чеченский государственный педагогический институт
реклама
ЧЕЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ХАТАЕВА Р.С. УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ ГРОЗНЫЙ – 2005 ЧЕЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ХАТАЕВА Р.С. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. Учебное пособие для вузов. -г. Грозный. 2005г. – 61с. В настоящее время моделирование составляет неотъемлемую часть современной фундаментальной и прикладной науки. Учебное пособие содержит теоретический материал по курсу «Компьютерное моделирование»,позволяющий расширить представление студентов о моделировании использованием компьютера как методе так научного средства познания познания, с и научно- предоставляются пакеты исследовательской деятельности. При изучении данного курса прикладных программ для математических и научных расчетов. В учебное разработанные таблицы Excel пособие для и этого включены курса, математических с 14 лабораторных использованием пакетов, таких работ, электронной как Derive, MathCAD. Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ГОС ВПО) второго поколения. 2 СОДЕРЖАНИЕ 1. ПОНЯТИЕ «МОДЕЛЬ».......................................4 2. . МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД ПОЗНАНИЯ.......................5 3. СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ.......6 4. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ..................................7 5. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ............10 6. ЯЗЫК КАК СРЕДСТВО ИНФОРМАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.......10 7. ФОРМАЛЬНО – ЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.........................10 8. ГРАФИЧЕКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ......................12 9. ТАБЛИЧНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ.......................13 10.ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ...................14 11.СЕТЕВЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ.........................16 12.ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ............................18 13.ПОСТРОЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ........................20 14.MATHCAD...............................................25 15.DERIVE................................................28 16.EXCEL.................................................34 17.ПРИЛОЖЕНИЕ............................................36 3 ПОНЯТИЕ «МОДЕЛЬ» Модель объекта –это любой другой объект, отдельные свойства которого полностью или частично –новый объект, совпадают со свойствами исходного. Модель отражающий некоторые существенные стороны изучаемого объекта, явления или процесса. Исчерпывающе полной модель быть не может. Она всегда ограничена и должна лишь соответствовать целям моделирования, отражая ровно столько свойств исходного объекта и в такой полноте, сколько необходимо для конкретного исследования. Исходный объект бывает реальным (натурным) или воображаемым (абстрактным). Воображаемые объекты в инженерной практике применяются на ранних этапах проектирования технических систем. Причины использования моделей. Модели используют в случае, если исследуемый объект: -очень велик (модель Солнечной системы); -очень мал (модель атома); -очень быстр (модель двигателя внутреннего сгорания); -очень медленен (геологические модели); -может быть разрушен (модель самолета); -очень дорогой (архитектурный макет города); Вывод: модель создается ради исследований, которые на реальном объекте проводить либо невозможно, либо дорого, либо неудобно. Цели создания моделей: -модель как средство осмысления помогает выявить взаимозависимости переменных, характер их изменения во времени, найти существующие закономерности. В процессе моделирования постепенно происходит разделение свойств исходного объекта на существенные и второстепенные с точки зрения сформулированных требований к модели. В основном вся научная деятельность сводится к построению и исследованию моделей природных явлений; 4 -модель как предсказывать средство поведение прогнозирования объекта и позволяет управлять научиться им, испытывая различные варианты управления на модели; -модель как средство нахождения оптимальных соотношений параметров, исследования критических режимов работы; -модель как средство замены исходного объекта при обучении, например, в качестве тренажера при подготовке персонала к последующей работе в реальной обстановке. Модели, реализованные в виде исполняемых модулей, применяются и как имитаторы объектов управления при стендовых испытаниях систем управления, и, на ранних стадиях проектирования, заменяют сами будущие аппаратно реализуемые системы управления. МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД ПОЗНАНИЯ В своей деятельности (научной, практической, художественной) человек использует модели, т.е. создает образ объекта (процесса или явления), с которым ему приходится иметь дело. Моделирование –метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей. Каждый объект имеет большое количество различных свойств. В процессе построения модели выделяются главные, наиболее существенные, свойства. Например, модель самолета должна иметь геометрическое подобие оригиналу, модель атома – правильно отражать физические взаимодействия и т.д. Разные науки исследуют объекты и процессы под разным ракурсом и строят различные типы моделей. Физика изучает процессы взаимодействия и движения объектов, химия – внутреннее строение, биология – поведение живых организмов и пр. Например, человек –в разных науках он исследуется в рамках различных точку, моделей: химия – механика как объект рассматривает из различных как материальную химических веществ, биология – как систему, стремящуюся к самосохранению и т.д. С другой стороны, разные объекты могут описываться одной моделью. Так, в механике различные физические тела (от планеты до песчинки) могут рассматриваться как материальные точки. 5 Один и тот же объект может иметь множество моделей, а разные объекты могут описываться одной моделью. Выводы: Неважно, какие объекты моделирующих. Важно существенные черты с их выбираются помощью (признаки) в качестве отразить наиболее изучаемого объекта, явления или процесса. Модель не может заменить сам объект. Но при конкретной задачи, свойство когда изучаемого интересует объекта, решении определенное модель оказывается полезным, а то и единственным инструментом исследования. СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Каждый объект состоит из других объектов, т.е. представляет с собой систему. элементами Система системы. различные связи состоящая из и состоит Между объектов, называемых системы существуют элементами отношения. различных из Например, устройств, компьютер связанных – между система, собой и аппаратно (физически подключены друг к другу) и функционально (обмен информацией). Важный признак Например, системы организм – – ее целостное сложноорганизованная функционирование. система, пока он поддерживает свою жизнедеятельность. Система –это объект, состоящий из элементов, находящихся между собой в различных отношениях и связях, обеспечивающих ее целостное функционирование. Любая система Состояние системы существует в каждый в пространстве момент времени и во времени. характеризуется ее структурой, т.е. составом, свойствами элементов, их отношениями и связями между собой. Состояние систем зависит от времени, т.е. происходят процессы изменения и развития систем. Модели, описывающие систему в определенный момент времени, называются статическими информационными моделями, а модели, 6 описывающие процессы изменения и развития систем, - динамическими информационными моделями. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ МОДЕЛИ Материальные (предметное моделирование) Физическое моделирование Идеальные (абстрактное моделирование) Аналоговое моделирование Интуитивное моделирование Статическое моделирование Знаковое (информационное моделирование) Динамическое моделирование Математическое моделирование Компьютерное моделирование Рис 1. Классификация моделей Модели условно идеальные, при делятся этом моделирование. на две различаются Основными группы: предметное материальные и разновидностями и абстрактное предметного моделирования являются физическое и аналоговое моделирование. Физическое котором – это реальному такое моделирование объекту ставится (макетирование), в соответствие при его увеличенная или уменьшенная копия. Эта копия создается на основе теории подобия, сохранились что требуемые позволяет свойства. утверждать, В физических что в моделях модели помимо 7 геометрических пропорций могут сохраняться и другие свойства, необходимые для конкретного исследования. Аналоговое моделирование основано на замене исходного объекта объектом другой поведением. физической Колебания механических и систем, и природы, резонанс с обладающим можно помощью аналогичным изучать и механических с помощью систем, и с помощью электрических цепей. При аналоговом моделировании важно увидеть в объекте – заменителе нужные черты, и правильно их интерпретировать. Для объектов с аналогичным поведением используют одну математическую модель. И физическое, и аналоговое моделирование в качестве основного способа исследования предполагают проведение натурного эксперимента с моделью, но этот эксперимент оказывается в каком –то смысле более объектом. привлекательным, Например, чем моделирование эксперимент с помощью с исходным аналоговых вычислительных машин основано на том, что электрические явления сходны с очень многими явлениями другой физической природы. Например, колебания тока в электрической цепи аналогичны угловым колебаниям ракеты, а экспериментировать с электрической цепью дешевле и безопаснее, чем с летящей ракетой. Идеальные модели воображаемых – это объектов. абстрактные Различают образы два реальных типа или идеального моделирования: интуитивное и знаковое. При интуитивном используемую модель, моделировании хотя она невозможно существует, но даже описать с помощью ее предсказывают или объясняют окружающий мир. Живые существа могут объяснять и предсказывать явления без видимого присутствия физической и абстрактной модели. Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаки или символы: схемы, графики, чертежи, тексты на различных языках, включая формальные, математические формулы и теории. Обязательным участником знакового моделирования является интерпретатор знаковой модели, т.е. компьютер. Важнейшим математическое видом знакового моделирование. моделирования Абстрагируясь от является физической 8 природы объектов, Например, с математика помощью теории изучает идеальные дифференциальных объекты. уравнений можно изучать электрические и механические колебания в наиболее общем виде, а затем полученные знания применять для исследования объектов конкретной физической природы. Важнейшей разновидностью математического моделирования является компьютерное модель программная моделирование. Компьютерная математической программами. только и модель аппаратную. абстрактной абстрактной дополненная Компьютерная программную является модели, –это модели, которая математиками и различными имеет две Программная знаковой моделью. может реализация служебными составляющие составляющая Это лишь другая интерпретироваться программистами, но так и – же форма уже не техническим устройством (процессором). Компьютерная когда она, а модель точнее проявляет ее свойства абстрактные физической составляющие модели, (программы) интерпретируются физическим устройством (компьютером). Компьютерная модель как физическое устройство может входить в состав испытательных стендов, тренажеров и виртуальных лабораторий. Этот специальный вид моделей, сочетающих в себе и абстрактные, и физические черты, обладает уникальным набором полезных свойств. Главным из них является простота создания и модификации программа, модели. в неизменной. время Дополнительным неограниченная точность то Заново как и аппаратура преимуществом функциональная получаемых пишется сложность результатов. Поэтому изменяется компьютера является моделей под только остается практически и высокая моделированием почти всегда понимают компьютерное моделирование. 9 ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ЯЗЫК КАК СРЕДСТВО ИНФОРМАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Мир информации велик и потенциально бесконечен. Но человек не бесконечен: он может прочитать только конечное число книг, сказать или услышать конечное число слов, его жизнь закончится через конечное число человека является записать ее Потребность лет и сохранение сделать свои делиться т.д. Поэтому усвоенной знания и знаниями, естественным им опыт для информации, достоянием информацией – т.е. других. естественная необходимость для существования и развития общества. Комбинируя звуки друг с другом, человек создавал слова. Возникла устная речь. Для сохранения информации потребовалось фиксировать звуки и слова в виде знаков. Так появилась письменность. Письменность реализовывалось некоторого с помощью фиксированного конечных набора алфавитов, знаков, из состоящих которых в из свою очередь можно составить как угодно много слов. Язык – знаковая система, позволяющая создавать информационные модели. Естественные текстовых языки используются информационных непосредственное отношение жанра переносе состоит отношения в между для создания моделей. Например, к модели, понятию реальных животными. Более отношений того, описательных басня поскольку между всякое имеет смысл людьми на литературное произведение может рассматриваться как модель, ибо фокусирует внимание читателя на определенных сторонах человеческой жизни. ФОРМАЛЬНО – ЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Наряду с естественными языками были разработаны формальные языки: системы счисления, программирования и др. Основное алгебра высказываний, языки отличие формальных языков от естественных состоит в наличие не только жестко зафиксированного алфавита, но и строгих правил грамматики и синтаксиса. 10 Например, системы счисления – это языки, имеющие алфавит (цифры) и позволяющие не только именовать и записывать объекты (числа), строго но и выполнять определенным над ними правилам. С арифметические помощью операции формальных по языков строятся информационные модели определенного типа – формально – логические модели. Например, с помощью алгебры высказываний можно построить логическую модель сумматора. Процесс построения информационных моделей с помощью формальных языков называется формализацией. Одним из наиболее распространенных формальных языков является алгебраический язык формул в математике, который позволяет описывать функциональные зависимости между величинами. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями. Так в физике рассматриваются много разнообразных уравнений, которые, по сути, представляют собой математические модели изучаемых явлений или процессов. Рассмотрим переход от описательной текстовой модели к формальной, математической более подробно на примере развития гелиоцентрической модели мира. Потребности развития торговли и мореплавания потребовали точного знания о положениях звезд и планет на небосводе, но из описательной модели мира Коперника получить такие данные было невозможно. Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер формализовал гелиоцентрическую модель мира Коперника. Он сформулировал три закона, которые описывали движение планет с помощью геометрических объектов и математических формул. Из этих законов можно было определить координаты планет для любого момента времени. Законы Кеплера позволяли достаточно точно вычислять положение планет, но они не объясняли причину их движения. Следующий шаг на пути развития гелиоцентрической модели мира сделал Ньютон. Он открыл закон всемирного тяготения и перешел на более глубокий уровень формализации модели, объяснив причину движения планет. Законы Кеплера оказываются в этом случае простым следствием закона тяготения Ньютона. 11 Таким образом, в процессе познания окружающего мира человечество постоянно использует моделирование и формализацию. При изучении нового объекта сначала обычно строится его описательная модель, затем она формализуется, т.е. выражается с использованием математических формул, геометрических объектов и т.д. ГРАФИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ Графические информационные модели представляют собой рисунки, карты, чертежи и схемы, графики, диаграммы и т.д. Графические рисунков, модели более информационных информативны, моделей, чем описывающих текстовые. Без представителей флоры, трудно представить ботанику. География, военное дело и т.д. немыслимы без информационных моделей поверхности географических особенностей карт земной Земли строят в виде карт. информационные поверхности, т.е. Различные модели один объект типы различных отражают несколько моделей. Современные технологии не могут обойтись без информационных моделей технических устройств, зданий и т.д. в виде чертежей. Физика, радио – и электротехника используют информационные схемы экспериментальных установок в форме электрических схем. Графики –это информационные модели, которые в наглядной форме представляют числовые данные: в математике это графики функций, в экономике – статистические данные и т.д. Диаграммы – это информационные модели, представляющие числовые данные. Диаграммы различных типов применяются, прежде всего, для отражения статистических данных. Способы создания информационных моделей постоянно совершенствовались, в настоящее время такие модели строятся с использованием современных компьютерных технологий. 12 КЛАССИФИКАЦИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ТАБЛИЧНАЯ ИЕРАРХИЧЕСКАЯ СЕТЕВАЯ Рис 2. Классификация информационных моделей 1. ТАБЛИЧНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ Таблица – наиболее часто встречающийся тип информационных моделей – состоит из строк и столбцов; в ней элементы информации размещаются в отдельных ячейках. Таблицей могут быть выражены и статические, и динамические информационные модели. Например, рассмотрим компьютер с точки зрения стоимости его отдельных устройств и изменения его цены во времени. Для этого построим статическую модель, отражающую процесс изменения цены по годам. Статическая информационная модель «Цена отдельных устройств компьютера» таблицы организована содержится следующим перечень образом. объектов В первом (устройств), столбце входящих в состав компьютера, а во втором в форме числа отражено свойство объектов «Цена». Наименование устройств Цена (в у.е.) Системная шина Процессор Pentium II 300 Мгц Память 16 Мб Жесткий диск 4 Гб Дисковод 3,5” Видеоплата 4 Мб Монитор 15” Звуковая карта 16 бит Дисковод CD-ROM x32 Корпус Клавиатура Мыщь 100 200 30 150 20 30 200 30 50 25 10 5 Динамическая компьютера» информационная содержит в первом модель столбце «Изменение наименование цены свойств объекта «Цена компьютера Pentium II», а в трех других столбцах изменяющееся значение свойства по годам. 13 годы Цена компьютера Pentium II 1997 1998 1999 1800 1200 800 С помощью таблиц строятся информационные модели в различных предметных областях. В табличной информационной модели объекты или их свойства представлены в виде списка, а их значения размещаются в ячейках прямоугольной таблицы. В общем случае таблица закономерностях, но расположив удобства для бывают не дает исключения. химические представления Химик Д.И. элементы в о Менделеев, таблицу по возрастанию атомных весов, открыл периодический закон, который оказал решающее влияние на развитие химии и физики. Табличные информационные модели проще всего строить и исследовать на компьютере с помощью электронных таблиц и баз данных. 2. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ Группа объектов с одинаковыми общими свойствами – класс объектов. Внутри класса объектов могут быть выделены подклассы, объекты которых обладают некоторыми особенными свойствами, в свою очередь подклассы могут делиться на еще более мелкие группы и т.