В.С., Тихонов А.Н., Курс высшей математики. Учебник, 7-е изл
– М.: Велби, 2004.
1.
6.1.2. Дополнительная литература
1. Бочаров П.П., Печенкин А.В. Теория вероятностей и математическая
статистика. – М.: Гардарика, 1998.
2. Высшая математика для экономистов/Под ред. Кремера Н.Ш., - М.:
ЮНИТИ, 1998.
3. Лунгу К.Н., Сборник задач по высшей математике.- М.: Айрис-пресс,2005.
4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Бранков А.В. Математика в
экономика. - М.: Финансы и статистика, 1998.
5. Исследование операций/Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи,
ЮНИТИ, 1997.
6. Калесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.:
ИНФРА-М, 1997.
7. Калинина В.Н., Панкин В.Н. Математическая статистика. – М.: Высшая
школа, 1998.
8. Ковалев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая
статистика. - М.: ИНФРА-М, 1999
9. Васин В.В., Шолохович Ф.А. Основы высшей математики: учебник.
Екатеринбург, 1999.
10. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Математическая логика и теория
алгоритмов: учебник.- Москва, Новосибирск, 2008.
11. Осипова В.А. Основы дискретной математики.- М.: ФОРУМ-ИНФРА-М,
2006.
12. Турецкий В.Я. Математика и информатика: учебник.- М.: ИНФРА-М,
2008.
25
13. Вагер Б.Г. Численные методы решения дифференциальных уравнений:
учебное пособие, Санкт-Петербург, 2008.
14. Наумова Е.В., Шевченко Е.А. Введение в математический анализ:
методические указания, Санкт-Петербург, 2008.
26
Задание по алгебре и геометрии
Вариант 1
1. Найти матрицу F(A)=-A3+2A2-A+3E, где E –единичная матрица,
1 0
3 2
A=
2. Из трех матриц Вi выбрать такую, для которой существует
произведение матриц АВi, и найти его
4
2 3 5
А= 7 6 4 3
3 5 1 1
1
4
1 2
В1=
2 5
3
4
2 5 3 6
1 4 1 4
В2=
2 4
В3= 6 5
4 8
3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам
Крамера.
x1 x 2 x3 2
2 x1 x 2 x3 1
4 x 3x x 1
2
3
1
4. Найти ранг матрицы
2 0 7 1 5
1 3 2 1 2
3 3 9 0 7
5. Найти скалярное и векторное произведение векторов а
И b если a =(-1, 3,4), b =(0,2,5)
6. Написать уравнение прямой проходящей через точку М0(-2,1) и
параллельной прямой y=3x+1
7. Определить тип кривой второго порядка и нарисовать ее
X2=4-Y
Вариант 2
1. Найти матрицу F(A)=A -3A2+2A-2E, где E –единичная матрица,
3
27
2 3
0 1
A=
2. Из трех матриц Вi выбрать такую, для которой существует
произведение матриц АВi, и найти его
1 3 2
2
А= 4 2 1 3
2 0 3 1
4
1
В1=
1
5
2
3
2
1
2 3 5 4
3 40 6 0
В2=
1 7
В3= 0 3
2 9
3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по
формулам Крамера.
x1 5 x 2 x3 0
2 x1 4 x 2 3x3 1
3x 4 x 2 x 8
2
3
1
4. Найти ранг матрицы
1 2 4 0 4
4 7 0 3 2
3 5 4 3 1
5. Найти скалярное и векторное произведение векторов а
и b если a =(4,0,-1), b =(1,3,-2)
6. Написать уравнение прямой проходящей через точку М0(0,4) и
параллельной прямой y=-2x+3
7. Определить тип кривой второго порядка и нарисовать ее
X2=4-4Y2
Вариант 3
1. Найти матрицу F(A)=-A3+3A2+A+-2E, где E –единичная матрица,
2 1
3 0
A=
28
2. Из трех матриц Вi выбрать такую, для которой существует
произведение матриц АВi, и найти его
3
1
2 0
А= 8 3 2 4
1 2
4 1
0
5
2 3
В1=
1 2
3
5
2 7 2 0
4 1 7 6
В2=
2 5
В3= 7 0
3 5
3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам
Крамера.
x1 x 2 x3 1
8 x1 3x 2 6 x3 2
4 x x 3x 3
1
2
3
4. Найти ранг матрицы
2 1 3 5 0
3 6 3 7 2
1 8 3 3 2
5. Найти скалярное и векторное произведение векторов а
и b если a =(-2,0,3), b =(-1,2,1)
6. Написать уравнение прямой проходящей через точку М0(1,-3) и
параллельной прямой y=4x-1
7. Определить тип кривой второго порядка и нарисовать ее
X2=9+9Y2
Вариант 4
1. Найти матрицу F(A)=A3+3A2+2A-E, где E –единичная матрица,
0
3
1 2
A=
2. Из трех матриц Вi выбрать такую, для которой существует
произведение матриц АВi, и найти его
29
3
1 0 4
А= 6 3 2 1
2 1 5 7
0
2
10 5
В1=
1
3
7
2
4 1 0 2
4 3 1 4
В2=
2 2
В3= 0 5
1 7
3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам
Крамера.
x1 2 x 2 3x3 1
2 x1 x2 2 x3 9
5 x 8 x x 7
2
3
1
4.Найти ранг матрицы
7 1 2 3 1
10 0 4 1 2
3 3 6 4 1
5. Найти скалярное и векторное произведение векторов а
и b если a =(-1, 0,2), b =(1,-2,3)
6. Написать уравнение прямой проходящей через точку М0(6,-2) и
параллельной прямой y=x+7
7. Определить тип кривой второго порядка и нарисовать ее
Y2=4+6X
Вариант 5
1. Найти матрицу F(A)=-A3-2A2-A+2E, где E –единичная матрица,
1 0
3 2
A=
2. Из трех матриц Вi выбрать такую, для которой существует
произведение матриц АВi, и найти его
30
4
0
В1=
2
1
4
2 0 5
А= 7 6 4 3
3 5 2 1
1
2
2
3
2 5 3 6
1 4 1 4
В2=
2 4
В3= 6 5
4 8
3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам
Крамера.
