Самарский научный центр Российской академии наук В.К. СЕМЁНЫЧЕВ, Е.В. СЕМЁНЫЧЕВ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ

Самарский научный центр Российской академии наук
В.К. СЕМЁНЫЧЕВ, Е.В. СЕМЁНЫЧЕВ
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
РЯДОВ ДИНАМИКИ: СТРУКТУРЫ, МОДЕЛИ, ЭВОЛЮЦИЯ
Монография
Самара
Издательство «СамНЦ РАН»
2011
УДК 330
ББК 65в6
С 30
Печатается по решению редакционно-издательского совета
СамНЦ РАН
Рецензенты:
Митрофанов А.Н. – д.т.н., профессор
Гераськин М.И. – д.э.н., профессор
С 30 Семёнычев В.К., Семёнычев Е.В.
Параметрическая идентификация рядов динамики: структуры, модели,
эволюция: монография. Самара: Изд-во «СамНЦ РАН», 2011. 364 с.
ISBN 978-5-93424-558-1
Монография посвящена оригинальным разработкам структур, моделей и методов
идентификации нелинейных рядов динамики показателей социально-экономических
систем на относительно коротких выборках для того, чтобы обеспечить возможность их
эволюции.
Это относится, в первую очередь, к обобщенным параметрическим моделям авторегрессии-скользящего среднего.
Новым является предложение структур пропорционально-мультипликативного
взаимодействия компонент ряда.
До настоящего времени не идентифицировались предложенные модели эволюции
амплитуд колебательных компонент ряда.
Метод параметрической итерационной декомпозиции тренд-сезонных рядов и использование базиса Гребнера для решения полиномиальных алгебраических уравнений
при МНК-идентификации позволили существенно расширить класс рассматриваемых
моделей.
Обстоятелен «атлас» моделей логистической динамики, оригинальны новые модели, приемы конструирования моделей мультилогистической динамики, компенсации
автокоррелированности и гетероскедастичности стохастической компоненты.
Методика исследования точности моделей и методов идентификации в динамическом диапазоне параметров и соотношения мощностей помехи и полезного сигнала
позволила оценить область их возможного применения.
Многочисленные приложения в социально-экономических системах разного
иерархического уровня и предметной области позволят исследователям-аналитикам,
магистрантам и бакалаврам экономических направлений понять и развить возможные
приложения.
ISBN 978-5-93424-558-1
ББК 65в6
© Семёнычев В.К., Семёнычев Е.В., 2011
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 6
ГЛАВА 1. ВЫБОР ИНСТРУМЕНТАРИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА
ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩЕЙ ДИНАМИКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СЭС ................. 20
1.1. Особенности моделирования и прогнозирования динамики
показателей СЭС .......................................................................................... 20
1.2. Характеристики точности моделирования, прогнозирования и
адекватность моделей динамики ................................................................ 25
1.3. Декомпозиционный подход к построению моделей динамики ....... 37
1.4. Модели колебательной компоненты ................................................... 41
1.5. Предложение пропорционально-мультипликативных структур
взаимодействия компонент ряда динамики............................................... 53
1.6. Выбор периода дискретизации при моделировании
детерминированных компонент ряда динамики ....................................... 67
1.7. «Классический непараметрический» и предложенный
«параметрический итерационный» методы тренд-сезонной
декомпозиции................................................................................................ 81
1.8. Перепараметризация нелинейных моделей рядов динамики на
основе моделей авторегрессии-скользящего среднего ............................ 88
ГЛАВА 2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ТРЕНДОВЫЕ МОДЕЛИ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ РОСТА ЭКОНОМИКО-СОЦИАЛЬНЫХ
ПРОЦЕССОВ И ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРОДУКТОВ .............................. 102
2.1. Задача моделирования роста показателей СЭС и скоростей их
изменения .................................................................................................... 102
2.2. Использование решений дифференциальных уравнений для
моделирования кривых роста .................................................................... 113
2.3. Феноменологические модели логистических кривых роста .......... 136
2.4. Феноменологические импульсные модели ЖЦП ............................ 152
3
ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЯДОВ
ДИНАМИКИ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМ ТРЕНДОМ И
ЭВОЛЮЦИЕЙ ГАРМОНИК, МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ
ТОЧНОСТИ ......................................................................................................... 163
3.1. Модели роста в виде суммы линейного тренда и гармоник ........... 163
3.2. Методика оценки точности и области применения методов
идентификации ........................................................................................... 183
3.3. Модели роста в виде суммы полиномиальных трендов и
колебательных компонент аддитивной и пропорциональномультипликативной по отношению к тренду структур ......................... 201
3.4. Модели роста в виде суммы полиномиального тренда и
гармоник с независимо эволюционирующими моделями
амплитуды колебательной компоненты................................................... 221
3.5. Идентификация ряда динамики линейным трендом,
колебательной компонентой и мультипликативной стохастической
компонентой ................................................................................................ 225
3.6. Моделирование компонент с мультипликативной стохастической
компонентой при детрендировании и десезонализации ........................ 238
ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЯДОВ
ДИНАМИКИ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЭКСПОНЕНТАМИ И ИХ
СОЧЕТАНИЯМИ С ГАРМОНИКОЙ ............................................................... 247
4.1. Использование модели в виде обобщенной экспоненциальной
функции ....................................................................................................... 247
4.2. Модели рядов динамики в виде квазиполиномов ............................ 266
4.3. Квазиполиномы, сочетающие экспоненту с гармонической
компонентой ................................................................................................ 273
ГЛАВА 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРОДУКТА И СОЦИАЛЬНОЙ
ДИНАМИКИ........................................................................................................ 288
5.1. Выбор метода идентификации логистической динамики
моделью Верхулста .................................................................................... 288
5.2. Моделирование жизненного цикла продукта типа «фетиш»
моделью Верхулста .................................................................................... 297
4
5.3. ARMA-моделирование уровня годовой добычи нефти из
пласта для оценки геологического риска инвестиций в
нефтегазодобывающей промышленности ............................................... 299
5.4. Идентификация моделей ЖЦП на основе суммы экспонент и
колебательных компонент ......................................................................... 305
5.5. Моделирование ЖЦП с повторным циклом .................................... 319
5.6. Пример моделирования ЖЦП с произвольной асимметрией для
операционных систем семейства Windows ............................................. 326
5.7. Примеры моделирования и прогнозирования социальной
динамики ..................................................................................................... 333
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................... 343
ГЛОССАРИЙ ...................................................................................................... 346
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................ 355
5
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в РФ открываются перспективы для интенсивного развития инновационной деятельности. При этом значительное внимание уделяется организации и управлению инновационным процессом, который характеризуется комплексностью, многоплановостью, высокой динамикой и вероятностным характером, поскольку зависит от многих, зачастую трудно поддающихся учёту факторов.
Создать конкурентоспособную экономику нельзя без широкого использования современных достижений математики, экономики, социологии, т.е. становления и использования экономики знания. Не только в том
смысле, что она основана на знаниях, но и в том, что в ней ярко проявилась характерная для научного знания тенденция к постоянному изменению и обновлению, позитивной эволюции, улучшению показателей не
только используемой технологии и производимой продукции, но и социально-экономических процессов.
Современным и плодотворным методом исследования инновационного процесса является моделирование (model-building) и прогнозирование
(forecasting) экономического эффекта от нововведений в масштабах отдельных предприятий, целых отраслей промышленности и регионов страны.
В монографии объектом исследования являются эволюционирующие ряды динамики показателей экономических систем и их обобщений
– социально-экономических систем (СЭС).
Экономическая система определяется обычно как сложная вероятностная система, охватывающая процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных благ [29]. В СЭС, наряду с материально-вещественными потоками, учитываются и производственные отношения людей в обществе, воспроизведенные и развитые экономической
системой производственные отношения, социально-экономические, социально-политические, социокультурные и демографические процессы. В
СЭС рассматривают и вопросы инвестиционной, финансовой, социальной
и/или экологической политики, ценообразования на рынке как системы
отношений купли-продажи между продавцами и покупателями, распределительных отношений, лагов и т.д.
6
СЭС могут иметь различный иерархический уровень: макроуровень –
страна, мезоуровень – регион, муниципальное образование, отрасль
народного хозяйства, микроуровень – семья, конкретное предприятие.
Динамика СЭС полностью вмещает в себя проблемы статики: оптимальное распределение и использование имеющихся производственных
ресурсов, максимальное удовлетворение сложившихся общественных и
индивидуальных потребностей, анализ структуры и взаимосвязей хозяйства страны, балансирование производства и потребления, изучение допустимых и рациональных состояний и др. В рамках экономической динамики осуществляется более общий анализ указанных проблем, включая и
воспроизводственный подход к экономическому развитию. В динамике
определяются возможные траектории деградации или развития, последовательности состояний и переходы от одних состояний к другим.
Показатель динамики СЭС определим как ее обобщающую количественную характеристику, в общем случае вектор Y , в конкретных условиях места и времени [14, 19, 29]. Показатель называют также траекторией, результирующей, определяемой, объясняемой (explained variable),
внутренней или эндогенной переменной СЭС. Такими переменными являются, например, доход, потребление, оборот розничной торговли, уровень безработицы, средняя заработная плата, объём инвестиций и др. Динамика конкретных СЭС описывается десятками, а в отдельных случаях и
сотнями показателей. Эндогенная переменная Y является принципиально
случайной (стохастической), так как климатические и природные явления,
структура материальных и духовных потребностей членов общества могут быть определены только с некоторой вероятностью. Сложность и динамичность реальных социально-экономических процессов приводят к
тому, что затраты на производство, экономический эффект, производительность труда, результаты научных исследований и разработок, эффективность новой техники и т.д. поддаются предварительному расчёту и
экономическому анализу только с тем или иным уровнем достоверности.
Показатель Y формируется в процессе и внутри функционирования
СЭС под воздействием некоторого вектора x : числа i других процессов
или явлений X i , называемых факторными, внешними, экзогенными
(exogenous variable) или определяющими переменными, которые или часть
из которых поддаются регистрации и планированию. Экзогенные переменные описывают условия функционирования СЭС, могут задаваться
7
извне анализируемой системы. Примерами экзогенных переменных могут
быть физическое время, налоги, государственные закупки товаров, устанавливаемая цена на благо, рента, налоги, банковские ставки, официальный курс доллара, численность экономически активного населения и др.
Моделью динамики СЭС будем считать образ процесса, явления в
форме математических соотношений, отражающий существенные свойства моделируемой СЭС и замещающий его в ходе исследования и управления. Модели могут быть различными в зависимости от формулировки
цели моделирования и прогнозирования, размера выборки, иерархического уровня СЭС и т.д. В качестве моделей траектории будут выступать
континуальные (непрерывные) и дискретные аналитические выражения.
При декомпозиции динамической траектории, а это один из важнейших подходов в моделировании динамики показателей СЭС, на отдельные компоненты к модели будем относить как аналитические выражения и характеристики компонент, так и структуру (аддитивную и/или
мультипликативную) их взаимодействия.
Декомпозиция представляет динамику траектории как суперпозицию медленного детерминированного процесса T (t ) (векового уровня, secular trend, главной тенденции, эволюторной компоненты) тренда и более
быстрых процессов – детерминированной колебательной C (t ) и стохастической компонент  (t ) . Последнюю называют также нерегулярной
компонентой, шумом, помехой (irregular component). Именно присутствие
в структуре ряда стохастической компоненты делает траекторию принципиально случайной.
В анализе динамики СЭС в сравнении с анализом статики повышаются требования к точности моделирования и прогнозирования на коротких интервалах наблюдения (на коротких выборках), так как эволюция
процессов и явлений ведёт к нестационарности видов моделей (аналитических выражений и/или их параметров, характера их взаимодействия).
Огромное значение приобретает мониторинг эволюции моделей, использование их для прогнозного моделирования возможных траекторий
развития, для оценки эффективности принятых или возможных управленческих (в том числе технологических, маркетинговых) решений.
Эволюция выражается обычно в высоких темпах спада или роста
показателей (неестественных с точки зрения стабильных экономик), появлении или исчезновении колебательной компоненты, эволюции ее пара8
метров, изменении характера взаимодействия компонент ряда динамики
показателей, увеличении мощности и/или появлении гетероскедастичности (нестационарности дисперсии) помехи.
Известно, что модели динамики СЭС принципиально сложнее моделей статики не только за счет введения в них дополнительного параметра
– времени.
Становление экономики знаний предполагает и реализует создание
новых технологий производимой продукции, социально-экономических
процессов и явлений. Модели СЭС при этом, как правило, приобретают
нелинейный характер по переменным и по параметрам.
Предметом исследований, представленных в монографии, являются
математические модели и структуры траекторий динамики показателей
СЭС, методы их идентификации и прогнозирования. Метод идентификации определим как последовательность определенных операций, применение которых приводит либо к достижению поставленной цели моделирования, прогнозирования и мониторинга эволюции СЭС, либо приближает к ней. Под приемом идентификации будем понимать отдельные
комплексы действий в реализации метода, т.е. метод может включать в
себя несколько различных приёмов и в целом представляет собой их упорядоченную совокупность.
Математическое моделирование предполагает идентификацию модели (может быть, комплекса сравниваемых моделей) процесса или явления, которая может быть структурной, когда речь идет об определении
вида моделей, или параметрической, когда определяются параметры выбранной или сравниваемых моделей. В общем случае необходимо осуществлять идентификацию обоих видов, причем структурная идентификация (используют также термины «классификация», «спецификация»),
как правило, сложнее.
К методике оценки точности, достигаемой моделями и методами их
идентификации, отнесем совокупность используемых критериев точности
моделирования и прогнозирования, методов декомпозиции траекторий,
использования реальных и тестовых выборок, выбор применяемого математического аппарата, исследование диапазонов соотношения мощностей
полезного сигнала и помехи при идентификации, влияние динамического
диапазона параметров моделей.
9
Учет особенностей функционирования конкретных СЭС, измерений
(дискретизации) их показателей, декомпозиционный подход при анализе
траекторий показателей, предложение математических моделей, исходя из
целей моделирования и прогнозирования, методы и приемы идентификации, выбор критериев точности и методики оценки достигаемой точности
и области применения, соответствующее математическое и программное
обеспечение образуют инструментарий математического моделирования.
Можно утверждать, что существующий инструментарий моделирования и прогнозирования динамики СЭС далеко не в полной мере соответствует требованиям экономики знания. Различают параметрический и
непараметрический подходы к его развитию. Непараметрический (или алгоритмический) подход развития инструментария не связан с получением
при идентификации какого-либо аналитического выражения, в принятом
смысле оптимально описывающего статистические данные. Параметрический (или аналитический) подход предполагает выбор класса моделей и
определение его параметров.
Каждый из подходов обладает своими достоинствами и недостатками, а также своей областью применения.
Достоинствами непараметрического подхода являются его универсальность и, во многих случаях, простота, а к его недостаткам можно отнести отсутствие аналитического выражения, что не позволяет предложить аналитическую модель для СЭС и, может быть главное, прогнозировать динамику СЭС. Непараметрический подход требует обычно для своей реализации больших выборок, что далеко не всегда имеется на практике при реализации инновационных управленческих и технологических
решений, для «молодых» экономических, социокультурных траекторий.
При его использовании низка точность мониторинга эволюции.
Указанных недостатков лишен параметрический подход, однако его
реализация зачастую сложнее как в плане выбора класса моделей, так и
при их идентификации. Экономика знаний требует развития инструментария для сложных нелинейных моделей динамики на коротких выборках,
для различных уровней иерархии СЭС, в широком динамическом диапазоне параметров моделей, при высоком уровне помех.
Считаем, что для становления и развития экономики знания в большей мере адекватен параметрический подход.
10
В качестве параметрической модели динамики СЭС можно рассматривать зависимость вектора определяемых показателей Y  от вектора
определяющих факторов x   X i  и времени t :
Y   Y  ( x, t ) .
(В.1)
Будем исходить из того, что на практике далеко не всегда удается
смоделировать формирование значений определяемой переменной под
воздействием всех факторных переменных X i , количество которых может
быть довольно большим, а влияние не всех из них может быть количественно определено или даже просто выявлено в силу сложного, зачастую
взаимосвязанного с другими переменными характера.
Именно поэтому от общей постановки (В.1) задачи моделирования
может быть оправдан переход к более простым моделям. Так, например,
показатель Y  СЭС зачастую может быть скалярной (одномерной) величиной:
Y   Y  ( x, t ) .
(В.2)
Зачастую оправдан переход к еще более простой трендовой модели,
когда определяемым фактором (переменной) является скаляр Y  , а через
единственную переменную время t как бы «интегрируется» действие вектора x всех определяющих факторов в виде функции (модели) f (.) от
времени и некоторого набора параметров  ,  ,  ,..., :
Y   f ( ,  ,  ,...,  , t ) .
(В.3)
Следует сознавать, что сделанное упрощение позволяет получить,
как бы ни казалось это парадоксальным, во многих случаях больше знаний об анализируемой системе. Дело в том, что до настоящего времени
наиболее распространены многомерные модели (В.2) в виде множественной линейной аддитивной регрессии, допускающие относительно высокую точность моделирования при условии независимости факторов X i в
векторе определяющих факторов x .
При наличии зависимости в (В.2) факторов X i между собой и при
большой размерности x возникают проблемы определения вида этой зависимости и снижения размерности модели (уменьшения количества фак11
торных переменных X i ). Известно и практически всегда справедливо
«проклятие размерности» для иллюстрации того, что переход от одномерной задачи моделирования к двумерной задаче обуславливает увеличение
сложности идентификации более чем в два раза, а переход от одномерной
задачи к трехмерной – более чем в три раза и т.д. Надо учесть и присутствие в модели (В.2) случайных компонент модели (помех)  i (t ) , которые
неизбежно содержатся в реальных выборках измерений X i (t ) . Необходимо определить и структуру взаимодействия отдельных определяющих
факторов X i (t ) и соответствующих им помех  i (t ) (оно может быть аддитивным или мультипликативным). Следовало бы рассмотреть и возможность изменения характеристик и структур взаимодействия  i (t ) с факторами X i (t ) в процессе снижения размерности модели, в силу того, что
многофакторные модели (В.1) и (В.2) могут привести, в конечном счете, к
«мнимой точности».
Рассмотрение нелинейных трендовых моделей (В.3) может быть
оправдано только в одномерной постановке. Однако именно с нее зачастую начинается анализ многомерной экономической динамики. Одномерный анализ может быть использован в качестве вспомогательного при
анализе более сложных многомерных объектов, модели которых имеют
несколько входов и выходов, и при формировании агрегированных показателей.
Большинство рассматриваемых трендовых моделей динамики (рядов динамики) предполагают дискретизацию и эквидистантность
наблюдений (постоянства периода дискретизации или опроса), но некоторые результаты могут быть применены и для неэквидистантных рядов, а
также для параметрических моделей пространственных рядов, в которых
аргументом является некоторая факторная переменная X i :
Y   f ( ,  ,  ,...,  , X i ) .
(В.4)
Использование показанных аналоговых форм записи моделей (В.1)(В.4) порой проще, делает запись лаконичной, позволяет использовать аппарат дифференциального исчисления, представляя многие модели рядов
динамики как решения дифференциальных уравнений.
Однако ни непрерывное, ни дискретное представления переменных
не могут претендовать на монополию. Выбор формы представления моде12
ли зависит от удобства, наглядности и «природы» анализируемых социально-экономических процессов и явлений. Одни показатели, скажем, интенсивность выпуска многих видов продукции, можно считать изменяющимися непрерывно, а динамика других, например, изменения цен на товары и услуги, имеет дискретный характер – как по их величине, так и по
времени.
Реальной практике сбора первичных статистических данных о динамике параметров СЭС, реализации методов идентификации моделей на
компьютерах более адекватна дискретная запись моделей (В.1)-(В.4) в
форме связи ряда динамики дискретных наблюдений определяемых и
определяющих переменных, например:

Yk  f ( ,  ,  ,...,  , tk ) ,
где
(В.5)

, xk , tk обычно называют уровнями (количественными значениями)
переменных или их наблюдениями, tk  k  , k  0,1,2,... n ,  – интервал
(период) дискретизации, n – объем статистической выборки.
С термином «наблюдение» будем иногда связывать и момент tk
взятия отсчётов – регистрации уровней. Интервал дискретизации  в
конкретных приложениях может быть разным, например, год, квартал,
месяц, декада, день. В техническом и фундаментальном анализах котировок ценных бумаг фондового рынка, курсов валют и т.п. величина 
может быть меньше.
В трендовых моделях (их можно назвать и регрессиями) упорядоченные (расположенные в хронологическом порядке) и равноотстоящие
дискретные наблюдения Yk образуют динамический ряд или временной
ряд (time-series data).
В определенной мере представленные в монографии материалы
можно применить к пространственным, динамическим и пространственно-динамическим моделям связи.
Пространственные модели связи строят по уровням показателей
нескольких СЭС, взятым в определенный момент времени ti . Примером
пространственной модели может быть описание эффективности продажи какой-либо продукции в зависимости от рекламного бюджета на её
продвижение, её цены или объёма затрат на НИОКР при различных этапах жизненного цикла этой продукции. При моделировании пространYk
13
ственной динамики следует иметь в виду, что и факторный показатель,
определяемый обычно со случайной погрешностью, является также стохастическим.
Динамические модели связи определяются по совокупности уровней показателей одной СЭС в различные моменты времени, а пространственно-динамические – по уровням нескольких СЭС в различные моменты времени.
Если уровни временного ряда динамики агрегированы так, что отражают состояние показателя за некоторые периоды времени (например, объём производства за год, количество отработанных человекодней по месяцам, кварталам, полугодиям и т.п.), то такой ряд называется динамическим интервальным (или накопленным, или кумулятивным).
В моментных рядах динамики уровни Yk характеризуют состояние
показателя в конкретный момент времени или на короткий промежуток
времени (например, численность населения и объём основных фондов
на начало года, доход, величина запаса какого-либо материала на начало анализируемого периода и т.д.).
Особыми свойствами обладают макроэкономические временные
ряды, т.е. ряды показателей высокого уровня агрегирования макроуровня управленческой иерархии. Во многом это обусловлено тем, что значения агрегированных показателей не могут быть получены путем
непосредственной регистрации: их рассчитывают, обрабатывая большие
объемы первичных (непосредственно регистрируемых) данных. В силу
этого уровни макроэкономических рядов определяются не только сущностью социально-экономических процессов и явлений, но и методиками расчета соответствующих показателей.
Примерами макроэкономических рядов являются ряды ВВП, объема промышленной продукции, продукции сельского хозяйства, грузооборота транспорта, инвестиций в основной капитал, экспорта, импорта.
Близкий характер макроэкономические ряды имеют и для экономики
многих стран мира в различные интервалы времени.
Для макропоказателей обстоятельная демонстрация приведена,
например, в [6, 7]. Часто отмечается полиномиальная и экспоненциальная динамика трендов макропоказателей, во многих рядах динамики
присутствует колебательная компонента, фиксируется смена моделей
14
компонент и структур их взаимодействия в процессе эволюции процессов и явлений в СЭС. При этом зачастую обнаружено, что колебательная компонента пропорциональна уровням тренда, а стохастическая –
пропорциональна детерминированным компонентом и в силу этого гетероскедастична (имеет непостоянную дисперсию). Данные свойства
характерны для макро-, мезо- и микроэкономических рядов, но аналитическое выражение такого взаимодействия в известной литературе не
отражено, не используется для идентификации.
Анализируемые в монографии показатели динамики СЭС по своему экономическому содержанию могут быть и натуральными, и стоимостными, и трудовыми.
В качестве показателей динамики могут выступать:
- базисный абсолютный прирост Yб , исчисляемый как разность
между сравниваемым уровнем Yk и уровнем Y0 , принятым за постоянную базу сравнения ( Yб  Yk  Y0 );
- цепной абсолютный прирост: разность между уровнем Yk и
предыдущим уровнем Yk 1 , который предшествовал ему ( Yц  Yk  Yk 1 ).
Анализируемыми уровнями динамического ряда могут быть не
только абсолютные показатели (численность совокупностей или объёмы
их признаков), но они могут отражать развитие структуры совокупности, изменение со временем вариации показателя в совокупности, взаимосвязи между показателями значений признака для разных объектов. В
этих случаях уровни динамического ряда сами являются относительными показателями и нередко выражаются в процентах. Задачей исследователя может быть анализ темпа роста рядов динамики, который может
быть базисным Yрб  Yk
или цепным: Yрц  Yk
. Возможно использоY0
Yk 1
вание и других показателей динамики: базисного темпа прироста, цепного темпа прироста, темпа наращивания, среднего темпа роста и др.
[7, 8, 14, 35].
По содержанию анализируемые в монографии показатели могут
быть рядами частных и агрегированных показателей. Частные показатели характеризуют изучаемое явление односторонне, изолированно.
Примерами частных показателей могут быть:
15
 среднесуточный объём выпуска промышленной продукции, который даёт возможность оценить динамику промышленного производства;
 численность граждан, состоящих на учете в службе занятости,
которая показывает эффективность социальной политики государства
или муниципальных властей;
 остатки наличных денег у населения и вклады в банках, отражающие платежеспособность населения;
 отдельные ресурсные или объёмные показатели отрасли и т.д.
Агрегированные показатели включают в себя частные, используя
их при исследовании эффективности производства, технического уровня предприятий, качества продукции, экологического состояния территории, являются, например, агрегированными показателями отрасли.
Как известно, моделирование зачастую осуществляют для последующего прогнозирования. В условиях реформируемой и эволюционирующей экономики России, мирового экономического кризиса особую
актуальность приобретают задачи краткосрочного прогнозирования
[6-8]. Именно поэтому моделирование на текущих относительно коротких выборках определит прогноз эволюционирующей динамики.
Реализуемые в монографии прогнозы можно разделить по различным признакам классификации:
 на частные (по одному показателю) и обобщающие (по системе
показателей данного объекта);
 на социальные (демографические, потребностей и уровня жизни,
образования, здоровья, культуры);
 на экономические (структуры и динамики производства, конъюнктуры цен, эффективности управления и др.);
 на научно-технические (развития науки, изобретательской деятельности, инноваций);
 на природно-экологические (динамика воспроизводства природных ресурсов, экологических процессов);
 на внешнеэкономические и т.д.
Данные признаки классификации носят достаточно условный характер, т.к. экономическая практика показывает, что между этими прогнозами, как правило, существует множество прямых и обратных связей.
16
Безотносительно к специфике предметной области речь может идти о прогнозе выхода динамики показателя на известную временную
характеристику, о прогнозе времени наступления известного события
или о прогнозе уровней динамических рядов на определенный «горизонт» прогноза.
По субъектам прогнозирования и территориальному охвату можно
различать локальные, региональные, национальные, отраслевые, международные и глобальные прогнозы.
Следует осознавать, что прогнозирование с помощью динамических рядов является лишь одним из возможных методов статистического прогнозирования. Использование трендовых моделей для прогнозирования оправдано при недостаточности или отсутствии знаний о природе изучаемого процесса.
Следует также иметь в виду, что далеко не во всех случаях данные, полученные в результате моделирования и прогнозирования трендовыми моделями, могут использоваться как готовые управленческие
решения. Они скорее могут рассматриваться как «консультирующие»
средства, а принятие управленческих решений остаётся за человеком,
опирающимся на свой опыт и использующим вычислительную технику.
Сегодня, как правило, вычислительная техника на предприятиях и
в органах управления применяется в большей мере для проведения бухгалтерских расчётов, ведения справочно-информационных систем и
осуществления электронного документооборота. Бесспорно, эти виды
деятельности позволяют освободиться управленческим работникам от
массы рутинных процессов, связанных с обработкой больших массивов
информации, получением всякого рода справок, написанием писем, отчётов и т.д.
Однако до настоящего времени далеко не всегда экономисты, финансисты, аналитики-маркетологи, социологи, руководители предприятий и организаций выполняют с помощью компьютера анализ данных и
тенденций, необходимый для принятия решений. Нечасто проводят
аналитические расчёты, связанные с исследованием рынков, далеко не
всегда анализируют тенденции в общественной жизни и возможности
разрешения конфликтных ситуаций, редко осуществляется моделирование деятельности предприятия с учётом влияния внешних и внутренних
факторов и т.д. [12, 23].
17
Авторы стремились уйти от «наивности» многих известных методов идентификации, в которых модели динамики линейны и просты,
анализируемые статистические выборки велики, стохастические компоненты «удобны» (по своим вероятностным характеристикам и по месту
вхождения в структуру ряда динамики показателей для осуществления
идентификации моделей) и т.п. Формат монографии можно определить
скорее как научный, чем учебный, так как общие сведения о СЭС, моделях и методах их идентификации даны скорее для понимания сути и
области применения полученных результатов.
Излагаемый материал является развитием публикаций авторов
[48, 50, 51, 57]. К основным новым результатам можно отнести:
 методы идентификации моделей на основе предложенного в [57]
подхода на основе обобщенных параметрических моделей авторегрессии-скользящего среднего (далее ARMA-моделей) распространены на
новые модели компонент динамики и структуры их взаимодействия.
Это относится и к новым моделям, предложенным для эволюции амплитуды колебательной компоненты и, кроме того, к предложенному
расширению известных аддитивной и мультипликативной структур взаимодействия тренда, сезонной и циклической компонент ряда динамики
на случай важного для практики аддитивного и прямо пропорционального взаимодействия;
 при идентификации моделей предложено использование базисов
Гребнера для точного решения систем нормальных алгебраических
уравнений в случаях, когда метод наименьших квадратов (МНК) приводил к нормальным системам с зависимыми между собой коэффициентами уравнений (к нелинейным системам нормальных алгебраических
уравнений). Определены ограничения возможного использования базисов Гребнера по отношению к ARMA-моделям;
 предложенная методика исследования точности моделирования
и прогнозирования позволила определить область их возможного использования при широком динамическом диапазоне значений их параметров и соотношении мощностей помехи и полезного сигнала до 30%.
С использованием данной методики оценены эффекты компенсации
предложенными при идентификации приемами автокоррелированности
и гетероскедастичности стохастической компоненты. Проведено срав18
нение точности, достигаемое использованием ARMA-моделей и методом генетической оптимизации;
 представляется оправданным для понимания возможностей использования предложенным инструментарием создание «альбома моделей» и приведение численных примеров для СЭС различного иерархического уровня и разной предметной области;
 найден компромисс между условием применения трендовых
моделей, заключающимся в определенном постоянстве условий процессов и явлений функционирования СЭС, и явлением эволюции моделей.
Решение предложено как в моделях колебательных компонент ряда динамики, содержащих параметр (закон) эволюции, так и в обстоятельном
рассмотрении логистических моделей трендов (моделей со сложной динамикой изменения) трендов динамики. Последнее относится к новому
классу параметрических моделей жизненного цикла продукта (товаров,
услуг, организаций) – ЖЦП;
 параметрические модели ЖЦП до настоящего времени практически не были рассмотрены в известной литературе при учете возможной многокомпонентности рядов их показателей (при присутствии дополнительной трендовой и/или колебательной компонент, мультилогистичности кривых ЖЦП). Тем самым вместо «качественных характеристик в виде графиков» предложен комплекс параметрических моделей;
 впервые, на наш взгляд, в известной отечественной литературе
выполнен столь обстоятельный обзор почти пятидесяти известных моделей ЖЦП и предложены новые модели для логистической динамики,
в том числе мультилогистические.
Авторы опирались в своих исследованиях на работы отечественных учёных, в первую очередь С.А. Айвазяна, В.Н. Афанасьева,
И.И. Елисеевой, Г.Б. Клейнера, Ю.П. Лукашина, В.С. Мхитаряна,
Ю.М. Плотинского, Н.П. Тихомирова, Г.Р.Хасаева.
В библиографическом списке монографии представлены и многие
работы зарубежных ученых, работавших в данном направлении.
Отдельные результаты монографии получены при аналитической
и программной поддержке аспирантов Кожуховой Варвары (разделы
2.2; 2.3; 2.4; 5.1; 5.2), Коробецкой Анастасии (разделы 2.4; 3.5; 3.6; 4.1;
4.3; 5.5; 5.6, 5.7), Куркина Евгения (3.3; 5.3; 5.4; 5.5).
19
ГЛАВА 1. ВЫБОР ИНСТРУМЕНТАРИЯ ДЛЯ
АНАЛИЗА ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩЕЙ ДИНАМИКИ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ СЭС
1.1. Особенности моделирования и прогнозирования
динамики показателей СЭС
При организации моделирования и прогнозирования динамики
показателей будем учитывать особенности СЭС как объекта моделирования, а также требования к параметрическим методам моделирования и
прогнозирования, обусловленные задачей мониторинга эволюции [8, 14,
19, 23, 35, 39].
Во-первых, на практике объёмы доступных статистических выборок обычно невелики: не превышают двух-трёх десятков наблюдений.
Это может быть связано с отсутствием статистических выборок в силу
организационных или экономических обстоятельств их сбора. Кроме
того, для реформируемой экономики РФ длинные выборки в принципе
непригодны, т.к. описывают хозяйствование в различных условиях. Состояние современной российской экономики требует использования инноваций и новых технологий, предложение и реализация которых предполагает анализ и оценку перспектив динамики показателей инновационно-активного развития, что делает актуальной задачу моделирования
и прогнозирования социально-экономических процессов на начальных
участках их развития, т.е. по малым выборкам. Устаревшие данные при
моделировании могут оказаться бесполезными и даже вредными.
Наличие малых выборок (в статистике понятие малости выборки
обычно связывают с пятнадцатью-двадцатью и менее наблюдениями)
делает зачастую невозможным использование многих известных статистических процедур и методов идентификации для рядов экономической динамики. Таким образом, одним из главных требований к инструментарию моделирования и прогнозирования социальноэкономических процессов является возможность учета и анализа эволюции временных рядов, разделения этапов эволюции.
Во-вторых, на малых выборках следует учитывать еще одно весьма важное обстоятельство, необходимое для правильного отражения рядом динамики реального процесса или явления: сопоставимость уровней ряда, которую можно трактовать как погрешность экономических
20
измерений. При инновационном характере развития СЭС может быть
низка степень сопоставимости исходных данных во временной области,
сравнимой с продолжительностью инновационного периода [39, 40, 65].
Эволюция свойств СЭС означает, что одни и те же измеренные
данные, относящиеся к разным этапам развития системы, могут подчиняться разным законам за счёт изменения эндогенных и экзогенных
факторов.
Несопоставимость уровней может быть вызвана и изменением методики расчёта показателя, изменением классификаций, терминологии и
т.д. Чаще всего несопоставимость встречается в стоимостных показателях из-за изменения цен в анализируемом периоде. Несопоставимость
может возникнуть и вследствие изменения границ области, района,
страны, а также в результате укрупнения нескольких ведомств путем
слияния их в единое целое или укрупнения производства за счет объединения нескольких предприятий.
Можно привести ряд примеров. При введении новых систем и
правил налогового учёта в России («упрощенная» система налогообложения, введение «налога на вменённый доход», возможность выбора
предприятием учётной политики в плане списания затрат, амортизации,
наличие льготного периода налогообложения для инновационных предприятий и т.п.) происходит вполне объяснимое с точки зрения минимизации налогообложения предприятий смещение макроэкономических
показателей. В силу того, что процесс перехода предприятий на новые
условия растягивается на несколько лет, смещение происходит не одномоментно, а постепенно, ограничивая преемственность соответствующих данных.
Аналогичная ситуация возникает и при внедрении новых правил
управленческого учета: может появиться несопоставимость данных для
рядов динамики показателей. Интенсивные изменения потребительских
доходов населения, изменение структуры потребления также могут делать многие данные (например, цену) несопоставимыми во времени.
Например, в практике фирм, занимающихся мониторингом рекламного
рынка, могут происходить изменения как методики, так и круга учитываемых рекламных носителей, что может привести к неверным выводам
относительно динамики роста рынка рекламы.
21
Сопоставимость во временной области требует в качестве уровней
ряда динамики использовать только адекватные индикаторы. Например,
отношение значений какого-либо экономического показателя к значениям того же показателя в соответствующем месяце предыдущего года
непригодно для моделирования инновационных и нестационарных
(эволюционирующих) процессов.
Аналогичная ситуация возникает и при известных методах исключения сезонной компоненты эволюционирующих (с изменением вида и
параметров сезонной компоненты) рядов динамики: попытка исключить
сезонный фактор именно таким образом приведет к искажению текущих
значений индикаторов за счет эволюции сезонной волны. Впрочем, к
вопросу о недостатках известных методов «десезонализации» и способах их устранения мы вернемся ниже.
Индикатор, показывающий для каждого месяца процентное отношение экономического показателя с начала соответствующего года до
данного месяца нарастающим итогом к такому же показателю прошлого
года, тоже не адекватен в условиях высокой динамики процессов. Средние значения несопоставимы между собой, так как они получены путем
усреднения за разные периоды (за разные годы). Сезонная компонента
при таком способе моделирования не устраняется, а деформируется, что
может также приводить к неадекватным выводам. Причиной указанных
проблем с индикаторами является отсутствие эффективных методик для
моделирования нестационарных процессов. Аналогичные ситуации могут возникать и при работе с «производными» динамическими рядами,
полученными преобразованием каких-либо первичных данных. Необходимо учитывать возможные последствия таких преобразований.
Следует иметь в виду и календарную компоненту временного ряда: несопоставимость, например, различие количества дней в месяцах
года, количества праздничных дней в месяцах и т.п. В большинстве
случаев все же удается устранить или уменьшить несопоставимость,
вызванную указанными причинами, путем пересчёта с помощью формальных методов.
Неточность в рыночных данных всегда будет присутствовать и изза наличия в любых странах и на любых рынках теневой экономики.
Степень точности информации в контролируемых государством секторах экономики выше: в банковской отрасли, в торговле медикаментами
22
и т.п. до 90%. В отдельных сферах (розничная торговля, сфера потребительских услуг, торговля алкоголем) она очень низка – от 10 до 50%.
Даже в развитых странах по оценке [20] точность государственной статистики не превышает 85%. Не весь рынок можно охватить даже применением совершенных методик его мониторинга. Не весь объём продаж товарной категории можно будет учесть, используя выборочные
(т.е. основанные на теории вероятностей) методы полевых маркетинговых исследований. Используя полевые методы сбора информации
(например, опросы), мы вынуждены полагаться на ответы респондентов, которые могут быть неточными из-за социально-психологических
факторов (например, из-за желания респондентов выглядеть лучше, чем
они есть на самом деле) или просто по причине их забывчивости (кто из
обычных людей достоверно помнит объём покупки какого-то конкретного товара в прошлом?).
В-третьих, при моделировании большинства производственных
систем основные закономерности их протекания и развития известны, а
любой недостаток априорной информации для анализа их точности может быть восполнен экспериментальными данными. Принципиально
иная ситуация возникает при моделировании СЭС. Здесь зачастую отсутствует априорная информация о количественных закономерностях,
присущих причинно-следственным (казуальным) связям между показателями, необходимая для формирования моделей. К тому же анализ существенно осложняется многообразием динамических свойств СЭС и,
как следствие, возможных динамических моделей. Многообразие динамических свойств проявляется в виде сложной структуры рядов динамики (наличия нескольких компонент, сочетающихся аддитивно и/или
мультипликативно), в виде запаздываний (лагов) реакции объекта моделирования на внешнее воздействие, пренебрежение которыми заметно
снижает точность анализа.
В-четвертых, при моделировании и прогнозировании показателей
СЭС практически исключается (или крайне затруднена) возможность
проведения активных экспериментов для получения информации о поведении изучаемых переменных, проявлениях тех или иных отклонений
в ходе процесса, обусловленного его динамикой. Это относится и к экспериментам, связанным с надлежащим образом выбранными вариация23
ми тех или иных условий, с их многократным повторением для выяснения уровня, при котором влияние вариаций становится заметным.
В-пятых, определяющим в проблеме точности моделей инновационной динамики показателей является уровень отражения в них соотношения детерминированных и стохастических свойств. Соотношение
характеристик устойчивости и изменчивости, а также их удельный вес в
общей характеристике развития за определенные интервалы времени
определяет степень инерционности СЭС и возможность прогнозирования её показателей. Признаками эволюции ряда могут быть увеличение
(или уменьшение) мощности стохастической компоненты в ряде динамики, смена аддитивного характера ее вхождения в структуру ряда на
мультипликативную (или наоборот), появление гетероскедастичности
(или возврат к гомоскедастичности).
В-шестых, следует иметь также в виду, что на участках эволюционного развития достаточно грубые (простые) модели рядов динамики
показателей могут давать приемлемые по точности результаты, а для
описания переходного состояния потребуется более полная система параметров и более подробная структуризация модели.
В-седьмых, следует учесть, что динамика СЭС может быть описана с помощью линейных или нелинейных дифференциальных или конечно-разностных уравнений. Детерминированные непрерывные функции или разностные уравнения, моделирующие явления и процессы в
СЭС, являются зачастую решениями этих уравнений, но иногда могут
быть предопределены, исходя из положений экономической теории или
просто уже исторически сложившейся практикой моделирования. При
этом использование непрерывного времени удобно для аналитического
моделирования, позволяет применить аппарат дифференциального исчисления. Математическая экономика в большей мере рассматривает
непрерывные модели, в то время как эконометрика, оперирующая статистическими данными, использует результаты дискретизации этих моделей. Однако в известной эконометрической литературе процедура
дискретизации траекторий рассматривается довольно поверхностно, без
анализа тех погрешностей, которые при этом могут возникнуть, а также
выполнения условий, которые следует соблюсти.
В лучшем случае ограничиваются ссылкой на теорему Котельникова (теорему дискретизации), в соответствии с которой непрерывная
24
функция времени Y (t ) будет полностью определена последовательностью (рядом) своих значений, отстоящих друг от друга не более чем на
шаг (период) опроса (sample time)   f max , где f max – наивысшая часто2
та в спектре дискретизируемой функции. Данные вопросы требуют более обстоятельных комментариев, приведенных ниже.
В-восьмых, для пространственных рядов динамики имеем регрессии со стохастическими факторными переменными, идентификация которых сложнее, имеет свою специфику [21, 71, 73, 81, 104].
1.2. Характеристики точности моделирования,
прогнозирования и адекватность моделей динамики
Точность определяется степенью приближения истинных уровней
исследуемых показателей к их модельным значениям.
Адекватность предполагает воспроизведение моделью с необходимой полнотой всех характеристик процесса, существенных для цели
моделирования. Иными словами, точность лишь характеризует близость
реальных и модельных величин, а адекватность требует, чтобы модель
отражала свойства исследуемого процесса.
Если модель не является точной, то она не будет и адекватной.
С другой стороны, наиболее точная модель не обязательно будет наиболее адекватной. Точность модели не зависит от целей моделирования, а
адекватность определяется тем, какие характеристики и свойства процесса интересуют исследователя в конкретном случае.
Можно сказать и так: если при идентификации структуры модели
исследователь руководствуется множеством факторов, определяющих
ее адекватность, то при идентификации параметров модели с заданной
структурой на первое место выступает точность описания ряда динамики.
Таким образом, точность получаемых моделей является необходимым, но не единственным требованием к инструментарию моделирования. При оценке точности идентифицированной модели речь идет о
соответствии (близости) значений аналитической модели ряда динамики Yk реальным значениям Yk выборки ряда динамики в конечном числе n точек выборки по выбранному критерию соответствия.
25
Наиболее простыми можно считать среднее абсолютное (mean
absolute error) отклонение
1 n
MAE   Yk  Yk
n k 1
(1.1)
и относительное отклонение (mean absolute percentage error)
1 n Yk  Yk
MAPE  
 100% .
n k 1 Yk
(1.2)
Критерий (1.1) является размерным, выражается в тех же единицах
измерения, что и моделируемый ряд динамики. Размерность критерия, с
одной стороны, позволяет оценить «физическое содержание» погрешности моделирования, но, с другой стороны, малая величина этого критерия при малых значениях Yk и Yk не гарантирует высокой точности
моделирования.
Целесообразнее использовать относительный критерий, который
был бы не зависим от абсолютных величин сравниваемых (модельного
и реального) рядов и был бы нормирован в некотором диапазоне, границы которого позволили бы говорить о высокой или низкой точности
моделирования.
Критерий (1.2) безразмерный, что является его положительным
свойством. Однако его значение во многом зависит от уровней ряда динамики. Если значения ряда динамики велики по отношению к своему
приращению, то среднее относительное отклонение будет мало, а если
они близки к нулю, то величина (1.2) будет большой вне зависимости от
точности модели. Если же имеются наблюдения, строго равные нулю,
то использовать относительные величины вообще невозможно.
Иногда используют сумму квадратов отклонений (unexplained sum
n


of squares): USS   Yk  Yk
k 1

2
. Именно эта величина минимизируется
в МНК, уже более двухсот лет используемом в разных приложениях и
хорошо поддержанном программно. Однако USS измеряется в единицах, равных квадрату единиц измерения самого ряда динамики, что в
26
определенной мере имеет «энергетическую» интерпретацию в технике,
но не в экономике.
Наиболее широкое применение [1, 2] на практике нашел безразмерный коэффициент детерминации (coefficient of determination) R 2 :

n
R2 
k 1
n
Yk
 M Yk 

 Yk  M Yk 
k 1
 Yk  Yk 
n
2
2
1
2
k 1
n
 Yk  M Yk 
,
(1.3)
2
k 1
где M – оператор математического ожидания.
В числителе формулы (1.3) стоит сумма квадратов отклонений,
которая интерпретируется как мера остаточного, не объясненного моделью разброса. Знаменатель дроби является мерой общего рассеивания
Yk относительно линии математического ожидания M Yk  . Коэффициент детерминации является мерой, позволяющей определить, в какой
степени найденная модель дает лучший результат для объяснения исследуемой динамики, чем горизонтальная прямая M Yk  , соответствующая стационарности показателя.
У коэффициента детерминации есть очевидные достоинства: он
легко вычисляется, интуитивно понятен, имеет четкую интерпретацию,
т.к. его значения в общем случае лежат в диапазоне от нуля до единицы
(от 0% до 100%), т.е. он имеет нормированный диапазон. Если, например, мы получим в результате моделирования, что R 2  0,7 , то это означает, что предложенная модель объясняет 70% имеющихся реальных
данных. Нижним допустимым пределом точности моделирования, оцениваемым коэффициентом детерминации, обычно считают 70-75%.
И все же роль коэффициента детерминации как меры точности при
выборе модели не нужно абсолютизировать, т.к. его использование порождает и ряд проблем:
 R 2 никогда не уменьшается при усложнении модели, например,
при добавлении новых компонент ряда динамики, что может создать у
исследователя стимул необоснованно её усложнять. Впрочем, данный
недостаток можно устранить использованием скорректированного коэффициента детерминации [12];
27
 при оценке качества моделей временных рядов значение R 2 зачастую достигает значения 0,9 и выше, в результате чего осуществление
различия моделей на основании данного коэффициента, особенно в
условиях малых выборок, является трудновыполнимой (практически
невыполнимой) задачей;
 при отсутствии постоянного слагаемого в модели ряда, неверном выборе структуры модели ряда, значительных вычислительных
ошибках в процессе идентификации R 2 может принимать и отрицательные значения [12].
Тем не менее, указанные достоинства коэффициента детерминации заставляют отдать ему предпочтение вместо более сложных, требующих длинных выборок тестов Ф. Диболда, Р. Мариано и В. Ендерса
[31, 86, 98].
Будем исходить и из того, что современная вычислительная техника при соответствующем математическом обеспечении может в короткие сроки идентифицировать несколько моделей для одного и того же
ряда динамики (предлагаемых из визуальных предположений, из предпосылок экономической теории, из предыдущего опыта), а затем для
каждой из них вычислить критерии точности моделирования и/или прогнозирования.
Известны рекомендации делать выбор в пользу более простой модели, с меньшим количеством параметров.

Нужно учитывать, что МНК дает оптимальные оценки Ai парамет-
ров Ai модели не всегда, а лишь при соблюдении условий ГауссаМаркова (Gauss–Markov conditions) для оценок параметров при идентификации [1, 69, 71]. Условия оптимальности МНК-оценок параметров
модели следующие:
1. Несмещенность (unbiased estimator): отсутствие систематических погрешностей в оценках параметров, т.е. должно выполняться
условие M { Ai}  Ai . В этом случае каждая отдельная оценка Ai на конкретной выборке объёмом n наблюдений лишь в редких случаях совпадает с соответствующей характеристикой генеральной совокупности
(population) объемом выборки N . При многократном повторении выборок среднее значение оценок, рассчитываемых по ним, совпадёт с истинным значением оцениваемого параметра.
28
2. Эффективность (efficient estimator) – обеспечивается минимальное значение дисперсии оценки в применяемом методе сглаживания среди других возможных методов при фиксированном объёме выборки N , т.е. D{ Ai}  min , где D ... – оператор дисперсии. Каждая отдельная эффективная оценка не гарантирует того, что она даст более
точное значение параметра, чем менее эффективная. Оценка называется
асимптотически эффективной, если с увеличением объёма выборки её
дисперсия стремится к нулю. Наибольшее внимание в «статистике малых выборок» принято уделять обеспечению эффективности оценок Ai
параметров, т.е. минимизации дисперсий оценок (поскольку с возрастанием объёма выборки n несмещенность и состоятельность оценок гарантируются).
3. Состоятельность (consistent estimator) – оценки параметров
сходятся по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. для   0


выполняется lim P Ai  Ai    1 ,   0 . Состоятельной будет та
n
оценка, которая дает истинное значение при достаточно большом объёме выборки вне зависимости от значений входящих в неё конкретных
наблюдений. В большинстве случаев несмещенная оценка является и
состоятельной. Состоятельные оценки, смещенные при малых объёмах
выборки, при увеличении объёмов выборок становятся асимптотически
несмещенными.
Перейдем теперь к формулированию условий Гаусса-Маркова,
обеспечивающих оптимальность МНК-оценок параметров моделей.
1. Компонента  k должна являться случайной величиной. Обычно это условие дополняют ещё одним: распределение  k не должно зависеть от значений определяющих переменных в регрессии. Данное
условие обычно выполняется автоматически, если объясняющие переменные не являются стохастическими, например, для временных рядов
динамики. Однако трудно себе представить нестохастические
переменные в «пространственной» динамике.
2. Компонента  k должна являться центрированной случайной ве-
личиной, т.е. M  k   0 . Данное условие означает, что случайная компонента не должна иметь систематического смещения. Если постоянный
член модели (параметр) включен в уравнение регрессии, то разумно
29
предположить, что это условие выполняется автоматически, так как
роль постоянного члена состоит в отражении любой систематической,
но постоянной составляющей в уровнях Yk .
3. D k    2 – дисперсия должна быть одинаковой для всех значений  k и независимой от значений определяющих переменных X i в
модели регрессии, т.е. стохастическая компонента должна обладать
свойством гомоскедастичности: равноточности (стационарности) ошибки различных наблюдений уровней ряда. При невыполнении указанного
условия стохастическая компонента  k гетероскедастична, а МНКоценки параметров будут неэффективными, хотя и несмещенными. Эффективности оценок в эконометрике уделяется наибольшее внимание,
поэтому и вопрос обеспечения гомоскедастичности, или хотя бы компенсации гетероскедастичности, является одним из главных при эконометрическом моделировании. При этом следует осознавать, что величина  2 , конечно, неизвестна. Одна из основных задач регрессионного
анализа и состоит в оценке величины и стационарности дисперсии стохастической компоненты.
4. M  k   l   0 при k  l , т.е. значения  k и  l должны быть некоррелированны. Отсутствие автокорреляции означает отсутствие связи
(во всяком случае, линейной) в уровнях помехи. Зачастую данное условие нарушается для временных рядов динамики. Автокорреляция остатков означает, что существуют такие наблюдения k и l , при которых
M  k   l   0 . Невыполнение условия некоррелированности приводит к
неэффективности оценок параметров. Чаще рассматривают корреляцию
между остатками уровней исходного ряда и остатками, сдвинутыми на
один шаг во времени, т.е. l  k  1 . Известно несколько тестов, определяющих автокорреляцию остатков  k : серий, Льюинга-Бокса и, чаще
всего, Дарбина-Уотсона [1]. Последний тест имеет, однако, определенные ограничения: выявляет лишь корреляцию между соседними значениями остатка, в то время как может быть корреляция на других интервалах. Кроме того, для его применения в регрессии должен обязательно
присутствовать свободный (без факторных переменных) член. Имеется
и область неопределенности, в которой вопрос о наличии автокорреляции остаётся открытым. Регрессоры должны быть нестохастическими
30
(для временных рядов это условие выполняется) и, главное, необходимо
использовать выборки не менее чем из пятнадцати наблюдений.
Положительную и отрицательную автокорреляцию остатков можно продемонстрировать на примере ряда последовательных значений
курса ценной бумаги. Если в какой-то момент времени курс окажется
завышенным по сравнению с реальным курсом, то, скорее всего, он будет завышен и на следующих торгах, т.е. имеет место положительная
автокорреляция, которая встречается чаще. При отрицательной автокорреляции наблюдения действуют друг на друга по принципу «маятника» – завышенные значения в предыдущих наблюдениях приводят к
занижению их в последующих наблюдениях. Известно несколько методов исключения или уменьшения (компенсации) автокорреляции остатков, например, переход к моделированию не уровней ряда динамики, а
их разностей (первых, вторых и т.д.); метод авторегрессионных преобразований [1, 11, 26]. Компенсации автокорреляции в предложенных
методах идентификации будет уделено значительное внимание, в частности будут предложены приемы прореживания выборки и предварительного сглаживания.
5. Часто приведенные выше условия Гаусса-Маркова дополняют
требованием и нормальности закона распределения  k . Однако представляется, что условие нормальности закона распределения  k не является в рассматриваемых задачах строго обязательным. Дело в том, что в
статистике больших выборок условие нормальности закона распределения стохастической компоненты используется, в основном, для определения доверительных интервалов (confidence interval) оценок параметров линейных, квадратичных и экспоненциальных (после логарифмирования для преобразования их к линейным моделям) регрессий.
Однако аналитическое определение доверительных интервалов
для оценок параметров других, нелинейных моделей регрессии, которые
и встречаются на практике, отсутствует. Более того, расчет доверительных интервалов корректен лишь при условии достаточно больших статистических выборках определяемого показателя, которые в эволюционирующей динамике практически не встречаются. Оправданно в условиях малых выборок ограничиться условием симметричности закона
распределения и центрированности  k , что означает, по сути, отсут31
ствие систематической составляющей в помехе (или учет моделью всех
закономерностей реальной выборки).
Именно эти условия (первые четыре и пятое – с требованием симметричности распределения стохастической компоненты) и будем
называть принятыми условиями Гаусса-Маркова.
При моделировании статистической выборки адекватной моделью
случайный остаток  k должен быть отделен от уровней определяемой
переменной модели Yk . Расположение остатков  k (точнее их оценок)
 k , показанное на рисунке 1.1 в виде горизонтальной полосы, говорит о
том, что модельные значения Yk хорошо аппроксимируют фактические
значения Yk , а остатки представляют собой случайные величины.
e k*
0
Yk*
Рис. 1.1. Случайные (гомоскедастические) остатки в функции
оценки уровня определяемой переменной
Приведем иллюстрацию и свойства гетероскедастичности в силу
его большого значения для определения точности и выбора метода
сглаживания при моделировании рядов экономической динамики. В
каждом наблюдении стохастическая компонента имеет только одно значение  k , поэтому, говоря о её дисперсии и гетероскедастичности, имеют в виду возможное поведение  k до того, как проведено наблюдение.
При гомоскедастичности нет оснований априори ожидать появления
особенно больших отклонений в любом наблюдении, а вероятность того, что величина  k примет какое-то данное значение, будет одинакова
для всех наблюдений k . На рисунке 1.2, а оценки остатков  k имеют
систематический характер и постоянную дисперсию. На рисунке 1.2 б
изображена переменная дисперсия в функции уровня определяемой переменной (номера наблюдения), т.е. оценки остатков обладают свойством гетероскедастичности.
32
Гетероскедастичность может иметь место не только для временных рядов, но и для «пространственной» динамики. Например, если исследуется зависимость расходов на питание в семье от ее общего дохода, то можно ожидать, что разброс данных будет выше для семей с более высоким доходом. Это означает, что дисперсии зависимых величин
– расходов на питание (а следовательно, и случайных ошибок) не постоянны для отдельных значений объясняющей переменной (дохода), так
как в этом случае исследуемый объект неоднороден.
e k*
0
Yk*
а)
e k*
0
Yk*
б)
Рис. 1.2. Гетероскедастические остатки в функции оценки
уровня определяемой переменной
На практике обычно не удается уверенно определить причину и
вид гетероскедастичности: например, она может появиться из-за неправильного выбора модели, т.е. определяться самим фактом выбора той
или иной модели или методом её идентификации. Чаще она обнаруживается экспериментально с помощью тестов, в которых делаются различные предположения о зависимости случайной компоненты от тренда
или номера наблюдений, например, тесты Спирмена, ГолдфельдаКвандта, Глейзера, применение которых, заметим, предполагает использование объёмов выборок в 30 и более наблюдений [2].
Устранение или хотя бы частичная компенсация (уменьшение) гетероскедастичности  k является в эконометрике, как правило, непро33
стой задачей. Для её решения применяют, например, обобщенный метод
наименьших квадратов (ОМНК), требующий знания ковариационной
матрицы остатков  k или его более простой вариант – взвешенный
МНК, в котором постулируется некий закон изменения дисперсии
(например, в виде геометрической прогрессии, линейной или экспоненциальной функции) и осуществляется соответствующее весовое суммирование невязок.
Если значения  k автокоррелированы, а её ковариационная матрица известна, то веса в ОМНК назначают обратно пропорциональными
значениям дисперсии для k -го наблюдения.
Для представления общей картины следует упомянуть, что в относительно длинных рядах динамики могут встретиться ещё два других
вида изменения дисперсии стохастической компоненты  k .
В рядах с условной гетероскедастичностью, характеризующих,
например, процессы инфляции или уровень инвестиций, условная дисперсия ряда динамики зависит от времени. В долгосрочном периоде, на
протяжении нескольких десятков лет, дисперсия таких рядов постоянна,
но в рамках данного периода могут быть более короткие отрезки времени продолжительностью в несколько лет, на которых дисперсия явления
относительно высока. При этом ряд динамики может быть гомоскедастичен, несмотря на условную гетероскедастичность [12, 73].
Известны и ряды динамики с волатильностью (например, обменные курсы валют и доходностей фондового рынка, цены на опционы,
динамические соотношения для цен активов), в которых чередуются периоды малых значений  k и периоды больших значений  k [71].
Перейдем теперь к оценке точности прогнозирования (forecasting),
т.к. моделирование обычно предназначено для обоснования и построения прогнозов, а в конечном итоге – для принятия управленческих и
маркетинговых решений.
Прогноз предполагает существование в сфере социальноэкономических взаимодействий общества неких объективных законов
развития, что выражается в наличии свойства инерционности, т.е. неизменности ряда параметров развития. Рассматриваемые в монографии
трендовые модели также связаны с предположением инерционности,
которая может проявлять себя двояко: через инерционность характера
динамики процесса (направления, темпов развития, колеблемости ряда
34
показателей и т.д.), а также через инерционность взаимосвязей, т.е. механизма формирования явления.
Прогноз значений экономических показателей различают по интервалу упреждения: «горизонту» прогноза динамики показателя по экзогенной переменной.
Для эволюционирующих временных рядов различают оперативные (обычно с «горизонтом» прогноза до одного периода дискретизации) и краткосрочные (от одного до трех-пяти периодов дискретизации)
прогнозы [7, 19].
Например, при прогнозировании урожая или цен на отдельные
сельскохозяйственные культуры «горизонтом» прогноза обычно назначают год. Именно краткосрочное прогнозирование является основной
задачей при мониторинге эволюции ряда динамики.
Перспективные (среднесрочные или долгосрочные) прогнозы на
основе трендовых моделей для стационарной динамики не принято
назначать на период больше 1 3 интервала наблюдения (выборки).
Для оценки точности прогноза выборка объемом n наблюдений
разбивается на рабочую часть из n1 наблюдений, по которой осуществляется идентификация модели, и контрольную (прогнозную) часть из
l наблюдений («горизонт прогноза»). На контрольную часть выборки
осуществляется прогноз уровней определяемого показателя путем подстановки в идентифицированную модель номеров наблюдений контрольной части. Естественно, что n1  l  n .
Идея разбиения выборки на рабочую и контрольную части, последующего сравнения прогнозных модельных значений и известных реальных значений на контрольной части состоит в следующем. Если различие прогнозных и известных значений по принятому критерию точности прогноза на контрольной части выборки невелико, то, исходя из
свойства принятого допущения инерционности процессов и явлений в
СЭС, нет оснований считать, что оно будет другим и для будущих неизвестных значений. Таким образом, точность прогноза на контрольной
части выборки «переносится» (экстраполируется) на будущие значения
ряда динамики.
При структурных изменениях (при структурных сдвигах) в СЭС
данный метод прогнозирования неприменим.
35
Для оценки точности прогнозов по контрольной части выборки
можно использовать MAE- и MAPE-оценки, рассчитанные на прогноз1 n l

ной части выборки: MAE   Yk  Yk и, более часто,
l k n1
MAPE 
1 nl Yk  Yk
 100% .

l k n1 Yk
(1.4)
К уже указанным недостаткам MAE- и MAPE-оценок можно добавить, что MAPE-оценка прогнозирования довольно чувствительна к отдельным «плохим» прогнозам. Кроме того, расчет MAPE-оценки прогнозирования затруднен, если значения уровней ряда динамики близки
к нулю.
Именно поэтому для оценки качества прогнозов через сумму
квадратов отклонений также используют коэффициенты несоответствия
(коэффициенты Тейла) [12, 115]:
n l
KT 1 
 Y

k
k n 1
n l
 Yk
 Yk

2
,
2
k  n l
n l
KT 2  T2 
 Y
k n1
n l
Yk 2
k  n l


k

 Yk
n l

2
 
k  n l
Yk
2
.
(1.5)
Вторая форма коэффициента Тейла (1.5) более распространена на
практике, особенно для случаев, когда уровни ряда малы по своим значениям. Нетрудно увидеть, что чем меньше коэффициенты Тейла, тем
точнее прогноз, а «совершенный прогноз» имеет коэффициент Тейла,
равный нулю. Приведенные оценки точности прогноза правильнее
называть ожидаемыми значениями ошибки прогноза.
Обычно считают ожидаемую точность прогнозирования в диапазоне значений 10-15% по оценкам MAPE и KT 2 хорошей.
36
Не всегда модель, имеющая высокое значение точности моделирования (например, коэффициента детерминации), обеспечивает высокую
точность прогноза, особенно для эволюционирующих процессов. Для
таких процессов можно отдавать предпочтение тем моделям, которые
дают большую точность прогноза при меньшей (во всяком случае, незначительно) точности моделирования.
Можно предложить и комплексный критерий моделирования и
прогнозирования MF , заключающийся в расчете максимального значения для каждой i -й из сравниваемых по точности моделей ряда динамики:


