Применение нечеткой логики для анализа рисков

Фиронова Елена, магистр ГУ ВШЭ. Работа 2006-2007 годов
Применение нечеткой логики для анализа рисков
инвестиционных проектов
Тщательная проработка и учет рисков стала неотъемлемой частью и важной
составляющей успеха деятельности каждой компании. Однако все чаще компаниям
приходится принимать решения в условиях неопределенности, которые могут привести к
непредвиденным последствиям и, соответственно, нежелательным исходам и убыткам.
Особенно серьезные последствия могут иметь неправильные решения относительно
долгосрочных инвестиций, которые обычно подразумеваются при оценке инвестиционных
проектов. Поэтому своевременное выявление, а также адекватная и наиболее точная
оценка рисков является одной из насущных проблем современного инвестиционного
анализа.
К сожалению, существующие на сегодняшний день методы учета и оценки рисков
не лишены субъективизма и существенных предпосылок, приводящих к неправильным
оценкам риска проектов. Теория нечеткой логики – это новый, динамично развивающийся
подход к оценке риска. В последнее время нечеткое моделирование является одной из
наиболее активных и перспективных направлений прикладных исследований в области
управления и принятия решений.
В данной работе представлены:
Определение риска и неопределенности,
обоснование необходимости применения новых подходов к анализу риска,
краткое описание метода нечеткой логики,
примеры применения нечеткой логики
Необходимо разделять понятия «риск» и «неопределенность».
Неопределенность:
 ситуация, при которой возможны многие исходы, но при которых результаты
действий не являются детерминированными, т.е. их вероятности неизвестны. (Франк
Найт)
Риск:
 ситуация, в которой существует конечное число исходов при известных вероятностях
для каждого из них (Ф. Найт)
 возможность появления обстоятельств, обусловливающих неуверенность или
невозможность получения ожидаемых результатов от реализации поставленной цели;
(www.glossary.ru)
 вероятность потерь, или вероятность получить результат, отличный от ожидаемого;
(wikipedia.org)
Итак, риск – это субъективная оценка объективной неопределенности. Если
неопределенность – неустранимое качество рыночной среды, то риск – это численная
характеристика возможности потерь.
Риск инвестиционного проекта:
 возможность отклонения будущих денежных потоков по проекту от ожидаемого
потока, обусловленная как внешними (законодательство, реакция рынка на
выпускаемую продукцию, действия конкурентов), так и внутренними факторами
(компетентность персонала фирмы, ошибочность определения характеристик
проекта), возникающими вследствие неполноты и асимметрии информации.
1. Основные методы учета рисков при анализе инвестиционных проектов.
Качественный анализ
Цель методов:
выявление конкретных видов риска проекта, которые оказывают влияние на
формирование потока наличности, а также возможных причин их возникновения.
Методы:
Экспертных оценок, аналогий.
«+»:
 Наглядность результатов;
 Выявленные риски могут быть использованы для получения рекомендаций по их
минимизации.
«-»:
 нет числовой оценки рисков
Количественный анализ
Цель методов:
присвоить рискам определенную количественную характеристику, показать, как
какие численные последствия для проекта повлекут те или иные риски.
Мера риска:
дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации ежегодного денежного
потока инвестиционного проекта и др.
a. Анализ чувствительности
Цель:
определение чувствительности
изменении каждой переменной.
критерия
при
«последовательно-единичном»
«+»:
 простота в применении;
 наглядность результатов
«-»:
 допущение изменения только одного из факторов, в то время как остальные
считаются неизменными.
b. Сценарный анализ.
Цель:
определения риска неэффективности
отрицательных значений NPV проекта.
«+»:


«-»:


