Центральный экономико-математический институт РАН Государственный академический университет гуманитарных наук

Центральный экономико-математический институт РАН
Государственный академический университет гуманитарных наук
Макарчук Н.И.
Учебное пособие по курсу «Математический анализ»
2012
1
I. Некоторые понятие из теории множеств. Вещественные числа.
Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через
другие (более простые) понятия. Под множеством понимается конечная или бесконечная
совокупность (набор) некоторых объектов, объединенных одним свойством. Объекты,
которые образуют множество, называются элементами (или точками) этого множества.
Множество обозначается прописными буквами, а их элементы - строчными буквами. Если
а элемент множества А, то используется запись а А, если элемент b не является
элементом множества А, то используется запись b  А. Множество, не содержащее ни
одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом
.
Если множество B состоит из части множества А или совпадает с ним, то В называют
подмножеством множества А и обозначают В  А. Объединением двух множеств А и В
называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному
из данных множеств, т.е. С=А  В. Два множества называются равными, если они состоят
из одних и тех же элементов. Пересечением двух множеств А и В называется множество
D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных
множеств, т.е. D =А  В. Разностью двух множеств А и В называется множество F,
состоящее элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, Обозначается
F=А\В, отсюда А\А=  . Дополнением множества В (В  А) называется множество Е,
состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Отрицанием
множества А называется множество, не содержащее ни одного элемента множества А,
обозначается оно А , отсюда А  А =  .
В алгебре множеств А  В можно записать в виде АВ, А  В=А+В.
Множества, элементами которых являются вещественные, или действительные
числа, называются числовыми. Множество вещественных чисел бесконечно. Оно состоит
из рациональных и иррациональных чисел. Рациональным числом называют число вида
p
, где p и q целые числа. Всякое число, не являющееся рациональным, называют
q
иррациональным. Рациональное число либо целое, либо представляет собой целую или
2
периодическую бесконечную десятичную дробь. Например, 7 – целое число,
десятичная дробь,
1
=0,2 –
5
1
=0, 3333…=0,3(3) - периодическую бесконечную десятичную дробь.
3
Иррациональное число представляет собой бесконечную непериодическую десятичную
дробь. Например,
2 = 1,41421356…, число  =3,14159265….
Из школьного курса алгебры известны числовые множества и их обозначения:
R- множество действительных чисел,
Q- множество рациональных чисел,
I- множество иррациональных чисел,
Z- множество целых чисел (положительных, отрицательных и ноль),
N- множество натуральных чисел (1,2,3,…).
Очевидно,
N  Z  Q  R,
I  R,
R=Q  I, Q  I=  - пустое множество.
Для любой пары вещественных чисел а и в определены числа а+в и ав единственным
образом, которые называются соответственно суммой и произведением.
Для любых чисел а,в,с имеют место следующие свойства.
1. Переместительное свойство: а+в=в+а; ав=ва.
2. Сочетательное свойство: (а+в)+с=а+(в+с); (ав) с=а (вс).
3. Распределительное свойство: (а+в)с=ас+вс.
4. Существует единственное число 0 (ноль), такое, что а+0=а для любого а.
5. Для любого числа а существует такое число (-а), что а+(-а)=0.
6.Существует единственное число 1  0, такое, что для любого числа а имеет место
а  1 =а.
7. Для любого числа а  0 существует такое число существует такое число а 1 , что
a  а 1 =1. Число а 1 обозначается также символом
1
.
а
Числовая ось и множества на ней.
Между множеством вещественных чисел и множеством точек на прямой может
быть установлено взаимно однозначное соответствие. Это дает возможность наглядно
геометрически изобразить вещественные числа на числовой оси. Рациональные и
иррациональные числа занимают всю числовую ось.
Выберем на прямой точку О – начало отсчета, укажем направление отсчета (обычно слева
направо) и единицу измерения (масштаб). Эти три действия полностью определяют
3
числовую ось. На ней вещественные числа изображаются в виде точек. На этой оси
возьмем произвольную точку М, поставим ей в соответствие число x, равное по величине
длине отрезка ОМ, со знаком «+», если точка М справа от точки О, со знаком «-» , если –
слева от точки О. Число x называется координатой точки М. Справедливо и обратное
утверждение : каждому вещественному числу x соответствует определенная точка на
числовой (координатной) оси, координата которой равна x.
Взаимно однозначное соответствие между множествами.
Определение. Пусть даны два множества (конечные или бесконечные).
Если между элементами этих множеств можно установить такое соответствие, при
котором каждому элементу одного множества соответствует один и только один
элемент другого множества и обратно, каждому элементу второго множества
соответствует один и только один элемент первого множества, то говорят, что
между элементами этих множеств установлено взаимно однозначное соответствие
a  b
(ВОС).
Пример 1.Даны множества А и В, состоящие из конечного числа элементов. Тогда ВОС
устанавливается, если  и число элементов множества А= числу элементов множества В.
Не ВОС, т.к.
стрелки с
 
  

    
одним концом А
С
А
Нельзя установить ВОС.

т.к. одной точке множ. В
В
ВОС
соответствуют две точки
А
В
множества А
Пример 2. Множество А – множество всех целых положительных чисел (1, 2, 3, 4, …), В –
множество всех целых отрицательных чисел (-1, -2, -3, -4, …).
Ответ: есть ВОС.
Пример 3. Может ли множество быть во ВОС со своим подмножеством?
Ответ: конечное – нет,
бесконечное – да. Пример: А-множество всех целых положительных чисел, Вмножество всех четных положительных чисел, 1
2
3
4… n…
2
4
6
8 … 2n …
Пример 4. Множество А – вся прямая ось (-  ,  ),
множество В – полуокружность с центром
в точке (0,1), радиус = 1.
Ответ: ВОС.
4
  
Пример 5. Множество А –   ,  ,
 2 2
2
B
множество В – вся прямая ось (-  ,  ).
1
0
A
y=tgx
Ответ: ВОС.
Пример 6. Множество А – 0,1 ,
y
множество В – 0,2.