д.. В процессе классификации строятся информационные модели, которые имеют иерархическую (древовидную) структуру. Рассмотрим процесс построения информационной модели, классифицирующей современные компьютеры. Класс Компьютеры можно разделить на три семейства: Суперкомпьютеры, Рабочие станции и Персональные компьютеры (ПК). Компьютеры семейства Суперкомпьютеры отличаются сверх высокой производительностью и надежностью, и используются в крупных 14 научно-технических центрах для управления процессами в реальном времени. Компьютеры семейства производительностью и Рабочие надежностью станции и обладают используются высокой в качестве серверов в локальных и телекоммуникационных сетях. Компьютеры семейства ПК обладают средней производительностью и надежностью и используются в офисах и дома для работы с документами. Семейство ПК делится на три рода: Настольные, Портативные и Карманные. Изобразим эту модель графически. Компьютеры Супер компьютеры Настольные Рабочие станции Персональные компьютеры Портативные Карманные Рис 3. Классификация компьютеров Полученная информационная структура напоминает дерево, которое растет сверху вниз (поэтому такие информационное модели называют древовидными) в структуре четко просматриваются три уровня, от первого, верхнего, имеющего один элемент Компьютеры, до третьего, Портативные элементы и нижнего, имеющего Карманные. Основное нижнего уровня входят в три элемента отношение состав Настольные, между одного из уровнями – элементов верхнего уровня. В иерархической информационной модели объекты или их свойства распределены по уровням, причем элементы нижнего уровня входят в состав элементов более высокого уровня. 15 Кроме рассмотренной статической информационной модели используются и динамические иерархические информационные модели (генеалогическое дерево). Граф – способ наглядного представления структуры информационных моделей. Рассмотренные информационные модели изображены в виде графов. Вершины графа (овалы) отображают элементы системы. Элементы верхнего уровня находятся в отношении «состоят из» к элементам более низкого уровня. Такая связь между элементами отображается в форме дуги (направленной линии в форме стрелки). Графы, в которых связи между объектами несимметричны, называются ориентированными. Графы позволяют формализовать информационные модели, записанные на естественном языке, можно сказать, они позволяют «увидеть» структуру, его объектов и отношений. Простейший язык состоит из имен объектов и имен отношений между этими объектами. Например, фраза «принтер подключен к компьютеру» говорит о том, что объект «принтер» находится в отношении «подключен к» с объектом «компьютер». Иерархические структуры классификационных применяются информационных для моделей. построения Например, в информатике используется иерархическая файловая система. 3. СЕТЕВЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ Сетевые систем, в структуру. сети информационные которых связь Например, Интернет модели между различные (американская, применяются для элементами имеет части глобальной европейская, отражения сложную компьютерной российская и т.д.) связаны между собой высокоскоростными линиями связи. При этом какие–то части имеют прямые связи со всеми региональными частями, в то время как другие могут обмениваться информацией между собой только через американскую часть. Пример: региональные характер и граф, отражающий сети. Связи поэтому между Интернет. вершинами изображаются Вершины носят графа – двусторонний ненаправленными линиями 16 (ребрами), а сам граф называется неориентированным. Эта сетевая информационная модель – статическая. EU RU US JP AM SA AU Рис 4. Сетевая структура глобальной сети Интернет 17 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ Вычислительный эксперимент – процесс построения и исследования компьютерных моделей. Основные шаги вычислительного эксперимента: 1. Выделение существенных для данного исследования свойств исходного объекта и построение математической модели; 2. Проектирование и отладка компьютерной модели; 3. Оценка адекватности построенной компьютерной модели. Обычно это приводит к пересмотру требований к модели и возврату на этап 1 для уточнения или нового построения математической модели; 4. Исследование модели; 5. Анализ полученных результатов. Это может привести к выводу о экспериментов недостаточности для завершения запланированных работ, а также и к необходимости нового уточнения математической модели. Современные инструменты компьютерного моделирования позволяют существенно автоматизировать проведение вычислительного эксперимента. Вывод: моделирование – процесс циклический. Цикличность обусловлена двумя обстоятельствами: технологическими, связанными с ошибками, допущенными на каждом из этапов моделирования, и «идеологическими», связанными с уточнением модели или с отказом от нее, и переходом к другой модели. При окончании цикла разработанная модель может быть: -выброшена как ненужная; -продемонстрирована заказчику как макет проектируемого изделия; -использована изделия на этапе в течении жизненного сопровождения, когда цикла проектируемого исправляются ошибки, вносятся изменения, испытываются нештатные режимы; -применена как тренажер для обучения; -превращена после доработок в учебный продукт для подготовки разработчиков. 18 1.ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Эта работа в основном выполняется вручную. Но существуют готовые библиотеки компонентов для многих прикладных областей, которые можно использовать. Математические модели – очень широкий класс знаковых моделей, широко использующих те или иные математические методы. Аналитические выражающими решения результаты (т.е. представленные исследования через формулами, исходные данные) нужно написать обычно удобнее и информативнее численных. 2. ПОСТРОЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ После построения математической модели программу. Раньше эти программы создавались либо на ЯВУ (Фортране, Алголе), либо на языке Ассемблер. Код Ассемблер давал иногда серьезный выигрыш программирования Фортран. в для быстродействии. построения Практически все Традиционным компьютерных стандартные языком моделей библиотеки являлся численных методов и функций, составляющие основу всех моделей, и теперь пишутся на Фортране. В системе автоматизации моделирования, математическая модель записывается на некотором формальном языке моделирования и затем автоматически, переводится с на помощью язык, соответствующего понятный компьютеру. транслятора, В качестве промежуточного используется универсальный язык программирования Pascal, Java, проводится в моделирования Visual два Basic этапа: и т.д. на транслируется 1-ом в В этом этапе, случае трансляция описание промежуточный текст на языке на языке программирования, а на 2-ом, это текст компилируется каким-либо компилятором языка программирования, написанным для конкретной ОС и компьютера. сгенерированного кода, модели, автоматически периода исполнения, Система моделирования данные модели, В моделирующую необходимого включает уже для записанные реализации готовые предоставляемые должна программу автоматически в форме, конкретной модули системой помимо поддержки моделирования. переводить удобной для входные анализа 19 человеком, в машинную форму представления и аналоговую операцию производить словами, над выходными данными интерпретировать входные в машинной и выходные форме. Иными данные, чтобы облегчить работу проектировщику. Компьютерное моделирование представляет с собой: вычислительное (имитационное) моделирование; «визуализацию явлений и процессов» (графическое моделирование); «высокие» технологии, понимаемые как специализированные прикладные технологии, использующие компьютер в сочетании с измерительной аппаратурой, датчиками, сенсорами и т.д. Путь математического моделирования в наше время гораздо более всеобъемлющ, нежели математическом численных моделирования моделировании расчетов, Результат но и аналитического натурного. используются для восприятие не аналитических при только для преобразований. исследования математической модели часто выражен столь сложной формулой, складывается Компьютеры что при взгляде на нее не описываемого процесса. Эту формулу нужно протабулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, называется иногда даже «визуализацией озвучить, т.е. абстракции». проделать При этом то, что компьютер – незаменимое техническое средство. Этапы и цели компьютерного математического моделирования. Первый этап – определение целей моделирования. 1. модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание); 2. модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление); 3. модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование) [121]. 20 Второй этап моделирования - разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием (разделение по рангам). Чаще всего невозможно учитывать все факторы, которые могут повлиять на значения интересующих нас величин. X1,X2,…,Xn Fj (X1,X2,..,Xn) Где, X1, X2…,Xn – Y1,Y2,…,Yk входные данные, Fj (X1,X2,..,Xn) - действия над входными данными, Y1,Y2,..Yk – выходные данные. От того, насколько умело выделены важнейшие факторы, зависит успех моделирования, быстрота и эффективность достижения цели. Отбрасывание менее значимых моделирования и способствует закономерностей. адекватна Умело исходному факторов объект пониманию его главных свойств и ранжированная объекту огрубляет или модель процессу в должна быть отношении целей моделирования. Третий этап – поиск математического описания. На этом этапе необходимо модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот перейти момент системы модель уравнений, от абстрактной предстает формулировки перед системы нами в неравенств, виде уравнения, дифференциального уравнения или системы таких уравнений. Четвертый этап – исследования. Когда математическая модель сформулирована, одной и той выбираем же задачи метод есть ее исследования. несколько Для конкретных решения методов, различающихся эффективностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса. Пятый этап – разработка алгоритма и составление программы. В настоящее время при компьютерном математическом моделировании наиболее распространенными ориентированного программирования FORTRAN как в являются приемы программирования.