проекта
как
сумма
вероятностей
простота в применении;
наглядность результатов
субъективизм в присвоении вероятностей каждому из рассматриваемых сценариев;
не охватывает все возможные варианты и сценарии развития проекта.
c. Имитационное моделирование. (Метод Монте-Карло)
Цель:
множеством итераций получить распределение доходности проекта, т.е. множество
значений NPV, для которых рассчитывается среднее, а также величина риска.
«+»:
 Дает более точную и четкую оценку рискам проекта
 удачно сочетается с другими экономико-статистическими методами, а также с
теорией игр и другими методами исследования операций [6]
«-»:
 базируется на серьезных допущениях:
a. взаимонезависимость переменных (их некоррелированность)
b. нормальное распределение
 сложность и громоздкость вычислений
2. Теория Нечеткой Логики (FUZZY LOGIC)
Теория нечеткой логики (или теория нечетких множеств, или Fuzzy Logic) – новый подход
к описанию бизнес-процессов, в которых присутствует неопределенность, затрудняющая и
даже исключающая применение точных количественных методов и подходов.
Начало:
Теория нечетких множеств (fuzzy sets theory) ведет свое начало с 1965г., когда
профессор Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) из университета Беркли опубликовал
основополагающую работу “Fuzzy Sets” в журнале “Information and Control”.
Основные этапы формирования:
1. этап формирования основных теоретических постулатов (1965 – начало 80-х гг.);
 Zadeh L.A. (1965, 1973)
 Dubois D., Prade H. (1979, 1980) – операции над нечеткими числами
2. этап практических разработок в различных областях жизни, основанных на нечеткой
логике; рождение нового научного направления в рамках нечеткой логики «Fuzzy
Economics» (1973 – начало 90-х гг.);
 Buckley, J. (1987,1992) - «Решение нечетких уравнений в экономике и
финансах» и «Нечеткая математика в финансах» [16]
 Kosko, Bart. (1993) - доказана основополагающая FAT-теорема (Fuzzy
Approximation Theorem), подтвердившая полноту нечеткой логики
 И многие другие
3. этап массового использования продукции, в основе работы которых лежит нечеткая
логика (1995 – наше время).
 48 японских компаний образовали совместную лабораторию LIFE (Laboratory
for International Fuzzy Engineering – Международная лаборатория разработок,
основанных на нечеткой логике)
4. огромный вклад в развитие направления Fuzzy Logic в России в последние годы:
 Недосекин А.О., Воронов К.И., Максимов О.Б., Павлов Г.С., Фролов С.Н. [11]
Основное отличие метода:
Введение лингвистических переменных (субъективных категорий)
Лингвистические переменные – переменные, которые нельзя описать с помощью
математического языка, т.е. им сложно придать точную (объективную) количественную
оценку. Например, понятия «малый» и «средний» (говоря о бизнесе), «высокая» или
«низкая» (о процентной ставке) не имеют четкой границы и не могут быть представлены
точным математическим описанием.
Согласно Л. Заде, лингвистической переменной называется такая переменная, значениями
которой являются слова или предложения естественного языка.
В литературе нечетких множеств лингвистические переменные также называют терммножествами (от англ. term – называть). [14]
Пример 1
Часто, для получения интегральной оценки риска недостаточно только значений изменения
цены, спроса и других количественных переменных. Необходимо также учитывать и
многие качественные переменные, как например, сила конкурентов, грамотность
менеджмента, погодные условия (особо актуально для строительных проектов). Так, для
получения численной оценки лингвистической переменной «условия для проведения
строительных работ» зададим интервал значений оценки от 0 до 10, где 0 – самые суровые
условия, мешающие процессу проведения работ. На основе здравого смысла и экспертных
оценках, можно утверждать, что если работы планируется вести в жилой зоне (где
повешенные риски) и в условиях отсутствия подготовительных работ, то ее оценка будет
колебаться от 0 до 3 баллов, что будет означать суровые условия строительных работ. Если
же строить здание планируется на уже подготовленной к работе площадке, в условиях
сухой местности и вдали от жилых домов, то оценки переменной будут принимать
значения от 7 до 10 баллов, что означает благоприятные условия строительных работ.
Переменная примет значения в интервале от 3 до 7 баллов, если погодным условиям будут
присущи как способствующие, так и препятствующие строительству характеристики.
Данные баллы присваиваются либо оценщиками, либо группой экспертов, непосредственно
привлекаемых к процессу анализа инвестиционного проекта.
Пример 2
Еще одним примером оценки лингвистической переменной может служить нечеткость
границы переменной «низкая процентная ставка». Какая ставка процента по кредиту
считается низкой? Ответ на этот вопрос может искаться путем его постановки для
множества экспертов. Так, основываясь на здравой логике, могут быть получены ответы,
например, что ставка по кредиту менее 7% - низкая, от 8 до 15% - средняя, а от 16 и выше высокая. Следовательно, границы между этими представлениями – нечеткие, размытые, и
понятие «низкая стоимость кредита» является субъективной оценкой.[26]
Основной инструмент метода:
функция принадлежности
Функция принадлежности - инструмент перевода лингвистических переменных на
математический язык для дальнейшего применения метода нечетких множеств.
Функцией принадлежности  A (X ) является некая математическая функция, задающая
степень или уверенность, с которой элементы некоторого множества X принадлежат
заданному нечеткому множеству А. Чем больше аргумент x соответствует нечеткому
множеству А, тем больше значение  A (X ) , т.е. тем ближе значение аргумента к 1.
Основанием для построения функции принадлежности могут служить экспертные оценки.
Пример 3 (продолжение примера 2)
Рис.1. Функция принадлежности для переменной «высокая ставка процента».
На рисунке 1 изображена функция принадлежности для переменной «высокая ставка
процента», где по оси Х располагаются значения ставки процента, а по оси У – значения
функции принадлежности для терм-множества «высокий процент». Поскольку значения от
16% и выше были признаны экспертами как высокая ставка процента, то функция
принадлежности принимает значение 1, что соответствует истинности принадлежности
процента терм-множеству «высокий процент». При значениях процента от 0 до 7% (т.е.
низкая ставка процента) значение функции принадлежности равно нулю. В промежутке от
7 до 16% функция принадлежности монотонно возрастает, тем самым, повышая
достоверность высказывания при приближении значений процента к 16%.
Виды функций принадлежности.
Основные виды функций принадлежности:





треугольные,
трапециевидные,
кусочно-линейные,
распределения Гаусса,
сигмоидные.
Методы построения функций принадлежности.
Выделяют две группы методов построения по экспертным оценкам функций
принадлежности нечеткого множества  A (X ) : прямые и косвенные методы [3].
Прямые методы характеризуются тем, что эксперт непосредственно задает правила
определения значений функции принадлежности  A (X ) , характеризующей элемент х.
Примерами прямых методов являются непосредственное задание функции принадлежности
таблицей, графиком или формулой. Недостатком этой группы методов является большая
доля субъективизма.
В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом,
чтобы удовлетворить заранее сформулированным условиям. Экспертная информация
является только исходной информацией для дальнейшей обработки. К группе данных
методов можно отнести такие методики построения функций принадлежности, как
построение функций принадлежности на основе парных сравнений, с использованием
статистических данных, на основе ранговых оценок и т.д.
Предпосылки для анализа с помощью метода нечеткой логики.
Поскольку теория нечетких множеств – отдельный раздел математики, то он базируется на
своих предпосылках.
В работе Л. Заде и Р. Беллмана указаны основные свойства, которыми должны обладать
нечеткие множества:
a. Нормальность.
b. Унимодальность.
c. Выпуклость.
3. Применение метода нечеткой логики для анализа инвестиционных проектов
 Треугольный вид функции принадлежности - самый часто используемый в практике
анализа инвестиционных проектов.
 Треугольное число А задается с помощью трех параметров: минимальное значение (a),
модальное (b) и максимальное (c), P  ( a, b, c) , что соответствуют пессимистическому,
базовому и оптимистическому сценариям.
Рис.2 Вид треугольной функции принадлежности.
Математически треугольный вид функции принадлежности можно описать, как
P1  (m1 , n1 )  (a1    (b1  a1 ), c1    (b1  c1 )) , где при любом  функция
принадлежности  A (X ) принимает значения m  a    (b  a) , а n  c    (b  c) .
Основные операции над нечеткими множествами.
1. Сложение. P1  P2  C  (m, n) , где m  m1  m2 , n  n1  n2 .
2. Умножение. P1  P2  C  (m, n) , где m  m1  m2 , n  n1  n2
3. Деление. P1 / P2  C  (m, n) , где m  m1 / n2 , n  n1 / m2 , если P1 , P2 положительны,
и m  m1 / m2 , n  n1 / n2 , если P1 отрицательно [8].
Оценка риска на основе интегральной оценки риска V&M (Воронова и Максимова)[10]
Рассмотрим любой инвестиционный проект, в котором NPV можно свести к треугольному
числу NPV  NPV1 , NPV , NPV2 ,
где NPV1 - чистый денежный доход (ЧДД) при оптимистическом сценарии;
NPV2 - ЧДД при пессимистическом сценарии;