2
0
x

2
y=2x
Ответ: ВОС.
Определение. Два множества называются количественно эквивалентными (или просто
эквивалентными) если между ними можно установит ВОС, пишут A~B.
Относительно двух эквивалентных множеств говорят, что они имеют одинаковую
мощность (или равномощны).
Примеры 4, 5, 6 показывают, что полуокружность и прямая равномощны, все отрезки
имеют одинаковую мощность и отрезки и вся прямая также равномощны.
Если А эквивалентно В, то пишут А  В. Очевидно выполнены свойства.
1. Тождественность: А  А.
2. Транзитивность : если А  В, В  С, А  С.
3. Симметрия : если А  В, то В  А.
Определение. Про любое множество, эквивалентное отрезку [0,1] говорят, что оно
имеет мощность континуума.
Доказать, что любой отрезок [a,b], прямая (-  ,  ) и полуокружность имеют мощность
континуума (см.примеры 4, 5, 6).
Определение. Счетным множеством называется любое множество, эквивалентное
множеству всех целых положительных чисел {1,2,3,…}. Иначе говоря, множество
счетно, если все элементы можно пронумеровать:а1, а2,….
Свойства счетных множеств.
1. Объединение счетных множеств снова счетное множество: А1  А2.
2. Объединение конечного числа счетных множеств счетно: А1  А2  …  Аn.
А1  А2 .

