342Anna_Guseva_articlex

1
УДК 537.84
ИССЛЕДОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОВИХРЕВОГО ТЕЧЕНИЯ С
УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
А.А. Гусева
Национальный исследовательский университет Московский Энергетический Институт
Введение.
Электровихревые течения (ЭВТ) образуются в результате взаимодействия
электрического тока, пропускаемого через электропроводную жидкость, с его
собственным магнитным полем [1]. Эти течения существенным образом влияют на
многие технологические процессы в машиностроении (электрошлаковая сварка) и
электрометаллургии (электрошлаковый переплав, различные электроплавильные печи).
В частности, именно ЭВТ определяют гидродинамическую структуру потоков в
рабочей ванне дуговых печей постоянного тока, которые находят все большее
применение в промышленности. Работы по исследованию ЭВТ имеют большое
прикладное значение для различных отраслей машиностроения, энергетики и
металлургии. Развитие электрометаллургии вызвало повышенный интерес к данной
теме в последние годы у исследователей Германии, Франции, Австрии, Украины и
России [2-6]. Вместе с тем, несмотря на обилие публикаций, на сегодня имеется
достаточно мало работ в которых бы уделялось внимание исследованиям поведения
свободной поверхности жидкого металла при пропускании через него электрического
тока. Частично этот вопрос затронут в [7,8].
В ряде наших экспериментов было замечено, что при повышении тока
проходящего через металл поверхность расплава вблизи электрода прогибается,
образуется каверна. При дальнейшем увеличении тока возникает электрическая дуга.
Так как при этом меняется площадь соприкосновения малого электрода и сплава In-Ga–
Sn меняется плотность тока и распределение магнитной индукции и, следовательно,
скорость течения в жидком металле.
1. Математическая модель и методика расчета.
Численное моделирование электровихревого течения было выполнено в
электродинамическом приближении и основано на решении системы уравнений
неразрывности:
∇∙𝐕=0
Навье – Стокса:
𝜕𝐕
ρ ( + (𝐕 ∙ ∇)𝐕) = −∇𝑝 + ρν∆𝐕 + 𝐅эл
𝜕𝑡
где 𝐅эл = 𝐉 × 𝐁 электромагнитная сила, вызывающая движение электропроводящей
жидкости. Для нахождения электромагнитной силы необходимо найти распределение
плотности тока J и магнитной индукции B. Здесь V – скорость, p – давление, ρ –
плотность, ν – кинематический коэффициент вязкости.
Распределение плотности тока можно найти из численного решения уравнения
Лапласа для электрического потенциала используя обобщенный закон Ома или
аналитически для наиболее простых расчетных областей (полусфера, цилиндр, конус).
Уравнение Лапласа для электрического потенциала в цилиндрической
(осесимметричной) системе координат имеет вид:
𝜕 2 𝑈 1 𝜕𝑈 𝜕 2 𝑈
+
+
=0
𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 2
Граничные условия для уравнения Лапласа применительно к нашей задаче:
2
U(z=z1) = U1;
U(z=z2) = 0;
𝜕𝑈
𝜕𝑈
На оси : 𝜕𝑟 = 0 - условие симметрии; на внешней границе расчетной области 𝜕𝒏 = 0.
Из численного решения уравнения получим распределение компонент
плотности тока 𝐽𝑧 (𝑟, 𝑧), 𝐽𝑟 (𝑟, 𝑧), используя выражения:
𝐄 = −∇𝑈
𝐉 = 𝜎𝐄
Здесь z – осевые координаты концов электродов, Е –напряженность электрического
поля, n – вектор нормали к поверхности, σ – проводимость.
Теперь необходимо найти распределение магнитного поля (МП). В настоящее
время есть несколько подходов к расчету МП. Наиболее распространен подход, когда
распределение МП получается непосредственным интегрированием уравнения
Максвелла ∇ × 𝐁 = μ0 𝐣 . Однако при численном расчете этот метод ограничен
необходимостью ориентировать стороны ячеек вдоль осей координат, то есть
использовать регулярную сетку хотя бы по одному направлению, что может быть
неприемлемо для решения остальных задач. Вариант регенерации, то есть
аппроксимации регулярной сетки нерегулярной, в общем случае является
нетривиальной геометрической задачей и также остается открытым вопрос о переносе
значений на новую сетку с выполнением законов сохранения. Другим
распространенным методом расчета МП является метод, основанный на решении
уравнения Лапласа для векторного потенциала А и вычислении МП из выражения ∇ ×
𝐀 = 𝐁. Однако при численной реализации этот метод требует нахождения разности
производных от дискретно заданных функций, что ведет к существенной потере
точности.
