Введение - Институт прикладной математики

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
6
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ЗАДАЧ
МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА С
ИМПЕДАНСНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
8
1. Качественный анализ краевых задач и экстремальных задач для уравнений Максвелла в
гармоническом режиме
2. Публикация
8
16
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
31
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
32
5
Введение
В последние годы большое внимание уделяется исследованию
обратных
задач
и
задач
управления
для
уравнений
Максвелла,
рассматриваемых в областях с импедансными границами. Интерес к этим
задачам вызывается наличием актуальных приложений в создании
современных
средств
обнаружения
летательных
объектов,
охране
окружающей среды (от электромагнитного излучения) и в ряде других
прикладных областей электромагнетизма. Теоретическому исследованию
указанных задач посвящен ряд работ (см., например, статьи [1-9], в
которых рассматриваются обратные задачи рассеяния для уравнений
Максвелла в гармоническом режиме). В этих работах исследуются, как
правило, два типа обратных задач
восстановления
неизвестных
и задач управления: задачи
неизвестного
рассеивателя
коэффициентов,
описывающих
и
задачи
нахождения
материальные
свойства
неоднородной и/ или анизотропной среды.
В существенно меньшей степени изучены задачи граничного
управления для уравнений Максвелла, в которых роль управления играет
искомый импеданс границы области, мультипликативно входящий в
граничное условие [10].
При моделировании реальных электромагнитных устройств часто
возникает необходимость исследования краевых задач для уравнений
Максвелла в областях с границами, различные участки которых обладают
разными свойствами. Типичным проявлением такой ситуации является
случай, когда одна часть границы
изучаемого тела является идеально
проводящей, а другая – идеальным диэлектриком. Моделирование
(исследование) электромагнитных явлений в такого типа областях
приводит к необходимости решения краевых задач для уравнений
Максвелла при смешанных краевых условиях. Основная трудность в
6
исследовании смешанных краевых задач связана с рассмотрением тех
случаев, когда разные по типу граничные условия задаются на разных
участках границы, имеющих ненулевое пересечение [11]. Такого типа
краевые и экстремальные задачи так же рассматриваются в данном проекте.
7
Теоретический анализ краевых задач и задач
мультипликативного
управления
для
уравнений
Максвелла с импедансными граничными условиями
1. Качественный анализ краевых задач и экстремальных
задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме
Второй
этап
математического
выполнения
аппарата
мультипликативного
проекта
исследования
управления
для
был
посвящен
краевых
уравнений
разработке
задач
и
задач
Максвелла
с
импедансными граничными условиями.
Исполнителями исследованы двухпараметрические экстремальные
задачи мультипликативного граничного управления для уравнений
Максвелла в случае, когда роль управлений играют граничный импеданс и
граничная плотность источников электрического поля, входящие в
импедансное граничное условие. Доказана разрешимость исходной и
экстремальной задач, с помощью метода множителей Лагранжа выведена
система оптимальности, являющаяся необходимым условием экстремума
первого порядка. Выведены достаточные условия на исходные данные,
обеспечивающие устойчивость решений конкретных экстремальных задач
относительно определенных возмущений как функционала качества, так и
одной из заданных функций, имеющей смысл плотности электрических
токов и не являющейся управлением.
Полученные результаты составили содержание статьи [12].
Подробно, было проведено исследование разрешимости краевой
задачи и двухпараметрических экстремальных задач мультипликативного
граничного управления для гармонических по времени уравнений
Максвелла
rot E  i H  0, rot H  i E  J,
(1)
8
рассматриваемых в ограниченной области Ω с границей Г при
импедансном граничном условии, имеющем вид
rot E  n  iα ( n  E)  n  h на 
(2)
Здесь E и H – векторы напряженностей электрического и магнитного
полей, J – заданная плотность электрических токов,  и  - постоянные
электрическая и магнитная проницаемости,  - круговая частота, i –
мнимая единица, n – единичный вектор внешней нормали к границе Г
области Ω,  и h – заданные на Г функции, причем  носит название
поверхностного импеданса границы Г.
Применяя оператор rot к первому уравнению в (1) и учитывая второе
уравнение (1), можно получить следующее уравнение относительно
вектора E:
rot rot E  k 2 E  f
(3)
Здесь k 2   2  - волновое число, f  i   J . Для краткости на задачу
(2), (3) при заданных функциях , , h и f будем ссылаться как на задачу 1.
Как и в [1-6], мы рассматриваем уравнения Максвелла в случае,
когда электрическая проводимость среды равна нулю. Условие (2)
физически отвечает ситуации, когда граница Г покрыта тонким слоем
сильнопоглощающего
материала,
например,
с
целью
маскировки
соответствующего объекта. Более подробно о физическом смысле
граничного условия (3) можно прочитать в [1,2].
