Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины НИС «DG categories of motives II»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
Michael Finkelberg, PhD, fnklberg@gmail.com
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2014 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2014 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «DG categories of motives II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
- ОС НИУ ВШЭ;
- Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2014 г.
2
The goals of mastering the subject
The goals of mastering the subject «DG categories of motives II» are:mastering motivic methods in algebraic geometry and beyond, learning how techniques of modern algebraic topology and dgcategories can be applied to studying cohomological problems. Development of communication skills
in academic setting, of ability to present deep mathematical results before wide audience.
3
Competencies of a student which are formed by mastering the subject
As a result of mastering the subject the student should:
 Learn the basic notions of the Voevodsky theory of triangulated categories of motives
(presheaves with transfers, Nisnevich topology, higher Chow groups, Tate motives, Beilinson vanishing conjectures), and related geometric and arithmetic results.

Learn how to present mathematical results before wide audience consisting of nonmathematicians or mathematicians specializing in another field. Practice the skill of mathematical discussion.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по ФГОС/
НИУ
умение воспринимать
ПК-5
математические тек- ИК-М2.1 (МА)
сты в форме устных
сообщений
умение выступать с
ПК-6
устными сообщения- ИК-М2.2/
ми на тему соб3.1/3.2(МА)
ственных и чужих
исследований
Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели
достижения результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Способен воспринимать и
интерпретировать математические тексты в форме
устных сообщений разного
уровня строгости и детализованности, в т.ч. содержащие легко устранимые
ошибки
Способен выступить с докладом (устным сообщением) с изложением задач и
результатов из области специализации студента (в т.ч.
собственных)
Формируется при работе на
семинаре в ходе восприятия
докладов других студентов и
последующего обсуждения
этих докладов
Формируется в ходе подготовки доклада, выступления
на семинаре и последующего
обсуждения
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «DG categories of motives II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Код по ФГОС/
НИУ
Компетенция
Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели
достижения результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Формируется в ходе всей работы по дисциплине — прослушивания и обсуждения
(на английском языке) докладов других студентов,
подготовки и выступления
(на английском языке) с докладом на семинаре
Формируется в ходе подготовки доклада, выступления
на семинаре и последующего
обсуждения
освоение специальной предметной терминологии на русском и английском
языках
ПК-8
ИК-М2.4.1/
2.4.2 (МА)
Способен освоить специальную предметную терминологию на русском и английском языках для целей
профессионального и научного общения
умение публично
описать собственные
научные результаты и
результаты других
учёных
умение найти научную информацию и
адаптировать её для
устного изложения в
докладе
ПК-9
ИК-М2.5.1/
2.5.2 (МА)
Способен публично описать собственные научные
результаты и результаты
других учёных из области
специализации студента
Способен находить необхо- Формируется в ходе подгодимую научную информа- товки доклада на семинаре
цию (в т.ч. с использованием электронных библиотечных ресурсов и баз данных) и адаптировать её для
устного изложения в докладе на семинаре
4
ПК-10
ИК-М4.1/
4.2/4.6 (МА)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку
дисциплин по выбору.
5
№
Thematic plan of educational subject
Title of the section
Total
hours
Class hours
Lectures
1
2
3
4
5
6
7
8
Motivic stable homotopy theory
Cohomology theories
Homotopy theory construction of DG category of motives
Motivic cohomological operations
Motivic Adams spectral sequence
Quadratic forms and Chow motives of
smooth quadrics
The Milnor conjectures and GrothendieckWitt ring of a field
Proof of the Milnor conjecture on the norm
residue symbol
Total:
Seminars
9
9
Self-guided
study
Practical
classes
9
9
9
9
9
9
162/288
72
90/216
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «DG categories of motives II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
Контрольная работа
1
*
1 год
2 3
8 8
Зачет
Параметры **
4
8
письменная работа 60 минут
v
Критерии оценки знаний, навыков
Контрольная работа, зачеты и домашние задания проверяют степень владения теоретическим материалом, а также корректность и строгость математических рассуждений.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
7
Content of the subject
1. Motivic stable homotopy theory. Simplicial sheaves. Nisnevich topology. A1-localization. Stabilization. Symmetric spectra and monoidal structure. Comparison with other homotopy theories (topological, etale). Bibliography: [MV]
2. Cohomology theories. The Brown representability theorem. The motivic Eilenberg-Maclane
spectrum. The algebraic K-theory Spectrum. The algebraic cobordism spectrum. The etale
(Lichtenbaum) motivic cohomology.