3. Объединение счетного числа счетных множеств счетно:
А .
i
i 1
5
Все эти свойства нужно доказать.
Док-во 1 свойства. Пусть множество А={ а1, а2,…}, множества В= {b1, b2,…}.
Множество А  В={ а1, b1, а2, b2,…}, пронумеруем элементы этого множества –
получим счетное множество.
Для доказательства свойств счетных множеств удобно расположить элементы каждого
множества Аk в последовательность {аnk}, к=1,2,3,…, т.е. в виде матрицы
множество А1 : а11 а12 а13 а14 ...
множество А2: а21 а22 а23 а24 ...
множество А3 : а31 а32 а33 а34 …
множество А4: а41 а42 а43 а44 …
и т.д.
Элементы объединения множеств рассматривать в виде множества {а11, а21, а12, а31,
а22, а13 , а34 , а14, …}.
Имеют место следующие утверждения:
- любое подмножество счетного множества либо пусто, либо конечно, либо счетно;
- множество, эквивалентное счетному множеству, счетно; (док-во от противного)
- множество, эквивалентное несчетному множеству, несчетно;
- множества N, Z, Z0 (положительных целых чисел) – счетны;
- множество Q (множество рациональных чисел) – счетно;
- множества I (иррациональных чисел) и R (вещественных чисел) – несчетны;
- множество точек отрезка [0, 1] несчетно (нельзя пронумеровать);
- в любом интервале (a,b) числовой прямой содержится бесконечно много
рациональных и иррациональных чисел;
- рациональные и иррациональные числа полностью «заполняют» числовую прямую.
Верхняя и нижняя грани множества вещественных чисел.
Определение. Множество вещественных чисел Х={х} называется ограниченным
сверху (снизу), если существует такое вещественное число М (число m), что каждый
элемент х множества Х удовлетворяет неравенству х  М (х  m). При этом число М
(число m) называют верхней гранью ( нижней гранью) множества Х.
Множество, ограниченное и сверху, и снизу называют ограниченным множеством.
Понятно, что любое ограниченное сверху множество имеет бесконечно
много верхних граней, т.к. если М – верхняя грань множества {х}, то любое
вещественное число М1  М, также является верхней гранью множества {х}.
6
Аналогичное замечание можно сделать относительно нижней грани m ограниченного
снизу множества {х}. Возникает вопрос о существовании наименьшей из верхних
граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней
ограниченного снизу множества.
Определение. Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху
множества {х} называется точной верхней гранью этого множества и обозначается
символом x =sup {x}.
Наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества {х} называется
точной нижней гранью этого множества и обозначается символом x = inf {x}.
Символы заимствованы из латинского языка: supremum- наивысший, infimum –
наинизший
Или: число x (число x ) называется точной верхней гранью (точной нижней гранью)
Ограниченного сверху (снизу) множества {х}, если выполнены следующие два
требования: 1). каждый элемент множества {х} удовлетворяет неравенству х  x
(х  x ).
2). Каково бы ни было вещественное число x , меньшее x (большее x )
найдется хотя бы один элемент множества {х}, удовлетворяющий неравенству х> x
(х< x ). Второе условие говорит о том, что грань является наименьшей (наибольшей) и
уменьшить (увеличить) её нельзя.
Существование у любого ограниченного сверху (снизу) множества точной
верхней (точной нижней) грани не является очевидным. Ниже приводится теорема о
существовании таких граней (без доказательства).
ТЕОРЕМА. Если множество Х={х} содержит хотя бы один элемент и ограничено
сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Некоторые конкретные множества вещественных чисел
Обозначив множество вещественных чисел символом Х={х}, где х - точка (элемент)
этого множества, будем говорить, что точка х1 множества {х} отлична от точки х2
этого множества , если вещественные числа х1 и х2 не равны друг другу. При этом,
если х1> х2 (или х1< х2), то будем говорить, что точка х1 лежит правее точки х2
(левее х2).
1. Множество вещественных чисел Х={х}, удовлетворяющее неравенству a  x  b ,
где а <b , будем называть сегментом или отрезком и обозначать [a,b], точки a и b
называются граничными точками или концами сегмента, а любое число х ,
удовлетворяющее a  x<b, внутренней точкой сегмента.
7
2. Интервал, обозначается (a,b) – это множество всех вещественных чисел х,
удовлетворяющих неравенствам a  x < b.
3. Полуинтервал (полусегмент), обозначается (а, b] или [а, b ) – это множество всех
вещественных чисел х , удовлетворяющих неравенствам a  x  b (или a  x < b).
4. Окрестность точки с – это любой интервал, содержащий точку с.
5.  - окрестность точки с – это интервал ( c–  ,c+  ), где  >0.
6. Множество всех вещественных чисел будем называть числовой (бесконечной)
прямой и обозначать символом (-  ,  ),
7. Множество всех вещественных чисел, удовлетворяющих неравенству х  а (или
х  а) будем называть полупрямой и обозначать [а,  ) или (-  , a].
8. Множество всех вещественных чисел, удовлетворяющих неравенству х>а или
(х<а) будем называть открытой полупрямой и обозначать (а,  ) или (-  , a).
Полезные определения.
Множество А замкнуто, если каждая граничная точка А принадлежит А.
Точка называется внутренней точкой множества А, если она имеет
окрестность такую, что эта окрестность принадлежит А.
Множество А открыто, если каждая точка А является внутренней точкой
множества А.
Множество А открыто, если его дополнение замкнуто.
Абсолютная величина числа и её свойства.
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) числа х называют само число х,
если х неотрицательно, и противоположное число –х, если х отрицательно., т.е.
|x|= х, при х  0 ,
|x|=  x , при х<0
Свойства:
1. |x|  0
2. |x|=|-x|
3. -|x|  х  |x|
4. Неравенства |x|  а и -а  х  а равносильны при а>0.
5. Для любых двух чисел х и у справедливы неравенства:
|x+у|  |x|+|у|
|x-у|  |x|+|у|
|x-у|  |x|-|у|
|x+у|  |x|-|у|
|x  y |= x  y
x |x|
=
, (y  0).
y | y|
8
Упражнения.
1. Определение ограниченного множества, ограниченного сверху (снизу)
множества.
2. Ограничен ли натуральный ряд {1,2,3,…} сверху, снизу?
3. Что можно сказать об ограниченности множества правильных дробей?
4. Есть ли у множества правильных дробей точные верхняя и нижняя грани?
Если есть, то какие?
5. Что можно сказать об ограниченности множества положительных правильных
дробей?
6.
Определение замкнутого множества. Пример. Определение внутренней
точки множества. Какое множество называется открытым. Пример.
7. Какое множество называется счетным. Пример счетного и несчетного
множества.
1
8. Найти нижнюю и верхнюю грани функции f ( x )  x  на множестве
x
(0, ) .
9. Определение взаимно однозначного соответствия между множествами.
Примеры.
2x
10. Найти нижнюю и верхнюю грани функции f ( x ) 
на множестве
1 x2
(0, ) .
11. Определение верхней и нижней грани множества вещественных чисел.
12. Найти нижнюю и верхнюю грани функции f ( x)  2 x на множестве ( 1,2) .
13. Найти нижнюю и верхнюю грани функции f ( x )  sin x  cos x на множестве
0,2 .
14. Что обозначает |х-а| (рассмотреть графическое изображение при х  а и х>а)?
15. Какое множество представлено интервалом (а-  , а   ) ?
16. Определение верхней грани множества и определение точной верхней грани
множества вещественных чисел. Привести пример.
17. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у ограниченного
сверху (снизу) числового множества.
18. Привести пример числовых множеств X, у которых :а) sup X  X;
б) sup X  X;
19. Привести пример числовых множеств X, у которых : а) inf X  X;
б) inf X  X;
9
II. Числовая последовательность.
1. Предел числовой последовательности.
Рассмотрим функцию хn от натурального аргумента. Аргумент n принимает все
значения натурального ряда 1,2,3,…, n, n ,…, члены которого мы представляем себе
упорядоченными по возрастанию, так что n (большее число) следует за меньшим n.
Если задана функция хn , то её аргумент n (или указатель) можно рассматривать
как номер соответствующего значения переменной.
Определение. Если каждому числу n  N ставится в соответствие по определенному
закону некоторое вещественное число хn , то множество занумерованных вещественных
чисел х1, х 2, …, хn, … будем называть числовой последовательностью или просто
последовательностью.
Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального
аргумента хn=f(n). Сокращенная запись { хn} , где
х1 - первый член последовательности,
х 2 - второй член последовательности, …
хn - n –ый член последовательности, …
Номер n рассматривается как номер соответствующего члена последовательности.
Мы будем представлять себе множество { хn} упорядоченным, наподобие натурального
ряда 1,2,3,…, n, n ,… по возрастанию номеров, т.е. в виде числовой последовательности
х1, х 2, …, х n , … , х n ,…
(1)
При n > n значение х n следует за х n , независимо от того, будет ли х n больше, меньше
или равно хn. Последовательность можно задать общим членом:
1. { хn}=, т.е. 1, 1, 1,…, 1,…
1  (1) n 
1
1
2. 
 = 0,1,0, ,0, ,…
2
3
n