Основные условия на область Ω и ее границу Г были следующими
(i)
Ω - ограниченная односвязная область в пространстве R3 с
границей   C 0,1 .
Введем гильбертово пространство
V  {v  H(rot; )  H(div; ) : div v  0 в , v  n

 L2 ()} ,
наделенное нормой
v
2
V
 v
2
L2 (  )
 rot v
2
L2 (  )
 v  n L2 (  ) .
9
Доказана разрешимость (существование и единственность слабого
решения) задачи 1 в пространстве V, обоснована его корректность.
Получена априорная оценка решения в норме этого пространства через
соответствующие нормы исходных данных.
Задача управления ставится следующим образом. Множество
исходных данных задачи 1 разбивается
на две группы: группу
фиксированных данных, куда внесем f, и группу управлений, куда внесем
функции  и h. Будем предполагать, что  и h могут изменяться в
некоторых множествах K1 и K2, удовлетворяющих условиям
(j) K1  H s ( )  K~1 и K 2  L2T ( ) - непустые выпуклые замкнутые множества,
где
~
K1  {  L0 ( ) : 
L (  )
  0} ,
причем
0   0   0  , s  1/3.
Положим K  K1  K2 . Пусть I: V  R – произвольный (пока) слабо
полунепрерывный снизу функционал качества. Рассмотрим следующую
экстремальную задачу:
J ( E,  , h) 
0
2
I ( E) 
Здесь G( E,  , h)  0
1
2
-

2
s ,

2
2
h   , G( E,  , h)  0, ( E,  , h)  V  K (4)
2
слабая формулировка задачи , записанная в
операторном виде; 0, 1 и 2 – неотрицательные параметры. Они служат
для регулирования относительной важности каждого из слагаемых в (4), а
также для обеспечения единственности решений экстремальных задач (см.
ниже). Введем множество
Z ad  {( E,  , h)  V  K : G(E,  , h)  0, J( E,  , h)  }
допустимых пар для задачи (4).
В качестве I будем рассматривать один из следующих функционалов
качества:
I1 (E)  E  Ed Q , I 2 (E)  rot E  i   Hd
2
2
Q
(5)
10
Здесь функция Ed  L2 (Q ) (либо H d  L2 (Q ) ) моделирует измеренное в
некоторой подобласти QΩ распределение напряженности электрического
(либо магнитного) поля. В том случае, когда поле Ed (либо Hd) является
полем, создаваемым неким другим (эталонным) объектом задачу (4) можно
рассматривать как задачу маскировки исходного объекта указанным
эталонным объектом. Маскировочный эффект достигается за счет
оптимального выбора функций  и h, входящих в граничное условие (2).
Доказана
разрешимость
задачи
управления
(4)
как
для
произвольного слабо полунепрерывного снизу функционала качества, так
и для конкретных функционалов в (5).
Обратимся к задаче (4). Будем предполагать ниже, что правая часть f,
входящая в постановку задачи (4), может изменяться в некотором
ограниченном множестве F. Обозначим через (E1 , 1 ,h1) (произвольное)
решение (4), отвечающее функции f = f1.
Через (E2 , 2 ,h2 ) обозначим решение близкой к (4) задачи
J ( E,  , h) 
0 ~
2
I ( E) 
1
2

2
s ,

2
2
2
~
~
h   , G( E,  , h, f )  0, ( E,  , h, f )  V  K (6)
Она получается из задачи (4) заменой функционала I в (4) близким
~
~
функционалом I , а функции f – близкой функцией f  f2  F .
Основным результатом
работы
[12]
является
вывод
оценок
локальной устойчивости решения задачи управления (4) относительно
малых возмущений как функционала качества, так и одной из заданных
функций, не являющихся управлением (функция f).
Исполнителями проекта были также исследованы краевые и
экстремальные задачи для
уравнений
Максвелла при
смешанных
граничных условиях, отвечающих ситуации, когда на одной части границы
задается тангенциальная компонента электрического поля, а на другой –
импедансное граничное условие. Доказана разрешимость (существование,
единственность, устойчивость) исходной смешанной краевой задачи.
11
Подробно, в ограниченной области Ω с липшицевой границей Г,
состоящей из двух частей ГD и ГI рассматривается краевая задача
rot rot E  k 2 E  f
(7)
E  n  k на D , rot E  n  iα (n  E)  n  h на I
(8)
Здесь, в дополнение к предыдущим обозначениям, k – заданная
функция на участке ГD.