Нами был разработан метод расчета МП, лишенный указанных выше
недостатков, основанный на законе Био-Савара-Лапласа. Основным преимуществом
данного метода является то, что не требуется информации о форме расчетной области и
форме ячеек. Таким образом появляется возможность использования нерегулярных
сеток с произвольными координатами центров и вершин расчетных ячеек.
Выражение для закона Био-Савара-Лапласа:
𝐁(𝐑) =
μ0 𝐉 × 𝐑
∫
𝑑𝑉
4π |𝐑|3
𝑉
Здесь R – радиус вектор из текущей точки в точку в которой ищется МП, μ0 – магнитная
постоянная, dV – элемент объема.
В цилиндрических координатах объёмный интеграл от произвольной функции f можно
представить как:
2𝜋
∫ 𝑓(𝑟, 𝜙, 𝑧)𝑑𝑉 = ∬ (∮ 𝑟𝑓(𝑟, 𝜙, 𝑧)𝑑𝜙) 𝑑𝑆
𝑉
𝑆
0
Интеграл по поверхности вычислим методом ячеек:
𝑁
∬ 𝑔(𝑟, 𝑧)𝑑𝑆 ≈ ∑ 𝑔𝑖 Δ𝑆
𝑆
𝑖=1
где ΔS - объем ячейки в двумерной сетке, gi - значение функции, заданное в центре
ячейки, N –количество ячеек. Этот метод вычисления интеграла по поверхности
является двумерным аналогом метода центральных прямоугольников, при этом сумма в
3
формуле является суммированием элементов одномерного массива последовательным
перебором.
Для осесимметричной задачи в цилиндрических координатах существует только
одна компонента вектора магнитной индукции:
2𝜋
(𝐽𝑧 (𝑟0 − 𝑟cosψ) − 𝐽𝑟 cos𝜓(𝑧0 − 𝑧))𝑟
𝜇0
𝐵𝜙 =
∬ (∫
𝑑𝑟) 𝑑𝑆
2 + 𝑟 2 − 2𝑟𝑟 cos𝜓 + (𝑧 − 𝑧 )2 )3⁄2
4𝜋
(𝑟
0
0
0
𝑆
0
Здесь r0, z0, ϕ0 – координаты точки в которой ищется МП, r, z, ϕ – координаты
текущей точки, ψ=ϕ-ϕ0.
Внешний интеграл по поверхности вычисляется описанным выше способом,
внутренний интеграл по углу (обозначим 𝐼𝜓 ) не выражается в элементарных функциях,
но может быть выражен через специальные функции.
𝐼𝜓 = 𝑓1 (𝑟, 𝑟0 , 𝑧, 𝑧0 )((𝑓2 (𝑟, 𝑟0 , 𝑧, 𝑧0 )𝐽𝑟 + 𝑓3 (𝑟, 𝑟0 , 𝑧, 𝑧0 )𝐽𝑧 )𝐸(𝑓0 (𝑟, 𝑟0 , 𝑧, 𝑧0 ))
+ (𝑓4 (𝑟, 𝑟0 , 𝑧, 𝑧0 )𝐽𝑟 + 𝑓5 (𝑟, 𝑟0 , 𝑧, 𝑧0 )𝐽𝑧 )𝐾(𝑓0 (𝑟, 𝑟0 , 𝑧, 𝑧0 )))
Где K и E - полные эллиптические интегралы Лежандра первого и второго рода,
𝜋
2
K(𝑘) = ∫
0
𝜋
2
1
√1
− 𝑘 2 sin2 𝑡
𝑑𝑡,
E(𝑘) = ∫ √1 − 𝑘 2 sin2 𝑡 𝑑𝑡
0
а f0, f1, f2, f3, f4, f5 - следующие функции:
𝑓0 = 2√
𝑓1 =
𝑟𝑟0
(𝑟0 + 𝑟)2 + (𝑧0 − 𝑧)2
1
3
√
(𝑟0 − 𝑟)2 + (𝑧0 − 𝑧)2
(𝑟0 + 𝑟)2 + (𝑧0 − 𝑧)2
(√𝑟0 (𝑟0 − 𝑟)2 + (𝑧0 − 𝑧)2 )
𝑓2 = −(𝑧0 − 𝑧)(𝑟02 + 𝑟 2 + (𝑧0 − 𝑧)2 )
𝑓3 = (𝑟0 − 𝑟)(𝑟 2 − 𝑟02 + (𝑧0 − 𝑧)2 )
𝑓4 = (𝑧0 − 𝑧)((𝑟0 − 𝑟)2 + (𝑧0 − 𝑧)2 )
𝑓5 = 𝑟((𝑟0 − 𝑟)2 + (𝑧0 − 𝑧)2 )
Для вычисления эллиптических интегралов нами использован алгоритм
предложенный в статье [9], в котором используется аппроксимация Чебышева.