[77] многие силу профессионалы традиций, так и – в процедурно Из физики силу – языков предпочитают непревзойденной эффективности компиляторов и наличия написанных на нем огромных 21 библиотек стандартных программ математической ориентации. В ходу и такие языки, как PASCAL, BASIC, C - в зависимости от характера задачи и склонностей программиста. Шестой этап – расчеты на ЭВМ. Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на компьютере, совпадают с экспериментальными, с заданной Постановка задачи Математическое моделирование степенью точности. Алгоритмизация Программирование Расчет и анализ результатов Рис 5. Технологическая цепочка решения задачи ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ Оценка адекватности модели обязательного этапа экспериментов, результаты предполагает проведение в специальных которых априорно качестве численных известны. Для проверки правильности модели могут использоваться уже известные экспериментальные зависимости, существующие оценки решения, вручную найденные частные решения модельных уравнений. Для такой хорошо изученной модели, как модель маятника, полезно просто понаблюдать за поведением трехмерной визуализации колебаний это и будет моделируемого модели и служить движения. сравнение эффективным средством грубой Очень его проверкой часто с обнаружения правдоподобности наблюдение ожидаемым ошибок за поведением оказывается и – для более весьма сложных моделей. Недаром в последнее время так много внимания уделяют вопросам визуализации трудно воспринимаемых абстрактных понятий. Еще одним тестом может быть проверка у моделируемого маятника закона сохранения инвариантов или энергии. Сохранение закономерностей при любых проверке известных модели только увеличивает степень доверия к ней, хотя и не гарантирует от ошибок. Наконец, полученные данные численного эксперимента можно сравнить с экспериментальными. экспериментов модели. После выявляются внесения ошибки В результате и исправлений неточности придется проведения этих математической повторить все 22 эксперименты с моделью заново. Современные системы моделирования позволяют совершать эти многократно повторяющиеся действия достаточно быстро. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ Воспроизведение поведения моделируемой системы на интервале модельного времени при фиксированных значениях параметров модели назовем «прогоном» или «выполнением» модели. Результатом прогона является нахождение значений всех переменных модели в конечный момент времени и построение таблиц значений переменных на указанном интервале для промежуточных значений времени. Конечный момент может быть косвенно привязан к какому-то конкретному событию, например, «времени, когда амплитуда колебаний маятника уменьшится вдвое». В большинстве случаев однократного прогона модели оказывается недостаточно для достижения результатов. Еще одной параметрическая типовой задачей оптимизация. При исследования решении этой является задачи для вычисления целевой функции также используется отдельный прогон модели. Например, материальная максимально значение мы хотим найти точка, брошенная далеко. Целевой горизонтальной (определяется дискретным угол под бросания, углом функцией – котором к горизонту, этой задачи является в момент падения координаты событием при пересечением падает вертикальной координатой нуля сверху). Алгоритм оптимизации задает некоторое значение угла, выполняет прогон модели до дискретного события «падения», замеряет координату точки падения, определяет новое значение угла и повторяет эти операции многократно, пока не найдет оптимальную точку. Наконец, значений отдельной коэффициентов задачей уравнений является модели, нахождение качественно особых меняющих характер ее поведения. Такие исследования обычно проводят, когда хотят выяснить, насколько рабочий режим «далек» от аварийного. Написать итоговую систему уравнений для конкретной модели может оказаться достаточно сложно, хотя бы потому, что с ростом 23 числа уравнений вероятность даже элементарных описок резко возрастает. Структурные схемы используют и на этапе прогона модели. Компьютерная модель становится больше похожа не на программу в традиционном смысле (как последовательность операторов), а на некоторую параллельно виртуальную квазиаппаратуру, функционирующие компоненты. включающую Поддержка в себя концепции виртуального стенда требует от системы моделирования реализации еще ряда возможностей: -интерактивного вмешательства в ход прогона модели; -визуализации результатов в ходе прогона, а не после него; -прикладной анимации, позволяющей видеть динамику моделируемой системы. 24 Пакет MathCAD. MathCAD – физико-математический последнюю версию системой пакет с включенной в искусственного интеллекта Smart Math ( разработка NASA), которая позволяет выполнять математические вычисления не только в числовой, но и в аналитической (символьной) форме. Важное значение разработчики MathCAD придавали работы с ним и простоте освоения. Интерфейс удобству MathCAD прост и понятен, полностью отвечает стандартам среды Windows. Все щелчком графики «мыши» и с математические перемещаемых объекты палитр. могут быть Обучение введены пользователя происходит в процессе работы «на ходу» при помощи многочисленных сообщений системы. Графическая среда MathCAD позволяет записывать математические формулы в привычном виде, гибко и выразительно представлять данные графически. Документ текстовые панели Mathcad области создаются инструментов. щелкнуть в состоит областей нажатием месте. различного кнопки Математические свободном перетаскивать «мышью» из с области Области буквой типа, «А» возникают, на на если экране можно или перемещать командами Cut и Insert меню Edit. Большинство математических документе MathCAD формул записываются в рабочем так же, как на листе бумаги. При вводе более сложных операций используют кнопки палитр операторов MathCAD, находящихся на экране слева. Для перехода от одной палитры к другой надо щелкнуть на цифре над палитрой. Стандартные математические arctan, log, exp, функции, такие как cos, sin, можно вводить посимвольно или вставлять из прокручивающегося списка. Чтобы вызвать прокручивающийся список встроенных функций MathCAD, следует выбрать пункт Insert Function из меню Math. Для редактирования выражения надо щелкнуть «мышью» правее элемента выражения, клавишу <Backspace> подлежащего изменению, а затем нажать и ввести нужный элемент. 25 Для немедленного пересчета значения выражения следует щелкнуть «мышью» в стороне от выражения. Все выполнения могут производиться с высокой точностью –число значащих цифр задается из меню системы и практически не ограниченно. MathCAD имеет широкие возможности визуализации символьных данных –7 видов двумерных и трехмерных графиков. На каждом из двумерных графиков может одновременно находится до 16 различных кривых, имеющих по 6 атрибутов. MathCAD корректно оперирует с единицей измерения выводимых числовых результатов и автоматически меняет числовое значение результата при изменении единицы измерения. Например, 276 кm 12,78m sec1 6 hr Чтобы пересчитать ответ в других единицах, надо щелкнуть на ответе, затем на 2-м поле ввода правее и ввести нужные единицы. Документ MathCAD, на котором совмещены текст, графика и формулы, выглядит как страница учебника или научной статьи, при этом формулы являются «живыми»-стоит внести изменения в любую из них, т.д. как MathCAD Можно перечитает анимировать изменяющемся результаты, график, значении перерисует записав параметра, а его затем графики эволюцию и при воспроизвести мультипликацию со звуковым сопровождением. Документы MathCAD могут быть особым образом «сшиты» в электронные книги. При этом они, сохраняя все свои свойства, оказываются организованными гипертекстовыми ссылками, в структуру, навигацией, обладающую контекстным поиском, открывающимися окнами и т.д. Доступ к таким электронным книгам может осуществляться по локальным и глобальным сетям - MathCAD имеет средства для выхода в Internet и загрузки документов с помощью Internet – протокола. При поиске общеупотребительными числового математическими результата операциями наряду может с быть 26 использовано большое количество встроенных функций, таких как функции отыскания собственных дифференциального уравнения, векторов матрицы, генерации решения последовательности случайных чисел с заданным законом распределения. В среде MathCAD пользовательские производные, и имеются функции вложенные. интегралы, корни, Это 3-х видов: виртуальные связанные с встроенные, функции, соответствующими вычислительными методами и алгоритмами. В меню Symbolic пакета MathCAD включены следующие операции символьной математики: -вычисление выражения в аналитическом виде; -вычисление выражения в комплексном виде; -вычисление числового значения выражения; -упрощение выражений; -развертывание выражения; -разложение на множители; -группировка выражений; -вычисление коэффициентов полинома; -поиск производной по переменной; -интегрирование по переменной; -решение уравнений в аналитическом виде; -подстановка в выражение; -представление в виде смешанной дроби; -транспонирование матрицы; -инвертирование (обращение) матрицы; -нахождение детерминанта (определителя; -преобразования Фурье; -преобразования Лапласа; -обратное преобразование Лапласа; -Z- транспонирование; -обратное Z-транспонирование; -пределы. Данная система обладает свойствами расширяемости и адаптации к задачам пользователя, характеризуется высокой скоростью выполнения вычислений и возможностью вывода данных в числовой, табличной и графической форме. Базируясь на работе с векторами 27 и матрицами, она имеет эффективные средства для решения задач по обработке данных, анализу и фильтрации сигналов, символьным вычислениям и моделированию блочно заданных систем и устройств. Пакет Derive. Derive объединяет достоинства привычной символики математических выражений с правилами их ввода, характерными для разных систем и языков программирования (например, Basic или операции, вычисление Pascal) [55]. Возможности Derive велики – это: арифметические и алгебраических, логические тригонометрических, гиперболических, обратных тригонометрических, обратных гиперболических, статистических и финансово – экономических функций, ряда специальных математических функций; действия над числами произвольной