При исследовании краевой задачи использовался аппарат теории
функциональных
пространств,
разработанный
в
статье
[11]
при
исследовании близкой смешанной краевой задачи. Она отличается от
рассматриваемой в проекте тем, что на втором участке границы вместо
импедансного граничного условия задается нормальная компонента
электрического поля.
Исполнителями
была
сформулирована
и
исследована
общая
многопараметрическая экстремальная задача граничного управления, в
которой роль управлений играют граничные функции: импеданс и
плотность граничных источников электрического поля на одной части
границы и тангенциальная компонента электрического поля – на другой
части границы, и доказано существование ее решения.
В заключение выведена система оптимальности, описывающая
необходимые условия экстремума для рассматриваемой экстремальной
задачи, и на основе ее анализа установлены условия на исходные данные,
обеспечивающие устойчивость решений конкретных экстремальных задач
относительно определенных возмущений как функционала качества, так и
заданных функций, имеющих смысл плотности электрических токов и
тангенциальной компоненты электрического поля, заданной на части
границы.
Как и в предыдущих работах исполнителей проекта, посвященных
исследованию экстремальных задач для нелинейных уравнений магнитной
гидродинамики, при выводе системы оптимальности для рассматриваемой
12
экстремальной задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме
используется аппарат теории гладко-выпуклых экстремальных задач,
разработанный в известных книгах [13] и [14].
Однако поскольку аппарат данных книг развит для экстремальных
задач, рассматриваемых в вещественных банаховых пространствах, то
предварительно была проведена декомплексификация рассматриваемой
«комплексной» экстремальной задачи, которая в результате была сведена к
эквивалентной экстремальной задаче, рассматриваемой в вещественном
гильбертовом пространстве.
С использованием методов работы [10] была выведена система
оптимальности для последней задачи, которая затем была преобразована в
систему оптимальности, отвечающую исходной экстремальной задаче.
Последующий анализ указанной системы и позволил выявить достаточные
условия на исходные данные, обеспечивающие единственность и
устойчивость
решений
рассматриваемой
экстремальной
задачи.
Полученные результаты составили содержание статьи
Alekseev G.V., Brizitskii R.V. «Control problems for Maxwell equations under
mixed boundary conditions», направленной для опубликования в Journal of
Applied Mathematics (SIAM).
Отметим, что при работе со слабыми решениями рассматриваемых
краевых задач для уравнений Максвелла существенно использовался
результат статьи [15].
Исследованы частный случай описанной выше краевой задачи для
уравнений Максвелла при смешанных граничных условиях, отвечающих
ситуации, когда на одной части границы задается нулевая тангенциальная
компонента электрического поля, а на другой – импедансное граничное
условие.
Установлена структура множества, в котором может изменяться
функция импеданса, заданная на части границы, при которой априорная
оценка нормы решения через нормы исходных данных (объемной
13
плотности токов и граничной плотности источников электрического поля)
зависит только от верхней и нижней границы этого множества и не зависит
от произвольной функции импеданса. Полученный результат существенно
упрощает доказательство существования решения экстремальной задачи.
Была также
выведена система оптимальности, описывающая
необходимые условия экстремума для рассматриваемой экстремальной
задачи, и на основе ее анализа установлены достаточные условия на
исходные данные, обеспечивающие устойчивость решений конкретных
экстремальных задач относительно определенных возмущений как
функционала качества, так и одной из заданных функций, имеющей смысл
граничной плотности источников электрического поля, заданной на части
границы.
Отметим,
что
в
отличие
от
предыдущих
двух
работ
исполнителей, установлены достаточные условия, которые незначительно
жестче условий малости, установленных в этих работах, при которых
оценки
устойчивости
решения
экстремальной
задачи
приобретают
максимально простой вид.
Полученные результаты составили содержание статьи Алексеев Г.В.,
Бризицкий Р.В. «Экстремальные задачи для уравнений Максвелла при
смешанных граничных условиях», направленной для опубликования в
журнал Дифференциальные уравнения.
Исследована
мультипликативного
регулярность
решений
краевых
для
уравнений
управления
задач
и
задач
Максвелла
в
гармоническом режиме. Метод доказательства регулярности решения
состоит
в
следующем:
единственность) решения
сначала
доказывается
указанной краевой
существование
(и
задачи, обладающего
меньшей гладкостью, чем H1(D) с выводом соответствующей априорной
оценки. Аналогичные результаты есть в работах D. Colton, F. Cakoni, R.
Kress (см., например, [3,4,9]) и в работах исполнителей проекта [10,12].
