Алгоритмы приближенного решения математических задач гидродинамических процессов УДК 532.516.5

УДК 532.516.5
О.А. САВИНА, Е.А. МАШКОВ
Алгоритмы приближенного решения математических задач
гидродинамических процессов
Рассматривается задача неизотермического течения жидкости в канале неизменной геометрии. Для
разрешения математических трудностей, возникающих при нахождении поля давления, предлагается два
численных метода. Описаны реализующие их алгоритмы. Дается сравнение времени работы предложенных
методов с другими при решенииu гидродинамической задачи в пакете Maple 9.
Ключевые слова: численный алгоритм, гидродинамика, поле давления
The article is devoted to research of fluid flow in an unchanged channel. To resolve mathematical difficulties
encountered in finding pressure fields we offer 2 numerical methods. Their algorithms are shown in block diagrams.
The article is proposing a comparison of time working of these algorithms and other methods for solving the
hydrodynamic problems in Maple 9.
Keywords: numerical method, hydrodynamics, pressure field.
Решение задачи неизотермического течения жидкости в каналах с переменной
геометрией сопряжено с трудностями математического характера. Интеграл, входящий в
формулу давления, не имеет аналитического решения. Это, в свою очередь, затрудняет
нахождение из граничных условий параметра hm функции давления [1,3,5]. Так, решая
задачу течения жидкости в упругом канале, приходилось порядка 100 раз вычислять
упомянутый определенный интеграл численными методами [2, 4]. Это, несомненно,
оказывает существенное влияние на время расчета.
Данная статья предлагает алгоритмы, позволяющие решать описанные выше задачи
намного быстрее и эффективнее, чем другими возможными методами. Это достигается
благодаря тому, что интеграл, входящий в функцию давления, представляется аналитически,
а нахождение параметра hm осуществляется более быстрым способом. На примере
неизотермического течения жидкости в канале неизменной формы описываются заявленные
выше численные методы, как аналитически, так и в виде блок-схем.
Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости в тонком слое между двумя
поверхностями, длина которых значительно больше среднего зазора между ними (рисунок
1). Представленный на рисунке 1 канал состоит из двух поверхностей, образующих зазор.
Будем считать, что только верхняя пластинка неподвижна, а нижняя двигается со скоростью
U в направлении противоположном оси x . Зазор между поверхностями есть функция
одного аргумента h  h  x  .
Полагая, что hm - толщина смазочного слоя в том месте, где давление достигает
максимума можно получить следующие уравнения [5]:
dp 6U  hm 

 1
,
dx h 2 
h 
2
f 
h
dT
h  
4  6 m  3  m  
 Me
dx
hm h 
h
 h  

где
  1 f T  ,
Me 
21UA
,
g 1cv1
(1)
(2)
1 , 1 , cv - вязкость, плотность и теплоемкость жидкости при соответствующей температуре
1
T1 смазки, поступающей в зазор.
Условия течения жидкости описываются следующим образом:
при x  0 p  p0 ,
при x  r p  p0 .
(3)
Рисунок 1 Общая схема движения жидкости в упругом канале
Полагая, что зависимость вязкости от температуры происходит по следующему
закону:
A

T nst
имеем, что
n
 T  st
f   1  .
T 
Согласно (1),(2), (4), уравнение (1) можно выразить таким образом [5]:
x f
h 

p  x   6U 1 
1  m  dx .

2
h 
0h 
(4)
(5)
Интеграл в (5), зависящий от двух переменных x и hm , не решается аналитически.
Для его приближенного решения воспользуемся следующим алгоритмом.
Введем общее обозначение определенного интеграла с зависимостями
подынтегрального выражения Int от x и hm с пределами интегрирования от x0 до xn :
xn
S  S  x0 , xn , hm    Int  x, hm dx
(6)
x0
Исходя из определения определенного интеграла [4], как суммы площадей
составляющих площадь под кривой Int представим S из (6) таким образом:

S   Si  xi 1, xi , hm 
i 1
где
Si  xi 1, xi , hm  - площадь элементарной площадки.
Рассмотрим подробнее нахождение Si , а вместе с ними и S . Разобьем отрезок
x x
 x0 , xn  на  частей. Любая такая часть соответственно равна n  0 . Тогда любая i - ая
точка xi находится как
x x
(7)
xi  x0  n 0 i

Получаемое соответствующее значение подынтегральной функции Int  x, hm  из (6)
равно
(8)
yi  Int ( xi , hm )
где
i  0, 
Таким образом, у нас образуется последовательность точек M i  xi , yi  .
Возьмем две произвольные точки M i 1, M i и построим на них прямую, уравнение
которой следующее:
 x  xi 1 
Yi  
  yi  yi 1   yi 1
x

x
 i i 1 
Площадь под ней, а соответственно ее определенный интеграл равен

Si  Si  xi 1, xi , hm    Yi dx  

xi 1
xi
x
 i

yi  yi 1   x 2
   xyi 1   xyi 1 
xi  xi 1   2


xi 1
Тогда значение S из (6) приближенно равно:
xn

x0
i 1
S  S  x0 , xn , hm    Int  x, hm dx   Si  xi 1, xi , hm 
(9)
Таким образом, несмотря на то, что интеграл (6) не решался аналитически, его
приближенное аналитическое решение все равно было найдено. Разбивая подынтегральную
функцию в (9) более чем на 500 частей можно получить очень хорошее приближение с малой
относительной погрешностью.
В выражении (9) x0 и xn - есть пределы интегрирования, а hm некоторая
неизвестная, которую необходимо найти. Чтобы это сделать необходимо в выражении (5)
воспользоваться граничными условиями (3). Таким образом, из условия что p  r   p0
следует, что
r f
hm 

 2 1  h  dx  p0 .