1  (1) n
(или хn=
).
n
1 1
1
1 
3.   = 1, , , …, ,…
2 3
n
n
1
(или хn= ).
n
 (1) n 1 
1 1 1
4. 
 = 1, - , ,- ,…
2 3 4
 n 
(или хn=
5.
(1)  =1,-1,1,-1,…
n 1
(1) n 1
).
n
(или хn=  1
n 1
).
Последовательность можно задать рекуррентной формулой. Например,
хn+1 = хn +2, х1=1,
т.е. х1=1, х2=3, х3=5,….
10
ИТАК: 1. Для элементов последовательности установлен определенный порядок.
2. Один элемент последовательности может повторяться несколько раз
(даже бесконечное число раз).
Упорядочение значения переменной хn по возрастанию их номеров облегчает
понимание «процесса» приближения переменной хn ( при безграничном
возрастании n ) к её пределу.
Определение 1 (нестрогое). Число а называют пределом переменной ( или
числовой последовательности { хn} ), если величина хn отличается от а , сколь
угодно мало, начиная с некоторого места, т.е. для всех достаточно больших
номеров n .
Опеделение 2 (строгое). Число а называют пределом переменной хn ( или числовой
последовательности { хn} ), если для каждого положительного сколь угодно
малого  (  >0) существует такой номер N , что все значения хn , у которых n>N,
удовлетворяют неравенству x n  a   (или    xn  a   или
a    xn  a   ), т.е. запись x n  a   эквивалентна записи a    xn  a   .
Тот факт, что а является пределом переменной хn записывается так:
lim x n =a,
n
говорят, что переменная хn стремиться к а, и пишут хn  а при n   .
Если а является пределом последовательности (1), то говорят, что последовательность сходится к а .
В строгом определении предела, номер N не может быть указан раз и
навсегда; он зависит от выбора  . Иногда, чтобы подчеркнуть это, мы вместо N
будем
писать
N .
При
уменьшении

соответствующий
номер
будет
увеличиваться, т.е.чем большей близости переменной хn к а мы требуем, тем более
далекие значения её в ряду (1) приходится рассматривать. Исключение
представляет тот случай, когда все значения переменной равны постоянному числу
а
или становятся равными а, начиная с некоторого места. Тогда lim x n =a
n
выполняется для любого  >0 при всех значениях хn одновременно.
Открытый промежуток ( a   , a   ) с центром в точке а принято называть
-
окрестностью точки а . Какую бы малую окрестность точки а ни взяли, все
значения хn  а , начиная с некоторого номера должны попасть в эту окрестность.
Вне окрестности может остаться лишь конечное число этих значений.
11
х2
Геометрический
смысл

х4
хn+1 хn+3
хn+6 хn+2
хn
х5 х1
--  ----  ------(----  ----  ------  --  ----  -----  --)--  ----  -а- 
-окрестноcти
а+ 
а
В определении предела номер N указывает то «место», начиная с которого (n>N)
переменная будет попадать в
 -окрестность точки а, 
выбирается произвольно.
Рассмотрим несколько примеров последовательностей.
1 1
1
1
1 
1.   = 1, , , …, ,… lim = 0. Проверим это. Возьмем  =0,01, тогда
n n
2 3
n
n
1
1
 0.01, т.е. n>100. Это значит, что начиная со 101 элемента, все
 0 <0,01 или
n
n
элементы последовательности будут меньше заданного  =0,01. Следовательно,
последовательность сходится, и предел её равен 0.