Bibliography: [Ri]
3. Homotopy theory construction of DG category of motives. Hurewicz functor between the homotopy category and the category of effective motives. The triangulated category of motives
with rational coefficients over a field as modules over the motivic Eilenber-Maclane spectrum.
Bibliography: [MV],[CD]
4. Motivic cohomological operations. Steenrod operations: construction, Adem relations, the
Steenrod algebra Landweber-Novikov operations: constructions and basic properties. Bibliography: [Ri]
5. Motivic Adams spectral sequence. Classical Adams spectral sequence and its motivic analogue.
Some computations of cohomological operations and their structure. Bibliography: [DI]
6. Quadratic forms and Chow motives of smooth quadrics. Review of the classical theory of quadratic forms: isotropic and completely split forms; Witt's theorem. Pfister forms and excellent
forms. Decomposition of the Chow motive of a quadric. Bibliography: [R]
7. The Milnor conjectures and Grothendieck-Witt ring of a field. The Milnor K-theory and Pfister
symbols. The Grothendieck-Witt ring of a field and it's augmentation. Etale cohomology of a
field with Z/2 coefficitents. Milnor conjectures. Morel's idea of the proof of the Milnor's conjecture on quadratic forms. Bibliography: [M]
8. Proof of the Milnor conjecture on the norm residue symbol. Transfer argument. Pfister quadrics, norm quadrics as splitting varieties. The Beilinson-Lichtenbaum conjecture. Cech complex of a variety. Rost motives. Bibliography: [V], [R]
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «DG categories of motives II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
8
Образовательные технологии
В рамках семинара предусмотрены мастер-классы экспертов в различных разделах теории представлений и геометрии. Предусмотрены научные и научно-популярные доклады студентов, научные дискуссии.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/ задания для домашнего задания или контрольной работы:
1.
Define the motivic cohomological operations. Prove the existence of the Bockstein operation.
2.
Prove that there is a map from the Milnor K-theory modulo 2 to the graded quotien of the Witt
ring. Show that it is an isomorphism in the degree 1.
3.
Explain and prove the transfer argument for the Milnor K-theory.
9.1
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.
1.
What is a spectrum? Which cohomology theories are representable in the homotopy
theory?
2.
Describe the decomposition of a Chow motive of quadric over the algerbaically closed
field.
3.
What is the connection between the zeroth motivic stable group of sphere and quadratic
forms?
9.2
10
Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Отекущий = n1* Ок/р + n2* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет
в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным
(итоговым) контролем.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «DG categories of motives II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
11
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1
Базовый учебник
Нет. Должны быть обеспечены ридеры.
11.2 Основная литература
[CD] Cisinski D. C., Déglise F. Triangulated categories of mixed motives //arXiv preprint
arXiv:0912.2110. – 2009.
[MV] Morel F., Voevodsky V. A 1-homotopy theory of schemes //Publications Mathématiques de l'IHES. – 1999. – Т. 90. – №. 1. – С. 45-143.
[R] Rost M. Some new results on the Chow groups of quadrics //Preprint, Regensburg. – 1990.
[Ri] Riou J. Op\'erations de Steenrod motiviques //arXiv preprint arXiv:1207.3121. – 2012.
11.3 Дополнительная литература
[DI] Dugger D., Isaksen D. C. The motivic Adams spectral sequence //Geom. Topol. – 2010. – Т. 14.
– №. 2. – С. 967-1014.
[M] Morel F. Milnor’s conjecture on quadratic forms and mod 2 motivic complexes //Rend. Sem. Mat.
Univ. Padova. – 2005. – Т. 114. – С. 63-101.
[V] Voevodsky V. The Milnor conjecture. – MPI, 1997.
11.4
Программные средства
Специальные программные средства не предусмотрены.
11.5
Дистанционная поддержка дисциплины
Специальные дистанционные ресурсы не предусмотрены.
12
Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения семинаров не используется специальное оборудование.
6