Документ 159158

З.Х. Очилов, ассистент
Самаркандский государственный университет
(Узбекистан, 703004, Самарканд, Университетский бульвар, 15,
тел.(+998662) 310632, Е-mail: [email protected]
ЗАДАЧА ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПО СЕМЕЙСТВУ
ЛОМАННЫХ
Аннотация. В работе изучается задача интегральной геометрии вольтерровского типа по
семейству ломанных с весовой функцией, имеющей особенность. Получены оценки
устойчивости решения задачи в пространствах Соболева, что показывает ее слабую
некорректность, а также формулы обращения. Библиография - 10 наименований.
Будем использовать определение задачи интегральной геометрии, данное в
[1]. Пусть u (x) – достаточно гладкая функция, определенная в n – мерном
пространстве x  x1 ,..., xn  , и M   – семейство гладких многообразий в этом
пространстве, зависящих от параметра   1 ,..., k  . Далее, пусть от функции
u (x) известны интегралы
u ( x)d  v( ) ,
(1)
M( )
где d определяет элемент меры по M ( ) . Требуется по функции v( )
восстановить функцию u (x) .
Задачами интегральной геометрии вольтерровского типа называются
задачи, которые могут быть сведены к исследованию операторных уравнений
Вольтерра в смысле определения, данного М.М. Лаврентьевым [2]. Приведем
также определения слабой и сильной некорректности задачи интегральной
геометрии. Задача решения уравнения (1) называется слабо некорректной, если
для данных задачи и ее решения уравнения можно подобрать такую пару
функциональных пространств, в определении нормы которых участвует конечное
число производных, что оператор обращения для этой пары пространств
непрерывен [3].
Если такой пары пространств не существует, то задача является сильно
некорректной. Разумеется, эта классификация имеет место не только для задач
интегральной геометрии, но и в общей теории некорректных задач.
В.Г. Романов в [4] исследовал вопросы единственности и устойчивости
решения задач интегральной геометрии в случае, когда многообразия, по которым
ведется интегрирование, имеют вид параболоидов, весовые функции и
многообразия инвариантны относительно группы всех движений вдоль
фиксированной гиперплоскости.
Слабо некорректные задачи интегральной геометрии вольтерровского типа с
весовыми функциями, имеющими особенность исследовались в работах [5,6].
Теоремы единственности, оценки устойчивости и формулы обращения слабо
некорректных задач интегральной геометрии по специальным кривым
и
поверхностям с особенностями вершинах получены в [7-9].
Задачи интегральной геометрии на параболоидах с возмущением в
трехмерном слое рассмотрены в работе [10].
1
В работе изучается задача интегральной геометрии вольтерровского типа по
семейству ломанных с
весовой функцией, имеющей особенность. Получены
оценки устойчивости решения задачи в пространствах Соболева, что показывает
ее слабую некорректность, а также формула обращения.
1. Введем обозначения , которые будем использовать в этом пункте:
( x, y)  R 2 , ( , )  R 2 ,   R1 ,   R1 ;

D  ( x, y)  R2 , 0  y  l , l   ;

D  ( x, y)  R2 , 0  y  l ;
В полосе D рассмотрим семейство ломанных P ( x, y ) с вершинами в
точках ( x, y ) :
P( x, y )  {( , ) : ( x  y )  (   )  0, 0    y, x  y    x} 
{( , ) : ( x  y )  (   )  0, 0    y, x    x  y}
Задача 1. Восстановить функцию u ( x, y ) , если известны
интегралы от неё по семейству P ( x, y ) :
x

x y
g ( x   )u ( ,   y  x)d 
x y
 g ( x   )u( , x  y   )d  f ( x, y) ,
(1)
x
где
1, x    0
g(x   )  
0, x    0
(2)
функция Хевисайда, f ( x, y ) - функция из класса гладких функций.
Функция u ( x, y ) – функция из класса U, которые имеют все непрерывные
частные производные до второго порядка включительно и финитны с носителем
в R2 :
supp u  D  ( x, y) : a  x  a, 0  a  , 0  y  l, l  
Доопределим правую часть уравнения (1) при y  0 .
Введем функцию
 f ( x, y ) , при y  0,
f * ( x, y )  
при y  0.
0 ,
2
(3)
Как следует из постановки задачи 1 и условий, наложенных на функцию
u () , к функции f * ( x, y )
можно применить преобразование Фурье по y .
Рассмотрим преобразование Фурье по переменной y функции f * ( , y ) .
Учитывая, что
f * ( x, y )  0 , при y  0 ,
имеем


 ( ,  )   eiy f * ( , y)dy ,

а интеграл в правой части последнего соотношения равен

iy
e
f
( , y )dy .