разрядности и при различной системе счислений (основание от 2 до 36); операции с комплексными числами, представление их в дробно-рациональной форме; символьные операции рациональными переменных, с функциями, включая полиномами, функциями разложение дробно одной полиномов множители, вычисление их действительных и на – многих простые и комплексных корней, нахождение числовых значений и пр.; символьное и численное интегрирование, вычисление элементов рядов, дифференцирование сумм вычисление нахождение разложений и и произведений пределов функций, в ряд Тейлора в окрестностях заданной точки; числовые и символьные операции с векторами и матрицами, элементы которых арифметическими преобразования могут быть как числами, так и выражениями; формул (различные подстановки, приведенные в порядок по степеням заданных переменных, разложение на множители, упрощение и пр.); 28 решение задач теории поля и векторного анализа, включая вычисление градиента, дивергенции и потенциала; построение двумерных и трехмерных графиков, графиков функций, заданных в параметрической форме, и графиков в полярной системе координат. Средства графики Derive позволяют строить двумерные графики в полярной и декартовой системах координат и трехмерные графики с применением алгоритма удаления невидимых линий или без него. Графики автоматически максимальных масштабируются размеров. Возможно для создание получения на экране их дисплея многих окон и вывод в них различной информации, как текстовой, так и графической. Таким образом, Derive является универсальной математической системой, ориентированной математических и на решение весьма научно-технических задач. широкого Тем не круга менее, современные версии Derive – это расширяемые системы, способные легко адаптироваться под решение специальных задач пользователя. Они поставляются расширяющей с и Пользователь развитой без может библиотекой того создавать немалые и свои функций. Существенно возможности библиотеки, системы. окунувшись в магию программирования задач компьютерной алгебры. Попытки обучить простых смертных аналитической математике в школах и вузах дают не слишком впечатляющие результаты. Даже студенты старших курсов вузов, фундаментально изучившие высшую математику, проявляют необходимости применения поразительную серьезных забывчивость математических при методов на практике. Derive используется при преподавании математики во многих странах мира: уже Австрии, Словении, Германии, в к половине 1995г. Южного она применялась Тироля школ (Италия), Португалии, была во в всех 2500 школах школах рекомендована для применения во Франции и т.д. За десятках рубежом Derive книг. Создана описана группа во многих сотнях пользователей статей этой и в системы, 29 выпускающая журнал «Derive User Group Newsletter». С 1994 г. издается журнал «The International У нас внедрение в Derive Journal». образование математических систем, особенно компьютерной алгебры, связано с большими трудностями. Преподаватели школ и вузов по-разному относятся к автоматизации святая святых – математических преобразований. Одни отвергают возможность применения таких систем в образовании, утверждая, что они якобы отучают учащихся от математических навыков и интуиции. Другие считают, что нечего учить большинству в целом тривиальных математических преобразований вообще, коль их уже освоили компьютеры. За рубежом появились полноценные учебники, в которых изучение математики базируется на постоянном общении студентов и школьников с системой Derive. Результаты неоднозначными символьных и в преобразований зависимости от часто примененных бывают правил могут приводить к разительно отличающимся результатам. Показать идентичность подчас не менее сложно, чем их выполнить сами преобразования. К тому же современный уровень развития систем компьютерной алгебры не исключает даже грубых ошибок в выполнении символьных вычислений или отказа от их выполнения. Вообще алгебры как же правомерно мощный рассматривать инструмент в руках системы компьютерной педагогов, учащихся. Эффективность и методическая ценность такого инструмента всецело зависит от умения преподавателя или студента применять его на практике. Автоматизируя довольно сложные математические расчеты и преобразования, система Derive вовсе не отвергает математическую интуицию пользователя и его творческое участие в их выполнении. Напротив, она помогает пользователю приобрести такую интуицию без порою бессмысленных и огромных затрат времени. Derive позволяет быстро и ловко опробовать различные подходы к решению математических, физических и др. задач, которые из-за их трудоемкости нередко просто отвергаются. Графика Derive вполне достаточна для такой важнейшей задачи, как визуализация вычислений. 30 Умение фактором решать качества задачи фактически знаний. Курс является механики в определяющим основном содержит рассмотрение частных случаев общей теории, т.е. в том или в другом виде разбирают задачи. Решение можно разделить на две части: физическую и математическую. С помощью (средство одной для команды решения в задач диалоговом с режиме физическим «Derive» содержанием) производится подстановка в формулу значения физических величин и потом находится ответ. Например, 1#. F= G* m1*m2/r^2 2#. G=667*10^(-23) ;Sub(#1)(сообщение об упрощении выр. 1) 3#. F= G*(345*10^6)*(6547*10^4)/6^2 ;Approx (#4) (сообщение о вычислении) 4#. F=419 *10^(-10) Повышенную сложность вызывают задачи, в процессе нахождения ответа которых необходимо решить систему из трех - четырех уравнений. Derive представляет возможность решения операции упрощения этих уравнений, подстановки выражений. производится освоив выражения С значительно способ систему с помощью команды манипуляции переменной помощью проще. автоматизировать процесс Derive Необходимо Solve из данными уравнения и решение системы просто записать выразить нужные величины и произвести подстановку (команда Substitute). 1#. m*a=ft - ftr – m*g*SIN(alfa) 2#. 0 =n-m*g*COS (alfa) 3#. Ftr = k*n ; Solve (#2) 4#. n=g*m* COS (alfa) ;SUB (#3) 5#. ftr= k*(g*m* COS (alfa)) ;Simp (#5) 6#. ftr= g*k*m*COS(alfa) ;SUB (#1) 31 7#.m*a=ft – g*k*m* COS (alfa) – m*g* SIN (alfa) ;Solve (#7) 8#. a=-g*k*COS (alfa) – g* SIN (alfa) + ft/m Динамика процесса решения при такой работе увеличивается, студенты имеют физической решения возможность ситуации, задач обнаружить строить каждого для типа, сложность себя не задач оптимальный застревая по их алгоритм в сложных психологический барьер математических выкладках. Derive помогает преодолеть неполноценности, поверить в собственные силы, довести задачу до конца. Например, уравнений, решение сперва, трансцендентных покажется тригонометрических довольно сложным, но Derive позволяет упростить его решение: 1#. “Решение уравнений – команда Solve” 2#. SIN (x)+ COS (x)- 0.5 3#. x= ATAN (0.142857 SQRT (7)) – 0.25 pi 4#. SIN (x) + COS (x) – 0.5 =0 5#. x=ATAN (0.142857 SQRT (7)) – 0.25 pi 6#. SIN (x)= - COS (x) +0.5 7#. x= ATAN (0.142857 SQRT (7)) –0.25 pi 8#. “Используя команду APPROX находим” 9#. x= =0.424031 Использование виртуального конструктора для представления решаемой задачи и компьютерное моделирование позволит создать зрительные образы исследуемых объектов, задать их физические характеристики и следить за объектами в течении времени. Так же система Derive поверхностей, содержит средства предусмотрена для построения возможность графиков автоматического масштабирования графиков. Разработка методики решения задач в математических системах Derive т.е. и MathCAD вначале дается с правилом рассматриваются «от простого к сложному» задачи, сводящиеся просто к вычислениям по готовым, порою довольно громоздким формулам, и 32 заканчиваются задачами, решение которых базируется на математическом моделировании физических явлений, с визуализацией полученных решений, применением современных графических средств данных систем. Использование средств MathCAD и Derive позволяет наглядно реализовать любой метод решения задач с физическим содержанием. Применение КМ с физическим содержанием в обучении информатики позволяет сделать учебный процесс более глубоким и насыщенным, стимулирует развитие познавательной активности и самостоятельности. С этой целью необходимо подготовить студентов для работы в школе, т.е. чтобы студенты овладели всеми необходимыми навыками работы на компьютере, самостоятельную случаях и деятельность познавательная сконцентрирована были не учащихся способны на деятельность только на одном организовать компьютере. В студентов предмете этих будет (физике или информатике), но и более увеличиться их кругозор, сумеют связать физические процессы и информационные технологии. Вопросы возможностей использования глобальных в сфере компьютерных образования средств телекоммуникаций и (ГКТ) входят в число приоритетных вопросов концепции информатизации образования. 