Терешонок Красноярск 2015x

УДК 517.583
ФОРМУЛА МАКМЮЛЛЕНА И МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛОГ
𝜁-ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
Терешонок Е.Н.
научный руководитель канд. физ.-мат. наук Щуплев А.В.
В 1899 году австрийский математик Г. Пик получил формулу, которая
устанавливает связь между площадью целочисленного многоугольника (𝐴(𝑃)) с
количеством целых точек внутри многоугольника (𝐼) и количеством целых точек на его
границе (𝐵):
𝐵
𝐴(𝑃) = 𝐼 + − 1.
2
Непосредственное распространение данной формулы на случай высшей
размерности оказывается некорректным: для целочисленного тетраэдра в ℝ3 с вершинами
(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0,1, 0) и (1,1, 𝑟), 𝑟 ∈ ℕ нельзя выразить объём только через
целочисленные точки внутри него и на его границе [1].
К настоящему моменту многомерной версии формулы Пика для произвольного
целочисленного многогранника произвольной размерности не найдено. Существуют лишь
аналоги для многогранников частного типа или определенной размерности.
В 1995 году американские математики Р.Диаз и С.Робинс [2] получили новое
доказательство формулы Пика с использованием теоремы вычетов и -функции
Вейерштрасса:
1
1
1 𝑧
𝜁(𝑧) = +
∑
(
+ + 2) .
𝑧
𝑧−𝛾 𝛾 𝛾
𝛾∈(ℤ⊕iℤ)∖{0}
Обобщив их метод на случай высшей размерности, нами было получено
интегральное представление для разности между объемом целочисленного многогранника
и количеством целых точек внутри него и на его границе (теорема 1). В случае
многогранников с целочисленными гипергранями и призм эта формула обращается в
формулу Макмюллена (теорема 2).
Пусть Γ = (ℤ ⊕ iℤ)𝑛 — стандартная целочисленная решётка в ℂ𝑛 , обозначим через
𝜔(𝑧) (0, 𝑛 − 1)-дифференциальную форму
𝜔(𝑧) =
𝑛
∑𝑛
𝑘=1(−1) 𝑧̅ 𝑘 𝑑𝑧̅ [𝑘]
2 𝑛
(∑𝑛
𝑗=1|𝑧𝑗 | )
,
где 𝑑𝑧̅[𝑘] = 𝑑𝑧̅1 ∧ … ∧ 𝑑𝑧̅𝑘−1 ∧ 𝑑𝑧̅𝑘+1 ∧ … 𝑑𝑧̅𝑛 . Следуя [3], определим многомерный аналог
-функции Вейерштрасса:
𝑛
𝜕𝜔
𝜕𝜔
(𝛾)𝑧𝑖 +
(𝛾)𝑧̅𝑖 )),
𝜁(𝑧) = 𝜔(𝑧) + ∑ (𝜔(𝑧 − 𝛾) + 𝜔(𝑧) + ∑ (
𝜕𝑧
𝜕𝑧̅
𝑖
𝑖
′
′
𝛾∈Γ
𝑖=1
где Γ = Γ\{0}. Этот ряд сходится абсолютно и равномерно на компактных
подмножествах ℂ𝑛 \Γ. Поскольку с помощью этой формы мы хотим вычислять Γинвариантные характеристики целочисленных многогранников, а коэффициенты формы
𝜁(𝑧) не Γ-инвариантны, мы подправляем это.
Лемма [4]. Существует (0, 𝑛 − 1) дифференциальная форма 𝑙(𝑧) с линейными
коэффициентами такая, что 𝜏(𝑧) = 𝜁(𝑧) − 𝑙(𝑧) — Γ-инвариантна.
Пусть 𝐷 — область в ℂ𝑛 с кусочно-гладкой границей. Обозначим через Vol(𝐷)
объём области 𝐷, 𝐼 — количество целых точек внутри 𝐷. Если 𝑧0 ∈ 𝜕𝐷, то телесным углом
𝐷 в точке 𝑧0 называется угол, образованный касательным конусом к 𝐷 в 𝑧0 . Значение
такого телесного угла Θ𝑧0 можно вычислить как предел:
lim Vol{𝑆(𝑧0 , 𝜀) ∩ 𝐷}
Θ𝑧0 = ε→+0
,
Vol(𝑆(𝑧0 , 𝜀))
где 𝑆(𝑧0 , 𝜀) — сфера радиуса 𝜀 с центром в точке 𝑧0 .