MFi  max Ri2  MAPEi .
(1.6)
В (1.6) можно ввести веса для ошибок моделирования и прогнозирования, отражающие их важность для исследователя в конкретном
приложении.
Критерии точности моделирования и прогнозирования, приведенные выше, довольно просты, но в условиях малых выборок именно их
применение представляется достаточным. Если моделирование и прогнозирование рядов динамики не предполагает последующего анализа
сложившейся динамики показателей, то можно считать, что адекватность модели фактически сводится к точности получаемых прогнозов.
1.3. Декомпозиционный подход к построению моделей динамики
Декомпозиционный подход к построению системы моделей
(decomposition approach in model-building) динамики является частью
системного подхода к анализу рядов динамики и основан на разделении
сложной модели на отдельные более простые компоненты с последующим их согласованием для получения общей модели. Его назначение –
упростить идентификацию предлагаемой модели ряда и обеспечить, тем
самым, возможно большую точность моделирования и прогнозирования.
Декомпозицию можно применить как к определяемым показателям динамики СЭС при многокомпонентной структуре ряда, так и к моделям отдельных компонент ряда.
37
При декомпозиции ряда могут быть предложены различные наборы компонент ряда и разные структуры взаимодействия между ними.
Выбор декомпозиции неоднозначен и оправдан в пользу той модели, которая даст большую точность моделирования (1.3) или прогнозирования ((1.4) или (1.5)) или лучший комплексный критерий (1.6).
Наиболее часто предметом исследований является такая компонента ряда при декомпозиции, как тренд T (t ) показателя СЭС. Тренд
порождают в СЭС, например, такие факторы, как изменение состава
населения, структуры потребления, инфляция, технологические инновации, рост производства, динамика цен на благо и др.
Взятые в отдельности, эти факторы могут оказывать разнонаправленные и различные по динамике воздействия на анализируемый экономический показатель. В совокупности они формируют некоторую более «гладкую» зависимость, чем исходные данные – тренд. Применяют
в экономической практике более сотни различных моделей тренда T (t ) .
Перед моделированием тренда ряда динамики известными методами рекомендуют при больших объемах выборки осуществлять на
имеющихся наблюдениях проверку статистической гипотезы о самом
факте существовании тенденции. Наиболее часто реализуют проверку
гипотезы о равенстве средних двух совокупностей, на которые разбивают анализируемый ряд динамики, или метод Фостера-Стюарта. Первый метод рекомендуют применять к рядам с монотонной и значимой
относительно значений уровней тенденцией. Второй метод считают более простым и дающим более надежные результаты. Следует иметь в
виду, что оба метода достаточно точны только в тех случаях, когда объем выборки велик, а распределение помехи подчинено нормальному закону.
Наиболее распространенными методами моделирования тренда
являются укрупнение интервалов, сглаживание скользящей средней,
модель Хольта-Уинтерса и аналитическое (параметрическое) выравнивание [30, 40, 64, 83, 92].
Исходя из задачи моделирования и прогнозирования эволюционирующей динамики СЭС, следует считать большинство из названных методов моделирования трендов неподходящими из-за больших объемов
требуемой выборки, неадекватными из-за простоты используемых мо38
делей реальной нелинейности моделей современных социальноэкономических и технологических процессов.
Для колебательной компоненты ряда C (t ) динамика изменения
уровней существенно выше, чем у тренда. При этом эволюция C (t ) проявляется на более коротких интервалах времени, а точность моделирования и, особенно, прогнозирования уровней обычно ниже.
Колебательная компонента C (t ) может быть, в свою очередь, декомпозирована на две другие компоненты: сезонную S (t ) (seasonal
component), которая описывает внутригодовые колебания, и многогодовую циклическую Ц (t ) (cycle component) компоненту.
На коротком интервале наблюдения в качестве колебательной компоненты обычно принимают более динамичную сезонную компоненту S (t ) ,
так как циклическая компонента меняется в этом случае незначительно.
Параметрическая модель сезонной компоненты обычно проще, чем
параметрическая модель циклической компоненты.
Детерминированные компоненты T (t ) , S (t ) и Ц (t ) образуют детерминированную компоненту D(t ) временного ряда Y (t ) .
Взаимодействие между всеми компонентами T (t ) , S (t ) , Ц (t ) и  (t )
обычно рассматривают только как аддитивное или только как мультипликативное.
В структуре ряда динамики можно дополнительно учитывать и
другие компоненты:
 календарную компоненту, происхождение которой уже пояснено выше. Методы учета календарной компоненты известны [18, 85, 92];
 выбросы: аномальные движения временного ряда, связанные с
редко происходящими событиями, которые резко и кратковременно отклоняют ряд от общего закона движения, например, авария на атомной
станции в Японии, выброс нефти в Мексиканском заливе и др.;
 структурные сдвиги: аномальные движения временного ряда,
связанные с редко происходящими событиями (например, с изменением
ставок налогов, ставок акцизных сборов, существенным изменением
климатических условий), имеющие скачкообразный характер и изменяющие тенденцию;
 инфляционную компоненту.
39
Обычно анализируемые выборки перед моделированием и прогнозированием «очищаются» от календарной компоненты и выбросов.
В силу того, что наблюдаемыми являются только уровни Y (t ) определяемой переменной ряда, а T (t ) , S (t ) и Ц (t ) ненаблюдаемы (unobserved components), их выбор в общем случае, повторимся, неоднозначен и является в определенной мере искусством.
Те или иные компоненты (кроме стохастической) ряда динамики
могут отсутствовать как принципиально, в силу причинноследственных связей, так и в зависимости от длины интервала наблюдения (объёма выборки). Считается, что чем короче интервал наблюдения,
тем проще может быть модель, адекватная выборке.
Декомпозиция ряда динамики зачастую осуществляется на основе
самых общих предположений и условий. Критерием декомпозиции может быть, например, уровень компонент ряда. При этом можно, с определенными оговорками, руководствоваться следующей системой неравенств [33, 92]:
 (t )
T (t ) , C (t )  T (t ) ,  (t )  C (t ) .
(1.7)
Соотношение уровней сезонной и циклической компонент на
практике может изменяться в широком диапазоне значений, поэтому
оно обычно не является критерием декомпозиции. Из (1.7) видим, что
детерминированные компоненты при декомпозиции ряда играют определяющую роль и представляют, как правило, основной интерес для
приложений.
Декомпозицию можно проводить и исходя из свойства периодичности и цикличности выделяемых компонент.
Под цикличностью понимают повторяемость явления в общих
чертах, а под периодичностью – частный случай цикличности, когда явление повторяется в деталях на каждом следующем цикле.
Трендовая компонента не обладает свойствами цикличности и/или
периодичности.
В первом приближении обычно считают, что колебательная
(во всяком случае, сезонная) компонента периодична.
40
Ряды динамики, состоящие из тренда, сезонной и стохастической
компонент, принято называть тренд-сезонными, а ряды, состоящие из
тренда, циклической и стохастической компонент, тренд-циклическими.
1.4. Модели колебательной компоненты
Колебательную компоненту ранее рассматривали лишь для элиминирования (десезонализации) из исходного динамического ряда.
Сейчас ситуация существенно меняется. Колебательная компонента ряда динамики C (t ) во многих приложениях, особенно при прогнозировании, представляет уже самостоятельный интерес, является равноправным информативным признаком после устранения тренда из ряда
(детрендирования) или наряду с ним.
Колебательный характер социально-экономических процессов и
явлений присущ практически всем СЭС. Среди основных факторов, порождающих колебательные компоненты, следует назвать краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные изменения конъюнктуры финансовых, сырьевых и товарных рынков. К ним относятся также объективные
условия функционирования ряда базовых отраслей, в частности, сельского хозяйства, строительства, промышленности стройматериалов и
электроэнергетики, которые через механизм межотраслевых связей распространяют сезонные волны по другим сферам и секторам экономики.
Циклическая компонента проявляется на протяжении более длительного времени в результате действия факторов, обладающих большим последействием и циклически (либо апериодически) изменяющихся во времени. Количество факторов, определяющих циклический характер эволюции социально-экономических систем, весьма велико, их
влияние на динамику показателей зачастую носит косвенный опосредованный характер, а дополнительная статистическая информация, позволяющая достоверно оценить направление и интенсивность такого влияния, обычно отсутствует.
Выделяют несколько видов циклов [25, 70, 99, 110, 114]:
 двадцатилетние циклы, обусловленные сдвигами в воспроизводственной структуре сферы производства;
 циклы Джанглера (от 7 до 10 лет), проявляющиеся как итог взаимодействия денежно-кредитных факторов;
41
 циклы Китчина (от 3 до 5 лет), обусловленные динамикой оборачиваемости запасов;
 частные хозяйственные циклы (от 1 года до 12 лет), вызываемые
колебаниями инвестиционной активности;
 демографические «ямы»;
 периоды экономического подъёма или спада;
 циклы Кондратьева (от 30 до 65 лет);
 строительные циклы С. Кузнеца с периодом 15-25 лет;
 «электоральные» циклы, связанные с выборами в органы власти
и имеющие период 4-5 лет, и другие.
Наиболее часто с сезонным фактором связывают погодные условия, соответствующие какому-либо времени года, но к ним относят и
более короткие колебания: например, динамику спроса в магазинах в
течение недели, колебания котировок на бирже в течение дня и др.
Погодные условия действительно влияют на объёмы производства
в сельском хозяйстве, в отраслях легкой промышленности, обрабатывающих сельскохозяйственную продукцию, в строительстве и в добывающих отраслях. От них зависят объёмы услуг в бытовом обслуживании,
объёмы продаж потребительских товаров, перевозок пассажиров на
транспорте. Даже продуктивность сельскохозяйственных животных зависит от времени года.
Сезонные колебания, возникшие в производственном секторе, передаются в финансовый сектор, где они изменяются, переплетаясь с
действиями социально-экономических и юридических факторов.
Например, у хозяйствующих объектов, неравномерно производящих свою продукцию, спрос на деньги в отдельные периоды повышается. Весной потребность в заёмных средствах у сельскохозяйственных
предприятий резко возрастает, а осенью увеличивается потребность в
дополнительных средствах у перерабатывающих предприятий, стремящихся после уборки урожая обеспечить себя сырьём на перспективу.
Кредитные учреждения, учитывая хозяйственные и финансовые
условия на местном рынке, должны предвидеть этот изменяющийся
спрос и удовлетворять его в каждый конкретный момент времени. Особенно это относится к отраслевым банкам, ориентированным на кредитование предприятий соответствующей отрасли. На валютный рынок
оказывают влияние экспортно-ориентированные отрасли и компании,
42
многие из которых в своей деятельности испытывают влияние сезонных
колебаний (автомобильная промышленность, нефтегазодобывающая,
металлургическая), что, в свою очередь, отражается на состоянии платежного баланса страны. В расчётах конкретных сумм налоговых поступлений в бюджеты различных уровней большое значение имеет прогнозирование роста и спада производства, товарооборота, в том числе и
за счёт сезонных факторов.
Эти данные важны при очередном формировании бюджетов всех
уровней, так как в них могут быть более достоверно отражены потребности регионов в федеральных ресурсах в виде субсидий, дотаций и
трансфертного финансирования. Особенно это важно для регионов,
имеющих сельскохозяйственную или иную сырьевую направленность.
Взносы во многие фонды перечисляются периодически (пенсионные
фонды, фонды обязательного медицинского страхования, Государственный фонд занятости и др.), что формирует сезонность в финансовом секторе экономики. Мощным «возбудителем» сезонности и других
циклических процессов служат также колебания спроса и потребительских предпочтений населения и хозяйствующих субъектов.
Сезонные эффекты могут быть обусловлены и неравномерной динамикой занятости населения, подверженной влиянию политики ежегодных отпусков работников и привлечения дополнительных кадров
для выполнения сезонных работ, а также пиков и спадов временной нетрудоспособности населения. Средняя заработная плата, доходы и расходы населения, остатки вкладов в банках, динамика численности безработных, индексы потребительских цен и оптовых цен промышленности содержат не только тренды, но и сезонные колебания.
Не во всех случаях сезонность является следствием действия неуправляемых или почти неуправляемых факторов.
В настоящее время при исследовании динамики важнейших показателей развития промышленного комплекса РФ задача сезонной корректировки, мониторинг ее эволюции считается одной из наиболее актуальных. Причем она возникает на микро-, мезо- и макроуровнях СЭС.
Корректировка осуществляется для индекса промышленного производства в целом, для индексов производства в отдельных отраслях и в
отраслевых группах промышленности. Но даже в случаях, когда прямое
воздействие на процессы, вызывающие сезонные колебания, невозмож43
но, их необходимо учитывать при совершенствовании технологических,
организационно-экономических, социальных процессов и процессов
управления.
Цикличность рынка связана и с ЖЦП. Различные этапы жизненного цикла – выведение товара на рынок, рост, зрелость и упадок – могут
быть смоделированы кривой соответствующей конфигурации.
Данное явление изучается в ходе маркетингового исследования,
является также объектом статистического моделирования и прогнозирования, используется для принятия управленческих решений, например, для продления этапов роста или зрелости.
В кривых ЖЦП, в свою очередь, могут присутствовать сезонные и
циклические колебания, что в известных моделях и методах их идентификации, представленных в отечественной и зарубежной литературе, не
нашло до настоящего времени аналитического отражения и идентификации.
Для того чтобы можно было «влиять» на сезонность, необходимо
уметь определять её параметры с высокой точностью, уметь моделировать и прогнозировать развитие процессов, подверженных сезонным колебаниям.
Моделирование, прогнозирование и мониторинг эволюции C (t ) является не менее сложной задачей, чем моделирование тренда из-за нелинейности, сложности и большей эволюции ее моделей и большего
объема требуемой выборки в известных методах идентификации.
При моделировании колебательной компоненты используют, как и
при моделировании тренда, непараметрический и параметрический
подходы.
Непараметрический подход не определяет аналитического выражения C (t ) и предполагает априорное знание её периода – наименьшего
отрезка по оси ординат, через который значения ряда повторяются.
Его основными недостатками являются требование большого объема выборки (обычно от 4 до 10 периодов колебаний или от 48 до 120
ежемесячных наблюдений) [4, 71]. Присутствие колебательной компоненты в составе ряда динамики увеличивает требуемый объем выборки
до 10 периодов колебаний, по сравнению с присутствием только тренда
при той же точности моделирования и прогнозирования. Чаще всего непараметрический подход оформляют в виде таблиц модельных
44
(сглаженных) и прогнозных значений. Другие непараметрические методы подразумевают вычисление будущих значений ряда динамики через
известные значения. В последнем случае математическая запись, как
правило, присутствует, но входящие в нее параметры не несут такого же
смысла, как в параметрических моделях, и их значения находятся другими методами.
К простейшему варианту параметрического подхода можно отнести метод фиктивных переменных, который использует значения квартальных сезонных коэффициентов в рядах динамики с линейным трендом и аддитивной стохастической компонентой [71]. Как следующее
приближение периодическую колебательную компоненту моделируют с
помощью гармонических функций синуса или косинуса (рис. 1.3) и характеризуют тремя параметрами: амплитудой A , фазой  и круговой
частотой   2 f  2 (где f – линейная частота, а T – период):
T
Ck  A sin k      A1 sin k   A2 cos k  ,
(1.8)
где A1  A cos , A2  A sin – соотношения, позволяющие определить
A
A  A12  A22 ,   arctg 2 .
A1

T
2

A
Рис. 1.3. Гармоническая функция, моделирующая
колебательную компоненту
Видим, что модель (1.8) линейна по параметру A , но нелинейна по
параметрам  и  .
Обычно в модели (1.8) период T считают априори известным:
«привязывают» его к году, кварталу или месяцу. Кроме того, стремятся
сделать ещё одно упрощение: осуществлять первое наблюдение в момент прохождения гармоники, моделирующей колебательную компоненту, через нулевое значение, обеспечив тем самым   0 .
45
В тех случаях, когда колебательная компонента Ck имеет более
сложную форму, но также обладает известным периодом, ее представляют чаще всего в виде ряда Фурье [4, 62]:
A0 
Ck 
  ( Ar cos r k   Br sin rk ) ,
2 r 1
n
где
A0 
n
Yk
k 1
n
,
Ar 
n
2Yk cos rk 
k 1
n
(1.9)
,
Br 
2Yk sin rk 
k 1
n
,
r  1,2,3,... ,
причём значению r  1 соответствует основная гармоника с периодом T ,
(   2 – круговая частота), а остальным значениям r – высшие гармоT
ники с периодами T .
r
Параметры A0 , Ar и Br в (1.9) определяются как линейные коэф-
фициенты множественной регрессии. Очевидно, что на больших выборках использование ряда (1.9) позволяет передать сложные формы колебательной компоненты. В практических приложениях обычно ограничиваются моделированием колебательной компоненты двумя-тремя
членами ряда Фурье [4].
Полигармоническое представление колебательной компоненты
рядом Фурье не является единственно возможным. Во-первых, гармоники могут иметь и некратные частоты. Во-вторых, может иметь место
эволюция параметров одной или нескольких гармоник, различный характер их взаимодействия с трендом, между сезонной и циклической
компонентами и со стохастической компонентой.
Начнем с рассмотрения практически важных и допускающих относительно простую идентификацию на коротких выборках моделей
эволюции ряда динамики.
Простейший подход заключается в разбиении анализируемого ряда динамики на отдельные выборки, идентификации на каждой из отдельных выборок моделей тренда и колебательной компоненты, оценивании точности моделирования и/или прогнозирования. Мониторинг
эволюции будет состоять в сравнении параметров и точности моделей
отдельных выборок.
46
Серьезным недостатком данного подхода, ограничивающим его
применение в реальной экономической практике, является то, что динамика современных социально-экономических рядов динамики высока, а
известные методы параметрической идентификации требуют больших
выборок, зачастую превышающих интервал стационарности моделей.
Выход, на наш взгляд, заключается в развитии известных моделей
компонент ряда динамики путем включения в них параметров эволюции, структур их взаимодействия и в разработке инструментария, идентифицирующего их на выборках, меньших, чем требуют известные методы.
При этом сезонные колебания чаще, чем тренд, в условиях реформируемой российской экономики демонстрируют эволюцию: в первую
очередь – амплитуд, реже – фаз и еще реже – частот. Под воздействием
различных факторов амплитуда колебательной компоненты может
нарастать или уменьшаться, уменьшаться и стабилизироваться, расти
после уменьшения и т.д.
Можно предложить, например, такие достаточно часто встречающиеся в экономической практике законы изменения амплитуды гармоники:
- линейный (рис. 1.4)
Ck   A0  A1k   sin k     ;
(1.10)
- экспоненциальный (рис. 1.5)
Ck  Ae k  sin k     ;
(1.11)
- обобщенный экспоненциальный (рис. 1.6)


Ck  A0  A1e  k  sin  k     .
(1.12)
Сk
0
k
Рис. 1.4. Эволюция амплитуды гармоники по линейному закону
47
Сk
0
k
Рис. 1.5. Эволюция амплитуды гармоники по экспоненциальному закону
Сk
0
k
Рис. 1.6. Эволюция амплитуды гармоники по обобщенному
экспоненциальному закону
Возможно для отражения закона эволюции амплитуды использование и двух гармоник с одинаковыми частотами и фазами, но с различной динамикой амплитуды, отражающее постепенное замещение одной
тенденции эволюции амплитуды другой эволюцией амплитуды, что демонстрирует рисунок 1.7:
Ck  A1e1k  sin k     A2e2k sin k   .
(1.13)
Обратим внимание на возможность назначения разных значений
амплитуд и показателей экспонент в (1.13).
Сk
0
5
k
Рис. 1.7. Смена направления эволюции амплитуды гармоники
48
Могут быть предложены и другие законы изменения амплитуды
гармоники, выбор которых определится сущностью социальноэкономических или технологических процессов или явлений в объекте
анализа и объемом анализируемой выборки.
Известен и опыт моделирования эволюции амплитуды полигармонической модели (1.9) путем введения в нее параметра времени в виде
множителя (k)r [10, 70]:
A0 
Ck 
  ( Ar cos rk   Br sin rk )(k ) r .
2 r 1
(1.14)
В принципе, возможно применение и амплитудной модуляции
(с частотой W второй гармоники, обычно меньшей, чем частота первой
гармоники  , и глубиной модуляции m ) [62]:
Ck  A(1  m sin Wk )sin k     .
(1.15)
При этом (1.15) будет интерпретироваться как мультипликативное
взаимодействие циклической компоненты с сезонной компонентой. Для
региональных экономических систем это явление встречается довольно
часто [10].
В формулах (1.10)-(1.13) введен параметр эволюции (функция
времени) в модель амплитуды колебательной компоненты. В известной
научной литературе такие модели эволюции колебательной компоненты
и, главное, методы, позволяющие осуществлять их идентификацию на
коротких выборках, не обнаружены.
В многокомпонентных рядах динамики существуют режимы эволюции ряда динамики определяемых показателей СЭС за счет эволюции тренда со стационарной колебательной компонентой и режимы, когда модель колебательной компоненты Ck также эволюционирует. В
первом случае говорят о стационарной колебательности, а во втором
случае – об эволюционирующей колебательности. Отмечают, что эволюционирующая колебательность особенно ярко проявляется в производстве строительных материалов и в пищевой промышленности.
Гармоники в ряде Фурье являются взаимосвязанными, поэтому их
эволюция будет происходить одновременно. В качестве иллюстрации
рассмотрим близкие по форме к «пилообразным» импульсам колебания
49
динамики инвестиций в основной капитал по РФ (рис. 1.8), которые могут быть аппроксимированы рядом Фурье [62].
Рис. 1.8. Инвестиции в основной капитал по России (млрд руб.)
На рисунке 1.8 отчётливо просматривается и эволюция трендовой
компоненты: на локальных участках она визуально близка к линейной
модели, а на всем интервале наблюдения будет иметь более сложный
нелинейный характер.
Для большей наглядности на рисунке 1.9 представлен фрагмент
динамики инвестиций в основной капитал по РФ, для которой можно
использовать ряд Фурье с тремя гармониками с соотношением частот
1:3:5. Обратим внимание на то, что в этом случае, как и во многих других рядах динамики, амплитуда колебательной компоненты растет примерно пропорционально росту уровней тренда.
Рис. 1.9. Фрагмент динамики годовых инвестиций в основной
капитал РФ (млрд руб.)
50
На практике возможны случаи, когда каждая гармоника полигармонической колебательной компоненты соответствует своему периоду
сезонности, например, году, месяцу или неделе. При этом частоты гармоник могут быть не обязательно пропорциональными друг другу и/или
тренду, могут эволюционировать независимо. Примером таких колебаний являются продажи шоколадных изделий, для которых характерно
снижение объема продаж в летний период (годовая сезонная волна).
Распределение праздничных дней, например, формирует волну с пиками в феврале-марте, мае, августе-сентябре и декабре, т.е. с периодом
около 3 месяцев [46].
Изменение соотношения частот гармоник также может являться
проявлением эволюции – в этом случае происходит смена формы сезонных колебаний. Возможны и незначительные изменения частоты внутри
каждого периода, характеризующие широту или узость сезонной волны
в каждом случае.
Что же касается фазы сезонной компоненты, то она чаще меняется
скачкообразно. Возможное изменение фазы по какому-либо функциональному закону фактически соответствует динамике частоты. Например, при следующих простых законах изменения фазы получим модели:
Sk  A sin k    1k    0    A sin     1  k    0  
 A sin ˆ k    0  ,


Sk  A sin  k    1e k    0
  Asin k   e    ,
k
1
0
где ̂     1 .
Модели частотной и фазовой модуляции, широко используемые в
радиотехнике [62], не нашли до настоящего времени экономической интерпретации, поэтому здесь не рассматриваются. Все вышесказанное
принципиально может быть распространено и на моделирование эволюции полигармонических колебаний.
Существенные преобразования в СЭС порождаются значительными и быстрыми изменениями ситуации – экономическими или политическими кризисами, природными и техногенными катастрофами, войнами, сменой формы хозяйствования и пр.
51
В общем случае нельзя наверняка отделить события, приводящие
к изменению значений параметров модели, от событий, вызывающих
изменения ее структуры.
Непосредственно при моделировании следует рассматривать обе
гипотезы. При наличии «сломов» (структурных изменений) в развитии
экономики и социальной сферы использование данных, относящихся к
предшествующему периоду, бессмысленно. В то же время периоды развития между коренными сломами могут быть достаточно стабильными.
Таким образом, складывается последовательность сменяющих
друг друга этапов эволюции и соответствующих им математических
моделей. Однако любое, даже самое стремительное изменение не происходит мгновенно из-за инерционности динамики СЭС. Поэтому данные, относящиеся непосредственно к периоду изменений, зачастую могут быть включены как в модель, описывающую ситуацию до «слома»,
так и в новую модель. Отыскание границ этапов эволюции становится в
этих условиях нетривиальной задачей, особенно при недостатке наблюдений после произошедших изменений. При этом каждое добавленное
наблюдение может существенно изменить модель или сделать ее неприменимой.
Можно предположить, что в настоящий момент экономика РФ
также описывается моделью переходного периода. Такие модели строятся на коротких выборках и не могут использоваться для долгосрочного прогнозирования. При выборе их структуры приходится в большей
степени опираться на мнение экспертов, чем на визуальный анализ тенденции.
Как уже отмечалось, смена модели может произойти не только в
результате социально-экономической динамики, но и в связи с изменением методики учета, территориальными преобразованиями, повышением точности сбора данных и т.п.
В таком случае уровни ряда до и после изменения несопоставимы
и являются фактически разными величинами.
Естественно, они не могут описываться одной моделью, но это изменение совершенно иного рода, с четко очерченными границами.
52
1.5. Предложение пропорционально-мультипликативных
структур взаимодействия компонент ряда динамики
В простейших случаях, которые обычно и приводят в известной
литературе [1, 33, 85], считают, что компоненты образуют временной
ряд или только аддитивным взаимодействием
Yk  Tk  Ck   k ,
(1.16)
или только мультипликативным взаимодействием:
Yk  Tk Ck k .
(1.17)
В (1.17) использовано для мультипликативной стохастической
компоненты ряда другое обозначение  k из-за существенного различия
характеристик и роли стохастической компоненты в аддитивных и
мультипликативных структурах.
Многие исследователи считают, что аддитивная структура ряда
является основной, что она в большей мере отвечает механизму формирования динамических траекторий.
Структура (1.17) используется существенно реже, в основном изза трудности идентификации таких моделей, хотя отмечается, что
структура рядов стоимостных показателей СЭС чаще является мультипликативной.
Структуры (1.16) и (1.17) можно назвать «классическими» (или
«каноническими») по характеру взаимодействия компонент ряда.
Важным свойством модели с аддитивной структурой (1.16) является то, что все слагаемые в ней независимы друг от друга: в этом случае причины (источники) их формирования различны, они не действуют
друг на друга в регистрируемых уровнях показателя ряда, все компоненты имеют одну размерность. При такой структуре ряда динамики
очевидна возможность реализации параметрического подхода для моделирования и прогнозирования: путем задания аналитических выражений для тренда, колебательной компоненты и их последующей идентификации.
В мультипликативной структуре (1.17) между всеми компонентами имеется зависимость. Трудно определить ее причинный характер для
детерминированных компонент ряда, но в силу неравенств (1.7) можно
53
предположить, что от больших по своим значениям уровней тренда Tk
зависят уровни колебательной компоненты Ck , которая, в свою очередь,
своими уровнями и своей динамикой определяет в определенной мере
уровни стохастической компоненты  k , конкретные значения которой,
естественно, случайны.
Во всяком случае, два сомножителя из трех в (1.17) являются относительными величинами и определяют доли (пропорции) изменения
уровней компонент-сомножителей.
Мультипликативная структура (1.17) затрудняет реализацию параметрического подхода при моделировании и прогнозировании рядов
динамики из-за задания одной компоненты параметрической моделью, а
других – пропорциями.
Возможное решение этой проблемы видится в преобразовании
мультипликативной структуры в аддитивную структуру с некоторыми
новыми свойствами, для которой можно будет реализовать параметрический подход идентификации.
Различные свойства имеют стохастические компоненты в сравниваемых канонических структурах.
Считают, что для стохастической компоненты  k в (1.16) выполняются принятые условия Гаусса-Маркова для возможности применения МНК и получения оптимальных оценок параметров моделей.
В общем случае в (1.16) возможен и гетероскедастический характер
 k . При этом законы изменения дисперсии стохастической компоненты
во времени могут быть различными. Однако в известной научной литературе рассматривают лишь прямую пропорциональность  k тренду,
обратную пропорциональность  k тренду, а также зависимость  k по
линейному закону от параметров тренда.
Свойство гетероскедастичности  k может быть обусловлено и
преобразованиями исходной нелинейной модели с гомоскедастической
стохастической компонентой. Такими преобразованиями могут быть,
например, логарифмирование исходной модели, переход в модели к обратным величинам, конструирование в ряде случаев модели авторегрессии-скользящего среднего для ряда наблюдений. Все указанные преобразования нелинейны.
54
Относительно механизма формирования закона распределения  k
в мультипликативных структурах рядов динамики (1.17) каких-либо
определенных предположений в известной экономической литературе
не обнаружено.
Казалось бы, и в этом случае многочисленные независимые (нет
оснований предполагать какой-либо особый вид связи между неизвестными факторами) и малые по величине нерегистрируемые факторные
переменные должны формировать нормальный (или близкий к нему)
или хотя бы симметричный (чтобы исключить систематическую ошибку
в моделях) закон распределения стохастической компоненты.
Однако в известных методах идентификации моделей с мультипликативной стохастической компонентой  k она принимается неотрицательной и имеющей логнормальное распределение [1] вида
 1  ln     2 
exp   
 
 2 


f   
2
 2

2 
с параметрами  и  , c математическим ожиданием m  exp   
,
2


с дисперсией D  e(

2
   2
2
1) (2   2 )
e
и положительным коэффициентом асим-
e2 2e1 2 1 , т.е. правый хвост логнормального
2
2
метрии K A  e
распределения длиннее левого (стохастическая компонента  k имеет
большую вероятность превышения помехи над средним значением)
(рис. 1.10).
При небольших значениях  , впрочем, логнормальное распределение стремится к нормальному распределению, имеющему среднее
значение  и дисперсию  2 . Это обстоятельство и оправдывает в какой-то мере возможность предположения о логнормальности закона
распределения при малых значениях мощности помехи.
Известно, что логнормальное распределение имеет произведение
большого числа независимых логнормальных и неотрицательных случайных величин, что зафиксировано в ряде физических явлений.
55
Представляется, что выбор логнормального закона распределения
 k в известных мультипликативных структурах может быть объяснен
лишь «удобством»: возможностью применения при таком предположении приема логарифмирования некоторых моделей для сведения их к
парной линейной регрессии относительно параметров.
2,5 f(x)
2
σ = 10
σ = 1/6
1,5
σ = 1.5
1
σ = 1/2
0,5
σ = 1/4
σ=1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
x
3
Рис. 1.10. Логнормальное распределение вероятностей
Продемонстрируем это на примере широко используемой в экономических и технических приложениях экспоненциальной функции:
Yk  A1 exp(1k ) k  ln Yk  ln A1  1k   ln k .
(1.18)
Видим, что к полученной после логарифмирования парной линейной регрессии можно применить МНК, приводящий ее к решению
«нормальной» (после дифференцирования (1.18) по параметрам ln A1 и
1 , последующего приравнивания частных производных к нулю) систе-
мы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Логарифмирование здесь является приемом линеаризации экспоненциальной модели, преобразования мультипликативного взаимодействия стохастической компоненты  k с трендом в аддитивное взаимодействие.
Полученная после логарифмирования «новая» стохастическая
компонента ln  k будет иметь уже нормальное распределение (с математическим ожиданием  и среднеквадратическим отклонением  ).
Причем наличие ненулевого математического ожидания  в уровнях ln  k нарушает одно из классических условий Гаусса-Маркова и
56
должно привести к смещению оценки ln A1 и, соответственно, к смещению оценки A1 после выполнения операции потенцирования.
Кроме того, минимизация функции среднеквадратических потерь
для ln  k будет отличаться от минимизации функции среднеквадратических потерь для  k : получим не МНК-оценки параметров исходной модели Yk  A1 exp(1k ) k , а оценки тех же параметров с другими свойствами.
Таким образом, принятие гипотезы о логнормальности  k приводит к решению, но его точность является «сомнительной».
Для другой, еще более широко применяемой на практике модели
тренда в виде обобщенной экспоненциальной функции
Yk   A0  A1 exp(1k )  k
с мультипликативной структурой вхождения стохастической логнормальной компоненты прием логарифмирования вообще не позволяет
осуществить МНК-идентификацию: логарифм суммы слагаемых в данной модели не равен сумме логарифмов, параметры идентифицируемой
модели остаются «внутри».
Возможно применение в данном случае нелинейного МНК
(НМНК), который приведет к системе нормальных уравнений, нелинейных относительно параметров модели, аналитическое решение которой
обычно невозможно, требует применения численных методов: Ньютона-Гаусса, Левенберга-Марквардта, Хартли, градиентного, сопряженных градиентов, симплекса, генетического алгоритма и др. [5, 22, 16, 21,
117].
Однако оценка параметров по статистической выборке (не по детерминированной выборке, как это изначально предполагалось в конструировании данных численных методах) для НМНК может или не
существовать, или могут получаться несколько НМНК-оценок параметров, приводящих к одному и тому же значению среднеквадратической
невязки [16].
Возможен и выход на локальный, а не на глобальный минимум.
Причем трудно будет распознать, какое из значений оценок является
ложным, а какое – истинным. Может случиться, что ни один из указанных методов не приведет к оценке параметров.
57
Добавим, что для НМНК характерны и проблемы со сходимостью
численных методов, так как он зависит от выбора начального вектора
параметров, шага итераций и т.д.
Исследование же статистических свойств НМНК-оценок параметров в нелинейной регрессии довольно сложно: при конечном объёме
выборки для установления свойств НМНК-оценок необходимо знать
конкретный вид регрессии. Отметим лишь, что НМНК-оценки могут
быть несостоятельными, являются смещенными. Применение НМНК
существенно зависит от вида модели.
Из численных методов наибольшее применение для рассматриваемых задач получили метод Левенберга-Марквардта [9] и метод генетического программирования [5, 22, 84].
Продолжим обзор известных методов идентификации модели
тренда для обобщенной экспоненциальной функции.
Не выдерживает критики известное предположение о возможности априорного знания A0 и применения затем того же приема логарифмирования к модели
Yk  A0  A1 exp(1k  ) k .
(1.19)
Дело в том, что оценка параметра A0 представляет обычно самостоятельный интерес для экономической практики.
Не устраняет отмеченные выше недостатки, связанные с постулированием логнормальности закона распределения  k , и применение
приема вариации параметра Койка [71]. В соответствии с этим приемом
производят назначения в (1.19) различных значений A0i с некоторым
малым шагом. Затем, после логарифмирования и МНК-идентификации,
осуществляется выбор того значения A0i из перебираемых, которое
обеспечит минимум среднеквадратической функции потерь.
Примеры подобных «удобных» позиционирований стохастической
компоненты в структуре модели известны и для логистических трендов,
для функций Торнквиста и для некоторых других моделей.
Общая идея таких позиционирований состоит в том, что модель
тренда вначале преобразуют в удобный для МНК-идентификации вид,
например, переходом к обратным величинам или логарифмированием.
Затем к преобразованному виду модели «удобно» добавляют стохасти58
ческую компоненту: аддитивно или мультипликативно, в зависимости
от модели.
Например, в известной модели логистического тренда Верхулста
[118]
Tk 
1
A0  A1 exp( k )
для идентификации параметров предлагают вначале перейти к обратной
величине 1T  A0  A1 exp( k ) , затем умножить A0  A1 exp( k ) на
k
стохастическую компоненту  k с логнормальным законом распределения и получить выражение Z k  ( A0  A1 exp( k )) k , которое указанными выше действиями с логарифмированием приводят к модели (1.18).
По сути, предполагается для идентификации другая («диковинная») модель ряда динамики, как бы содержащая изначально стохастическую компоненту с логнормальным законом распределения в виде
множителя в знаменателе логистической функции:
Yk 
1
.
( A0  A1 exp( k )) k
Для другой широко распространенной модели логистического
тренда Гомпертца [106] предлагается дважды логарифмировать исходную формулу для приведения преобразованной модели к аддитивной
структуре с аддитивной стохастической компонентой с нормальным законом распределения, последующего применения МНК для парной линейной регрессии, как и в (1.18). Тем самым постулируется следующее
«удобное» место  k в модели Гомпертца с параметрами A0 и A0 :
k
Yk  A0 k A1 .
При этом в одних моделях выбирают только «удобное» мультипликативное взаимодействие стохастической компоненты с моделью, а
в других – только «удобное» аддитивное.
Между тем следовало бы рассмотреть возможность существования
обеих структур взаимодействия, разработать соответствующие методы
идентификации для каждой из них и выбрать структуру, для которой
точность моделирования и/или прогнозирования окажется выше.
59
В настоящее время в силу целого ряда причин осознана актуальность поиска альтернативы МНК при моделировании и прогнозировании моделей динамики или хотя бы дополнения МНК приемами идентификации, зависящими от рассматриваемой модели ряда.
Во-первых, представляется неоправданным то, что МНК использует стохастическую невязку каждого из наблюдений выборки с одинаковым весовым коэффициентом. Естественно предположить, что зависимость в рядах динамики постепенно ослабевает с увеличением «расстояния» между наблюдениями. Очевидно, что при прогнозировании в
условиях быстро изменяющихся социально-экономических явлений
информация более поздних временных периодов является более важной, более существенной, чем информация ранних периодов. В экономике такие изменения обусловлены, например, технологическими сдвигами, изменениями цен на ресурсы, покупательной способностью населения, потребительскими предпочтениями, внешними событиями (войнами, природными катаклизмами и т.п.), изменениями в законодательстве и рядом других объективных и субъективных причин. Вместе с тем
зачастую даже по чисто вычислительным причинам без устаревшей информации порой бывает затруднительно построить эконометрическую
модель (например, из-за малого объёма исходных данных). Кроме того,
«новые» взаимосвязи обычно образуются на фоне «старых», являются
закономерным итогом эволюции отношений в социально-экономической, технологической и других сферах общественной жизни. Вследствие этого информация более ранних периодов также может представлять определенную ценность с точки зрения адекватного отображения
рассматриваемых явлений и процессов. Эти причины в совокупности выдвигают проблему сопоставительного представления в модели разновременной информации, которая обычно решается взвешиванием исходных данных, относящихся к различным моментам времени анализируемого периода. Весовые коэффициенты в такой модели прогноза
должны выражать степень важности, ценности разновременной исходной информации, полноты ее учёта при формировании модели. Весовые
дисконтирующие коэффициенты сглаживания могут назначаться на основе субъективных суждений относительно ценности исходной информации, относящейся к разным моментам времени (что оправдано в задаче прогнозирования, когда наиболее важными являются последние
60
наблюдения). Коэффициенты могут быть заданы в числовой форме или
в виде функциональной зависимости таким образом, чтобы по мере
продвижения в «прошлое» веса убывали.
Одной из таких моделей являются авторегрессии [11, 70], другой –
генетические алгоритмы оптимизации [5, 84] при построении параметрических моделей, в которых взвешивание осуществляется запуском
специального стохастического механизма, а результат практически не
зависит от выбора начальной точки.
Во-вторых, при гетероскедастичности стохастической компоненты
анализируемой траектории последствия применения МНК будут следующими [12]: оценки параметров по-прежнему останутся несмещенными
и линейными, но они не будут даже асимптотически эффективными, а
дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением, так как необъясненная уравнением регрессии дисперсия остатков не является более
несмещенной.
Вследствие этого интервальные оценки параметров помехи, даже
для тех немногих случаев, когда они могут быть определены аналитически, ненадежны, как и статистические прогнозы по моделям неслучайных компонент. Именно поэтому приему компенсации гетероскедастичности стохастической компоненты в предлагаемых методах
идентификации моделей будем уделять большое значение.
Третьим является то обстоятельство, что принимаемый обычно
постулат о нормальности закона распределения  k далеко не в полной
мере соответствует реальной эконометрической практике. Он скорее
удобен для применения МНК, чем реально доказан. Методов, позволяющих надежно проверить, следуют ли ошибки нормальному распределению или нет, особенно на коротких выборках, в настоящее время не
существует. Более того, в научной литературе убедительно показана необоснованность принимаемого обычно утверждения о преимущественности нормального закона распределения стохастической компоненты в
эконометрических моделях. Часто вообще не удаётся указать какоелибо параметрическое семейство, в рамках которого находится конкретное распределение ошибок, что также оправдывает в принятых
нами условиях Гаусса-Маркова ограничение условием симметричности
закона распределения стохастической компоненты.
61
При декомпозиции и анализе точностных характеристик методов
моделирования уже учитывалось, что часть уровней ряда динамики,
формируемая случайными факторами, существенно меньше долей других компонент.
Значения  k меньше в сравнении с уровнями ряда динамики Yk и
других компонент, а её размах ограничен. Наряду с относительно небольшими «эволюционными» изменениями определяемой переменной,
которые могут моделироваться симметричным законом распределения
ошибок, в рядах экономической динамики могут присутствовать и выбросы в механизме формирования значений  k и пропуски в данных,
которые можно рассматривать как выброс с нулевым значением. Пропуски могут объясняться как недостатками при сборе информации, так
и происходившими изменениями в системе отчётности, в системе фиксирования данных.
Появление аномальных значений может быть вызвано каким-то
«мешающим» механизмом, отличным от свойств исследуемой СЭС:
например, сдвигом запятой при перенесении информации из документа,
занесением данных в другую графу и т.д.
Выявление и исключение таких значений, замена их истинными
или обоснованными расчётными является первым и необходимым этапом первичной обработки данных, так как идентификация по «засоренной» выборке приводит к погрешностям. Использование известных в
статистике методов проверки выборки на однородность и последующее
отбрасывание аномальных наблюдений из рядов динамики, содержащих
упорядоченные данные, при анализе рядов динамики принципиально
неприемлемо.
Можно, в принципе, воспользоваться приёмом определения аномальных значений, как превышающих в некоторое, экспертно определенное, число раз среднеквадратическое значение остатков  k или как
аномальное значение первых разностей исходного ряда. После этого
выявленному аномальному значению можно присвоить допустимое по
экспертной оценке значение – тем самым выборка «цензурируется».
Можно использовать так называемые робастные (robustness) процедуры, нечувствительные к «засорениям» выборки, не требующие
априорных знаний закона распределения  k (оценки Хьюбера, Андрюса,
62
Мешалкина, Рамсея, Нэсбурга-Кашьяпа и др. [77, 95, 105, 112]) или генетического алгоритма [5].
Более «тонкого» анализа динамики эволюционирующих рядов динамики, чем в известных структурах (1.16) и (1.17), можно достичь за
счет предложения следующих возможных четырех аддитивномультипликативных (смешанных) структур [58]:
Yk  (Tk  Ck )  k ,
(1.20)
Yk  Tk Ck   k ,
(1.21)
Yk  Tk k  Ck ,
(1.22)
Yk  Tk  Ck k .
(1.23)
Из аддитивно-мультипликативных структур (1.20)-(1.23) известна
лишь структура (1.21), причем только в непараметрической форме [19].
Ее довольно широкое использование (например, вместо (1.20))
можно объяснить тем, что детерминированная компонента ряда динамики при малости уровней  k (при выполнении условий  (t ) T (t ) и
 (t )  C (t ) в (1.7)) на практике незначительно зависит от  k . Во всяком
случае, методы, которые могли бы «почувствовать» такую зависимость,
не были применены.
Когда в структуре ряда динамики, в частности для экономических
показателей СЭС мезоуровней, присутствуют сезонная S k и циклическая Ц k компоненты, то известно и применение (также в форме непараметрического подхода и по той же причине, что и в (1.21)) аддитивномультипликативной структуры [19]:
Yk  Tk Ц k  Sk   k .
(1.24)
Однако можно решать и «еще более тонкую» задачу: рассмотреть
различные по структуре взаимодействия стохастических компонент с
детерминированными компонентами. Таким примером может быть
структура ряда динамики, в которой на тренд действует мультипликативная стохастическая компонента  k , а на колебательную компоненту –
аддитивная  k (или наоборот), что, по сути, предлагалось делать в
[78, 89, 90]:
63
Yk  Tk  k  Ck   k .
(1.25)
В предложенном ниже методе параметрической итерационной декомпозиции тренд-сезонных рядов такая возможность смешанного характера присутствия стохастических компонент имеется [59].
Рассмотрим прием трансформации мультипликативной структуры
ряда динамики в аддитивную структуру.
Начнем со случая моделирования детерминированной компоненты
одним трендом. Экономическая практика показала, что между уровнями
стохастической компоненты ряда динамики и уровнями его тренда зачастую существует прямо пропорциональная зависимость [6, 7, 65], что
может быть отражено следующей формулой
Yk  Tk k  Tk (1   k )  Tk  Tk  k ,
(1.26)
где принято  k  1   k , Tk  k – «новая» гетероскедастическая стохастическая компонента.
Логично условие для гетероскедастической стохастической компоненты  k в (1.26): из  k  0  Yk  Tk .
Условие Yk  Tk будет выполнено при  k  1. Уровни стохастической компоненты могут быть знакопеременными (а не только положительными, как в логнормальном распределении). Само распределение
по характеру своего формирования должно быть симметричным и, возможно, близким к нормальному распределению в соответствии с центральной предельной теоремой или предельной теоремой теории вероятностей.
В силу приведенного выше условия декомпозиции  k Tk в (1.7)
следует ожидать, что присутствие  k не должно менять знак Yk в (1.26).
Отсюда
следует,
что
при
Tk  0
и,
следовательно,
при
Yk  0  Tk  Tk  k  0   k  1 .
Условие симметричности закона распределения стохастической
компоненты  k определит возможный диапазон значений стохастической компоненты: 1   k  1 . К аналогичному условию для  k придем и
при Tk  0 .
64
Таким образом, не определяя общий характер связи между этими
компонентами, предложенная формула (1.26) отражает частный, но
практически важный вид взаимодействия.
При этом свойство мультипликации (зависимости) тренда от стохастической компоненты сохраняет стохастическая компонента Tk  k ,
гетероскедастичность которой необходимо компенсировать (уменьшать) при разработке и реализации метода идентификации модели, чтобы обеспечить выполнение принятого условия Гаусса-Маркова. Формула (1.26) справедлива для любых моделей трендов.
Распространим прием, реализованный в (1.26) для тренда, на ряды,
содержащие кроме тренда и колебательную компоненту.
Для (1.20) получим:
Yk  (Tk  Ck )(1   k )  Tk  Ck  (Tk  Ck ) k .
(1.27)
Для (1.23), будем иметь:
Yk  Tk  Ck (1   k )  Tk  Ck  Ck  k .
(1.28)
Для (1.22) можно принять:
Yk  Tk (1   k )  Ck  Tk  Ck  Tk  k .
(1.29)
Можно модель (1.21) рассматривать в параметрической записи
тренда Tk и в параметрической записи колебательной компоненты Ck и
затем осуществлять ее идентификацию детерминированной компоненты
Tk Ck при помощи ARMA-моделирования.
Другим решением является представление колебательной компоненты в виде Ck  Ckp  1, что дает возможность анализа и тренда Tk и
«новой» (пропорциональной тренду) мультипликативной колебательной
компоненты Tk Ckp :
Yk  Tk (1  Ckp )   k  Tk  Tk Ckp   k ,
(1.30)
где Ckp - параметрическая модель колебательной компоненты.
Подстановка знакопеременных уровней моделей колебательной
компоненты Ckp в (1.30) без какого-либо ограничения на амплитуду
компоненты может привести к знакопеременному характеру уровней
65
детерминированной компоненты ряда динамики Tk  Tk Ckp , что обычно
лишено экономического смысла при положительных уровнях тренда.
Найдем ограничение на уровни колебательной компоненты.
Очевидно, что при значении Ck  1 в (1.21) будем иметь в (1.30)
Ckp  0  Yk  Tk .
Из уже рассмотренного условия декомпозиции Yk  Tk формулы
(1.7) следует назначить ограничение применения (1.30) в виде неравенства 1  Ckp  1 или Ckp  1, что означает для параметрических моделей
колебательных компонент ограничение на амплитуды моделей. Например, для гармоники (1.8) потребуется выполнение неравенства A  1.
Величина параметра A выполняет, по сути, роль коэффициента пропорциональности.
Модель означает возможность по-другому взглянуть на возможности взаимодействия компонент в ряде динамики, выделив колебательную компоненту, пропорциональную тренду, и, что может быть важно
при разработке метода идентификации такой модели, применить метод
параметрической итерационной декомпозиции таких тренд-сезонных
рядов, используя для декомпозиции факт разной динамики Tk и Tk Ckp
[59].
Аналогично можно преобразовать и мультипликативную структуру (1.17) в аддитивную структуру:
Yk  Tk Ck k  Tk (1  Ckp )(1   k )  Tk  Tk Ckp  Tk (1  Ckp ) k .
(1.31)
В (1.30) и (1.31) размах Tk Ckp определяется произведением тренда
и колебательной компоненты, а стохастическая компонента Tk (1  Ck ) k
в (1.31) аддитивна и гетероскедастична, в то время как в (1.16) стохастическая компонента  k аддитивна и в зависимости от ее природы может быть гомоскедастичной или гетероскедастичной.
Детерминированная компонента в (1.31) использует для моделирования параметрические модели тренда Tk и Tk Ckp , в отличие от (1.7), в
которой только одна из них может быть параметрической, а вторая может быть моделирована только пропорциями.
66
Проблемным вопросом идентификации будет компенсация гетероскедастичности Tk (1  Ckp ) k .
Показанный тип эволюционирующей сезонности (модель тренда
определяет закон эволюции) на практике встречается довольно часто и в
англоязычной научной литературе даже получил собственное название
trend-conditioned moving seasonality.
Сведем теперь вместе все структуры рядов с трендом и колебательной компонентой, учитывая предложенные формы представления
пропорционально-мультипликативного вхождения стохастической и
колебательной компонент и введенные обозначения:
(1.16) Yk  Tk  Ck   k ,
(1.17)  (1.31) Yk  Tk Ck k  Tk (1  Ckp )(1   k )  Tk  Tk Ckp  Tk (1  Ckp ) k ,
(1.20)  (1.27) Yk  (Tk  Ck )  k  Tk  Ck  (Tk  Ck ) k ,
(1.21)  (1.30) Yk  Tk (1  Ckp )   k  Tk  Tk Ckp   k ,
(1.22)  (1.29) Yk  Tk (1   k )  Ck  Tk  Ck  Tk  k ,
(1.23)  (1.28) Yk  Tk  Ck (1   k )  Tk  Ck  Ck k .
Приведенные структуры временного ряда из трех компонент отражают и возможность эволюции и характера взаимодействия компонент: например, перехода от мультипликативного взаимодействия к аддитивному или к смешанному взаимодействию, в котором две компоненты из трех могут быть мультипликативны, а третья – быть аддитивной.
Общим для предложенного комплекса моделей является то, что он
реализует параметрический подход для детерминированных компонент,
а стохастическая компонента  k неавтокоррелирована, гомоскедастична, центрирована, имеет симметричный закон распределения.
Из близких по постановке задачи преобразования структур можно
упомянуть лишь [78, 109].
1.6. Выбор периода дискретизации при моделировании
детерминированных компонент ряда динамики
Как известно, детерминированные траектории моделей компонент
ряда могут быть периодическими: будут повторяться через некоторый
интервал времени T , который называется периодом. Простейшей фор67
мой периодической траектории является гармоническая функция (1.8),
изображенная на рисунке 1.3.
Все остальные траектории будут негармоническими. На примере
сезонной компоненты S k покажем известную методику исследования
периодических негармонических траекторий, основанную на разложении сигналов в ряд Фурье. Ряд Фурье (1.9) здесь целесообразно представить в преобразованном виде:

Sk  C0   Cr Cos(rk   r ) ,
(1.32)
r 1
где  – основная гармоника, а C r ,  k – амплитуды и начальные фазы,
соответственно, вспомогательных гармоник.
В (1.32) параметры C 0 , C r образуют дискретный спектр амплитуд,
а r – спектр фаз. Для многих приложений достаточно знать спектр амплитуд. Он применяется настолько часто, что когда говорят просто
«спектр», то подразумевают обычно именно амплитудный спектр. В
остальных случаях делают соответствующие оговорки.
Спектр принято изображать совокупностью ординат амплитуд C r
отдельных гармоник в точках абсциссы r . Спектр амплитуд состоит из
равноотстоящих спектральных линий, а частоты гармоник находятся в
простых кратных соотношениях. Отдельные гармоники, иногда даже
первая, могут отсутствовать, т.е. амплитуды их могут равняться нулю,
что, однако, не нарушает гармоничности спектра.
Существуют и другие системы ортогональных функций, в которых
можно представить периодический сигнал на больших выборках: Уолша, Лагерра, Котельникова, Вейвлет-разложение и др., но они предполагают использование длинных выборок.
Не следует думать, что только периодическая функция обладает
дискретным спектром. Предположим, например, что сложное колебание
есть результат сложения двух гармонических колебаний с несоизмеримыми частотами, скажем 1 и 21 . Это колебание заведомо непериодическое, однако спектр его дискретен и состоит из двух спектральных
линий.
68
Функция, обладающая дискретным спектром из произвольно расположенных на шкале частот спектральных линий, называется почти
периодической.
Возможности известных методов параметризации модели (1.32)
для моделирования эволюционирующей колебательной компоненты
ограничены, так как форма колебаний и все параметры (амплитуды, периоды и фазы гармоник) на всем интервале наблюдений в этих случаях
принимаются неизменными, а период основной гармоники в ряде Фурье
– известным. Рассмотрим возможности устранения этих ограничений.
Непериодическую траекторию, к которой можно отнести тренды
и/или циклическую компоненту, их суммы и произведения, можно также рассматривать как периодические, но с бесконечным периодом и нулевой разностью частот соседних гармоник. В этих случаях говорят уже
не о ряде, а о преобразовании (интеграле) Фурье и не о дискретном
спектре траектории, а о непрерывной спектральной плотности. Принимают, что наивысшая частота спектра f max , которая определяет выбор
периода дискретизации  таких траекторий, имеет амплитуду, являющуюся малой долей от наибольшей амплитуды спектра (в качестве такой доли принимают, например, 0,1%; 0,05% от нее).
Очевидно, что выбор периода дискретизации  должен определяться задачей передачи формы наиболее динамичной (наиболее быстрой) из компонент ряда, т.к. форма менее динамичной компоненты будет при этом, естественно, передана. Величина, обратная периоду дискретизации, называется линейной частотой дискретизации (sample
frequency): f Д  1 .

Для каждой модели динамической траектории (для тренд-сезонной
модели временного ряда и для случая ряда пространственной динамики)
можно рассчитать её спектр и частоту f max [62], выбрать соответствующий период дискретизации  .
Отметим, что частота дискретизации для многих временных рядов
экономической динамики складывалась исторически, прошла проверку
практикой в течение длительного времени и после этого назначалась
директивно: например, час, день, неделя, год. Частота дискретизации
может исследователем варьироваться лишь в определенных пределах
69
(например, путём перехода от годовых наблюдений к месячным или
наоборот).
Порой такое изменение частоты дискретизации (переход от моментных рядов к интервальным или от ежемесячных наблюдений к
квартальным) можно трактовать как предварительное сглаживание исходной выборки, что будет показано ниже на одном из примеров.
Экономическая практика обычно сама отбирает более или менее
оптимальные периоды дискретизации. Например, вряд ли прижилась бы
практика только ежегодных наблюдений для измерения количества введенных в эксплуатацию метров жилья в городе вместо применяемых в
настоящее время ежемесячных наблюдений.
Приведенное условие дискретизации справедливо и для пространственной динамики. Например, для передачи характера зависимости
спроса на благо от его цены допустим большой шаг изменения цены,
если изменение спроса незначительно (спрос не зависит от цены или
изменяется по линейному закону с малым углом наклона). А вот при
высокой динамике зависимости спроса на благо от цены (описываемой
полиномами второго, третьего порядка и т.п.) шаг должен быть меньшим. Соответствующие формулы расчета периода дискретизации для
временных и пространственных траекторий известны.
Проведём обстоятельную иллюстрацию правильности выбора периода дискретизации на примере одной гармоники, которая может быть
простой моделью сезонной компоненты ряда динамики или составной
частью более сложной (негармонической, но периодической) сезонной
или циклической компоненты. В соответствии с теоремой Котельникова
гармоническое колебание с периодом T может быть адекватно представлено своими наблюдениями при условии, что частота гармоники не
превышает половины частоты дискретизации (эта частота f N называетfД
1
. Какие по2 2
следствия могут вызвать те или иные соотношения между реальной частотой дискретизации, применяемой при регистрации показателя, и частотой Найквиста?
Возможны случаи правильной передачи (восстановления) гармоники и случаи существенного искажения частоты, амплитуды и фазы.
ся частотой Найквиста (Nyquist frequency)): f N 
70

На рисунке 1.11 показан для примера случай использования 13
наблюдений на 1 период гармоники, т.е. частота гармоники f  1T существенно меньше частоты Найквиста f N .
Рис. 1.11. Частота гармоники меньше частоты Найквиста
Видим, что наблюдения позволяют правильно восстановить траекторию. Практически достаточно обеспечить от 5 до 10 наблюдений на
период гармоники, т.е. должно выполняться соотношение 5  T  10 .

Часто точное значение периода гармоники неизвестно (оно составляет предмет измерения), но какие-то априорные знания о диапазоне её значений имеются. Во всяком случае, попасть в указанный диапазон соотношения частоты дискретизации в 5-10 раз больше частоты
гармоники не представляется сложной задачей.
В то же время излишне завышать частоту дискретизации нецелесообразно, так как число наблюдений окажется избыточным для моделирования (излишние затраты на сбор, хранение, анализ и передачу
данных).
Кроме того, слишком частые наблюдения будут по значениям
уровней ряда близки друг к другу (малоразличимы), что может привести к вычислительным погрешностям при их обработке, неустойчивости
решения задачи идентификации: явлению мультиколлинеарности (multicollinearity).
На рисунке 1.12 показано, что если частота гармоники равна частоте Найквиста, то дискретные наблюдения позволяют восстановить
гармонику с той же частотой, но амплитуда и фаза смоделированной по
данным наблюдениям гармоники могут быть существенно искажены.
В худшем случае все наблюдения могут оказаться равными нулю.
71
Рис. 1.12. Частота гармоники равна частоте Найквиста
На рисунке 1.13 (а, б, в) показаны случаи получения в качестве
анализируемой выборки «маятниковой» колеблемости (имеет место чередование знаков в последовательных наблюдениях гармоники) при выборе частоты дискретизации гармоники больше частоты Найквиста.
а)
б)
в)
Рис. 1.13. Частота гармонического сигнала больше частоты Найквиста
При присутствии в наблюдениях дополнительно аддитивной или
мультипликативной стохастической компонент неправильный выбор
периода дискретизации может привести к получению труднообъяснимых с экономической точки зрения видов случайных «маятниковых»
колебаний [4].
72
Рисунок 1.14 показывает, что для суммы линейной функции и
гармоники при частоте дискретизации меньше частоты Найквиста можно также получить «маятниковую» колеблемость.
В модели (1.8) иногда период T  2 /  априори известен - «привязан» к году, кварталу или месяцу (например, в бухгалтерской отчетности), а фаза равна нулю.
При этом надо отдавать себе отчет в том, что в этот момент времени возможны существенные ошибки измерений параметров гармоники, так как уровень полезного сигнала (гармоники) равен нулю, а уровень помехи (стохастической компоненты) может существенно отличаться от нуля.
Рис. 1.14. Изменение вида суммы линейной функции и гармоники
при частоте дискретизации меньше частоты Найквиста
На практике колебательная компонента зачастую имеет более
сложную форму, чем гармоника (1.8).
Многообразие форм колебательной компоненты заслуживает особого внимания, в частности и потому, что во многих приложениях отмечается импульсный характер компоненты: «пилообразный», «треугольный», «прямоугольный», «куполообразный» и др. Такие импульсы
часто моделируют сезонную компоненту ряда динамики.
Допустимо в этих случаях использовать для моделирования с приемлемой точностью сумму нескольких гармоник с кратными частотами
(несколько первых членов ряда Фурье) и определенным законом формирования амплитуд гармоник.
73
На рисунке 1.15 показана аппроксимация «пилообразной» колеблемости S (t ) (будем использовать для простоты аналоговую форму записи) рядом Фурье (1.9) следующего вида:
1
1
1
1
S (t )  sin t  sin 2t  sin3t  sin 4t  sin5t  ...
2
3
4
5
(1.33)
в зависимости от числа используемых членов разложения.
Рис. 1.15. Точность аппроксимации «пилообразной» колебательной
компоненты в зависимости от количества членов разложения в ряде Фурье
Видим, что для удовлетворительной точности аппроксимации
«пилообразных» импульсных колебаний достаточно ограничиться первыми тремя членами разложения.
В тригонометрические функции модели (1.33) можно ввести и
начальную фазу  или использовать в них постоянное дополнительное
слагаемое, что позволит «передвигать» график пилообразной компоненты по осям координат «влево – вправо» и «вверх – вниз».
Смена знаков в (1.33) сделает возможным замену «участков роста»
на «участки убывания» и наоборот.
В таблицах 1.1, 1.2, 1.3 приведены разложения «пилообразных»,
«треугольных», «прямоугольных» и «куполообразных» импульсных колебательных компонент в ряд Фурье при бесконечном числе слагаемых
ряда.
74
Таблица 1.1
«Пилообразная» колебательная компонента
Идеальное разложение
в ряд Фурье
1
1
S  t   sin t  sin 2t  sin 3t  ...
2
3
Три гармоники ряда Фурье с другими значениями коэффициентов
S  t   A sin t  B sin 2t  C sin 3t
А=1 В=1.0 С=4.0
А=1 В=0.4 С=0.5
Общая форма записи модели
S (t )  A2sin(t   )  A3sin(2t  2 )  A4sin(3t  3 )
Используя лишь три члена разложения, можно, как и для «пилообразных» импульсных колебаний, получить удовлетворительное приближение к идеальным импульсам.
Интерес могут представлять случаи, когда коэффициенты перед
гармониками отличаются от коэффициентов ряда Фурье (1.9). Это отличие может быть случайным за счёт ошибок идентификации, обусловленных присутствием стохастической компоненты в уровнях Yk , а может быть и сознательным для передачи других, отличных от рассматриваемых в монографии идеальных «пилообразных», «треугольных»,
«прямоугольных» и «куполообразных» импульсов, но приближенных к
реальным колебаниям. Если, например, рисунок 1.15 демонстрировал
точность аппроксимации «пилообразной» колебательной компоненты
несколькими наборами частот, то в верхней половине таблицы 1.1 показано идеальное представление рядом Фурье с соответствующими коэффициентами и частотами , 2, 3,... «пилообразной» колебательной
компоненты.
75
В нижней половине таблицы 1.1 показано, к каким видам колебательных компонент может привести использование тех же трёх
гармоник, но с другими значениями коэффициентов перед ними.
Отчетливо выраженный негармонический «пилообразный» характер имеет, например, колебательная компонента в тиражах печатных СМИ, что связано с периодичностью проведения подписных
компаний [55].
К таким колебаниям экономических показателей могут приводить и установленные сроки бухгалтерской отчетности, когда фиксируются изменения значений финансовых показателей, моменты открытия бирж, сдача объектов в эксплуатацию и т.п.
Из исследований американской экономики последних лет следует, что после 2001 года существуют постоянные «пилообразные» колебания потребительского спроса, объемов продаж, запасов и тому
подобных показателей.
Крупные розничные торговцы сначала создают товарные запасы
на несколько месяцев вперед (страхуясь от возможного роста цен).
Потом они постепенно реализуют запасы потребителям, не делая при
этом никаких новых заказов и доводя, таким образом, склады и магазинные прилавки до полного «оголения», чтобы застраховаться уже
от возможного падения покупательского спроса.
Убедившись, что падения спроса не происходит, розничные сети
делают крупные заказы производителям и склады снова наполняются
товаром.
При подобной неравномерности размещения заказов динамика
основных показателей, описывающих экономику США, имеет пилообразный характер – вслед за ростом заказов происходит рост производства, занятости, доходов и спроса.
Ну, а после того, как заказы выполнены, наоборот, производство, занятость и доходы снижаются.
То есть показатели низких объемов спроса за первый квартал
ровным счетом ничего не значат, пока они не продублированы информацией о высоких товарных запасах.
Хуже, если на низкий спрос наложатся высокие запасы, а если
низкий спрос имеет место одновременно с низкими товарными запа76
сами, можно ждать роста заказов, увеличения выпуска товаров и появления новых доходов, но уже только во втором квартале.
Во всех этих случаях в качестве модели может быть использована периодическая колебательная компонента пилообразной формы.
«Треугольная» колебательная компонента тоже достаточно часто
встречается на практике и её характеристики представлены
в таблице 1.2.
Таблица 1.2
«Треугольная» колебательная компонента
Идеальное разложение
в ряд Фурье
S  t   sin t 
1
1
sin3

t

sin5t  ...
32
52
Три гармоники ряда Фурье с другими значениями коэффициентов
S  t   A sin t  B sin 3t  C sin 5t
А=1 В=20 С=5
А=1 В=0.4 С=4
Общая форма записи модели
S (t )  A2sin(t   )  A3sin(3t  3 )  A4sin(5t  5 )
«Прямоугольная» колебательная компонента, характеристики которой приведены в таблице 1.3, также часто используется для описания
динамики социально-экономических процессов и явлений в СЭС.
Например, она применяется как некоторая идеальная характеристика резкого перехода продажи путевок (дохода от этой продажи) в
сфере туризма от периода «низкого» сезона к периоду «высокого» сезона (летний период отпусков) с относительно стабильными показателями
внутри каждого из этих сезонов.
77
Таблица 1.3
«Прямоугольная» колебательная компонента
Идеальное разложение
в ряд Фурье
1
1
S  t   sin t  sin 3t  sin 5t  ...
3
5
Три гармоники ряда Фурье с другими значениями коэффициентов
S  t   A sin t  B sin 3t  C sin 5t
A=1 B=0.3 C=0.1
A=1 B=0.2 C=0.01
Общая форма записи модели
S (t )  A2sin(t   )  A3sin(3t  3 )  A4sin(5t  5 )
Для классической «прямоугольной» колебательной компоненты,
описываемой рядом Фурье вида S  t   A2 sin t  A3 sin 3t  A4 sin 5t с
«идеальными» коэффициентами A2  1 ; A3  0,33 ; A4  0, 2 , получим колебательную компоненту вида, представленного на рисунке 1.16, а.
При назначении величин коэффициентов трёх гармоник, существенно отличающихся от значений коэффициентов Фурье, например,
при значениях A2  1 ; A3  0,33 ; A4  12 , будем иметь фигуру, показанную на рисунке 1.16, б.
При задании значений коэффициентов A2  1 ; A3  3 ; A4  0, 2 получим фигуру, приведенную на рисунке 1.16, в.
78
а)
б)
в)
Рис. 1.16. Влияние вариации значений коэффициентов ряда Фурье
при прямоугольной колебательной компоненте
В таблицах 1.4, 1.5 и 1.6 приведены аналитические выражения и
графическая иллюстрация для трёх других типов колебательных компонент, объединенных за счет их внешнего вида условным названием «куполообразные».
Таблица 1.4
«Куполообразная» колебательная компонента (1 тип)
Идеальное разложение в ряд Фурье
S t  
1 1
2  cos2t cos4t 
+ sint  

  ...
 2
  1 3
35 
Три гармоники ряда Фурье
с другими значениями коэффициентов
S  t   Asint  Bcos2t  Ccos4t
A=1 B=0.45 C=0.09
A=1 B=0.8 C=0.1
Общая форма записи модели
S (t )  A2sin(1t  1 )  A3sin(2t  2 )  A4sin(3t  3 ) ,
где 2  21 , 3  41 , 2  21 

2
, 3  41 

2
.
79
Таблица 1.5
«Куполообразная» колебательная компонента (2 тип)
Идеальное разложение в ряд Фурье
 2 cos2t cos4t cos6t
S t  



 ...
6
12
22
32
Три гармоники ряда Фурье
с другими значениями коэффициентов
S  t    Acos2t  Bcos4t  Ccos6t
А=1 B=0.6
C=0.2
A=-1 B=-0.15 C=-0.1
Общая форма записи






S (t )   A2sin  2t  2    A3sin  4t  4    A4sin  6t  6  
2
2
2



Можно рассмотреть еще один (третий) тип «куполообразной» колебательной компоненты (таблица 1.6).
Отметим, что колеблемость «маятникового» типа может быть образована и «особенными» сочетаниями величин коэффициентов в «прямоугольной» или «куполообразной» колебательных компонентах.
Общую форму записи для всех указанных в таблицах 1.1, 1.2 и 1.3
видов колебательных компонент S (t ) можно представить в виде суммы
трех гармоник с амплитудами Ф1, Ф2 , Ф3 :
S (t )  Ф1sin 1t  1   Ф2sin 2t  2   Ф3sin 3t  3  .
(1.34)
Можно использовать и совокупность трех гармоник с некратными
частотами и другими законами формирования значений амплитуд у
гармоник.
80
Таблица 1.6
«Куполообразная» колебательная компонента (3 тип)
Идеальное разложение в ряд Фурье
S t   
2
cos2t cos3t


 4  cost 


...