NPV - ожидаемый ЧДД.
G - критерий эффективности проекта (обычно принимается равным нулю).
Проект признается прибыльным, если NPV больше заданного инвесторами критерия G .
Определив крайние значения ЧДД, можно описать функцию принадлежности:


NPV1   NPV  NPVmin  NPVmin

NPV2  NPVmax   NPVmax  NPV

1
V & M *    *  d , (*)
0
0,
G  NPV1

 G  NPV1
Где  *    
,
NPV1  G  NPV2 .
 NPV2  NPV1
1,
NPV2  G
Взяв интеграл, можно преобразовать вышеприведенные уравнения к виду:
G  NPVmin
0,

 R  1  1  1 ln 1   ,
NPVmin  G  NPV
1 
 

1

V & M*  
1  1  R   1  1  1 ln 1   ,
NPV  G  NPVmax
1 


1



1,
NPVmax  G
 G  NPVmin
, G  NPVmax

где
R   NPVmax  NPVmin
1,
NPVmax  G

G  NPVmin
0,
 G  NPV
min

,
NPVmin  G  NPV
 NPV  NPVmin
1  
 NPVmax  G ,
NPV  G  NPVmax
 NPVmax  NPV

NPVmax  G
0,
(**),
Оценка V & M :
 принимает значения от 0 до 1
 каждый инвестор, исходя из своих инвестиционных предпочтений, может
классифицировать значения V & M , выделив для себя отрезок неприемлемых
значений риска.
Преимущества метода:
 на основе теории нечетких множеств формируется полный спектр возможных
сценариев инвестиционного процесса;
 решение принимается не на основе двух оценок эффективности проекта, а по всей
совокупности оценок;
 ожидаемая эффективность проекта не является точечным показателем, а представляет
собой поле интервальных значений со своим распределением ожиданий,
характеризующимся функцией принадлежности соответствующего нечеткого числа.
Пример. [26]
Рассмотрим инвестиционный проект со следующими показателями:

Проект будет осуществляться в течение трех лет, t=3;

Размер стартовых инвестиций известен точно и составляет I = 2 млн. рублей;

Ставка дисконтирования может колебаться в пределах от 10% до 20% годовых;

Чистый денежный поток планируется в диапазоне от CFmin = 0 до CFmax = 2 млн.
рублей;

Остаточная (ликвидационная) стоимость проекта равна нулю.
Применим метод нечеткой логики для анализа риска.
0
0
0


