А. Н. Кочевский, канд.техн.наук
реклама
УДК 510.67: 533.6 РАСЧЕТ ВНУТРЕННИХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММНОГО ПРОДУКТА FLOWVISION А. Н. Кочевский, канд.техн.наук СумГУ ВВЕДЕНИЕ Последние пару десятилетий учеными в области гидромеханики и гидравлических машин как в нашей стране (напр., [1, 2]), так и за рубежом (напр., [3, 4]), все чаще предпринимались успешные попытки численного моделирования различных весьма сложных течений жидкости и газа. Это позволило сэкономить значительные средства на проведение физического эксперимента при создании новых или модификации существующих технических устройств. Так, на рис. 1 показана доля работ, использовавших аппарат вычислительной гидромеханики, среди работ, представленных в различные годы на симпозиуме IAHR (www.iahr.org), одной из важнейших научных конференций, посвященных гидравлическим машинам (по данным [5]). При этом до недавнего времени область применения соответствующих методов расчета была ограничена теми классами задач, для которых они разрабатывались, а само проведение расчетов было под силу лишь разработчикам этих методов. Тенденцией последних лет стало появление и широкое распространение на рынке коммерческих программных продуктов, позволяющих выполнять численный расчет течений жидкости и газа произвольной сложности в областях произвольной геометрической конфигурации. На известном сайте www.cfd-online.com, посвященном вычислительной гидромеханике, перечислены десятки таких продуктов. В ведущих зарубежных журналах по гидромеханике стремительно растет количество публикаций, содержащих результаты успешного применения коммерческих программных пакетов к расчету локальных и интегральных показателей течения в проточных частях гидравлических машин и других технических устройств. Среди наиболее популярных в мире пакетов стоит особо отметить, в частности, CFX (Канада – Англия – Германия, www.software.aeat.com/cfx; примеры успешного применения к расчету течений в насосах и компрессорах – работы [6, 7] и мн. др.), StarCD (Англия, www.cd-adapco.com, www.adapco-online.com – работа [8] и мн. др.), Fluent (США, www.fluent.com – [9] и мн. др.), Numeca (Бельгия, www.numeca.be – [10] и др.). Хорошая документированность этих и других программных продуктов позволяет достаточно квалифицированному специалисту выполнять с их помощью расчеты течений самостоятельно, лишь с незначительной технической поддержкой со стороны разработчиков. Растущей популярности перечисленных программных продуктов способствует, конечно же, продолжающийся рост вычислительной мощности персональных компьютеров. Время расчета на современном персональном компьютере с помощью этих продуктов, например течения в проточной части одноступенчатого насоса, для достижения результатов приемлемой точности в настоящее время уже может составлять менее суток. На Украине одним из наиболее хорошо зарекомендовавших себя средств расчета течений газа стал программный продукт FlowER (www.flower3d.org, [11], другие ссылки см. на сайте), но его область применения пока была ограничена расчетом течения сжимаемой среды в лопастных компрессорах и турбинах. Доля работ, % 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 Год Рисунок 1 – Доля работ, использовавших аппарат вычислительной гидромеханики, среди работ, представленных на симпозиуме IAHR Одним из первых коммерческих программных пакетов универсального назначения, разработанных в России, стал программный продукт FlowVision [12]. На кафедру прикладной гидроаэромеханики СумГУ был передан в пробную эксплуатацию экземпляр этого программного продукта, и в данной работе мы приводим результаты нашего тестирования FlowVision путем сопоставления результатов расчета с известными экспериментальными данными для ряда простых внутренних течений жидкости в каналах. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО ПРОДУКТА FLOWVISION Программный продукт FlowVision, предназначенный для численного моделирования течений жидкости и газа, разрабатывается ООО “Тесис” (г. Москва, www.tesis.com.ru, www.flowvision.ru), и с 2000 года распространяется в виде коммерческой версии. Приводимые в статье результаты получены с помощью последней версии программного продукта, вышедшей в свет в феврале 2003 года. Программный продукт FlowVision не имеет собственного препроцессора (средства создания геометрической конфигурации расчетной области), но позволяет импортировать геометрическую конфигурацию из многих современных CAD-систем например, SolidWorks. FlowVision имеет удобный интерфейс, позволяющий рассмотреть импортированную расчетную область, расставить на ней граничные условия, задать свойства среды, параметры расчета и выполнить прочие необходимые действия. В программном продукте FlowVision используется прямоугольная (декартовая) расчетная сетка, которую можно произвольным образом сгущать в нужных местах, например у твердых стенок. Предусмотрен также ряд критериев автоматического сгущения расчетной сетки, например, в местах, где имеют место наиболее резкие изменения рассчитываемых величин. Утрата точности численного решения, неизбежная вследствие большого несовпадения между линиями сетки и линиями тока жидкости, в значительной мере предотвращается благодаря использованию специально разработанной авторами скошенной схемы аппроксимации производных высокого порядка [13]. В данной работе мы используем лишь модель турбулентного течения несжимаемой жидкости, которая включает в себя нестационарные уравнения Рейнольдса в проекции на каждую из трех декартовых осей, уравнение неразрывности и уравнение стандартной k – ε модели турбулентности – единственной реализованной на сегодняшний день во FlowVision модели турбулентности. Заметим, что во FlowVision реализовано также много других моделей течения (модель ламинарного течения, сжимаемого течения, течения со свободной поверхностью, течения с горением и др.), которые мы в данной работе не используем. Более подробная информация о расчете таких течений приведена в руководстве пользователя FlowVision и в примерах решения тестовых задач FlowVision, входящих в комплект поставки. Для дискретизации уравнений математической модели используется метод контрольных объемов. Алгоритм численного решения уравнений имеет много общего с известной схемой SIMPLE, описанной в монографии [14], но некоторые численные приемы (специальная скошенная схема аппроксимации производных, алгоритм удаления маленьких ячеек) используются авторами FlowVision впервые. Расчет начинается с некоторого заданного в качестве исходных данных начального приближения. Нестационарное решение задачи отыскивается без всяких упрощений, после каждой глобальной итерации вычисляются поля скоростей и давления, получаемые по истечении времени, указанного в качестве шага интегрирования. Если для рассматриваемого течения существует стационарное решение, оно получается в пределе, по истечении достаточно большого количества глобальных итераций, соответствующих достаточно большому промежутку времени. Удобные средства постпроцессора позволяют наблюдать на экране как картину течения, так и интегральные его показатели (например, коэффициент потерь между указанными сечениями), обновляемые после каждой глобальной итерации (по мере изменения структуры потока с течением времени). Имеется возможность автоматического сохранения промежуточных результатов в виде текстовых файлов (которые в дальнейшем удобно обработать, например, с помощью Microsoft Excel), что позволяет контролировать процесс сходимости, а для нестационарных течений позволяет получать зависимость нужной величины от времени. РЕЗУЛЬТАТЫ 1 ТЕЧЕНИЕ НА НАЧАЛЬНОМ УЧАСТКЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЫ На входе в трубу диаметром D0 поток имеет постоянную по сечению скорость, и по мере развития течения под действием сил трения эпюра скорости все более приближается к логарифмической. Экспериментальные данные взяты согласно [15], число Рейнольдса, рассчитанное по входному диаметру, составляло 388000. Сопоставление по эпюре скорости проведено в нескольких контрольных сечениях (рис. 2). Для этого простого течения расчетные эпюры скорости хорошо