3
22
32


Три гармоники ряда Фурье
с другими значениями коэффициентов
S  t   Acost  Bcos2t  Ccos3t
A=1 B=0.8 C=0.2
A=1 B=0.2 C=0.001
Общая форма записи






S (t )  A2sin  t      A3sin  2t  2    A4sin  3t  3  
2
2
2



Итак, модель (1.34) определяет актуальность параметрической
идентификации инструментарием параметров i , Фi и  i .
После параметризации частот можно специфицировать, если это
необходимо, колебательную компоненту по группам рассматриваемых
моделей, а с учетом определенных значений фаз и амплитуд – и по моделям. Можно ожидать и частных случаев экономической практики, когда частоты компонент (хотя бы одной) известны, а в параметризации
нуждаются только амплитуды и начальные фазы.
1.7. «Классический непараметрический» и предложенный
«параметрический итерационный» методы
тренд-сезонной декомпозиции
Выше уже отмечена важная роль декомпозиции ряда динамики
для его идентификации. Различают параметрические и непараметрические методы декомпозиции.
Статистический метод учета сезонности («классический метод
тренд-сезонной декомпозиции», или метод Census I) является непара81
метрическим. Он весьма широко распространен и реализован в пакетах
прикладных программ.
На первом этапе классического метода тренд-сезонной декомпозиции осуществляется выравнивание исходного ряда каким-либо известным методом. В результате получают ряд сглаженных уровней Tk .
На втором этапе реализуется оценка значений сезонных отклонений S k с помощью детрендирования. При аддитивной структуре ряда
динамики [71] вычисление S k осуществляется вычитанием из уровней
исходного ряда соответствующих уровней тренда:
Sk  Yk  Tk .
При мультипликативной структуре ряда динамики [71] сезонная
компонента S k определяется делением значений исходного ряда на полученные ранее значения уровней сглаженного ряда
Sk 
Yk
.
Tk
В обоих случаях значения S k помимо сезонной компоненты содержат и случайные остатки модели. Выбор мультипликативной либо
аддитивной структуры обычно осуществляется на основе визуального
анализа графика: если с ростом основного показателя увеличивается и
размах сезонных колебаний, то структура считается мультипликативной, в противном случае – аддитивной.
На третьем этапе формируется таблица сглаженных значений сезонной компоненты S k методом усреднения уровней ряда S k для одноименных моментов наблюдений (например, уровней одинаковых месяцев в нескольких годах).
На четвертом этапе осуществляется корректировка полученных
усредненных значений сезонных отклонений S k в соответствии с предположением о нейтральности суммарного воздействия сезонности.
Для аддитивной структуры ряда динамики сумма значений сезонной составляющей за период сезонности должна быть равна нулю. В
случае мультипликативной структуры ряда динамики нулю будет равна
сумма значений индексов сезонности, уменьшенных на единицу.
82
Полученная таблица сезонных отклонений S k используется для
корректировки прогноза по тренду. Иногда их записывают в виде фиктивных переменных, чтобы получить простейшую аналитическую форму модели.
Данный подход основывается на предположении, что на всем рассматриваемом периоде влияние сезонности было неизменным и значения
~
S k для одноименных моментов наблюдений можно считать реализациями одной и той же случайной величины. Другими словами, классическая тренд-сезонная декомпозиция не учитывает возможности эволюции сезонной компоненты. Вопрос об эволюции тренда в этом методе
также не рассматривается.
Еще один недостаток классического метода тренд-сезонной декомпозиции заключается в необходимости использования достаточно
большого объема исходной выборки для получения статистически значимых оценок средних уровней сезонности.
Минимальная длина ряда динамики должна составлять 4 периода
сезонности, однако рекомендуется использовать до 10 периодов. Зачастую таких длинных выборок просто нет в наличии, а если они есть, то
на столь продолжительном периоде, скорее всего, возможна эволюция,
что необходимо учитывать при моделировании.
Известная модификация классического метода тренд-сезонной декомпозиции (Census II) существенно не изменяет процедуру выделения
сезонной компоненты и лишь указывает на некоторые детали: необходимость исключения случайных выбросов, учета разной продолжительности месяцев и т.п.
Лучшими характеристиками обладает «метод параметрической
итерационной тренд-сезонной декомпозиции», предложенный в [59]. В
отличие от классической тренд-сезонной декомпозиции, он позволяет
получить аналитические формулы компонент модели, предполагая отдельные построения моделей тренда Tk и гармоники S k с последующим
их пошаговым уточнением.
Процедура параметрической итерационной тренд-сезонной декомпозиции включает в себя выполнение следующих этапов:
Этап 1. Выбор вида моделей тренда и сезонной составляющей.
83
Этап 2. Предварительная параметрическая идентификация модели
тренда на исходном ряде динамики. В результате получают модель
тренда и сглаженные уровни ряда Tk .
Этап 3. Детрендирование исходного ряда динамики и построение
приближенного ряда сезонных колебаний S k .
Этап 4. Параметрическая идентификация модели сезонных колебаний и построение сглаженного ряда S k .
Этап 5. Десезонализация исходного ряда динамики и построение
приближенного ряда тренда Tk .
Этап 6. Идентификация уточненной модели тренда на основе ряда
Tk .
Если произошло улучшение точности модели, то найденные параметры принимаются как новые оценки и осуществляется возврат к
3 этапу. В противном случае происходит возврат к последнему набору
значений и завершение процедуры идентификации.
Формулы десезонализации и детрендирования ряда динамики зависят от его структуры.
Для аддитивной структуры
Sk  Yk  Tk и Tk  Yk  Sk ,
а при мультипликативной структуре
Sk 
Yk
Yk

1
T

и
.
k
Tk
1  Sk
Идентификация каждой из моделей тренда и сезонной компоненты
может быть осуществлена различными методами – МНК, методом моментов, методом максимального правдоподобия, моделями авторегрессии-скользящего среднего и др.
Для различных моделей необходимо выбирать метод, наилучшим
образом идентифицирующий конкретную модель. На этапе детрендирования можно рассматривать структуру с аддитивной стохастической
компонентой, а на этапе десезонолизации – с мультипликативной, и
наоборот.
84
Можно на простых примерах продемонстрировать, как обеспечивается точность предложенной итерационной процедуры. Для этого исследуем свойства стохастической компоненты  k , входящей в предварительную модель тренда на 2-м этапе декомпозиции. При аддитивной
структуре модели используется формула
Yk  Tk   k ,
где  k  Sk   k .
Строго говоря,  k представляет собой нестационарный процесс,
поэтому, в отличие от  k , ее наблюдения нельзя рассматривать как реализации случайной величины.
Однако, учитывая, что истинные параметры сезонной компоненты
неизвестны, а их оценки являются случайными величинами, S k можно
условно считать реализациями некоторой случайной величины и проанализировать вероятностные характеристики  k . Поскольку предполагается центрированность сезонной и стохастической компонент, математическое ожидание  k равно нулю. Однако выборочное среднее может иметь смещение.
На рисунках 1.17 и 1.18 показаны примеры, когда среднее значение ряда оказывается смещенным в силу наличия дробного числа периодов сезонности и переменной амплитуды гармоники в анализируемой
выборке.
1
0,5
0
-0,5
0
5
10
-1
S[k]
M[S]=0,221
Рис. 1.17. Смещение выборочного среднего сезонной
компоненты из-за наличия дробного числа периодов в выборке
85
1
0,5
0
-0,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1
S[k]
M[S]=0,039
Рис. 1.18. Смещение выборочного среднего сезонной
компоненты из-за переменной амплитуды колебаний
Переменная амплитуда сезонной компоненты обуславливает гетероскедастичность  k : ее дисперсия изменяется вместе с амплитудой колебаний. Кроме того, включение сезонной компоненты любой формы
приводит к увеличению дисперсии  k по сравнению с  k . Гармонические колебания в составе  k приводят к наличию автокорреляции тем
большей, чем больше величина S k по отношению к  k .
Пример коррелограммы  k для случая, когда сезонные колебания
включают одну гармонику, показан на рис. 1.19. При этом проявляется
автокорреляция не только первого, но и более высоких порядков.
Рис. 1.19. Коррелограмма  k с одной гармоникой и 10%-м
уровнем шума
Таким образом, по своим свойствам  k может существенно отличаться от условий Гаусса-Маркова, следовательно, применение МНК на
втором шаге декомпозиции дает в общем случае смещенные, неэффективные и несостоятельные оценки параметров. Однако сглаживание будет произведено, пусть и не лучшим образом, и можно будет оценить
уровни сезонной компоненты.
86
В качестве меры корректировки нецентрированности ряда S k ,
причины которой обсуждались выше, предлагается в модель S k включить свободную константу C, выражающую смещение выборочного
среднего:
Sk  C  Sk   k ,
что приводит к незначительному усложнению модели, но позволяет повысить точность оценок. Таким образом, получаем возможность оценить и элиминировать сезонную компоненту, после чего тренд может
быть найден более точно.
Ряд Tk будет содержать уже не компоненту  k , а оценки  k :
Tk  Yk  Sk  Tk   k .
На каждом шаге итерационного процесса оценки параметров будут улучшаться. Как показала практика, число итераций обычно невелико и находится в пределах 5-10 шагов.
Итерационный характер процесса параметрической декомпозиции
определяет и его основной недостаток – он может не сойтись. Если размах сезонных колебаний велик по отношению к тренду, то может возникнуть ситуация, когда на 2-м этапе декомпозиции не удается найти
оценки параметров тренда. В этом случае стоит попытаться сначала
идентифицировать сезонную компоненту на исходном ряде динамики,
осуществить десезонализацию, затем перейти к идентификации тренда.
Параметрическую итеративную декомпозицию можно использовать не только для выделения тренда и сезонной составляющей, но и
для циклической компоненты и даже отдельных гармоник, если колебательная компонента содержит их несколько.
По сравнению с классическим методом тренд-сезонной декомпозиции, параметрическая итерационная декомпозиция обладает следующими преимуществами:
 учитывается эволюция тренда и сезонной компоненты при выборе их структуры;
 не требуется заранее знать период колебаний;
 имеется возможность использования малых выборок – как показывает практика, для идентификации гармоники с постоянной амплиту87
дой достаточно 1-2 периодов сезонности, с переменной – 3-4 периодов;
 осуществляется адаптация модели при появлении каждого нового наблюдения, а не только целых периодов сезонности;
 находится аналитический вид моделей.
Еще одним достоинством метода итерационной параметрической
декомпозиции является возможность применения его к структуре ряда,
в котором можно предположить аддитивное взаимодействие стохастической компоненты с одной из детерминированных компонент и мультипликативное взаимодействие другой стохастической компоненты со
второй детерминированной компонентой, например как это показано
формулой (1.25).
В отличие от численных методов решения НМНК для многокомпонентной модели не требуется задавать начальное приближение параметров извне, оно определяется на 2-м этапе декомпозиции. Это не
только уменьшает трудоемкость разработки новых моделей, но и сокращает время вычислений. С другой стороны, для получения максимальной точности можно использовать оценки параметров, полученные
в ходе декомпозиции, в качестве начальных приближений для численного решения.
1.8. Перепараметризация нелинейных моделей рядов динамики на
основе моделей авторегрессии-скользящего среднего
Продолжим формирование (после определения особенностей моделирования и прогнозирования эволюционной динамики СЭС, после
предложения метода параметрической итерационной декомпозиции,
новых моделей эволюции амплитуд колебательной компоненты и новых
аддитивно-мультипликативных структур модели ряда) инструментария
идентификации.
Раскроем возможность использования уже анонсированного подхода на «основе обобщенных параметрических моделей авторегрессиискользящего среднего (ARMA-моделей)» [48-51] для реализации приема
«перепараметризации» (термин предложен С.А. Айвазяном) нелинейных моделей динамики, рассматриваемых в монографии.
Обычно модели авторегрессии подразделяют на два основных
класса [11, 70]:
88
1. Модели с распределенными лагами – модели, содержащие в
качестве лаговых (смещенных во времени) лишь объясняющие переменные:
Yk    0 X k  1X k 1  ...   p X k  p   k ,
(1.35)
где p – порядок лага,  i – параметр модели, i  0,1,2,..., p , X k – наблюдаемые уровни объясняющей переменной, k  p ,  k – стохастическая
компонента модели, для которой обычно считают выполненными условия Гаусса-Маркова.
2. Авторегрессионные модели – общее название моделей, уравнения которых в качестве объясняющих переменных включают (не ограничиваясь только ими) значения объясняемых переменных, т.е. Yk i ,
где i  1,2,..., p , а p – порядок авторегрессии.
Главная идея авторегрессионных моделей состоит в том, что будущие значения ряда динамики не могут произвольно отклоняться в
большую или меньшую сторону от предшествующих значений ряда динамики, какими бы причинами ни были вызваны эти отклонения.
Можно авторегрессионные модели интерпретировать и как подбор
из имеющихся значений последовательных наблюдений динамического
ряда Yk i модели-аналога, наиболее адекватно описывающей этот процесс.
Известно несколько типов авторегрессионных моделей:
 модели авторегрессии (AR – auto regressive);
 модели скользящего среднего (MA – moving average);
 модели авторегрессии-скользящего среднего (ARMA – autoregressive moving average);
 модели авторегрессии – проинтегрированного скользящего
среднего (ARIMA – autoregressive integrated moving average);
 модели авторегрессии с условной гетероскедастичностью
(ARCH – autoregressive conditional heteroscedasticity) и их расширения –
обобщенные авторегрессионные условно гетероскедастические модели
(GARCH – generalized autoregressive conditional heteroscedasticity), интегрированные обобщенные авторегрессионные условно гетероскедастические модели (IGARCH – integrated generalized autoregressive conditional heteroscedasticity) [71, 104].
89
Применение AR-моделей уровней ряда динамики с постоянными
коэффициентами было предложено около тридцати лет тому назад в
теории и практике управления цифровыми системами, при анализе сигналов на фоне шумов и при решении некоторых экономических задач.
Например, для уровней Yk в качестве регрессоров можно принять
Yk 1 , Yk  2 , Yk 3 и др.:
p
Yk   iYk i   k ,
i 1
(1.36)
где i – коэффициенты авторегрессии,  k – стохастическая компонента
модели, для которой обычно считают выполненными условия ГауссаМаркова.
Коэффициенты  i в (1.35) и i в (1.36) определятся обычно МНК
или его расширениями. Модели авторегрессии предлагались или как соответствующие решения разностных уравнений, описывающих объект
управления, или исходя из условия адекватности порядка и коэффициентов авторегрессии анализируемым данным.
В первом, достаточно редком для практики, случае коэффициенты
авторегрессии функционально связывались с параметрами разностного
уравнения, что позволяло, после их МНК-оценивания, провести расчёт
параметров объекта управления.
Второй случай, более часто встречающийся и более адекватный
практике анализа и управления, приводил к непараметрическим моделям авторегрессий, которые позволяли осуществлять прогноз значений
временного ряда, фиксировать его «разладку», не отвечая на вопрос о
том, что было её причиной – смена параметров модели или смена её вида.
При этом никоим образом не определялась связь между порядком
авторегрессии, оценками коэффициентов AR-модели и видами, параметрами моделей ряда, т.е. не осуществлялась структурная идентификация, не проверялась, не корректировалась модель процесса или явления,
предлагаемая экономической теорией. Моделирование не носило эконометрического характера. Структура анализируемых рядов динамики
предполагалась, как правило, аддитивной: тренд достаточно простой
модели, редко включалась сезонная или циклическая компонента.
90
Авторегрессионные модели, в общем-то, и не предназначались для
описания нестационарных процессов с тенденцией. Их обычно применяли для идентификации корреляционных или спектральных характеристик стохастической компоненты. Эти модели адекватны не очень резким колебаниям динамики компонент и, как показала практика, в этом
случае дают довольно хорошие результаты для прогнозов (краткосрочного и среднесрочного). Аналитические расчёты дисперсии коэффициентов AR-моделей и ошибки прогноза оказываются относительно простыми лишь для авторегрессий первого и второго порядков. Иногда ARмоделью описывали не сам ряд Yk , а некоторые его функции, например,
логарифмическую функцию уровней ряда – Ln Yk .
Для рядов динамики, содержащих экспоненциальные тренды и сезонную компоненту, известны модели авторегрессии Тейла-Вейджа, в
которых перед их конструированием члены анализируемого ряда динамики заменяли их логарифмами. Коэффициенты авторегрессии i при
этом не соотносили с параметрами моделей компонент ряда динамики, а
подбирали с помощью компьютера, вычисляя и сравнивая среднеквадратические ошибки полученных прогнозов для наборов параметров.
Малая точность авторегрессий Тейла-Вейджа и невозможность их применения к многокомпонентным моделям тренда экономических параметров, в силу приведенных выше доводов, очевидны.
p
q
i 1
j 1
Известны и модели вида Yk   iYk i    j LnYk  j   k , которые
называют обобщенными авторегрессиями. Они образованы в результате
действий над значениями уровней и функций (логарифмических функций в приведенном примере) значений уровней ряда.
Иногда переменная Yk характеризуется не только зависимостью от
предшествующих значений этой переменной, но испытывает и влияние
ряда факторов, которые представлены другой переменной X k . В этом
случае говорят о смешанной авторегрессии:
p
f
i 1
j 1
Yk   iYk i    j X k   k .
91
Обычно параметры AR-моделей (за исключением известных случаев идентификации частоты одной гармоники [11] и разностного соотношения для экспоненциальной функции [49, 70]) не связывают с указанными выше классами и/или параметрами моделей трендов или колебательных компонент. В этом смысле они являются непараметрическими. Механизм получения «разностных соотношений» (они названы во
многих публикациях именно так) не раскрыт, они получены, видимо,
эвристическим путем.
Пятнадцать-двадцать лет тому назад произошло существенное
расширение области применения AR-моделей. Они стали использоваться для анализа динамических процессов и в экономике. В силу особенностей моделирования экономической динамики СЭС, о которых говорилось выше, существенно возросли требования к функциональным
возможностям, точности методов моделирования и прогнозирования с
помощью авторегрессионных моделей, потребовалась реализация их на
малых выборках.
Поэтому в 90-е годы прошлого века и появились MA, ARMA,
ARIMA, ARCH, GARCH, IGARCH и другие модели.
В MA-моделях значение Yk определяется линейной комбинацией
значений стохастической компоненты в предыдущие моменты времени
g
Yk    i k i ,
(1.37)
i 1
где g – порядок MA-модели,  i – её коэффициенты.
ARMA-модели являются, по сути, объединением соотношений
(1.36) и (1.37).
ARIMA-модели формируются из разностей уровней траекторий,
разнесённых на период колебательной (как правило, сезонной) компоненты. Очевидны недостатки ARIMA-моделей:
 необходимо точное знание периода колебательной компоненты
и условие её стационарности;
 сама компонента принимается аддитивной в структуре траектории;
 интервал наблюдения для обеспечения помехозащищенности
моделирования должен составлять несколько периодов компоненты,
92
т.е. требуемый объём выборки – десятки наблюдений, что в рамках
принятой в монографии постановки делает их использование нецелесообразным.
Модели ARCH, GARCH и IGARCH состоят из суммы авторегрессионной модели и модели условной дисперсии. Оценка параметров этих
моделей довольно сложна, производится обычно с помощью метода
максимального правдоподобия, требует большего количества наблюдений, что также не позволяет включить их в наш инструментарий.
Авторегрессионные модели семейства Койка осуществляют, в основном, адаптивное прогнозирование [71], а не эконометрическое моделирование. В них параметры сглаживания подбирают исходя из ошибки
прогноза, а не из условий обеспечения точности спецификации или параметризации модели.
Из проведенного анализа можно заключить, что математической
основой для разработки методов идентификации многих моделей экономической динамики, отвечающих условиям решения сформулированных выше задач, могут быть модели авторегрессии – скользящего среднего.
Привлекают такие их положительные свойства, как линейность
вхождения коэффициентов i (свойство перепараметризации) в модели,
что позволяет зачастую свести задачу их оценки при помощи МНК (или
его расширений) к решению СЛАУ.
В отдельных случаях многокомпонентных рядов динамики системы нормальных алгебраических уравнений оказываются нелинейными,
но и тогда их решение можно найти, а идентификацию – успешно выполнить, применяя современные аналитические математические методы, например, такие базисы Гребнера [13, 24], метод Кублановской [27].
Основным недостатком известных моделей авторегрессиискользящего среднего является то, что они не являются параметрическими и не могут в силу этого реализовать эконометрическое моделирование, не отражают величинами своих коэффициентов и порядком регрессии многообразие и сложность реальных социально-экономических
процессов и явлений.
Именно этот недостаток устранен предложенной двухэтапной
процедурой идентификации с использованием на каждом этапе МНК
93
(или его расширений), причем на первом этапе конструируются ARMAмодели.
ARMA-модели осуществляют как бы линеаризацию нескольких
параметров моделей: замену этих параметров в исходных нелинейных
моделях другими параметрами, линейно входящими в модель и связанными определенными нелинейными преобразованиями с параметрами
исходной модели ряда.
Этот прием отличается от большинства известных приемов линеаризации, заключающихся, например, в замене переменных в исходной
модели тренда ряда обратными величинами определяющих или определяемых переменных модели тренда, в выполнении логарифмирования
исходной модели тренда.
Важно, что ARMA-моделирование можно осуществить не только
для одно- и многокомпонентных моделей трендов, но и использовать на
отдельных этапах показанного выше метода параметрической итерационной декомпозиции, что позволит применять его для сложных нелинейных и многокомпонентных моделей экономической динамики.
Для моделирования инновационных процессов важным достоинством авторегрессий является возможность оценки параметров авторегрессии на относительно малых выборках, как правило, всего в 3-4 раза
превышающих порядок авторегрессии рядов динамики, как показано в
[47-61].
Изложим более подробно предложенный подход к идентификации
на основе ARMA-моделирования.
Конструирование обобщенных параметрических ARMA-моделей
осуществляется с помощью Z -преобразования (преобразования Лорана) [17, 48, 57], которое является модификацией дискретного преобразования Лапласа, сохраняет его основные свойства, исторически появилось в теории цифровых систем управления.
Z -преобразованием детерминированной функции Dk дискретного
действительного аргумента k (функции-оригинала) называется следующая функция комплексной переменной z (функции-изображения):

Z  Dk    Dk z  k .
k 0
94
Здесь под детерминированной (решетчатой) функцией Dk понимаются аналитические выражения или отдельных детерминированных
компонент временного ряда, или их сумм и произведений.
Z -преобразование переводит функцию-оригинал Dk , удовлетворяющую некоторым выполняемым для многих моделей экономической
динамики условиям [17], в функцию-изображение Z  Dk  .
Обратное Z -преобразование (формула обращения) имеет вид
Z
1
 Z  Dk  
Z  Dk  z k 1dz  Dk ,

2 i
1
где k  1, 2, 3,..., i 2  1 , а интеграл берется по кривой, содержащей внутри
себя все особые точки функции Z  Dk  .
Соотношение между функцией-изображением и функциейоригиналом зачастую записывают с помощью символа отображения
«»: Z  Dk   Dk .
В приложениях обычно не применяют в каждом конкретном случае формулу обращения, а пользуются известными результатами для
тех или иных функций–оригиналов (таблица 1.7) и свойствами
Z -преобразования.
В предлагаемых ниже методах идентификации моделей достаточно
использовать следующие три основных свойства.
1. Свойство смещения (первая теорема смещения):
z  n Z  Dk   Dk n
при n  0,1,2,... и условии, что при k  n  0 принимается Dk n  0 .
2. Свойство линейности:
Z  ADk1  BDk2   AZ  Dk1   BZ  Dk2  ,
где A, B  R , Dk1 , Dk2 – функции-оригиналы.
95
3. Свойство дифференцирования изображения:
z
dZ  Dk 
 (k ) Dk .
dz
Применяя свойство дифференцирования изображения, можно существенно расширить класс функций–оригиналов, приведенных в таблице 1.7, например, для функций
(k ) 2 , (k )3 ,..., (k )e  k  , ( k ) 2 e  k  ,..., (k )sin  k , (k ) 2 sin k ,
..., (k )e  k  sin  k , (k ) 2 e  k  sin  k ,..., (k )cos  k , (k ) 2 cos  k ,
..., (k )e  k  cos  k , (k ) 2 e  k  cos  k ,
а также для разного вида функций, полученных линейными операциями
над
ними
(свойство
линейности),
например,
для
A0  A1e k  ,
A0  A1 (k )  A3 sin k  ,... .
Для функций вида sin k     , cos k     можно применить
соответствующие формулы синуса и косинуса суммы аргументов, а для
показательной функции воспользоваться известным тождеством
Dk  A ( k  )  e  ( k  ) Ln A , где A  0 .
Важнейшим обстоятельством является то, что функции, имеющие
известные изображения, описывают многие модели, применяемые на
практике при моделировании неслучайных компонент рядов экономической динамики.
Смысл перехода в область изображения Z  Dk  состоит в том,
чтобы, выполнив там простые действия по приведению к общему знаменателю и группировке подобных членов, сконструировать при помощи обратного Z -преобразования разностную схему (разностное уравнение) для Dk , линейную относительно своих коэффициентов i .
Выражая Yk из соотношения Yk  Dk   k (или Yk  Dk   k , в зависимости от того, как входит стохастическая компонента в ряд динамики),
переходим к ARМА-модели в уровнях ряда динамики.
96
Таблица 1.7
Основные соответствия Z-преобразования
Функция-оригинал
Функция-изображение
1. Dk  1 при k  0 ,
1
Dk  0 при k  0 –
Z  Dk  
1  z 1
единичная функция
Хэвисайда
2. Dk  k 
3. Dk  cos  k 
4. Dk  e k  cos  k 
Z  Dk  

z 1
1  z 1

2
1  z 10
Z [ Dk ] 
, где 0  cos  , 1  2cos 
1  1z 1  z 2
Z  Dk  
1  0 z 1
1  1z 1  2 z 2
,
где 0  e  cos  , 1  2e  cos  , 2  e 2
5. Dk  sin  k 
6. Dk  e  k  sin  k 
0 z 1
Z  Dk  
, где 0  cos  , 1  2cos 
1  1z 1  z 2
0 z 1
Z  Dk  
,
1  1z 1  2 z 2
где 0  e sin  , 1  2e  cos  , 2  e 2
7. Dk  e k 
Z  Dk  
1
1 z
1
, где   e 
Коэффициенты i , линейно входящие теперь в AR–часть исходной
ARМА-модели, можно определять по выборке Yk при помощи МНК или
его расширений.
Главное в предлагаемом подходе заключается в том, что коэффициенты i ARMA-модели оказываются известными функциями от некоторого числа параметров A0 , A1,..., Aq моделей, существенно нелинейных
по этим параметрам моделей Dk  f (k , A0 , A1,..., Ad ) , (q  d ) .
Подход лишь внешне напоминает линеаризацию моделей, но он
существенно шире по видам аналитических выражений, к которым может быть применен. Отличается он и по механизму своей реализации:
97
включает в себя аналитическое конструирование ARMA-моделей и затем два этапа вычислений.
Параметризируемые на первом этапе идентификации с помощью
ARMA-модели оценки коэффициентов i позволяют рассчитать с их
помощью на втором этапе идентификации МНК-оценки ( d  q ) параметров модели ряда динамики, «оставшихся» не найденными на первом
этапе, при помощи МНК.
В общем случае конструируемые при реализации предложенного
подхода параметрические ARMA-модели оправданно назвать обобщенными, так как в качестве регрессоров могут выступать уровни определяемой переменной в различные моменты времени, их суммы и/или
произведения, произведения номеров наблюдений на уровни, их суммы
и/или произведения уровней ряда динамики в различные моменты времени.
Проведём теперь детализацию предложенного подхода.
1. Вначале по выборке Y1, Y2 ,..., Yk ,..., Yn выдвигается предположение о
какой-либо модели ряда динамики, например, рассмотрение аддитивной
структуры:
Yk  f (k , A1, A2 ,..., Ad )   k ,
где d  n , т.е. объём выборки n должен быть больше количества параметров Ai ( i  1,2,..., d ), как для принципиальной возможности их определения, так и для реализации сглаживания стохастической компоненты.
Естественно, что однозначно выбрать адекватную модель сразу
сложно. Обязательным является предварительный содержательный качественный и количественный анализ изучаемого процесса по существу: попытка установить внутреннюю структуру и логику процесса, его
взаимосвязей с внешней средой, ограничения, накладываемые внешней
средой, и т.п.
В общем случае, чем больше знаний о возможной модели экономической динамики имеет исследователь (об асимптотах динамической
траектории, о частотах и фазах гармоник колебательной компоненты, об
аддитивном или мультипликативном характере колебательной и/или
98
стохастической компоненты и т.п.), тем проще и точнее будет реализация подхода. Зачастую выбор модели осуществляется визуально, исходя
из опыта исследователя и представлений о характере динамических
процессов и явлений, а также – из положений экономической теории.
На этом этапе определенную помощь исследователю может оказать наличие «атласа» распространенных моделей динамики, в том числе довольно сложных с различным сочетанием знаков и значений параметров.
Именно поэтому созданию «атласов» моделей динамики уделим
значительное внимание в монографии. Многообразие моделей при различии значений параметров велико и порой достаточно неожиданно. На
конкретных примерах ниже продемонстрируем это утверждение.
Субъективизм исследователя может быть в последующем уменьшен перебором других потенциально возможных моделей для данного
динамического ряда.
При этом не требуется предварительная проверка наличия тренда
по известным критериям (проверка разностей средних уровней, применение метода Фостера-Стьюарта, метода ранговой корреляции и др.),
так как первоначально и не выдвигается гипотеза о наличии или отсутствии тренда, а ищется модель, наиболее адекватная исходному ряду
динамики.
2. Для предполагаемой модели детерминированной компоненты
D конструируется ARMA-модель с помощью Z -преобразования. Поk
сле применения прямого и обратного Z -преобразований получается
разностная схема порядка p , в которой коэффициенты i (их число 
зависит от вида и сложности модели, способов группирования подобных членов в области изображения) являются функциями (обычно нелинейными) от параметров A0 , A1,..., Aq исходной модели.
При выполнении обратного Z -преобразования используется свойство смещения Z -преобразования, а при назначении условия k  p слагаемые, связанные с числителями изображений, обращаются в ноль.
Заметим, что при этом неправомерно записать полученную
ARMA-модель в виде традиционного объединения (1.36) и (1.37), т.е. в
виде
99
p
g
i 1
i 1
Yk   iYk i    i k i .
Связано это с тем, что в полученной ARMA-модели авторегрессионная часть содержит члены вида Yk  p , т.е. является авторегрессией
p -го порядка, но она может включать в общем случае и различного ро-
да действия над уровнями Yk i , например, суммирование, умножение на
коэффициенты, на номера наблюдений и т.д.
Далее приведём, применительно к различным конкретным моделям динамики, соответствующие формулы, а здесь ограничимся некоторым обобщающим выражением



Yk   i F Yk 1, Yk 2 , Yk 2 ,..., Yk  p   k ,
i 1


где запись F Yk 1,Yk 2 ,Yk 2 ,...,Yk  p означает преобразования над уровнями ряда динамики, а  k – обозначение «новой» стохастической компоненты, которую можно представить через действия над уровнями
 k 1,  k 2 ,...,  k  p и теми же коэффициентами i ARMA-модели.
Используя методы сглаживания, придём к «нормальной» системе
алгебраических уравнений, в силу того, что i входят в ARMA-модель
линейно.
Общим ограничением предлагаемого подхода является рекомендация использовать не более 6-8 коэффициентов i , что обусловлено
проведенными исследованиями по вычислительной погрешности методов при решении нормальных систем алгебраических уравнений, при
различных соотношениях мощностей детерминированных и стохастической компонент в рядах экономической динамики.
Вновь заметим, что использование метода итерационной параметрической декомпозиции позволяет упростить получаемые системы алгебраических уравнений и успешно работать в рамках упомянутых
ограничений.
3. Подставляя в исходную модель найденные на предыдущем этапе оценки параметров, обозначим их A*j , получим модель вида
100


Yk  f k , Ai , A*j   k , которую обычно удаётся привести к линейной по
параметрам Ai (или по «новым» переменным, выраженным через параметры Ai ) и получить при сглаживании нормальную СЛАУ. Число параметров, оставшихся для определения, будет равно i  1,2,..., d  q .
На первом этапе идентификации параметров ARMA-модели (это
зависит от аддитивности или мультипликативности структуры вхождения стохастической компоненты) необходимо применять приемы компенсации автокоррелированности стохастической компоненты предварительным сглаживанием выборки или ее прореживанием, а также приемы компенсации ее гетероскедастичности.
В отдельных случаях, нормальная система алгебраических уравнений, получаемая при применении МНК, может содержать зависимые
коэффициенты. Но и в этом случае ее решение может быть найдено,
например, с помощью базиса Гребнера или метода Кублановской.
На втором этапе иногда также необходима компенсация гетероскедастичности стохастической компоненты.
Обосновав принципиальный выбор инструментария моделирования и прогнозирования эволюционирующих рядов динамики, перейдем
далее к его детализации и к приложениям полученных результатов, как
на тестовых, так и на реальных статистических выборках.
101
ГЛАВА 2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ТРЕНДОВЫЕ МОДЕЛИ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ РОСТА ЭКОНОМИКО-СОЦИАЛЬНЫХ
ПРОЦЕССОВ И ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРОДУКТОВ
2.1. Задача моделирования роста показателей СЭС и
скоростей их изменения
Во введении анализируемый показатель СЭС был определен как
социально-экономическая, социально-политическая, социокультурная,
политическая, демографическая характеристика.
Анализ динамики показателей СЭС предполагает не только моделирование и прогнозирование их абсолютных уровней (уровней роста),
но и слежение за скоростью их изменения [35]. Связь между ними заключается не просто в реализации операции дифференцирования, но и в
различной наглядности их моделей (классификационных или характеристических возможностях), различной трудности идентификации их
параметров.
К моделям роста будем относить экономико-математические модели, описывающие в математической форме изменение показателей,
характеристик их развития [14].
В качестве показателей могут выступать, например, сбыт (в единицах продукта или в денежных единицах), спрос на продукт (или на
отдельные характеристики продукта) в поисковых системах Интернета,
данные социологических опросов, технические показатели развития сетей коммуникаций, показателей динамики численности различных организмов и популяций и т.д.
Отметим, что модель сбыта в денежных единицах в общем случае
является менее точной, чем модель сбыта в единицах продукта, т.к. первая требует учета инфляции.
Модель спроса (обращений) в поисковых системах также принципиально может быть использована, но отражает лишь возможный (зачастую лишь предварительный или отложенный) спрос.
В качестве моделей кривых роста наиболее часто, в связи с простотой идентификации их параметров, используют полиномы первого и
второго порядков. При больших выборках при аддитивной структуре
стохастической компоненты, удовлетворяющей классическим условиям
102
Гаусса-Маркова, известны методы МНК-идентификации, методика получения точечных и интервальных оценок точности.
На эволюционирующих рядах динамики предположение о возможностях использования таких простых полиномиальных трендов на
относительно коротких выборках выполняется редко. Оно обычно вступает в противоречие с условием стационарности моделей.
Корректное представление нелинейной модели ряда лишь двумятремя членами ряда Тейлора может обусловить рассмотрение столь малой выборки, что снизит точность идентифицируемых параметров.
Широко распространено усложнение модели роста экспонентой
(1.18). Однако уже отмечались недостатки «удобного» метода ее идентификации: назначение мультипликативной структуры взаимодействия
экспоненциального тренда со стохастической компонентой k , имеющей логнормальное распределение вероятностей. Именно поэтому в
четвертой главе монографии будут предложены новые методы идентификации:
 для экспоненты, но с аддитивной стохастической компонентой;
 для
обобщенной
экспоненциальной
функции
вида
Yk  A0  A1 exp(1k ) с аддитивной или мультипликативной стохастическими компонентами;
 для случая дополнительного включения в модель, кроме экспоненты, колебательной компоненты и/или дополнительных трендовых
компонент, с которыми может аддитивно или мультипликативно взаимодействовать стохастическая компонента.
Общее количество используемых в СЭС трендовых моделей роста
превышает в настоящее время сотню. Они различаются по сложности,
по области и по истории применения. В современной экономике знаний
проявилась характерная тенденция к постоянному изменению, обновлению и усложнению моделей для реализации позитивной эволюции,
улучшения показателей не только используемой технологии и производимой продукции, но и социально-экономических процессов.
В экономике, в социологии, при анализе технологических процессов многочисленны примеры частного случая моделей роста: так называемых логистических траекторий, в которых тренд Tt I определяемого
параметра сначала растет медленно, затем ускоряется, а после точки пе103
региба снова замедляет свой рост, стремясь к некоторому пределу
(«уровню насыщения»).
До уровня насыщения первая производная таких логистических
траекторий положительна. Вторая производная до точки перегиба положительна, в ней – равна нулю, после нее – отрицательна. При достижении уровня насыщения первая и вторая производные равны нулю. В
ряде приложений аналогичный характер имеет не рост, а уменьшение
уровней Tt II траектории показателя до «уровня спада».
Растущую и уменьшающуюся логистические траектории иллюстрирует рисунок 2.1.
Tt
уровень насыщения
уровень спада
0
Tt I
Tt II
t
Рис. 2.1. Графики логистических траекторий
Логистическую динамику не следует путать с логистикой, наукой
о планировании, организации, управлении, контроле и регулировании
движения материальных и информационных потоков в пространстве и
во времени - от их первичного производства до конечного потребителя.
Приведем некоторые примеры логистических траекторий [4, 35,
37, 64, 67, 68, 75, 76]:
 изменение спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения. Анализ такой динамики может проводиться как во времени, так и в функции пространственной переменной, например, в зависимости от объема средств, затрачиваемых на рекламу товара (услуги);
 рост систем разнообразной природы в зависимости от их возраста или увеличения масштаба (доля жилищ в городах, имеющих горячее
водоснабжение или центральное отопление);
104
 доля неграмотных жителей среди населения;
 доля насыщения рынка новыми товарами и услугами, в том числе
описание числа пользователей российского или зарубежного Интернета;
 оценка изменения числа семей, имеющих радио и телевидение;
 рост населения страны в страховых исследованиях;
 развитие разных биологических популяций;
 развитие тех или иных показателей технологических нововведений;
 динамика антисоциального поведения (коллективного протеста,
тактики террористов, распространения наркотиков) и др.
Велико количество показателей банковской деятельности, имеющих
логистическую динамику:
 кредиты, выданные коммерческим организациям;
 динамика средств юридических лиц;
 валюта баланса;
 суммарные обязательства;
 чистые активы;
 динамика средств частных лиц;
 динамика гарантийных обязательств;
 связь между объёмом привлекаемых банком денежных средств и
используемой усредненной нормой затрат на привлечение единицы этих
средств и др.
Приведем количественные примеры логистических траекторий [35].
На рисунке 2.2 показана динамика развития сетей транспорта и коммуникаций в США, подчиняющаяся логистическим закономерностям.
Рис. 2.2. Динамика развития инфраструктуры США
105
В качестве другого примера можно привести данные движения
протеста в Англии 1830 г., пытавшегося остановить процесс распространения сельскохозяйственной техники.
Точки на рисунке 2.3 показывают общее количество разрушенных
к данному моменту времени сельскохозяйственных машин, а гладкая
кривая отражает логистическую тенденцию тренда.
Известен и любопытный пример моделирования процесса демократизации логистической кривой. По мнению американских политологов, демократия начала распространяться по земному шару с XV века, к
1990 году 40% населения избрало демократические формы правления, а
к 2100 году её примет уже 90% населения.
Рис. 2.3. Динамика движения протеста в Англии
Известно моделирование логистической кривой и относительного
(в процентах) показателя эффективности интернет-рекламы, измеряемого отношением числа нажатий на рекламное объявление (кликов) к числу показов этого объявления, называемого «откликом» или «коэффициентом проходимости». При ограниченном числе пользователей с ростом
числа показов (имеем пример пространственной динамики) коэффициент проходимости уменьшается по логистической кривой. При этом по
оси ординат откладывают значения коэффициента проходимости, а по
оси абсцисс – число рекламных показов. Аппроксимация кривой позволит определить число показов, после которых дальнейшие затраты на
показ не имеют практического смысла с точки зрения окупаемости рекламы. Таким образом, назначение цены баннерной рекламы за число
показов (наиболее распространенный способ тарификации в интернет106
рекламе) приводит в заблуждение рекламодателей и не отражает её реальной эффективности.
Возможной альтернативой может служить назначение цены баннерной рекламы в зависимости от числа уникальных хостов (в данном
случае – пользователей, просматривающих страницы), которым был показан баннер необходимое число раз. Таким образом, ограничение числа показов для одного пользователя освобождает рекламное место для
демонстрации новых рекламных обращений без увеличения общей посещаемости сервера.
В качестве еще одного примера, уже отечественного, современного,
в другом масштабе времени и другого иерархического уровня СЭС, на рисунке 2.4 приведена динамика аудитории Рунета г. Москвы (и показанными в пятой главе методами сглаженная детерминированная компонента). Данные приведены помесячно в процентах от численности населения г. Москвы в возрасте от 12 лет и старше. Всего даны 52 наблюдения с ноября 2005 года по февраль 2010 года, показана и сглаживающая
(логистическая по своему характеру) детерминированная модель роста.
Рис. 2.4. Динамика аудитории Рунета г. Москва
Можно, конечно, логистическую тенденцию тренда упрощенно
считать объединением трёх разных по типу тенденций: параболической
с ускоряющимся ростом на первом этапе, линейной – на втором этапе и
гиперболической с замедляющимся ростом – на третьем этапе.
Однако весомее доводы в пользу рассмотрения всего цикла логистического развития как особого единого типа тенденции со сложными
переменными свойствами, но с постоянным направлением изменений в
сторону увеличения (или уменьшения) уровней.
Изменения тенденций нарастания или снижения ёмкости рынка в
экономическом анализе принимают в большинстве случаев закономерными и обосновывают посредством концепции ЖЦП.
107
Согласно данной концепции, конкретная группа товаров или
услуг, рынок которых нужно моделировать и прогнозировать, является
средством удовлетворения определенной базовой потребности потребителей. Вследствие научно-технического прогресса способы удовлетворения базовой потребности обычно переходят на более высокий качественный уровень, что влечет за собой вытеснение с рынка данной
группы продукции новой группой, обладающей большей привлекательностью для потребителей.
Именно логистические модели для СЭС, функционирующих в
условиях инновационных и кризисных процессов, позволяют решить
проблемы, связанные с возможной недооценкой или переоценкой уровня насыщения при выводе нового продукта на рынок и, соответственно,
недополучением прибыли или убытками за счет перепроизводства.
Вместе с тем логистические закономерности динамики следует
обобщать с определенной осторожностью, для относительно коротких
интервалов значений определяющей переменной. Можно (как видно из
рис. 2.2-2.4) допускать возможность её дополнения другими трендами,
колебательными компонентами, а также рассматривать структурные
изменения динамики. Дополнительный тренд может, например, отражать
инфляцию при принятии цены в качестве определяемого параметра.
Компоненты логистической траектории, в том числе и стохастическая компонента, могут взаимодействовать между собой аддитивно, мультипликативно или аддитивно-мультипликативно.
Известны и так называемые длинные волны экономической динамики, появление которых объясняется неравномерностью инновационной активности. Инновационный цикл обычно начинается с ликвидации
отставания фирмы в развитии ее потенциала, снижающего конкурентный статус.
Особое внимание отводится технологическим инновациям. Основной характеристикой процесса здесь служит так называемый «технологический разрыв» (рис. 2.5).
Он характеризует различие в эффективности P новой и старой
технологий: P  P2  P1 , а также в объемах средств K  K 2  K1 , требуемых для вложения в новую технологию с целью достижения ею результативности, которую не имеет на сегодня старая технология.
108
Рис. 2.5. Демонстрация технологического разрыва
После того как технологический разрыв P преодолен, наступает
момент, когда вкладывать средства в совершенствование новой технологии выгоднее, чем в сохранение старой. Поэтому процесс замещения
одной технологии другой приобретает необратимый характер.
Базисные нововведения, связанные с радикальной перестройкой
производства, внедряются неравномерным или случайным образом,
«впрыскиваясь» в экономику и диффундируя в ней. Они самоорганизуются в кластеры, конституирующие новые технологические направления.
Большинство исследователей склоняются к тому, что именно на
периоды депрессий приходятся основные инновации – технологические
и организационные новшества. В условиях благоприятной конъюнктуры предприниматели предпочитают избегать чрезмерного риска, связанного с коренной перестройкой производства, пытаются ограничиться
рационализацией и усовершенствованием существующих технологических процессов. В периоды депрессий, когда само существование
огромного количества хозяйствующих единиц ставится под угрозу,
предприниматели вынуждены рисковать, понимая, что незначительные
усовершенствования не приведут к кардинальному улучшению ситуации.
Через 10-15 лет после базисных нововведений начинается повышение экономической конъюнктуры, создаются благоприятные условия
для дополняющих нововведений. Вторичные инновации, частичные
усовершенствования доводят до совершенства то фундаментально новое, что возникло в фазе депрессии. Формируется новый технологический уклад, жизненный цикл которого составляет от 100 до 130 лет.
Технологические уклады доминируют в экономике, последовательно
109
сменяя друг друга, вызывая тем самым колебания траектории экономического развития.
Обычно в экономике одновременно действуют несколько (как
правило, два) технологических укладов с периодом жизни 100-150 лет.
Кривая на рисунке 2.6 (ее можно назвать «мультилогистической») носит
в значительной мере качественный и иллюстративный характер. Зарождение нового технологического уклада по времени совпадает с началом
падения эффективности доминирующего уклада, в результате суммарная
траектория экономической эволюции испытывает колебания вокруг повышающегося тренда.
Yt
0
t
Рис. 2.6. Траектория экономической эволюции
В большинстве теорий экономической эволюции исходят из чисто
экономических предпосылок, однако ряд экономистов уделяет большое
внимание и социальным факторам. Некоторые зарубежные ученые
(К.Перес, И.Миллендорфер) являются сторонниками интегрированного
подхода, объясняющего явление периодичности взаимодействием техникоэкономических и социальных сфер. При этом одной из причин кризисов
называют рассогласование скоростей инноваций в экономической и социальных областях, что говорит об актуальности моделирования и прогнозирования динамики инновации. Динамика показателей, представленных на
рисунках 2.5 и 2.6, может быть использована для моделирования государственного «антициклического» регулирования. Подобного рода «мультилогистические» кривые могут иметь место и для других приложений, например, при моделировании сбыта в зависимости от маркетинговых приемов,
разнесенных во времени и заданных своими бюджетами.
Уникальным свойством логистического тренда является его способность прогнозировать качественные (структурные) изменения в развитии
динамики, характеризующиеся сменой знака производной. Решение этой
задачи позволило бы уже на начальном этапе (он может включать и точку
110
перегиба) экономического наблюдения рассчитать всю траекторию развития. Возможно и определение сроков перехода от ускоренного роста к замедленному росту, прогнозирование уровня насыщения, что чрезвычайно
важно при планировании производства и оценке эффективности инноваций, маркетинговой программы реализации нового вида продукта.
В качестве моделей ЖЦП в известной научной литературе обычно
предлагают набор из нескольких графиков, которые отражают различную
динамику (рис. 2.7).
К ним относятся: «долгое обучение», «обучения нет», «фетиш» (или
«всплеск»), «всплеск с остаточным рынком», «модель с повторным циклом» или «двугорбый цикл», «провал», «длинный цикл», «новые подъемы»
и т.д. [28].
111
Рис. 2.7. Графическая иллюстрация моделей ЖЦП
До настоящего времени основное внимание уделялось кумулятивным (накопленным к определенному моменту времени или значению пространственной переменной) моделям логистической динамики, которые
называют также интегральными, логистами, S-образными, сигмоидальными.
Для моделирования и прогнозирования возможного многообразия
эволюционирующих траекторий ЖЦП требуются, конечно, не графики, а
гибкий по своим функциональным возможностям комплекс параметрических моделей, способных описать как модели, приведенные на рисунке
2.7, так и другие модели динамики.
112
В известной отечественной научной литературе обычно ограничиваются рассмотрением лишь двух наиболее известных кумулятивных моделей трендов.
Первая из них – модель Верхулста (в другой транскрипции
Ферхюльста). Ее называют еще и моделью Перла-Рида.
Вторая наиболее известная кумулятивная траектория – модель Гомпертца (Гомперца).
На самом деле число кумулятивных моделей, описанных в большей
мере в зарубежной литературе, существенно больше (его можно оценить в
несколько десятков). Они предлагаются чаще всего как аналитические или
численные решения соответствующих дифференциальных уравнений.
Реже используют импульсные (или дифференциальные) модели роста трендов динамики. Они задаются обычно путем аналитического (или
численного) дифференцирования кумулятивных моделей на определенный момент времени или на конкретный уровень пространственной переменной.
Достоинством импульсных моделей являются лучшие характеристические (классификационные) свойства по сравнению с визуально похожими друг на друга кумулятивными моделями. Здесь, возможно, допустима аналогия с различным представлением вероятностных характеристик случайных величин в теории вероятностей: интегральными функциями распределения и плотностями распределения.
Вместе с тем известен и другой источник появления моделей логистических траекторий: феноменологические модели, под которыми будем
понимать эмпирически устанавливаемые закономерности между малым
числом входных и выходных переменных по выборкам малого объема
[63]. Некоторые из них получены в результате действий (например, сложений, перемножения и т.п.) над аналитическими решениями дифференциальных уравнений, другие предложены эмпирически.
Поставим задачу сравнения известных моделей роста, логистических траекторий и их производных, учитывая, что в отечественных и даже
в зарубежных источниках немногочисленны исследования по их анализу и
возможности их идентификации. Остается актуальной задача определения
аналитических характеристик (например, координат точек перегиба, величин уровней насыщения) моделей. В известной литературе не рассмотрены модели роста с дополнительными детерминированными (трендовыми
113
и колебательными) компонентами, хотя экономическая практика указывает на их присутствие в уровнях траектории. Целесообразно в сравнительном анализе уделить особое внимание логистическим моделям с произвольной точкой перегиба, которая не соответствует середине интервала по
оси ординат между началом логистического процесса и уровнем насыщения. Как показала практика, именно такие логистические траектории
имеют в настоящее время наибольшее прикладное значение.
Целесообразно, на наш взгляд, анализируемые модели объединить в
альбом графиков, с тем чтобы дать исследователю графическое представление о возможностях и альтернативах их применения.
2.2. Использование решений дифференциальных
уравнений для моделирования кривых роста
На рисунке 2.8 представлена логистическая кумулятивная модель
ЖЦП с выделением точки перегиба и укрупненных этапов развития:
1 – рост, 2 – зрелость, 3 – насыщение.
T
3
Точка
перегиба
N
2
1
t
Рис. 2.8. Логистическая кумулятивная модель ЖЦП с
выделением точки перегиба и укрупненных этапов развития
В импульсной модели тренда ЖЦП обычно выделяют этапы, показанные на рисунке 2.9: внедрение, рост, зрелость, насыщение и спад.
При этом существенный интерес для приложений представляют
координаты пика импульса или точки перегиба логисты.
114
Пик импульса
(точка перегиба логисты)
Yt
0
2.9.зрелость
Импульсная
модель
рост
насыщение
внедрение Рис.
ЖЦП
спад
t
На практике вид обеих моделей ЖЦП, особенно на этапах внедрения, зрелости и спада, может быть весьма разнообразным, зависящим не
только от внешних причин, но и от принимаемых в СЭС маркетинговых, технологических решений.
Общей основой конструирования многих кривых роста, логистической и импульсной моделей можно считать [37, 63, 75, 76, 88] решение дифференциальных уравнений относительно тренда T (t ) :
dT
 f ( ,  ,  ,..., t ) ,
dt
(2.1)
где  ,  ,  ,... – параметры (обычно их число не превышает четырех  шести).
Аналитическим решением дифференциального уравнения (2.1)
будем называть то решение, которое может быть использовано для
идентификации его параметров без выполнения таких специальных
действий, как логарифмирование или потенцирование, переход к разностным схемам или применение численных методов.
Если предположить в (2.1) равной нулю скорость роста (уменьшения) тренда продукта T (t ) , то получим случай динамики без роста:
dT
 0  T (t )   .
dt
(2.2)
115
Если скорость роста тренда определяемого параметра продукта
определить постоянной, то получим линейную двухпараметрическую
модель динамики роста:
dT
   T (t )     t .
dt
(2.3)
Свойства моделей (2.2) и (2.3) очевидны. Первая из них тривиальна, а вторая относится к простейшим моделям динамики.
При задании относительной скорости роста траектории постоянной будем иметь двухпараметрическую модель в виде экспоненты:
1 dT
dT
 
  T  T (t )  exp(    t ) .
T d
dt
(2.4)
На рисунке 2.10 показаны графики экспоненциальных кривых роста при изменении величин и знаков параметров. Здесь и далее стрелками показан рост величин соответствующих параметров моделей.
Двухпараметрическая модель роста (2.4) не относится напрямую к
моделям ЖЦП в силу того, что не имеет точки перегиба (пика), но, тем
не менее, широко используется на ранних этапах моделирования динамики траектории ЖЦП.
12 T(t)
20 T(t)
10
γ = – 0,2
16
β
8
12
6
γ
γ=0
4
2
0
8
γ<0
β
4
γ=1
γ>0
t
1
2
3
4
5
0
2
4
6
8
t
10
Рис. 2.10. Вид двухпараметрической экспоненциальной кривой
роста при изменении знаков и величин параметров
116
Расширением экспоненциальной модели является обобщенная
трехпараметрическая экспоненциальная функция, известная как обобщенная экспоненциальная модель (или модель роста Броди [82]),
(2.5)
T (t )   1  exp     t  .
Графики модели (2.5), полученные при изменении величин и знаков параметров, представлены на рисунке 2.11.
7 T(t)
6
α > 0, β < 0, γ > 0
15
5
4
α
γ
10
3
α
2
γ
5
1
0
20 T(t)
α > 0, β < 0, γ > 0
1
2
α < 0, β > 0, γ < 0
α < 0, β > 0, γ < 0 t
3
4
5
6 0
1
2
3
20 T(t)
α > 0, β < 0, γ > 0
15
t
4
5
6
β
10
β
5
0
α < 0, β > 0, γ < 0
1
2
3
4
5
t
6
Рис. 2.11. Вид трехпараметрической обобщенной экспоненциальной
кривой роста тренда при изменении знаков и величин параметров
Частным случаем трехпараметрической обобщенной экспоненциальной кривой является двухпараметрическая экспоненциальная модель вида
[100]:
T (t )   1  exp   t   .
(2.6)
Очевидно, что модели (2.4)-(2.6) могут быть применены для социально-экономических и технических систем до тех пор, пока не вступили в силу факторы, подавляющие (ограничивающие) рост определяемого показателя СЭС. Примерами отсутствия учета таких факторов могут служить:
модель оптимального размножения Мальтуса (1798 г.) в демографии; первый этап развития организмов в биологии (при определенных условиях);
годовые мировые отборы нефти в 1900-1940 гг.; динамика числа сайтов
мировой сети Интернет в 1980-2001 гг. и др. На практике ограничения ро117
ста показателя присутствуют всегда. Они «включаются» в процессе развития динамики (например, ограничение фонда скважин при добыче нефти и
газа, ограничение числа людей условиями проживания, питанием, экологией и т.д.).
Ограничение относительной скорости роста T(t) можно моделировать
различными способами. Начнем с самой простой и широко известной модели ограничения в виде падающей линейной зависимости. В этом случае
решением дифференциального уравнения будет трехпараметрическая логиста Верхулста [118]:
1 dT
dT

   T 
 T   T 2  T (t ) 
,
T dt
dt
1  exp(    t )
(2.7)
вид которой при изменении параметров представлен на рисунке 2.12.
6
T(t)
α
α
5
6 T(t)
5
4
β
4 α>
α>
β < 0,
β > 0, 3 0,
0,
γ<0
γ>0
2
α > 0,
3 β < 0,
2 γ<0
1
α > 0,
β > 0,
γ>0
1
0 2
4
6
t
t
8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
6 T(t)
α > 0, β > 0, γ > 0
5
γ
γ
4
3
2
α > 0, β < 0, γ < 0
1
0 2
4 6 8 10 12 14 16 18 20
t
Рис. 2.12. Вид логисты Верхулста при изменении знаков и
величин параметров
Точка перегиба  t*,T  t *  логисты Верхулста, определяемая соотношениями t*   1 ln  1  ; T  t * 

 

2
, соответствует половине уровня насыще-
ния  . В этом смысле логиста Верхулста является симметричной.
118
Известно и расширение логисты Верхулста [36] - обобщенная логистическая кривая
T (t ) 

m
1   exp( i   it )
,
(2.8)
i 1
которая используется обычно при m  3 . На рисунке 2.13 представлен вид
обобщенной пятипараметрической логистической кривой при m = 2.
10 T(t)
8
α
α
β1, β2, γ1, γ2 > 0
3 T(t) β , γ > 0,
1 1
β2, γ2 < 0
2.4
6
1.8
4
1.2
α
β1, γ1 < 0,
β2, γ2 > 0
α
0.6
β1, β2,
γ1, γ2 < 0
t
t
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
3 T(t) β1, γ1 > 0,
10
β1, γ1 < 0,
T(t)
β2, γ2 < 0
β2, γ2 > 0
8 β1, β2,
2.4
β2
γ1, γ2 > 0
6
1.8
β1, β2,
γ1, γ2 < 0 1.2
β1
4
β2
β1
2
0.6
t
t
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4
10 T(t)
β1, γ1 < 0,
T(t) β1, γ1 > 0,
β2, γ2 < 0
β2, γ2 > 0
8 β1, β2,
2.2
β1, β2,
γ1, γ2 > 0
γ1, γ2 < 0
6
1.4
γ2
4
γ1
1.6
γ2
γ1
2
0.8
t
t
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
2
Рис. 2.13. Обобщенная логистическая кривая ( m  2 ) при изменении
знаков и величин параметров (   0 )
119
Относительную скорость роста определяемой переменной ЖЦП
можно моделировать и трехпараметрической функцией, обратно пропорциональной времени [37, 102] (рис. 2.14):

dT 
t 
  T (t )     .
Tdt t
 
6
6
T(t)
5
4
3
(2.9)
γ<0
0 < γ <1
5
α
4
3
α
γ>1
α
2
t
2
3
4
1
β
β
β
0 1
2
3
2
4
5
6
7
8
t
9 10
γ
γ>1
γ<0
0 1
γ>1
γ<0
1
5 6 7 8 9 10
6 T(t)
0 < γ <1
5
γ
4
γ
3
2
0 < γ <1
2
1
0 1
T(t)
3
4
5
6
7
8
t
9 10
Рис. 2.14. Графики кривой (2.9) при изменении знаков и
величин параметров
Модель (2.9) называют аллометрической («непропорциональной»).
Неравномерный рост добычи во времени, например, имеет место для
начальных периодов разработки нефтяных и газовых месторождений, а
также для конечных периодов, связанных с закачкой сухого газа [63].
Если же относительную скорость роста тренда определить обратно
пропорциональной времени в положительной системе роста, то получим трехпараметрический закон Кольрауша или модель «растянутой во
времени» экспоненты [63]:
dT 
  (  1) 
   T (t )   exp   1  .
Tdt t
 t

120
(2.10)
На рисунке 2.15 представлен вид изменения «растянутой во времени экспоненты» при различных значениях параметров.
60 T(t)
50
100 T(t)
80
40
β
60
30
α
40
20
20
10
0 1
2
3
4
5 6 7
80 T(t)
70
60
50
40
30
20
10
8
t
9 10
0 1
2
3
4
5
6
7
8
t
9 10
γ
t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Рис. 2.15. Вид изменения «растянутой по времени экспоненты» (2.10) при
изменении знаков и величин параметров (   0 ,   0 , 0    1)
Модель Кольрауша хорошо описывает промысловые данные по
отборам газа на отдельных участках и может быть рекомендована как
адекватная и проверенная модель для прогнозов в случае разработки
залежей [63]. Кроме того, модель Кольрауша позволяет взглянуть на
разработку залежей с позиций анализа надежности технических систем, при котором весь интервал «жизни» системы разбивается на три
периода. Первый период, когда «коэффициент смертности» велик изза дефектов сборки, некондиционности отдельных элементов и т.д.,
принято называть периодом «приработки». Второй период характеризуется сравнительно низким уровнем «смертности» элементов (в основном из-за аварий или несчастных случаев), независимых от возраста системы, и называется периодом нормальной эксплуатации.
И, наконец, последний период «жизни» (или эксплуатации) – период
старения и износа. Природа отказов здесь – ухудшение качества элементов системы.
121
Если относительная скорость роста тренда пропорциональна
определяемому параметру, то закон эволюции примет вид трехпараметрической гиперболы [22, 63]
dT
1
,
 T  T (t ) 
Tdt
 1

      t


 1
(2.11)

где   0 , 
    t  – момент «катастрофы» (точка разрыва кривой
 

роста).
Гиперболический рост является приемлемой моделью, например, для моделирования динамики кумулятивных и импульсных моделей отборов газа.
Модификацией гиперболической модели, используемой также
для моделирования отбора нефтяных и газовых месторождений, для
долгосрочного прогнозирования численности населения на Земле и
т.д., является четырехпараметрическая модель [22]
T (t ) 

g
(t   )  
(2.12)
и модель Капицы-Баренблата с использованием пяти параметров [63]:
T (t ) 

g.
[(t   )   ]
(2.13)
На рисунках 2.16, 2.17 и 2.18 представлены графики изменения
моделей трендов гипербол (2.11), (2.12) и (2.13) соответственно.
122
1
1
T(t)
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
T(t)
β
0.4
α
0.2
0.2
0 3
t
6 9 12 15 18 21 24 27 30
1 T(t)
t
6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 3
0.8
0.6
γ
0.4
0.2
0 3
t
6 9 12 15 18 21 24 27 30
Рис. 2.16. Вид изменения трехпараметрической гиперболы (2.11) при
изменении знаков и величин параметров (  ,  ,   0 )
10 T(t)
10 T(t)
8
α
6
6
4
4
2
t
0
1
10 T(t)
β
8
2
3
4
5
γ
2
0
0.4
12 T(t)
0.8
1.2
t
2
1.6
10
8
g
8
6
6
4
4
2
t
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2
0
t
0.4
0.8
1.2
1.6
2
Рис. 2.17. Графики четырехпараметрической гиперболы (2.12) при изменении
знаков и величин параметров (   0 ,   0 , 0    1, g  0 )
123
10 T(t)
ν
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
t
6
Рис. 2.18. График пятипараметрической модели Капицы-Баренблата
(   0 ,   0 , 0    1, g  0 ,  0 )
Видим, что на последних трех типах кривых роста точка перегиба
отсутствует, что несколько снижает их ценность при эконометрических
приложениях аллометрической кривой, моделей Кольрауша и гиперболических.
Для моделей роста (2.11)-(2.13) отметим, что в известной литературе не найдены сведения по методам их идентификации и достигаемой
точности моделирования и прогнозирования. Приближение модельных
и реальных данных иллюстрировалось в них лишь рисунками, указывающими на их сходство без приведения числовых характеристик точности.
Известна и модель с тремя параметрами при экспоненциальном
ограничении относительного роста тренда из решения следующего
дифференциального уравнения.
 

dT
 A
  ln    T (t )  A exp   e t  .
Tdt
T 
 

(2.14)
Тренд (2.14) называется моделью Гомпертца [88, 106] (рисунок
2.19), которая, в отличие от модели Верхулста, асимметрична (смещена
влево) в своей точке перегиба относительно половины уровня насыщеA
ния: в данном случае T (t*)  .
e
124
12
12 T(t)
T(t)
10
10
A
8
8
6
6
4
4
2
0
α
3
9
6
12
t
15
2
0
3
6
9
12
t
15
12 T(t)
10
γ
8
6
4
2
t
0
3
6
9
12
15
Рис. 2.19. Вид логисты Гомпертца при изменении знаков и
величин параметров ( A  0 ,   0 , 0    1)
Модель Гомпертца широко используется в экономической практике, например, для потребительских товаров длительного пользования.
Ее записывают иногда и в другой форме:
t
T (t )  ABC ,
(2.15)
В эквивалентности форм (2.14), (2.15) логисты Гомпертца можно
убедиться, прологарифмировав их и сравнив результаты (с учетом обозначений).
T (t )  Ae


 e  t
 eln
 
ln     t
Ae   
 
 ln(ln T  ln A)  ln      t .
  
T (t )  ABC  ln  ln T  ln A   ln ln B  t ln C .
t
 
  ln B     ln C

Следовательно:  
.
  ln B ln C
 ln C  

Точка перегиба для модели (2.14) та же, что и для модели (2.15), с
учетом переобозначений параметров:
125

1 
ln  
ln( B) 
A
.
T (t*)  , t*  
e
ln C
Известна и еще одна модель логистической динамики, близкая по
форме записи с логистой Гомпертца:
T (t )  A1 exp{ A2 (1  exp(1t ))} .
(2.16)
Для модели (2.16) можно выполнить преобразования:
T (t )  A1e

A2 1e1t
  e A ln A e
2
1
ln   A2  1t
 ln  ln T  A2  ln A1   ln   A2   1t.
Тогда координаты точки перегиба определят соотношения:
 1 
ln  
A
A
T (t*)  11A2 , t*    2  .
e
1
Данная
модель
будет
симметричной
при
значении
A2  1  ln(2)  0,307 . При значении A2  0,307 модель будет смещена влево, а при A2  0,307 – вправо в своей точке перегиба относительно половины уровня насыщения. Уровень насыщения будет равен e A2 ln A1 , а
начальное значение T (0)  A1 .
На рисунке 2.20 представлены графики функции (2.16).
150 T(t)
150
120
120
A1
90
60
30
30
0 3
126
A2
90
60
t
6 9 12 15 18 21 24 27 30
T(t)
0 3
t
6 9 12 15 18 21 24 27 30
150
T(t)
120
α1
90
60
30
t
0 3
6 9 12 15 18 21 24 27 30
Рис. 2.20. Графики функции (2.16) при изменении величин
параметров ( A1  0 , A2  0 , 0  1  1 )
Свойство асимметричности моделей ЖЦП является практически
важным: многие процессы реальной логистической динамики обладают
этим свойством, причем асимметрия может быть как левой, так и правой.
Симметрия ЖЦП в большей мере характерна для явлений и процессов из неживой природы и техники. Асимметрия преимущественно
относится к живой природе, а также к социальным (в широком смысле понимаются не только сообщества людей, но и растений, животных) явлениям и процессам.
Существуют и модели логист, задаваемые дифференциальными
уравнениями, не имеющими аналитического решения. При этом непрерывный случай заменяется дискретным по схеме Эйлера:
Tk 1  H (Tk , ) ,
(2.17)
где H – нелинейная в общем случае функция,  – вектор параметров
модели.
В такой постановке очевидно, что параметром является и начальное значение T0 , на основе которого и осуществляется пересчет дискретного ряда.
К таким моделям относится и двухпараметрическая логиста Флойда с другим законом ограничения относительного роста тренда [96]
(рис. 2.21), получаемая из решения следующего уравнения
2

dT
T 
  1   .
Tdt
 A0 
(2.18)
127
10 T(t)
10
8
6
T(t)
8
α
A0
6
4
4
2
2
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
10
T(t)
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
T0
8
6
4
2
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Рис. 2.21. Вид модели Флойда при изменении параметров
( T0  0 , A0  0 , 0    1 )
Ордината перегиба логисты Флойда равна T (t*) 
A0
, т.е. модель
3
Флойда асимметрична влево относительно половины уровня насыщения.
Решение дифференциального уравнения


dT
T 
 T  p   1   ,   1
dt
 A0 
(2.19)
дает четырехпараметрическую логисту Джеуланда-Долана [87] с левой
точкой перегиба (рис. 2.22):
  p
A0 1 
 
T (t*)  
.
1 
128
10
10 T(t)
T(t)
8
8
A0
6
6
4
4
2
2
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
10
8
10
T(t)
α
T0
T(t)
ν
8
6
6
4
4
2
2
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
10
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
T(t)
8
p
6
4
2
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Рис. 2.22. Графики логисты Джеуланда-Долана при изменении величин
параметров ( T0  0 , A0  0 , 0    1 ,  0 , p  0 )
Более общим случаем является трехпараметрическая кривая Шарифа-Кабира, представленная на рисунке 2.23:
2

T 
 1  
A0 
dT
,
 
Tdt 1  T  1  
 
A0
(2.20)
129
в которой ордината точки перегиба определяется соотношением
T (t*) 

A0 3  1  8
4    1
 , где
0    1. При   1 модель Шарифа-Кабира
становится моделью Флойда.
10 T(t)
10 T(t)
8
8
A0
6
6
4
4
2
2
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
10 T(t)
T0
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
10 T(t)
8
8
6
6
γ
α
4
4
2
2
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Рис. 2.23. Вид модели Шарифа-Кабира при изменении параметров
Известна из решения дифференциального уравнения Ричардса
1


M


dT
T

 TM 1   
dt
  A0 






(2.21)
функция Ричардса [102], имеющая вид

 t t
T (t )  A0 1  A1e  0 

M
,
(2.22)
которая носит логистический характер при M  0, A1  0 или M  1, A1  0 .
Ее вид представлен на рисунке 2.24.
130
Точка перегиба модели (2.22) определяется соотношениями
 e t0
t   ln  
  A1M
1

M

1 


 , T (t )  A0 1   .
 M

12 T(t)
12 T(t)
10
10
A0
8
8
6
6
4
4
2
2
0
10
20
30
40
50
t
60
A1
0
12 T(t)
12 T(t)
10
10
8
8
6
6
4
10
20
30
40
4
α
2
50
t
60
50
t
60
t0
2
0
20
40
60
80
100
t
120
0
10
20
30
40
Рис. 2.24. Вид модели Ричардса при изменении параметров
Модель Ричардса подходит для многих явлений роста, чаще
применялась в онкологии для моделирования роста опухолей.
Значительный интерес для приложений, конечно, представляют
модели, точка перегиба которых определяется не только параметром,
отвечающим за уровень насыщения, что может быть привлекательно
для многих приложений.
Из анализа соотношения (2.22) можно заключить, что функция
Ричардса в зависимости от сочетания параметров может быть симметричной относительно точки перегиба с ординатой
A0
, а может
2
131
иметь или левую, или правую симметрию. Таким образом, можно
для модели Ричардса говорить о произвольной точке симметрии.
Таковыми являются также кривые Джеуланда, кривые ШарифаКабира, а также класс моделей диффузии инноваций GRM (generalized rational innovation diffusion models) [93].
Приведем для примера две логистические кривые этого класса,
представленные следующими формулами.
Трехпараметрическая (GRM1):

 1 
T 

A0 
dT


,
Tdt 1  T  1  
 
A0
(2.23)
A0
,   1 (частный случай симметричной логисты), а в общем
2
будем иметь логисту с произвольной асимметрией
где T (t*) 
случае
T (t*) 
A0

 ,  1.
 1
 1
Графики трехпараметрической кривой GRM1 представлены на рисунке 2.25.
Четырехпараметрическая GRM1g:

T 
 T  g 
A0 
dT


,
dt 
T  
1    T  g 
A0  A0

 1 
(2.24)
 A02  2 A0 g   g 2  A0   g
где T (t*) 
, а графики представлены на
 1
рисунке 2.26.
132
10 T(t)
10 T(t)
8
8
A0
6
6
4
T0
4
2
2
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
10 T(t)
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
10 T(t)
8
8
6
6
γ
α
4
4
2
2
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Рис. 2.25. Вид трехпараметрической модели диффузии инноваций GRM1
при изменении параметров
В четырех- и пятипараметрических GRM логистах точки перегиба
располагаются в общем случае произвольно по отношению к значению
половины уровня насыщения, поскольку определяются двумя или даже
тремя параметрами моделей.
Одной из наиболее популярных для приложений является модель
фон Берталанффи [119] (рис. 2.27):

 t t
T  A0 1  A1e  0 

3
с левой асимметрией T  t * 
(2.25)
8
A0 .
27
133
10 T(t)
10 T(t)
8
8
A0
6
6
4
T0
4
2
2
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
10 T(t)
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
10 T(t)
8
8
6
6
γ
α
4
4
2
2
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80
10 T(t)
8
6
g
4
2
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Рис. 2.26. Вид четырехпараметрической модели диффузии
инноваций GRM1g при изменении параметров
134
12 T(t)
12 T(t)
10
10
A0
8
6
6
4
4
2
0
12
10
20
30
A1
8
40
50
t
60
2
0
10
20
30
40
50
t
60
40
50
t
60
12 T(t)
T(t)
10
10
α
8
8
6
6
4
4
2
t0
2
0
10
20
30
40
50
t
60
0
10
20
30
Рис. 2.27. Вид модели фон Берталанффи при изменении параметров
( A0  0 , A1  0 , 0    1 , t0  0 )
Отметим, что некоторые из логистических функций являются
частными случаями функции Ричардса. Так, для функции Верхулста
M  1, для функции Гомпертца M   , а для модели фон Берталанффи
M  3 . Характер зависимости логисты Ричардса от параметра M представлен на рисунке 2.28.
12
10
T(t) A0 > 0, A1 > 0, 0 < α < 1, t0 > 0,
M<0
6
M
6
M
M=2
M=3
M = –5
4
A0 > 0, A1 < 0, 0 < α < 1, M > 1
9 M=1
M = –1
8
12 T(t)
3
M = –3
2
0
0
10
20
30
40
50
10
20
30
40
50
t
60
t
60 -3
Рис. 2.28. Характер зависимости логисты Ричардса от параметра M
135
Еще одной кумулятивной логистической моделью является кривая
Изингвуда [97]

dT
T 
 T   p  1 
,
dt
A
0




(2.26)
графики которой при изменении величин параметров представлены на
рисунке 2.29.
10
10
T(t)
A0
8
8
6
6
4
4
2
2
t
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
10 T(t)
T0
t
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
10 T(t)
8
6
T(t)
8
p
ν
6
4
4
2
2
t
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
t
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
10 T(t)
8
α
6
4
2
t
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Рис. 2.29. Графики кривой Изингвуда при изменении величин параметров
( T0  0 , A0  0 , 0    1 ,  0 , p  0 )
136
Отметим, что точку перегиба кривой Изингвуда аналитически
определить нельзя. Ордината точки перегиба T *  T (t*) есть решение
следующего уравнения:

 1
 1   T *  A0 T *
 p  0.
Значительный интерес для приложений могут представить и феноменологические модели логистической динамики [63, 67].
2.3. Феноменологические модели логистических кривых роста
Начнем с модели в виде суммы двух логист Верхулста, что дает известную би-логистическую аддитивную шестипараметрическую модель:
T (t ) 
1
2

.
1  exp( 1   1t ) 1  exp( 2   2t )
(2.27)
Модель в виде суммы двух логист может соответствовать случаю
параллельного развития двух логистических процессов в СЭС.
Например, второй логистический процесс чаще начинается в момент достижения первым логистическим процессом 50% и более процентов роста, или когда они начинаются практически одновременно, но
динамика роста различна.
Приведем некоторые известные примеры би-логистических процессов, представленные в западной научной литературе, источниками
которых названы как внутренние, так и внешние причины [15]:
 средний рост мальчиков (второй процесс запускается после
10- летнего возраста);
 рост числа американских университетов (первый импульс
начался с 1700 г., второй с 1950 года, когда первый достиг 95% уровня
насыщения);
 число испытаний США ядерного оружия (первый процесс
начался в 1945 г., а второй в 1983 году и близок в настоящее время к
насыщению);
 генерация электрической мощности в США. Первый процесс
начался примерно в 1910 г., пришел к практическому насыщению в
1926 г., а второй начался в 1940 г., оказался короче и существенно выше
137
по уровню насыщения, но идет с большей динамикой и достиг к настоящему времени более 90% от уровня насыщения и подготовил основания для третьей логисты.
В качестве суммируемых логист могут, видимо, выступать и другие рассмотренные выше логистические модели: вопрос в значительной
мере зависит от возможности идентификации параметров таких моделей с требуемой точностью. При этом условии можно согласиться и с
утверждением в [15] о том, что сложные системы могут моделироваться
и более чем двумя логистами.
Можно, видимо, рассчитывать и на использование модели, формируемой перемножением логист Верхулста. Ее можно по аналогии с
предыдущей моделью назвать и би-логистической мультипликативной
шестипараметрической моделью:
1 2
T (t ) 

{1  exp( 1   1t )}{1  exp(  2   2t )}
(2.28)
1 2

.
1  exp(  2   2t )  exp( 1   1t )  exp{(  2  1)  ( 2   1)t}
Представляет интерес сравнение графиков исходной логисты
Верхулста, би-логистических аддитивной и мультипликативной кривых
при одинаковых значениях параметров.
Графики, приведенные на рисунках (2.30), (2.31), (2.32) показывают большое разнообразие получающихся при этом моделей ЖЦП и
возможность использования их, особенно мультипликативной на
рис. (2.30) и аддитивной на рис. (2.31).
Две точки перегиба образуются от взаимодействия двух логист:

абсциссы остаются прежними t1 
1   2
, t  , а ординаты изменяются
1 2  2
следующим образом (неравны половине уровня насыщения каждой из
логист):
в случае би-логистической аддитивной модели будем иметь:
T  (t1 ) 
1
2

2
 
2  2  1 
 1 
e
, T  (t2 ) 
2
2

1
 
1 1 2 
 2 
e
,
а для би-логистической мультипликативной модели получим:
138
T  (t1 ) 
1 2
    1  
2
2

  1   1
2  e





T(t)
, T  (t2 ) 
1 2
    2  
1 1

  2   1
2  e





.
мультипликативная
модель
аддитивная
модель
t
0
Рис. 2.30. Случай взаимодействия растущей и падающей логист Верхулста
T(t)
мультипликативная
модель
аддитивная
модель
t
Рис. 2.31. Случай взаимодействия двух растущих логист Верхулста
T(t)
мультипликативная
модель
аддитивная
модель
t
0
Рис. 2.32. Случай взаимодействия двух падающих логист Верхулста
Отметим, что на практике используют и модификации функции
Верхулста с другими основаниями показательной функции в знаменателе (в частности с основанием 10), (рис. 2.33):
139
T (t ) 
A0
,
1  A1a  t
где a  0, a  1.
6 T(t)
5 a = 10
4
a=5
a=2
a=e
3
a
2
A0, A1, a, γ > 0
1
0
3
6
9
t
12 15 18 21 24 27 30
Рис. 2.33. Изменение основания показательной функции
Проблемной представляется точность идентификации при попытке использования шестипараметрической прямо пропорциональной
мультипликативной модели на основе модели Верхулста:
T (t ) 



1
2
1 

1  exp( 1   1t )  1  exp(  2   2t ) 
1
1 2

1  exp( 1   1t ) {1  exp( 1   1t )}{1  exp(  2   2t )}
и известного [63] обобщения модели Капицы-Баренблата, содержащего
14 параметров:




1
2
T (t )  

q



q


 2 .
1
1
2
1
1
2
2
[(
t


)

d
]
[(
t


)

d
]

1
1


2
2

Вместе с тем, достаточно простой, но интересной для приложений
представляется трехпараметрическая логистическая кривая Басса [79],
определяемая результатом деления двух экспоненциальных функций:
T (t )  
1  exp( t )
.
1   exp( t )
(2.29)
Ее вид при изменении параметров модели представлен на рисунке
2.34:
140
10
10
T(t)
8
8
α
6
6
4
4
α > 0, β > 0, 0 < γ < 1
2
0
2
4
6
10
T(t)
8
T(t)
8
α > 0, β > 0, 0 < γ < 1
2
t
12
10
β
0
2
4
6
8
10
t
12
γ
6
4
α > 0, β > 0, 0 < γ < 1
2
0
6
12
18
24
30
t
36
Рис. 2.34. Вид трехпараметрической логистической
кривой Басса при изменении величин параметров
Координаты точки перегиба для данной асимметричной модели
логистического тренда определяются соотношениями
T  t * 

1
1 1
.
1

,
t
*


ln
2   
   
Известна и «классическая» запись модели Басса (2.30), в которой
q
приняты обозначения   1 , q  p   ,   :
p
T (t ) 
1  exp(  q  p  t )
.
q
1  exp(  q  p  t )
p
(2.30)
Существенно новыми свойствами по отношению к рассмотренным
выше моделям в своем развитии обладает асимметричная «задержанная» двухпараметрическая логистическая кривая Рамсея [112]:
T (t )  {1  (1   t )exp( t )} ,
(2.31)
141
вид которой при изменении параметров представлен на рисунке 2.35.
Видим, что логиста Рамсея (2.31) имеет точку перегиба с коорди1
 2
*
натами t *  , T (t )   1    0,27 , т.е. обладает левой асимметри
 e
ей: 0,27  0,5 .
Отметим, что логиста в этом случае выходит из начала координат,
т.е. реализация (спрос) продукта в начальный момент времени равна
нулю, что не всегда адекватно практике.
Двухпараметрическая модель (2.31) не позволяет рассчитывать на
широкие функциональные возможности для моделирования реального
многообразия кривых ЖЦП.
12
12 T(t)
10
T(t)
10
α
8
8
6
γ
6
4
4
α > 0, 0 < γ < 1
2
0
5
10
15
α > 0, 0 < γ < 1
2
t
20
0
5
10
15
t
20
Рис. 2.35. Логистическая кривая Рамсея при изменении ее параметров
Из (2.31) видим, что принципиально новым свойством кривой
Рамсея, в отличие от всех рассмотренных выше кумулятивных логистических моделей, является отсутствие нелинейных операций над экспоненциальной функцией: деления, как в функциях Верхулста и Басса,
или возведения в степень, как в функции Ричардса, или взятия логарифма, как в функции Гомпертца.
Это свойство представляется весьма перспективным для разработки методов ее идентификации, в частности для возможности учета в модели логистической динамики дополнительных компонент, например,
полиномиальных и/или колебательных, которыми можно существенно
расширить возможности передачи многообразия логистических тенденций, имеющих место в экономической практике.
Можно, например, предложить трехпараметрическую модель Рамсея в виде суммы (2.32) с параметром B, чтобы снять ограничения, свя142
занные с условием ненулевой реализации продукта в начальный момент
времени:
T (t )  C (1  (1   t )e  t )  B .
(2.32)
Свойства кумулятивной логистической кривой при этом сохраняются, а координаты точки перегиба логистической кривой (2.32) будут
следующими:
1
 2
t *  , T (t*)  C 1    B  1,736C  B .

 e
Видим, что модель (2.32) асимметрична, так как в точке перегиба
ордината в общем случае не равна половине уровня насыщения:
1,736C  B  0,5  C  B  .
Увеличение порядка аддитивного полинома в (2.32) с нулевого до
первого ( B  B1t ) или второго ( B  B1t  B2t 2 ) и т.д. может существенно
изменить форму логисты.
Вторым предложением по расширению функциональных возможностей модели (2.31) является четырехпараметрическая модифицированная модель Рамсея, в которой третий параметр B0 перемножается с
экспонентой (как бы выступает ее весом):
T (t )  C  ( B0   t )e  t .
(2.33)
На рисунке 2.36 показано изменение параметров модифицированной функции Рамсея (2.33) при вариации величин ее параметров.
Для (2.33) можно найти точку перегиба, в которой вторая производная по времени равна нулю:
t* 
2  B0
.