2. 1  (1) n1 =0,2,0,2,… Предел этой последовательности равен 0 или 2, т.е.
стремиться к двум точкам.
Определение. Точка х0 называется предельной точкой ( или точкой сгущения)
последовательности { хn}, если любая окрестность точки х0 содержит бесконечно
много членов этой последовательности. Точка х0 может как принадлежать, так и не
принадлежать этой последовательности.
В примере 1 – одна предельная точка, которая не принадлежит
последовательности, в примере 2 - две предельные точки, принадлежащие
последовательности.
Не следует путать понятии «предел» и «предельная точка».
Вне некоторой окрестности предельной точки может быть (если их несколько)
бесконечное число точек последовательности, а у предела – конечное. Так в
примере 2 у последовательности две предельные точки, поэтому последовательность несходящаяся, в примере 1 у последовательности один предел, поэтому
последовательность сходится.
Определения.
Числовая последовательность { хn} называется:
- ограниченной сверху, если существует число М, что хn  М ,
- ограниченной снизу , если существует число m, что хn  m,
12
- неограниченной, если для А>0 найдется элемент хn этой последовательности
такой, что хn  множеству x : x  A,
- ограниченной, если она ограничена сверху и снизу.
Число М называется верхней гранью (или границей) последовательности {хn} (или
множества Х = x : xn  M .
Наименьшую из всех верхних граней ограниченного сверху множества Х
называют точной верхней гранью множества Х и обозначают
x  sup x : x  X .
Число m называется нижней гранью (или границей) последовательности {хn} (или
множества Х = x : xn  m .
Наибольшую из всех нижних граней ограниченного снизу множества Х
называют точной нижней гранью множества Х и обозначают
x  inf x : x  X  .
Замечание.
Неограниченная последовательность не имеет конечного предела,
но она может иметь бесконечный предел lim x n =  .
n
Если, начиная с некоторого номера, все члены положительны (отрицательны), то
пишут lim x n =+  ( lim x n =   ).
n
n
Определения .
Числовая последовательность { хn} называется возрастающей, если
x1< x2<,…, xn< ….
Числовая последовательность { хn} называется убывающей, если
x1> x2>,…, xn>….
Числовая последовательность { хn} называется невозрастающей, если
x1  x2  ,…, xn  ….
Числовая последовательность { хn} называется неубывающей, если
x1  x2  ,…, xn  ….
Все такие последовательности называются монотонными, а последовательности
возрастающая и убывающая называются строго монотонными.
2. Теоремы о пределах.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
13
Доказательство. Допустим противное. Пусть lim x n =a и lim x n =b (a<b).
n
n
Поскольку xn  a , то найдется номер N 1 , что при n>N 1 будет выполняться
неравенство x n  a   1 и найдется N 2 , что при n>N2 будет выполняться
неравенство x n  b   2 . т.е. вне окрестности точки а и вне окрестности точки b
должно лежать конечное число членов последовательности {хn}, что у нас
невозможно, т.к. вне окрестности точки а лежит окрестность точки b, в которой
бесконечно много членов нашей последовательности. Следовательно,
предположение неверно. Теорема доказана.
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Ограниченной последовательностью называется
последовательность, у которой все значения содержатся между двумя числамиграницами: m  хn  М . Из определения предела lim x n =a имеем x n  a   ,
n
т.е. начиная с n>N члены последовательности будут лежать между границами
a    xn  a   , вне этих границ лежит конечное число N членов. Сделаем
границы такими, чтобы между ними лежали все члены последовательности. Для
этого примем m = min{a   , x1 ,..., x N } и M = max{a   , x1 ,..., x N }.
Другое доказательство. Пусть lim x n =а, возьмем   1 . Для такого 
n
существует N такое, что xn  а  1 при n>N. Вне этой окрестности существует
конечное число членов последовательности x n  , следовательно,
последовательность ограничена.
Замечание. Отсюда ясно, что последовательность, имеющая конечный
предел, не может стремиться к +  или к   . Это как бы дополнение к теореме 1
о единственности предела.
Теорема 3. Если переменная xn  а и a>p (a<q), то и все значения переменной,
начиная с некоторого номера будут больше p (меньше q).
Доказательство. Выбрав  < a  p (   q  a ), будем иметь (для   0 )
a    p ( a    q ). По определению предела для этого  найдется такое N, что
при n>N будет a    xn  a   . Но p< a   и a    q , тогда p<x n <q.
3. Бесконечно малые величины (или последовательности).
Особый интерес представляет случай, когда переменная хn  0 .
14
Определение 1. Переменная хn (или последовательность {хn}), имеющая своим
пределом нуль, называется бесконечно малой величиной (или бесконечно малой
последовательностью) или просто бесконечно малой (БМ).
БМ обычно обозначают греческими буквами:  n ,  n ,  n ...
Если в определении предела переменной хn (или последовательности {хn})
положить а = 0, то неравенство x n  a   примет вид x n   для n>N  , (т.е.
 n   ). Тогда определение БМ можно сформулировать без упоминания слова
«предел».
Определение 2. Переменная  n называется БМ, если она для достаточно
больших номеров становится и остается по абсолютной величине меньшей сколь
угодно малого наперед заданного числа  >0.
Иначе: БМ последовательностью называется такая последовательность,
если для  >0 можно указать номер N такой, что при n>N выполняется
неравенство  n   , т.е. все элементы с номерами > N будут принадлежать
 - окрестности.
Переменная величина  n лишь в процессе своего изменения способна сделаться
меньшей произвольно взятого числа
 . Исключением является неинтересный
случай, когда переменная тождественно равна нулю.
Если вернуться к общему случаю переменной хn , имеющей предел а, то
разность  n  xn  a будет БМ в силу неравенства  n  xn  a <  для n> N 
Обратно: если  n есть БМ, то x n  a .
Это приводит нас к следующему утверждению: для того чтобы переменная x n
имела своим пределом постоянное число а, необходимо и достаточно, чтобы
разность между ними  n  xn  a была бы БМ.
В связи с этим утверждением можно дать другое определение предела,
равносильное первому, используя для БМ определение 2.
Определение 3. Число а называется пределом переменной x n , если разность между
ними есть БМ величина.
15
Основные свойства бесконечно малых последовательностей ( БМП)
1. Сумма двух БМП есть снова БМП.
Доказательство. Пусть  n  и  n  две БМП. Рассмотрим последовательность
 n   n . Фиксируем
такие, что  n 

2
 >0. По определению БМП найдутся номера N1(  ) и N2(  )
при n>N1 и  n 
n  т  n  n 

2


2

2
при n>N2 . Тогда при n>max(N1, N2 )=N
 ,
Откуда следует, что последовательность  n   n  есть БМП.
2. Разность двух БМП есть снова БМП.
Доказать самим, используя неравенство  n   т   n   n .
3. БМП ограничена.
Доказательство. Возьмем   1 . Для такого  существует N такое, что  n    1
при n>N. Положим A=max{1, 1 ,  2 ,...,  N 1 } . Тогда  n  А для n=1, 2, 3,…,
т.е. последовательность  n  сверху и снизу (или ограничена).
4. Произведение ограниченной последовательности на БМП есть снова БМП (в
частности , произведение двух БМП есть снова БМП).
Доказательство. Для доказательства используем равенство  n   т   n   n . Т.к.
 n  ограничена, то  n
 С , причем, если m   n  M , то С= max (m,M).
 n - БМП. Возьмем за    1 ,
С
где  1  0 , тогда  n   т  C 
1
С
=  1 , т.е.
 n   n - БМП, что требовалось доказать.
3. Бесконечно большие величины (или последовательности)
Определение. Переменная хn называется бесконечно большой (ББВ) , если она для
достаточно больших значений n становится и остается по абсолютной величине
большей сколь угодно большого наперед заданного числа Е>0 : xn  E для n>NЕ .
Бесконечно большой последовательностью {хn} (ББП) называется такая
последовательность, если для положительного числа Е можно указать номер N
такой, что при n>NЕ все хn с номерами n>NЕ будут больше Е.
16
Мы имеем дело с переменной величиной хn , которая в процессе своего изменения
способна сделаться большей произвольно взятого числа Е.
Прмером ББ могут служить переменные хn= n, хn= -n, хn= (-1)n+1n, которые
пробегают натуральный ряд чисел со знаком плюс, минус, чередуя знаки.
Особенно важны случаи, когда ББВ хn для достаточно больших n сохраняет
определенный знак (+ или  ). Тогда, в соответствии со знаком, говорят, что
переменная хn имеет предел +  или   , а также, что она   или   , при
lim x n =+  , lim хn  
этом пишут:
n
n
lim x n =   , lim хn  
n
n
Очевидно, что ББВ в общем случае характеризуется соотношением xn   .
«Несобственные числа»   имеют условный смысл и нужно остерегаться
производить над этими числами арифметические действия.
Замечания. Связь между ББВ и БМВ.
1. Если переменная хn есть ББВ, то её обратная величина  n 
1
будет БМВ
xn
и lim  n = 0.
n
Доказательство. Возьмем любое  >0. По определению ББВ, для Е=
такой номер N, что x n 
1