совпадают с экспериментальными в промежуточных сечениях, а в последнем сечении отмечается некоторое расхождение результатов. Максимальная скорость на оси канала согласно эксперименту составила u/U0=1,22, согласно расчету – 1,195. В работе [16] более точные результаты были получены с помощью значительно более простого алгоритма, учитывающего параболичность задачи. Для выявления сеточной независимости решения расчеты были выполнены для нескольких расчетных сеток различной густоты. Учитывая весьма точное совпадение результатов для сетки 10 х 10 х 37 и 14 х 14 х 49 (рис. 2), дальнейшее сгущение сетки для данной задачи признано нецелесообразным. Время расчета на сетке 14 х 14 х 49 при использовании компьютера с 64 Мб оперативной памяти и процессором Pentium III 500 составило около получаса на 50 глобальных итераций. Для выявления достижения сходимости в качестве характерного параметра удобно использовать максимальную скорость в последнем сечении. На рис. 3 показано изменение этой скорости от числа глобальных итераций. Можно видеть, что после 25 итераций изменение этой скорости уже не превышало 1%. Шаг интегрирования, соответствующий одной глобальной итерации, для этой и последующих задач выбирался согласно рекомендации руководства пользователя примерно равным одной десятой пролетного времени частицы. Под пролетным временем понимается время, за которое частица жидкости проходит путь от входного до выходного сечения расчетной области. 1.3 1.3 x / D0 = 40.0 u / U0 u / U0 1.2 1.2 1.1 1.1 x / D0 = 16.5 1 1 x / D0 = 1.5 0.9 0.9 0.8 0.8 0 0.1 0.2 0.3 Рисунок 2 – Эпюры скорости турбулентного течения на начальном участке круглой трубы: сплошная линия – расчет на сетке 14 х 14 х х49, пунктирная крупная – на сетке 10 х 10 х х37, пунктирная мелкая – 6 х 6 х 25 0.4 r / D0 0.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 N Рисунок 3 – Зависимость скорости на оси канала в последнем сечении от числа глобальных итераций, расчет на сетке 14 х 14 х 49 Коэффициент потерь на участке от середины до конца трубы по результатам расчета во FlowVision составил 0.292, а согласно формуле Филоненко – Альтшуля [17, (2.5)] для гидравлически гладкой трубы должен составить 0.238. Согласование следует признать хорошим, учитывая, что поток на этом участке еще полностью не развит, а перестройка потока связана с дополнительными потерями. 2 ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРАХ С БОЛЬШИМИ УГЛАМИ РАСКРЫТИЯ Важным достоинством программного продукта FlowVision является возможность успешно рассчитывать течения, где при симметричной расчетной области и симметричных граничных условиях течение оказывается несимметричным и, более того, нестационарным. Так, в коническом диффузоре с большим углом раскрытия происходит отрыв потока, причем поток случайным образом прижимается к одной из стенок, и с течением времени положение зоны отрыва может случайным образом перемещаться вдоль окружности диффузора [17]. Это известное физическое явление хорошо отслеживается расчетом (рис. 4). На рис. 5 приведены соответствующие коэффициенты потерь, полученные в результате расчета во FlowVision и взятые с использованием интерполяции из справочника [17]. 0.50 ξ 0.45 0.40 0.35 0.30 а) эксперимент [17] 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 б) расчет Рисунок 4 – Мгновенная картина течения в коническом диффузоре со степенью расширения 3.3 и углом раскрытия 60° 0 30 60 90 120 150 180 α, ° Рисунок 5 – Зависимость коэффициента потерь от угла раскрытия конического диффузора со степенью расширения 3.3: сплошная линия – эксперимент [17], пунктирная линия – расчет Следует отметить, что для данного течения расчет не сходится к стационарному решению и рассчитанные коэффициенты потерь, представленные на рис. 5, представляют собой приближенные значения, осредненные по времени. Учитывая, что величина коэффициента потерь в диффузоре может существенно зависеть от многих плохо поддающихся учету факторов, согласование результатов следует признать удовлетворительным. 