Заметим, что при условии B0  2 точка перегиба модифицированной логисты Рамсея будет находиться в отрицательной области, а сама
кривая приобретает характер кривой роста, а не кумулятивной логистической модели. При условии B0  0 функция имеет характер импульсной модели ЖЦП.
143
При B0  2 ордината точки перегиба равна нулю.
12
12
T(t)
10
10
C
8
T(t)
8
6
B0
6
4
4
C > 0, B0 < 0, 0 < γ < 1
2
0
2
4
6
t
10
8
C > 0, B0 < 0, 0 < γ < 1
2
0
2
4
6
8
t
10
12 T(t)
10
8
γ
6
4
C > 0, B0 < 0, 0 < γ < 1
2
0
2
4
6
t
10
8
Рис. 2.36. Вид модифицированной кривой Рамсея при
изменении ее параметров
На рисунке 2.37 показано сравнение функции Рамсея (2.31) и модифицированной функции Рамсея (2.33).
T(t)
модифицированная
функция Рамсея
при B0 < –2
функция
Рамсея
0 модифицированная функция
Рамсея при B0 > 0
t
Рис. 2.37. Сравнение функции Рамсея и модифицированной
функции Рамсея в зависимости от величины B0
144
Рисунок 2.38 демонстрирует изменение характера модифицированной функции Рамсея при изменении величины B0 .
B0 = 0 T(t) 20
B0 = -1
C > 0, 0 < γ < 1
10
B0 = -2
B0
B0 = -3
- 10
-5
0
B0 = -4
t
10
5
-10
Рис. 2.38. Графики модифицированной функции Рамсея при
изменении величины B0
Существует еще один вариант возможного расширения модели
(2.33): предложение обобщенной логисты Рамсея, в которой количество
параметров также равно четырем (при этом показатель  в (2.34) заменен на параметр B1 ), но функциональные возможности существенно
шире:
T (t )  C  ( B0  B1t )e  t .
(2.34)
В этом случае сохраняется характер кумулятивной логистической
функции (рис. 2.39) и появляется возможность управления координатой
2 B   B0
*
.
точки перегиба t  1
 B1
12
T(t)
10
8
6
B1
4
C > 0, B0 < 0, B1 < 0,
0<γ<1
2
0
2
4
6
8
t
10
Рис. 2.39. Изменение обобщенной кривой Рамсея при
изменении параметра B1
145
Можно видеть, что обобщенная модель Рамсея (2.34) соответствующим выбором параметра C может перемещаться и по оси ординат, что вновь показывает ее гибкость (вариативность) и позволяет рассчитывать на ее широкое применение.
Известно и применение модели Чантера [37, 49] (рис. 2.40):
T (t ) 
A0
,
 A2
 t 
1  A1 exp  
1 e

 


(2.35)

в которой уровень насыщения определяется соотношением
A0
1  A1e  A2
а координаты точки перегиба равны

1  
t    ln 1  ln  A1   , T (t  )  A0 .
  A2
2

10
10
T(t)
T(t)
8
8
A0
6
4
A0, A1, A2 > 0,
0<α<1
2
0
10
2
4
6
8
6
A1
4
A0, A1, A2 > 0,
0<α<1
2
t
10
0
10
T(t)
8
2
4
T(t)
A2
4
6
4
A0, A1, A2 > 0,
0<α<1
2
0
2
4
6
8
A0, A1, A2 > 0,
0<α<1
2
t
10
0
2
4
Рис. 2.40. График логисты Чантера
146
8
α
8
6
6
t
10
6
8
t
10

,
В отдельных приложениях использовалась и модель Андрюса [49],
определяемая соотношением (2.36) и показанная на рисунке 2.41:
 
 t 
C 1  cos    ,
T (t )   
 C 
2C , t   C

30
t  C
(2.36)
T(t)
24
С
18
12
6
0
10
20
30
40
t
50
Рис. 2.41. График логисты Андрюса
Параметры логисты Андрюса: уровень насыщения равен 2C , а координаты точки перегиба t    C , T (t  )  C .
2
Известная кумулятивная модель Джонсона (2.37) требует перехода
к обратной величине аргумента, является несимметричной [49]:
T (t )  Ae

1
a2 t
(2.37)
и имеет следующие характеристики точки перегиба t    2 
T (t  ) 
1
2
,
A
.
e2
Ее графики представляет рисунок 2.42.
147
10
10
T(t)
T(t)
8
8
A
6
6
4
α1
4
A > 0, α1, α2 < 0
2
A > 0, α1, α2 < 0
2
0
10
20
30
40
t
50
0
10
20
30
40
t
50
10
T(t)
8
6
α2
4
A > 0, α1, α2 < 0
2
0
10
20
30
40
t
50
Рис. 2.42. Графики модели Джонсона
Нашли свое применение и феноменологические модели трендов,
предложенные Близдейлом и Нелдером [80]:
T (t ) 
1
,
(   t )
(2.38)
Холидеем [101]:
T (t ) 
1
,
(   t   t 2 )
(2.39)
Фараздаши и Харрисом [91]:
T (t ) 
1
.
(   t  )
(2.40)
О модели Близдейла и Нелдера (2.38) можно сказать, что она является по характеру гиперболической и может быть применена для кривых роста без точек перегиба, что иллюстрирует рисунок 2.43.
148
5
5
T(t)
4
4
3
3
α
2
T(t)
β
2
1
1
t
0 2
4
6
t
8 10 12 14 16 18 20
5
T(t)
0 2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
4
3
γ
2
1
t
0 2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
Рис. 2.43. Графики кривой Близдейла и Нелдера при изменении величин
параметров в диапазоне   0 , 1    0
На рисунке 2.44 представлена динамика кривой гиперболы Холидея при изменении величин его параметров в указанных диапазонах
значений.
10
10
T(t)
8
8
6
6
4
4
T(t)
β
α
2
2
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
t
1.5
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
t
1.5
149
10
T(t)
8
6
4
γ
2
t
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
Рис. 2.44. Графики кривой Холидея при изменении величин параметров
в диапазоне 0    1 ,   1,   0
Областью применения кривых роста Фараздаши и Харриса является моделирование роста без точек перегиба. Их графическое представление дает рисунок 2.45.
Известны также логистические модели Моргана-МерсераФлодина [111]:
   t
T (t ) 
(  t )
(2.41)
и Вейбулла [120]:
T (t )     exp( t  ) ,
(2.42)
где  – в общем случае нецелые числа.
Для (2.41) – рисунок 2.46 и, соответственно, для (2.42) – рисунок 2.47:
5
5
T(t)
4
4
3
α
3
2
2
1
1
0 2
150
T(t)
4
6
t
8 10 12 14 16 18 20
β
0 2
4
6
t
8 10 12 14 16 18 20
5
T(t)
4
γ
3
2
1
0 2
4
6
t
8 10 12 14 16 18 20
Рис. 2.45. Графики кривой Фараздаши и Харриса при изменении величин
параметров в диапазоне   0 , 1    0
10
10
T(t)
8
T(t)
8
α
6
6
4
4
2
2
β
0 1
10
2
3
4
5
6
7
8
t
9 10
0 1
10
T(t)
8
2 3
4
4
2
2
0 1
2
3
4
5
6
7
8
t
9 10
6
7
8
t
9 10
5
6
7
8
t
9 10
σ
γ
6
5
T(t)
8
6
4
0 1
2 3
4
Рис. 2.46. Графики кривой Моргана-Мерсера-Флодина при изменении
величин параметров (  ,  ,   0 ,   1)
151
12
T(t)
12 T(t)
α
10
10
8
8
6
6
4
4
2
β
2
0 1
2
3
4 5
6
7
t
8 9 10
0 1
12
12 T(t)
10
8
8
6
6
4
4
2
2
2
3
4 5
3
6
7
8
t
9 1
0
4
t
9 10
5
6
7
8
4 5
6
7
t
8 9 1
0
T(t)
10
γ
0 1
2
σ
0 1
2
3
Рис. 2.47. Графики кривой Вейбулла при изменении величин параметров
( ,  ,   0 ,  1)
О предпочтении тех или иных кривых роста или кумулятивных логистических моделей даже при таком достаточно проработанном «атласе»
моделей в каждом конкретном приложении судить трудно.
Выбор модели может быть обусловлен уже сложившейся историей
применения модели, сравнением критериев точности моделирования и/или
прогнозирования, обращением к комплексному критерию точности MFi .
Эконометрическая практика показала, что большее применение имеют в настоящее время логистические модели с тремя параметрами, предложенные методы идентификации позволяют рассчитывать на использование моделей с четырьмя-пятью параметрами, а метод параметрической
итерационной идентификации позволит анализировать мультилогистические модели и «включать» в модель роста дополнительные трендовые и колебательные компоненты.
Критерием выбора может быть также адекватность воспроизведения
моделью с необходимой полнотой всех характеристик траектории, суще152
ственных для цели моделирования, предполагаемое наличие точки перегиба (точки «нерасширяемого спроса»), ее возможная симметрия или асимметрия.
В ряде случаев (покажем это ниже на примере ЖЦП типа «фетиш»)
оправдан для повышения возможности классификации или повышения
точности идентификации переход от импульсных моделей к кумулятивным. Возможен, видимо, и обратный переход.
2.4. Феноменологические импульсные модели ЖЦП
Известный способ получения импульсных моделей дифференцированием кумулятивных логист может быть дополнен рассмотрением феноменологических моделей.
Феноменологической кумулятивной модели (2.39) можно придать и
импульсной характер Холидея [101], показанный на рисунке 2.48.
Он является симметричным и формируется знаменателем выражения
(2.39) при определенном наборе значений параметров.
35
35 T(t)
T(t)
28
28
21
21
14
14
α
7
β
7
0
0.5
1
1.5
2
35 T(t)
2.5
t
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
3
28
21
14
γ
7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
3
Рис. 2.48. Графики импульсной модели Холидея при назначении ее величин
параметров в диапазоне   0 ,   0 ,   1
153
Заметим, что это свойство знаменателя выражения (2.39) будет
использовано ниже при конструировании дробно-рациональной импульсной модели ЖЦП (2.53) с асимметричным характером динамики.
Импульсной моделью может быть асимметричная кинематическая
функция (2.43) [3], показанная на рисунке 2.49:
T (t )  At  e t .
25
T(t)
(2.43)
25
A
20
20
15
15
10
T(t)
α
10
A > 0, α < 0
5
A > 0, α < 0
5
0
5
10
15
20
25
t
30
0
5
10
15
20
25
t
30
Рис. 2.49. Кинематическая функция (2.43)
Особенностью импульсной модели (2.43) является наличие двух
точек перегиба на растущем и падающем участках своей динамики:
t *1
 

, T * (t *1 )  Ae


 

 
t *2  
, T * (t *2 )  Ae

   

 ,
  
 

    .







  
Координаты точки пика: tmax   , T (tmax )  A    . Слож
 e 
ность аналитической идентификации (2.43) обусловлена нецелым характером показателем  в (2.43).
Другой широко известной импульсной моделью является модель
Хабберта [103, 113, 116], которая широко и довольно успешно применяется для описания динамики добычи нефти.
154
Модель Хабберта имеет в своей теоретической основе кривую
нормального распределения и используется в двух формах: симметричной и более интересной для приложений асимметричной.
Симметричная модель Хабберта описывается выражением:
T (t )  Pmax
 (t T *)2
2
e 2
,
а для асимметричной модели Хабберта используется формула:
T (t )  Pmax e
 (t T *)2
2 f (t )2
,
(2.44)
(2.45)
где Pmax – ордината пика импульса, T  – абсцисса пика импульса,  –
 
среднеквадратическое отклонение кривой Гаусса, f (t )   dec  dec k (t Tinc
*)
1 e
– логистическая функция, позволяющая, в случае необходимости,
«формировать» асимметрию,  dec ,  inc – конечные (decreasing) и
начальные (increasing) границы изменения уровней импульсной кривой
(2.45), k – скорость, с которой  изменяется от  inc до  dec , t – аргумент функции Хабберта.
Заметим, что для формирования асимметрии, например ЖЦП,
возможно и использование других кумулятивных моделей, изменение
уровней  dec ,  inc . Очевидна большая возможность практического приложения модели (2.45) в сравнении с (2.44) (рис. 2.50).
10
T(t)
Pmax
8
6
σdec = σinc
4
σdec > σinc
σdec < σinc
T*
2
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
t
Рис. 2.50. Вид импульсной модели Хабберта при изменении ее параметров
155
Широко применяются для описания динамики добычи нефти и
другие, более простые (естественно, менее точные в силу присутствия в
них искусственной вносимой точки «излома») импульсные модели
ЖЦП.
К ним относится симметричная линейная модель с параметром S :

 S (t  T0 ), t  T
P(t )   


 P  S (t  T ), t  T
и симметричная экспоненциальная модель с параметром r :
er (t T0 ) , t  T 
P(t )  
.
  r (t T  )

P
e
,
t

T

(2.46)
(2.47)
Модели (2.46) и (2.47) могут быть использованы и в асимметричных формах:
асимметричная линейная модель (2.48):
 Sinc (t  T0 ), t  T 
P(t )  



 P  Sdec (t  T ), t  T
(2.48)
и асимметричная экспоненциальная модель (2.49):
erinc (t T0 ) , t  T 
P(t )  
.
  rdec (t T *)

P
e
,
t

T

(2.49)
На рисунке 2.51 показаны примеры описания данных добычи
нефти в различных регионах мира рассмотренными моделями - как
симметричными, так и асимметричными. Отмечено, что иногда разные
модели практически с одинаковой точностью описывали одни и те же
ряды динамики.
На рисунке 2.52 приведен пример, в котором и модель Хабберта, и
кусочно-линейная модель имеют довольно высокий коэффициент детерминации (>80%) и почти одинаковую дисперсию.
Как положительное свойство линейной модели отмечают меньшую ошибку нахождения пика, а модели Хабберта – лучшее описание
числовых данных и «сглаженность».
В данном случае для достижения целей исследования выбрана модель Хабберта.
156
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. 2.51. Результаты применения моделей к реальным данным добычи
нефти: а) модели Хабберта к данным добычи нефти в Вайоминге;
б) линейной модели к данным добычи нефти в Южной Европе;
в) экспоненциальной модели к данным добычи нефти на Карибских
островах; г) асимметричной модели Хабберта к данным добычи нефти в
Алабаме; д) асимметричной линейной модели к данным добычи нефти
в Камеруне; е) асимметричной экспоненциальной модели к данным добычи
нефти в Албании
а)
б)
Рис. 2.52. Применение
моделей Хабберта (а) и кусочно-линейной
Рис. 2.52. Применение
модели
Хабберта
(а) инефти
кусочно-линейной
модели (б)
к данным
добычи
в Венгрии модели (б)
к данным добычи нефти в Венгрии
157
Нет оснований полагать, что для описания столь важной для экономики мира динамики добычи нефти и прогнозирования ее «пика» какая-то из моделей (2.43)-(2.49) будет обладать универсальностью. Вряд
ли одна модель будет применима ко всем временным рядам добычи вне
зависимости от свойств конкретного месторождения, применяемых технологий, мировых цен на нефть, уровня агрегирования показателя и т.д.
Линейные модели (2.46) и (2.48), как и экспоненциальные модели
(2.47) и (2.49) предполагают для известных методов идентификации получение длинных выборок после прохождения пика, позволяя обеспечить только при этом условии высокую точность моделирования. Однако это же условие приводит к их малой прогностической ценности на
наиболее интересном «падающем» отрезке ЖЦП. Недифференцируемость моделей (2.46)-(2.49) затруднит нахождение пика импульсных
моделей. Отсутствие колебательных компонент при моделировании ряда, изображенного на рисунке 2.52, невозможность моделирования
мультилогистической динамики (например, повторных циклов в ЖЦП,
на рисунке 2.51 а, г) не позволяют считать точность моделирования в
80% достаточной. О наиболее интересном для приложений параметре точности прогнозировании («привязанной» к положению точки начала
прогнозирования и горизонту прогноза) сведения не обнаружены.
Сравним теперь по сложности идентификации, функциональным
возможностям модель (2.45) и другие феноменологические импульсные
модели для ЖЦП:
 предложенную в [53] произведением полинома на экспоненциальную функцию
T (t )  T  A0 , A1,..., Am , t   e1t ,
(2.50)
дробно-иррациональную функцию вида [34]
A1t 1
T (t ) 
A2  A3t  2
(2.51)
и экспоненциальную функцию с показателем в форме полинома второго
порядка (по сути, другой формой записи модели Хабберта) [32, 107,
113, 116]
T (t )  e 0 1t  2t ,
2
158
(2.52)
где 1, 2 , A0 , A1, A2 , A3 ,..., Am – параметры модели (в общем случае нецелые
числа), T  A0 , A1,..., Am , t   A0  A1t  ...  Amt m – алгебраический многочлен
степени m .
Графики альтернативных моделей при наборе значений параметров представлены на рисунке 2.53. Видим, что модель (2.52) симметрична относительно точки максимума, а модели (2.45), (2.50), (2.51) ассиметричны, причем у них рост быстрее спада.
T
T
0
(2.45)
t 0
T
0
(2.51)
t 0
T
(2.50)
(2.52)
t
t
Рис. 2.53. Общий вид известных импульсных моделей ЖЦП (2.45),
(2.50)-(2.52)
Все рассматриваемые импульсные модели являются существенно
нелинейными по параметрам. Из рассмотренного комплекса моделей
лишь (2.50) обладает возможностью идентификации с высокой точностью на коротких выборках, но и то лишь при малых значениях степени
многочлена ( m  4 ) на основе использования ARMA-моделей [53, 48].
Проблемой идентификации модели (2.51) являются в общем случае нецелые значения параметров 1 и  2 , предполагающие использование лишь численных методов идентификации.
Однако модель (2.51) допускает перспективное для приложений
расширение в форме дробно-рациональной функции с четырьмя параметрами ( P0 , P1, Q1, Q2 ) и целыми значениями степеней аргумента:
159
T (t ) 
P0  Pt
1
.
1  Q1t  Q2t 2
(2.53)
При определенных значениях параметров модель (2.53) в первой
координатной четверти принимает вид, соответствующий типичной
форме импульсной модели ЖЦП. Значения параметров P0 и Q2 должны
быть положительными. Кроме того, функция (2.53) должна быть неразрывной, т.е. ее знаменатель не должен обращаться в ноль
(1  Q1k   Q2  k  2  0 ), что соответствует определенным ограничениям
на параметры в виде неравенства Q12  4Q2 .
Запись импульсной модели в виде (2.53) удобна для выполнения
преобразований, но при этом параметры модели оказывают сложное
влияние на ее форму, что затрудняет их выбор и наглядный анализ.
Поэтому предложена альтернативная запись:
T (t ) 
 At  B   C
1  At  B 
2
,
(2.54)
в которой параметры  , A, B, C модели однозначно связаны с
P0 , P1, Q1, Q2 следующими соотношениями:
P0 
C   AB
A
2 AB
A
, P1 
, Q1 
, Q2 
.
2
2
2
1  AB
1  AB
1  AB
1  AB 2
Влияние параметров  , A, B, C на форму кривой (2.54) иллюстрирует рисунок 2.54.
Параметр  влияет на симметричность жизненного цикла. При
  0 кривая симметрична относительно точки максимума, при   0
рост происходит быстрее спада, при   0 спад идет быстрее, чем рост,
т.е. модель (2.54) обладает произвольной (подбираемой по реальным
данным) асимметрией.
160
T
T
α<0
C
α>0
α=0
0
T
t
T
0
t
B
A
0
t
0
t
Рис. 2.54. Зависимость формы тренда (2.54) от значений его параметров
Тренд (2.54) имеет единственный максимум и, в случае асимметрии, единственный минимум. Тем не менее, с его помощью можно моделировать и мультилогистическую динамику с повторными циклами,
используя взаимодействие нескольких трендов (рис. 2.55).
T
T
T1∙(1 + T2)
T1+ T2+ T3
T3
T1
T1
T2
T2
0
t 0
(а)
(б)
t
Рис. 2.55. Получение повторных (мультилогистических) циклов путем
взаимодействия нескольких трендов: (а) – аддитивного,
(б) – прямо пропорционального мультипликативного
Значения точек максимума и минимума могут быть рассчитаны по
2
C
1
 C 
 
формуле: B 
  .
A
A
A
161
Точки перегиба могут быть определены из решения уравнения
третьей степени с помощью аналитических (или численных) методов:




 A2  k    3 AC   A2 B  k    3  A2 B 2  2 ABC   A k  
3
2
3 AB   A2 B 3  3 AB 2C  C  0.
Идентификацию параметров модели можно выполнить как путем решения нелинейного МНК, так и с помощью линеаризации
(умножения на знаменатель) и реализации взвешенного, в том числе в
ходе нескольких итераций, МНК.
Видим существенные преимущества по простоте использования
предложенного расширения (2.54) в сравнении с другими известными
моделями построения мультилогистической динамики: шестипараметрической би-логистической аддитивной моделью (2.27) Верхулста,
би-логистической мультипликативной моделью (2.28) Верхулста и,
тем более, с четырнадцатипараметрической би-логистической моделью Капицы-Баренблата.
Небольшое число параметров модели (2.54) позволяет идентифицировать ее на выборках малого объема. В то же время модель обладает значительной гибкостью и позволяет описывать широкий
класс типов жизненного цикла. Достоинством предложенной модели
является также то, что она может быть использована для описания
данных, начиная с любого момента жизненного цикла (в отличие от
известных моделей). Последнее обстоятельство особенно важно в
случаях, когда отсутствует статистика для ранних стадий цикла.
Итак, проведен отсутствующий до настоящего времени в отечественной и зарубежной литературе сравнительный анализ известных
параметрических (их число немногим меньше пятидесяти) и шести
предложенных моделей ЖЦП.
Можно считать, что в настоящее время уже возможна замена
«качественного» обсуждения десятков используемых до настоящего
времени графиков ЖЦП предлагаемым комплексом аналитических
моделей, допускающих моделирование и краткосрочное прогнозирование траекторий.
162
Сформулируем задачи, которые для этого необходимо решить:
 выбрать из общего числа моделей роста (кривых ЖЦП) те модели, которые позволили бы включить в состав моделей и дополнительные трендовые, и колебательные компоненты, формировать би- и
мультилогистические модели и обеспечить их идентификацию с требуемой точностью;
 структура моделей должна допускать возможность аддитивномультипликативного взаимодействия компонент ряда;
 методы и приемы идентификации выбранных моделей ЖЦП
должны допускать реализацию на выборках меньших, чем в известных методах идентификации, для того, чтобы обеспечить возможность мониторинга эволюции моделей (по параметрам, виду моделей
и структурам взаимодействия). Для выбора конкретных моделей целесообразно ориентироваться на показанный «атлас» моделей роста;
 методы и приемы идентификации моделей должны, на наш
взгляд, опираться на проведенные аналитические исследования и рассмотрение возможностей применения современных математических
методов, включать в себя исследования точности на тестовых сигналах при различных соотношениях мощностей помехи и полезного
сигнала, при возможно широком динамическом диапазоне параметров
моделей. Следует провести проверку качества моделирования на выборках показателей различных уровней иерархии СЭС, что и будет
выполнено ниже.
163
ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЯДОВ
ДИНАМИКИ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМ ТРЕНДОМ И
ЭВОЛЮЦИЕЙ ГАРМОНИК, МЕТОДИКА
ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ
3.1. Модели роста в виде суммы линейного тренда и гармоник
Как уже отмечалось выше, для моделей трендов в виде полиномов
первого и второго порядков известны методы МНК-идентификации, методика точечных и интервальных оценок точности при условии больших выборок, при аддитивной структуре стохастической компоненты,
удовлетворяющей условиям Гаусса-Маркова [1, 2, 12, 71].
Практически важным развитием для приложений указанных моделей трендов является разработка методов идентификации и исследование их точности в случае дополнения тренда суммой одной, двух или
трех гармоник с постоянными амплитудами.
В случае линейного тренда рассмотрим модели:
Yk  A0  A1k   A2 sin( k    )   k ,
(3.1)
2
Yk  A0  A1k    Ai 1 sin(i k   i )   k ,
(3.2)
i 1
3
Yk  A0  A1k    Ai 1 sin(i k   i )   k ,
(3.3)
i 1
где  k – стохастическая компонента, которая здесь и далее отвечает
принятым условиям Гаусса-Маркова (напомним, с упрощением в смысле требования лишь симметричности закона распределения).
Модель (3.1) является наиболее простой, и ее использование возможно в относительно широком диапазоне значений объема выборки, в
том числе на коротких выборках.
Линейный тренд в (3.1) может интерпретироваться и как первые
два члена разложения в ряд Тейлора нелинейного тренда. Добавление
гармоник в структуру колебательной компоненты модели (3.1) для моделирования более сложных сезонных и/или циклических колебаний
приводит к моделям (3.2) и (3.3).
164
При идентификации моделей (3.1)-(3.3) будем использовать двухэтапную последовательную процедуру с применением на каждом этапе
МНК или его расширения.
На первом этапе идентификации, как и для большинства рассматриваемых в монографии моделей, будем конструировать ARMA-модели
[17, 48, 50], используя Z -преобразование модели детерминированной
компоненты ряда динамики.
Для конструирования ARMA-моделей можно применить аналитический подход, описанный в [48, 50, 57], но более целесообразно
использовать систему компьютерной алгебры Maple, которая позволяет проводить численные и символьные вычисления, упрощать громоздкие математические выражения.
Автоматизированный вывод расчетных формул опирается на
символьный процессор системы Maple 12, выполняющий необходимое для конструирования ARMA-моделей Z -преобразование детерминированной компоненты модели, а также другие вычисления. Рассматриваемые задачи Maple выполняет быстрее, чем известные программы Matlab и Mathematica.
С помощью Z -преобразования для (3.1) при k  4 получим следующую ARMA-модель четвертого порядка:
Yk  1 Yk 1  2Yk 2  Yk 3   2 Yk 1  Yk 2  Yk 3   Yk 4   k , (3.4)
где 1  2 cos  ,  k – значения «новой» стохастической компоненты,
образованной той же весовой суммой уровней стохастической компоненты от  k 1 до  k  4 , как и Yk в (3.4):
 k  1  k 1  2 k 2   k 3   2  k 1   k 2   k 3    k 4 .
Стохастическая компонента  k , так же, как и  k , имеет нулевое
математическое ожидание:
M [ k ]  M [ k ]  (1  2) M [ k 1]  2(1  1) M [ k 2 ]  (1  2) M [ k 3 ] 
 M [ k 3 ]  0  (1  2)  0  2(1  1)  0  (1  2)  0  0  0.
(3.5)
165
Ковариационная матрица для  k имеет вид:
 1

 2
 3


cov( k )   4
 5

 0
 ...

 0
2
1
3
2
4
3
5
4
0 ...
 5 ...
2
3
1
2
2
1
3
2
 4 ...
3 ...
4
3
2
1
 2 ...
5
4
3
2
1 ...
...
...
...
...
...
...
0
0
0
0
0
...
1  14 2  51 2  12 2 ,
где
0
0 
0

0
,
0

0
... 

1 
(3.6)
 2  12 2  141 2  412 2 ,
3  8 2  81 2  12 2 ,  4  4 2  21 2 ,  5   2 .
При i  j  4 M [ i j ]  0 , т.е. имеет место автокорреляция уровней
 k . Принятое условие гомоскедастичности ошибки  k обеспечивает и
гомоскедастичность стохастической компоненты  k :
M [ k2 ]  M [( i  (1  2) i 1  2(1  1) i 2  (1  2) i 3   i 4 ) 2 ] 


2
 M   i2  4 i21  4 i22  4 i23   i24  1 i21  41 i22  1 i23  


 14 2  51 2  12 2 .
Можно сказать, что модель (3.1) перепараметризована: вместо параметра  , нелинейно входящего в (3.1), мы получили параметр 1 , линейно входящий в ARMA-модель (3.4), что значительно упрощает ее
идентификацию и последующий расчет  через принятые обозначения
в (3.4).
Определим свойства МНК-оценки 1 из модели (3.4):

1 N
 (Yk  (1  2)Yk 1  2(1  1)Yk 2 
N

4
k 5

1*  arg min 
1

(1  2)Yk 3  Yk 4 ) 2 ,
где через N обозначен объем анализируемой выборки.
166
(3.7)
Примем, что:
ak  Yk  2(Yk 1  Yk 2  Yk 3 )  Yk 4 ,
(3.8)
bk  Yk 1  2Yk 2  Yk 3 ,
(3.9)
ck   k  2( k 1   k 2   k 3 )   k 4 ,
(3.10)
d k   k 1  2 k 2   k 3 .
(3.11)
С учетом (3.8), (3.9) можно так записать выражение (3.7):
1
 1 N
2
 arg min 
a


b


 k 1 k .
N

4
1
k 5


(3.12)
Реализуем необходимое условие экстремума для (3.12), осуществив его дифференцирование по параметру 1 :
N
2  N
2
a
b


b
  k k 1 k   0 ,
N  4  k 5
k 5

откуда МНК-оценка 1 будет равна:
N
 ak bk
1  k N5
.
(3.13)
 bk2
k 5
Для исследования смещенности оценки 1 подставим в (3.13) выражение ak в явном виде из исходной модели:
N
  ck  1dk  1bk  bk
1  k 5
N

k 5
.
(3.14)
bk2
Математическое ожидание МНК-оценки 1 из (3.14) будет равно:
167
 N

 N

(
c


d


b
)
b
(
c


d
)
b
 k
 k
1 k
1 k k
1 k k

k 5
k 5




M [1 ]  M
M
N
N




 bk2
 bk2




k 5
k 5




 N 2
 N

  bk 
  (ck  1d k )bk 
.
1M  kN5   M  k 5 N



 1
2
2
 bk
  bk 


k 5
 k 5 


Видим, что оценка 1 имеет смещение, равное:
 N

   ck  1d k  bk 
.
M  k 5 N


 bk2


k 5


(3.15)
Величина bk в (3.9) будет мала при относительно малом отличии
друг от друга соседних четырех уровней ряда и, наоборот, будет велика
при значительном их различии. В отношении стохастической компоненты то же можно сказать о величинах ck в (3.10) и d k в (3.11) при соседних четырех и пяти уровнях ряда соответственно.
Смещение (3.15) можно уменьшать путем увеличения bk и
уменьшения ck и d k , то есть следует достичь значительного различия
уровней ряда и малого отличия стохастической компоненты.
Для этого можно применить прием прореживания выборки: удаления из рассмотрения каждого i -того наблюдения, в результате чего
получатся i новых прореженных выборок. Одновременно необходимо
накладывать на полученную таким образом выборку условие равноудаленности соседних наблюдений. На каждой из прореженных таким образом выборок можно произвести идентификацию 1,i по формуле
(3.13). Из идентифицированных на каждой из прореженных выборок
оценок 1,i следует выбирать ту, которая обеспечивает минимум дисперсии и рассчитать по ней МНК-оценку частоты:
168


1
  arccos 1,i .

2

(3.16)
При разных шагах прореживания (использования уровней ряда через два, через три и т.д. наблюдений) надо учесть это обстоятельство,
рассчитывая коэффициент ARMA-модели по формуле:
1,i  2cos i .
Нетрудно показать, что прорежение выборки уменьшает и дисперсию оценки 1 (здесь через D обозначен оператор нахождения дисперсии):
 N

  (ck  1d k  1bk )bk 

D[1 ]  D  k 5
N


 bk2


k 5


2
 N
 N
 
  (ck  1d k  1bk )bk
  (ck  1d k  1bk )bk   
 k 5
 k 5
  
M

M
N
N


 
2
2

b
b
k
k

  

k 5
k 5

  

 N

 N

(
c


d
)
b
  (ck  1d k )bk

 k
1 k k
k

5
k

5
  
M
 1  M 
N
N


 1
2
2


 bk
 bk




k 5
k 5


 N

  (ck  1d k )bk 
.
 D  k 5 N


2
b



k
k 5


Показанные исследования не привели к возможности аналитической оценки точечных или интервальных оценок параметра 1 через параметры ряда динамики, но указали на целесообразность приема прореживания выборки для уменьшения смещения и дисперсии.
169
Численные эксперименты на тестовых и реальных статистических
выборках для (3.1) (и других рассматриваемых в монографии моделей)
показали, что оптимальный шаг прореживания выборки обычно равен
или несколько больше порядка анализируемых ARMA-моделей.
Предложенное прореживание выборки для компенсации автокоррелированности стохастической компоненты, получающейся при конструировании ARMA-моделей и последующего применения МНК,
можно в вычислительном плане рассматривать и как компенсацию
мультиколлинеарности.
Идентификация любой ARMA-модели имеет ограничение по
мультиколлинеарности – высокой взаимной коррелированности (линейной связи) переменных в модели авторегрессии [12].
Предложенные методы МНК-идентификации моделей экономической динамики на основе ARMA-моделей приводят, как уже отмечалось, к формированию нормальных систем алгебраических уравнений,
порядок которых в некоторых случаях может оказаться довольно высоким. При этом устойчивость решения нормальных систем алгебраических уравнений (слабая обусловленность матрицы систем алгебраических уравнений – близость её определителя к нулю) в методах параметризации рядов динамики существенно хуже устойчивости решения таких же систем в детерминированной постановке за счёт мультиколлинеарности.
Строгая (perfect) мультиколлинеарность – наличие линейной
функциональной связи между независимыми факторными переменными
(иногда также между зависимой и определяемой переменной). Мультиколлинеарность (являясь, по сути, коррелированностью) нарушает одно
из принятых условий Гаусса-Маркова и делает построение регрессии
невозможным.
Нестрогая (imperfect) мультиколлинеарность – наличие сильной
линейной корреляционной связи между независимыми факторными переменными (иногда также и между определяемой переменной). Нестрогая мультиколлинеарность, имеющая место для авторегрессий, затрудняет работу, но не препятствует получению правильных выводов.
Её наличие отнюдь не означает, что модель неверно специфицирована, а обсуждение необходимости её упрощения начинается лишь тогда, когда она существенно влияет на результаты идентификации модели.
170
При этом однозначных критериев «силы» мультиколлинеарности не существует.
Для множественной регрессии обычно называют следующие причины мультиколлинеарности:
 ошибочное включение в уравнение двух или более линейно зависимых переменных. Для рядов динамики это означает, по сути, неверную спецификацию модели;
 две или более факторные переменные, в «нормальной» ситуации
«слабо» коррелируемые между собой, становятся в конкретных условиях выборки сильнокоррелированными. В одной выборке мультиколлинеарность может быть сильной, а в другой – слабой. В рядах динамики
мультиколлинеарность зависит от добавления (или исключения) нескольких наблюдений в выборку или просто от смены выборки того же
объёма;
 в модель включается факторная переменная, сильнокоррелирующаяся с определяемой переменной. Для рядов динамики это вновь
означает неверную спецификацию модели.
Оценки коэффициентов ARMA-модели при мультиколлинеарности остаются несмещенными, но весьма чувствительными к изменению
спецификации и отдельных наблюдений выборки: существенно меняют
свои значения и даже знак. Значение коэффициента детерминации может при этом оставаться достаточно высоким, но оценки коэффициентов, кроме неэффективности, могут быть даже статистически незначимы.
Иногда коэффициенты авторегрессии могут принять принципиально неверные значения с точки зрения теории. Например, может оказаться, что определяемые через коэффициенты регрессии параметры
должны рассчитываться при условиях cos   1 или exp()  0 и т.д.
Или может случиться, что рассчитываемые коэффициенты ARMAмоделей будут неоправданно большими или слишком малыми с точки
зрения экономического содержания.
При сильной мультиколлинеарности прогнозная ценность используемых моделей может оказаться низкой из-за неустойчивости оценок
параметров моделей.
Мультиколлинеарность зависит и от соотношения шага дискретизации и динамики уровней ряда (например, излишне частый опрос пока171
зателя может, как уже отмечали, сделать практически неразличимыми
значения соседних наблюдений), от мощности стохастической компоненты, от объёма выборки, от порядка нормальных систем алгебраических уравнений и т.д.
Методы уменьшения мультиколлинеарности известны, но или довольно сложны, или предполагают наличие дополнительных статистических данных о ряде динамики, или требуют увеличения объёма выборки, что не всегда возможно в принципе и совершенно не приемлемо
при моделировании динамики показателей эволюционной экономики.
В качестве простых методов уменьшения мультиколлинеарности называют изменение спецификации модели, использование первых разностей уровней ряда динамики вместо самих факторных переменных.
Использование априорных сведений о некоторых параметрах ряда
(знание частот или их соотношений, знание фаз) уменьшает количество
неизвестных параметров и, как следствие, размерность соответствующих нормальных систем алгебраических уравнений и снижает мультиколлинеарность. Однако такое решение далеко не всегда возможно: оно
сужает область применения предложенных методов моделирования и
прогнозирования.
Проведенные вычислительные эксперименты на модельных и
натурных данных показали, что мультиколлинеарность не играет существенной роли при идентификации широкого класса моделей рядов экономической динамики, если порядок нормальных систем алгебраических уравнений не превышает 6-ой.
К таким, и даже меньшим, порядкам систем алгебраических уравнений удаётся привести реализацию практически всех предложенных
методов идентификации: упрощением модели (переходом, если это
возможно, к более короткой выборке и, соответственно, к возможно более простой модели) или предложенным методом параметрической итерационной декомпозиции [59].
Применение методов идентификации зависит, в принципе, и от
размера операнда (определяемого, например, в байтах) при выполнении
математических операций в программе, выполняющей расчет параметров моделей. Этот фактор влияет на точность и возможность (при малой
обусловленности матрицы) решения нормальных систем алгебраиче172
ских уравнений и, как следствие, определяет точность оценок параметров модели.
Существенное значение может иметь и эффект осцилляции: в случаях, когда уровни амплитуды колебательной компоненты много больше уровней тренда в рядах динамики. Этот эффект чаще может возникнуть при идентификации моделей на выборке, объем которой близок к
минимально необходимому для идентификации количеству наблюдений.
После подстановки найденной на первом этапе идентификации
оценки   в модель (3.1) будем на втором этапе идентификации оценивать оставшиеся параметры A0 , A1, A2 ,  модели (3.1) при помощи МНК,
который формирует нормальную СЛАУ (с линейно входящими в нее
параметрами A0 , A1, A3 , A4 ) из условия:
A0 , A1 , A3 , A4 
2
N
 arg min  Yk  A0  A1k   A3 sin  k   A4 cos  k   ,

A0 , A1 , A3 , A4  k 1


(3.17)
где A3  A2 cos  , A4  A2 sin  .
После получаемых из (3.17) МНК-оценок A0 , A1 , A3 , A4 очевиден
расчет:
A2

   
A3
2
A4
2
 A4 
,   arctg    .
 A3 

Для модели (3.2) в виде суммы линейного тренда и двух гармоник
будет при k  6 справедлива ARMA-модель шестого порядка:
Yk  (2  1  2 )Yk 1  (31  2(1  2 )  12 )Yk 2 
(4  2(1  2 )  12 )Yk 3  (3  2(1  2 )  12 )Yk 4 
(3.18)
(2  1  2 )Yk 5  Yk 6   k ,
где 1  2cos 1 , 2  2cos 2 , а «новая» стохастическая компонента
определена соотношением того же вида, что и (3.18), но в уровнях стохастической компоненты  k :
173
 k   k  (2  1  2 ) k 1  (31  2(1  2 )  12 ) k 2 
(4  2(1  2 )  12 ) k 3  (3  2(1  2 )  12 ) k 4 
(2  1  2 ) k 5   k 6 .
(3.19)
Относительно  k в (3.19) можно сделать выводы о ее центрированности, существовании автоковариации  k для соседних шести
наблюдений и гомоскедастичности.
Введем следующие обозначения:
m  1  2 ,
(3.20)
g  12 ,
(3.21)
ak  Yk  2(Yk 1  Yk 5 )  3(Yk 2  Yk 4 )  4Yk 3  Yk 6 ,
bk  Yk 1  2(Yk 2  Yk 3  Yk 4 )  Yk 5 ,
ck  Yk 2  2Yk 3  Yk 4 ,
d k   k  2( k 1   k 5 )  3( k 2   k 4 )  4 k 3   k 6 ,
ek   k 1  2( k 2   k 3   k 4 )   k 5 ,
f k   k 2   k 3   k 4 .
Применим МНК для ARMA-модели (3.18), реализуя условие:
 N
2
m , g  arg min    ak  mbk  gck   .
m , g  k 7



(3.22)
Будем иметь в этом случае систему нелинейных уравнений относительно искомых параметров модели (в силу определения m в (3.20) и
g в (3.21)), но, тем не менее, она может получить точное аналитическое
решение.
Для этого полученные МНК-оценки m и g подставим (с учетом
обозначений в (3.20) и (3.21)) в уравнение x 2  mx  g  0 . Eсли корни
вещественные и принадлежат интервалам значений 2  m  2 , 2  g  2 ,
то решение будет найдено из системы уравнений:
m  1  2

 g  12 .
174
При этом необходимо рассмотреть два случая, так как 1 и 2 входят в выражение симметрично.
Если 1  2 , то
2
Если 1  2 , то
N
 arg min   ak  (2  2 )bk  22ck  .
1
2
2
i 7
N
 arg min   ak  (2  2 )bk  22ck  .
1
2
i 7
Дифференцируя (3.22) по переменным m и g , получим:
N
N
 N

d  N
2
2
(
a

mb

gc
)

2
a
b

m
b

g
bk ck  ,
 k
 k k


k
k 
k
dm  k 7
k 7
k 7

 k 7

N
N
 N

d  N
2
(
a

mb

gc
)

2
a
c

m
b
c

g
ck2  .
 k
 k k


k
k 
k k
dg  k 7
k 7
k 7

 k 7

Приравнивая выражения для частных производных к нулю и решая получаемую при этом нормальную СЛАУ, будем иметь:
ak bk  bk ck   ak ck  bk2

g
,
2
2
2
 ck  bk    bk ck 
ak bk  ck2   ak ck  bk ck

m
.
2
2
2
  bk ck    bk  ck
(3.23)
(3.24)
Аналогично случаю с рассмотренной выше моделью (3.1), подставим в (3.23) и в (3.24) ak в явном виде из исходной ARMA-модели и,
находя математическое ожидание, выразим смещения оценок.
Смещение оценки g   12 будет равно:
2
  d  me  gf  b

k
k
k
k  bk ck    d k  mek  gf k  ck  bk 

.
M
2
2
2


 ck  bk    bk ck 


(3.25)
Смещение оценки m  1  2 определит формула:
2
  d  me  gf  b


k
k
k k  ck    d k  mek  gf k  ck  bk ck 

.
M
2
2
2


b
c

c
b
 k k   k  k


(3.26)
175
Как и в случае с моделью (3.1), величины bk и c k в (3.25) и (3.26)
будут малы при относительно малом отличии друг от друга соседних
пяти уровней ряда и, соответственно, велики при значительном их различии.
В отношении стохастической компоненты то же самое можно сказать о величинах d k , ek , f k при соседних семи, пяти и трех наблюдениях
соответственно.
Смещения (3.25) и (3.26) можно также уменьшить путем применения приема прореживания выборки, которое одновременно со смещением уменьшит и дисперсию оценок m и g  :
  d  mek  gf k  mbk  gck  bk  bk ck 
D[ g  ]  D   k

 ck2  bk2 
  d k  mek  gf k  mbk  gck  ck  bk2 

2

   bk ck 

  d  me  gf  b
bk ck    d k  mek  gf k  ck  bk2 


k
k
k
k
.
 D
2
2
2


 ck  bk    bk ck 


(3.27)
Аналогично выражается дисперсия и для m . Оценка оставшихся
параметров модели (3.2) предполагает подстановку в нее обеих полученных оценок частот, составление и решение нормальных СЛАУ шестого порядка для оценки параметров линейного тренда, амплитуд и фаз
гармоник, как это было сделано для (3.1).
ARMA-модель для наиболее сложной модели (3.3) будет иметь
вид:
Yk  2Yk 1  4Yk 2  6Yk 3  6Yk 4  6Yk 5  4Yk 6  2Yk 7 
Yk 8  (1  2  3 )(Yk 1  2Yk 2  3Yk 3  4Yk 4  3Yk 5 
2Yk 6  Yk 7 )  (12  13  23 )(Yk 2  2Yk 3  2Yk 4 
(3.28)
2Yk 5  Yk 6 )  123 (Yk 3  2Yk 4  Yk 5 )   k ,
где 1  2cos 1, 2  2cos 2, 3  2cos 3 ,  k – «новая» стохастическая компонента, по своей структуре аналогичная выражению (3.28),
но в уровнях  k .
176
Предыдущий пример показал трудность решения получающихся
при применении МНК к (3.28) систем с зависимыми коэффициентами
( 12  13  23 ) при (Yk 2  2Yk 3  2Yk 4  2Yk 5  Yk 6 ) и 123 при
(Yk 3  2Yk 4  Yk 5 ) в нормальных системах алгебраических уравнений.
В случае моделирования и других моделей динамики при применении ARMA-моделирования и МНК, могут формироваться и другие
нормальные системы алгебраических уравнений с зависимыми коэффициентами. Считаем неоправданно сложным использование для каждого
такого случая поиска индивидуальных приемов, методов решения таких
нелинейных систем алгебраических уравнений.
Аналитическое решение в таких случаях может быть найдено, вопервых, применением параметрической итерационной декомпозиции,
уменьшающей размерность нормальных систем алгебраических уравнений и обеспечивающей в большинстве рассмотренных случаях независимость коэффициентов соответствующих ARMA-моделей и, соответственно, решение СЛАУ.
Во-вторых, если параметрическая итерационная декомпозиция не
обеспечивает решения, то можно использовать другие аналитические
методы для решения получающихся в этих случаях уравнений: базисы
Гребнера [13, 24, 74] или метода В.Н. Кублановской [27].
Оба метода обладают практически одинаковыми функциональными возможностями и ограничениями, допускают решение задач моделирования для всех рассмотренных в монографии моделей временных
рядов динамики. Лучшую программную поддержку имеет метод базисов Гребнера, который и принят к использованию. Рассмотрим его подробнее.
Понятие базиса Гребнера было введено австрийским математиком
Бруно Бухбергером, который назвал конструкцию в честь своего научного руководителя – В. Гребнера, построившего первые примеры стандартных базисов для свободного коммутативного случая в конце 40-х
годов. Бухбергер предложил первую конструктивную процедуру вычисления базиса Гребнера, известную ныне как алгоритм Бухбергера.
К достоинствам метода базисов Гребнера следует отнести его
способность трансформировать решение системы полиномиальных
уравнений, к которым приводят нормальные системы алгебраических
177
уравнений с зависимыми коэффициентами, в решение существенно
более простой системы уравнений. Эта система, являющаяся базисом
Гребнера исходной системы, имеет треугольную структуру по вхождению переменных.
Тогда достаточно сначала решить единственное уравнение от
одной переменной, подставить его в другие уравнения и, получив систему такого же вида, но меньшего размера, продолжить вычисления
по аналогии.
При этом можно подставлять на каждом шаге все решения уравнения от одной переменной в оставшиеся полиномы, получая, таким
образом, все решения исходной задачи, что невозможно при применении традиционных численных методов.
К сожалению, метод базисов Гребнера имеет и существенные
недостатки. Так как при поиске базиса Гребнера не должны происходить ошибки округления при операциях с коэффициентами, то вместо
вещественных коэффициентов применяются целые коэффициенты,
которые быстро растут в процессе вычислений. Целые числа получающихся коэффициентов полиномов могут иметь разрядность в несколько десятков значащих цифр. Скорость и результат вычисления
базиса Гребнера может меняться в зависимости от различных факторов.
Использование базисов Гребнера возможно по следующей схеме. Вначале задача решения системы полиномиальных уравнений
классифицируется как задача одного из типов стандартных базисов.
Затем, в соответствии с классификацией, применяется алгоритм поиска базиса Гребнера алгоритмом Бухбергера и его модификациями, появившимися позднее.
Наиболее удобно вычислять базисы Гребнера в системах компьютерной алгебры, например, в уже упоминавшейся системе Maple.
В системе Maple вычисление базиса Гребнера и сопутствующие таким
вычислениям преобразования объединены в пакете «Groebner». Современный пакет Maple позволяет работать с 500 000-значными числами (при соответствующей конфигурации машины).
Диапазон применимости базиса Гребнера для решения рассматриваемых задач определился численным экспериментом: путем ис178
следования практики построения базиса Гребнера для систем N уравнений с N неизвестными полиномиальных многочленов степени M в
системе Maple (таблица 3.1).
Таблица 3.1
Границы применения базиса Гребнера для решения систем
полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами в системе Maple
Величина
коэффиц.
Степ\К-во*
2
3
4
5
5
7
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
2
3
4
5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
3
3
3
3
3
1
1
3
3
1
3
2
3
1
1
1
1
1
1
2
2
3
1
1
2
3
3
3
3
3
3
1
3
3
1
3
1
1
1
1
1
1
3
3
3
1
1
3
3
3
3
3
3
3
1
3
1
3
1
1
1
2
2
3
3
3
3
1
2
3
3
3
3
3
3
4
1
3
3
1 .. 10
50 .. 100
1 000 .. 10 000
10 000 .. 100 000
* - по столбцам - количество переменных, по строкам - степень многочленов
Обозначение результата вычислений:
1
Применение базиса Гребнера успешно
2
3
Базис Гребнера вычисляется, но корни системы находятся
неверно из-за больших вчислительных погрешностей
Базис Гребнера не вычисляется
Основная вычислительная проблема алгоритмов поиска базисов
Гребнера – необходимость работы с большими целочисленными коэффициентами, образующимися путем вычисления наименьшего общего кратного коэффициентов исходной системы. Поэтому исследование границ практического применения проводится для систем уравнений, обладающих коэффициентами с различным количеством значащих цифр.
Результаты практического применения базиса Гребнера для решения систем полиномиальных уравнений в системе Maple показали,
что базис Гребнера может применяться для решения систем не более,
чем из 5-ти уравнений с 5-тью неизвестными (в случае многочленов
2-ой степени), и систем полиномов не более, чем 7-ой степени (в случае двух уравнений с двумя неизвестными).
Причем для коэффициентов величиной от 10 000 до 100 000, получающихся для систем с четырьмя-пятью значащими цифрами исходных коэффициентов, диапазон использования базисов Гребнера
еще уже. Хорошо зарекомендовали себя базисы Гребнера для реше179
ния трех уравнений с тремя неизвестными кубических многочленов с
коэффициентами до 10 000.
Вычисление корней более сложных систем вначале приводит к
существенным вычислительным погрешностям, ведущим к ошибкам в
нахождении корней, а затем и к полной остановке алгоритма поиска
базиса Гребнера. Программная реализация использования базиса
Гребнера для решения полиномиальных систем нормальных алгебраических уравнений для идентификации временных рядов представлена в [43].
Указанные методы использовались для нахождения параметров
модели, состоящей из суммы линейного тренда и трех гармоник при
помощи ARMA-моделей, использования формулы (3.28) для нахождения оценок трех частот 1 , 2 , 3 , постановки полученных оценок частот в (3.3) и последующего применения МНК для расчета оставшихся
параметров модели.
Покажем пример количественного составления и решения полиномиального уравнения с помощью базиса Гребнера на примере моделирования ВВП РФ за 2003-2006 гг. (рис. 3.1) моделью (3.3) с оценкой
полученного прогноза на 2007-2008 гг. путем применения МНК и базиса Гребнера для модели (3.28).
180
170
160
150
140
130
120
110
100
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Рис. 3.1. Индекс реального ВВП РФ GDPEA_Q_DIRI, 2003.01=100
(данные Росстата URL: http: // www.gks.ru)
180
Система нормальных уравнений при применении МНК будет
иметь вид:
21247  105471  213592  213593 
535022  535032  1070112  2090423  1070113 
10056123  2748122  5028223  5028232  2748132 
12232232  24451223  24451232  912212232  0,
21247  213591  105472  213593 
535012  535032  1070112  1070123  2090413 
10056123  2748122  2748232  5028123  5028132
12231232  24451223  24451232  912212232  0,
21247  213591  213592  105473 
535012  535022  2090412  1070123  1070113 
10056123  5028122  5028122  2748223  2748123 
12231222  24451223  24451223  912212223  0,
содержащий переменные 1, 2 , 3 в степени не выше второй, что удовлетворяет требованиям таблицы 3.1 и позволяет рассчитывать на ее
точное аналитическое решение.
Для вычисления базисов Гребнера использовали функция
Groebner[Basis] системы Maple.
Метод базиса Гребнера сводит систему к полиномиальному
уравнению 20 степени относительно одной переменной 1 и линейным уравнениям относительно других переменных, в которых 1 выступает в роли идентифицируемого параметра.
В рассматриваемом случае вычисления индекса ВВП России
уравнение базиса Гребнера для идентификации параметров ARMAмодели (3.28) примет вид:
181
678095974109728330480561519764557780532572097034232601554966583278966046823497062449200λ120
+9578340658884866708628591791504712942773644600838160587689389422415452804786351251299231λ119+
+60136636288594781279780638850528886295917615933699173834973870172193573692786995776772690λ1l8+
+226787925806526820724324513838610416662573989511170574297902324201130463923306725777818960λ117+
+603376634771468776851875018435706094686520423608544496505701596541055950186540487294839568λ116+
+1291513725644620084617569358839467554060254351176426842192292044842257849820814028662827760λ115+
+2374204470436624096492387908450287975214740561100063707059207576842588698010319670891359008λ114+
+3569958053597260799327741262330720166808437965965302946119304896036662501646697117768082304λ113+
+3921982688536177685312010965466206793664444799161315166529486782930776113982185162237415296λ112+
+2725966175638407370121903031026992120264494940872013324070279798404775234722338568033501952λ111+
+812066825273296416715617112581445221424115506675241233763199863259676386048949964845351936λ1l0+
-319907415876918475527027009371301864271058605659278267129899274032969293179664635784107008λ19-368409888608397238553056460005865869232838129217645960903295826422089416279005164301574144λ18-99268131248736499130138701019090138307414362194578928265038328846211496198755778360619008λ17+900870165335162164210255653114474809245389496216736737860181380777599941029078452723712λ16+
1309914082909668551845948537444438470307819168409835733321401401997284291058948131995648λ15+
+185843752065469916929304391671269779035724749094537950117071938407168764748543239454720λ14+
+397088623117934474907936147513121267104234290792850856774522767533047688239838396416λ13+
-85435592850375879381458963755817602918230096171644614851894509877311272175372992512λ12-1214177651017575626440394896604170391758727736441435019197369687726549704467808256λ1-5015986840051061219856165558985759717575367263985931934562811905593675963432960=0.
Видим, что получили очень большие числа в уравнении (октовигинтиллионая разрядность первого коэффициента), которое, однако, допускает точное решение существующими программыми средствами.
182
Корни уравнения относительно 1 будут равны:
2,01055; 2,00662; 1,62293; 0,75380; 0,01114; 0,02474; 0,13546;
0,45877.
Проводя обратную замену 1 
  
1
arccos  1  , исключая не имею
 2 
щие экономического смысла комплексные значения, получим следующие оценки частоты 1 :
1  2,517;1,957;1,576;1,558;1,503;1,339 .
Вследствие симметрии системы такие же уравнения базиса Гребнера и такой же набор решений будет существовать и для 2 , 3 ( 2 , 3 ).
Истинные частоты системы определяются путем перебора из критерия
максимального значения получаемого коэффициента детерминации R 2 .
В рассматриваемом случае частоты будут равны:
1  1,503, 2  1,558, 3  2,517.
Коэффициенты C1, C2 , а также амплитуды колебаний A1, A2 , A3
входят в модель динамики (3.3) линейно и находятся с помощью МНК
из нормальной СЛАУ. В итоге, коэффициенты модели индекса реального ВВП будут равны:
C1  108;
C2  2,132;
A1  6,406;
1  1,4361;
2  2,297;
3  1,334.
A2  13,87;
A3  0,6295;
Полученный коэффициент детерминации модели равен R 2  0,99 ,
а ошибки прогноза на 2007 и 2008 гг. оказались следующими: MAPEоценка 2,74%, а второй коэффициент Тейла T2  2,41% (рис. 3.2).
183
180
170
160
150
140
130
120
110
100
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Рис. 3.2. Реальные данные индекса реального ВВП РФ и
моделирование выражением (3.3)
Из представленных результатов можно сделать вывод о высокой
точности проведенного моделирования и прогнозирования довольно
простой моделью, что позволяет рассчитывать на ее широкое использование и в других приложениях.
3.2. Методика оценки точности и области применения
методов идентификации
Перейдем теперь к характеристике достигаемой предложенным
инструментарием точности моделирования и прогнозирования моделями (3.1)-(3.3) на тестовых и реальных выборках.
Для применения в реальной эконометрической практике предложенных выше ARMA-моделей необходимо знать область их применения, то есть те условия, при которых удовлетворительны точность моделирования ряда динамики и точность прогноза значений определяемого параметра.
Такая постановка задачи исследования точности практически неизвестна. Обычно предлагаются некоторые методы идентификации и
демонстрируется их работоспособность на конкретных выборках (может быть даже единственных для их применения).
184
Более общим подходом является методика Е.М. Четыркина [69]
оценки точности метода идентификации логистической функции
Верхулста, использующая программную генерацию суммы анализируемого (полезного) тренда с известными (задаваемыми) параметрами и
аддитивной помехи. Полезный сигнал имел при этом только один
набор параметров, а соотношение мощностей генерируемой помехи и
полезного сигнала задавалось равным 5%, объем выборки был большим.
Суть предложенной методики исследования точности и области
применения предложенных моделей и методов их идентификации является развитием методики Е.М. Четыркина и заключается в следующем.
Осуществляется программная генерации детерминированной
компоненты и помехи. Параметры детерминированной компоненты
варьируются в широком динамическом диапазоне и рассматриваются
все их возможные сочетания.
Объем детерминированной компоненты не превышает реальные
выборки эволюционирующей динамики: принят менее 48 наблюдений.
На каждое сочетание параметров детерминированной компоненты накладывается от 20 до 1000 соответсвующих выборок помехи. Под
наложением понимается суммирование для ряда с аддитивной стохастической компонентой, или умножение для структуры с мультипликативной стохастической компонентой. Результаты наложения образуют
тестовые выборки. Дисперсия генерируемой детерминированной выборки D  Dk  определяет мощность полезного сигнала.
Стохастическая помеха генерируется того же объема, что и детерминированная, причем с произвольными величинами математического
ожидания и дисперсии. Дело в том, что обеспечить с высокой точностью заданные числовые характеристики помехи с нормальным законом
распределения на малых объемах выборки современными программными средствами практически невозможно. После генерации рассчитывается среднеарифметическое значение тестовой выборки для центрирования помехи, рассчитывается стандартное отклонение выборки для
нормирования. Умножая полученную нормированную и центрированную стохастическую тестовую выборку (её дисперсия равна единице, а
математическое ожидание равно нулю) на коэффициент K n / s , будем
185
иметь дисперсию стохастической компоненты D[ ] , равную квадрату
этого коэффициента.
При различных сочетаниях параметров генерируемой детерминированной выборки и различных объемах выборки исследуется зависимость точности моделирования (значений R 2 ) и точности прогнозирования (значений MAPE-оценки или KT 2 ) в функции от коэффициента
«шум/сигнал» K n / s :
K n/ s 
D[ ]
,
D[ Dk ]
(3.29)
где D[ ] – дисперсия компоненты  k .
Из (3.29) очевидно, что коэффициент, на который следует умножать нормированную и центрированную стохастическую компоненту,
будет равен квадратному корню из произведения K n / s и D[ Dk ] .
Варьируя параметры выборки, можно определить на основе приемлемых оценок точности область применения предложенных моделей
и методов идентификации. Будем считать, как это обычно делают, приемлемой точность моделирования более 70%, а погрешность прогнозирования – не более 10-15%.
При практическом применении представляет интерес малые объемы выборок. На такие же объемы выборок целесообразно ориентироваться даже в тех случаях, когда имеются длинные выборки, так как в
условиях реформируемой экономики России малы временные периоды
стационарности моделей и оправдано деление выборок по интервалам
стационарности моделей.
При проведении тестирования будем использовать часто встречающиеся на практике объемы выборок: 24, 36 и 48 наблюдений.
Для оценки точности прогнозирования с помощью MAPE-оценок
в качестве реальных данных берутся значения тестовой выборки, а в качестве прогноза используются значения, получаемые экстраполяцией
идентифицированной модели на горизонт прогноза.
В общем случае горизонт прогноза при экстраполяции не будет
превышать более одной трети от объема анализируемой выборки. Для
186
краткосрочных прогнозов горизонт прогноза назначается от одного до
трех-пяти наблюдений.
Чтобы уменьшить влияние мультиколлинеарности на результаты
теста будем для рассматриваемых моделей использовать усреднение,
например, от пяти и более тестовых выборок.
Показ результатов исследований точности начнем с предложенного метода параметризации модели (3.1).
Учтем, что для отображения сезонности желательно наличие хотя
бы одного периода на графике временного ряда.
Наложим ограничение на угловую частоту  колебательной компоненты. Для 24 наблюдений (2 года при помесячных измерениях) 
может принимать значения от 0,26; для 36 – от 0,18; для 48 – от 0,131.
Также необходимо соблюдение условия теоремы Котельникова,
согласно которой нужно иметь достаточное количество наблюдений для
определения функции ряда: достаточно от 5 до 10 наблюдений на период гармоники.
В связи с этим  может принимать значения до 0,9. Таким образом, определяются границы для параметра  (таблица 3.2).
Таблица 3.2
Возможные значения параметра частоты при моделировании
N (объем выборки)
Границы изменения ω
24
0,26 < ω < 0,9
36
0,18 < ω < 0,9
48
0,131 < ω < 0,9
Для определенности амплитуда колеблемости относительно тренда принята достаточно большой: в 30%.
В таблице 3.3 представлены параметры генерации детерминированной компоненты. Результаты исследования точности представлены
на рисунках 3.3 и 3.4.
187
Таблица 3.3
Параметры генерации выборки
№
1
2
3
4
A0
A1
A2