x1 x2 x3 1
2 x1 x 2 x3 2
4 x 3x x 2
2
3
1
4. Найти ранг матрицы
5 2 1 1 6
1 2 0 4 5
3 3 1 2 7
5. Найти скалярное и векторное произведение векторов а
и b если a =(-1, 3,4), b =(0,2,5)
6. Написать уравнение прямой проходящей через точку М0(2,3) и
параллельной прямой y=-x+4
7. Определить тип кривой второго порядка и нарисовать ее
X2=36-4Y2
Задание по математике
Вариант 1
1. Вычислить
а) (7i18-5i27)(3i35+4i40)
б)
7i 8
5i 4
2. а) Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной
формах
31
z1=-12 z2=5i z3=-16i
б) Найти значения
z 3 ( z 5 )4
z4=8
z5=3+3i
z2
(z 5 ) 2
3. Из трех матриц Вi выбрать такую, для которой существует
произведение матриц АВi, и найти его
4
2 3 5
А= 7 6 4 3
3 5 1 1
1
4
1 2
В1=
2 5
3
4
2 5 3 6
1 4 1 4
В2=
2 4
В3= 6 5
4 8
4. Найти ранг матрицы
2 0 7 1 5
1 3 2 1 2
3 3 9 0 7
5. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера, методом
Гаусса и с помощью обратной матрицы.
x1 x 2 x3 2
2 x1 x 2 x3 1
4 x 3x x 1
2
3
1
6. Исследовать на непрерывность и построить график функции
x 3 , x 0
f(x)=
2 x , x 0
7. Найти пределы:
a)
3 x 2 10 x 3
lim
2
ч 3 5 x 16 x 3
б)
lim
x0
arcsin( 5 x)
в)
tg (7 x)
lim 1
x
2 3x
x
Вариант 2
1. Вычислить
а) (3i10+2i15)(4i33-5i22)
б)
5i 3
3i 2
2. а) Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной
формах
32
z1=2 z2=-3i z3=6i z4=-5
б) Найти значения
z5=-2+2i
z2
(z 5 ) 2
z 3 ( z 5 )4
3. Из трех матриц Вi выбрать такую, для которой существует
произведение матриц АВi, и найти его
1 3 2
2
А= 4 2 1 3
2 0 3 1
4
1
В1=
1
5
2
3
2
1
2 3 5 4
3 40 6 0
В2=
1 7
В3= 0 3
2 9
1 2 4 0 4
4 7 0 3 2
3 5 4 3 1
4. Найти ранг матрицы
5. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера, методом
Гаусса и с помощью обратной матрицы.
x1 5 x 2 x3 0
2 x1 4 x 2 3x3 1
3x 4 x 2 x 8
2
3
1
6. Исследовать на непрерывность и построить график функции
x 2 2, x 0
f(x)=
x 1, x 0
7. Найти пределы:
b)
lim
ч 1
3x 2 5 x 8
2 x 2 3x 5
б)
lim
x0
arctg (4 x)
в)
sin( 6 x)
Вариант 3
1. Вычислить
а) (9i8-2i17)(5i5+4i7)
б)
9i 1
5i 2
33
lim 1
x
4 2x
x
2. а) Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной
формах
z1=-10 z2=3i z3=-2i z4=5 z5=1-i
б) Найти значения
z2
(z 5 ) 2
z 3 ( z 5 )4
3. Из трех матриц Вi выбрать такую, для которой существует
произведение матриц АВi, и найти его
3
1
2 0
А= 8 3 2 4
1 2
4 1
0
5
2 3
В1=
1 2
3
5
2 7 2 0
4 1 7 6
В2=
2 5
В3= 7 0
3 5
4. Найти ранг матрицы
2 1 3 5 0
3 6 3 7 2
1 8 3 3 2
5. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера, методом
Гаусса и с помощью обратной матрицы.
x1 x 2 x3 1
8 x1 3x 2 6 x3 2
4 x x 3x 3
1
2
3
6. Исследовать на непрерывность и построить график функции
x 3 , x 0
f(x)=
2 x , x 0
7. Найти пределы:
c)
4x 2 7x 2
lim
2x 2 x 6
ч2
б)
2x
lim arctg (5x)
x0
Вариант 4
1. Вычислить
а) (2i22+3i17)(5i13+4i18)
б)
i6
4i 2
34
в)
lim 1
x
5 4x
x
2. а) Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной
формах
z1=7 z2=-2i z3=i z4=3 z5=-2-2i
б) Найти значения
z 3 ( z 5 )4
z2
(z 5 ) 2
3. Из трех матриц Вi выбрать такую, для которой существует
произведение матриц АВi, и найти его
3
1 0 4
А= 6 3 2 1
2 1 5 7
0
2
10 5
В1=
1
3
7
2
4 1 0 2
4 3 1 4
В2=
2 2
В3= 0 5
1 7
4. Найти ранг матрицы
7 1 2 3 1
10 0 4 1 2
3 3 6 4 1
5. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера, методом
Гаусса и с помощью обратной матрицы.
x1 2 x 2 3x3 1
2 x1 x2 2 x3 9
5 x 8 x x 7
2
3
1
6. Исследовать на непрерывность и построить график функции
x 2 1, x 0
f(x)=
3 x, x 0
7. Найти пределы:
d)
3 x 2 14 x 8
lim
2
ч4 2 x 7 x 4
б)
lim
x 0
sin( 0,5 x)
в)
4x
35
lim 1
x
7 x
x
Вариант 5
1. Вычислить
а) (i11-5i12)(2i31+3i22)
б)
i8
3i 4
2. а) Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной
формах
z1=-6 z2=3i z3=-4i z4=5 z5=-1+i
б) Найти значения
z 3 ( z 5 )4
z2
(z 5 ) 2
3. Из трех матриц Вi выбрать такую, для которой существует
произведение матриц АВi, и найти его
2 0 3 1
А= 0 4 2 7
2 1 3 5
0
5
1 3
В1=
1 2
5
2
2 9 4 7
1 6 1 4
В2=
2 4
В3= 0 3
4 8
4. Найти ранг матрицы
5 2 1 1 6
1 2 0 4 5
3 3 1 2 7
5. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера, методом
Гаусса и с помощью обратной матрицы.
x1 2 x 2 x3 4
2 x1 7 x 2 x3 8
3x 5 x 3x 1
2
3
1
6. Исследовать на непрерывность и построить график функции
x 3 2, x 0
f(x)=
3 x, x 0
36
Экзаменационные билеты по курсу математики
Билет №1
1.Расстояние между двумя точками
2.Схема исследования функции.