0h 
Или же
r f
h 

Sk  
1  m  dx  p0  0.
(10)
2 
h 
0h
Если в (9) положить, что x0  0 , xn  r , а под Int  x, hm  понимать подынтегральную
функцию в (10), получим, что (10) можно переписать следующим образом:
(11)
Sk  Sk  hm   S  hm   p0
На рисунке 2 приводится блок схема описанного выше алгоритма приближенного
нахождения интеграла.
Рисунок 2, а - Блок–схема алгоритма нахождения приближенного определенного интеграла
(начало)
Рисунок 2, б - Блок–схема алгоритма нахождения приближенного определенного интеграла
(продолжение)
Задача нахождения hm переводится к задаче нахождения нуля аналитической
функции (11). Далее предлагается использовать метод, который позволяет находить нули
функций, даже если они заданы не аналитически, а алгоритмически.
Разобьем отрезок  h0 , hn  изменения переменной hm на произвольное количество 
частей.
h h
Необходимо искать значение Sk из (9) в каждой точке hi  h0  n 0 i пока знак

очередного Sk  hi  не будет отличаться от знака первого значения Sk  h0  . Если в i - ой
Sk  h0  Sk  hi   Sk  h0  Sk  hi 
точке
,
то
необходимо
на
точках
M i 1  hi 1, Sk  hi 1   , M i  hi , Sk  hi   строить прямую:
 hp h 
y   m i 1   Sk  hi   Sk  hi 1    Sk  hi 1 
 hi  hi 1 


(12)
где
hmp - некоторая независимая переменная.
Подставляя в (12) вместо y ноль и выражая hmp находим точку оси абсцисс в которой
прямая (12) ее пересекает:


 Sk  hi 1 
hmp  
h h
h
(13)
 S  h   S  h    i i 1  i 1
k i 1 
 k i
 
Если S k hmp  0 с принятой заранее погрешностью  равенства (11) нулю, можно
положить hm  hmp . Если нет, то отрезок  hi 1, hi  разбиваем на любое количество частей  и
проделываем описанные выше действия, до тех пор, пока для очередного hmp выполняется
 
S k hmp   . На рисунке 3 приводится блок схема описанного выше алгоритма.
Рисунок 3, а - Блок–схема алгоритм нахождения
Рисунок 3, б - Блок–схема алгоритм нахождения
hm (общий вид)
hm (инструкция A )
Найдя hm дающее в (11) тождество, необходимо произвести соответствующие
подстановки поставить в формулы содержащие hm . В первую очередь это нужно сделать в
(9), откуда получаем:
(14)
S  S x0 , x n 
Так как в (5) под x0 и xn понимаются 0 и x , то производя соответствующие
изменения (14) и учитывая (5) получаем готовую функцию поля давления:
(15)
p  x   6U 1S  0, x   6U 1S  x 
Как было сказано выше, нахождение давления (5), возможно не только описанным
выше путем, но и другим. В этом случае нахождения определенного интеграла
осуществляется методом трапеций, а нахождение hm - использованием метода половинного
деления. Ниже, в таблице 1, представлены результаты совместной работы представленных в
статье алгоритмов (способ № 1) и совместного использования метода трапеций и метода
повинного деления (способ № 2).
Таблица 1 – результаты реализации алгоритмов
№ способа
Общее время на реализацию (в сек).
1
20
2
45
Совместное использование предложенных в статье методов позволили найти
функцию давления (5), в аналитическом виде (15), что значительно упростило
вычислительные трудности решения
гидродинамической задачи. Описанные выше
алгоритмы пригодны не только для гидродинамических проблем, но и для широко класса
задач возникающих в других дисциплинах.
Работа подготовлена в рамках выполнения проекта №363 "Фундаментальные
принципы и теоретические основы наносмазки" государственного задания ФГБОУ ВПО
"Госуниверситет-УНПК".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Государственное издательство
технико-теоретической литературы, 1955. - 520 с.
2.
Тухфатуллин, Б.А. Численные методы расчета строительных конструкций. Метод конечных
элементов (теория и практика). Томск: Томский государственный архитектурно-строительный
университет, 2013. – 100 с.
3.
Кучеряев Б.В. Механика сплошных сред (Теоретические основы обработки давлением
композитных металлов). Учебник для вузов. М.: «МИСИС», 2000. - 320с.
4.
Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление. М.: Государственное издательство «Высшая
школа», 1961. – 479 с.
5.
Коровчинский М.В. Теоретические основы работы подшипников скольжения. М.:
Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы, 1959. – 404 с.
Савина Ольга Александровна
Государственный Университет – Учебно –Научно – Производственный Комплекс, г. Орел
Доктор экономических наук, профессор, зав. кафедрой информационных систем
Е-mail: [email protected]
Машков Евгений Александрович
Орловский Государственный Университет, г.Орел
аспирант кафедры геометрии и методики преподавания математики,
E-mail: [email protected]