0
1
1
1
0,6
0,8
1,4
0,9
5
7
9
10
0,9
0,8
0,5
0,4
0
0,5
1
2
5
1
0,1
1
0,3
2,5
R2
0,98
0,93
0,88
0,83
0,78
Kn/s
0
0,05
0,1
N=24
0,15
0,2
N=36
0,25
0,3
N=48
Рис. 3.3. Зависимость R 2 от коэффициента «шум/сигнал»
MAPE, %
30
25
20
15
10
5
0
0
0,05
N=24
0,1
0,15
N=36
0,2
0,25
Kn/s
0,3
N=48
Рис. 3.4. Зависимость ошибки прогноза от коэффициента «шум/сигнал»
В диапазоне отношения мощностей «шум/сигнал» до 30% предложенный метод вызывает уменьшение значений R 2 не более, чем на
15%, причём устойчивость параметризации возрастает с увеличением
числа наблюдений. Ошибка прогноза, представленная на рисунке 3.4,
188
оказывается более чувствительной к действию помехи, но также укладывается в категорию высокой точности.
Принятое предельным соотношение K n / s до 30% является во многих областях исследований (в измерительной технике, в радиотехнике)
общепринятым при исследовании точности.
Каждая точка графиков на рисунках 3.3 и 3.4 является усредненной. Не отражая точность моделирования при конкретных значениях
параметров модели (3.1), графики, тем не менее, дают общее представление о закономерностях изменения, точности и диапазонах возможного применения.
Числовые характеристики точности оценки параметров моделей и
доверительных интервалов модели можно получить и в области реальных параметров модели. Для этого следует найти МНК-оценки параметров модели и использовать их при генерации детерминированной
модели (3.1).
Вычитая из реальных данных ряда модельные уровни ряда, сможем получить ряд остатков  k и рассчитать дисперсию D[ k ] . После
этого появляется возможность наложить на модельные уровни ряда необходимое число выборок стохастической компоненты с заданной дисперсией D[ k ] и анализировать доверительные интервалы точности всей
модели и отдельных ее параметров (математическое ожидание, дисперсию, коэффициент вариации) известными методами.
Перейдем теперь к исследованию точности идентификации предложенным методом более сложной модели (3.2), которая может передать гармоническую сезонную волну и еще одну гармоническую компоненту ряда динамики как внутри года (например, квартальную), так и
вне года (например, циклы Дж. Китчина периодичностью 2-4 года).
Для осуществления моделирования с удовлетворительной точностью временной ряд должен включать в себя хотя бы один период высокочастотной гармоники, т.е. той из двух гармоник, которая входит в
модель с более высокой частотой. Для определенности колеблемость
относительно тренда примем 30% для той из гармоник, которая моделирует сезонность. На амплитуду второй гармоники ограничения не
накладывали. Представляет интерес исследование влияния соотношения
189
амплитуд
A2

и частот 1 . Отношения амплитуд гармоник назначались
A3
2
в диапазоне
A2
 [1,5; 2; 3; 5;10] , а соотношения значений частот – в диаA3
1
 [0,7; 0,8;1,1;1,5; 2] . Результаты проведенного моделирования
2
и прогнозирования показали высокую точность: коэффициент детерминации более 0,8; а MAPE-оценка прогноза менее 15% при объеме выборки в 36 и более наблюдений. Особо выделим случай, когда угловые
частоты в модели (3.2) оказываются равными. Рисунок 3.5 демонстрирует график изменения коэффициента детерминации в функции коэффициента «шум/сигнал» при принятых условиях. Видим, что оценки в
проведенных экспериментах отражают высокую помехозащищенность
предложенного метода идентификации.
пазоне
R2 0,98
0,93
0,88
0,83
0,78
Kn/s
0
0,05
0,1
N=24
0,15
0,2
N=36
0,25
0,3
N=48
Рис. 3.5. Зависимость R 2 от коэффициента «шум/полезный сигнал»
при равенстве частот гармоник
При коэффициенте «шум/сигнал» в 20% коэффициент детерминации в среднем оказался равен 0,9, а ошибки прогноза менее 10%. Проведены и исследования точности моделирования при различном соот
ношении фаз гармоник: 1  [0,5;1; 2;10] . Оценки точности при измене2
нии фаз практически не менялись. Например, изменение коэффициента
детерминации по абсолютному значению не превысило 0,05.
Рассмотрим теперь идентификацию модели (3.3). Для осуществления моделирования временной ряд наблюдений должен включать в себя
хотя бы один период наиболее высокочастотной гармоники и отвечать
190
условиям теоремы Котельникова. Колеблемость относительно тренда
пусть, как и ранее, составляет около 30% для той из гармоник, которая
моделирует сезонность.
На амплитуду второй и третьей гармоники ограничения не накладывали.
Исследование производились со следующими соотношениями параметров модели: A2  [1,5; 2; 3; 5;10] ; A2  [9; 7; 4; 2,5; 0,5] ; 1  [0,7; 0,8;1,1;1,5; 2] ;
A3
2
A4
1
 [2;1,6;1; 0,9; 0,85] .
3
Результаты экспериментов, представленные на рисунках 3.6 и 3.7
показали, что при изменении параметров тестовой выборки в широком
диапазоне точностные характеристики предложенного метода идентификации модели (3.3) практически не меняются.
R2 0,98
0,93
0,88
0,83
0,78
Kn/s
0
0,05
0,1
N=24
0,15
0,2
N=36
0,25
0,3
N=48
Рис. 3.6. Зависимость R 2 от коэффициента «шум/сигнал» при соотношении
амплитуд и частот гармоник 3; 4 и 1,1; 1 соответственно
MAPE, % 30
25
20
15
10
5
0
0
0,05
0,1
N=24
0,15
N=36
0,2
0,25
N=48
Kn/s
0,3
Рис. 3.7. Зависимость ошибки прогноза от коэффициента «шум/сигнал»
при соотношении амплитуд и частот гармоник 3; 4 и 1,1; 1 соответственно
191
На рисунках 3.8, 3.9 и 3.10 показаны примеры использования моделей (3.1), (3.2) и (3.3) предложенных методов их идентификации на
основе ARMA-моделей и на реальных выборках на данных потребительского бюджета в среднем на душу населения, расходов на покупку
товаров, расходов на покупку товаров и оплату услуг на душу населения Самарской области.
Рис. 3.8. Моделирование и прогнозирование потребительского
бюджета в среднем на душу населения Самарской области суммой
линейного тренда, одной гармоники и ошибки ( R 2  0,99 )
Рис. 3.9. Моделирование и прогнозирование расходов на покупку
товаров населения Самарской области суммой линейного тренда,
двух гармоник и ошибки ( R 2  0,95 )
192
Рис. 3.10. Моделирование и прогнозирование расходов на покупку
товаров и оплату услуг населения Самарской области суммой
линейного тренда, трех гармоник и ошибки ( R 2  0,9 )
На рисунках 3.11 и 3.12 показано сравнение точности моделирования и прогнозирования временных рядов общего объема денежных доходов и расходов населения на основе предложенных ARMA-моделей и
известной модели Хольта-Уинтерса. Прогноз производился на год вперед: на 2009 г. Оказалось, что прогнозы, полученные на основе предложенных ARMA-моделей, требуют меньших объемов выборки (от 24
наблюдений или 2 лет) относительно известных моделей ARIMA, методов экспоненциального сглаживания и классической сезонной декомпозиции, предполагающих использование выборки объемом более 5-ти
лет, или 60-ти ежемесячных наблюдений;
- применение ARMA-моделей дало увеличение точности моделирования на 10-20% коэффициента детерминации и на 1-3% - MAPEоценки прогноза.
Увеличение точности прогноза общего объема денежных доходов
для населения Самарской области позволяет более точно оценить будущую экономическую ситуацию на рынке потребления товаров и услуг.
В абсолютных показателях 1% ошибки этого показателя соответствует примерно 658 млн руб.
Таким образом, рынок потребления может быть переоценен или
недооценен при допущении на этапе прогнозирования ошибки в один
процент или примерно 0,66 млрд руб.
193
Рис. 3.11. Моделирование и прогнозирование общего объема денежных
доходов населения Самарской области, млн руб. (на основе предложенной
ARMA-модели и модели Хольта-Уинтерса)
Рис. 3.12. Моделирование и прогнозирование общего объема денежных
расходов населения Самарской области, млн руб. (на основе предложенной
ARMA-модели и модели Хольта-Уинтерса)
В таблице 3.4 приведено сравнение оценок точности прогнозирования (MAPE-оценок) для рядов общего объема денежных доходов в
Самарской области при различном периоде наблюдений (год и месяц).
194
Таблица 3.4
Сравнение MAPE-оценок точности прогнозирования рядов общего
объема денежных доходов населения с различным периодом наблюдений
MAPE-оценка при прогнозировании общего
объема денежных доходов населения:
а) с периодом
наблюдений – месяц
б) с периодом
наблюдений – год
Обобщенные параметрические
ARMA
4,0%
0,64%
ARIMA
4,8%
6,1%
5,2%
2,6%
7,9%
-
Модель экспоненциального
сглаживания (в случае с ежемесячными наблюдениями модель Хольта-Уинтерса)
Декомпозиция
Census II с экспоненциальным
сглаживанием
Прогнозирование на основе ARMA-моделей, исходя из проведенных исследований, позволило получить удовлетворительные по точности прогнозы (MAPE-оценка менее 5%), превосходящие, в том числе и
на «длинных» выборках (объемом более 5 периодов), известные методы
прогнозирования на основе моделей ARIMA, Хольта-Уинтерса, а также
методов декомпозиции Census I и Census II.
Высокой точностью обладают и результаты моделирования подписного тиража газеты, условно названной «ИС», в г. Самара, проведенные помесячно с января 2002 г. по декабрь 2005 г. (рис. 3.13).
Проводя сглаживание различными способами, можно увидеть,
что колеблемость носит выраженный «пилообразный» характер, что и
показано на рисунке 3.14.
Налицо плавный рост подписного тиража в первые месяцы каждого года (возможно, за счет мероприятий по привлечению подписчиков типа промо-акций, стимулирующих мероприятий и т.п.).
195
40
30
20
10
10.2005
05.2005
12.2004
07.2004
02.2004
09.2003
04.2003
11.2002
06.2002
01.2002
0
Рис. 3.13. Подписной тираж газеты «ИС» (тыс. шт.)
Затем наступает резкий сезонный спад (потери до 4 тысяч подписчиков) при летней «полугодовой» подписной кампании с 1 июля,
последующий рост аналогичный росту 1-го полугодия и менее значительный (до 1000 подписчиков) спад при зимней подписной кампании.
3000
2000
1000
0
-1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-2000
-3000
Рис. 3.14. Стационарная сезонная компонента тиража газеты «ИС»
Покажем, что можно предположить простую модель (3.1) динамики подписного тиража и параметризировать ее на реальных данных
с помощью ARMA-модели (таблица 3.5).
Осуществим также моделирование динамики подписного тиража
известным непараметрическим методом классической сезонной декомпозиции и сравним результаты.
196
Таблица 3.5
Коэффициент детерминации, ошибка прогноза и аналитические выражения моделей в функции объёма выборки в методе ARMA-моделей
Кол-во
наблюдений
R
Ошибка
прогноза,
%
12
0,9138
64,60
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48
0,8661
0,8701
0,8758
0,8945
0,9011
0,9235
0,9362
0,9421
0,9531
0,9552
0,9624
0,9646
2
Аналитическое выражение модели
Т(t)=39765,072997,38t+7448,17cos(0,52t+3,68)
17,65 T(t)=30907,15+84,62t+3522,06cos(0,52t-1,08)
11,40 T(t)=32106,08-193,26t+2627,09cos(0,52t-1,24)
5,69 T(t)=33473,48-466,08t+1440,58cos(0,52t-1,34)
6,77 T(t)=33244,68-423,08t+1538,66cos(0,52t-1,5)
3,78 T(t)=33560,55-488,85t+1725,11cos(0,52t-1,28)
4,89 T(t)=33472,01-474,85t+1684,14cos(0,52t-1,23)
4,60 T(t)=33747,24-505,91t+1474,71cos(0,52t-1,3)
7,65 T(t)=33606,79-491,2t+1528,77cos(0,52t-1,39)
6,56 T(t)=33595,62-489,81t+1465,35cos(0,52t-1,37)
3,55 T(t)=33380,33-468,79t+1335,36cos(0,52t-1,24)
7,27 T(t)=33399,96-470,36t+1323,24cos(0,52t-1,24)
12,92 T(t)=33256,23-459,88t+1393,07cos(0,52t-1,33)
Графическая иллюстрация сравнения точности моделирования с
использованием предложенного ARMA-моделирования и метода классической сезонной декомпозиции по точности моделирования и прогноза приведена на рисунках 3.15 и 3.16.
Рис. 3.15. Сравнение значений R2 от числа наблюдений для методов
классической сезонной декомпозиции и ARMA-моделирования
197
20
MAPE, %
16
12
метод параметрической
авторегрессии
8
метод сезонной
декомпозиции
4
0
24
27
30
33
36
39
число наблюдений
42
45
48
Рис. 3.16. Сравнение MAPE-оценок прогноза в функции количества
наблюдений для методов классической сезонной декомпозиции и
ARMA-моделирования
Из рисунка 3.15 видно, что метод авторегрессии на короткой выборке в 24 наблюдения уже обеспечивает высокую точность моделирования, причём нет необходимости в увеличении этого объёма. При одинаковой точности выигрыш по объёму выборки предложенного метода
в сравнении с известным – более чем в два раза. Из рисунка 3.16 видим,
что выигрыш в точности прогнозирования – полтора-два раза.
Еще одним примером может быть модель (3.2), которая визуально
довольно близка к динамике годового сбора зерновых в Самарской области в тыс. тонн (рис. 3.17) [60].
5000
4000
3000
2000
1000
0
Рис. 3.17.
Валовой
сбор г.зерна по
Самарской
области
в1993
1953-2005
гг. г.
1953
г.
1963
1973
г.
1983
г.
г.
2003
(в хозяйствах всех категорий; в весе после доработки)
198
Следует отдавать себе отчёт в том, что данный объект моделирования весьма сложен: модель определяемого показателя существенно
эволюционирует: зависит от комплекса природных условий (распределения температуры и осадков со времени сева до времени сбора урожая), от внесения удобрений, от управленческих воздействий и т.д.
Отметим также, что, как правило, наиболее высокую эволюцию
имеет высокочастотная гармоника: например, статистика говорит о чередовании высоких урожаев сериями то по два, то по три года.
При моделировании использовались выборки годовых валовых
сборов зерна разного объема: от 8 до 20 годовых наблюдений.
Напомним, что выборки, используемые в известных методах многомасштабной параметризации, требуют анализа от 4 до 12 периодов
самой низкочастотной из двух гармоник, что с учётом теоремы Котельникова предполагает выборки от 24 до 100 наблюдений, т.е. от 24 до
100 лет.
За такой интервал времени могут (и должны) существенно измениться технологии в сельском хозяйстве, засеваемые площади, востребованность тех или иных объёмов зерна, экономические и организационные условия производства зерна.
В данном случае использовался, для сравнения результатов не базисы Гребнера, а другой метод идентификации (известный как метод
вариации параметра Койка [71]): перебор значений одной из идентифицируемых частот и выбор того из них, которое обеспечивает максимальное значение коэффициента детерминации R 2 .
Шаг перебора частоты обеспечивал 100 оценок параметров модели, из которых выбирались лучшие по принятому критерию. Набор параметров модели, при котором было достигнуто максимальное значение
величины R 2 , использовался для прогноза на один шаг (на один год
вперед), и при этом рассчитывалась MAPE-оценка прогноза.
Результаты проведенной идентификации, естественно, зависят от
выбора шага дискретизации величин частот, но они оказались достаточно близки к точному решению в базисах Гребнера.
Результаты моделирования и прогнозирования ряда динамики
наблюдений урожайности для различных объемов выборки при горизонте прогноза в один год приведены в таблице 3.6.
199
Таблица 3.6
Результаты моделирования и прогнозирования валового сбора зерна
в Самарской области на 2006 г.
В качестве критерия
принимался
В качестве критерия
Объем
выборки
принимался Max R2
R2
N
8
10
12
14
16
18
20
Max MF  Max( R 2  MAPE )
R2
MAPE, %
5,7
11,5
16,1
27,6
41,6
42,7
47,5
0,91
0,88
0,90
0,68
0,67
0,75
0,73
0,90
0,83
MAPE, %
1,7
8,2
На рисунке 3.18 приведен результат моделирования сбора зерна
при выборке в 12 наблюдений.
3000
2500
Реальная выборка
2000
Модель
1500
Прогноз
1000
500
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Рис. 3.18. Реальная выборка сбора зерна объёмом N =12, её моделирование
выражением (3.2) и ошибка прогноза на один шаг
При этом точность моделирования и прогнозирования оказалась
выше на малых выборках (8-10 наблюдений), что обусловлено, видимо,
высокой эволюцией ряда динамики.
200
Исследования позволили сделать еще один вывод – комплексный
критерий качества моделирования позволяет обеспечить высокую точность как моделирования, так и прогнозирования.
Обобщая результаты эксперимента по тестированию предложенного метода параметризации модели (3.2) и прогнозирования с её помощью модельных и реальных данных, можем заключить, что предложенный метод имеет преимущества перед известными методами по
объёму требуемой выборки и точности, а значит, обладает практической
ценностью.
Спецификация, как правило, не заканчивается предложением
только одной модели: другая модель может дать лучшие показатели
точности. Например, при моделировании тиража газеты «ИС» альтернативой предложенной модели вполне может быть «пилообразная» колебательная компонента.
Близкие по точности результаты моделирования и прогнозирования на тестовых и реальных данных получены с использованием уже
описанного подхода для моделей ряда динамики в виде суммы параболы, одной, двух гармоник и стохастической компоненты, отвечающей
принятым условиям Гаусса-Маркова.
Например, модели
Yk  A0  A1k  A2k 2  A3 sin( k   )   k
будет соответствовать при k  5 ARMA-модель пятого порядка:
Yk  3Yk 1  4Yk 2  4Yk 3  3Yk 4  Yk 5  1(Yk 1  3Yk 2  3Yk 3  Yk 4 ) 
  k  3 k 1  4 k 2  4 k 3  3 k 4   k 5  1( k 1  3 k 2  3 k 3   k 4 ),
где 1  2cos  «перепараметризированный» в виде линейного коэффициента ARMA-модели нелинейный параметр – частота колебаний
гармонической компоненты.
Выше уже показан метод нахождения МНК-оценок 1 ,  из нормального уравнения, а МНК-оценок коэффициентов A0 , A1, A2 , A3 - из
нормальной СЛАУ пятого порядка.
Для модели ряда динамики из суммы тренда в виде параболы,
двух стационарных колебательных компонент и стохастической компоненты:
2
Yk  A0  A1k  A2k   Ai 2 sin(i k  i )   k
2
i 1
201
при k  7 будем иметь ARMA-модель седьмого порядка:
Yk  3Yk 1  5Yk 2  7Yk 3  7Yk 4  5Yk 5  3Yk 6  Yk 7 
m(Yk 1  3Yk 2  4Yk 3  4Yk 4  3Yk 5  Yk 6 ) 
 g (Yk 2  3Yk 3  3Yk 4  Yk 5 ) 
  k  3 k 1  5 k 2  7 k 3  7 k 4  5 k 5  3 k 6   k 7 
m( k 1  3 k 2  4 k 3  4 k 4  3 k 5   k 6 ) 
 g ( k 2  3 k 3  3 k 4   k 5 ),
где m  1  2 , g  12 , 1  2cos 1, 2  2cos 2 .
Для получения МНК-оценок 1 , 2 (и МНК-оценок 1 , 2 ) можно
использовать базисы Гребнера, а для оценок A0 , A1, A2 , A3 , A4 , 1,  2 применить метод параметрической итерационной декомпозиции.
В сравнении с рассмотренным выше трендом в виде линейной
функции и гармоник имеем увеличение (при том же самом числе гармоник) порядка ARMA-моделей на единицу, а требуемый объем выборок
становится на три-четыре наблюдения больше для обеспечения тех же
показателей точности моделирования и прогнозирования.
Программная реализации всех методов идентификации данного
раздела приведена в [41].
3.3. Модели роста в виде суммы полиномиальных трендов и
колебательных компонент аддитивной и пропорциональномультипликативной по отношению к тренду структур
Реальной экономической практике может соответствовать и модель детерминированной компоненты в виде суммы полиномиального
тренда с аддитивной и пропорционально мультипликативной структурами взаимодействия колебательных компонент с трендом:


Yk  Tk 1  SkM  SkA   k  Tk  Tk SkM  SkA   k ,
(3.30)
где Tk – полиномиальный тренд, Tk SkM – мультипликативная колебательная компонента, прямо пропорциональная тренду, SkM  1 , SkA – независимая по отношению к тренду аддитивная колебательная компо202
нента,  k – стохастическая компонента, которую будем считать отвечающей принятым условиям Гаусса-Маркова, k  1,2,..., N , N – объем
выборки [44, 54].
Модель (3.30) отражает возможность различного поведения колебательной компоненты во временных рядах: амплитуду аддитивной колебательной компоненты можно считать неизменной, а амплитуду другой – прямо пропорциональной уровням тренда.
Особого внимания заслуживает многообразие форм колебательной
компоненты, поскольку во многих приложениях отмечается ее импульсный характер: «пилообразный», «треугольный», «прямоугольный»,
«куполообразный», что обуславливает использование ряда Фурье для
описания колебательных компонент таких форм.
Напомним, что для моделирования можно применить и совокупность гармоник, частоты и амплитуды которых отличны от гармоник
ряда Фурье.
Например, они могут назначаться, исходя из экономической сущности моделируемого ряда динамики, или определяться из критериев
качества моделирования.
Такие модели используются, например, в методе многомасштабной декомпозиции, где кроме основной гармоники рассматриваются неклассические гармоники.
Сложная динамика процессов инновационной экономики и имеющиеся обычно на практике относительно малые выборки далеко не всегда позволяют однозначно определить мультипликативный или аддитивный характер отдельных колебательных компонент.
Более того, для временных рядов с многомасштабными колебательными компонентами возможен случай аддитивного вхождения колебательной компоненты одной частоты и мультипликативного вхождения колебательной компоненты другой частоты.
Колебательные компоненты могут быть записаны рядом N M и N A
гармоник с частотами q и r , амплитудами Aq , Bq , Er , Fr :
NM




SkM    Aq  sin q  k   Bq  cos q  k   ,


q 1
SkA
(3.31)
NA
   Er  sin  r  k    Fr  cos  r  k    .
(3.32)
r 1
203
Нелинейный тренд в модели (3.30) будем моделировать рядом
Тейлора степени NT :
NT
Tk    Di 1   k  

i 0
NT i 

.
(3.33)
Известный классический метод сезонной декомпозиции [1, 4, 71]
применяется только при сезонной колебательной компоненте, причем требует использования длительного интервала наблюдения.
Он не позволяет осуществлять мониторинг эволюции модели сезонной компоненты и структур ее взаимодействия с трендом на больших выборках, не дает возможности осуществлять прогнозирование уровней ряда,
не может быть использован при дополнительном включении в модель колебательной (например, циклической) компоненты другой структуры взаимодействия, отличной от первой (аддитивной или мультипликативной).
Продемонстрируем идентификацию модели (3.30) с помощью предложенного метода параметрической итерационной декомпозиции трендколебательной компоненты [59], который иллюстрирует рисунок 3.19.
Определение нулевого приближения параметров D10 ,..., DN0 T 1 тренда Tk0
при значении колебательных компонент равных нулю: SkM 0  0, S kA 0  0
Удовлетворен критерий
точности?
да
Сохранение
найденных
параметров
нет
Уточнение параметров колебательных компонент:
уточнение значений колебательной компоненты YkS i  Yk  Tki 1
идентификация параметров модели YkS i  Tki 1  S kM i  S kA i   k
Уточнение параметров тренда:
уточнение значений тренда Tki  Yk  YkS i
идентификация i приближения параметров D1i ,..., DNi T 1 тренда Tki
Увеличение индекса приближений i  i  1
Рис. 3.19. Алгоритм метода параметрической итерационной
декомпозиции тренд-колебательных компонент
204
Параметры D1i , D2i ,..., DNi T 1 входят в модель тренда (3.33) линейно,
поэтому их поиск легко может быть реализован с помощью МНК.
Результатом использования алгоритма параметрической итерационной декомпозиции тренд-сезонной компоненты является сведение задачи
идентификации параметров модели (3.30) к идентификации параметров
модели:
 NM
YkS     Aq sin q k   Bq cos q k 
 q 1 





 NT
     Di 1  k   NT i  



 i 0
(3.34)
NA
   Er sin   r k    Fr cos   r k      k .
r 1
Идентификацию параметров (3.34) проведем, как и ранее, с помощью ARMA-моделирования. Для вывода общей формулы ARMAмодели, соответствующей модели (3.34), вначале рассмотрим частный
случай:


Yk  D1  k    D2  k    D3  k    D4 
3
2
  A1 sin 1k   B1 cos 1k   A2 sin 2k   B2 cos 2k     k .
(3.35)
Получим при k  16 следующую ARMA-модель шестнадцатого порядка:
Yk  256Yk 8 14 24  512 Yk 7  Yk 9   1324  14 23  
 Yk 6  2Yk 8  Yk 10  38414 22  38412 24  10241323  
 Yk 5  3Yk 7  3Yk 9  Yk 11  
 12814 2  128124  76812 23  7681322  
 Yk 4  4Yk 6  6Yk 8  4Yk 10  Yk 12  
 16 14  16 24  25613 2  256123  57612 22  
 Yk 3  5Yk 5  10Yk 7  10Yk 5  5Yk 11  Yk 13  
 3213  3223  19212  2  1921 22  
 Yk 2  6Yk 4  15Yk 6  20Yk 8  15Yk 10  6Yk 12  Yk 14  
  2412  2422  6412   Yk 1  7Yk 3  21Yk 5 
35Yk 7  35Yk 9  21Yk 11  7Yk 13  Yk 15  
81  82    8Yk 2  28Yk 4  56Yk 6  70Yk 8  56Yk 10 
(3.36)
 28Yk 12  8Yk 14  Yk 16    k ,
205
где 1  C os 1, 2  C os 2 ,  k – остаток, описываемый той же моделью (3.36), но в уровнях  k .
Очевидна нецелесообразность использования модели (3.36) для
идентификации: система нормальных уравнений будет нелинейной,
имеет высокий порядок, требует больших выборок для обеспечения
удовлетворительной точности: до 48 или 64 наблюдений (как уже отмечалось, в 3-4 раза больше порядка ARMA-модели).
Для упрощения записи ARMA-модели (3.36), можно отметить, что
коэффициенты в сомножителях при однородных многочленах степеней
1,  2 – биномиальные. Для выявления закономерности в коэффициентах внутри квадратных скобок коэффициенты при слагаемых 1m1 2m2 запишем в таблицу 3.7 с разложением их на множители.
Таблица 3.7
Коэффициенты модели (3.36) при слагаемых 1m1 2m2
1
1
12
13
14
1
11
24
22  6
23  4
24 1
2
24
22  4  4
23  4  6
24  4  4
25  4
 22
22  6
23  6  4
24  6  6
25  6  4
26  6
 23
23  4
24  4  4
25  4  6
26  4  4
27  4
 24
24 1
25 1 4
26  1  6
27 1 4
28 1
Из таблицы 3.7 видим, что коэффициенты при степенях 1,  2 могут быть записаны как произведения степеней двойки и биномиальных
коэффициентов с чередованием знаков. После переноса Yk в правую
часть уравнения (3.36) и учета выявленных закономерностей ARMAмодель примет вид:
4

m1 ,m2 0
206
m ,m 1m2 2m2    k  0,
 1 2

(3.37)
где
m1,m2   1
 m1 ,m2 
m1 m2
42 m1  m2 

l 0
 2m1m2  C4m1  C4m2   m1 ,m2 ,


C l

 42 m1 m2   Yk 2 42 m1m2 2l  ,
C ij – биномиальные коэффициенты.
Конструируя ARMA-модели с помощью программы Maple, можно
отметить, что ARMA-модели, соответствующие динамическим моделям
вида (3.35), сводимы к виду (3.37).
Проводя аналогичные рассуждения с включением колебательных
компонент аддитивной структуры, получим общий вид ARMA-модели,
соответствующей динамической модели колебательной компоненты YkS
вида (3.34):
NM
NA


mq
pr





  m1 ,m2 ,...,mNM , p1 , p2 ,..., pN A  q  r    k  0, (3.38)

m1 ,m2 ,...,mN M 0 
q 1
r 1

NT 1
1

p1 , p2 ,..., pN A 0
где
m1 ,m2 ,...,mN
M
 m1 ,m2 ,...,mN
, p1 , p2 ,..., pN A
M
  1
 NM
NA

  mq   pr 1
 q 1

r 1


2
 NM
NA

  mq   pr 1
 q 1

r 1


 N M mq 
  CN 1  
T
 q1
 (3.39)
, p1 , p2 ,..., pN A ,
 m1 ,m2 ,...,mNM , p1 , p2 ,..., pN A 
NA
 NM


N

1
N

N

m

pr 
 T  M A
q
 q 1
r 1 



l 0
C ij
k
–
–
 

 l
 (3.40)
S
C

Y
,
N
N
N
N

A
 M
 
 N 1 N  N   M m  A p 
k   2  NT 1 N M  N A   mq   pr  2l 
q  r
 q 1
 
  T  M A  

q 1
r 1 
r 1

 

биномиальные
остаток,
коэффициенты,
линейный
q  C os q , r  C os r  ,
относительно
 k ,  k 1, ...,  k NMaxRegr ,
N MaxRegr  2  NT  1 N M  N A  – порядок ARMA-модели.
207
Соответствие соотношений (3.38)-(3.40) динамической модели
(3.34) проверено в практически важных случаях для всех сочетаний
NT , N M , N A  3 . Можно предполагать, что (3.38)-(3.40) будут соответствовать модели (3.34) и при большей степени полинома тренда и при
большем количестве гармоник.
Коэффициент при YkS в ARMA-модели (3.38)-(3.40) всегда равен
1, поэтому путем переноса слагаемого YkS в правую часть выражения
(3.38) ARMA-модель запишем в явном виде. Идентификация параметров модели (3.38)-(3.40) возможна при длине выборок не менее
N MaxRegr  1 .
ARMA-модель (3.38)-(3.40) позволяет найти переменные q ,r
(косинусы частот гармоник колебательных компонент) с помощью
МНК. Уравнение (3.38) – полином, относительно степеней q ,r , поэтому соответствующий МНК представляет собой систему полиномиальных уравнений относительно q ,r . Метод решений таких систем в базисах Гребнера показан в разделе 3.1.
В рассматриваемой задаче можно привести и частный, но практически распространенный класс моделей с кратными частотами:
q  Kmq  ,  r  Kar   ,
(3.41)
где Kmq , Kar – вектора натуральных чисел, задающие кратность частот
q ,  r частоте  .
Условие кратности частот позволяет идентифицировать колебательную компоненту мультипликативной и аддитивной структур, заданную рядом Фурье или отдельными гармониками этого ряда, что
предоставляет широкие возможности описания указанного выше многообразия форм колебательной компоненты и не приводит к значительному сужению класса анализируемых процессов и явлений.
Замена (3.41) позволяет перейти от q , r к одной неизвестной
  cos   , а в МНК – от системы полиномиальных уравнений к более
простому одному алгебраическому уравнению относительно  , методы
решения которых известны.
208
Подстановка (3.41) в функцию косинуса требует преобразования
косинусов кратных частот. Использование тождества теории функций
комплексного переменного:
cos n  i sin n   cos   i sin   ,
n
(3.42)
при раскрытии бинома с учетом Cos 2   1  Sin 2  позволяет получить
уравнение замены n  cos n через  :
n 
floor  n /2 

l 0
 n,l   n2l ,
(3.43)
где
 n,l 
floor  n /2 
2 s l
  1 Cn2sCsl ,
(3.44)
s 0
C sl – биномиальные коэффициенты, floor  12 n  – целая часть числа
1n.
2
Аналогично проводится замена для переменных  r , определяющих частоты аддитивно входящих гармоник. Замена первых шести
кратных частот дает:
1   ,
3  4 3  3 ,
5  16 5  20 3  5 ,
2  2 2  1, 4  8 4  8  1, 6  32 6  48 4  18 2  1.
Замены (3.43) имеют вид полиномов. Следовательно, их подстановка в (3.38) приводит к вычислению степеней и произведений этих
полиномов:
NF

q 1
m
q q
NS
 rpr ,
r 1
что, не умаляя общности результатов, сводит задачу к поиску произведения полиномов:
a 
1
m1


 a2  m11  ...  am1  am11  b1 m 2  b2  m 21  ...  bm 2   am 21 ,
209
которое,
в
свою
очередь,
вычисляется
как
полином
c1 m3  c2  m31  ...  cm3  cm31 , где вектор c – свертка векторов a и b .
Операция свертки двух векторов реализуется стандартно на большинстве языков программирования.
Итак, идентификация модели (3.34) с кратными частотами (3.41)
приводит к задаче идентификации параметра  ARMA-моделей (3.38)(3.40), сводимой с помощью замен (3.43) и операции свертки для каждой точки Yk , к виду
k ,1 M  k ,2  M 1  ...  k ,M   k ,M 1  0 .
(3.45)
Параметр  находится с помощью МНК из алгебраического уравнения:
 k ,1 M  ...  k ,M   k ,M 1  
N
k 1

 M  k ,1
M 1
  M  1  k ,2 
M 2

.
(3.46)
 ...   k ,M  0
Решение уравнения (3.46) относительно  – стандартная задача,
реализуемая процедурами на многих языках программирования.
По корням данного уравнения можно определить   , затем
 
1


arccos   и частоты q ,  r на основе обратных замен (3.41).

При наличии нескольких действительных значений   дальнейшая идентификация параметров модели (3.34) проводится для каждого
из них, затем по критерию максимума значения коэффициента детерминации R 2 выбирается наилучший набор параметров.
Для повышения эффективности оценки частоты  и повышения
устойчивости ее МНК-идентификации целесообразно укрупнение шага
дискретизации путем прореживания выборки, которое уже было
рассмотрено в разделе 3.1, или, для сравнения, с помощью еще одного
приема: консолидации значений (сглаживания нескольких значений) на
определенном диапазоне по K diskr точкам с помощью усреднения абсцисс и ординат [53]:
210
  K diskr  ,
Yk 
1
K diskr
K diskr
 Y k 1K
j 1
diskr 
j.
Данный прием по своим возможностям довольно близок к
прореживанию: уменьшает автокорреляцию и остаточную дисперсию,
что будет подробно показано ниже на примере одной из моделей ЖЦП.
Второй этап идентификации модели колебательной компоненты
(3.34) заключается в идентификации амплитуд соответствующих
гармоник Aq , Bq , Er , Fr . Зная частоты q , r , идентификацию амплитуд
Aq , Bq , Er , Fr , входящих в модель (3.34) линейно, можно провести с
помощью МНК.
Примером применения модели (3.30) может служить описание
макроэкономических параметров–индекса реальных денежных доходов
населения (HHI_Q_DIRI) и индекса реального ВВП (GDP_Q_DIRI). Рассматривая поведение показателей на периоде между кризисами 1998 и
2008 годов, можно сравнить их динамику на первой и второй половинах
периода – в 1999-2003 и в 2003-2007 годах.
Для описания индекса HHI_Q_DIRI лучшей моделью по значению
коэффициента детерминации оказалась:
Yk   D1k   D2  
 1  A1 sin  k   B1 cos  k   A2 sin 2 k   B2 cos 2 k     k .
(3.47)
Результаты описания HHI_Q_DIRI моделью (3.47) представлены
на рисунке 3.20 и в таблице 3.8. Параметры модели (3.47), построенной
по значениям индекса в 1999-2003 и в 2003-2007 гг., и амплитуды каж2
2
дой из гармоник Vi  Ai  Bi представлены в таблице 3.9.
211
160
150
230
140
210
130
190
120
170
110
100
150
90
130
80
110
70
60
90
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
а)
1999
2000
2001
2002
2003
2004
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
б)
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Рис. 3.20. Индекс реальных денежных доходов населения HHI_Q_DIRI,
1993.04=100: а) 1999-2004 гг., б) 2003-2008 гг., маркеры – данные Росстата,
сплошная линия – модель (3.47), точки – прогноз по модели (3.47)
Таблица 3.8
Индекс HHI_Q_DIRI
Год
Квартал
HHI_Q_DIRI,
1992.04=100
1
1999
2
3
4
1
2000
2
3
4
1
2001
2
3
4
1
2002
2
3
4
1
2003
2
3
4
1
2004
2
3
R2
MAPE
4
64,8 71,4 72,2 87,8 74,8 84,3 85,9 96,3 80,6 90,5 95,5 104,8 88,5 99,1 104,1 120,9 104,6 114,3 117,6 138,7 118,3 124,0 128,8 153,6
Модель 1999-2003 +
62,9 71,0 77,3 81,6 71,6 82,4 86,2 96,3 81,1 93,2 95,2 110,1 92,1 103,0 104,9 122,5 105,1 111,6 115,5 133,0 120,2 119,0 127,1 141,6 0,9710 3,7%
прогноз на 2004 год
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Год
Квартал
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
HHI_Q_DIRI,
104,6 114,3 117,6 138,7 118,3 124,0 128,8 153,6 125,2 142,8 147,0 175,4 137,7 165,0 168,3 199,2 154,0 181,4 189,2 225,3 165,6 192,0 197,7 209,6
1992.04=100
Модель 2003-2007 +
прогноз на 2008 год
97,3 111,3 122,2 131,6 111,2 129,7 136,7 155,0 125,7 147,8 150,8 178,2 141,6 165,0 165,2 200,2 159,4 180,8 180,4 220,3 179,8 195,1 196,9 238,0 0,9747 6,0%
Таблица 3.9
Параметры модели (3.47)
D1
1999-2003 год
2003-2007 год
D2
omega
A1
B1
A2
B2
V1
V2
2,7445 68,5959
1,5082 -0,0193 -0,0709
0,0536 -0,0117
0,0734
0,0549
4,3991 108,2340
1,5254 -0,0349 -0,0804
0,0685 -0,0203
0,0876
0,0715
Частота  и амплитуды V1,V2 гармоник колебательной компоненты близки между собой, а угловой коэффициент тренда возрастет в
D120032007 / D119992003  1,6 раз (таблица 3.9).
Индекс реального ВВП (GDP_Q_DIRI) лучше описывается моделью:
Yk  D1k   D2 
(3.48)
 E1 sin  k    F1 cos  k    E2 sin  2 k    F2 cos  2 k     k .
212
Результаты описания индекса реального ВВП моделью (3.48)
представлены на рис. 3.21 и в таблице 3.10. Параметры построенных
моделей и амплитуды каждой из гармоник Vi  Ei2  Fi2 приведены в
таблице 3.11.
160
180
150
170
140
160
130
150
120
140
110
130
100
120
90
110
100
80
а)
а)
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1999
2000
2001
2002
2003
2004
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
б)
а)
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Рис. 3.21. Индекс реального ВВП: а) 1999-2004 гг., GDP_Q_DIRI, 1994.01=100,
б) 2003-2008 гг., GDPEA_Q_DIRI, 2003.01=100, маркеры – данные Росстата,
сплошная линия – модель (3.48), точки – прогноз по модели (3.48)
Частота  и амплитуда второй гармоники V2 колебательной компоненты остаются неизменными, амплитуда первой гармоники V1 в
2003-2007 гг. увеличивается.
Угловой коэффициент тренда возрастает при этом в
D120032007 / D11999 2003  1,32 раза (таблица 3.11).
Таблица 3.10
Индекс реального ВВП
Год
Квартал
GDP_Q_DIRI,
1994.01 = 100
1
1999
2 3
4
1
2000
2 3
4
1
2001
2 3
4
1
2002
2 3
4
1
2003
2 3
4
1
2004
2 3
R2
MAPE
4
88,5 94,0 109,2 105,0 98,6 103,6 120,7 113,6 103,2 108,8 127,9 118,7 107,1 113,4 133,6 125,9 115,2 122,4 142,2 135,4 123,6 131,6 152,3 144,5
Модель 1999-2003 +
87,7 94,9 111,3 107,4 94,7 102,5 118,8 114,3 101,4 109,3 125,4 120,8 108,4 117,0 132,9 127,6 115,1 123,8 139,5 134,1 122,1 131,4 147,0 141,0 0,9805 1,8%
прогноз на 2004 год
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Год
Квартал
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
GDPEA_Q_DIRI,
100,0 106,9 121,4 120,7 107,0 115,2 130,2 128,7 112,8 122,3 138,3 138,4 120,2 131,7 149,1 150,2 129,3 142,2 160,5 163,6 140,5 152,9 170,2 165,5
2003.01=100
Модель 2003-2007 +
97,4 103,0 122,8 121,8 106,8 112,3 131,3 129,5 115,2 122,2 141,6 139,3 124,7 131,5 150,1 147,1 133,1 141,4 160,4 156,8 142,6 150,7 168,8 164,6 0,9756 1,1%
прогноз на 2008 год
213
Таблица 3.11
Параметры модели (3.48) описания индекса реального ВВП
D1
D2
omega E1
F1
E2
F2
V1
V2
1999-2003 год
1,7364 97,9032 0,7888 -0,2327 -0,0640 -4,6360 -10,1101 0,2413 11,1223
2003-2007 год
2,2951 107,5953 0,7902 0,4622 -0,2732 -7,0760 -9,9676 0,5369 12,2239
Внешне кривые на рисунках 3.2, 3.20 и 3.21 похожи, однако используемый инструментарий различает их.
В рассматриваемом примере показаны не только целесообразность сравнения точности различных моделей взаимодействия линейного тренда (аддитивного и мультипликативного) с колебательной
компонентой, моделируемой двумя гармониками, но и изменения параметров моделей в процессе эволюции изучаемого показателя на отрезках времени.
Отличие моделей (3.3) и (3.48) на одну гармонику колебательной
компоненты приводит к заметным изменениям в значениях идентифицируемых параметров, иллюстрируя неоднозначность моделирования.
Критерием выбора модели может быть точность, простота или
социально-экономическая интерпретация изучаемого процесса или
явления.
Модели (3.47), (3.48) с высокой точностью описывают многие
макроэкономические показатели: например, индекс реального ВВП,
индекс реальных денежных доходов населения: R 2 для них превышает 0,97.
MAPE-оценка прогноза на четыре квартала 2004 и 2008 годов не
превышает 2% при описании индекса реального ВВП и не превышает
6% при описании индекса реальных денежных доходов населения.
Параметрическое описание показателей макроэкономики позволяет количественно оценивать скорость их роста, частоты и амплитуды их колебательной компоненты.
Так, скорость роста индекса реальных денежных доходов населения в 1,58 раза превышала скорость роста индекса реального ВВП в
1999-2003 годах, и в 1,92 раза в 2003-2007 годах.
Известно утверждение, что зарплатоемкость российского ВВП в
2006 году достигла 33,3% процентов по сравнению с 23,6% в
214
2000 году. Опережающее в два раза повышение уровня оплаты труда
по сравнению с ростом ВВП является тревожным сигналом для экономики и указывает на необходимость ускоренной модернизации
производства для обеспечения роста производительности труда, сопоставимого с повышением уровня доходов населения.
Модель (3.30) позволяет описывать показатели динамики не
только макропоказателей, но и динамику показателей мезоуровней
СЭС, например, объем инвестиций в основной капитал Самарской области моделируется с высокой точностью усложнением модели тренда и мультипликативным взаимодействием с колебательной компонентой, состоящей из трех гармоник:


Yk  D1  k    D2k   D3 
2
 1  A1 sin  k    B1 cos  k    A2 sin  2 k    B2 cos  2k     (3.48)
 E1 sin  k    F1 cos k     k .
Результаты идентификации модели (3.49) представлены на
рисунке 3.22 и в таблице 3.12.
Параметры идентифицированных моделей и амплитуды каждой
из гармоник V1  A12  B12 , V2  A22  B22 , V3  A32  B32 представлены в
таблице 3.13.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что модель (3.30) и метод ее идентификации дают высокую точность на
сравнительно малых выборках. Получена возможность описания
сложной модели с полиномиальным трендом и аддитивномультипликативной колебательной компонентой, осуществления мониторинга ее эволюции на малых (около 20 наблюдений) выборках и
прогнозирования траектории.
215
180 000
160 000
140 000
120 000
100 000
80 000
60 000
40 000
20 000
0
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Рис. 3.22. Объем инвестиций в основной капитал в Самарской области,
млн руб., маркеры – данные 2000-2008 гг., сплошная линия – модель (3.49) по
данным 2000-2007 гг., точки – прогноз по модели (3.49) на 2008 год
Таблица 3.12
Объем инвестиций в основной капитал в Самарской области
Год
Квартал
Инвестиции в основной капитал
Самарской обл., млн. руб.
Модель 2000-2007 +
прогноз на 2008 год
Год
Квартал
Инвестиции в основной капитал
Самарской обл., млн. руб.
Модель 2000-2007 +
прогноз на 2008 год
R2
1
2000
2
3
4
1
2001
2
3
4
1
2002
2
3
4
1
2003
2
3
4
1
2004
2
3
4
5 788 10 086 24 855 22 871 5 898 4 314 21 407 24 336 7 020 4 013 22 369 26 479 9 486 7 625 27 287 31 512 13 622 12 408 36 341 42 283
3 856 13 560 28 723 18 601 1 549 5 044 25 139 23 720 5 084 3 357 22 539 27 422 10 574 8 223 24 735 31 290 15 003 16 575 34 104 38 752
1
2005
2
3
4
1
2006
2
3
4
1
2007
2
3
4
1
2008
2
3
4
1
2004
2
3
4
18 468 16 188 51 061 59 461 22 807 20 108 71 071 80 768 29 570 25 989 91 039 106 618 44 885 30 340 106 568 142 614
18 027 23 671 50 405 53 516 22 532 25 313 70 132 78 101 33 658 20 410 86 871 112 662 56 869 12 626 93 118 154 037
0,9828
MAPE прогноза на 2008
26%
Таблица 3.13
Параметры модели (3.49) для описания объема инвестиций в основной
капитал в Самарской области
Тренд
Адитивная компонета
D1
D2
D3
E1
F1
V3
83
-915
16 137
-14 055
-22 942
26 905
Мультипликативная компонента
A1
B1
A2
B2
V1
V2
0,9333
0,6217
-0,0136
0,0389
1,1214
0,0412
216
Программа для идентификации модели (3.30) использована и для
анализа динамики изменения средних потребительских цен на бензин на
территории России (рис. 3.23). Применяя метод перебора (определяя
последовательно степени полинома, количество аддитивных и мультипликативных колебательных компонент, а также кратности их частот),
выберем ту модель, для которой оценки точности моделирования (коэффициента детерминации) и прогнозирования (MAPE-оценки) лучше.
Рис. 3.23. Полиномиальная модель тренда с аддитивно-мультипликативными
колебательными компонентами динамики изменения цен на бензин
на территории РФ
Оказалось, что более точная модель состоит из полинома 1-й степени, 2-х гармоник аддитивной колебательной компоненты и 1-й гармоники пропорционально мультипликативной колебательной компоненты
с кратностью частот 3.
Коэффициент детерминации полученной модели равен 0,98305,
что выше того же показателя модели на базе полинома пятой степени.
MAPE–оценка точности прогноза составила 0,9%, улучшая тем самым
результат модели с полиномиальным трендом пятой степени более, чем
в 20 раз, и для полинома второй степени – более, чем в 3 раза.
Рассмотрим возможность увеличения точности моделирования и
прогнозирования за счет мониторинга эволюции модели.
Визуально определяя точку эволюции, в нашем случае – 20-я неделя из 40 недель исследуемой выборки, осуществим моделирование
для каждого из сравниваемых отрезков времени.
217
На рисунке 3.24 видно, что наиболее точная модель, проходя точку эволюции, повысила степень полинома с 1-ой до 2-ой, а также изменила кратность частоты одной из гармоник мультипликативной колебательной компоненты.
Увеличилась и точность моделирования и прогнозирования: коэффициент детерминации вырос – с 0,98305 до 0,9968 на первом отрезке, до 0,9831 – на втором, а MAPE-оценка точности прогноза увеличилась с 0,9% до 0,14% на первом отрезке, до 0,84% – на втором.
а)
б)
Рис. 3.24. Мониторинг эволюции полиномиальной модели тренда
с аддитивно-мультипликативными колебательными компонентами динамики
изменения цен на бензин на территории РФ: а) период с 15.06.2010 г.
по 25.10.2010 г.; б) период с 1.11.2010 г. по 21.03.2011 г.
Модель (3.30) позволяет описывать динамику показателей социально-экономических систем и мезоуровня СЭС, например, еженедельные изменения цен на бензин на территории Самарской области за тот
же период.
Наиболее точная модель динамики, описывающая весь интервал
наблюдения, имеет вид полинома 4-ой степени с 2-мя аддитивными и
1-ой пропорционально мультипликативной гармониками (рис. 3.25).
Проводя визуальный анализ модели на рисунке 3.25, находим точку
эволюции (рис. 3.26): для первого отрезка времени более точной модели
соответствует полином 3-ей степени с 3-мя аддитивными гармониками
и 1-ой пропорционально мультипликативной гармоникой, а на втором
отрезке времени модель эволюционирует, принимая вид полинома 2-ой
218
степени с 2-мя аддитивными и 1-ой пропорционально мультипликативной гармониками.
Рис. 3.25. Полиномиальная модель с аддитивно-мультипликативными
колебательными компонентами динамики изменения цен на бензин
на территории Самарской области (руб./л)
Можно заключить, что разбиение интервала наблюдения и последовательная идентификация 2-х моделей оправдало себя в силу значительного увеличения точности моделирования и прогнозирования (таблица 3.14).
а)
б)
Рис. 3.26. Мониторинг эволюции полиномиальной модели с аддитивномультипликативными компонентами динамики изменения цен на бензин
на территории Самарской области (руб./л): а) период с 15.06.2010 г. по
25.10.2010 г.; б) период с 1.11.2010 г. по 21.03.2011 г.
219
Таблица. 3.14
Оценки моделирования и прогнозирования полиномиальными
моделями с аддитивно-мультипликативными компонентами динамики
изменения цен на бензин на территории Самарской области
Период
15.06.2010 г.21.03.2011 г.
15.06.2010 г.25.10.2010 г.
1.11.2010 г.21.03.2011 г.
Коэффициент
детерминации
0,985
0,987
0,996
MAPE-оценка
1,66%
0,52%
0,93%
Оценка
Покажем, что модель (3.30) применима не только к российской
статистике изменения цен на бензин, но и к аналогичным зарубежным
показателям как макро-, так и мезоуровня.
Примером может служить идентификация модели, описывающей динамику изменения средних потребительских цен на бензин на
территории США за период с 15.06.2010 г. по 21.03.2011 г. (доллар/галлон). Результат соответствующего моделирования цен на бензин, а также мониторинга эволюции модели представлены на рисунках 3.27 и 3.28.
Более точная модель на всем интервале наблюдения имеет вид
полинома 2-ой степени, в то время как на отдельных участках она
эволюционирует от полинома 1-ой степени до 3-ей степени. Также
изменяется число аддитивных и мультипликативных гармоник. Точность моделирования и прогнозирования в обоих случаях увеличивается. Аналогичные исследования относительно мезоуровня СЭС в
США, округ Колумбия, дали схожие результаты.
После проведения мониторинга структурной эволюции моделей
повысилась точность моделирования и прогнозирования. Результаты
данного исследования приведены в таблице 3.15.
Можно сделать вывод, что предложенная параметрическая модель
(3.30) в виде суммы полиномиального тренда, аддитивной и пропорционально мультипликативной тренду колебательными компонентами,
обеспечивает высокую точность моделирования и прогнозирования на
220
выборках показателей СЭС сложной структуры различных иерархических уровней как России, так и других стран.
Рис. 3.27. Полиномиальная модель с аддитивно-мультипликативными
колебательными компонентами динамики изменения цен на
бензин на территории США
а)
б)
Рис. 3.28. Мониторинг эволюции полиномиальной модели с аддитивномультипликативными компонентами динамики изменения цен на бензин
на территории США: а) период с 15.06.2010 г. по 25.10.2010 г.; б) период с
1.11.2010 г. по 21.03.2011 г.
Предложенная структура модели позволяет осуществлять мониторинг эволюции моделей по параметрам и по структуре взаимодействия
компонент, является инструментарием для последующего принятия
управленческих и/или маркетинговых решений.
221
Таблица. 3.15
Оценки моделирования и прогнозирования полиномиальными
моделями с аддитивно-мультипликативными компонентами динамики
изменения цен на бензин на территории округа Колумбия, США.
Период 15.06.2010 г.21.03.2011 г.
Оценка
15.06.2010 г.25.10.2010 г.
1.11.2010 г.21.03.2011 г.
Коэффициент детерминации
0,985
0,995
0,992
MAPE-оценка
1,99%
1,865%
1,889%
3.4. Модели роста в виде суммы полиномиального тренда и
гармоник с независимо эволюционирующими моделями
амплитуды колебательной компоненты
Рассмотрим возможность идентификации еще одного возможного
усложнения модели роста для моделирования эволюции: в виде суммы
полиномиального тренда и гармоник с независимо эволюционирующими от тренда моделями амплитуды колебательной компоненты.
В первой главе были предложены законы изменения амплитуды
колебательной компоненты, независимые от уровней тренда:
 линейный (1.10):
Ck   A0  A1k   sin k     ;
 экспоненциальный (1.11):
Ck  Ae k  sin k     ;
 обобщенный экспоненциальный (1.12):


Ck  A0  A1e  k  sin  k     ;
 с использованием двух гармоник с одинаковыми частотами и
фазами, но с различной динамикой амплитуды, отражающей постепенное замещение одной тенденции эволюции амплитуды другой эволюцией амплитуды (1.13):
222
Ck  A1e1k sin k     A2e2k sin k   .
Как и в предыдущем разделе, можно в такой постановке говорить
о модели в виде полиномиального тренда с эволюционирующей компонентой, причем закон изменения ее амплитуды:
NT
Yk    Di 1   k  

i 0
NT i 

 Ck   k ,
не будет связан с уровнями тренда (  k удовлетворяет принятым условиям Гаусса-Маркова).
Покажем возможность идентификации и в этих случаях с использованием ARMA-моделей.
При тренде в виде линейной функции и колебательной компоненте (1.10) будем иметь временной ряд:
Yk  A0  A1k    A2  A3k   sin k       k ,
(3.50)
которому при k  6 соответствует ARMA-модель:
Yk  2Yk 1  3Yk 2  4Yk 3  3Yk 4  2Yk 5  Yk 6 
 1 (2Yk 1  4Yk 2  4Yk 3  4Yk 4  2Yk 5 ) 
(3.49)
 12 (Yk 2  2Yk 3  Yk 4 )   k ,
1  2cos  , а центрированную, автокоррелированную, гомоскедастическую стохастическую компоненту  k определит то же соотношение (3.51), но в уровнях  k .
Компенсацию автокоррелированности  k можно осуществить
предложенными выше приемами, а оценку параметра 1 даст МНКидентификация (3.51).
Используя МНК-оценку 1 , можно вычислить МНК-оценку   по
где
1
1
формуле   arccos .

2

Подставляя  в (3.50), легко найти МНК-оценки остальных пара
метров A0 , A1 , A2 , A3 ,   модели (3.50), решая нормальное СЛАУ шестого порядка и проведя соответствующие расчеты.
223
Более сложной и более общей по приложениям в экономической
практике может явиться модель:
Yk  A0  A1k   A2 sin 1k    1   A3k  sin 2k    2    k .
(3.50)
Нетрудно получить при k  8 ARMA-модель восьмого порядка для
поиска МНК–оценок ее коэффициентов 1 и 2 и последующего расче1
1
1
2

 arccos
та
и 2  arccos .

2

2
Для обеспечения устойчивости решения в этом достаточно сложном случае следует рекомендовать метод параметрической итеративной
декомпозиции.
Оценив параметры тренда, выполнив детрендирование, можно перейти к МНК-идентификации частот обеих гармоник, используя соответствующую ARMA-модель, и после этого рассчитать оставшиеся параметры (3.52) из нормальной СЛАУ четвертого порядка.
Достаточно выполнения нескольких (обычно, как показала практика, трех-четырех) итераций.
При моделировании эволюции амплитуды колебательной компоненты экспоненциальным законом (1.11) рассмотрим более общий случай двух гармоник с разными частотами. Одна из них может относиться
к сезонной компоненте, а другая – к циклической компоненте. При этом
пусть только у одной из гармоник эволюция амплитуды происходит по
экспоненциальному закону:
1
Yk  A0  A1k   A2 sin 1k  1   A3e k  sin 2k   2    k , (3.51)
где  k – стохастическая компонента.
Целесообразно для (3.53) применить метод параметрической итерационной декомпозиции.
После оценки линейного тренда и детрендирования следует перейти к конструированию ARMA-модели для МНК-идентификации параметров 1 , 2 ,   , что также укладывается в возможности базиса
Гребнера.
Расчет оставшихся параметров модели (3.53) возможен из нормальной СЛАУ шестого порядка при применении МНК.
224
Покажем возможность применения модели с эволюцией амплитуды
одной колебательной компоненты и предложенный метод ее идентификации на микро-уровне СЭС: на реальных данных объема продаж лекарственных средств «Pinkham Medicine Company» [114].
На рисунке 3.29 представлены графики объема продаж и модельного
ряда:
Yk  216105  251,761k   1104517e0,005k  sin(0,0522k   0,798)   k .
Точностные характеристики модели: коэффициент детерминации 0,77; MAPE-оценка с горизонтом прогноза в одно наблюдение равна
0,2%, а MAPE-оценка прогноза на 1 3 выборки равна 10%. Можно показать, что данная модель дает в сравнении только с одной линейной моделью тренда выигрыш MAPE-оценки прогноза в 4%.
Рис. 3.29. Моделирование объема продаж лекарственных средств
«Pinkham Medicine Company»
Пример использования той же модели (3.53) (с добавлением еще
одной гармоники) дадим на данных по ВНП США (в миллиардах долларов), взятых с 1951 по 1984 годы [114]. На рисунке 3.30 представлен
график моделирования ВНП США выражением
Yk  633,77  36,4k   8,5e0,0642k  sin(0,9k   2,952) 
 16,1sin(0,6k   1,3)   k ,
225
для которого коэффициент детерминации оказался равен 0,997, а
MAPE-оценка на горизонт наблюдения в три года равна 1%.
Примеры усложнения моделей можно продолжить: увеличивая
порядок полиномов до второго, используя, наряду с моделью (1.10),
(1.12) и модель (1.13) эволюции амплитуды гармоники.
Млрд. долларов
Рис. 3.30. Моделирование ВНП США моделью с эволюцией амплитуды
колебательной (циклической) компоненты
Показанные приемы параметрической итеративной декомпозиции, использование базиса Гребнера демонстрируют во всех случаях
достаточно высокую точность моделирования и прогнозирования
предложенными моделями с предложенными моделями эволюции
амплитуды колебательной компоненты.
3.5. Идентификация ряда динамики линейным трендом,
колебательной компонентой и мультипликативной
стохастической компонентой
Проведем теперь разработку методов идентификации для предложенной в первой главе аддитивно-мультипликативной структуры (1.27)
ряда динамики:
Yk  (Tk  Ck ) k  (Tk  Ck )(1   k )  Tk  Ck  (Tk  Ck ) k ,
226
которая, в случае моделирования детерминированной компоненты суммой линейной и гармонической колебательной компонентой, примет
вид:
(3.52)
Yk   A0  A1k   A3 cos k    1   k  ,
где  k – стохастическая компонента удовлетворяющая принятым условиям Гаусса-Маркова, причем 1   k  1.
Конструирование ARMA-модели в этом случае будет производиться путем применения Z -преобразования к детерминированной
Y
компоненте Dk  k последующих действий по группировке и обрат1 k
ному Z -преобразованию.
Получим при k  4 следующую ARMA-модель четвертого порядка
для (3.54):
Yk  1 Yk 1  2Yk 2  Yk 3   2 Yk 1  Yk 2  Yk 3   Yk 4   k ,
(3.53)
где:

 k  1 Yk 1

 k   k 1
   k 2
   k 3 
 2Yk 2 k
 Yk 3 k

1   k 1
1   k 2
1   k 3 

   k 1
   k 2
   k 3 
 k   k 4 –
2 Yk 1 k
 Yk 2 k
 Yk 3 k
  Yk 4
1   k 1
1   k 2
1   k 3 
1   k 4

«новая» стохастическая компонента, 1  2Cos  .
Видим, что для модели (3.55) с мультипликативной стохастической компонентой авторегрессионная часть модели имеет тот же самый
вид, что и для модели (3.4) с аддитивной стохастической компонентой.
Различие заключается в стохастических компонентах k и  k .
В (3.55)  k является не только автокоррелированной (ее компенсация
прореживанием показана), но и имеет явно выраженный гетероскедастический характер: её значения (а, следовательно, и дисперсия)
зависят от значений уровней Yk 1, Yk 2 , Yk 3 , Yk 4 .
Лучшим решением для компенсации гетероскедастичности в
(3.55) является, видимо, применение ОМНК, но начнем с анализа возможности применить более простой прием, не требующий априорных
сведений и сложных расчётов.
227
В известной литературе для компенсации гетероскедастичности
рекомендуется переход к относительным уровням и относительным величинам среднеквадратической невязке при сглаживании [12, 71]. При
этом обычно оговаривается условие малости помехи по отношению к
уровням ряда.
Для количественной оценки этой рекомендации рассмотрим целесообразность МНК-оценивания параметра 1 в (3.55) не по абсолютному
значению усредненной невязки, как это было предложено для модели с
аддитивной стохастической компонентой (3.4), а по относительному значению усредненной невязки (по относительной погрешности).
Для этого разделим (3.55) почленно на одно из значений, входящих в ARMA-модель, например, на уровень Yk 1 . В результате этого
действия получим новую ARMA-модель в относительных единицах
уровней:
 2Y
Yk
Y   Y
Y  Y
 1 1  k 2  k 3   2 1  k 2  k 3   k 4   k ,
Yk 1
Yk 1 Yk 1   Yk 1 Yk 1  Yk 1

где
    k 1
Y (   k 2 ) Yk 3 ( k   k 3 ) 
 1  k
 2 k 2 k


Yk 1
1


Y
(1


)
Y
(1


)
k 1
k 1
k 2
k 1
k 3 

    k 1 Yk 2 ( k   k 2 ) Yk 3 ( k   k 3 )  Yk 4 ( k   k 4 )
–
2  k



Yk 1 (1   k 2 )
Yk 1 (1   k 3 )  Yk 1 (1   k 4 )
 1   k 1
k 
k
относительная невязка.
Тогда МНК-оценку 1 позволит определить условие
2
 Y
 2Y
 Y
Y 
Y  Y 

1  arg min   k  1 1  k 2  k 3   2 1  k 2  k 3   k 4  ,
Yk 1
Yk 1 
1
 Yk 1

 Yk 1 Yk 1  Yk 1 
k 4 
N
приводящее к линейному уравнению относительно 1 .
При этом минимизируется не абсолютная невязка  k , а относительная  k , значения которой зависят уже не от абсолютных значений
уровней Yk 1, Yk 2 , Yk 3 , Yk 4 , а от близких к единице отношений
Yk 2 Yk 3 Yk 4
,
,
. Вариация этих отношений, а следовательно, и измеYk 1 Yk 1 Yk 1
нение дисперсии в функции наблюдений (т.е. гетероскедастичность) будет существенно меньше. То есть гетероскедастичность принципиально
228
имеет место, но уменьшена. Следует ожидать малых значений невязки
 k в виду малости значений стохастической компоненты и присутствия
k
в
выражении
для
разностей
малых
величин
( k   k 1 ),( k   k 2 ),( k   k 3 ),( k   k 4 ) .
Естественно, что коррекцию гетероскедастичности можно проводить не только путём почленного деления выражения (3.55) на Yk 1 , но и
на другие уровни ряда, например, на Yk 2 или на Yk 3 , которые, естественно, не должны быть равными нулю.
После компенсации автокоррелированности приемом прореживания, очевидного расчёта по оценке 1 значения оценки частоты
1
1
  arccos , представим (3.54) в виде:

2



Yk  A1k   A0  A3 cos  k   


 (1  
k) 
A1k   A0 



 A4 cos  k   A5 sin  k    k A1k   A0  A3 cos  k   
где использованы обозначения A4  A3 sin , A5  A3 cos .
Стохастическая


,
 k A1k   A0  A3 cos  k   
компонента
(3.54)

в
(3.56) неавтокоррелирована, но вновь гетероскедастична. Для компенсации гетероскедастичности можно разделить левую и правую части
этого выражения на величину уровня Yk .
Тогда будем иметь:
k
1
cos  k 
sin  k 
1  A1
 A0  A4
 A5
k,
Yk
Yk
Yk
Yk
где  k   k

A1k   A0  A3 cos  k   
Yk

(3.55)
– ряд уровней «новой» (относи-
тельной) стохастической компоненты.
Параметры A1, A0 , A4 , A5 , линейно входящие в (3.57), могут быть
определены из нормальной СЛАУ четвёртого порядка, к которому приводит условие:
   
A1 , A2 , A4 , A5
2



k
1
cos  k 
sin  k  


 arg min  1  A1
 A0
 A4
 A5
 .
Y
Y
Y
Y
A1 , A0 , A4 , A5 k 1 

k
k
k
k


N
229
Что же касается МНК-оценок амплитуды и фазы гармоники, то
они определятся по очевидным и уже знакомым формулам:
A3
   
  A4

2
A5
2 1/2


,    arctg  A5 / A4  .
Стохастическую компоненту  k в (3.57) представим, после подстановки Dk  1   k  A1k   A0  A3 cos(k    ) из (3.54), в виде:
k 


 k A1k   A0  A3 cos( k    )
(1   k ) A1k   A0  A3 cos( k    )
.
(3.56)
В силу того, что в (3.58) cos( k    )  1 и cos(k    )  1 можно
сократить практически одинаковые сомножители в фигурных скобках
числителя и знаменателя, прийти к выводу о гомоскедастичности и малости величины стохастической компоненты  k при оценке параметров
A1, A0 , A3 , :
k 
k
.
1 k
Необходимый объём выборки для идентификации модели (3.54) с
ARMA-моделью (3.55) четвертого порядка может составлять от 12 до 16
наблюдений.
При линейном тренде, гармонической мультипликативной колебательной и стохастической компонентах (модель мультипликации тренда, гармоники и прямо пропорциональной им стохастической компоненте):
Yk   A0  A1k   cos k     1   k 
(3.57)
будем иметь при k  4 ARMA-модель четвертого порядка:
Yk  21 (Yk 1  Yk 3 )  12Yk 2  Yk 4  2Yk 2   k ,
где

 k  21  Yk 1

 k   k 1  k   k 3
   k 2

Yk 3   12Yk 2 k

1   k 1
1   k 3
1


k 2


   k 4
   k 2
Yk 4 k
 2Yk 2 k

1   k 4
1   k 2
гетероскедастическая стохастическая компонента, 1  2cos .
230
(3.60)
Для уменьшения гетероскедастичности перейдем к относительным
величинам путем почленного деления (3.60), например, на Yk 2 .
Тогда (3.60) примет вид:
Y
Yk
Y 
Y
 21  k 1  k 3   12  k 4  2   k ,
Yk 2
Yk 2
 Yk 2 Yk 2 
где
 Y    k 1 Yk 3  k   k 3 
2  k   k 2
 21  k 1 k


  1
Yk 2
Y
1


Y
1


1


k 1
k 2
k 3 
k 2
 k 2
Y    k 4
   k 2
 k 4 k
2 k
.
Yk 2 1   k 4
1   k 2
k 
k
В принципе, возможно деление (3.60) и на другие уровни определяемого показателя в ARMA-модели: на Yk , Yk 1, Yk 3 , Yk 4 .
На первом этапе идентификации, после реализации приема прореживания, будем иметь нормальную СЛАУ второго порядка для очевид1
1
ной МНК-оценки
и последующего расчета   arccos .

2

На втором этапе МНК-идентификации, подставив  в (3.59), выполнив преобразование исходного выражения, получим:

1

Yk   A1k   A0  cos  k   
 1  
k

 A2 k  cos  k   A3k  sin  k   A4 cos  k   A5 sin  k   (3.58)


 k  A1k   A0  cos  k    ,
где A2  A1 cos , A3  A1 sin , A4  A0 cos , A5  A0 sin , а стохастиче-

ская компонента  k  A1k   A0  cos  k   
 неавтокоррелирована, но
обладает свойством гетероскедастичности.
Для компенсации гетероскедастичности стохастической компоненты разделим (3.61) почленно на Yk :
k
k
cos  k 
sin  k 


1  A2
cos  k   A3 sin  k   A4
 A5
  k , (3.59)
Yk
Yk
Yk
Yk
231
где  k 

 k  A1k   A0  cos  k   

– гетероскедастическая стохастиче-
Yk
ская компонента.
Из соотношения (3.62), решая соответствующую нормальную
СЛАУ четвертого порядка, найдем оценки оставшихся параметров модели (3.59):
A1
   
  A2

2
A3
2 1/2
 ,

A0
   
  A4

2
A5
2 1/2





 ,   arctg A5 / A4 .