3. Задача 1
Билет №2
1. Деление отрезка в данном отношении
2. Выпуклость и вогнутость функции. Связь со второй производной.
3. Задача 2
Билет №3
1. Уравнения прямой.
2. Достаточное условие экстремума.
3. Задача 3
Билет №4
1. Условие параллельности и перпендикулярности 2-х прямых.
2. Условия возрастания и убывания функции.
3. Задача 4
Билет №5
1. Расстояние от точки до прямой.
2. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма).
3. Задача 5
Билет №6
1.Угол между прямыми.
2. Геометрический смысл производной.
3. Задача 6
Билет №7
1. Окружность
2. Таблица производных. Свойства производных.
3. Задача 7
Билет №8
1. Эллипс
2. Примеры вычисления производной по определению ( x 2 и sinx).
37
3. Задача 8
Билет №9
1. Гипербола
2. Определение производной функции.
3. Задача 9
Билет №10
1. Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве.
2. Классификация точек разрыва.
3. Задача 10
Билет №11
1. Векторы на плоскости и в пространстве.
2. Классификация точек разрыва.
3. Задача 11
Билет №12
1. Скалярное и векторное произведение
2. Первый замечательный предел.
3. Задача 12
Билет №13
1. Определение матрицы, виды матриц.
2. Свойства предела функции.
3. Задача 13
Билет №14
1. Линейные операции над матрицами: сложение, вычитание, умножение
на число.
2. Предел функции при х .
3. Задача 14
Билет №15
1. Умножение 2-х матриц. Свойства умножения 2-х матриц.
2. Предел функции. Определение.
3. Задача 15
Билет №16
1. Определители 2 и 3 порядков и способы вычисления. Свойства
определителей.
38
2. Второй замечательный предел. Формулы для числа е.
3. Задача 17
Билет №17
1. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по
элементам строки или столбца.
2. Последовательность. Понятие предела последовательности.
3. Задача 17
Билет №18
1. Обратная матрица: определение и метод вычисления.
2. Таблица производных. Свойства производных.
3. Задача 18
Билет №19
1. Системы линейных алгебраических уравнений.
2. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма).
3. Задача 19
Билет №20
1. Решение системы линейных алгебраических уравнений матричным
способом.
2. Условия возрастания и убывания функции.
3. Задача 20
Билет №21
1. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам
Крамера.
2. Достаточное условие экстремума.
3. Задача 21
Билет №22
1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
2. Выпуклость и вогнутость функции. Связь со второй производной.
3. Задача 22
39
Задачи к экзаменационным билетам
№1
1.
2.
3.
4.
№2
1.
2.
3.
Дано уравнение прямой:
y=2x–3
Построить график
Привести уравнение к общему виду
Привести уравнение к нормальной форме
Привести к уравнению в отрезках
5 x² - 10 x + 5 y² + 15 y – 11 = 0
Определить вид кривой
Указать ее основные характеристики
Построить.
№ 3 Даны точки М (0; -3) и N (4; 0)
1. Составить уравнение эллипса, проходящего через эти точки
2. Построить его
№4
1. Составить уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами
составляет 12, а расстояние между вершинами 8
2. Построить асимптоты и график.
№ 5 Даны векторы
Вычислить a b,
a=3i+2j-3k, b=4i+7j+5k
№ 6 Даны векторы a=2i-3j+4k, b=5i+6j+2k
Вычислить a x b
№7
5 4 2 1
А=
, В=
3 2 0 2
1 0 0 2
2 3 1 1 Найти 2А - 3В
40
№8
А=
2 2 1
3 0 2
,
В=
Перемножить матрицы
1 1
2 0
3 1
№ 9 Найти обратную матрицу
1 2 3
А=
0 1 2
0 0 1
№ 10
4Х1 + 2Х2 + Х3 = 11
{ Х1 + 9Х2 - 2Х3 = 13
2Х1 - 3Х2 + 2Х3 = 2
№ 11
Х1 - Х2 + Х3 = 0
{ Х1 + Х2 - 2Х3 = 1
Х1 +2Х2 -3Х3 = 2
Решить систему методом Крамера
Решить систему методом Гаусса
№ 12 Вычислить предел, указав тип неопределенности
lim
х 2 х 12
х2 9
x→3
№ 13 Вычислить предел, указав тип неопределенности
lim
х 4 5х 2 3
х3 1
x→∞
№ 14 Вычислить предел, указав тип неопределенности
lim ( х 2 х x→∞
х2 3 )
№ 15 Вычислить предел, указав тип неопределенности
5
n
lim ( 1+ ) 3 n
n→∞
41
№ 16 Найти первую производную
y = ( х 4 х 3 3 ) cos 2x
№ 17 Найти первую производную
y = ( х 5 3х 2 1 ) sin 3x
№ 18 Найти первую производную
y=
ln 2 x
х2 4
№ 19 Найти первую производную
y=
e5х
х3 7
№ 20 Найти первую производную
y = cos 2 (ln 3 ((1+ х 4 ) 5 ))
№ 21 Найти первую производную
y = х7 -
1
3
х
- 5 х 3 + ln 5x - arctg 3x + e 7 х - sin 4x
2
№ 22 Найти первую производную
х
y = х5 + x e 2 +
3
х2 1 + 3
42
Глоссарий
ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ - знаки, служащие для записи
математических понятий, предложений и выкладок.
Развитие З.м. было связано с общим развитием математики.
Первые З.м. для произвольных величин (площадей, объёмов, углов)
появились в Греции в V—IV .вв. до н. э. Создание современных
алгебраических символов (З.м.) относится к XIV—XVII вв.
Современная математическая логика различает следующие основные группы
З.м.: 1) знаки объектов, 2) знаки операций, 3) знаки отношений. К знакам
объектов относятся знаки: 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, служащие для обозначения
чисел. К знакам операций относятся знаки действий (сложение, вычитание и
др.) К знакам отношений относятся знаки равенства, неравенства,
параллельности .и т. д. Ниже (приведены некоторые 3. м., вводимые новыми
программами.