1
найдется

лишь только n>N. Тогда для тех же значений n будет
 т   , что и доказывает наше утверждение.
2. Если переменная  n (не обращается в нуль) является БМВ, то обратная
для неё величина x n 
1
n
будет ББВ и lim
n
1
n
= .
Доказательство аналогичное для замечания 1.
3. Нельзя смешивать постоянное очень маленькое число с БМВ.
Единственным числом, которое рассматривается в качестве БМВ, служит нуль.
4. Арифметические свойства пределов числовых
последовательностей.
Имеются две сходящиеся последовательности с конечными пределами lim x n =a и
n
lim y n =b.
n
1. Если последовательности имеют пределы, то предел суммы (разности)
17
последовательностей равен сумме (разности) пределов
(или lim ( x n  y n )= lim x n  lim y n =a  b).
n
n
n
Доказательство. Представим xn  a   n и y n  b   n , где  n ,  n - БМ. Тогда
lim ( x n + y n )= lim ( a   n + b   n )=(a+b)+ lim (  n +  n )= a+b, т.к. lim  n =0,
n
n
n
n
lim  n =0.
n
2. Если каждый элемент последовательности умножить на одно и тоже
число, то предел увеличится во столько же раз (или lim с x n =c lim x n = сa).
n
n
Доказательство. Положим xn  a   n , где  n - БМ. Умножим на число с каждый
элемент последовательности, получим сxn  сa  с n .
Тогда lim с x n = сa+ lim с  n = сa.
n
n
3. Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен произведению пределов
( или lim x n lim y n =a  b ) .
n
n
4. Частное двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен частному от пределов, при условии, что
предел знаменателя не равен нулю (или
lim x
lim y
n 
n 
n
n
a
= , при условии, что b  0).
b
4. Предельный переход в равенствах и неравенствах
При установлении существования и величины предела часто бывают полезны
следующие теоремы.
1. Если две переменные x n и y n при всех их изменениях равны x n = y n , причем
каждая из них имеет конечный предел lim x n =a и lim y n =b , то равны и эти
n
n
пределы a =b (или lim x n = lim y n ) .
n
n
Это следует из единственности предела.
2. Если для двух переменных x n и y n всегда выполняется неравенство x n  y n ,
причем каждая из них имеет конечный предел lim x n =a и lim y n =b , то a  b
n
n
(или lim x n  lim y n ).
n
n
18
Доказательство от противного.
Как частный случай, можно получить утверждение:
Если lim x n =a , причем всегда x n  р (  q ), то а  р ( а  q ).
n
3. Если для переменных x n , y n и z n lim x n =a и lim z n =а и всегда выполняются
n
n
неравенства x n  y n  z n , то lim y n =а.
n
Все приведенные теоремы легко распространяются и на случай бесконечных
пределов.
5. Неопределенные выражения.
Мы рассматривали выражения x n  y n , x n y n ,
xn
в предположении, что x n
yn
и y n имеют конечные пределы и устанавливали пределы этих выражений.
Рассмотрим случаи, когда пределы переменных x n и y n (один или оба)
бесконечны или в случае о частном предел знаменателя равен нулю. В таких
случаях необходимо знать законы изменения переменных вместе с n и исследовать
выражения. В зависимости от закона изменения переменных будем иметь
различные значения выражений и даже вовсе не иметь предела.
1. Неопределенность вида
0
.
0
Эта неопределенность возникает, когда
xn
lim y
n 
=
n
0
при xn  0, y n  0 .
0
В зависимости от закона изменения переменных будем иметь различные значения
частного и даже вовсе не иметь предела.
2. Неопределенность вида

.

Эта неопределенность возникает, когда
xn
lim y
n 
n
=

при xn  , y n   .

3. Неопределенность вида 0   .
Эта неопределенность возникает, когда
lim x
n
y n  = 0   при xn  0, y n   .
lim x
n
 y n  =    при
n
4. Неопределенность вида    .
Эта неопределенность возникает, когда
n 
xn  , y n   или xn  , y n   .
19
Для раскрытия неопределенностей используют различные способы. Например.
1.

n
lim n  1 =  ;
n
Разделим числитель и знаменатель на n. Получим
lim
n 
2. Найти
1
1
1
n
= 1, т.к.
1
 0.
n
 2n 2  n  1 

xn  3n 2  2n  7  .
lim xn , если
n 
Вынесем в числителе и знаменателе n 2 , получим
1 1
 2
 2n  n  1  n
2
n
xn   3n 2  2n  7  = n 2 2 n7 = 3 .
3  2
n n
2
3. Найти
2
2
lim x
n 
n
, если
x
n
lim x
n 
n
2
= .
3
 n 1  n .
Используя формулу разности квадратов a 2  b 2  (a  b)( a  b) , представим
lim x = lim
n 
n
n 
( n  1  n )( n  1  n )
n 1  n
= lim
n 
n 1 n
n 1  n
=0, т.к. числитель равен
единице, а знаменатель   при n   .
Существуют другие способы освобождения от неопределенностей.
6. Классификация бесконечно малых величин.
Во многих случаях представляет интерес сравнение БМВ между собой по
характеру их приближения к нулю. При сравнении двух БМВ  и 
рассматривается поведение их отношения (предполагается, что знаменатель  0 ,
когда БМВ  0). Установим два соглашения :
1. Если отношение