Относительная невязка при параметризации модели (3.59) будет
равна:
k 


 k  A1k   A0  cos  k   

Yk
 k cos  k   



 k  A1k   A0  cos  k   

 A1k   A0  cos k     (1   k )

k
.
cos  k     (1   k ) 1   k

Видим, что стохастическая компонента  k гомоскедастична. Однако проведенные исследования на тестовых моделях (3.54) и (3.59) по
уже показаннй выше методике оценки точности показали высокие показатели точности моделирования на выборках от 12 до 16 наблюдений
при соотношении Kn/s не более 10%. Характеристики точности прогнозирования на тестовых моделях несколько выше.
Собственно, это и ожидалось при рекомендациях перехода в моделях к относительным величинам. Хотя результат оказался лучше, чем в
описанной выше методике Е.М.Четыркина, но он все равно заставил искать пути повышения точности при большей мощности помехи.
Как уже показано, для двух последних моделей на втором этапе

идентификации минимизируется гомоскедастическая невязка:  k  k
1 k
Промоделируем зависимость  k от  k (рис. 3.31).
232
k
0,5
–1
–0,5
0
0,5
1
k
Рис. 3.31. Зависимость относительной среднеквадратической невязки  k
от стохастической компоненты  k в моделях (3.54) и (3.59)
Отметим, что при положительных значениях  k соответствующие
значения  k остаются малыми (в пределах 0,5), а при  k   0,5 абсолютные значения  k существенно возрастают. Таким образом, соотношение

 k  k выполняется лишь при малых значениях  k (менее 0,1) (или
1 k
10% своего возможного диапазона).
Рассмотрим теперь статистические характеристики  k в сравнении
со статистическими характеристиками  k более подробно (табл. 3.16).
Затем перейдем теперь к сравнению статистических характеристики  k для частных случаев распределения  k . Естественно начать с
наиболее часто рассматриваемого в научной литературе случая нормального (центрированного и нормированного) симметричного распре 1
деления вероятностей стохастической компоненты  N  0;  (табл.
 3
3.17).
233
Таблица 3.16
Сравнение статистических характеристик  k ,  k
Ограничения
k
k
 k   1;1
 k   ;0,5
Закон
распределения
F  x 
Плотность
распределения
f  x 
Симметричность
распределения
 1

 x 
 1  F 

1 x 
1 x 
F  x   F 
f  x  
1
1  x 2
да
M    0
Матожидание
 1

f 
 1
1 x 
нет
M    
0,5

xf  x dx  0
Дисперсия
D    const
D    const  D  
Медиана
F  0   0,5
F  0   0,5
arg max  F  x    0
arg max F  x   0
Мода
x
x


Сравним теперь статистические характеристики распределения  k
со статистическими характеристиками (нормированного и центрированного) симметричного бета-распределения:  2  ;    1 ,     1
(примем   4 ) (таблица 3.18).
Из проведенного анализа можно сделать вывод, что свойства  k
существенно отличаются от свойств  k . Ненулевое математическое
ожидание  k является нарушением условий Гаусса-Маркова и приводит
к смещенности оценок параметров модели.
Распределение  k несимметрично: положительные значения ограничены 0,5, а отрицательные не ограничены.
234
Таблица 3.17
Закон распределения
Ограничения
Сравнение с нормальным распределением
k
k
 k   1;1 лишь с вероятностью
 k   ;0,5
0,98
   ;  
   ;1  1;  
1
F(  )
1
0,5
0,5
F(ε)
–1
–0.5
0
0.5
ε –1
–0.5
0
0.5

F(  )
1
1
0,5
0,5
–1
Дисперсия
Матожидание
Плотность распределения
F(ε)
–0,5
0
0.5
–
1ε 2
–1
Mξ 0
0,5 1

Поскольку ограничение не выполняется, существует разрыв в точке
x  1 . Можно принять f 1  0
M    
1

xf  x dx 

  xf  x dx  0,1795
M    0
D     2 
1
Значение M   зависит от D   :
чем больше D   , тем больше и абсолютное значение M  
1
9
По эмпирическим расчетам D  
превышает D   в десятки раз
235
Таблица 3.18
чения
Ограни-
Сравнение с бета-распределением
k
k
 k   1;1
 k   ;0,5
F(  )
Закон распределения
F(ε)
–1
1
1
0,5
0,5
–0.5
0
0.5
ε –1
–0.5
0
Плотность распределения
f (ε)
f( 
)
2
2
1
1
–1
–0,5
0
0,5
1x
–2
Матожидание
M    0
M    
0,5

0,5 1

xf  x dx  
1
1

 1
3
 1
D  
  1    1
2
D  
D  
1
4  2  1
0
f    0 при   0,5
D   
D   
Mξ
–1
f     0 при    1;1
Дисперсия

0.5
40
20
0
236
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 α
Фактически это означает, что в сумме квадратов отклонений
больший вес имеют те наблюдения, где реальные данные меньше модельных.
Как следствие занижаются модельные оценки наблюдений. Дисперсия D   многократно превышает D   , вследствие чего увеличивается разброс оценок параметров модели (снижается эффективность оценок). При этом даже при высокой точности модели на исходных данных
ухудшается точность прогнозирования, снижается устойчивость решения.
При относительной мощности мультипликативной стохастической
помехи большей 10% целесообразно переходить от операции деления на
1
уровни ряда динамики (по сути применения при МНК веса Wk 
)
D(Yk )
к взвешенному МНК. При этом полученные на «классическом» МНК
оценки модели задают весовую функцию
Wk 

1
A11 k 

A01 ) cos( 1 k 

1

2
,
которую и будем использовать при следующем проходе для оценки
взвешенных весов в МНК:
Wk z 1 

1
A1 z  k 

A0 z  )Cos(  z  k 

z

2
.
Исследования показали возможность применения более сложного
взвешенного МНК при 3-4 итерациях до соотношения Kn/s = 25-30%,
ровно как показано в следующем параграфе для другой модели.
С помощью аддитивной модели (3.1) и мультипликативной модели (3.54) моделировалась динамика минимальных цен и максимальных
цен на зерновые культуры в хозяйствах Самарской области.
Выяснилась определенная закономерность: например, что мультипликативная модель для зерновых культур, обладая несколько худшей
точностью моделирования (например, R 2  0,89 для минимальных цен
на рожь) по сравнению с аддитивной моделью ( R 2  0,94 для минималь237
ных цен на рожь) обеспечила существенно лучшие показатели прогноза:
MAPE-оценка 0,18% для мультипликативной модели против 14,7% для
аддитивной (рис. 3.32).
Данный вывод является достаточно общим для динамики многих
ценовых показателей СЭС, что подтверждает и следующий пример.
Уровень минимальной цены
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
04.2004
08.2004 11.2004
цена
02.2005
05.2005
мультипликативная модель
08.2005
09.2005
03.2006
аддитивная модель
Рис. 3.32. Динамика минимальных цен на рожь в Самарской области
и результаты моделирования
Визуальный анализ динамики цен на огурцы в РФ за 19982008 гг. (Росстат. URL: http://www.gks.ru.) показал, что в качестве
модели могут быть рассмотрены или линейный тренд с гармонической колебательной компонентой аддитивной, или линейный тренд с
мультипликативной гармонической компонентой:
Yk  (3702,6 k   4519,8)(1  0,125Sin(0,6914 k   0,17)   k ,
Yk  3534,2 k   5102,6  1898Sin(0,9052 k   1,125)   k .
Значения цен на огурцы, полученные с помощью приведенных
выше моделей, оценка качества их идентификации R 2 и MAPE-оценка
прогноза на 2009 год представлены в таблице 3.19.
238
Таблица 3.19
Сравнение моделей мультипликативной и аддитивной структур
для моделирования средних цен на огурцы в РФ
Год
1998
Цены на огурцы, руб./тонна
Мультипл.
модель, по
1998-2008 г. и
прогноз на
2009
Аддитивная
модель, по
1998-2008 г. и
прогноз на
2009
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
R2
MAPE
5066 10469 12436 16090 18628 22465 24321 26972 31383 36857 46893 51863
4615
9002
13415 17154 19824 21689 23650 26801 31795 38360 45274 50886 0,9920 1,9%
3390
8223
13372 17602 20382 22287 24564 28175 33061 38187 42337 45039 0,9728 13,2%
Для описания цен за 1998-2009 гг. (использовано уже известное
значение цены за 2009 г.) модель мультипликативной структуры будет
иметь несколько другие параметры:
Yk  (3704,6 k   4459,9)(1  0,129Sin(0,6914 k   0,43)   k .
R 2 данной модели равен 0,992, а прогнозное значение средней це-
ны на 2010 год составляет 53011 руб./тонну.
И в этом случае видим преимущество мультипликативной структуры колебательной компоненты даже не столько в большем значении
коэффициента детерминации, сколько в существенно меньшей погрешности прогнозирования цен.
3.6. Моделирование компонент с мультипликативной
стохастической компонентой при детрендировании и десезонализации
Метод итеративной параметрической идентификации, обращение
к которому целесообразно во многих случаях для упрощения идентификации многокомпонентных моделей, включает в себя операции детрендирования и десезонализации компонент.
Метод идентификации полиномов Dk первого и второго порядков,
в которых стохастическая компонента аддитивна:
Yk  Dk   k ,
(3.60)
известен [1, 12, 71] в форме линейной регрессии с использованием
МНК, как и точечные, и интервальные оценки точности моделирования
и прогнозирования.
239
Интерес вызывает мультипликативная структура, в которой стохастическая компонента Dk  k прямо пропорциональна уровням трендов:
Yk  Dk 1   k   Dk  Dk  k  Dk  k
(3.61)
где Dk – полиномы первого или второго порядков,  k – стохастическая
компонента, удовлетворяющая принятым условиям Гаусса-Маркова и
неравенству 1   k  1 , где  k – «новая» гетероскедастическая стохастическая компонента, у которой дисперсия зависит от номера наблюдения:
D[k ]  M [k2 ]  M  Dk2 k2   Dk2 M  k2   Dk2 D[ k ] .
Отличие сравниваемых структур (3.63) и (3.64) состоит в различном взаимодействии компонент: у аддитивных моделей компоненты независимы, а мультипликативные отражают прямо пропорциональную
связь между компонентами: разброс уровней определяемого показателя
ряда увеличивается с ростом детерминированной компоненты модели.
При этом оценки параметров полиномов остаются состоятельными и
несмещенными, но становятся неэффективными, т.е. их разброс не является минимально возможным и постоянным.
В известной литературе для идентификации моделей с гетероскедастической стохастической компонентой предлагается обычно использовать метод взвешенных наименьших квадратов:
n
1
2
 D[ ] Yk  Dk   min.
k 1
(3.62)
k
Подставив (3.65) в условие МНК для (3.64), будем иметь:
n
n
1
1
2
2
 D[ ] Yk  Dk    D 2 D[ ] Yk  Dk  .
k
k 1
k 1 k
k
Поскольку D[ k ]  const , то
n
1
 D 2 Yk  Dk 2  min .
k 1
240
k
(3.63)
Однако величина весов Dk2 заранее неизвестна, а оценить их величину можно одним из следующих способов.
Учитывая, что величина ошибки, как правило, мала по сравнению
с уровнем ряда, в качестве оценок весов можно использовать сами
уровни ряда Dk2  Yk2 [57]. Идентификацию можно при этом проводить в
два этапа. На первом этапе модель идентифицируется с помощью МНК
без весов. В результате получаются оценки Dk , которые затем используются в МВНК.
Можно попытаться повысить точность предыдущего метода, организовав итеративную процедуру, в которой на каждом шаге используются
оценки Dk предыдущего шага. Метод взвешенных наименьших квадратов
осуществляется до тех пор, пока повышается точность модели.
Проведем компьютерный эксперимент для сравнения качества
идентификации каждым методом на моделях с линейным и параболическим трендами:
Yk   C0  C1k  1   k  ,

Yk  C0  C1k   C2  k  
2
 1    .
k
Для проведения компьютерного эксперимента зададим конкретные (истинные) значения параметров модели, длину выборки и величину случайной помехи, генерируемой с помощью датчика случайных чисел.
На полученных тестовых выборках будем проводить идентификацию моделей. Для сравнения, кроме перечисленных выше методов, будем также рассматривать результаты идентификации модели с помощью «классического» МНК без весов.
Величину помехи будем задавать с помощью коэффициента
«шум/сигнал», который задается для мультипликативных моделей в
процентах (или в долях), отражая соотношение мощности помехи к
мощности детерминированной части модели. Задавая конкретные значения K n / s , получим величину дисперсии помехи для конкретной модели. Будем генерировать выборки с уровнем шума 1%, 5%, 10%, 20%,
30%. Уровень шума до 10% будем считать малым.
Тот же показатель можно использовать для оценки точности моделей, полученных в результате идентификации. Такой коэффициент
241
«шум/сигнал» будем обозначать K n/ s . Логично предположить, что если
модели идентифицируются верно, то в среднем K n/ s  K n / s .
Объемы выборки назначим равными 24, 36 и 48 значениям, что
соответствует довольно малым выборкам, как правило, доступным на
практике.
Выполнив генерацию большого числа тестовых выборок (по 1000
для каждого набора исходных данных, всего 360 000 выборок), исследуем статистические характеристики оценок параметров модели и качества идентификации.
С точки зрения качества получаемых моделей наибольший интерес представляют разброс оценок параметров, точность описания исходного ряда и точность получаемого прогноза.
Разброс оценок параметров характеризуется коэффициентом вариации, для оценки точности модели можно, как было указано выше, использовать K n/ s . Для характеристики точности прогноза будем использовать второй коэффициент Тейла KT 2 .
Прогноз с KT 2  20% считается достаточно точным, с KT 2  10% –
точным. Очевидно, что при увеличении уровня шума точность получаемых оценок будет уменьшаться, поэтому будем рассматривать полученные оценки в зависимости от величины K n / s . Наборы параметров
моделей, использованные в эксперименте, представлены в таблицах 3.20
и 3.21. Они отражают различные типы динамики, описываемые каждой
из функцией.
Таблица 3.20
Параметр
C0
C1
Значения параметров линейной модели
Набор значений
1
2
3
50
100
700
10
10
-10
4
600
-10
Таблица 3.21
Значения параметров параболической модели
Набор значений
Параметр
1
2
3
4
5
C0
300
300
700
900
1500
C1
-15
5
-20
15
-5
C2
0,7
0,7
0,3
-0,5
-0,3
242
6
100
20
-0,3
На рисунке 3.33 а) и б) представлена зависимость коэффициентов
вариации оценок параметров линейной модели от величины шума для
каждого метода. Из графиков видно, что наименьший разброс оценок
параметров обеспечивает итеративный подход.
Значения ряда можно использовать в качестве весов только при
малом шуме.
а)
б)
Рис. 3.33. Зависимость коэффициентов вариации оценок а) C 0 , б) C1 от K n / s
Как показано на рисунке 3.34, наибольшую точность модели также
обеспечивает третий метод. При использовании других подходов точность моделей существенно снижается с ростом зашумленности выборки. При малом шуме все методы дают приблизительно одинаковую точность.
50%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0%
5%
без весов
10%
вес Y[k]
15%
20%
вес D[k]
25%
30%
вес D[k] (итерат.)
Рис. 3.34. Зависимость среднего K n/ s линейной модели от истинного K n / s
243
На рисунке 3.35 представлена зависимость средней величины KT 2
от K n / s . Все методы идентификации в среднем обеспечивают необходимую точность прогноза.
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
0,05
без весов
0,1
вес Y[k]
0,15
вес D[k]
0,2
0,25
вес D[k] (итерат.)
0,3
истинное
Рис. 3.35. Зависимость среднего K T 2 линейной модели от K n / s
Зависимость коэффициентов вариации оценок параметров
C0 , C1 , C2 параболической модели тренда от уровня шума представлены
на рисунках 3.36-3.38. Методы, использующие оценки Dk в качестве весов, дают существенно меньший разброс оценок параметров.
При малом шуме веса Yk также обеспечивают малый разброс оценок, но при увеличении шума данный метод оказывается даже хуже,
чем МНК без весов.
10%
9%
8%
7%
6%
5%
4%
3%
2%
1%
0%
0%
5%
без весов
10%
вес Y[k]
15%
20%
вес D[k]
25%
30%
вес D[k] (итерат.)
Рис. 3.36. Зависимость вариации С0 параболической модели от K n / s
244
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0%
5%
без весов
10%
15%
вес Y[k]
20%
вес D[k]
25%
30%
вес D[k] (итерат.)
Рис. 3.37. Зависимость вариации С1 параболической модели от K n / s
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0%
5%
без весов
10%
вес Y[k]
15%
20%
вес D[k]
25%
30%
вес D[k] (итерат.)
Рис. 3.38. Зависимость вариации С2 параболической модели от K n / s
На рисунке 3.39 представлена характеристика точности моделей
для каждого из методов. Из графика видно, что три из четырех методов
в среднем обеспечивают необходимую точность модели, даже если коэффициенты вариации параметров велики.
Необходимую точность моделей обеспечивают все методы, кроме
МВНК с Yk в качестве весов. Для других методов средний K n/ s меньше
или равен истинному K n / s . Характеристика точности прогнозов представлена на рисунке 3.40.
245
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0%
5%
10%
без весов
15%
вес Y[k]
20%
вес D[k]
25%
30%
вес D[k] (итерат.)
Рис. 3.39. Зависимость среднего K n/ s параболической модели от K n / s
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0
0,05
без весов
0,1
вес Y[k]
0,15
вес D[k]
0,2
0,25
вес D[k] (итерат.)
0,3
истинное
Рис. 3.40. Зависимость среднего K T 2 параболической модели от K n / s
Таким образом, по совокупности критериев качества моделей
можно сказать, что для идентификации моделей с мультипликативной
структурой стохастической компоненты лучше использовать МВНК с
оценками Dk в качестве весов. При этом нет необходимости организовывать итеративную процедуру, поскольку она не дает существенного
улучшения качества идентификации.
Можно отметить, что для идентификации моделей трендов с аддитивной и мультипликативной компонентой условие эквидистантности
наблюдений не является обязательным.
246
После детрендирования полиномов из ряда динамики можно перейти к идентификации моделей в виде суммы двух (и более) гармоник
с аддитивной и с пропорционально мультипликативной структурами
взаимодействия со стохастической компонентой. В этом случае следует
использовать эквидистантные наблюдения, двухэтапную процедуру
идентификации с ARMA-моделями на первом этапе и МНК.
Действия по детрендированию и по десезонолизации можно продолжить до получения требуемых показателей точности. Число итераций в проведенных исследований обычно не превышало трех-четырех.
Возможна идентификация структур, в которых взаимодействие
стохастической компоненты с трендом может быть аддитивным, а с колебательной компонентой – мультипликативным, или наоборот.
247
ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
РЯДОВ ДИНАМИКИ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЭКСПОНЕНТАМИ И ИХ
СОЧЕТАНИЯМИ С ГАРМОНИКОЙ
4.1. Использование модели в виде обобщенной
экспоненциальной функции
Экспонента в виде модели (1.18) Tk  A1 exp(1k ) относится к
числу едва ли не самых распространенных математических моделей
тренда, входит в состав значительного числа других более сложных моделей трендов.
Экспоненциальный тренд характерен для процессов, развивающихся в среде, не создающей никаких ограничений для роста уровней.
Из этого следует, что на практике он может быть адекватным только на
ограниченном промежутке времени, так как любая среда рано или поздно создаёт ограничения, а любые ресурсы со временем исчерпаемы.
Экспоненциальный рост объёма реализации и производства происходит, например, при возникновении новых видов продукции и при
их освоении промышленностью. Если производство начинает наполнять
рынок, приближаться к спросу, то экспоненциальный рост прекращается.
Экспонента описывает простую (но позволяющую определить
максимально возможный темп увеличения дохода) модель воспроизводства, в которой весь доход направлен на расширение производства (а
потребление отсутствует), иллюстрирует динамику многих экономических показателей в макроэкономике.
Если   0 , то имеем тренд с возрастающими значениями (уровнями), причём это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим
ускорением и с возрастающими производными более высоких порядков.
Если   0 , то имеем тенденцию постоянного, но замедляющегося
сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается.
Аргументом экспоненциальной функции может быть не только
время, но и некоторый производственно-экономический или социальный фактор, поэтому обоснованно говорить о достаточно общем приложении экспоненциальной модели, а не только о временном тренде.
Во второй главе была представлена и обобщенная экспоненциальная функция (2.5):
248
T (t )   1  exp     t   ,
которая при очевидных переобозначениях примет вид:
T (t )  A0  A1 exp(1t ) .
Модель (2.5) может интерпретироваться как простейшая балансовая модель Кейнса, включающая в себя доход, расход, потребление и
инвестиции, а её квадрат описывает неоклассическую модель динамики
фондовооруженности в зависимости от нормы амортизации, прироста
во времени трудовых ресурсов [10, 14, 23, 25].
Воспроизводство при непрерывном темпе потребления, динамическую межотраслевую модель роста В. Леонтьева, экономический рост
СЭС при различных траекториях потребления описывает уже сумма
экспонент (обычно от двух до четырёх) с различными темпами роста
и/или убывания [14].
В первой главе уже была поставлена задача разработки для модели
роста (1.18) методов идентификации при аддитивной стохастической
компоненте, а также при мультипликативной стохастической компоненте без использования предположения о логнормальности ее закона распределения. Та же задача определена и для более общего случая модели
роста (2.5).
Рассмотрим ряд динамики в виде суммы тренда (2.5) и стохастической компоненты  k , отвечающей принятым условиям ГауссаМаркова:
Yk  A0  A1 exp(1k )   k .
(4.1)
В [78] предложен метод МНК-идентификации, основанный на
конструировании ARMA-модели второго порядка, которую при k  2
представим в виде:
Yk  1(Yk 1  Yk 2 )  Yk 1   k  1( k 1   k 2 )   k 1 
 1(Yk 1  Yk 2 )  Yk 1  k ,
(4.2)
где  k   k  1 ( k 1   k 2 )   k 1 – «новая» гомоскедастическая, центрированная и автокоррелированная стохастическая компонента,
1  exp(1).
249
Заметим, что использование первых разностей в (4.2) представит
ARMA-модель в абсолютных цепных приростах Пц .
Далее, с учетом материалов третьей главы, очевидны МНК-оценка
параметра 1 на первом этапе идентификации из нормального линейного уравнения и, с учетом обозначений в (4.2), МНК-оценка 1 . Для компенсации смещенности и неэффективности оценок 1 целесообразно
обращение к приему прореживания выборки при использовании (4.2).
Подстановка 1 в (4.1) позволит на втором этапе идентификации
найти МНК-оценки А0 и A1 из решения соответствующей нормальной
СЛАУ второго порядка.
При идентификации модели (1.18) повторяем первый этап идентификации, а на втором этапе МНК-оценка A1 будет осуществляться из
нормального линейного уравнения.
Идентификация (1.18) может быть осуществлена для детрендирования в методе параметрической итерационной декомпозиции.
Результат, полученный для обобщённой экспоненциальной модели
тренда, может быть применен при моделировании технических и социально-экономических систем с временным лагом.
Динамические свойства производственных и экономических систем проявляются в сдвиге времени (временном лаге) от осуществления
затрат (от принятия управленческого решения) до получения результатов. Выделяют следующие типы лагов [12, 71]:
 технологический лаг – от начала проектирования объекта до его
ввода в действие;
 строительный лаг – от начала работ по сооружению объекта до
их завершения;
 лаг отдачи – от реализации капиталовложений до освоения проектной мощности;
 комплексный – лаг отдачи группы связанных между собой объектов;
 психологический лаг – инерция в поведении людей;
 институциональный лаг – контракты между фирмами, трудовые
договора требуют определенного постоянства в течение времени контракта (договора).
250
Значительный интерес представляет и исследование лага управления – динамической характеристики системы управления, связанной с
обоснованием и принятием управленческого решения, задержкой в каналах передачи и обработки информации, который моделируется обычно блоком идеального запаздывания [23], с величиной запаздывания до
нескольких лет.
Имеется запаздывание и при формировании экономических показателей: например, инфляция может рассматриваться как последствие
роста цен на нефть, электрическую энергию.
Указанные лаги могут в общем случае взаимно перекрываться.
Весьма важна достоверная оценка процесса «созревания» (начала отдачи) капитальных затрат, доли затрат, дающих отдачу в различные моменты времени, медианного и среднего лага освоения затрат для решения задачи контроля или ликвидации нерегламентных запаздываний
и т.д.
Средний лаг представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в определенный момент времени «к».
Медианный лаг – это период времени, в течение которого с момента времени «к» будет реализована половина общего воздействия
фактора на результат.
Запаздывание проявляется и в процессах потребления – в отставании моментов изменения интенсивности потребления или спроса на те
или иные товары и услуги в зависимости от момента изменения их цен
и доходов потребителей. Это отставание приписывается, в частности, и
«психологической инерции» потребителей.
Для моделирования всего многообразия запаздываний используют
отдельно или в сочетании друг с другом звено идеальной задержки и
динамические преобразователи первого и/или второго рода [23].
Модель типа идеальной задержки приемлема для описания во
многих объектах хранения и транспортировки продукции. Её применяют также при осреднении лага системы, порождаемого множеством запаздываний в её элементах: например, для характеристики средней длительности производственного цикла.
Следует иметь в виду, что идеальная задержка не отражает реальную динамику переходных процессов в социально-экономических и
251
производственных системах. Для описания совместного эффекта действия инерционных свойств и свойств запаздывания реализуют следующий приём: идеально задержанный сигнал принимается правой частью линейного дифференциального уравнения, и затем ищется его решение.
В терминах теории управления моделью динамических свойств
такой системы может быть передаточная функция двух последовательно включенных звеньев. Одно из них – звено идеального запаздывания
на время  з , а второе – динамический преобразователь первого рода
(инерционное звено) с постоянной времени Т1 :
W  p 
q exp   p з 
,
1  T1 p
где q  R, p – комплексная переменная.
Такую модель называют экспоненциальным запаздыванием или
моделью запаздывания первого порядка. Ее используют для описания
динамики многих реальных экономических объектов: например, для
изменения потребительского спроса на товар, вызванного увеличением
интенсивности поступления товара в торговую сеть или снижением (повышением) его цены, для характеристики освоения инвестиций, капитальных вложений на строительстве объекта и т.д.
Указанные воздействия являются как бы тестовыми воздействиями на СЭС, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, а её реакция (в терминах теории управления –
отклик на единичную функцию или переходная функция) представляется в виде временного ряда наблюдений того же вида, что и (4.1):
Yk  q  q1 exp( k )   k ,
где q1  q exp( з ),  
1
.
T1
Видим, что для данного приложения можно (с точностью до обозначений) использовать результаты, полученные при идентификации
обобщённой экспоненциальной функции.
252
На первом этапе идентификации находим   , на втором – q  , q1 , а
затем по результатам обоих этапов рассчитывается и параметр запаздывания:
 з

ln q1  ln q

.
Здесь, как и ранее, можно ориентироваться на известную рекомендацию из регрессионного анализа: использовать число наблюдений в
3-4 раза больше, чем порядок авторегрессии идентифицируемой модели, чтобы получить удовлетворительный по точности результат идентификации модели.
Таким образом, необходимо в (4.2) анализировать не менее, чем
6-8 наблюдений.
Для получения более общих рекомендаций вновь реализуем предложенную выше методику исследования точности предложенного метода идентификации при различных соотношениях тестовых выборок
стохастической и детерминированной компонент. Значения тестовых
параметров обобщенной экспоненты будем варьировать в границах и с
шагом, приведенными в таблице 4.1. Получим 45 сочетаний параметров
модели.
Таблица 4.1
Истинные значения параметров модели
Минимальное Максимальное
Шаг
Параметр
значение
значение
варьирования
A0
10
50
10
A1
10
20
5
1
-0,1
0,2
0,15
Исследование проводилось на выборках объемом 24, 36 и 48
наблюдений. Для каждого сочетания параметров модели генерировалось 20 выборок. Коэффициент «шум/сигнал» изменялся от 0 до 0,35. В
общей сложности для исследования было сгенерировано 43 200 выборок. Результаты по выборкам усреднялись, что позволило исследовать
зависимость качества идентификации и прогнозирования при различной
мощности помехи в исходной выборке.
Компенсацию автокорреляции можно произвести показанным ранее приемом прореживания исходной выборки при МНК-оценке 1 , но
253
можно предложить (и сравнить на примере этой модели) еще один прием компенсации автокорреляции – сглаживание исходной выборки.
В приеме сглаживания, который в программной организации несколько проще реализации приема прореживания, исходные данные заменяются выборками, содержащими средние значения из 2-х, 3-х и т.д.
наблюдений, присваиваемые средним значениям аргумента интервала
сглаживания, что позволяет также уменьшить автокорреляцию  k . Естественно, что при обоих приемах компенсации автокорреляции объем
выборки уменьшается, что требует поиска компромисса между обоснованием увеличения объема используемой статистической выборки и
условием стационарности модели на этой выборке. При сглаживании
выбираются МНК-оценки параметров на том шаге сглаживания, при котором получим лучшие показатели критерия точности моделирования
и/или прогнозирования. Результаты исследования качества идентификации показаны на рисунке 4.1 а) и б), сведены в таблицу 4.2.
а)
254
б)
Рис. 4.1. Зависимость R 2 от K n / s при использовании прореживания (а)
и сглаживания (б) выборки
Видим, что качество идентификации остается достаточно высоким
даже при мощности помехи равной 35%.
Средние значения коэффициента детерминации практически не
отличаются от истинных (генерируемых программой тестирования), т.е.
модель хорошо описывает тестовую выборку.
Таблица 4.2
Значение R 2 при различной величине шума и объеме исходной выборки
Истинный
Kn/s
R2
R 2 при прореживании
n = 24
n = 36
n = 48
R 2 при сглаживании
n = 24
n = 36
n = 48
0,00
1,00000
1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000
0,05
0,95238
0,95614 0,95484 0,95402 0,95556 0,95474 0,95396
0,10
0,90909
0,91539 0,91311 0,91229 0,91510 0,91273 0,91178
0,15
0,86957
0,87779 0,87524 0,87338 0,87721 0,87529 0,87315
0,20
0,83333
0,84314 0,84047 0,83905 0,84247 0,83954 0,83708
0,25
0,80000
0,81157 0,80869 0,80591 0,81033 0,80703 0,80573
0,30
0,76923
0,78280 0,77652 0,77713 0,78013 0,77600 0,77481
0,35
0,74074
0,75586 0,74934 0,74680 0,75200 0,74850 0,74448
255
При этом объем выборки незначительно влияет на качество идентификации. И прореживание, и сглаживание выборки в данном случае
дали приблизительно одинаковый результат.
Результаты исследования качества прогнозирования показаны на
рисунке 4.2 а) и б). Из рисунка 4.2 видно, что средняя ошибка прогнозирования не превышает 15% даже при значительной зашумленности выборки, а при величине шуме до 20% составляет менее 10%.
Кроме приведенных значений показателей моделирования и прогнозирования, интерес могут представить и средние значения оценок
параметров модели по отношению к их истинным значениям, а также
дисперсия этих оценок и показателей качества идентификации.
а)
б)
Рис. 4.2. Зависимость MAPE-оценки от K n / s при использовании
прореживания (а) и сглаживания (б) выборки
256
Для проведения такого исследования генерировались 10 000 выборок объемом 36 наблюдений, а глубину прогноза назначали в 12 наблюдений, мощность шума в 10%. Результаты численного эксперимента приведены в таблицах 4.3 и 4.4. Средние значения оценок параметров оказались близки к их истинным значениям. Наибольшим разбросом обладают
оценки параметра 1 , коэффициент вариации которого составляет около
15%. Вариация R 2 составила менее 1%.
При этом ни на одной из 10 000 выборок коэффициент детерминации не составил менее 0,89, а ошибка прогноза не превысила 20%.
257
Таблица 4.3
Оценки параметров модели и показателей качества идентификации
при использовании прореживания выборки
A1
1
A0
Параметр
R2
MAPE
Истинное значение
100
90
0,1
0,90836 0,064201
Математическое
99,489
90,67
0,1004
0,91353 0,067659
ожидание
Среднеквадратическое
3,7621
4,8125 0,015204 0,0091789 0,0181
отклонение
Коэффициент
0,037814 0,053077 0,15143 0,010048 0,26752
вариации
Минимальное
74,419
75,101 0,049061 0,89932 0,017557
значение
Максимальное
109,1
108,5
0,17087
0,96199
0,18716
значение
Таблица 4.4
Оценки параметров модели и показателей качества идентификации
при использовании сглаживании выборки объемом 36 наблюдений,
глубиной прогноза 12 наблюдений и мощностью шума 10%
A1
1
A0
Параметр
R2
MAPE
Истинное значение
100
90
0,1
0,9082
0,064098
Математическое
99,464
90,626
0,10036
0,91322 0,067708
ожидание
Среднеквадратическое
3,8796
4,9008 0,015782 0,0093105 0,018491
отклонение
Коэффициент
0,039005 0,054077 0,15725 0,010195
0,2731
вариации
Минимальное
75,786
73,398 0,047603 0,89473 0,020214
значение
Максимальное
109,49
108,32
0,16709
0,95968
0,16822
значение
Близость графиков точностных характеристик при выборках в 24,
36 и 48 наблюдений побудила провести исследования и на меньших выборках: в 12 и 6 наблюдений. При этом оказалось, что качество модели258
рования на выборках объемом 12 и 6 наблюдений практически такое же,
что и показано на рисунках 4.1 и 4.2. Однако погрешность прогнозирования на выборке в 6 наблюдений с горизонтом прогноза в 2 наблюдения практически в два раза больше, чем при 12 наблюдениях, что не
позволяет рекомендовать использование таких выборок при соотношении «шум/сигнал» более 20%.
Значительный интерес представляет количественная оценка влияния шага прореживания на точность моделирования и прогнозирования,
которая была выполнена на тестовых выборках объемом 36 наблюдений
в широком диапазоне значений параметров модели. Шаг прореживания
изменялся от 1 (без прореживания) до 12 (максимально допустимый шаг
при заданном объеме выборки). Зависимость коэффициента детерминации от коэффициента шум/сигнал для выборки приведена на рисунке
4.3. При шагах прореживания 4-5 качество идентификации становится
приемлемым, а при 6-12 шагах прореживания результаты практически
не различаются.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
без прореживания
шаг = 2
шаг = 3
шаг = 4
шаг = 5
шаг = 6
шаг = 7
шаг = 8
шаг = 9
шаг = 10
шаг = 11
шаг = 12
Рис. 4.3. Зависимость R 2 от K n / s при различных шагах прореживания
Зависимость коэффициента детерминации от шага прореживания
при различных мощностях шума показана на рисунке 4.4, из которого
видно, что качество идентификации не уменьшается при увеличении
шага прореживания от одного шага до предельно допустимого.
259
1
0.8
0.6
0.4
0.2
01
2
3
4
5
шум 10%
6
7
8
шум 20%
9
10 11 12
шум 30%
Рис. 4.4. Зависимость R2 от шага прореживания при K n/ s  0,1;0, 2;0,3
Общей рекомендацией (в том числе для других моделей и методов
идентификации на основе ARMA-моделей, рассматриваемых в монографии), является назначение шага прореживания приблизительно равным порядку модели авторегрессии.
Итак, видим, что приемы прореживания и сглаживания обеспечивают высокую точность моделирования и прогнозирования рядов динамики в широком диапазоне отношения мощностей шума и полезного
сигнала, а также – в широком динамическом диапазоне параметров модели, причем на относительно коротких выборках. В силу этого можно
рассчитывать на широкую область применения предложенного метода
идентификации модели в виде обобщенной экспоненты и помехи (4.1).
Рассмотрим теперь случай мультипликативного вхождения стохастической компоненты с симметричным законом распределения в
структуру ряда с обобщенным экспоненциальным трендом:
Yk   A0  A1 exp(1k )  k ,
где уровни  k заданы в относительных единицах (в долях, в процентах).
Первое решение с помощью ARMA-моделей и при условии минимизации относительной среднеквадратической невязки предложено и
подробно изложено в [49]. В принципе, нецентрированность стохастической компоненты в данном методе не является существенным недостатком, т.к. модель тренда содержит постоянный параметр, который
учтет это смещение при идентификации других параметров экспоненты.
Подобное утверждение приведено, например, и в [12].
260
Однако если значение параметра A0 представляет самостоятельный интерес при моделировании и прогнозировании, или если условие
неотрицательности значений стохастической компоненты не может
быть обоснованно принято для идентифицируемого показателя анализируемой СЭС, то целесообразнее обратиться к другому решению, также использующему ARMA-моделирование и предложенную в первой
главе структуру пропорционально мультипликативного вхождения стохастической компоненты:
Yk  ( A0  A1 exp(1k ))(1   k )  A0  A1 exp(1k ) 
 ( A0  A1 exp(1k )) k
,
(4.3)
где стохастическая компонента  k удовлетворяет принятым условиям
Гаусса-Маркова.
В (4.3) новая стохастическая компонента ( A0  A1 exp(1k )) k
пропорциональна уровням тренда, т.е. свойство гетероскедастичности
сохранено. В соответствии с методикой, уже изложенной выше, сконструируем при k  2 для (4.3) ARMA-модель второго порядка:
Yk  Yk 1  1 (Yk 1  Yk 2 )   k ,
(4.4)
где
 k  Yk ( k 1 k 2   k 1   k 2 )  Yk 1 ( k  k 2   k   k 2 ) 
 1 Yk 1 ( k  k 2   k   k 2 )  Yk 2 ( k  k 1   k   k 1 )
–
«новая» стохастическая компонента (центрирована, обладает автокорреляцией, гетероскедастична), а 1  exp(1) .
Автокорреляцию  k в (4.4) можно компенсировать приемом прореживания. Сложнее вопрос компенсации гетероскедастичности  k .
Учтем, что условие Yk   k в выражении для  k позволяет пренебречь малыми величинами второго порядка, содержащими произведения  k 1 k 2 ,  k  k 2 ,  k  k 1 .
Тогда для компенсации гетероскедастичности стохастической компоненты  k можно предложить прием почленного деления (4.4) на Yk 1 ,
что дает:
261
 Y 
Yk
 1  1 1  k 2   k ,
Yk 1
 Yk 1 
где k   k   k 2  1  1    k 1   k 2 
(4.5)
Yk
Y
  k   k 1  1 k 2 .
Yk 1
Yk 1
Заметим, что гетероскедастичность k определяется теперь лишь
Y
Y
вариацией отношений k и k 2 , т.е. зависит от цепных темпов роста
Yk 1
Yk 1
уровней ряда наблюдений Yk . В силу того, что для экспоненциального
тренда они постоянны [4], то и для ряда Yk можно ожидать малой вариации дисперсии k , т.е. ее практической гомоскедастичности.
Теперь можно к (4.5) применить МНК для нахождения оценки 1
и рассчитать 1 с учетом обозначений в (4.4). Подставляя 1 в (4.4) и
деля его на Yk , получим линейную регрессию с гомоскедастической
стохастической компонентой
A0 A1 exp(1k ) ( A0  A1 exp(1k ) k
1
Yk

Yk

Yk

A0 A1 exp(1k )
( A0  A1 exp(1k ) k




Yk
Yk
( A0  A1 exp(1 k )(1   k )
A0 A1 exp(1k )
k



,
Yk
Yk
(1   k )
из которой, решая соответствующую нормальную СЛАУ второго порядка для минимизации относительной среднеквадратической невязки,
определим МНК-оценки A0 , A1 .
Можно ожидать, что с ростом мощности стохастической компоненты k (увеличения отношения мощностей помеха/полезный сигнал)
более 10% компенсация гетероскедастичности путем деления на Yk 1
(т.е. по сути применения взвешенного МНК с весовой функции
Wk 
1
Yk2
)
будет недостаточной.
Рассмотрим тогда возможности итерационного подхода (взвешенного МНК), который был применен для идентификации полиномиальных трендов с мультипликационной стохастической компонентой.
262
На первой итерации параметры модели будем оценивать «обычным» МНК. Полученные оценки параметров A01 , A11 ,11 формируют
взвешенный МНК с весовой функцией:
Wk 

1
A01

1
A11e1 k 

2
,
который будет использоваться при следующем проходе для оценки
МНК с весовой функцией:
1
Wk z 1 
2
z
A0 z   A1 z e1 k 


до достижения требуемой точности.
На рисунке 4.5 показана зависимость величин второго коэффициента Тейла от K n / s для различных весовых функций в идентификации
обобщенной показательной функции с мультипликативной стохастической компонентой, а также KT 2 для истинных значений параметров, задаваемых программой генерации. Видим, что все методы дают существенно менее точные прогнозы по сравнению с исходными моделями,
хотя все они обеспечивают приемлемую точность прогнозирования при
значениях K n / s до 15%.
18%
16%
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
0%
5%
10%
15%
без весов
вес Y[k]
вес D[k] (итерат.)
истинное
20%
25%
30%
вес D[k]
Рис. 4.5. Зависимость второго коэффициента Тейла от K n / s
263
Таким образом, использование итерационной процедуры и ис1
пользование весовой функции Wk 
2 не дали в дан1
1 11 k 
A0  A1 e


ном случае существенного увеличения точности.
Целесообразность применения взвешенного МНК для нескольких
рассмотренных моделей (суммы и произведения линейного тренда с
мультипликативной колебательной компонентой, полиномиального
тренда с мультипликативной стохастической компонентой) зависит от
модели и от конкретного набора ее параметров.
Вывод аналитических выражений для оценки смещения и дисперсии
оценки параметра 1 при реализации приемов компенсации автокорреляции для модели с трендом (1.18) и для модели (4.2) оказался в принципе
возможен.
Но он довольно сложен, вряд ли допускает распространение на
более сложные структуры рядов динамики с экспоненциальным трендом. Полученные результаты позволили дать лишь общие рекомендации об уменьшении автокоррелированности наблюдений, как это было
получено для (3.1), а также о целесообразности применения той же методики исследования точности на тестовых выборках.
С позиций возможных траекторий эволюции экономической динамики целесообразно рассмотреть моделирование в области малых
значений аргумента (нас более всего интересуют короткие выборки и
моделирование эволюции моделей при росте аргумента) с последующей
аппроксимацией выборки обобщенным экспоненциальным трендом в
области больших значений аргумента.
Решению такой задачи отвечают, в частности, обобщенные модели
тренда в виде суммы гиперболического синуса и косинуса тренда с аддитивной стохастической компонентой:
Yk  C0  A0 sh 0k   0    k ,
(4.6)
Yk  C0  A0 ch  0k   0    k .
(4.7)
Гиперболические синус и косинус представляют собой соответственно, полуразность и полусумму экспонент с одинаковым по модулю, но противоположным по знаку показателем степени. На рисунке 4.6
264
представлены графики моделей (4.6) и (4.7) в сравнении с обобщенной
экспонентой.
Y (t )

0
0
C0  A0
A0
exp  0t  0 
2
C0  A0 sh 0t  0 
C0 
C0
C0  A0 sh 0t  0 
0
t
Рис. 4.6. Графики обобщенной экспоненты, гиперболического синуса
и гиперболического косинуса
При С0  0,  0  0 точка перегиба и минимум функций (4.6) и (4.7)
соответственно смещаются в область первого координатного угла, а модели в области малых значений аргумента приобретают характер, существенно отличающийся от динамики обобщенной экспоненты.
Рассматриваемые модели описывают тип эволюционирующей динамики, при котором экспонента с отрицательным показателем степени
постепенно сменяется другой экспонентой с положительным показателем степени. В известной литературе не представлено применение данных функций для моделирования и прогнозирования экономической
динамики.
Осуществим ARMA-идентификацию моделей (4.6) и (4.7), выполнив предварительно замену переменных:
A0 sh  0k   0   A1 sh  0k   A2 ch  0k  ,
(4.8)
A0 ch 0k   0   A1 ch 0k   A2 sh 0k  ,
(4.9)
где A1  A0 ch  0 , A2  A0 sh 0 .
В обоих случаях приходим к одинаковой ARMA-модели:
Yk  1    (Yk 1  Yk 2 )  Yk 3  k ,
(4.10)
265
где   2ch 0  , k   k   k 3  1    ( k 1   k 2 ) – «новая» стохастическая компонента.
Осуществим идентификацию параметра  , используя МНК (компоненту  k считаем удовлетворяющей принятым условиям ГауссаМаркова) и приемы прореживания выборки для уменьшения автокоррелированности  k . Из линейного нормального уравнения определим   ,
затем с учетом обозначений в (4.10) можем рассчитать оценку
 0
  
1
 arch   , подставляя которую в (4.6) и (4.7), определим и МНК
 2 


, A02
, линейно входящих в (4.8) и (4.9).
оценки параметров C0 , A01
 
 A02
 Arth    .


Далее очевиден расчет:
,
 A01 
Было проведено исследование качества идентификации моделей
(4.6) и (4.7) на тестовых выборках, в ходе которого было сгенерировано
более двух сотен тысяч рядов динамики с различными значениями параметров моделей (диапазон изменения параметров в 10-20 раз), различными соотношениями мощностей помехи и полезного сигнала в
диапазоне от 0 до 30%.
В первую очередь была исследована зависимость точности моделирования и прогнозирования от значений параметров моделей, т.е. от
формы динамики. Было установлено, что наибольшее влияние на качество идентификации оказывает положение точки перегиба у гиперболического синуса и точки минимума у гиперболического косинуса.
Необходимая точность идентификации обеспечивается только при
нахождении данных точек внутри выборки, на некотором удалении от
ее краев (на 20-30% длины выборки). Кроме того, для модели (4.6) точность прогноза оказывается выше, когда точка перегиба находится в
первой половине выборки, а для модели (4.7) – когда точка минимума
находится во второй половине выборки.
Наличие таких ограничений связано с тем, что при их несоблюдении модели (4.6) и (4.7) на выборке практически не отличаются от
обобщенной экспоненты. При этом одна из экспонент, образующих гиперболические функции, мало отличается от нуля и выделить ее не удается.
A0
266
   

A01
2

A02
2
0
Влияние других параметров на точность прогнозирования значительно меньше, но можно отметить, что второй коэффициент Тейла KT 2
увеличивается при больших величинах C0 и уменьшается при больших
величинах A0 . Покажем, что при выборе значений параметров, соответствующих описанным условиям, и при достаточном объеме выборки
модели (4.6) и (4.7) позволяют получить высокую точность прогноза.
На рисунках 4.7 и 4.8 представлены зависимости точности моделирования и прогнозирования для каждой из моделей от величины шума при различных, довольно малых объемах выборок.
Точки на графиках являются, как всегда, средними значениями
для указанных диапазонов параметров моделей.
а) 1
б) 0,3
0,95
0,25
0,9
0,2
0,85
0,15
0,8
0,1
0,75
0,05
0,7
0
0%
5%
10%
15%
24
20%
36
25%
0%
30%
5%
48
10%
24
15%
20%
36
25%
30%
48
Рис. 4.7. Зависимость средних R 2 (а) и K T 2 (б) от K n / s для модели (4.6)
а) 1
б) 0,2
0,95
0,15
0,9
0,85
0,1
0,8
0,05
0,75
0,7
0
0%
5%
10%
24
15%
20%
36
25%
48
30%
0%
5%
10%
24
15%
20%
36
25%
30%
48
Рис. 4.8. Зависимость средних значений R 2 и K T 2 (а) от K n / s (б)
для модели (4.7)
Из графиков видна высокая точность моделирования, но заметим,
что при объеме выборки равном 24 значениям и менее существенно па267
дает точность прогноза. В целом, точность прогнозирования выше для
модели (4.7).
Еще одну модель динамики, отличающуюся от экспоненты при
малых значениях аргумента и формируемую суммой экспонент, представим в следующем параграфе.
4.2. Модели рядов динамики в виде квазиполиномов
Квазиполиномы (определение А.Г. Гранберга [14]) описывают
большое количество широко употребляемых в практике трендов вида:
m
T (t )   Ait Bi exp( it )Cos(it   i ),
(4.11)
i 0
где i – частоты,  i – фазы гармонических компонент, Ai , Bi , i – параметры, m – порядок квазиполинома.
Частными случаями (4.11) (при m  1, i   i  Bi  0 ) являются
рассмотренная выше обобщенная экспоненциальная функция (2.5)
T (t )  A0  A1 exp( 1t ) и экспоненциальная функция (1.18) (при A0  0 )
T (t )  A1 exp( 1t ).
Применение в экономической практике нашли, например, следующие модели:
T (t )  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t ) ;
T (t )  ( A1  A2t )exp(1t ) ;
T (t )  A1 Cos(1t   1 )  A2 Cos(2t   2 ) ;
T (t )  A0  A1 Cos(1t   1 )  A2 Cos(2t   2 ) ;
T (t )  A0t  A1 Cos(1t   1 )  A2 Cos(2t   2 ) ;
T (t )  ( A0  A0t )Cos(1t   1 ) ;
T (t )  A0  A2t  A3Cos (3t   3 ) ;
m
T (t )    Ai  Bit  exp( it ) , где обычно m  4
i 1
и др.
Для каждой из приведенных моделей при постулировании аддитивной стохастической компоненты, удовлетворяющей принятым усло268
виям Гаусса-Маркова, можно сконструировать соответствующую
ARMA-модель и получить МНК-оценки ее параметров [48].
В наиболее простых случаях можно использовать точные аналитические методы идентификации, при более сложных моделях – метод
параметрической итерационной декомпозиции или точное аналитическое решение с использованием базисов Гребнера. При этом базис
Гребнера требуется использовать только для моделей, когда конструируемые ARMA-модели содержат в качестве идентифицируемых коэффициентов нелинейные комбинации коэффициентов компонент, как
было показано в (3.28) для модели (3.3).
Из предложенного выше комплекса моделей обращение к использованию базиса Гребнера необходимо, например, для моделей тренда
m
T (t )  A1cos (1t   1 )  A2cos (2t   2 ) и T (t )   ( Ai  Bit )exp(  it ).
i 1
Для некоторых моделей из класса квазиполиномов ниже дадим
конкретные приложения, оценки точности моделирования и прогнозирования, а для других моделей укажем лишь на некоторые возможные
приложения.
Обратим внимание на то, что при различных сочетаниях знаков
значений и знаков параметров в моделях:
T (t )  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t ),
T (t )  ( A1  A2t )exp(1t ),
T (t )  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t )  ( A3  A4t )exp( 3t )
они могут представлять весьма разнообразные по форме графики трендов, например, такие, как показаны на рисунках 4.9-4.11.
10 T(t)
8
10 T(t)
A2
8
10 T(t)
A1
8
6
6
6
4
4
4
2
2
2
t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
α1
t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Рис. 4.9. Вид функции T (t )  ( A1  A2t )exp(1t ) при A1, A2  0 , 0  1  1
269
20
100 T(t)
T(t)
80
15
60
10
40
5
20
0 1
2
3
4
а)
5
6
7
8
t
9 10
0 1
2
3
4
5 6
б)
7
8
t
9 10
Рис. 4.10. Вид функции T (t )  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t ) при:
а) A1  9; A2  11; 1  0,5;  2  0,4 ; б) A1  9; A2  11; 1  0,1;  2  0,2
8
T(t)
100 T(t)
80
6
60
4
40
2
20
0 1
2
3
4
а)
5
6
7
8
t
9 10
0 1
2
3
4
5 6
б)
7
8
t
9 10
Рис. 4.11. Вид функции T (t )  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t )   A3  A4t  exp(3t )
при: а) A1  9; A2  11; A3  15; A4  1; 1  0,5;  2  0,4,  3  1;
б) A1  9; A2  11; A3  10; A4  50; 1  0,1;  2  0,2,  3  0,6
Известно, что модель:
T (t )  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t )
используется при 1  0 и  2  0 для описания связи между валовым
продуктом и капитальными вложениями в экономической системе с
учетом лага задержки при реализации капитальных вложений [28, 38].
При этом первая экспонента соответствует формированию вложений
как фиксированной части конечного продукта, а вторая – лагу в их
освоении, завершающемся выпуском продукта.
Еще одним приложением рассматриваемых моделей может быть
описание воспроизводства национального дохода, характеристика динамики потребления и накопления в экономических системах: при
270
этом используется модель (1.18), если потребление отсутствует, или
модель T (t )  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t ) для двух случаев: если  2  0
(т.е. потребление постоянно), или если 1   2 (т.е. потребление увеличивается с увеличением темпа прироста дохода).
Обратим
также
внимание
на
отличие
модели
T (t )  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t ) (имеющей более быструю динамику спада уровней) на начальном участке аргумента (рис. 4.10 а)) от экспоненциальной функции. В предыдущем параграфе, напомним, отличие от
экспоненциальной функции на малых значениях аргумента искали с
помощью гиперболического синуса и гиперболического косинуса.
В модели T (t )  ( A1  A2t )exp(1t ) множитель ( A1  A2t ) может, в
зависимости от сочетания знаков и значений параметров A1 и A2 , усилить или уменьшить скорость изменения экспоненциальной функции
(рис. 4.9), сделать функцию немонотонной (рис. 4.9, рис. 4.11).
Покажем теперь, что предложенный инструментарий ARMAмоделирования позволяет в ряде случаев осуществлять структурную
идентификацию моделей динамики уже на первом этапе идентификации.
Дело в том, что модели:
T (t )  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t ),
(4.12)
T (t )  ( A1  A2t )exp( 3t )
(4.13)
в сумме со стохастической компонентой дают одну и ту же ARMAмодель (при k  2 ):
Yk  1Yk 1  2Yk 2  k ,
(4.14)
где коэффициенты ARMA-модели определены как:
1  exp(1)  exp( 2) ,
2  exp  (1   2 ) 
для (4.12), но:
1  2exp( 3) ,
2  exp  23 
для (4.13).
271
Тогда условием отнесения тренда ряда к модели (4.12) может быть
выполнение следующей системы неравенств для коэффициентов
ARMA-модели (4.12) (и для их оценок) на плоскости коэффициентов
ARMA-моделей:
0  1  2,

2,
0  2  0,251
а условием принятия модели (4.13) являются соотношения:
0  1  2,

2.


0,25

 2
1
Несколько более сложным, но и более тонким описанием, чем модель (4.1) временного лага, является модель запаздывания второго порядка с трендом:
Y (t )  A0  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t )   k ,
где A1 
(4.15)
A0 2 exp(1 з )
A  exp( 2 з )
1
1
, A1  0 1
, 1  ,  2  ,
1   2
 2  1
T1
T2
T1, T2 – постоянные времени.
Модель (4.15) моделирует, например, психологическую инерцию
потребителей. Соответствующая (4.15) модель авторегрессии в первых
разностях при k  2 имеет вид:
1Yk  11Yk 1  11Yk 1  1 k ,
(4.16)
где 1  ln(1), 2  ln( 2) , 1 – первая разность, 1 k – первая разность уровней  k , аналогичная по форме модели (4.16) для наблюдений
определяемой переменной Yk , но состоящая из уровней  k .
Из (4.16) легко получить МНК-оценки 1 , 2 , решая соответствующую СЛАУ второго порядка, и, подставив их в (4.15), рассчитать
МНК-оценки A0 , A1 , A2 , а затем найти величину запаздывания по формуле
272
 з 
A1 (1   2 )
ln
A0 2
1
.
Заметим еще раз, что траектории, моделируемые суммой двух экспонент, в отличие от экспоненты (1.18), значительно разнообразней по
форме и характеру при различных сочетаниях параметров отдельных
слагаемых и в силу этого перспективны для многих приложений.
Рассмотрим теперь идентификацию модели колебательной компоненты ряда динамики из двух гармоник, например, получаемую после
реализации метода детрендирования, который в методе параметрической итерационной декомпозиции из более сложной модели дает
Y (t )  A1 cos(1t   1)  A2 cos(2t   2 )   k  A3 cos 1t  A4 sin 1t 
 A5 cos 2t  A6 sin 2t   k ,
(4.17)
где A3  A1 cos 1, A4  A1 sin 1, A5  A2 cos 2 , A6  A2 sin 2 .
Модели (4.17) (она также относится к квазиполиномам) соответствует при k  4 следующая ARMA-модель:
Yk  ( 1   2 )(Yk 1  Yk 3 )  1 2Yk 2  Yk 2  Yk 4   k ,
(4.18)
где 1  2cos1,  2  2cos2 , а  k – «новая» автокоррелированная стохастическая компонента, образованная комбинацией из уровней  k того
же вида, что и для Yk в (4.18).
Модель (4.17) выражает, например, интенсивность спроса на бытовые услуги, которая возникает в результате наложения годовой и
квартальной колебательных компонент. Вторую гармонику можно интерпретировать и как циклическую.
Очевидны МНК-идентификация  1 ,  2 (и 1 , 2 ) с использованием
базиса Гребнера (из-за произведения 1 2 в получаемой системе нормальных алгебраических уравнений) и необходимость применения метода прореживания для компенсации автокоррелированности стохастической компоненты.
273
С учетом обозначений в (4.17) также очевиден и МНК-расчет из
нормальной СЛАУ четвертого порядка оставшихся для идентификации
параметров A1 , A2 ,  1 ,  2 модели в (4.17).
В силу того, что удовлетворительная точность идентификации
обеспечивается на выборках в 3-4 раза больших, чем порядок ARMAмодели, можно считать, что потребуется для определения всех шести
параметров модели (4.17) выборка в 12-16 наблюдений. Исходя из условий теоремы Котельникова, это означает достаточность анализа траектории на длительности двух (двух с половиной) периодов высокочастотной гармоники в модели (4.17).
Итак, предложенный метод идентификации модели (4.17) позволяет определять все параметры каждой из гармоник, прогнозировать ординаты динамической траектории – как суммарные, так и отдельных
гармоник. Идентификация параметров нескольких гармоник предполагает обычно обращение к спектральному анализу или расчёт коэффициентов ряда Фурье, которые требуют от двадцати до шестидесяти наблюдений [6], т.е. выигрыш в требуемой длительности реализации будет в
несколько раз.
Напомним, что реальные экономические объекты характеризуются
эволюцией (обычно амплитуды) гармонической компоненты [7, 23]. В
этих условиях возможность работать на малых выборках (малых периодах стационарности принимаемых моделей) означает возможность мониторинга эволюции.
Для другой модели:
Y (t )  A0  A1cos (1t   1 )  A2cos (2t   2 )   (t )
будет справедлива ARMA-модель (4.18), но уже в первых разностях. На
втором этапе идентификации порядок СЛАУ увеличится до пятого.
Требуемая длительность реализации 15-20 наблюдений.
Модель:
Y (t )  A0t  A1cos (1t   1 )  A2cos (2t   2 )   (t )
уже была рассмотрена в третьей главе.
Теперь обратим внимание на то, что простейшая модель
274
Y (t )  A1cos (1t   1 )   (t )
(4.19)
допускает помехозащищенную идентификацию на 6-8 наблюдениях,
что укладывается в длительность одного периода или даже его части, в
зависимости от величины шага дискретизации. Известные методы оценки периода (полупериода) модели (4.19) гармоники требуют обычно
фиксации минимально двух последовательных переходов динамической
траектории через ноль (или, что сложнее для регистрации в силу меньшего значения производной и, соответственно, худшего различия соседних уровней ряда) – через максимум.
Таким образом, для помехозащищенной оценки периода гармонической компоненты минимальное количество отсчётов в известных способах всегда больше.
4.3. Квазиполиномы, сочетающие экспоненту с
гармонической компонентой
В [48] рассмотрены шесть квазиполиномов, сочетающих в своей
детерминированной части экспоненту с гармонической компонентой:
T (t )  A1 exp(1t )Cos(1t   1 )  A2 exp( 2t )  A3 exp( 3t ),
T (t )  A1 exp(1t )Cos(1t   1 )  A2 exp( 2t )( A3  A4k ),
T (t )  A1 exp(1t )Cos(1t   1 )  A2 exp( 2t )Cos(2t   2 ),
T (t )  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t )  ( A3  A4t )exp( 3t ),
T (t )  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t )  ( A3  A4t )exp( 3t ),
T (t )  A1 exp(1t )  A2 exp( 2t )  A3 exp( 3t )  A4 exp( 4t ) .
Для всех приведенных выше моделей квазиполиномов сконструированы ARMA-модели четвертого порядка. Для структурной идентификации (классификации) этих шести моделей уже на первом этапе идентификации (до перехода ко второму этапу) предложено перейти в плоскость некоторых нелинейных преобразований над коэффициентами
[48].
Можно также предложить классифицирующие условия на интервалах значений коэффициентов ARMA-моделей и для некоторых других
моделей динамики.
Однако возможная неточность идентификации коэффициентов довольно сложных моделей из-за присутствия в траекториях стохастиче275
ских компонент, сложность известных из статистики процедур проверки
статистических гипотез, для которых у эволюционирующих рядов зачастую нет необходимого объема выборок, приводят к другой мысли.
Проще, на наш взгляд, представлять динамику рассматриваемых и
других траекторий комплекса моделей в виде «альбома» и реализовывать комплекс программ для их последовательной идентификации и
сравнения по критериям точности. Рассматриваемая группа из шести
последних моделей квазиполиномов является решением дифференциальных уравнений второго порядка и применяется в настоящее время
довольно редко, но, скорее, не в силу невостребованности их экономической интерпретации, а из-за невозможности их идентификации известными методами.
Поэтому перейдем к более простой, но практически важной задаче
идентификации уже известных приложений аддитивных или мультипликативных сочетаний экспоненциальных трендов с колебательной
компонентой динамического ряда.
Широко используется, особенно в западной экономической литературе, модель длительных циклов «мультипликатор – акселератор».
Она трактуется обычно так: при возникновении кризиса рост автономных инвестиций (в частности, увеличение ассигнований на военные
расходы, реализуемые в виде дополнительных заказов предприятиям)
вызывает мультиплицированный рост дохода. Он, в свою очередь, порождает возрастающий спрос на инвестиции и ускоренное возрастание
(акселерацию) национального дохода и занятости населения [23]. Существует множество разновидностей таких моделей, с помощью которых
пытаются спрогнозировать, объяснить возникновение кризисов и изыскать способы регулирования экономики с целью их устранения.
Такой моделью с нарастающей по экспоненциальному закону амплитудой (видим в данном случае пример априорного знания знака показателя экспоненты), отражающей два запаздывания первого порядка,
является следующая:
Yk  A  B exp( k )cos ( k    )   k .
(4.20)
Первым является запаздывание в спросе (в цепи «зависимые инвестиции – национальный доход»), а второе запаздывание происходит в
цепи «выпуск товаров – реализация услуг», т.е. запаздывание имеет ме276
сто на стороне предложений. Зачастую процесс, реализуемый действием
мультипликатора-акселератора, является циклическим с частотой, равной примерно одному радиану в единицу времени.
Если последняя – один год, то период цикла будет более 6 лет.
Пример функции (4.20) представлен на рисунке 4.12.
40 Dk
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
k
100
Рис. 4.12. Вид детерминированной компоненты модели (4.20)
Dk  A  B exp( k )cos ( k    ) при
A  20; B  1;   0,03 ;   0,27;   0,01
Можно показать, модели (4.20) соответствует при k  3 ARMAмодель третьего порядка:
Yk  1Yk 1  12Yk 2  2Yk 3   k ,
(4.21)
где 1  2exp()Cos  1, 2  exp(2),  k – «новая» стохастическая
компонента, образованная из уровней  k так же, как и Yk в (4.21).
Использование базиса Гребнера, приема прореживания выборки
для компенсации автокорреляции  k позволят определить МНК-оценки
1 , 2 , а затем, с учетом обозначений в (4.21), найти и   ,   .
Подставляя найденные оценки   ,   в (4.20), из нормальной
СЛАУ третьего порядка, соответствующей МНК-идентификации модели:
Yk  A  B Cos exp( k )Cos  k   B Sin exp( k )Sin  k    k
найдем A , B ,  .
277
Еще одной широко используемой в практике экономических исследований моделью является зависимость спроса Yk от дохода и цены
потребительского блага с учетом инерции потребителей [23]:
Yk  D exp(1k  )cos (1k    1 )   k .
(4.22)
Цена предполагается в (4.22) неизменной, и исследуется инерция
потребителей, проявляющаяся в запаздывании реакции на изменение
дохода.
Вид функции (4.22) представлен на рисунке 4.13.
16
Dk
8
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
k
100
-8
-16
Рис. 4.13. Вид детерминированной компоненты модели (4.22) при
D  18; 1  0,18; 1  5,9;  1  1, 2
С учетом уже представленных выше результатов для модели (4.20)
идентификация (4.22) очевидна, она даже проще.
Если период гармоники сезонной компоненты известен, то целесообразно для идентификации трендов и/или анализа стохастического
остатка  k сформировать из отсчётов «гармонические разности» суммы
отсчётов, разнесенных на половину периода гармонической составляющей. Этим приёмом знакопротивоположные отсчёты и гармонические
компоненты будут исключены.
В практике прогнозирования и планирования макроэкономические
модели используются преимущественно на начальной стадии оценок
возможных темпов экономического развития, оптимального соотношения потребления и накопления, взаимодействия основных факторов в
процессах воспроизводства, влияния научно-технического прогресса на
динамику, эффективность и интенсификацию производства и т.д.
278
В настоящее время переходят от эпизодического использования
отдельных относительно простых моделей к созданию интегрированных
моделей и комплексов макроэкономических моделей.
При этом, как правило, совмещаются нормативный и дескриптивный подходы [14], осуществляется эконометрическое моделирование
для оперативной идентификации и коррекции макроэкономических моделей.
При дескриптивном (описательном) подходе модели предназначены для описания, объяснения или прогноза наблюдаемых процессов и
явлений.
При нормативном подходе интересуются не тем, как устроена и
развивается социально-экономическая система, а тем, как она должна
быть устроена и как должна действовать в смысле определенных критериев, например, оптимизационных.
Многие модели (например, на уровне муниципального образования, региона, страны) сочетают признаки дескриптивных и нормативных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель сложной
структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными
дескриптивными моделями.
Выше была показана возможность моделирования и идентификации расширенного воспроизводства при отсутствии лага между производственным накоплением и приростом дохода, при пропорциональности производственного накопления приросту дохода на тот же момент
времени, нулевом, постоянном или экспоненциальным с непрерывным
темпом приросте потребления.
Для моделирования реально имеющегося на практике лага между
производственным накоплением и приростом дохода [14] показателями
выпуска продукции и приростом производственных фондов вводят в
модель расширенного воспроизводства два запаздывания первого порядка [23]. Одно соответствует формированию вложений как фиксированной части конечного продукта, другое – запаздыванию в их освоении, завершающемуся выпуском продукции.
В такой постановке процесс расширенного воспроизводства достаточно хорошо описывается экспоненциальной функцией с положительным показателем, на которую накладывается гармонический цикл с
большим периодом и затухающей амплитудой [23]:
279
Yk  C1 exp(1k )  C2 exp( 2k )cos( k    )   k .
(4.23)
Выражению (4.23), как можно показать, соответствует при k  3
ARMA-модель авторегрессии третьего порядка наблюдений:
Yk  1Yk 1  2Yk 2  3Yk 3   k ,
(4.24)
2
2
где 1  2 2 3  1 , 2   2  2 3 2 1 , 3   1 2 ,
 1  exp(1),  2  exp( 2),  3  2cos , а  k – «новая» стохастиче-
ская компонента той же структуры, что и (4.24), но в уровнях  k .
Дальнейший алгоритм идентификации очевиден: использование
базиса Гребнера для получения МНК-оценок 1, 2 , 3 , расчет МНКоценок 1,  2 , , затем расчет из нормальной СЛАУ третьего порядка
МНК-оценок A1, A2 ,  .
Для отражения встречающейся на практике пропорциональности
колебательной (сезонной или циклической) компоненты уровням тренда
ряда, описываемой обобщенной экспоненциальной функцией, рассмотрим модель;
Yk   A0  A1 exp(1k )1  A2 sin(2k    2 )   k 
 A0  A1 exp(1k )  A0 A2 sin(2k    2 ) 
,
(4.25)
 A1 A2 exp(1k )sin(2k    2 )   k
где стохастическая компонента  k удовлетворяет принятым условиям
Гаусса-Маркова.
Можно показать, что модели (4.25) будет соответствовать при
k  4 следующая ARMA-модель шестого порядка:
Yk  Yk 1  Yk 2  Yk 3  1Yk 1  2Yk 2  3Yk 3 
 4Yk 4  5Yk 5  6Yk 6  k
,
(4.26)
где
1  1  2  12 , 2  2  312  12  122 , 3  1  12  13 
 312  122 , 4  1  12  13  3122  132 , 5  12  23 
 132 , 6  13 , 1  exp(1), 2  2cos2,
 k – «новая» стохастическая компонента, удовлетворяющая принятым
условиям Гаусса-Маркова, имеющая тот же вид, что и Yk , но в уровнях  k .
280
Из анализа таблицы 3.1 можно сделать вывод о возможности применения базиса Гребнера для МНК-оценок 1, 2 модели (4.26) и, соответственно,
1 ,  ,
а также последующего определения МНК-оценок
A0 , A1, A2 ,  2 из нормальной СЛАУ шестого порядка. Чтобы уменьшить
порядок используемой для идентификации нормальной СЛАУ с шестого до
четвертого, тем самым уменьшив вычислительные погрешности, можно
рекомендовать прием параметрической итерационной декомпозиции для
(4.25) на тренд и колебательную компоненту и применение ARMAмоделирования для каждой из них.
Количественный пример моделирования ряда динамики с использованием тренда в виде обобщенной экспоненциальной функции и колебательной компоненты проведем на примере данных официальной статистики населения г.о. Самара. Численность населения в интервале с 1970 г. по
1989 г. росла (рис. 4.14), а во втором (с 1990 по 2009 гг.) она демонстрирует
тенденцию к уменьшению (рис. 4.15) [66]. Выбор модели производился из
набора функций, отвечающих визуальным тенденциям динамического ряда. Некоторые из них выходили за рамки рассмотренных до этого параграфа монографии моделей. Для первого диапазона с 1970 г. по 1989 г. выбор
модели осуществлялся из следующего семейства пяти функций:
1) Yk  C  A0e0k    k ;