ИНТЕГРАЛ — важнейшее понятие математического анализа (см.
Неопределенный интеграл, Определенный интеграл).
ИНТЕРВАЛЫ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ - интервалы, в которых
функция возрастает или убывает. Задача на отыскание И. м. ф. решается как
элементарным способом с использованием определения возрастающей
(убывающей) функции, так и с помощью производной.
КАСАТЕЛЬНАЯ К ПЛОСКОЙ КРИВОЙ в точке А — прямая АЕ,
являющаяся предельным положением секущей АВ, когда точка В неограниченно приближается к точке А. Если y=f(x) — уравнение кривой, точка А
имеет координаты х0 и уо, то уравнение касательной, проведенной через А,
имеет вид у = kх + b, где k = f' (х), b = у0—f' (x0) • хо.
КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ— прямая, компланарная с
окружностью и имеющая с ней одну общую точку (см. Касательная к
кривой). К.к о. перпендикулярна к радиусу в конце его, лежащем на
окружности. Верно и обратное утверждение.
КАТЕТ в прямоугольном треугольнике — каждая из сторон,
заключающих прямой угол.
КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ— два ненулевых вектора, направления
которых либо совпадают, либо противоположны .
Два вектора, один из которых нуль-вектор, также считается К. в. Два
ненулевых вектора а и b
коллинеарные, если b = kа.
43
КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ (точки, прямые, фигуры) — векторы
(точки, прямые, фигуры), лежащие в одной или в параллельных плоскостях.
КОНСТАНТА — то же, что постоянная величина.
КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ — прямая, на которой указаны начало
отсчета, единица масштаба и направление. Начало отсчета делит К. п. на два
луча. На правом луче изображаются положительные, а на левом отрицательные действительные числа. (Ср. с термином Числовая прямая).
КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ — плоскость с введенными на ней
координатами (Ср. с термином Числовая плоскость).
КООРДИНАТНЫЕ ОСИ (в декартовой системе координат):
1. К. о. на плоскости — две взаимно перпендикулярные прямые,
проведенные на плоскости, с выбранным направлением и масштабом.
Горизонтальная прямая наз. осью абсцисс, вертикальная — осью ординат.
3. К. о. в пространстве -- три прямые, проходящие через начало координат
так, что каждые две из них взаимно перпендикулярны. Прямая,
перпендикулярная плоскости хОу, называется осью аппликат.
КООРДИНАТЫ
ВЕКТОРА а, начало которого лежит в начале
координат на плоскости — координаты его конца и обозначается à ( x, y ) .
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ — числа, определяющие положение точки на
прямой, плоскости, в пространстве.
1. Координата точки на координатной прямой равна расстоянию этой точки
от начала отсчета, выраженная в выбранных единицах масштаба.
2. Координатами точки М на плоскости наз. координаты проекций этой точки
на оси координат.
3. Координатами точки М в пространстве наз. координаты проекций этой
точки на координатные оси и записывается М (х; у; z).
Существуют различные способы определения положения точки, отсюда
различные системы координат.
КОСИНУС — одна из тригонометрических функций угла а, которая
обозначается соsа. Функция у = соsа для произвольного значения а.
КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА — так называется теорема, выражаемая
формулой а2 = b2 + с2 — 2bс соs А, где а, b, с — длины сторон треугольника
АВС, А — угол, противолежащий искомой стороне. Теорема применяется
при решении косоугольных треугольников. К. т. была найдена хорезмским
математиком ал - Бируни (X—XI вв.).
КОСИНУСОИДА — график функции у = соs х в прямоугольной системе
координат, представляющий сплошную плоскую кривую, симметричную
относительно оси ординат.
44
КОТАНГЕНС — одна из тригонометрических функций угла а, которая
обозначается ctg а, являющаяся по величине обратной tg a, т.е. ctg a =1/tg a.
Т.к. tg a = 1/ctg a. К. определяется и как отношение косинуса этого гла к его
синусу, т.е. ctg a= cos a/ sin a, где a не равно пk.
Для прямоугольного треугольника, где а<90°, К.— отношение прилежащего
углу а катета к противолежащему катету. Функция у = сtg а определена для
всех действительных значений аргумента а, исключая точки разрыва а = пk,
неограниченная, положительная в интервалах пk<а<
п/2, отрицательная при – п.2 +пk<а<пk, равна нулю при а = п/2 (2k+ 1),
периодическая с периодом п, имеет ассимптоты х = пk, нечетная, т.к. ctg(—а)
=—сtg a, убывающая во всех промежутках, на которых она определена, а потому не имеет ни максимума, ни минимума. В приведенных формулах везде
k = 0, ± 1, ±2, •••. Термин котангенс введен в 1620 г. Э. Гунтером.
КРУГ — множество точек плоскости, каждая из которых находится от
некоторой точки О той же плоскости на расстоянии, не превосходящем R.
Расстояние между точками А и В, принадлежащими кр. (О; R), меньше или
равно 2R. За величину площади круга принимается общий предел, к
которому стремятся площади правильных вписанного в него и описанного
около него многоугольников при неограниченном увеличении числа их
сторон.
ЛОГАРИФМ — математический термин, введенный В науку Джоном
Непером. Логарифмом числа N>0 по данному положительному основанию а
не = 1 называется показатель степени х, в который нужно возвести основание
а, чтобы получить число N. Для обозначения логарифма числа N по
основанию а употребляется символ logаN, введенный в 1624 г. И. Кеплером.
Т.о., по определению логарифма: a log N N , где а > 0, а не = 1 и N > 0.
ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ — действие, состоящее в нахождении логарифма
числа. Теоремы логарифмирования:
1) Если два числа при данном основании имеют один и тот же логарифм, то
эти числа равны.
2) Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме
логарифмов сомножителей.
3) Логарифм частного положительных чисел равен разностилогарифмов делимого и делителя
4) Логарифм степени положительного числа равен показателю степени,
умноженному на логарифм ее основания
5) Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного
числа, деленному на показатель корня.
6) Логарифмы числа N при основаниях а и b связаны соотношением,
a
45
наз. формулой перехода от логарифма по основанию b к логарифму по
основанию а log a N
1
log b N
.