0
Таким образом, доопределив f ( x, y ) в нижней полуплоскости нулём, к обеим
частям уравнения (1) можно применять преобразование Фурье по y и интеграл

Фурье будет иметь вид:  e iy ()dy .
0
Введем следующие функции

I ( ,  )   e i (   ) d ,
(4)
0
I 1 ( ,  ) 

e
iy


I2 
e
 ix
d
,
(1   )(1   ) I ( ,  )
I 1 (  , y ) d .
(5)
(6)

2. Теорема 1. Пусть функция f ( x, y ) известна для всех ( x, y)  D . Тогда
решение задачи 1.1 в классе U единственно, и имеет место представление:
 
u ( x, y ) 
 I
2
( x   , y   )( E 
  


)( E 
) f ( , )dd


и выполняется неравенство
3
(7)
u
L2
C f
W21,1 ( R2 )
,
где С – некоторая постоянная.
Теорема 2. Пусть правая часть уравнения (2) удовлетворяет следующим
условиям:
1) f ( x, y ) финитна по переменной x ;
2) f ( x, y ) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка
включительно;
m
m
f ( x, y ) y 0  m f ( x, y ) y l  0 (0  m  2) .
3)
y m
y
Тогда существует решение уравнения (2) в классе непрерывных функций,
финитных по аргументу x , определенное формулой (7).
3. Через S(x,y) обозначим часть R2 , ограниченную ломанной P ( x, y ) и
осью y  0 . D есть полоса:

D  ( x, y)  R2 , 0  y  h .
Задача 2. Определить функцию u ( x, y ) , если для всех ( x, y)  D
известны интегралы от неё по ломанным P ( x, y ) и площадям S(x,y) с весовой
функцией
k ( x, y,  , )
y
y
xh
0
0
xh
 u( x  h, )d   k ( x, y,  , )u( , )dd  F ( x, y) ,
где
(8)
h  y  .
Функция k() – функция финитна, имеет все непрерывные частные
производные до второго порядка включительно и вместе своими производными
обращается в ноль на
( x  y )  (   )  0, ( x  y )  (   )  0,   0, y  0.
Функция F() считается известной во всей полуплоскости.
Уравнение (8) соответствует задачу
возмущением. Первое слагаемое в левой части (8)
интегральную
геометрии
с
y
 u( x  h, )d  f ( x, y) ,
0
где h  y   .
Как уже говорилось выше, представляет собой совокупность интегралов от
искомой функции по семейству половинок ломанных с вершинами в точках
4
( x, y ) . Второе слагаемое f 0 ( x, y)  F ( x, y)  f ( x, y) - интеграл с весом k() по
внутренним частям ломанных, имеющих вид «крышки».
Теорема 3. Пусть функция F ( x, y ) известна в полосе D . Весовая
функция k ()  C 02 ( D  D) и вместе со своими производными до второго порядка
включительно обращается в ноль на параболах P ( x, y ) . Тогда решение задачи 2
в классе дважды непрерывно дифференцируемых и финитных функций
единственно в полосе D и выполняется неравенство
u
L2
 C1 F
W21,1 ( R2 ) ,
где, С1 – некоторая постоянная.
Из условий, наложенных на функции
u( x, y)
и
k ( x, y,  , )
вытекает, что
функции f ( x, y) и F ( x, y ) будут иметь все непрерывные производные до
второго порядка включительно.
Список литературы
1.
Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней
вопросы теории представлений. Сер. Обобщенные функции. М.: Физматгиз, 1962. Вып. 5.
2.
Лаврентьев М.М. Обратные задачи и специальные операторные уравнения первого рода
// В кн.: Междунар. мат. конгресс. В Ницце, 1970. М.: Наука, 1972.
3.
Лаврентьев М.М. Интегральная геометрия и обратные задачи // некорректные задачи
математической физики и анализа. Новосибирск.: Наука, 1984. С. 81-86.
4.
Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа.
Новосибирск. Наука, 1972.
5.
Бегматов Акр.Х. // Сиб. мат. журнал. 1995. Т. 36. № 2. С. 243-247.
6.
Begmatov Akram H. // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 1995. Vol. 3 . №3. P. 231-235.
7.
Бегматов Акр.Х. // Сиб. мат. журнал. 1997. Т. 38. № 4. C 723-737.
8.
Бегматов Акр.Х. // Доклады РАН. 1998. Т. 358. № 2. С. 151-153.
9.
Begmatov Akbar H. and Begmatov Akram H. Problems of integral geometry on curves and
surfaces in Euclidean space // Ill-Pozed and Non-Classical Problems of Mathematical Physics and
Analysis, M.M. Lavrent’ev et al., Eds., Proceedings of International Converence, VSP, Utrecht-Boston,
2003, 1-18.
10.
Бегматов Акбар Х. Задачи интегральной геометрии с возмущением в трехмерном
пространстве // Сиб. мат. журнал. 2000. Т. 41. № 1. С. 3-14.
5