  C  A e  1  Asin k        ;
2) Yk  C  A0e0k 1   k  ;
3) Yk
0
0k 
k
4) Yk  C  A0e0k  A1e1k sin 1k  1    k ;
5) Yk  C   B0  B1k   e0k   k .
Результаты моделирования и прогнозирования сведены в таблицу
4.5, а в результате идентификации получены следующие оценки параметров моделей роста населения:
1) Yk  1291,5  268,0e0,110k    k ,
R 2  0,994 ;
2) Yk  1296,8  271,5e0,105k   1   k  ,
R 2  0,994 ;
281
3) Yk  1307,0  276,7e0,097 k   1  0,0063sin  0,473k   3,13    k ,
R 2  0,998 ;
4) Yk  1292,9  265,0e0,108k  12,5e0,067k sin  0,495k   2,83   k ,
R 2  0,999 ;
5) Yk  1260,1   224,5  47,8k   e0,259k   k ,
R 2  0,999 .
282
Таблица 4.5
Результаты моделирования и прогнозирования населения
г.о. Самара с 1970 по 1989 гг.
Модель
Годы
Исходный
1
2
3
4
5
1970
1035,3
1023,5 1025,3 1030,2 1031,7 1035,5
1971
1048,4
1051,4 1052,3 1052,7 1052,8 1049,9
1972
1071,7
1076,4 1076,6 1073,4 1072,5 1069,4
1973
1092
1098,8 1098,5 1093,2 1091,8
1091
1974
1112,6
1118,9 1118,2 1112,4 1111,4 1112,6
1975
1133,5
1136,9
1136
1131,5 1131,2 1133,2
1976
1151,3
1153
1152
1150,1 1150,5
1152
1977
1166
1167,4 1166,4 1167,8 1168,7 1168,9
1978
1178,8
1180,3 1179,4 1183,9 1184,9 1183,7
1979
1203,3
1191,9 1191,1
1198
1198,5 1196,5
1980
1211,9
1202,3 1201,6 1209,4 1209,4 1207,4
1981
1217,5
1211,6 1211,1 1218,2 1217,7 1216,6
1982
1220,2
1219,9 1219,6 1224,7 1223,8 1224,4
1983
1229,8
1227,4 1227,3 1229,3 1228,7 1230,9
1984
1233,6
1234,1 1234,2 1232,9 1232,9 1236,3
1985
1236,7
1240
1240,4 1236,4 1237,1 1240,7
1986
1241,9
1245,4
1246
1240,6 1241,7 1244,4
1987
1247,3
1250,2 1251,1 1245,8 1246,8 1247,4
1988
1253,2
1254,5 1255,6 1252,3 1252,3 1249,8
1989
1257,3
1258,4 1259,7 1259,7 1257,8 1251,8
2
R
0,99416 0,99406 0,99847 0,99866 0,99797
MAPE0,39%
0,38%
0,56%
Прогноз на
0,15% 0,18%
оценка
1 шаг
KT2
0,00103 0,0013 0,00276 0,00264 0,00399
MAPE0,37%
0,47%
0,56%
Прогноз на
0,22% 0,25%
оценка
2 шага
KT2
0,00152 0,00178 0,00292 0,0035 0,00399
MAPE0,44%
0,73%
0,48%
Прогноз на
0,35% 0,44%
оценка
3 шага
KT2
0,00247 0,00311 0,00355 0,00524 0,00367
MAPE0,65%
0,70%
0,51%
1,00% 0,36%
Прогноз на
оценка
4 шага
KT2
0,00456 0,00496 0,00421 0,00725 0,00319
MAPE0,99%
1,07%
0,82%
0,63% 0,28%
Прогноз на
оценка
5 шагов
KT2
0,007 0,00755 0,00658 0,00446 0,00238
283
Объем используемой выборки в данном моделировании был равен
двадцати наблюдениям. Если исходить из точности моделирования, то,
казалось бы, следует выбрать четвертую модель.
Однако лучший прогноз на три шага (года) дала первая модель, а
лучший прогноз на четвертый и пятый шаги дала пятая модель. Исходя
из задачи обеспечения в исследовании высоких показателей точности
моделирования и прогнозирования, можно воспользоваться комплекс-
ным критерием для различных i-моделей MFi  max  Ri2  MAPEi  , причем в MF можно задавать «веса» (важность) точности моделирования и
прогнозирования. Обычно принимают, что сумма весов равна единице.
В данном конкретном случае точность прогноза можно считать более
важной, чем точность моделирования.
Рис. 4.14. Исходный ряд динамики населения г.о. Самара в 1970-1989 гг. и
его моделирование
Погрешность прогнозирования (характеризуемая MAPE-оценкой)
менее 1,07%. Точность моделирования практически одинакова: более 99%
статистических данных объясняются каждой из рассматриваемых моделей.
Можно остановиться на любой модели, например, на простой обобщенной
экспоненциальной модели с аддитивной стохастической компонентой: чем
проще модель, тем обычно больше ее точность на той же выборке. Обращение к простой модели может быть обусловлено и желанием использовать для идентификации возможно более короткие выборки, что позволит
отслеживать эволюцию параметров тренда и колебательной компоненты.
284
Тенденции уменьшения населения г.о. Самара в диапазоне с 1990 г.
по 2009 г. моделировались следующими шестью функциями:
1) Yk  C  A0e 0k    k ;
2) Yk  C  A0e0k   A1 sin 1k  1    k ;
3) Yk  C  A0e0k  A1e1k sin 1k  1    k ;
4) Yk  C   B0  B1k   e0k   k ;
5) Yk  C   B0  B1k   e0k  A1 sin 1k  1    k ;
6) Yk  C   B0  B1k   e0k  A1 sin 1k  1   A2 sin 2k   2    k .
Результаты моделирования и прогнозирования второго диапазона
динамики населения г.о. Самара сведены в таблицу 4.6, а в результате
идентификации получены следующие оценки параметров моделей убыли населения:
0,060 k 
  k , R 2  0,971 ;
1) Yk  1081,2  153,3e
2) Yk  1599,2  381,3e0,012k  10,1sin  0,342k   0,88   k , R 2  0,983 ;
3) Yk  1090,4  143,42e0,066k  11,1e0,092k sin  0,440k   0,63   k ,
R 2  0,983 ;
4) Yk  1119,9  107,0  19,7k   e0,193k   k , R 2  0,982 ;
5) Yk  1128,6  94,1  27,8k   e0,240k  3,4sin 1,596k   0,20    k ,
R 2  0,988 ;
6) Yk  1041,6  191,5  0,043k   e0,043k  4,6sin  0,508k   1,00  
3,5sin 1,272k   1,98    k , R 2  0,987 .
285
Таблица 4.6
Результаты моделирования и прогнозировании населения г.о. Самара
в диапазоне с 1990 по 2014 гг.
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
Исходный
ряд
1225,5
1225,1
1220,2
1212,9
1203,8
1200,7
1191,7
1187,2
1177,8
1170,8
1158,9
1146,4
1157,9
1155,4
1144,2
1133,4
1143,3
1139
1135,4
1134,7
-
R2
Модель
1
2
3
4
5
6
1234,5 1225,7 1227,2 1226,8 1223,3
1226
1225,6
1223
1222,7 1224,3 1227,8 1220,5
1217,2 1219,1 1218,3 1219,4 1220,4 1219,2
1209,3 1213,9 1213,4
1213
1211,7 1215,5
1201,8 1207,7 1207,4 1205,8 1208,3 1206,7
1194,8 1200,4 1200,4 1198,2 1202,1 1197,1
1188,2 1192,5 1192,6 1190,7 1189,3 1191,3
1182
1184,4 1184,4 1183,4 1179,3 1187,6
1176,1 1176,3 1176,2 1176,5 1176,4 1180,6
1170,6 1168,6 1168,6
1170
1171,5 1169,1
1165,4 1161,8 1161,8 1164,1 1160,9 1158,6
1160,5
1156
1156,1 1158,7 1154,1
1154
1155,9 1151,3 1151,6 1153,8 1154,3 1153,5
1151,5 1147,6
1148
1149,5 1151,7 1150,9
1147,4 1144,8 1145,1 1145,6 1143,6 1144,8
1143,6 1142,7 1142,7 1142,2 1139,7 1139,6
1140
1140,8 1140,5 1139,2 1142,1 1139,2
1136,5 1138,7 1138,2 1136,5
1141
1140,3
1133,3 1136,2 1135,8 1134,2 1134,4 1136,9
1130,3 1132,8 1133,1 1132,2 1132,4 1128,1
1127,4 1128,3 1130,3 1130,5 1136,2 1119,7
1124,7 1122,5 1127,3
1129
1135,5 1116,2
1122,2 1115,6 1124,4 1127,7 1129,8 1114,9
1119,8 1107,6 1121,6 1126,5 1129,1 1110,8
1117,6 1098,8 1119,1 1125,6 1133,4 1103,8
0,97053 0,98327 0,98332 0,98179 0,98779 0,98709
0,63%
0,71%
0,52%
0,66%
0,27%
0,27%
Прогноз
на 1 шаг
MAPE
KT2
0,0045
Прогноз
на 2 шага
MAPE
0,66%
Прогноз
на 3 шага
MAPE
Прогноз
на 4 шага
MAPE
Прогноз
на 5 шагов
MAPE
286
KT2
KT2
KT2
KT2
0,00189 0,00503 0,00188 0,00369 0,00467
0,99%
0,80%
0,24%
0,52%
0,39%
0,00478 0,00703 0,00598 0,00177 0,00371 0,00372
1,07%
1,02%
0,60%
0,18%
3,41%
0,28%
0,00769 0,00753 0,00491 0,00135 0,02621 0,00291
1,42%
1,40%
1,84%
0,36%
0,70%
1,64%
0,01025 0,01006 0,01459 0,00266 0,00553 0,01174
1,02%
0,93%
0,00772 0,00712
1,45%
0,27%
0,45%
1,56%
0,0129
0,00275 0,00373 0,01232
Объем используемой выборки в этом случае равен 19-ти наблюдениям. Точность моделирования оказалась высокой для всех моделей:
коэффициент детерминации моделей более 0,97. Если и в этом случае
исходить только из точности моделирования, то следует предпочесть
пятую модель в виде уменьшающейся логистической функции Рамсея и
колебательной гармонической компоненты. Обратим внимание, однако,
на то, что четвертая модель имеет практически постоянную лучшую
точность прогнозирования. Эта «устойчивость» может быть основанием
для предпочтения модели в виде произведения обобщенной экспоненциальной функции и линейной функции.
Рис. 4.15. Исходный ряд динамики населения г.о. Самара в 1990-2009 гг. и
его моделирование четвертой моделью
Наиболее простой моделью вновь является обобщенная экспоненциальная функция (первая модель). Общим свойством всех моделей,
обеспечивающих высокую точность моделирования и прогнозирования,
является то, что они прогнозируют приближение ряда динамики к некоторой асимптоте численности населения.
Для сравнения отметим, что использование стандартной программы Excel позволяет идентифицировать ряд динамики известным способом (при предположении мультипликативной структуры стохастической компоненты  k с логнормальным законом распределения, выполнении операции логарифмирования, применении затем МНК для получаемой линейной регрессии), т.е. экспоненциальную модель
Yk  A1 exp(1k ) k .
287
При уже указанных выше искусственных предположениях о таком
законе распределения стохастической компоненты показатель точности
моделирования известным методом оказался существенно ниже:
R2  0,78.
Важнее даже другое: предложенные модели и методы их идентификации дали возможность определения асимптоты, к которой число
жителей будет стремиться, и учета присутствующей колебательной
компоненты в уровнях ряда, которые при применении известного метода отсутствуют.
Проведенное моделирование показало, что при краткосрочном
прогнозе динамика численности жителей г.о. Самара отрицательна.
Аналогичные выводы можно сделать и в результате анализа динамики
числа постоянных жителей отдельных районов г.о. Самара. При моделировании динамики числа жителей районов использовалась меньшая
выборка, так как для 2000, 2001, 2002 гг. имеются статистические данные по районам только всех жителей, а не постоянных (прописанных).
Экспоненциальная тенденция их уменьшения сохраняется, асимптоты, к
которым эти числа стремятся, найдены. Нет сколько-нибудь значительного «перетекания» жителей из одного района в другие, нет аномальной
динамики числа в каком-то районе.
Рассмотрены и более простые модели, чем использованные выше,
но мультипликативные по отношению к колебательной компоненте и
учитывающие эволюцию ее амплитуды.
Моделирование в рядах динамики колебательной компоненты,
пропорциональной обобщенному экспоненциальному тренду


Yk  C  A0e0k  1  Asin k        k ,
дало следующий результат:


Yk  1097,8  121,8e 0,129  1  0,003sin  0,886k   1,57     k .
При этом коэффициент детерминации оказался равным 0,99921, а
MAPE-оценка прогноза на один шаг вперед - 0,05%, второй коэффициент Тейла 0,03%. MAPE-оценка прогноза на два шага вперед оказалась
равной 0,06%, второй коэффициент Тейла - 0,04%. MAPE-оценка прогноза на три шага вперед равна 0,05%, а второй коэффициент Тейла –
0,03%. Для четырех шагов вперед получим оценку точности прогнозирования 0,04% и 0,03%, на пять – 0,038% и 0,031% соответственно.
288
Моделирование численности населения в виде суммы обобщенной
показательной функции и колебательной компоненты с эволюцией амплитуды по показательному закону:
Yk  C  A0e0k   A1e1k  sin 1k  1    k
дало следующий результат:
Yk  1130,5  129,7e0,326k  37,0e0,348k sin  0,665k   1,63   k
с коэффициентом детерминации 0,99961.
MAPE-оценка прогноза на один шаг вперед оказалась равной
0,04%, а второй коэффициент Тейла – 0,038%; MAPE-оценка прогноза
на два шага вперед равна 0,034%; второй коэффициент Тейла – 0,025%.
MAPE-оценка прогноза на три шага вперед - 0,032%, а второй коэффициент Тейла - 0,023%, на четыре шага вперед получим 0,037% и 0,028%,
на пять – 0,034% и 0,026%.
На рисунке 4.16 представлены абсолютные ошибки трех предложенных моделей для исходного ряда.
Ошибка 1
Ошибка 2
Ошибка 3
Рис. 4.16. Абсолютные ошибки моделирования динамики
населения г.о. Самара
На рисунке 4.17 представлены графики MAPE-ошибок прогноза
численности населения в абсолютных единицах, а на рисунке 4.18 –
графики ошибки прогноза по второму коэффициенту Тейла в абсолютных единицах.
289
Рис. 4.17. Графики MAPE-ошибок прогноза численности населения
Рис. 4.18. Графики ошибки прогноза численности населения по второму
коэффициенту Тейла
Очевидны преимущества моделирования и прогнозирования
численности населения г.о. Самара моделями с учетом эволюционирующей колебательной компоненты в анализируемом ряде динамики
(второй и третьей моделями).
Сравнение их между собой показывает, что они имеют практически одинаковую точность и сложность идентификации, подчеркнем,
на весьма малых выборках (в сравнении с приведенными выше и с известными методами) в 10 наблюдений.
Из всех полученных результатов вытекает важное управленческое решение о том, что инвестиции в ЖКХ г.о. Самара, во всяком
случае, на период до 2015 г., целесообразны для поддержания существующей инфраструктуры (не для ее экстенсивного развития) и,
главное, для ее дальнейшей модернизации в целях бесперебойного
жизнеобеспечения населения с предоставлением услуг высокого качества.
290
ГЛАВА 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРОДУКТА И СОЦИАЛЬНОЙ
ДИНАМИКИ
5.1. Выбор метода идентификации логистической
динамики моделью Верхулста
Из почти пятидесяти приведенных во второй главе монографии
известных моделей логистической динамики показателя Yk наиболее
распространенной до настоящего времени можно считать симметричную модель Верхулста (ее называют часто классической):
Yk 
A0
 k.
1  A1e  k 
(5.1)
Для стохастической компоненты  k в (5.1) будем считать справедливыми принятые условия Гаусса-Маркова.
Все известные методы идентификации модели Верхулста основываются на применении тех или иных преобразований модели тренда,
приводящих к моделям, линейным по параметрам.
До настоящего времени не решена задача сравнения точности моделирования и прогнозирования методов идентификации модели (5.1) в
динамическом диапазоне сочетаний параметров модели, при различных
соотношениях мощности помехи  k и полезного сигнала.
Не выдерживает критики распространенный до настоящего времени метод идентификации модели (5.1), который заключается в переходе
к обратным значениям уровней ряда. При этом предполагается, что стохастическая компонента  k находится в знаменателе модели тренда и
имеет логарифмически нормальное распределение. Считая априори известным уровень насыщения A0 , осуществляют операцию логарифмирования для приведения модели к парной регрессии с нормальным законом распределения помехи ln  k :
Yk 
A0
,
1  A1e  k  k
A

A0
 1  A1e k  k  ln  0  1  ln A1   k   ln  k .
Yk
 Yk

291
Недостатки данного метода: используются «удобные» предположения о знании A0 , мультипликативности структуры взаимодействия
стохастической компоненты  k с A1e k  , о логнормальности ее закона
распределения, нарушено условие Гаусса-Маркова о центрированности
 k . Добавим, что МНК минимизирует в этом случае другую среднеквадратическую невязку на логарифмах наблюдений.
Обратимся теперь к анализу других известных методов идентификации модели (5.1).
В известном методе трех сумм исходный ряд динамики разбивается на три равных отрезка, затем вычисляются суммы значений ряда
внутри каждого из этих трех отрезков и определяются разности этих
сумм [69]. Параметры модели оцениваются по формулам:
 
1  1
1
 ln 

m   1Yk  2 Yk

 1

1

  ln 

  Yk  Yk

3
 2

 ,


где m – длина отрезка;
1
2

 1
 
1



 

 1
Y
Y  




1 k
2 k 
A0  m  

 ,

 1Yk  1

1




  Yk  Yk  

3
 1
 

 1
1
A0 

  Yk  Yk

2
A1   1
 1
1 



  Yk  Yk 
3
 1

2



 
 1 e


.

1  me



Методы Фишера и Готеллинга [69] предполагают использование
dY
Y 2
 Y 
дифференциального уравнения логистической функции:
.
dk
A0
В обоих методах используются приближения расчета производной.
Метод Фишера использует приближенное вычисление темпов
прироста:
292
2

N 

dY 1 1 Yk 1  
1 Yk 1
 
  ln
   BYk 1  , A0   ;
,  , B  arg min   ln
dk Yk 2 Yk 1
B
 , B k 1  2 Yk 1

где N – объем выборки.
Метод Готеллинга реализует следующее приближение:
dY Y

 Yk  Yk 1 .
dk k
В
частности,
для
метода
Готеллинга
будем
иметь:
Yk 2
Yk  Yk 
 k , где  k – «новая» (не равная  k в (5.1)) стохастичеA0
ская компонента. Оценки параметров  , B находятся с помощью МНК:
N

 , B  arg min  Yk  Yk 1  Yk 1 


 ,B
k 1
BYk 12
,
2
A0

 .
B
Метод Юла использует регрессию темпов прироста
Yk 1  Yk
на
Yk
Yk 1 :
Yk 1  Yk
e  1

 e
1 
Yk 1  k ,
Yk
A0


где  k – «новая» стохастическая компонента.
Нелинейно входящие в уравнение параметры заменяют линейными e

e  1
 1  Q,
 P и применяют МНК:
A0
2
N 1

Y Y
Q , P  arg min   k 1 k  Q  PYk 1  .
Yk
Q, P k 1 



Метод Родса [69] использует взятие разности между соседними
обратными значениями ряда, а идентификацию осуществляет относи1 e  

тельно параметров
иe
 
A0

:
293
1 e  


e 
 
1
 
Yk 1
A0
1
 k ,
Yk
где  k – «новая» стохастическая компонента.
Метод Нейра основан на идентификации параметров регрессии
разности соседних обратных значений ряда на их сумму, а решение
e  1 2
e  1
осуществляет относительно параметров 
и   :
e  1 A0
e
1
1 e   1 2 e  1  1
1
  

 


Yk 1 Yk e
 1 A0 e
 1  Yk 1 Yk
1

  k ,

где  k – «новая» стохастическая компонента.
Все перечисленные методы предполагают последовательное вычисление оценок параметров модели: на первом этапе производится
расчет оценок параметров   , A0 , а на втором этапе находят оценки параметра A1 .
В работах [64, 69] предлагается оценивать значение параметра A1
методом моментов (
A

A0
 1  A1e  k  , ln A1   k   ln  0  1 ), а затем исYk
 Yk

кать средние значения:
N
 ln A1
k 1
N
N

 k 
k 1
N

N
A

k 1
 k
N
 , что, с учетом
 ln  Y0  1
N
k 
k 1
N ( N  1)
, дает
2
оценку:
A1
 1   N ( N  1) N  A   
 exp  
  ln  0  1   .


N
2
k 1  Yk
  
 
Однако при наличии в выборке значений, превышающих найденную оценку уровня насыщения логистической кривой A0 , метод моментов становится уже неработоспособным, поскольку возникает отрицательное число под знаком логарифма.
294
Все предыдущие методы предполагают аддитивное «включение» в
модель стохастической компоненты, отвечающей принятым условиям
Гаусса-Маркова, уже после проведения линеаризующих преобразований, что следует считать «удобным» приемом, но не корректным.
Казалось бы, оценка параметра A1 может быть найдена и с помощью перехода к обратным значениям уровней ряда и применения МНК:
2
 k  

1
1
e
A1  arg min      A1
 .
 

Y
A
A
A1
k 1  k
0
0 
N
Однако нужно учитывать, что в этом случае получим гетероскедастическую стохастическую компоненту в модели:


A0   k 1  A1e  k 
1
1  A1e  k 
A0

Yk 
 k 
,
.
Yk A0   k 1  A1e  k 
1  A1e  k 
1  A1e  k 




 k 1  A1e k 
1 1  A1e k 

 k , k  
.
Yk
A0
A0Yk
Для компенсации гетероскедастичности и, соответственно,
уменьшения неэффективности оценок параметров модели можно рассмотреть возможности использования метода ARMA-моделирования.
Для его реализации осуществим замену переменных модели
A
1
A0 
, A1  10 , сконструируем разностную схему (при k  2 ) детерA00
A00
минированной части модели:
Dk   ( Dk 1  Dk 2 )  Dk 1 ,
где   e  , Dk – детерминированная часть модели ( Dk  A00  A10e  k  ).
Первый метод реализации этого метода (назовем его ARMA I)
1
учитывает соотношение Dk   k и приводит к следующей модели
Yk
авторегрессии:
1
 Gk    Gk 1  Gk 2   Gk 1   k ,
Yk
295
где  k  k  k 1   (k 2  k 1 ) - гетероскедастическая стохастическая
компонента.
Оценка параметра  (или параметра  ) находится с помощью
взвешенного МНК для компенсации гетероскедастичности.
В качестве оценок весов wk можно, во-первых, использовать сами
уровни ряда динамики Gk2 , если величины помехи малы по сравнению с
уровнями ряда. Или, во-вторых, реализовывать взвешенный МНК в два
этапа: на первом модель идентифицируется с помощью МНК, а на втором этапе полученные оценки Dk используются в качестве весов. Третий способ задания весов включает использование какого-либо метода
непараметрического сглаживания: вначале оцениваются значения
 k  Yk  Yk , где Yk – полученные сглаженные значения ряда. Затем по
соседним m точкам строится ряд оценок дисперсии  k . Заметим, в качестве недостатка, что при этом теряются ( m  1 ) значения ряда:
2

1 m1
1 m1
Sk 
 k i   k i  .

m  1 i 0 
m i 0

После этого полученные оценки дисперсии используются в качестве весов wk :
n
2
1
G    Gk 1  Gk 2   Gk 1  .
2 k
k 2 wk
  arg min 


Второй метод (его назовем ARMA II) учитывает соотношение
1
Dk 
:
Yk   k
Yk 1  Yk Yk 2   Yk 2  Yk 1 Yk  Yk 1 k 2  Yk 2 k 1 
 k 1 k 2   k   k 1   k 2  ,
а затем через МНК позволяет найти:
Y  Y  Y 
1 
   arg min  2  Yk 1  Yk    k 2 k 1 k  .
Yk 2

 k 2 wk 
n
296
2
Второй этап идентификации для обоих ARMA-методов одинаков:
находятся оценки параметров A00 , A10 с помощью взвешенного МНК, а
затем вычисляются МНК-оценки параметров A0 , A1 :


A00
, A10

N

1
 arg min  2 Dk  A00  A10e  k 
A00 , A10 k 1 wk
.
2
Отметим, что модель (5.1) также может быть также идентифицирована с помощью численного решения МНК, например, методом Левенберга-Марквардта [9].
Постановка задачи идентификации в этом случае выглядит так:
найти такое значение вектора параметров модели  , которое бы определило локальный минимум функции ошибки E :
N
E   Yk  f    ,
2
k 1
где f   – регрессионная модель.
Перед началом работы алгоритма следует задать начальный вектор
параметров  . Затем на каждом шаге итерации начальный вектор заменяется на новый вектор    . Чтобы найти значение  , нужно решать систему линейных уравнений:


  J T J   diag J T J

1
J T Y  f    ,
где J – якобиан функции f   в точке  ,   0 – параметр регуляризации, назначаемый на каждой итерации алгоритма.
Проведем теперь количественное исследование точности моделирования и прогнозирования для модели Верхулста (5.1) девятью последними методами: Фишера, Готеллинга, Юла, Родса, Нейра, трех
сумм, ARMA I, ARMA II и методом Левенберга-Марквардта.
Объем тестовых выборок логистического тренда для осуществления возможности мониторинга моделей будем назначать достаточно
малым, например, 24, 36, 48.
Соотношение мощностей помехи и полезного сигнала K n / s варьировалось от 0 до 0,3 с шагом 0,05.
297
Для каждого из девяти сравниваемых методов генерировались
13 440 выборок и рассчитывались значения оценок параметров и меры
точности: качество моделирования оценивалось с помощью коэффициента детерминации R 2 , а качество прогнозирования – MAPE-оценкой.
Была рассмотрена и точность оценивания отдельных параметров
модели: смещение, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации оценок параметров.
Для этого было сгенерировано 10 000 выборок объемом 36 наблюдений, глубина (горизонт) прогноза назначалась в 12 наблюдений, а коэффициент «шум/сигнал» был принят в 10%.
Значения параметров модели, использованные при генерации тестовых выборок, а также полученные при использовании различных методов идентификации оценки параметров, характеристики точности моделирования и прогнозирования представлены в таблицах 5.1 и 5.2.
В результате исследований получены близкие результаты по точности для методов Фишера и Готеллинга, ARMA I и ARMA II. Оказалось, что методы Фишера и Готеллинга используют приближенные вычисления производных функции, обладающие низкой точностью в
условиях зашумленности выборки, а качество идентификации модели
для всех аналитических методов существенно зависит от наборов исходных данных.
Применение взвешенного МНК в методах ARMA I и ARMA II не
улучшило существенно качество идентификации.
Результаты идентификации для методов Родса, Юла и Нейра не
приводятся, поскольку они не дали удовлетворительного результата даже в случае добавления шума, мощность которого не превышает 5% от
мощности полезного сигнала: полученные с помощью данных методов
модели объясняют менее 10% исходных данных.
Таблица 5.1
Значения параметров модели, использованные при
генерации тестовых выборок
Параметр Минимальное значение Максимальное значение Шаг
298
A0
50
100
50
A1
50
200
50

0,1
0,8
0,1
Таблица 5.2
Результаты исследования качества оценивания
отдельных параметров модели
Параметр
Истинное значение
Математическое ожидание
Среднеквадратическое
отклонение
Коэффициент вариации
Истинное значение
Математическое ожидание
Среднеквадратическое
отклонение
Коэффициент вариации
A0
A1
Метод Готеллинга
50
50

R2
MAPE
0,3
0,9082
0,1016
47,1300
134,4400
0,4654
0,6717
0,1093
1,3398
889,8900
0,1125
0,1793
0,0285
0,0284
6,6193
0,2417
0,2670
0,2607
0,3
0,90842
0,10202
Метод трех сумм
50
50
49,4240
267,5400
0,3228
0,9020
0,1050
1,7138
4972,0000
0,0788
0,0159
0,0297
0,0347
18,5840
0,2441
0,0177
0,2833
Истинное значение
0,3
Математическое ожи56,6130
109,5400
0,2094
дание
Среднеквадратическое
576,0500
1356,3000
0,2326
отклонение
Коэффициент вариа10,1750
12,3830
1,1106
ции
Метод Левенберга-Марквардта
Истинное значение
50
50
0,3
Математическое ожи50,4380
47,7970
0,2831
дание
Среднеквадратическое
1,4700
42,0710
0,0461
отклонение
Коэффициент вариа0,0291
0,8802
0,1630
ции
0,9082
0,1019
0,5635
0,3125
0,3114
0,3365
0,5527
1,0768
0,908
0,10114
0,9146
0,1050
0,0097
0,0311
0,0106
0,2959
Метод ARMA II
50
50
Анализ полученных результатов показывает, что только метод Левенберга-Марквардта в рассмотренном достаточно широком динамическом диапазоне значений параметров до соотношения мощности помехи
в 30% от мощности полезного сигнала дает приемлемый результат по
точности моделирования и прогнозирования.
299
5.2. Моделирование жизненного цикла продукта типа
«фетиш» моделью Верхулста
При анализе ЖЦП обычно выделяют 4 стадии: внедрение на рынок, рост, насыщение и упадок. Одной из наиболее трудной для идентификации моделей ЖЦП является «фетиш», в которой продукт
(например, новогодние товары, компьютерные игры и др.) очень быстро
(на коротких выборках) достигает пика популярности (продаж) и также
быстро переходит в стадию упадка.
Целесообразно в этом (да и во многих других случаях) отражать
динамику уровней таких циклов (например, продаж или спроса) путем
перехода от импульсной модели к кумулятивной (накопленной) логистической модели.
В качестве примера рассмотрен жизненный цикл продуктов компании Electronic Arts (EA), которая является разработчиком компьютерных видеоигр, в частности, популярной серии «Need For Speed». Использована статистика индекса поисковых запросов (SVI, Search Volume
Index) сервиса Google [94].
Кумулятивные данные статистики модели жизненного цикла продуктов типа «фетиш» в обоих случаях могут быть описаны трендом
Верхулста. Исследования, однако, показали, что более точную идентификацию дает расширение модели Верхулста: суммированием тренда
Верхулста с дополнительным линейным трендом:
Yk 
A0
 C0  C1k    k .
1  A1e  k 
Однако для идентификации этой модели приведенные выше методы напрямую не могут быть применены. Этот факт потребовал обращения к методу параметрической итерационной декомпозиции [59].
На первой итерации тренд Верхулста был выделен с помощью метода Левенберга-Марквардта, а на второй итерации, после вычитания из
Yk уровней тренда Верхулста, идентифицировался линейный тренд с
помощью МНК. Глубина прогноза в обоих случаях назначалась в одну
треть от объема выборок.
300
Помесячные данные статистики, а также кумулятивные данные и
результаты моделирования и прогнозирования представлены в таблице
5.3 и на рисунке 5.1.
Таблица 5.3
Результаты моделирования и прогнозирования
жизненного цикла продукции компании EA
а)
Модель
NFS Pro Street
1,04
Yk 

1  83437e 1,6 k 
0,06  0,08k    k
NFS Undercover
1,3
Yk 

1  14534e1,9k 
0,11  0,13k    k
R2
MAPE
0,99
2,71%
0,99
1,68%
б)
Рис. 5.1. Данные статистики поисковых запросов на продукцию компании EA
и результаты моделирования и прогнозирования ее жизненного цикла:
NFS ProStreet (а) и NFS Undercover (б)
Видим высокие показатели точности моделирования и прогнозирования рассмотренной модели жизненного цикла продукта типа «фетиш» предложенным обобщением модели Верхулста.
301
5.3. ARMA-моделирование уровня годовой добычи нефти из
пласта для оценки геологического риска инвестиций в
нефтегазодобывающей промышленности
Инвестиции – вложение капитала в объекты предпринимательской
и иной деятельности с целью получения прибыли или достижения положительного социального эффекта. Такое вложение связано с прогнозированием условий реализации инвестиционного проекта, неизбежно
содержащих некую долю неопределенности, которая заключается в неполноте или неточности информации о внутренних и внешних условиях
реализации проекта.
Какие-то изменения внешней среды являются несущественными,
другие же сильно влияют на целевые показатели проекта. Существенные изменения внешней среды требуют отдельного изучения, поскольку
подвергают проект опасности прекращения или существенной корректировки. Такие изменения обычно трактуются как риск.
Основные риски в нефтегазодобывающей промышленности связаны с рисками снижения выручки от реализации продукта – как в связи
со значительными отклонениями объема добычи продукции от прогнозных значений, так и в связи с высокой волантильностью цены на нефтепродукты. Будем рассматривать оценку геологического риска: отклонения уровня добычи от его прогнозного значения. Мерой риска может
быть дисперсия объема добычи продукции вокруг ожидаемой средней
величины.
Для количественной оценки влияния того или иного мероприятия
на повышение нефтеотдачи группы скважин, пластов и, в целом, месторождения, прогнозирования значений параметров разработки на определенный интервал времени можно подобрать показатели разработки в
виде определенных зависимостей. Например, кривые уровня добычи
нефти по годам имеют, как правило, один максимум: подъем добычи на
первом этапе разработки месторождения, максимум на втором этапе и
длинный, достаточно пологий спад добычи на третьем и четвертом этапах разработки.
Для сравнения альтернативных вариантов с различной доходностью принято использовать относительный показатель риска: отношение среднеквадратического отклонения показателя экономической эф302
фективности инвестиций к ожидаемой средней величины показателя
(математического ожидания) – коэффициент вариации ( CV ) [1, 2]:
CV 

Pcp
,
(5.2)
где Pcp – среднее ожидаемое значение показателя эффективности проекта (математическое ожидание).
Модели уровней Yk рядов наблюдений добычи нефти описывают,
например, моделями:
2
YkStepenExp  A1e 1k   k  
YkDrobnRatz

1
A1  k  
2
A2  A3  k  
 k , ,
(5.3)
 k ,
(5.4)
где 1, 2 , A1, A2 , A3 – параметры модели (в общем случае нецелочисленные).
Напомним, что во второй главе монографии функции (5.3) и (5.4)
использовались в качестве моделей ЖЦП.
Идентификация параметров моделей (5.3) и (5.4) осуществляется
обычно нелинейным МНК, использующим численные методы, которые
существенно зависят от выбора начальной точки и шага, могут выйти на
локальный экстремум функции потерь и даже – привести к несостоятельности оценок параметров моделей [6].
Как показали расчеты, в большинстве случаев ни одна из указанных моделей не позволяет обеспечить высокой точности (коэффициент
детерминации обычно не превышает 0,5). Особенно велико расхождение между уровнями реальных данных и моделей в области больших
значений аргумента, которые наиболее важны при оценке геологического риска инвестиций.
Сформулируем требования к модели для рассмотрения возможности предложения других выражений.
Она, во-первых, должна с высокой точностью описывать динамику объемов добычи нефти, в том числе при больших значениях аргумента. При этом количество параметров модели должно быть достаточ303
но велико, чтобы передать возможное многообразие моделируемого параметра для разных скважин.
Во-вторых, логично предполагать, что стохастическая компонента
в модели будет удовлетворять принятым условиям Гаусса-Маркова.
В-третьих, идентификация должна, по возможности, реализовываться на малых выборках – длительность добычи, как правило, не превышает двадцати – сорока лет.
Исследования показали, что указанным требованиям отвечает модель:
Ykn stepen  Tn  A1, A2 ,..., An1, k    e1k  An2   k ,
(5.5)
где Tn  A1, A2 ,..., An1, k    A1  k  n  A2  k  n1  ...  Ank   An1 – алгебраический многочлен степени n ,  k – стохастическая компонента.
Выбор выражения (5.5) был продиктован и желанием использовать известные результаты МНК-идентификации ARMA-моделей для
близкого класса функций с высокой точностью и на малых выборках
[57].
Идентификацию будем как всегда реализовывать в два этапа: на
первом этапе сконструируем ARMA-модель и применим МНК для
оценки нелинейного параметра модели 1 , а на втором этапе, с использованием полученной МНК-оценки 1 , осуществим МНК-оценку других оставшихся линейных параметров Ai , i  1, 2,..., n  2 .
Продемонстрируем предложенный метод моделирования на примере шести пластов Турнейского яруса месторождения Самарской области. Для построения модели (5.5) рассмотрим возможность использования многочленов Tn от первой до пятой степени.
Для трендов первого пласта были получены следующие модели и
соответствующие значения коэффициентов детерминации:
Yk1stepen  135,187k   250,367  e0,22241k   134,52 ,
R12stepen  0,70498 ;


Yk2 stepen  28,378(k )2  20,594k   113,777 e 0,25106 k   101,0136,
R22stepen  0,90932 ;
304


Yk3stepen  20,13168(k )3  53,633(k )2  1,033k   123,093 e 0,43127 k  
 125,643,
R32stepen  0,94692 ;


Yk4 stepen  5,942(k )4  20,399(k )3  42,933(k ) 2  94,725k   125,572 
 e0,53691ti  129,402,
R42stepen  0,94315 ;

Yk5stepen  15,633(k )5  165,437(k ) 4  682,619( k )3  1144,757( k ) 2 
 487,313k   134,560  e0,78122k   138,122.
R52stepen  0,92206 .
На рисунке 5.2 представлены графические результаты идентификации истории добычи нефти рассмотренным семейством моделей (5.5).
Можно сделать вывод, что функции на базе многочленов 3 и 4 степеней
в большей мере подходят для моделирования истории добычи нефти.
При этом модель третьей степени проще в реализации, а ее
коэффициент детерминации оказался даже больше, чем в полиноме
четвертой степени, поэтому ей и отдадим предпочтение.
Yi
Yi
350
350
Y5i stepen
Y2i stepen
300 Y1i stepen
300
250
250
Y3i stepen
200
200
150
150
100
100
50
50
a)
0
5
10
15
20
25
30
35 t
i
б)
Y4i stepen
0
5
10
15
20
25
30
35 t
i
Рис. 5.2. Описание уровня годовой добычи нефти из пласта моделями на базе
многочленов: а) 1 и 2 степени, б) 3 (пунктир), 4 и 5 степеней
305
Покажем решение для случая использования в (5.5) полинома
третьего порядка с параметрами 1 , A1, A2 , A3 , A4 , A5 :


Yk  A1  k    A2  k    A3  k    A4 e 1k   A5   k .
3
2
(5.6)
Динамической модели (5.6) соответствует при k  4 ARMA-модель
четвертого порядка:
Yk  Yk 5  Yk 4  14  4 Yk 3  Yk 4  13 
 6 Yk 3  Yk 2  12  4 Yi 1  Yi 2  1  Yk 1   k ,
(5.7)
где 1  e1 ,  k – «новая» автокоррелированная стохастическая компонента того же вида, что и (5.7), но в уровнях  k .
Для (5.7) нормальное уравнение реализации МНК для поиска 1
примет вид полиномиального уравнения с одним неизвестным:
l117  l2 16  l315  l4 14  l5 13  l6 12  l7 1  l8  0 ,
(5.8)
где
N
l1   4 Yk25  2Yk 4Yk 5  Yk24 ,
k 6
N
l2   28 Yk 5Yk 3  Yk 5Yk 4  Yk 4Yk 3  Yk24 ,
k 6
N
l3  12  11Yk 4Yk 3  4Yk24  4Yk23  3Yk 5Yk 2  3Yk 5Yk 3  3Yk 4Yk 2 ,
k 6
N
l4   20 6Yk23  Yk 1Yk 5  7Yk 4Yk 2  Yk 5Yk 2  6Yk 3Yk 2 
k 6
Yk 1Yk 4  6Yk 4Yk 3  ,
N
l5   4  52Yk 3Yk 2  18Yk23  Yk 1Yk 5  17Yk 1Yk 4  16Yk 4Yk 2 
k 6
16Yk 1Yk 3  YkYk 5  YkYk 4  18Yk22  ,
306
N
l6  12  6Yk 3Yk 2  6Yk22  YkYk 4  6Yk 1Yk 4  7Yk 1Yk 3
k 6
 6Yk 1Yk 2  YkYk 3  ,
N
l7   4  11Yk 1Yk 2  4Yk22  3Yk 1Yk 3  4Yk22  3YkYk 3  3YkYk 2  ,
k 6
N
l8   4 YkYk 2  Yk21  Yk 1Yk 2  YkYk 1 .
k 6
После компенсации автокоррелированности и решения уравнения
(5.8) с относительно МНК-оценки 1 можно осуществить расчет
1
1   ln 1 .

Численное решение алгебраического уравнения (5.8) может быть
осуществлено с высокой точностью несколькими способами, не вызывая затруднений, характерных для решения трансцендентного уравнения в случае применения модели (5.3).
Второй этап МНК-оценки параметров A1, A2 ,..., An 2 очевиден и потребует решения нормальной СЛАУ пятого порядка.
Рассчитанный предложенным методом геологический риск падения добычи нефти для пластов Турнейского яруса шести месторождений составил 14% со среднеквадратичным отклонением 6%. Отдельные
показатели CV оказались равными 11,43%; 15,18%; 26,09%; 12,41%;
9,58%; 10,46%.
Хорошее согласование уровня геологического риска для шести
месторождений позволяет предполагать возможность распространения
данного уровня геологического риска и на другие пласты Турнейского
яруса.
Исследуя влияние количества геологоразведочных скважин на величину геологического риска, можно сделать вывод, что с ростом количества исследуемых бурением структур от двух до полного исследования участка геологический риск снижается с 78% до 18%.
Поскольку оценка геологического риска пластов Турнейского яруса проводилась на основе уровней добычи месторождений, эксплуатируемых многие годы, можно считать, что полученные выше значения
307
CV соответствуют величине геологического риска 18% при полном исследовании нефтеносного участка.
Проекты с риском уровня 15% относятся обычно к низкорисковым. Используя такую классификацию можно считать, что дальнейшая
разработка месторождения носит низкорисковый характер.
5.4. Идентификация моделей ЖЦП на основе суммы
экспонент и колебательных компонент
В общем случае требуется подбирать модель динамики для всех
этапов эволюции сбыта (жизненного цикла продукции), но интерес могут представлять и модели отдельных этапов эволюции: например, роста или спада.
Моделирование ЖЦП является актуальной и далеко не простой
задачей в силу сложности и нелинейности применяемых аналитических
выражений, а также необходимости использования зачастую малых выборок для «молодых» (инновационных) процессов.
При этом исследования по их возможной области применения (по
динамическому диапазону параметров моделей и по помехоустойчивости методов их идентификации), а также по моделированию в уровнях
ряда колебательной компоненты, часто фиксируемой в соответствующих временных рядах, отсутствуют.
Начнем с того, что ЖЦП во многих приложениях может быть описан довольно простой моделью: трендом из сумм двух экспонент и стохастической компоненты  k :
Yk  C1e1k   C2e 2k    k ,
(5.9)
где стохастическая компонента  k удовлетворяет принятым условиям
Гаусса-Маркова.
При предложении модели (5.9) исходили из предпосылки, что одна из экспонент модели уровней ряда Yk , например, Yk1  C1e1k  , формирует в большей мере тренд кривой жизненного цикла на этапе роста, а
другая ( Yk2  C2e 2k  ) – на этапе спада (рис. 5.3).
308
1500
Sales
Y2k =C2e2k
1000
500
0
Yk=Y1k +Y2k
-500
Y1k =C1e1k
-1000
-1500
2
4
6
8
t
Рис. 5.3. Иллюстрация моделирования жизненного цикла продаж
автомобилей Мустанг (тыс. шт.) моделью (5.9)
ЖЦП описывает и более сложный комплекс моделей:
Yk   C1  D1k   e1k   C2  D2k   e2k   k ,
Yk  С1e1k   С2e 2k   С1e1k   A1 sin 1k    B1 cos 1k    
 С2e 2k   A2 sin 2k    B2 cos 2k      k ,
Yk  С1e1k   С1e1k   A1 sin 1k    B1 cos 1k    
 A2 sin 2k    B2 cos 2k     k ,
Yk  D1  D2k   e1k   A1 sin 1k    B1 cos 1k    
 A2 sin 2k    B2 cos 2k     k ,
Yk  D1  D2k   D3  k    e1k   A1 sin 1k    B1 cos 1k    
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.13)
2
 A2 sin 2k    B2 cos 2k     k .
(5.14)
Отметим, что (5.11), (5.12), (5.13) и (5.14) могут, в зависимости от
конкретных приложений, моделировать колебательные компоненты
временного ряда жизненного цикла сезонными гармониками с некратными частотами, а также применяться к задаче моделирования экономических циклов, рассмотренных, например, в работе [98].
Модели (5.9) и (5.10) можно рассматривать как развитие известных моделей [82, 100], а (5.5) – как расширение модели Рамсея (2.33).
309
Идентификация модели (5.5) показана в предыдущем параграфе, а
моделям (5.9) (при k  2 ) и (5.10) (при k  4 ) соответствуют ARMAмодели второго и четвертого порядков соответственно:
(5.15)
Yk  1  2 Yk 1  12Yk 2  k ,


Yk  2 1  2 Yk 1  12  412  22 Yk 2  212 1  2 Yk 3 
где
 1222Yk 4   k
1  e1 ,  2  e 2 .
(5.16)
Нетрудно видеть, что в (5.15) и (5.16) стохастические компоненты
 k и  k также удовлетворяют принятым условиям Гаусса-Маркова, за
исключением наличия автокорреляции, компенсация которой может
быть обеспечена, например, прореживанием выборки.
Для наиболее сложных моделей (5.11)-(5.14) для уменьшения порядков идентифицируемых ARMA-моделей на первом этапе идентификации и упрощения нормальных уравнений на обоих этапах идентификации целесообразно применить метод параметрической итерационной
декомпозиции тренда и колебательной компоненты. Он будет, в отличие от известного классического метода сезонной декомпозиции [1], на
каждой итерации использовать параметрические оценки компонент ряда для гармоник и тренда.
При этом вначале идентифицируется тренд, затем, после его вычитания из уровней временного ряда, идентифицируется колебательная
компонента. Затем вновь находят уточненную оценку тренда, после этого - уточненную оценку колебательной компоненты и т.д. Остановка
итераций происходит при неувеличении (стабилизации) меры точности
моделирования: величины коэффициента детерминации R 2 .
Для модели (5.11) тренд описывается моделью (5.9), а колебательная компонента – выражением:
YkS  C1e1k   A1 sin 1k    B1 cos 1k    
 C2e1k   A2 sin 2k    B2 cos 2k      k .
(5.17)
Коэффициенты 1 , 2 при параметрической итерационной декомпозиции будут известны по результатам идентификации тренда ARMAмоделью (5.9) (через 1 , 2 очевиден расчет параметров 1 , 2 ), а линейные параметры модели (5.9) C1 , С2 определит МНК.
310
ARMA-модель колебательной компоненты (5.17) будет иметь при
k  4 вид:


Yk  2  11  22 Yk 1  12  22  41212 Yk 2 
2

122 2
 122 1

Yk 3  1222Yk 4
(5.18)
 k
где 1  cos 1  , 2  cos 2  .
В модели (5.18) коэффициенты 1 , 2 находят итерациями после
идентификации тренда, а неизвестными являются только коэффициенты
1 ,  2 , которые входят в уравнение нелинейно.
Модели (5.12)-(5.14) при применении параметрической итерационной декомпозиции состоят, соответственно, из трендов:
YkT  C1e 2t   k ,
(5.19)
YkT  D1  D2k    k ,
(5.20)
YkT  D1  D2k   D3  k     k
2
(5.21)
и колебательной компоненты
YkS  C1e1k   A1 sin 1k    B1 cos 1k     A2 sin 2k   
(5.22)
 B2 cos 2k     k
ARMA-модель тренда (5.19), как уже было показано в третьей главе, имеет при k  1 вид
(5.23)
Yk  1Yk 1   k ,
а тренды (5.20), (5.21) линейны относительно своих параметров, которые легко находятся с помощью классического МНК. Напомним, что
выше показана возможность идентификации таких трендов и при
структуре мультипликативной стохастической компоненты.
ARMA-модель колебательной компоненты (5.22) при k  4 имеет
вид:




Yk  2  2  11 Yk 1  1  12  4121 Yk 2  2 11  2212 Yk 3 
 12Yk 4
 k .
(5.24)
В случае модели (5.12) параметр 1 в (5.23) может быть найден из
идентификации тренда, а в случае моделей (5.13), (5.14) в модели (5.24)
будут неизвестны все три параметра первого этапа идентификации 1 ,
1 ,  2 .
311
Заменой 1  11 ,  2  12 степень многочлена модели (5.23) может
быть понижена:
Yk   Yk 2  Yk 4   2  2Yk 32  2  2 Yk 1  Yk 3  1  4Yk 2 12 
(5.25)
 2Yk 12  Yk 2   k .
МНК-идентификация коэффициентов модели (5.23) приводит к
нормальному алгебраическому уравнению одной переменной, а в
остальных случаях будем иметь более сложный случай нормальных систем полиномиальных уравнений.
Выше уже была показана данными таблицы 3.1 возможность использования для (5.15), (5.16), (5.18) и (5.25) решения систем нормальных нелинейных полиномиальных уравнений в базисах Гребнера.
Рассмотрим теперь устойчивость предложенных методов идентификации моделей (5.9)-(5.14) в диапазонах значений параметров моделей и соотношений дисперсий «шум/полезный сигнал».
Устойчивость методов моделирования и прогнозирования исследована на тестовых выборках в диапазоне параметров, указанных в таблице 5.4 для моделей (5.9)-(5.14), обозначенных M1-M3, а также в таблице 5.5 – для моделей (5.12)-(5.16), обозначенных M4-M6.
Соотношения дисперсий «шум/сигнал» K n / s задавались в диапазоне от 0 до 30%.
На рисунках 5.4 и 5.5 представлены графики коэффициента детерминации в функции соотношения мощностей помехи и полезного сигнала
R 2 , а также второго коэффициента Тейла в функции соотношения мощностей помехи и полезного сигнала KT 2 , являющихся результатом усреднения 40 случайных реализаций шума для данных рисунка 5.4 и 20 реализаций шума для данных рисунка 5.5.
Значения коэффициентов R 2 , KT 2 говорят о достаточно высокой
точности моделирования и прогнозирования моделей (5.9)-(5.11), (5.12)(5.14) при уровнях шума K n/ s  10% ( R 2  0,93 , а KT 2  20% ) и о довольно высоком качестве моделирования и прогнозирования моделей (5.9)(5.11), (5.12)-(5.14) при уровнях шума до K n/ s  30% ( R 2  0,85 , а
KT 2  30% ).
Точность идентификации модели (5.12) оказалась несколько ниже,
чем точность идентификации других моделей.
312
Таблица 5.4
Диапазон параметров модельных задач исследования устойчивости
алгоритмов идентификации моделей (5.9)-(5.11) к шуму
С1
1
D1
A1
1
M1
B1
С2
2
D2
A2
Min
Max
-15
-0,3
3,00
-0,10
-3
-0,1
15,00
-0,03
Min
Max
-15
-1,0
-0,3
-3
-0,2
-0,1
2
B2
M2
3,00
0,20
-0,10
15,00
1,00
-0,03
M3
Min
Max
-15
-3
-0,3
-0,1
0,01
0,10
0,01
0,10
1
R2
0,3
1,0
3,00
15,00
-0,10
-0,03
0,01
0,10
0,3
1,0
40
T2,%
0.95
M3
30
M1
0.9
M1
M3
20
M2
0.85
0.8
0,01
0,10
M2
10
0
10
KN/S,%
KN/S,% 0
30
0
20
10
20
30
Рис. 5.4. Коэффициент детерминации R2 и второй коэффициент Тейла
случае идентификации моделей (5.9) – M1, (5.10) – M2, (5.11) – M3
при различных сочетаниях дисперсий шума и сигнала K n / s
в
T2
Таблица 5.5
Диапазон параметров модельных задач исследования устойчивости
алгоритмов идентификации моделей (5.12)-(5.14) к шуму
D1
D2
1
1
С1
D3
A1
2
B1
A2
B2
M4
Min
Max
20
-0,10
1,2
0,1
0,1
0,6
10
10
50
-0,01
1,5
0,7
0,7
0,9
30
30
M5
Min
Max
20
5
-0,10
1,2
10
10
0,6
10
10
50
10
-0,01
1,5
30
30
0,9
30
30
1,2
1,5
10
30
10
30
0,6
0,9
10
30
10
30
M6
Min
Max
20
50
5
10
0,1
1,0
-0,10
-0,01
313
1
R2
50
T2,%
M4
40
0.95
M5
30
0.9
0.85
20
M6
M4
M6
10
M5
0.8
0
10
KN/S,% 0
30
0
20
10
KN/S,%
20
30
Рис. 5.5. Коэффициент детерминации R2 и второй коэффициент Тейла T2 в
случае идентификации моделей (5.12) – M4, (5.13) – M5, (5.14) – M6
при различных сочетаниях дисперсий шума и сигнала K n / s
Исследуем теперь точностные предложенных методов идентификации моделей (5.9)-(5.14) на реальных данных.
Коэффициенты моделей (5.9)-(5.11) идентификации модели жизненного цикла автомобилей Мустанг производства «Форд», а также коэффициенты детерминации R 2 и второго коэффициента Тейла KT 2 сведены в таблицу 5.6, а результаты построения моделей показаны на рисунке 5.6.
Оказалось, что лучшее моделирование жизненного цикла продаж автомобилей Мустанг и наименьшую ошибку прогноза на девятый год дала
модель (5.11).
Таблица 5.6
Идентификация жизненного цикла автомобилей Мустанг
D1  1
Модель С1
M1
M2
M3
314
A1
B1
1
С2 D2  2
Mustang
A2
B2
2
R2
T2, %
-1341
-0,83411
1604
-0,37337
0,979 22,10
-688
-97 -1,11334
953
280 -0,46185
0,979 22,09
-1130
-0,89715 0,085 -0,126 1,5006 1394
-0,34818 -0,020 -0,100 1,9792 1,000 10,39
600 Sales
600
Mustang
Sales
600 Sales
Mustang
Mustang
400
400
400
200
200
200
M1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t 0
9 1
M2
2
3
4
5
6
7
8
t 0
9
1
M3
2
3
4
5
6
7
8
Рис. 5.6. Идентификация жизненного цикла автомобилей Мустанг.
Серый цвет – исходные данные, черная толстая линия – идентифицированная
модель, черная тонкая линия – прогноз
Исследуем интерес пользователей системы Google к сотовым телефонам марок Nokia N70, N73, N82 и N95, используя данные о запросах пользователей, которые еженедельно агрегируются в статистике Google Trends [94]. Смоделируем с помощью (5.9)-(5.11) ежемесячную динамику индекса запросов (таблица 5.7, рисунок 5.7). Усредняя коэффициенты детерминации и Тейла по всем маркам телефонов,
получим, что первая модель описывает индекс запросов с R 2  0,88 ,
KT 2  12,3% ; вторая с R 2  0,95 , KT 2  14, 6% ; а третья – с R 2  0,97 ,
KT 2  5,3% . Наилучшее приближение, как видим из приведенного ри-
сунка 5.7, дала модель (5.11).
Таблица 5.7
Идентификация интереса пользователей Google к моделям
телефонов компании Nokia
Модель С1
D1
1
A1
B1
1
С2
N 70
M1
M2
M3
-12,68
-3,59
-0,08129
M1
M2
M3
-6,81
-0,08963
-5,76
-0,09569
M1
M2
M3
-2,93
-0,11783
2,82
-0,80 -0,35
-0,32285
0,82
-4,25
-0,11295
M1
M2
M3
-6,55
-0,09093
1,25
0,59
-0,06428
13,11
-0,36200
-0,91
-0,089
-0,078 0,2736
D2
0,25
4,06
2
A2
B2
2
R2
T2, %
-0,05172
0,920
8,98
-0,06383
0,961
12,69
0,975
7,36
0,945
2,12
0,966
16,28
0,965
3,98
-0,04022
0,012
-0,080 0,1166
N 73
-3,11
0,04
6,97
0,01212
3,39
-0,006
-0,101 0,1531
-0,04631
0,35
5,92
-0,03977
-0,04392
-0,006
-0,082 0,1342
N 82
0,006
-0,040 0,9326
0,09
4,15
-0,07348
0,877
7,30
-0,09630
0,950
12,90
0,985
4,35
-0,03445
0,787
30,94
-0,03170
-0,01952
0,922
0,950
16,42
5,66
-0,08170
-0,005
-0,015 0,2379
N 95
-12,69 -1,09
-2,73
-0,13646
-0,13739
6,71
-0,033
-0,295 0,7671
13,18 -0,20
3,07
0,270
-0,194 0,7671
315
t
9
1.5 Search index
1.5
Search index
1.5 Search index
N70
N70
1
1
1
0.5
0.5
0.5
M1
0
M2
1
2
Search index
3
2
0
t
4
M3
1
2
Search index
3
4
2
N73
0
t
1.5
1.5
1
1
1
0.5
M1
0
1
2
Search index
0
4t
3
0.5
M2
1
2
Search index
3
4t
0
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
M2
M1
3t
2
3
0
2
1
Search index
2
3t
0
3
4t
3
t
0
1
Search index
2
3t
N95
1
M2
2
1
2
Search index
2
1
M1
1
M3
3
N95
2
1
0
N73
M3
3
N95
t
4
N82
0.4
1
Search index
3
N82
N82
0
1
2
Search index
2
N73
1.5
0.5
N70
1
M3
2
3
t
0
1
2
3
t
Рис. 5.7. Идентификация интереса пользователей Google к моделям
телефонов компании Nokia. Серый цвет – исходные данные, черная толстая
линия – идентифицированная модель, черная тонкая линия – прогноз
Другим примером могут быть путеводители – класс товаров с длительным жизненным циклом. В последнее время, в связи с развитием интернет-технологий (интерактивных карт и др.), спрос на путеводители
стал снижаться.
Поиск данных по спросу на стадии роста затруднен, да и интерес
представляет в настоящее время лишь моделирование этапа спада кривой жизненного цикла. Другой особенностью рынка путеводителей является сезонность – летом люди путешествуют чаще.
316
Для моделирования интереса пользователей системы Google к путеводителям в целом (запрос «Travel guide»), так и к наиболее распространенному изданию Lonely Planet применены выражения (5.12)-(5.14)
(таблица 5.8, рис. 5.8).
Таблица 5.8
Идентификация интереса пользователей Google к путеводителям
D1
M4
M5
M6
D2
1
С1
D3
1,67
1,547 -0,013
1,694 -0,024
0,000130
1
A1
Travel Guide
B1
-0,1343
0,488
0,092 -0,073
-0,0525
0,033 -0,612
-0,0283
0,480
2
A2
B2
R2
T2, %
0,144
0,017
0,040 0,954
0,284
0,483
0,099 -0,071 0,951 11,22
0,243 -0,128
0,963
0,010
0,062 0,965
4,28
6,80
Lonely Planet
M4
M5
M6
1,73
1,513 -0,013
1,738 -0,025
0,000140
2 Search index
2
-0,1471
0,163
0,026 -0,042
0,490
0,041 -0,075 0,935 13,98
-0,0237
-0,0207
0,099
0,486
0,176 0,112
0,092 -0,129
0,477
0,963
0,068 -0,051 0,936 17,50
0,021 0,074 0,953 6,50
Search index
travel guide
travel guide
1.5
1.5
2 Search index
travel guide
1.5
1
1
0.5
M4
0.5
1 2 3
2 Search index
4
5
6 t
0
2
1
M5
M6
1 2 3
Search index
1.5
1
1
0.5
0.5
0
M4
1
2
3
4
5
6 t
0
5
6 t
Lonely Planet
Lonely Planet
1.5
4
0.5
1 2 3
2 Search index
4
5
6 t
Lonely Planet
1.5
1
M5
1
M6
2
3
4
5
6 t
0.5
1
2
3
4
5
6 t
Рис. 5.8. Идентификация интереса пользователей Google к путеводителям.
Серый цвет – исходные данные, черная толстая линия – идентифицированная
модель, черная тонкая линия – прогноз
Модель (5.13) имеет худшую точность, а модели (5.12) и (5.14)
имеют близкую точность, причем несколько лучше модель (5.14).
Приведем еще один пример, когда модель (5.9) с успехом применена для описания ЖЦП при рассмотрении индекса запросов пользова317
телей поисковой системы Google на две модели телефонов Nokia
(рис. 5.9).
Индекс поисковых запросов на Nokia n95 описывается моделью:
Yk   0,269k   11,5  e 0,034 k    0,045k   11,8  e 0,007 k    k
с коэффициентом детерминации R 2  0,9182 (рис. 5.10 а).
Индекс поисковых запросов на Nokia 5300 описывается моделью:
Yk   0,164k   4,7  e0,017k   0,080k   5,0 e0,136k   k
с коэффициентом детерминации R 2  0,9209 (рис. 5.10 б).
а)
б)
Рис. 5.9. Индекс запросов на поиск Nokia n95 (a) и Nokia 5300 (б) в
системе Google
318
а)
б)
Рис. 5.10. Результат идентификации интереса пользователей системы Google
к телефонам Nokia 5300 (a) и Nokia n95 (б)
Сравнивая частоты построенных моделей интереса пользователей
системы Google к телефонам Nokia, можно отметить, что Nokia 5300
вышла на рынок быстрее, чем Nokia n95, но медленнее уходила с рынка.
В данном параграфе моделирование тренда ЖЦП моделями (5.9) и
(5.10) представляло как самостоятельный интерес, так и могло быть составной частью моделирования при параметрической итерационной декомпозиции моделями (5.11) и (5.12) с колебательной компонентой в
исходных данных.
Рассмотрение идентификации моделей (5.9) и (5.10) при помощи
ARMA-моделирования показало уже достаточно высокую точность, во
всяком случае, при небольших значениях соотношения отношения
мощностей помехи и полезного сигнала ( K n/ s  10% ).
Сравним теперь альтернативный по отношению к аналитическому
ARMA-моделированию (5.9) и (5.10) численный генетический алгоритм
поиска, используемый для решения задач оптимизации и моделирования путём случайного подбора, комбинирования и вариации искомых
параметров с использованием механизмов, напоминающих биологическую эволюцию.
Его сходимость и решение практически не зависят от выбора
начального приближения или диапазона допустимых значений корней.
Случайным образом генерируется конечный набор пробных решений –
«первое поколение». Оценка приспособленности решений текущего поколения осуществляется исходя из заданного критерия. В случае идентификации параметров моделируемых функции (5.9) и (5.10) использо319
ван, как и для решения в базисах Гребнера, тот же критерий минимума
суммы квадратов отклонений модельной функции от реальных данных.
Осуществляется остановка поиска решения и выход из алгоритма,
если удовлетворен принятый критерий точности. При недостижении
принятого критерия выполняется генерация нового поколения пробных
решений посредством операторов «селекции», «скрещивания» и «мутаций», после чего происходит переход к второму пункту.
В процессе «селекции» отбирают только несколько лучших
«пробных» решений на основании заданного критерия, а остальные решения не используют. Так называемое «скрещивание» вместо пары решений создаёт другую пару решений, коэффициенты которой вычисляются на основании коэффициентов исходной пары с помощью какоголибо оператора, к примеру, путем нахождения среднего. В результате
серии «скрещиваний» размер прореженной исходной выборки (она
называется обычно «популяцией») увеличивается до исходного размера.
«Мутация» случайным образом изменяет коэффициенты решений, выводя алгоритм из состояний определения локальных экстремумов.
Для идентификации модели трендов (5.9) и (5.10) был использован
генетический алгоритм, реализованный функциями gatool системы
МATLAB.
Сравним точность альтернативных методов идентификации рассматриваемых моделей к помехе различной мощности в динамическом
диапазоне параметров моделей, приведенных в таблице 5.9, с помощью
численного эксперимента.
Таблица 5.9
Диапазон параметров модельных задач исследования алгоритмов
идентификации моделей M1 (1) и M2 (2)
C1
Min
Max
-15
-3
Min
Max
-15
-3
320
1
D1
-1,0
-0,2
C2
M1
-0,3
-0,1
M2
-0,3
-0,1
2
D2
3
15
3
15
-0,10
-0,03
0,2
1,0
-0,10
-0,03
Генерировались программно выборки из 24 точек «полезных сигналов» (5.9) и (5.10) при различных сочетаниях данных из таблицы 5.9.
Суммируемая с «полезным сигналом» генерируемая программно помеха умножалась на соответствующий коэффициент, обеспечивая соотношения «дисперсий шум/сигнал» K n / s от 0 до 30% для временного ряда наблюдений.
На рисунке 5.11 представлены полученные для модели (5.9) графики критерия точности моделировании (коэффициента детерминации
R 2 ) и критерия точности прогнозирования (второго коэффициента Тейла KT 2 ) с горизонтом прогноза 20% от длины исходного ряда.
Результат с полным основанием можно считать репрезентативным: каждое значение графиков R 2 и KT 2 в функции коэффициента отношения мощностей K n / s помехи  k и полезного сигнала (соответствующим моделям (5.9) и (5.10)) является средним из 500 случайных реализаций шума и полезного сигнала (во всем динамическом диапазоне
сочетаний его параметров).
Выбор такого большого числа усреднений сделан для того, чтобы
выявить тенденции динамики критериев точности, не зависящие от конкретных случайных выборок стохастической компоненты.
На рисунке 5.12 представлены соответствующие графики для модели (5.10).
R21
25
T2, %
20
0.98
ARMA algorithm
Gin algorithm
15
Gin algorithm
0.96
10
0.94
5
ARMA algorithm
0.92
0
10
20
KN/S, %
0
0
10
20
KN/S, %
Рис. 5.11. Коэффициент детерминации R 2 и второй коэффициент Тейла K T 2
в случае идентификации модели (5.9) при различных сочетаниях дисперсий
шума и сигнала K n / s
321
R2
T2, %
30
1
25
0.95
Gin algorithm
ARMA algorithm
20
15
0.9
ARMA algorithm
10
0.85
5
Gin algorithm
0.8
0
10
20
K ,%
30 n/s
0
0
10
20
K ,%
30 n/s
Рис. 5.12. Коэффициент детерминации R 2 и второй коэффициент Тейла K T 2
в случае идентификации модели (5.10) при различных сочетаниях дисперсий
шума и сигнала K n / s
Из рисунков 5.11 и 5.12 видим, что оба метода идентификации
дают довольно высокую точность моделирования и прогнозирования.
При этом генетический алгоритм дает существенно меньшую погрешность прогнозирования и несколько лучшую точность моделирования
на модельных выборках при уровне «сигнал-шум» более 2%.
Интересно, что при малом шуме (до 2%) преимущество в моделировании и в прогнозировании имеет ARMA-модель.
Отражая общую тенденцию, графики 5.11 и 5.12, тем не менее, для
конкретных параметров моделей и конкретных мощностей помех могут
привести к другим характеристикам точности.
Целесообразно, на наш взгляд, реализовывать идентификацию
обоими методами и выбирать более точный по критерию точности моделирования и/или прогнозирования.
5.5. Моделирование ЖЦП с повторным циклом
Далеко не все продукты имеют жизненный цикл, состоящий только из этапов вывода на рынок, роста, зрелости и упадка. Встречаются и
мультилогистические продукты, частным случаем которых является
«повторный цикл» (или двугорбый цикл) (рис. 5.13).
322
Объем продаж
Тренд
Первич
ный цикл
Повторный
цикл
Время
Рис. 5.13. Кривая жизненного цикла товара с повторным циклом
Более того, зачастую реальные временные ряды жизненных циклов продуктов содержат, кроме тренда с повторным циклом, еще и колебательную компоненту.
Обратимся к не рассмотренной до настоящего времени, отвечающей реальной экономической практике модели жизненного цикла с колебательной компонентой прямо пропорциональной тренду:


Yk  YkT 1  YkS   k ,
(5.26)
где YkT – параметрическая модель тренда, YkS – параметрическая модель
колебательной компоненты,  k – стохастическая компонента, удовлетворяющая принятым условиям Гаусса-Маркова.
Для идентификации модели (5.26) целесообразно применить метод
параметрической итерационной декомпозиции тренда и колебательной
компоненты. Рассмотрим последовательно три модели гладких трендов
с повторным циклом.
В качестве первой выберем новую модель:
YkT  C1e1k   C2e 2k   C3e3k   C4e 4k    k .
(5.27)
Вторую модель можно рассмотреть как сумму колоколообразных
гауссовых кривых или моделей Хабберта [103, 116]:
Yk  C1e
12  k 1 
2
 C2e
 22  k 2 
2
 k .
(5.28)
Третью модель тренда жизненного цикла предложим в виде суммы двух дробно-рациональных функций:
323
YkT  Tk1  Tk2   k ,
где Tk1 
(5.29)
P0  Pt
P0  Pt
2
1
1
T