 2
1
2
(1  0,2)
(1  0,2)
(1  0,2) 3
2
2
2
NPVmax  2 


 2,97
1
2
(1  0,1)
(1  0,1)
(1  0,1) 3
Т.к. CFav  1 млн. , Rav  15% , то NPVav  0,28 .
Следовательно, NPVmin  2 
 NPV
1
 NPV
-2
0,28
2,97
NPV
Рис. 3
Т.о. треугольное число для рассматриваемого проекта NPV   2, 0,28, 2,97  .
Т.к. NPVmin  G  0  NPV , то по формуле (**):
1  0,8759 , R  0,402 , V & M *  0,283 .
Риск-менеджер может самостоятельно установить шкалу неприятия риска, в зависимости
от дополнительных параметров проекта и своих предпочтений.
Используя следующую градацию:
Таблица 1. [23]
V &M
Степень риска
Решение компании относительно
инвестирования
Точно принять проект
0 – 0,07
Очень низкая
0,07 – 0,15
низкая
0,16 – 0,35
средняя
Принять, но с осторожностью и
последующим мониторингом
Принять с ограничениями
0,36 – 0,4
высокая
Отклонить и пересмотреть проект
Очень высокая
Отказаться с уверенностью
> 0,40
можно сказать, что риск данного инвестиционного проекта средний.
4. Применение метода нечеткой логики с помощью пакета MATLAB.
Говоря о нечеткой логике, чаще всего имеют в виду системы нечеткого вывода, которые
лежат в основе различных экспертных и управляющих процессах. Основными этапами
нечеткого вывода являются:
1. Формирование базы правил системы нечеткого вывода.
2. Фаззификация входных параметров.
3. Агрегирование.
4. Активизация подусловий в нечетких правилах продукций.
5. Дефаззификация [8].
Данная схема относится к алгоритму нечеткого вывода Мамдани, который один из первых
нашел применение в системах нечетких множеств [14].
Опуская математические подробности теорий нечетких множеств, рассмотрим основные
особенности каждого из этих этапов, основные из которых изображены на примере
рисунка 7.
Рассмотрим модель, состоящую из трех параметров, где «А» и «В» - входные переменные,
а «С» - выходная. Причем, каждая из переменных может принимать соответствующие
значения, т.е. обладает своим лингвистически задаваемым терм-множетсвом, т.е.
A  { A1 , A2 , A3 } , B  {B1 , B3 } , C  {C1 , C 2 , C3 } . В свою очередь для каждого из терммножеств задается функция принадлежности. Задача нечеткого вывода для данного
примера является определение числового значения для выходной переменной С.
Рис.4. Этапы нечеткого вывода [17]
 Формирование базы правил системы нечеткого вывода
Процесс формирования базы правил нечеткого вывода представляет собой формальное
представление эмпирических знаний эксперта в той или иной проблемной области.
Наиболее часто база правил имеет вид структурированного текста:
Правило_1: Если «Условие_А1» или «Условие_В1» ТО «Следствие_С1»
Правило_2: Если «Условие_ А2» или «Условие_В2» ТО «Следствие_ С2»
…
Правило_n: Если «Условие_ Аn» или «Условие_Вn» ТО «Следствие_ Сn»,
где «Условие_А1», «Условие_ А2», …, «Условие_ Аn» и «Условие_В1», «Условие_В2», …,
«Условие_Вn» - входные лингвистические переменные,
«Следствие_C1», «Следствие_ C2», …, «Следствие_ Cn» - выходные лингвистические
переменные.
Следует отметить, что входные и выходные лингвистические переменные считаются
определенными, если для них заданы функции принадлежности. Так, на рис.4 изображен
этап формирования трех групп правил (этапы 1-3), где для каждой из переменных заданы
функции принадлежности.
 Фаззификация входных параметров
Фаззификацией, или введением нечеткости, называется процесс нахождения функции
принадлежности нечетких множеств на основе обычных исходных данных. На данном
этапе устанавливается соответствие между численным значением входной переменной
системы нечеткого вывода и значением функции принадлежности соответствующей ей
лингвистической переменной. Для примера на рис.4 группой экспертов входная переменная
«А» была оценена в 3 балла по 10-балльной шкале, а переменная «В» – в 8 баллов. Причем
оценка в 0 баллов показывает «низкое» качество переменной (например, плохое качество
продукции, низкая репутация команды), а оценка в 10 баллов – «превосходные»
характеристики описываемого параметра (например, выгодные условия кредитования,
высокая конкурентоспособность товаров).
 Агрегирование
Целью данного этапа является определение степени истинности каждого из подзаключений
по каждому из правил систем нечеткого вывода. Далее это приводит к одному нечеткому
множеству, которое будет назначено каждой выходной переменной для каждого правила. В
качестве правил логического вывода обычно используются операции min (минимум) или
prod (умножение). В логическом выводе с помощью функции min принадлежность выводу
«отсекается» по высоте, соответствующей степени истинности предпосылки правила
(нечеткая логика «И») (см. рис.4).
 Активизация подусловий в нечетких правилах продукций
Нечеткие подмножества, назначенные для каждой выходной переменной, объединяются
вместе, чтобы сформировать одно нечеткое подмножество для каждой переменной.
 Дефаззификация
Полученные результаты всех выходных переменных на предыдущих этапах нечеткого
вывода преобразуются в обычные количественные значения каждой из выходных
переменных. Дефаззификация нечеткого множества C 

A
( x) / x
по методу центра
[ x; x ]
x
тяжести осуществляется по формуле c 
 x
A
( x)dx
x
[14].
x