(а с ним и
) имеет конечный и отличный от нуля


предел, то БМ  и  считаются величинами одного порядка.
2. Если отношение



само является БМ, т.е.
 0 (а отношение



ББ), то БМ  считается величиной высшего порядка, по сравнению с
БМ  , и одновременно БМ  будет низшего порядка, чем БМ  .
20
Например. 1.   0 , то по сравнению с ней БМ одного порядка будут БМ
sin  , tg  , 1    1
т.к. lim
sin 
lim
 1 (1-й замечательный предел),

 0
1  1

 0
1  1



1
( 1   < ! <1+  ).
2
1  1
 ( 1    1)
=
1
1  1

1
при   0 .
2
2. БМ : 1-cos  , tg  -sin  - высшего порядка, чем  , т.е. порядок k  2 .


sin
2 sin

1  cos  1  1  cos 
2 =1
2
 ; 
т.к. для k=2 имеем lim

2
2
2
 0
2  

2 


 2
2
для k=3 имеем lim
 0
tg  sin 

3

tg  sin 

3


2


  1  ;
2



1
, т.к.
2
1
sin  1  cos 
1 1


1 1   .
2
cos  
2 2

Но может случиться, что отношение двух БМ не стремятся ни к какому пределу и
не являются ББ. Например, БМ  и БМ   sin
1

. Их отношение, равное sin
1

, не
имеет предела при   0 . В таких случаях говорят: две БМ несравнимы между
собой.
Если БМ  оказывается высшего порядка, чем  , то этот факт записывают
так:   о(  ) , что означает  есть о-малое от  .
Например, можно записать 1 cos  = о(  ) , tg  sin  = о(  ).
Для определения сравнительной характеристики поведения бесконечно
малых, выбирают одну из них и называют «основной», скажем  .
3. Уславливаются считать БМ  величиной k-го порядка (относительно
основной БМ  ), если  и  k (k>0) ,будут величинами одного порядка
т.е. если

имеют конечный и отличный от нуля предел.
к
Например, БМ ( 1 cos  ) – БМВ второго порядка, БМ tg  sin  - БМВ третьего
порядка (см. выше пример2).
4. Будем называть БМ  и  эквивалентными (  ~  ), если их разность
21
 =    оказывается величиной высшего порядка, чем каждая из них:
  о( ) ,   о(  ) .
Достаточно потребовать, чтобы  была высшего порядка, чем одна из бесконечно
малых, т.к. из того, что lim
lim


 lim

 

 lim 


 0 следует, что lim  0 , т.к.



1

 0.
Критерий эквивалентности (второе определение эквивалентности БМ):
Для того чтобы две БМ  и  были эквивалентными, необходимо и
достаточно, чтобы lim

 1.

Доказательство. Положим      , тогда




1  , но т.к.
 1 , то  0 ,




т.е.  есть БМ высшего порядка, чем  и  ~  .
Обратно: если дано,  ~  , то


  
 0 , тогда
 1.
 1 , т.к.




С помощью критерия получим, что при   0 sin  ~  , tg  ~  , 1    1 ~
1
.
2
Из доказанного вытекает, что две БМ, эквивалентные третьей, эквивалентны
между собой.
Например, при   0 sin  ~ tg  , ln(1+  )~  , a   1 ~   lna, е  1 ~  ,
m
1 ~

m
.
Свойство эквивалентности БМ приводит к использованию их при раскрытии
неопределенности вида
0
, т.е. при разыскании предела отношения двух БМ.
0
Каждая из них может быть заменена любой эквивалентной ей БМ, не изменив
предела.
Пример. lim
 0
1
(   2 )
1    2 1
1 1  1
 lim 2
 lim      .
 0
 0 4
sin 2 x
2
4  4

Выделение главной части. Пусть БМ  будет k-го порядка относительно  ,


 C , где С  0 (С   ). Тогда lim
 1 , БМ  и С  k эквивалентны.
k
 0 
  0 C k
т.е. lim
22
Простейшая БМ С  k эквивалентная данной БМ  называется её главной частью
(или главным членом).
1
1
Так для 1 cos  ~  2 , tg  sin  ~  3 , здесь   0 является основной БМ.
2
2
7. Классификация бесконечно больших величин.
1. Две ББВ
отношение
z
y
y и z
(а с ним
2. Если отношение
считаются величинами одного порядка, если их
y
) имеет конечный и отличный от нуля предел.
z
y
z
само оказывается ББ ( а обратное отношение
z
y
БМ), то z считается ББВ высшего порядка, чем y , и одновременно y будет ББВ
низшего порядка, чем z .
В случае, когда отношение
z
ни к какому конечному пределу не стремится
y
и в то же время не будет ББВ, то ББВ y и z несравнимы.
При одновременном рассмотрении ряда ББВ одну из них (скажем y)
выбирают в качестве основной и с её степенями сравнивают остальные ББВ.
3. ББВ z называется величиной k-го порядка относительно основной ББВ y,
если z и y k будут одного порядка, т.е. если отношение
z
имеет конечный
yk
и отличный от нуля предел.
23
Вопросы и упражнения по пройденному материалу.
1. Строгое определение предела числовой последовательности.
2. Понятие   окрестности точки а. Геометрический смысл  - окрестности для
сходящейся последовательности.
3. Определение числовой последовательности, ограниченной сверху (снизу). Примеры.
4. Разница между понятиями «предел» и «предельная точка» последовательности.
Привести примеры.
5. Определение ограниченной числовой последовательности. Определение
неограниченной сверху (снизу) числовой последовательности.
6. Определение предела числовой последовательности.
Определение сходящейся последовательности. Примеры.
7. Какая последовательность называется бесконечно малой?
Свойства бесконечно малых последовательностей. Привести пример.
8. Возрастающие и убывающие последовательности: определение и примеры.
Если умножить каждый член бесконечно малой последовательности a n  на число
250, будет ли новая последовательность бесконечно малой последовательностью?
Ответ обосновать.
1 1 1 1 1 1
9. Написать формулу общего члена x n последовательности  , , , , , ,...
2 3 4 5 6 7
Определить sup xn  и inf x n .
n
10. Определить возрастает или убывает последовательность x n    n  .
5 
11. Найти предел
lim 3n 
n 