Максимальная ошибка при использовании данного метода не превышает 10 -5. Заметим,
что вопрос об интегрировании эллиптических интегралов до сих пор остается
актуальным [10].
Изменение геометрии вследствие пинч-эффекта (образования каверны) требует
привлечения дополнительных моделей, описывающих динамику границы раздела
жидкий металл-воздух. В данной работе была использована модель Volume of Fluid
(VOF) — численный метод для определения формы свободной поверхности [11]. Эта
модель
предназначена
для
расчета
взаимодействия
многокомпонентных
несмешивающихся жидкостей, и она позволяет отследить изменение межфазовых
границ между фракциями смеси. В VOF-модели для представления каждой фракции
вводится дополнительная переменная α, обозначающая объемную долю фазы в
расчетной ячейке. Теплофизические свойства, использующиеся в транспортных
уравнениях, определяются фазовым составом в каждом контрольном объёме. В
двухфазной системе (как в нашем случае), например, плотность в каждой ячейке
задаётся следующим образом:
𝜌 = 𝛼2 𝜌2 + (1 − 𝛼2 )𝜌1
4
Если в системе не происходит фазовых превращений и жидкость несжимаема, то
уравнение неразрывности для i-ой фазы принимает следующий вид:
𝜕𝛼𝑖
+ ∇ ∙ (𝐕𝛼𝑖 ) = 0
𝜕𝜏
Уравнение для объемной доли не решается для первой фазы, первая фаза
объемной доли вычисляется из следующего соотношения:
∑ 𝛼𝑖 = 1.
Уравнение сохранения импульса записывается обычным образом для каждой
фазы (различие фаз учитывается через свойства: плотность и вязкость).
2. Экспериментальная установка и методика измерений.
Для исследования ЭВТ используется экспериментальная установка созданная в
ОИВТ РАН, схема которой показана на рис.1. В качестве рабочей жидкости в опытах
используется эвтектический сплав индий – галлий - олово с содержанием по весу Ga –
67%, In – 20.55, Sn – 12.5% . Температура плавления сплава 10.5±0.1°С.
Большим
электродом
служит
U=U0
полусферическая медная емкость диаметром
188 мм, заполненная сплавом. В расплав
погружен медный малый электрод (в форме
2
I
выпуклой полусферы), диаметр малого
электрода
может
меняться.
Для
электропитания экспериментального стенда
использовался источник, разработанный на
Cu
основе
трехфазного
выпрямителя
переменного тока Ларионова. Сила тока в
проведенных экспериментах изменялась в
3
диапазоне 50 – 800 А.
В
эксперименте
исследовалась
1
B
зависимость глубины прогиба свободной
r
J
поверхности от силы тока, пропускаемого
Fэл
через сплав, и диаметра малого электрода.
4
In-Gs-Sn
5
U=0
z
Рис. 1. Схема экспериментальной установки. 1
– эвтектический сплав In-Ga-Sn; 2 – верхний
подводящий электрод; 3 – сменный электрод;
4 – медный контейнер (большой электрод); 5 –
нижний подводящий электрод.
Рис. 2. Схема измерения параметров прогиба
поверхности: Δ – глубина прогиба, L – ширина
прогиба, 1 – малый электрод, 2 – In-Ga-Sn.