A
( x)dx
x
Физическим аналогом этой формулы является нахождение центра тяжести плоской фигуры,
ограниченной осями координат и графиком функции принадлежности нечеткого множества.
Результаты дефаззификации путем нахождения центра фигуры изображены на рис.5.
Рис. 5. Результаты дефаззификации
ПРИМЕР 1
Рассмотрим наглядный пример, иллюстрирующий применение метода. [17]
Представим, что Вы после рабочего дня Вы проголодались и решили зайти поужинать в
кафе. Допустим, что Вы выбрали первое кафе на улице, которые Вам понравилось, но у Вы
не обладаете никакой информацией, насколько вкусно там готовят и хороший ли там
сервис обслуживания. Т.е. выбор данного кафе связан с неопределенностью. Предположим
также, что степень своей удовлетворенности от кафе Вы будете выражать в размере чаевых,
которые колеблются в интервале от 0 до 25% от счета заказа. Будем полагать, что щедрость
чаевых будет зависеть от двух факторов, которые обозначим как:
1. качество еды (т.е. насколько еда была хорошо приготовленной, свежей и пр.),
которое будет оцениваться, как:
 вкусно,
 невкусно1
2. качество обслуживания (т.е. насколько быстро был оформлен заказ, был ли чистым
стол и пр.), оцениваемое по шкале:
 отличное;
 среднее;
 плохое.
Пусть по итогам посещения кафе, Вы пришли к выводу, что еда была достаточно хорошей,
а вот сервис был на низком уровне, т.е. плохим.
Возникает вопрос – сколько же дать чаевых официанту в зависимости от выбранных
параметров? И как включить количественную оценку данных параметров в решение
задачи? Ни качество еды, ни качество сервиса нельзя явно представить в количественном
виде, т.к. понятия «вкус» и «сервис» - субъективные категории. В данной ситуации
воспользуемся методом нечеткой логики.
Алгоритм
Решим данную задачу с помощью программного продукта MATLAB с использованием
приложения FuzzyTech. Воспользуемся алгоритмом нечеткого вывода Мамдани для
спецификации условий данной задачи.
1. Формирование базы правил системы нечеткого вывода.
На основе здравого смысла и, в данном случае, нашей экспертной оценки,
сформулируем когнитивные правила:
a. Если «сервис» «плохой» или «еда» «плохая», то «чаевые» «маленькие»;
(If service is poor or the food is rancid, then tip is cheap)
b. Если «сервис» «хороший», то «чаевые» «средние»;
(If service is good, then tip is average)
c. Если «сервис» «отличный» и «еда» «вкусная», то «чаевые» «высокие».
(If service is excellent or food is delicious, then tip is generous)
Итак, «сервис» и «еда» - входные переменные, а «чаевые» - выходная переменная.
2. Фаззификация входных параметров.
1
Здесь рассматривается только 2 оценки еды: либо вкусно, либо невкусно, т.е. «третьего не дано».
На данном этапе необходимо провести фаззификацию входных параметров, или
описание каждого из терм-множеств (лингвистических переменных) с помощью
функции принадлежности.
Будем оценивать выбранные параметры («еда» и «сервис») по 10-балльной шкале, где 0
соответствует самому низкому качеству, как еды, так и сервиса, а 10 – наивысшему. В
соответствии с условием примера, еда была оценена как «достаточно хорошей».
Следовательно, параметру «еда» может быть присвоена оценка 8 по 10-балльной шкале.
Для переменной «сервис» - оценка 3, т.к. он был оценен как «плохой». Значение
функции принадлежности лежит в интервале от 0 до 1, где 1 – полное соответствие
истинности высказывания, а 0 – полное ее отсутствие.
Так, например, фаззификация входной переменной «вкусная еда» представлено на
рис.6.
Рис.6. Фаззификация входной переменной.
Таким же образом описывается каждая из входных переменных, а также для каждого из
обозначенных в пункте 1 правил (Рис. 7).
Рис. 7. Фаззификация входных переменных.
Как показано на Рис.7, на основе оценок, присвоенных нами входным параметрам,
результатом дефаззификации стала оценка в 0,7.
3. Агрегирование.
Рис. 8. Агрегирование и активизация
На данном этапе, используя операторы min (минимум) или prod (умножение), определяем
выходные множества для каждого из правил путем «отсечения» по высоте каждого из
выходных множеств.
4. Активизация подусловий в нечетких правилах продукций.
Нечеткие подмножества, назначенные для каждой выходной переменной, объединяются
вместе, чтобы сформировать одно нечеткое подмножество для каждой переменной.
5. Дефаззификация
На основе правила нахождения центра тяжести фигуры, а также при помощи программы
МАТLAB, находим выходное значение искомой переменной «чаевые». Таким образом,
16,7% от счета следует оставить официанту в качестве денежного вознаграждения.
Необходимо отметить, что данное значение получено с учетом предпосылок модели и
выбранных экспертами видов функций принадлежности.
Рис. 9 Результат дефаззификации.
ПРИМЕР 2
Оценка внешнего риска (off-site Риск) с помощью метода нечеткой логики. Данный пример
представляет собой мониторинг и оценку рисков текущей (операционной) деятельности
предприятия.
 Источник примера: статья Mahant, Narendra. “Risk Assessment is Fuzzy Business
– Fuzzy Logic Provides the Way to Assess Off-site Risk from Industrial Installations”.
Risk 2004. 2004. No. 206. [18]
В статье Mahant, Narendra, “Risk Assessment is Fuzzy Business – Fuzzy Logic Provides the
Way to Assess Off-site Risk from Industrial Installations” (2006) рассматривается завод, на
территории которого хранится хлор. На заводе внедрена система безопасности
жизнедеятельности (Safety Management System, SMS), однако она не всегда отражает
полную и точную информацию, поэтому всегда существует риск утечки хлора и,
соответственно, последствия влияния на здоровье и жизнь людей. Если утечка хлора
произошла непосредственно из резервуара, то этот вид риска характеризуется как внешний
риск, поскольку он уже не может быть устранен в случае происшествия и его последствия
сложно контролировать.
Менеджеры ставят перед собой задачу оценить риск операционной деятельности завода на
жизнедеятельность сотрудников и жителей территории, расположенной вблизи от завода.
Решение поставленной задачи осуществляется с помощью методов нечеткой логики. В
качестве входных переменных системы нечеткого вывода были рассмотрены:
 надежности системы безопасности жизнедеятельности;
 последствия от утечки хлора.
Для оценки первой из входных переменных экспертом была составлена таблица критериев
надежности системы безопасности жизнедеятельности, в соответствии с которой группа
экспертов оценивала ее на рассматриваемом заводе.
Таблица 2.
Надежность
Низкая (Inadequate)
Средняя (Good)
Высокая (Excellent)
Критерий
Система не отвечает
необходимым
условиям
безопасности, нет тренингов для персонала по технике
безопасности и пр.
Система, в целом, отвечает требованиям безопасности,
но нет достаточной подготовки персонала.
Система, которая полностью интегрирована в процесс
деятельности предприятия, персонал ознакомлен
системой.
Шкала от 0 до 100
25-44
45-75
>75
Оценка второй входной переменной основана на анализе давления (концентрации) хлора в
резервуаре. Для этого экспертами опять же была составлена таблица категорий «суровости»
последствий в случае утечки хлора.
Таблица 3.
Категория
Критерий
Категория 1
Концентрация хлора не превышает 50 PPM и в случае утечки не принесет
вреда людям.
Концентрация хлора может достигать на короткие промежутки времени
100 PPM и в случае утечки лишь с малой вероятностью принесет лишь
незначительные повреждения.
Концентрация хлора не превышает 100 PPM и в случае утечки принесет
лишь незначительные повреждения.
Концентрация хлора не превышает 200 PPM и в случае утечки принесет
повреждения людям с низкой вероятностью смертельного исхода.
Категория 2
Категория 3
Категория 4
Шкала от 0 до
100
0 – 12
12 – 37
37 – 62
62 – 87
Категория 5
Концентрация хлора превышает 200 PPM и в случае утечки с высокой
вероятностью (допустим, 50%) приведет к смертельному исходу.
87 – 100
Выходная переменная «риск» операционной деятельности была оценена по следующим
параметрам:
Таблица 4.
Категория риска
Очень высокий
Высокий
Умеренный
Низкий
Очень низкий
Критерий
Высока вероятность смертельных исходов на заводе и прилегающей
территории;
Низкая вероятность смертельных исходов, но высокая вероятность
вредя для здоровья;
Остается вероятность легких повреждений для здоровья.
Нет риска смерти или вреда для здоровья.
Полное отсутствие риска для резидентов.
Для формирования системы нечеткого вывода были сформулированы 12 правил:
1. Если <Последствия утечки соответствуют Категории 5> и <НАДЕЖНОСТЬ SMS Низкая> then
<Риск Очень высокий>
2. Если <Последствия утечки соответствуют Категории 5> и <НАДЕЖНОСТЬ SMS Средняя >
тогда <Риск Высокий>
3. Если <Последствия утечки соответствуют Категории 5> и <НАДЕЖНОСТЬ SMS Высокая>
тогда <Риск Умеренный>
4. Если <Последствия утечки соответствуют Категории 4> и <НАДЕЖНОСТЬ SMS Низкая>
тогда <Риск Высокий>
5. Если <Последствия утечки соответствуют Категории 4> и <НАДЕЖНОСТЬ SMS Средняя>
тогда <Риск Умеренный>
6. Если <Последствия утечки соответствуют Категории 4> и <НАДЕЖНОСТЬ SMS Высокая>
тогда <Риск Низкий>
7. Если <Последствия утечки соответствуют Категории 3> и <НАДЕЖНОСТЬ SMS Низкая>
тогда <Риск Умеренный>
8. Если <Последствия утечки соответствуют Категории 3> и <НАДЕЖНОСТЬ SMS Средняя>
тогда <Риск Низкий>
9. Если <Последствия утечки соответствуют Категории 3> и <НАДЕЖНОСТЬ SMS Высокая>
тогда <Риск Очень низкий>
10. Если <Последствия утечки соответствуют Категории 2> и <НАДЕЖНОСТЬ SMS Средняя>
тогда <Риск Низкий>
11. Если <Последствия утечки соответствуют Категории 2> и <НАДЕЖНОСТЬ SMS Высокая>
тогда <Риск Очень низкий>
12. Если <Последствия утечки соответствуют Категории 1> тогда <Риск Очень низкий>
Собранная комиссия экспертов, изучив операционную деятельность завода, оценила
последствия утечки риска в 65 баллов из 100, что соответствует 4 Категории. Надежность
системы безопасности была оценена в 75 баллов из 100, что попадает в класс Высокой
надежности системы. В соответствии с сформулированными правилами, а также применяя
алгоритм нечеткого вывода Мамдани, была получена выходная оценка риска, равная 43
балла (Рис.000). Таким образом, полученный результат соответствует средней степени риска, т.е.
риск умеренный.
Несмотря на достаточно подробное описание ситуации, авторы не приводят дальнейшего
описания применения полученной оценки. Тем не менее, можно предположить, что,
настроив таким образом систему, у компании появляется мощный и незаменимый
инструмент для последующего мониторинга и контроля рисков.
Рис. 10. Система нечеткого вывода для оценки риска
Пример 3
В данном примере рассматривается применение метода Нечеткой Логики для анализа
рисков строительных проектов.
 Источник примера: статья J.H.M Tah and V. Carr (2000) «A proposal for
construction project risk assessment using fuzzy logic» [21]
Авторы статьи отмечают, что строительные проекты – проекты, где неопределенность
особо высока. Как известно, существует много методов учета количественных рисков, но
ни один из них не дает исчерпывающей и глобальной оценки для строительных проектов.
Tah и Car рассматривают гипотетический строительный проект, связанный с различными
рисками, которые сложно описать математическим языком. Авторы поставили задачу
получить интегральную оценку риска для строительного проекта с помощью метода
нечетких множеств. Данная задача решается в несколько этапов.
Этап 1. Идентификация рисков.
Основными рисками для рассматриваемого проекта экспертами были выделены:
 Геологические работы
 Производительности труда
Как показано на Рис. 11, каждая из основных групп риска зависит от последующих
факторов риска. Каждый из факторов риска независимый. Так, например погодные условия
могут воздействовать как на производительность труда, так и на строительные работы, но
данный фактор рассматривается отдельно, что позволяет получить более реалистичную
оценку.
Рис. 11. Классификация рисков для строительного проекта
Этап 2. Определение степени воздействия факторов на общий риск проекта.
Для этого была составлена матрица так называемых Fuzzy associative memories (FAMs),
которая ставит в соответствие возможность реализации фактора риска и силу его
воздействие на проект.
Таблица 5.
Сила
воздействия
фактора