33 Excel. Появление Электронных таблиц (ЭТ) исторически совпадает с началом распространения персональных компьютеров. Первая программа для работы с ЭТ – Табличный процессор, была создана в 1979г., предназначалась для компьютеров Apple II и называлась VisiCalc. В 1982г. появился предназначенный вычислительные реляционной для IBM табличный процессор Lotus 1-2-3, PC. возможности СУБД. Lotus ЭТ, объединял деловую Популярность графику табличных в и себе функции процессоров росла очень быстро. Появились новые программные продукты этого класса: Multiplan, Quattro Pro, популярных табличных SuperCalc процессоров и др. сегодня Одним из является самых MS Excel, позволяет решать входящий в состав пакета Microsoft Office. Это средство информационных технологий целый комплекс задач: 1. выполнение вычислений, решение численными методами целого ряда математических задач, удобное средство для автоматизации вычислений. Решения многих вычислительных задач на ЭВМ, которые раньше можно было осуществить только путем программирования, стало возможно реализовать на электронных таблицах; 2. Математическое моделирование. математических взаимосвязь формул между в ЭТ Использование позволяет различными параметрами реальной системы. Основное свойство ЭТ пересчет представить – некоторой мгновенный формул при изменении значений входящих в них операндов. Благодаря этому свойству, таблица представляет собой удобный инструмент для организации численного поведения эксперимента: моделируемой подбор системы, параметров, анализ прогноз зависимостей, планирование. Дополнительные удобства для моделирования дает возможность графического представления данных; 3. Использование некоторые ЭТ в качестве операции базы данных, манипулирования так как данными, свойственные реляционным СУБД, в них реализованы. Это 34 поиск информации по заданным условиям и сортировка информации. Главная задача студентов на минимальном уровне изучения данной темы, научиться основным методам организации расчетов с помощью ЭТ . Для этого они должны освоить следующие практические приемы работы в среде ЭТ: осуществлять перемещение табличного курсора; установление курсора в нужную ячейку; вводить данные: числа, тексты, формулы; редактировать данные в ячейках; вставлять и удалять строки и столбцы. Творческие вопросы, которые вызывают наибольшие затруднения – это правила записи формул и понимание принципа относительной адресации. Их отработку следует проводить на задачах и упражнениях. Основные правила записи формул: все символы в формуле записываются в одну строку; проставляются все знаки операций (в отличие от алгебры, где знак умножения часто пропускается); используются круглые последовательность учитываются порядке: для влияния на выполнения операций; приоритеты ^- скобки операций, возведение в расположенные степень; *,/ - в таком умножение и деление; +,- - сложение и вычитание; приоритет стандартных функций выше арифметических операций; аргумент записывается в круглых скобках после имени функции; последовательно записанные операции одинакового старшинства выполняются в порядке записи, т.е. слева направо (возведение в степень –справа налево). Все языках эти правила совпадают программирования. с Поэтому правилами при записи более выражений позднем в изучении программирования этот вопрос студентам будет уже знаком. 35 ПРИЛОЖЕНИЕ 36 Задача 1 Задача о сносе лодки (задача решается в Excel) Лодка движется поперек реки. Известны ширина реки H и скорость течения реки скорость лодки V, V, Рассчитать траекторию движения лодки и величину сноса. Решение: Часто задачу упрощают, полагая скорость течения постоянной по всей ширине реки. В этом случае решение задачи сводится к однократному треугольника. вычислению Траектория прямолинейной. Вычисления гипотенузы движения с помощью и лодки таблиц катета получается позволяет учесть неодинаковость скорости течения реки на разных расстояниях от берега. Воспользуемся течения. Положим, расстояниях от идеализированной что берега. скорость моделью течения Воспользуемся для реки скорости на разных идеализированной моделью для скорости течения. Положим, что скорость течения равномерно нарастает от нуля на границе «вода – суша» до максимального значения на середине реки. Поделим ширину реки на нечетное число N участков участков. будет одинаковой длины. В данном примере Кроме того, добавим фиктивный использоваться только для выбрано 11 12 участок, который удобства записи формул. На каждом участке для расчетов будем использовать среднюю скорость течения на этом участке. Поскольку подразумевается, что скорость течения реки примере на максимальна шестом посередине, участке, определим т.е. в рассматриваемом приращение скорости на каждом отрезке как одну шестую от максимальной скорости реки. С некоторым участке приближением поперечного примем сечения среднюю реки скорость равной на каждом произведению номера участка на величину изменения скорости на этом участке. Такой расчет выполним одиннадцатый для участков с первого по шестой. С шестого по участок скорость течения убывает, поэтому для второй половины реки умножение приращения скорости производится не на номер участка, а на разность между числом 12 и номером участка. Этот расчет в таблице выполнен с помощью функции Время ЕСЛИ. преодоления лодкой одного участка: 37 HP T 0 NV Л Подсчитав это время, определим снос на каждом участке, для определения общего сноса величину, получаемую на данном участке, следует прибавлять к раннее полученному значению (накапливаемая сумма). С увеличением количества участков модель становится более точной. Формулы, по которым выполняются вычисления в Excel, представлены в таблице 1. Таблица 1. В А С Д E FH G 1 Скорость движения лодки, км/ч 3 2 Максимальная скорость течения реки, км/ч 4 3 Ширина реки, км 4 Изменение скорости течения при переходе от участка к участку 5 0,667 Время прохождения участка реки 5 0,152 6 № участка Скорость течения 7 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 14 =Если(A8<=6;H$4*A8; (A$19-A8)*H$4)) =Если(A9<=6;H$4*A9; (A$19-A9)*H$4)) =Если(A10<=6;H$4*A10; (A$19-A10)*H$4)) =Если(A11<=6;H$4*A11; (A$19-A11)*H$4)) =Если(A12<=6;H$4*A12; (A$19-A12)*H$4)) =Если(A13<=6;H$4*A13; (A$19-A13)*H$4)) =Если(A14<=6;H$4*A14; (A$19-A14)*H$4)) Текущий снос Накоп-ый снос =B8*H$5 =C8 =B9*H$5 =D8+C9 =B10*H$5 =D9+C10 =B11*H$5 =D10+C11 =B12*H$5 =D11+C12 =B13*H$5 =D12+C13 =B14*H$5 =D13+C14 38 8 15 9 16 10 17 11 18 =Если(A15<=6;H$4*A15; (A$19-A15)*H$4)) =Если(A16<=6;H$4*A16; (A$19-A16)*H$4)) =Если(A17<=6;H$4*A17; (A$19-A17)*H$4)) =Если(A18<=6;H$4*A18; (A$19-A18)*H$4)) =B15*H$5 =D14+C15 =B16*H$5 =D15+C16 =B17*H$5 =D16+C17 =B18*H$5 =D17+C18 12 19 №участка 1 23 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 скорость течения 0 0 0 Текущий снос 0 0,202 0,303 Накопленны й снос 0 0,303 0,606 39 Задача 2: Задача о горизонтально брошенном теле(задача решается в Excel) Камень брошен под углом горизонта. Определить траекторию полета камня. Решение: На тело действуют две силы: в горизонтальном направлении действует сила инерции, под действием которой тело движется равномерно, а вертикальном – сила тяжести, под действием которой тело падает с ускорением. Горизонтальный путь подсчитываем как скорость, умноженную на время, а вертикальную составляющую – по известной формуле gt^2/2, умноженной на –1, чтобы указать направление оси на графике. Выполним расчеты по шагам, разделив время падения на 15 интервалов по 0,1с. при вычислении величины свободного падения все значения умножим на –1, чтобы на диаграмме свободное падение было направлено вниз. Формулы по которым выполняются вычисления, представлены в таблице 1. Таблица 1. ускорение свободного падения начальная горизонтальная скорость время горизонтальное смещение 0,1 =$F$2*A5 =A5+$F$3 =$F$2*A6 9,8 20 0,1 падение =-1*F$1*(A5^2)*/2 Таблица с результатами вычислений и траектория движения тела представлены в таблице 2. Таблица 2. Ускорение g Начальная скорость V Время 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Гориз. смещение 9,8 20 Падение 2 -0,049 4 -0,196 6 -0,441 8 -0,784 10 -1,225 12 -1,764 14 -2,401 16 -3,136 18 -3,969 20 -4,9 22 -5,929 24 -7,056 26 -8,281 28 -9,604 30 -11,025 40 15 13 9 7 5 11 -2 3 1 0 -4 -6 Ряд3 -8 -10 -12 41 Задача 3. О вычислении эффективного значения силы электрического тока. переменного тока(задача решается в Excel) Имеется Известны сигнал в виде амплитуда и переменного период повторения. Требуется найти эффективное значение тока (напряжения). Решение: Эффективное значение силы тока переменного тока определяется как «среднее тепловое действие переменного тока, сопоставляемое с тепловым действием постоянного тока соответствующей силы». Исходя из математического определения эффективного значения тока, представляющего эту величину как среднее квадратичное за период, приходим к необходимости вычисления интеграла. Если известны значения силы тока в дискретные моменты времени, то вместо интегрирования можно сделать приближенные вычисления по формуле: Iэ=√(∑Ik2/n). Если абсолютные значения силы тока для обоих направлений тока отличаются незначительно, достаточно ограничиться одной половиной периода изменения тока. Для простоты построения таблицы примем численное значение амплитуды равным 1. Построим таблицу для 20 значений фазы тока. Для этого в столбец А таблицы введем значения с приращением 0,15708 (т.е. митэ еищюувтстевтоос ,акот яинечанз медевв В цеблотс В .(02/ח фазам, D3:D22) в столбец заполним выражением для С- квадраты округленным среднего силы до тока. двух знаков квадратичного =ОКРУГЛ(КОРЕНЬ(СУММ(C$2:C$21)/20);2). Столбец D (ячейки после запятой значения Эту величину силы отразим тока на графике. Полученная на графике прямая линия показывает значение постоянного тока, соответствующее эффективному значению переменного тока. Формулы, по которым выполняются вычисления, представлены в таблице 1, результаты вычислений в таблице 2. 42 Таблица 1. шаг изменения фазы интервал сила тока квадраты ср.квадрат 0 0 В3^2 ОКРУГЛ(КОРЕНЬ(СУММ(C$2:C$21)/20);2). A3+E$1 0,15708 Таблица 2. 3,5 3 интервал 2,5 сила тока 2 1,5 квадраты 1 ср.квадра ты 0,5 17 13 9 0 5 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 1 интервал сила тока квадраты ср.квадраты 0 0 0 0,15708 0,16 0,0256 0,314159 0,3 0,09 0,471239 0,45 0,2025 0,628319 0,56 0,3025 0,785398 0,7 0,49 0,942476 0,8 0,64 1,099567 0,85 0,7225 1,256637 0,9 0,81 1,413717 1 1 1,570796 1 1 1,727876 1 1 1,884956 0,95 0,9025 2,042035 0,9 0,81 2,199115 0,8 0,64 2,356194 0,707 0,499849 2,513274 0,6 0,36 2,670354 0,4 0,16 2,827433 0,3 0,09 2,984513 0,1 0,01 43 Задача 4. Задача о заряде и разряде конденсатора(задача решается в Excel) Электрический конденсатор заряжается от источника ЭДС. Известны величина ЭДС и сопротивление цепи заряда. По прошествии некоторого времени конденсатор отключается от источника ЭДС и подключается к резистору с известным сопротивлением. В течение некоторого времени наблюдается разряд конденсатора. Требуется определить изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при заряде и разряде. Решение: обозначим ЭДС источника как Е, а напряжение на конденсаторе подсчитывается -Uk. Напряжение по формуле на конденсаторе Uk=E(1-e-t/RC). Пусть при ЭДС заряде равна 1В, тогда расчет можно производить по упрощенной формуле Uk=1-e-t/RC. Зададим конкретное время для процесса заряда конденсатора, например 3с. Соответственно, расчет по приведенной выше формуле проведем для значений времени от 0 до 3с с шагом 0,3с. Пусть по прошествии этого времени делается переключение конденсатора на разряд. Поэтому с момента времени 3,3с будем пользоваться формулой для разряда конденсатора Uk=Uc*e-t/RC, где Uc- напряжение, до которого зарядился конденсатор. Чтобы для разряда счет времени начался с 0, будем вычитать все последующие значения времени из значения 3,3с. Ток, протекающий через конденсатор при заряде, рассчитаем по формуле Ik=(E-Uk)/R. Напомним, что Е мы положили равным 1В. Ток разряда конденсатора находится по формуле Ik=Uk/R. Таким образом, таблица должна быть составлена из двух таблиц: таблицы расчета токов и напряжений при заряде и разряде конденсатора. При построении графика для напряжений и токов в формуле для тока можно сделать умножение на масштабный коэффициент 900 000, так как числовые значения тока во много раз меньше значений напряжения. Формулы, по которым выполняются вычисления, приведены в таблице 1. 