На
рис.2
показаны
параметры
прогиба, которые можно измерить.
Эксперимент проводился следующим
образом:
Использовался набор из шести электродов.
5
На электроды были надеты пластиковые трубки в качестве меток для последующей
обработки фотографий. Закреплялся электрод известного диаметра, устанавливалось
значение тока. Фотографировалась приэлектродная область. Затем ток увеличивался.
При некотором значении силы тока возникала электрическая дуга, при этом
эксперимент с электродом данного диаметра прекращался.
В результате обработки экспериментальных данных получены зависимости
глубины прогиба свободной поверхности от силы тока для электродов диаметрами 2, 3,
4, 5, 6, 8 мм (рис. 3.) и тока возникновения электрической дуги от диаметра электрода
(рис.4).
1,6
z, мм
1,4
- 2 мм
- 3 мм
- 4 мм
- 5 мм
- 6 мм
- 8 мм
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
I, A
0,0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Рис. 3. Зависимость глубины свободного прогиба (z,
мм) от силы тока для электродов разного диаметра
Рис.4.
Зависимость
тока
возникновения
электрической дуги от радиуса электрода
3. Исследование волны, возникающей при резком включении тока.
При резком пропускании через сплав тока порядка 200А и выше (без
предварительного плавного увеличения силы тока) на поверхности металла появляется
волна. На рис.5 представлены кадры видеосъемки этого явления:
t= 0.16 c
t=0.2 c
t=0.24c
Рис. 5. Волна, распространяющаяся от малого электрода, ток I=400A.
Волну можно получить из нестационарного расчета с использованием VOFмодели. В этой задаче электромагнитная сила (в цилиндрических координатах)
вычислялась по следующим аналитическим формулам (использовалось приближение
идеальной полусферы и точечного источника тока):
6
𝜇0 𝐼 2 (√𝑟 2 + 𝑧 2 − 𝑧)𝑧
𝐹𝑟 = −
4𝜋 2 𝑟(𝑟 2 + 𝑧 2 )2
𝜇0 𝐼 2 (√𝑟 2 + 𝑧 2 − 𝑧)
𝐹𝑧 =
4𝜋 2 (𝑟 2 + 𝑧 2 )2
При этом не учитывалось изменение силы из-за изменения площади контакта. В
ячейках расчетной области содержащих воздух сила полагалась равной нулю.
На рис.6 представлены результаты тестового расчета. Синим цветом показан
сплав, красным – воздух, зеленым – граница раздела двух фаз. Радиус малого электрода
2.5 мм, радиус большого электрода – 25 мм. Скорость распространения волны по
радиусу в эксперименте составляет ~0.075 м/с, в расчете ~0.1 м/с.
𝑡 = 1 × 10−2 𝑐
𝑡 = 2.5 × 10−2 𝑐
𝑡 = 4 × 10−2 𝑐
𝑡 = 5 × 10−2 𝑐
𝑡 = 9.5 × 10−2 𝑐
𝑡 = 20 × 10−2 𝑐
Рис. 6. Распределение по фазам в различные моменты времени. Синий цвет - сплав, красный – воздух,
зеленый – граница воздух – индий-галлий.
4. Исследование влияния площади контакта электрода с металлом на
гидродинамику.
Было проведено численное исследование полей скорости в расплаве при силе
тока 400 и 500 A. Решалась стационарная задача с уже прогнувшейся поверхностью.
Такой подход справедлив, поскольку на поверхности жидкого металла возникает
окисная пленка играющая роль твердой стенки, а строгое моделирование затруднено
следующим обстоятельством – форма свободной поверхности может быть найдена из
решения нестационарной задачи гидродинамики с использованием VOF-модели, при
этом из-за изменения геометрии расчетной области требуется вновь решать задачи о
нахождении распределения плотности тока и магнитного поля – и так далее до
достижения стационарного состояния. Поэтому значения глубины и ширины прогиба
поверхности брались из эксперимента. На рис.7 представлен вид расчетной сетки в
приэлектродной области.
7
Решение проводилось по следующей схеме. На первом этапе рассчитывалось
распределение электрического потенциала в электродах, жидком металле, при этом на
границах задавалось условие непроницаемости.