Высокая
Средний
Средний
Умеренновысокая
Средняя
Ниже среднего
Ниже
среднего
Низкая
Эффект фактора риска
Высокий
Высокий
Средний
Умеренновысокий
Средний
Умеренновысокий
Высокий
Ниже среднего
Ниже среднего
Средний
Средний
Низкий
Ниже среднего
Ниже среднего
Средний
Умеренновысокий
Средний
Низкий
Низкий
Ниже среднего
Ниже среднего
Средний
Умеренновысокая
Высокая
Низкая
Ниже
Средняя
среднего
Возможность реализации фактора риска
На данном этапе также необходимо рассмотреть и учесть, как риск каждой из входных
групп параметров повлияет на рассматриваемый проект, а именно на изменения:
 Сроков
 Затрат
 качества работ
 Безопасность работ
Возможная интерпретация последствий представлена в Таблице 0000.
Таблица 6.
№
Описание
Влияние
1
Производительность
труда
2
Геологические
работы
Низкое
Среднее
Высокое
Низкое
Среднее
Высокое
Изменение
сроков
Очень низкое
Низкое
Среднее
Низкое
Среднее
Высокое
Изменение в
затратах
Очень низкое
Низкое
Среднее
Низкое
Среднее
Высокое
Изменение в
качестве
Очень низкое
Очень низкое
Очень низкое
Низкое
Низкое
Среднее
Изменение в
безопасности
Очень низкое
Очень низкое
Очень низкое
Низкое
Среднее
Высокое
Каждый из входных параметров риска был описан с помощью функции принадлежности.
Авторами статьи был выбран треугольный вид функции принадлежности «как наиболее
часто используемый». Так, например, графическая иллюстрация выходной переменной
риск проекта представлена на рис. 12.
Рис.12. Фаззификация выходной переменной «риск проекта».
Этап 3. Оценка входных переменных и формирование правил.
Каждая из входящих переменных, т.е. каждый из факторов рисков, входящих в подгруппы
факторов риска оцениваются на основе экспертных оценок. Так, например, в то время как
возможность изменения «погодных условий» была оценена экспертами как СРЕДНЯЯ и
воздействие данного фактора риска на производительность рабочих также как СРЕДНЕЕ,
то для фактора «наличие документации» возможность изменения – НИЗКАЯ (т.к., видимо,
большинство разрешений уже получено), а воздействие фактора – СРЕДНЕЕ.
Далее, в соответствии с матрицей FAMs, формируются логические правила.
Этап 4. Применение метода нечеткой логики для оценки риска2.
Используя алгоритм нечеткого вывода Мамдани, а также все предположения,
закладываемые в течение анализа, была получена оценка риска изменения входных
параметров риска на ключевые параметры проекта (Рис. 13).
Авторы не представляют расчеты на основе метода нечеткой логики, констатируя лишь определенные
моменты.
2
Рис. 13. Результат анализа.
Итак, влияние на факторы риска проекта:
 На изменение сроков – среднее;
 На изменение в затратах – среднее;
 На изменение в качестве – низкое;
 На изменение в безопасности – среднее.
На основе полученных данных менеджмент компании может сделать вывод, насколько
компания готова идти на данный риск в случае принятия проекта.
Применение метода нечеткой логики позволило включить такие лингвистические
факторы риска, как производительность труда, погодные условия, сбои в работе
оборудования, наличие разрешительной документации к необходимому моменту времени и
пр., а также помогла представить наглядные результаты для лиц, принимающих решения.
5. ПРЕИМУЩЕСТВА И НЕДОСТАТКИ МЕТОДА НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Использование метода нечетких множеств дает ряд преимуществ, т.к. позволяет:
 включать в анализ качественные переменные;
 оперировать нечеткими входными данными;
 оперировать лингвистическими критериями;
 быстро моделировать сложные динамические системы и сравнивать их с заданной
степенью точности;
 преодолевать недостатки и ограничения существующих методов оценки проектных
рисков.
Недостатки метода:
 существует субъективность в выборе функций принадлежности и формировании
правил нечеткого ввода;
 отсутствие информированности о методе, а также незначительно внимание к
применение метода профессиональными финансовыми учреждениями;
 необходимость специального программного обеспечения, а также специалистов,
умеющих с ним работать.
Несмотря на недостатки и ограничения теории, метод нечетких множеств получил
признание как перспективного и дающего точные результаты рядом крупнейших
международных компаний (Motorola, General Electric, Otis Elevator, Pacific Gas & Electric,
Ford). Для России, а также развивающихся рынков, использование метода нечеткой логики
особо перспективно. Анализ рисков на основе статистических методов для большей части
недавно образовавшихся компаний неприменимо, т.к. нет накопленной статистической
информации для получения объективных оценок.
Таким образом, метод нечетких множеств не исключает применение статистических
методов, а становится инструментом, когда другие подходы к оценке риска неприменимы.
Характерные приложения теории нечётких множеств к финансовому менеджменту
следующие:
1. Анализ риска банкротства предприятия.
2. Оценка риска инвестиционного проекта.
3. Построение оптимального портфеля ценных бумаг и бизнесов.
4. Оценка справедливой стоимости объектов (в том числе объектов недвижимости).
5. Оценка инвестиционной привлекательности акций и облигаций.
6. Анализ необходимости и обоснованности IT-решений. Х
[24]
Приложение
Краткий перечень основных терминов (понятий) метода нечеткой логики
Активизация
подусловий
- этап алгоритма нечеткого вывода Мамдани, при котором
нечеткие подмножества, назначенные для каждой выходной
переменной, объединяются вместе, чтобы сформировать одно
нечеткое подмножество для каждой переменной.
Алгоритм нечеткого - алгоритм нечеткого вывода, основными этапами которого
вывода
типа являются 1) Формирование базы правил системы нечеткого
Мамдани
вывода, 2) Фаззификация входных параметров, 3)
Агрегирование, 4) Активизация подусловий в нечетких
правилах продукций, 5) Дефаззификация.
Агрегирование
Дефаззификацией
Лингвистические
переменные
Нечёткое множество
Нечеткий логический
вывод
- этап алгоритма нечеткого вывода Мамдани, целью которого
является определение степени истинности каждого из
подзаключений по каждому из правил систем нечеткого
вывода..
- (defuzzification) - процедура преобразования нечеткого