3 ТЕЧЕНИЕ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ, ЗАКРУЧЕННОЕ ПО ЗАКОНУ ТВЕРДОГО ТЕЛА Закрутку такого типа можно получить, если поток поступает в диффузор, проходя сквозь секцию, заполненную соломинками, а эта секция вращается вокруг оси диффузора с помощью внешнего привода. Для проведения сопоставления выбраны экспериментальные результаты работы [18]. Степень расширения диффузора (отношение площадей выходного и входного сечений) составляла 2.84, угол раскрытия – 20°, число Рейнольдса, рассчитанное по входному диаметру, – 212000. В качестве исходных данных задаются эпюры расходной и окружной скоростей во входном сечении. Имеет место следующий физический эффект: в результате затухания закрутки вниз по течению (по мере расширения потока, а также под действием сил трения) поток прижимается к периферии. В эксперименте закрутка была столь велика, что расходная скорость на оси диффузора уменьшалась почти до нуля (при еще большей закрутке вдоль оси диффузора наблюдается обратное течение), что делает невозможным использование параболического метода расчета, подобного [16]. На рис. 6 приведены эпюры расходной и окружной скоростей во входном и выходном сечениях диффузора. Можно сделать вывод о хорошем согласовании результатов расчета во FlowVision с экспериментальными результатами для данного течения. Аналогичное течение с помощью такой же модели турбулентности исследовалось также в работе [19], где было достигнуто столь хорошее согласование расчетных и экспериментальных результатов. 1.2 0.6 u / U0 w / U0 1 0.4 0.8 0.2 0.6 0 0 0.4 0.2 0.02 0.04 0.06 0.08 r / D0 б) окружная скорость 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 r / D0 а) расходная скорость Рисунок 6 – Трансформация эпюр скорости в диффузоре с закруткой по закону твердого тела: ● – входное сечение; ■ – выходное сечение 4 ТЕЧЕНИЕ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ, ЗАКРУЧЕННОЕ ПО ЗАКОНУ ПОСТОЯННОГО МОМЕНТА СКОРОСТИ Закрутку такого типа поток приобретает, например, при прохождении между лопатками направляющего аппарата. Вблизи оси канала окружная скорость линейно убывает до нуля. Для проведения сопоставления выбраны экспериментальные результаты работы [20]. Степень расширения диффузора составляла 4.0, угол раскрытия – 12°, число Рейнольдса, рассчитанное по входному диаметру, – около 200000. В этом эксперименте интенсивность закрутки тоже была такой, что расходная скорость почти достигала нуля на оси диффузора. На рис. 7 приведены эпюры расходной и окружной скоростей во входном и выходном сечениях. Снова отмечается неплохое совпадение расчетных и экспериментальных результатов. 1.2 0.6 u / U0 w / U0 1 0.4 0.8 0.2 0.6 0 0 0.2 0.4 0.6 0.4 0.2 0.8 r / D0 1 б) окружная скорость 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 а) расходная скорость r / D0 1 Рисунок 7 – Трансформация эпюр скорости в диффузоре с закруткой по закону постоянного момента скорости: ● – входное сечение; ■ – выходное сечение 5 ТЕЧЕНИЕ В КАНАЛЕ КВАДРАТНОГО СЕЧЕНИЯ С ПОВОРОТОМ ПОТОКА НА 180° Для проведения сопоставления использованы экспериментальные результаты работы [21]. Рассматриваемый канал показан на рис. 8. Течение происходит симметрично относительно средней плоскости канала, поэтому для экономии вычислительных ресурсов в качестве расчетной области была использована половина канала. Число Рейнольдса, рассчитанное по гидравлическому диаметру, составляло 58000. Рисунок 8 – Геометрическая конфигурация канала Характерный физический эффект, имеющий место в таком течении, – возникающий при повороте потока парный вихрь (рис. 9). Жидкость устремляется к наружному радиусу поворота вдоль плоскости симметрии канала и возвращается обратно вдоль боковых стенок. На рис. 10 приведены эпюры расходной скорости в нескольких промежуточных сечениях на повороте канала (H – сторона сечения канала). Эпюры взяты в плоскости, равноотстоящей от плоскости симметрии и нижней стенки канала. Можно видеть, что между рассчитанными и экспериментальными результатами имеется качественное сходство, но отмечается и заметное количественное расхождение. Высота пиков у стенок