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО —неравенство, содержащее
переменную под знаком логарифма или в основании логарифма.
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее
переменную под знаком логарифма или в основании логарифма. Некоторые
приемы решения Л. у.:
1) Если все члены уравнения выражены через логарифмы, то такое уравнение
решается непосредственным потенцированием.
2) Если не все члены уравнения находятся под знаком логарифма, то
предварительно необходимо заменить числа равными им логарифмами.
3) Уравнение вида logx/log n = m решается предварительным
освобождением от дробей и последующим потенцированием: log x = т
log п, откуда х = пт.
4) Уравнения, содержащие переменную в показателе степени под знаком
логарифма, наз. показательно-логарифмическими и решаются они
логарифмированием.
5) Если уравнение содержит логарифмы разных оснований, то для решения
его нужно все логарифмы привести к какому-либо одному основанию.
МАКСИМУМ ФУНКЦИИ. Функция у = f(х) имеет максимум в точке x=а,
если для всех x, достаточно близких к а, т.е. в окрестности этой точки [а+е, ае], принадлежащей области определения этой функции, выполняется
неравенство f(а)>f(х). Точка х = а .наз. точкой М. ф. Графически М.ф.
выражает вершину кривой, а точка М. ф. — границу перехода от возрастаний
к убыванию функции.
МАТЕМАТИКА — наука, изучающая количественные отношения и
пространственные формы предметов, явлений. Различают элементарную,
высшую и прикладную М.
Главнейшие периоды в истории математики (по Колмогорову А. Н.):
1) Период зарождения математики. Начало периода теряется В глубине
истории, кончается VI—V вв. до н. э. Этот период характерен накоплением
фактического материала математики как неразделенной еще науки.
2) Период элементарной математики. Этот период начинается с VI—V вв. до
н. э., кончается XVI в. Он отличается большими достижениями в изучении
постоянных величин. Геометрия в трудах Евклида приобретает строгую
логическую систему и из опытной становится научной, зарождается
аналитическая геометрия и учение о бесконечно малых.
46
3) Период создания математики переменных величин. Этот период
начинается в XVI—XVII вв. и кончается серединой XIX в. Он открывается
трудами Декарта, внесшего переменные величины в аналитическую
геометрию, Ньютона и Лейбница, создавших дифференциальное и
интегральное исчисления. В рассматриваемый период сложились почти все
научные дисциплины, изучаемые в настоящее время в высшей школе.
4) Период современной математики. Он начался с середины XIX в. работами
Н. И. Лобачевского, открывшего новую, неевклидову геометрию. В
настоящее время появилось много новых математических теорий,
расширилось приложение математики во всех областях деятельности
человека.
МИНИМУМ ФУНКЦИИ. Функция y = f(x) имеет минимум в точке х = а,
если для всех х, достаточно близких к а, т. е. в окрестности этой точки [a+е;
a+е], принадлежащей области определения этой функции, выполняется
неравенство f(а)<f(x).
Точка х = а наз. точкой М. ф. Графически М. ф. выражает вершину кривой, а
точка М. ф. — границу перехода от убывания к возрастанию функции. М. ф.
может быть как больше, так и меньше максимума.
НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ—логарифм, в котором за основание взято
трансцендентное число
е = lim ( 1 + 1/n)" = 2,718281828459045 ....
Н. л. числа х обозначается ln х, что соответствует logеХ. Термин Н.л. ввел
Меркатор в 1668 г. Н.л. большое применение находят в высшей математике.
НАЧАЛО КООРДИНАТ — точка, в которой пересекаются оси
координат.
НЕОГРАНИЧЕННАЯ ФУНКЦИЯ—см. Ограниченная функция.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — совокупность всех первообразных
функций F (х) + С для данной функции f (х) и обозначается где
f ( x)dx F ( x) c , где f(x)dx наз. подынтегральным выражением, С —
постоянной интегрирования. Процесс нахождения первообразной функции
по данному дифференциалу наз. интегрированием, а раздел математического
анализа, занимающийся интегрированием, наз. интегральным исчислением.
Интегрирование вводится как операция, обратная дифференцированию.
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ — множество всех
действительных значений аргумента х, при которых функция имеет
действительное значение: D(f). Для функции, заданной аналитически, под О.
о. ф. понимается множество допустимых значений аргумента.
В О. о. ф. не входят те значения х, при которых:
а) знаменатель дробного выражения обращается в нуль.
47
б) подкоренное выражение корня четной степени принимает отрицательное
значение.
в) выражение, стоящее под знаком логарифма, окажется отрицательным
числом или нулем.
г) основание логарифма окажется равным нулю или единице или меньше
нуля.
д) выражение, стоящее под знаком арксинуса или арккосинуса, по модулю
больше единицы.
ОБЪЕМ ТЕЛА. В основе теории измерения объемов тел лежит следующее
допущение, которое может быть строго доказано. Допускаем, что каждому
телу Р можно поставить в соответствие положительное число V(F) так, что
выполняются следующие условия:
1) конгруэнтным телам соответствуют равные числа;
2) если тело Р представляет соединение двух тел F1 и F2, то ему
соответствует число, равное сумме чисел, соответствующих
телам Fи F;
3) кубу, ребро которого принято за единицу длины, соответствует число один
(единичный куб).
Число, соответствующее телу Р при этих условиях, называется объемом V(Р).
Из условий 1 — 3 вытекают следующие cследствия:
4) Если тело F представляет соединение тел F1, F2, ... , Fn,
то V(F) = V(F1)+V(F2) + … +V(Fn).
5) Если тело F представляет часть тела Ф, то V(F) <V(Ф).
6) Равносоставленные тела имеют равные объемы.
Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими; след., можно
сказать, что равное оставленные тела равновелики. Обратное предложение,
вообще говоря, не имеет места.
ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, образованного вращением вокруг оси Ох
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у =f(х), прямыми
х = а и х = b (а < b) и осью Ох,
находится по формуле
b
V f 2 ( x)dx
.
a
ОКРУЖНОСТЬ — множество всех точек плоскости, равноудаленных на
расстоянии r от заданной точки О той же плоскости, называемой центром
окружности, и обозначается так: окр. (О; г). Коротко: Всякая точка х е Окр.