Предполагая далее, что это решение принадлежит H1(D), используя
некоторые идеи перечисленных авторов и результаты J. Nedelec [16],
14
выводим априорную оценку решения в пространстве H1(D) через нормы
исходных данных. Существование же такого решение доказывается с
помощью проекционных методов, например, метода Галеркина. Эти
результаты частично опубликованы [17] (см. близкие результаты в [4,18]),
но для исследования задач управления нужна априорная оценка,
определенным образом зависящая от функции импеданса. Для ее вывода
исследуются свойства поверхностных дифференциальных операторов (см.
A. Alonso, A.-L. Buffa, Costabel M. and Sheen D [18-21]), действующих на
решении рассматриваемой краевой задачи.
По результатам этих исследований подготовлена к опубликованию
статья Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В., Савенкова А.С. «О регулярности
решений краевых и экстремальных задач для уравнений Максвелла»
15
2. Публикация
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Заключение
В отчете представлены результаты исследований, выполненных по 2
этапу Государственного контракта № 16.740.11.0565 «Оптимизация в
задачах гидродинамики, тепломассопереноса, магнитной гидродинамики и
электромагнетизма» (шифр «2011-1.3.1-111-001») от 30 мая 2011 по
направлению «Проведение научных исследований молодыми кандидатами
наук в следующих областях: - математика; - механика» в рамках
мероприятия
1.3.1
учеными
кандидатами
–
«Проведение
наук»
научных
исследований
направления
1
молодыми
«Стимулирование
закрепления молодежи в сфере науки, образования и высоких технологий»
федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические
кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
Проведен
теоретический
мультипликативного
управления
анализ
для
краевых
уравнений
задач
и
задач
Максвелла
с
импедансными граничными условиями.
Доказаны теоремы о существовании и регулярности решений
краевых задач для уравнений Максвелла с импедансными граничными
условиями, основанные на новых априорных оценках
Доказаны теоремы о разрешимости более общих – смешанных
краевых задач для уравнений для уравнений Максвелла, отвечающих
ситуации, когда одно из граничных условий является импедансным.
Получены оценки локальной устойчивости решений экстремальных
задач мультипликативного управления.
31
Список используемых источников
1. Angell T.S., Kirsch A. The conductive boundary condition for the
Maxwell's equations // SIAM. J. Appl. Math. 1992. V. 52. P. 1597-1610.
2. Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering
theory. 2nd Edition. Springer-Verlag. Berlin. 1998.
3. Liu JJ, Nakamura G, Sini M. Reconstruction of the shape and surface
impedance from acoustic scattering data for an arbitrary cylinder // SIAM.
J. Appl. Math. 2006. V. 67, N 4. P. 1124-1146.
4. Никольский
В.В.
Электродинамика
и
распространение
волн.
М.:Наука, 1978. 544 с.
5. Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering
theory. 2nd Edition. Springer-Verlag. Berlin. 1998
6. Бризицкий Р.В., Савенкова А.С. Обратные экстремальные задачи для
уравнений Максвелла // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т.
50, № 6. С. 1038-1046.
7. Fernandes P., Gilardi G. Magnetostatic and electrostatic problemsin
inhomogeneous anisotropic media with irregular boundary and mixed
boundary conditions // Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 1997. V. 7. P. 957991.
8. Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В. Теоретический анализ экстремальных
задач граничного управления для уравнений Максвелла // Сибирский
журнал индустриальной математики. 2011. Т. 14, № 1. С. 3-16.
9. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.:
Наука.
10.Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.
11.Costable M., Dauge M. On resultat de densite pour les equations de
Maxwell regularisees dans un domain lipschitzien // C.R. Acad. Sci. Paris.
1998. V. 327. P. 849-854.
12.Nedelec
J.C.
Acoustic
and
electromagnetic
equations.
Integral
32
reprezentations for harmonic problems. Springer. 2001.
13.Бризицкий Р.В., Савенкова А.С. О регулярности решений одной
краевой задачи для уравнений Максвелла // Дальневост. мат. журн.
2009. Т. 9, N 1/2. С. 5-14.
14.Costabel M. A remark on the regularity of solutions of Maxwell's
equations on Lipschitz domains // Math. Meth. Appl. Sci. 1990. V. 12. P.
365-368.
15. Alonso A. and Valli A. Some remarks on the characterization of the
space of tangential traces of H(rot;) and the construction of the
extension operator // Manuscr. Math. 1996. V. 89. p. 159-178.
16.Buffa A., Costabel M., Sheen D. On traces for H(rot;) in Lipschitz
domains // J. Math. Anal. Appl. 2002. V. 276, N 2. P. 845-876.
17.Buffa A. Some numerical and theoretical problems in computational
electromagnetism. Thesis. 2000.
33