канала, а также положение и глубина впадины в средней части эпюры, полученные расчетом, не совпадают с наблюдаемыми экспериментально. Плоскость симметрии Внутренний радиус Наружный радиус y x Нижняя стенка Рисунок 9 – Векторы скорости в сечении, соответствующем углу поворота 90° u / U0 u / U0 u / U0 1.6 1.6 1.6 1.4 1.4 1.4 1.2 1.2 1.2 1 1 1 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 0 x/H 0 0.2 0.4 0.6 0.8 а) угол поворота 45° 1 0 x/H 0 0.2 0.4 0.6 0.8 б) угол поворота 90° 1 0 x/H 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 в) угол поворота 130° Рисунок 10 – Эпюры расходной скорости на повороте канала (y / H = 0.25) Описанное течение также исследовалось расчетным путем в работе [22] с использованием похожего численного метода, но более сложных моделей турбулентности. Был сделан вывод, что для данного течения стандартная k – ε модель турбулентности дает несколько неточное решение, более точные результаты удалось получить с использованием, в частности, алгебраической модели напряжений Рейнольдса. Другой причиной различия результатов на рис. 10, видимо, является использование декартовой расчетной сетки, что снижает точность дискретизации производных. 6 ТЕЧЕНИЕ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ КАНАЛЕ Для проведения сопоставления использованы экспериментальные результаты работы [23]. Геометрическая конфигурация канала показана на рис. 11. Можно видеть, что она во многом похожа на геометрическую конфигурацию межлопастного канала центробежного рабочего колеса с радиальными лопастями. Ось вращения канала совпадает с осью цилиндрического входного участка. Поток воздуха входит в канал вдоль оси его вращения, после чего поворачивается в радиальном направлении и расширяется. Выходное сечение канала открыто в атмосферу. Рисунок 11 – Геометрическая конфигурация канала Поток поступает в канал через стационарное успокоительное устройство, обеспечивающее постоянную по сечению расходную скорость. Далее стенки канала постепенно вовлекают поток во вращение. Частота вращения канала составляла 206 об./мин. Перед успокоительным устройством располагалось воздуходувное устройство, позволяющее принудительно подавать в канал воздух с различным расходом. Для данного течения характерны следующие физические эффекты. Статическое давление стремительно возрастает по мере удаления от оси вращения канала под действием центробежной силы. Кроме того, оно возрастает в результате расширения канала. На рабочей стороне (стороне давления) давление p больше, чем на тыльной (стороне разрежения). Из анализа потенциального течения (без учета вязких эффектов) следует, что давление линейно убывает от стороны давления к стороне разрежения согласно закону ∂p / ρ ∂y = =– 2 ω u, где ω – угловая скорость вращения канала. Из анализа потенциального течения следует, что расходная скорость u в каждом сечении возрастает от стороны давления к стороне разрежения согласно закону ∂u / ∂y = 2 ω (рис. 12). При небольшом расходе через канал поток прижат к стороне разрежения на всем протяжении канала. Таким образом, у стороны давления на достаточно большом удалении от оси вращения имеет место обратное течение (рис. 12). сторона разрежения x = 0.6 м x = 0.3 м x = 0 (r = 0.3 м) ω переносная скорость S y x M L S M L S M L вход сторона давления выход Рисунок 12 – Распределение скорости в канале согласно допущению потенциальности течения: S – малый расход (средняя скорость в выходном сечении канала – 2.8 м/с); M – умеренный расход (5.3 м/с); L – большой расход (11.0 м/с) Перечисленные выше эффекты хорошо отслеживаются расчетом. Согласно эксперименту при достаточно большом расходе поток на некотором удалении от оси вращения отрывается от стороны разрежения канала и прижимается к стороне давления. Причина этого, видимо, состоит в том, что вдоль стороны разрежения по мере расширения канала давление растет наиболее стремительно (рис. 13) и именно у этой стенки поток наиболее склонен к отрыву. При малом расходе этот отрыв не успевает произойти, так как ранее поток отрывается от стороны