(О; r) <=> \0х\=r. Отрезок, равный расстоянию любой точки О. до центра,
наз. радиусом « обозначается R или r. Отрезок, соединяющий две точки О.,
наз. хордой; хорда, проходящая через центр,— диаметром и обозначается
48
буквой d. (см. Длина окружности). Уравнение О. с центром в точке (а; b)
имеет вид (X — a)2+ (у — b)2 = r2, а в точке (О; О) х2 + y2 = r2.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ— математическое понятие, связанное с
вычислением площади под графиком непрерывной функции у=f(x
)(криволинейной трапеции ), как предела площадей некоторой
b
последовательности прямолинейных фигур. S f ( x)dx F (b) F (a) - формула
a
Ньютона – Лейбница.
ОРДИНАТА ТОЧКИ М — координата проекции точки М в декартовой
системе координат на ось Оу.
ОРТ— единичный вектор. В прямоугольной системе координат О. обычно
обозначают векторами i, j, k, направленными соответственно по осям Ох,
Оу, Оz.
ОРТОГОНАЛЬНЫЙ — перпендикулярный, прямоугольный.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ — неопределяемые понятия:
точка, прямая, плоскость, расстояние. О. п. г.— начальные понятия, с
введения которых начинается математическая наука. Между О. п. г.
существуют взаимосвязи. Аксиомы устанавливают связи между О. п. г. (см.
Определение математического понятия).
ОСТРЫЙ УГОЛ — угол, меньший своего смежного; О. у. меньше прямого
угла.
ОСЬ АБСЦИСС — неограниченная прямая ox, на которой в декартовой
системе координат откладываются значения аргумента.
ОСЬ АППЛИКАТ — одна из осей z'z декартовых координат в пространстве,
перпендикулярная плоскости хОу.
ОСЬ ОРДИНАТ — неограниченная прямая oy, на которой в декартовой
системе координат откладываются значения функции у=f(х).
ОСЬ СИММЕТРИИ — неподвижная прямая j, относительно которой
каждой точке А плоскости (пространства) соответствует точка А', лежащая
на прямой АА', перпендикулярной j так, что |ОА| = |ОА'|, где О — точка
пересечения прямой АА' с прямой j. Если фигура F при преобразовании
осевой симметрии преобразуется сама в себя, то прямая l наз. О. с. данной
фигуры Р. О. с. — то же, что ось отражения. Прямая j наз. О. с. порядка п для
данной фигуры, если она самосовмещается при повороте около прямой j на
(360/n)градусов.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. Две прямые а и b, лежащие в одной
плоскости, наз. параллельными, если они не имеют общих точек или
совпадают и обозначается а||b. Кратко: а||b <=>(а = b или а b = 0}. Знак ||
ввел в 1677 г. Оутред, термин «параллельный» — Евклид. Параллельность
49
прямых обладает свойствами рефлективности, симметричности и
транзитивности.
Признаки П. п.: 1) Две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой,
параллельны.
2) Центрально симметричные прямые параллельны. 3) Две прямые, пересеченные третьей, параллельны, если: а) соответственные углы
конгруэнтны; б) внутренние (внешние) накрест
лежащие углы конгруэнтны.; в) сумма величин внутренних (внешних)
односторонних углов равна 2 и.
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция F(х) наз. первообразной для
функции f (х) на некотором промежутке, если
F' (х) = f (х) для всех х, принадлежащих этому промежутку.
ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА — величина, которая в условии данного
рассматриваемого процесса принимает различные значения. Переменная
величина считается заданной, если указано множество значений, которые она
может принимать. Это множество различных значений переменной наз.
областью изменения той переменной. Обозначение переменных буквами х,
у, z, ... ввел в 1637 г. Декарт.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ. Две плоскости a и В наз.
взаимно перпендикулярными, если они при пересечении образуют
конгруэнтные смежные углы. Признак П. п.: если плоскость (а) проходит
через прямую (а), перпендикулярную другой плоскости (в), то эти плоскости
взаимно перпендикулярны.
ПЛАНИМЕТРИЯ — часть геометрии, изучающая свойства плоских фигур.
'Впервые курс планиметрии изложил Евклид в своих «Началах».
ПЛОСКАЯ КРИВАЯ — кривая, все точки которой лежат в ОДНОЙ
ПЛОСКОСТИ.
ПЛОСКАЯ ФИГУРА — фигура, все точки которой лежат в одной
плоскости. Плоские фигуры подразделяются на выпуклые и невыпуклые,
открытые и замкнутые, ограниченные и неограниченные, правильные и
неправильные.
ПЛОСКОСТЬ — одно из первичных понятий в математике Представление о
П. дает гладь поверхности воды, зеркала и др.;
Свойства П.: 1) Всякая .прямая, соединяющая две точки П.^ лежит на ней
целиком. 2) Если две П. имеют общую точку] то они пересекаются по
прямой, проходящей через эту точку! 3) Через три точки, не лежащие на
одной прямой, можно про? вести П. и притом только одну. Отсюда следует,
что прямая и точка вне ее «ли две пересекающиеся прямые или две
параллельные прямые определяют П., притом только одну.
50
Общее уравнение П. относительно ее координат: '
Ах + Еу + О + В == 0. ;
На рисунке П. изображается в виде куска с «оборванными ,краями», чаще в
виде параллелограмма.
ПЛОЩАДЬ КРУГА. За величину П. к. принимается общий" предел, к
которому стремятся площади правильного вписанного и описанного
многоугольников, когда число их сторон неограниченно возрастает. П. к. 5 =
яК2 = — яВ2 = — СК, где С — дли на окружности.
ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ— поверхность, образуемая
вращением плоской линии вокруг компланарной с ней оси П. т. в. можно
найти путем приближения ее вписанными (описанными) многогранными
поверхностями. Например, за площадь боковой поверхности цилиндра
принимается общий предел, IV которому стремятся площади боковой
поверхности вписанной (описанной) n-угольной правильной призмы при
nбесконечность. П. т. в. находится и как производная от объема тела
вращений по радиусу вращения в точке х,
ПОВОРОТ—такое перемещение точек плоскости, при котором центр
поворота точка О отображается сама на себя (остается неподвижной), а
каждая другая ее точка А, сделав П. около центра О по дуге окружности в
одном и том же направлении на один и тот же угол а (угол поворота),
лежащий в пре-'им1ах--180°< а< 180°, переходит в точку А' и записывается
А'=К0« (А). Поворот на 0° — тождественное преобразование плоскости и
обозначается Е(А) = А. П. по ходу часовой стрелки наз. отрицательным, а
против хода часовой стрелки — положительным. П. задается указанием его
центра и угла поворота а, лежащего в пределах— 180°< а ^ 180°, либо его
центром и парой точек А и А' не= А. Аналогично определяется П. вокруг
прямой / в пространстве (см. Центр вращения, Ось вращения).
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ— функция вида у = ах, где
а>0 и а не = 1, обратная логарифмической функции у = logах. П. ф. у = ех,
где е~ 2,718... , наз. экспонентой.
ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО — неравенство, содержащее
переменную под знаком показательной функции. П. н.— неалгебраическое
неравенство. При решении П.«. используют свойства функций, входящих в
неравенство.
ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, в котором переменная
входит в показатель степени. Общего приема решения П. у. не существует.
Приведем способы решения некоторых
1ШДОЗ П. V.
51
1) Способ приравнивания показателей. Он основан на свойстве равных
степеней: если ат = а", а ^ 0, а =^- ± 1, то т = п,
ПОЛУПЛОСКОСТЬ. Фигура, составленная из прямой а и одной из двух
открытых полуплоскостей, наз. полуплоскостью с границей а. Свойства П. с
границей а: 1) две различные точки, лежащие в разных открытых
полуплоскостях, разделены прямой а; 2) если эти точки лежат в одной и той
же открытой полуплоскости, то они не разделены прямой а.
ПОЛУПРОСТРАНСТВО — фигура, состоящая из плоскости а и одного из
двух полупространств с границей а. Свойства П. аналогичны свойствам
полуплоскости (см.)
ПОЛУПРЯМАЯ — луч (см.).
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — важнейшее понятие математики. П. можно
составить из элементов любой природы (чисел, фигур, функций). 'Числовой
П. наз. функция натурального аргумента (числа). П., имеющая конечное
число членов, наз. конечной, а П., состоящая из бесконечного числа членов,
наз. бесконечной. Например, П. всех натуральных чисел бесконечна, а П.
всех двузначных чисел конечна (см. Бесконечная числовая последовательность, Ограниченная числовая последовательность, Предел числовой
последовательности).
ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА. Если от значения аргумента х1 переходим
,к значению х1, то разность х2 — х1 наз. приращением аргумента и
обозначается х2 — х1 = х. Геометрически приращение аргумента
изображается приращением абсциссы точки кривой. Знак х ввел Эйлер.
ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ. Если при значении аргумента XI.значение
функции равно y1=f(x1), а при значении аргумента x2 значение функции у2 =
f(х2), то разность y2 — y1 =f(х2) — f(x1) = f (x + A х)—f(х)=Aу .называется
приращением функции. Геометрически приращение функции изображается
приращением ординаты точки кривой. Знак у ввел Эйлер.
ПРОИЗВОДНАЯ функции у= f(х) по аргументу х есть предел отношения
приращения функции y к приращению аргумента x, когда x0 .
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ (ПРЯМАЯ)—основное понятие в евклидовой геометрии.
Представление о прямой дает нам туго натянутая нить. Свойства П.л.: 1.
Через одну точку можно провести бесчисленное множество прямых, т. е.
пучок прямых. 2. Через две точки можно провести только одну прямую. 3.
Прямая неограничена. 4. Две прямые пересеваются в одной точке.
ПРЯМОЙ УГОЛ — угол, равный своему смежному. П.у. содержит 90° или
п/2 радианов. П. у. обозначается буквой (от фр. слова droit — прямой). П. у.
употребляется в качестве единицы измерения углов.
52
РАДИУС-ВЕКТОР точки М плоскости (пространства)—направленный
отрезок, начало которого совпадает с началом прямоугольной системы
координат, а коней — с точкой (М, обозначается ОМ или М.
СИММЕТРИЯ — свойство фигуры. 1. С. на плоскости относительно
прямой (оси) наз. такое расположение точек, при котором (каждые две точки
лежат: 1) по разные стороны от осп; 2) на одном перпендикуляре к оси; 3) на
равном расстоянии от нее. Две фигуры Р и Р' наз. симметричными
относительно прямой, если каждой точке А фигуры Р однозначно
соответствует симметричная точка А' фигуры Р' и наоборот.
2. -С. на плоскости относительно точки (центра) наз. такое расположение
точек, при котором каждые две точки, лежащие на одной 'прямой,
проходящей через эту точку, находятся на одинаковом расстоянии от нее.
Две фигуры Р и Р' наз. симметричными относительно точки (центра), если
каждой точке А фигуры Р однозначно (соответствует точка А' фигуры Р',
симметричная относительно этой же точки, и наоборот.
3. С. в пространстве относительно плоскости а наз. таксе расположение
точек, при .котором каждые две точки А и А', лежащие на одной прямой АА',
перпендикулярной к плоскости а, находятся на одинаковом расстоянии от
нее.
4. С. в пространстве относительно прямой / наз. такое расположение 'точек,
при котором каждые две точки А и А', лежащие на прямой АА',
перпендикулярной к прямой /, находятся на равном расстоянии от нес.
Учение о С. применяется в науке, технике, производстве. Впервые учение о
С. ввел Лежандр. Термин С. употребляется и как вид перемещения (см.).
СИНУС — одна из тригонометрических функций угла а, которая
обозначается sin а.
СИНУСОВ ТЕОРЕМА — теорема, устанавливающая зависимость между
сторонами треугольника ,и синусами противолежащих углов.
Читается: в треугольнике стороны пропорциональны синусам
противолежащих углов. Эта теорема была найдена Брахмагуптой и впервые
доказана Нагарэддином Туе и. Европейские математики ею пользовались,
начиная с XVI в.
СИНУСОИДА — график функций у =sin х в прямоугольной системе
координат, представляющий сплошную плоскую кривую, симметричную
относительно начала координат, переcекающую ось абсцисс в точках х = пk,
где k = 0; ±1; ± 2; . . . причем |sin x| <=1, имеющую максимум, равный + 1 в
точках х = п/2 (4k+1), и минимум, равный — 1, в точках х = п/2 (4k-1).