множества в четкое число.
– переменная, значениями которой могут быть слова или
словосочетания некоторого естественного или искусственного
языка.
- переменные, которые нельзя описать с помощью
математического языка, т.е. им сложно придать точную
(объективную) количественную оценку. Например, понятия
«малый» и «средний» (говоря о бизнесе), «высокая» или
«низкая» (о процентной ставке) не имеют четкой границы и не
могут быть представлены точным математическим описанием.
- это подмножество некоторого множества-носителя,
принадлежность к которому устанавливается введенной
экспертом или экспертным сообществом функцией
принадлежности.
(fuzzy logic inference) - апроксимация зависимости
с помощью нечеткой базы знаний и операций
над нечеткими множествами.
Нечеткое число
- выпуклое нормальное нечеткое множество с кусочнонепрерывной функцией принадлежности, заданное на
множестве действительных чисел.
Нечеткая база знаний - совокупность нечетких правил "Если - то", определяющих
взаимосвязь между входами и выходами исследуемого объекта.
Теория
нечеткой - (или теория нечетких множеств, или Fuzzy Logic) новый
логики
подход к описанию бизнес-процессов, в которых присутствует
неопределенность, затрудняющая и даже исключающая
применение точных количественных методов и подходов.
Теория нечетких
См. Теория нечеткой логики
множеств
Терм
- (от англ. term – называть) любой элемент терм–множества. В
теории нечетких множеств терм формализуется нечетким
множеством с помощью функции принадлежности.
Терм-множество
- множество всех возможных значений лингвистической
переменной.
Формирование базы - этап алгоритма нечеткого вывода Мамдани, представляющий
правил
системы собой формальное представление эмпирических знаний
нечеткого вывода
эксперта.
Фаззификация
Функция
принадлежности
- (fuzzification) - процесс нахождения функции
принадлежности нечетких множеств на основе исходных
данных.
- инструмент перевода лингвистических переменных на
математический язык для дальнейшего применения метода
нечетких множеств.
Экспертная система
Fuzzy Logic
- некая математическая функция  A (X ) , задающая степень
или уверенность, с которой элементы некоторого множества
X принадлежат заданному нечеткому множеству А.
- набор правил, позволяющих системе работать по заданному
«экспертному» алгоритму.
См. Теория нечеткой логики
Литература
1. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких
условиях: Монография. Тюмень: Издательство Тюменского государственного
университета, 2000. 352 с.
2. Богатин Ю.В. Инвестиционный анализ: Учебное пособие для вузов. / Ю.В. Богатин,
В.А. Швандер – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000
3. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. принятие решений на основе нечетких
моделей: примеры использования. Рига: Зинатне. 1990. 184 С.
4. Волков И.М., Грачева М.В. Проектный анализ, Изд. 2-е, перераб., доп., М.: Банки и
биржи,
ЮНИТИ,
1998,
423
стр.
[Электронный
ресурс]:
http://www.itrealty.ru/analit/book05.html
5. Дубинин Е. Анализ рисков инвестиционного проекта. Журнал «Финансовый
директор», №11,2003. [Электронный ресурс]: http://www.fd.ru/article/5625.html
6. Кошечкин С.А. Концепция риска инвестиционного проекта [Электронный ресурс]:
http://koshechkin.narod.ru/Риск.html, http://www.cfin.ru/finanalysis/quant_Риск.shtml
7. Круглов В. В., Дли М.И. Интеллектуальные информационные системы:
компьютерная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода. -- М.:
Издательство Физико-математической литературы, 2002. -- 252 с.
8. Леоненков А. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTech. – СПб.: БХВПетербург, 2003. – 736 с.: ил.
9. Масалович А. Нечеткие когнитивные схемы – новый инструмент для моделирования
экономических, политических, социальных ситуаций. [Электронный ресурс]:
http://www.tora-centre.ru/library/fuzzy/kognit.htm
10. Недосекин А.О. Применение теории нечетких множеств к задачам управления
финансами. Журнал «Аудит и финансовый анализ, №2,2000, [Электронный ресурс]:
http://www.cfin.ru/press/afa/2000-2/08-2.shtml
11. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций
[Электронный ресурс]: http://sedok.narod.ru/sc_group.html
12. Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Нечеткий многокритериальный анализ вариантов с
применением парных сравнений // Известия РАН. Теория и системы управления.2001.- №3.- С.150-154.
13. Теплова Т.В. Финансовый менеджмент: управление капиталом и инвестициями:
Учебник для вузов. – М.: ГУ ВШЭ, 2000 – 504 с.
14. Штовба С.Д."Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику" проекта
[Электронный ресурс]: http://matlab.exponenta.ru/fuzzylogic/book1/
15. Ярушкина Н.Г. Основы теории нечетких и гибридных систем: Учеб.пособие. – М.:
Финансы и статистика, 2004. – 320 с.: ил.
16. Buckley, J. The Fuzzy Mathematics of Finance // Fuzzy Sets & Systems, 1987, N 21.
17. Fuzzy Logic Toolbox. Manual. 1994-2006 The MathWorks, Inc.
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/fuzzy/index.html
18. Mahant, Narendra. “Risk Assessment is Fuzzy Business – Fuzzy Logic Provides the Way
to Assess Off-site Risk from Industrial Installations”. Risk 2004. 2004. No. 206.
19. Ross Stephen A., Westerfield Randolph W., Jaffe Jeffrey, Corporate Finance, 7th Edition,
McGraw-Hill, New York, 2005, p.216.
20. Sanches A.; Pamplona E., Jose A. Capital Budgeting Using Triangular Fuzzy Numbers. V
Encuentro Internacional de Finanzas. Santiago, Chile, 2005
21. Tah, H. M., Carr, V., J. A proposal for construction project risk assessment using fuzzy
logic //Construction Management & Economics. – 2000.- Vol. 18, №4, pp. 491-500
22. Zadeh L., Bellman R. Decision-making in a fuzzy environment. Management Science,
vol.17. No. 4, 1970
23. Zimmerman H.-J. Fuzzy Set Theory and its Applications. Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers. 1996. 315p.
Дополнительные Интернет-ресурсы:
24. www.wikipedia.org
25. www.glossary.ru
26. http://www.ecsocman.edu.ru/db/msg/140059/2837.html (Теплова Т.В., Инвестиционный
анализ, Дополнительные статьи к курсу)