Вопросы для экзамена по Теории вероятностей и математической статистики

Вопросы для экзамена по Теории
вероятностей и математической
статистики
1.
Классификация случайных событий. Классическое
определение вероятности. Свойства вероятности события,
непосредственный подсчет вероятности. Примеры.
2.
Статистическое определение вероятности события и
условия его применимости. Пример.
3.
Несовместные и совместные события. Сумма событий.
Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Пример.
4.
Полная группа событий. Противоположные события.
Соотношение между вероятностями противоположных
событий . Примеры.
5.
Зависимые и независимые события. Произведение
событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения
вероятностей . Примеры.
6.
Формулы полной вероятности и Байеса (с
доказательством). Примеры.
7.
Повторные независимые испытания. Формула
Бернулли (с выводом). Примеры.
8.
Локальная теорема Муавра–Лапласа, условия ее
применимос- ти. Свойства функции f (x). Пример.
9.
Асимптотическая формула Пуассона и условия ее
применимости. Пример.
10.
Интегральная теорема Муавра—Лапласа и условия
ее применимости. Функция Лапласа Ф(х) и ее свойства.
Пример.
11.
Следствия из интегральной теоремы Муавра–
Лапласа (с выводом). Примеры.
12.
Понятие случайной величины и ее описание.
Дискретная случайная величина и закон (ряд) ее распределения.
Независимые случайные величины. Примеры.
13.
Математические операции над дискретными
случайными величинами. Примеры построения законов
распределения для kХ, Х2, Х + Y, XY по заданным
распределениям независимых случайных величин Х и Y.
14.
Математическое ожидание дискретной случайной
величины и его свойства (с выводом). Примеры.
15.
Дисперсия дискретной случайной величины и ее
свойства (с выводом). Примеры.
16.
Математическое ожидание и дисперсия числа и
частости наступлений события в п повторных независимых
испытаниях (с выводом).
17.
Случайная
величина,
распределенная
по
биномиальному закону, ее математическое ожидание и
дисперсия. Закон распределения Пуассона.
18.
Функция распределения случайной величины, ее
определе- ние, свойства и график.
19.
Непрерывная
случайная
величина
(НСВ).
Вероятность отдельно взятого значения НСВ. Математическое
ожидание и дисперсия НСВ.
20.
Плотность вероятности непрерывной случайной
величины, ее определение, свойства и график.
21.
Определение нормального закона распределения.
Теоретико-вероятностный смысл его параметров.
Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от
параметров.
22.
Функция распределения нормально распределенной
случай- ной величины и ее выражение через функцию Лапласа.
23.
Формулы для определения вероятности: а)
попадания нормально распределенной случайной величины в
заданный интервал;б) ее отклонения от математического
ожидания.
24.
Центральная предельная теорема. Понятие о теореме
Ляпунова и ее значение. Пример.
25.
Понятие
двумерной
(n-мерной)
случайной
величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные
распределения ее со- ставляющих. Условные распределения и
их нахождение по таблице распределения.
26.
Ковариация и коэффициент корреляции случайных
величин. Связь между некоррелированностью и независимостью
случай- ных величин.
27.
Понятие о двумерном нормальном законе
распределения. Условные математические ожидания и
дисперсии.
28.
Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с
выводом). Пример.
29.
Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные
случаи для случайной величины, распределенной по
биномиальному закону, и частости события.
30.
Неравенство Чебышева для средней арифметической
случайных величин (с выводом).
31.
Теорема Чебышева , ее значение и след- ствие.
Пример.
32.
Закон больших чисел. Теорема Бернулли и ее
значение. Пример.
33.
Вариационный ряд и его разновидности. Средняя
арифметическая и дисперсия ряда, упрощенный способ их
расчета.
34.
Генеральная и выборочная совокупности. Принцип
образования выборки. Собственно-случайная выборка с
повторным и бесповторным отбором членов. Основная задача
выборочного метода.
35.
Понятие об оценке параметров генеральной
совокупности.
Свойства
оценок:
несмещенность,
состоятельность, эффективность.
36.
Оценка генеральной доли по собственно-случайной
выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.
37.
Оценка генеральной средней по собственнослучайной выборке. Несмещенность и состоятельность
выборочной средней.
38.
Оценка генеральной дисперсии по собственнослучайной
выборке. Смещенность и состоятельность
выборочной дисперсии
(без вывода). Исправленная
выборочная дисперсия.
39.
Понятие об интервальном оценивании. Доверительная
вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка
выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и
систематические).
40.
Формула доверительной вероятности при оценке
генераль- ной доли признака. Средняя квадратическая
ошибка повторной и бесповторной выборок и построение
доверительного интервала для генеральной доли признака.
41.
Формула доверительной вероятности при оценке
генераль- ной средней. Средняя квадратическая ошибка
повторной и бесповторной выборок и построение
доверительного интервала для генеральной средней.
42.
Определение необходимого объема повторной и
бесповтор- ной выборок при оценке генеральных средней и
доли.
43.
Статистическая гипотеза и статистический критерий.
Ошиб- ки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность
критерия. Принцип практической уверенности.
44.
Построение теоретического закона распределения
по опыт- ным данным.
45.
Понятие о критериях согласия.
46.
Вариационная, статистическая и корреляционная
зависимости. Основные задачи теории корреляции.
47. Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессии.
Выборочная
ковариация.
Формулы
для
расчета
коэффициентов регрессии.
48.
Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции
(выборочный), его свойства и оценка достоверности.
Вопросы к экзамену по
Линейной алгебре
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы.
Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц.
2. Определители второго, третьего и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя
по элементам строки или столбца.
3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица,
обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение).
Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.
5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема
о ранге матрицы.
6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.
7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид)
и матричная форма ее записи. Решение системы (определение).
Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана–Гаусса.
10. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема
Кронекера–Капелли. Условие определенности и неопределенности
любой системы линейных уравнений.
11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные
системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
12. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений системы.
13. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение
вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.
14. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его
выражение в координатной форме. Угол между векторами.
15. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.
16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис.
Теорема о существовании и единственности разложения вектора
линейного пространства по векторам базиса.
17. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве.
Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.
18. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
19. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между
вектором х и образом у. Нулевой и тождественный операторы.
20. Собственные векторы и собственные значения оператора A%
(матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.
21. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Пример.
22. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной
формы. Ранг квадратичной формы. Пример.
23. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции
квадратичных форм.
24. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).
25. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них
вывести).
26. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
27. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное
уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.
28. Канонические уравнения гиперболы и параболы, геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График
обратно пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.
29. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные
случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности
и перпендикулярности двух плоскостей.
30. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых в пространстве.
31. Комплексные числа и действия над ними.
32. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Модуль и аргумент комплексного числа.
33. Алгебраическая и тригонометрические формы записи
комплексных чисел. Примеры.
34. Корни n –ой степени из комплексного числа. Примеры.