Прямая у = х — касательная к С. в точке (0; 0).
53
Скаляр- величин, определяемая только числовым значением, например:
длина, площадь, объём, масса и др.
СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ - две прямые, через которые нельзя
провести плоскость. С. п. не параллельны и не пересекаются. Углом между
двумя скрещивающимися, прямыми наз. острый угол .между
параллельными им прямыми, проходящими через произвольную точку. За
расстояние между скрещивающимися прямыми принимается расстояние
между параллельными плоскостями, в которых лежат скрещивающиеся прямые.
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ—функция, промежуточный аргумент которой ;в
свою очередь является функцией от нового аргумента: у = F[f(x)].
ТАНГЕНС — одна из тригонометрических функций угла а, которая
обозначается tg а. Функция у = tg a для произвольного значения а
определяется так: построим две взаимно перпендикулярные прямые х,х и у'у
и из точки пересечения их опишем окружность радиуса г = 1.
В прямоугольном треугольнике, где а < 90°, тангенс угла а определяется как
отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему.
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ — геометрические тела, образуемые вращением
плоских фигур вокруг оси, расположенной в плоскости вращаемой фигуры.
ТЕОРЕМА — всякое математическое предложение (кроме акcиомы и
определения), истинность которого устанавливается путем доказательства. В
ранний период изучения геометрии Т. в большинстве случаев
формулируются (в виде условного предложения с использованием слов
«если» и «то».
В Т. различают две части: 1) условие, в нем говорится о том, что дано
теоремой; 2) заключение, в нем говорится о том, что требуется доказать.
Если в данной Т. условие заменить заключением, а заключение — условием,
то получится новая Т., обратная данной (прямой). Такие две Т. наз. взаимно
обратными. Взаимно обратные Т. либо обе верны, либо обе неверны, либо
одна верна, а другая нет)
ТОЧКА — одно из первичных отвлеченных понятий геометрии. Т.—
граница смежных частей линии. Движение Т. образует линию. Т. не имеет
никакого измерения.
ТОЧКА РАЗРЫВА — см. Непрерывная функция.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ —уравнение, содержащее
переменную под знаком тригонометрических функций. Т. у.—
трансцендентное уравнение. Те значения переменной, которые
удовлетворяют уравнению, наз. корнями Т. у. Решение простейших Т. у.:
1. sin x = т, х = (— 1)к • arcsin т, где | m | < 1.
54
2. соs х = т, х = 2Пк ± агссоs т, где \т\ <1.
3. tg x = т, х = arctg т, где т — любое действительное
число.
4.ctg x = т, х =arcctgm, где m— любое действительное число.
Решение любого Т. у. сводится к решению простейших Т. у. Единого метода
решения Т. у. не существует.
При решении Т.у. следует избегать преобразований, влекущих к потере
корней или приобретению посторонних корней. В необходимых случаях
нужно контролировать принадлежность корней ОДЗ уравнения, выполнять
проверку пригодности .корней.
ТРИГОНОМЕТРИЯ — раздел математики, изучающий тригонометрические функции, их свойства и применение их к решению задач. Т.
различают плоскую (прямолинейную), занимающуюся решением плоских
треугольников, и сферическую, которая занимается решением сферических
треугольников.
Раньше Т. :была частью астрономии. Позже она отделилась в
самостоятельную науку. Отделение Т. от астрономии принадлежит ат-Тусси.
Современный вид Т. получила в трудах Эйлера.
ТУПОЙ УГОЛ — угол, больший своего смежного. Т. у. больше прямого, но
меньше развернутого угла.
ТУПОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК — треугольник, у которого один угол
тупой.
УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ —см. Возрастающая функция.
УГЛЫ СО ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРОНАМИ — два
угла, соответственные стороны которых взаимно перпендикулярны. У. с. в. п.
с. конгруэнтны, если оба острые или оба тупые и в сумме составляют 2 Л,
если один острый, а другой тупой.
УГОЛ (ПЛОСКИЙ) — фигура, образованная двумя различными лучами с
общим началом вместе с одной из двух частей плоскости, на которые эти
лучи разбивают ее.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ а —острый угол между этой
прямой и ее проекцией на плоскость а. Такой угол — наименьший из всех
углов, которые наклонная составляет с любой прямой плоскости.
УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ может быть скалярным и векторным.
Скалярное У. д. в. дает число, векторное — вектор.
ФУНКЦИЯ- Эйлер определил Ф. как аналитическое выражение,
содержащее переменную и число. Лобачевский в 1834 г. и .Дирихле в 1837 г.
дали более широкое определение числовых функций: переменную у наз. Ф.
переменной х на отрезке [а;Ь], если каждому элементу х этого отрезка
55
соответствует одно определенное значение у. Величину у также называют
зависимой переменной, а величину х — независимой переменной или
аргументом.
ЦЕНТР СИММЕТРИИ — такая неподвижная точка О, что для любой точки
А плоскости имеется точка А', лежащая на
прямой АА' так, что |ОА| = |ОА'|. Если фигура Р при преобразовании
центральной симметрии относительно центра О преобразуется сама в себя, то
точка О наз. Ц. с. фигуры Р.
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, называемая
образующей цилиндра, которая, оставаясь параллельной заданному
направлению, скользит по заданной (направляющей) кривой. Если
направляющей будет окружность, то Ц. п, будет называться круговой.
ЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция y= f(x) наз. четной, если область ее
определения симметрична относительно оси ординат
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК — часть плоскости, ограниченная замкнутой
ломаной, состоящей из четырех звеньев . Ч. бывает выпуклым и
невыпуклым. К Ч. относятся: квадрат, ромб, прямоугольник, параллелограмм, трапеция, ромбоид (дельтоид) и Ч. общего вида.
ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ — множество К действительных чисел.
Соответствие между множеством К действительных чисел и точкой Ч. п.
взаимно однозначно. Ч. п. одна, координатных прямых много.
ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ТОЧКА ФУНКЦИИ —точка, в которой функция
имеет экстремум, т. е. максимум 'или минимум.
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ у = f(х) —термин, объединяющий понятия
максимума (см.) и минимума (см).
56