давления. Рисунок 13 – Изолинии статического давления в среднем по высоте сечения канала при умеренном расходе, расчет Этот отрыв наблюдается и согласно расчету (рис. 14), правда, расчет дает отрыв и от стороны давления, что не наблюдалось в эксперименте. Рисунок 14 – Изолинии и векторы скорости в относительном движении при умеренном расходе, расчет. В средней части канала изолинии ограничивают зоны обратного течения у стороны давления и разрежения Этот несложный эксперимент представляет собой удачную иллюстрацию, поясняющую, почему в межлопастных каналах центробежного рабочего колеса положение зон отрыва существенно зависит от подачи. Для проведения расчета во FlowVision нами была использована расчетная сетка, содержащая 46 х 12 х 15 узлов, с одним дополнительным уровнем разбиения ячеек, пересекающих твердые поверхности. Расчет выполнялся в относительном движении, при этом в качестве граничного условия на входе, помимо расходной скорости, была задана твердотельная закрутка потока с частотой вращения – 206 об./мин (навстречу вращению канала). Для надлежащего расчета поля скорости на выходе из канала расчетная область включала также пространство за выходным сечением канала, где поток выходил в атмосферу (рис. 13 – 15). На рис. 15 показаны векторы скорости потока: на входе в канал – в относительном движении, внутри канала и на выходе из него – в абсолютном движении. Рисунок 15 – Векторы скорости потока в относительном движении (на входе в канал) и в абсолютном движении (внутри канала и на выходе из него) при умеренном расходе Заметим, что в работе [24] был выполнен расчет этого течения с помощью маршевого метода при использовании все той же k – ε модели турбулентности. Отрыв течения от стороны разрежения в этой работе предсказать не удалось, что показало неправомерность упрощения уравнений Рейнольдса для анализа данного течения. Рассчитанные во FlowVision и экспериментальные эпюры скорости в сечении перед выходом из канала при различных подачах показаны на рис. 16. Можно видеть, что перечисленные физические эффекты отслеживаются качественно правильно, хотя между этими эпюрами имеются заметные количественные расхождения, причины которых, видимо, те же, что и в предыдущем пункте. u / U0 u / U0 u / U0 2.5 2.5 5 2 2 4 1.5 1.5 3 1 1 2 0.5 0.5 1 0 0 0 -0.5 -0.5 -1 -1 -1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y/H а) малый расход -2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y/H б) умеренный расход 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y/H в) большой расход Рисунок 16 – Эпюры расходной скорости в сечении канала x = 0.46 м: сплошная линия – эксперимент [23]; пунктирная линия – расчет. Слева – сторона разрежения; U0 – средняя расходная скорость на входе в канал при умеренном расходе; H – высота сечения канала ВЫВОД Для рассмотренных нами течений получено хорошее качественное и, как минимум удовлетворительное количественное согласование результатов расчета с помощью программного продукта FlowVision с результатами эксперимента. Для рассмотренных в работе классов течений следует признать FlowVision достаточно удачным средством ведения расчетного эксперимента. SUMMARY The article describes a mathematical model implemented in the software tool FlowVision. Computational results for a number of simple internal channel flows of liquid are presented and compared with known experimental data. Satisfactory correspondence of results was obtained both for flow patterns and respective quantitative values. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. Косторной С. Д. Математическое моделирование течения жидкости в лопастных гидромашинах с целью определения их гидродинамических характеристик для анализа и проектирования: Автореф. дисс. док. техн. наук. – Харьков: ХПИ, 1992. – 35с. Солодов В. Г. Теоретичні основи математичного моделювання аеродинамічної взаємодії турбінного ступеня з підвідними та відвідними пристроями проточної частини / Автореф. дис... док. техн. наук. – Харків: ХДАДТУ, 1995. – 38с. Hah C., Bryans A. C., Moussa Z., Tomsho M. E. Application of Viscous Flow Computations for the Aerodynamic Performance of a Backswept Impeller at Various Operating Conditions // Journal of Turbomachinery – July 1988. – Vol. 110. – P. 303-311. Hah C., Krain H. Secondary Flows and Vortex Motion in a High-Efficiency Backswept Impeller at Design and Off-Design Conditions // Journal of Turbomachinery – January 1990. – Vol. 112. – P. 7-13. Ruprecht A. Unsteady Flow Simulation in Hydraulic Machinery // Task Quarterly – 2002. – Vol. 6, No 1. – P. 187-208. Gu F., Engeda A., Cave M., Di Liberti J-L. A Numerical Investigation on the Volute/Diffuser Interaction Due to the Axial Distortion at the Impeller Exit // Journal of Fluids Engineering – September 2001. – Vol. 117. – P. 475-483. Liu S., Nishi M., Yoshida K. Impeller Geometry Suitable for Mini Turbo-Pump // Journal of Fluids Engineering – September 2001. – Vol. 117. – P. 500-506. Shi F., Tsukamoto H. Numerical Study of Pressure Fluctuations Caused by Impeller-Diffuser Interaction in a Diffuser Pump Stage // Journal of Fluids Engineering – September 2001. – Vol. 117. – P. 466-474. Dick E., Vierendeels J., Serbruyns S., Voorde J. V. Performance Prediction of Centrifugal Pumps with CFD-Tools // Task Quarterly – 2001. – Vol. 5, No 4. – P. 579-594. Kang S., Hirsch C. Numerical Simulation and Theoretical Analysis of the 3D Viscous Flow in Centrifugal Impellers // Task Quarterly – 2001. – Vol. 5, No 4. – P. 433-458. Єршов С. В., Русанов А. В. Комплекс програм розрахунку тривимiрних течiй газу в багатовiнцевих турбомашинах "FlowER". Свiдоцтво про державну ресстрацiю прав автора на твiр, ПА N 77. Державне агентство Украiни з авторських та сумiжних прав, 19.02.1996. Аксенов А. А., Гудзовский А. В. Программный комплекс FlowVision для решения задач аэродинамики и тепломассопереноса методами численного моделирования // Третий съезд Ассоциации инженеров по отоплению, вентиляции, кондиционированию воздуха, теплоснабжению и строительной теплофизике (АВОК), 22-25 сент. 1993, Москва, Сб. докладов, С. 114-119. Aksenov A. A., Dyadkin A. A., Gudzovsky A. V. Numerical Simulation of Car Tire Aquaplaning // Computational Fluid Dynamics ’96, J.A. Desideri, C.Hirsch, P.Le Tallec, M.Pandolfi, J.Periaux edts. – John Wiley&Sons, 1996. – P. 815-820. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости/ Пер. с англ. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 152с. Барбин, Джоунс. Турбулентное течение в начальном участке гладкой трубы // Труды американского общества инженеровмехаников / Техническая механика – 1963. – Т. 85, № 1. – C. 34-42. Кочевський О. М., Неня В. Г., Євтушенко А. О. Математична модель внутрішніх закручених течій на базі узагальнених рівнянь Прандтля // Вестник НТУУ “КПИ”. – Київ, 1999. – Вып. 35. – C. 215-225. 17. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. – М.: Машиностроение, 1975. – 560c. 18. Clausen P. D., Koh S. G., Wood D. H. Measurements of a swirling turbulent boundary layer developing in a conical diffuser. Experimental Thermal and Fluid Science – 1993. – Vol. 6. – P. 39-48. 19. Armfield S. W., Cho N-M., Fletcher C. A. J. Prediction of Turbulence Quantities for Swirling Flow in Conical Diffusers // AIAA Journal. – March, 1990. – Vol. 28, No 3. – P. 453-460. 20. Senoo Y., Kawaguchi N., Nagata T. Swirl Flow in Conical Diffusers // Bulletin of the JSME. – January, 1978. – Vol. 21, No 151. – P. 112119. 21. Chang S. M., Humphrey J. A. C., Modavi A. Physico-Chemical Hydrodynamics. – 1983. – Vol. 4. – P. 243-269. 22. Choi Y. D., Iacovides H., Launder B. E. Numerical Computation of Turbulent Flow in a Square-Sectioned 180 Deg Bend // Journal of Fluids Engineering – March 1989. – Vol. 111. – P. 59-68. 23. Moore J. A Wake and an Eddy in a Rotating, Radial-Flow Passage. Part 1: Experimental Observations // Journal of Engineering for Power – July 1973. – P. 205-212. 24. Majumdar A. K., Pratap V. S., Spalding D. B. Numerical Computation of Flow in Rotating Ducts // Journal of Fluids Engineering – March 1977. – P. 148-153. Поступила в редакцию 10 сентября 2003 г.