𝜁-форма Вейерштрасса наследует свойство ядра Бохнера-Мартинелли, поэтому
интеграл,
(𝑛 − 1)!
∫ 𝜏(𝑧)𝑑𝑧
(2𝜋𝑖)
𝜕𝐷
даёт количество особенностей подынтегрального выражения внутри 𝐷, то есть число
целых точек 𝐼.
Теорема 1 [5, Theorem 3.1].
Пусть 𝐷 — область в ℂ𝑛 с кусочно-гладкой
границей 𝜕𝐷, тогда
𝐼 − Vol(𝐷) +
∑
𝛩𝑧0 =
𝑧0 ∈𝛤∩𝜕𝐷
(𝑛 − 1)!
∫ 𝜏(𝑧)𝑑𝑧.
(2𝜋𝑖)n
𝜕𝐷
Замечание. Заметим, что теорема 1 верна лишь для четномерных действительных
пространств ℝ2𝑛 = ℂ𝑛 . В случае, если 𝐷𝑛 . — область в пространстве ℝ𝑛 переменных 𝑥 =
(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ), 𝑛 — нечётное, «расширим» область действительными переменными 𝑦 =
(𝑦1 , … , 𝑦𝑛 ). Отождествим пространство ℝ2𝑛 от переменных (𝑥, 𝑦) с пространством ℂ𝑛
1 1
переменных 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, и рассмотрим область 𝐷2𝑛 = {𝑧: 𝑥 ∈ 𝐷𝑛 , 𝑦𝑗 ∈ [− 2 , 2] , 𝑗 ∈ ̿̿̿̿̿
1, 𝑛}.
Применим теорему к области 𝐷2𝑛 :
𝐼2𝑛 − Vol(𝐷2𝑛 ) +
∑
𝛩𝑧0 ,𝐷2𝑛 =
𝑧0 ∈𝛤∩𝜕𝐷2𝑛
(𝑛 − 1)!
∫ 𝜏(𝑧)𝑑𝑧.
(2𝜋𝑖)n
𝜕𝐷2𝑛
Объёмы областей 𝐷2𝑛 и 𝐷𝑛 численно равны, область 𝐷2𝑛 имеет те же целочисленные
точки, что и 𝐷𝑛 . Поэтому 𝐼2𝑛 = 𝐼𝑛 , равенство 𝛩𝑧0 ,𝐷2𝑛 = 𝛩𝑧0 ,𝐷𝑛 очевидно.
Формулу из теоремы 1 можно применить к вычислению объёмов целочисленных
политопов через целочисленные точки внутри него и на его границе.
Теорема 2 [5, Theorem 4.2]. Если 𝐷 — многоранник с центрально-симметричными
гипергранями, тогда
Vol(𝐷) = 𝐼 + ∑ Θj .
𝑗
Замечание. Формула из теоремы 2 имеет место для любого целочисленного
многогранника, гиперграни которого центрально симметричны или он имеет пару граней,
которые различаются на целочисленный вектор. Например, многомерная призма — такой
многогранник.
Список литературы
1. Reeve, J.E. On the volume of lattice polyhedra / J.E. Reeve // Proc. London Math.
Soc. — 1957. — №7. — P. 378-395.
2. Diaz, R. Pick’s formula via the Weierstrass ℘-function / R. Diaz, S. Robins // Am.
Math. Monthly. — 1995. — Vol. 102. — №5. — P. 431-437.
3. Zappa, P. Sulle classi di Dolbeault di tipo (0, 𝑛 − 1) con singolarita in un insieme
discreto / P. Zappa // Atti Accad. Naz. Lincei. — 1983. — №6. — P. 81-95.
4. Tereshonok, E.N. A multidimensional analog of the Weierstrass 𝜁-function in the
problem of the number of integer points in a domain // E.N. Tereshonok, A.V.
Shchuplev // J. of Siberian Federal University. Math. & Physics. — 2012. — №5. —
P. 480-484.
5. Tereshonok, E.N. McMullen's formula and a multidimensional analog of the
Weierstrass ζ-function / E.N. Tereshonok // Complex variables and elliptic equations
(to appear).