44 Напряжение Uc, до которого зарядился конденсатор, получено в ячейке В15. повторяется Оно в является ячейке В16. исходным для разряда, Величина ЭДС (ячейка поэтому Е3) при вычислениях может быть введена любая. Здесь для простоты выбрана единица (1В). Таблица 1. сопротивление резистора Емкость конденсатора ЭДС (Е) 1 000 000 0,000001 1 Uc время 0,3 Ir (1-B5)/$E$1*900000 0 1-EXP(-A5/($E$2*$E$1))) A5+$F$3 EXP(($A$16-A16)/($E$1*$E$2))*$B$15 В таблице 2 приведены результаты расчета. 1 0,8 0,6 Uc Ir 0,4 0,2 19 17 15 13 11 9 0 7 0,9 0,666736 0,49393 0,365913 0,271075 0,200817 0,148769 0,110211 0,081646 0,060485 0,044808 0,855192 0,633542 0,469339 0,347695 0,257579 0,190819 0,141362 0,104724 0,077581 5 0 0,259182 0,451188 0,59343 0,698806 0,77687 0,834701 0,877544 0,909282 0,932794 0,950213 0,950213 0,703935 0,521488 0,386328 0,286199 0,212021 0,157069 0,11636 0,086201 3 0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 3,3 3,6 3,9 4,2 4,5 4,8 5,1 5,4 5,7 Ir 1 Uc время 45 Задача 5. Моделирование колебаний маятника. Груз на невесомом жестком подвесе длиной 5м на высоте 30м, колеблется с большой амплитудой. Как зависит период колебаний от величины максимального угла отклонения? Решение: При больших амплитудах период колебаний T=2ח/ω=2√(g/l). Однако замена sinφ на φ недопустима. Точность решения зависит от величины шага изменения времени, и может быть сделана сколь угодно большой. Величина φ ранжируется от 0 до 60 с шагом 5,затем угол отклонения убывает на ту же величину до 0. Время вычислений задается от 0 до 2,3 с. с шагом 0,1 с. вычисления производятся по следующим формулам: Амплитуда: A=dt*h*sin φ, Угловая скорость: ω=ω0+Adt, Координата Х: x=l*sin φ, Координата Y: y=l*cos φ. Формулы, по которым производятся вычисления приведены в таблице 1. Таблица 1. высота подвеса длина подвеса изменение времени t 0 A6+$G$3 30 5 0,1 5 угол откл амплитуда угловая ск. X Y 0 A6*$G$1*sin(B6) 0+C6*A6 $G$2*sin(B6) $G$2*cos(B6) B6+$G$4 $D$6+C7*A7 Полученные данные и график показаны в таб.2 46 Таблица 2. высота подвеса длина подвеса изменение времени 30 5 0,1 5 t 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 угол откл амплитуда 0 0 5 -2,876772824 10 -3,264126665 15 5,852590561 20 10,95534301 25 -1,985276251 30 -17,78456923 35 -8,991836059 40 17,88271585 45 22,97439516 50 -7,871245611 55 -32,99192072 60 -10,97318236 55 -38,99045176 50 -11,01974386 45 38,2906586 40 35,7654317 35 -21,83731614 30 -53,3537077 25 -7,544049756 20 54,77671504 15 40,96813393 10 -35,90539332 5 -66,16577495 0 0 угловая ск. X 0 -0,287677282 -0,652825333 1,755777168 4,382137203 -0,992638126 -10,67074154 -6,294285242 14,30617268 20,67695565 -7,871245611 -36,29111279 -13,16781883 -50,68758729 -15,4276414 57,43598791 57,22469072 -37,12343745 -96,03667386 -14,33369454 109,5534301 86,03308125 -78,9918653 -152,1812824 0 0 -4,79462137 -2,72010555 3,2514392 4,56472625 -0,66175875 -4,94015812 -2,14091335 3,7255658 4,25451762 -1,31187427 -4,99877587 -1,52405311 -4,99877587 -1,31187427 4,25451762 3,7255658 -2,14091335 -4,94015812 -0,66175875 4,56472625 3,2514392 -2,72010555 -4,79462137 0 Y 5 1,418310927 -4,19535765 -3,79843956 2,040410309 4,956014059 0,771257249 -4,51846103 -3,33469031 2,626609944 4,824830142 0,110633781 -4,7620649 0,110633781 4,824830142 2,626609944 -3,33469031 -4,51846103 0,771257249 4,956014059 2,040410309 -3,79843956 -4,19535765 1,418310927 5 150 100 50 t угол откл -50 -100 25 22 19 16 13 10 7 4 1 0 амплитуда угловая ск. X Y -150 -200 47 Задача 6. Движение заряженной частицы в магнитном поле (задача решается в Derive) Частица массой 9*10-31 кг и зарядом 1,6*10-19 Кл влетает в магнитное поле индукцией B=0.1 Тл под углом α=300 к линиям поля. Решение: Зададим соответственно, j 0,2 107 j будут yj ранжированную набор m . Проекции sec представлены переменную значений j=1..2 начальной и, скорости: вектора скорости частицы на оси x и y следующими выражениями: xj cos( ) , j sin( ) . j На частицу действует сила Лоренца. Эта винтовая сила всегда линия, перпендикулярна радиус которой скорости. можно найти Траектория из – уравнения движения: m 2 / r qB . Зададим N:=100, i:=0..N-1 8 и i : N и T :11010 sec -время полета частицы. Тогда координаты –это вектора X,Y,Z, соответственно: X i : v xi i С T , Y : r sin Zi : ri (1 cos(i )) . i i i N помощью этих функций получается модель траектории движения частицы при двух значениях начальных скоростей. 48 Задача 7. Дифракция на щели(задача решается в Derive) Решение: Введем следующие обозначения: I 0 I -интенсивность в центре экрана. L:=4m I 0 :1 b:=0.1mm ширина щели :0.55106 m длина волны. ( x ): Угол дифракции bsin x L . При дифракции в параллельных лучах от одной щели распределение интенсивности света формулой: I ( x ): I 0 по экрану выражается sin( ( x )) 2 . ( x )2 Зададим ранжированную переменную: x:=-80mm, -79.1 mm, 80 mm. Для построения графика поверхности распределения интенсивности падающего на экран света зададим размеры матрицы координат: N:=51 и введем ранжированные переменные: i:=0..N j:=0..N. Максимальный размер картинки, наблюдаемой на экране: Xm:=160 mm. Xm Xm xi : i , N 2 Тогда: y j : Xm j N и выразим через них и интенсивность падающего на экран света по формулам: i, j : x bsin i L I i, j : I 0 sin( i, j ) 2 (i, j ) 2 . 49 График поверхности характеризующий распределение интенсивности падающего на экран света в пространстве. 50 Задача 8. Моделирование силовых линий электрического поля (задача решается в Derive) Начертить силовые линии в пространстве между 2-мя одинаковыми зарядами q1=q2=10-8Кл, находящихся друг от друга на расстоянии l=0,2м. Начните с силовой линии, исходящей от первого заряда, под углом 300 к прямой, соединяющей эти заряды. Решение: Применив закон Кулона: q1 y 3 q2 y 3 r1 r2 dy f ( x, y ) dx q1 x q 2 (1 x) 3 3 r1 r2 r1 x 2 y 2 ; r2 (1 x) 2 y 2 ; x n 1 x n x; y n 1 y n f ( x n , y n )x. 51 Задача 9. Моделирование движения частиц в магнитном поле, если вектор скорости не перпендикулярен (задача решается в Derive). Такие же частицы, как и в предыдущей задаче, влетают в иакое же магнитное поле, но под разными углами к силовым линиям. начертите траектории. Решение: Разложить вектор скорости на два составляющих вектора: вектор V1 , перпендикулярный вектору В, и вектор V2 , параллельный В. движение со скоростью V1 сведется к решению предыдущей задачи, а движение со скоростью V2 будет равномерным, так как вектор поле индукцией скорости. В не Добавляется действует равномерное на этот смещение составляющий по оси x: x=x0+V0t. Вместо окружности в плоскости y,z, как в предыдущей задаче. Получится спираль, вытянутая вдоль оси x. V1=V*cos(α), V2=V*sin(α), R=m*V2/(q*B) 52 Задача 10. Построение графиков (задача решается в MathCad) Используя результаты, полученные в предыдущем упражнении, построить график, отображающий экспериментальные данные и аппроксимирующую зависимость. Построить другой график, отображающий величину отклонения экспериментальных значений от аппроксимирующей прямой. Решение. Для построения графика можно использовать функцию, заданную набором данных или формулой. Формулы для функций, полученных в результате проделанных расчетов, необходимо определить, прежде чем их можно будет использовать при построении графика. 1. Запустите программу MathCad. 2. Загрузите документ, созданный в предыдущем упражнении. 3. Переместите точку ввода в нижнюю часть документа. 4. Запишите формулу функции r(х) для определения координат точек, лежащих на аппроксимирующей прямой. Коэффициенты cсоответствующего уравнения были получены в предыдущем упражнении. r(x):=b0+b1*x. 5. Нажмите клавишу [@], щелкните на кнопке X-Y Plot (Декартовы координаты) на панели инструментов Graph (График) или дайте команду lnsert>Graph>X-Y Plot(Вставка>График>Декартовы координаты). В документе появится область для создания графика. 6. Вместо заполнителя в нижней части графика укажите в качестве независимой переменной первый столбец матрицы data (data< > или X) 7. Вместо заполнителя слева от графика укажите, что по вертикальной оси должны откладываться значения из второго столбца матрицы data и определенная выше линейная функция г(х). В качестве разделителя используется запятая. Диапазон значений для осей координат выбирается программой-MathCad автоматически. 8. Чтобы изменить вид автоматически построенного графика, дважды щелкните внутри него. Откроется диалоговое окно Formatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование графика в декартовых координатах). Первая запись в списке на вкладке Traces (Кривые) соответствует первой отображенной кривой. Для изменения записи используются поля под списком. 53 9. Под столбцом Legend Label (Подпись) введите название графика. 10. В раскрывающемся списке под столбцом Symbol (Маркер) выберите способ обозначения для отдельных точек. 11. Под столбцом Туре (Вид линии) укажите, что необходимо пометить отдельные точки (points), а не провести непрерывную линию. 12. Выберите в списке вторую кривую и настройте ее отображение по своему вкусу. 