Затем рассчитывалось распределение плотности тока во всей установке и
магнитного поля в области, занятой жидким металлом. Магнитное поле
рассчитывалось по закону Био-Савара-Лапласа.
Найденное значение плотности тока и магнитного поля использовалось в качестве
источникового члена в уравнении движения.
Для решения уравнений Лапласа и Навье-Стокса использовался программный
пакет Ansys Fluent, для расчета магнитного поля – собственные программные модули.
а)
б)
Рис. 7. Расчетная сетка в приэлектродной области а) 400А, б) 500А.
Численное моделирование показало, что прогиб свободной поверхности
значительно влияет на гидродинамику приэлектродной области. В условиях
увеличения плотности тока осевая скорость увеличивается по сравнению с модельной
задачей, не учитывающей прогиб. На рис. 8, 9 приведены зависимости осевой
скоростей от радиальной координаты для случаев прогибающейся и не прогибающейся
поверхности.
Рис. 8. Профили скорости на разных глубинах при
токе 400 А в приэлектродной области.
Рис. 9. Профили скорости на разных глубинах при
токе 500 А в приэлектродной области.
8
Заключение.
Разработан метод расчета магнитного поля, основанный на численном
интегрировании закона Био-Савара-Лапласа. Написаны на языке Си программные
модули, подключаемые к пакету Fluent, использование которых позволяет
рассчитывать МП в расчетных областях произвольной формы.
Экспериментально определена зависимость тока возникновения (Iarc)
электрической дуги от радиуса электрода в диапазонах 1÷4 мм.
Проведено численное моделирование волны, возникающей на поверхности
сплава при резком включении тока.
Проведено численное моделирование электровихревого течения с учетом
изменения формы свободной поверхности при токах 400 и 500А. Обнаружено, что
изменение площади контакта приводит к существенному увеличению скорости течения
в приэлектродной области, и прогиб поверхности следует учитывать при расчетах.
Литература.
1. В. В. Бояревич, Я. Ж. Фрейберг, Е. И. Шилова, Э. В. Щербинин. Электровихревые
течения. – Рига: Зинатне, 1985.
2. Shatrov V., Gerbeth G., 2011. Stability of the flow between two hemispherical electrodes.
In: Proceedings of the 8th international PAMIR conference on fundamental and applied
MHD. Corsica, France,. vol. 1, pp. 235 – 239.
3. Rückert A., Pfeifer H., 2009. Mathematical modelling of the flow field, temperature
distribution, melting and solidification in the electroslag remelting process.
Magnetohydrodynamics 45, 527–533.
4. Kharicha A., Ludwig A., 2011. Spatio-temporal variation of the electromagnetic field in
the electroslag remelting process. In: Proceedings of the 8th international PAMIR
conference on fundamental and applied MHD, Corsica, France, vol. 2, pp. 695 – 699.
5. Kazak O., Semko O., 2011. Numerical modeling of electrically vortical flows. In:
Proceedings of the 8th international PAMIR conference on fundamental and applied
MHD, Corsica, France, vol. 2, pp. 603 – 607.
6. И.М. Ячиков, О.И. Карандаева, Т.П. Ларина. Моделирование электровихревых
течений в ванне дуговой печи постоянного тока. - Магнитогорск, 2008.
7. В.М. Коровин. Импульс давления в жидком проводнике цилиндрической формы,
вызываемый импульсом электрического тока. – Журнал технической физики, 2005,
том 75, вып. 7.
8. С. А. Баренгольц, Е. А. Литвинов, В. Г. Суворов, И. В. Уйманов. Численное
моделирование электрогидродинамической неустойчивости жидкой проводящей
поверхности в сильном электрическом поле. –Письма в ЖТФ, 2001, т.27, вып. 9,
с.41-46.
9. W. J, Cody. Chebyshev Approximations for the Complete Elliptic Integrals K and E.
JAMS. Mathematics of computation, № 19, 1965.
10. А. И. Боголюбский, С. Л. Скороходов, Д. В. Христофоров. Быстрое вычисление
эллиптических интегралов и их обобщений. Журнал вычислительной математики и
математической физики, 2005, 45-11.
11. C. W. Hirt, B. D. Nichols. Volume of Fluid (VOF) Method for the Dynamics of Free
Boundaries. - Journal of computational physics 39, 201-225, 1981.