9n2  6n  2 , т.е. освободиться от неопределенности
(  ) . Какие неопределенности ещё знаете?
12. Определение БМ последовательности. Примеры БМП. Основные свойства БМП.
13. Определение ББВ (ББ последовательности). Примеры ББ. Связь между БМ и ББ.
Примеры БМ и ББ.
14. Определение ББВ (ББ последовательности). Примеры ББ. Связь между БМ и ББ.
Примеры БМ и ББ.
15. Изменится ли предел сходящейся последовательности, если к ней приписать
конечное число первых членов или отбросить конечное число первых членов?
Ответ обосновать.
16. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей.
17. Какие БМВ называются эквивалентными?
18. Какая БМВ считается БМВ высшего порядка относительно другой БМВ?
19. Какая ББВ считается ББВ высшего порядка относительно другой ББВ?
20. Какие ББВ называются величинами одного порядка?
21. Какая БМВ считается БМВ низшего порядка относительно другой БМВ?
22. Какая ББВ называется величиной k-ого порядка относительно основной ББВ?
23. Какие ББВ называются несравнимыми?
24. Необходимое и достаточное условие эквивалентности двух БМВ.
25. Какие БМВ называются несравнимыми?
26. При x  0 определить порядок малости относительно x бесконечно малой величины
x


a).
. b). 1  2 cos x   . c). 2 sin 4 x  x 5 . d). 2 sin 4 x  x 5 .
x 1
3

24
27. При x  0 определить порядок малости относительно x бесконечно малой величины
а). 1  x 3  1. b). sin 2x  2 sin x. c). 2 sin x. d). tgx  x 2 .
28. При x  0 определить порядок малости относительно x бесконечно малой величины
x 2 (1  x)
a). cos x  3 cos x . b). e x  cos x. c).
. d). cos x  cos 2x.
1 3 x
29. При x  0 определить порядок малости относительно x бесконечно малой величины
a).
x


. b). 1  2 cos x  
x 1
3

38. Вычислить пределы: a). lim
x 0
30. Доказать, что
lim n(
n
2x 1
1 x
1 x2 1
, b). lim x
, c). lim
.
x 0 3  1
x 0 tgx
1  cos x
a  1)  ln a .
n
ln( 1  x )
e 4 x  e3x
e4x 1
lim
31. Вычислить пределы: a). lim
, b).
, c). lim
.
x 0 3 x  1
x 0 sin 4 x  sin 3 x
x 0
tgx
1 x 1 1
 .
x
2
x 0
9 x 3
ln( a  x)  ln a
tgx  sin x
.
33. Вычислить пределы: а). lim
, b). lim
, c). lim
x 0
x 0
x 0
x
x
x3
32. Доказать, что
lim
34. Доказать, что при x  0 sin
35. Доказать, что при x  0
36. Доказать, что при x  0
37. Найти lim
 0
e sin 2  e sin

x x ~ x 2  x3 .
1
~ x.
1 x 2
1
1
~x.
1 x
1
1
.
38. Найти inf ( x n ) , sup ( x n ) для последовательностей с общим членом
n 1
n
2  ( 1) n 1
cos
 .
; x n  ( 1) n ( 2n  1) ; x n 
n
4
2
n
n  2 n
sin
39. Для последовательности с общим членом x n 
n 1
3
найти inf ( x n ) , sup ( x n ).
xn 
40. Найти нижнюю и верхнюю грани последовательности с общим членом
3
n

x n  1  n  sin 2 , x n  (1) n1   2  n ,
25
1
и номер члена
2n
последовательности, начиная с которого x n  a <0,01.
41. Определить предел a последовательности x n 
42. Найти пределы:
( n  1)2  ( n  2)2
lim
( n  3)2
n
1
1
lim  5  25 ...(1)
n 
n 1
n
lim
n
 1  2  ...  n. n 
 
n2
2
lim 
1

5n 
( n  3)! ( n  2)!
( n  4)!
 1  2  3  4...2n 


n
n2  1
 1

1
1

... 


lim
34
n  ( n  1) 
n   2  3
lim 
2
n  1
1
 2  2 ...  2 
lim
n
n 
n  n
5n2  7n  1
lim
2
n 2  5n  7n
lim 
lim 3n 

4 n2  5n  6  2n
n 
 4 n  1 3  2n3 



lim
2  5n3 
n  5n  7
lim
1
n
2 1
1
n 
2n 1
3n2  7n  1
lim
2
n  2  5n  6n
 5n
lim  n  1 
n
sin n 

n 
5n  1
lim 7  9n
n 
( n  2)! ( n  1)!
lim ( n  2)! ( n  1)!
n
2n  1
lim
n
n  2  1
lim (
3
(n  1) 2  3 (n  1) 2 )
n 
lim
n 
9n2  6n  2
n 

1  2  22 ...2n
lim
2
n
n  1  3  3 ... 3
1000n3  3n2
lim
4
3
n  0,001n  100n  1
5n 3  2n 2  3n  7
lim
4n 3  2n  11
n 
( n  2)! ( n  1)!
lim
( n  2)!
n
5  3n
lim
n
n  3  2
1 1
1
1   ...  n
2 4
2
lim
1
1
1
n 
1   ...  n
3 9
3
 2n  1 1  2n3 



lim
2  5n3 
n  5n  7
lim (
n 2  n  1  n 2  n  1)
n 
1  2  3  4  5  6  ...  2n
n 2  1  4n 2  1
lim
n 
4n 2  4 n  3
2n 3  3n  4
26