13. Установите флажок Hide Arguments (Скрыть параметры), чтобы не отображать названия осей. 54 Задача 11. Анализ результатов испытаний(задача решается в MathCad) К пружине последовательно подвешивали грузы массой 1, 2, 3, ..., 20 кг. В результате был получен список величин удлинения пружины (в мм). Определить основные статистические параметры полученного набора измерений. Рассчитать жесткость пружины и массу узла, использованного для крепления грузов к пружине, воспользовавшись методом наименьших квадратов. Таблица измерений: вес, кг 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 растяж 12, 13, 17, 22, 24, 27, 29, 31, 37, 39, 42, 45, 46, 52, 52, 56, 62, е ние, 3,4 6,8 9,1 2 4 2 1 2 8 5 7 6 5 8 5 5 1 4 6 4 мРешение. Для решения этой задачи достаточно использовать стандартные средства статистических вычислений, имеющиеся в программе MathCad. Теоретически, растяжение пружины определяется формулой k*x=(m+mo)*g. Если определить статистическими методами коэффициенты а и b в уравнении х=а*m+b, то получим: 1. Запустите программу MathCad. 2. Введите таблицу данных, предназначенных для статистического анализа, как матрицу с двумя столбцами, первый из которых содержит веса грузов, а второй - значения растяжения пружины. 3. Определите число точек в наборах данных с помощью функции rows. n:=rows(data) n = 20. 4. Вычислите среднее растяжение пружины в ходе эксперимента с помощью функции mean. 7:=data<1:> mean(У) = 31.645. 5. Вычислите медиану значений растяжения пружины при помощи функции median. median(Y) = 30.6. 6. Вычислите среднеквадратичное отклонение и дисперсию величины растяжения пружины при помощи функции stdev. stdev(Y) = 17.4041, stdev(Y)2 = 302.9025. 7. Определите коэффициенты линейного уравнения, являющегося наилучшим приближением для этих наборов данных. Функция slope позволяет вычислить коэффициент наклона прямой, а функция intersept - свободный член. 8. Определите жесткость пружины: k = 7.448- 105(Н/м). 9. Определите массу узла крепления: т = 4.3677 (г). 10. Сохраните созданный документ для использования в следующем упражнении. 55 Задача 12. Физические вычисления с использованием единиц измерения (задача решается в MathCad) Теплоизолированный космический аппарат, находящийся на орбите Земли, имеет на борту приборы с электрической мощностью, которая может изменяться в ходе работы от NI = 75 Вт (дежурный режим) до N2 = 200 Вт (сеанс связи). С целью обеспечения предсказуемого теплового режима в теплоизоляции сделано отверстие площадью Si, на которое попадает поток солнечной энергии W = 1400 Вт/м2. Полученная энергия излучается аппаратом через это и дополнительное отверстие в теплоизоляции с площадью S2 в режиме «черного тела». Каковы должны быть площади отверстий, если допустимый диапазон температур для оборудования, расположенного в аппарате, составляет 20-30°С? Решение. Минимальная температура аппаратуры соответствует режиму минимального тепловыделения. В этом случае поступающая мощность Q1 = WS1+Nl. Излучаемая мощность Q2=σT14(S1+S2), где Т1 минимальная допустимая температура в градусах Кельвина. В условиях теплового баланса эти мощности должны быть равны. Режим максимального тепловыделения соответствует максимальной температуре аппаратуры. В этом случае WS1+N2=σТ24(S1+S2). Используя два полученных уравнения, получаем: 1 .Запустите программу MathCad. 2.Введите значения известных величин, присвоив их переменным с соответствующими именами. Вместо нижних индексов используйте просто дополнительную цифру в названии переменной 3.Обозначения физических единиц присоединяйте к соответствующим значениям через знак умножения. Если нужное обозначение неизвестно, используйте команду Insert > Unit (Вставка>Единица 56 измерения). Измеряемая величина выбирается в списке нужная единица измерения - в списке Unit (Единица измерения). 4.Присвойте переменной σ значение постоянной Стефана-Больцмана (5,67*10-8Вт/м2*К4) Чтобы ввести греческую букву, используйте панель инструментов Greek(греческий алфавит) или введите соответствующую латинскую букву (в данном случае «s») и сразу же нажмите комбинацию клавиш CTRL+G. Так как специальной единицы для размерности этой константы не существует, ее следует составить из стандартных единиц методом умножения и деления. 5. Введите полученные в ходе анализа формулы для вычисления площадей отверстий, 6. Чтобы увидеть результаты вычислений, введите имя первой из рассчитанных переменных и нажмите клавишу [=]. Затем проделайте то же со второй переменной. S1= 0.5679 m2,S2=1,514 m2 7.Изменение значений параметров, заданных в условии задачи, приводит к автоматическому перерасчету формул. В частности, исследуйте, изменяя значение переменной W, как изменяются требования к такому методу терморегуляции при удалении аппарата от Солнца и приближении к нему (на орбите Венеры W=2700Вт/м2: на орбите Марса W=500Вт/м2). 8.Обратите внимание, что результат содержит единицы измерения в соответствии с системой единиц СИ. Используемая система единиц отображается в диалоговом окне Insert Unit (Вставка единиц измерения). 9.Чтобы изменить используемую систему единиц, дайте команду Math>0ptions (Математика>Параметры) и в открывшемся диалоговом окне Math Options (Параметры расчета) выберите вкладку Unit System (Система единиц). Выберите систему CGS и посмотрите, как изменились результаты (они теперь выражаются в квадратных сантиметрах). Если выбрать американскую систему единиц (U.S.), то результат будет выражен в квадратных футах. 57 Задача 13. Простые вычисления с использованием программы MathCad Найти ребро куба, равновеликого шару, площадь поверхности которого равна площади боковой поверхности прямого кругового конуса, у которого высота вдвое меньше, чем длина образующей. Объем этого конуса равен 1. Анализ. Основные геометрические формулы, используемые при расчете. Объем конуса — V=1/3חr^2h Площадь боковой поверхности конуса — S = חrl Соотношение в конусе между радиусом основания, высотой и длиной образующей- r2+h2=l2. Площадь поверхности шара — V = 4חR2 . Объем шара - V = 4/3חR3 . Объем куба - V=a3. 1. Запустить MathCad через Главное меню. 2. Открыть панель Калькулятор с помощью команды Вид>Панели>Математика>Калькулятор. 3. Для удобства расчета будем обозначать каждую из вычисляемых величин отдельной переменной. Объем конуса обозначим как V и присвоим ему значение 1. Оператор присваивания вводится символом «:» или кнопкой Assign Value (Присвоить значение) на панели Калькулятор. Ввести V:l. В документе появится: V:=l 4. Путем преобразований получим: радиус основания конуса можно вычислить по формуле Порядок ввода формулы следующий: а. вводим знак корня произвольной степени: кнопка Nth Root (Корень данной степени) на панели инструментов Калькулятор или комбинация клавиш CTRL+V б.щелкнуть на черном квадратике, стоящем на месте показателя степени, и ввести цифру 3. в.щелкнуть на квадратике, замещающем подкоренное выражение, нажать клавиши [V] [*]. г.ввести знак квадратного корня: кнопка Квадратный корень на панели Калькулятор или клавиша [\] — и цифру 3. д.Прежде чем вводить знаменатель, дважды нажать клавишу ПРОБЕЛ. (Обратите внимание на синий уголок, который указывает на текущее выражение.) Предполагается, что знак операции связывает выбранное выражение со следующим. В данном случае это безразлично,но в целом этот прием позволяет вводить сложные формулы, избегая ручного ввода дополнительных скобок. е.Нажмите клавишу [/]. Чтобы ввести число ח, можно воспользоваться комбинацией клавиш CTRL+ SH1FT+ Р или соответствующей кнопкой на панели инструментов Калькулятор. На экране появится следующая надпись: 58 5. Ввести формулы для вычисления длины образующей и площади боковой поверхности конуса: l=r*2/√3 S = • חr • l. переменными обязательно. Указание знака умножения между 6. Для вычисления радиуса шара R введите формулу R = √(S/4 )ח. 7. Для вычисления объема шара введите формулу W = 4/3חR3. Использовать переменную V во 2-й раз не следует, т.к. теперь определяется другой объем. 8. Формула а = W^1/3 позволит получить окончательный результат. Затем снова набрать имя переменной а и нажать клавишу = или щелкните на кнопке Числовое вычисление на панели Калькулятор. После формулы появится знак равенства и вычисленный результат: а=0.71 9. Вернуться к 1-му выражению и отредактировать его. Вместо значения 1 присвоить значение 8. Перейти к последней введенной формуле и обратить внимание: результат расчета стал отражать новые начальные данные: а=1.42 Задача 14. Решение дифференциальных уравнений(задача решается в MathCad) Найти функцию у(х), удовлетворяющую дифференциальному уравнению(dy/dx)+y=x*cos х и имеющую значение 0 при х = 0 . Анализ. Это простое дифференциальное уравнение допускает точное аналитическое решение, однако в данном упражнении предполагается использование стандартной функции программы MathCad, осуществляющей численное решение 59 данного уравнения. Результат вычислений можно после этого сравнить с точным решением. 1. Запустите программу MathCad. 2. Задайте начальное значение функции как элемент вектора у, размерность кот соответствует числу решаемых уравнений (в данном случае единице): уо-'=0 3. Создайте функцию Т(х,у), которая вычисляет значение производной при заданных значениях независимой переменной и неизвестной функции: 4. Определите начальное (точка 0) и конечное значение отрезка интегрирования. а:=0, Ъ:=12к. 5. Укажите число шагов интегрирования. К: =20. 6. Вычислите численное решение уравнения при помощи функции rkfixed. Z := rkfixed 6>,aAM. Результат вычислений - матрица Z с двумя столбцами, первый из которых содержит значения независимой переменной, а второй соответствующие значения функции. 7. Постройте график полученного решения. 8. Определите аналитическое решение данного уравнения при тех же начальных условиях. 9. Нанесите аналитическую кривую на тот же график и сравните поведение численного и точного решения. 10. Измените число шагов, на которые делится отрезок интегрирования, и исследуйте, как изменяется результат расчета при уменьшении и увеличении этого параметра. Мы научились численно решать диф.уравнения первого порядка с помощью программы MathCad. Использованный метод без изменений переносится на системы, содержащие два или большее число дифференциальных уравнений. Увеличение величины шага интегрирования ускоряет получение результата, но снижает его точность. При слишком большой величине шага результат расчетов может вообще не соответствовать реальному. 60 61