,
, причем суммирование произвоk
2
1  Q1t  Q2t
1  Q1t  Q2t 2
дится в случае неотрицательных значений каждого из циклов тренда. В
случае если Tki  0 в модели считается, что Tki  0 .
Колебательную компоненту будем моделировать двумя моделями.
Первая – достаточно традиционная, состоит из трех гармоник ряда
Фурье:
Yk  A1 sin 1k   1   A2 sin  21k   2   A3 sin  31k   3    k . (5.30)
Вторая модель позволяет рассмотреть более общий случай некратных частот:
Yk  A1 sin 1k   1   A2 sin 2k   2   A3 sin 3k   3    k .
(5.31)
Идентификацию модели (5.27) возможно осуществлять с помощью предложенных моделей ARMA-моделей.
ARMA-модель тренда в этом случае имеет вид:
YkT  1  2  3  4  YkT1 
 12  13  14  23   2 4  3 4  YkT2 
(5.32)
 123  124  13 4   23 4  YkT3  1 23 4YkT4   k ,
 j
где  j  e
,  k – линейная форма того же вида, что и для YkT в (5.32) в
уровнях k и от 1,2 ,3 ,4 .
Применение МНК для идентификации параметров ARMA модели
(5.32) приводит к необходимости решения системы четырех полиномиальных уравнений от переменных 1,2 ,3 ,4 . Использование базисов
Гребнера, как следует из таблицы 3.1 при таком числе независимых переменных требует большой разрядной сетки компьютера, может привести к неустойчивости решения. Можно использовать в этом случае метод гомотопического продолжения, который значительно улучшен в последние десятилетия коллективом во главе с J. Verschelde [117], или показанный выше генетический алгоритм.
324
Для идентификации модели тренда (5.28) был реализован генетический алгоритм оптимизации функцией gatool системы MATLAB.
Идентификации модели (5.29) проводилась при помощи взвешенного МНК.
Покажем моделирование кривых жизненного цикла на примере
мыла торговой марки «Absolut», выпускаюшегося одним из предприятий г.о. Самара.
В качестве рабочей части для моделирования временного ряда использованы данные продаж за 2001-2009 годы. Для контрольной (прогнозной) части ряда, расчета MAPE-оценки прогноза и второго коэффициента Тейла KT 2 взяты данные за 2010 год и с января по май 2011 года.
На рисунках 5.14, 5.15 и 5.16 представлены исходные данные продаж и графики моделей временного ряда, построенные на ежемесячных
данных, а также на сгруппированных данных по кварталам и на сгруппированных данных по полугодиям.
Сезонная компонента (5.30) использовалась для всех моделей
тренда, а сезонная компонента (5.31) – только для модели (5.29) тренда,
который оказался наиболее точным по значению коэффициента детерминации R 2 для выборки.
Y
Y
Trend
600
600
Model
400
400
200
200
Trend
phase 2
Trend
phase 1
Data
0
а)
2002
2004
2006
2008
2010 t
Y
600
Trend
Model
400
в)
0
2002
2004
2006
Data
2008
2010 t
Y
600
200
0
б)
Trend
Model
Trend
Model
400
Trend
phase 1
Trend
phase 2
2002
2004
2006
2008
200
Data
2010 t
г)
0
Trend
phase 1
Trend
phase 2
2002
2004
2006
2008
Data
2010 t
Рис. 5.14. Моделирование ежемесячных продаж: а)-в) тренды (5.27), (5.28),
(5.29) и сезонная компонента (5.30); г) тренд (5.29) и
сезонная компонента (5.31)
325
Y
Y
Trend
1500
Model
1000
1000
500
0
а)
500
Data
2002
2004
2006
2008
б)
2010 t
Y
2002
Trend
Model
Data
Trend
phase 1
2004
2006
2008
2010 t
Trend
Model
1500
1000
1000
Trend
500 phase 2
0
0
Trend
phase 2
Y
1500
в)
Trend
Model
1500
2002
Data
Trend
phase 1
2004
2006
2008
Trend
500 phase 2
г)
2010 t
0
2002
Data
Trend
phase 1
2004
2006
2008
2010 t
Рис. 5.15. Моделирование ежеквартальных продаж: а)-в) тренды (5.27),
(5.28), (5.29) и сезонная компонента (5.30); г) тренд (5.29) и
сезонная компонента (5.31)
Y
Y
Data
3000
Trend
3000
Model
2000
2000
Trend
Model
1000
0
а)
1000
2002
2004
2006
2008
2010
t
б)
Y
0
Data
Trend
phase 2
2002
Trend
phase 1
2004
2006
2008
Trend
3000
Model
Model
2000
2000
Data
в)
0
t
Y
Trend
3000
1000
2010
Trend
phase 1
Trend
phase 2
2002
Data
2004
2006
1000
2008
2010
t
г)
0
Trend
phase 1
Trend
phase 2
2002
2004
2006
2008
2010
t
Рис. 5.16. Моделирование продаж по полугодиям: а)-в) тренды (5.27), (5.28),
(5.29) и сезонная компонента (5.30); г) тренд (5.29) и
сезонная компонента (5.31)
326
Оценки точности построенных моделей приведены в таблице 5.10
и на рисунке 5.17.
Из таблицы 5.10 видим, что модели тренда (5.28) и (5.29) приводят
к наилучшему коэффициенту детерминации R 2 , а модели тренда (5.27)
и (5.29) дают лучший прогноз. Другим достоинством моделей тренда
(5.28) и (5.29) является наличие явно выраженных тенденций для первого и второго циклов продаж, что позволяет сравнивать модели этих
циклов с продажами отдельных марок товарной линейки.
Таблица 5.10
Точность моделирования и прогнозирования моделей
Модель
тренда
(5,26)
(5.27)
(5.28)
(5.28)
R2
Модель
R2
Mape
T2
колебат.
компоненты Месяцы Квартал Полугод Месяцы Квартал Полугод Месяцы Квартал Полугод
(5.27)
0,6977
0,8016
0,8120 12,74%
8,18%
8,58% 10,73%
5,73%
5,80%
(5.27)
0,7680
0,8883
0,9759 34,82% 14,30% 29,19% 22,74% 12,06% 19,97%
(5.27)
0,7708
0,8910
0,9594 14,28% 11,63%
4,45% 11,14%
8,80%
3,68%
(6.30)
0,7897
0,9360
0,9386 12,14%
5,01%
3,16% 10,41%
7,48%
2,80%
1
MAPE, %
40
M2
M4
0.9
25
M2
M3
20
M3
M1
0.8
0.7
Mes
10
15
0
HlfYr Mes
Quart
M3
10
5
M4
Quart
M2
20
30
M1
T2, %
0
HlfY Mes
M1
M4
Quart
HlfY
Рис. 5.17. Показатели точности моделирования и прогнозирования
M1,M2,M3 – тренды (5.27), (5.28), (5.29) и сезонная компонента (5.30),
M4 – тренд (5.29) и сезонная компонента (5.31)
Модель тренда (5.29) можно считать оптимальной как с точки зрения
моделирования, так и с точки зрения построения прогноза. Для модели
тренда (5.29) модель сезонной компоненты (5.31) дает несколько лучшую
точность, чем модель (5.30).
При этом исследования показали, что точность моделирования и прогнозирования существенно зависит от шага дискретизации исходного ряда
продаж. Так, ежемесячные данные продаж интерпретировались моделями
327
существенно хуже, чем квартальные и полугодовые, что можно объяснить
большими уровнями ежемесячной стохастической компоненты. Точность
при использовании полугодовых измерений оказывалась обычно выше, чем
квартальных. Исключение составляет лишь модель тренда (5.28), циклы
которой симметричны и неточно описывают прогноз продаж модели.
Сравним теперь точность моделирования и прогнозирования объемов
продаж для моделей, построенных непосредственно по квартальным и полугодовым данным и суммированных по кварталам данных месячной модели и полугодиям данных квартальной и месячной моделей (таблицы 5.11,
5.12, рис. 5.17, 5.18). Наличие большого количества шумов в месячной статистике приводит к большим погрешностям при ее агрегировании. Модели,
построенные по квартальным данным, дали лучший квартальный прогноз
(таблица 5.11, рис. 5.17).
Таблица 5.11
Точность моделирования и прогнозирования
квартальной статистики
Модель
тренда
(5.26)
(5.27)
(5.28)
(5.28)
R2
Модель
колебат.
компоненты
(5.29)
(5.29)
(5.29)
(5.30)
R2
MAPE
T2
Из мес Квартал Из мес Квартал Из мес Квартал
модели модель модели модель модели модель
0,80048 0,80164 10,21%
8,18%
7,67%
5,73%
0,88667 0,88828 30,77% 14,30% 20,94% 12,06%
0,89703 0,89099
8,40% 11,63%
8,28%
8,80%
0,91662 0,93598
8,30%
5,01%
8,03%
7,48%
MAPE
KT2
Рис. 5.18. Точность моделирования и прогнозирования квартальной
статистики: 1 – агрегирование месячной статистики, 2 – прямое моделирование
328
Таблица 5.12
Точность моделирования и прогнозирования полугодовой статистики
Модель
тренда
(2)
(3)
(4)
(4)
Модель
колебат.
компоненты
(5)
(5)
(5)
(6)
R2
Из мес
модели
0,8238
0,9464
0,9584
0,9697
T2
MAPE
R2
Из кварт Полугод Из мес Из кварт Полугод Из мес Из кварт Полугод
модели модель
модели модели модель
модели модели модель
0,8220
0,8120
5,35%
1,28%
8,58%
4,22%
0,91%
5,80%
0,9252
0,9759
32,07%
15,49%
29,19%
19,83%
10,68%
19,97%
0,9583
0,9594
8,12%
8,02%
4,45%
5,68%
5,74%
3,68%
0,9722
0,9386
8,73%
6,16%
3,16%
7,21%
5,54%
2,80%
MAPE
KT2
Рис. 5.19. Точность моделирования и прогнозирования полугодовой
статистики: 1 – агрегирование месячной статистики, 2 – агрегирование
квартальной статистики, 3 – прямое моделирование
Итак, предложены модели трендов, колебательных компонент и
структура их взаимодействия, а также математический аппарат их идентификации, которые могут быть использованы для моделирования и
прогнозирования кривых жизненного цикла с повторным (двугорбым)
циклом.
Приведенный пример показал, что точность моделирования и прогнозирования может сильно зависеть от шага наблюдений исходного
ряда объемов продаж, что следует учесть при других приложениях.
5.6. Пример моделирования ЖЦП с произвольной
асимметрией для операционных систем семейства Windows
Различия кривых ЖЦП могут проявляться в наличии и числе точек
перегиба, уровнях начальной и конечной фаз жизненного цикла и, на
что будет обращено внимании в этом параграфе, в симметричности
кривой относительно точки максимума. Последнее наиболее важно с
точки зрения практики, поскольку у одних продуктов спад происходит
быстрее роста, а у других – рост быстрее спада.
Покажем, что достаточно простой и допускающей многочисленные приложения является использование для логистического тренда Tk
329
дробно-рациональной модели (2.53) с четырьмя целочисленными параметрами и аддитивной структурой вхождения стохастической компоненты:
Tk 
P0  Pk
1 
1  Q1k   Q2  k  
2
,
Yk  Tk   k .
Данная логистическая кривая, как уже показано во второй главе
монографии, обладает произвольной (подбираемой) по реальным
выборкам асимметрией (рис. 2.54), позволяет моделировать
мультилогистическую динамику (рис. 2.55), в том числе может быть
использована для моделирования повторного цикла (рис. 5.13). В
качестве расширений могут быть использованы полиномы других
порядков в числителе и знаменателе дробно-рациональной модели
тренда.
Удобнее использовать другую, однозначно определяемую выражением (2.53), форму записи той же логистической кривой (2.54):
Tk 
 A k   B   C
1  A k   B 
2
,
в которой параметр  определяет симметричность жизненного цикла.
При   0 кривая симметрична относительно точки максимума, при
  0 рост происходит быстрее спада, при   0 спад идет быстрее, чем
рост, т.е. модель имеет произвольную (переменную), определяемую параметром  асимметрию.
Идентификацию параметров модели можно выполнить как путем
решения нелинейного МНК, так и с помощью линеаризации (умножения на знаменатель) и реализации взвешенного МНК для обеспечения
гомоскедастичности стохастической компоненты.
Небольшое число используемых в модели параметров позволяет
идентифицировать модель на выборках малого объема. В то же время
модель обладает значительной гибкостью и позволяет описывать широкий класс типов жизненного цикла. Достоинством предложенной модели является также то, что она может быть использована для описания
данных, начиная с любого момента жизненного цикла (в отличие от
330
многих других моделей ЖЦП). Это особенно важно в случаях, когда отсутствует статистика для ранних стадий цикла.
Чтобы продемонстрировать возможности предложенной модели,
выполним моделирование и прогнозирование долей рынка операционных систем (ОС) семейства Windows, представленных на рисунке 5.20.
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
W2000
WinXP
Vista
янв.11
янв.11
окт.10
июл.10
янв.10
янв.10
июл.09
июл.09
янв.09
янв.09
июл.08
июл.08
янв.08
янв.08
июл.07
июл.07
янв.07
янв.07
июл.06
июл.06
янв.06
янв.06
июл.05
июл.05
0%
янв.05
янв.05
10%
Win7
Рис. 5.20. Доли ОС семейства Windows на рынке. Источник: OS Platform
Statistics. URL: http://www.w3schools.com/browsers/browsers_os.asp
Оценку точности моделей будем осуществлять, как это обычно
делается, с помощью коэффициента детерминации R 2 , а для оценки
точности прогноза будем использовать коэффициент несоответствия
(второй коэффициент Тейла). Для каждой из рассматриваемых ОС имеются статистические данные, охватывающие различные этапы жизненного цикла.
ОС Windows 2000 находится в стадии спада, т.е. отсутствуют сведения о значительной части жизненного цикла продукта. Тем не менее,
предложенная модель позволяет с высокой точностью описать динамику показателя. Для оценки точности модели будем использовать в качестве исходных данных наблюдения за 2003-2006 гг., а уровни 20072008 гг. отнесем в прогнозную часть. В результате идентификации получили модель со следующими значениями параметров:
  605,4 , A  7,73 104 , B  2,4 , C  43,8 .
Коэффициент детерминации модели близок к единице ( R 2  0,999 ),
а коэффициент несоответствия составляет немногим более 0,05
( KT 2  0,061 ). Результат моделирования и прогнозирования показан на
рисунке 5.21.
331
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
2003
2004
2005
Модель
2006
2007
2008
Исходный ряд
Рис. 5.21. Моделирование жизненного цикла ОС Windows 2000
Точка перегиба, отделяющая стадию насыщения от стадии спада,
приходится на апрель 2004 г. В соответствии с построенной моделью
доля ОС Windows 2000 падает ниже уровня в 5% в октябре 2007 г., а
ниже уровня в 1% – в сентябре 2008 г.
В реальности данные уровни были пройдены соответственно в ноябре 2007 г. и августе 2008 г., т.е. ошибка при определении данных точек составила около месяца.
На рисунке 5.22 представлены результаты моделирования для ОС
Windows XP. В данном случае статистика охватывает стадии зрелости,
насыщения и начало спада. Для данной и последующих моделей имеющиеся данные за начало 2011 г. вынесены в прогноз и не использованы
при идентификации параметров модели. Для модели, построенной по
этим наблюдениям, получены следующие оценки параметров:
  2951,6 , A  2,67 104 , B  51,1, C  68,1 .
Данная модель также характеризуется высокой точностью описания исходного ряда: R 2  0,987 .
Из рисунка 5.22 видно, что модель проходит весьма близко к прогнозным значениям, а ее оценка точности прогноза равна KT 2  0,006 . В
данном случае   0 , т.е. спад происходит быстрее, чем рост.
332
Рис. 5.22. Моделирование жизненного цикла ОС Windows XP
Границы стадий жизненного цикла модели соответствуют сентябрю 2004 г. (начало стадии насыщения), августу 2007 г. (начало стадии
зрелости) и декабрю 2010 г. (начало стадии спада). Доля ОС Windows
XP на рынке достигнет 10%-ного порога в начале 2013 г., а к 2014 г. она
почти полностью исчезнет с рынка.
Другая операционная система Windows Vista обладает наиболее
коротким жизненным циклом среди рассматриваемых ОС, а имеющаяся
статистика охватывается все стадии цикла (рис. 5.23).
20%
18%
16%
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
2007
2008
2009
Модель
2010
2011
Исходный ряд
Рис. 5.23. Моделирование жизненного цикла ОС Windows Vista
Для модели рассматриваемого ЖЦП получены следующие оценки
параметров:
  85,4 , A  4,43 103 , B  26,3 , C  18,0 .
333
Модель также обладает высокой точностью моделирования
( R 2  0,999 ), а ошибка прогноза по модели мала ( KT 2  0,016 ). В данном
случае рост доли рынка происходит быстрее спада, границы стадий
цикла приходятся соответственно на сентябрь 2008 г., май 2009 г. и
февраль 2010 г. Модель прогнозирует падение доли рынка Windows
Vista ниже 5% уже в начале 2012 г. Однако спад в данном случае будет
идти значительно медленнее, чем у Windows XP, поэтому полное ее исчезновение с рынка, вероятно, произойдет позже.
Наибольшую сложность и интерес представляет моделирование
последней на данный момент ОС семейства Windows – Windows 7. Статистика охватывает стадии внедрения, роста и, возможно, начало стадии
зрелости. Построение адекватной модели при такой нехватке информации требует значительной аккуратности, а при высокой зашумленности
данных может оказаться невозможным. Анализ выхода версий
Windows 7 показывает, что данная кривая ЖЦТ фактически охватывает
три продукта:
 в январе 2009 г. стала доступна для скачивания beta-версия
Windows 7, лицензия на которую истекла в августе 2009 г.;
 RC-версия стала доступна широкой публике в мае 2009 г., а лицензия на нее закончилась в июне 2010 г.;
 окончательная (RTM) версия Windows 7 была выпущена 22
июня 2009 г.
Как следствие, в данном случае повторные циклы наблюдаются
уже на стадии роста. Поэтому необходимо выделить три тренда, каждый
из которых соответствует своей версии Windows 7. Сложность заключается в том, что эти тренды накладываются друг на друга и должны быть
идентифицированы в определенной мере одновременно. Адекватное
решение можно получить с помощью итерационной декомпозиции исходного ряда [59]. Построенная составная модель представлена на рисунке 5.24, а оценки параметров для RTM-версии оказались равны:
  991,1, A  1,76 103 , B  16,3 , C  28,5 .
Коэффициент детерминации R 2  0,999 , а коэффициент несоответствия KT 2  0,008 .
334
45%
5,0%
40%
4,5%
35%
4,0%
3,5%
30%
3,0%
25%
2,5%
20%
2,0%
15%
1,5%
по основной оси:
по вспомогательной оси:
Модель
RTM-версия
Beta-версия
RC-версия
окт.11
окт.11
июл.11
июл.11
апр.11
апр.11
янв.11
янв.11
окт.10
окт.10
июл.10
июл.10
апр.10
апр.10
янв.10
янв.10
0,0%
окт.09
окт.09
0%
июл.09
июл.09
0,5%
апр.09
апр.09
1,0%
5%
янв.09
янв.09
10%
Исходный ряд
Рис. 5.24. Моделирование жизненного цикла ОС Windows 7
Точка перегиба модели и переход от стадии роста к зрелости приходится на июнь 2010 г. Достижение максимума в районе 40% рынка
ожидается в январе 2012 г., а переход к спаду – в марте 2013 г. Данный
прогноз выглядит адекватным, поскольку в 2012 г. ожидается выход
Windows 8. В то же время будущая форма жизненного цикла Windows 7
зависит как от ее развития, так и от характеристик новой ОС, поэтому
полученный прогноз может быть скорректирован.
Что же касается моделей циклов beta- и RC-версий, то они представляют собой яркий пример случая, когда спад происходит значительно быстрее роста – как только прекращается поддержка бесплатной
версии программного обеспечения, она почти моментально исчезает с
рынка. В то же время для окончательных версий программных продуктов возможны различные варианты асимметрии, как это и было показано ранее. Необходимо отметить, что аналогичный анализ повторных
волн для различных версий может быть выполнен и для ранее рассмотренных ОС. Однако острой потребности в этом не возникает, поскольку
для них имеется достаточный объем данных для построения общей модели жизненного цикла.
Например, на рисунке 5.23 для ОС Windows Vista можно заметить
некоторое расхождение формы модели и исходной динамики в начале
цикла, когда также были выпущены предварительные версии ОС. Однако в данном случае имеется статистика по большей части жизненного
335
цикла, поэтому точность прогноза и адекватность модели в целом достаточна. В случае же Windows 7 попытка идентификации общей модели жизненного цикла по исходным данным приводит к значительному
ее искажению.
В заключение сравним полученные прогнозы для поддерживаемых в настоящий момент ОС (рис. 5.25).
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
WinXP
WinVista
окт.11
окт.11
июл.11
июл.11
апр.11
апр.11
янв.11
янв.11
окт.10
окт.10
июл.10
июл.10
апр.10
апр.10
янв.10
янв.10
окт.09
окт.09
июл.09
июл.09
апр.09
апр.09
0%
янв.09
янв.09
10%
Win7
Рис. 5.25. Сравнение прогнозов долей рынка ОС Windows XP, Vista и 7
Из рисунка 5.25 видно, что уже летом этого года (2011 г.) можно
было ожидать превышение доли рынка Windows 7 над Windows XP.
Стремительный спад ранее популярной Windows XP и рост Windows 7
связаны с множеством факторов. Для Windows XP прекращена общая
(бесплатная) поддержка, на новых компьютерах чаще всего установлена
Windows 7, которая обладает лучшими характеристиками по ряду параметров. Можно заключить, что предложенная модель позволяет с высокой точностью моделировать и прогнозировать жизненные циклы товаров на различных стадиях.
5.7. Примеры моделирования и прогнозирования
социальной динамики
На рисунках 5.26 и 5.27 представлены статистические данные по
численности безработных и по относительному уровню безработицы в
Самарской области (на конец месяца) в 2008-2011 гг.
336
Рис. 5.26. Статистические данные о численности безработных
Рис. 5.27. Статистические данные об уровне безработицы
Динамика обоих показателей имеет сходную форму, включает несколько циклов (импульсов), поэтому их моделирование может быть
выполнено с помощью аналогичных моделей и приемов. Несмотря на
то, что для уровня безработицы имеется больший объем исходных данных, первые значения ряда не могут быть использованы при моделировании из-за их низкой точности.
Исходя из визуального анализа графиков, можно предположить,
что в рассматриваемом периоде динамика безработицы в Самарской области включает три цикла, приблизительные границы которых показаны
на рисунке 5.28.
337
Рис. 5.28. Выделение границ циклов в структуре динамики безработицы
в Самарской области
В случаях, когда циклы, формирующие динамику, не идентичны
между собой, каждый из них следует описывать отдельной моделью.
Для моделирования каждого цикла предлагается использовать модели
на основе дробно-рациональных трендов: первая модель (2.53) уже была
показана:
Yk 
P0  Pk
1 
 k ,
1  Q1k   Q2 (k ) 2
а вторая (является новой по порядку полинома числителя дробнорациональной функции):
Yk 
2
P0  Pk
1   P2 ( k  )
 k ,
1  Q1k   Q2 (k ) 2
(5.33)
где  k отвечает принятым условиям Гаусса-Маркова.
Обе модели моделируют асимметричные циклы, но модель (2.53) с
течением времени приближается к нулю, а модель (5.33) – к некоторому
P
постоянному уровню, определяемому отношением 2 .
Q2
338
В первую очередь исследуем прогнозные качества выбранных моделей в пределах действия второго цикла. Для этого выделим на заданном ряде динамики некоторую исходную часть выборки (объемом
n  17 значений до апреля 2010 г.) и прогнозную часть выборки с горизонтом n  6 наблюдений (до начала III цикла). Таким образом, при построении моделей «известные» значения ряда заканчиваются с началом
спада II цикла, а глубина прогноза составляет около трети исходной выборки. В результате идентификации получены следующие модели двух
первых циклов и оценки точности:
YkI 
2287  1910k   131(k ) 2
  kI , R 2  0,962 ;
2
1  0,26k   0,043(k )
YkII 
22170  2380k   80(k ) 2
  kII , R 2  0,994 .
2
1  0,12k   0,004(k )
Предполагая, что циклы взаимодействуют аддитивно, получим
следующую формулу сводной модели:
Yk  YkI  YkII 
1463  2328k   199(k )2 22250  2339k   76(k )2

 k ,
1  0,27k   0,053(k ) 2
1  0,12k   0,004(k ) 2
R 2  0,994 .
Полученная сводная модель позволяет сделать точный прогноз:
MAPE-оценка прогноза на заданном горизонте оказалась равной 1,25%.
Более того, благодаря слабой выраженности третьего цикла, точность прогноза остается допустимой и при включении в прогнозную
часть всех оставшихся значений ряда (рис. 5.29, таблица 5.13).
Таблица 5.13
Точность прогнозирования при n = 17
Горизонт прогноза
Глубина прогноза
MAPE-оценка
31.05.2010-31.10.2010
6 шагов
1,25%
31.05.2010-31.05.2011
13 шагов
9,60%
339
Рис. 5.29. Результаты моделирования численности безработных при n = 17
Перейдем к моделированию исходного ряда, включая все три цикла. При этом необходимо уточнить модели I и II циклов, полученные
ранее, и построить модель III цикла. Объем исходной выборки составляет в этом случае 30 значений. Однако из них лишь около 10 соответствует III циклу, поэтому глубину прогноза следует ограничить 3 значениями. В результате идентификации получены следующие модели циклов и характеристики точности:
YkI
2533  1987k   89(k ) 2

  kI , R 2  0,970 ;
2
1  0,24k   0,039(k )
YkII
21920  2377k   80(k ) 2

  kII , R 2  0,995 ;
2
1  0,13k   0,004(k )
YkIII 
675  33k 
  kIII , R 2  0,994 .
2
1  0,075k   0,0015(k )
Третий цикл описан моделью (2.53) в силу ее большей простоты
при малом имеющемся объеме выборки. В состав сводной модели отдельные циклы также включены аддитивно:
Yt  Yt I  Yt II  Yt III , R 2  0,995 .
Модель III цикла также обладает высокой точностью: MAPEоценки прогноза при глубине прогноза от 1 до 3 шагов приведены в
таблице 5.14. Наибольшая ошибка прогнозирования приходится на май
2011 г., однако следует учитывать, что полученные данные за этот месяц являлись предварительными и могут измениться.
340
Таблица 5.14
Точность прогнозирования численности безработных
Ошибка прогноза
31.03.2011
30.04.2011
04.05.2011
MAPE
Глубина прогнозирования
на 1 шаг на 2 шага на 3 шага
0,80%
0,68%
0,69%
3,35%
4,10%
2,47%
3,35%
2,39%
1,32%
Модели каждого из циклов и полученный прогноз представлены
на рисунке 5.30.
Рис. 5.30. Результаты моделирования численности безработных
Аналогичным образом выполним и моделирование уровня безработицы. Полученные модели циклов данного показателя и оценки точности имеют вид:
YkI
0,28  0,13k   0,052( k ) 2

  kI , R 2  0,956 ;
2
1  0,28k   0,088( k )
YkII 
1,0  0,11k   0,004( k ) 2
  kII , R 2  0,995 ;
2
1  0,14k   0,005(k )
YkIII 
0,001  0,008k 
III


, R 2  0,997 .
k
2
1  0,23k   0,015(k )
341
Структура ряда также выбрана аддитивной:
Yk  YkI  YkII  YkIII , R 2  0,995 .
Для данной модели, как и для первой, характерна высокая точность описания исходных данных и прогнозирования, хотя ошибка прогноза несколько выше (таблица 5.15, рис. 5.31), что можно объяснить
меньшей точностью первых исходных данных.
Таблица 5.15
Точность прогнозирования уровня безработицы
Ошибка прогноза
31.03.2011
30.04.2011
04.05.2011
MAPE
Глубина прогнозирования
на 1 шаг
на 2 шага
на 3 шага
0,05%
0,29%
0,37%
5,67%
5,98%
6,05%
5,67%
3,13%
2,15%
В модели уровня безработицы первый цикл выражен сильнее, чем
в предыдущей, а третий, наоборот, выражен меньше. Впрочем, мы уже
отмечали неоднозначность декомпозиции модели.
На рисунке 5.32 представлен и альтернативный результат моделирования уровня безработицы. Его количественные характеристики казалось бы незначительно отличаются от предыдущих, однако на качественном уровне отличия существенны.
Рис. 5.31. Результаты моделирования уровня безработицы
342
В первую очередь, в данном случае первый цикл описывается моделью (2.53), а не (5.33). При этом он имеет гораздо меньшую амплитуду. Второй цикл характеризуется более высоким пиком и резким падением, вследствие чего значительную долю в структуре ряда получает
цикл III. Что же касается прогноза, то, хотя в среднем он мало отличается по точности, но характер его существенно иной. В предыдущем случае основную долю прогнозных значений составляли вышедшие на постоянный уровень модели I и II циклов
Рис. 5.32. Альтернативный вариант моделирования уровня безработицы
В альтернативном варианте основную долю прогноза составляет
модель III цикла, динамика которой в дальнейшем продолжит снижаться. Поэтому в долгосрочной перспективе альтернативная модель даст
существенно более низкий прогноз.
Другим примером моделирования и прогнозирования социальной
динамики является мониторинг эволюции международной миграции
РФ. Прогноз миграции – необходимая составная часть прогнозирования
численности населения страны.
Предложим комплекс моделей для прогнозирования международной миграции РФ на примере численности выбывшего населения. Моделирование было осуществлено на основе имеющейся ежемесячной
статистики об общей численности выбывшего населения, численности
выбывших в страны СНГ и Балтии и другие зарубежные страны за 19982011 гг.
343
Для оценки точности прогноза данные за 2009-2011 гг. были вынесены в прогнозную часть выборки.
В структуре временного ряда выделили тренд, циклическую, сезонную и стохастическую компоненты, которые, как показали исследования, взаимодействуют мультипликативно, а структура модели имеет
вид:
Yk  Tk 1   k  a, b  Ц k  1  Sk 1   k  ,
где Yk – анализируемый показатель; Tk – тренд; Ц k – циклическая компонента,
состоящая
из
одного
или
нескольких
циклов;
1, k    a; b 
 k  a, b   
0, иначе
– фиктивная переменная, определяющая границы
каждого цикла a, b ; S t – сезонные колебания;  k – стохастическая компонента с оговоренными выше свойствами.
Долгосрочная тенденция описывалась двумя моделями:
Tk  C  A0e 0k  ;
Tk  C  A0 ch  0k   0  .
Наибольшую трудность представляют модели циклической компоненты. Предложено моделировать каждый цикл в отдельности, принято для этого выражение:
2
P0  Pk
1   P2 ( k  )
Цk 
.
1  Q1k   Q2 (k ) 2
Сезонные колебания были описаны суммой трех гармоник с различными амплитудами, частотами и фазами:
Sk  A1 sin 1k    1   A2 sin 2k    2   A3 sin 3k    3  .
Для идентификации параметров моделей использованы методы
итеративной параметрической декомпозиции, конструирования ARMAмодели, а также численные методы (Гаусса-Ньютона, RPROP).
В таблице 5.16 представлены основные результаты идентификации каждого показателя.
На рисунке 5.33 показана модель общей численности выбывших
из РФ.
344
Таблица 5.16
Моделирование и прогнозирование миграции
Показатель
Число выбывших, чел.
Модель тренда
общее
Tt  114  17581e 0,013t
в страны СНГ и
Балтии
Tt  1136  9346e 0,019t
чел.
тыс.чел.
тыс.
в другие зарубежные страны
Tt  608501 
609484ch  0,001t  0,14 
Границы циклов
апр.1998 –
июл.2000
янв.1998 –
май.2001;
фев.2005 –
янв.2009
июл.1998 –
июл.2003;
янв.2000 –
дек.2005
Показатели
точности
R2 = 0,985
MAPE=11,9%
R2 = 0,991
MAPE=8,5%
R2 = 0,944
MAPE=10,2%
25
20
15
10
5
0
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Исходный ряд
Модель
Тренд
Рис. 5.33. Результаты моделирования общей численности выбывшего
населения РФ
Согласно полученным прогнозам, в 2011-2012 гг. можно ожидать
новую волну циклической компоненты. С помощью предложенной эволюционирующей модели она может быть оценена в рамках краткосрочного прогнозирования (на несколько месяцев).
Таким образом, разработанный комплекс моделей позволил получить достоверные краткосрочные и среднесрочные прогнозы миграции
населения.
345
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Авторы монографии ушли от «наивности» многих известных методов идентификации социально-экономической динамики СЭС, в которых модели линейны, структуры взаимодействия компонент просты, статистические выборки велики, а стохастические компоненты «удобны» (по
своим характеристикам, по месту вхождения в структуру ряда динамики
показателей) и т.п.
Новым является предложение структур пропорциональномультипликативного взаимодействия компонент ряда. До настоящего времени не идентифицировались предложенные модели эволюции амплитуд
колебательных компонент ряда.
Представленные материалы относятся, в первую очередь, к методам
идентификации при помощи обобщенных параметрических моделей авторегрессии-скользящего среднего и дополнены методом идентификации,
использующим генетический метод оптимизации.
Метод параметрической итерационной декомпозиции трендсезонных рядов и использование базиса Гребнера для решения полиномиальных алгебраических уравнений при МНК-идентификации позволили
существенно расширить класс рассматриваемых моделей.
Обстоятелен «атлас» моделей логистической динамики, оригинальны
новые модели, приемы конструирования моделей мультилогистической
динамики, компенсации автокоррелированности и мультиколлинеарности
стохастической компоненты.
Методика исследования точности моделей и методов идентификации
в широком динамическом диапазоне параметров и соотношения мощностей помехи и полезного сигнала позволила оценить область их возможного применения, сделать эту методику мерой сравнения различных методов
идентификации моделей.
Представляется, что методика оценки точности моделирования и области применения предложенных моделей и методов их идентификации
репрезентативна, подтвердена на многочисленных и разнообразных по своей природе реальных данных для СЭС различного иерархического уровня.
В рамках предложенного и исследованного инструментария к настоящему времени предложено более 150 моделей нелинейной динамики показателей социально-экономических систем, методы и соответствующее
346
программное обеспечение для их идентификации и метрологического исследования [41-45].
Для ограничения объема монографии авторы избегали, по возможности, повторения уже описанных ранее подробно приемов и методов. В качестве примеров выбирались лишь приложения, иллюстрирующие определенные модели, способы и приемы идентификации.
Включенные в монографию известные разделы эконометрики необходимы для сравнительного анализа, понимания полученных результатов и
выполнения необходимых условий их получения.
Однако представленные в монографии материалы не отразили в полном объеме все выполненные оригинальные разработки структур, моделей
и методов идентификации нелинейных эволюционирующих рядов динамики показателей СЭС.
В монографию не включены, например, материалы, демонстрирующие применение моделей динамики и методов идентификации для моделирования и прогнозирования экономических показателей в разработанной
системе сбалансированных показателей вуза В.К. Семёнычева, О.В. Емельяновой, В.Н. Кожуховой [52].
Не показана возможность использования разработанного А.А. Коробецкой и Е.В. Семёнычевым комплекса моделей для задач моделирования
и прогнозирования эволюции валового внутреннего продукта России [61].
Можно упомянуть и другие результаты задачи моделирования, прогнозирования и мониторинга эволюции на реальных данных, выполненные
сотрудниками Муниципального ресурсного центра Самарской академии
государственного и муниципального управления:
 индекса товаров и услуг по базовым видам деятельности РФ с
2001 г. по 2009 г.;
 динамику объема розничных продаж в РФ за 2001-2009 гг.;
 динамику объема платных услуг населению РФ за 2001-2009 гг.,
динамику общей заболеваемости в РФ с 1990 г. по 2008 г.;
 динамику заболеваемости острыми инфекциями верхних дыхательных путей в РФ с 2004 г. по 2011 г.;
 заболеваемость острыми гепатитами в РФ с 2002 г. по 2005 г.;
 заболеваемость краснухой в РФ с 2003 г. по 2010 г.;
 динамику численности онкобольных с 1980 г. по 2008 г.;
 динамика цен на недвижимость в США (Сан-Диего и ЛосАнджелесе по данным из [68]);
347
 динамику задолженности по ЖКХ муниципальных образований
Самарской области;
 динамику налога на доходы физических лиц, расходов, доходов и
т.п. г.о. Самара и др.
Не представлены и результаты В.К. Семёнычева, В.В. Семёнычева и
В.Д. Павлова по применению моделей и методов с использованием функции Рамсея для моделирования и прогнозирования цен на недвижимость,
строительные материалы и топливо.
Не в полной мере представлены данные по разработке и исследованию В.К. Семёнычевым, А.В. Сергеевым, Е.В. Семёнычевым, В.В. Семёнычевым методов моделирования и прогнозирования показателей уровня
жизни населения (на примере Самарской области) и прогнозированию
урожайности ряда зерновых культур.
Практически не показаны материалы В.К. Семёнычева, А.П. Нефёдова по использованию результатов идентификации квазиполиномов для
структурной и параметрической идентификации моделей экономической
динамики (на примере стратегического плана развития г. Новокуйбышевска). Далеко не в полной мере включены в монографию результаты
В.К. Семёнычева, Е.В. Семёнычева, В.В. Семёнычева по разработке комплекса методов моделирования и краткосрочного прогнозирования эволюционирующих рядов экономической динамики, эволюции средних цен в
России на пшеницу. В меньшем объеме показаны материалы Е.В. Семёнычева по особенностям параметрического моделирования и прогнозирования рядов с колебательной компонентой.
Все упомянутые исследования выполнены с помощью предложенного в монографии инструментария, дали результаты с достаточно высокой
точностью, что говорит о возможности их широкого использования и развития области приложения.
И все же хочется отметить, что поиск реальных, а не модельных примеров для иллюстрации возможностей предложенных моделей и методов
их идентификации существенно затруднен из-за недостатка статистических
данных. Можно, видимо, считать, что предложенный инструментарий
«тоньше» применяемых в сегодняшней эконометрической практике и в
связи с этим утверждать, что для реализации «экономики знаний» необходима разработка новых и совершенствование существующих систем показателей СЭС.
348
ГЛОССАРИЙ
Автокорреляция – наличие зависимости между последующими и
предшествующими уровнями динамического ряда.
Агрегирование – преобразование одной модели в другую с меньшим числом переменных и ограничений (агрегированную модель), дающее приближенное по сравнению с исходной описание изучаемого
объекта или процесса.
Аддитивность – свойство величин, состоящее в том, что значение
величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям.
Аппроксимация – процесс замены одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным объектам.
Априори – термин, означающий знание, полученное до или независимо от опыта.
Вектор – упорядоченная совокупность n действительных чисел.
Верификация модели – проверка истинности, адекватности модели, проверка соответствия ее поведения предположениям экспериментатора.
Вероятностная (стохастическая) зависимость – зависимость
между двумя случайными величинами, причем каждому значению одной из них соответствует определенное распределение другой.
Вероятностная модель – модель, которая содержит случайные
элементы.
Взвешенный метод наименьших квадратов – обобщенный метод наименьших квадратов для моделей с гетероскедастичностью.
Временной (динамический) ряд – последовательность наблюдений некоторого признака в последовательные моменты времени.
Выборка из генеральной совокупности – часть единиц генеральной совокупности. Число элементов выборки является конечным и
называется объемом выборки.
Генеральная совокупность – совокупность всех мыслимых результатов наблюдения, которые могут быть получены в данных условиях. Различают конечные, содержащие конечное число элементов, и бес349
конечные, содержащие бесконечное число элементов, генеральные совокупности.
Гетероскедастичность модели – свойство дисперсии остатков i
модели, когда для каждого значения факторов X i модели остатки i
имеют различную дисперсию.
Гомоскедастичность модели - свойство постоянства дисперсий
остатков i модели для каждого значения факторов X i .
Декомпозиция – процедура системного анализа, заключающаяся
в разбиении целого на части с целью их детального изучения.
Дисконтирование – приведение экономических показателей к сопоставимому по времени виду с помощью коэффициентов дисконтирования.
Дискретная модель – экономико-математическая модель, все переменные и параметры которой являются дискретными величинами.
Дискретная (случайная) величина – множество возможных значений (случайной) величины, число которых конечно или счётно.
Доверительная вероятность – достоверность (надежность) определения неизвестного значения параметра с помощью оценки параметра.
Доверительный интервал – случайный (по расположению своего
центра и размеру) интервал, который с некоторой доверительной вероятностью накрывает истинное значение искомого параметра. Доверительный интервал связан с погрешностью оценивания параметров кривых и с погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда (на
каждый момент времени).
Жизненный цикл продукта (товара, услуги, организации) –
определенный период времени, в течение которого продукт обладает
жизнеспособностью на рынке и обеспечивает достижение целей продавца. От жизненного цикла продукта непосредственно зависит уровень
прибыли продавца (процудента) на каждой из стадий жизненного цикла
продукта. Для каждого продукта характерен собственный жизненный
цикл, продолжительностью от нескольких месяцев до нескольких лет.
350
Зависимая переменная – в регрессионной модели некоторая переменная Y , являющаяся функцией регрессии с точностью до случайного возмущения.
Задачи регрессионного анализа – установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, прогноз значений зависимой переменной.
Идентификация – процесс отождествления некоторой модели
объекту.
Идентификация ряда – построение адекватной объекту модели,
т.е. такой модели, в которой математическое ожидание ряда остатков i
равно нулю, а все регрессоры значимы.
Измерение – процесс моделирования, в ходе которого объект измерения получает отображение в некоторой модели, представляющую
собой соответствующую шкалу измерений.
Индекс – относительная величина, характеризующая изменение
уровней сложных социально-экономических показателей во времени,
пространстве или по сравнению с базисом.
Инерционность экономического объекта – свойство экономических объектов, претерпевая изменения под действием внешних факторов, незначительно и постепенно изменять при этом свою структуру,
направление и степень взаимосвязи между элементами.
Инновация – «изобретение», «нововведение», «новшество», «новаторство» и т.п. Инновацию можно рассматривать как явление, как
процесс и как одно из направлений деятельности. Под инновациями как
явлением понимаются материализованные изменения в товаре, технологиях, организационной структуре и коммуникациях, обусловленные
научно-техническим прогрессом и вызванные стремлением предприятия
к получению конкурентных преимуществ. Процесс инноваций представляет собой регулируемую совокупность действий, осуществляемых
для последовательного изменения инноваций как явления. Инновационная деятельность представляет собой одно из направлений предпринимательской деятельности, нацеленное на получение конкурентных преимуществ посредством инноваций.
Интервальный ряд динамики – ряд числовых значений определенного статистического показателя, характеризующего размеры изуча351
емого явления за определенные промежутки (периоды, интервалы) времени.
Квантиль уровня Q – такое значение xQ случайной величины,
при котором функция её распределения принимает значение, равное Q .
Классификация – научный подход, заключающийся в дифференциации всего множества объектов и последующем их объединении в
определенные группы на основе какого-либо признака.
Количественные признаки – признаки, имеющие числовое выражение, которые могут быть измерены по каждой единице совокупности.
Комплекс моделей – совокупность моделей, предназначенных
для решения одной сложной задачи, каждая из которых описывает ту
или иную сторону моделируемого объекта либо процесса на своем соответствующем этой стороне «языке».
Коэффициент автокорреляции первого порядка – парный коэффициент корреляции между соседними членами ряда 1,  2 ,...,  n1 и
 2 ,  3 ,...,  n . Аналогично определяются и коэффициенты автокорреляции
более высоких порядков.
Коэффициент детерминации ( R 2 ) – одна из оценок адекватности
регрессионной модели, мера качества уравнения регрессии (мера качества подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям). Характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных. Модель считается тем лучше, чем ближе R 2 к единице, т.е. регрессия тем точнее описывает зависимость между объясняющими и зависимыми переменными.
Кривые роста – траектории динамики, которые можно условно
разделить на три класса. К первому относят модели, используемые для
траекторий с монотонным характером развития и отсутствием пределов
роста. Это условие справедливо для многих экономических показателей, например, для большинства показателей промышленного производства. Ко второму классу (к «моделям насыщения») относят модели,
имеющие предел роста в исследуемом интервале наблюдения. С такими
траекториями сталкиваются в демографии, при изучении потребностей
в товарах и услугах (в расчете на душу населения), при исследовании
352
эффективности ресурса и т.д. Если «модели насыщения» имеют точки
перегиба, то их относят к логистическим.
Лаг – смещение изменения одного показателя по сравнению с изменением другого.
Лаг временной – направление и продолжительность отставания
одного из взаимосвязанных уровней временного ряда от уровней другого ряда.
Лаговые переменные – переменные, взятые в предыдущий момент (или моменты) времени и выступающие в качестве эндогенных
и/или экзогенных переменных.
Линейная модель – модель, отображающая состояние или функционирование системы таким образом, что все взаимозависимости в ней
признаются линейными.
Модель Хольта-Уинтерса – прогностическая модель, например,
при появлении на рынке товара впервые или при появлении конкурирующего товара, которая учитывает экспоненциальный тренд и аддитивную сезонность. Известна и мультипликативная модель ХольтаУинтерса.
Метод – совокупность средств, приемов и способов для достижения поставленной цели.
Методология – учение о научном методе познания, способы организации теоретической и практической деятельности, совокупность методов, применяемых в какой-либо науке.
Моделирование – исследование, построение и изучение моделей
реально существующих предметов и явлений.
Модель – 1) отображение или аналог явления или процесса в основных существенных для него чертах; 2) условный образ объекта или
процесса, используемый исследователем для упрощения их познания;
3) логическое или математическое описание компонентов и функций,
отображающих существенные свойства моделируемого объекта или
процесса; 4) преднамеренно упрощенная имитация некоторой части реальной действительности.
353
Моментный ряд – ряд числовых значений определенного статистического показателя, характеризующего изучаемое явление на определенные даты, моменты времени.
Мониторинг – средства и методы систематического наблюдения
за состоянием объектов и процессов.
Мультиколлинеарность – высокая взаимная коррелированность
объясняющих переменных. При построении эконометрических моделей
мультиколлинеарность вызывает ряд проблем: 1) проблемы при вычислениях из-за слабой обусловленности матрицы систем нормальных
уравнений (её определитель близок к нулю); 2) снижается точность
оценки параметров моделей из-за указанной выше проблемы; 3) неточность оценки параметров модели приводит к неточности интерпретации
влияния факторов на результирующий показатель; 4) существенно снижается устойчивость оценок параметров модели, т.е. малейшие помехи
могут привести к значительным изменениям оценок параметров модели;
5) прогнозная ценность таких моделей низка из-за неустойчивости модели, которая может давать сильную вариацию прогнозных значений.
Нестационарный процесс – процесс, при котором быстро изменяющиеся условия функционирования СЭС оказывают существенное
влияние на ее характеристики, вызывая их изменение.
Объем выборки – конечное число элементов выборки.
Параметр модели – относительно постоянный показатель, характеризующий моделируемую систему, процесс или явление.
Период упреждения – отрезок времени от момента, для которого
имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до
момента, к которому относится прогноз.
Прогноз – научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем или об альтернативных путях и сроках достижения этих состояний.
Прогнозирование – научно обоснованное выявление состояния и
вероятных путей развития явлений и процессов.
354
Риск – выражается вероятностью получения таких нежелательных
результатов, как потеря прибыли и возникновение убытков; вероятность
возникновения убытков или недополучения доходов по сравнению с
прогнозируемым вариантом; возможная опасность потерь.
Робастная оценка – оценка, которая в наихудшем случае имеет
наименьшую дисперсию.
Робастность – свойство статистической оценки не сильно реагировать на возможные отклонения от рассматриваемой модели.
Свойство – сторона предмета, обусловливающая его различие или
сходство с другими предметами и проявляющаяся во взаимодействиях с
ними.
Сглаживание – выравнивание уровней ряда динамики путем
применения методов усреднения.
Системный анализ – методология исследования объектов посредством представления их в качестве систем и анализа этих систем.
Спецификация моделей – один из этапов построения экономикоматематической модели, на котором на основании предварительного
анализа экономического объекта или процесса в математической форме
выражаются обнаруженные связи и соотношения, а значит, параметры и
переменные, представляющиеся на данном этапе существенными для
цели исследования.
Спрос – конкретная потребность, предъявляемая на рынке, т.е.
потребность, обеспеченная деньгами для её приобретения.
Статистическая закономерность – форма проявления причинной
связи, выражающаяся в последовательности, регулярности, повторяемости событий с достаточно высокой степенью вероятности, если причины, порождающие события, не изменятся или изменятся незначительно.
Статистическое моделирование – способ исследования процессов поведения вероятностных систем в условиях, когда неизвестны
внутренние взаимодействия в этих системах.
Стационарный временной ряд – временной ряд, вероятностные
свойства которого не изменяются во времени.
355
Тенденция – основное направление, закономерность развития.
Тренд – главная тенденция изменения уровней временного ряда.
Компонента модели, описывающая влияние долговременных факторов,
т.е. длительную тенденцию изменения моделируемого признака.
Трендовая модель – динамическая модель, в которой развитие
моделируемой экономической системы отражается через тренд ее основных показателей.
Уровень ряда динамики – значение отдельного наблюдения ряда
динамики.
Устойчивость модели – способность динамической модели описывать движение по намеченной траектории, несмотря на действующие
на неё возмущения.
Численный метод RPROP - используется для решения нелинейных уравнений. Метод основан на теории нейронных сетей, использует,
в отличие от градиентных методов, только знаки производных для подстройки весовых коэффициентов.
Фактор – источник воздействия на систему, отражающегося на
значении переменных модели этой системы.
Фиктивные переменные – чаще всего дихотомические (бинарные, булевы) переменные, принимающие всего два значения «0» или
«1» в зависимости от совпадения или несовпадения с факторным признаком.
Функция правдоподобия – функция, выражающая плотность вероятности (вероятность) совместного появления результатов выборки
x1, x2 ,..., xn :
L( X1, X 2 ,..., X n , )   ( X1, ) ( X 2 , ),...,  ( X i ,  ),...,  ( X n ,  )
n
L
(
X
,

)

 ( X i , ) .

или
i
i1
Цель – осознанный образ предвосхищаемого результата, на достижение которого направлены действия человека.
356
Экзогенные переменные – переменные, внешние по отношению
к моделируемой системе.
Эконометрика – научная дисциплина, предметом которой является изучение количественной стороны экономических процессов и явлений средствами математического и статистического анализа.
Эконометрическая модель – экономико-математическая модель,
параметры которой оцениваются с помощью методов математической
статистики.
Экономико-математическая модель – математическое описание
экономического процесса, явления или объекта, произведенное в целях
их исследования и управления ими.
Экономико-математическое моделирование – описание экономических процессов и явлений в виде экономико-математических моделей. Практическими задачами моделирования являются, во-первых,
анализ объектов моделирования; во-вторых, – прогнозирование развития динамических траекторий; в третьих – выработка управленческих
решений на всех уровнях иерархии СЭС.
Экономико-статистический анализ – разработка экономических
основ на широком применении традиционных статистических и математико-статистических методов с целью контроля адекватного отражения исследуемого явления.
Эндогенные величины – переменные, изменение которых происходит внутри моделируемой системы.
357
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. –
М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 432 с.
2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика: Теория вероятностей и прикладная статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656 с.
3. Алексеев А.А., Багиев Г.Л. Маркетинговые основы товарного позиционирования в инновационном периоде. – СПб: СПУЭФ, 1997. – 243 с.
4. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование. – М.: Финансы и статистика, 2010. – 320 с.
5. Батищев Д.И. Генетические алгоритмы решения многоэкстремальных задач / под ред. Я.Е. Львовича. – Воронеж, 1995. – 382 с.
6. Бессонов В.А. Введение в анализ российской макроэкономической динамики переходного периода. – М.: ИЭПП, 2003. – 151 с.
7. Бессонов В.А. Проблемы анализа российской макроэкономической динамики переходного периода. – М.: ИЭПП, 2005. – 244 с.
8. Бессонов В.А. О проблемах измерений в условиях кризисного развития российской экономики // Вопросы статистики. – 1996. – № 7. –
С. 18-32.
9. Библиотека алгоритмов ALGLIB. Алгоритм ЛевенбергаМарквардта. - URL: http://alglib.sources.ru.
10. Бияков О.А. Экономическое пространство региона: процессный
подход. – Кемерово: Кузбассвузиздат, 2004. – 320 с.
11. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и
управление. – Вып. 2. – М.: Мир, 1974. – 197 с.
12. Бородич С.А. Эконометрика. – Минск: Новое знание, 2001. –
408 с.
13. Бухбергер Б. Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории
полиномиальных идеалов. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / под ред. Б. Бухбергера, Д. Коллинз, Р. Лоос. –
М.: Мир, 1986. – С. 331-372.
14. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. –
М.: Экономика, 1985. – 259 с.
15. Грюблер А. Взлет и падение инфраструктур. Springer-Verlag.
New York. NY. 1990.
358
16. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 302 с.
17. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. – М.: Наука, 1971. – 288 с.
18. Евростат. Руководство ESS по поправке на сезонность. – URL:
http: //esp. eurostat.es.europa.eu/pls/portal/docs/PAGE/PGP RESEA RCH/PGE
RESEARCH 04/ESS%20GUIDELINES%20ON%20SA.P.
19. Зарова Е.В., Хасаев Г.Р. Эконометрическое моделирование и
прогнозирование развития региона в краткосрочном периоде. –
М.: Экономика, 2004. – 149 с.
20. Качалов И. Планирование продаж с точностью 90% и выше. СПб.: Питер, 2008. – 304 с.
21. Клейнер Г.Б., Смоляк С.А. Эконометрические зависимости:
принципы и методы построения. – М., 2000. – 104 с.
22. Краснов О.С. Теория и практика вероятностной оценки геологических рисков и неопределенности при подготовке запасов нефти и газа //
Нефтегазовая геология. Теория и практика. - 2009. - № 4 – C. 1-29.
23. Кобринский Н.Е., Кузьмин В.И. Точность экономикоматематических моделей. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 324 с.
24. Кокс Д., Литтл Дж., О Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы: Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и
коммутативной алгебры. – М.: Мир, 2000.
25. Кондратьев Н.Д. Проблемы экономической динамики / под ред.
Л.И. Абалкина и др. – М.: Экономика, 1989. – С. 58.
26. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2002. – 311 с.
27. Кублановская В.Н. Решение систем нелинейных алгебраических
уравнений общего вида. Методы и алгоритмы // Записки научных семинаров ПОМИ. – Т. 248. – М.,1998. – С. 124-147.
28. Ламбен Ж.Ж. Стратегический маркетинг. Европейская перспектива. – СПб.: Наука, 1996. – 589 с.
29. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь
современной математической науки. – М.: Дело, 2003. – 520 с.
30. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 416 с.
359
31. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика.
Начальный курс. – М.: Дело, 2004. – 576 с.
32. Методы моделирования жизненных циклов продуктов. – URL:
http: //www.12manage.com.
33. Моторин В.И. Критерии и методы декомпозиции макроэкономических показателей: Препринт.WP2/2005/02. – М.: ГУ ВШЭ, 2005. – 60 с.
34. Оразбаев Б.Б., Курмангазева Л.Т., Кабылхамит Ж.М. Задачи прогноза и идентификации нефтедобычи, математические методы и алгоритмы их решения // Электронная библиотека Атырауского института нефти
и газа. - URL: www.aing.kz/e-lib.
35. Плотинский Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов. – М.: Логос, 1998. – 279 с.
36. Постан М.Я. Обобщенная логистическая кривая: её свойства и
оценка параметров // Экономика и математические методы. - 1993.
Т. 29. - Вып. 2. – C. 305-310.
37. Пош М., Грюблер А., Накиченович Р. Методы оценки S-образной
функции роста. – Люксембург; Австрия: Международный институт прикладного системного анализа, 1987.
38. Результаты «реформ». Статистика свидетельствует. – URL:
http://rys-arhipelag.ucoz.ru/publ/.
39. Светуньков С.Г. Количественные методы прогнозирования эволюционных составляющих экономической динамики. – Ульяновск: Издво Ульяновского государственного университета, 1999. – 117 с.
40. Светуньков С.Г. Методы маркетинговых исследований. – СПб.:
Изд-во «ДНК», 2003. – 360 с.
41. Свидетельство о регистрации государственной программы для
ЭВМ №2008610493 «Econometric Research» от 03.12.2007 г. / А.В. Сергеев,
В.К. Семёнычев, Е.В. Семёнычев, О.С. Маркина.
42. Свидетельство о регистрации государственной программы для
ЭВМ №2009611129 «Моделирование и прогнозирование многокомпонентных динамических рядов «Logistic» от 20.02.2008 г. / В.Д. Павлов,
В.К. Семёнычев, В.В. Семёнычев.
43. Свидетельство о регистрации государственной программы для
ЭВМ №2011615047 «Программа «ZGroebnerIdent» моделирования и прогнозирования кривых жизненного цикла, описываемых экспонентами и
гармониками» от 29.06.2011 г. / Е.И. Куркин, В.К. Семёнычев, Е.В. Семёнычев.
360
44. Свидетельство о регистрации государственной программы для
ЭВМ №2011610065 «Программа моделирования и прогнозирования экономической динамики полиномиальным трендом и одновременным вхождением аддитивной и мультипликативной колебательных компонент
«Z_ident» от 11.01.2011 г. / Е.И. Куркин, Е.В. Семёнычев.
45. Свидетельство о регистрации государственной программы для
ЭВМ № 2011613830 «Автоматизированная система мониторинга аккредитационных и финансовых показателей вуза» от 3.01.2011 г. /
О.В. Емельянова, В.Н. Кожухова, А.А. Коробецкая.
46. Сезон «охоты»: ежегодный экстрим? Кондитерские изделия. Чай,
кофе, какао. – URL: http://www.my-ki.ru/printable_version.php.
47. Сергеев А.В., Семёнычев В.В. Моделирование и прогнозирование трендовых моделей с эволюционными колебательными компонентами
// Вестник Самарского государственного университета путей сообщения. –
Самара. – Вып. 4(16). – С. 86–91.
48. Семёнычев В.К. Идентификация экономической динамики на основе моделей авторегрессии. – Самара: АНО «Изд-во СНЦ РАН», 2004. –
243 с.
49. Семёнычев В.В. Идентификация экспоненциальной тенденции во
временном ряде мультипликативной структуры // Вестник Самарского
государственного университета путей сообщения. – 2009. – Вып. 3 (15). –
C. 88-92.
50. Семёнычев В.К. Использование Z-преобразования для идентификации моделей временных, «невременных» и пространственных рядов
// Вестник СамГТУ. Сер. «Технические науки». – Самара, 2005. – №33. –
C. 353-357.
51. Семёнычев В.К. Общий подход к идентификации экономической
динамики моделями авторегрессии // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. – Самара, 2004. - № 2 (6). – C. 63-68.
52. Семёнычев В.К., Емельянова О.В., Кожухова В.Н. Инструментарий моделирования и прогнозирования экономических показателей вуза //
Вестник Самарского муниципального института управления. – Самара:
Изд-во «Самарский муниципальный институт управления». - 2010. №1(12). – C. 8-16.
53. Семёнычев В.К., Куркин Е.И. ARMA–моделирование уровня годовой добычи нефти из пласта и оценка геологического риска инвестиций
в нефтегазодобывающей промышленности // Вестник Самарского муниципального института управления. – 2010. - №2 (13). – C. 7-14.
361
54. Семёнычев В.К., Куркин Е.И., Семёнычев Е.В. Моделирование
рядов экономической динамики полиномиальным трендом и одновременным вхождением аддитивной и мультипликативной колебательных компонент // Вестник Самарского муниципального института управления. –
Самара: Изд-во «Самарский муниципальный институт управления», 2010.
- №3 (14). – С. 3-21.
55. Семёнычев В.К., Павлов В.Д., Семёнычев В.В. Моделирование и
прогнозирование временного ряда суммой логистической, линейной и
гармонической компонент на основе ARMA-модели// Известия Уральского государственного экономического университета. – Екатеринбург, 2009.
– №1(23). – С. 128-140.
56. Семёнычев В.К., Куркин Е.И., Семёнычев Е.В. Модели жизненного цикла предприятий и их идентификация на основе моделей авторегрессии-скользящего среднего и базисов Гребнера // Экономические
науки. – 2011. - №2(75). – С. 362-368.
57. Семёнычев В.К., Семёнычев Е.В. Информационные системы в
экономике. Эконометрическое моделирование инноваций. – Самара: Издво Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2006. – 216 с.
58. Семёнычев В.К., Семёнычев Е.В., Семёнычев В.В. Классификация видов и структуры идентификации эволюции временных рядов экономической динамики. – Самара: Изд-во «Самарский муниципальный институт управления», 2009. – №9. – С. 60-65.
59. Семёнычев В.К., Семёнычев Е.В., Коробецкая А.А. Метод параметрической итерационной декомпозиции тренд-сезонных рядов аддитивной структуры // Вестник Самарского муниципального института
управления. – Самара: Изд-во «Самарский муниципальный институт
управления», 2010. – №1(12). – С. 63-72.
60. Семёнычев В.К., Сергеев А.В. Моделирование и прогнозирование временных рядов показателей агропромышленного комплекса на основе моделей линейного тренда и гармоник // Экономика природопользования. - Всероссийский институт научной и технической информации
РАН, 2009. - № 4. – C. 88-95.
61. Семёнычев Е.В., Коробецкая А.А. Опыт и инструментарий моделирования и прогнозирования эволюции валового внутреннего продукта
Российской Федерации аддитивно-мультипликативными моделями //
Экономические науки. - 2010. – №9 (70). - С. 247-251.
362
62. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер,
2006. – 751 с.
63. Соколов В.А. Эволюционные уравнения как феноменологическая модель разработки нефтегазовых месторождений. Нефтегазовое дело.
- URL: www.ogbus.ru.
64. Эконометрия: учеб. пособие / В.И. Суслов и др. Новосибирск:
Издательство СО РАН, 2005. – 290 с.
65. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика. – М.: Экзамен,
2003. – 512 с.
66. Титов К.А., Семёнычев В.В. Моделирование и прогнозирование
эволюционирующей динамики численности населения г.о. Самара для
программы комплексного развития систем коммунальной инфраструктуры // Вестник Самарского муниципального института управления. – Самара: Изд-во «Самарский муниципальный институт управления», 2010. –
№3. – С. 21-26.
67. Хасанов М., Карачурин Н., Тяжев Е. Оценка извлекаемых запасов нефти на основе феноменологических моделей // Вестник инжинирингового центра ЮКОС. - 2001. - №2. – С.3-7.
68. Цены на недвижимость в Сан-Диего. – URL: http: // izsandiego.
blogspot.com.
69. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. – М.:
Статистика, 1977. – 192 с.
70. Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических временных
рядов. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 202 с.
71. Эконометрика / под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 575 с.
72. Юданов А.Ю. «Быстрые» фирмы и эволюция российской экономики// Вопросы экономики. – 2007. - №2. – С. 67-74.
73. Яновский Л.П., Буховец А.Г. Введение в эконометрику. – М.:
КНОРУС, 2007. – 256 с.
74. Adams W.W., Laustaunau Ph. An introduction to Groebner Bases:
Amer. Math. Soc. 1994. (Grad. Stud. in Math., Vol.3).
75. Adizes I. Organizational passages: Diagnosing and treating life cycle
problems in organization // Organizational Dynamics. 1979. Vol. 9, – P. 3-25.
76. Adizes I. Corporate Lifecycles: How and Why Corporations Grow
and Die and What to Do about It. Englewood Cliffs. - N.J.: Prentice Hall, 1988.
363
77. Andrews D.F. A robust method for multiple linear regression.
//Technometrics. – 1974. – V. 16. - № 4.
78. Arz S. A new mixed multiplicative-additive model for seasonal adjustment. Discussion Paper. – Series 1: Economic Studies. – 2006. - №47. – 44 p.
79. Bass F.M. A new product growth model for consumer durables, Management Science 15: 1969. – P. 215-227. January.
80. Bleasdale J.K., Nelder J.F. Plant Population and Crop Yield. Nature.
1960. – Р.188-342.
81. Bridges E. New technology adaption in innovative marketplace //Jnter
Journal of Forecasting. - 1991. - Vol.7. - № 2. – Р. 257-270.
82. Brody S. Bioenergetics and growth. Reihold publishing. - New York,
1945. – 1033 p.
83. Brooks C. Introductory Econometrics for Finance. - Cambridge University Press, 2002. – 340 p.
84. David Beasisy, David R. Bull, Ralph R. Martin. An overview of Genetic Algorithms. - Part 1. Fundamentals. 2005.
85. Den Butter F.A.G., Fase M.M.G. Seasonal Adjustment as a Practical
Problem. Amsterdam. - North-Holland, 1991. – 226 p.
86. Diebold F., Mariano R. Comparing predictive accuracy. Journal of
Business and Economic Statistics. - 1995. - №13. – P. 253-263.
87. Dolan R.J., Jeuland A.P. Experience curves and dynamic demand
models: Implications for optimal pricing strategies. Journal of Marketing. Winter. – P. 52-62.
88. Dr. Nebojsa Nakicenovie, Dr. Arnulf Grublrer. Diffusion of
technologies and social behavior. International Institute for Applied Systems
Analysis. Vol. A-2361, Luxemburg, Austria. – P. 126-164.
89. Durbin J., Murphy M.J. Seasonal adjustment based an a mixedadditive-multiplicative model//Statist. Sos. Ser. A. Vol. 138, n.3. – P. 385-410.
90. Durbin J., Kenny P. Seasonal Adjustment When the Seasonal Component Behaves Neither Purely Multiplicatively nor Purely Additively. Seasonal
Analysis of Economic Time Series. - Cambridge: National Bureau of Economic
Research. 1979. – P. 173-200.
91. Farazdaghi H., Harris P.V. Plant Competition and Crop Yield Nature
217. – Р. 289-290.
92. Fischer B. Decomposition of Time Series. Comparing Different Methods in Theory and Practice. Eurostat working group document. 1995. - P. 73–78.
364
93. Giovanis A.N. A Stochastic Logistic Innovation Diffusion Model
Studying. The electricity Consumption in Greece and USA // Social change.
№61. 1999. – P. 235-246.
94. Google trends. URL: http://trends.google.com.
95. Goldfield S.U., Quandt R.E. Nonlinear methods in econometrics. –
Amsterdam: North-Holland, 1977. – 452 p.
96. Grubler A. The Rise and Fall of Infrastructures // Dynamics of Evolution and Technological change in transport International Institute for Applied
System Analysis. Luxemburg. Austria. Prussic-Verlag, Heidelberg. Germany. –
Р.190-305.
97. Easingwood C.J., Mahajan V., Muller E. A nonuniform influence innovation diffusion model of new product acceptance, Marketing Science 2.
Summer. – Р. 273-296.
98. Enders W. Applied econometric time series. 2nd Ed. 2004. John Wiley
& Sons. – 250 p.
99. Hannan E.J. The estimation of season variation. Ark. Mat. 1. 1951. –
257 p.
100. Hirohisa Aman, Takahiro Ohkochi. An Application of Growth Curve
Model for Prediction Core Church in Open Source Development Knowledge
Based Software Engineering. A. Caplinskas. H. Pranevielks, T. Nakateni
(EAS). 2010.
101. Holiday R. Plant Population and Crop Yield. Field Crop Abstr.13.
1960. – Pp. 159-167, 247-254.
102. Hook M. Discriptive and Predictive Growth curves in Energy System
Analysis. Natural Research. 2011. – P. 1-14.
103. Hubbert M.K. Energy Resources. A Report to the Committee on
Natural Resources; National Academy of Sciences, National Research Council.
Washington, DC, USA. 1962. – P. 54.
104. Jonston J., Di Nargo J. Econometric Methods. – Mc. Graw – Hill,
1997. – 328 р.
105. Koenker G., Bassett Jr. Regression Quantiles // Econometrica. –
1978. – Vol. 46. - №1. January.
106. Kristian S. Panda. The Measurement of Cumulative Advertising Effects, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964. – Р. 165.
107. Levitt T. Exploit the Product Life Cycle //Harvard Business Review.
1965. - Vol.43. – P. 81-94.
365
108. OS Platform Statistics. W3schools, copyright 1999. 2011. - URL:
http://www.w3schools.com/browsers/browsers_os.asp.
109. Ozaki T., Thomson. P. A non-linear dynamic model for multiplicative seasonal-trend decomposition. Journal of Forecasting. 2002. № 21. –
P. 107-124.
110. Life Cycles and Long Waves //T. Vasko, R. Aytes. Springer. – 1990.
– P. 328.
111. Morgan P.H., Mercer L.P., Flodin N.W. General Model for Nutritional responses of Higher Organisms. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. – P. 4327 –
4331.
112. Ramsay J.O. A comparative study of several robust estimates of
slope, intercept a scale in linear regression//JASA.1977. Vol.72. № 3.
113. Steffens, P. R. The Product Life Cycle Concept: Buried or Resurrected by the Diffusion Literature? Academy of Management Conference, Technology and Innovation Management Division. Denver. August. 2002.
114. Seasonal Analysis of Economic Time Series, ed. A. Zellner (Proc. Internat. Conf. Held in November 1960). – Paris: Organization for Economic Cooperation and Development, 1961. – Р. 403.
115. Theil P., Wage S. Some observations on adaptive forecasting// Management Science. 1964. Vol.10. – Р. 21-62.
116. Ugo Bardi, Alessandro Lavacchi. Простая интерпретация модели
использования ресурсов Хабберта. 2009. - URL: http: //creativecommons.org
/ licenses/by/3.0/
117. Verschelde Jan. «Algorithm 795: PHCpack: A general-purpose solver for polynomial systems by homotopy continuation». ACM Transactions on
Mathematical Software. 1999.
118. Verhulst P.F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement //Corresp. Math et Phys. 1838. №10. – Р. 113-121.
119. von Bertalanffy, L., Quantitative laws in metabolism and growth,
Quarterly Review of Biology. 1957. 32. – P. 217-231.
120. Wiebull W. A Statistical Distribution Function of Wide Applicability. J.Appl. Mech. 1951. 18. – Р. 293-296.
366
Научное издание
Семёнычев Валерий Константинович
д.э.н., д.т.н., профессор
Семёнычев Евгений Валериевич
к.э.н., доцент
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ РЯДОВ ДИНАМИКИ:
СТРУКТУРЫ, МОДЕЛИ, ЭВОЛЮЦИЯ
Монография
Авторам интересно ваше мнение по теме. С предложениями и
комментариями обращайтесь по адресу – e-mail: [email protected]
__________________________________________
Редактор Н.П. Фролова
Технический редактор С.В. Горбунова
Корректура: Е.А. Игнатьева, Е.А. Абашкина
Подписано в печать 10.11. 2011. Формат 60х84/16
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 22,75. Тираж 500 экз.
Печать оперативная.
Издательство «СамНЦ РАН»
г. Самара, Студенческий пер., д.39
Отпечатано в типографии ООО «Офорт»,
443080, г. Самара, ул. Революционная, 70 литера П
Тел.: 372-00-56, 372-00-57
ISBN 978-5-93424-558-1
367